Laboratorijske vaje pri predmetu Mehanika, termodinamika in elektromagnetno polje pri poučevanju za doizobraževanje tretjega premeta

Transcript

1 Laboratorijske vaje pri predmetu Mehanika, termodinamika in elektromagnetno polje pri poučevanju za doizobraževanje tretjega premeta B Golli, A Kregar, PeF 1 marec 2012 Kazalo 1 Napake izmerjenih količin 4 11 Zapis fizikalnih količin 4 12 Določitev napake izmerka 5 13 Računanje s količinami, obremenjenimi z napako 7 2 Grafi Linearna odvisnost Nelinearne odvisnosti Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja 14 3 Kinematika Premo gibanje Eksperimentalne metode premo gibanje Vrtenje Gibanje v ravnini: poševni met Eksperimentalni postopki 22 4 Merjenje sil in snovnih lastnosti Merjenje sil z računalnikom Ravnovesje treh sil Ravnovesje navorov 26 1

2 44 Hookov zakon Površinska napetost Merjenje gostot Merjenje gostote zraka Viskoznost 31 5 Merjenje gibalne količine, energije in temperature Merjenje gibalne količine pri trkih Ohranitev energije pri kotaljenju Pronyjeva zavora Izkoristek elektromotorja Temperaturno raztezanje kovin Temperaturno raztezanje vode Umeritev termočlena 40 6 Merjenje električnega toka, napetosti in upora Elektroliza Upor Zaporedna in vzporedna vezava porabnikov Kompenzacijsko merjenje upora Termistor Temperaturna odvisnost upora 49 7 Dinamika Newtonov zakon ultrazvok Sila pri enakomernem kroženju Izrek o gibalni količini Balistično nihalo Newtonov zakon za vrtenje Ohranitev vrtilne količine Ohranitev vrtilne količine uteži Precesija 62 8 Elastomehanika in termodinamika Upogib palice Zasuk palice GayLussacov zakon Izoterma in adiabata Toplotna prevodnost Specifična toplota železa Specifična talilna toplota ledu 73 2

3 88 Specifična izparilna toplota vode Joulov poskus 75 9 Elektrika: frontalno Notranji upor Električno polje Magnetno polje Električno in magnetno polje Magnetna sila Magnetni navor Indukcijski zakon Energija električnega polja Energija magnetnega polja Elektroni v magnetnem in električnem polju Vzorčno poročilo 96 3

4 1 Napake izmerjenih količin 11 Zapis fizikalnih količin Sistematske in statistične napake Fizikalne količine dobimo z merjenjem Količin ne moremo poljubno natančno meriti, zato pri izmerjeni količini podamo negotovost ali napako, s katero je količina izmerjena Ločimo: sistematske napake, ki so posledica nenatančnosti same merilne naprave (pri boljših napravah je napaka podana; v večini primerov je večja od najmanjšega razdelka, ki ga lahko še odčitamo) ter slučajne napake, ki so posledica negotovosti merilnih pogojev: zamik pri začetku ali koncu merjenja s štoparico, merilni trak ni vedno enako napet, zunanji pogoji (temperatura, tlak) niso ves čas enaki Kako podamo negotovost? Izmerjeno količino moramo zapisati tako, da bo iz zapisa razvidna njena negotovost (napaka) To dosežemo tako, da poleg količine navedemo še njeno napako, npr g = 9,7 m/s 2 ± 0,2 m/s 2 Količino zapišemo s toliko števkami (ciframi), da je zadnja zapisana števka že negotova To velja tudi tedaj, ko napake eksplicitno ne navedemo; v takšnem primeru velja, da je nenatančnost (napaka) manjša od največjega možnega odstopanja zadnjega mesta; če bi zapisali le g = 9,7 m/s 2, bi to pomenilo, da je napaka manjša od 0,5 m/s 2 Pomembne števke Pri tem imamo v mislih število pomembnih (signifikantnih) števk; nepomembne števke so tiste, ki določajo decimalno mesto Če bi zgornji rezultat zapisali z drugimi enotami, npr: g = 9700 mm/s 2, bi obe ničli predstavljali nepomembni števki, podobno bi to bile tri ničle pri zapisu g = 0,0097 km/s 2 Pomembni števki sta le 9 in 7 V vseh zapisih je torej število pomembnih števk enako Vloga ničel v zapisu fizikalne količine Na podlagi zgornjega zgleda pravzaprav ne smemo zaključiti, da je 0 na koncu števila vedno le nepomembna števka Če je rezultat naše meritve bolj natančen, recimo c = 340 m/s ± 3 m/s, nam zadnja ničla tudi predstavlja pomembno števko V tem primeru iz samega zapisa 340 m/s ne bi mogli ugotoviti, koliko pomembni števk je v rezultatu Takšni obliki zapisa se zato raje izognemo in uporabimo zapis z desetiškim eksponentom: c = 3, m/s Decimalna mesta Števk ne smemo zamenjevati z decimalnimi mesti; zapis 9,81 vsebuje tri števke in dve decimalni mesti, zapis 0,049 pa tri decimalna mesta in 4

5 štiri števke Eno in isto fizikalno količino lahko zapišemo z različnim številom decimalnih mest; npr; l = 789 mm, l = 78,9 cm, l = 7,89 dm, l = 0,789 m ali l = 0, km, število decimalnih mest torej sploh ne vpliva na natančnost količine; v vseh petih primerih natančnost določajo tri pomembne števke, 7, 8 in 9 Pravilo, ki ga pogosto slišimo, da izmerjene količine zaokrožujemo na dve decimalni mesti, je seveda popolnoma nesmiselno 12 Določitev napake izmerka Pri boljših merilnih napravah nam sistematsko napako poda proizvajalec; če smo merilno napravo razvili sami, je pomemben del razvoja tudi določitev vseh parametrov, ki lahko vplivajo na nenatančnost pri merjenju, in na tej podlagi določitev sistematske napake Kot orientacijo lahko vzamemo najmanjši razdelek, ki ga lahko še odčitamo (zadnje mesto pri digitalni napravi) Slučajno napako določimo statistično, tako da poskus ponavljamo Denimo, da pri N poskusih izmerimo vrednosti x i, i = 1, N Izračunamo povprečno vrednost x = x 1 + x x N N in povprečen kvadrat odstopanj σ 1 kot σ 2 1 = 1 N = 1 N N x i i=1 N (x i x) 2 (1) i=1 Če so meritve posameznih izmerkov med seboj neodvisne, lahko rezultat interpretiramo takole: pri nadaljnjih meritvah bo približno 2/3 meritev padlo znotraj intervala [ x σ 1, x + σ 1 ], 1/3 meritev pa izven tega intervala Približna ocena Zgornjo trditev lahko porabimo za določitev napake brez zamudnega seštevanja kvadratov odmikov Napako izmerka σ 1 določimo tako, da poiščemo interval, znotraj katerega pade 2/3 izmerkov Postopek ilustrirajmo na zgledu merjenja hitrosti: iz rezultatov v druge stolpcu izračunamo povprečno vrednost v, nato pa v tretjem stolpcu zapišemo odstopanja Nekaj odstopanj gre seveda v pozitivno smer, nekaj v negativno Poiščimo 1/3 izmerkov (v našem primeru 3 ali 4), ki najbolj odstopajo (v tabeli so označeni z zvezdico) Izmed preostalih poiščimo tistega, ki (po absolutni vrednosti) najbolj odstopa, v našem primeru je to 3 izmerek Napaka σ 1 je kar enaka absolutni vrednosti odstopanja tega izmerka, saj 2/3 (7 v našem primeru) meritev pade znotraj intervala [ v σ 1, v + σ 1 ], v našem primeru med 9,5 in 10,5 5

6 meritev v i [m/s] v i v [m/s] 1 9,80 0, ,64 0,62 * 3 9,52 0,49 4 9,71 0, ,87 0,86 * 6 10,10 0,09 7 9,17 0,84 * 8 10,31 0,30 9 9,80 0, ,20 0,19 povprečje 10,01 Če napako izračunamo po formuli (1), dobimo praktično enako vrednost, σ 1 = 0,5 Napaka povprečja Z opisanim postopkom določimo napako merjene količine pri poskusu Kot rezultat podamo povprečno vrednost izmerkov Kolikšna je napaka povprečne vrednosti in v čem se razlikuje od napake posameznega izmerka σ 1? Razliko med tema dvema količinama pojasnimo na zgledu Denimo, da eksperimentator A napravi N ponovitev poskusa in določi povprečno vrednost meritve x A (Pri tem predpostavimo, da sistematske napake lahko zanemarimo) Za njim eksperimentator B prav tako iz N ponovitev istega poskusa določi povprečno vrednost x B Za koliko se obe povprečji razlikujeta? Statistika za tak primer pove, da je razlika med x A in x B v povprečju manjša od napake posameznega izmerka Napaka se zmanjšuje obratno sorazmerno s korenom iz števila ponovitev Za napako (negotovost) povprečja velja σ N = σ 1 N 1 Za N = 1 dobimo nesmiselno vrednost, kar pa je razumljivo, saj lahko napako σ 1 določimo šele, ko imamo vsaj dva izmerka Če želimo napako zmanjšati za 10 krat, moramo torej napraviti 100 krat več ponovitev poskusa Negotovost napake Statistika nam da še oceno natančnosti določitve napake Negotovost (napaka) napake nam pri navedenem zgledu pove, za koliko bi se v povprečju razlikovali napaki, ki bi ju določila eksperimentatorja A in B Velja σ σ = σ N 2(N 2) 6

7 Vidimo, da je šele pri približno 50 ponovitvah poskusa, napaka napake 10 krat manjša od same napake Ocena napake pri majhnem številu ponovitev (kot je to običajno v šoli) je torej precej nezanesljiva Zato z zapisom same napake ne kaže pretiravati; zapis z eno pomembno števko ali kvečjemu dvema povsem zadošča Zapis rezultata Kot končni rezultat naše meritve navedemo povprečno vrednost meritve, poleg nje pa še napako povprečja: x = x ± σ N Napako povprečja zapišemo z eno samo pomembno števko, le v primerih, ko bi se na prvem mestu enico ali dvojko, lahko zapišemo še drugo števko Število pomembnih števk v zapisu povprečne vrednosti se ravna po napaki: povprečje zapišemo do istega desetiškega mesta, kot je napisana napaka Primer: za neko povprečje smo izračunali t = 23,456 s in za napako σ N = 0,734 s Napako zaokrožimo na σ N = 0,7 s, kar pomeni, da moramo tudi povprečje zapisati do prve decimalke, torej t = 23,5 s ± 0,7 s Zapis z relativno napako Negotovost rezultata namesto s σ N, ki jo imenujemo absolutna napaka, lahko zapišemo tudi z relativno napako r = σ N x, ki je seveda brez enote (lahko jo podamo tudi v odstotkih), na primer c = 336 m/s ± 12 m/s = 336 (1 ± 0,04) m/s Za zapis relativne napake velja enako pravilo, kot za zapis absolutne napake: zapišemo le eno pomembno števko; le če je prva števka 1 ali 2, smo upravičeni zapisati še drugo števko Zapis izmerkov Pravilo, ki smo ga navedli, velja le pri zapisu končnega rezultata; vmesne rezultate pišemo z večjo natančnostjo Pri zapisu odčitka (recimo dolžine z merilnega traku, časa s štoparice, napetosti na voltmetru) torej zapišemo vsa možna mesta, četudi pričakujemo, da bo končni rezultat zapisan z manjšo natančnostjo (z manjšim številom pomembnih števk) 13 Računanje s količinami, obremenjenimi z napako Količino, ki jo želimo pri poskusu določiti, ponavadi ne dobimo naravnost iz merjenj, temveč jo izračunamo iz ene ali več izmerjenih količin Če na primer 7

8 določamo pospešek prostega pada iz časa t, ki ga potrebuje telo za prosti pad z višine h, velja g = 2h/t 2, pri tem sta tako h kot t obremenjena z napako Kako v takšnih primerih določimo napako končnega rezultata? Seštevanje in odštevanje količin Če seštejemo rezultata dveh meritev (iste količine), obremenjena z napako, lahko zapišemo od koder sledi z = x + y = x ± σ x + ȳ ± σ y = ( x + ȳ) ± (σ x ± σ y ), z = x + ȳ in σ z = σ x ± σ y Napaka torej leži v intervalu med σ min = σ x σ y in σ max = σ x + σ y Če sta meritvi med seboj nekorelirani pomeni da izid prve meritve ne vpliva na izid druge meritve dobimo najboljšo oceno po Pitagorovem pravilu (trikotniku): σ z = σx 2 + σy 2 Za odštevanje velja enako pravilo, saj lahko razliko zapišemo kot z = x y = ( x ȳ) ± (σ x σ y ), saj odstopanje leži znotraj intervala med σ x σ y in σ x + σ y Pri odštevanju nekoreliranih meritev spet velja, da je σ z = σx 2 + σy 2 Pri seštevanju in odštevanju količin torej seštevamo kvadrate absolutnih napak Množenje in deljenje Podobno kot zgoraj zapišimo z = xy = ( x ± σ x )(ȳ ± σ y ) = xȳ ± ȳσ x ± xσ y ± σ x σ y Zvezo delimo z z = xȳ: z z = 1 ± σ x x ± σ y ȳ ± σ xσ y (2) xȳ in primerjamo z definicijo relativne napake z z 1 ± σ z z Pri dovolj majhnih napakah lahko zadnji člen v (2) zanemarimo Vidimo, da za relativno napako, r z = σ z / z, velja enako pravilo kot za absolutno napako pri seštevanju Za nekorelirani meritvi torej lahko zapišemo r z = r 2 x + ry 2 Pri deljenju dobimo enako pravilo: seštevajo se kvadrati relativnih napak Pri množenju in deljenju seštevamo kvadrate relativnih napak 8

9 Pravilo večje napake V primerih, ko pri vsoti ali zmnožku dveh količin ugotovimo, da je napaka enega člena nekajkrat večja od napake drugega, seštevanje napak po Pitagorovem pravilu ni potrebno, saj lahko hitro uvidimo, da je rezultat zelo blizu večji napaki V takšnem primeru je napaka rezultata kar enaka napaki najmanj natančne količine (absolutni pri seštevanju ali odštevanju in relativni pri množenju ali deljenju) Potenciranje Pri potenciranju lahko zapišemo z = x n = ( x ± σ x ) n = x n + n x n 1 σ x + Zvezo delimo z z = x n in dobimo n(n 1) 2 z z = 1 ± n σ x x + 1 ± σ z z x n 2 σ 2 x + S smo označili člene, ki so majhni in jih lahko zanemarimo Iz zgornjega rezultata razberemo pravilo: relativna napaka pomnožimo z eksponentom Pravilo velja tudi za necele eksponente, potenca n = 1 2 na primer predstavlja korensko funkcijo, in lahko zapišemo z = x r z = 1 2 r x, relativna napaka pri korenjenju se torej razpolovi 9

10 2 Grafi Pri merjenju pogosto iščemo odvisnost med dvema količinama; eno izmed njiju spreminjamo (tej pravimo neodvisna spremenljivka) in opazujemo, kako se spreminja druga količina (odvisna spremenljivka) Izmerke vpisujemo v tabelo, a iz tabele težko razberemo, za kakšno odvisnost gre Zato izmerke vnesemo v graf, neodvisno spremenljivko običajno na vodoravno os, odvisno na navpično Kako potegnemo pravo krivuljo skozi izmerjene točke? Na sliki 1 so narisane tri možne krivulje V šolski praksi pogosto naletimo še na četrto, ko učenci točke povežejo kar z ravnimi črtami Takšna zlomljena krivulja zagotovo ni upra Slika 1: Nekaj možnih krivulj skozi eksperimentalne točke vičena, saj od fizikalne količine pričakujemo gladko obnašanje Med tremi možnostmi na sliki pa se nekako ne moremo odločiti; očitno potrebujemo dodatno informacijo oziroma kriterij, ki bi nam pomagal pri odločitvi Kaj je pravzaprav namen grafičnega prikaza? Ločimo dve možnosti: V prvem primeru krivulja podaja fenomenološko odvisnost dveh količin; teoretične odvisnosti ne poznamo Iz grafa razberemo vrednost odvisne količine pri vrednosti neodvisne količine, ki jo pri meritvi nismo zajeli (interpolacija) Z grafičnim prikazom tudi zgladimo morebitne neregularnosti zaradi merskih napak Nekaj zgledov: 1 temperaturni raztezek vode β(t), 2 temperaturna odvisnost upora žarnice, 3 umeritvena krivulja pri instrumentu ali senzorju, 10

11 V tem primeru velja, da naj bo krivulja čim bolj gladka Kriterij, za koliko smemo pri tem zgrešiti izmerjeno točko v grafu, je napaka izmerka, ki ustreza tej točki Če so napake izmerkov zelo majhne, smo na sliki 1 upravičeni skozi točke potegniti krivuljo iz črtic in pik; v nasprotnem primeru bo najbolj prava neprekinjena krivulja Pri resnih meritvah za vsako izmerjeno točko določimo njeno napako s ponavljanjem meritev in jo tudi vnesemo v graf V šoli tega ne običajno ne počnemo in napako določimo bodisi iz sistematske napake ali po občutku V drugem primeru predpostavimo analitično odvisnost med količinama Z risanjem krivulje, ki ustreza tej analitični odvisnosti (na primer premice pri linearni odvisnosti, parabole pri kvadratni odvisnosti, ), želimo preveriti, če izmerjene točke res ubogajo predpostavljeno odvisnost V primeru, da ubogajo, lahko določimo neznane parametre v teoretični odvisnosti, tako da skozi izmerjene točke potegnemo krivuljo, ki se izmerjenim točkam najlepše prilega Primeri: 1 I = U/R odvisnost toka od napetosti je linearna, iz naklona premice določamo prevodnost (upor) 2 Pot pri enakomerno pospešenem gibanju je: s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0 ; s prilagajanjem parabole izmerjenim točkam določimo pospešek a, začetno hitrost v 0 in pot s 0 Pri preskusu veljavnosti analitične odvisnosti je odločilno, s kolikšno natančnostjo so obremenjeni izmerki Podobno kot v prvem primeru tudi sedaj potrebujemo informacijo o napaki izmerjenih vrednosti v grafu V grobem lahko rečemo, da je predpostavka o teoretični odvisnosti upravičena, če so odstopanja izmerjenih vrednosti od krivulje v okviru eksperimentalnih napak; če so odstopanja znatno večja, pa lahko upravičeno sklepamo, da predpostavka o teoretični odvisnosti ni smiselna 21 Linearna odvisnost Enačba premice Veliko fizikalnim pojavom lahko priredimo linearno odvisnost: y = kx + n (3) Poleg zvez, v katerih je linearna odvisnost eksplicitna, lahko številne zveze pretvorimo v zgornjo obliko z uvedbo novih spremenljivk Nekaj zgledov: y = 1 2 at2, uvedemo x = t 2, torej je k v (3) enak k = 1 2 a, 11

