ANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII "TRANSILVANIA" DIN BRAŞOV

Transcript

1 Gheorghe ATANASIU oa TOFAN ANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII "TRANSILVANIA" IN BRAŞOV 8

2 Materall de aţă apare pr băvoţa l Provdr Ncolae Tţa ş a e Covdr oa Toa care c o deosebtă amabltate colegală m-a ps la dspoţe otele lor de crs predate de-a lgl mltor geeraţ stdeţlor acltăţlor c prol tehc ş prol verstar Împreă c a Co vdr oa Toa am selectat cele ma tle captole de Aală Matematcă petr pregătrea stdeţlor de la Facltatea de Igere Mecacă specalarea Atovehcle Rtere - Îvăţămât c recveţă redsă Scere mlţmr Provdr Gheorghe ATANASIU

3 CUPRINS PARTEA I CALCUL IFERENŢIAL I SIRURI ŞI SERII NUMERICE Şrr de mere reale Şrr î R Covergeţa e ser merce 5 Ser c terme potv 7 5 Ser c terme oarecare Eercţ II FUNCŢII CONTINUE 5 Lmta e cţ îtr- pct 5 Cottate 7 Cottate ormă 9 Eercţ III ERIVATA UNEI FUNCŢII E O SINGURĂ VARIABILĂ ervata ereţala Formla l Talor 6 Aplcaţ ale ormle l Talor 9 Eercţ IV ERIVATA UNEI FUNCŢII REALE E MAI MULTE VARIABILE Cottate ş dervabltate parţală ereţabltate 8 Formla l Talor petr cţ de ma mlte varable Etremele cţlor de ma mlte varable 5 5 Metoda celor ma mc pătrate 8 Eercţ 9 V ERIVATA UNEI FUNCŢII VECTORIALE 5 ereţabltate 5 Fcţ mplcte 5 epedeţă cţoală 58 Trasormăr pctale î R 6 5 Schmbăr de varable 6 6 Etreme codţoate 67 Eercţ 69 PARTEA A-II-A CALCULUL INTEGRAL 7 I INTEGRALA NEEFINITĂ 7 Prmtva e cţ 7 Itegrarea cţlor raţoale 7 Itegrale redctble la tegrale d cţ raţoale 75

4 Eercţ 79 II INTEGRALA UBLĂ 8 eţa tegrale dble 8 Crter de tegrabltate 8 Propretăţle tegrale dble 8 Calcll tegrale dble 8 5 Aplcaţ ale tegrale dble 87 Eercţ 9 III INTEGRALA TRIPLĂ 9 eţa tegrale trple 9 Calcll tegrale trple 9 Aplcaţ ale tegrale trple 9 Eercţ 95 IV INTEGRALE CURBILINII 97 Itegrala crble î raport c lgmea arcl (de speţa I-a 97 Itegrala crble î raport c coordoatele Formla l Gree Itegrale crbl care depd de drm Eercţ 9 BIBLIOGRAFIE

5 Şrr de mere reale PARTEA I CALCUL IFERENŢIAL I ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE şr de mere reale R avâd o strctră de spaţ lar ormat î raport Fe ( c orma ş pr rmare de spaţ metrc î raport c dstaţa d( deţle ce rmeaă st atrale ar propretăţle evdete eţe Şrl ( este mărgt dacă ab a b N Eemple Şrl este mărgt deoarece N Şrl este emărgt (speror deoarece b > astel îcât eţe Şrl > < ε ( R astel îcât > b b coverge către ( b dacă > ( ε astel îcât ε U şr care este coverget se meşte dverget Propretăţ Lmta şr coverget este că Orce şr coverget este mărgt Operaţle c şrr covergete ca ş trecerea la lmtă î egaltăţ le prespem coscte eţe Fe atrale; atc şrl ( ( şr de mere reale ş ( k şr strct crescător de mere k se meşte sbşr al şrl ( ş otăm ( k ( Observaţ: k Orce sbşr al şr coverget este coverget Teoremă (Cesaró Orce şr mărgt coţe sbşr coverget emostraţe acă şrl ( are măr t de valor de eempl atc estă sbşr costat al acesta care evdet este coverget Să prespem că ( este şr mărgt avâd o tate de valor Fe ab R N astel îcât a b

6 a b Împărţm tervall [ a b] pr pctl c sa [ c b care coţe o tate de terme a şrl ] [ a ] ( ş otăm c [ a ] acel sbterval [ a c] b Repetâd obţem şr b de tervale avâd propretăţle: ( a a < b b N ] ( ( [a b coţe o tate de terme a l b a ( b a N [ ] Coorm leme tervalelor îchse clse a b I Propretatea ( ace ca această tersecţe să coţă sgr pct Îtr-adevăr dacă am avea a < < < b N atc d b a < < b a ar relta ec I a b Vom arăta că estă sbşr ( k ( c k Fe vecătatea V ( C propretatea ( estă terval d amla costrtă ma ss [ a k b ] V k Propretatea ( e permte să alegem terme al şrl ( astel îcât [ ] { } k k [ ak bk ] V Procedâd aalog petr ecare vecătate de orma alege k V Astel am etras sbşrl ( ( k k ce îseamă că V vom ptea c propretatea k < N ceea Teoremă (Crterl geeral al l Cach U şr ( este coverget dacă ş ma dacă el este dametal emostraţe Este scet să arătăm dacă ( este şr dametal atc el este coverget Vom arăta î prma etapă că şr Cach este mărgt Îtr-adevăr e ( ε astel îcât petr m > să avem < ε m ε > oarecare ş

7 âd l m o valoare ă ş ame N d < ε terme mărgt N toţ celalţ se ală î tervall ( ε ε Î a doa etapă vom apela la teorema l Cesaró Fe ( ( k eoarece k avem ( Lâd ( ma ( N N N reltă că eceptâd ( dec şrl este c k < ε dacă > Pe de altă parte petr acelaş ε > k de la îcept ε astel îcât > să avem k < ε ε reltă că petr > are loc < < εε ε k k dec Eemple Şrl este coverget deoarece este dametal Îtr-adevăr p < p < ε ş p N > îdată ce ( ( ( ( ( ( ( ( p ( p < < ε p p p este dverget deoarece este şr Cach Petr aceasta vom arăta că ε astel îcât N > ş p > c p ε Îtr-adevăr lâd p avem > ε Cosecţă Spaţl c metrca d ( eţe Şrl ( este mooto dacă este crescător ( descrescător ( : N avem este spaţ metrc complet : N sa Teoremă Orce şr mooto crescător ş mărgt este coverget emostraţe Fe ş mărgt Estă atc a ş b R c a < b N Fe L sp ; atc ε > ε astel îcât L ε < ar petr > ε ε ş pr rmare Aalog se arată că dacă Lε < L < L ε dec L ş mărgt atc ε l

8 eţe Şrl ( tde către ( dacă b> b astel îcât > b să avem >b Teoremă Orce şr mooto crescător ş emărgt tde către emostraţe Şrl ( d emărgt (speror b > b astel îcât b < b ar cm petr >b avem b < < dec b Lema l Stol Fe ( şr oarecare ( şr strct crescător ş dverget de mere potve acă lm l atc lm l Eemple Aceasta reltă c lema l Stol cosderâd şrrle ş deoarece lm lm ş Şrr î R Apelâd la reltatl precedet avem l l l l l e e e Fe ( P şr de elemete d spaţl eclda ( k Propoţe P P k emostraţe Pr deţe P P d ( P P ar d dbla egaltate P d k ( P P ( l e k R de P ( k ş valablă petr k reese că d ( P P k k Pr rmare covergeţa şr d R este echvaletă c covergeţa pe compoete Eemple lm 5 ( 5e î R

9 Şrl ( a P de P este şr de pcte de pe parabola de ecaţe a şr O ( R Propoţe ( P şr dametal ( P emostraţe ε > ( ε coverget către orgea ( şr coverget astel îcât petr m > să avem d ( P P m < ε reltă că petr ecare k şrl m m egaltăţle d( P P < ε k este dametal dec coverget Fe k C propoţa precedetă avem lmp lm ş ( lm lm P P k lmk k Cosecţă Spaţl eclda R este spaţ metrc complet ma precs spaţ Hlbert Covergeţa e ser merce Fe ( şr de mere reale Epresa se meşte sere eocamdată ea are ses căc ştm să adăm o tate de mere Ptem îsă calcla smele te: s s M s M Obţem astel şrl ( s al smelor parţale acă acest şr este coverget ş s s atc spem că sera este covergetă (cov ş are sma s Î ca cotrar sera este dvergetă (dv ş calcll sme are ses Eemple R q q q K q K q (sera geometrcă de raţe q 5

10 6 Petr q < < q dacă q dacă q q q q q q s K Petr q şrl are lmtă Petr ( s s q Î cocle sera geometrcă este cov q < q K K (sera armocă Avem ( > > > k s K K de este amt măr atral ( k edcem de ac că ş pr rmare sera armocă este dv s α > α α α c (sera l Rema * acă atc α> ( ( M s < < < α α α α α α α α α α α α α α K K K Şrl ( este crescător ş mărgt dec coverget s acă atc < α s Î cocle sera Rema (sera armocă geeralată α α > α dacã dv cov este K K!!!!! (sera mărl "e" Fe!!! s K Trecâd la lmtă dpă î tegraltatea > > k k!!!!!!! K K K K * GFB Rema ( dsts matematca germa

11 valablă petr k < obţem s k N e k Pe de altă parte s Trecâd la lmtă î cele doă egaltăţ obţem e lms dec e K K!!! Observaţe Natra e ser (aptl că este covsa dv rămâe aceeaş char dacă se modcă măr t de terme a e e eempl sera K provetă d sera geometrcă c raţa q tot cov este Evdet că sma e este alta e asemeea amplcarea termelor e ser c o costată elă aecteaă atra sere O codţe ecesară de covergeţă a sere este Îtr-adevăr dacă s s atc s s s s acă / ptem arma c certtde că sera K K este dv deoarece este dv Astel sera acă îsă reltă că sera este cov Sera armocă este dv deş Teoremă (Crterl geeral al l Cach petr ser ε > ( ε Sera este covergetă astel îcât > ş p să avem K < ε p emostraţa reltă d aceea că şrl ( ( ε aşa că ş p s ε > > Ser c terme potv s este cov ( s p < ε s este şr Cach O sere c toţ terme strct potv îcepâd c amt rag se spe că este o sere c terme potv Petr o astel de sere şrl ( s al smelor parţale este crescător dec tde către Pr rmare o sere c terme potv este covergetă dacă ş ma dacă şrl ( s este mărgt (crterl mootoe Crter de comparaţe acă < v N (evetal îcepâd c amt rag atc v cov cov 7

12 dv v dv emostraţe Fe v v s k vk v N reltă că şrl ( s este mărgt dec cov reltă pr redcere la absrd Cosecţă (Crter practc de covergeţă Fe serle v c terme potv ş lm λ ( λ Atc serle ş v a aceeaş atră v emostraţe Avâd loc dbla egaltate λ < < λ îcepâd c amt rag v cm v > reltă ( λ v < < ( λ v Armaţa reltă acm c crterl precedet Eempl Sera l este dvergetă avâd aceeaş atră c sera armocă l deoarece lm lm lm l v Crterl l d'alembert * (al raportl Fe ş λ lm cov dacă λ < Atc sera este dv dacă λ > emostraţe Fe λ < Estă q < ş rag N de la care îcepâd ( N q Petr smplcare vom prespe că egaltatea are loc q q q N ş deoarece sera q este cov aplcâd crterl de comparaţe reltă că este cov Fe λ > Estă q > ş N astel îcât dacă N q > * 'Alembert Jea le Rod (77 78 loo ş matematca race 8

13 Prespâd ca ş îate că N avem q q dar sera q este dv dec ş este dv Eempl Sera! este cov deoarece λ lm lm Crterl l Cach (al rădăc Fe (! lm <! ş λ lm cov dacă λ < este dv dacă λ > emostraţe Fe λ < ş q < astel ca îcepâd c amt rag q adcă q Covergeţa sere reltă c crterl de comparaţe Cal λ < se trateaă aalog Atc sera Eempl Sera este dv deoarece λ lm lm > Observaţ Valoarea λ ce apare î eţrle ltmelor doă crter este aceeaş avâd î vedere că lm lm alegerea crterl d sgerată de orma l Î cal î care λ cele doă crter decd atra sere e aceea vom tla alt crter ş ame: Crterl l Raabe ş hamel (8 859 Fe ş λ lm ( Atc N cov dacă λ > este dv dacă λ < emostraţe Fe λ > Estă q α α> ş N (care poate lat aşa ca petr să avem ( > α ( egaltăţle > α reltă că şrl ( ş cm > estă l lm Pe de altă parte [ ( ] K ( K l Coorm crterl de comparaţe reltă că este cov 9

14 Fe λ < ş N ( astel îcât petr N ( < < ( reltă că şrl ( dec < adcă ar sera este dv dec este dv Eempl Fe sera! ( α ( α K( α c α > Avem ş crterl raportl e poate lămr ar α α λ lm ( lm ( α < ec sera dată cov dacã λ > este Petr α se obţe dv λ < care este dv ăm ără demostraţe l Crterl logartmc acă > ş λ lm atc sera l Eempl Petr sera cov dacă λ > este dv dacă λ < a l b c d e l l l λ lm lm l l avem b a a l b l lm lm l cl d cl d a Se dedce de ac că sera dată este cov dacă c ş > d 5 Ser c terme oarecare eţe Se meşte sere alterată o sere de orma ( K Crterl l Leb * acă ( cov emostraţe Să observăm că şrl s deoarece N de ş atc sera este ( * GW Leb (66 76 matematca ş loo germa

15 Pe de altă parte el este mărgt: ( s s s ( ( ( s s Fe s lm s s s reltă că sera ( este cov Eempl Sera armocă alterată: K ( K este cov Observaţe Crterl l Leb este ca partclar al crterl l Abel: dacă ar şrl smelor parţale ale sere α este mărgt atc sera α este ( ş { } covergetă Îtr-adevăr î cal ostr α s eţe O sere este absolt covergetă dacă sera este covergetă Eempl Sera K este absolt covergetă deoarece sera modlelor e!!! 5! 6! este covergetă K K e!!! Teoremă O sere absolt covergetă este covergetă emostraţe Sera d covergetă coorm crterl geeral al l Cach ( ε > ε astel îcât > ş p să avem ar p < ε K p K < ε dec este cov p Eempl Sera s α sα s α K Kc α R este o sere c terme oarecare s α Sera modlelor e este o sere c terme potv care comparată c sera l Rema reltă cov Sera dată d absolt cov este cov α R Fe v doă ser Pr deţe sera smă este ( v v ( v v ( v v v ş sera prods sera Propoţe acă serle ş atc α β R sera ( α β v este covergetă ş are sma α β v v st covergete avâd smele respectv v Aceasta reltă medat d propretăţle şrrlor de sme parţale

16 cov: Eempl Sera este sma a doă ser geometrce [7 ( ] 5 6 ş 5 5 dec ea este covergetă ş are sma ăm ără demostraţe rmătoarea Teoremă acă serle ş 9 v v st absolt covergete avâd smele respectv v atc sera prods este absolt covergetă ş are sma v Eercţ ( Pord de la deţe să se arate că lm Să se determe ragrle ( de la care îcepâd toţ terme şrl ε c ma pţ de Să se arate că petr a < ş k N avem lm k a Să se arate că dacă ş este şr mărgt atc 5 Să se calclee lmtele şrrlor: a c ( ( 9 s! ( 5 5 e s cos g k k b d deră de ( ( ( K K 6 Să se determe λ ş μ c codţa ca lm λ μ λ ϕ ϕ ϕ h cos cos Kcos 7 Să se arate că rmătoarele şrr st covergete ş să l se determe lmta; a b (! R: λ μ R: K 7 ( ( R:

17 c a a a K a > R : 8 Să se calclee lmtele rmătoarelor şrr: a b! (! (! ( ( p K (! c ( d ( ( K( 9 Folosd lema l Stol să se calclee K a lm R: 6 p p p b lm p N R: p p Să se stdee atra rmătoarelor şrr olosd crterl geeral al l Cach a K R: dv 7 b K 6 R: dv c K R: cov d 5 K R: cov ( K Să se calclee î R lm ( ( Să se calclee: 5 a R: 8 b ( ( ( g h ( 5 c R: 7 6 d R: ( j! e l R: l k!

