5. POZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELOR GEOMETRICE

Transcript

1 ZIŢII RELATIVE ZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELR GEMETRICE 5. oţle relte ouă plne Două plne pot f prlele su concurente în spţu. 5.. lne prlele ornn e l teore confor căre ouă plne prlele sunt ntersectte e un l trele pln upă repte prlele (l trele pln fn unul n plnele e proecţe), reultă că ouă plne orecre [] ş [] sunt prlele că u urele e celş fel prlele între ele (f. 5.). Recproc ceste teoree este llă, că [V] că urele e celş fel ' ' ouă plne sunt prlele în " [L] epură, plnele sunt prlele [] [] în spţu. " Teore e sus pote f erfctă pentru [H] tote plnele, refertor l urele orontle ş ertcle, ecepţe fc plnele pr- ) ) lele cu, l cre treue erfcte ş urele lterle, ân în eere că pentru tote ceste plne urele orontle ş ertcle sunt prlele cu. În fur 5., plnele [] ş ' [] [] nu sunt prlele pentru " că urele lor lterle ş D [L] se ntersecteă ş nu [V] " sunt prlele. Cele ouă plne se ntersecteă upă [] " fronto-orontl D(,, ) [H] Cân plnele nu sunt te prn ure, erfc că ouă plne sunt su nu prlele, rene l erfc că unul ntre plne re ouă repte prlele cu ouă repte n celăllt pln. În fur 5.3 plnele ) ) [] ş [] sunt eternte prn trunurle ABC, respect EFG, F.5. Repreentre plnelor prlele: ) în spţu, [] []; ) în epură,,, [] = [ABC], [] = [EFG]. entru erfc că sunt su nu prlele, se uce câte o orontlă D [ABC], D [EFG] ş câte o frontlă D 3 [ABC], D 4 [EFD] în fecre pln ş " " ' " " " F.5. Repreentre plnelor prlele cu, concurente: ) în spţu, [] [] = D, D [L] ; ) în epură,,, =

2 54 GEMETRIE DESCRITIVĂ ' 4 ' f' ' ' 4' 3 ' ' ' ' ' 3' e' f e c F.5.3 Trunur prlele [ABC] [EFG] ) ' că proecţle orontle le orontlelor ş proecţle ertcle le frontlelor sunt prlele, 3 4, tunc plnele sunt prlele, [ABC] [EFG]. Fn t un pln prn ure ş un punct eteror lu se pote constru plnul ce trece prn cel punct ş este prlel cu plnul t. Astfel, în fur 5.4,, se ă plnul [] ş punctul M(, ), eteror lu ş se cere construre unu pln [] []. entru reolre, se construeşte prn punctul M o orontlă D(, ), cu proecţ orontlă prlelă cu ur orontlă, ş se eternă ur ertclă e,. rn se uce ur ertclă plnulu [], stfel încât :. Ur ntersecteă în, prn cre se uce ur orontlă plnulu [] : (f.5.4, c). ) ' c) ' ' F.5.4 Construre unu pln [] prlel cu un pln [], prntr-un punct M, eteror lu 5.. lne concurente ' [V] [] V= ' [H] [] D " [L] H= ) ) ' F.5.5 Repreentre plnelor concurente: ) în spţu, [] [] = D(, ); ) în epură, =, =, =, = ' Două plne concurente se ntersecteă upă o reptă. Dcă plnele sunt te prn ure, rept e ntersecţe treue să respecte conţ e prtenenţă l pln, pentru ele plne, că să ă urele stute pe urele plnelor. Aceste puncte sunt punctele e ntersecţe le urelor e celş nue. În fur 5.5, plnele [] ş [] se ntersecteă upă rept D(, ), le căre ure

3 ZIŢII RELATIVE 55 sunt : ur orontlă H(, ) l ntersecţ urelor orontle ş le plnelor, H = = ş ur ertclă V(, ) l ntersecţ urelor ertcle le plnelor, V = =. roecţle repte e ntersecţe se oţn unn proecţle urelor e celş nue : =, = (f.5.5, ). Dcă plnele ntersectte [] ş [] u urele orontle prlele, ur orontlă repte e ntersecţe se flă l nfnt, că rept f o orontlă G(, ) (f.5.6). Ur e ertclă se flă l ntersecţ urelor ertcle le celor ouă plne, = r proecţ orontlă trece prn ş este prlelă cu urele orontle le celor ouă plne,. În o nlo, că urele ertcle le plnelor concurente [R] ş [T] sunt prlele, rept e ntersecţe f o frontlă, F(f,f ), cre re ur ertclă l nfnt (f.5.7). Ur orontlă frontle se ăseşte l ntersecţ urelor orontle celor ouă plne, = R T, r proecţ ertclă frontle f trece prn ş este prlelă cu urele ertcle le plnelor, f R T. Se pune prole ntersecţe ntre un pln orecre ş un pln e nel su e front. lecân e l rţonentul confor căru ouă plne prlele sunt ntersectte e un l trele upă ouă repte prlele, ntersecţ ntre un pln orecre [] ş un pln e nel [N] este o orontlă G(, ) (f.5.8). Cele ouă plne prlele sunt plnul orontl [H] e proecţe ş ' [V] ' [] [] ' " V= G [L] [H] ) ) [V] [] " N'=' N' V= ' " G [L] [N] N" [H] ) ) " l' N"=" l" F.5.8 Repreentre ntersecţe pln orecre [], pln e nel [N] : ) în spţu ; ) în epură l ' F.5.6 lne concurente [] [] = G(, ), G [H] : ) în spţu ; ) în epură [V] R T ' R' f' H= [H] [R] T' F [T] [L] f R" R T ) ) R ' T f F.5.7 lne concurente [R] [T] = F(f,f ), F [V] : ) în spţu ; ) în epură T R' f' R T'