12 j = j 0 e µx, zvezo logaritmiramo: ln j = ln j 0 µx, uvedemo y = ln j, in razberemo k = µ in n = ln j 0, pv κ = konst, logaritmiramo: ln p + κ ln V = ln(konst), uvedemo x = ln V in y = ln p in ugotovimo k = κ, n = ln(konst) Metoda najmanjših kvadratov Recept za določitev parametrov premice k in n, ki se najbolje prilega izmerjenim točkam, je dobro znan: premica naj steče tako, da bo vsota kvadratov odstopanj najmanjša: N [y i (kx i + n)] 2 = minimum (4) i=1 Z odvajanjem izraza (4) po parametrih k in n dobimo sistem linearnih enačb drugega reda; rešitev zapišemo kot: pri čemer smo vpeljali x = 1 N k = xy y x x 2 x 2, n = y x2 xy x x 2 x 2, (5) N i=1 x i, y = 1 N N i=1 y i, x 2 = 1 N N i=1 x 2 i, xy = 1 N N x i y i (6) i=1 Grafična določitev najboljše premice Opisani računski postopek je zamuden, čeprav ga najdemo že programiranega v številnih kalkulatorjih Z nekoliko vaje lahko dobimo skoraj enako dober rezultat grafično Premico potegnemo skozi izmerjene točke (pri tem si pomagamo s prozornim ravnilom) tako, da ostane nad premico približno enako število izmerkov kot pod njo Pri tem moramo paziti, da so izmerki nad (pod) premico enakomerno porazdeljeni po celem intervalu (glej sliko 2) Napačno bi bilo, če bi se izmerki nad premico grupirali na enem krajišču intervala, tisti pod premico pa na drugem (Recimo, če bi na sliki 2 potegnili kar vodoravno premico po sredini slike) Premica skozi izhodišče V primerih, ko modelsko odvisnost zapišemo v obliki y = kx, torej z n = 0, se pri risanju premice skozi izmerjene točke pogosto pojavi dilema, če je potrebno premico potegniti skozi izhodišče Saj pri Ohmovem zakonu vemo, da tok pri napetosti 0 mora biti enak 0 in podobno pri Hookovem zakonu, Newtonovem zakonu V praksi se često dogaja, da najlepša premica skozi točke ne gre skozi izhodišče Razlog je seveda v tem, da ničle merilnikov 12

13 nismo dobro določili Tudi če napravimo meritev pri ničelni vrednosti neodvisne spremenljivke in vrednost odvisne spremenljivke merimo od njene ničelne vrednosti, smemo tako določeno izhodiščno točko obravnavati kot vsako drugo merjeno točko Utež izhodiščne točke je lahko večja le v primeru, če vemo, da je meritev v izhodišču obremenjena z bistveno manjšo napako, kot pri ostalih točkah Le v takšnem primeru lahko upravičimo zahtevo, da gre premica skozi izhodišče Ocena napake pri določitvi naklona premice Pri poskusih, ki jih delamo v šoli in pri katerih preverjamo linearno odvisnost med fizikalnima količinama, običajno ne določamo statistične napake s ponavljanjem meritev pri vsaki vrednosti neodvisne spremenljivke, temveč napravimo meritev le po enkrat Če lahko privzamemo, da so napake le statistične in vrednosti izmerkov neodvisne druga od druge, lahko ocenimo povprečno napako izmerkov in napako naklona premice, ki smo jo potegnili skozi izmerjene točke Postopek razdelimo na dve dela; v prvem delu določimo povprečno napako izmerkov σ in v drugem napako naklona σ k Pri določitvi σ upoštevamo lastnost, da dve tretjini izmerkov pade znotraj intervala [y σ, y + σ] Napako σ lahko torej določimo grafično: okoli izmerkov načrtamo paralelogram, takšen da znotraj lika zajamemo približno dve tretjini vseh točk Pri tem morata biti dve stranici paralelograma vzporedni s premico, ki se najlepše prilagaja izmerjenim točkam, in enako oddaljeni od nje Razdalja med stranicama, merjena v navpični smeri, je potem ravno enaka 2σ (Glej sliko 2) 2 Slika 2: Grafična določitev napake izmerkov Ko tako dobimo povprečno napako izmerka σ, lahko določimo še napako na 13

14 klona k Za napako naklona k velja: σ k = 2σ x 3 N, (7) pri čemer je x = x max x min širina intervala, na katerem leže vrednosti neodvisne spremenljivke Napako naklona lahko določimo še na dva načina: Pri prvem načrtamo paralelogram tako, da objamemo vse točke Načrtamo obe diagonali in določimo njuna naklonska koeficienta k max in k min Napak naklona je potem: σ k k max k k k min (8) N 2 N 2 Pri drugem načinu izmerjene točke paroma povežemo in sicer ito točko z 1 2 N + ito, za i = 1, 2, 1 2 N Če imamo denimo N = 10 točk povežemo prvo in šesto, drugo in sedmo, peto in deseto Iskani naklon premice skozi točke je potem enak kar povprečni vrednosti naklonskih koeficientov tako dobljenih daljic, k 1, k 2, k N/2, napaka naklona pa napaki povprečja: k = 2 N 1 2 N k i, σ k = i=1 22 Nelinearne odvisnosti 4 N(N 2) 1 2 N [k 2 i k2 ] (9) i=1 Vseh teoretičnih odvisnosti, ki jih srečamo v fiziki, ne moremo prevesti v linearno zvez Najenostavnejši zgled je odvisnost poti od časa pri enakomerno pospešenem gibanju V tem primeru si pomagamo z računalnikom Eden najboljših računalniških paketov za ta namen je gnuplot (glej ki ima eno samo pomanjkljivost, je namreč brezplačen 23 Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja Pri večini poskusov analiziramo enakomerno pospešeno gibanje tako, da izmerimo pot v odvisnosti od časa Pospešek dobimo lahko na dva načina: z dvakratnim numeričnim odvajanjem poti po času ali iz naklona premice v grafu v(t) Analizo napravim pri merjenju težnega pospeška z brnačem Oznake na traku odčitavamo kar se da natančno, z lupo lahko odčitavamo tudi desetinke milimetra 14

15 Tabela pospeškov Odmike merimo v časih 002 s, 004 s, 006 s Hitrosti računamo po enačbi v = s/ t, tako da za t vzamemo dvojni interval Pospešek računamo iz a = v/ t iz zaporednih hitrosti in časovnih razlik t [s] s [m] v [m/s] a [m/s 2 ] a ā [m/s 2 ] Povprečna vrednost pospeška iz tabele je a = 10,31 m/s 2 Povprečna napaka pri meritvi, izračunana po obrazcu σ 2 1 = 1 N N i=1 (a i a) 2, (10) je σ 1 = 3,2 m/s 2 in napaka povprečja σ a = σ 1 / N 1 = 1,1 m/s 2 Iz tabele vidimo, da 3 meritve padejo zunaj intervala, če za odstopanje vzamemo mejno vrednost 4,1 m/s 2, 6 meritev pa znotraj tega intervala Tako dobljeno napako ocenimo s σ 1 = 4,1 m/s 2, kar ni v nasprotju z rezultatom, do katerega smo prišli po računski poti Gre seveda za napako pri eni meritvi, ocenjena napaka povprečja je seveda manjša in znaša σ a = σ 1 / N 1 = 1,4 m/s 2 Rezultat meritve torej zapišemo: a = (10,3 ± 1,4) m/s 2 (11) Pospešek iz grafa v(t) Že na prvi pogled vidimo, da je ujemanje z modelom precej boljše, kot bi lahko sklepali le na podlagi tabele pospeškov Račun da: a = (10,0 ± 0,8) m/s 2, v(0) = (0,09 ± 0,05) m/s (12) 15

16 25 v [m/s] t v } σ t [s] 16

17 3 Kinematika 31 Premo gibanje Merjenje hitrosti Merimo lego telesa x kot funkcijo časa t Hitrost telesa je definirana kot odvod lege po času v(t) = dx(t) dt (13) Ker merimo lege le ob določenih časih, t i, i = 1, N, lahko računamo le povprečno vrednost hitrosti v časovnem intervalu [t i+1, t i ]: v = x t = x i+1 x i t i+1 t i, (14) pri čemer je x i izmerjena lega ob času t i, x i+1 pa ob t i+1 Hitrost običajno pripišemo času na sredini intervala 1 2 (t i+1 + t i ) Pogosto je bolj praktično, da vzamemo večji časovni interval, [t i+1, t i 1 ], in formulo (14) zapišemo kot v(t i ) = x t = x i+1 x i 1 t i+1 t i 1 (15) V tem primeru smo povprečno hitrost pripisali kar času t i, ki leži znotraj intervala [t i+1, t i 1 ] V limiti, ko gredo časovni intervali t = t i+1 t i 1 proti nič, povprečna hitrost sovpade s trenutno To bi pomenilo, da bo meritev tem bolj natančna, čim krajše časovne intervale izberemo A v praksi to ni vedno najbolje Če časovne intervale skrajšujemo, se lahko postane pot, ki jo telo opravi v intervalu, primerljiva ali celo manjša od natančnosti, s katero merimo odmik (recimo 1 mm) V tem primeru bo relativna napaka pri računanju hitrosti zelo velika in meritev hitrosti zelo nezanesljiva Časovne intervale moramo torej izbrati tako, da bo pot, ki jo telo naredi v časovnem intervalu, dovolj velika v primerjavi z napako merjenja razdalje Merjenje pospeška Pospešek je definiran kot a(t) = dv(t) dt (16) Postopek za določitev pospeška je podoben postopku pri računanju hitrosti, opisanemu v prejšnjem razdelku Velja ā = v t = v i+1 v i t i+1 t i, (17) 17

18 ali a(t i ) = v t = v i+1 v i 1 t i+1 t i 1 (18) Postopek, pri katerem računamo hitrosti po formuli (15) in pospešek po formuli (18), je bolj praktičen, saj časi, v katerih računamo hitrosti in pospeške, sovpadajo s časi, v katerih smo merili lege telesa V primeru, ko so časovni intervali med seboj enaki, t = t i+1 t i = konst, lahko izpeljemo enostavno zvezo med pospeški in legami: a(t i ) = x i+1 + x i 1 2x i ( t) 2 (19) Merjenje koeficienta dušenja Jahač na zračni drči zavira magnetna sila, ki je premo sorazmerna s hitrostjo Zato se jahač giblje pojemajoče s pojemkom, ki je prav tako premo sorazmeren s hitrostjo: a = βv Enačbo za gibanje zapišemo v obliki dv dt = a = β v ali dv = β dt (20) v Enačbo integriramo, na levi od začetne hitrosti v 0 do končne hitrosti ob času t, na desni pa od začetnega časa 0 do časa t: v(t) v 0 dv v = β t Integral na levi je ln v na desni kar t Ko vstavimo meje, dobimo 0 dt (21) ln v(t) ln v 0 = β t ali ln v(t) v 0 = β t (22) Enačbo antilogaritmiramo in dobimo v(t) = v 0 e βt (23) Pot, ki jo telo opravi v času t, dobimo z integriranjem hitrosti (23): s(t) = t 0 v(t) dt = v 0 β Koeficient dušenja β lahko določimo na dva načina: ( 1 e βt) (24) i) Iz prve enačbe (20) sledi β = a/v Če torej v tabeli izračunamo vrednosti hitrosti in pospeškov, dobimo β kot povprečno vrednost razmerja a(t i )/v(t i ) 18

19 ii) V prvi enačbi v (22) vpeljemo novo spremenljivko y = ln v(t) Enačba ima potem obliko y = ln v 0 βt Prepoznamo enačbo premice z naklonom β Narišemo torej graf, na katerem na vodoravno os čase t i, na navpično os pa vrednosti ln v(t i ) Skozi točke potegnemo premico in iz naklona odčitamo β 32 Eksperimentalne metode premo gibanje Lego v odvisnosti od časa lahko merimo na več načinov: Brnač Na telo pripnemo papirni trak in ga potegnemo skozi brnač Brnač udarja v enakomernih časovnih intervalih t na trak skozi indigo papir in na traku pušča sledi Časovni interval je pri različnih brnačih različen in meri 0,02 s, 0,025 s ali 0,1 s V tem primeru se formule, ki smo jih zapisali v prejšnjem poglavju, poenostavijo v toliko, da ni potrebno računati časovnih razlik za vsak interval posebej; vzamemo kar t v (14) in (17) ali 2 t v (15) in (18) Ker v formulah (14) in (15) potrebujemo le razlike leg telesa, lahko direktno odčitavamo le razdalje med pikami na traku, ne pa razdalje od začetka traku do izbrane pike t = 40 ms 0,1 s 0,2 s 0,3 s 14,4 mm 17,6 mm Slika 3: Primer analize traku: pike so v razmiku 20 ms, iz odčitane razdalje (14,4 mm), ki ustreza dvojnemu časovnemu intervalu t = 40 ms, izračunano hitrost v = 14,4 mm/40 ms = 0,36 m/s pripišemo času 0,18 s, tisto, ki ustreza razdalji 17,6 mm pa času 0,22 ms Ultrazvočni slednik Slednik odda kratek ultrazvočni signal, ki se odbije od telesa in vrne do slednika Iz časa potovanja signala in iz znane hitrosti zvoka v zraku naprava izračuna razdaljo do telesa Slednik je povezan z računalnikom, ki zabeleži čas, ob katerem je oddal signal, in izmerjeno razdaljo Postopek ponavlja v enakomernih časovnih intervalih in izmerke shranjuje v računalniku v obliki tabele Dolžino časovnega intervala (frekvenco oddajanja signalov) lahko nastavljamo Računalnik prikaže odvisnost lege od časa tudi grafično 19

20 Svetlobna vrata Na vozičku je nameščena ploščica, ki prekine curek svetlobe v svetlobnih vratih (Slika 4) Vrata so povezana z računalnikom, ki zabeleži čas prekinitve (t 1 ) Ko ploščica pride iz svetlobnih vrat, računalnik ponovno zabeleži čas (t 2 ) Iz razlike časov in znane dolžine ploščice (d), računalnik lahko določi (povprečno) hitrost vozička v = d/(t 2 t 1 ) Dolžino ploščice moramo vpisati v računalnik vrata s curkom svetlobe zgoraj enokraka ploščica spodaj dvokraka ploščica voziček Slika 4: Svetlobna vrata Če želimo izmeriti več leg in časovnih intervalov, vzamemo namesto ploščice letev, na kateri so enakomerno razporejene izmenoma prozorne in neprozorne proge Računalnik beleži čase, ko se curek prekine in ko se zopet pojavi V tem primeru časovni intervali niso konstantni, pač pa so konstantne poti, ki jih telo opravi v teh intervalih, saj ustrezajo kar širinam svetlih oz temnih prog Elektronska štoparica Pospešek pri enakomerno pospešenem gibanju (prostem padu) merimo z elektronsko štoparico Jekleno kroglico na začetku drži elektromagnet Ko tok skozi elektromagnet prekinemo, začne kroglica padati, hkrati pa signal sproži začetek merjenja časa v elektronski štoparici (ki je lahko kar računalnik) Kroglica pade v čašo, kar ponovno sproži signal in ustavi merjenje časa Pospešek (težni) dobimo iz enačbe za pot pri enakomerno pospešenem gibanju h = 2 1 at2 (ob privzetku, da je bila hitrost na začetku enaka 0) Merimo pri dveh različnih višinah, h 1 = 1 2 at2 1 in h 2 = 2 1 at2 2 Enačbi odštejemo in dobimo h 1 h 2 = 1 2 a(t2 1 t2 2 ) ali a = 2(h 1 h 2 ) t 2 1 (25) t2 2 Prednost metode je v tem, da nam ni potrebno poznati točne višine, ki jo kroglica prepotuje, temveč le razliko višin Zadostuje, da izmerimo le premik višine prožilnega mehanizma, kar lahko določimo veliko bolj natančno kot samo višino 20

21 33 Vrtenje Pri vrtenju telesa se namesto lege telesa pojavi kót zasuka ϕ, namesto hitrosti in pospeška pa kotna hitrost ω in kotni pospešek α Kot merimo v radianih, ki nimajo dimenzije, zato enote ne pišemo Polni kot v radianih meri 2π, pretvornik med kotom v stopinjah in kotom v radianih je ϕ(v radianih) = (π/180) ϕ(v stopinjah) Velja ω = dϕ dt in α = dω dt, (26) Če izmerimo zaporedje kotov ϕ i, i = 1, N ob časih t i, i = 1, N, izračunamo kotno hitrost kot ω(t i ) = ϕ t = ϕ i+1 ϕ i 1 (27) t i+1 t i 1 in α(t i ) = ω t = ω i+1 ω i 1 t i+1 t i 1 (28) Kote zasuka in pripadajoče čase merimo s svetlobni vrati, tako da letev nadomestimo s krožno ploščo, na kateri se enakomerno po 15 menjavajo prozorni in neprozorni krožni izseki 34 Gibanje v ravnini: poševni met Gibanje v ravnini razstavimo v gibanje v vodoravni in gibanje v navpični smeri Če zanemarimo upor zraka, na telo deluje le gravitacijska sila v navpični smeri V vodoravni smeri je zato gibanje premo enakomerno s konstantno hitrostjo, ki je kar enaka komponenti začetne hitrosti v 0 v tej smeri: v x (t) = v 0x = v 0 cos ϑ, x(t) = x 0 + v 0 cos ϑ t, (29) pri tem je ϑ dvižni kot V navpični smeri je gibanje enakomerno pospešeno s pospeškom a = g, če kaže os y navzgor, oz a = g, če kaže os y navzdol Velja v y (t) = v 0y + at = v 0 sin ϑ + at, y(t) = y 0 + v 0 sin ϑ t at2 (30) Izhodišče koordinatnega sistema postavimo v začetno točko, potem velja x 0 = y 0 = 0 Iz enačbe za lego x v (29) izrazimo čas, t = x/v 0 cos ϑ, in vstavimo v enačbo z a y v (30) Dobimo enačbo parabole: y = x tan ϑ + a 2v 2 0 cos ϑ2 x2 (31) 21