18 l R: l ( l arctg π Ştd că să se calclee 6 ( Care d rmătoarele ser îdeplesc codţa ecesară de covergeţă? a ; b e l ; ( ( e c ; d ( l l e 5 Folosd crter de comparaţe să se stdee atra serlor: a a b ( d a > a a K a b p p π s e ch c l 6 Aplcâd crterl rădăc să se stablească atra serlor: K a a c cos ( b! d ( ( 6 5 ο de σ e 7 Aplcâd crterl raportl să se arate că rmătoarele ser st covergete: p a l (! a! c a < e b c!! 8 a a d a > (se dedce de ac că lm petr a >!! 8 C crterl Raabe-hamel să se stdee atra serlor: a( a d ( a ( d 7 K 5 a abd > b b b d K b d 8 K 5 c ( K [ ( ] ( ( ( [ ( ] 5K 6K p ( ( q d ( k k λ ( λ K( λ ( λ ( λ K( λ

19 II FUNCŢII CONTINUE Lmta e cţ îtr- pct Fe spaţle ecldee X R Y R m ş cţa : E X Y Noţea de lmtă a cţe îtr- pct P este legată de apt de comportarea l îtr-o vecătate a l P pctl P ptâd să aparţă l E Totş este ecesar să este pcte d E orcât de apropate de P pă cm am văt dacă P este pct de acmlare petr E atc estă cel pţ şr ( P de pcte d E c P P coverget către P (propoţa 8 capii eţa ( c şrr Fe P E Y Spem că l este lmta cţe î pctl P (ş screm l lm ( P dacă orcare ar şrl P P ( P de pcte d E c P P ş P P şrl valorlor cţe ( P l Eemple X R Y R lm ( ( ( lm ( ( lm ( / lm ( Fcţa : {( } R ( R are lmtă î orge deoarece dacă P este şr de pcte de pe dreapta de ecaţe k care coverge către orge de eempl k P atc şrl de valor ( P N k k k de pata drepte Î schmb cţa are lmtă î orce pct k tde către măr depedet P ( dert de orge Îtr-adevăr dacă ( P este şr oarecare coverget către P atc cm P ( P ( este echvalet c ş avem ( P ( ( ( P dec lm ( P ( P petr P P P 5

20 l Teoremă l lm ( P orcare ar vecătatea V a l l estă o vecătate U a P P ( V P astel îcât U I E \{ P } emostraţe Fe l lm ( P Să ecestate P P prespem pr absrd că o vecătate V a l l astel îcât orcare ar vecătatea U a l P estă cel pţ pct d U I E a căr mage pr este î { P } V ( estă P S ( P E { } Î partclar petr orce seră ( P V Am obţt astel şr ( d l ( P P lm P P S P I aşa ca P P de elemete d E c P P P P (căc < N petr care ( P / l ceea ce cotrace aptl că ( P Fe V o vecătate oarecare a l l ş U vecătate a l P astel îcât sceţ ( { } U E P V acă P P P E P P U astel îcât P U îdată ce > ( P ( U I E { P } V petr > reltă că ( P l î Y dec l lm ( P P P atc ( Coorm aceste teoreme lmta e cţ îtr- pct poate dată de eţa ( c vecătăţ l lm ( P dacă orcare ar vecătatea V a l l P P estă o vecătate U a l P astel îcât orcare ar P U E c P P să avem ( P V m Avâd î vedere că î spaţle metrce R ş R vecătăţle pot cosderate sere ptem la V S ε ( l resp V Sη ( P Obţem astel o deţe echvaletă c celelalte doă eţa ( c ε ş η Spem că l lm ( P dacă orcare ar ε > η( ε P P astel îcât P E P P c d ( P P < η să avem d ( ( P l < ε Î partclar dacă: X R Y R atc pr deţe l lm ( P dacă > η( ε astel îcât d ( P P η P P ( P ( P < ε < P P 6

21 X R Y R atc lm ( l dacă ε > η( ε astel îcât < η < η ( l < ε X Y R atc l lm ( dacă ε > η( ε astel îcât ( l < < η ε acă ( m st compoetele scalare ale cţe vectorale : E R ş m ( l l K R l l m atc are loc Propoţa l lm ( P l lm ( P m P P P P Îtr-adevăr aceasta reltă d aceea că dacă ( P atc P P l ( P M l M ( P l m m ( P l m Observaţe Petr o cţe reală : E R R oţea de lmtă se poate etde ca ş la cţle de o sgră varablă la cal câd a d varable sa char toate td la t ( ± sa câd lmta este tă e eempl l lm (P dacă b > η( b aşa ca P E P P c ( P P Cottate ( P P < η ( P b d > m Fe X R Y R : E X Y ş P E eţa ( c şrr Spem că cţa este cotă î P de pcte d E c P şrl valorlor P Eempl X Y R R este cotă î P Observaţa acă P E E lm ( P ( P P P P ( P ( I atc cot Î acest ca deţa este echvaletă c: eţa ( c vecătăţ Fcţa este cotă î ( V a l P estă o vecătate U a l astel îcât P P R m dacă orcare ar şrl P dacă orcare ar vecătatea U I E V P ( P dacă ε > η( ε ( P P < η d( ( P ( P < ε eţa ( c ε ş η Fcţa este cotă î îcât dacă P E ş d atc astel 7

22 Observaţa O cţe este cotă î orce pct olat al domel e de deţe Îtr-adevăr dacă P este pct olat ( P E P E atc estă o vecătate U a l P aşa ca U E { P } Fe acm ( P şr oarecare de pcte d E c P Estă atc rag adcă P P ( U astel îcât Reltă de ac că ( P ( P ( P ( P P U petr > îdată ce > pr rmare P (ca şr costat ş cot P pă cm se vede gracl cţe : E R R este îtrerpt î dreptl pctl P deş cţa este cotă î acest pct olat Propoţa Fcţa este cotă î P compoetele e scalare ( m st cote î P ( P ( P Îtr-adevăr dacă P P deoarece ( P M ş ( P reltă că ( M m P m ( P ( P ( P ( P ( P m P : E X Y g : Y Z R P ( P g o P Propoţa Fe acă este cotă î ş g este cotă î atc cţa este cotă î Aceasta reltă d aceea că cotp ( g cot P P P P P g P ( ( ( ( g( ( P ( g o ( P ( g o ( P Petr cţle reale de ma mlte varable vom meţoa rmătoarele doă propretăţ coscte de la cţle de o sgră varablă R R P ( Propoţa Fe cţa : E cotă î P E acă ( P atc estă o vecătate U a l î care P are acelaş sem c ( P emostraţe cottatea l î P reltă că ε > η( ε astel îcât dacă P E ş d ( P P < η atc ( P ε < ( P < ( P ε acă ( P > atc ptem alege ε aşa ca < ε < ( P Astel petr P S η ( P I E U avem < ( P acă ( P < atc vom la ε < ( P ş petr P U vom avea ( P < ( P ε < c o 8

23 R R P Propoţa acă cţle g : E st cote î atc cţle g g ( g( P st cote î P g eţe Fcţa î orce pct P E : E X Y se spe că este cotă pe E dacă este cotă Observaţe Petr astel de cţ are loc propretatea că dacă o sbmlţme este coeă atc (A este coeă Cottate ormă eţe Spem că cţa este orm cotă pe E dacă ε > η( ε P P E c d ( P P < η să avem d ( ( P ( P < ε A E Cottatea ormă este o propretate a cţlor pe o mlţme m Fe X R Y R ş : E X Y astel îcât Observaţ acă este orm cotă pe E atc este cotă pe E Îtr-adevăr -avem decât să pem î deţa de ss P P P P de P este pct oarecare d E ş obţem cottatea l î P Recproca este adevărată dpă cm se va vedea d eempll Se spe că cţa este lpschtaă * pe E dacă k > astel îcât d ( ( P ( P k d( P P P P E O cţe lpschtaă pe E este orm cotă pe E deoarece ptem avea ε d ( ( P ( P < ε îdată ce d ( P P < η k O cţe este orm cotă pe E dacă ε astel îcât η > să este Pη Pη E c d ( P η P η < η dar petr care d ( P η P η ε Î aplcaţ lâd η petr a arăta că este orm cotă pe E este scet a arăta că ε > astel îcât N P P E c d ( P P < ş aşa ca d ( ( P ( P ε Î cal î care X Y R deţa cottăţ orme a orma: cţa este orm cotă pe E dacă ε > η ε astel îcât : E R R ( E c < η să avem ( ( < ε * ROS Lpscht (8-9 matematca germa 9

24 Geometrc magea orcăr sbterval de lgme ma mcă decât η este clsă îtr- terval de lgme ma mcă decât ε Eemple Fcţa ( este orm cotă pe ( deoarece petr ( ε ( ( ( ( ( < ε îdată ce < η Fcţa ( este orm cotă pe ( deoarece ε astel îcât petr N estă ( ş ame aşa ca < ar ( ( Fcţa ( este orm cotă pe ( ( 5 lpschtaă c k 97 Îtr-adevăr dacă R deoarece este atc cm P ( P( ( ( ( P ş ( P d < avem ( ( P ( P ( ( ( 97 d ( P P 97 ( Observaţe O cţe reală de doă varable este lpschtaă pe E dacă k astel îcât ( ş ( E să avem ( k k ( Î geeral o cţe reală de varable este lpschtaă pe E dacă k astel îcât ( K ( K < k > k > Fcţ lpschtee î raport c o parte d varable apar î teoremele de estetă ş ctate (Cach-Lpscht d teora ecaţlor dereţale

25 Eercţ s Să se arate că lm Să se calclee apo Să se calclee: a lm ± tg s b lm π l tg a c lm s b s lm R: π π R: ; - R: R: a b l Să se arate că lm Folosd acest reltat să se calclee α e l lm l Să se arate că lm α Folosd aceasta să se calclee lm 5 Petr ce valor α [ π] cţa e s α s α [ e ( l ( ] 6 Să se deseee gracl cţe ( lm 7 Pe baa deţe să se arate că lm R : Se arată că ε > η( ε R: cos R: este cotă î? astel îcât < η ş < η să mplce < ε Avem < η < η ş îdată ce < η < < < η < 5 5 6ε

26 ( ( < ε η η η < 8 Să se calclee: ( ( cos lm R: 9 Să se arate că dacă ş cţa ( ( are lmtă R: Se poate alege şr ( P de pcte de pe prma bsectoare ş altl ( de pe parabola de ecaţe P Să se arate că cţa ( ( are lmtă î orge deş lmtele e terate st egale ( ( lm lm lm lm Să se găsească pctele de dscottate ale cţlor: a tg ( {} ( k k π : R U ( b R: Pctele hperbole echlatere Să se stdee cottatea cţlor: ( dacă a R :cotă pe { } \ R ( ( > dacă b R: cotă pe domel de deţe ( dacă c R : e cotă î (

27 ervata III ERIVATA UNEI FUNCŢII E O SINGURĂ VARIABILĂ Fe cţa este dervablă î : I R R I d terval deschs (dome d R Spem că I dacă estă ş este tă lmta ( Lmta de ss se meşte dervata cţe î ( I ( ( lm ş este măr pct de vedere geometrc ( repretă pata tagete M T la crba de ecaţe ( î pctal M ( ( dec ( tg α Spem că cţa este dervablă pe I dacă este dervablă î orce pct I Î acest ca aplcaţa : I R dată de se meşte dervata cţe Se deeşte dervata de ordl a cţe pr ormla ( ( de ( dacă cţa ( este la râdl e dervablă pe I acă admte dervate pâă la ordl cote pe I atc spem că este de clasă ( C I ş screm C ( I acă ş g st de or dervable pe I atc cţle dervable pe I ş ( g ( ( g ( dec ( ( ( Eempl Să se calclee ( h dacă h ( ( ch Solţe Notâd ( K g g st de or k k k ( g C g (ormla l Leb ( ch g ( avem ( sh g ( ( ch g ( 6 ( sh petr mpar g ( 6 ( ch petr par Aplcâd ormla l Leb avem h g petr ( ( ( ( ( 99 g C g C g C ( 98 g C ( 97 g

28 h ( 99 ( ( ch ( sh 6 ( 97 ch ( 97 ch ereţala Fe ch 6 sh : I R Se meşte dereţă de ordl I a cţe varaţa Δ h h md-se pas Notaţa completă este Δ ( h dec Δ ( ( ( ( ereţa de ordl do a l este dereţa de ordl îtâ a cţe g Δ h ( Δ g ( h g ( ( h ( h ( Δ Pr dcţe se deeşte dereţa de ordl Δ Δ ( Δ [ ] ş are loc ormla Δ ( C ( k h k Fe cţa dervablă î reltă că estă o cţe ( h α câd h sa o cţe c ( h ω ( h k k I ş Δ h Δ h h lm h α astel îcât ( ( h α ( h ( ω ( aşa ca Δ ( h ( h h ω ş câd h h Δ ( h ω( h ω( h eoarece lm lm lm h ( h h ( h ( h petr h scet de mc are loc apromarea h ( ( ( h ( care este oarte tlă î calcll creşter cţe Î loc să calclăm valorle l î ş h este ma smpl de eectat prodsl ( h care este o cţe lară de h eţe ereţala cţe î este cţa lară (de h detă pe R h ( h otată c d ( : d ( ( h ( h d este o dreaptă ce Gracl cţe lare ( trece pr orge de pată tg ϕ ( pct de vedere geometrc MN Δ NT NM tg ϕ h d ( ( ( h