4 56 GEMETRIE DESCRITIVĂ plnul [N], r plnul cre le ntersecteă este plnul []. Reultă rept ur orontlă plnulu [] (orontlă e cotă ero) ş rept e ntersecţe căuttă G(, ) - orontlă e cotă elă cu cot plnulu e nel (f.5.8, ). În epură, proecţ ertclă orontle e ntersecţe trece prn ur ertclă, = N ş este suprpusă peste ur ertclă plnulu [N], N r proecţ orontlă trece prn ş este prlelă cu ur orontlă plnulu [], (f.5.8, ). [V] " [F] F" [] [L] ' ' D " F= F H= [H] ) ) F.5.9 Repreentre ntersecţe pln orecre [], pln e front [F] : ) în spţu ; ) în epură Slr pentru ntersecţ ntre un pln orecre [] ş un pln e front [F] se oţne o frontlă D(, ) (f.5.9). roecţ orontlă frontle trece prn ur orontlă, = F ş este suprpusă peste ur orontlă plnulu e front, F, r proecţ ertclă trece prn ş este prlelă cu ur ertclă plnulu [],. Intersecţ ouă plne prlele cu, [] ş [], este o reptă D(, ), cre nu re nc ură orontlă, nc ură ertclă, ân în eere că urele orontle ş ertcle celor ouă plne se ntersecteă l nfnt (f.5., ). stfel e reptă, este o fronto-orontlă. entru trsre e în epură R = '= ' R ' R'= '= ' ' ' F.5.0 Intersecţ ouă plne prlele cu ln e păânt (f.5., ), treue să se ăsescă cel puţn un punct l repte, su ur lterlă cre este entcă cu proecţ lterlă fronto-orontle ş se flă l ntersecţ urelor lterle celor ouă plne, =. entru eternre unu punct coun celor ouă plne prlele cu, cân nu se pote lucr cu plnul lterl, se pote folos un pln ulr pln proectnt su pln orecre. În fur 5.0 plnele [] ş [] se ntersecteă cu plnul e cpăt [R], reultân c punct coun l celor tre plne, punctul I(, ) : [] [R] = D (, ), [] [R] = D (, ), =. Fronto-orontl e ntersecţe D(, ) se trseă prn punctul I(, ) :,,,. În cul în cre urele plnelor concurente nu se întâlnesc în crul epure, rept e ntersecţe se eternă cu jutorul unor plne ulre, e nel su e front. Aceste ntersecteă fecre n plnele te upă câte o orontlă su o frontlă, l ntersecţ căror se flă un punct coun celor tre plne, cre eternă rept e ntersecţe. În fur 5. sunt repreentte ouă plne, [] ş [], le căror ure orontle ş ertcle nu se ntersecteă în crul epure. Cu jutorul plnulu ulr e nel [N] s-u eternt orontlele G (, ) ş G (, ), upă cre plnul e nel ntersecteă fecre n plnele te ş punctul lor coun e ntersecţe I(, ) : [N] [] = G (, ), l' l F"=" l" " "

5 ZIŢII RELATIVE 57 [N] [] = G (, ), =. unctul I(, ) este un punct l repte e ntersecţe D(, ) ntre plnele [] ş []. Un lt punct J(j,j ) l repte e ntersecţe s- eternt cu jutorul plnulu ulr e front [F], cre ntersecteă plnele upă frontlele D (, ) ş D (, ) : [F] [] = D (, ), [F] [] = D (, ), = j. unctele I(, ) ş J(j,j ) eternă rept e ntersecţe D(, ) : = j, = j. Dcă în crul epure se întâlnesc nu urele orontle su ertcle le plnelor concurente, se foloseşte un snur pln ulr. N'= '= ' ' ' ' ' F= = j j' ' ' ' F.5. Intersecţ plnelor le căror ure nu se întâlnesc în crul epure 5. oţle relte le une repte fţă e un pln Drept ş plnul pot e în spţu urătorele poţ relte : ) - rept conţnută în pln (c trtt în prrful 4., fur 4.6) ; ) - rept prlelă cu plnul ; c) - rept concurentă cu plnul. ) Drept prlelă cu plnul reptă este prlelă cu un pln că este prlelă cu o reptă conţnută în cel pln. În fur [V] V= 5. sunt repreentte, D tât în spţu () cât ş în epură (), plnul [] ' ' ş o reptă D(, ). În epură, erfcre prlels-ulu ntre cele ouă eleente, se fce trsân o reptă D, în plnul [] ş rătân că cest este prlelă cu rept D(, ) tă. H= ' D În prul rân, se trseă proecţ e ertclă, (f.5., ). Se eternă po proecţle ertcle le urelor ş ş coresponentele cestor în plnul orontl, ş. Dcă proecţ orontlă repte D (, ), =, este prlelă cu proecţ orontlă repte te,, reultă că cele ouă repte sunt prlele, ec ş rept tă este prlelă cu plnul : D []. Dcă se pune prole construr une repte D (, ) prlele cu un pln [] prntr-un punct A(, ), eteror plnulu, prole re o nfntte e soluţ. ' [] [L] " [H] ) ) F.5. Dreptă prlelă cu plnul, D(, ) [] : ) în spţu ; ) în epură ' ' ' '

6 58 GEMETRIE DESCRITIVĂ entru reolre, se trseă o reptă D(, ), cuprnsă în pln ş prn punctul A(, ) se uce rept D (, ) prlelă cu cest, stfel: ş (f.5.3). Drept D (, ) este prlelă cu plnul [], eorece este prlelă cu o reptă cuprnsă în pln. ' ' ' ' ' ' ' ' c F.5.3 Construre une repte prlelă cu un pln : D [] F.5.4 Construre unu pln prlel cu o reptă, [] D su [] D role se pote pune ş ners, că să se construscă un pln [] prntr-un punct t C(c,c ), prlel cu o reptă D, tă e punctele A(, ) ş B(, ). În cest c, plnul căutt treue să conţnă o reptă D(, ), cre trece prn punctul t ş este prlelă cu rept tă. lnul le căru ure trec prn urele repte D (că plnul conţne rept) este plnul cerut. Deorece o reptă nu eternă coplet un pln, estă o nfntte e soluţ. În epur n fur 5.4 s-u construt ouă stfel e plne, [] ş ' ' ' ' F.5.5 Dreptă prlelă cu ouă plne : D [], D [R] [], leân punctele e ntersecţe cu, ş, rtrr ş unn ceste puncte cu urele repte D, []: =, = ; []: =, =. reptă este prlelă cu ouă plne că este prlelă cu rept lor e ntersecţe (snur reptă coună elor plne). În fur 5.5 se cere să se trsee o reptă D prntr-un punct M(, ), cre să fe prlelă cu plnele [] ş [R]. Se eternă rept e ntersecţe ntre cele ouă plne, D(, ) = [] [R] ş prn punctul M se uce rept cerută, stfel : prn, ş prn,. Drept D (, ) stfel constrută este prlelă cu cele ouă plne, pentru că este prlelă cu rept D, cre prţne elor plne. c) Drept concurentă cu plnul Deternre punctulu e ntersecţe ntre o reptă ş un pln este ult utltă pentru reolre unor prolee e secţun plne în corpur eoetrce, e ntersecţ e corpur eoetrce ş ltele. entru etern punctul e ntersecţe ntre o reptă orecre ş un pln orecre (f.5.6) se utleă un pln ulr, e reulă un pln proectnt, pln eternt e reptă. Etpele eternăr punctulu e ntersecţe ntre plnul [] ş rept D(, ) sunt preentte în fur 5.7 : ) prn rept D(, ) se uce un pln ulr proectnt, [], conenl les (e cpăt în cest c) (f.5.7, );