22 Čas leta in domet Najprej izračunajmo čas t m, ki ga telo potrebuje, da doseže največjo višino Tam je hitrost v smeri y enaka 0, v y (t m ) = 0 in iz prve enačbe (30) tako sledi t m = v 0 sin ϑ/g (za a = g) Čas leta telesa v primeru, ko ima telo na koncu enako višino kot na začetku, pa je enak kar dvakratnemu času, potrebnemu, da doseže največjo višino, saj za pot navzdol porabi enako kot za pot navzgor t D = 2t m = 2v 0 sin ϑ (32) g V tem času prepotuje v vodoravni smeri pot x D (ϑ) = 2v2 0 g sin ϑ cos ϑ = v2 0 g sin 2ϑ (33) Domet je največji, ko je sin 2ϑ = 1, torej pri 2ϑ = 90, ϑ = 45 Z nekaj znanja trigonometrije se lahko prepričamo, da velja x D (ϑ) = x D (90 ϑ), (34) kar pomeni, da je na primer domet pri kotu 60 enak dometu pri 30 Če poznamo obe komponenti hitrosti v x (t) in v y (t) ob času t, lahko izračunamo velikost hitrosti in njeno smer v(t) = v x (t) 2 + v y (t) 2, tan ϕ = v y(t) v x (t), (35) pri čemer je ϕ kot, ki ga vektor hitrosti tvori z vodoravnico Eksperimentalno merimo čas leta z elektronsko štoparico, za proženje začetka uporabljamo svetlobna vrata Domet merimo s kovinskim trakom 35 Eksperimentalni postopki Iztekanje iz posode Posoda, napolnjena z vodo, ima na dnu cevko s polmerom r, skozi katero izteka vodni curek v vodoravni smeri Vodni curek ima obliko parabole (31) za ϑ = 0 in a = g Če odčitamo višine (globine) y pri različnih vrednostih vodoravne koordinate x, lahko preverimo, če je tir res parabola V graf nanašamo na vodoravno os vrednosti x 2, na navpično pa y Če izmerjene točke v okviru pričakovanih napak pri merjenju ležijo na premici, lahko izjavimo, da je tir res parabola Naklon premice v grafu y = y(x 2 ) je kar k = 22 g 2v 2 0,

23 od koder iz znanega g = 9,8 /s 2 izračunamo začetno hitrost v 0 Hitrost curka, ko zapusti ustje cevi, lahko določimo tudi iz enačbe za prostorninski pretok po cevi, Φ V = v 0 S = v 0 π r 2, pri čemer je Φ V pretočena prostornina vode v času t, Φ V = V/t, in r polmer cevi Prostorninski pretok izmerimo tako, da lovimo vodo v čašo, ki jo nato prelijemo v merilno posodo (menzuro) Merimo seveda še čas natakanja t Polmer cevke določimo s pomočjo zbirke svedrov, tako da poiščemo sveder, ki se najbolj prilega odprtini in s kljunastim merilom izmerimo njegov premer Digitalna video kamera ali fotoaparat Z digitalnim fotoaparatom ali video kamero, ki omogoča večje število posnetkov v sekundi (vsaj 25), posnamemo poševni met telesa (recimo košarkarske žoge) V ravnini meta postavimo dve merilni palici v vodoravnem in navpičnem položaju Fotoaparat postavimo v dovolj veliki oddaljenosti od ravnine meta, tako da ne moti paralaksa Zaporedje slik prenesemo v računalnik Slike so pravzaprav lahko spravljene kar v računalniški pomnilniški enoti, ki jo preko USB vhoda priključimo na računalnik Prva slika naj bo tista, na kateri telo (žoga) že prosto leti Slike odpiramo s programom za grafično prikazovanje slik (recimo Slikar (MSPaint) ali GIMP), ki prikazuje lego miškinega kazalca v pikslih Odpremo prvo sliko in z miško odčitamo koordinate središča žoge Če izberemo risanje poligonov ali kaj podobnega, bo znak, ki kaže lego miške, v obliki križa, in določitev središča bo lažja Koordinate so v pikslih; koordinatno izhodišče je v zgornjem levem kotu, tako da je navpična os usmerjena navzdol Pretvornik med piksli in dejanskimi metri dobimo tako, da odčitamo dolžini obeh metrskih palic na sliki Če fotoaparat zajame 30 slik v sekundi, si slike sledijo v razmikih 1/30 sekunde (podatek je mnogo bolj natančen kot kateri koli drug podatek pri poskusu) Podatke vnesemo v tabelo in koordinate preračunamo v metre Koordinatno izhodišče prestavimo v središče žoge na prvem posnetku, os y lahko usmerimo navzgor Iz koordinat v tabeli izračunamo vodoravno in navpično komponento hitrosti Narišemo grafa v x (t) in v y (t) in skozi izmerjene točke potegnemo premici, ki se najlepše prilegata izmerjenim vrednostim Iz naklona premice v grafu v y (t) določimo pospešek; z ekstrapolacijo obeh premic k času 0 pa vektor začetne hitrosti in dvižni kot (glej (35)) 23

24 4 Merjenje sil in snovnih lastnosti 41 Merjenje sil z računalnikom Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v električno napetost Signal vodimo do računalnika, ki prikaže časovno odvisnost napetosti (in posredno sile) Računalnik tudi izračuna časovno povprečje napetosti v merjenem časovnem intervalu Pretvornika med silo in napetostjo ne poznamo, zato je potrebno senzor umeriti z znanimi silami To najlaže naredimo tako, da na senzor obešamo uteži z znanimi masami m in narišemo graf, ki kaže odvisnost teže (F g = mg) od napetosti U (Ker je v tem primeru sila konstantna, je smiselno na računalniku odčitavati povprečno silo) Pričakujemo, da bo zveza med silo in napetostjo linearna: F = k U + F 0 (36) Koeficienta k in F 0 določimo s prilagajanjem premice skozi izmerjene točke v grafu F g (U) Popravek zaradi orientacije senzorja Neobremenjeni senzor pokaže različno vrednost napetosti glede na to, kako je orientiran Ko je postavljen navpično, poleg merjene sile kaže tudi težo kaveljčka, na katerega obešamo uteži Zato naša umeritev velja le v navpičnem položaju senzorja, če pa senzor uporabljamo v drugačnem položaju, moramo to upoštevati Hitro se lahko prepričamo, da ima v tem primeru popravek obliko F = k U + F 0 + F 1 (1 sin ϕ), (37) pri čemer je F 1 teža priključnega mehanizma, kot ϕ pa merimo tako, da je ϕ = 0 v vodoravnem položaju in ϕ = 90 v navpičnem položaju (torej v položaju, v katerem umerjamo senzor) Težo F 1 določimo tako, da neobremenjen senzor postavimo v vodoravni položaj in izmerimo napetost U 0, nato pa še v navpični položaj, izmerjeno napetost v tem položaju označimo z U 90 : 0 = k U 0 + F 0 + F 1, 0 = k U 90 + F 0 Levi strani sta v obeh primerih enaki 0, saj je senzor neobremenjen Iz obeh enačb izrazimo F 1 kot F 1 = k (U 0 U 90 ) k U, pri čemer smo z U označili razliko napetosti v obeh legah, U = U 0 U 90 Enačbo (37) prepišimo v obliko F = k (U U(1 sin ϕ)) + F 0, (38) od koder bomo iz znanih parametrov k, F 0 in U določali zvezo med silo in napetostjo ter kotom 24

25 Sile na klancu Voziček na klancu z naklonskim kotom ϕ z vrvico povežemo s senzorjem za silo Ker voziček miruje, je sila vrvice in s tem sila, ki jo kaže senzor, (nasprotno) enaka dinamični komponenti teže vozička: F = m v g sin ϕ (39) Pri računanju sile iz napetosti moramo v tem primeru vzeti enačbo (38) Merjenje koeficienta lepenja Na mirujočo klado na klancu delujeta teža in sila podlage, ki jo razstavimo na pravokotno silo podlage F = m k g cos ϕ in silo lepenja F l, ki ima smer klanca Dokler klada miruje, sta v ravnovesju sila lepenja in dinamična sila teže, F l = m k g sin ϕ Ko kot povečujemo, narašča sila lepenja in doseže največjo vrednost, tik preden klada zdrsne Koeficient lepenja k l je definiran kot razmerje med največjo silo lepenja in pravokotno komponento sile podlage: k l = F l(max) = m kg sin ϕ 0 = tan ϕ 0, (40) F m k g cos ϕ 0 če je ϕ 0 največji kot, pri katerem klada še ne zdrsne Naklonski kot določimo z merjenjem višine h in dolžine klanca l, sin ϕ = h/l Klado povežemo s silomerom kot v prejšnjem primeru Dokler je naklonski kot klanca manjši od ϕ 0, je vrvica nenapeta in silomer ne kaže nobene sile Pri kotih večjih od ϕ 0, pa je sila vrvice enaka razliki med dinamično komponento teže in največjo možno silo lepenja F l (max) Silomer kaže F = m k g sin ϕ k l m k g cos ϕ, (41) od koder lahko izluščimo k l pri različnih kotih Vpeljemo x = sin ϕ in enačbo (41) prepišemo v obliko ) F = m k g (x k l 1 x 2 (42) Izmerjene sile pri različnih kotih ϕ > ϕ 0 vnesemo v graf F = F(x) in s prilagajanjem funkcije (42) v programu Gnuplot določimo k l in njegovo napako 25

26 42 Ravnovesje treh sil Telo (obroček v sredini plošče na sliki 5) je v ravnovesju, če je vsota vseh sil enaka 0 Če označimo kote, tako kot na sliki, velja za komponente v smereh y in x: y m 1 > β α x m 2 m 3 y : m 1 g m 2 g sin α m 3 g sin β = 0 x : m 2 g cos α m 3 g cos β = 0 Slika 5: Ravnovesje treh sil 43 Ravnovesje navorov Za ravnovesje togega telesa (krožne plošče na sliki 6) velja, da mora biti vsota vseh sil enaka 0 in hkrati vsota vseh navorov enaka 0 Težo in sile uteži uravnovesi sila podlage, za ravnovesje navorov pa velja m 1 gr 1 sin ϕ m 2 gr 2 = 0, pri tem sta r 1 in r 2 ročici, merjeni od središča plošče do prijemališč sil, ϕ pa kot med ročico in silo prve uteži r 2 r 1 ϕ m 2 m 1 Slika 6: Ravnovesje navorov 26

27 44 Hookov zakon Deformacije teles Telesa se pod vplivom zunanjih sil lahko deformirajo Če se telesa zaradi zunanjih sil deformirajo, a se po prenehanju delovanja teh sil vrnejo v prvotno obliko, je deformacija elastična Tako se palica, na katero deluje v vzdolžni smeri zunanja sila, elastično razteza ali krči Podaljša se, če deluje v palici napetost F/S, kjer je S presek palice, in skrči, če palico stiskamo in je v njej tlak p = F/S Podaljšek pri nategu in skrček pri stisku s je odvisen še od prvotne dolžine palice l Relativni raztezek ali relativni skrček ɛ = s/l je odvisen le od napetosti oz od tlaka p Poskusi pokažejo, da je zveza med napetostjo oz tlakom p in relativnim raztezkom ɛ linearna: ɛ = 1 E p (43) Zvezo imenujemo Hookov zakon Sorazmernostna konstanta E v (43) je snovna konstanta, ki je značilna za elastično snov Konstanta se imenuje prožnostni modul Za vsako snov obstaja meja prožnosti, to je tista napetost, do katere je deformacija elastična Pri večjih napetostih se snov deformira trajno (plastična deformacija) Pri nekaterih snoveh je praktično vsaka deformacija plastična F l F S s Slika 7: Elastično raztezanje trdnih snovi Opis meritve Na žični kavelj na okvirčku obesi predutež, da se žica nekoliko zravna Merilno uro naravnaj na ničlo Izmeri raztezek žice pri vsaj desetih obremenitvah in rezultate vnesi v graf F(s) Skozi točke nariši premico in ugotovi, če je odvisnost res linearna, tj F = ks + F 0 Iz k = ES/l izračunaj prožnostni modul Zato potrebuješ še dolžino žice l in njen presek S Premer izmeri z mikrometrskim merilom Izračunaj tudi napako modula 45 Površinska napetost Napravimo poskus s tanko žično zanko z radijem r, kot kaže slika 8 Da zanko izvlečemo iz kapljevine, moramo premagati silo površinske napetosti F, ki je sorazmerna dolžini zanke b, vzdolž katere se vleče površina kapljevine: F = γ b (44) 27

28 Ker zanka trga površino kapljevine po obeh obodih zanke, moramo upoštevati dvojni obseg (b = 2 2π r) Sorazmernostni koeficient γ imenujemo kar površinska napetost b F F θ h 2r Slika 8: Merjenje površinske napetosti Slika 9: Kapilarni dvig kapljevine Površinska napetost povzroča, da nivoja kapljevine v kapilari, vtaknjeni v kapljevino, in zunanje kapljevine nista enako visoko Voda steklo omoči, živo srebro pa ne V kapilari, potopljeni v posodo z vodo, se voda dvigne, živo srebro v kapilari pa zniža pod nivo živega srebra v posodi Voda oblikuje svojo površino v obliki, podobni krogelni kapici Skupna sila F, ki deluje na tekočino v kapilari navzgor, je F = γ 2π r cos θ, kjer je θ kot med površino kapljevine in stekleno steno (glej sliko 9), r pa je radij kapilare Tej sili drži ravnovesje teža vodnega stebrička: ϱ π r 2 g h Zato velja: ϱ g h = 2γ cos θ (45) r Ker je razmerje r/ cos θ enako radiju krogle z radijem R, lahko (45) zapišemo: ϱ g h = 2γ R (46) Če je kot θ = 180 o, je premer kapilare enak dvojnemu radiju 2R Z merjenjem višinske razlike h lahko dobimo površinsko napetost γ, npr vode ali kake druge kapljevine Površinsko napetost izmerimo tudi tako, da stehtamo silo, ki je potrebna, da žična zanka pretrga površino tekočine 28

29 46 Merjenje gostot Definicija gostote Gostota je definirana je s kvocientom mase m in prostornine V, ϱ = m/v Tako definirana gostota pa velja le za homogene snovi V splošnem pa moramo gostoto definirati s kvocientom ϱ = dm/dv Če se v snovi ta vrednost spreminja, je snov heterogena, če pa se s krajem gostota ne spreminja in je torej po vsem telesu enaka, je snov homogena Pri večjih in geometrijsko simetričnih telesih prostornino izmerimo brez težav, maso stehtamo in gostoto izračunamo Pri manjših telesih in pri telesih z nepravilno obliko uporabljamo različne metode merjenja gostote Včasih lahko meritev izvedemo s piknometri Z njimi lahko določamo gostote trdnin in kapljevin Piknometer je bučka z luknjico v steklenem zamašku, s katerim natanko opredelimo prostornino kapljevine Pri piknometrski metodi določanja gostote kapljevin tehtamo piknometer, napolnjen z vodo (m v ), piknometer, napolnjen s kapljevino, katere gostoto želimo izmeriti (m m ) in prazen piknometer (m p ) Prostornino vode v piknometru določa enačba V = (m v m p )/ϱ v, kjer je ϱ v gostota vode Podobno velja za prostornino kapljevine, katere gostoto želimo meriti: V = (m m m p )/ϱ, kjer je ϱ gostota merjenca Glede na to, da sta prostornini obeh kapljevin enaki, je gostota merjene kapljevine glede na gostoto vode ϱ v enaka ϱ = ϱ v m m m p m v m p (47) Podobno ravnamo tudi, ko merimo gostoto trdnin Tehtamo najprej merjenec m m, nato piknometer z vodo m v in nato piknometer z vodo in merjencem m mv Masa z merjencem izpodrinjene vode je m m + m v m mv Prostornina te vode, ki je hkrati prostornina merjenca, pa je V m = (m m + m v m mv )/ϱ v Gostoto merjenca dobimo po enačbi ϱ = m m V m = ϱ v m m m m + m v m mv (48) Pri obeh merjenjih moramo poznati gostoto vode: ta je pri normalnih pogojih je ϱ v = 1, kg/m 3 Opis postopka Stehtaj prazen in suh piknometer s pokrovčkom Vanj natoči vodo, izmeri skupno maso, ponovi enako še z alkoholom Meri kar se da natančno (na vsaj 4 mesta) V piknometer naliješ vodo oz alkohol do vrha piknometra tako, da odvečna kapljevina odteče skozi luknjico v pokrovčku piknometra Tehtaš torej piknometer skupaj s pokrovčkom Pazi, da je bučka piknometra pred merjenjem skrbno obrisana Izračunaj gostoto alkohola Določi skupno maso piknometra (s pokrovčkom) in kovinskih ali katerih drugih delčkov m mp (prazen piknometer s pokrovčkom si že stehtal), da ugotoviš 29

30 maso merjenca (m m = m mp m p ) Dolij vode do vrha, piknometer zapri s pokrovčkom, ga osuši in določi skupno maso merjenca, piknometra in vode Maso merjenca z vodo si že določil S temi podatki izračunaj gostoto merjenca kar se da natančno Merjenje z vzgonom Gostoto trdnin in kapljevin lahko merimo še z metodo, pri kateri izkoristimo vzgon teles Stehtamo merjenec v zraku (F g ) in ko je ta potopljen v vodi (F g) Razlika obeh tež je enaka teži izpodrinjene vode: F gv = F g F g Iz nje izračunamo prostornino izpodrinjene vode, ki je hkrati prostornina merjenca: V v = F gv /gϱ v = (F g F g)/gϱ v Gostota merjenca je ϱ = F g gv m = F g gv v = ϱ v F g F g F g (49) Stehtaj telo v zraku in potopljeno telo v vodi kar se da natančno Ti podatki zadoščajo za izračun gostote telesa 47 Merjenje gostote zraka Tudi gostoto zraka lahko izmerimo Najprej stehtamo prazno bučo m b in nato bučo, napolnjeno s stisnjenim zrakom m z, ki smo ga spravili v bučo s tlačilko Razlika obeh mas m z m b je masa zraka, ki smo ga stisnili v bučo Ko ta stisnjen Slika 10: Merjenje gostote zraka zrak spustimo v posodo z vodo, zrak iztisne vodo v menzuro, ki ji lahko izmerimo prostornino Tako dobimo prostornino zraka V, ki smo ga stlačili v bučo, pri normalnih pogojih Zato je gostota zraka ϱ = m z m b (50) V 30