29 Relaţa de apromaţe ( h ( d ( ( h eprmă aptl că segmetl TM poate ăct orcât de mc dacă se a creşterea h scet de mcă Eempl C cât creşte ara cerc de raă 985 m dacă mărm raa c m? Solţe Ara cercl este A π r Avem A π r r 985 h r r dec h π r h π m Δ A d A A ( r acă cţa este dervablă pe I atc d ( ( h ( h I Î cal aplcaţe detce g ( avem g ( ş d g ( ( h d ( h h I ş h R Astel ormla de ss se obşeşte a scrsă sb orma d ( ( d a scre varablele î prml membr ( d d e ac reltă otaţa l Leb petr dervata l ( Reglle de dereţere decrg d cele de dervare ş st: d g d d ( g d ( g gd dg sa omţâd gd dg d g g d ( g o g ( d Ultma reltă d aceea că d ( g o ( ( g o ( d g ( ( ( d g ( d ( I Ea pe î evdeţă propretatea dereţale de varaţă a orme dereţale ş ame aptl că regla de dereţere a cţe compse e aceeaş ca ş câd ar varablă depedetă ereţale de ord speror ereţala de ordl do a cţe î I se deeşte pr ormla ( ( h ( h d dacă este de doă or dervablă î Î mod aalog dacă este de or dervablă î d d atc dereţala de ordl a l î este ( ( ( d h ( h ş dpă cm se poate observa este polom de gradl î h acă este de or dervablă pe I atc ptem scre ( d ( d de d ( d h Reese de ac otaţa dereţală petr dervata d ( ( d Observaţ La ormlele ce deesc dereţalele de ord speror se poate ajge dereţd sccesv dereţala de ordl îtâ ca cţe de 5

30 Îtr-adevăr deoarece h d depedet de î procesl de dereţere se comportă ca o costată avem d ( d d ( ( h d ( ( h ( h d etc Î dverse probleme practce dereţala de ordl ş dereţa de ordl se apromeaă a pe alta Î cal e cţ date tabelar se ace apromarea la ervarea mercă Formla l Talor ( Δ ( (ve eempll de Δ Fd dat poloml de gradl P ( a a a a L e propem să-l devoltăm dpă pterle l de este o valoare partclară a l Aceasta îseamă să determăm coeceţ A astel ca ( A ( A ( P ( A A L ervâd sccesv avem: P ( A A A L A P ( A M P ( ( ( A ( A ( L ( A ( ( ( ( ( K A Făcâd obţem ( ( ( ( P A P A P! A K P (! A de de ( ( ( ( A P A P A P K A P (!!! ( ( ş P( P ( P ( P ( P ( L (!!! mtă ormla l Talor * petr poloame Petr o cţe oarecare de or dervablă pe terval I se poate scre poloml T( ( ( L! (! ( mt poloml l Talor de grad corespător cţe î I Este evdet că î geeral ( T ( Fcţa ( ( T ( R ( se meşte restl de ordl al poloml l Talor Se obţe astel ormla R c propretatea * B Talor (685 7 matematca egle 6

31 ( ( ( R ( ( ( ( L!! mtă ormla l Talor Observaţe Fcţle ş T a î cotact de ordl adcă atât cele doă cţ cât ş dervatele lor pâă la ordl st egale î k k T ( ( ( ( k * Teorema ce rmeaă dă restl R sb orma l Lagrage Teorema (Talor acă este de or dervablă pe tervall I atc orcare ar pctele I estă c ( astel îcât ( ( ( ( ( ( ( ( :!! L c (! emostraţe Vom determa mărl M astel îcât restl să abă orma ( ( M R Formla l Talor va deve atc ( ( ( L!! Să cosderăm pe I rmătoarea cţe dervablă t ϕ( t ( t ( t L! ş să observăm că ( ( ϕ( ( estă ( c ( ( ( ( M ( t ( ( t ( t M ϕ Coorm teoreme l Rolle ** t astel îcât ϕ c ar ϕ ( t ( t! ( c! ( pr rmare ( ( c ( ( c M ş Observaţ R ( R ( ( ( ( câd! ( ( c deoarece! ( de de M lm R ( ( ( ( ( t M lm ( ( c! ( ( M e aceea ăcâd apromarea ( T ( pe tervall cosderat eroarea comsă î acest ca este ma mcă decât sp R ( I * Î cal partclar se obţe ormla l MacLar * JL Lagrage (76 8 amos matematca race ** M Rolle(65 79 matematca race a ost prml care ş-a demostrat teorema dar ma petr poloame 7

32 8 ( ( ( ( c! (! (! ( ( L c ( c Făcâd otaţa ormla l Talor poate scrsă ş sb orma h ( ( ( ( ( ( ( ( h! h! h! h h θ L de < θ < sa smbolc c ajtorl dereţalelor ( ( ( ( ( ( c d! d! d! L de ( c Î partclar ormla l Mac Lar a orma ( ( c d! ( d! ( d! ( ( L c ( c Eemple Fe Atc ( l ( ( ( ( ( ( ( M M ( ( ( ( (! ( ( (! ( ( ( ( (! ( ( ( (! c c C ormla l Mac Lar avem ( ( ( ( ( (!!!!!!!!!! l c L adcă ( ( ( ( l c L c ( c ( c e e!!!! L c ( c *** KMac Lar ( matematca scoţa

33 6 7 cos M c M!! 6! 7! s M c M! 5! 7! 8! Aplcaţ ale ormle l Talor Calcll apromatv Eemple Să se calclee c apromaţe Solţe Fe ( ş 7 ( ( ( ( Folosd ormla l Talor ( R ( î care!! ( ( ( ( 5 ( 5 ( 8 ( 8 ( c c 7 < c < găsm petr 7!! ( 5 5 c eroarea R ( ( c < 5!! c C ce eroare apromeaă poloml l Talor de gradl cţa ( s pe <? Solţe Avem s R ( s c eroarea!! R ( s c! < 6! 9

34 T! ( T ( A se observa cât st de apropate gracele celor doă cţ pe tervall Π partclar s 655 c eroarea ma mcă decât 6 7 Covetatea ş cocavtatea e cţ Î O cţe dervablă pe I este coveă sa cocavă pe I dpă cm tageta î orce pct al gracl e se ală sb sa deaspra gracl U pct î care cţa îş schmbă cocavtatea se meşte pct de lee eoarece ecaţa tagete M T este ( ( ( poţa tagete aţă de grac este dată de seml eprese E ( ( ( ( ( îtr-o vecătate a l ş ame este coveă dacă E > ş este cocavă dacă E < acă este de or dervablă pe I ş atc c ormla l Talor avem de de reltă că atc câd ( ( ( ( ( L ( ( ( ( ( E ( c! ( ( ( ( coveă dacă > par este cocavă dacă < mpar este pct de lee Codţ scete de etrem Pctl este pct de mam sa de mm petr dpă cm T epresa E ( ( este < sa T > îtr-o vecătate a l Se şte d teorema l Fermat * că * P Fermat (6 665 matematca race

35 pctele de etrem ale l se găsesc prtre rădăcle dervate Să prespem că este de or dervablă pe I ş că L ( ( ( ( ( ( ( ( C ormla l Talor E are epresa de ss eprese care meţe sem costat ma petr par Î acest ca Eempl Fe ( este e pct de Avem mam daca mm daca ( ( ( ( < > ( ( e ( ( 6 6 e ( ( e Rădăcle ecaţe ( st eoarece ( ( reltă că este pct de lee > reltă că este pct de mm ( ( ( are ş rădăcle Ecaţa pcte de lee Rdcarea edetermărlor petr care ( ± ( l Eempl Să se calclee l lm Solţe eoarece l( M M avem l lm s ( ( M ( s dec ş acestea st ( M! ervarea mercă Fe cţa : a b de clasă ( dacă este dată tabelar atc ea poate apromată pe [ b a ] [ ] R C c polom de terpolare Aplcâd ormla l Talor avem ( pata l AB h! h! h! ( h ( ( ( ( ξ h! ( h ( ( ( ( η h! c ξ [ h] η [ h ] ( h ( h ( ( h de de h ( h ( ( h h h! [ ( ξ ( η ] h 6 [ ( ξ ( η ]

36 Î potea că ( M apromărle ( petr [ ab] erorle absolte ε ş ε care se ac î ( ( h ( h h Δ h ( h ( ( h h Δ h h Mh Mh admt evalărle: ε M ε 6 Î acest el se pot calcla dervatele e cţ date tablar î pcte echdstate Eempl acă mşcarea mobl este dată î prmele doă coloae ale tabell alătrat atc d s d s avâd î vedere că pasl h Δt vtea v ş acceleraţa a pot ş ele determate d t d t tabelar dpă cm se observă î ltmele doă coloae T s Δs Δ s Δ s v Δ s a Δt Δt Eercţ Petr a costr tageta îtr- pct M al lăţşorl a ch se oloseşte rmătoarea metodă: Pe semcercl α de dametr MN de N este proecţa l M pe aa O se dce coarda PNa Să se demostree jsteţea e Să se calclee dacă ( a a a ( a petr a b ( Să se arate că > ( ( dpă ce î prealabl a ost logartmat (

37 atc a dacă ( a b e d d ; d d cos π b ( ( N s c Să se calclee cos ( d ( d a d ( ( h dacă ( ( ( ( b d dacă c d dacă R :! h e d ( ( d ( dacă e 5 Folosd dereţala să se calclee c apromaţe a varaţa cţe cos cos câd varaă de la π π la b ( 7 ( Folosd ormla l Talor să se scre cţa ( ( dpă pterle l 8 7 Să se scre prm tre terme a devoltăr cţe ( ş să se calclee c apromaţe ( 5 8 Să se calclee eroarea î apromărle a petr 8 b e!!! 9 Folosd ormla l Talor a să se determe a ş b astel îcât lm R : 69 R : 55 dpă pterle l ( a b cos 5 ( e R : eroarã R : < 5! l s să e tă 6 b să se calclee lm e Să se determe pctele de etrem ale cţe R N R : par mpar - pct de mm pct de mam pct de mm

38 IV ERIVATELE PARŢIALE ALE UNEI FUNCŢII REALE E MAI MULTE VARIABILE Cottate ş dervabltate parţală Fe : R R d o mlţme deschsă ş P ( Fe ş { ( } { ( } Fcţle ϕ : R ϕ( ( ψ : R ψ ( ( st cţ de o sgră varablă eţe Spem că cţa este parţal cotă î raport c varabla î cţa ϕ este cotă î Propoţe acă este cotă î varablele sale î P emostraţe Cottatea l î < η < η Făcâd ( ( < ε Fcţa este parţal cotă î raport c î dacă cţa ψ este cotă î P dacă pct de vedere geometrc repretă pla paralel c plal O Acesta tae spraaţa de ecaţe ( dpă crba C Î plal ecaţa crbe C este ( ϕ( ec cottatea parţală a l î raport c varabla î îseamă cottatea crbe C î P ( ( M P atc este cotă î raport c toate P îseamă ε > η( ε astel îcât observăm că < η ( ( < ε dec cottatea l ϕ î c ϕ ϕ( ( < ε P

39 Aalog ăcâd obţem cottatea l ψ î Recproca este î geeral adevărată dpă cm se va ptea vedea d rmătorl ( ( Eempl Fcţa ( dacă este cotă î orge eavâd lmtă î acest pct ar ϕ ( ( ( ϕ ( ψ ( ( ( ψ ( eţe Spem că cţa este parţal dervablă î raport c varabla î dacă cţa ϕ este dervablă î ervata parţală a l î raport c î ( P Avem dec ( P P este ϕ ( ş se oteaă ( sa ( ( lm Î mod aalog se deeşte dervata parţală a l î raport c î P ( P Geometrc ( P ϕ ( repretă pata tagete M T î M ( ( la crba C d plal P tg Aalog P tg β ec ( α P ( eţe Fcţa este dervablă parţal î raport c varabla pe domel dacă este dervablă î raport c î orce pct P Î acest ca aplcaţa : R dată de P se meşte dervata parţală a l î raport c Aalog se deeşte dervata parţală a l î raport c Fcţle st la râdl lor cţ de doă varable Eempl Fcţa cos ( ( P P s are dervatele parţale s cos Observaţe Este evdet că dervabltatea parţală mplcă cottatea parţală Următoarea teoremă dă codţ scete de cottate globală Teoremă acă cţa : R R vecătate V a pctl atc este cotă î P P are dervate parţale mărgte îtr-o P 5

40 emostraţe Fe M real astel îcât ( P ( P M P Aplcâd de doă or ormla l Lagrage reltă esteţa a doă pcte ξ η astel îcât ( ( ( P ( P ( ( ( ( ( ( ( ξ ( ( η( M ( P ( P ( evdet că atc câd P ( P ş dec este cotă î P Cosecţă acă cţle ş st mărgte pe atc cţa este cotă pe Observaţe eţle ca ş reltatele d acest paragra se etd c şrţă petr cţ c ma mlt de doă varable ervate parţale de ord speror ervatele parţale de ordl do ale cţe se deesc astel: ( ( ( ( dacă ele estă Se pot cosdera ş dervate parţale de ord ma mare decât do e eempl ( care se ma poate ota ş Î geeral dervatele mte ş st egale Următoarea teoremă dă codţ scete ca ele să e egale Teoremă (HASchwar acă cţa admte îtr-o vecătate a pctl dervate mte de ordl do cote î atc emostraţe Fe epresa E P ( P ( P ( ( ( ( ş cţa alară ϕ ( ( ( Avem E ϕ ( ϕ( ϕ ( ξ ( [ ( ξ ( ξ ]( ( ξ η ( ( ξ η de ( ( Aalog cosderăm cţa alară ψ ( ( ( Avem E ψ de ξ ( η ( ( ψ ( ψ ( η ( [ ( η ( η ]( ( ξ η ( ( P Este 6

41 Reltă ( ξ η ( ξ η de de pr trecere la lmtă câd P P ş ţâd seama de cottatea dervatelor mte î P obţem ( ( Cosecţă acă admte dervate mte cote pe atc ele st egale ervarea cţlor compse Teoremă Fe v : R ( v ( dete pe a b ( R v [ ] R Atc cţa compsă ( ( ( v( emostraţe Fe F c dervate parţale cote ş cţle dervable F este dervablă ş F v ( ( v ( [ a b] oarecare ( v( v ( ( ( v ( v ( v ( v Avem ( v ( v ( v ( v v v v v Trecâd la lmtă câd avem v v Ţâd seama ş de cottatea dervatelor parţale reltă F ( F( lm v v v v ( ( ( ( Eempl (Idettatea l Eler * O cţe ( m ( m R dacă m R ( ( t t K t t ( K t K se spe că este omogeă de grad Î potea că admte dervate parţale de ordl îtâ cote este valablă dettatea m Îtr-adevăr otâd c t ş dervâd î raport c t relaţa ( avem m m t Idettatea l Eler reltă acm ăcâd t ; î acest ca Cosecţă acă ( v ( v v( atc dervatele parţale ale cţe compse F ( ( ( v( st date de ormlele F v F v ( v v Observaţ * Leohard Eler (77 78 elveţa de orge mare matematca ca ş mecaca Membrl al Academe de Ştţe d Petersbrg 7

