V Euklidov postulat i geometrija Lobačevskog

Transcript

1 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku V Euklidov postulat i geometrija Lobačevskog Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Jasna Milićević Niš, Septembar 2013.

2 Sadržaj 1 Istorijski pregled razvoja geometrije Razvoj geometrije do Euklida Euklid, matematičar stare Grčke Revolucija geometrije nakon Euklidovih Elemenata Ležandrove teoreme Život i rad Ležandra Ležandrove teoreme V Euklidov postulat Plejferova aksioma paralelnosti Ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti Proklov argument Sakerijev i Lambertov pokušaj Tiboov prividan dokaz Geometrija Lobačevskog Gausova teorija o V Euklidovom postulatu Doba Lobačevskog i Boljaja Aksioma Lobačevskog Ugao paralelnosti. Funkcija Lobačevskog Paralelne prave u ravni L Osobine hiperparalelnih pravih u L Appendix 75 6 Zaključak 78 1

3 Uvod Geometrija je praobrazac lepote sveta Galileo Galilei ( ) Čovek je oduvek bio graditelj. On je pisao, a i danas piše svoju istoriju. Njegova dela od najjednostavnijeg do najsavršenijeg, kao da upućuju izazov vremenu. To je, u stvari, jedna jedinstveno duga i vekovima neprekidna priča. Ostvariti zamisao, realizovati plodove uma - oduvek je ljudima predstavljalo pravi smisao postojanja. Ali, svaka naša ideja vredi samo onda kada je prihvate i drugi i daju svoj doprinos da se ona pretvori u vidljivu i opipljivu stvarnost. Upravo je Euklid stvorio takvo delo, delo koje je teško nadmašiti. Već više od dve hiljade godina Elementi služe kao matematička biblija, to je zadužbina aksiomatskog metoda i izvor deduktivnog znanja. Euklidovo delo odlikuje se lepotom ravnom onoj iz Biblije. Svojom knjigom Elementi, Euklid je otvorio prozor kroz koji se otvorila priroda našeg sveta. Sve vreme borbe protiv petog Euklidovog postulata ( sve do XIX veka ), u isto vreme se verovalo u njegovu istinitost. Velika je ideja koja je Lobačevskog i Boljaju došla na um da možda negde ne važi Euklidov peti postulat. Reklo bi se kao da je to pitanje vere, u koje tvrd enje verovati. Prihvatiti Euklidov peti postulat ili verovati da on ipak ne važi, bilo je pitanje na koje se dugo godina nije mogao pronaći odgovor. Danas Euklidov peti postulat stoji nepokolebljivo. Seciran vekovima, ostao je kao pravi temelj jedne geometrije stvorene još u antičko vreme. Zahvaljujući Euklidu vekovima su matematičari imali šta da rade i to što su godine prolazile bivali je sve veći izazov raditi na tako naizgled jednostavnoj stvari. Istorija Euklidovog petog postulata je još jedna potvrda toga da su sve velike misli nastale jednostavno. Elementi zajedno sa drugim radovima, svrstavaju Euklida u naučnika sa bogatim stvaralačkim darom. U ovom radu, opisaćemo istorijiski razvoj geometrije od nastanka Euklidovog petog postulata, pa sve do stvaranja nove geometrije, tzv. geometrije Lobačevskog. Daćemo detaljan opis rada mnogih matematičara na dokazu V postulata, kao i ideje pojedinih da pomenuti postulat zamene tvrd enjem koji bi ga negirao. Rad je tematski podeljen na 3 celine. U prvoj glavi daćemo istorijski osvrt na nastanak i razvoj geometrije sve do vremena Euklida. U nastavku istorijskog razvoja geometrije akcenat je stavljen na 2

4 SADRŽAJ Euklidove Elemente, kao i njegov čuveni V postulat. Nakon toga izlažu se ideje upotpunjavanja Euklidovih Elemenata, pre svega rad Arhimeda, a zatim se uvodi Hilbertov sistem aksioma. Boljaj i Lobačevski su radeći na V Euklidovom postulatu došli na ideju da ga zamene aksiomom koja bi ga negirala i na taj način uvode novu geometriju. O tome je u ovoj glavi data samo uvodna reč. U drugoj glavi, pored kratkog pregleda života i rada francuskog matematičara Ležandra, dokazuju se značajne Ležandrove teoreme, koje će kasnije imati veliku ulogu u dokazu teorema geometrije Lobačevskog. Pored uvod enja Plejferove akisome paralelnosti, kao jednog od ekvivalenata petog Euklidovog postulata, u trećem delu rada, navode se i dokazuju još neki, značajni ekvivalenti. Priča o V postulatu se zatim nastavlja bezuspešnim pokušajima mnogih matematičara da ga dokažu. U radu je konkretno predstavljen rad Sakerija i Lamberta, kao i rad Tiboa. U četvrtoj i poslednjoj glavi reč je o novouvedenoj geometriji, geometriji Lobačevskog. Najpre se započinje radom znamenitog matematičara Gausa. Zatim se izlaže ideja Boljaja i Lobačevskog o zameni V postulata, tj. Plejferove aksiome paralelnosti tvrd enjem koje će ga negirati. Nakon uvod enja aksiome Lobačevskog, obrad uju se neki osnovni pojmovi i tvrd enja hiperboličke geometrije, pre svega uvodi se pojam ugla paralelnosti i funkcije Lobačevskog, a zatim se ispituju osobine paralelnih i hiperparalelnih pravih u ravni Lobačevskog. Posebno bih uputila zahvalnost svom mentoru, prof. dr Mići Stankoviću, koji mi je svojim primedbama i sugestijama pomogao pri izradi ovog rada. 3

5 Glava 1 Istorijski pregled razvoja geometrije 1.1 Razvoj geometrije do Euklida Geometrijom su se ljudi počeli baviti još u najranijoj istoriji. O tome svedoče raznovrsni tragovi iz dalekih vremena i drevnih civilizacija. Velike grad evine i piramide starih Egipćana dokazuju da su oni morali dobro poznavati geometriju, jer je takve grad evine nemoguće podići bez prethodnih merenja i geometrijskih izračunavanja. Naziv geometrija (merenje zemljišta) načinjen je od grčkih reči i potiče od starih Grka koji su znali da su egipatska geometrijska znanja nastala iz praktičnih potreba premeravanja zemljišta. Velika egipatska reka Nil nanosila je svake godine svojim poplavama velike količine mulja. Taj mulj je kao prirodno d ubrivo blagotvorno uticao na plodnost zemljišta, a uz to je brisao med e izmed u pojedinih zemljišnih parcela. Stoga je posle svake poplave trebalo ponovo premeravati zemljište i pronalaziti med e izmed u zemljišnih parcela. U tom periodu geometrija se razvijala kao induktivna nauka. Egipćani su razvili induktivan metod zaključivanja - od pojedinačnog ka opštem. Kada su negde u VI veku pre nove ere vodeću ulogu u nauci i kulturi preuzeli Grci, geometrija počinje da se razvija jednim potpuno novim putem koji će vremenom da se odrazi i u drugim naučnim oblastima. U to vreme nastaje u Grčkoj privredni i kulturni procvat koji je postao značajan za razvoj čitavog antičkog društva. Znanja geometrije, prihvaćena iz egipatske zaostavštine, Grci dalje dopunjuju i proširuju. No, njihovo veliko značenje, nije samo u tome. Važnije je što su grčki matematičari toga doba otkrili novu metodu izgradnje geometrije, metodu koja se danas zove deduktivna ili aksiomatska. Ona je sve do sada ostala značajna metoda geometrijskih istraživanja i osnovna metoda naučne obrade rezultata tih istraživanja. Otkriće te metode smatra se jednom od najvećih tekovina matematičke misli. Nije nastala odjednom, nego je rezultat predanog rada učenjaka mnogih generacija. Do tog načela, kažu, prvi je došao antički filozof Tales 1. Tales je putovao u Egipat i tamo od sveštenika upoznao njihove geometrijske i astronomske zaključke o zbiru 1 Tales ( p.n.e.), poznat kao Tales iz Mileta, antički matematičar 4

6 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE uglova u trouglu, o upisanom krugu u trougao itd. Njegovi spisi, ukoliko su uopšte i postojali, do nas nisu dospeli, te se ne može pouzdano reći koja je geometrijska tvrd enja on uspeo da dokaže. Istoričar geometrije Eudem iz IV veka pre n.e. pripisivao je Talesu dokaz drugog stava podudarnosti trouglova, stava o jednakosti uglova na osnovici jednakokrakog trougla i njemu obratnog tvrd enja, stava o med usobnoj podudarnosti pravih uglova, stava po kojem je periferijski ugao nad prečnikom bilo kojeg kruga prav ugao i stav po kojem svaki dijametar kružne površi razlaže tu površ na dva podudarna dela. Koristeći sličnost jednakokrako pravouglih trouglova odredio je, kažu, visinu Keopsove piramide, a pomoću podudarnosti trouglova uspeo je da odredi udaljenost usidrenog broda od morske obale. Načelo dokazivanja geometrijskih tvrd enja u mnogo većoj meri počeo je da sprovodi znameniti starogrčki filozof i matematičar Pitagora 2. Upoznavši se već u mlad im godinama sa učenjem Talesa, Pitagora je niz godina proveo u Egiptu i Vavilonu, gde je bio u mogućnosti ne samo da se upozna, već i kritički osvrne na sve što se do tada znalo u oblasti geometrije. Po povratku u domovinu on osniva svoju školu Polukrug, ne na rodnom Samosu, već u gradu Krotonu, grčkoj koloniji u južnoj Italiji. U oblasti matematike Pitagora se posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva. Posebno je značajna teorema o pravouglom trouglu koja danas nosi njegovo ime. Pitagori ili nekom od njegovih učenika, po svoj prilici Hipasu 3, treba pripisati i teoremu o egzistenciji nesamerljivih duži koja će podstaći razvoj tzv. geometrijske algebre. Obilje dokazanih geometrijskih tvrd enja već je bilo dovoljno da se postavi pitanje redosleda njihovog izlaganja. To je zahtevao i sam proces dokazivanja tvrd enja koji se sastoji u logičkom izvod enju zaključaka iz ranije poznatih tvrd enja, tj. tvrd enja koja su već dokazana ili se pretpostavljaju. Taj redosled u dokazivanju geometrijskih tvrd enja značio je jedno novo načelo, tzv. načelo sistematizacije. Prve korake u sistematizaciji geometrije načinio je Pitagorin sledbenik Hipokrat sa Hiosa 4 u svom delu Elementi geometrije pre dve i po hiljade godina. Smatra se da je u tom delu bilo sabrano sve što se do tada znalo u oblasti geometrije. Nažalost, ovo delo nije sačuvano. Prve nagoveštaje aksiomatskog zasnivanja geometrije srećemo u atinskoj školi zvanoj Akademija istaknutog starogrčkog filozofa Platona 5. Sam Platon eksplicitno nije se bavio matematikom, ali su njegova rasud ivanja u oblasti filozofije imala snažnog odraza i u ovoj oblasti, posebno u poimanju brojeva i geometrijskih likova. Platon je prvi počeo da geometrijska tela razmatra odvojeno od opažajnih i ukazao na razliku koja postoji izmed u naučnog zaključivanja i empirijskog saznanja. Geometrijske objekte smatrao je idealnim, savršenim, kakvi se ne mogu sresti u prirodi. Koji su bili principi i kakav je po Platonovom mišljenju bio pravi smisao aksioma i postulata ne zna se pouzdano, ali u nekim sačuvanim delima Platona ima mesta iz kojih se jasno naslućuje aksiomatska metoda u izgradnji bilo koje naučne teorije. 2 Pitagora (oko 580-oko 500 p.n.e.), starogrčki filozof i matematičar 3 Hipas (IV vek p.n.e.), matematičar iz Metaponta (Krotona) 4 Hipokrat sa Hiosa (V vek p.n.e.), matematičar 5 Platon iz Atene ( p.n.e.), antički grčki filozof i matematičar 5

7 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE Teorijske osnove deduktivne metode u najopštijoj formi razvio je najdarovitiji Platonov učenik, genijalni starogrčki filozof Aristotel 6. U više svojih rasprava logičkog karaktera, koje su negde sredinom I veka pre n.e. od strane istaknutog peripatetičara Andronika sabrana u poseban kodeks pod nazivom Organon, kao i u raspravi Metafizika Aristotel je pokušao da na svojevrstan način naučno razotkrije opšte zakonitosti deduktivnog zaključivanja. Osnovne principe, tj. osnovna tvrd enja na kojima se zasniva deduktivna teorija, Aristotel je takod e razvrstavao na aksiome i postulate. Po njegovom mišljenju aksiome treba da budu osnovna tvrd enja opštijeg karaktera, tj. tvrd enja koja se prihvataju bez dokazivanja, a koja važe ne samo u jednoj, već u dvema ili više naučnih teorija. Naprotiv, postulati treba da budu osnovna tvrd enja specifičnog karaktera, tj. tvrd enja koja se prihvataju bez dokazivanja i koja važe isključivo u toj naučnoj teoriji. Aristotel je smatrao da aksiome i postulati moraju predstavljati tvrd enja koja su do te mere opštepriznata i iz svakodnevne prakse poznata da ih ne samo nije moguće, već i nije potrebno dokazivati. U takvoj teoriji istinitost izvedenih tvrd enja tj. teorema nije mogla podleći nikakvoj sumnji, pa se nije mogao ni nametati problem neprotivurečnosti deduktivne teorije aristotelovskog tipa. 6 Aristotel iz Stagire ( p.n.e.), grčki filozof 6

8 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE 1.2 Euklid, matematičar stare Grčke U izgrad ivanju geometrije, posle mnoštva dokazanih teorema, pojavila se potreba za sistematizacijom, a kasnije i za uvod enjem aksioma. Jedan od prvih pokušaja aksiomatskog zasnivanja geometrije, i iz tog vremena jedini sačuvan, dao je starogrčki matematičar Euklid 7 iz Aleksandrije. Obrazovanje je, kažu, stekao u Atini kod Platonovih učenika, a oko 300. godine pre n. e. prešao u Aleksandriju da bi u tek osnovanoj školi predavao geometriju. Sakupivši sve što se do tada znalo iz oblasti geometrije, Euklid je pristupio sistematizaciji te grad e izloživši je na bazi osnovnih formulacija - aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi. Slika 1.1: Euklid, poznat i kao Euklid iz Aleksandrije Euklidovi Elementi, po nekim procenama je knjiga koja je, osim Biblije, doživela najveći broj izdanja u celoj zapadnoj civilizaciji. Njeno prvo štampano izdanje pojavilo se godine, a iza toga bilo je još preko hiljadu izdanja. Suštinska karakteristika koja ovu knjigu čini tako slavnom, je njen jednostavan i logičan sled teorema i problema. Logička struktura ove knjige uticala je na naučnu misao čitavih 2000 godina, više nego bilo koje drugo naučno delo. Elementi se sastoje iz 13 knjiga. Veliki deo geometrije koji se nalazi u današnjim udžbenicima matematike, praktično je preuzet iz prvih šest knjiga Elemenata. To je, zapravo, najstarije naučno delo koje je još uvek u upotrebi. Prvu knjigu Elemenata Euklid započinje nizom definicija kojima se objašnjavaju prvi geometrijski pojmovi kao što su tačka, prava, ravan, ugao, krug i dr. Na osnovu prevoda Euklidovih Elemenata koji je uradio Anton Bilimović, u nastavku ćemo navesti sve definicije iz ovog dela. 7 Euklid (grčki: Eυκλɛιδɛς ), rod en oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz Aleksandrije, antički matematičar 7

9 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE 1. Tačka je ono što nema delova. 2. Linija je dužina bez širine. 3. Krajevi linije su tačke. 4. Prava je linija ona, koja za tačke na njoj podjednako leži. 5. Površina je ono što ima samo dužinu i širinu. 6. Krajevi površine su linije. 7. Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako leži. 8. Ugao u ravni je uzajamni nagib dveju linija u ravni, koje se seku i koje ne leže u istoj pravoj. 9. Ako su linije koje obrazuju ugao prave, ugao se zove pravolinijski. 10. Ako prava, koja stoji na drugoj pravoj, obrazuje sa ovom dva susedna jednaka ugla, svaki od njih je prav, a podignuta prava zove se normala na onoj na kojoj stoji. 11. Tup ugao je onaj, koji je veći od pravog. 12. Oštar je onaj, koji je manji od pravog. 13. Granica je ono što je kraj ma čega. 14. Figura je ono što je omed eno ili jednom ili sa više granica. 15. Krug je ravna figura omed ena takvom jedinom linijom (koja se zove periferija), da su sve prave povučene od jedne tačke, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji (prema periferiji kruga) med usobno jednake. 16. Ova tačka zove se središte kruga. 17. Prečnik kruga je svaka prava što prolazi kroz središte kruga, a ograničena je sa svake strane periferijom kruga; on polovi krug. 18. Polukrug je figura ograničena prečnikom i njime odvojenom periferijom kruga; središte polukruga je isto kao i središte kruga. 19. Pravolinijske figure su one koje su ograničene pravama; trostrane su ograničene sa tri, četvorostrane sa četiri, mnogostrane sa više od četiri prave. 20. Od trostranih figura jednakostrani trougao ima tri jednake strane, jednakokraki ima samo dve jednake strane, a raznostrani ima tri nejednake strane. 21. Dalje, od trostranih figura je pravougli trougao onaj koji ima prav ugao, tupougli koji ima tup ugao, a oštrougli koji ima tri oštra ugla. 8

10 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE 22. Od četvorostranih figura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovima; pravougaonik je sa pravim uglovima, no nije sa jednakim stranama; romb sa jednakim stranama, no nije sa pravim uglovima; romboid sa jednakim naspramnim stranama i jednakim naspramnim uglovima, no nije ni jednakostran ni sa pravim uglovima. Ostale četvorostrane figure neka se zovu trapezi. 23. Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produžene u beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom. Slika 1.2: Euklidovi Elementi Kao što se da primetiti ovo nisu stroge definicije, već samo objašnjenja elementarnih geometrijskih pojmova data sa namerom da se u čovečjoj svesti stvori intuitivna predstava o datim pojmovima. Polazna tvrd enja Euklid je podelio na aksiome i postulate od kojih su ovi drugi čisto geometrijskog sadržaja. U različitim prepisima Elemenata broj postulata i aksioma nije isti, ali se obično prihvata da je Euklid zasnovao geometriju na devet aksioma i pet postulata. Neki od njih, doduše u izmenjenom obliku, zadržali su se i do današnjih dana. Navedimo postulate u obliku u kom ih je Euklid dao: I Pretpostavlja se da je moguće od svake tačke do svake druge tačke konstruisati pravu liniju. II Pretpostavlja se da se svaka prava, prateći njen pravac, može neograničeno produžavati. 9

