EUKLIDSKA GEOMETRIJA
|
|
- ÁἌλκιμος Ζωγράφου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku postoji jedinstvena ravan koja ih sadrži. Dokazati. 3. Ako su p i q mimoilazne prave i A tačka van njih, dokazati da ne postoji više od jedne prave koja sadrži tačku A i seče prave p i q. 4. Ako prava neke ravni seče dijagonalu nekog četvorougla te ravni i ne sadrži nijedno njegovo teme, dokazati da ona seče tačno dve ivice tog četvorougla. 5. Ako su A, B, C, D četiri kolinearne tačke i ako je B(A, B, C) i B(B, C, D) dokazati da je tada i B(A, B, D). 6. Relacija paralelnosti na skupu pravih u prostoru je relacija ekvivalencije. 7. relacija paralelnosti na skupu ravni u prostoru je relacija ekvivalencije. Dokazati. 8. Prava p je paralelna ravni π ako i samo ako u ravni π postoji prava q paralelna p. 9. Ako su a i b prave po kojima neka ravan π seče dve medjusobno paralelne ravni prostora α i β, dokazati da je a b. 10. Ako prava s prodire jednu od dveju medju sobom paralelnih ravni α i β, dokazati da s prodire i drugu od tih dveju ravni. 11. Dokazati da u prostoru postoji jedinstvena ravan α koja sadrži datu tačku A i paralelna je s datom ravni π. 12. Neka se ravni α i β seku po pravoj t. Proizvoljna prava p je paralelna sa t ako i samo ako je paralelna i sa α i sa β. Dokazati. PODUDARNOST 1. Ako su B 1 i C 1 središta duži CA i BA trougla ABC onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i važi B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su A, B, C, D četiri različite tačke i M, N, K, L, P, Q središta duži AB, BC, CD, DA, AC, DB redom, dokazati: 1) MN i KL, MP i QK, NP i QL su medjusobno podudarne duži. 2) Duži LN, MK, P Q imaju isto središte. 3) Svaki od uglova P MQ, P NQ, LMN podudaran je jednom od uglova kojeg odredjuju prave AC i BD, BC i AD, AB i CD. 3. Dokazati da se težišne duži trougla seku u tački koja ih deli u odnosu 2 : Dokazati da tačke simetrične ortocentru u odnosu na: a) stranice trougla b) u odnosu na središta stranica trougla pripadaju krugu opisanom oko tog trougla. 5. Središte opisanog kruga O, ortocentar H i težište T proizvoljnog trougla su kolinearne tačke i važi HT = 2T O. (Ojlerova prava)
2 6. Središta stranica, podnožja visina i središta duži odredjenih temenima i ortocentrom trougla pripadaju jednom krugu. (Ojlerov krug) 7. Medijatrisa stranice i bisektrisa naspramnog ugla seku se u tački koja pripada opisanom krugu tog trougla. Dokazati. 8. Neka su P i Q središta lukova ÂB i ÂC kruga opisanog oko trougla ABC i s a bisektrisa ugla BAC. Dokazati da je P Q s a. 9. Podnožja normala iz proizvoljne tačke kruga opisanog oko nekog trougla, na pravama koje sadrže stranice tog trougla, pripadaju jednoj pravoj. (Simsonova prava) 10. Neka su A, N i O podnožje visine iz A, presek bisektrise ugla BAC sa opisanom krugom trougla ABC i centar opisanog kruga, dokazati A AE = ANO = NAO = 1 ( ABC ACB) (Veliki zadatak) Ako sa A 1, B 1 i C 1 obeležimo središta ivica BC = a, CA = b, AB = c trougla ABC (b > c), sa p poluobim tog trougla, sa l(o, r) opisani krug tog trougla, sa P, Q, R tačke u kojima upisani krug k(s, ρ) dodiruje prave BC, CA, AB; sa P i, Q i, R i, i = a, b, c tačke u kojima spolja upisani krug k i (S i, ρ i ) dodiruje redom prave BC, CA, AB a sa M i Nv tačke u kojima medijatrisa ivice BC seče krug l, pri čemu M na luku BAC, sa M i N podnožja upravnih iz tačaka M i N na pravoj AB, dokazati da je: 1) B(A, P, P a ), B(A, P, P a), B(P c, A, P b ), B(P b, A, P c) 2) AQ a = AR a = p, QQ a = RR a = a, Q b Q c = R b R c = a, 3) AQ = AR = BR c = BP c = CP b = CQ b = p a, 4) P P a = b c, P b P c = b + c, 5) P A 1 = P a A 1, P c A 1 = P b A 1 6) A 1 M = 1 2 (ρ b + ρ c ), A 1 N = 1 2 (ρ a ρ), 7) MM = 1 2 (ρ b ρ c ), NN = 1 2 (ρ + ρ a), 8) AM = 1 2 (b c) = BN, AN = 1 2 (b + c) = BM, 9) ρ a + ρ b + ρ c = 4r + ρ, 10) NS = NS a = NB = NC, MS b = MS c = MB = MC, 11) M N = b. SLIČNOST 1. Ako su E i F tačke u kojima bisektrise unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla BAC trougla ABC seku pravu BC dokazati BE : CE = BF : CF = AB : AC. 2. Neka su E i F tačke iz prethodnog zadatka. Dokazati 1) AS : SE = AS a : S a E = (AB + AC) : BC, 2) AE : SE = (AB + BC + CA) : BC, AE : S a E = (AB + AC BC) : BC, 3) AS b : S b F = AS c : S c F = (AB AC) : BC. 3. Dokazati: 1) SA SN = 2rρ, 2) S a A S a N = 2rρ a, 3) S b A S b M = 2rρ b, 4) S c A S c M = 2rρ c. 4. (Ptolomejeva teorema) Ako je ABCD konveksan i tetivan četvorougao dokazati da važi AC BD = AB CD + BC AD.