42 Petr calcll dervatelor parţale de ordl do ale l F va treb să avem î a ( v Aşa de eempl a v vedere că ( ( F v v v v v v Formlele ( se pot geerala petr cţ c ma mlt de doă varable ereţabltate Fe : R mlţme deschsă R eţe Fcţa este dereţablă î pctl P dacă estă o aplcaţe lară L : R R astel îcât K lm h aşa ca P h ( h h î L (h se meşte dereţala l î ( P h ( P h L( h P ş se oteaă d ( de h ( h h K P h este L d o aplcaţe lară de h are orma h h L( h h h K h ( K M h ed dervata cţe î P pr ( P ( K dereţala cţe P se scre ( P ( P h d Teorema acă este dereţablă î h atc este parţal dervablă î c toate varablele sale ş ( P P emostraţe Fe dereţablă î ( Kh avem h h ş L( h h h K lm h h lm Î cal partclar câd ( K h K ( K K ( K h K ( K K h h h P reltă î raport adcă ( P Observaţa Î cal cţlor de o sgră varablă dereţabltatea ş dervabltatea st oţ echvalete Îtr-adevăr dacă este dervablă î atc ( h ( ( h h 8

43 câd (ve capv dec este dereţablă î ş h ( ( h d Teorema arată că dereţabltatea î mplcă dervabltatea î ş că ( de de d ( ( h Observaţa Recproca teoreme este adevărată adcă orce cţe care admte dervate parţale este dereţablă ( ( Eempl Fe ( dacă Avem ( ( ( lm ( ( ( lm ( h h ( hh Pe de altă parte cţa h h h dpă cm am văt î dec este dereţablă î orge are lmtă câd ( h h ( Următoarea teoremă dă codţ scete ca o cţe să e dereţablă Teorema acă cţa admte dervate parţale î raport c toate varablele îtr-o vecătate a pctl cote î atc este dereţablă î P P P emostraţe Aplcâd de or ormla l Lagrage ş ţâd cot de cottatea î P reltă esteţa cţlor α ( P h ( c dervatelor parţale ( propretatea că lm α ( P h h ş astel ca ( P h ( P ( h h K h ( K ( h h K h ( h K h ( h K h ( K h ( K h ( K ( ξ h K h h ( ξ h K h h K ( ξ h K [ ( P α ( P h] h [ ( P α ( P h] h K [ ( P α ( P h] de de lm h KKK ( P h ( P L( h α h α h h L( h lm h lm h K α h ( α L α α h L α h h h 9

44 dec este dereţablă î P Cosecţă acă admte dervate parţale cote pe atc este dereţablă pe adcă dereţablă î P Î acest ca d ( P ( P h ( P h K Î partclar dacă ( ş reltă d h ( P h P K atc cm petr Astel d ( P ( P d ( P d L ( P d d Aplcaţa d dată de P d ( P P este dereţala cţe d d d L d ar dervata cţe dereţale este L ereţala l se ma poate pe sb orma d d d d L î care operatorl d d d d care dce î d se meşte operator dereţal Eempl Fe ( e ş P ( Atc d ( P e d e d e d ( P d d d sa ( P ( h h h h h h j j ar d d Propretăţ ale cţlor dereţable: acă cţle ş g a dervate parţale de ordl îtâ cote pe atc cţle g g ( g st dereţable pe ş g d d ( g ( g d g d d g gd dg gd dg g

45 ereţabltatea reltă c teorema precedetă ar ormlele rees d calcl drect e eempl d ( g ( g ( g g d g d g d gd dg acă este dereţablă atc cost d pe Este clar că cost d Recproc dacă d ( P ( P h L ( P h P atc petr h ( K h K c h ( reltă ( P h P de de pe Acesta îseamă că depde de ( ş dec cost acă este dereţablă atc este cotă Îtr-adevăr e P ω( P h ( P ( P L ( h ω( P h c reltă că atc câd h h P P h ş cm L este cţe lară de h L( h h ş dec ( P ( P Δ ( P ( P d ( ω( P h h Varaţa cţe P deoarece câd Aplcaţe Îălţmea co este h cm raa bae r cm Să se stdee varaţa volml col dacă mărm h c mm ş mcşorăm r c mm Solţe Avem V π r h d h cm d r cm ş V V r π π ΔV d V d h d r π d h rh d r r h r π ( π cm Volml scade c π cm apt gre de băt de la îcept ereţale de ord speror O cţe : R R ( L spe că este de clasă C p ş se scre C ( ( r d h h d r care admte dervate parţale de ordl p cote pe se p Fe C ş P Am văt că dereţala de ordl îtâ a l î P este aplcaţa lară d ( ( P : R R d ( P ( h ( P h

46 Forma pătratcă ( P : R R d d j j ( P ( h ( P h h j se meşte dereţala a II-a a l î P p Î mod asemăător dacă C ( se deeşte dereţala de ordl p a l î p ca d aplcaţa ( P : R R dată de ormla d p d rdcarea la ptere d smbolcă Eempl Fe ş P ( ( p P ( h h h K h ( P ( ( Avem d d d d ( d d d d d d d 6 d dd 6 6 d Evdet că ptem scre ş d ( ( h h h h d ( d d d d ( ( h h h h h h d Observaţa Calcll dereţalelor de ord speror se poate ace ş pr dereţer sccesve olosd reglle de dereţere Vom doved aceasta petr p Î acest ca avem d ( d d h d h h j h j j j j h h j d Observaţa ereţala cţe compse F d F F d F d v d d d ( ( ( v ( ( v ( v v ( d d ( v d v d d dv Propretatea că d F d d F d dv d v se meşte propretatea de varaţă a orme Ea se ma păstreaă la dereţala de ordl do adcă d F d d v ( ( F d dv v v este d P

47 deoarece d F d ( df d ( d dv d d d v d v v ddv dv d d v ar d ş d v d dereţalele de ordl do ale or cţ (ş a or varable st totdeaa le Aşadar ( ( d F d d F d d v d v v Formla l Talor petr cţ de ma mlte varable Fe : R R mlţme deschsă ( Teoremă acă C atc orcare ar pctele P P estă pct * P ( P P astel îcât ( P ( P d ( P K d ( P d ( P!! (! emostraţa o vom ace î cal partclar câd k Fe dec ( ş P ( Fcţa compsă F ( t ( t ( t ( este evdet de ( or dervablă pe [ ] ş F ( ( F( ( Să- aplcăm ormla l MacLar Avem F ( t F ( d F ( K d F ( d F( θ c < θ <! (! ar petr cţa F ( t ( ( t v( t de t( ş v t ( avem df d (propretatea de varaţă a orme d F d d d v d v deoarece î cal de aţă d d v Aalog găsm d F d Făcâd acm t se obţe ( ( d ( K d ( d (!! (! de P ( este pct ce aparţe segmetl ( P P deoarece θ ( ş θ ( c θ ( Observaţ Î cal partclar î care se obţe ormla creşterlor te a l Lagrage petr cţ de ma mlte varable ş ame: P P d P h P P P P P P sa ( ( ( ( ( ( * Screrea ormle este smbolcă petr că ac d v v ( ( ( ( ( P k k P v

48 de ξ ( K ( K ( ξ K ξ ( k ( K ( ξ K ξ ( L ( ξ K ξ ( k k Formla l Talor poate olostă î calcll apromatv avâd î vedere că varaţa cţe Δ ( P ( P d ( P d ( P d ( P!!! Eemple Să se devolte cţa ( dpă pterle l ş Solţe Vom aplca ormla l Talor cţe reltă că d d de de k î P ( k ( P d ( P ş ( P ( P d ( P d d ( P d d ( P d d d! ( d ( P ( ( Să se calclee c apromaţe Solţe Vom cosdera cţa ( ( 5 ( ( P ( P d ( P d ( P de P (!! Avem P ( ş vom olos apromaţa / ( ( ( / d ( P d ( k k k

49 / ( 5 / ( 9 5/ ( 9 9 / 5/ ( ( 9 de de avâd î vedere că d - ş d 5 reltă d ( P d d! 9 ( ( 5 ( ( 5 Etremele cţlor de ma mlte varable Petr îcept vom cosdera cţa de doă varable Fe aşadar o mlţme deschsă ş : R eţe Pctl P se meşte pct de mam petr dacă estă o vecătate V a l P ( P ( P P V astel îcât ( P pct de mam P pct de mm 9 R Aalog se deeşte pctl de mm U pct de mam sa de mm se meşte pct de etrem Teoremă (Fermat acă admte dervate parţale de ordl îtâ îtro vecătate a pctl de etrem P atc aceasta se aleaă î P emostraţe acă P este pct de etrem petr atc este pct de etrem petr cţa de o sgră varablă ϕ ( ( ş dec coorm teoreme l Fermat ϕ ( adcă ( P Î mod aalog se arată că ( P eţe U pct P î care se aleaă toate dervatele parţale de ordl îtâ ale cţe se meşte pct staţoar ( sa pct crtc petr Pctele staţoare st dec solţ ale ssteml { pă cm am văt ma ss orce pct de etrem este pct staţoar ar orce pct staţoar este pct de etrem Următoarea teoremă depsteaă pctele de etrem d cele staţoare Teoremă Fe P pct staţoar petr cţa C ( ş mărl 5

50 Δ [ ] ( P ( P ( P ( P ( Atc dacă Δ P < atc P este pct de etrem ş ame mam dacă ( P < pct de mm dacă ( P > dacă Δ( P > atc P este pct de etrem emostraţe Folosd ormla l Talor avem ( P ( P d ( P d ( P de P ( P P Cm P este pct staţoar ş ( P ( P reltă d ( P Urmeaă că ( P ( P d ( P [ ( P h ( P h h ( P h ] Avâd î vedere cottatea dervatelor parţale de ordl do î P reltă ( P ( P [( ( P α h ( ( α ( ( α P h h P h ] d ( P ω( P h de ω( P h ec seml dereţe ( P ( P este h h h dat de d ( P h [ ( P ( P ( P ] care are sem costat h h h h ma dacă Δ( P < ş ame potv dacă ( P > ceea ce mplcă ( P ( P ş egatv dacă ( P < ceea ce mplcă ( P ( P acă Δ ( P > atc d ş egatv Se spe î acest ca că ( P P poate atât potv cât este pct şa l Solţe Pctele staţoare ale l Eempl Să se determe pctele de etrem ale cţe ( st solţle ssteml Obţem ş dec P ( P ( ervatele de ordl do ale calclate î cele doă pcte st: P P 6 6 6

51 > Δ( P ( 6< ( P 6 ( ( reltă că Δ P > reltă că P este pct de etrem Valoarea mmă a cţe este se dedce de ac că R m ( P este pct de mm d Observaţe Î cal cţlor c ma mlt de doă varable deţle ş teorema l Fermat rămâ valable Aşadar pctele de etrem ale cţe ( m st solţ (dar solţle ale ssteml: Petr a ala dacă pct staţoar ş î cal cţlor de doă varable Seml dereţe P este sa pct de etrem procedăm eact ca ( P ( este dat de seml dereţale de ordl do a l î P d ( P ( P j P j h h ( P ( P care este o ormă pătratcă ş care dacă este potv detă atc ş dec este pct de mm ar dacă este egatv detă atc j δ a j Notâd a ( P coorm teoreme l Slvester reltatl este rmătorl: dacă δ δ K δ > P pct de mm δ δ δ δ > P este pct de mam a a a ş δ K δ a a a ( dacă P pct de mam Eempl Să se determe etreml cţe Solţe Avem ( j ( Ka Ka Ssteml dă sgrl pct staţoar P petr care δ > δ > δ > dec P este pct de mm ş valoarea mmă a cţe este ( P 7

52 5 Metoda celor ma mc pătrate Fe o cţe dată tabelar eş epresa aaltcă a e este ecosctă se pe problema alăr char ş apromatve a valor e îtr- pct arbtrar Aceasta este problema terpolăr Metoda celor ma mc pătrate costă î determarea polom m P m ( a a am î geeral de grad m care să treacă eapărat pr pctele M ( dar care să apromee cel ma be cţa dată î sesl că sma pătratelor erorlor să e mmă epresa r Pm ( R r r r Î cal apromaţe lare ( m ( a a R a ş a este mmă dacă ( a a P ar d o cţe î varablele R ( a a a R ( a a a Se obţe evdet ssteml lar ( a a a a î ecosctele a ş a care dă solţa î mod c Î cal m apromaţa se meşte pătratcă poloml ( a este P a a ş epresa R ( a a a este mmă dacă R R a a ssteml R Eectâd calclele se obţe a ( 8

53 a ( a a a a a a a a care dă î mod c ecosctele a a a Petr cal geeral se procedeaă aalog Eempl Petr a scre apromaţa lară a cţe date pe coloaele ş ormăm coloaele ş sma Formăm ssteml 8 a 56 a 56 a 5 a care dă a a Pr rmare cţa tabelară dată poate apromată de dreapta 6 7 Să observăm că cetrl de gretate al pctelor M ( G G ( 7 5 aparţe drepte 7 6 Eercţ Să se verce teorema l Eler petr ( ( Să se determe ( ştd că / 8 l ş că ( s Care este ghl dtre crbele plae obţte pr tersecţa spraeţelor c plal? Pord de la deţe să se calclee ( dacă 8 atc câd R : l s ş 6 R : arctg 7 9

54 m 5 Să se calclee dacă ( m 6 Să se arate că dacă R : m m ( ( m ( m a r atc r r r r b e ϕ ( e atc ( ( l r ( l r ( l r c l ϕ atc 7 Să se calclee c apromaţe a varaţa cţe câd varaă de la la 5 ş de la la 5 b ( 95 8 Să se calclee d dacă ( t a t t b ( c ( ( 9 Să se scre poloml l Talor de gradl tre petr cţa î ( ( h k l ( Să se scre î pter ale l h k l dacă r Crsrle a doă ape st repreetate apromatv de parabola ş de dreapta Se cere să se ească cele doă crsr de apă prtr- caal rectl de lgme mmă Ce pcte leagă? 7 R : A B 8 8 Să se arate că > ( Să se determe etremele cţe 5 5

55 V ervata e cţ vectorale ereţabltate Fe o cţe detă pe o mlţme deschsă R c valor î R m ş K m compoetele sale scalare eţe Spem că este dereţablă î pctl P dacă estă o m trasormare lară L : R R astel îcât petr P o h să avem ( P h ( P L ( h lm h h Trasormarea lară L se oteaă d ( ş se meşte dereţala cţe î scalare L ( h Teorema Fcţa este dereţablă î ( m P P st dereţable î Î acest ca emostraţe Fe ( a j R R d P ( P d d M d m dacă ş ma dacă compoetele e ( P ( P ( P A m j matrcea trasormăr lare m : care apare î deţa dereţabltăţ cţe î P O relaţe de orma ( P h ( P A h ω( h c lm h ω( h este echvaletă c relaţle de pe compoete: ω ( h ( P h ( P ajhj ω ( h c lm h h j care eprmă dereţabltatea cţlor î ş aptl că d P aj hj m h P ( C teorema & cap VI avem îsă aj ( P Astel d ( P A h m m j m P j h d h M d h m ( P M ( P P 5