31 Stehtaj bučo z zrakom pri normalnih pogojih Zapri ventil in bučo napolni z zrakom s pumpanjem Stehtaj bučo z dodatnim zrakom Uporabi tehtnico z natančnostjo 1/100 g Prostornino stisnjenega zraka dobiš z bolj zapleteno napravo Najprej v cev natočiš vodo, ki jo potem, ko odpreš ventil buče, iztisne zrak Prostornina v bučo stisnjenega zraka je pri normalnem tlaku enaka prostornini iztisnjene vode 48 Viskoznost Za kapljevine je značilna snovna konstanta viskoznost To nekaj pove o lastnosti, ki je povezana z notranjim trenjem v kapljevinah Zaradi te lastnosti se nekatere kapljevine lažje pretakajo skozi lijak kot druge Pri opredelitvi viskoznosti moramo vpeljati strižno napetost Ta je povezana s silami, ki ne delujejo pravokotno na ploskev kot pri Hookovem zakonu, ampak prijemljejo in delujejo vzdolž ploskve S Če je med dvema vzporednima ploščama plast tekočine s površino S in zgornjo ploščo vlečemo s silo F se pojavi v tekočini strižna napetost σ s = F/S (glej sliko 11) Pri tem se gornja plošča giblje s konstantno hitrostjo v in z njo vred se giblje sosednja plast kapljevine tik ob tej plošči Spodnja plast tik ob spodnji plošči pa skoraj miruje V kapljevini se torej z višino hitrost povečuje Naraščanje opredelimo z gradientom hitrosti v/z, kjer je z razdalja med obema ploščama Poskusi kažejo, da je strižna napetost σ s premo sorazmerna gradientu hitrosti v/z: σ s = η v z (51) To je zakon o viskoznosti Sorazmernostna konstanta v tej enačbi je viskoznost η Odvisna je od temperature Viskoznost η je značilna snovna konstanta za kapljevino in jo najdemo v posebnih tabelah z l v x Slika 11: Viskoznost kapljevin Podobno kot v tem primeru gibanja ene od dveh plošč povzroči zaviralne sile tudi gibanje kroglice skozi kapljevino Po precej zapletenem računu najdemo, da je sila upora na kroglico v gosti tekočini enaka F = 6 π r η v, (52) 31

32 kjer je r radij kroglice in v njena hitrost Če spustimo kroglico z gostoto ϱ v kapljevino z gostoto ϱ k, delujeta nanj še teža mg = ϱ g V in sila vzgona m k g = ϱ k g V V stacionarnem stanju silo teže uravnovešata sila upora in vzgon Velja: ϱ g V = ϱ k g V + 6 π r η v Iz te enačbe lahko izračunamo viskoznost η = 2(ϱ ϱ k) g r 2, (53) 9 v kjer smo vstavili za prostornino kroglice 4 π r 3 /3 Če izmerimo hitrost padanja kroglice v in poznamo obe gostoti ter radij kroglice, lahko izračunamo viskoznost η Koeficient viskoznosti tekočin določiš z merjenjem hitrosti padanja steklenih kroglic v glicerinu Izmeri še premer kroglic in njihovo maso in od tod izračunaj gostoto stekla Gostota glicerina je podana in je ni treba meriti 32

33 5 Merjenje gibalne količine, energije in temperature 51 Merjenje gibalne količine pri trkih Če je rezultanta zunanjih sil enaka nič, je sunek sile enak nič in gibalna količina se ohranja Če sta v sistemu dve telesi z masama m 1 in m 2, se pri trku njuna skupna gibalna količina ohranja Izrek o ohranitvi skupne gibalnih količin zapišemo kot m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2, (54) pri čemer pomenita v 1 in v 2 hitrosti teles pred trkom in v 1 in v 2 trku hitrosti teles po Postopek merjenja Z roko ali s sprožilcem suni enega od vozičkov v drugi mirujoči voziček, ki je postavljen med svetlobna vrata tako, da prvi voziček pred trkom že zapusti svetlobna vrata na svoji strani (Princip delovanja svetlobnih vrat je opisan v prvem sklopu vaj) Pri neprožnem trku se po trku gibljeta vozička v smeri gibanja prvega vozička pred trkom Pri prožnem trku pa je hitrost prvega vozička po trku odvisna od razmerja mas vozičkov Svetlobna vrata izmerijo le absolutno vrednost hitrosti, zato moraš njen predznak določiti sam z opazovanjem gibanja vozička Rezultat predstavi kot razliko med končno in začetno velikostjo skupne gibalne količine, deljene z velikostjo začetne gibalne količine 33

34 52 Ohranitev energije pri kotaljenju V splošnem ima togo telo lahko kinetično in potencialno energijo Kinetična energija je sestavljena iz dveh delov, translacijske energije 1 2 m v2 in rotacijske energije 1 2 J ω2 Sprememba gravitacijske potencialne energije telesa je W p = m g (z 2 z 1 ), kjer pomeni z 2 z 1 višinsko razliko težišča togega telesa Če je vsota vseh zunanjih sil enaka nič, se energija ohranja To velja tudi, če deluje na sistem le teža Tedaj velja izrek o ohranitvi energije 1 2 m v J ω2 2 + m g z 2 = 1 2 m v J ω2 1 + m g z 1 (55) Indeks 2 se nanaša na končni položaj telesa, indeks 1 pa na začetni položaj togega telesa Na vrhu klanca telo miruje in ima le potencialno energijo Mgz T Po klancu navzdol se kotalečemu se telesu manjša potencialna energija, povečuje pa translacijska kinetična energija težišča 1 2 M v2 T in rotacijska energija okrog osi skozi težišče 2 1 J ω2 Če je delo navora lepenja zanemarljivo majhno, lahko računamo, da se ohranja celotna energija teles Na koncu je potencialna energija enaka 0 in velja M g z T = 1 2 M v2 T Jω2 (56) z T v T r β β v T a) b) r R Slika 12: a) Kotaleči se valj na klancu in b) kroglica v žlebu, pogled od spredaj Pri valju je hitrost težišča enaka obodni hitrosti težišča pri vrtenju valja okoli osi skozi dotikališče valja s klancem (glej sliko 12 a)): v T = ω R, če z R označimo polmer valja Vztrajnostni moment valja je J = 1 2 MR2 in iz (56) dobimo M g z T = 1 2 M v2 T M v2 T = 3 4 M v2 T, (57) od koder sledi 4gzT v T = 3 34 (58)

35 Kroglica se dotika žleba v točkah, prikazanih na sliki 12 b) Os vrtenja je premica skozi ti dve točki in zveza med hitrostjo težišča in kotno hitrostjo je v tem primeru v T = ω r V (56) vstavimo vztrajnostni moment krogle J = 2 5 M R2 in dobimo M g z T = 1 2 M v2 T MR2 v2 T r 2 = 9 10 M v2 T, (59) pri čemer smo upošteval 2r 2 = R 2 Od to sledi v T = 10gzT 9 (60) Kroglica se kotali enakomerno pospešeno in velja v T = at in s = 1 2 at2, če je s dolžina klanca Iz prve enačbe izrazimo a in dobimo s = 1 2 v Tt oziroma v T = 2s t (61) Za obe telesi izmerimo višino klanca v začetni legi z T in čas kotaljenja t na poti s ter primerjamo izmerjeno hitrost iz enačbe (61) z izračunano hitrostjo (58) oz (60) 35

36 53 Pronyjeva zavora S Pronyjevo zavoro (jarmom) merimo moč na osi motorja Motor prejema električno moč, P p = P e = U I, kjer je U napetost, na katero je električni motor priključen, in I tok, ki teče skozi motor Na gred motorja s Pronyjevim jarmom deluje navor M, ki ga povzročata sili F 1 in F 2 dveh vijačnih vzmeti, povezanih s trakom jarma Vzmeti sta hkrati tudi silomera Motor se vrti s kotno hitrostjo ω = 2π ν Navor je enak M = (F 2 F 1 ) r, kjer je r polmer jarma Tako je koristna (oddana mehanična) moč na gredi motorja P 0 = M ω = (F 2 F 1 )2π r ν Izkoristek motorja η, ki ga definiramo kot razmerje koristne (oddane) moči in vložene (prejete) moči, je v našem primeru η = P o = (F 2 F 1 )2π r N (62) P p U I t Pri tem smo zamenjali frekvenco ν s kvocientom N/t, kjer je N število vrtljajev in t ustrezni čas Ko meritev že nekaj časa teče in se temperatura zaradi hlajenja ne spreminja več, je po energijskem zakonu vloženo delo A e in oddano delo A meh povezano z oddano toploto Q po enačbi A e A meh Q = 0, saj se v ravnovesnem stanju ne spreminja nobena od energij Toplota, ki jo pri tem pri konstantni temperaturi motor oddaja okolici, je enaka Q = A e A meh F2 r F1 Slika 13: Pronyjeva zavora ν Postopek merjenja Pronyjeva zavora ima trak, ki ga vpneš na oba premakljiva silomera Motor priključiš na napetostni vir Izmeriš tok in napetost pri izbranih vrtljajih Z merjenjem števila vrtljajev in časa določiš frekvenco vrtenja gredi motorja, ki skupaj z izmerjenima silama in premerom valja omogočajo izračunati koristno moč navora P k Po drugi strani z merjenjem napetosti in toka izmerimo vloženo električno moč P e = UI Njuno razmerje določa izkoristek elektromotorja 36

37 54 Izkoristek elektromotorja Moč na osi motorja lahko določimo tudi iz dela, ko motor v času t dvigne breme mase m za višinsko razliko z, saj velja P = m g z/t Razlika teh dveh moči predstavlja toplotni tok, ki pomeni izgubo Izkoristek motorja pa je η = P o P d = m g z U I t (63) Postopek merjenja Vloženo električno delo A e izračunaj kot produkt napetosti, toka in časa, A e = UIt Čas ustreza potovanju bremena iz spodnje v zgornjo lego z, ki ju natanko določi Pazi, da breme ne udari v motor in po prekinitvi električnega kroga ne zgrmi na tla; zato utež ulovi Izberi primerno napetost, da se utež počasi in enakomerno dviguje Koristno mehansko delo pa je enako spremembi potencialne energije A m = mg z Njuno razmerje da izkoristek našega dvigala 37

38 55 Temperaturno raztezanje kovin Prostornina trdnine (kapljevine), in v posebnem primeru dolžina trdnine, se lahko spreminja zaradi spremembe temperature T Tedaj govorimo o temperaturnem raztezanju Pri tem moramo zagotoviti konstantne pogoje, kar pomeni, da se ne sme spremeniti katera od drugih količin, npr tlak Relativni raztezek palice dl/l je pri temperaturnem raztezanju trdnin sorazmeren temperaturni spremembi dt: dl l = α dt, (64) kjer sorazmernostni koeficient α imenujemo temperaturni koeficient dolžinskega raztezka in je značilna konstanta za snov Definirana je torej z enačbo α = 1 l V omejenem temperaturnem obsegu velja kjer je l = l o pri T = T o in T = T T o dl dt (65) l = l o (1 + α T), (66) Postopek merjenja Sestavi napravo za merjenje raztezkov Eno krajišče kovinske cevi vpni v stojalo, skozi cev napelji vodo iz rezervoarja, ki jo segrevaš Na drugi konec cevi vpni merilno urico, s katero izmeriš raztezek paličaste cevi Za izračun temperaturnega koeficienta dolžinskega raztezka sta potrebna vsaj dve meritvi, pri sobni temperaturi in pri temperaturi vrelišča vode 38

39 56 Temperaturno raztezanje vode Na podoben način lahko opišemo raztezanje ali krčenje telesa zaradi spremembe temperature V tem primeru je relativna sprememba prostornine dv/v sorazmerna s spremembo temperature dt: dv V = β T dt, (67) kjer je β T temperaturni koeficient prostorninskega raztezka Pri trdnih snoveh je trikrat večji od linearnega (β T = 3α) Za ne prevelike temperaturne spremembe lahko (67) zapišemo v obliki kjer je V = V 0 pri T = T 0 V = V 0 (1 + β T (T T 0 )), (68) Sestavi napravo za merjenje raztezkov kapljevine (glej sliko 14) V bučko do vrha nalij merjeno tekočino Bučko zamaši z zamaškom, skozi katerega sta vtaknjena cevka in termometer Poskrbi, da v bučki ni zračnih mehurčkov in da pri nizki temperaturi seže kapljevina v cevki do spodnje lege, kajti s segrevanjem se gladina kapljevine dviguje Bučko z merjeno kapljevino postavi v čašo z vodo in jo segrevaj do tolikšne temperature, da se kapljevina ne prelije iz cevke Izračunaj prostornino V V 0 = S (l l 0 ) in izmeri prostornino tekočine V 0 Nariši graf V(T) V 0 Izračunaj še temperaturni koeficient prostorninskega raztezka kot β T = 1 V V 0 T = 1 S l V 0 T (69) Pri tem so T koraki, v katerih si meril temperaturo, in l pripadajoči raztezki stolpca vode Grafično prikaži, kako se β T spreminja s temperaturo T V V T T 0 0 T 0 V V 0 Slika 14: Merjenje razteznosti kapljevin 39

40 57 Umeritev termočlena Poskrbimo za tesen dotik dveh različnih kovinskih žic Ko tako spojimo dve žici v električni zaključeni krog, nastaneta dva spoja Na njih se pojavi kontaktna napetost nasprotnega predznaka V primeru, ko imata spoja različni temperaturi, v tem krogu nastane termična gonilna napetost U gt = U 31 U 13 = a (T 2 T 1 ) (70) Sorazmernostna konstanta a je značilna za izbrani par kovin Takšna kombinacija žic je termočlen Termočlen je uporaben za merjenje temperaturnih razlik Ko več členov vežemo v baterijo, pa je uporaben tudi kot vir napetosti Termočlen je v bistvu toplotni stroj, ki prejema od grelca toploto in jo pretvarja v delo električnega vira napetosti Toploto prejema pri višji temperaturi T 2, oddaja pa jo pri nižji temperaturi T 1 Postopek merjenja Izmeri napetost termočlena, ki ga sestaviš iz bakra in konstantana Eno mesto potopi v ledeno mrzlo vodo, drugo vročo vodo Vmesne temperature dobiš z dolivanjem mrzle vode v posodo z vročo vodo Napravi graf U( T) in izračunaj koeficient a v empirični enačbi konstantan baker Slika 15: Umeritev termočlena 40

41 6 Merjenje električnega toka, napetosti in upora 61 Elektroliza Električni tok je odvisen od nosilcev naboja in od snovi, po kateri teče Nosilci toka v kovinah so prevodniški elektroni Pri toku v elektrolitih so nosilci pozitivni in negativni ioni, ki nastajajo, ko molekule kisline, baze ali soli v raztopini disociirajo Pripravimo vodno raztopino modre galice (bakrov sulfat CuSO 4 5H 2 O), ki disociira v pozitivne ione Cu ++ in v negativne ione SO 4 V elektrolit potopimo dve ploščati in glede na njuno medsebojno razdaljo l dovolj veliki elektrodi Ena je iz bakra, druga iz aluminija Na elektrodi pritisnemo zunanjo napetost tako, da so pozitivni naboji na bakreni elektrodi in negativni naboji na aluminijevi Izkaže se, da se ioni v stacionarnem stanju v povprečju gibljejo enakomerno: pozitivni ioni s povprečno hitrostjo v + in negativni z v Ko je aluminijasta elektroda negativna, se na njej izloča baker (Cu e 0 Cu) Na pozitivni bakrovi elektrodi teče reakcija SO 4 + Cu CuSO 4 + 2e 0, baker se topi Tako nastane tok skozi elektrolit Tok skozi raztopino je odvisen od koncentracije bakrovega sulfata Faradayev naboj Baker se nabira na aluminijasti elektrodi in elektroda se zato debeli Ko bakrov pozitivni ion negativni elektrodi odda naboj 2e 0, se izloči Ko se izloči kiloatom snovi (toliko, kolikor je atomska masa tega elementa) je stekel naboj N A 2 e 0 = 2 e F, kjer je e F = N A e 0 = 9, As To je Faradayev naboj Tako izloči naboj e = I t maso m = M e = M I t (71) 2e F 2 e F S tehtanjem mase, merjenjem toka in časa lahko določimo Faradayev naboj Gibljivost ionov Gostoto toka določa enačba j I S = z+ e 0 n + v + + z e 0 n v, (72) kjer je v + povprečna hitrost pozitivnih nosilcev, v pa povprečna hitrosti negativnih nosilcev in z + oz z število osnovnih nabojev V našem primeru je z + = z = 2 Tudi gostoti pozitivnih in negativnih ionov n + in n sta enaki n + = n = n, saj je elektrolit navzven električno nevtralen, iona Cu ++ in SO 4 pa imata nasprotno enaka naboja Enačba (72) se poenostavi j = 2e 0 n(v + + v ) (73) 41

42 Vpeljimo gibljivost nosilcev nabojev: za pozitivne ione je to β + = v + /E in za negativne β = v /E Pri tem je E jakost električnega polja v raztopini, E = U/l, U napetost na elektrodah in l razmik med elektrodama Če sta iona približno enako velika, sta gibljivosti kar enaki, velja: β + = β = β Tok v raztopini potem zapišemo kot I = js = 2e 0 n(βe + βe)s = 4e 0 n β S U l, (74) pri čemer je S površina elektrod Če poznamo gostoto ionov, lahko izračunamo gibljivost ionov, saj lahko prevodnost izračunamo iz toka in napetosti Gostoto ionov n = N/V lahko dobimo iz števila ionov in volumna raztopine Ker je m s /M s = N/N A, kjer je m s masa in M s molekularna masa bakrovega sulfata in N A Avogadrovo število, je gostota ionov kar n = N/V = m s N A /M s V Razmerje med maso bakrovega sulfata in maso vode, v katero smo vmešali bakrov sulfat, označimo s κ Potem velja m s = κm v = κρ v V in n = κρ v N A /M s Upoštevamo še N A e 0 = e F in dobimo I = 4κρ ve F SU M s l β (75) Postopek V kolikor raztopina bakrovega sulfata še ni pripravljena, jo pripraviš tako, da v čašo naliješ izbrano količino destilirane vode V in ji primešaš znano maso bakrovega sulfata m Raztopino premešaš s stekleno žlico Kar se da natančno stehtaj dobro očiščeno aluminijasto elektrodo in izmeri ploščini S tistega dela elektrod, ki je potopljen v elektrolitu Sestavi napravo kot kaže slika 16 Izberi tolikšno napetost, tako da bo stekel stalen tok, npr 1, 0 A Ker tok med elektrolizo počasi pada, ga sproti popravljaj, tako da bo ves čas konstanten enak izbrani vrednosti na začetku Aluminijevo elektrodo stehtaj v začetku in po 5 ali 10 minutah in določi maso izločenega bakra Pred tem jo osuši s fenom Postopek nekajkrat ponovi Izmerjene mase izločenega bakra in naboja e = It vnesi v graf m(e) in iz naklona premice skozi izmerjene točke izračunaj Faradayev naboj Iz podatkov za κ, S, U in razdalje med elektrodama l izračunaj še gibljivost ionov A V U g Cu Al + + Slika 16: Vezava pri elektrolizi 42