3 5. Ako su a i d ivica i dijagonala pravilnog petougla izraziti d u funkciji od a. Kako se konstruiše pravilni petougao ivice a? 6. (Čevaova teorema) Ako su P, Q, R redom tačke pravih BC, CA, AB gde su A, B, C tri nekolinearne tačke, tada prave AP, BQ, CR pripadaju jednom pramenu ako i samo ako važi BP CQ AR CP QA RB = Ako su P, Q, R tačke u kojima upisani krug trougla ABC dodiruje stranice BC, CA, AB dokazati da su prave AP, BQ, CR. 8. Dokazati da se bisektrisa jednog unutrašnjeg i dva spoljašnja ugla trougla ABC seku u jednoj tački. 9. (Menelajeva teorema) Tačke P, Q, R pravih odredjenih stranicama BC, CA, AB trougla ABC su kolinearne ako i samo ako važi BP CQ AR CP QA RB = Dokazati da ukoliko postoje tačke u kojima bisektrise spoljašnjih uglova kod temena A, B i C seku prave odredjene naspramnim stranicama trougla ABC, one su kolinearne. 11. Dokazati da tačke P, Q, R u kojima tangente opisanog kruga trougla ABC u njegovim temenima seku prave odredjene naspramnim stranicama, ukoliko postoje, pripadaju jednoj pravoj. Def. Neka su P, Q, R, S četiri razne kolinerane tačke. Par tačaka (P, Q) je harmonijski spregnut sa parom (R, S) ako važi P R RQ = P S. Tada pišemo H(P, Q; R, S). SQ Def. Prave a, b, c, d jednog pramena su harmonijski spregnute ako postoji prava p koja ih seče u harmonijski spregnutim tačkama. Tada pišemo H(a, b; c, d). Ova osobina ne zavisi od izbora prave p. Osobine: Ako važi H(P, Q; R, S) tada važi i H(Q, P ; R, S), H(Q, P ; S, R), H(R, S; P, Q). Ako su P, Q, R tri kolinerane tačke i R nije središte duži P Q tada postoji jedinstvena tyačka S takva da je H(P, Q; R, S). H(P, Q; R, S) B(P, R, Q) B(P, S, Q). Ako su a, b, c, d konkurentne prave i c d važi: H(a, b; c, d) c i d su simetrale uglova odredjenih pravama a i b. 12. Važi H(P, Q; R, S) ako i samo ako postoje četiri tačke A, B, C, D takve da važi AB CD = {P }, BC AD = {Q}, P Q AC = {R}, P Q BD = {S}. 13. Ako su A, B, C, D razne kolinearne tačke, a O središte duži AB tada važi H(A, B; C, D) AO 2 = OC OD. 14. Ako su A, B, C, D razne tačke prave p, O tačka van te prave, E i F tačke u kojima prava koja sadrži tačku B i paralelna je OA seče OC i OD, dokazati da važi H(A, B; C, D) B je središte EF.