56 ed dervata cţe î P ca d matrcea ( P K ( P ( P K ( ( m m P K P mtă matrcea Jacob * a cţe î pctl P ptem scre d ( P ( P h acă cţa este dereţablă pe adcă dereţablă î orce pct P atc are loc ormla d ( P ( P P Î acest ca aplcaţa dată de P ( P P se meşte dervata cţe dereţable K Ea este dată de matrcea cţoală K m m K Î cal î care m determatl asocat matrce de ss se meşte determat ( K cţoal sa acoba ş se oteaă K ( Eemple ereţala cţe L : R R ( d d d d d d d d d d d reltă că ( ereţala l r j k este d r d d j d k m : Teorema Fe R R dereţablă î P ş ( dereţablă î P Atc cţa compsă g o este dereţablă î P ş ( ( g o ( P g ( P ( ( P g : R m R p * CG Iacob ( 8 85 matematca germa 5

57 emostraţa o vom ace î cal î care atât compoetele scalare l cât ş compoetele scalare P respectv î ( P Î acest ca deoarece ( g o ş ca rmare ( j reltă că cţle ( ( g o dec st dereţable î ( g g ( p ( k m k ale ale l g admt dervate parţale cote î g ( P g g o ( p ( g o j P j P ( ( P M ( ( P g L m g g m j P ( ( P K ( P M m ( ( P K ( P p m j a dervate parţale de ordl îtâ cote î ş ( reltă P m K g K ( P ( g Avâd î vedere că ( g o o ( P g ( ( P ş ( P P K este evdet că ( ( j j K j P P g K ( P Observaţe Fcţle vectorale de a sa doă varable a aplcaţ î teora crbelor ş spraeţelor Fe C o crbă avâd repreetarea vectorală r ( t ( t ( t j ( t k t [ α β] Se spe că ea este etedă dacă cţle ( t ( t ş ( t care se aleaă smlta pe [ ab] Fe M ( t ş M ( t Δt C Se meşte tageta î coarde MM câd M M Vectorl MM r P admt dervate cote M la crba C poţa lmtă a ( t Δ t r ( t Δ r Δ r Δ Δ Δ este îsă colar c j k Δ t Δ t Δ t Δ t Trecâd la lmtă câd Δ t se obţe vectorl r & ( t & ( t & ( t j & ( t k mt dervata vectorl r ( t î raport c t El dă oretarea tagete MT 5

58 ( Fe acm F ecaţa e spraeţe S Vom prespe că ea este etedă adcă F admte dervate parţale de ordl îtâ cote care se aleaă smlta Se spe că o dreaptă este tagetă la S îtr- pct P al e dacă ea este tagetă orcăre crbe ce trece pr P aparţâd spraeţe S C : r r t este o astel de crbă acă ( ( atc are loc relaţa F ( ( t ( t ( t care dervată î raport c t dă F & F & F & egaltate care arată că vectorl N ( F F F este perpedclar pe orce dreaptă tagetă la S î P Acestea aparţ dec acelaş pla mt plal taget î P la S Vectorl N dă drecţa ormale la spraaţa S î P Fcţ mplcte care Fe ecaţa ( F ( Se meşte solţe a ecaţe ( o cţe ( care o vercă detc dec petr ( F ( Ecaţa ( poate avea o sgră solţe de eempl ecaţa ma mlte solţ de eempl ] ± :[ α β] [ c o solţe cm este e Fcţle ( dete c ajtorl ecaţlor se mesc cţ mplcte Astel de ecaţ se pot îtotdeaa eplcta adcă eprma ca cţ elemetare Aşa de eempl este cţa detă de ecaţa ( s e O cţe ( detă de o ecaţe de orma F ( K K este o cţe mplctă de varable Problema care se pe este î ce codţ o ecaţe deeşte o cţe mplctă Vom da ără demostraţe rmătoarele teoreme de esteţă Teorema Fe ( P ( petr care F ( P acă F C ( V ş F ( P mod c o cţe ( pctl ş F o cţe reală detă îtr-o vecătate V a pctl atc estă î îtr-o amtă vecătate U a ş dervablă astel îcât ( ( F pe U ( 5

59 P Teorema Fe F ( ( K o cţe detă îtr-o vecătate V a pctl K c F ( P F C ( V ş F ( P atc estă î mod c o cţe ( acă îtr-o vecătate U a pctl ( K K astel îcât F ( ( K K c dervate parţale de ordl îtâ cote K pe U ş ( ervarea cţlor mplcte acă ecaţa F ( deeşte cţa ( atc dervâd egaltatea F F ( ( obţem F F de de F acă ecaţa F ( deeşte cţa mplctă ( atc dervâd F ( avem F F F F F de de F F î raport c respectv c egaltatea ( F Î mod aalog se obţ dervatele parţale ale cţe mplcte ( dete de ecaţa F ( K F K Ele st F Eemple Să se calclee dacă cţa este detă mplct de ecaţa s e ( Solţe Pâd F s e F e de de F cos e e e Petr determarea l dervăm F e avem ` F cos e ţâd seama că ( ( cos e e ( s e e ( cos e e ( cos s e e cos e cos s e Astel cos s e ( cos e ( cos e ( cos e V 55

60 Să se calclee d d petr detă de ecaţa e Metoda I Avem F ( e F F de de d ( d F e dacă cţa mplctă ( F F e F F e ( ( este Petr alarea dervatelor parţale de ordl do se derveaă cele de ordl îtâ avâd î vedere ca ( ( e ( e ( e ( e ( e e ( e ( e ( ( ( ( ş d ( d 6d ( ( 6 Metoda a II-a ereţd de doă or ecaţa dată aplcâd reglle de dereţere ş avâd î vedere că ş d varable depedete d d avem d d d d d e d ( d d e ( d e d Î partclar petr obţem d d ş ca rmare d 8 d d d de de d d 6 d Observaţe Metoda a doa (pr dereţere poate tlată ş petr calcll dervatelor parţale căc o dată alată dereţala acestea (dervatele parţale reltă medat Ssteme de cţ mplcte Î mlte probleme ma de geometre dereţală terv cţ dete mplct de ssteme de ecaţ F ( Cal cel ma smpl este al ssteml G ( Ne tereseaă î ce codţ acest sstem deeşte doă cţ ( ( care să verce î mod detc ecaţle ssteml ş cm se calcleaă dervatele lor F G doă cţ dete îtr-o vecătate V a pctl Teorema Fe ( ş ( P astel îcât F P G ( P ( ( 56

61 ( F G acă F G C (V ş atc estă î mod c îtr-o vecătate U a ( l cţle ( ş ( dervable astel îcât ( P F ( ( ( ş ( ( G ( ( ( peu ervatele acestor cţ se obţ dervâd ecaţle ssteml ( Astel avem F F F G G G ( F G ( F G ( ( de de ş ( F G ( F G ( ( O geeralare a teoreme precedete este Teorema Fe cţle F ( K K m m dete îtr-o vecătate a pctl P ( K acă F C pctl ( K c F ( P m ( F KFm ( V ş ( K m P atc estă îtr-o amtă vecătate U a K sstem c de cţ ( m parţale cote astel îcât F K K c dervate ( ( ( K K ( K pe U m m K m ervatele parţale ale cţlor se obţ dervâd parţal ecaţle ( Astel ş ( ( F K F K F ( K K F m j ( F K F j m ( K m Eempl Să se calclee dervatele parţale ale cţlor ( j m m ş v v( î ( - v dete mplct de ssteml v Metoda I ervâd î raport c ecaţle ssteml ş ţâd seama că ş v st cţ de ş v v v avem de de v v v Aalog dervâd ssteml î raport c se obţ dervatele parţale 57

62 v v v Câd ş d ssteml dat reltă v Astel v v Metoda a II a ereţd cele doă ecaţ ale ssteml avem d d vd dv d d vd dv Făcâd v obţem d d dv d de de se dedce că ş v ; v î ( epedeţă cţoală Fe mlţme deschsă d R ş ssteml de cţ reale K de m O cţe spem că depde de cţle pe dacă estă o ( { m } C ( g : R Φ astel îcât g Φ ( K m Φ ( ( P ( P K ( P P cţe dereţablă g( P m adcă K ş pe R deoarece g Eempl acă ( ( ş g( depde de cţle atc cţa g eţe Spem că ssteml ( este depedet pe dacă estă cel pţ o cţe a ssteml depedetă de celelalte pe Î ca cotrar ssteml este depedet pe Idepedeţa cţlor pe trebe îţeleasă î sesl că c o cţe a ssteml depde de celelalte î c o vecătate a orcăr pct d Teorema acă ssteml ( este depedet pe ş m atc toţ mor de K ordl m a matrce l Jacob KKKK st detc l pe m m K emostraţe Fe K Φ ( K K K m pe Atc d K Φ Φ K Φ K Φ m K j j K j K j m j ă că la L K a matrce este combaţe lară de celelalte l L Φ Φ Φ K L K LK LK K K m m Φ K L m j relt 58

63 ş pr rmare mor de ordl m st toţ l ceea ce mplcă aptl că ragl matrce este strct ma mc decât m Teorema acă ragl matrce acobee î P este r < m ş dacă ără restrâge geeraltatea ( K r ( K atc estă o vecătate V a pctl î care r P { r } r m ssteml K este depedet î tmp ce cţle K depd pe V de cţle K r emostraţe etermatl cţoal ( K r ( K r P care este o cţe cotă pe d dert de ero î este el îtr-o îtreagă vecătate a l P ş coorm teoreme P } precedete ssteml { K r este depedet î această vecătate Partea a doa a demostraţe adcă aptl că celelalte cţ depd de prmele r o vom ace îtr- ca partclar cal geeral tratâd-se aalog Fe m ş r Fcţle ssteml st î acest ca ( ( ( matrcea acobaă ( ( are îtr-o vecătate a pctl P ( ( ( evoltâd prml determat dpă ltma le ptem scre ( ( ( ( ( ( F ( F ( ( P { } ( F F ( ( ( Fe ssteml de cţ mplcte î ecosctele aptl că M esteţă (teorema că estă doă cţ ϕ ( ( ϕ ( ( ş pctl ( P M reltă coorm teoreme de 59

64 6 astel îcât ( ( ϕ ϕ ϕ ϕ ervâd parţal î raport c avem ϕ ϕ ϕ ϕ de de ( ( ( ( ( ( ( ( ( ϕ ϕ Îlocd cţle ( î egaltatea ( obţem ( ( ( ( Φ ϕ ϕ Faptl că depde doar de ş va reeş d aceea că Φ Îtr-adevăr olosd ( ş ( avem ϕ ϕ ϕ ϕ Φ ( ( ( ( ( ( ϕ ϕ ec ( Φ Cosecţă Î cal sstem de cţ de câte varable st valable armaţle: ( ( { } P pctl a vecatate o îtr depedet este ssteml P K K ( ( pe K K ssteml { } K este depedet pe Eempl Fcţle Avâd acobal ( ( ( st î depedeţă cţoală aptl că ( ( este mor de ordl do el reltă o cţe dereţablă astel îcât Φ ( Φ Este evdet că

65 Observaţe Î teorema & de esteţă a cţlor mplcte dete de ssteml ( F K Fm F ( K K m m codţa a îsemat de apt K ( depedeţa cţoală a cţlor F F K F m ca cţ de K m m P Trasormăr pctale î R R Fe R o mlţme deschsă Se meşte trasormare o cţe vectorală : acă atc este trasormata mlţm A pr P dacă cţle A ( A eţe Trasormarea ( K ( K ( K P se spe că este reglată î pctl st de clasă îtr-o vecătate a pctl P ş C O trasormare reglată î orce pct al l se spe că este reglată pe Observaţ acă este reglată î P atc este reglată îtr-o îtreagă vecătate a acest pct Aceasta reltă d cottatea acobal acă este reglată î atc este dereţablă î P ş ( P ( K ( K P compoetelor sale scalare ( P ereţabltatea l reltă d dereţabltatea O trasormare reglată î P este evdet cotă î P acă ( K este reglată î atc ssteml depedet îtr-o vecătate a l P P { K } Eemple Trasormarea detcă I a l dată de I ( P P P sa R ( K R este I I M M M ( I K este reglată pe R deoarece compoetele sale scalare I a dervate parţale cote peste tot ş K ( I KI ( K K I ( P K L K K K P R 6

66 Trasormarea polară T care ace trecerea de la coordoatele polare ( ρ ϕ la cele carteee ( ale pct P d pla ρcosϕ T : :[ [ π R are acobal ρs ϕ ( cos ϕ ρ s ϕ ρ Este dec reglată dacă ρ ρ ϕ s ϕ ρ cos ϕ ( π A d plal Trasormata dreptghl [ ] ρoϕ este sertl de cerc de raă d prml cadra al plal O Trasormarea cldrcă leagă coordoatele cldrce ( ρ ϕ ale pct R de cele carteee P ( ρcosϕ T : ρs ϕ : [ [ π R R are acobal o trasormare reglată peste tot c ecepţa org ( ( ρ ϕ ρ este dec ( P Trasormarea sercă este dată de ρs θcosϕ T : ρs θs ϕ :[ [ π [ π] R ρcosθ ( ρ s θ reltă că trasormarea sercă este reglată ρ ϕ θ ( acolo de ρ ş θ π Vom da î cotare doă propretăţ mportate ale trasormărlor reglate Teorema (comperea trasormărlor acă este reglată î P atc trasormarea g o este reglată î P emostraţe acă ( K g ( g K g atc g ( ( ( P g ( P K ( P ( g o ( P M M g ( ( P g ( ( P K ( P ş g este reglată î Este evdet că dacă ş g st de clasă C atc ş compoetele scalare ale l g o st de clasă C îtr-o vecătate a l P egaltatea matrceală o ( P g ( P ( P reltă g o ( P g ( ( P ( P ( ( g ( 6

67 ş cm trasormărle ş g d reglate î respectv î P a acobe el î aceste pcte reltă că ( g o ( P ş dec că g o este o trasormare reglată î P Teorema (trasormarea versă acă este reglată î P atc estă o trasormare g detă îtr-o vecătate a pctl ( P reglată î acest pct ş ( g Kg ( K P ( K ( K P P ( de ( K P ş M ( K K emostraţe Fe ( F ( K K ( K deeşte î mod mplct cţle g ( K Îtr-adevăr F ( M ( P ( F KF M ş ( K cote îtr-o vecătate a l Ssteml de cţ care vercă î mod detc ssteml ; cţle F a dervate parţale M ( K ( K P d poteă Pr rmare estă î mod c îtr-o vecătate V a pctl ( P ( K cţle g ( K c dervate parţale cote Fe g trasormarea avâd compoetele scalare g g ( ( P P M M g ( ( P P V g ( ( P reltă g o I de de g ( ( P ( P I ( P ş dec relaţa d eţ g ( P ( ( P ρ cos ϕ Eempl Trasormarea polară T : reglată petr ρ > are versa ρ s ϕ ar acobal acestea este T ( ρ ϕ ( ( ( ρ ϕ ρ : ϕ arctg dacă 6