11 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE III Pretpostavlja se da se u nekoj ravni oko svake njene tačke može opisati krug bilo kojeg poluprečnika. IV Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi med u sobom podudarni. Za dalji razvoj geometrije veoma veliki značaj imao je peti Euklidov postulat koji u svom originalu glasi: V Ako neka prava presecajući druge dve komplanarne prave obrazuje sa njima sa iste strane dva unutrašnja ugla kojima je zbir manji od zbira dva prava ugla, tada se te dve prave, neograničeno produžene seku sa one strane sečice sa koje je taj zbir uglova manji od zbira dva prava ugla. Slika 1.3. Po svojoj prirodi, postulati su strogo geometrijska tvrd enja. Oni su izraženi u vidu zahteva ili pretpostavki kojima kao da se želi naglasiti njihov konstruktivan karakter. Prva tri postulata zaista su konstruktivnog karaktera i na njima je vekovima zasnivana teorija geometrijskih konstrukcija. Za poslednja dva postulata ne može se reći da su konstruktivnog karaktera. Pomenimo da u savremenoj geometriji četvrti postulat predstavlja tvrd enje koje se dokazuje. Svojom složenošću ističe se famozni peti postulat. Time je izazvao pažnju ostalih matematičara i nagonio ih je da ga izvode iz ostalih aksioma geometrije. Kao i postulati, u geometriji Euklida, i aksiome su predstavljale osnovna tvrd enja. Aksiome se od tvrd enja razlikuju po karakteru koji nije striktno geometrijski. Aksiome, kako ih je Euklid navodio su: 1. Oni (objekti) koji su jednaki istom (objektu) jednaki su med usobno. 2. I ako se jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su jednake. 3. I ako se od jednakih (objekata) oduzmu jednaki (objekti) ostaci su jednaki. 4. I ako se nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su nejednake. 10

12 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE 5. I udvostručeni jednaki (objekti) jednaki su med usobno. 6. I polovine od jednakih (objekata) jednake su med usobno. 7. I oni (geometrijski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su med usobno. 8. I celina je veća od dela. 9. I dve prave ne ograničavaju oblast. Po svojoj prirodi većina Euklidovih aksioma je opštijeg karaktera, to su tvrd enja koja važe i u drugim naučnim oblastima (sa izuzetkom aksioma 7. i 9. koje su izrazito geometrijskog karaktera). 11

13 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE 1.3 Revolucija geometrije nakon Euklidovih Elemenata Euklidov sistem osnovnih tvrd enja nije potpun, naime iz njegovih aksioma i postulata ne može se izvesti svako tvrd enje. Tu nepotpunost prvi je primetio znameniti starogrčki matematičar Arhimed 8. Spisak geometrijskih postulata on je delom proširio. U svom delu O lopti i valjku, radi zasnivanja metričke geometrije Arhimed je uveo sledećih pet postulata: I Od svih linija koje imaju zajedničke krajeve prava je najkraća. II A druge dve linije koje imaju zajedničke krajeve i leže u istoj ravni nisu jednake ako su obe ispupčene i jedna od njih obuhvaćena drugom krivim i pravom koja spaja krajeve, a takod e i ako krive imaju jedan zajednički deo, dok se preostali deo obuhvata; pritom je obuhvaćena kriva manja od one koja je obuhvata. III Isto tako, od svih površina koje imaju zajedničku ravnu periferiju ravan je najmanja. IV A druge dve površine koje imaju zajedničku ravnu periferiju nisu jednake ako su obe ispupčene i jedna od njih (ili jedan njen deo) obuhvaćena površinom i ravni periferije; pritom je obuhvaćena površina manja od one koja je obuhvata. V Pored toga, od dveju nejednakih linija, dveju nejednakih površina ili dvaju nejednakih tela, veća veličina biće manja od one veličine koja se dobija kad manju umnožimo potreban broj puta. Prva četiri Arhimedova stava ne mogu se prihvatiti kao postulati za logičko zasnivanje metričke geometrije. Poslednje tvrd enje, koje se obično naziva Arhimedovim postulatom, neobično je važno. Ono se može kratko iskazati u sledećem obliku: Arhimedov stav: Za ma koja dva broja a i b, a < b, postoji takav ceo broj n, da je na > b. I nakon Arhimeda nastavljaju se pokušaji da se dopune osnove euklidske geometrije. No, svi ti pokušaji nisu pridoneli ništa bitno sve do kraja XIX veka. Tada su se formirali takvi pogledi na principe logičkog zasnivanja geometrije koji su omogućili da je prvi put pokazan potpun sistem aksioma iz kojih se sve teoreme izvode bez ikakvog pozivanja na očiglednost naših prostornih predstava. Veoma mali broj geometara je uvideo neophodnost upotpunjavanja broja Euklidovih postulata. Naprotiv, veliki broj dela u vezi sa Euklidovim Elementima postavio je sebi zadatak da smanji broj stavova geometrije koji se uzimaju bez dokaza. U tome se izražavala potpuno prirodna težnja da se razjasni pod kakvim se minimalnim uslovima materijal geometrije može razviti logičkim putem. Jedan rezultat u tom pravcu bio je dobijen bez ikakvog truda. Naime, zapazilo se da je Euklidov IV postulat izlišan, pošto se jednakost dvaju pravih uglova može dokazati isto tako strogo kao i mnoga druga tvrd enja. Mnogi matematičari smatrali da zbog svoje 8 Arhimed (287 p.n.e.-212 p.n.e.), grčki matematičar, fizičar i astronom 12

14 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE složenosti i neočiglednosti V Euklidov postulat ne treba da bude na spisku osnovnih tvrd enja, već ga treba kao teoremu dokazati. Zato su i mnogi matematičari pokušali da, indirektnim postupkom, izvedu dokaz tog tvrd enja, mnogi od njih su dovodili sebe u zabludu smatrajući da su u tome uspeli ne primećujući da su u svojim razmatranjima na izvestan način iskoristili neki od ekvivalenata Euklidovog petog postulata. Proučavanja posvećena V postulatu stara su koliko i Euklidovi Elementi. Ona su se završila tek krajem XIX veka i dovela su do veoma važnih otkrića. U delu Nikolaja Lobačevskog 9 i Janoša Boljaja 10 prvi put je izražena misao da peti postulat ne zavisi od ostalih aksioma geometrije te da se, stoga, ne može izvesti iz ostalih postulata. Time je prošireno shvatanje samog smisla geometrije i načinjen korak u jedan sasvim novi geometrijski svet. Rezultati Lobačevskog i Boljaja postali su sasvim jasni tek krajem devetnaestog veka kada je konačno formiran pogled na logičke principe zasnivanja geometrije i kada je, prvi put, geometrija logički korektno utemeljena. Sledeći napore trojice geometara sa kraja devetnaestog veka: Peana 11, Paša 12 i Veroneza 13, David Hilbert 14 je u svom delu Osnove geometrije, koje je izdato godine, geometriju zasnovao na neprotivurečnosti, nezavisnom i potpunom sistemu aksioma. Za razliku od Euklidovih Elemenata u Hilbertovim Osnovama geometrije nema opisivanja osnovnih geometrijskih pojmova: tačke, prave, ravni itd. Hilbert na samom početku jednostavno kazuje: Mi zamišljamo tri različita sistema stvari: stvari prvog sistema nazivamo tačkama i označavamo ih sa A, B, C,...; stvari drugog sistema nazivamo pravama i označavamo ih sa a, b, c,...; stvari trećeg sistema nazivamo ravnima i označavamo ih sa α, β, γ...; tačke se nazivaju elementima linearne geometrije, a tačke, prave i ravni se nazivaju elementima prostorne geometrije ili elementima prostora. Mi zamišljamo tačke, prave i ravni u izvesnim med usobnim odnosima i označavamo ove odnose rečima ležati, izmed u, podudarno, paralelno, neprekidno ; tačan i za matematičke svrhe potpun opis ovih odnosa postiže se pomoću aksioma geometrije. Hilbert u Osnovama geometrije uvodi dvadeset aksioma koje razvrstava u pet grupa na sledeći način: I Aksiome veze, pripadanja ili incidencije (osam aksioma), II Aksiome poretka (četiri aksiome), III Aksiome podudarnosti (pet aksioma), 9 Nikolaj Ivanovič Lobačevski ( ), ruski matematičar 10 Janoš Boljaj ( ), mad arski matematičar 11 Giuseppe Peano ( ), italijanski matematičar i logičar 12 Moritz Pasch ( ), nemački matematičar 13 Giuseppe Veronese ( ), italijanski matematičar 14 David Hilbert ( ), nemački matematičar 13

15 GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE IV Aksiome neprekidnosti (dve aksiome), V Aksioma paralelnosti (jedna aksioma). Polazeći od izabranog skupa aksioma, Hilbert izvodi pojedine teoreme euklidske geometrije, izgrad uje taj geometrijski sistem i daje dokaz da je uzeti sistem aksioma potpun, nezavisan i neprotivurečan. U tom delu Hilbert je dao i rešenje problema V Euklidovog postulata. On je dokazao da taj postulat nije posledica preostalih četiri grupa aksioma. To drugim rečima znači da je ovde zaista reč o aksiomi, a ne o teoremi. Postoji niz geometrijskih teorema koje se ne oslanjaju na aksiomu o paralelama, nego samo na preostale četiri grupe aksioma. Sve teoreme koje se mogu dokazati na osnovu grupe aksioma veze, poretka, podudarnosti i neprekidnosti čine apsolutnu geometriju. Ako se apsolutnoj geometriji dodaju V Euklidov postulat i sve teoreme koje se pomoću njega dokazuju direktno ili indirektno, dobijamo euklidsku geometriju. I danas, skoro sto godina nakon izlaska Osnova geometrije kojima su i pored priznanja za njihov izvanvremensku valjanost u tom vremenu izrečene i mnoge zamerke, geometrija počiva na principima koje je utemeljio Hilbert. Značaj Hilbertovih Osnova geometrije ogleda se u tome što je njihova formalistička koncepcija stvorila preduslov za istraživanja koja se odnose na potpunost, neprotivurečnost i nezavnisnost aksiomatskog sistema. 14

16 Glava 2 Ležandrove teoreme 2.1 Život i rad Ležandra Adrijen Mari Ležandr 1 dao je niz značajnih radova iz teorije brojeva, teorije eliptičkih funkcija, teorije površi, teorije verovatnoće i napisao je savremeni geometrijski udžbenik koji se veoma dugo upotrebljavao po Evropi. Što se tiče geometrije sa kraja osamnestog i početka devetnaestog veka, tri dela dobila su veliki značaj: Bezuov 2 Kurs geometrije, Osnove Lakrua 3 i Elementi geometrije Ležandra. Ta dela u različitom stepenu odražavaju tendenciju Dalambera 4 da otrgne predavanje geometrije od tradicionalnog teškog Euklidovog načina. Sve tri knjige su napisane od strane istaknutih matematičara i talentovanih pedagoga; oni nisu umanjili ranija predavanja geometrije, već su je učinili mnogo dostupnijom. Ta tri udžbenika geometrije dobili su neobično široku rasprostranjenost u svim kulturnim zemljama i obeležavaju novu epohu u daljem predavanju geometrije. Ležandrovi Elementi geometrije su zaista zamenili Euklidova dela u školskim klupama. Istina, sledeći tendencije Dalambera u nameri da reorganizuje predavanja geometrije, Ležandr se nije odnosio prema Euklidu potcenjivački. Osnovne ideje Ležandrove teorije paralelnih linija izložene su u ovom odeljku. One, kako ćemo videti, nisu bile originalne budući da su Ležandrovi rezultati u kojima se, izmed u ostalog, ističe ekvivalent petog Euklidovog postulata i tvrd enja, da postoji trougao kome je zbir unutrašnjih uglova π, ranije već poznati. No, ove osnovne činjenice iz teorije paralelnih linija, u Ležandrovom delu bile su pregledno i jasno izložene i stoga su često citirane. U nameri da iz prve četiri grupe, koje se nazivaju i aksiomama apsolutne geometrije, izvede peti Euklidov postulat Ležandr je u svom delu Elementi geometrije, čije je prvo izdanje štampano godine, dokazao nekoliko važnih teorema koje se odnose na zbirove unutrašnjih uglova trougla i n-tougla. 1 Adrien-Marie Legendre ( ), francuski matematičar 2 Étienne Bézout ( ), francuski matematičar 3 Sylvestre François Lacroix ( ), francuski matematičar 4 Jean-Baptiste le Rond d Alembert ( ), francuski matematičar, fizičar i filozof 15

17 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME 2.2 Ležandrove teoreme Teorema (Prva Ležandrova teorema). U apsolutnoj geometriji zbir unutrašnjih uglova proizvoljnog trougla nije veći od zbira dva prava ugla. Dokaz. Slika 2.1. Pretpostavimo suprotno, da postoji trougao ABB 1 kome je zbir unutrašnjih uglova veći od zbira dva prava ugla. Obeležimo sa B 2, B 3,..., B n tačke poluprave BB 1 (Slika 2.1.), takve da je B(B, B 1, B 2,..., B n ) i BB 1 = B1 B 2 = B2 B 3 =... = Bn 1 B n. Sa iste strane prave BB 1 sa koje je tačka A odredimo tačke A 1, A 2,..., A n 1 tako da je ABB 1 = A1 B 1 B 2 =... = An 1 B n 1 B n. Iz podudarnosti ovih trouglova sledi podudarnost odgovarajućih stranica i uglova. Dakle: AB = A 1 B 1 =... = An 1 B n 1 AB 1 = A1 B 2 =... = An 1 B n ABB 1 = A 1 B 1 B 2 =... = A n 1 B n 1 B n BB 1 A = B 1 B 2 A 1 =... = B n 1 B n A n 1. Kako je BB 1 A+ AB 1 A 1 + A 1 B 1 B 2 = 2R i AB 1 B+ B 1 AB+ ABB 1 > 2R sledi da je BAB 1 > AB 1 A 1. Pored toga, kako je AB = A 1 B 1, AB 1 AB 1 i BAB 1 > AB 1 A 1, sledi da mora biti BB 1 > AA 1, što se može zaključiti i korišćenjem neke izometrijske transformacije i prevod enjem ugla AB 1 A 1 na ugao BAB 1. Na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova sledi da je AB 1 A 1 = A1 B 2 A 2 =... = A n 2 B n 1 An 1, a odatle AA 1 = A1 A 2 =... = An 2 A n 1. Posmatrajmo sada poligon BB n A n 1 A n 2... A 1 A. Za njega važi BB n < B n A n 1 + A n 1 A n A 1 A + AB (*) 16

18 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Prethodna nejednakost induktivno važi na osnovu nejednakosti za četvorougao ABCD (Slika 2.2.): AB < AC + CB < (nejednakost trougla za ACD)AD + DC + CB Slika 2.2. Sada iz (*) sledi Pa, je odavde n BB 1 < A n 1 B n + (n 1)AA 1 + AB. n (BB 1 AA 1 ) < AB 1 + AB AA 1. U svakom trouglu je zbir dveju stranica veći od treće stranice, pa tako za trougao ABB 1 važi sledeća relacija AB 1 + AB > BB 1. Kako je BB 1 > AA 1 > 0, to je AB 1 + AB AA 1 > BB 1 AA 1. U našem slučaju nejednakost n (BB 1 AA 1 ) < AB 1 + AB AA 1 važi za svaki prirodan broj n, što dovodi do kontradikcije sa Arhimedovim stavom koji kaže da za ma koja dva broja a i b, a < b, postoji takav ceo broj n, da je na < b < (n + 1)a. Dakle, polazna pretpostavka nije tačna, te mora biti zbir uglova u trouglu ABB 1 manji ili jednak od zbira dva prava ugla. Definicija Neka je σ(abc) zbir unutrašnjih uglova trougla ABC i R prav ugao. Razliku δ(abc) = 2R σ(abc) nazivamo defektom trougla ABC. Kako je u apsolutnoj geometriji na osnovu prve Ležandrove teoreme zbir unutrašnjih uglova u trouglu manji ili jednak od 2R, to je očigledno δ(abc) 0. Lema Ako je zbir unutrašnjih uglova nekog trougla jednak zbiru dva prava ugla, tada je zbir unutrašnjih uglova svakog trougla, koji je od prvog odsečen nekom pravom takod e jednak zbiru dva prava ugla. 17

19 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Dokaz. Mogu nastupiti dva slučaja: (i) da presečna prava p sadrži jedno teme trougla ABC (ii) da prava p ne sadrži nijedno teme. Slika 2.3. (i) Neka prava p sadrži teme A trougla ABC. Označimo sa D presečnu tačku prave p sa stranicom BC (Slika 2.3.). Tada je σ(abc) = σ(abd) + σ(acd) 2R i kako je σ(abc) = 2R sledi da je σ(abd) + σ(acd) = 4R. S druge strane, zbir unutrašnjih uglova u trouglu ne može biti veći od zbira dva prava ugla, pa je zbir unutrašnjih uglova svakog od trouglova ABD i ACD jednak 2R. Slika 2.4. (ii) Neka sada prava p ne sadrži nijedno teme trougla ABC. Presečne tačke prave p sa stranicama AB i BC trougla ABC označimo redom sa E i F (Slika 2.4.). Zbir unutrašnjih uglova trougla ABC jednak je zbiru dva prava ugla, pa je na osnovu dokazanog dela (i) zbir unutrašnjih uglova trougla ABF, a samim tim i trougla BEF jednak zbiru dva prava ugla. 18