4 15. Neka su S, S a, S b, S c projekcije tačaka S, S a, S b, S c na pravu odredjenu visinom AA trougla ABC, a E projekcija tačke E na pravu AC. Dokazati: 1) H(A, E; S, S a ), H(A, A ; S, S a ), H(A, E; Q, Q a ), H(A, E; P, P a ) 2) H(A, E; S, S a ), H(A, F ; S b, S c ), H(A, F ; P b, P c ), H(A, A ; S b, S c ). 16. (Apolonijev krug) Odrediti skup svih tačaka u ravni kojima su rastojanja od dveju datih tačaka srazmerna datim nepodudarnim dužima. Def. Ako neka prava koja sadrži tačku P seče krug k(o, r) u tačkama A i B, tada je potencija tačke P u odnosu na krug k data sa p(p, k) = P A P B = P O 2 r 2 i ne zavisi od izbora prave. Potencija tačke P je veća, manja ili jednaka nuli u zavisnosti da li se tačka nalazi u spoljašnjosti ili unutrašnjosti kruga ili na krugu. Def. Geometrijsko mesto tačaka ravni koje imaju jednake potencije u odnosu na dva data kruga k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ) je prava koja se zove radikalna ili potencijalna osa. Radikalna osa je upravna na pravoj O 1 O Neka su A, B, C, D kolinearne tačke takve da važi B(A, B, C, D)i neka je k krug nad prečnikom AB i l bilo koji krug koji sadrži tačke C, D. Dokazati da važi H(A, B; C, D) k l. 18. Prava odredjena visinom AD trougla ABC predstavlja radikalnu osu krugova kojima su prečnici težišne linije BB i CC tog trougla. KONSTRUKTIVNI ZADACI 1. Konstruisati trougao ABC ako su mu težišne duži podudarne datim dužima t a, t b, t c. 2. α, b c, ρ a. 3. b c, h a, ρ. 4. α, a, b + c. 5. β, h c, b ± c. 6. β, γ, p. 7. t a, h b, b ± c. 8. β γ, b, c. 9. α, ρ, ρ a. 10. a, ρ b, ρ c. 11. β γ, l a, ρ. 12. Date su tačke A 1, S, F. Konstruisati trougao ABC ako je A 1 središte BC, S centar upisanog kruga, a F presek simetrale spoljašnjeg ugla u temenu A i prave BC.
5 INVERZIJA U ODNOSU NA KRUG Def. Neka je k(o, r) proizvoljni krug ravni E 2. Inverzija u odnosu na krug k je preslikavanje ψ k : E 2 \{O} E 2 \{O} kojom se tačka P slika u tačku P takvu da P i P pripadaju istoj polupravoj sa temenom u O i važi OP OP = r 2. Osobine ψ 2 k = Id. ψ k (P ) = P P k. ψ k slika unutrašnjost kruga u spoljašnjost i obrnuto. Ako ψ k slika A u A i ako je P Q prečnik kruga k takav da su P, Q, A, A kolinearne, onda važi H(P, Q; A, A ). Ako prava p sadrži tačku O, tada se p\{o}slika u p\{o}. Ako prava p ne sadrži tačku O, onda se slika u l\{o} gde je l krug koji sadrži O. Ako krug l sadrži tačku O onda se l\{o} slika u pravu koja ne sadrži O. Ako krug l ne sadrži tačku O slika se u krug l 1 koji takodje ne sadrži O. Pri tom se centar kruga l NE PRESLIKAVA u centar kruga l 1. ψ k (A)ψ k (B) = r2 AB. OA OB ψ k čuva uglove izmedju krivih. 1. Ako se krugovi k 1 i k 2 dodiruju u centru inverzije, tada se inverzijom slikaju u dve paralelne prave. 2. Neka se inverzijom ψ k tačka A koja ne pripada krugu k slika u A i neka je l proizvoljan krug koji sadrži A i A. Dokazati da je l k. 3. Neka je ABP Q netetivni četvorougao. Dokazati da je ugao izmedju krugova opisanih oko trouglova ABP i ABQ jednak uglu izmedju krugova opisanih oko trouglova P QA i P QB. 4. Neka se krugovi k 1, k 2, k 3 medjusobno dodiruju u tačkama P, Q, R. Dokazati da je krug opisan oko trougla P QR ortogonalan na sva tri kruga. 5. Neka je O centar opisanog kruga l trougla ABC. Ako su B i C tačke polupravih AB i AC takve da je AB A B = AC A C dokazati da je OA B C. 6. Konstruisati krug k koji sadrži dve date tačke A i B i dodiruje datu pravu p. 7. Konstruisati krug k koji sadrži datu tačku A i dodiruje date krugove k 1 i k Konstruisati krug koji dodiruje tri data kruga k 1, k 2, k 3.