68 5 Schmbăr de varable O eprese î care apare o cţe împreă c dervatele e poate eor prm o ormă mlt smplcată dacă elemetele vech cţa ş (sa varablele e se îlocesc c altele o Vom prespe că cţle ce terv îdeplesc codţle ecesare eectăr calclelor Vom pe î evdeţă câteva car ş le vom trata practc pr eemple Itervertrea varablelor ( ( Eempl Să se trasorme ecaţa ( lâd pe ca oă varablă depedetă Solţe Se vede d ecaţa dată că este cţa ş este varabla sa Forma oă a ecaţe va treb să atreee cţa de varablă ş evdet dervatele acestea d d K d d Folosd ormlele de dervare a cţe compse ş a cţe verse vom găs legătra dtre dervatele vech ş cele o Astel avem d d d d d d d d ( ( d d d d d d d d ( ( d d ( ( d ( d ( 5 Făcâd îlocrle î ecaţa dată obţem sa ( 5 ( ( t Schmbarea varable depedete ( t Eempl Să se trasorme ecaţa ( a Solţe Avem ( t t t ( ăcâd cos t ş dervata cţe compse ( t ( d d d dt dt d d t dt d s t dt este de c t s-a otat dervata l î raport c oa e varablă t Ceea ce s-a obţt este cţe de t e aceea î cotare dervarea î raport c termedl varable t Avem d d t d t t s t t cos t ( d d t s t d s t s t se ace pr Astel ecaţa deve t a ( t Schmbarea cţe ş a varable ( t ( t pr trasormarea ( t 6

69 65 Eempl Să se trasorme ecaţa ( ( dacă ş t t (t Solţe Ţâd seama că ş dev cţ de t ş avem t ( ( ( ( ( ( dt d dt d d d dt d dt d d d Făcâd îlocrle ecaţa deve 8 Schmbarea varablelor depedete ale e cţ ( ( v pr trasormarea ( ( v v Eempl acă v să se trasorme ecaţa ( Solţe Avem v v ş cm ( ( ( v ( v v v v v v Î cotare petr calcll dervatelor parţale de ordl do vom ţe seama că ş ş st cţ de ş pr termedl varablelor ş v Astel ( ( ( v v v v v v v Amplcâd ecare dervată c coeceţ corespător d ecaţa dată ş adâd pe vertcală obţem

70 - v - v ( v v ( v v v v v v ( ( v v dec v v este oa ormă a ecaţe 5 Schmbarea cţe ş a varablelor sale ( w( v prtr-o trasormare reglată d R Eempl Să se trasorme ecaţa ( ( dacă v ş w w w ( v Solţe ereţd relaţle date avem d d d d care trodse î ormla dv d d d dw d d d dw w d w dv v da rmătoarea legătră ître d d ş d : w wv wv w d d d w wv w wv ar cm d d d se dedc medat dervatele parţale ale l care îlocte apo î ecaţa dată da ecaţa ( ( w wv ( ( wv w ( ( w wv w v adcă 66

71 6 Etreme codţoate eseor î probleme de etrem apar codţ splmetare mpse varablelor Cea ma smplă problemă de acest el este determarea etremelor cţe ( c codţa ca ître varablele ş să este legătra ϕ( pct de vedere geometrc aceasta îseamă determarea pct ( : ϕ( P aparţâd crbe C aşa ca î P cţa să a valoare mamă sa mmă î raport c celelalte pcte de pe crbă Să vedem cm s- ar reolva această problemă acă ecaţa ϕ ( deeşte î mod mplct cţa ( (ecaţa crbe C atc problema se redce la determarea pctelor de etrem ale cţe compse g ( ( ( ş care dpă cm se şte g dec ( se găsesc prtre rădăcle ecaţe ( ervâd egaltatea ϕ ( ( ( ϕ ϕ avem ş Amplcâd ecaţa ( c λ real oarecare ş adâd-o la ( obţem relaţa λ ϕ ( λϕ vercată de pctele de etrem legat etermâd λ aşa ca λϕ reltă ş λϕ Obţem astel tre ecaţ î ecosctele ş λ vercate de pctele de etrem λϕ legat λϕ ϕ Să observăm că acest sstem este cel care dă pctele staţoare ale cţe F λ λ ϕ ( ( ( Fe M ( λ pct staţoar petr F Este evdet că P ( C asemeea P( C Să observăm că dereţa ( P ( P ( ( ( λ ϕ( F( λ F( λ Pr rmare problema stablr dacă ( stdl seml l F ( λ d ( se ormeaă cţa alară F λϕ Fe de P este pct de etrem legat se redce la Î cocle petr determarea pctelor de etrem ale cţe ( legătra ϕ se determă pctele staţoare ar dacă M ( λ este l d acestea atc se stdaă dacă P ( este pct de etrem (lber petr λ ( F c 67

72 Eempl Să se găsească pctele de etrem ale cţe ( 5 ( 5 Solţe Avem ϕ ( λ λ( 5 ştd că F Pctele staţoare ale l F st solţle ssteml: F λ F λ Fλ ϕ 5 ş ame M ( ş M ( Petr a stabl dacă pctele P ( ş P ( st sa pcte de etrem legat calclăm M M F λ - F F λ - Avem Δ ( P < F ( M < P pct de mam Δ ( P < F ( M > P pct de mm ma ( P 5 m ( P 5 Observaţa Petr determarea etremelor cţe ( K legătrlor ( m F λ K λ m λϕ λ mϕm M λ K λ m spse ϕ K se costreşte cţa alară (cţa l K se determă Lagrage ( pctele staţoare ş dacă ( pctl ( K este astel de pct se stdaă dacă P K este pct de etrem lber petr F( K λ K λ m Aceasta este metoda mltplcatorlor l Lagrage Eempl Să se găsească pctele de etrem ale cţe ( c codţle 5 8 Solţe Avem ϕ 5 ϕ ( ( 8 ş cţa alară F λ μ λ 5 μ 8 ( ( ( 68

73 Ssteml e dă pctele staţoare ale l ( Vom stda dacă ( ( ( F λ μ F λ μ F λ μ Fλ ϕ 5 Fμ ϕ F : M ş M ( ( este pct de etrem lber petr F Petr aceasta P ( e tereseaă seml dereţale d F( M Avem M F F μ ( M dd d F ereţd îsă legătrle avem relaţle d d d d d d ( ( ( F μ d d d - care petr P ( dev de de d d F d d d dec d F( M F d > Urmeaă că ( P ( P μ > dec P este pct de mm (legat Făcâd std asemăător petr pctl F 7 P ( se găseşte că acesta este pct de mam (legat Observaţa Problema determăr etremelor cţe ( K c codţ de orma: ϕ ( K m este problema geerală a programăr matematce acă atât cţa cât ş cţle ϕ st lare atc problema este de programare lară (ormlată î 97 de către matematcal amerca G B atg Eercţ l Să se arate că spraeţele ş 8 5 st tagete a ( altea î pctl Să se scre ecaţa tagete îtr-l d pctele de abscsă ale crbe Să se determe d î pctl ales Să se calclee petr dacă e e e Să se arate că dacă a ( s ( atc s b atc ( 69

74 c atc atc d ( ( ( ( v e v v atc 5 Să se calclee d ş d π v petr valorle v dacă v v e cos e s 6 Să se ale etremele cţlor: R : d d d v ( d d a dacă b dacă 8 c ( î dscl ( ( 9 d ( c codţle t t t a t a > e ( ştd că dacă ( ( 7 Să se determe ş sp A A dreptele 6 R : ma pt ş A este domel lmtat de 8 Pe elpsodl să se găsească pctl cel ma depărtat ş pctl cel ma apropat 96 de plal 88 9 Să se calclee acobal trasormăr ( α ρcos θ cos ϕ ( a ρ cos θ s ϕ ρs θ R : ρ ( α ρcosθ Să se arate c ajtorl determaţlor cţoal că estă o relaţe de depedeţă ître cţle ( v cos ϕ ( v sϕ v v cos ϕ ş se dea o relaţe de legătră drectă Î ecaţle rmătoare să se acă schmbărle dcate a cos ( R : cos b m t d th l tg R : m ch dt ρ cos ϕ ( ( ( ρ ρ ( ϕ : ρ ρ cos ϕ ρ s ϕ c ( R d cos s s s v s e v w w w ( v R : v w R: 7

75 7 ( r r ϕ : R ϕ ϕ ϕ r Să se arate că orce ecaţe de orma c b a poate redsă la orma c pr schmbarea de cţe e β α ( ab c c a b β α : R Să se trasorme epresa E ăcâd schmbarea de varable v v ş schmbarea de cţe w v

76 PARTEA II CALCUL INTEGRAL I INTEGRALA NEEFINITĂ Prmtva e cţ Fe o cţe : I R R eţe Se meşte prmtvă a l pe I o cţe F detă ş dervablă pe I astel îcât F Să observăm că: dacă F este o prmtvă a l atc F c de c este o costată oarecare este prmtvă a l dacă F ş G st prmtve ale l atc ele deră prtr-o costată adtvă Reltă de ac că dacă F este o prmtvă a l atc orcare alta va de orma F c de c este o costată Mlţmea prmtvelor cţe se meşte pr ab de lmbaj tegrala edetă a l ş se oteaă ( d sa ma smpl d Astel pr deţe d F c F pct de vedere geometrc tegrala edetă repretă o amle de crbe plae obţte a d alta prtr-o traslaţe de-a lgl ae O Iterpretâd seml d care apare î otaţa tegrale edete ca o dereţală avem d F d df Astel se obţ rmătoarele relaţ tle î calcle df F c ş d d d Operaţa de determare a prmtvelor e cţ se meşte tegrare N toate cţle admt prmtve ar orce cţe cotă pe terval admte prmtvă pe acel terval (ve cap X Î acest captol e vom ocpa de metode de determare a prmtvelor or cţ cote Ma îtâ îsă vom da Lsta tegralelor medate α d α d c ( α real l c ( α e d e c a a d c ( a > a l a s d cos c cos d s c d tg c cos d ctg c s 7

77 d arcs c d arctg c sh d ch c ch d sh c d th c ch d cth c sh Propretăţle tegrale edete reltă c şrţă d reglle de dervare ş st: dacă g C ( I atc ( α β g d α d βg d α β R (propretatea de lartate dacă ϕ : I I ϕ ( t ϕ C ( I ϕ ( t petr a admte versa t ψ ( ar este cotă atc ( d ( ϕ( t ϕ ( t dt dacă g C ( I atc g d g g d (ormla schmbăr de varablă (ormla tegrăr pr părţ Observaţa Î cal schmbăr de varablă epresa de sb seml tegrală se comportă ca o dereţală; dacă ϕ(t atc ( d ( ϕ ( t ϕ ( t dt Această observaţe smplcă calclele Formla schmbăr de varablă poate prvtă d ambele sesr Fcţa ϕ(t trebe aleasă astel îcât să poată calclată tegrala d membrl drept Ueor este preerablă schmbarea de varablă sb orma t ψ ( Eemple d t dt t dt ( t l t c t t t ϕ(t d t dt l ( c s d s t dt cos t c cos c t ψ ( dt d Observaţa Formla tegrăr pr părţ petr cţle v C ( I poate scrsă ş sb orma dv v v d de d d dv v d Ea se oloseşte de obce la calcll tegralelor de orma a s b d; l d ; e ; arctg d ş altele a e d ; C ajtorl e se pot obţe ormle de recreţă tle î calcll or prmtve 7

78 Eempl I d dv d a d d I ( a a ( a a a ( a dv d ( a v ( ( a I a a Astel I I > a a ( ( a ( ( ( a ( Pord de la d I arctg c a a a obţem sccesv d I arctg c a a ( a a ( a Itegrarea cţlor raţoale Itegrarea cţe raţoale acă grp gr Q P ( Q ( atc acem împărţrea c rest acă gr P < gr Q atc descompem e eempl A I etc K de P ş Q st poloame se ace pe etape: P( R( C( gr R < gr Q Q( Q( B C ( a ( a b c 5 A P( Q ( î racţ smple Acestea st ( N b ac < B E F G ( ( ( ( ( coeceţ rmâd a determaţ pr detcarea mărătorlor dpă ce racţle a ost adse la acelaş mtor sa pr alte metode escomperea î racţ smple este că Urmeaă apo tegrarea racţlor smple Astel A d Al a c a A d d A c > ( a ( a A C 7

79 B c d se calcleaă pâd î evdeţă la mărător dereţala a b c troml de la mtor adcă d ( a b c ( a bd d d orma ş α de I B c a b c Eempl ( d ş I ( α I d se redce la calcll a doă tegrale de orma d dpă ce s-a procedat ca la ( 8 d d ( 8 ( d( ( 8 d d [( ] ( ( d d d 8 arctg ş se obţ doă tegrale de c arctg c 8 5 ec I arctg c 6 6 pă cm s-a ptt observa prmtvele cţlor raţoale st combaţ lare de cţ raţoale cţ logartmce ş cţ arctg Itegrale redctble la tegrale d cţ raţoale Itegralele raţoale de orma q q a b a b R L d q Q c d c d de R este o eprese raţoală de varablele sale se redc la tegrale d cţ raţoale a b N ăcâd t c d de N este mtorl com al racţlor q Eempl Petr d ( d 6 t 5dt dec K q 6 N ; acem t de de t ş avem 6 6 I 75

80 t t t I t d t dt 6 t 6 t t t t 6t l ( t arctg t c l Itegralele bome a orma m ( a b t dt t [ ] 6 arctg 6 6 c p d m p Q Ele se ma mesc ş tegrale Cebâşev * dpă mele cel care a arătat că ma î rmătoarele tre car ele pot redse la tegrale d cţ raţoale: p Z c schmbarea m Z c m p Z c Eempl Fe N t de N este mtorl com a l m ş N a b t de N este mtorl l p N a b t de N este mtorl l p d I d Facem t ş avem ( t d t ( t dt t ( t 7 Astel I t dt t c c Itegralele algebrce a orma R a b c d de R este o cţe raţoală de doă varable Sbsttţle dcate ma jos se datoreaă l Eler: dacă a > a b c ± a t a < c > a b c t ± c a < c < a b c t ( de este rădăcă a ecaţe a b c Această ecaţe poate avea rădăc complee deoarece troml a b c ar egatv R ş -ar avea ses radcall * RL Cebâşev (89 89 academca rs c cotrbţ î matematcă ş mecacă 76

81 Ptem de asemeea remarca aptl că ltma schmbare de varablă poate aplcată ma câd a < c ş câd a > dacă troml a b c are rădăc reale d Eempl Fe I Făcâd 5 t avem 5 ( t 5t d dt ( t 5 t t 5 t t 5t 5 t t t dt 5 de de I l t 5 c l 5 c t 5 Itegralele d cţ trgoometrce de orma tegrale d cţ raţoale dacă: cţa R este mpară î cos adcă R (s cos R (s cos c s t R este mpară î s R ( s cos R (s cos c cos t R este pară î s ş cos R ( s cos R (s cos c tg t R (s cos d se trasormă î acem tg t Î prmele doă staţ se dereţaă sbsttţle ş se p î evdeţă la mărător dereţalele lor Î ltmele doă car se eprmă vechea varablă î cţe de cea oă ş apo se dereţaă Eemple Fe s I d Eectăm schmbarea de varablă cos t ş avem cos s d d t dpă care tegrala deve I s s d ( t d t cos t t d t t t cos t l t c cos l s Fe I d Făcâd tg t s s cos t t s cos rmeaă că t t ( t avem arctg t ( cos c I d t t d t tg l tg c t t dt d ş cm t 77