43 62 Upor Enačbo (74) zapišemo v obliki I = G U (76) Sorazmernostna konstanta G določa tok pri napetosti 1 V To je prevodnost elektrolita Odvisna je od snovi Lahko jo tudi izrazimo z enačbo G = σ S l, (77) kjer je σ specifična prevodnost Izkaže se, da je (77) uporabna tudi za kovine Še raje zapišemo recipročni količini, R = 1/G in ϱ = 1/σ Tedaj imenujemo R upor prevodnika in ϱ specifični upor prevodnika in velja R = ϱ l S (78) V tej enačbi je l dolžina (pre)vodnika in S njegov presek Specifični upor je snovna konstanta V območju, kjer je konstanten in neodvisen od toka ali od temperature, je zveza med tokom in napetostjo linearna To je Ohmov zakon, U = R I (79) Skrbno moramo izbrati snov in delovne pogoje, da zakon velja V večini primerov je zveza nelinearna, tedaj je I = I(U) lahko zapletena funkcija Nelinearno zvezo med tokom in napetostjo najdemo v krogu z vakuumsko, plinsko ali polprevodniško diodo Pri slednji je ta odvisnost I = I 0 (e e 0U/kT 1), (80) kjer je k Boltzmannova konstanta in T absolutna temperatura (v kelvinih) I(U) I(U) 05 1 U U 2 4 Slika 17: Karakteristiki I = I(U) za polprevodniško diodo in za termistor 43

44 Še nekaj o merilnikih Če lahko v neki vezavi presodimo, da tok, ki teče skozi porabnik, teče tudi skozi ampermeter, potem je izmerjeni tok tok skozi merjenec Napetost merimo z voltmetrom, ki kaže napetost med priključki Če je na njegovih priključkih napetosti vir, kaže delovno napetost med poloma vira, torej ne gonilne napetosti, ki jo ima, ko skozi ne teče noben tok Ko voltmeter priključimo vzporedno s porabnikom, pokaže napetost med priključkoma porabnika Zato je pomembno, da pri meritvi napetosti vedno opredelimo točki, med katerima voltmeter meri napetost Potek meritve Izberi žico iz konstantna (bakra, železa) primerne dolžine in jo vpni med dve stojali Z njo, voltmetrom, ampermetrom in s spremenljivim virom napetosti skleni električni krog (glej sliko 18a) Ugotovi odvisnost toka od napetosti Izberi primerne merilne obsege instrumentov Napetost povečuj, dokler se žica ne začne raztezati V U g A V V A U g U g + + A a) b) Slika 18: a) Vezava žice v električni krog b) Dioda v prevodni in zaporni vezavi V krogu zamenjaj žico z žarnico (diodo, termistor) in ravnaj kot pri prejšnji nalogi Pazi, da pri žarnici in pri diodi ne prekoračiš predpisane napetosti Dioda ima pozitivni in negativni priključek Zato je pomembno, kako jo v električni krog vežemo (glej sliko 18b) Meri odvisnost toka od napetosti v prevodni smeri Napetost na diodi naj ne preseže 0, 85 V Nariši graf odvisnosti U(I) 44

45 63 Zaporedna in vzporedna vezava porabnikov Upornike ali porabnike lahko vežemo v električnem krogu zaporedno, vzporedno ali na oba načina Pri zaporedni vezavi velja izrek o napetosti U 1n = n 1 U i(i+1) = U 12 + U U (n 1)n (81) i=1 U 1n je napetost med zunanjima priključkoma in je enaka gonilni napetosti vira U g Izrek lahko pišemo bolj splošno, ko je v električnem krogu več, npr m napetostnih virov Tedaj velja m n 1 U gj = j=1 i=1 U i(i+1), (82) kjer moramo pribiti, da je potrebno vsak člen na levi strani enačbe opremiti z ustreznim predznakom (polariteto), izbranim glede na orientacijo posameznih virov To enačbo (82) imenujemo Kirchhoffov izrek o napetostih in ga povemo takole: v vsakem sklenjenem električnem krogu je vsota vseh gonilnih napetosti enaka vsoti vseh napetosti na porabnikih Ko upornike vežemo vzporedno, so v krogu pomembna razvejišča, kjer se električni tok cepi Pri tem je tok, ki teče v razvejišče (I v ), v skladu z zakonom o ohranitvi naboja enak toku, ki iz razvejišča odteka (I i ) Za razvejišča zato velja Kirchhoffov izrek o tokovih I = j I v,j = k I i,k (83) Vsota pritekajočih tokov I v,j v razvejišče je enaka vsoti odtekajočih tokov I i,k Skupni tok smo označili z I R 1 R 2 V U g A R 1 R 2 V U g A a) b) Slika 19: a) Zaporedno vezani uporniki b) Vzporedno vezani uporniki 45

46 Posamezno napetost v (81) pri zaporedni vezavi upornikov lahko izrazimo po Ohmovem zakonu: U i(i+1) = R i I, kjer smo upoštevali, da skozi vse upornike teče isti tok Pri tem smo z R i označili upor itega upornika v nizu zaporedno vezanih upornikov Skupna napetost je U 1n = R I, kjer pomeni R nadomestni upor, ki zamenja vse upore tako, da se skupni tok I ne spremeni Velja U 1n = n 1 n 1 U i(i+1) = i=1 i=1 kar da izraz za nadomestni upor zaporedno vezanih upornikov R = k R i I = R I, (84) R k (85) Podobno velja za vzporedno vezane upornike, kot kaže slika 19b Pri vzporedni vezavi upornikov lahko vsakega od tokov po Ohmovem zakonu nadomestimo z I k = U/R k Podobno velja tudi za skupni tok: I = U/R, kjer pomeni R takšen upor, ki pri isti napetosti U dopušča enak tok I Zato se (83) glasi: I = k I k = k U R k = U R (86) Nadomestni upor za vzporedno vezane upornike lahko izračunamo po enačbi 1 R = 1 (87) R k k Pogosto srečamo v vezju vzporedno vezane enake upornike R 0 Tedaj lahko izračunamo nadomestni upor za n tako vezanih upornikov kar po enačbi R = R 0 n (88) Potek meritve Z vezavo na sliki 19a s pretikanjem stikala izmeri najprej napetost na enem, nato še na drugem uporniku Izmeri tudi skupen tok in skupno napetost Z vezavo na sliki 19b s preklapljanjem stikala izmeri najprej tok v enem in nato še v drugem uporniku Izmeri tudi skupen tok in skupno napetost 46

47 64 Kompenzacijsko merjenje upora Posebno prikladna za merjenje upora je metoda z Wheatstonovim mostičkom (glej sliko 20) Metoda sloni na primerjavi upora R x z znanim uporom R Poiščemo takšno lego drsnika pri C na žici AB, da galvanometer ne kaže nobenega toka Tedaj med točkama C in C ni napetosti Napetost U med točkama A in C in napetost na uporu R x sta po Kirchhoffovem pravilu o napetostih enaki, (skupna napetost v zaključenem krogu ACC A je nič) Prav tako sta napetosti med točkama C in B ter na uporu R iz enakega razloga enaki Tudi tok I 1 skozi R je po Kirchhoffovem pravilu o tokovih v razvejiščih enak toku skozi R x V žici pa teče tok I 2 Iz teh pogojev in ob upoštevanju (78) za oba odseka žice l 1 in l 2 (l 1 + l 2 = l) sklepamo, da je R x I 1 = (ϱ l 1 /S)I 2 in R I 1 = (ϱ l 2 /S)I 2 Razmerje obeh enačb da R x = R l 1 l 2 = R l 1 l l 1 (89) Merjenje upora R x smo prevedli ob znanem uporu R na merjenje dolžin, kar velja le, če galvanometer ne kaže toka Zato tej metodi rečemo ničelna metoda Potek merjenja Napravi vezavo po shemi s sliki 20 R = U v I a (90) Galvanometer ima več obsegov Najprej določi ničlo na galvanometru v največjem obsegu, nato preklopi v najobčutljivejše območje V kolikor delaš z občutljivim galvanometrom z enim samim območjem, napajalno napetost postopno večaj do npr 1 V in lego drsnika sproti prilagajaj povečani napetosti Ko meritev zaključiš, izključi zunanjo napetost ali odklopi instrument in šele nato vezje razdri I 1 A R x l 1 C G C l 2 U g R Slika 20: Wheatstonov most B Metode z Wheatstonovim mostičem so se v merilni tehniki zelo uveljavile ne le v območju enosmernega toka ampak tudi v izmeničnih območjih za merjenje kapacitivnega in induktivnega upora 47

48 65 Termistor Upornik, pri katerem izkoriščamo odvisnost njegovega upora od temperature, imenujemo termistor Če ga umerimo, ga lahko uporabimo za merjenje temperature Nekatere snovi imajo pozitivni temperaturni koeficient (PTC Positive Temperature Coefficient), druge snovi pa negativnega (NTC) Termistorju PTC upor s temperaturo raste V regulacijski tehniki so zlasti primerni termistorji NTC, ki pri izbrani temperaturi vklapljajo in izklapljajo električne naprave Če želimo s termistorjem meriti temperaturo, ga lahko vežemo v mostiček, kot kaže slika 21 Spremembo temperature zaznavamo prek spremembe upora termistorja, ki jo lahko izmerimo z mostičkom Iz umeritvene krivulje preberemo spremenjeno temperaturo Upor termistorja računamo po enačbi za vezje s slike 21 Prepričamo se lahko, da velja R 0 l 0 R 1 R 2 G U g R T Slika 21: Vezava termistorja v mostič R R T = R R 1 + R a R 2 + R b (91) Pri tem sta R 1 in R 2 upornika, dodana k drsni žici, ki ima upor R 0 = 10,0 Ω in dolžino l 0 Drsnik slednjega deli v dva dela: R a in R b = R 0 R a ; prvemu l uporu ustreza dolžina žice l, drugemu l 0 l, tako da lahko zapišemo R a = R 0 l 0 (l in R b = R 0 l) 0 l 0 Izberemo lahko naslednje upore: R 1 = R 2 = R 0 V tem primeru se izraz za upor termistorja poenostavi: R T = R 0 + R 0 l l0 R 0 + R 0 (l 0 l) l 0 = l 0 + l 2l 0 l (92) Upor R je izbran iz uporovne dekade tako, da pri R l = 0 in pri začetni temperaturi galvanometer ne kaže toka Pred meritvijo izmeri z ohmmetrom upore vseh upornikov Termistor postavi v posodo z vodo Z dolivanjem vroče vode povečuj temperaturo Izmerjene vrednosti upora vnesi v graf R T (T) in tako določi umeritveno krivuljo za termistor Tako si sestavil uporovni termometer 48

49 66 Temperaturna odvisnost upora Odvisnost med tokom in napetostjo v kovinah izrazimo v makroskopskem svetu z Ohmovim zakonom, I = U/R, v katerem so vse tri količine makroskopske, napetost U med koncema vodnika, tok I v vodniku in njegov upor R Z upoštevanjem pravil za vezavo upornikov lahko Ohmov zakon zapišemo v obliki I = S U/ϱ l, kjer je ϱ je specifični upor, S presek vodnika in l njegova dolžina Le v izjemnih primerih velja, da je specifični upor konstanten Temperaturno odvisnost specifičnega upora ϱ podaja empirična zveza ϱ(t) = ϱ 0 (1 + α(t T 0 )) (93) Pri tem smo označili z ϱ 0 specifični upor pri sobni temperaturi (T 0 = 20 o C) in z α temperaturni koeficient upora, ki je definiran: α = 1 ϱ 0 dϱ dt (94) V velikem temperaturnem obsegu, npr za baker, je zveza linearna, odpove pa pri zelo nizkih in visokih temperaturah (približno: pod 150 K in nad 900K) Podobno enačbo kot je (93) lahko zapišemo tudi za upor 49

50 7 Dinamika 71 Newtonov zakon ultrazvok Stalna sila, ki deluje na telo, povzroča, da se telo giblje enakomerno pospešeno Pospešek a ni odvisen zgolj od sile, ampak tudi od mase telesa m Vse tri količine povežemo v Newtonov zakon F = m a (95) Dve ali več teles sestavlja sistem Vpeljemo masno središče z enačbo r o = m i r i / m i V Newtonovem zakonu F = m a (96) pomeni a pospešek masnega središča, F pa je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem Fn m F g m m o Fg m o Fg Slika 22: a) Enakomerno pospešeno gibanje b) Poskus na zračni drči Newtonov zakon preverimo, če ugotovimo ustrezne relacije med maso, silo in pospeškom Eno od teh treh količin držimo konstantno in spreminjamo drugo, da se ob njej spreminja še tretja Pri poskusu vleče vozilo z maso m stalna sila vrvice Vrvica je speljana prek kolesca, na kateri visi masa m o Nanjo deluje navpično navzdol sila teže: F g = m o g, kjer je g težni pospešek To je zunanja vlečna sila, ki pospešuje sistem, kateremu pripadata obe telesi z masama m in m o Newtonov zakon za ta primer zapišemo takole: F g = (m + m o ) a (97) F g ni edina zunanja sila, saj na telo deluje še teža vozila, ki pa jo uravnoveša nasprotno enaka sila podlage Drugih sil v enačbi nismo upoštevali, kar pomeni, da silo trenja, zračnega upora in podobno ne upoštevamo Takšne pogoje lahko do neke mere uresničimo z vozilom na zračni blazini V tem primeru ni trenja, zračni upor pa je znatno manjši od vlečne sile 50

51 Pri gibanju vozička, ki ni na zračni drči, moramo upoštevati še silo trenja Ta sila je sorazmerna sili na podlago Pri vodoravni podlagi je premo sorazmerna teži telesa F g = m g, kjer je g težni pospešek (pospešek prostega pada) Tudi pri kotalnem trenju je sila trenja sorazmerna teži Velja: F tr = k tr F g (98) Sorazmernostna konstanta k tr je koeficient (kotalnega) trenja S spreminjanjem mase in vlečne sile ter računalniškim merjenjem pospeška lahko preverimo premo sorazmerje med vlečno silo in pospeškom ter obratno sorazmerje med maso sistema in pospeškom, kot to pove Newtonov zakon Mase vozička in uteži določi s tehtanjem Gibanje vozička spremljamo z ultrazvočnim slednikom Računalnik pri tem beleži odmik vozička kot funkcijo časa Pospešek določimo tako, da skozi izmerjene točke prilagodimo parabolo: s(t) = A t 2 + Bt + C = 1 2 at2 + v 0 t + s 0, pri čemer je C = s 0 odmik, B = v 0 pa hitrost ob času t = 0, in a = 2A iskani pospešek Predno sprožiš meritev, preveri, če je voziček vsaj 40 cm oddaljen od ultrazvočnega slednika (To je najmanjša razdalja, ki jo slednik še lahko meri) Sproži meritev Voziček spusti šele, ko zaslišiš signal Na računalniškem zaslonu se izriše odmik vozička kot funkcija časa Če so v grafu motnje, meritev ponovi Z miško izberi področje, kjer je gibanje vozička enakomerno pospešeno (Parabola preide v premico v področju, ko vlečna sila preneha, tj ko se utež dodakne tal) Lahko izbereš tudi nekoliko ožje področje Odčitaj izmerjen pospešek (2A) in njegovo napako Meri z vsaj 5 različnimi vlečnimi silami Nariši graf a(f) pri konstantni masi sistema ter graf a(m 1 ) pri izbrani vlečni sili Iz grafa a(f) določi silo trenja in koeficient kotalnega trenja 51

52 72 Sila pri enakomernem kroženju Pri enakomernem kroženju na telo deluje centripetalna sila, ki kaže proti središču kroženja Velja F cp = ma cp = m ω 2 r = m 4π 2 ν 2 r, (99) pri čemer je m masa telesa, ω krožna frekvenca, ν frekvenca in r razdalja od osi do (težišča) telesa Z napravo na sliki 23 merimo silo in ugotavljamo zvezo med silo, maso telesa, krožno frekvenco in radijem kroženja senzor za silo ω r optična vrata t 0 motor a) b) Slika 23: a) Naprava za merjenje centripetalne sile b) Računalniški prikaz: časovni potek sile (polna črta) in časovni potek signala iz optičnih vrat (črtkano) Silo merimo s senzorjem, povezanim z računalnikom, tako kot je opisano pri sklopu Merjenje sil in snovnih lastnosti pri predmetu Osnove merjenj Senzor je potrebno ponovno umeriti z utežmi Maso spreminjamo tako, da na voziček dodajamo uteži Radij kroženja spreminjamo s pomikanjem senzorja za silo gor in dol Frekvenco računamo iz časa enega obrata, ν = 1/t 0, ki ga merimo z optičnimi vrati Prekinitve žarka računalnik prikaže kot zaporedje kratkih signalov in iz razmika med dvema sosednjima lahko določimo čas t 0 (glej sliko 23b) 52

53 73 Izrek o gibalni količini Izrek o gibalni količini pove, da je sprememba gibalne količine enaka sunku sile: m v m v = F(t) dt, (100) pri čemer je v končna in v začetna hitrost telesa in m njegova masa Izrek preverimo s poskusom, pri katerem se voziček odbije od stene Merimo začetno in končno hitrost vozička ter časovni potek sunka sile, s katero deluje stena na voziček Iz znane mase vozička izračunamo spremembo gibalne količine, iz časovnega poteka sile, ki jo beleži računalnik, pa integral sile po času Senzor za silo daje na izhodu napetost, ki jo pretvorimo v silo s postopkom, opisanim pri vaji Merjenje sil z računalnikom pri Osnovah merjenj Zvezo med napetostjo in silo zapišemo v obliki F = k(u U 0 ), pri čemer je U 0 napetost, ki jo daje neobremenjen senzor Potek poskusa kaže slika 24a Voziček poženemo proti senzorju Ko potuje skozi optična vrata, ploščica z dolžino d na vozičku prekine signal v vratih Računalnik zabeleži začetek prekinitve (čas t 1 na sliki 24b) in čas konca prekinitve (t 2 ) Iz razlike časov in podatka d izračunamo začetno hitrost vozička Končno hitrost izračunamo ob drugi prekinitvi (med časoma t 5 in t 6 ); pri tem moramo upoštevati, da se sedaj voziček giblje v nasprotno smer glede na prvotno senzor za silo optična vrata d t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 a) b) Slika 24: a) Naprava za preverjanje izreka o gibalni količini b) Računalniški prikaz: časovni potek sile (polna črta) in časovni potek signala v optičnih vratih (črtkano) Ob času t 3 se voziček zaleti v senzor za silo, ob času t 4 se voziček odlepi od senzorja Računalnik beleži časovni potek napetosti na senzorju in lahko izračuna časovni integral napetosti med zelenim in vijoličnim kazalcem (navpično črto), ki ju z miško postavimo k časoma t 3 in t 4 Tako določen integral je večji od prave vrednosti, zaradi premaknjene ničle senzorja (osenčeno področje na sliki 24b) Pomagamo si lahko tako, da od prikazane vrednosti odštejemo produkt U 0 (t 4 53

54 t 3 ) Enostavneje pa to naredimo tako, da pokus ponovno sprožimo, vozička pa ne poženemo, temveč s prstom prekinemo signal v optičnih vratih V tem primeru kaže računalnik le napetost U 0 Če oba kazalca, ki določata integracijski meji, pustimo pri časih t 3 in t 4, nam sedaj računalnik prikaže integral napetosti U 0, ki ga odštejemo od izračunanega integrala pri poskusu z vozičkom Sunek sile je torej enak ( t4 t4 ) F(t) dt = k U(t) dt U 0 dt, (101) t 3 t 3 kjer je k umeritvena konstanta senzorja za silo Poskus ponovi vsaj petkrat Za vsako ponovitev izračunaj relativno odstopanje med levo in desno stranjo v (100) 54

55 74 Balistično nihalo Hitrost izstrelka v 0 merimo z balističnim nihalom Pri poskusu se izstrelek (kroglica) zapiči v leseno klado in obtiči v njej Trk je zelo kratek, zato je vsota zunanjih sil med trkom enaka 0 in ohranja se skupna gibalna količina izstrelka in klade: mv 0 = (m + M)v, (102) če je m masa izstrelka, M masa klade in v skupna hitrost klade in izstrelka takoj po trku Klada z izstrelkom se odkloni in pri tem dvigne za višinsko razliko h V tem trenutku je njena hitrost enaka 0 Velja izrek o ohranitvi vsote kinetične in potencialne energije; začetna kinetična energija se pretvori v potencialno: 1 2 (m + M)v2 = (m + M)gh (103) Višino h izrazimo s kotom ϕ, za katerega se je nihalo odmaknilo, in razdaljo l od osi do težišča sistema Iz slike 25 razberemo l h = l cos ϕ in od tod h = l l cos ϕ = l(1 cos ϕ) Upoštevamo trigonometrijsko zvezo za polovične kote sin 2 ( 2 1 ϕ) = 1 2 (1 cos ϕ) in dobimo h = 2l sin2 ( 2 1 ϕ) Če je kot dovolj majhen, lahko sinus kota nadomestimo s kotom (v radianih) Dobimo h = 1 2 lϕ2 in iz (103) sledi v = gl ϕ ter v 0 = m + M m gl ϕ (104) ϕ l l h v 0 v h Slika 25: Merjenje hitrosti izstrelka z balističnim nihalom 55

56 75 Newtonov zakon za vrtenje Merjenje vztrajnostnega momenta izvedemo z napravo na sliki 26, ki ima nosilček, vrtljiv okrog svoje osi skoraj brez trenja, za kar poskrbi kvaliteten ležaj, in obroč kolesce z radijem r, okrog katerega navijemo nikjer pritrjeno vrvico, potegnjeno prek drugega kolesca (škripca) Na vrvico obesimo utež, ki povzroči stalno silo mg in stalen navor mgr, kjer je ročica r radij kolesca Newtonov zakon za vrtenje togega telesa okrog stalne osi, ki ga poganja padajoča utež, pove, da stalen navor povzroči enakomerno pospešeno vrtenje s kotnim pospeškom α: J α = M, kjer je J vztrajnostni moment telesa Sila, ki povzroči navor, je nasprotno enaka sili vrvice na utež, na katero deluje tudi teža uteži mg Ta sila pa se pojavi tudi v Newtonovem zakonu za padajočo utež: ma = mg F in F = m(g a) Zato je J α = m(g a)r Obodni pospešek a = rα krožečega se telesa je enak pospešku mase uteži Velja: J α = m(g r α) r in J = mgr α mr2 (105) J vrata okrogla plošča spasovi r m Fg Slika 26: Naprava za merjenje vztrajnostnega momenta Na kolescu je tudi prozorna okrogla plošča, na kateri so vrisani v obliki zvezde izmenjajoči se prozorni in neprozorni pasovi v razmaku 15 o, ki kroži s celotno napravo vred Ob robu omenjene plošče so svetlobna vrata, priključena na računalnik, ki registrirajo vsako prekinitev svetlobnega snopa ob prehodu iz prozornega v neprozorni pas Računalnik beleži časovni potek kota zavrtitve Merjenje 56

57 kotnega pospeška poteka tako kot pri vaji Enakomerno pospešeno vrtenje optična vrata pri Osnovah merjenj: kotno hitrost računamo kot ω(t i ) = ϕ/(t i+1 t i 1 ) ( ϕ = 30 ), kotni pospešek določimo iz naklona premice v grafu ω(t) Če beležimo vsako drugo prekinitev, za ϕ vzamemo 60 Merimo najprej brez dodatne mase in vse ustrezne količine označimo z Kotni pospešek sistema brez dodatne mase je α = ω / t Utež m enakomerno pospešuje celoten sistem z vztrajnostnim momentom J : J α = m (g α r)r Enačba omogoča izračun J Ko dodamo maso (npr kroglo, ki ima vztrajnostni moment J = 2MR 2 /5), valj (J = MR 2 /2) ali obroč (J = MR 2 )), pospešujemo z nekoliko večjo maso m Vztrajnostni moment krogle ali drugega telesa izračunamo po enačbi J = mgr/α J mr 2 Primerjamo ga z izračunano vrednostjo iz njegove mase in radija 57

58 76 Ohranitev vrtilne količine Trk obročev Eksperimentalno napravo sestavljata dva obroča (kolesi), ki se prosto vrtita okoli skupne osi Spodnje kolo zavrtimo, zgornje kolo pa na začetku pridržimo in nato spustimo, da se sprime s spodnjim Če je sunek navora trenja v ležaju zanemarljivo majhen, se pri trku ohrani vrtilna količina sistema: J 1 ω 1 = (J 1 + J 2 )ω 12 (106) Pri tem z J 1 označimo vztrajnostni moment spodnjega kolesa, z J 2 zgornjega, z ω 1 kotno hitrost spodnjega kolesa in z ω 12 skupno kotno hitrost obeh koles po trku Z računalnikom, povezanim z optičnimi vrati, sledimo spreminjanju kotne hitrosti spodnjega kolesa Poskus pokaže, da pri nekoliko bolj natančni analizi ne smemo zanemariti trenja v ležaju V tem primeru ohranitev vrtilne količine velja le v primeru, če je čas trka zanemarljivo kratek Potek merjene kotne hitrosti shematsko kaže slika 27 Čas trka ni zanemarljiv in je kotna hitrost v trenutku, ko se obroča sprimeta, manjša kot bi bila v primeru, če bi bil trk zelo kratek Pri preverjanju izreka (106) zato skupno kotno hitrost ω 12 ekstrapoliramo k času t 1, ki ustreza začetku trka, tako kot je s črtkano daljico prikazano na sliki 27 ω 1 (t 1 ) ω 12 (t 1 ) t 1 t 2 Slika 27: Časovni potek kotne hitrosti spodnjega obroča Meritev napravi tako, da z eno roko zavrtiš spodnje kolo, z drugo pa pridržiš zgornje kolo Razdalja med kolesoma naj bo pri tem čim manjša Na računalniku sprožimo začetek meritve, hitro preštejemo do tri in spustimo zgornje kolo, da se sprime s spodnjim Na računalniku nastavimo prikaz hitrosti in dobljeni graf natisnemo Določi razmerje kotnih hitrosti in ugotovi, za koliko se razlikuje od teoretičnega Kolesi imata enaka vztrajnostna momenta (J 2 = J 1 ), zato je teoretično razmerje kotnih hitrosti ω 1 /ω 12 = 2 58

59 Gibanje po elipsi Posodico s kapljajočo obarvano tekočino suni tako, da se giblje projekcija njenega gibanja na vodoravno podlago po elipsi podobni krivulji Če se telo giblje po elipsi, je sila, ki deluje nanj, centralna: usmerjena k središču Zato je sunek navora ves čas 0 in vrtilna količina se ohranja Z razdaljo masne točke do središča r se spreminja tudi obodna hitrost Iz slike 28 razberemo, da je ploščina trikotniku podobnega eliptičnega izseka enaka S = 1 2 r r = 1 2 r r sin(180 α) = 1 2 r r sin α Za ploščinsko hitrost (spremembo plošine trikotnika s časom) velja S/ t = 1 2 r ( r/ t) sin α = 1 2 r v sin α Iz zveze za vrtilno količino točkastega telesa Γ = r m v sledi zveza med velikostjo vrtilne količine in ploščinsko hitrostjo: Γ = mrv sin α = 2m S/ t Ploščina, ki jo opiše r v času t, je torej premo sorazmerna z vrtilno količino S = 2m 1 Γ t Če pokažemo, da so ploščine trikotnikov, ki pripadajo enakim časovnim intervalom, enake, dokažemo, da se vrtilna količina ohranja Na papirju označi središče elipse in ga poveži z odtisi kapljic, ki padajo v enakomernih časovnih intervalih Izmeri stranico in višino v tako nastalih trikotnikih in izračunaj ploščino Ugotovi, ali so te zares enake r r α r Slika 28: Ohranitev vrtilne količine pri gibanju po elipsi 59

60 77 Ohranitev vrtilne količine uteži Izrek o ohranitvi vrtilne količine velja tudi v primeru, ko se je ob nekem dogodku spremenil položaj mas v vrtečem se sistemu in pri tem ni deloval zunanji navor: J 2 ω 2 = J 1 ω 1 (107) Pri tem pomeni J 1 vztrajnosti moment telesa pred dogodkom, J 2 pa vztrajnosti moment telesa po dogodku Če se poveča vztrajnostni moment sistema zaradi prerazporeditve njegovih delov, se kotna hitrost vrtečega se sistema zmanjša Poskus, ki ga bomo napravili, je podoben primeru, ko drsalec na ledu pri izvedbi piruete, premakno roke iz priročenja v odročenje Poskus izvedemo z napravo na sliki 29 K napravi sodi tudi kovinska palica z dolžino okrog 50 cm Pritrjena je simetrično in pravokotno na os vrtenja Nanjo nasadimo simetrično na os dve enaki, debelemu kovancu podobni preluknjani valjasti telesi Obe dodatni valjasti telesi, vsako z maso m, pritrdimo med seboj z nitjo tako, da ohranjata svoj položaj tudi med vrtenjem r a r b vrata okrogla plošča spasovi r Slika 29: Naprava za preverjanje ohranitve vrtilne količine Vztrajnostni moment naprave brez valjastih teles označimo z J Ko dodamo valjasti telesi, se vztrajnostni moment poveča za 2mr 2 a, kjer je r a razdalja valjastega telesa z maso m od osi vrtenja Če privzamemo, da valjasti telesi lahko obravnavamo kot točkasti telesi, ki sta za ročico r a oddaljeni od osi kroženja, je skupni vztrajnostni moment naprave enak J a = J + 2mr 2 a (108) Z močnim potegom vrvice, ki po odvitju odpade, pospešimo napravo tako, da kroži z masama v položaju a s stalno kotno hitrostjo ω a in vrtilno količino Γ a = J a ω a (109) 60

61 Če nitko, ki povezuje obe valjasti telesi, prežgemo, obe telesi odletita v končni položaj b (da ne zletita iz palice, poskrbita dva vijaka na kovinski palici) Po dogodku se vztrajnostni moment zveča zaradi povečane ročice r b in je sedaj J b = J + mrb 2 Nova vrtilna količina z masama v položaju b pa je Γ b = J b ω b (110) Izrek o ohranitvi vrtilne količine velja za sisteme, ko se je spremenil položaj dodanih mas po dogodku in pri tem ni deloval zunanji navor, zato J a ω a = J b ω b ali ω a ω b = J b J a (111) Kotna hitrost se je zmanjšala na račun povečanega vztrajnostnega momenta sistema Računalnik omogoča, da zabeležimo časovno odvisnost kota Iz grafa časovne odvisnosti kotne hitrosti, kjer je zabeležen pojav preskoka dodanih mas iz položaja a v položaj b, odčitamo obe kotni hitrosti (v grafu sta to dva platoja) Ker smo oba dodatna vztrajnostna momenta J a in J b izmerili ali izračunali, lahko preverimo veljavnost izreka o ohranitvi vrtilne količine, tako da izračunamo in primerjamo razmerji kotnih hitrosti in vztrajnostnih momentov v enačbi (111) Vztrajnostna momenta J a in J b vrtečega sistema lahko določimo s postopkom, opisanim pri nalogi Newtonov zakon za vrtenje, in izračunamo z enačbo (105) (Začetni vztrajnostni moment seveda izmerimo predno prežgemo vrvico) Smiselno je, da izračunamo še rotacijski energiji sistema pred dogodkom W ra = J a ωa/2 2 in po dogodku W rb = J b ωb 2 /2 S tem pokažemo, da se energija v nasprotju z vrtilno količino ne ohranja 61

62 78 Precesija Na vodoravni gredi na sliki 30a) je na desni strani velika krožna plošča (valj), ki je z ležajem povezana z gredjo tako, da se lahko prosto vrti okoli gredi Gred s ploščo je prosto vrtliva okoli navpične osi in okoli vodoravne osi, pravokotne na gred V vodoravnem položaju gred uravnovesimo z dvem utežema (na levi strani slike) Krožno ploščo zavrtimo s pomočjo vrvice, ovite okoli valja ob plošči Plošča ima vrtilno količino z velikostjo Γ = Jω, ki kaže v smeri osi vrtenja (slika 30b) Pri tem je J vztrajnostni moment plošče in ω njena kotna hitrost Na desno krajišče v razdalji d od vodoravne osi postavimo utež z maso m Na sistem sedaj deluje navor z velikostjo mgd v smeri, pravokotni na ročico d in težo uteži (v list na sliki a) Poleg vrtenja velike krožne plošče s frekvenco ω okoli gredi, se celoten sistem sedaj vrti še s krožno frekvenco ω p okoli navpične osi, kot kaže slika 30b Pri tem se spreminja smer vrtilne količine, njena velikost pa ostaja konstantna V času t se sistem zavrti za kot ϕ = ω p t Če vzamemo dovolj kratek čas, je kot ϕ majhen in v trikotniku, ki ga tvorita vektorja Γ in Γ, velja Γ = 2Γ sin 2 1 ϕ Γϕ Po Newtonovem zakonu je sprememba vrtilne količine enaka sunku navora: Γ = Mt (112) Na levi vstavimo Γ = Γϕ = Jω ω p t, na desni pa Mt = mgd t in dobimo ω p = M Γ = mgd Jω (113) d r m g M ω p ϕ Γ Γ Γ M a) b) Slika 30: a) Pogled s strani b) Pogled od zgoraj Kotno hitrost ω meri s stroboskopom, kotno hitrost precesije ω p pa s štoparico, 62

63 tako da meriš čas enega precesijskega obrata (Podatki: masa uteži, ki povzroča navor, m = 150 g, ročica d = (188 ± 1) mm) Vztrajnostni moment J določi z merjenjem kotnega pospeška pri vrtenju z znanim navorom V tem delu vaje gred učvrsti s prižemo, okoli valja ob krožni plošči navij vrvico in napelji preko škripca na robu mize Na prosto krajišče obesi utež z maso m, tako da se začne plošča enakomerno pospešeno vrteti s kotnim pospeškom α = M /J = m (g a)r/j, pri čemer je r polmer valja, okoli katerega je navita vrvica Kotni pospešek α je povezan s pospeškom a, s katerim se spušča utež, kot a = rα Pospešek a določimo tako, da izmerimo višino h, za katero se utež spusti v času t, merjenim od začetka gibanja uteži: a = 2h/t 2 Iskani vztrajnostni moment je potem enak J = m (g a)r α ( = m gt r 2 2 ) 2h 1 (114) 63

64 8 Elastomehanika in termodinamika 81 Upogib palice Pri upogibu palice, vpete med dva nosilca v razmiku l (slika 31), se deli palice na notranji strani loka skrčijo, na zunanji pa raztegnejo Velikost skrčka in raztega je odvisna od elastičnega modula E, geometrijskih razsežnosti palice in sile F, ki upogiba palico Za odmik točke na sredini med nosilcema od prvotne lege lahko izpeljemo zvezo u = F l3 48EJ (115) pri čemer je J odvisen od prečnega preseka palice Za kvadraten profil velja J = a 4 /12, pri čemer je a stranica kvadrata, za okrogel profil pa J = πd 4 /64, d je premer palice l u F Slika 31: Upogib palice Potek Palico obremeni s predutežjo (200 g do 300 g) in merilno urico (skala je v stotinkah milimetra) nastavi na 0 Palico obremenjuj (in nato tudi razbremenjuj) z utežmi in odvisnost upogiba od sile vnesi v graf u(f) Skozi izmerke potegni premico in iz naklona izračunaj E u = kf, k = l3 4Ea 4 (116) 64

65 82 Zasuk palice Pri zasuku palice (slika 32b) so deli palice obremenjeni s strižno napetostjo Strižna deformacija je prikazana na sliki 32a Velikost deformacije meri kot ϑ: ϑ = 1 G τ, τ = F S (117) Tu je τ strižna napetost in G strižni modul snovi Strižni modul je povezan s elastičnim modulom kot E G = 2(1 + µ), (118) pri čemer je µ Poissonovo število Pri obremenitvi palice na nateg je Poissonovo število določeno kot razmerje relativnega skrčka palice a/a v prečni smeri in relativnega raztezka palice v vzdolžni smeri l/l: µ = a/a l/l in lahko zavzame vrednosti med 0 in 0,5 (119) ϑ l S F r ϕ r 0 ϑ l a) b) Slika 32: Zasuk palice Pri zasuku je palica obremenjena z navorom M = rf, r je razdalja od osi do prijemališča sile uteži Za zasuk palice ϕ (glej sliko 32b) velja ϕ = M 2l Gπr0 4 = F 2lr Gπr0 4, (120) kjer je l dolžina palice med točkama, v katerih je palica vpeta, in r 0 polmer palice 65