20 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Lema Ako je zbir unutrašnjih uglova nekog pravouglog trougla jednak zbiru dva prava ugla, tada je i zbir unutrašnjih uglova pravouglog trougla koji se od prvog dobija udvostručavanjem jedne katete, takod e jednak zbiru dva prava ugla. Dokaz. Neka je zbir unutrašnjih uglova pravouglog trougla ABC, sa pravim Slika 2.5. uglom kod temena C jednak zbiru dva prava ugla. U tački A konstruišimo polupravu AQ (Slika 2.5.) upravnu na pravu AC i to sa one strane prave AC sa koje je i tačka B. Sa B 1 označimo tačku poluprave AQ takvu da je AB 1 = CB. Neka je D tačka prave CB takva da je CB = BD i B(C, B, D). Kako je σ(abc) = 2R i ACB = R sledi da je CAB + ABC = R. S druge strane iz CAB + BAB 1 = R i CAB + ABC = R sledi da je CBA = BAB 1. Za trouglove ABC i BAB 1 važi AB AB, CB = B 1 A i CBA = B 1 AB, pa su oni podudarni na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova. Iz njihove podudarnosti sledi podudarnost preostalih odgovarajućih elemenata AB 1 B = C = R, CAB = B 1 BA. Sada imamo da je B 1 BC = B 1 BA + ABC = BAC + ABC = R, što znači da je B 1 B CD. Sada su trouglovi ABB 1 i DB 1 B podudarni na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova, jer je AB 1 B = DBB 1 = R, AB 1 = DB i BB 1 B 1 B. Iz njihove podudarnosti sledi BAB 1 = B 1 DB i AB = DB 1. Trouglovi ABD i DB 1 A imaju sve odgovarajuće stranice podudarne, pa su oni med u sobom podudarni na osnovu trećeg stava o podudarnosti trouglova. Odatle sledi da je BDA = B 1 AD. Zbir unutrašnjih uglova trougla ACD je tj. σ(acd) = 2R. σ(acd) = ACD + CDA + DAC = R + B 1 AD + DAC = R + B 1 AC = 2R Lema Ako je zbir unutrašnjih uglova jednog pravouglog trougla jednak zbiru dva prava ugla, tada je zbir unutrašnjih uglova svakog pravouglog trougla jednak zbiru dva prava ugla. 19

21 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Dokaz. Neka je trougao ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C čiji je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla i neka je A B C proizvoljan pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C. Pokazaćemo da je σ(a B C ) = 2R. Slika 2.6. (i) Ako su obe katete trougla ABC veće ili jednake od odgovarajućih kateta trougla A B C tada na dužima CB i CA postoje redom tačke B 1 i A 1 takve da je CB 1 = C B i CA 1 = C A (Slika 2.6.). Pravougli trougao CB 1 A 1 nastao je odsecanjem od pravouglog trougla CBA čiji je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, pa je na osnovu Leme i zbir unutrašnjih uglova pravouglog trougla CB 1 A 1 jednak zbiru dva prava ugla. Kako su trouglovi A 1 CB 1 i A B C na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova podudarni, sledi da je i zbir unutrašnjih uglova trougla A B C jednak zbiru dva prava ugla. Slika 2.7. (ii) Ako je kateta CA manja od katete C A tada na polupravoj CA odredimo niz tačaka A 1, A 2,..., A n,... takav da je B(C, A, A 1, A 2,..., A n,...) i CA = AA 1, CA 1 = A 1 A 2,... (Slika 2.7.). Tada postoji prirodan broj k takav da CA k < C A < CA k+1. Prema Lemi je zbir unutrašnjih uglova u svakom od pravouglih trouglova A n CB jednak 2R. 20

22 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Ako je kateta CB manja od katete C B na polupravoj CB uočimo niz tačaka B 1, B 2,..., B n,... takav da je B(C, B, B 1, B 2,..., B n,...) i CB = BB 1, CB 1 = B 1 B 2,.... Tada postoji prirodan broj l takav da je CB l < C B < CB l+1. Sada je ponovo na osnovu Leme zbir unutrašnjih uglova u svakom od trouglova A n CB m jednak 2R. Dakle, zbir unutrašnjih uglova u trouglu A k+1 CB l+1 jednak je 2R, pri čemu je CA k+1 > C A i CB l+1 > C B, pa je prema dokazanom delu pod (i) zbir unutrašnjih uglova trougla A B C jednak zbiru dva prava ugla. Teorema (Druga Ležandrova teorema). Ako je u jednom trouglu ABC zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, tada je u svakom drugom trouglu A B C zbir unutrašnjih uglova takod e jednak zbiru dva prava ugla. Dokaz. Slika 2.8. Kod trouglova ABC i A B C bar po jedna visina ima podnožje na naspramnoj stranici. Neka su to podnožja D i D iz temena A i A redom (Slika 2.8.). Kako je u trouglu ABC zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, to je na osnovu Leme i u pravouglim trouglovima ABD i ACD zbir unutrašnjih uglova takod e jednak zbiru dva prava ugla. Trougao ABD je pravougli trougao kome je zbir unutrašnjih uglova jednak 2R, pa na osnovu Leme sledi da su zbirovi unutrašnjih uglova u trouglovima A B D i A D C jednaki po 2R. Sada zaključujemo da je zbir unutrašnjih uglova trougla A B C jednak zbiru dva prava ugla. Teorema Postoji trougao kome je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla ako i samo ako svaka prava upravna na jedan krak bilo kojeg oštrog ugla seče i drugi krak tog ugla. Dokaz. Neka je poq proizvoljan oštar ugao i neka je P p proizvoljna tačka. Označimo sa Q podnožje normale iz tačke P na polupravu q. Neka je R proizvoljna tačka poluprave q i n normala na pravu q u tački R. Ako važi B(O, R, Q) onda na osnovu Pašove aksiome direktno sledi da prava 21

23 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME n seče i polupravu p. Neka je B(O, Q, R) i P n i Q n, n = 1, 2,... takve da je B(O, P, P 1, P 2,..., P n,...), B(O, Q, Q 1, Q 2,..., Q n,...), OP n = 2 n OP i OQ n = 2 n OQ (Slika 2.9.). Ako postoji trougao kod koga je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, onda je na osnovu druge Ležandrove teoreme zbir unutrašnjih uglova svakog trougla jednak zbiru dva prava ugla. Dakle, zbir unutrašnjih uglova trouglova OP n Q n je jednak zbiru dva prava ugla. Označimo sa S tačku prave s upravne na pravu P Q tako da je P S = OQ. Slika 2.9. Tada je OP Q = P P 1 S = P Q 1 S = Q 1 P Q, odakle sledi da je P Q 1 Q = P OQ i P 1 Q 1 P = OP Q, a kako je još P OQ + OP Q = R, to je OQ 1 P 1 prav. Rasud ivanjem na isti način zaključujemo da je svaki od trouglova OP n Q n pravougli sa pravim uglom kod temena Q n. Na osnovu Arhimedovog stava tačku Q n možemo izabrati tako da je B(O, R, Q n ). Sada prava n na osnovu Pašovog stava mora seći još jednu od stranica trougla OP n Q n u unutrašnjoj tački. Ako bi n sekla stranicu P n Q n u unutrašnjoj tački, dobili bismo trougao sa dva prava ugla, pa bi tada zbir unutrašnjih uglova tog trougla bio veći od zbira dva prava ugla, a to je nemoguće. Odatle sledi da prava n mora seći duž OP n, tj. pravu p. Ovim je ovaj deo dokaza završen. Obratno, neka svaka prava q n upravna u tački Q n (definisane u prvom delu dokaza) na krak q seče krak p oštrog ugla poq u tački P n (Slika 2.10.). Tada za defekt trougla OQ n P n važi tj. δ(oq n P n ) = δ(oq n 1 P n 1 ) + δ(p n 1 Q n 1 Q n ) + δ(p n 1 Q n P n ), δ(oq n P n ) 2δ(OQ n 1 P n 1 ). Nastavljajući postupak nakon n koraka dobijamo δ(oq n P n ) 2 n δ(oqp ). 22

24 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Slika Ako bi bilo δ(oqp ) > 0, tada broj n možemo izabrati dovoljno veliki da 2 n δ(oqp ) bude veće od bilo kog unapred zadatog ugla, pa i od 2R. Tada bi bilo δ(oq n P n ) > 2R, što je nemoguće. Dakle, mora biti δ(oqp ) = 0, tj. σ(oqp ) = 2R. Teorema (Treća Ležandrova teorema). Postoji trougao kome je zbir σ( ) unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla ako i samo ako u ravni π odred enoj pravom p i tačkom A van nje postoji samo jedna prava a koja sadrži tačku A, a sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Dokaz. Neka je tačka B podnožje normale iz A na pravu p (Slika a)), a prava a koja sadrži tačku A i normalna je na pravu AB. Pretpostavimo da postoji trougao kome je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla. Prava a ne može seći pravu p, jer bi smo tada dobili trougao sa dva prava ugla, a to je u apsolutnoj geometriji nemoguće. Pokazaćemo sada da je prava a jedina prava koja sadrži tačku A, a sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Pretpostavimo suprotno, da u ravni π postoji još jedna prava b koja prolazi kroz tačku A i nema zajedničkih tačaka sa pravom p. Označimo sa b onu polupravu prave b koja sa polupravom AB u tački A gradi oštar ugao. Prava p je normalna na krak AB oštrog ugla, pa na osnovu teoreme ona seče drugi krak b tog ugla, odnosno pravu b. Dakle, prava a je jedinstvena prava u ravni π koja sadrži tačku A, a sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Obratno, neka je u ravni π data prava p, tačka A van nje i prava a jedinstvena prava koja prolazi kroz tačku A i sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Pokazaćemo da postoji trougao čiji je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla. Označimo sa B podnožje normale iz tačke A na pravu p (Slika b)), a sa C proizvoljnu tačku prave p različitu od B. Neka je A tačka prave a različita od A koja se nalazi sa one strane prave AB sa koje je i tačka C. Tada je zbir unutrašnjih 23

25 GLAVA 2. LEŽANDROVE TEOREME Slika uglova trougla ABC jednak zbiru dva prava ugla, što ćemo sada pokazati. Na osnovu prve Ležandrove teoreme sledi da je σ(abc) 2R, pa je BAC + ACB R. Odatle sledi da je ACB CAA. Ako bi bilo ACB < CAA onda bi u unutrašnjosti ugla CAA postojala poluprava b koja sa AC gradi ugao β podudaran uglu ACB. Prava p normalna je na krak AB oštrog ugla BAD, pa na osnovu teoreme seče i drugi krak tog ugla, odnosno polupravu b. Njihov presek označimo sa D. Tada bi u trouglu ACD, spoljašnji ugao BCA kod temena C bio jednak unutrašnjem nesusednom uglu CAD, a to je nemoguće. Polazna pretpostavka je pogrešna, dakle, mora biti BCA = CAA. Odavde sledi da je σ(abc) = 2R. Ležandrov udžbenik Elementi geometrije doživeo je dvanaest izdanja (poslednje je iz godine). To je prvo delo te vrste koje se bitno razlikuje od Euklidovih Elemenata. Zahvaljujući, pre svega, svojim metodičkim odlikama, ovo Ležandrovo delo veoma ja uticalo na potonje udžbenike geometrije. Šta više, moglo bi se reći da je ovaj udžbenik prvi počeo da istiskuje Euklidove Elemente iz kao nastavno geometrijsko štivo. U kasnjim proučavanjima geometrije Ležandrove teoreme će biti vema značajne za dokazivanje nekih stavova euklidske geometrije (geometrija u kojoj važe aksiome pripadanja, rasporeda, podudarnosti, neprekidnosti, i Plajferova aksioma). 24

26 Glava 3 V Euklidov postulat Današnje materijalističko shvatanje aksioma kao istina koje izviru iz iskustva, a praksa treba da ih potvrd uje, nastalo je sa razvojem nauke. U vreme Euklidovih Elemenata, kao i dugo vremena posle njihove pojave, vladalo je drugo mišljenje. Aksiome su se smatrale istinitim, jer su neposredno jasne. Uz to se pod dokazom smatralo takvo razmišljanje koje treba da pokaže očiglednost nekog tvrd enja. Očiglednost je nešto čisto subjektivno, i kao svaki osećaj, može biti varljiv. Dugo se smatralo očiglednim i to da se Sunce okreće oko Zemlje. Danas se očiglednost ne smatra dovoljnom u otkrivanju naučnih istina. Med utim, istorijska je istina da je spomenuto shvatanje o aksiomama vladalo med u geometrima. Zato je posebnu pažnju izazvala jedna od osnovnih Euklidovih tvrdnji koja je u nekim rukopisima Elemenata uzeta kao 11. aksioma, a u drugima kao V postulat. Euklid je tu aksiomu formulisao na sledeći način: Peti Euklidov postulat. Ako dve prave a i b u preseku sa trećom pravom c grade suprotne uglove čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla, onda se prave a i b seku i to sa one strane sečice c sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla. Slika 3.1. Ova aksioma nije izgledala geometrima neposredno jasna, pa je još od početka nastalo mišljenje da to ne može biti aksioma, nego teorema. Zaista, ukoliko V postulat uporedimo sa ostalim aksiomama i postulatima euklidske geometrije, zapaža 25

27 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT se da je od njih znatno komplikovaniji. Zbog toga se brzo ustalilo mišljenje koje se zadržalo više od dve hiljade godina, da je tu tvrdnju Euklid uvrstio med u aksiome ne zato što je osnovnog karaktera, pa je kao takvu ne možemo dokazati, nego zato što je navodno Euklid nije mogao dokazati pomoću ostalih aksioma svoje geometrije. Geometre je stalno podsticalo da traže dokaz za V postulat. Ideja koja je pri tom vodila geometre ima ovaj smisao: Ako se uspe dokazati V postulat na osnovu ostalih Euklidovih aksioma i postulata, onda se on ne može smatrati aksiomom, jer se aksiome ne mogu dokazati. Kada bi taj dokaz uspeo, onda bi V postulat trebalo izbrisati iz spiska aksioma i uvrstiti med u teoreme. Tokom više od dve hiljade godina pokušavalo se pronaći dokaz Euklidovog V postulata. U tome su učestvovali mnogi matematičari svih zemalja u kojima su bili poznati Euklidovi Elementi. Za to vreme pojavili su se mnogi dokazi V postulata. Bilo je i vrlo oštroumnih pokušaja. Med utim, brižljivo izučavanje svih tih dokaza uvek je pokazalo da je u toku dokazivanja načinjena neka logička greška. Obično se u dokaz ušunjala, a da to autor dokaza nije primetio, neka tvrdnja ekvivalentna V postulatu, tj. takvo tvrd enje koje tvrdi isto što i taj postulat samo na drugačiji način. Pravi dokaz Euklidovog postulata trebalo bi da se oslanja samo na ostale aksiome Euklidove geometrije. Ako takav dokaz ne postoji, onda je to zaista aksioma, a ne teorema, jer je svaka teorema logička posledica aksioma, te se može dokazati. 26

28 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT 3.1 Plejferova aksioma paralelnosti Pre svega podsetimo se definicije paralelnih pravih. Definicija Dve prave su paralelne ukoliko pripadaju istoj ravni i pri tom nemaju zajedničkih tačaka. Egzistenciju paralelnih pravih je lako dokazati i to koristeći samo prve tri grupe aksioma. Taj zaključak možemo iskazati u obliku sledeće teoreme. Teorema Kroz svaku tačku, koja ne pripada datoj pravoj, prolazi prava koja joj je paralelna. Dokaz. Slika 3.2. Neka je data prava AB (Slika 3.2.) i tačka P na njoj. Neka je p prava koja sadrži tačku P i neka su P i P tačke prave p, takve da važi raspored tačaka B(P, P, P ). Na osnovu aksioma podudarnosti uvek postoji prava A B koja sadrži tačku P, takva da je P P B = P P B U tom slučaju ne postoji tačka S, zajednička tačka pravih AB i A B, jer bi u trouglu SP P jedan spoljašnji ugao bio podudaran unutrašnjem nesusednom uglu, što je nemoguće. Prethodnu teoremu možemo formulisati i na sledeći način: Teorema Ako dve prave pri preseku sa trećom obrazuju podudarne naizmenične ili podudarne saglasne uglove, ili je pak zbir dva suprotna ugla jednak zbiru dva prava ugla, te dve prave su paralelne. Prve četiri grupe aksioma pomoću kojih se izgrad uje tzv. apsolutna geometrija nisu dovoljne da se u potpunosti izgradi geometrija razmatranog prostora. Za izgradnju te teorije neophodno je uvesti jednu grupu aksioma; to je po redu peta 27

29 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT grupa aksioma geometrije. Tu grupu čini samo jedna aksioma koju je godine umesto Euklidovog petog postulata uveo engleski matematičar Džon Plejfer 1. Ona se odnosi na paralelne prave te je nazivamo Plejferovom aksiomom paralelnosti. Plejferova aksioma paralelnosti se po formulaciji razlikuje od Euklidovog petog postulata i predstavlja njegov ekvivalent. Kako ovaj iskaz poseduje jednostavniju formulaciju, Plejfer uzima ovaj stav za aksiomu, a peti postulat za teoremu. Plejferova aksioma paralelnosti. Ako je p proizvoljna prava i A tačka van nje tada u ravni odred enoj pravom p i tačkom A postoji jedinstvena prava a koja sadrži tačku A i sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Za tačku A i pravu p reći ćemo da imaju Plejferovo svojstvo. Slika 3.3. Geometrija koja je zasnovana na aksiomama apsolutne geometrije i Plejferovoj aksiomi paralelnosti naziva se euklidskom ili paraboličkom geometrijom. Prostor koji te aksiome zadovoljava, naziva se euklidskim prosotorom, a svaka njegova ravan euklidskom ravni. Kao što smo rekli, Plejfer peti Euklidov postulat uzima za teoremu, koja se dobija kao posledica Plejferove aksiome paralelnosti, te ćemo sada navesti i taj dokaz. Teorema (Peti Euklidov postulat). Ako dve prave u preseku sa trećom pravom grade suprotne uglove čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla, onda se te dve prave seku i to sa one strane sečice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla. Dokaz. Zaista, neka su AB i A B dve prave koje prava p seče u tačkama P i P respektivno (Slika 3.4.). Iz aksioma podudarnosti sledi da kroz tačku P prolazi jedna prava, A B recimo, takva da je zbir suprotnih uglova, koje ona i prava AB obrazuju sa pravom p, jednak zbiru dva prava ugla. S obzirom na napred izloženo, tj. na osnovu Teoreme , prava A B je paralelna pravoj AB, a s obzirom na aksiomu paralelnosti, to je i jedina prava koja prolazi kroz tačku P, a paralelna je pravoj AB. Dakle, prava A B mora seći pravu AB. Da se taj presek mora nalaziti sa one strane prave p, sa koje je zbir suprotnih uglova manji od zbira dva prava ugla, sledi 1 John Playfair ( ), škotski matematičar 28