82 Alte tpr de tegrale O tegrală de orma R ( e a t dt t se redce la o tegrală raţoală dacă se ace e a t Atc l t a dt deve R ( t R ( t dt at d d d dt Eempl I sh e e e e t t t d l t t c l e e c dt d ş ea at Itegrarea or cţ hperbolce se poate ace tlâd ormle asemăătoare celor trgoometrce Eempl I ch ch d d ( ch ch sh ch d 8 e a cosb d I sh d sh c Itegralele de orma I ş e a s b d se pot obţe smlta astel: a b ( cos b s b d e e d e ( a b a I I e a b a e ( cos b s b c a b Separâd partea reală de cea magară avem I I a e a b a e a b ( a cos b b s b c ( a s b b cos b c ( a b e d c a b Calcll or tegrale c ajtorl or sbsttţ trgoometrce ş hperbolce Ueor sbsttţle dcate î dreptl tegralelor ce rmeaă pot codce la tegrăr ma rapde: R a d c a cost sa a s t R a d c a tg t sa a sht R a d c a cht 78

83 Eempl I d ( d sh t dt ( ch t d t sh t t c ch t d sht dt Petr reverea la varabla se a î vedere ormlele sh t sh t ch t e sh t ch t t ş că d ch t reltă sh t ch t Astel I ( l c Itegrale care pot eprmate pr cţ elemetare O dereţă eseţală ître calcll dereţal ş cel tegral este aceea că dervata e cţ elemetare se eprmă totdeaa pr cţ elemetare acelaş lcr se poate spe despre prmtva e cţ elemetare Aşa de eempl st cţle: s cos s ( d (ss tegral c ( d (coss tegral d l ( (logartm tegral (cţa de eroare e d l e d (epoeţal tegral Tot d această categore ac parte î geeral prmtvele de orma R ( P( d de P este polom de grad > ca de eempl sa cţle d elptce k s d k s d Eercţ Să se calclee rmătoarele tegrale edete: l( l d d arcs d sh d e cos d 5 ( d 5 d 8 ( ( d ( cos cos s s d s 5 cos d d 5 a sec d 6 tg tg 79

84 s d 5 s s5 d 6 7 ( ( d cos s arcs 6 d 7 d 8 d ( 7 l d 8 d 5 d d d 8 e d 9 cos 9 d s l s d s l d d d sh ch cos a d d a s a d ( s ( s 8

85 eţa tegrale dble II INTEGRALA UBLĂ R Fe compact d (dome îchs ş mărgt omele ce terv ac vom prespe că a are (ve Maal clsa XII-a ş roterele lor st crbe etede pe porţ adcă re te de crbe etede Nmm dve a l măr t de compacte Δ { δ } ără pcte teroare come astel îcât U δ Norma dv Δ este pr deţe ν ( Δ ma d ( δ de d ( δ este dametrl compactl δ adcă margea speroară a dstaţelor dtre doă pcte oarecare ale l δ Spem că dvea Δ este ma ă decât Δ (screm Δ p Δ dacă orce dome al dv Δ este o ree tă de dome ale dv Δ Evdet că Δ p Δ ν Δ ν Δ ( ( R { } ( Fe acm : o cţe (evetal mărgtă Δ δ o dve a l ş pctele termedare P ξ η δ Fe de asemeea sma tegrală σ Δ ( ( P ara δ ( ξ η ara δ Geometrc dacă atc σ Δ ( apromeaă volml corpl V delmtat de spraaţa S avâd ecaţa ( plal O ş spraaţa cldrcă a căre geeratoare este paralelă c aa O ş se sprjă pe rotera domel Această apromaţe este c atât ma bă c cât dvea Δ este ma ă eţa Spem că cţa este tegrablă pe dacă estă ş este tă lmta lm σ ( I ( Δ ν Δ orcare ar alegerea pctelor termedare P Această deţe este evdet echvaletă c eţa Fcţa este tegrablă pe dacă estă măr real I astel îcât ε > η( ε aşa ca petr orce dve Δ a l c ν ( Δ < η ş orcare ar alegerea pctelor termedare să avem 8

86 σ Δ ( I < ε O deţe echvaletă se poate da ş pr şrr ca ş la tegrala detă Nmărl I se meşte tegrala dblă a l pe ş se oteaă I d d ( d d sa I acă cţa este mărgtă pe atc se pot cosdera ca ş la cţle de o sgră varablă smele arbo ale l corespătoare dv { } sδ ( m ara δ S Δ ( de m ( P M sp ( P P δ P δ M Δ δ a domel ara δ Notâd c m ş M respectv margle cţe pe a loc evdet rmătoarele egaltăţ: m ara sδ ( σ Δ ( S Δ ( M ara Se pot pe î evdeţă rmătoarele propretăţ ale smelor arbo: sδ ( σ Δ ( S Δ ( sp σ Δ ( margle lâd-se dpă toate alegerle posble ale pctelor termedare acă Δ p Δ atc sδ ( sδ ( S Δ ( S Δ ( Îtr-adevăr dacă δ δ δ m P m P U ş ( ( P δ P δ atc m ara δ m ara δ m ara δ edcem de ac că dacă ν ( Δ atc s Δ ( ş S Δ ( Orcare ar dvle Δ ş Δ m ara sδ ( S Δ ( M ara Reltă de ac că estă tegralele arbo ale l pe : I sp s ( I S ( ş că s ( I I S ( Δ Δ Δ Crter de tegrabltate Δ Δ Teorema (crterl l arbo O cţe mărgtă este tegrablă pe dacă ş ma dacă ε > η ε astel îcât Δ c v ( Δ < η v ( S Δ ( Δ Δ s ( < ε emostraţe Fcţa d tegrablă ε > η( ε ( Δ < η să avem I ε σ Δ I ε Δ astel îcât Δ c ( orcare ar alegerea pctelor ar atc avem ş I ε s ( S ( I ε Δ Δ Δ Δ Pr rmare S ( s ( I ε ( I ε ε Δ c v( Δ < η Prespem petr cţa mărgtă că este îdepltă codţa d eţ Atc are loc ş O I I S ( s ( < ε Δ Δ Δ c v( Δ < η P 8

87 σ Cm ε este arbtrar reltă I I I s ( I S ( s ( σ ( S ( reltă că Δ Δ Δ ( I S ( s ( < ε deret de alegerea pctelor dacă v Δ Δ Δ Δ ec este tegrablă ş d d I Δ Δ P ( < η Teorema acă este cotă pe este tegrablă pe emostraţe Fcţa d cotă pe compactl este orm cotă pe ş ε > η ε astel îcât orcare ar P P c d( P P < η să avem dec ( ε ara ( P ( P < Fe Δ { δ } o dve a l c v( Δ < η ş m M margle l pe δ ar d cotă pe compactl δ îş atge margle pe δ dec P P δ aşa ca m ( P M ( P Pr rmare S Δ ( s ( Δ ( M m ε ara ara δ ara δ ε ( P ( P ara δ C crterl l arbo reltă acm tegrabltatea cţe cote eţe O mlţme A R se spe că este de măsră Lebesge lă (sa egljablă dacă ε > şr { } A ( A U I ş astel îcât I de tervale deschse bdmesoale care acoperă ara I < ε Teorema (crterl l Lebesge O cţe mărgtă este tegrablă pe mlţmea pctelor sale de dscottate este de măsră Lebesge lă rept cosecţă dacă mlţmea pctelor de dscottate ale e cţ mărgte este o crbă etedă pe porţ atc cţa este tegrablă Propretăţle tegrale dble Se pot pe î evdeţă rmătoarele propretăţ: d d ara g tegr α β R α βg tegr ş ( α βg d d α d β g d d (propretatea de lartate 8

88 tegr dd (propretatea de potvtate g tegr g d d g d d 5 tegr tegr ş d d 6 tegr ş ( P M P (propretatea de mootoe d d m m ara d d M ara 7 cotă pe P astel îcât ( d d ( P ara (teorema de mede Îtr-adevăr dacă m ş M st margle cţe cote pe ş ele st atse î P respectv d d d P atc ( P m λ M ( P ara acă C este o crbă coţtă î avâd capetele ş P ş ( t repreetarea parametrcă ( : ( t atc cţa compsă ( t ( ( t ( t P [ α β] C t g este cotă pe [ α β] ş g ( α m g ( β M propretatea l arbo a cţe g deoarece g ( α λ g( β reltă că t [ α β] astel îcât λ g ( t ( ( t ( t dec P t t c propretatea d eţ ( ( ( 8 acă este tegrablă pe U de ş st dome compacte ără pcte teroare come atc dd dd ( propretatea de adtvtate aţă de dome Calcll tegrale dble Î cele ce rmeaă vom prespe că dd este cţe cotă pe Fe Δ : a < < K < b Δ : c < < K< m d Fe [ ab] [ c d] dv oarecare ale tervalelor [ a b] respectv [ d ] c 8

89 Vom cosdera petr dvea Δ { } de δ [ ] [ ] P j δ j j m Fe pctele ξ [ ] η j [ j j ] j m ( ξ η j δj ş că ν ( Δ ν( Δ ν( Δ j Cm cţa este tegrablă avem σ Δ m j ( P j ara j ( δ câd ν ( Δ ( d d m ec ( d d d ( b a d c b a j m j F F ( ξ η ( ξ η ( ξ ( ξ ( ξ Δ F ( d d d c câd ν( Δ b a j Δ Δ Evdet că j Δ j Δ câd ν( Δ d c ( d Aalog (sa ţâd seama de teorema de tegrare a e tegrale c parametr Fe ( d d d ( d c b a d j d d a b de ϕ şψ st cţ cote pe ϕ ( ψ ( (dome smpl î raport c O Î acest ca lmtele de tegrare la tegrala ma st costate c depedet de ψ( ξ ( ξ ( ϕ( ξ ξ F ξ d [ a b] F( ξ 85

90 ψ( ş ( d d d ( Eempl Să se calclee I b a ϕ( d c d acă : c ϕ ψ cote pe [ a b] ϕ( τ( (dome smpl î raport c O atc dd d ψ( ( d d d ( dacă c ϕ( ( {( R ( } Solţe omel este smpl î raport c O ptâd scrs ş astel: ec I ( : ( ( ( ( d d d ( d [( ] ( ( d d l ( ( d Schmbarea de varable la tegrala dblă Fe o cţe cotă detă pe compactl d plal ( v reglată: T : ( v ( v O ş trasormarea Corespodeţa domelor este cea d gră Evdet cţa compsă ( ( v ( v este cotă pe Ne tereseaă care este legătra dtre elemetl de are dd d plal O ş ddv d Ov Reţeaa de crbe coordoate d Ov este cost ş v cost Avem evdet d d dv d d dv v v 86

91 Cm A( B B v cost C cost reltă că pctele A B ş E a coordoatele d d C dv dv de de reltă că ( ( v v ( d d ara Δ ABC d d d d ( v ddv dv dv dv dv dec ( dd ( (v ( v Eempl Să se calclee {( } a a I R I Solţe ρ cos ϕ ρdρdϕ ρ π π v v dd ( ( v de Făcâd trasormarea polară avem ρ cos ϕ ρ cos ϕ π π ϕ : ş acobal a s ϕ ρ a s ϕ ( ( ρ ϕ cos ϕ dϕ ρ dec as ϕ as ϕ ρdρ 5 Aplcaţ ale tegrale dble Ara dome pla ara π π dd cos ϕ a v v ddv (ormla schmbăr de varable a s ϕ dϕ s ϕ Eempl Să se calclee ara domel det de egaltăţle Solţe Făcâd trasormarea T : domel se v trasormă î dreptghl : Avem apo v de de ( v ( π π 87

92 ( ( v ( v ( Pr rmare dd ddv d v dv ara l v v Calcll volmelor Fe dome V R det de egaltăţle ( V : ( g( de ş g st cţ cote pe C terpretarea geometrcă a tegrale dble reltă că [ g ( ( ] vol V dd Eempl Să se calclee volml corpl lmtat de spraeţele ( e ş R Solţe Avem volv e dd dd ( ( e dd K K ara πr e ρ ρdρ ρdρdϕ dϕ πr ρ cos ϕ T : ρ s ϕ R π ρ R e π e ρ R : ϕ π Masa ş cetrl de gretate ale e plăc plae acă este o placă materală d plal ( este m ρ ( P O avâd destatea spercală ρ cţe cotă atc cm masa plăc ara δ M reltă că M masa ρ ( dd date evdet de ormlele Coordoatele cetrl de gretate G ( G G al plăc st 88

93 G ρ ( dd G M M acă placa este omogeă ( ρ cost G ara dd atc G [ ab] ρ ara ( dd dd Prespâd că domel : se ală î îtregme de o parte a ae ( g ( O să observăm că ltma ormlă poate scrsă sb orma b ara G d d g ( d ( d a g ( ( Amplcâd c π se obţe volml corpl de rotaţe a domel î jrl ae O ş ame v ara π G S-a ajs astel la a doa teoremă a l Gld: dacă dome pla se roteşte î jrl e ae d plal să ş care îl tersecteaă atc volml corpl de rotaţe astel obţt este egal c prodsl dtre ara domel ş lgmea cercl descrs de cetrl de gretate Eempll C ajtorl teoreme l Gld ptem rapd calcla cetrl de gretate al semcercl de raă R Astel de de πr πr π G G R 5R π Eempll Să se determe coordoatele cetrl de gretate al plăc plae omogee ( a b Solţe Elpsa d cerc de raă deormat vom olos trasormarea polară geeralată: a b aρ cos ϕ petr care bρ s ϕ ( ρ abρ Î acest ca : π ( ρ ϕ ϕ ab ara dϕ π Astel dd abρdρdϕ ab ρdρ π b a b a 89

94 dd aρ cos ϕ abρ dρ dϕ a π b ρ dρ a b cos ϕ dϕ ş g a π Avâd î vedere orma domel reltă a G b π π Mometele de erţe ale e plăc plae Mometele de erţe ale plăc avâd destatea spercală ρ ( aţă de orgea aelor ş aţă de aele de coordoate st date de ormlele: I O ( ρ( dd ρ I ρ( dd I ( dd O Eempl Să se calclee mometl de erţe al dscl de raă R î raport c cetrl să î potea că este omoge Solţe acă destatea dscl este d atc avem I O d π R ( dd d ρ ρ dρ dϕ d dϕ O πr ρ dρ d π Eercţ s Să se calclee d d schmbâd ordea de tegrare Să se calclee d d a 6 9 π de ( { } R R : l b s ( d d de [ ] a b d d c ( R : - π π π π R : π R a b dacă ( d d d de 6 e ( { R } 7π R : d d de {( R 6} R : ( 9