7 ZIŢII RELATIVE 59 ) se ntersecteă plnul proectnt [] cu plnul orecre [], reultân rept D (, ), =, = (f.5.7, c); 3) se eternă punctul e ntersecţe ntre rept tă ş rept ăstă nteror, D D = I(, ). Cele ouă repte fn în plnul jutător [], punctul lor e ntersecţe se ăseşte, întâ, pe plnul e proecţe fţă e cre plnul jutător nu este proectnt, că pe plnul orontl : = (f.5.7, ). Deorece punctul I prţne repte D ş cest este conţnută în plnul [], reultă că I este punctul e ntersecţe ntre rept D ş plnul []. ) Dcă rept cre ntersecteă un pln este orecre, leere plnulu ulr c pln e cpăt su pln ertcl este l fel e conenlă. În fur 5.8 este repreenttă, în spţu ş în epură, ntersecţ e sus, reoltă cu jutorul unu pln ulr ertcl. În cest c plnul ulr fn proectnt fţă e plnul orontl, punctul e ntersecţe se eternă, întâ, în proecţ e pe plnul ertcl e proecţe, =. Atunc cân rept cre ntersecteă un pln este într-o ) '= [V] V= D ' D [V] [H] V= D '== ' I [H] H= I [] H= == '== ' ' c) [L] " ' [] == ) ) ' ' = F.5.8 Repreentre ntersecţe reptă - pln orecre (utlân pln proectnt ertcl) : ) în spţu ; ) în epură =' '== ' F.5.7 Etpele eternăr punctulu e ntersecţe ntre plnul [] ş rept D(, ) D [L] [] " =' [] ) ) '== ' F.5.6 Repreentre ntersecţe reptă - pln orecre (utlân pln e cpăt) : ) în spţu ; ) în epură ) ='

8 60 GEMETRIE DESCRITIVĂ ' [V] F"="= " F"="= " ' " [F] D [L] " D ' I " = F= [] F= = [H] ) ) F.5.9 Repreentre ntersecţe ntre ertcl D(, ) ş un pln orecre [] : ) în spţu ; ) în epură " D " " " [L] [V] I " [] " [H] ) ) F.5.0 Repreentre ntersecţe ntre o reptă e profl ş un pln prlel cu ln e păânt : ) în spţu; ) în epură poţe prtculră, plnul ulr pote f les ş în ltă poţe ecât e pln proectnt. Astfel, pentru reol ntersecţ ntre o reptă ertclă D(, ) ş un pln orecre [], plnul ulr les este un pln e front [F], us prn reptă (f.5.9). lnul [F] ntersecteă plnul t upă o frontlă D (, ), cre ntersecteă ertcl tă în punctul I(, ), ntersecţe lă în proecţ pe plnul ertcl e proecţe, =. Intersecţ ntre o reptă ş un pln, ele ân poţ prtculre fţă e plnele e proecţe, pote f reoltă ş fără jutorul plnulu ulr, punctul e ntersecţe reultân rect pe unul n plnele e proecţe. Acest se pote oser în reolre ntersecţe ntre un pln prlel cu ln e păânt [] ş o reptă e profl D(, ), fur 5.0. unctul e ntersecţe I(, ) se ăseşte, întâ, pe plnul lterl e proecţe, c ntersecţ ntre ur lterlă plnulu ş proecţ lterlă repte e profl, =. c Intersecţ ntre o reptă orecre ş o fură eoetrcă =' '=3' 5' ' 4' 3 4=5 ) ' ' c R' ' ' 4'=5' ' =3 4 5 R= ) F.5. Intersecţ ntre o reptă orecre D(, ) ş o plcă plnă opcă [ABC] ' 3' Deternre punctulu e concurenţă ntre o reptă ş un pln t prn coorontele ârfurlor une fur eoetrce se fce c ş în cul preentt l plnul t prn ure. În fur 5., pentru ăsre punctulu în cre rept D(, ) ntersecteă plc [ABC], se uce un pln e cpăt [] prn reptă ş se eternă rept (, ) upă cre cest ntersecteă plc : c =, c =.

9 ZIŢII RELATIVE 6 Acestă reptă se ntersecteă cu rept tă D(, ) în punctul I(, ), punct e ntersecţe ce se oţne, întâ, în proecţ pe plnul orontl, =, pentru c po cu jutorul une ln e orne să se eterne ş proecţ ertclă. Dcă plc este opcă, este necesr să se stlescă porţunle le ş respect nle le repte. entru eternre ltăţ repte în proecţ ertclă se conseră punctele 3 une, prent, proecţ ertclă repte ntersecteă ltur c plăc ş se stleşte cre ntre ele re epărtre re. Dn proecţ orontlă reultă că punctul re epărtre re, ec în proecţ ertclă punctul este în fţ punctulu 3 ş plct ltur c este lă. e porţune proecţ ertclă repte este nlă n până în ş lă n până în. Bânu-ne pe cest rţonent ş ştn că, în proecţ orontlă ntre ouă puncte cre u proecţle orontle suprpuse este l punctul cre re cot re, în contnure s-u consert punctele 4 5, l ntersecţ prentă proecţe orontle repte cu ltur c ş s- stlt ltte repte pe plnul orontl. În proecţ orontlă, repte este lă e l ltur c până în ş nlă n până l ltur c. Aceeş proleă se pote reol utlân c pln jutător un pln proectnt ertcl [], us prn rept D(, ), oţnânu-se celeş reultte (f.5., ). Intersecţ ouă plăc plne Ştn că ouă plne se ntersecteă upă o reptă, se pune prole eternăr repte e ntersecţe ntre ouă plăc plne. entru cest se or fl ouă puncte e ntersecţe ntre lturle une plăc cu celltă plcă, puncte cre or etern recţ repte e ntersecţe. În fur 5. sunt te plăcle trunulre [ABC] ş [KMN]. entru eternre repte lor e ntersecţe, se propune flre punctelor în cre lturle KM ş MN le plăc [KMN] ntersecteă plc [ABC]. rn ltur KM se uce plnul e cpăt [ ], cre ntersecteă plc [ABC] upă rept (, ) ş e l rânul e ltur KM în punctul I(, ), unul ntre punctele cre eternă rept e ntersecţe ntre cele ouă plăc. entru eternre unu l ole punct l repte e ntersecţe, prn ltur MN se uce plnul e cpăt [ ], cre ntersecteă plc [ABC] upă rept (34,3 4 ), r cest este ' k k' ' 7' 6' 6=7 5 '=5' ' ' ' j' 3' 3 j 4' ' F.5. Intersecţ ouă plăc plne opce, [ABC] [KMN] = IJ(j, j ) 4 n' n c