30 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Slika 3.4. iz prve Ležandrove teoreme, prema kojoj zbir dva unutrašnja ugla trougla ne može biti veći od zbira dva prava ugla. 29

31 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT 3.2 Ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti Pri pokušaju dokazivanja V Euklidovog postulata geometri su naišli na interesantne rezultate. Tako se med u ostalim, naišlo na to da je V postulat ekvivalentan Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Ekvivalentnost o kojoj ćemo ovde govoriti ogleda se u ovome: Ako se pretpostavi da važi V Euklidov postulat, onda iz toga logički proizilazi da kroz tačku A izvan prave p prolazi samo jedna prava a koja sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Ako se, pak, uzme da je istinita tvrdnja da kroz jednu tačku A izvan prave p prolazi samo jedna prava koja sa pravom p nema zajedničkih tačaka, onda iz te pretpostavke logički proizilazi Euklidov V postulat. Za sam dokaz ovoga potrebni su nam neki drugi ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti, te ćemo taj dokaz ostaviti za kasnije. Uspostavilo se da postoji mnogo tvrd enja u matematičkoj literaturi, spominje se njih tridesetak, koji su ekvivalentni V Euklidovom postulatu, odnosno Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Ovde ćemo spomenuti i dokazati samo značajnije ekvivalente. Teorema (I ekvivalent). Tvrd enje: Zbir unutrašnjih uglova proizvoljnog trougla jednak je zbiru dva prava ugla, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti Dokaz. Na osnovu treće Ležandrove teoreme sledi da je Plejferova aksioma paralelnosti ekvivalentna tvrd enju da postoji trougao kome je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, odakle na osnovu druge Ležandrove teoreme sledi da je tvrd enje da je zbir unutrašnjih uglova svakog trougla jednak zbiru dva prava ugla ekvivalentan Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Teorema (II ekvivalent). Tvrd enje: Postoji četvorougao kome je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru četiri prava ugla, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Teorema (III ekvivalent). Tvrd enje: Zbir σ unutrašnjih uglova prostog ravnog n-tougla jednak je σ = 2(n 2)R, pri čemu je R prav ugao, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Dokaz se izvodi indukcijom po broju temena n-tougla i korišćenjem prvog ekvivalenta Plejferove aksiome paralelnosti. Posledica (IV ekvivalent). Tvrd enje: Zbir spoljašnjih uglova kod svih temena konveksnog prostog ravnog n-tougla jednak je 4R, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Definicija Četvorougao ABCD je Sakerijev ako važi A = B = R i AD = BC. Stranica AB je osnovica, CD protivosnovica, a AD i BC su visine Sakerijevog četvorougla (Slika 3.5.). 30

32 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Slika 3.5. U Euklidskoj geometriji Sakerijev četvorougao je pravougaonik. Teorema U apsolutnoj geometriji uglovi nalegli na protivosnovici Sakerijevog četvorougla su jednaki. Definicija Srednja linija Sakerijevog četvorougla je duž koja spaja središta osnovice i protivosnovice. Teorema U apsolutnoj geometriji srednja linija Sakerijevog četvorougla je zajednička normala osnovice i protivosnovice. Teorema (V ekvivalent). Tvrd enje: Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četvorougla su pravi, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Definicija Četvorougao sa tri prava ugla u apsolutnoj geometriji naziva se Lambertov (Slika 3.6.). Slika 3.6. Teorema (VI ekvivalent). Tvrd enje: Svi uglovi Lambertovog četvorougla su pravi, ekvivalentno je Plejferovoj askiomi paralelnosti. 31

33 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Teorema (VII ekvivalent). Tvrd enje: Svaka prava u ravni oštrog ugla koja je upravna na jedan krak tog ugla seče drugi krak, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Sledi direktno iz Teoreme i treće Ležandrove teoreme. Teorema (VIII ekvivalent). Peti Euklidov postulat i Plejferova aksioma paralelnosti su ekvivalentna tvrd enja. Dokaz. Slika 3.7. Pretpostavimo da važi Plejferova aksioma paralelnosti i neka prava c seče prave a i b redom u tačkama A i B (Slika 3.7.). Neka su A i B redom tačke pravih a i b takve da je A AB + B BA < 2R gde je R prav ugao. Tada je bar jedan od uglova A AB ili B BA oštar. Ne umanjujući opštost dokaza neka je to ugao B BA. Označimo sa C podnožje normale iz tačke A na pravu b. Tada se tačke C i B nalaze na pravoj b sa iste strane tačke B, jer bi u suprotnom postojao trougao čiji je zbir unutrašnjih uglova veći od zbira dva prava ugla, a to je u kontradikciji sa prvom Ležandrovom teoremom. Kako važi Plejferova aksioma paralelnosti to je zbir unutrašnjih uglova u trouglu ABC jednak 2R, pa je: CAA = BAA BAC = BAA (R ABC) = BAA R + ABC < 2R R = R Prava b je upravna na krak AC ugla CAA, pa na osnovu VII ekvivalenta, prava b mora seći i drugi krak tog ugla. Dakle, prave a i b se seku, tj. važi peti Euklidov postulat. Obratno, pretpostavimo da važi peti Euklidov postulat i neka su date prava a i tačka B van nje (Slika 3.8.). Neka su A i A proizvoljne tačke prave a i neka je B tačka ravni koju odred uju prava a i tačka B, takva da važi sledeće: A, B AB i A AB + ABB = 2R. 32

34 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Slika 3.8. Sada imamo da je prava b, odred ena tačkama B i B jedina prava ravni (a, B) koja sadrži tačku B i sa pravom a nema zajedničkih tačaka. Zaista, ako bi postojala još jedna prava sa istom osobinom, ona bi sa pravom AB gradila suprotne uglove čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla. A kako važi peti Euklidov postulat, ta prava bi morala seći pravu a. Iz ovoga zaključujemo da važi Plejferova aksioma paralelnosti. Teorema (IX ekvivalent). Tvrd enje: Dve paralelne prave presečene trećom grade jednake odgovarajuće uglove, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Teorema (X ekvivalent). Tvrd enje: Kroz ma koje tri nekolinearne tačke prolazi krug, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Neka važi Plejferova aksioma paralelnosti i neka su A, B i C tri proizvoljne nekolinearne tačke. Medijatrise stranica trougla ABC pripadaju istom pramenu pravih. Nije teško zaključiti da te medijatrise pripadaju konkurentnom pramenu pravih, tj. da presečna tačka O medijatrisa trougla ABC zapravo predstavlja centar opisanog kruga oko trougla ABC. Pokažimo i suprotan smer. Pretpostavimo da važe aksiome apsolutne geometrije i neka kroz ma koje tri nekolinearne tačke prolazi krug. Neka prave a i b seku neku pravu p tako da je prava a upravna na p i b nije upravna na p (Slika 3.9.). Označimo sa A i B presečne tačke prave p sa pravama a i b, redom. Neka je C tačka prave p, takva da važi raspored tačaka B(A, C, B). Neka je D tačka simetrična u odnosu na pravu a tački C, a q prava koja sadrži tačku C i normalna je na pravu b. Tačku simetričnu tački C u odnosu na pravu b označimo sa Q. Tačke D, C i Q su nekolinearne, jer bi u suprotnom važilo b p. Na osnovu pretpostavke sledi da postoji krug koji sadrži ove tri tačke. Centar ovog kruga označimo sa O. Tačka O je podjednako udaljena od temena D, C i Q trougla DCQ, tj. OD = OC = OQ. Centar kruga O pripada pravoj a, jer a medijatrisa duži DC. S druge strane, pripada i pravoj b, jer je b medijatrisa duži CQ. O je zajednička tačka pravih a i b. Dakle, 33

35 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Slika 3.9. prave a i b se seku, što na osnovu teoreme i treće Ležandrove teoreme znači da važi Plejferova aksioma paralelnosti. Teorema (XI ekvivalent). Tvrd enje: U ravni postoje tri kolinearne tačke podjednako udaljene od date prave, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Neka su A, B i C tri kolinearne tačke podjednako udaljene od date prave a. Slika Pravu kojoj pripadaju tačke A, B i C označimo sa b. Neka su A, B i C podnožja normala redom iz tačaka A, B i C na pravu a (Slika 3.10.). Kako je AA = BB i AA B = BB A = R, to je četvorougao AA B B Sakerijev. Tada je srednja linija M N tog četvorougla zajednička normala osnovice i protivosnovice, tj. MN a i MN b. Isto tako je i četvorougao BB C C Sakerijev, te je srednja linija P Q tog četvorougla, takod e zajednička normala pravih a i b. N i Q pripadaju pravoj b i ne pripadaju 34

36 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT pravoj a, odakle sledi da tačke M, P, Q i N obrazuju četvorougao sa četiri prava ugla odakle na osnovu II ekvivalenta sledi da važi Plejferova aksioma paralelnosti. Pretpostavimo sada da važi Pljeferova aksioma paralelnosti i pokazaćemo da postoje tri kolinearne tačke podjednako udaljenje od date prave. Neka su u ravni date prava a i tačke A, B i C (Slika 3.11.) sa iste strane prave a tako da je AA = BB = CC, gde su A, B i C podnožja normala na pravu a redom iz tačaka A, B i C. Pokazaćemo da su tačke A, B i C kolinearne. Slika Četvorougao AA B B je pravougaonik, pa je AB a. Isto tako je i četvorougao AA C C pravougaonik, odakle je AC a. Kako važi Plejferova aksioma paralelnosti, a imamo da u tački A postoje dve prave AB i AC u istoj ravni, koje su paralelne pravoj a, to sledi da se te dve prave AB i AC moraju poklapati. Dakle, tačke A, B i C su kolinearne. Teorema (XII ekvivalent). Tvrd enje: Postoje dva trougla kojima su odgovarajući uglovi jednaki, a odgovarajuće stranice nejednake, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Neka su dati trouglovi ABC i A B C takvi da je A = A, B = B i C = C, a odgovarajuće stranice im nisu jednake. Tada postoji tačka B 1 B na polupravoj AB takva da je AB 1 = A B i tačka C 1 C na polupravoj AC takva da je AC 1 = A C. Tada trouglovi AB 1 C 1 i A B C imaju dva para podudarnih stranica i jednake njima zahvaćene uglove. Na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova sledi da su ova dva trougla podudarna. Odatle sledi: AB 1 C 1 = A B C i AC 1 B 1 = A C B. Posmatrajmo četvorougao BCC 1 B 1. Zbir unutrašnjih uglova tog četvorougla je: σ(bcc 1 B 1 ) = B + C + CC 1 B 1 + C 1 B 1 B = B + C + (2R C ) + (2R B ) = 4R. 35

37 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Slika Na osnovu II ekvivalenta zaključujemo da važi Plejferova akioma paralelnosti. Slika Obratno, pretpostavimo da važi Plejferova askioma paralelnosti. trougao ABC i duž B C BC. Neka su B B 1 i C C 1 poluprave takve da je Neka je dat (B B 1, B C ) = B, (B C, C C 1 ) = C. Uglovi B i C su uglovi trougla, pa mora biti B + C < 2R, odakle sledi da je B + C < 2R. Kako važi Plejferova aksioma paralelnosti to sledi da važi i peti Euklidov postulat. Odatle zaključujemo da se poluprave B B 1 i C C 1 će se seći u tački A. Trouglovi ABC i A B C imaju sva tri odgovarajuća ugla jednaka, ali im odgovarajuće stranice nisu jednake. Ovim je dokaz teoreme završen. Teorema (XIII ekvivalent). Tvrd enje Kroz svaku unutrašnju tačku oštrog ugla uvek se može povući prava koja seče oba kraka tog ugla je ekvivalentno Plejferovoh aksiomi paralelnosti. 36

38 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT 3.3 Proklov argument Prvi poznati pokušaj da se dokaže postulat o paralelama preuzeo je Ptolomej u drugom veku naše ere. Njegovo zaključivanje je bilo složeno, ali je u osnovi njegov dokaz bio jednostavan. On je pretpostavio alterantivni oblik postulata, a onda je iz njega izveo izvorni oblik. Med utim, to je bio samo prividan dokaz, jer se ispostavilo da su neke od najbanalnijih pretpostavki, tako očigledne da čak nisu ni formulisane, u stvari prerušen postulat o paralelama. U nastavku ćemo izložiti jedan zanimljiv pristup dokazu Euklidove aksiome o paralelama. Naime, antički mislilac Proklo 2 preduzeo je jedan znameniti pokušaj dokazivanja petog Euklidovog posulata. Proklo je bio upravnik neoplatonovske škole u Atini. Pisao je komentare na dela Euklida, Platona, Ptolomeja. Najviše je vremena provodio analizirajući Euklidove Elemente i pritom napisao komentar prve knjige Elemenata, koji predstavlja glavni izvor našeg znanja o geometriji starih Grka. Da bismo razumeli njegov dokaz, korisno je najpre uraditi tri stvari. Prvo, primeniti alternativni vid postulata, odnosno njegov ekvivalent, Plejferovu aksiomu paralelnosti. Drugo, učiniti Proklov argument malo manje tehničkim. I treće, prevesti ga sa grčkog. Da bismo postavili Proklov dokaz u povoljnije okruženje, zamislimo, na primer, Petu aveniju u Njujorku. A zatim još jednu aveniju, uporednu sa njom, koju ćemo nazvati Šesta avenija. Prema Euklidu, to znači da se ove dve avenije ne seku. Visoko povrh prodavaca kafe i viršli na Šestoj aveniji uzdiže se velelepno zdanje u kome svoje prostorije ima ugledni izdavač koji objavljuje samo najbolje knjige Fri pres. Bez ikakve namere da mu se umanji ugled, Fri pres će u ovom primeru igrati ulogu spoljne tačke. Shodno matematičkoj tradiciji, treba imati na umu da je sve što smo upravo izložili ujedno i sve što se može pretpostaviti o ovim ulicama. Iako za potrebe konkretne ilustracije imamo u vidu dve odredjene avenije, te kao matematičari ne smemo da koristimo nikakva druga svojstva ovih ulica u dokazu koji izvodimo osim ovih koja smo eksplicitno naveli. Matematički dokaz jeste vežbanje u kome se koriste samo eksplicitno iznete činjenice. Sada smo spremni da izložimo Plejferovu aksiomu u obliku prilagod enom našem kontekstu: Ako su dati Peta avenija i izdavač Fri pres na Šestoj aveniji, ne može biti drugih ulica u kojima bi takod e bio Fri pres, a koje bi poput Šeste avenije, bile uporedne sa Petom avenijom. Da se primetiti da ovaj iskaz ne odgovara u potpunosti Plejferovoj aksiomi, zato što smo, poput Prokla, pretpostavili da postoji bar jedna prava, ili ulica, koja je uporedna sa datom pravom, u našem slučaju sa ulicom. To se naime tek mora dokazati, ali je Prokle protumačio da jedna Euklidova teorema to jemči. Prihvatićemo 2 Proklo Dijadoh (grč. Πρoκλoς), 5. vek n.e., grčki filozof 37

39 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT ovo za sada i videćemo da li na osnovu ovog argumenta možemo da dokažemo aksiomu u obliku u kome je prethodno izložen. Da bismo postulat dokazali, odnosno da bismo ga pretvorili u teoremu, moramo da pokažemo da se svaki put koji prolazi pored Fri presa, osim Šeste avenije, seče s Petom avenijom. Ovo izgeda očigledno na osnovu našeg svakodnevnog iskustva. Upravo zbog toga se takce ulice nazivaju poprečnim ulicama. Ono što je neophodno da uradimo jeste da dokažemo pretpostavku bez pomoći postulata o paralelama. Počećemo tako što ćemo zamisliti treću ulicu, čija su jedina svojstva da ide pravo i da prolazi pored Fri presa. Neka se ta ulica zove Brodvej. Saglasno svom metodu dokazivanja, Prokle bi krenuo od Fri Presa i išao Brodvejem na jug. Zamislite neku ulicu koja vodi od mesta gde se Prokle zatekao do Šeste avenije. Nazovimo tu ulicu Nikolajeva ulica. Situaciju imate prikazanu na narednom crtežu. Slika 3.14: Proklov dokaz 38

40 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Nikolajeva ulica, Brodvej i Šesta avenija obrazuju pravougli trougao. Kako Prokle nastavlja da se kreće Brodvejem, pravougli trougao nastao na ovaj način postaje sve veći. U krajnjoj liniji, strane trougla, uključujući i Nikolajevu ulicu, mogu da se povećaju koliko vam drago, te tako Nikolajeva ulica konačno postaje duža od razmaka izmed u Pete i Šeste avenije. Prema tome, rekao bi Proklo, Brodvej mora da preseče Petu aveniju, a upravo je to i trebalo dokazati. Ovaj argument jeste jednostavan, ali pogrešan. Pre svega, pojam sve veći na izvestan način je zloupotrebljen. Nikolajeva ulica, naime, može da postaje sve veća, a da pri tom ostane manja od jednog bloka, slično nizu brojeva 1, 2, 3, 4, 5... koji takod e postaju sve veći, ali nikada ne nadmašuju jedinicu. Ovaj nedostatak može se otkloniti. No ključni nedostatak jeste to što je Proklo, poput Ptolemeja, upotrebio jednu neosnovanu pretpostavku. Primenio je jedno svojstvo uporednih puteva koje intuitivno izgleda tačno, ali koje nije dokazao. Koja je ta pretpostavka? Proklova greška odnosila se na razdaljinu izmed u Pete i Šeste avenije. Podsetimo se kako je to mesto glasilo: Ako slučajno znate [...] da ih razdvaja tolika i tolika razdaljina [...] zaboravite slobodno na sve to. Iako Prokle ne kaže tačno kolika je ta razdaljina, on podrazumeva da je ona nepromenljiva. To nam kaže naše iskustvo s uporednim pravim, odnosno s Petom i Šestom avenijom, ali se ne može matematički dokazati bez primene postulata o paralelama: ne razlikuje se od samog postulata. Isti propust promakao je i velikom bagdadskom učenjaku Tabitu ibn Kuri 3 u devetom veku. Da biste sebi predočili Tabitovu ideju, zamislite da se krećete pravolinijski Petom avenijom, držeći neki kruti metar, dugačak jedan blok zgrada, pod pravim uglom u odnosu na ulicu u kojoj se nalazite. Kako Tabit napreduje Petom avenijom, kakvu putanju ispisuje tačka na suprotnom kraju njegovog metra? Tabit je utvrdio da je posredi prava linija, recimo, Šesta avenija. Na temelju ove pretpostavke on je potom dokazao postulat o paralelama. Linija koju opisuje dalji kraj metra svakako je nekakva kriva, ali šta nam daje za pravo da tvrdimo da je posredi prava linija? Ono što nas ovlašćuje u ovom smislu jedino može da bude, pogodili ste, postulat o paralelama. Jedino je u euklidskom prostoru skup tačaka na istoj udaljenosti od neke prave takod e prava. Tabit je ponovio Ptolemejevu grešku. Krajem osamnaestog stoleća matematičari bi, da su nešto drugačije videli svoja otkrića, zaključili da neeuklidski prostori možda postoje, a ako postoje, onda i imaju neka veoma neobična svojstva. No njih je, umesto toga, naprosto ozlojed ivala činjenica što nisu mogli da dokažu da ta neobična svojstva vode do protivurečnosti, te da je stoga prostor euklidski. Narednih pola veka bile su godine tajne revolucije. Postepeno, u nekoliko zemalja, otkrivane su nove vrste prostora, ali zajednica matematičara nije ih bila svesna ili ih nije uočavala. Tek kada su, sredinom devetnaestog stoleća, proučeni radovi jednog nedugo pre toga preminulog starca iz Getingena u Nemačkoj, obznanjene su tajne neeuklidskog prostora. Tada je većina onih koji su skinuli veo s ovih tajni već bila pokojna, baš kao i ovaj starac. 3 Thabit ibn Qurra ( ), iraški matematičar, filozof i astronom 39