95 e ( s ( d d R Să se calclee arle domelor lmtate de a elpsa ( ( R : π v π b cercrle ş dreptele R : a c parabolele a a a > R : Să se calclee volml corpl lmtat de spraeţele a a a b - a ( a ( - a > R : 9 R : a π a 5 Să se determe cetrl de gretate al plăc omogee lmtate de astroda a ş aele O 56 a ş O R: π 6 Să se calclee mometele de erţe î raport c aele de coor doate ale plăc omogee mărgte de crba a ( a > R : I 5π a 6 d I π a 6 8 d 9

96 III INTEGRALA TRIPLĂ eţa tegrale trple Itegrala trplă a e cţ de tre varable pe dome compact d R se trodce absolt aalog tegrale dble Noţea de tegrabltate dversele crter de tegrabltate propretăţle cţlor tegrable se trasp c şrţă de la cţle de doă la cele de tre varable Petr a rela îtreaga teore ş ma ales petr a smplca eperea e vom lmta la cal cţlor cote Fe V compact d R ş Δ { v } o dve a sa obţtă pr împărţrea l V îtr- măr t de compacte c ajtorl or spraeţe eavâd pcte teroare come Norma dv Δ este Δ ma d ( v d d dametrl mlţm ν ( ( v Fe : V R o cţe cotă Δ o dve a l V pctele P v { } v ( η ς v ( ξ ş sma P vol v ξ η ς ( ( tegrală σ Δ ( vol v acă repretă destatea corp ce ocpă ( domel V atc σ apromeaă masa corpl apromaţa d c atât ma bă c cât dvea Δ este ma ă Nmm tegrala trplă a cţe pe V mărl I lm σ( Δ ν( Δ Î cal cţe cote această lmtă estă este tă ş depde de alegerea pctelor P Itegrala trplă se oteaă V ( d d d V d d d sa V dω Calcll tegrale trple Fe V dome smpl î raport c aa O adcă dome det de egaltăţle ( V : ϕ( ψ( de ϕ ş ψ st cţ cote pe Procedâd ca î cal tegrale dble se obţe rmătoarea ormlă de calcl ψ( ( d d d d d V ϕ( ( d Pr rmare calcll tegrale trple se redce la calcll e tegrale dble ş a e tegrale smple 9

97 Eempl Să se calclee Solţe I V d d d ( dacă domel V este lmtat de plaele ( eoarece V : avem I d d 6 6 ( ( ( d d d ( d d d ara 8 6 l 5 6 d d ( d d d Schmbarea de varable la tegrala trplă acă domel compact V este magea domel V pr trasormarea reglată ( vw T : ( vw ( vw V ar ( este o cţe cotă pe V atc are loc ormla ( vw ( ( vw ( ( vw ( vw ( vw d dv dw ( d d d V V mtă ormla schmbăr de varable la tegrarea trplă Eempl Să se calclee I V d d d de {( R 8 } V Solţe Făcâd trasormarea sercă: ρ s θ cos ϕ ρ ( ρ s θ s ϕ avem ρ s θ ş V : ϕ π ( ρ ϕ θ π ρ cos θ θ s θ Astel I ρ cos θ ρ s θ dρ dϕ dθ ρ dρ dϕ dθ 8π V π π 9

98 Aplcaţ ale tegrale trple Calcll volmelor Faptl că volv d d d reltă d aceea că orce smă ( V tegrală a cţe este egală c volv Eempl Să se calclee volml d cldrl a cprs ître parabolodl a ş plal O Solţe C trasormarea cldrcă: π π ρ cos ϕ ϕ ( ρ s ϕ avem ρ ş V : ρ a cos ϕ Pr rmare ( ρ ϕ ρ a volv V d d d π π V dϕ ρ dρ dϕ d a cos ϕ π π ρ ρ dρ a dϕ a a cos ϕ π dϕ 6a π ρ dρ ρ a d cos π ϕ a Masa ş cetrl de gretate ale corp ρ este destatea corp ce ocpă domel V R atc masa acă ( corpl este dată de M G M V ρ( ϕ V d d d ( d d d G M V ρ ( ar coordoatele cetrl de gretate de: d d d ρ G M V ( d d d Eempl Să se calclee cetrl de gretate al jmătăţ speroare a sere de raă R c cetrl î orge dacă destatea sa este costată π Solţe Corpl d omoge G d d d Avem apo volv R volv ş V π d d d dϕ R ρ dρ V π ρ cos θ ρ π s θ dθ R s θ dρ dϕ dθ de de G V R 8 Î vrttea smetre corpl V cetrl de gretate este G R 8 9

99 Mometele de erţe ale corp avâd destatea ( V st date de ormle ca: I ( ρ( d d d V I ( ρ( d d d I ( ρ ρ ş ocpâd domel d d d V V Eempl Să se calclee mometele de erţe ale pramde omogee lmtate de plaele de coordoate ş plal a b c Solţe Avem ρ cost dec b c a a a b abc I O ρ d d d ρ d d d ρ 6 V Pr rmare a bc ab c abc I O ρ I O ρ ş I O ( a b c ρ Poteţall ewtoa Petr pct materal de masă m poteţall ewtoa sa gravtaţoal se deeşte pr ormla Um/r de r este dstaţa pctl materal pâă la pctl d spaţ î care se cosderă poteţall Î cal corp materal care ocpă domel V R ş are destatea ρ poteţall ewtoa î pctl P ( este U ( P ρ( dd d ( V ( ( ( Eempl Să se calclee poteţall ewtoa al cldrl omoge det de egaltăţle a h îtr- pct de pe aa cldrl Solţe Fe ş destatea μ Avem U ( c μ πμ [ a l μ V r dϕ h c > h d dd d a ( h c ( h c a c ρ c ( c ρ dρ a ( c πμ h a ( c c d ( h c ( h c a c a c h( h c ] Eercţ Să se calclee / a d d de V este cldrl V [ ( ] d 95

100 π b s ( dω de V este lmtat de plaele V c dω V a de V ( { R } R : π 8 d d d d trecâd la coordoate cldrce R : a 9 e d d d ( R : π d dd ; ( Să se calclee volml corpl mărgt de plaele 9 a a R: a 86 Să se calclee volml corpl mărgt de spraaţa ( a R : Să se calclee volml corpl lmtat de sera ş parabolodl (teror parabolodl R : 5 Să se determe cetrl de gretate al corpl materal omoge care ocpă domel V : R : G a b c a b c 8 b 8 6 Să se calclee mometele de erţe î raport c plaele de coordoate ale corpl materal care a ocpă domel mărgt de spraeţele c > ş avâd destatea d cost b c 7 R : 5 8 π a 9π 6 π abc d π a bc d π ab c d R : I I I 5 7 Să se calclee masa paralelppedl a a b c dacă destatea î ecare abc pct ( este dată de ρ ( R : ( a b c 8 Să se calclee mometl de erţe î raport c orgea a corpl de destate ρ care ocpă domel ( { a a > } π a 97 V R a R :

101 IV INTEGRALE CURBILINII Itegralele crbl se trodc petr cţ dete pe arc de crbă Fe C o crbă smplă d R etedă (sa etedă pe porţ ş oretată avâd etremtăţle A ş B Fe { } Δ M de A M < M < K< M B o dve a e pr pctele M C Norma νδ ( a dv Δ este cea ma mare dtre ( t lgmle coardelor M M acă ( t t [ α β] c ( t C [ α β] este repreetarea parametrcă a crbe C atc evdet că dv Δ î corespde dvea Δ a segmetl [ α β] de α t < < < t β ş M ( t Să observăm că ν M { t } t ( Δ ν( Δ [ ( t ( t ] [ ( t ] [ ( t ( t ] M de ξ η ς [ t t ] Îtr-adevăr c teorema creşterlor te avem [ ( ξ ] [ ( & η ] [ &( ς ] ( t t λ ( t t & Notâd c m m λ M ma λ avem ( t t ν ( Δ ν ( Δ ma M M M ma M ş ν ( Δ ma ( t t ma M M ν ( Δ m m t Itegrala crble î raport c lgmea arcl (de speţa I-a Fe cţa cotă F : C R Δ { M} o dve a crbe C câte pct P aparţâd arcl M M ş sma tegrală σ Δ F F ( P de l este lgmea ( l arcl M M Î cal î care F repretă destatea lară a rl materal avâd ca mage crba C σ F apromeaă masa rl Δ ( Pr deţe tegrala crble î raport c lgmea arcl a cţe F de-a lgl AB ( arcl AB este F dl lm σ Δ F Se oloseşte ş otaţa Fdl ν( Δ Se poate demostra că î potea ăctă (crba etedă ş cţa F cotă lmta de ss estă este tă ş depde de alegerea pctelor termedare P C 97

102 σ Δ C Propretăţ ale Fdl Fdl depde de sesl de parcrs al crbe adcă Fdl Fdl AB ( αf βg dl α Fdl β Gdl α β R AB AB AC CB AB AB AB BA (lartatea Fdl Fdl Fdl dacă C AB (adtvtatea aţă de arce C Calcll Fdl Evdet că dacă ( F F ( P l F ξ η ς τ [ t t ] ( P τ M M atc τ [ t t ] Are loc apromarea ( ( τ ( τ ( τ & ( ξ & ( η & ( ς ( t t ( ( τ ( τ ( τ & ( τ & ( τ & ( τ ( t t F Aceasta reltă d cottatea ormă a cţe g ( vw & ( & ( v & ( w pe compactl [ α β] [ α β] [ α β] precm ş d mărgrea cţe F ( ( t ( t ( t pe [ α β] Îtr-adevăr ε> η ε astel îcât orcare ar pctele avem ( v w P ( v w ( P c v v w w < η să ε β α g ( vw g( v w < Atc dacă ν ( Δ < η M reltă [ F ( ( τ ( τ ( τ g ( ξ η ς F ( ( τ ( τ ( τ g ( τ τ τ Δt ] F ( ( τ ( τ ( τ g ( ξ η ς g ( τ τ τ ( t t ε β α ( t t M ε Fcţa F ( & & & d cotă pe [ β] trecâd la lmtă σ ( F câd ν ( Δ (echvalet c ν ( Δ Δ a tegrale crbl de prma speţă ş ame β ( ( t ( t ( t Fdl F & & dt C α Observaţ: & de α dec tegrablă observăm că obţem ormla de calcl Forma dereţală dl & & & dt d d d se meşte elemet de arc al crbe C 98

103 Formla de calcl trebe adoptată petr dertele repreetăr ale crbe care poate ş plaă pctele Eempl Să se calclee I A( ş B Solţe Evdet că [ C t dl de-a lgl crbe C : t 8t ître t ] dl t t dt t dt ( tdt Avem apo 8t t & & t & t 5 ş dec I t ( t dt t ( t dt Aplcaţ Lgmea arc de crbă Este evdet că lgmea crbe C este dată de ormla L dl C Masa ş cetrl de gretate ale r materal acă destatea ρ ( a rl materal mage a crbe smple C este cţe cotă atc masa rl este dată de coordoatele M ρ C G dl G dl G L L L C C C ( dl ar cetrl de gretate G are dl de L este lgmea crbe Mometele de erţe ale r materal de destate ( ( ormle ca: I ρ( dl Eemple C I O C ρ( dl I O ( C ρ( ρ se calcleaă c dl Să se calclee masa rl materal care are ca mage arcl de parabolă [ ] ( ş destatea lară ρ Solţe Masa este dată de M ( dl ar dl d d dec l ( ( d ( sh C ( 7 M ch d l 6 Să se determe cetrl de gretate al e spre a elce: a cos t a s t bt t π ştd că destatea sa lară este costată: [ ] 99

104 Solţe & a s t & a cos t & b reltă dl a b dt Urmeaă că L C dl π a b dt π a b π π dl a cos t a b dt dl a s t a b dt C C π dl bt a b dt πb a b ş dec G ( bπ C reltat evdet Itegrala crble î raport c coordoatele (de speţa a II-a Vom prespe de data aceasta că pe crba C este detă cţa vectorală cotă F :C R de F ( P X ( P Y ( P j Z ( P k P C acă { } este o dve a crbe C ş P Δ M M M σ Δ ( F F ( P M M să cosderăm sma ( X ( P Δ Δ Δ Y ( P Z ( P acă F este o orţă ce acţoeaă de-a lgl crbe C atc σ Δ ( F repretă c apromaţe lcrl mecac eectat de ea Itegrala crble a cţe F de-a lgl crbe C (tegrala de speţa a doa se trodce ca d X d Y d Z d lm σδ ( F Ea se oteaă ş F dr avâd ν ( Δ C C î vedere că dacă r j k atc d r d d j d k Lmta de ss î codţle mpse crbe de a etedă sa etedă pe porţ ş cţe F de a cotă estă este tă ş depde de pctele termedare P Observaţ Aalog se deeşte X d Y d de C este o crbă d pla C Itegrala crble a cţe vectorale F de-a lgl crbe îchse C se meşte crclaţa vectorl F pr cotrl îchs C ş se oteaă Γ Propretăţ: F dr F dr ; AB BA C F dr

105 ( αf βg dr α F dr β G dr α β R AB AB F dr AC F dr Calcll F dr AB CB F dr AB C AB AB Î cal partclar î care F X avem σ Δ F X P [ ( t ( t ] X ( P ( ξ ( t t & de ξ [ t ] ( ; t Avâd î vedere că X d depde de alegerea pctelor P vom alege C P ( ξ M M ş vom avea σδ C ( X X ( ( ξ ( ξ ( ξ ( & ξ ( t t ν( Δ X ( d β α X ν( Δ ( ( t ( t ( t ( & t Ca rmare ormla de calcl a tegrale crbl î raport c coordoatele este X C β α Aplcaţ ( d Y ( d Z ( d { X ( ( t ( t ( t ( & t Y ( (t ( t ( t & ( t Z( (t ( t ( t & ( t } Să se calclee lcrl mecac prestat de orţa F ( j î deplasare pe arcl al parabole : de la A ( la B ( ( a B ( a C ( b dt dt AB Solţe e-a lgl arcl AB a căr repreetare eplctă este avem d d dec lcrl mecac va [ ] L AB F dr AB d d ( d 5 5 Să se calclee crclaţa vectorl F j k î cotrl îchs ABCA de A AB este arc de cerc CA este arc de elpsă

106 Solţe Avem π Γ ş F dr ( a cos t s t a s t cos t C ( C F dr d d d ABCA ABCA C C Pâd î evdeţă repreetărle parametrce ale celor tre arce avem : a cos t d a s t dt π ( C : a s t t d a cos t dt d dt d : [ ] a ş a b d d b b a s t d a cos t dt π ( C : t d b cos t d b s t dt ş dr a ab ec Γ 6 Formla l Gree * ab F d r a d b 6 C C π b a F a s t cos t dt acă R este dome compact a căr roteră este crba etedă pe porţ C atc vom cosdera ses drect sa potv de parcrgere a rotere acela î care observator deplasâd-se de-a lgl e lasă terorl domel la stâga C Ambele dome a rotera oretată drect ome smpl coe ome dbl coe (c o gară Teoremă Fe X ş Y doă cţ dete ş cote pe dome elemetar R a X Y căr roteră este crba etedă C acă ş st cote pe atc are loc Y X ormla (l Gree X d Y d d d C sesl de parcrs al rotere d cel drect * G Gree (79-8 matematca brtac