10 6 GEMETRIE DESCRITIVĂ concurentă cu ltur MN în punctul J(j,j ). Cele ouă plăc trunulre se ntersecteă upă seentul IJ(j, j ). lăcle fn conserte opce, se stuă ltte lturlor. În pln ertcl, se conseră punctele prent suprpuse 5 ş în pln orontl, punctele 6 7, folosn teor cunoscută. Astfel, în proecţ ertclă este l punctul, ec ltur, r în pln orontl, punctul 7, ec ltur k, în reptul ntersecţlor prente. Restul seentelor le ş nle reultă n epură, în funcţe e ln e ntersecţe, conserân plăcle re. ' n' 3' ' ' 7' 4' ' ' ' '=5' k' ' 6' ' k = ' 6=7 c n F.5.3 Intersecţ ouă plăc plne opce, [ABC] [KMN] = (, ) unctele cre eternă seentul e reptă upă cre se ntersecteă ouă plăc nu reultă întoteun rect. În fur 5.3 pentru eternre repte e ntersecţe ntre plăcle [ABC] ş [KMN] se ntersecteă lturle KN ş MN cu plc [ABC], folosn plnele ulre e cpăt [ ] ş [ ]. Ltur KN ntersecteă plc [ABC] în punctul (, ), r ltur MN ntersecteă plnul n cre fce prte trunulu ABC în punctul (, ) ş nu trunul efect. Dn rept e ntersecţe (, ), seentul upă cre se ntersecteă cele ouă plăc este (, ), (, ) fn punctul în cre ltur BC ntersecteă plc [KMN]. Vltte plăclor se eternă stun ltte punctelor (, ), (5,5 ) ş punctelor (6,6 ) ş (7,7 ).

11 ZIŢII RELATIVE Drepte ş plne perpenculre ) Drept perpenculră pe un pln Un c prtculr l ntersecţe ntre o reptă ş un pln orecre este cul cân rept fce cu plnul un un e reptă D(, ) perpenculră pe un pln orecre [], ntersecteă cel pln într-un punct I(, ). rn punctul e ntersecţe se pot uce în pln o orontlă G(, ) ş o frontlă F(f,f ) plnulu. Confor teoree unulu rept, proecţ orontlă repte f perpenculră pe proecţ orontlă orontle, ec ş pe ur orontlă plnulu ş proecţ ertclă repte f perpenculră pe proecţ ertclă frontle f, ec ş pe ur ertclă plnulu (f.5.4). serţe : reptă este perpenculră pe un pln că proecţle e sunt perpenculre pe urele e celş nue le plnulu. Recproc teoree enunţte sus este eărtă, cu ecepţ plnulu prlel cu ş plnulu l, l cre tote reptele e profl u proecţle orontle ş ertcle perpenculre pe urele e celş nue le plnulu. Verfcre perpenculrtăţ se fce c ş în fur 5.5, prn proecţ pe pln lterl tât repte cât ş plnulu. Ac se oseră că rept D(,, ) este perpenculră pe plnul [], eorece ş, în ele cur. Cân plnul nu este t prn ure, construre une perpenculre pe pln se fce utlân o orontlă ş o frontlă plnulu. În fur 5.6, se pune prole trsăr une perpenculre D(, ) prn punctul M(, ), pe plnul trunulu [ABC]. Se trseă orontl G(, ) prn ârful A, =, = ş frontl F(f,f ), prn ârful C(c,c ), f = c, f = c. Dn proecţ se construeşte proecţ orontlă, perpenculră pe orontl, r n, proecţ ertclă perpenculră pe frontl f :, f. [V] D [] f' ' F [H] I G [L] " ) ) f' ' F.5.4 Repreentre une repte D perpenculră pe un pln [] : ) în spţu, D []; ) în epură,, " " " " " " = ) ) ' f F.5.5 Dreptă e profl perpenculră pe un : ) pln prlel cu ; ) pln l: D(, ) [], ' f ' c ' ' 5' f' ' ' F.5.6 Dreptă perpenculră pe un trun: D(, ) [ABC]

12 64 GEMETRIE DESCRITIVĂ ) ln perpenculr pe o reptă Se pune prole construr unu pln [] perpenculr pe rept D(, ), prntr-un punct eteror e, A(, ) (f.5.7). entru c punctul A să prţnă plnulu treue c cest să fe stut pe o reptă plnulu. Astfel, prn punctul A se uce o orontlă plnulu G(, ), căre proecţe orontlă să fe perpenculră pe proecţ orontlă repte, ş se eternă ur ertclă orontle, V(, ). Ur ertclă plnulu trece prn ş este perpenculră pe proecţ ertclă repte, r l ntersecţ cu ln e păânt se oţne punctul. Ur orontlă plnulu trece prn punctul ş este perpenculră pe proecţ orontlă repte. lnul [] este perpenculr pe rept D(, ) eorece re urele perpenculre pe proecţle e celş nue le repte. ' ' ' ' R' R = ' ' ' =R F.5.7 ln perpenculr pe o reptă, []D(, ), A(, )[] F.5.8 Drepte perpenculre, D D c) Drepte perpenculre Se cunoşte fptul că unul rept ntre ouă repte orecre nu se proecteă pe plnele e proecţe în eărtă ăre. entru constru perpenculr D (, ) pe o reptă D(, ), se plecă e l conserentul că, prn punctul în cre o reptă perpenculră înţepă un pln, se pot uce o nfntte e repte conţnute în pln, tote forân 90 0 cu perpenculr tă. Fe M(, ) punctul prn cre se uce perpenculr D pe rept D. rn punctul M se uce un pln [] perpenculr pe rept D ş se eternă punctul I(, ) în cre rept D ntersecteă plnul []. În fur 5.8 plnul [] s- us cu jutorul orontle G(, ), constrută prn punctul M, stfel încât. unctul e ntersecţe s- eternt cu jutorul plnulu proectnt ertcl [R], us prn rept D, cre ntersecteă plnul [] upă rept H V (, ) ş cest l rânul e ntersecteă rept D în punctul I (se ăseşte, întâ, punctul e ntersecţe n proecţ ertclă, = ). erpenculr D se oţne unn punctele M ş I, = ş =. ) lne perpenculre serţe : Conţ necesră ş sufcentă c ouă plne să fe perpenculre între ele este c unul ntre ele să conţnă o reptă perpenculră pe celăllt. Fn t plnul [], se cere c prn punctul A(, ), eteror lu, să se construscă un pln [R] perpenculr pe plnul t (f.5.9). Confor oserţe e sus, prn punctul A(, ) se construeşte o reptă D(, ) perpenculră pe plnul [], cre treu să prţnă cestu pln. Se ăsesc urele repte, orontlă H(, ) ş ertclă V(, ), r urele plnulu [R] se or trs prn ele.