41 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT 3.4 Sakerijev i Lambertov pokušaj Budući da nikako nije uspevalo direktno dokazivanje Euklidove aksiome o paralelama, dva su matematičara u XVIII veku, Sakeri 4 i Lambert 5, nezavisno jedan od drugog pokušali dati indirektan dokaz. Obojica su pošla od činjenice da je Euklidova aksioma paralelnosti ekvivalentna tvrd enju da postoji četvorougao sa četiri prava ugla. Sakerijeva proučavanja bila su objavljena godine u Milanu pod naslovom Euclides ob omni naevo vindicatus. U tom delu Sakeri pokušava da V postulat dokaže indirektnim putem. Slika Sakeri polazi od posmatranja četvorougla ABB A (Slika 3.15.) koji ima dva prava ugla na osnovici AB i dve jednake bočne strane AA i BB. Iz simetričnosti slike u odnosu na normalu HH sledi da su uglovi kod temena A i B med usobno jednaki. Ako se usvoji V postulat i, prema tome, Euklidova teorija paralelnih linija, može se odmah utvrditi da su uglovi kod temena A i B pravi, a četvorougao ABB A - pravougaonik. Obrnuto po Sakeriju, kad bi bar u jednom četvorouglu uglovi na gornjoj osnovici bili pravi, važio bi Euklidov postulat o paralelama. Želeći da dokaže taj postulat, Sakeri je učinio tri moguće pretpostavke; ili su uglovi A i B pravi, ili tupi, ili oštri. Ove tri pretpostavke on je nazvao hipotezama pravog, tupog i oštrog ugla. Pošto je hipoteza pravog ugla ekvivalentna V postulatu, to, da bi se taj postulat dokazao, treba odbaciti dve druge hipoteza. Potpuno tačnim rasud ivanjem Sakeri najpre dovodi do protivurečnosti hipotezu tupog ugla i to tako što je dokazao da zbir uglova na protivosnovici ne može biti veći od opruženog ugla. Ukoliko bi to bilo moguće, tada bi prave u prostoru bile konačne, što je u kontradikciji sa II Euklidovim postulatom. Med utim, dokazati da zbir uglova na protivosnovici ne može biti manji od opruženog ugla pokazalo se kao daleko veći problem. Sakeri je uporno dokazivao nova tvrd enja tražeći u njima kontradikciju, ali sve što je iz njegovog rada proizašlo su zapravo brojne teoreme hiperboličke geo- 4 Giovanni Girolamo Saccheri ( ), italijanski matematičar 5 Johann Heinrich Lambert ( ), švajcarski matematičar i fizičar 40

42 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT metrije. Razvijajući to ispitivanje Sakeri izgrad uje složen geometrijski sistem, čija su pojedina tvrd enja toliko protivurečna našim predstavama o položaju pravih u ravni, da bi se mogla smatrati apsurdnim. Na primer, u geomerijskom sistemu koji odgovara hipotezi oštrog ugla dve paralelne prave ili imaju samo jednu zajedničku normalu, od koje se na obe strane neograničeno udaljavaju jedna od druge, ili nemaju nijednu i, približavajući se jedna drugoj asimptotski u jednom smeru, neograničeno se jedna od druge udaljavaju u drugom smeru. U samoj protivurečnosti sa uobičajenim prostornim predstavama Sakeri, ispravno, ne vidi logičku nemogućnost tih stavova. Ali posle niza besprekorno tačnih rasud ivanja, Sakeri utvd uje lažnost hipoteze oštrog ugla. Smatrajući da su na taj način hipoteze tupog i oštrog ugla dovedene do protivurečnosti, Sakeri zaključuje da je jedino hipoteza pravog ugla istinita i da je na taj način dat dokaz V postulata. Očigledno, Sakeri pri tom i sam oseća da hipotezu oštrog ugla nije doveo do logičke protivurečnosi i on se ponovo vraća na nju da bi dokazao da je ona protivurečna samoj sebi. U tom cilju on izračunava na dva načina dužinu neke linije i za nju dobija dve različite vrednosti. Ta okolnost bi odista u sebi sadržala protivurečnost, ali je Sakeri došao do nje učinivši grešku u računanju. Iako Sakeri nije primetio grešku, on je ipak, kako se vidi iz nekih njegovih primedaba, i svojim dopunskim rasud ivanjem bio nezadovoljan. Svoj rad na ovoj temi Sakeri zaključuje rečima: hipoteza oštrog ugla je apsolutno netačna, jer je u suprotnosti sa prirodom pravih linija. Slika Ideje koje je Lambert razvio u delu Teorija paralelnih linija iz godine bliske su Sakerijevim shvatanjima. Lambert posmatra četvorougao ABCD koji ima tri prava ugla A, B i C (Slika 3.16.); za četvrti ugao mogu se takod e učiniti tri pretpostavke; da je taj ugao oštar, prav ili tup. Na taj način, ovde se opet javljaju tri hipoteze. Pošto je utvrdio ekvivalentnost hipoteze pravog ugla sa V postulatom i doveo do protivurečnosti hipotezu tupog ugla, Lambert je, slično Sakeriju, primoran da se najviše bavi hipotezom oštrog ugla. Hipoteza oštrog ugla dovodi Lamberta, kao i Sakerija, do složenog geometrijskog sistema. Zadatak da se dokaže V postulat bio bi rešen kad bi se u tom sistemu pronašla dva stava koji su logički protivurečni 41

43 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT jedan drugom. Med utim, bez obzira na to što je veoma razvio pomenuti sistem, Lambert nije uspeo da u njemu naid e na dva tvrd enja koja se logički uzajamno isključuju. Kao ni Sakeri, ni on nije zaključke o lažnosti hipoteze oštrog ugla izveo samo na osnovu toga što su te osobine protivurečne našim očiglednim predstavama o osobinama pravih. Ali za razliku od Sakerija, Lambert nije učinio grešku usled koje bi hipotezu oštrog ugla mogao smatrati odbačenom i, prema tome, V postulat dokazanim. Lambert nigde u svom delu ne tvrdi da je dokazao V postulat i dolazi do zaključka da nijedan drugi pokušaj u tom pravcu nije doveo do cilja. Dokazi Euklidovog postulata, piše Lambert, mogu se dovesti tako daleko, da, očigledno, preostaje neznatna sitnica. Ali, pri podrobnoj analizi ispostavlja se da baš u toj prividnoj sitnici leži sva suština pitanja; ona obično sadrži ili stav koji treba dokazati ili njemu ekvivalentan postulat. Osim toga, razvijajući sistem posledica hipoteze oštrog ugla, Lambert otkriva analogiju toga sistema sa sfernom geometrijom i u tome vidi mogućnost njegovog postojanja. Sklon sam čak da poverujem da je treća hipoteza tačna na nekoj imaginarnoj sferi. Mora postojati uzrok usled koga se ona u ravni ni izdaleka ne može oboriti onako lako kako se to može učiniti sa drugom hipotezom. Lambert je na neobičan način predosetio pravo rešenje pitanja V postulata i on je dalje no iko pre njega išao pravilnim putem. 42

44 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT 3.5 Tiboov prividan dokaz Kad već nisu uspeli dokazati Euklidovu aksiomu o paralelnosti, mnogi matematičari su na razne načine pokušavali da dokažu neki od njenih ekvivalenata. Ukoliko bi takav dokaz uspeo, ne pozivajući se na aksiomu o paralelnosti, zaključili bismo da V Euklidov postulat nije aksioma, nego teorema. Med utim, nijedan pokušaj nije uspeo. Slika Tibo Ovde ćemo izneti jedan od tih prividnih dokaza koji je dao Tibo 6. On je želeo da dokaže teoremu koja kaže da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla. Kako je to tvrd enje ekvivalentno Plejferovoj aksiomi paralalenosti, a samim tim i V Euklidovom postulatu, sledilo bi da je Tibo na indirektan način dokazao aksiomu paralelnosti. Podsetimo se, najpre, kako uobičajeno dokazujemo da je zbir uglova u nekom trouglu jednak 2R. Posmatrajmo trougao ABC sa uglovima α, β i γ redom kod temena A, B i C (Slika 3.18.). Produžimo stranicu BC ovog trougla preko temena C. U tom istom temenu konstruišimo paralelu CD sa stranicom AB. Ta paralela deli spoljašnji ugao kod temena C na uglove α i β. Kako su β i β uglovi sa paralelnim kracima, oni su jednaki med u sobom, tj. β = β. Iz istog razloga su i uglovi α i α jednaki. Sa slike vidimo da je α + β + γ = 2R, a na osnovu prethodnog je α + β + γ = 2R. Time smo pokazali da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla. Potrebno je istaknuti da smo u dokazu koristili aksiomu paralelnosti. Kao što znamo, dokaz je izveden uz pomoć prave CD paralelne stranici AB. No, da u tački C 6 Bernhard Friedrich Thibaut ( ), nemački matematičar 43

45 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Slika postoji prava, i to jedinstvena, koja je paralelna pravoj AB garantuje upravo aksioma paralelnosti. Slika Tibo je bio uveren da mu je uspelo dokazati da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla bez pozivanja na aksiomu paralelnosti. Svoj dokaz izveo je pomoću triju rotacija prave p u nekoj ravni. Posmatrajmo trougao ABC (Slika 3.19.). Prava p neka je odred ena tačkama A i B i orijentisana udesno. Rotirajmo pravu p oko temena B u smeru kretanja kazaljke na časovniku dok se ne poklopi sa stranicom BC. Prava p se pri tom rotirala za ugao β. Zatim, rotirajmo pravu p dok se ne poklopi sa stranicom CA u istom smeru. Tako je prava p rotirala za ugao γ. Treća rotacija prave p neka bude oko temena A za ugao α. Nakon treće rotacije prava p će se ponovo poklopiti sa stranicom AB. Prava p je u toku ovih triju rotacija postepeno menjala svoj smer kako pokazuju strelice na slici i na kraju se ponovo našla u početni položaj samo sa suprotnim smerom. Zbir uglova za koje je 44

46 GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT prava p izvršila sve tri rotacije iznosi α + β + γ, a to je upravo zbir uglova u trouglu. S druge strane, prava p bi se mogla naći u istom položaju, kao i kada je izvršila tri uzastopne rotacije redom oko temena B, C i A, ako bi načinila jednu rotaciju oko vrha A za ugao 2R. Odavde Tibo zaključuje da je zbir uglova u trouglu: α + β + γ = 2R. Izgleda da smo uspeli dokazati da zbir uglova u trouglu iznosi 2R, s tim da u dokazu nismo uopšte koristili aksiomu o paralelnosti. To znači da teorema o zbiru uglova u trouglu ne zavisi od aksiome paralelnosti. No, kako je teorema o zbiru unutrašnjih uglova u trouglu ekvivalentna toj aksiomi, sledi da smo na posredan način dokazali tu aksiomu. Čim se neka aksioma može dokazati, ona odmah u deduktivnom sistemu gubi položaj aksiome i spada u teoreme. Tada na se na kraju ovog razmatranja pričinjava da je Tibo uspeo da dokaže V Euklidov postulat. Da je Tiboov dokaz pogrešan ukazuje činjenica da bi se na isti način mogalo dokazati da je zbir uglova sfernog trougla jednak zbiru dva prava ugla (Slika 3.20.). Dokaz se izvodi na sličan način, samo što ćemo u ovom slučaju pravu p zameniti glavnom kružnicom sfere kojoj pripada taj trougao. Ovde bismo uzeli da glavna kružnica u početnom položaju prolazi kroz tačke A i B, te bismo je redom rotirali oko temena B, C i A. Na taj način dobili bismo isto što i u dokazi Tiboa. Tako bismo zaključili da je zbir uglova sfernog trougla jednak 2R, što nije istina, jer se u sfernoj geometriji dokazuje da je taj zbir uvek veći od 2R. Sada je logično postaviti pitanje: Gde je Tibo pogrešio? Greška je u tome što Slika su tri uzastopne rotacije prave p (ili glavne kružnice) oko triju različitih tačaka B, C i A s uglovima β, γ i α ekvivalentne jednoj rotaciji oko tačke A za ugao β + γ + α jedino ako je: BAD = ABC i DAE = BCA što je moguće samo ako u tački A postoji jedina paralela AD sa CB, tj. ako važi V Euklidov postulat. Dakle, i Tibo se kao i mnogi drugi matematičari pokušavajući da dokaže aksiomu paralelnosti neprimetno u toku samog dokaza oslanjao na tu istu aksiomu. 45

47 Glava 4 Geometrija Lobačevskog 4.1 Gausova teorija o V Euklidovom postulatu Suštinskih promena u geometriji nije bilo još od vremena Euklida i Arhimeda sve do prve polovine devetnaestog veka. Mnogi pokušaji da se razreši pitanje petog Euklidovog postulata ostali su bezuspešni. Karl Fridrih Gaus 1 sa dvanaest godina počeo je da kritikuje Euklidove Elemente. Usredsredio se, kao i drugi pre njega, na postulat o paralelama. Za razliku od svih svojih prethodnika, Gaus nije pokušao da dod e do nekog prihvatljivijeg vida ovog postulata niti da ga učini nepotrebnim time što bi ga dokazao preko drugih postulata. Umesto toga, doveo je u sumnju njegovu valjanost. Da li je moguće, zapitao se Gaus, da je prostor zapravo zakrivljen? Slika 4.1: Karl Fridrih Gaus 1 Johann Carl Friedrich Gauß ( ), nemački matematičar i naučnik 46

48 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Kada se Gaus upisao na Getingenski univerzitet, veoma se zainteresovao za problem petog postulata. Jedan od njegovih profesora, Abraham Kestner, sakupljao je iz hobija literaturu o istoriji petog postulata. Kestnerov student Georg Kligel čak je, kao doktorsku disertaciju, preduzeo analizu dvadeset osam neuspelih pokušaja da se postulat dokaže. No, ni Kestner niti bilo ko drugi nije bio pripravan da prihvati ono što je Gaus podozrevao: da je postulat možda netačan. Kestner je čak jednom prilikom primetio da bi samo ludak mogao da posumnja u valjanost postulata. Gaus je zadržao svoje mišljenje za sebe. Gaus je prvi došao, nakon dugogodišnjeg razmišljanja, do uverenja da se može izgraditi geometrija, u sebi neprotivurečna, u kojoj bi se Euklidova aksioma o paralelama zamenila hipotezom o oštrom uglu. Takvu geometriju nazvao je neeuklidska. Ta svoja shvatanja Gaus nije objavio. Do godine Gaus je uspeo da razdradi čitavu teoriju neeuklidske geometrije i 6. novembra iste godine, advokatu Taurinusi, koji se isto tako bavio matematikom, piše sledeće: Pretpostavka da je zbir uglova u trouglu manji od 180 vodi do posebne geometrije, različite od naše (euklidske), koja je sasvim celovita i koju sam ja razradio na potpuno zadovoljavajući način.... Mnoge od svojih dela Gaus nije želeo da objavi, strahujući od reakcije koju bi izazvali novi pogledi na peti Euklidov postulat, te je i Taurinusa zamolio da njegove zamisli u vezi neeuklidske geometrije ne izlaže javnosti. Njegovi radovi su pronad eni tek posle njegove smrti. 47

49 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG 4.2 Doba Lobačevskog i Boljaja Pored Gausa, teorijom paralela bavili su se i drugi istaknuti matematčari tog vremena kao što su Dalamber, Laplas 2 i Lagranž 3. Ostalo je zabeleženo da je Lagranž u kasnim godinama svoga života pripremao jednu raspravu o paralelama i da je na samom početku njenog izlaganja u Akademiji zastao i završio rečima: Moram još o tome da razmislim. Nije još mnogo vremena prošlo do konačnog rasvetljenja ovog problema. Problem paralela je rešen, ali u neskladu sa predrasudama koje su vekovima vladale. Početkom devetnaestog veka Nikolaj Lobačevski i Janoš Boljaj su nezavisno jedan od drugoga došli na ideju da peti Euklidov postulat zamene aksiomom koja bi ga negirala. Nemajući pred sobom očigledne slike koje bi poduprle njihov pogled na osnove geometrije, oni su umeli da izgrade teoriju koja je isto toliko logički valjana kao i euklidska geometrija. Oni su, kako mladi Janoš Boljaj, ističe u jednom pismu svome ocu, ni iz čega stvorili jedan sasvim novi svet. Tako je po prvi put zasnovana jedna teorija koja se nije zasnivala na očiglednosti. Iz geometrijskog sveta u kojem se u potpunosti moglo osloniti na intuiciju zasnovanu na predstavama koja ostvaruju čula, zakoračilo se u svet koji postoji izvan dohvata našeg iskustva. Iste godine 1823., kada je i Janoš Boljaj pisao svom ocu da je otkrio novu geometriju, u mestu Kazanj u Rusiji, Nikolaj Ivanovič Lobačevski istraživao je posledice narušavanja postulata o paralelama u jednom neobjavljenom udžbeniku geometrije. Lobačevskom je mentor bio Johan Bartels, u to vreme profesor na univerzitetu u Kazanju. Zajedno sa Bartelsom Volfgang Boljaj, otac Janoša Boljaja, se zanimao za neeuklidsku geometriju i pri tom vodili rasprave o toj zamisli sa matematičarom Gausom. Slika 4.2: Nikolaj Lobačevski (levo) i Janoš Boljaj (desno) 2 Pierre-Simon, Marquis de Laplace ( ), francuski matematičar i astronom 3 Joseph-Louis, comte de Lagrange ( ), francusko-italijanski matematičar 48

50 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Rezultate svojih istraživanja Lobačevski je saopštio u odeljenju fizičko - matematičkih nauka Kazanjskog univerziteta dana 23. februara godine, a rad Sažeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama, koji obeležava početak neeuklidske geometrije, publikovao je u Vesniku Kazanjskog univerziteta godine. Mad arski matematičar Janoš Boljaj je rezultate svojih istraživanja objavio godine u vidu dodatka knjige Geometrija svojeg oca Volfganga Boljaja. Stoga se taj rad u literaturi i sreće pod naslovom Apendiks, što na latinskom jeziku znači dodatak. Kako je Boljajev otac bio Gausov prijatelj, rad je poslao Gausu s molbom da da mišljenje o vrednosti rada njegovog sina. U odgovoru Gaus mu piše da se rezultati do kojih je došao mladi Boljaj podudaraju s njegovim. U tom pismu Gaus napominje da nema nameru da publikuje išta od tih svojih radova, jer smatra da većina matematičara ne bi shvatila o čemu se u njima radi. Janoš se potpuno razočarao odgovorom Gausa. Nije mogao da veruje da je Gaus i pre njega došao do otkrića neeuklidske geometrije. Čak je pomišljao da je njegov otac ranije otkrio ideje iznete u Apendiksu. Iako se kasnije uverio da je ta sumnja neopravdana, nikada nije mogao da oprosti Gausu što nije javno pohvalio vrednost njegovog rada. Nije iznenad ujuće to što zamisli Lobačevskog i Boljaja nisu za njihova života dobile priznanje koje im pripada. Samo je Gaus razumeo dubinu i dalekosežnost njihovih ideja, jer su se one podudarale sa njegovim zamislima. Zanimljivo je to što je Gaus znao za radove obojice matematičara, ali nije nijednog od njih upoznao sa rezultatima drugog. Do Boljaja je dospela jedna rasprava Geometrijsko istraživanje teorije paralela na nemačkom jeziku Nikolaja Lobačevskog, dok Lobačevski nikada nije saznao za rad Janoša Boljaja. Boljaj se začudio kako se mnoge postavke u knjizi Lobačevskog podudaraju sa njegovim rezultatima u Apendiksu, te je počeo sumnjati da je njegov rad nekako došao u ruke Lobačevskog. Sumnjao je čak da se pod imenom Lobačevskog ne krije sam Gaus. Iako se Boljaju ne mogu osporiti zasluge za otkriće neeuklidske geometrije, ipak ga ne možemo po značenju u tom poslu uporediti sa Lobačevskim. Boljaj nije u svom rešenju postigao onu celovitost, potpunost i zaokruženost koju je dao Lobačevski. Stoga se zasluge za otkriće neeuklidske geometrije danas pripisuju najviše Lobačevskom. Zbog toga novootkrivena geometrija dobija naziv po njegovom imenu - neeuklidska geometrija Lobačevskog ili hiperbolička geometrija. Dve decenije nakon otkrića hiperboličke geometrije otkrivena je još jedna neeuklidska geometrija, tj. eliptička ili Rimanova geometrija, do koje je došao matematičar Riman godine u svom radu O hipotezama koje leže u osnovi geometrije, razmatrajući tzv. polidimenzione površi. Eliptički prostor jeste prostor koji se dobija ako se pretpostavi jedno drugo narušavanje postulata o paralelama: da uopšte nema paralelnih linija, tj. da se sve linije u ravni moraju seći. Ukoliko se prisetimo izučavanja Sakerija i Lamberta vezana za dokaz V Euklidovog postulata, možemo reći da eliptička geometrija nastaje ukoliko se umesto V Euklidovog postulata pretpostavi da važi, tzv. hipoteza tupog ugla (Slika 4.3.). 4 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ), nemački matematičar 49

51 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika 4.3: Četvorougao u a) euklidskoj; b) hiperboličkoj i c) eliptičkoj geometriji 50

52 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG 4.3 Aksioma Lobačevskog U okviru apsolutne geometrije bili smo u mogućnosti da dokažemo tvrd enje prema kojem u jednoj ravni kroz tačku A van prave a postoji prava koja s pravom a nema zajedničkih tačaka. Med utim, u apsolutnoj geometriji nije moguće ustanoviti koliki je broj tih pravih. Uvod enjem aksiome prema kojoj kroz tačku A postoji samo jedna prava koja sa pravom a nema zajedničkih tačaka Plejfer je omogućio izgradnju euklidske geometrije. Polazeći od aksioma apsolutne geometrije i pretpostavke da postoje kroz tačku A dve prave koje s pravom a nemaju zajedničkih tačaka, Lobačevski je došao do potpuno nove tzv. hiperboličke geometrije. U ovom odeljku samo ćemo izložiti njenu aksiomatiku i ukazati na mogućnost njene realizacije. Aksioma Lobačevskog. Postoje prava a i tačka A van nje tako da u njima odred enoj ravni kroz tačku A prolaze dve prave a 1 i a 2 koje sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka (Slika 4.4.). Za tačku A i pravu a reći ćemo da imaju svojstvo Lobačevskog. Slika 4.4. Teoriju zasnovanu na sistemu aksioma apsolutne geometrije i aksiomi Lobačevskog nazivamo hiperboličkom geometrijom ili geometrijom Lobače-vskog. Ta geometrija se ponekad naziva i geometrijom Boljaj-Lobačevskog ili geometrijom Gaus-Boljaj- Lobačevskog. Ravan i prostor u kojima važe aksiome te geometrije nazivamo respektivno hiperboličkom ravni ili ravni Lobačevskog i hiperboličkim prostorom ili prostorom Lobačevskog, a označavamo ih redom L 2 i L 3. Aksioma Lobačevskog omogućava da neposredno ustanovimo niz teorema koje se odnose na zbirove unutrašnjih i spoljašnjih uglova prostih ravnih poligona. Sva tvrd enja koja važe u apsolutnoj geometriji prenose se, a dobija se i niz novih tvrd enja koja su posledica aksiome Lobačevskog. Teorema Ako je σ( ) zbir unutrašnjih uglova trougla u ravni L 2 i ako je R prav ugao tada je σ( ) < 2R. Dokaz. Na osnovu prve Ležandrove teoreme sledi da je σ( ) 2R. Ako bi bilo σ( ) = 2R tada bi prema trećoj Ležandrovoj teoremi za svaku pravu p i svaku tačku A van nje u njima odred enoj ravni postojala jedinstvena prava a koja sadrži 51

53 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG tačku A i sa pravom p nema zajedničkih tačaka. Ovo je u suprotnosti sa aksiomom Lobačevskog, te mora da važi da je σ( ) < 2R. Teorema Svaki spoljašnji ugao trougla u ravni L 2 veći je od zbira dva unutrašnja nesusedna ugla tog trougla. Dokaz. Slika 4.5. Neka su α, β i γ uglovi trougla ABC redom kod temena A, B i C (Slika 4.5.). Ako označimo sa α 1 spoljašnji ugao kod temena A i ako je R prav ugao, tada je a ovo je trebalo pokazati. α 1 = 2R α > α + β + γ α = β + γ, Teorema Ako je σ(a 1 A 2... A n ) zbir svih unutrašnjih uglova prostog n-tougla A 1 A 2... A n u ravni L 2 i R prav ugao tada je σ(a 1 A 2... A n ) < (n 2) 2R Dokaz. Teoremu ćemo dokazati primenom matematičke indukcije po broju temena n-tougla. Za n=3 tvrd enje očigledno važi na osnovu Teoreme Pretpostavimo da tvrd enje važi za prirodan broj n. Dokazaćemo da isto važi i za n + 1. Na osnovu induktivne pretpostavke imamo sledeće σ(a 1 A 2... A n A n+1 ) = σ(a 1 A 2... A n ) + σ(a 1 A n A n+1 ) < (n 2)2R + 2R = ((n + 1) 2)2R. Teorema Ako su u hiperboličkoj ravni dati prava a i tačka A van nje tada u njima odred enoj ravni postoji neograničeno mnogo pravih koje sadrže tačku A i ne seku pravu a. 52

54 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika 4.6. Dokaz. Na osnovu aksiome Lobačevskog postoje dve prave a 1 i a 2 takve da sadrže tačku A i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka. Označimo sa A 2 tačku prave a 2 (Slika 4.6.) koja se nalazi sa one strane prave a 1 sa koje nije prava a, a sa B proizvoljnu tačku prave a. Tada se tačke A 2 i B nalaze sa raznih strana prave a 1, pa duž A 2 B seče pravu a 1 u tački A 1. Tada je tačka A 1 izmed u tačaka A 2 B, pa su prema tome A 1 i A 2 različite tačke. Neka je P proizvoljna unutrašnja tačka duži A 1 A 2, a p prava odred ena tačkama A i P. Tada prava p nema zajedničkih tačaka sa pravom a. Zaista, ukoliko bi se ove dve prave sekle u nekoj tački S, tada bi važio jedan od rasporeda B(A, P, S) ili B(S, A, P ). Ako bi bilo B(A, P, S), onda bi prava a 1 pripadala ravni trougla P BS. Prava a 1 tada ne bi sadržala ni jedno teme trougla P BS, sekla bi stranicu P B u tački A 1 i produžetak stranice P S u tački A. Na osnovu Pašovog stava sledi da prava a 1 mora seći stranicu BS tog trougla, odnosno pravu a. Ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom, odakle sledi da prava p nema zajedničkih tačaka sa pravom a. Analogno se pokazuje da isto važi i u slučaju kada je B(S, A, P ). S obzirom na činjenicu da na duži A 1 A 2 postoji beskonačno mnogo unutrašnjih tačaka to postoji i beskonačno mnogo pravih u ravni odred enoj tačkom A i pravom a, koje prolaze kroz tačku A i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka. Na osnovu prethodne teoreme zaključujemo da se skup svih pravih koje sadrže tačku A i koje se nalaze u ravni L 2 može razložiti na dva podskupa pravih M i N, pri čemu je M skup svih pravih koje sadrže tačku A i seku pravu a, a N skup svih pravih koje sadrže tačku A i ne seku pravu a. Ovakvo razlaganje zadovoljava uslove Dedekindovog 5 preseka, odnosno Dedekindove aksiome neprekidnosti 6, te postoje dve i samo dve prave koje razdvajaju skupove M i N. Indirektnim putem se može 5 Julius Wilhem Richard Dedekind ( ), nemački matemtičar 6 (Dedekindova aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dva neprazna skupa tačaka orijentisane prave p tako da za proizvoljnu tačku P skupa M i proizvoljnu tačku Q skupa N važi da je tačka P ispred tačke Q (P Q), tada na pravoj p postoji tačka X takva da je za svaku tačku P M\ {X} i Q N \ {X} važi relacija P X Q. 53

55 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG ustanoviti da granične prave ova dva skupa pravih nemaju sa pravom a zajedničkih tačaka, tj. da pripadaju skupu N. Definicija Neka je u ravni Lobačevskog data prava a i tačka A izvan nje. Granične prave a 1 i a 2 koje razdvajaju pramen pravih ravni L 2 koje sadrže tačku A na podskupove pravih koje ne seku pravu a i pravih koje seku pravu a, nazivamo pravama koje su paralelne sa pravom a u tački A. Smatraćemo da je jedna od pravih a 1 i a 2 parlalelna pravoj a u jednom smeru, a druga paralelna pravoj a u drugom smeru. Sve ostale prave u toj ravni koje sadrže tačku A i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka nazivamo hiperparalelnim pravama sa pravom a. Za paralelnost koristimo uobičajenu oznaku p a, a za hiperparalelnost koristimo oznaku p a. U hiperboličkoj geometriji paralelne prave h karakterišu neke osobine koje ih bitno razlikuju od euklidske geometrije. 54

56 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG 4.4 Ugao paralelnosti. Funkcija Lobačevskog Jedna bitna karakteristika paralelnih pravih u geometriji Lobačevskog je ugao paralelnosti. U ovom delu ćemo definisati ugao paralelnosti dveju pravih, a zatim uvesti funkciju Lobačevskog. Definicija Neka je tačka P izvan prave BB i Q podnožje normale iz tačke P na pravu BB. Ako je AA prava koja sadrži tačku P i paralelna je sa BB, tada oštar ugao ω = QP A nazivamo uglom paralelnosti prave AA u tački P sa pravom BB, tj. uglom paralelnosti koji odgovara duži P Q. Slika 4.7. Pokazaćemo da je ugao paralelnosti potpuno odred en rastojanjem tačke, tj. da važi sledeća teorema: Teorema Jednakim dužima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti. Dokaz. Neka su P i P dve tačke koje se nalaze na jednakim rastojanjima redom od pravih a i a (Slika 4.8.). Kroz tačku P postavimo pravu u paralelnu pravoj a, a kroz tačku P pravu u paralelnu pravoj a. Sa Q i Q označimo redom podnožja normala iz tačaka P i P na prave a i a, a sa α i α uglove paralelnosti u tačkama P i P redom u odnosu na prave a i a. Kako se tačke P i P nalaze na jednakim rastojanjima redom od pravih a i a, to je P Q = P Q. Pokazaćemo da je α = α. Pretpostavimo suprotno, da je α α. Neka je npr. α < α. Kroz tačku P postavimo pravu v koja sa duži P Q u smeru paralelnosti pravih a i u zaklapa ugao jednak uglu α. Iz paralelnosti pravih u i a sledi da prava v mora seći pravu a u smeru paralelnosti pravih u i a od tačke Q. Označimo sa R njihovu presečnu tačku. Neka je R tačka prave a u smeru paralelnosti pravih a i u takva da je QR = Q R. Trouglovi P QR i P Q R su podudarni na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova, jer je P Q = P Q, Q = Q i QR = Q R, odakle sledi da je QP R = α. To znači da se prave u i P R poklapaju, tj. da se paralelne prave u i a seku u tački R, a to je nemoguće. Dakle, ne može biti α < α. Analogno se pokazuje da ne može biti α > α. To znači da mora biti α = α, čime je dokaz završen. 55

57 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika 4.8. Teorema Ugao paralelnosti je uvek oštar. Dokaz. Slika 4.9. U ovo je lako uveriti se, ukoliko u tački A konstruišemo normalu AR na duž AB (Slika 4.9.). Prave AR i CC grade jednake suprotne uglove sa duži AB, pa su med usobno hiperparalelne 7 i samim tim se ne seku. Neka je AP poluprava paralelna pravoj CC u smeru BC. Očigledno je da poluprava AP ne može biti iznad poluprave AR, jer tada ne bi bila prva poluprava koja ne seče pravu CC. Teorema Većoj duži odgovara manji ugao paralelnosti. Dokaz. Neka je A proizvoljna tačka van prave a i neka je P podnožje normale iz tačke A na pravu a (Slika 4.10.). Označimo sa b pravu koja sadrži tačku A i paralelna je pravoj a. Sa α označimo ugao paralelnosti koji odgovara duži AP. Neka je A tačka prave AP takva da su A i A sa iste strane u odnosu na tačku P. 7 Teorema Dve prave koje u preseku sa trećom pravom grade jednake suprotne uglove su hiperparalelne. (Dokaz ove teoreme uslediće nešto kasnije u radu) 56

58 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika Pretpostavimo da je P A > P A. Konstruišimo pravu b koja prolazi kroz tačku A i u smeru paralelnosti pravih a i b gradi ugao α sa A P. Dve prave b i b grade jednake suprotne uglove u preseku sa pravom A P, pa su prave b i b hiperparalelne 8. To znači da prava a koja sadrži tačku A i paralelna je pravoj b gradi u smeru paralelnosti ugao α za koji je α < α. Iz a b i b a sledi da je a a. Dakle, ugao paralelnosti α koji odgovara duži A P je manji od ugla paralelnosti α koji odgovara duži AP. Iz napred navedenog zaključujemo da veličina ugla paralelnosti neke prave AA u tački P sa pravom BB u proizvoljnom sistemu merenja duži predstavlja funkciju odstojanja x tačke P od prave BB. Ovu funkciju obeležavamo sa Π i nazivamo funkcijom Lobačevskog. Sledeća teorema daje osnovne osobine funkcije Lobačevskog: Teorema Ako je Π funkcija Lobačevskog tada je: 1. dom(π) = (0, + ), 2. codom(π) = (0, π 2 ), 3. Π strogo opada i neprekidna je funkcija, 4. lim Π(x) = π, lim Π(x) = 0. x 0 2 x Dokaz. 1. Trivijalno sledi iz definicije. 2. Neka je α proizvoljan oštar ugao. Dokazaćemo da je ono ugao paralelnosti neke duži x (Slika 4.11.). Neka je O teme, a a i b kraci ugla α. Odatle sledi da postoji jedinstvena prava a 9 normalna na pravu b i paralelna sa pravom a. Označimo sa M presek pravih a i b. Duž OM zadovoljava relaciju Π(OM) = α. Biće, dakle, x = OM i ovim je dokaz završen. 8 Teorema Dve prave koje u preseku sa trećom pravom grade jednake suprotne uglove su hiperparalelne. 9 Teorema Ako je ω oštar ugao u ravni L 2 tada postoji jedinstvena prava upravna na jedan krak, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. (Dokaz ove teoreme izložićemo nešto kasnije u ovom radu) 57

59 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika Direktno sledi iz teoreme Sledi iz delova 2. i 3. ove teoreme. Iz same činjenice da Π(x) π, kad x 0 sledi da se u malim delovima prostora 2 geometrija Lobačevskog malo razlikuje od Euklidske geometrije i da se ta razlika smanjuje sa smanjivanjem posmatranog dela prostora. Veza izmed u uglova i linearnih veličina data funkcijom α = Π(x) uslovljava celokupni karakter geometrije Lobačevskog. Na taj način u geometriji Lobačevskog nema sličnih figura. To nije teško zaključiti, jer su uglovi i stranice trouglova povezani med usobno jednačinama, pa zadavanjem uglova trouglova potpuno su odred ene i njegove stranice, pa dva trougla sa podudarnim uglovima imaju podudarne i odgovarajuće stranice, tj. podudarni su med u sobom. 58

60 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG 4.5 Paralelne prave u ravni L 2 Definicijom uvedena je relacija paralenosti dve prave u ravni L 2 koja je bila strogo vezana za paralelnost jedne prave prema drugoj pravoj u odnosu na zadatu tačku. Pokazaćemo da paralelnost ne zavisi od tačke u odnosu na koju smo tu paralelnost definisali, tj. pokazaćemo da je svojstvo paralelnosti transmisibilno, odnosno prenosno. Teorema Relacija paralelnosti pravih u ravni L 2 je transmisibilna. Dokaz. Neka je prava AA paralelna pravoj BB u nekoj tački M. Pokazaćemo da je prava AA paralelna pravoj BB u proizvoljnoj tački N prave AA. Mogu nastupiti dve mogućnosti: (i) Tačka N se nalazi na pravoj AA od tačke M u smeru paralelnosti, (ii) Tačka N se nalazi na pravoj AA od tačke M u smeru suprotnom od smera paralelnosti. Razmotrimo ponaosob svaki od ova dva slučaja. Slika (i) Neka je K proizvoljna tačka prave BB (Slika 4.12.). Da bismo pokazali da je prava AA paralelna pravoj BB u tački N dovoljno je da pokažemo da je AA granična prava u skupu pravih koje sadrže tačku N i ne seku pravu BB, odnosno dovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrži tačku N i proizvoljnu tačku P unutar ugla KNA seče pravu BB. Ako bi se tačka P nalazila na pravoj BB ili sa one strane prave BB sa koje nije tačka N, direktno bi sledilo da prava NP seče pravu BB. Zato pretpostavimo da se tačka P nalazi sa one strane prave BB sa koje je i tačka N. Kako je prava AA paralelna pravoj BB u tački M, a tačka P se nalazi unutar ugla KMA, to prava MP seče pravu BB u nekoj tački Q. Prava NP u uglu KNM nema tačaka, te ne može seći stranicu MK trougla MKQ. Pored toga, i s obzirom da se nalazi u ravni trougla MKQ i ne sadrži nijedno njegovo teme, prava NP seče stranicu MQ tog trougla, pa na osnovu Pašovog stava ona mora seći stranicu KQ, te seče i 59

61 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG pravu BB. To znači da je u ovom slučaju prava AA paralelna pravoj BB u tački N. Slika (ii) Neka se sada tačka N nalazi na pravoj AA od tačke M u smeru suprotnom od smera paralelnosti (Slika 4.13.). Neka je K proizvoljna tačka prave BB. Da bismo pokazali da je AA BB u tački N dovoljno je pokazati da je AA granična prava u skupu pravih koje sadrže tačku N i ne seku pravu BB, odnosno dovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrži tačku N i neku tačku P unutar ugla KNA seče pravu BB. Ukoliko se tačka P nalazi na pravoj BB ili s one strane prave BB sa koje nije tačka N, tada očigledno prava NP seče pravu BB. Zato pretpostavimo da se tačka P nalazi sa one strane prave BB sa koje je i tačka N. Neka je R proizvoljna tačka prave NP iza tačke N u odnosu na tačku P. Prava RM sadrži tačku R koja se nalazi u naporednom uglu ugla KMA, te ona sadrži i tačku koja pripada drugom naporednom uglu ugla KMA. Prema tome, kako je AA BB u tački M, to prava RM seče pravu BB u nekoj tački Q. Prava NP sadrži teme konveksnog ugla KNM i tačku P unutar tog ugla, te seče duž KM u nekoj tački S. Dakle, prava NP se nalazi u ravni trougla MKQ, ne sadrži nijedno njegovo teme, seče njegovu stranicu KM u tački S i produžetak stranice MQ u tački R, pa prema Pašovom stavu mora seći treću stranicu KQ tog trougla, tj. pravu BB. Ovim je pokazano da je AA BB u tački N. Na osnovu ove teoreme sledi da nije potrebno naglašavati u kojoj je tački prava AA paralelna pravoj BB. Teorema Relacija paralelnosti definisana na skupu pravih u ravni L 2 je relacija ekvivalencije. Dokaz. REFLEKSIVNOST: Ako u definisanju paralelnosti pravih u ravni L 2 dopustimo da tačka A pripada pravoj a, tada u tački A neće postojati hiperparalelne prave, a prave a 1 i a 2 će se poklapati i biti suprotnosmerne. Odatle neposredno sledi da je relacija paralelnosti pravih u ravni L 2 refleksivna. 60

62 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika SIMETRIČNOST: Neka je AA BB (Slika 4.14.), pokazaćemo da je i BB AA. Neka je M proizvoljna tačka prave AA, a N podnožje normale iz tačke M na pravu BB. Kako je AA BB to svaka prava koja sadrži tačku M i neku tačku unutar ugla NMA seče pravu BB. Da bismo dokazali da je BB AA dovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrži tačku N i neku tačku P unutar ugla MNB seče pravu AA. Označimo sa Q podnožje normale iz tačke M na pravu NP. Kako je ugao MNB prav, a tačka P unutar tog ugla, to je ugao MNP oštar, pa se tačka Q nalazi na polupravoj NP. Trougao NQM je pravougli sa pravim uglom kod temena Q, pa je hipotenuza MN tog trougla veća od katete MQ, tj. MN > MQ. To znači da izmed u tačaka M i N postoji tačka K takva da je MQ = MK. Neka je CC prava koja je u tački K normalna na pravu MN. Neka je ML prava koja je simetrična pravoj MQ u odnosu na simetralu ugla NMA. Kako prava MQ sadrži tačku Q koja se nalazi unutar ugla NMA, to će i njoj simetrična prava ML sadržati tačku unutar ugla NMA. S obzirom da je prava AA paralelna pravoj BB to prava ML seče pravu BB u nekoj tački L. Tačke M i L se nalaze sa raznih strana prave CC, pa duž ML mora seći pravu CC u nekoj tački S. Na pravoj AA označimo sa T tačku za koju važi B(M, T, A ) i MT = MS. Trouglovi MKS i MQT su podudarni na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova, jer važi MK = MQ, MS = MT i KMS = QMT. Iz njihove podudarnosti sledi podudarnost preostalih odgovarajućih elemenata, tj. SKM = T QM, a kako je SKM = R, to sledi da je i T QM = R, tj T Q MQ. Kako u jednoj tački neke prave postoji samo jedna prava koja je u toj tački upravna na datu pravu, to se prave NP i QT moraju poklapati. To znači da prava NP NQ seče pravu AA u tački T. Ovim smo pokazali da je BB AA u nekoj tački N, pa je BB paralelna pravoj AA i u svakoj drugoj tački. Dakle, važi simetričnost relacije paralelnosti pravih u L 2. TRANZITIVNOST Pretpostavimo da je AA BB i BB CC i pokazaćemo da je AA CC. Ovde se govori o paralelnosti u istom smeru, jer za različite smerove tranzitivnost ne važi. Razmatraćemo dva slučaja: 61

63 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG i) Prava BB se nalazi izmed u pravih AA i CC, ii) Jedna od pravih AA i CC se nalazi izmed u druge dve. Slika i) Neka se prava BB nalazi izmed u pravih AA i CC (Slika 4.15.). Sa P i R označimo proizvoljne tačke redom pravih AA i CC. Kako se prava BB nalazi izmed u pravih AA i CC to duž P R seče pravu CC u nekoj tački Q. Da bismo pokazali da je AA CC dovoljno je dokazati da svaka prava koja sadrži tačku P i neku tačku X unutar ugla RP A seče pravu CC. Tačka X se nalazi u unutrašnjosti ugla RP A, pa se ona nalazi i u unutrašnjosti ugla QP A, a kako je AA BB to prava P X seče pravu BB u nekoj tački Y. Neka je Z tačka prave P X iza tačke Y u odnosu na tačku P. Prema tome, tačka Z se nalazi unutar ugla RY B. Kako je BB CC to prava Y Z seče pravu CC u tački V, te i prava P X seče pravu CC. Time smo pokazali da u ovom slučaju važi tranzitivnost relacije paralelnosti. Slika ii) Neka je sada jedna od pravih AA i CC izmed u druge dve prave (Slika 4.16.). Neka je to prava CC. Označimo sa P i Q proizvoljne tačke redom pravih AA i BB. Prema tome tačke P i Q su sa raznih strana prave CC, pa duž P Q seče pravu CC u nekoj tački R. Da bismo pokazali da je AA CC dovoljno je dokazati da 62

64 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG svaka prava koja sadrži tačku P i neku tačku X unutar ugla RP A mora seći pravu CC. Tačka X se nalazi u uglu RP A, pa se nalazi i u uglu QP A. Kako je AA BB sledi da P X seče BB u tački Y. Tačke P i Y se nalaze sa raznih strana prave CC, pa duž P Y seče pravu CC u tački Z. Dakle, AA CC. Teorema Unutar svakog ugla manjeg od 2R postoji jedna i samo jedna prava koja je paralelna sa kracima tog ugla u odred enim smerovima. Ta prava naziva se granična prava. Dokaz. Slika Neka je dat ugao AOB < 2R. Označimo sa OD simetralu ugla AOB (Slika 4.17.). Neka uglu paralelnosti AOD odgovara duž OC. Konstruišimo normalu P Q u tački C na pravu OD. Pri tom je CP OA i CQ OB. Očigledno je prava P Q tražena prava, tj. granična prava ugla AOB. Da bismo pokazali jedinstvenost te prave, pretpostavićemo suprotno. Neka postoji još jedna granična prava P 1 Q 1 ili P 2 Q 2 kao na Slici Kako je relacija paralelnosti pravih u L 2 tranzitivna iz Q 1 P 1 OA i QP OA sledi da je Q 1 P 1 QP. Med utim, to je nemoguće, jer su prave Q 1 P 1 i QP normalne na pravu OD, tj. sa njom grade jednake suprotne uglove 10. Kao takve ove dve prave su med usobno hiperparalelne. Dakle, postoji jedinstvena granična prava ugla AOB. Iz upravo dokazane teoreme možemo zaključiti da se kroz tačku M unutar ugla AOB < 2R koja je od temena ugla O odvojena graničnom pravom ne može povući 10 Teorema. Dve prave koje u preseku sa trećom pravom grade jednake suprotne uglove su hiperparalelne. 63

65 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG prava koja bi sekla oba kraka tog ugla. Iz toga vidimo da teorema koja kaže da kroz svaku tačku unutar ugla manjeg od 2R prolazi prava koja seče oba kraka tog ugla protivureči aksiomi Lobačevskog. Ona važi samo u euklidskoj geometriji, pa je ekvivalentna V postulatu. Uz pomoć prethodne teoreme lako je pokazati sledeću: Teorema Postoji jedna i samo jedna prava koja je paralelna svakoj od dveju pravih koje se razilaze (koje se udaljavaju jedna od druge). Dokaz. Slika Neka su date prave OA i O 1 B 1 koje se razilaze (Slika 4.18.). U tački O konstruišimo pravu OB koja je paralelna sa pravom O 1 B 1. Za ugao AOB na osnovu prethodne teoreme postoji granična prava P Q. Budući da je ona paralelna sa OA i OB u odgovarajućim smerovima, ona je paralelna i sa O 1 B 1, jer je OB O 1 B 1. Lako je dokazati na osnovu onoga što već znamo da je to jedina prava koja je paralelna sa pravama OA i O 1 B 1. Poznato nam je iz euklidske geometrije da je rastojanje izmed u dve paralelne prave konstantno. Osim toga za različite parove paralelnih pravih i to rastojanje je različito. Zbog toga se parovi paralelnih pravih a, b i a, b ne mogu dovesti do poklapanja. Med utim, za paralelne prave u ravni Lobačevskog važi sledeće: Teorema Svaki par paralelnih pravih može se dovesti do poklapanja s proizvoljnim parom paralelnih pravih. Drugim rečima, svi su likovi koji se sastoje od dveju paralela med usobno podudarni. Dokaz. Neka su data dva para paralelnih pravih AP BQ i A 1 P 1 B 1 Q 1 (Slika 4.19.). Na osnovu Teoreme 4.5.3, može se prava AP smatrati graničnom pravom 64

66 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika pravog ugla QSR, što znači da na pravoj BQ postoji neka odred ena i to samo jedna tačka S, tako da je poluprava SR koja je upravna na polupravu SQ, bude paralelna sa pravom AP u smeru suprotnom od smera paralelnosti prave AP i SQ. Drugim rečima, svakako postoji takva tačka S na pravoj BQ da prava AP bude paralelna sa polupravom SQ, ali da isto tako bude paralelna i sa polupravom SR, i to sa svakom od njih u odred enom smeru. Isto će važiti i za drugi par paralelnih pravih A 1 P 1 i B 1 Q 1. Na pravoj B 1 Q 1 postojaće tačka S 1 tako da A 1 P 1 bude granična prava ugla Q 1 S 1 R 1. Poklopimo oba dobijena lika tako da se tačke S i S 1 poklope, poluprava SR padne na polupravu S 1 R 1, a SQ na S 1 Q 1. To je moguće, jer su uglovi QSR i Q 1 S 1 R 1 pravi, tj. podudarni. No, tada će se poklopiti i prave AP i A 1 P 1, jer su to granične prave tih pravih uglova, a na osnovu Teoreme unutar svakog ugla manjeg od 2R, pa prema tome i pravog, postoji jedna i samo jedna granična prava. Definicija Skup svih pravih ravni L 2 paralelnih med u sobom nazivamo paraboličkim pramenom pravih. Teorema Odstojanje tačke koja se pomera po jednoj od dveju med usobno paralelnih pravih od druge prave strogo i neograničeno opada kada se tačka pomera u smeru paralelnosti, a strogo i neograničeno raste kada se tačka pomera u smeru suprotnom od smera paralelnosti. Dokaz. Neka su AA i BB dve razne med usobno paralelne prave u ravni L 2. Označimo sa P 1 i P 2 (Slika 4.20.) dve proizvoljne različite tačke prave AA, pri čemu se tačka P 2 nalazi na pravoj AA od tačke P 1 u smeru paralelnosti prave AA prema pravoj BB. Neka su Q 1 i Q 2 podnožja normala redom iz tačaka P 1 i P 2 na pravu BB. Neka je P 1 tačka prave P 1 Q 1 takva da je Q 1 P 1 = Q 2 P 2 i ib(q 1, P 1, P 1 ). Četvorougao Q 1 Q 2 P 2 P 1 je Sakerijev jer ima dva susedna prava ugla P 1Q 1 Q 2 i P 2 Q 2 Q 1, kao i dve podudarne naspramne stranice P 1Q 1 i P 2 Q 2. Odatle sledi da su mu uglovi Q 1 P 1P 2 i P 1P 2 Q 2 na protivosnovici P 1P 2 podudarni i oštri. Ugao P 1 P 2 Q 2 je tup, jer je njemu naporedan ugao oštar, kao ugao paralelnosti za duž P 2 Q 2. To znači da tačka P 1 pripada unutrašnjosti ugla P 1 P 2 Q 2, pa samim tim i 65

67 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG unutrašnjosti duži P 1 Q 1. Imamo da je Q 2 P 2 = Q1 P 1 < Q 1 P 1. Dakle, ukoliko se neka tačka kreće po pravoj AA u smeru paralelnosti prave AA prema pravoj BB, rastojanje te tačke od prave BB opada. Slika Sada ćemo pokazati da se to rastojanje smanjuje neograničeno. To ćemo učiniti tako što ćemo dokazati da za svaku unapred zadatu duž l postoji tačka prave AA čije je rastojanje od prave BB manje od l. Neka je J proizvoljna tačka prave AA (Slika 4.21.) i K podnožje normale iz te tačke na pravu BB. Označimo sa L tačku poluprave KJ takvu da je KL = l. Ukoliko je J L ili ukoliko je L iza J u odnosu na tačku K tada je dokaz završen. Zato pretpostavimo da se tačka L nalazi izmed u tačaka K i J. Tačka L se nalazi van prave BB te postoje dve prave koje sadrže tačku L, a paralelne su sa BB i B B. Slika Neka je LL BB i LL B B. Kako je AA BB i BB LL, to na osnovu tranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u L 2 sledi da je AA LL. Prava LL ima tačaka koje su u uglu JLL, pa ona seče pravu AA u tački M. Označimo sa L 1 66

68 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG tačku prave MA takvu da je ML = ML 1. Sa N i K 1 označimo redom podnožja normala redom iz tačaka M i L 1 na pravu BB. Kako su NML i NML 1 uglovi paralelnosti duži MN to su oni jednaki, tj. NML = NML 1, a kako je pored toga MN MN i ML = ML 1 biće LMN = L 1 MN. Iz podudarnosti ova dva trougla sledi da je LN = L 1 N i MNL = MNL 1, pa su i njima komplementni uglovi med usobno jednaki, tj. KNL = K 1 NL 1. Sada je KNL = K 1 NL 1 na osnovu petog stava podudarnosti trouglova 11, pa je LK = L 1 K 1, a s obzirom da je LK = l to je i L 1 K 1 = l. Na osnovu toga na pravoj AA postoji tačka L 1 čije je rastojanje od prave BB jednako datoj duži l. Odavde prema dokazanom delu teoreme sledi da postoji tačka na pravoj AA čije je rastojanje od prave BB manje od unapred zadate duži l. Prema tome, zaključujemo da kada se tačka P kreće po pravoj AA u smeru paralelnosti sa pravom BB tada se njeno rastojanje od BB neograničeno smanjuje. Slučaj kada se tačka P kreće po pravoj AA u smeru suprotnom od smera paralelnosti prema pravoj BB dokazuje se analogno. Prema tome, na svakoj od dve med usobno paralelne prave postoji tačka čije je rastojanje od druge prave podudarno unapred zadatoj duži, a isto tako i tačka čije je rastojanje od druge prave manje od unapred zadate duži. Zbog toga kažemo da se paralelne prave u smeru paralelnosti asimptotski približavaju, tj. da u smeru paralelnosti imaju zajedničku beskrajno daleku tačku O. Kako za svaku tačku van date prave u njima odred enoj ravni postoje dve prave koje su sa njom paralelne, jedna u jednom, a druga u drugom smeru, hiperbolička prava ima dve beskrajno daleke tačke. Teorema Ako je ω oštar ugao u ravni L 2 tada postoji jedinstvena prava upravna na jedan krak, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. Dokaz. Neka su poluprave a i b kraci oštrog ugla ω. Pokazaćemo da postoji jedinstvena prava koja je upravna na krak a i paralelna sa krakom b. Pokažimo najpre da postoji prava koja je normalna na krak a koja sa krakom b nema zajedničkih tačaka, te ćemo pokazati i jedinstvenost takve prave. Pretpostavimo suprotno, da svaka prava koja je upravna na krak a ugla ω seče drugi krak b tog ugla. Neka je A proizvoljna tačka poluprave a (Slika 4.22.) i A 1, A 2,..., A n,... tačke poluprave a takve da je: B(A 1, A 2,..., A n,...) i OA = AA 1, A 1 A 2 = OA 1,... Sve normale na polupravu a u tačkama A 1, A 2,..., A n,... prema pretpostavci moraju seći polupravu b u nekim tačkama B 1, B 2,..., B n,... redom. Kako je zbir unutrašnjih uglova proizvoljnog trougla u L 2 manji od 2R to je defekt δ( ) = 2R σ( ) veći od nule. Ako je neki trougao razložen na neke trouglove i 11 Peti stav podudarnosti trouglova. Dva trougla su podudarna ako i samo ako su jedna stranica, na njoj nalegli ugao i ugao naspram nje jednog trougla podudarni odgovarajućoj stranici i uglovima drugog trougla. 67

69 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Slika (i = 1, 2,..., n) tada je defekt tog trougla jednak: δ( ) = n δ( i ). i=1 Posmatrajmo trouglove OA 1 B 1, OA 2 B 2,..., OA n B n,.... Tada je: δ(oa 1 B 1 ) = δ(oab) + δ(a 1 AB) + δ(ba 1 B 1 ) = 2δ(OAB) + δ(ba 1 B 1 ) δ(oa 1 B 1 ) > 2δ(OAB), δ(oa 2 B 2 ) = δ(oa 1 B 1 ) + δ(a 2 A 1 B) + δ(b 1 A 2 B 2 ). = 2δ(OA 1 B 1 ) + δ(b 1 A 2 B 2 ) δ(oa 2 B 2 ) > 2 2 δ(oab), Nakon n koraka dobićemo δ(oa n B n ) > 2 n δ(oab). Broj n možemo izabrati dovoljno veliki tako da ugao 2 n δ(oab) bude veći od bilo kog unapred zadatog ugla, pa i od zbira dva prava ugla. Odatle bi sledilo da je δ(oa n B n ) > 2R, a to je u geometriji Lobačevskog nemoguće. Dakle, polazna pretpostavka je nemoguća, te ne mogu sve prave upravne na polupravu a seći polupravu b. Prema tome, skup tačaka poluprave a možemo podeliti na dva podskupa M i N, gde je sa M označen skup tačaka poluprave a u kojima normala na polupravu a seče polupravu b, a sa N skup tačaka poluprave a u kojima normala na polupravu a ne seče polupravu b. Ovako definisani skupovi M i N zadovoljavaju uslove Dedekindovog preseka, tj. Dedekindove aksiome neprekidnosti, što ćemo sada i pokazati. Treba pokazati da je: 68

70 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG ( M M)( M ) B(O, M, M) M M ( N N )( N ) B(O, N, N ) N N. Ako je M M tada normala u tački M na polupravu a seče polupravu b u nekoj tački K. Prava m normalna na polupravu a u nekoj tački M takvoj da je B(O, M, M) pripada ravni trougla OMK ne sadrži nijedno njegovo teme, seče stranicu OM u tački M, ne seče stranicu MK, jer su prave m i MK upravne na polupravu a, pa ukoliko bi se sekle dobili bismo trougao sa dva prava ugla, a to je u geometriji Lobačevskog nemoguće. Na osnovu Pašovog stava sledi da prava m mora seći stranicu OK trougla OMK, pa samim tim i polupravu b u nekoj tački K. Dakle, tačka M pripada skupu M. Ako je N N i N tačka poluprave a takva da je B(O, N, N ). Pokazaćemo da je N N. Ukoliko bi tačka N pripadala skupu M onda bi prema prethodno dokazanom tačka N koja je izmed u tačaka O i N pripadala skupu M. Dakle, mora biti N N. Iz dokazanog sledi da skupovi M i N zadovoljavaju uslove Dedekindovog preseka, pa postoji jedinstvena tačka P koja razdvaja ova dva skupa. Nije teško ustanoviti da tačka P pripada skupu N. Zaista, ukoliko bi P M tada bi normala u tački P na polupravu a sekla polupravu b u nekoj tački Q. Ako bi Q bila proizvoljna tačka poluprave b iza tačke Q u odnosu na O, tada bi podnožje normale iz tačke Q na polupravu a, tačka P bila iza tačke P u odnosu na O, što je nemoguće, jer je tačka P granična tačka koja razdvaja skupove M i N. Dakle, P N i normala u P na poluparvu a ne seče poluparvu b. Slika Pokažimo sada da je normala P Q u tački P na polupravu a paralelna pravoj b (Slika 4.23.). To ćemo pokazati tako što ćemo da ustanovimo da svaka prava koja sadrži tačku P i neku tačku X unutar ugla OP Q seče polupravu b. Kako je OP Q prav ugao, a X unutar tog ugla to će OP X biti oštar. Dakle, podnožje normale iz tačke X na pravu OP pripada polupravoj P O. Ako bi tačka X bila sa one strane prave b sa koje nije tačka P ili na pravoj b onda bi neposredno sledilo da poluprava P X seče polupravu b. Ukoliko se tačka X nalazi sa one strane sa koje je i tačka P 69

71 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG tada je ugao XOP oštar, pa podnožje normale iz tačke X na polupravu OP sadrži tačku Y koja se nalazi izmed u tačka O i P. Kako se tačka Y nalazi izmed u tačaka O i P to Y M, pa poluprava XY seče polupravu b u tački Z. Prava P X je u ravni trougla OY Z, ne sadrži nijedno njegovo teme, seče stranicu Y Z u tački X, seče produžetak stranice OY u tački P, pa prema Pašovom stavu sledi da prava P X seče OZ, a samim tim i polupravu b u nekoj tački V. Prema tome P Q OZ, tj. P Q b. Time smo dokazali egzistenciju prave normalne na pravu a i paralelne sa pravom b. Slika Dokažimo sada jedinstvenost te prave. Pretpostavimo suprotno, da postoje dve prave c i d upravne na krak a i paralelne sa b (Slika 4.24.). Iz tranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u ravni L 2 sledi da je c d, ali je c d, jer prave c i d sa pravom h a grade jednake suprotne uglove 12. Dakle, postoji jedinstvena prava koja je upravna na jedan krak oštrog ugla, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. Teorema Odstojanje tačke koja se nalazi na jednom kraku oštrog ugla od drugog kraka neograničeno raste pri neograničenom udaljavanju te tačke od temena tog ugla. Dokaz. Neka je poq dat oštar ugao (Slika 4.25.). Označimo sa Q 1 i Q 2 proizvoljne tačke poluprave Oq takve da je B(O, Q 1, Q 2 ), a sa P 1 i P 2 podnožja normala iz tačaka Q 1 i Q 2 na polupravu Op. Kako je poq oštar to tačke P 1 i P 2 pripradaju polupravoj Op. Ugao OQ 1 P 1 je oštar, jer ukoliko bi on bio veći ili jednak od R, tada bi zbir uglova u trouglu OQ 1 P 1 bio veći od zbira dva prava ugla, a to je u geometriji Lobačevskog nemoguće. S obzirom da je ugao OQ 1 P 1 oštar to je njegov naporedni ugao Q 2 Q 1 P 1 tup. Neka je Q 2 tačka poluprave P 2 Q 2 takva da je P 2 Q 2 = P 1 Q 1. Četvorougao P 1 P 2 Q 2Q 1 je u tom slučaju Sakerijev, pa su uglovi na protivosnovici Q 1 Q 2 jednaki i oštri. Tada se poluprava Q 1 Q 2 nalazi u uglu P 1 Q 1 Q 2, pa je tačka 12 Teorema Dve prave koje u preseku sa trećom pravom grade jednake suprotne uglove su hiperparalelne. 70

72 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG Q 2 unutrašnja tačka duži P 2 Q 2. Dakle, P 1 Q 1 = P 2 Q 2 < P 2 Q 2. Prema tome, kada se neka tačka kreće po polupravoj Oq udaljavajući se od temena tog ugla, tačke O, njeno odstojanje od poluprave Op se povećava. Slika Dokažimo sada da to odstojanje neograničeno raste. Na osnovu prethodne teoreme postoji jedinstvena prava XY upravna na poluparvu Op i paralelna sa polupravom Oq. Da bismo dokazali da pomenuto rastojanje neograničeno raste treba da ustanovimo da na kraku Oq postoji postoji tačka K kojoj je odstojanje od poluprave Op veće od bilo koje unapred zadate duži l. Neka je L tačka prave XY unutar ugla poq takva da je XL = l pri čemu je B(X, L, Y ) i neka je LL prava upravna na XY u tački L, a L tačka te prave koja se nalazi sa one strane prave XY sa koje je i tačka O. Dokažimo da poluprava LL seče polupravu Oq. Ugao OLX je oštra, jer bi u suprotnom zbir unutrašnjih uglova u trouglu bio veći ili jednak od 2R, što je nemoguće. Sledi da je naporedni ugao OLY ugla OLX tup, pa se poluprava LL nalazi unutar ugla OLY. Kako je tačka L unutar ugla P OQ, tačka L unutar ugla OLY i LY Oq to svaka prava koja sadrži tačku L i neku tačku L unutar ugla OLY seče polupravu Oq u nekoj tački K. Označimo sa Z podnožje normale iz tačke K na polupravu Oq. Tačka Z će se nalaziti izmed u tačaka O i X, jer ukoliko bi važio raspored B(O, X, Z) dobili bismo trougao sa dva prava ugla, a to je u geometriji Lobačevskog nemoguće. U četvorouglu XLKZ tri ugla Z, X i L su prava, pa četvrti ugao LKZ mora biti oštar. Neka je K tačka poluprave ZK takva da je ZK = XL. U tom slučaju je četvorougao ZXLK Sakerijev, pa su uglovi na protivosnovici K L jednaki i oštri. To znači da se poluprava LK nalazi u uglu KLX, a tačka K na duži ZK. To znači da je XL = ZK < ZK. Prema tome, za bilo koju unapred zadatu duž l na kraku Oq postoji tačka K čije je rastojanje od kraka Op veće od l. Dakle, rastojanje pokretne tačke pri udaljavanju od temena oštrog ugla neograničeno se povećava. 71

73 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG 4.6 Osobine hiperparalelnih pravih u L 2 Teorema Relacija hiperparalelnosti definisana na skupu pravih u L 2 je transmisibilna, tj. ako je AA hiperparalelna sa BB u nekoj tački M tada je AA hiperparalelna sa BB u svakoj drugoj tački N. Teorema Relacija hiperparalelnosti definisana na skupu pravih u L 2 je antirefleksivna, simetrična i netranzitivna. Teorema Dve hiperparalelne prave u L 2 imaju jedinstvenu zajedničku normalu. Dokaz. Neka su AA i BB dve hiperparalelne prave (Slika 4.26.). Najpre ćemo dokazati egzistenciju zajedničke normale ovih pravih. Označimo sa P proizvoljnu tačku prave AA, a sa Q podnožje normale iz tačke P na pravu BB. Tačka Q se nalazi van prave AA te postoje dve prave QA i QA takve da je QA AA i QA A A. Pri tome poluprave QA i QA zaklapaju sa polupravama QB i QB oštre uglove AQB i A QB. Uglovi AQB i A QB su oštri, jer ukoliko bi bili veći ili jednaki pravom uglu onda ne bi bile granične prave u skupu pravih ravni L 2 koje prolaze kroz tačku Q i razdvajaju prave koje seku pravu AA i koje je ne seku. Prema dokazanoj Teoremi postoji jedinstvena prava upravna na QB i paralelna sa polupravom QA. Neka je to prava F A. Analogno, prava EA je jedina prava u ravni pravih AA i BB koja je upravna na polupravu QB i paralelna sa polupravom QA. Slika Neka je N središte duži EF i M podnožje normale iz tačke N na pravu AA. Dokazaćemo da je prava MN normalna i na pravu BB. U tom cilju konstruišemo prave NA i NA paralelne redom sa pravama AA i A A. Na osnovu tranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u ravni L 2 zaključujemo da su prave NA i NA paralelne sa pravama F A i EA redom. Kako su uglovi MNA i MNA uglovi paralelnosti 72

74 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG koji odgovaraju duži MN oni su med u sobom jednaki, tj. MNA = MNA. No, kako je tačka N središte duži EF biće NE = NF. Podudarnim dužima odgovaraju podudarni uglovi paralelnosti, pa je ENA = F NA. Kako je MNF = MNA + F NA i MNE = MNA + ENA to sledi da je MNF = MNE. Kako su ti uglovi podudarni i naporedni, oni su i pravi, pa je prava MN normalna na pravu BB. Dokažimo sada jedinstvenost zajedničke normale dveju hiperparalelnih pravih. Pretpostavimo, suprotno, da postoji još jedna prava M N koja je zajednička normala pravih AA i BB. Tada je zbir unutrašnjih uglova četvorougla MNN M jednak zbiru četiri prava ugla, što je u geometriji Lobačevskog nemoguće. Dakle, postoji jedinstvena normala dveju hiperparalelnih pravih. Teorema Dve prave koje u preseku sa trećom pravom grade jednake suprotne uglove su hiperparalelne. Dokaz. Slika Neka su a i b dve prave, c njihova zajednička sečica (Slika 4.27.) i neka su jednaki suprotni uglovi koje prava c gradi sa pravama a i b. Označimo sa A i B presečne tačke prave c redom sa pravama a i b, a O središte duži AB. Označimo sa P i Q podnožja normala iz tačke O redom na prave a i b. Pravougli trouglovi OAP i OBQ su podudarni na osnovu petog stava podudarnosti trouglova, jer je OA = OB, P = Q i A = B. Iz njihove podudarnosti sledi da je AOP = BOQ. Kako su tačke A, O i B kolinearne, biće kolinearne i tačke P, O i Q. Dakle, prava P Q je zajednička normala pravih a i b, odakle na osnovu teoreme sledi da su prave a i b hiperparalelne. Teorema Odstojanje tačke koja se pomera po jednoj od dveju med usobno hiperparalelnih pravih od druge prave strogo i neograničeno raste kad se ta tačka udaljava od zajedničke normale tih hiperparalelnih pravih. Dokaz. Neka su AA i BB dve hiperparalelne prave (Slika 4.28.). Prema Teoremi postoji jedinstvena zajednička normala ovih hiperparalelnih pravih. Neka 73

75 GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBAČEVSKOG je to prava MN. Neka su P 1 i P 2 dve proizvoljne tačke prave AA takve da je B(M, P 1, P 2 ), a sa Q 1 i Q 2 označimo podnožja normala iz tačaka P 1 i P 2 na pravu BB. Četvorougao MNQ 1 P 1 ima tri prava ugla M, N i Q 1 te je on Lambertov, a odatle sledi da četvrti ugao tog četvorougla mora biti oštar, te je njegov naporedni ugao Q 1 P 1 P 2 tup. Četvorougao MNQ 2 P 2 je takod e Lambertov, jer su mu uglovi M, N i Q 2 pravi, te je ugao P 2 tog četvorougla oštar. Neka je P 2 tačka poluprave Q 2 P 2 takva da je Q 2 P 2 = Q 1 P 1. Četvorougao Q 1 Q 2 P 2P 1 je tada Sakerijev, te su uglovi na protivosnovici P 1 P 2 tog četvorougla jednaki i oštri. Kako je ugao Q 1 P 1 P 2 oštar i kao takav manji od tupog ugla Q 1 P 1 P 2, to se poluprava P 1 P 2 nalazi unutar ugla Q 1 P 1 P 2, a tačka P 2 na duži P 2 Q 2. Odatle je P 1 Q 1 = P 2Q 2 < P 2 Q 2. Dakle, duž P 2 Q 2 je veća od duži P 1 Q 1. Na taj način za Slika tačke P 1 i P 2 za koje je B(M, P 1, P 2 ) imamo da je tačka P 2 na većem rastojanju od tačke P 1 do prave BB. Time je pokazano da to rastojanje raste udaljavanjem od zajedničke normale. Dokažimo još da ono neograničeno raste. U tom cilju konstruisaćemo pravu CC koja sadrži tačku M i koja je paralelna sa pravom BB. Neka je zatim P proizvoljna tačka poluprave MA, a Q podnožje normale iz tačke P na pravu CC. Tada su tačke P i Q sa raznih strana prave CC, pa duž P Q seče pravu CC u nekoj tački S. Kako je trougao P RS pravougli to je P R < P S. Iz B(P, S, Q) sledi da je P S < P Q. Na taj način ako se tačka P kreće po polupravoj MA oštrog ugla A MC, udaljavajući se od njegovog temena njeno rastojanje od drugog kraka, tj. poluprave MC neograničeno povećava. No, kako je to rastojanje manje od rastojanja tačke P do prave BB tim pre rastojanje tačke P od prave BB neograničeno raste. 74

76 Glava 5 Appendix Slika 5.1: Hiperbolički Sunčani sat podignut za 200-tu godišnjicu od rod enja Janoša Boljaja. Nalazi se na trgu koji nosi naziv po ovom znamenitom matematičaru, na Boljajevom trgu u gradu Turgu Mureš u Rumuniji. 75

77 GLAVA 5. APPENDIX Slika 5.2: Fizički modeli hiperboličkih prostora mogu se predstaviti pletenjem. Konkretno, na ovoj slici je naštrikan, pomalo grub, fizički model hiperboličke ravni. Idući od sredine ka ivici, obod postaje sve veći (mora sve više da se štrika), kao da imamo sve više i više prostora. Slika 5.3: Vrlo često se u prirodi može naići na hiperboličnu strukturu. Primer za to je list zelene salate. Slika 5.4: Struktura korala je takod e jedan model hiperboličke ravni. 76

78 GLAVA 5. APPENDIX Slika 5.5: Ruski inženjer i arhitekta Vladimir Šuhov je otkrio i prvi počeo da koristi hiperboloidnu strukturu u grad evinarstvu i arhitekturi. Na slici je predstavljen Šuhovljev vodo-toranj u Polibinu u Rusiji. Na zidovima ovog tornja važe svi zakoni geometrije Lobačevskog. Slika 5.6: Kontrolni toranj na aerodromu u Barseloni. 77