66 Potek Podobno kot pri upogibu palice meri odvisnost zasuka od sile in iz grafa ϕ(f) določi naklon premice skozi izmerjene točke in od tod izračunaj G Iz izmerjenih G in E (E si izmeril pri prejšnji nalogi) izračunaj še Poissonovo število (119) za različne snovi (jeklo, medenina, aluminij ) 66

67 83 GayLussacov zakon Za izobarne spremembe idealnega plina velja GayLussacova enačba: V T = V o T o pri p = konst (121) Po logaritmiranju in diferenciranju dobimo dv/v = dt/t Iz te zveze najdemo temperaturni razteznosti koeficient za pline: β = 1 ( ) dv = 1 ( ) V = 1 V dt p V T T (122) Enačbo (121) preverjamo z napravo na sliki 33 Merjenec je zrak z dolžino l, zaprt v cevi s presekom S z živosrebrnim stebričkom z dolžino h Cev in termometer sta vtaknjena v posodo z vodo, ki jo segrevamo Merjenec ima pri temperaturi T prostornino V = S l in tlak p = p 0 + p h, kjer je p 0 zunanji zračni tlak in p h = ϱ g h Med merjenjem se tlak ne spreminja Enačbo (121) lahko zapišemo kot Sl T = Sl 0 T 0 ali l T = l 0 T 0, (123) pri čemer je l 0 dolžina stolpca zraka pri začetni temperaturi T 0 Potek Pri segrevanju zapisuj temperature v korakih T 3 5 K in meri dolžino stolpca l (ne pozabi prišteti l 0 ) Najprej preveri, če je razmerje l/t res konstantno, tako da narišeš graf l(t) in skozi točke potegneš premico T 1 T 0 T l p + gh Slika 33: Merjenje razteznosti plinov l 0 V tabeli pri vsaki spremembi temperature T zapiši spremembo raztezka l in izračunaj temperaturni koeficient prostorninskega raztezka β pri tej temperaturi: β = 1 V V T = 1 l (124) l T in ga primerjaj s teoretično vrednostjo 1/T Pri tem za l in T vzemi (srednjo) vrednost obeh količin v računanem intervalu 67

68 84 Izoterma in adiabata Pri izotermni spremembi velja Boylova enačba ali Boylov izrek: produkt tlaka idealnega plina in njegove prostornine se pri nespremenjeni temperaturi ohranja: p V = p o V o pri T = konst (125) Iz te enačbe pridemo do enačbe za izotermno stisljivost plina, če enačbo najprej logaritmiramo: ln p + ln V = konst, nato pa še diferenciramo: dp/p + dv/v = 0 Od tod je izotermna stisljivost χ = 1 ( ) dv = 1 V dp T p (126) Indeks T pri (dv/dp) T pomeni, da odvajamo prostornino V po tlaku p pri stalni temperaturi Pri hitrih sprememba plin z okolico ne izmenja toplote Sprememba je adiabatna in velja p V κ = p o V κ o pri Q = 0, (127) pri čemer je κ razmerje specifičnih toplot, κ = c p /c V, in je enako 5/3 za enoatomne in 7/5 za dvoatomne pline Koeficient κ izrazimo iz (127) tako, da enačbo logaritmiramo: ln p + κ ln V = ln(p o V κ o ) = konst, oziroma: ln p = κ ln V + konst (128) Če narišemo graf, pri katerem na absciso nanašamo ln V, na ordinato pa ln p, dobimo premico za naklonom κ Opis postopka Eksperimentalna naprava je sestavljena iz valja, v katerem je zrak, in bata, povezanega s senzorjem, ki meri relativno prostornino plina Relativna prostornina je razmerje med prostornino in največjo možno prostornino, ko je bat v zgornji legi V valju je tudi senzor, ki meri tlak Oba senzorja sta povezana z računalnikom, ki vrednosti obeh parametrov kaže na zaslonu Z ventilom uravnaj količino zraka v valju, tako da je pri zunanjem zračnem tlaku bat približno na sredi Ventil zapri in bat dvigni v zgornji položaj, ko je tlak približno polovico zunanjega Zabeleži vrednosti tlaka in relativne prostornine Pri izotermni spremembi začni bat počasi potiskati navzdol, tako da se v vsakem koraku relativna prostornina zmanjša za 0,05 Pri vsakem koraku počakaj, da tlak doseže konstantno vrednost, in zabeleži vrednosti tlaka in (relativne) prostornine Postopek nadaljuj, dokler tlak ne doseže največje možne vrednosti, ki jo senzor še zmore izmeriti 68

69 Določi stisljivost zraka χ pri različnih tlakih Zvezo med tlakom in (relativno) prostornino prikaži grafično, tako da na ordinato nanašaš prostornino, na absciso pa recipročni tlak Iz grafa določi razliko med dejansko in izmerjeno (relativno) prostornino (tj odsek na ordinatni osi V; če premica seka ordinato pri negativnih vrednostih, je V < 0) Tako določeni popravek upoštevaj pri analizi adiabatne spremembe Pri adiabatni spremembi bat zelo hitro potisni navzdol Računalnik prikaže odvisnost tlaka od prostornine in podatke shrani v tekstovno datoteko Izmerke relativne prostornine popravi s popravkom, določenim pri izotermni spremembi V = V izmerjen V (Pazi na predznak V) Nariši graf ln p(ln V) in iz naklona določi κ 69

70 85 Toplotna prevodnost Toplota prehaja med dvema telesoma, ki imata različni temperaturi, če se telesi dotikata Toplotni stik lahko naredimo s tretjim telesom, ki toploto prevaja Kako prevaja, pa je odvisno od vrste telesa Prehajanje toplote opredelimo s toplotnim tokom, ki pove, koliko toplote preide skozi prevodno telo v časovni enoti, P = dq dt (129) Če se toplota ne izgublja v okolico in če je vzpostavljeno stacionarno stanje, to je stanje, ko se razmere v prevodnem telesu s časom ne spreminjajo, je toplotni tok, ki vstopa v prevodno telo enak toplotnem toku, ki iz njega izstopa V stacionarnem stanju pričakujemo, da temperatura v prevodnem homogenem telesu paličaste oblike z dolžino l enakomerno narašča od mesta z nižjo temperaturo T 1 do mesta z višjo temperaturo T 2 (glej sliko 34) Tedaj določa temperaturni gradient dt/dl kar (T 2 T 1 )/l V palici teče toplotni tok P = λ S(T 2 T 1 ) l (130) Tu je S presek, l pa dolžina palice; sorazmernostni koeficient λ imenujemo koeficient toplotne prevodnosti (z enoto: W/m 2 K) T 2 T 1 T 2 S T l l P = dq dt T 1 Slika 34: Prevajanje toplote v palici Poskus poteka tako, da eno krajišče kovinske palice vtaknemo v vrelo vodo s temperaturo T 2 = 100 C, drugo krajišče pa v kalorimetrsko posodico, v kateri je na začetku taleči se led s temperaturo T 1 = 0 C Z digitalnim termometrom izmerimo temperature v luknjicah, ki so izvrtane v palici Izmerimo tudi oddaljenosti luknjic (x) od gladine vrele vode in narišemo graf T(x) Preverimo, če je temperaturni gradient konstanten, tj če je odvisnost T(x) res linearna Za določitev koeficienta λ moramo izmeriti še toplotni tok v palici Počakamo, da se ves led v kalorimetrski posodici stali Temperatura vode v posodici po tem narašča Toplotni, ki prihaja v vodo po palici, izračunamo kot P = Q t = mc T v t (131) 70

71 kjer je m masa vode, T temperaturna sprememba vode v času t in c v specifična toplota vode Tako dobimo koeficient toplotne prevodnosti v odvisnosti od časa: λ = mc v T l St(T 2 T 1 ) (132) Čas naj bo nekaj minut, tako da je sprememba temperature T = T k T z, vsaj nekaj stopinj Pri tem je T z začetna temperatura in T k končna temperatura vode v kalorimetrski posodici Za izračun temperaturnega gradienta vzemi razliko temperatur vrele vode T 2 = 100 C in povprečne temperature hladne vode T 1 = (T z + T k )/2 71

72 86 Specifična toplota železa Postopamo tako, da segreto železo (m Fe, T Fe ) spustimo v mrzlo vodo (m v, T v ) v kalorimetru Temperaturi se kmalu izenačita na zmesno temperaturo T Tedaj je železo oddala toploto Q = m Fe c(t Fe T), ki sta jo sprejela voda in kalorimeter: Q = (m v c v + C k )(T T v ) Ker je Q enaka Q, velja c = (m vc v + C k )(T T v ) (133) m Fe (T Fe T) Po tej metodi lahko merimo in računamo specifično toploto trdnin in kapljevin, ki z vodo ne reagirajo in ko ne pride do faznih sprememb Kalorimeter je posoda, kjer naj bi bil sistem izoliran od okolice Pri tem poskušamo uresničiti zahtevo, da ni prehajanja toplote iz sistema v okolico ali obratno ali pa je takšno prehajanje neznatno Kalorimeter je lahko izoliran z brezzračno plastjo (termovka) ali s plastjo iz dobrega toplotnega izolatorja (npr s stiroporom) Laboratorijska izvedba kalorimetra pa ima tudi tekočinsko plast, katere temperaturo skrbno nadzorujemo Postopek V kalorimeter vlij npr okrog 200 g vode (m v ) in ji izmeri temperaturo T v Z grelnikom segrevaj vodo skupaj z epruveto z železnimi opilki do vrelišča Ko oceniš, da se je temperatura opilkov T Fe ustalila blizu 100 C, jo izmeri, opilke pa hitro in previdno stresi v kalorimeter Določi zmesno temperaturo T z Izračunaj specifično toploto železa in upoštevaj toplotno kapaciteto kalorimetra po enačbi (133) Toplotno kapaciteto kalorimetra določimo tako, da najprej v kalorimeter zlijemo toplo vodo in počakamo, da se temperatura vode v kalorimetru ustali V drug kalorimeter zlijemo mrzlo vodo z maso m in počakamo, da se temperaturo ustali Mrzlo vodo zlijemo v segreti kalorimeter in ponovno počakamo, da se temperatura ustali Segreti kalorimeter preda toploto vodi: C k (T k T z ) = mc v (T z T v ) in od tod dobimo C k = mc v(t z T v ) T k T z, (134) pri čemer smo s T k označili začetno temperaturo kalorimetra, s T v začetno temperaturo mrzle vode in s T z končno temperaturo 72

73 87 Specifična talilna toplota ledu Toplota, ki jo potrebuje kilogram ledu pri 0, da se stali, se imenuje specifična talilna toplota (ledu) Postopamo takole: v kalorimeter z vročo vodo (m v, T v ) spustimo kos ledu Njegova temperatura T l naj bo blizu 0 C (Če je za kakšno stopinjo nižja, se pri eksperimentu ne bo bistveno poznalo) Izmerimo zmesno temperaturo T in na koncu tudi skupno maso vode m Razlika mas je masa ledu m l = m m v Toplota, ki sta jo oddala vroča voda in kalorimeter Q = (m v c v + C k )(T v T), je enaka toploti, ki jo prejme led za taljenje in nastala voda, da se segreje do zmesne temperature: Q = m l (q t + c v (T T o )) Pri tem je T o temperatura ledeno mrzle vode (0 o C) Tako je specifična talilna toplota q t = (m vc v + C k )(T v T) m l c v (T T o ) m l (135) Tudi v tem primeru štejemo, da je toplotna kapaciteta kalorimetra znana količina Stehtaj približno 300 g vode in jo segrej do približno 50 C ter nalij v kalorimeter Izmeri temperaturo vode Iz posode z ledom odvzemi kose ledu, ki so se že začeli taliti S pivnikom odstrani vodo z ledu Kose ledu vrzi v vodo in zasleduj časovni potek temperature in določi zmesno temperaturo Stehtaj skupno maso, da določiš maso ledu Pri izračunu specifične talilne toplote ledu upoštevaj toplotno kapaciteto kalorimetra Toplotno kapaciteto kalorimetra določimo tako kot pri nalogi Specifična toplota železa 73

74 88 Specifična izparilna toplota vode Specifično izparilno toploto izmerimo tako, da merimo električno delo z joulemetrom in množino izparele na vrelišče segrete vode Najbolje je, da uporabimo kar električno tehtnico, s katero odčitavamo primanjkljaj mase vode, ki izpari Izparilno toploto vode izmerimo tako, da vreli vodi (z maso okrog 250 g) dovajamo električno delo, ki ga izmerimo z joulemetrom (ali wattmetrom in štoparico) S tehtanjem izparele vode (razlike mas vode pred izparevanjem m 1 in na koncu poskusa m 2 ) lahko izračunamo specifično izparilno toploto vode: q i = A e /(m 1 m 2 ) Če je na voljo elektronska tehtnica, ta tekoče odmerja maso izparele vode Izparevanje naj traja največ 10 minut 74

75 89 Joulov poskus Joulovo vreteno Joulov poskus nas prepriča, da lahko neposredno z mehaničnim delom spreminjamo notranjo energijo sistema Potrebujemo Joulovo vreteno s termometrom Z vrtenjem vretena lahko dosežemo, da na vrvi obešena utež z maso m u lebdi na istem mestu Zasukajmo vreteno Nkrat Tedaj opravimo delo A = M ϕ, kjer je kot, za katerega se zasuče vreteno, enak 2π N Ročica sile r je radij vretena Delo A = m u g r 2π N (136) se porabi za spremembo notranje energije sistema (vretena z maso m, ki se greje), W n = mc T, del pa pa gre v okolico v obliki toplote Izračunajmo, kolikšen del dela se je pretvoril v notranjo energijo: η = W n A = mc T 2π N m u g r (137) Postopek Vpni na mizo Joulovo vreteno, vanj vstavi termometer in na vrv pripni pet kilogramsko utež Vreteno suči s primerno hitrostjo, da utež lebdi nad tlemi Izmeri temperaturo vretena na začetku in po 100 vrtljajih, stehtaj vreteno, izmeri premer vretena, in izračunaj razmerje (137) Specifična toplota medenine je c = 377 J/kgK Šibre V valj vsuj znano maso m = 0,40 kg šiber, ki si jim izmeril začetno temperaturo Izmeri dolžino papirnate cevi Cev obrni, npr 100 krat, stresi šibre v papirnati kozarček in ponovno izmeri temperaturo S prevračanjem šiber v papirnati cevi opravimo delo, ko dvignemo šibre za dolžino cevi h Mehansko delo A m lahko izrazimo s pridobljeno potencialno energijo šiber W p = m g h N, če smo napravili N prekucev Po N padcih na dno se to delo pretvori v notranjo energijo W n = mc T Vendar je pridelek notranje energije manjši kot je vložek mehanskega dela Zato je tudi v tem primeru smiselno izračunati izkoristek našega početja η = W n /A m = c T/g hn Specifična toplota svinca je c = 130 J/kgK 75

76 9 Elektrika: frontalno 91 Notranji upor Notranji upor voltmetra in ampermetra Pri merjenju napetosti in toka na porabniku v vezju na sliki 35a potrebujemo voltmeter s kar največjim uporom, da teče skozenj zanemarljivo majhen tok, in ampermeter s kar se da majhnim uporom, da je na njem zanemarljivo majhna napetost To je v splošnem prevelika idealizacija V praksi na primer pri merjenju upora raje izberemo vezje, ki je prirejeno danim okoliščinam in gornji zahtevi glede instrumentov bistveno omili Analiza vezja s slike 35a kaže, da moramo upoštevati v računu upora tok I A, ki ga kaže ampermeter, zmanjšan za tok skozi voltmeter I V = U V /R V Zato velja R = U I = U V I A U V /R V = R 1 R /R V, (138) kjer je napetost na uporu U enaka napetosti, ki jo kaže voltmeter U V Z R = U V /I A smo označili vrednost upora, ki bi ga izračunali brez upoštevanja notranjega upora instrumenta Pri tej vezavi moramo upoštevati upor voltmetra R V, razen v primeru, ko je R V R (tedaj je tudi R V R) in lahko tok skozi voltmeter zanemarimo Tedaj je R = R = U V I A (139) R V U g A R A V U g a) b) Slika 35: Vezava voltmetra in ampermetra pri merjenju napetosti in toka na porabniku Podobno analizo lahko naredimo za vezje s slike 35b V enačbi za izračun upora R je sedaj tok I že tisti tok, ki ga kaže ampermeter I A Napetost na uporu U pa je napetost na voltmetru U V, zmanjšana za napetost na ampermetru U A = R A I A, R = U I = U V R A I A I A = R R A (140) 76

77 in pri pogoju R A R: R = R = U V I A (141) Potek meritve Zveži električni krog po shemi s slike 35 in vstavi vanj najprej R = 100 kω in nato R = 2 kω Iz vsake dvojice meritev napetosttok določi po Ohmovem zakonu vrednost upora in nato popravljene vrednosti, ko upoštevaš upore obeh instrumentov V tabelo vnesi vse izračunane vrednosti in velikost popravkov pri obeh primerih Notranji upor vira Napetost vira, skozi katerega ne teče tok, je gonilna napetost V električnih krogih pogosto predpostavljamo, da je napetost vira neodvisna od tega, kolikšen tok teče po krogu V resnici pa se napetostnim virom napetost zmanjša, ko skoznje teče tok, kar je zlasti opazno, če teče skozi vir večji tok Vzrok za to je njihov notranji upor R n Napetost na priključkih vira U, ki jo lahko izmerimo, je gonilna napetost, zmanjšana za napetost na notranjem uporu R n : U = U g R n I (142) Odvisnost napetosti od toka ponazorimo s premico z naklonom R n, ki seka ordinatno os v točki U g Za moč, ki se troši na porabniku, velja P = UI Izrazimo I iz enačbe (142) in dobimo P = UI = 1 R n U(U g U) (143) Iz pogoja za ekstrem dp/du = (U g 2U)/R n = 0 sledi, da je moč na porabniku največja, ko je U = 1 2 U g, in enaka P max = U 2 g/4r n Odvisnost P(U) v enačbi (143) ponazorimo s parabolo, ki ima teme v točki U = 1 2 U g in seka abscisno os v točkah U = 0 in U = U g Potek meritve Notranji upor in gonilno napetost izmeri tako, da pri različnih obremenitvah vira meriš napetost in tok (shema za vezavo je na sliki 35a) Meritve vnesi v graf U(I) in iz naklona premice skozi točke odčitaj notranji upor, iz presečišča z ordinato pa gonilno napetost Pri vsaki meritvi napetosti in toka izračunaj še moč, ki se troši na uporniku, in jo vnesi v graf P(U) Za primerjavo nariši še teoretično odvisnost (parabolo) (143) 77

78 92 Električno polje Gaussov zakon Za vsako poljubno oblikovano ploskev velja Gaussov zakon: E d S = e ε o, (144) pri čemer je e naboj znotraj ploskve Uporabimo ga za računanje jakosti električnega polja neskončno velike ravne ploskve, po kateri je naboj enakomerno porazdeljen Znana naj bo ploskovna gostota naboja σ = e/s, ki pove, koliko naboja je na ploskovni enoti Iz simetrije problema pri enakomerno porazdeljenem naboju sklepamo, da je polje okrog ploskve homogeno in pri prehodu plošče samo menja predznak oz smer Najprej izberemo Gaussovo ploskev (glej sliko 36a), ki naj bo v tem primeru pokončna prizma z osnovnima ploskvama, vzporednima z ravnino z nabojem Pri tem integral E d S razpade v tri ploskovne integrale: integrala po osnovnih ploskvah in integral po plašču Integral E d S po plašču prizme je nič, saj je normala na to ploskev pravokotna na vektor polja E, integrala po osnovnih ploskvah pa sta 2 krat E S (glej sliko 36a) Iz Gaussovega zakona (144) sledi E = e 2ε o S = σ (145) 2ε o Iz enačbe razberemo, da je jakost električnega polja odvisna le od gostote naboje E S S E S E S e d E E 1 E2 a) b) Slika 36: a) Gaussova ploskev, b) polje kondenzatorja Na podlagi tega lahko izračunamo tudi jakost električnega polja med dvema vzporednima neskončno velikima ploskvama s konstantno ploskovno gostoto 78

79 naboja nasprotnih predznakov na obeh ploskvah (slika 36b) Polje med ploščama sestavljata prispevka obeh plošč E 1 + E 2 = e/2ε o S + e/2ε o S ali E = e ε o S = σ ε o (146) Zunaj obeh plošč se prispevka izničita Polja ni Enačba velja tudi, če plošči nista neskončno veliki, če je le majhna razdalja med ploščama v primerjavi z dimenzijami plošč in v točkah ne prav blizu robov Tedaj pomeni e celoten naboj na eni plošči, S pa velikost plošče Takšen par plošč imenujemo ploščati kondenzator Zapišimo napetost med ploščama Ker je polje med ploščama homogeno, da integriranje jakosti električnega polja po poti med ploščama v razdalji d U = 2 1 E d s = E d, (147) če je za četna točka na negativni, končna pa na pozitivni plošči S kombiniranjem te enačbe in enačbe (146) najdemo odvisnost naboja e od napetosti U na kondenzatorju e = ε o S d U = C U (148) Sorazmernostna konstanta je kondenzatorjeva kapaciteta C = ε o S d (149) Potek meritve Pri merjenju naboja v odvisnosti od napetosti na kondenzatorju poskrbi, da ne pride napetost, s katero napajamo kondenzator, direktno na vhod merilnika Zato z eno žico za hip pritisni na kondenzator napetost npr 30 V, z drugo žico sprazni kondenzator prek merilnika in odčitaj naboj Na enak način opravi še drugo meritev, pri kateri ugotovi odvisnost naboja na kondenzatorskih ploščah od razdalje med njima pri izbrani napetosti (npr 30 V) 79

80 Polnjenje in praznjenje kondenzatorja Če kondenzator s kapaciteto C priključimo na vir napetosti U g prek upornika R (glej sliko 37a), teče najprej velik tok, nato pa vse manjši Z napetostjo na kondenzatorju pa je prav obratno, s časom se ta povečuje in doseže napetost vira Časovni potek toka in napetosti dobimo iz enačbe, ki pove, da je skupna napetost vira U g enaka vsoti napetosti na uporu in kondenzatorju: U g = U R (t) + U C (t) = R I(t) + e(t) C (150) Če enačbo odvajamo po času in upoštevamo, da je električni tok v časovni enoti pretečeni naboj, I = de/dt, dobimo di/dt + I/R C = 0 ali di I = dt R C (151) + R + U g V C U c (t) I c (t) U o RC I o t RC t Slika 37: a) Vezje pri polnjenju kondenzatorja b) Grafa U(t) in I(t) Po integraciji leve strani te enačbe od I o do I in desne strani v časovnem intervalu od 0 do t dobimo ln(i/i o ) = t/r C, kar lahko preuredimo v I(t) = I o e t/rc (152) Tok v kondenzatorju pojema eksponentno (slika 37b) Hitrost pojemanja je odvisna od časovne konstante RC Čim večji je ta produkt, tem daljši je čas, v katerem tok pade ekrat (osnova naravnih logaritmov e = 2, 71, ne zamenjaj z nabojem e!) Napetost na kondenzatorju s časom postopno narašča: iz enačbe (150) in z upoštevanjem zveze RI o = U g namreč dobimo U C (t) = U g U R = U g I(t)R = U g (1 e t/rc ) (153) Podobno obravnavamo tudi praznjenje kondenzatorja skozi upornik V tem primeru v enačbi (150) ni napetosti U g, odvod enačbe je enak, kot v prejšnjem 80

81 primeru, to je enačba (151) Rešitev te enačbe je enačba (152) Tudi v tem primeru se tok s časom eksponentno zmanjšuje Na enak način se zmanjšujeta tudi obe napetosti, napetost na uporniku je U R (t) = R I(t) = R I o e t/rc (tok teče v obratni smeri kot pri polnjenju) in na kondenzatorju je U C (t) = U R (t) ali U C (t) = U g e t/rc (154) O poteku praznjenja odloča produkt RC, to je časovna konstanta, ki smo jo uvedli pri polnjenju Časovni odvod napetosti pri t = 0 je enak du(0) = U o dt R C (155) To pomeni, da tangenta na eksponentno krivuljo v točki t = 0 seka abscisno os pri t = RC Tako lahko iz grafa približno odčitamo časovno konstanto U g + + C R V U c (t) U o RC I c (t) I o t RC t Slika 38: a) Vezje pri praznjenju kondenzatorja b) Časovni grafi U(t) in I(t) Zvezo (153) preuredimo U g U C (t) = U g e t/rc in logaritmiramo ln ( U g U C (t) ) = 1 RC t + ln U g, (156) ter podobno enačbo (154): ln U C (t) = 1 RC t + ln U g (157) Ugotovimo, da obe enačbi predstavljata premico z naklonom 1/RC Pri natančnejšem določanju časovne konstante meritve napetosti na kondenzatorju vnesemo v graf, pri katerem na absciso nanašamo čas, na ordinato pa v primeru polnjenja kondenzatorja ln ( U g U C (t) ), v primeru praznjenja pa ln U C (t) Potek meritve Kondenzator in uporovno dekado priključi na napetostni vir po shemi s slike 37a Izberi takšno kombinacijo R C, da lahko zasleduješ polnjenje s štoparico in iz podatkov narišeš časovni graf ln ( U g U C (t) ) ter določiš časovno konstanto Spremeni vezavo po shemi s sliki 38a in na podoben način meri praznjenje kondenzatorja 81

82 93 Magnetno polje Hallova sonda Hallova sonda je vodnik (polprevodnik), v katerem je električni tok Ko vstavimo sondo v magnetno polje tako, da stoji Hallov vodnik pravokotno na magnetno polje (glej sliko 39a), deluje na nosilce električnega toka (elektrone) magnetna sila, ki jih izriva na rob vodnika Sila, ki deluje na elektron z nabojem e o, je Fm = e o v B, kjer za hitrost vzamemo kar povprečno hitrost elektronov v kovini, ki jo določa električni tok Na robu zbrani elektroni s predznakom minus in primanjkljaj elektronov na drugem robu s predznakom + s svojim električnim poljem v prečni smeri na smer električnega toka preprečujejo prečno gibanje elektronov To gibanje preneha, ko se vzpostavi ravnovesje med električno silo e o E in magnetno silo eo v B Tako dobimo zvezo E = v B Nasprotnoimenski naboji, zbrani na nasprotnih ploskvah ob robu vodnika v razdalji d, spominjajo na razmere v kondenzatorju Napetost med ploskvama imenujemo Hallova napetost in je enaka U H = E d = v d B, ki se da izmeriti Hitrost elektronov lahko izrazimo s tokom I = e o n e v S, kjer je S = l d presek vodnika, n e pa gostota elektronov Tako je Hallova napetost U H = I B e o n e l = K H I B (158) V enačbi je K H = 1/e o n e l konstanta Hallove sonde, ki jo lahko določimo eksperimentalno, tako da sondo umerimo z znanim magnetnim poljem I v e o E e o F e d U h B F m F m l A V HS + A a) b) Slika 39: a) Hallov pojav, b) Hallova sonda in tuljava z režo Potek meritve Po sliki 39b priključi Hallovo sondo na vir stabilizirane enosmerne napetosti, da ne steče skozi sondo večji tok od 25 ma Dve enaki tuljavi, 82

83 med katerima je reža, veži zaporedno Tok skozi njiju lahko spreminjaš Podatki o tuljavi so zapisani na tuljavi, z njimi in z izmerjenim tokom izračunaj gostoto magnetnega polja Magnetno polje na sredini reže je enako B = µ 0N 1 I l 21 + R2, (159) pri čemer je N 1 število ovojev in l 1 dolžina ene tuljave Izmeri še polmer R navitja na tuljavi Spreminjaj magnetno polje pri stalnem Hallovem toku 25 ma, nato pri najmočnejšem polju v tuljavi spremeni Hallov tok in izmeri Hallovo napetost Iz naklona premice v grafu U h (B) in enačbe (158) izračunaj konstanto Hallove sonde Z umerjeno sondo izmeri tudi krajevno odvisnost gostote magnetnega polja v bližini tuljave, trajnih magnetov in feromagnetne ploščice Indukcijski zakon Če skozi zanko spreminjamo gostoto magnetnega polja tako, da je odvod d B/dt različen od nič, se v zanki inducira napetost Tako zapišemo indukcijski zakon: U i = d dt ( S B) = dφ m dt (160) Če se magnetni pretok Φ m = S B skozi zanko spreminja, bodisi zaradi spreminjanja gostote magnetnega polja, bodisi zaradi spreminjanja velikosti zanke ali orientacije zanke glede na gostoto magnetnega polja, se v zanki inducira napetost Pove, da je inducirana napetost tem večja, čim večja je hitrost te spremembe Indukcijski zakon U i = dφ m /dt lahko zapi Merjenje B z galvanometrom šemo tudi v integralski obliki: U i dt = Φ m (161) Če se spremeni magnetni pretok skozi zanko za Φ m, se v zanki inducira napetostni sunek U i dt Pri poskusu imamo na skupnem jedru dve tuljavi V prvi tuljavi ustvarja tok I 1 magnetno polje B 1 tako, da je drugi tuljavi (število navojev N 2, presek S 2 ) magnetni pretok Φ m = N 2 S 2 B 1 Prekinimo tok v prvi tuljavi! Tedaj se v drugi tuljavi inducira napetostni sunek, ki ga določa enačba (161) Če izrazimo napetost po Ohmovem zakonu s tokom, dobimo tokovni sunek I i dt, ki predstavlja inducirani naboj e, ki steče v drugi tuljavi (če je seveda tokokrog sklenjen): Ui dt = R I i dt = R e Desna stran enačbe (161) je sprememba magnetnega 83

84 pretoka, to je razlika med končnim magnetnim pretokom Φ k in prvotnim magnetnim pretokom Φ z : Φ m = N 2 S 2 B 1, saj je Φ k = 0 Če to povežemo, najdemo enačbo za gostoto magnetnega polja B 1 = R e N 2 S (162) Inducira naboj v drugi tuljavi merimo z galvanometrom, ki ga moramo z znanim nabojem umeriti + V C G + A N 1 N 2 G a) b) Slika 40: a) Umerjanje galvanometra z znanim nabojem, b) merjenje induciranega naboja Potek meritve Galvanometer najprej umeri z znanim nabojem, ki ga dobiš s praznjenjem kondenzatorja s kapaciteto C, priključenega na napetost U (slika 40b) Naboj na kondenzatorju je odvisen od napetosti na kondenzatorju in kapacitete kondenzatorja, e = CU Nariši umeritveno krivuljo galvanometra, to je graf odvisnosti e(ϕ), kjer je ϕ odčitek na galvanometru (kar v delcih) S tako umerjenim galvanometrom izmeri tudi naboj, ki steče skozi galvanometer ob prekinitvi sklenjenega železnega jedra, v katerem je remanentni magnetizem kot ostanek prej ustvarjenega magnetnega polja (glej sliko 40b) Tokovni sunek (naboj) preberi na galvanometru kot število delcev, naboj pa ugotovi iz umeritvene krivulje Za upor v krogu moramo upoštevati upor tuljave in galvanometra Z umerjenim galvanometrom za merjenje induciranega naboja lahko izmerimo tudi gostoto magnetnega polja v prvi tuljavi, ko prekinemo v njej tok in se v manjši tuljavi inducira napetostni sunek 84

85 Transformator Dvoje tuljav, nasajenih na feromagnetno jedro (slika 41a), sestavlja transformator Na primarno tuljavo priključimo vir izmenične napetosti V sekundarni tuljavi se zaradi spremembe magnetnega polja v jedru inducira napetost, ki je tudi izmenična Zaradi lastne indukcije se pojavi napetost tudi v primarni tuljavi Najprej naj bo sekundarna tuljava nesklenjena Tedaj teče v primarni tuljavi magnetilni tok I m, ki prehiteva napetost za 90 o Teče še dodatni tok zaradi izgub v transformatorskem jedru Označimo ga z I i, ki pa je v fazi z napetostjo U 1 Zato je skupni tok I o = Im 2 + Ii 2 (glej sliko 41b) A V A R U 1 I 1 U i2 U 2 U i1 I 2 I o I m I i a) b) Slika 41: a) Transformatorski tuljavi z jedrom b) Kazalčni diagram tokov in napetosti Izračunajmo še obe inducirani napetosti V sekundarni tuljavi se inducira napetost U i2 = N 2 U o, pri čemer je N 2 število navojev te veje in U o napetost, ki se inducira v enem navoju Tolikšna napetost se inducira tudi v vsakem navoju primarne tuljave, zato je inducirana napetost na primarni strani U i1 = N 1 U o Ta napetost je enaka in nasprotna pritisnjeni napetosti na primarni tuljavi: U i1 = U 1 Razmerje obeh napetosti predstavlja transformatorsko enačbo za napetosti, U i2 U i1 = U 2 U 1 = N 2 N 1, (163) V enačbi smo inducirano napetost na sekundarni tuljavi U i2 zamenjali kar s simbolom U 2, saj je to na tej tuljavi edina napetost (predznak smo opustili) Transformator obremenimo s tem, da na sekundarno tuljavo priključimo upornik V sekundarni tuljavi se pojavi tok I 2 Moč, ki jo dovedemo primarni tuljavi, mora biti vsaj tolikšna, kot je moč, ki se troši na sekundarni strani Če so izgube majhne (kar pa slabo velja za majhne transformatorje), je P 1 = U 1 I 1 = P 2 = U 2 I 2 To da transformatorsko enačbo za tokove: I 1 I 2 = N 2 N 1 (164) 85

86 Kjer je več navojev, je manjši tok in večja napetost in obratno (Gl kazalčni diagram tokov in napetosti na sliki 41b) Potek meritve Sestavi transformator z merilniki po shemi na sliki 41a, v kateri je napetostni vir izmeničen Najprej izmeri obe napetosti in tok v primarni tuljavi I o pri neobremenjenem transformatorju Preveri transformatorsko enačbo za napetosti Nato na sekundarno tuljavo priključi upornik (npr za 100 Ω), izmeri obe napetosti in oba tokova I 1 in I 2 Tok I 1, ki ga izračunaš iz transformatorske enačbe za tokove, se ne bo ujemal z izmerjenim tokom I 1 Zato ugotovi razliko med izmerjeno in izračunano vrednostjo Upoštevati bi morali še fazne kote med tokovi v kazalčnem diagramu (I m, I o in I 1 ), ker niso v fazi Spreminjaj upor na izhodu in ugotovi, kako se spreminja z obremenitvijo tok v primarni in sekundarni tuljavi! 86

87 10 Električno in magnetno polje 101 Magnetna sila Vzemimo vodnik dolžine l, po katerem teče tok I Sila na raven vodnik, ki je v celoti v homogenem magnetnem polju, je Fm = I l B (165) Pri tem smo dolžino vodnika, po katerem teče tok v izbrani smeri, zapisali kot vektorsko količino Fm α B l I Slika 42: Sila na vodnik v magnetnem polju Potek meritve Pri poskusu je vodnik pravokoten na smer magnetnega polja, zato silo na vodnik zapišemo kot F = IlB, kjer je l dolžina vodnika Vodnik deluje z nasprotno enako silo na magnet, ki stoji na tehtnici Ko skozi vodnik ne teče tok, naravnamo tehtnico tako, da kaže 0 Ko skozi vodnik teče tok, odčitamo spremembe mase, ki jo kaže tehtnica, in od tod določimo velikost magnetne sile 87

88 102 Magnetni navor Navor na zanko v magnetnem polju zapišemo kot M = ISB sin ϕ, pri čemer je I tok v zanki, S ploščina zanke, B gostota magnetnega polja in ϕ kot med vektorjem ploskve zanke in gostoto magnetnega polja Magnetno polje ustvarjata dve tuljavi Magnetno polje kaže v smeri (skupne) osi tuljav Za gostoto magnetnega polja v središču tuljave velja B = ki, k = 0,7 (1 ± 0,05) mt/a, pri čemer je I tok skozi tuljavi Med tuljavi preko torzijske tehtnice obesimo kovinsko zanko, kot kaže slika 43, tako da središče zanke na sredini med tuljavama Kot ϕ je v tem primeru enak kotu med osjo tuljav in simetralo zanke, pravokotne na zanko Slika 43: Navor na zanko v magnetnem polju Potek meritve Navor merimo s torzijsko tehtnico, na kateri odčitamo silo, ki je potrebna, da zanko zasučemo v prvotni položaj (ko v njej ni bilo toka) Za ročico pri računanju navora vzemi r = 115,0 mm ± 0,5 mm 88