13 ZIŢII RELATIVE 65 role re o nfntte e soluţ, ân în eere că o reptă orecre nu eternă snură plnul. Astfel, se lee punctul R pe ln e păânt ş se oţn urele plnulu [R], unn punctul R cu urele repte D, R = R, R = R. lnul [R] este perpenculr pe plnul [], eorece conţne rept D, perpenculră pe plnul []. ' R' ' R R ' ' = = ' F.5.9 lne perpenculre, [R] [] Se oseră că, în enerl, ouă plne perpenculre nu u urele e celş fel perpenculre. Dcă unul ntre plnele perpenculre este pln prtculr, tunc urele orontle su ertcle pot să fe perpenculre. Spre eeplu, în fur 5.30 plnul orecre [] ş plnul proectnt ertcl [] sunt perpenculre ş u urele orontle perpenculre,. Anlo, un pln orecre ş un pln e cpăt or e urele ertcle perpenculre, (f.5.3). 5.4 rolee reolte. rn punctul M(5,5,0), să se construscă un pln [] prlel cu plnul [], t prn ure : = 0, = -0, = -0. Reolre : entru construre plnulu [] prlel cu plnul [], se trseă o orontlă plnulu [], G(, ), prn punctul M(, ), stfel : proecţ, prlelă cu ur orontlă ş proecţ, prlelă cu. Se eternă ur ertclă V(, ) orontle G ş prn proecţ ertclă, se trseă ur ertclă, prlelă cu ur ertclă, l ntersecţ cu oţnânu-se punctul. rn F.5.30 lne perpenculre, [] [] '= ' '= se trseă ur orontlă, prlelă cu ur orontlă (f.5.3).. Fe trunurle ABC ş MNK, te prn coorontele ârfurlor : A(0,,7), B(3,4,3), C(33,,3), M(60,5,0), N(45,0,5) ş K(30,,30). Să se erfce că cele ouă trunur sunt prlele. F.5.3 lne perpenculre, [] [] ' ' ' F.5.3 Reolre prolee

14 66 GEMETRIE DESCRITIVĂ 4' ' f ' 4 f ' n' n 3 3' c k' ' f ' 5' ' f ' ' ' F.5.33 Reolre prolee '= '=R ' ' R' ' k '= R= F.5.34 Reolre prolee 3 F= N'=' ' ' F.5.35 Reolre prolee 4 R Reolre : entru erfc că trunurle ABC ş MNK sunt prlele, se uce câte o orontlă G [ABC], G [MNK] ş câte o frontlă F [ABC], F [MNK] în fecre pln l trunurlor. Deorece proecţle orontle le orontlelor, ş proecţle ertcle le frontlelor f, f nu sunt prlele, nc trunurle nu sunt prlele (f.5.33). 3. Să se eterne punctul e ntersecţe ntre plnele : [] : = 0, = -0, = -0, [] : = 40, =, = 0, [R] : R = 30, R = 5, R =. Reolre : Se eternă reptele e ntersecţe ntre plnul orecre [] cu fecre ntre plnele [], respect [R] ş se ntersecteă între ele (f.5.34) : D, R D, ' ' ' ' R' ' R R ' ' ',, ' D D I 4. Să se eterne reptele e ntersecţe ntre plnul [], efnt prn ure : = 40, = 5, = 0 ş plnele e nel, [N] ş e front, [F], cre conţn punctul A(0,0,5). Reolre : Drept e ntersecţe ntre plnul [] ş plnul e nel, [N], este o reptă orontlă (e nel), G(, ), cre re proecţ ertclă suprpusă peste ur ertclă N, = N, r proecţ orontlă, prlelă cu ur orontlă, trecân prn ur : N =,. Drept e ntersecţe ntre plnul [] ş plnul e front, [F], este o reptă frontlă (e front), D(, ), cre re proecţ orontlă suprpusă peste ur orontlă F, = F, r proecţ ertclă, prlelă cu ur ertclă, trecân prn ur : F =, (f.5.35). 5. Să se trsee rept e ntersecţe Δ(δ,δ ) ntre plnele [] ş [], efnte stfel: = 55, = 30 0, = 60 0 = 0, = 60 0, = 60 0.

15 ZIŢII RELATIVE 67 Reolre : L repreentre plnelor se oseră că, urele ertcle nu se ntersecteă în epură. Intersecţ urelor orontle eternă ur orontlă H(, ) repte e ntersecţe. entru ăs încă un punct A(, ) pentru reptă, se ntersecteă cele ouă plne te cu un pln e nel : ' N D, ' N D, N I, D D A, ' Drept e ntersecţe Δ(δ,δ ) este tă e punctul A(, ) ş e ur orontlă H(, ) : δ =, δ = (f.5.36). 6. rn punctul A(40,5,0), să se trsee o reptă Δ(δ,δ ), prlelă cu plnele [] : = 50, = 0, = 5 ş [] : = 0, = 5, = 0. Reolre : reptă este prlelă cu un pln, că este prlelă cu o reptă n pln(f.5.37). Se eternă rept e ntersecţe ntre cele ouă plne :[] [] = D(, ), reptă coună elor plne ş se trseă, prn punctul A(, ), rept Δ(δ,δ ) prlelă cu e : δ, δ, δ, δ. 7. Să se construscă urele unu pln [], prlel cu rept D, eterntă e punctele A(40,5,0) ş B(30,0,5), cre să conţnă punctul I(8,8,5) ş să se ntersectee cu l 5 e plnul lterl. Reolre : rn punctul I(, ) se trseă o reptă Δ(δ,δ ), prlelă cu rept tă : δ, δ, δ, δ ş se eternă urele orontlă H(, ) ş ertclă V(, ). lnul căutt re = 5 ş urele sle se trseă prn urele repte Δ : =, =. lnul [], stfel construt, este prlel cu rept D, eorece conţne rept Δ, prlelă cu rept D (f.5.38). 8. Fe plnul orecre [] efnt prn reptele D(, ) : A(30,0,5), H(0,0,0) ş Δ(δ,δ ) : A, B(5,5,5). Să se eterne punctul e ntersecţe I(, ) ntre plnul [] ş rept e cpăt ce trece prn punctul C(5,3,0). Reolre : Drept e cpăt D (, ) re proecţ ertclă suprpusă peste proecţ c, = c ş proecţ orontlă perpenculră pe, trecân prn proecţ c, c. entru eternre punctulu e ntersecţe I(, ) ntre plnul [] ş rept e cpăt ' N'= '= ' ' ' ' ' 60 0 '=' F.5.36 Reolre prolee 5 ' ' ' ' F.5.37 Reolre prolee 6 ' ' ' ' F.5.38 Reolre prolee 7 ' ' ' ' ' c = '= ' F.5.39 Reolre prolee 8

16 68 GEMETRIE DESCRITIVĂ D (, ), se uce prn reptă un pln e cpăt [] ( ) ş se ăseşte rept e ntersecţe (, ) ntre cest pln ş reptele D ş Δ, ce efnesc plnul []. Intersecţ ntre rept (, ) ş rept e cpăt D (, ) eternă punctul e ntersecţe I(, ), în proecţ pe plnul orontl, =, une cele ouă repte se proecteă stnct (f.5.39). 9. Să se eterne punctul e ntersecţe ntre rept D(, ) efntă e punctele K(5,0,35) ş I(50,5,0) ş plc trunulră [ABC] : A(60,0,5), B(35,40,45), ' C(5,5,5). Conserân plc opcă, să se stuee ltte repte. Reolre : Se trseă un pln e cpăt [] k' prn reptă, δ ş se eternă rept 4' ' (, ) upă cre cest ntersecteă plc : [] [ABC] = (, ). Acestă reptă se ' ntersecteă cu rept tă (δ,δ ) în ' '=5' 3' punctul (, ), punct e ntersecţe ce se '=' oţne, întâ, în proecţ pe plnul orontl, δ =, pentru c po, cu jutorul une ln e orne, să se eterne ş c proecţ ertclă. Vltte repte în proecţ 3=4 k 5 ertclă, se stleşte pornn e l o ntersecţe prentă repte cu o ltură F.5.40 Reolre prolee 9 plăc, conserân punctele 5. Dn proecţ orontlă reultă că punctul 5 re epărtre re, ec în proecţ ertclă punctul 5 este în fţ punctulu ş plct proecţ δ este lă până în, r până în, nlă. Anlo, se stuă n' ltte repte ş în proecţ orontlă, conserân ntersecţ prentă proecţe δ cu ltur c, ' 7' ' 4' respect punctele 3 4 (f.5.40). ' 0. Fe plăcle plne opce ' ' te prn coorontele ârfurlor ' 6' 3'=5' [ABC] : A(70,5,35), B(0,40,0), C(5,0,30), ş [MNK] : M(60,0,5), N(35,40,45), K(5,5,5). Să se ' k' eterne seentul e reptă upă cre cele ouă plăc se ntersecteă ş 4 c k să se stuee ltte plăclor. Reolre : Seentul e reptă 6=7 5 upă cre cele ouă plăc se ntersecteă este eternt e punctele în cre lturle MN ş NK ntersecteă plnul trunulu [ABC]. Se proceeă c ş l n 3 prole 9 ş se eternă punctele (, ) ş (, ). entru stlre ltăţ F.5.4 Reolre prolee 0 plăclor în proecţ orontlă s-u

17 ZIŢII RELATIVE 69 consert punctele prent suprpuse 3 ş 5, r pentru proecţ ertclă, punctele 6 ş 7 (f.5.4). f'. Să se eterne seentul e reptă upă cre se ntersecteă plc trunulră [ABC] : A(60,0,5), B(35,40,45), C(5,5,5), ş plc ptrulteră [EFGI] : E(5,0,35), F(65,5,40), G(55,35,5), I(0, I,0). Să se stuee ltte plăclor, conserânu-le opce. Reolre : plc [EFGI] se reprentă în f epură eternân epărtre punctulu I, I, stfel încât punctul I să prţnă plăc. Grfc, cest se releă folosn punctul K(k,k ) e ntersecţe l onlelor, c în fur 5.4. entru efnre seentulu e reptă upă cre se ntersecteă cele ouă plăc, se eternă punctele (, ) ş (, ) în cre lturle AB ş BC, le trunulu, înţepă plc ptrulteră [EFGI]. Vltte plăclor se stuă ân în eere oserţ că ârful B l trunulu re ce re cotă ş epărtre, ec este prul l, tât în proecţ orontlă cât ş în ce ertclă, fţă e plnul ptrulterulu (f.5.4).. Dn punctul K(40,5,35) să se trsee o perpenculră pe plnul trunulu [ABC] : A(60,0,5), B(45,8,37), C(5,5,5) ş să se eterne punctul în cre cest îl ntersecteă. Reolre : Construre perpenculre pe plnul trunulu se fce utlân o orontlă ş o frontlă cestu. Astfel, se trseă prn punctul A(, ) orontl G(, ) ş frontl F(f,f ). Dn proecţ k se construeşte proecţ orontlă, perpenculră pe orontl, r n proecţ k, proecţ ertclă perpenculră pe frontl f :, f, rept D(, ) fn perpenculr cerută (f.5.43). erpenculr ntersecteă plnul trunulu în punctul I(, ), punct eternt c în reolre prolee Se conseră plnul [] efnt prn ure: = 0, = -5 = -0 ş un punct A(0,0,0), eteror plnulu. rn punctul A să se trsee o reptă D(, ) perpenculră pe plnul []. ' ' ' ' ' ' 3' 3 k k' ' 4' 4 c e' e I F.5.4 Reolre prolee ' ' ' k' ' k ' n' n ' f' c f F.5.43 Reolre prolee ' F.5.44 Reolre prolee 3

18 70 GEMETRIE DESCRITIVĂ Reolre : Drept D(, ), perpenculră pe plnul [], re proecţle perpenculre pe urele e celş fel le plnulu. Astfel, prn proecţ se trseă proecţ, ş prn proecţ, proecţ, (f.5.44). ' ' ' c F.5.45 Reolre prolee 4 ' ' =' ' e' ' ' ' c e F.5.46 Reolre prolee 5 ' ' ' c n' ' n ' ' F.5.47 Reolre prolee 6 ' ' 4. Fe rept D(, ) : A(0,0,0), B(30,5,8) ş un punct C(0,5,5), eteror e. rn punctul C să se trsee un pln [] perpenculr pe rept D. Reolre : rn punctul C se trseă o orontlă G(, ) plnulu [], perpenculră pe rept D :, c,, c. Se eternă ur ertclă V(, ) orontle ş prn proecţ se trseă ur ertclă plnulu [], perpenculră pe proecţ repte D :, l ntersecţ cu reultân punctul. Dn se trseă ur orontlă plnulu [], perpenculră pe proecţ repte D : (f.5.45). 5. Se conseră rept D(, ) : A(0,0,0), B(30,3,5) ş un punct C(0,5,5), eteror e. rn punctul C să se trsee o reptă Δ(δ,δ ) perpenculră pe rept D. Reolre : rn punctul C se construeşte un pln [] perpenculr pe rept D, cu jutorul orontle G(, ) (e reolre prolee 4). Se eternă punctul E(e,e ), în cre rept D(, ) ntersecteă plnul [], cu jutorul unu pln e cpăt [], us prn rept D, [] [] = H V, = e. Drept Δ este efntă e punctele C(c,c ) ş E(e,e ) : δ = c e, δ = c e. serân epur n fur 5.46, se confră fptul că unul rept ntre ouă repte orecre se proecteă efort pe cele ouă plne e proecţe. 6. Fe ouă repte D(, ) : A(5,0,0), B(0,3,5) ş D (, ) : M(40,5,5), N(5,5,0). rn punctul B să se trsee o reptă Δ(δ,δ ) perpenculră pe rept D ş concurentă cu rept D. Reolre : rn punctul B se construeşte un pln [] perpenculr pe rept D, cu jutorul orontle G(, ) (e reolre prolee 4). rce reptă n plnul [] cre trece prn punctul B este perpenculră pe rept D, r nu o nue reptă ntersecteă ş rept D. Astfel, se eternă punctul C(c,c ), în cre rept D (, ) ntersecteă plnul [], cu jutorul unu pln e cpăt [], us prn rept D, [] [] = H V, = c. Drept Δ(δ,δ ) căuttă este efntă e punctele B(, ) ş C(c,c ) : δ = c, δ = c (f.5.47).

19 ZIŢII RELATIVE 7 7. rn punctul A(35,5,8) să se construscă un pln [R], perpenculr pe plnul [] : = 50, = 5, = 35 ş cre să ntersectee l 0 e plnul lterl. Reolre : rn punctul A(, ) se construeşte o reptă D(, ), perpenculră pe plnul [] :,,, ş se eternă urele H(, ) ş V(, ). lnul [R] este efnt e rept D(, ) ş e punctul R, ştn n enunţul prolee că R = 0 : R = R, R = R (f.5.48). R' ' R' ' R R ' ' ' R R ' F.5.48 Reolre prolee 7 F.5.49 Reolre prolee 8 8. Fe ouă plne efnte prn ure, stfel : [] : = 50, = 35 0, = 40 0 ş [R] : R = 7, R R = 05 0, R R = 0 0. Să se erfce că cele ouă plne sunt perpenculre. Reolre : Se conseră un punct A(, ) în plnul [] (punctul se pe orontl G(, ) plnulu []) ş prn el se construeşte o reptă D(, ) perpenculră pe plnul [R], stfel : R,, R,. Se eternă urele H (, ), V (, ) le repte D ş se erfcă că ceste sunt pe urele plnulu [], respect că rept D prţne cestu. După cu se oseră în epur n fur 5.49 : ş, ec plnul [] conţne rept D, cre este perpenculră pe plnul [R] ; reultă că cele ouă plne sunt perpenculre : [] [R]. 9. rn punctul A(40,5,0), să se construscă un pln [R], perpenculr pe plnele [] : = 50, = 0, = 5 ş [] : = 0, = 5, = 0. Reolre : role pote f reoltă în ouă our : ) rnt I e reolre (f.5.50, ) : Se eternă rept e ntersecţe D(, ) ntre plnele [] ş [] : =, =, =, =. Se trseă plnul [R] perpenculr pe rept D(, ), prn ur ertclă V(, ) orontle G(, ), usă prn punctul A(, ), perpenculră pe reptă :,,,, R, R, R = R, R. lnul [R] este perpenculr pe plnele [] ş [], eorece ceste conţn rept D(, ), cre este perpenculră pe plnul [R]. ) rnt II e reolre (f.5.50, ) : rn punctul A(, ) se trseă reptele D(, ) ş Δ(δ,δ ), perpenculre pe plnele [] ş [] :,, δ, δ. Se eternă urele celor ouă repte ş se trseă urele plnulu [R] : = R, = R. lnul [R] este perpenculr pe plnele [] ş [], eorece conţne câte o rept perpenculră pe ceste.

20 7 GEMETRIE DESCRITIVĂ R' ' ' ' R' ' R ' R ) ' ' ==='=R ' ' ' R ) F.5.50 Reolre prolee rolee propuse. Fe reptele D(, ) : A(50,3,37), B(70,-,5) ş (, ) : E(0,5,70), F(40,0,35). rn punctul M(80,0,35) să se ucă un pln [] prlel cu plnul [], efnt e cele ouă repte.. Se ă plnul [] : = 00, = 50, = 70. rn punctul A(0,0,0) să se construscă un pln [] prlel cu plnul []. 3. Se conseră plnul [], efnt e rept D(, ) : A(80,40,50), B(0,5,0) ş e punctul M(45,0,40). rn punctul N(60,5,0) să se trsee un pln [] prlel cu plnul []. 4. Fe plnul [] : = 30, = -80, = -30. rn punctul A(0,0,0) să se ucă un pln [R] prlel cu plnul []. 5. Fe trunurle ABC ş EFG, te prn coorontele ârfurlor : A(0,30,0), B(40,70,90), C(80,0,70), E(50,90,0), F(60,70,30) ş G(30,0,80). Să se erfce că cele ouă trunur sunt prlele. 6. Fe plnele [] : = 40, = 60 0, = 80 ş [] : = 30, = -80, = -30, căror ure nu se întâlnesc în crul epure. Să se eterne rept e ntersecţe D(, ) ntre cele ouă plne. 7. Să se eterne rept (, ) e ntersecţe ntre plnul [] : = 30, = -0, = ş plnul [R] : R = 00, R = 55, R = Fe punctul A(60,0,40), un pln e nel [N] ş un pln e front [F] cre conţn cest punct. Să se eterne coorontele punctulu e ntersecţe I(, ), ntre cele ouă plne ş un pln e cpăt [], ce trece prn punctul B(0,30,60) ş fce 60 0 cu plnul orontl e proecţe. 9. Să se eterne rept e ntersecţe ntre plnul [] : = 40, = 40, = 50 ş plnul e front [F] cre trece prn punctul M(90,30,0). 0. Să se eterne rept e ntersecţe ntre plnul [] : = 70, = 80, = 65 ş plnul e nel [N] cre trece prn punctul A(90,30,0).. rn punctul I(90,30,0) să se ucă o rept D(, ) prlelă cu plnele [] : = 40, = 40, = 50 ş [] : = 70, = 80, = 65.

21 ZIŢII RELATIVE 73. Se u punctul A(30,0,30) ş rept D(, ) : B(60,40,0), C(80,5,40). Să se eterne urele unu pln [], prlel cu rept D, cre te într-un punct e scsă 0 ş conţne punctul A. 3. Se conseră plnul [], efnt e punctele A(45,0,0), B(70,0,40) ş C(00,40,0). rn punctul M(0,40,40) să se ucă o prlelă D(, ) l plnul []. 4. Fe plnul [] efnt prn ure : = 50, = 90, = 85. rn punctul K(0,5,30) să se ucă o reptă (, ) prlelă cu plnul []. 5. Se conseră plnul [] : = 00, = 50, = 70 ş un punct A(60,40,50), eteror plnulu. Să se construscă o reptă D(, ) prlelă cu plnul [], cre să trecă prn punctul A. 6. Fe punctul M(50,0,0) ş reptele D(, ) : A(95,0,5), B(70,0,5) ş (, ) : E(35,5,30), F(5,30,0), necoplnre. Să se construscă urele plnulu [], cre trece prn punctul M ş este prlel cu cele ouă repte 7. rn punctul B(70,60,70), să se trsee o reptă (, ), prlelă cu plnul [] efnt prn ure : = 60, = 40, = Se ă plnul [] efnt prn ure: = 00, = 50, = 70 ş rept D(, ) : A(70,50,60), B(0,0,0). Să se eterne punctul e ntersecţe I(, ) ntre rept D ş plnul []. 9. Fe plnul [] efnt prn ouă repte prlele D (, ) : A(70,5,0), B(30,35,0), D (, ) : C(40,0,30) ş o reptă orecre (, ) : M(60,40,50), N(0,0,5). Să se eterne proecţle punctulu e ntersecţe I(, ), ntre rept ş plnul [], fără se constru urele plnulu 0. rn punctul E(60,30,50) să se trsee o reptă (, ), concurentă cu plnul trunulu [ABC] : A(30,90,0), B(40,70,30), C(0,0,80) ş să se eterne punctul e concurenţă.. Să se eterne punctul e ntersecţe ntre rept D(, ) efntă prn ure : H(55,30,0) ş V(30,0,0) ş plc trunulră [ABC] : A(60,0,5), B(0,5,0), C(30,5,5). Conserân plc opcă să se stuee ltte repte.. Fe plăcle plne opce te prn coorontele ârfurlor [ABCD] : A(0,75,0), B(0,75,0), C(0,5,65), D(0,5,65) ş [KMN] : K(0,5,0), M(00,0,5), N(60,75,60). Să se eterne rept e ntersecţe ntre cele ouă plăc ş să se stuee ltte plăclor. 3. Fe ouă plăc plne trunulre opce. Să se eterne rept e ntersecţe ntre cele ouă plăc ş să se stuee ltte plăclor, în urătorele cur : ) [ABC] : A(00,0,0), B(60,85,60), C(30,30,30) [KMN] : K(70,0,0), M(0,60,50), N(5,70,60); ) [ABC]: A(00,0,70), B(60,70,90), C(0,30,0) [KMN] : K(0,50,40), M(70,0,0), N(30,60,80); c) [ABC] : A(60,40,50), B(0,0,30), C(80,70,90) [KMN] : K(30,90,0), M(40,70,30), N(0,0,80); ) [ABC] : A(0,0,60), B(5,0,75), C(70,70,0) [KMN] : K(90,0,0), M(5,40,0), N(40,65,80). 4. Să se eterne rept e ntersecţe ntre o plcă plnă trunulră ş un ptrulteră, te prn coorontele ârfurlor : [ABC] : A(5,5,5), B(70,55,35), C(5,33,5) ş [IKNM] : I(45,5,5), K(0,55,50), N(60,40,45), M(65,30,0). Să se stuee ltte plăclor, conserânu-le opce. 5. Fe trunul ABC : A(50,0,50), B(90,70,0) ş C(0,30,30). Dn punctul M(55,0,5) să se ucă o reptă (, ), perpenculră pe plnul trunulu ABC ş să se eterne punctul I(, ) e ntersecţe ntre rept (, ) ş plnul trunulu. Să se stuee ltte repte, trunul fn consert opc.

22 74 GEMETRIE DESCRITIVĂ 6. Fe plc plnă trunulră opcă ABC : A(5,0,70), B(50,60,0), C(00,70,0). Dn punctul M(75,0,5) să se ucă o reptă D(, ) perpenculră pe plnul trunulu, să se eterne punctul I(, ) în cre cest înţepă trunul ş să se stuee ltte perpenculre. 7. Se conseră plnul [] efnt prn ure: = 00, = 50, = 70 ş un punct A(60,40,50), eteror plnulu. Să se eterne seentul e reptă AI(, ), cre efneşte stnţ e l punctul A l plnul []. 8. Să se rce în punctul A o perpenculră (, ) pe plnul trunulu ABC, t prn coorontele ârfurlor : A(00,0,70), B(60,70,90), C(0,30,0). 9. rn punctul A(60,30,50) să se trsee o perpenculră D(, ) pe plnul trunulu EFG : E(30,90,0), F(40,70,30), G(0,0,80). 30. rn punctul C(30,30,5) să se ucă un pln [], perpenculr pe rept D(, ) : A(50,3,37), B(70,-,5). 3. Fe rept D(, ) : A (40,0,0), B(70,5,30). rn punctul B să se trsee un pln perpenculr pe cestă reptă. 3. Câte plne [], perpenculre pe rept D(, ) : M(60,0,5), N(40,0,40) estă? Să se trsee un stfel e pln. 33. Se conseră punctul A(50,5,5) ş rept (, ) : M(70,50,60), N(0,-0,0). rn punctul A să se ucă o reptă D(, ), perpenculră pe rept (, ). 34. Fe rept D(, ) : A(80,40,50), B(0,5,0) ş punctul M(45,0,40). Să se eterne proecţle perpenculre KM use n punctul M pe rept D, KD. 35. rn punctul A(0,0,60) să se ucă o perpenculră (, ) pe rept MN : M(90,0,0), N(5,40,0). 36. Fe plnul proectnt ertcl [] : = 80, = 70, = ş punctul A(0,0,40), eteror plnulu. Să se construscă plnul proectnt ertcl [], cre trece prn punctul A ş fce 90 0 cu plnul []. Ce fel e reptă este rept e ntersecţe ntre cele ouă plne? 37. Fe plnul e cpăt [] : = 80, =, = 70 ş punctul M(0,40,0), eteror plnulu. Să se construscă plnul e cpăt [R], cre trece prn punctul M ş fce 90 0 cu plnul []. Ce fel e reptă este rept e ntersecţe ntre cele ouă plne? 38. Se conseră plnul [] efnt prn ure : = 50, = 90, = 85. rn punctul E(80,30,5) să se ucă un pln [], perpenculr pe plnul [], cre întâlneşte în punctul F(35,0,0) ; 39. Fe plnul e cpăt []: = 0, =, = -5 ş punctul A(50,30, A ), n cest pln. rn punctul A să se ucă un pln [], perpenculr pe plnul [], cre re urele în prelunre. 40. Se conseră plnul [] efnt prn ure: = 00, = 50, = 70 ş un punct A(60,40,50), eteror plnulu. rn punctul A să se ucă un pln [], perpenculr pe plnul [], cre trece prn orne. 4. Se conseră rept D(, ) : A(00,40,30), B(70,60,70) ş plnul [] : = 60, = 40, = 50. Să se eterne proecţle unu trun [ABC], l căru pln să fe perpenculr pe plnul []. 4. Fe plnele [] : = 0, = -0, = -60 ş [] : = 70, = -60, = 50. Să se erfce că ceste sunt perpenculre. 43. rn punctul I(90,30,0), să se construscă un pln [R], perpenculr pe plnele [] : = 40, = 40, = 50 ş [] : = 70, = 80, = 65.