6 IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE RAVNI 1. Dokazati: S p S O = S O S p O p. 2. Dokazati: S p S q = S q S p p = q p q. 3. Dokazati: S p S q S r = S r S q S p ako i samo ako su p, q, r prave jednog pramena. 4. Dokazati: S B S p S A = S A S p S B AB p. 5. Neka je ABCDE petougao upisan u krug takav da je BC DE i CD EA. Dokazati da D pripada medijatrisi stranice AB. 6. Data su dva kruga koji imaju presečnu tačku A. Konstruisati pravu koja sadrži A i na kojoj dati krugovi odsecaju podudarne duži. 7. Neka je t tangenta opisanog kruga trougla ABC u temenu A. Dokazati da važi σ σ σ = S CA BC AB t gde je σ klizajuća simetrija. 8. Dokazati da je četvorougao ABCD tetivan ako i samo ako važi σ σ σ DA CD BC σ = Id. AB 9. Neka je ABCD romb takav da je BAD = 60 i neka prava p seče redom stranice AB i BC u tačkama M i N tako da je zbir duži BM i BN jednak stranici romba. dokazati da je trougao DM N pravilan. STEREOMETRIJA 1. Neka su A, B, C, D četiri nekomplanarne tačke takve da je AB = CD i AD = BC. Dokazati da je prava odredjena središtima AC i BD ujedno i njihova zajednička normala. 2. Zbir dve stranice triedra veći je od treće.ravni od kojih je svaka odredjena ivicom i simetralom naspramne stranice triedra imaju zajedničku pravu. 3. Neka su strane triedra jednake redom 60, 45, 45. Dokazati da je diedar naspram najveć e stranice prav. 4. Duži odredjene središtima naspramnih ivica trostrane piramide (tetraedra) seku se u jednoj tački koja ih polovi. Dokazati. (Težište tetraedra) 5. Dokazati da Težište tetraedra deli duži odredjenetemenima i težištima naspramnih strana u odnosu 3 : Dve naspramne ivice nekog tetraedra su medjusobno podudarne ako i samo ako su duži odredjene središtima ostalih dvaju parova naspramnih ivica medjusobno normalne. 7. Dve naspramne ivice tetraedra su normalne ako i samo ako su duži odredjene središtima ostalih dvaju parova naspramnih ivica medjusobno podudarne. 8. Visine AA i BB tetraedra ABCD se seku ako i samo ako je AB CD. Dokazati.
7 9. Dokazati da podnožja visina iz temena tetraedra predstavljaju ortocentre naspramnih pljosni ako i samo ako je tetraedar ortogonalan. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE PROSTORA 1. Dokazati da je kompozicija neparnog broja centralnih simetrija prostora ponovo centralna simetrija. 2. Odrediti tip transformacije τ P P S π. 3. Neka su OP, OQ, OR tri medjusobno normalne duži prostora. Dokazati da je proizvod Z Z Z translacija. OR OQ OP 4. Ako su A, B, C tri tačke ravni π, dokazati da važi:g π, CA G π, BC G π, AB = S π. 5. Dokazati da je kompozicija dveju osnih refleksija S p i S q prostora kojima se ose p i q seku u nekoj tački O, predstavlja osnu rotaciju tog prostora. 6. Dokazati: S π S O = S O S π O π. 7. Dokazati da je kompozicija tri ravanske refleksije kojima su osnove odredjene bočnim pljosnima trostrane prizme ABCA B C klizajuća refleksija tog prostora.
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότερα9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραPotencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike 10.12.2005. Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραPoenkareov model u hiperboličkoj geometriji
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Poenkareov model u hiperboličkoj geometriji Master rad Mentor: Prof. dr Milan Zlatanović Student: Aleksandra Milovanović Niš,
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραPrimene kompleksnih brojeva u geometriji
Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραVektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:
Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Karakteristične krive i površi u Hiperboličkoj geometriji Master rad Student: Vuk Vujović Mentor: dr Milan Zlatanović Niš, septembar
Διαβάστε περισσότεραPOLIEDRI. Ivana Bojović 171/03
POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότεραViša Geometrija 1. Vedad Pašić. Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Tuzli
Viša Geometrija 1 Vedad Pašić Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Tuzli 1 Sva prava zadržana. Svako objavljivanje, štampanje ili umnožavanje zahtjeva odobrenje autora 2 Predmet: Viša geometrija
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραi l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama
NASTAVA MATEMATIKE U SREDNjIM XKOLAMA Sinixa Gavrilovi GEOMETRIJSKA MESTA TAQAKA U PROSTORU Po I. F. Xariginu, geometrija je mo no sredstvo u razvitku liqnosti u najxirem pogledu. Ona razvija osobine liqnosti
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότερα12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραDirihleov princip. Goran Popivoda. Prirodno matematički fakultet.
Dirihleov princip Goran Popivoda goc@t-com.me Prirodno matematički fakultet Pretpostavimo da je jato golubova doletjelo u golubarnik. U svojoj originalnoj verziji, Dirihleov princip kaže da ako ima više
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα