Poenkareov model u hiperboličkoj geometriji

Transcript

1 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Poenkareov model u hiperboličkoj geometriji Master rad Mentor: Prof. dr Milan Zlatanović Student: Aleksandra Milovanović Niš, Oktobar 2012.

2 Sadržaj 1 Istorija neeuklidske geometrije Nastanak i razvoj hiperboličke geometrije Život i rad Henrija Poenkarea Hilbertov sistem aksioma Pet grupa aksioma i njihove posledice Aksioma paralelnosti i neki njeni ekvivalenti Potencija tačke u odnosu na krug i sferu Potencija tačke u odnosu na krug Potencija tačke u odnosu na sferu Uvod u hiperboličku geometriju Ravan Lobačevskog Paralelne i hiperparalelne prave u ravni L Ugao paralelnosti. Funkcija Lobačevskog Karakteristične krive u ravni L Poenkareov model hiperboličke geometrije Neprotivurečnost geometrije Lobačevskog Dvorazmera i realna projektivna prava Inverzija u odnosu na krug Bilinearna preslikavanja Inverzija u odnosu na sferu Poenkareov model hiperboličke planimetrije Opis Poenkareovog disk modela Hilbertov sistem aksioma i aksioma paralelnosti u modelu Epicikli u Poenkareovom disk modelu Opis Poenkareovog poluravanskog modela Epicikli u Poenkareovom poluravanskom modelu Poenkareov model hiperbolične stereometrije Poenkareov sferni model Poenkareov poluprostorni model Zaključak 87 1

3 2 SADRZ AJ

4 Uvod Matematika, to je jezik kojim govore sve egzaktne nauke. Nikolaj Ivanovič Lobačevski Geometrija kao disciplina ima svoju dugu i bogatu istoriju. Začeta još u najstarijim ljudskim civilizacijama, radi potrebe premeravanja tla, vekovima se razvijala kao induktivna nauka, da bi danas zauzela vodeće mesto med u naukama, u okviru matematike. Doprinos u razvoju geometrije kao deduktivne nauke dali su starogrčki filozofi: Tales ( , pre n.e.), Pitagora (oko oko 500 pre n.e.), Platon ( g. pre n.e.) kao i njegov najdarovitiji učenik Aristotel ( g. pre n.e.). Oni su uticali da se induktivni metod nalaženja geometrijskih tvrd enja zameni novim tzv. deduktivnim metodom, zatim da se uvede načelo dokazivanja matematičkih tvrd enja što je uslovilo uvod enje sistematizacije tvrd enja a samim tim dovelo i do aksiomatizacije. Osnovne principe, tj. osnovna tvrd enja na kojima se zasniva deduktivna teorija, Aristotel je razvrstao na aksiome i postulate. Med utim, najsistematičnije delo iz geometrije antičkih vremena koje je dospelo danas pod naslovom Elementi napisao je starogrčki matematičar Euklid. U svom grandioznom delu Elementi Euklid je pokušao da dosledno sprovede deduktivan metod u izlaganju geometrije i upravo ta doslednost učinila je da njegovo delo vekovima predstavlja savršenstvo i uzor logičkog rasud ivanja ne samo u oblasti geometrije, već i u nauci uopšte. Prilog tome su i reči Bertrana Rasela: Ako bi naučna otkrića ikada bila u sukobu sa geometrijom Euklida, treba odbaciti otkrića a ne geometriju - toliko je ona iznad svega drugog. Za razvoj geometrije, a preko nje i drugih matematičkih oblasti, ogroman značaj imao je Euklidov peti postulat. Zbog svoje složenosti i neočiglednosti nije se mogao svrstati na spisku osnovnih tvrd enja već se morao dokazati. Bili su to dovoljni razlozi zbog kojih su mnogi matematičari narednih dvadeset i više vekova neumorno pokušavali da odgonetnu to pitanje. Velika prekretnica je XIX vek i otkriće neeuklidske geometrije, u čemu prioritetne zasluge ima N. I. Lobačevski, po kome je i dobila naziv geometrija Lobačevskog ili samo hiperbolička geometrija. Pored njega, velike zasluge imao je i J. Boljai koji je zajedno sa Lobačevskim smelo narušio raj Euklidove geometrije. Med utim, sa matematičke tačke gledišta ove dve geometrije su ravnopravne. U ovom radu, konstruisaćemo takav model u euklidskoj geometriji na kome će biti realizovani svi pojmovi i sve aksiome geometrije Lobačevskog, pretpostavlja- 3

5 4 SADRŽAJ jući neprotivurečnost euklidske geometrije. Tačnije, opisaćemo Poenkareov model hiperboličke geometrije. Rad je tematski podeljen na šest celina. U prvoj glavi daćemo istorijski osvrt na nastanak i razvoj geometrije Lobačevskog i problema paralelnih pravih i navesti neke detalje iz života i rada Henrija Poenkarea. U drugoj glavi navodimo Hilbertov sistem aksioma kao i aksiomu paralelnosti i njene posledice, dok ćemo se u trećoj glavi baviti potencijom tačke u odnosu na krug i sferu, čiji rezultati će nam biti potrebni. Četvrta glava sadrži važne definicije i teoreme vezane za ravan Lobačevskog. Navedene su osobine paralelnih i hiperparalelnih pravih, ugao paralelnosti, funkcija Lobačevskog kao i epicikli u ravni L 2. U petoj glavi dajemo detaljan opis Poenkareovog modela hiperboličke geometrije. Najpre pokazujemo da je geometrija Lobačevskog neprotivurečna, zatim navodimo neke činjenice o dvorazmeri, inverziji i bilinearnim preslikavanjima koje su nam značajne za dokazivanje tvrd enja koja važe u modelu, onda prelazimo na opis modela i dokazivanje da na njemu važe sve aksiome Hilbertovog sistema kao i aksioma Lobačevskog. Preko Poenkareovog disk modela hiperboličke planimetrije uvešćemo i Poenkareov poluravanski model hiperboličke planimetrije, dok ćemo u analogiji sa njima dati kratak opis sfernog modela i poluprostornog modela hiperboličke stereometrije. U poslednjoj glavi dat je kratak osvrt na važne činjenice koje su obrad ivane i ukazano je na moguća uopštenja dobijenih rezultata i prekretnica za dalji rad. Posebno bih uputila zahvalnost svom mentoru, prof. dr Milanu Zlatanoviću, koji mi je svojim primedbama i sugestijama pomogao pri izradi ovog rada.

6 Glava 1 Istorija neeuklidske geometrije 1.1 Nastanak i razvoj hiperboličke geometrije Istorija geometrije seže do antičkog doba, ali je njena kolevka nesumnjivo Istok. Razvoj geometrije se može podeliti na četiri perioda, čije je granice nemoguće odrediti datumima. Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu, Vaviloniji i Grčkoj, oko V veka p.n.e., u vezi sa razvojem kulture premeravanja tla. Egipćani su razvili induktivan metod zaključivanja, od pojedinačnog ka opštem, npr. primetili su da jedan trougao ima tri ugla, pa su nacrtali drugi trougao i primetili isto, itd. dok nisu zaključili da svi trouglovi imaju po tri ugla, tada su to uzeli za neku osnovnu vrednost tj. aksiomu. Smatra se da je geometrijsko znanje prenešeno u VII veku p.n.e. iz Egipta i Vavilonije u Grčku. Oko IV-V veka p.n.e. nastaje period sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kada se sva tvrd enja dokazuju. Med utim, nastanak kapitalizma u Evropi doveo je do novog, trećeg perioda razvoja geometrije. U prvoj polovini XVII veka nastala je analitička geometrija, čiji su tvorci bili Dekart 1 i Ferma 2. Četvrti period razvoja geometrije sve do danas obeležen je izgradnjom neeuklidskih geometrija od kojih je prva bila geometrija Lobačevskog 3, koju je on izgradio istražujući osnove geometrije, i posebno, aksiome o paralelnim pravama. Termin neeuklidska geometrija opisuje hiperboličku i eliptičku geometriju koje su negacija euklidske geometrije. Suštinska razlika med u njima je priroda paralelnih pravih. Dok euklidska geometrija spada u najstarije poznate oblasti matematike, neeuklidska geometrija nije bila prihvaćena i priznata sve do XIX veka. Mada, rasprava koja je mogla da eventualno dovede do otkrića neeuklidske geometrije počela je maltene istog trenutka kada je objavljeno čuveno Euklidovo 4 delo Elementi. U ovom delu, Euklid započinje sa ograničenim brojem pretpostavki (23 definicije, 5 osnovnih 1 Rene Dekart ( ), francuski matematičar,filozof i naučnik 2 Pjer de Ferma ( ), francuski matematičar 3 Nikolaj Ivanovič Lobačevski ( ), ruski matematičar 4 Euklid (grčki: Eυκλϵιδϵς ), rod en oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz Aleksandrije, antički matematičar 5

7 6 GLAVA 1. ISTORIJA NEEUKLIDSKE GEOMETRIJE pojmova i 5 postulata) i teži ka tome da dokaže sve ostale rezultate u radu. Najproblematičniji ali isto tako i najpoznatiji je Euklidov peti postulat ili Aksioma paralelnosti i on u originalu glasi: Ako prava linija seče dve druge prave linije tako da je zbir unutrašnjih uglova sa iste strane manji od zbira dva prava ugla, tada se prave linije, produžene do beskonačnosti, seku sa one strane sa koje su uglovi manji od dva prava ugla. Kompleksnost petog postulata je stotinama godina zadavala probleme mnogim matematičarima koji su pokušavali da ga dokažu na osnovu prethodna četiri postulata jer su smatrali da on ne treba da se nalazi kao aksioma zbog svoje složenosti već da se dokaže kao teorema. Mnogi su pokušavali da pronad u dokaz zasnovan na metodu svod enja na protivurečnost, polazeći od negacije petog postulata ili nekog tvrd enja ekvivalentnog petom postulatu i na osnovu aksioma i ostalih Euklidovih postulata pokušavali da reše dugogodišnji problem. Mnogi od njih dovodili su sebe u zabludu smatrajući da su u tome uspeli ne primećujući da su skriveno u svojim izvod enjima na izvestan način iskoristili neki od ekvivalenata petog postulata. Devetnesti vek bio je vek neslućenih dostignuća u skoro svim oblastima nauke pa i u geometriji. Najznačajnije u ovoj oblasti je bilo otkriće nove tzv. neeuklidske geometrije koja se bitno razlikuje od euklidske. Prioritetne zasluge u otkriću neeuklidske geometrije ima ruski matematičar Lobačevski. Kao i mnogi njegovi prethodnici, Lobačevski je nastojao da indirektnim postupkom Euklidov peti postulat izvede iz ostalih postulata i aksioma Euklida. U tom cilju, on je pošao od negacije jednog tvrd enja koje je ekvivalentno petom postulatu, naime od pretpostavke da kroz tačku van jedne prave postoje najmanje dve prave koje su sa tom pravom komplanarne i disjunktne. Kako, kao i mnogi njegovi prethodnici, nije uspeo da dokaže peti postulat, on je izdvojio sve što u geometriji nije zavisilo od petog postulata, tzv. apsolutnu geometriju, a peti postulat zamenio drugim postulatom po kome se kroz tačku u ravni koja ne pripada nekoj pravoj te ravni može povući ne samo jedna prava paralelna datoj pravoj. Ne koristeći Euklidov peti postulat niti bilo koje njemu ekvivalentno tvrd enje, Lobačevski je uspeo da izgradi jednu sasvim novu teoriju u kojoj nema nikakvih protivurečnosti. Uveren u logičku ispravnost svojih rasud ivanja, on je smelo razotkrivao nove zakonitosti, tvrdeći da Euklidov peti postulat ne predstavlja posledicu ostalih Euklidovih postulata i aksioma i da, štaviše, sem Euklidove geometrije postoji još jedna geometrija koja se bitno razlikuje od nje. Rezultate svojih istraživanja Lobačevski izlaže na zasedanju Fizičko-matematičkog odeljenja Kazanjskog univerziteta godine a rad Sažeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama, koji obeležava datum rod enja neeuklidske geometrije, je publikovao godine u Vesniku Kazanjskog univerziteta. Geometrija Lobačevskog se zasniva na osnovnim stavovima kao i Euklidova, samo što se peti postulat zamenjuje postulatom da se kroz jednu tačku izvan neke prave mogu povući najmanje dve prave, u istoj ravni, koje ne seku datu pravu. Potpuno nezavisno od njega Boljai 5 je publikovao rad o istom ovom pitanju, u manje razvijenoj formi, godine u vidu dodatka knjige Geometrija svog oca 5 Janoš Boljai ( ), mad arski matematičar

8 1.1. NASTANAK I RAZVOJ HIPERBOLIČKE GEOMETRIJE 7 Farkaša Boljaia. Stoga se taj rad u literaturi i sreće pod nazivom Apendiks, što na latinskom jeziku znači dodatak. Nije iznenad ujuće da za života nisu dobili priznanja koja zaslužuju, samo je poznati matematičar Gaus 6 razumeo dubinu i dalekosežnost njihovih ideja, budući da su se one podudarale sa njegovim zamislima iz ranijih godina. Zanimljivo je to da je Gaus znao radove obojice, no nije nijednog ikad upoznao s radom onog drugog. Med utim prednost dobija Lobačevski zbog ranijeg objavljivanja svog rada pa se zbog toga novootkrivena geometrija naziva neeuklidska geometrija Lobačevskog ili samo hiperbolička geometrija koja je zasnovana na aksiomama apsolutne geometrije i aksiomi Lobačevskog, o kojoj će kasnije biti reči. Napomenućemo da je pored geometrije Lobačevskog otkrivena još jedna neeuklidska geometrija poznata kao eliptička ili rimanova geometrija, do koje je došao matematičar Riman godine u svom radu O hipotezama koje leže u osnovi geometrije, razmatrajući tzv. polidimenzione površi. Lobačevski je svoju geometriju konstruisao polazeći od osnovnih geometrijskih pojmova i svojih aksioma i dokazivao je teoreme geometrijskim metodama, slično euklidskoj geometriji. Kao osnova služila mu je teorija paralelnih pravih i to razlikuje njegovu geometriju od euklidske. Geometrija Lobačevskog otkriva novi svet geometrijskih objekata: prave paralelne u smislu Lobačevskog se sve više približavaju jedna drugoj sa jedne strane a udaljavaju do beskonačnosti sa suprotne strane; dve prave koje imaju zajedničku normalu, na obe strane od te normale se beskonačno razilaze; zbir uglova u trouglu manji je od 180 stepeni, što znači da u geometriji Lobačevskog četvorougao može imati najviše tri prava ugla a četvrti je oštar; sve tačke koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave leže na krivoj liniji a ne na pravoj, kao u euklidskoj geometriji. Ravan i prostor Lobačevskog su skupovi tačaka u kojima su odred ene prave, kretanje figura, rastojanja, uglovi i drugi elementi. Izgradio je odgovarajuću trigonometriju kao i principe analitičke i diferencijalne geometrije. Od nastanka geometrije Lobačevskog uloga aksiomatskog metoda u matematici uopšte i u geometriji posebno postala je veoma značajna. Euklidska geometrija je posle toga takod e dobila svoju aksiomatsku osnovu. Hilbert 8 je na kraju XVIII veka prvi postavio konkretan sistem aksioma euklidske geometrije, tzv. Hilbertove aksiome. Aksiomatsku osnovu dobile su takod e i druge geometrije: Lobačevskog, projektivna, afina, višedimenzionalna euklidska i druge. Lobačevski euklidsku geometriju naziva običnom geometrijom a svoju, hiperboličku naziva imaginarnom geometrijom. Ipak, još uvek se zadržala mogućnost da su aksiome hiperboličke geometrije logički nekonzistentne. Uobičajen model za euklidsku geometriju je ravna površ. S druge strane najjednostavniji model za eliptičku geometriju je sfera, gde su prave linije tzv. neeuklidske prave velike kružnice dok se tačke suprotne jedna drugoj podudaraju. Čak i nakon radova Lobačevskog, Boljaia i Gausa ostalo je pitanje: Da li postoji model očiglednog predstavljanja hiperboličke geometrije?. Geometrija Lobačevskog je imala protivnike med u matematičarima 6 Johan Karl Fridrih Gaus ( ), nemački matematičar 7 Georg Fridrih Bernard Riman ( ), nemački matematičar 8 David Hilbert ( ), nemački matematičar

9 8 GLAVA 1. ISTORIJA NEEUKLIDSKE GEOMETRIJE koji nisu shvatali njenu sadržinu sve dok veliki matematičar Beltrami 9 nije godine dao odgovor na ovo pitanje i pokazao da geometrija Lobačevskog vredi na jednoj posebnoj površi nazvanoj pseudosfera. Ona je postala predmet ispitivanja velikih matematičara kao što su nemci Klajn 10 i Riman 11 i francuz Poenkare 12 koji su veoma doprineli u smislu afirmacije geometrije Lobačevskog i njene primene. Ona je našla široku primenu u raznim granama matematike kao i u modernim tokovima teorijske fizike. Razvoj neeuklidskih geometrija pokazao se veoma značajnim za fiziku XX veka. Zadajući ograničenja brzini svetlosti, sabiranje brzina zahtevalo je nužno korišćenje hiperboličke geometrije. Otkriće neeuklidske geometrije spada u red najvećih otkrića u matematici. Ovim otkrićem, kao i svojim celokupnim stavom matematičara i filozofa matematike, Lobačevski je otvorio nove puteve u razvitku matematike koji su usledili aksiomatskim zasnivanjima svih grana matematike i uvrstio se u red genijalnih stvaralaca. Povodom stogodišnjice njegovog rod enja utemeljena je Nagrada Lobačevskog za dela iz neeuklidske geometrije. 1.2 Život i rad Henrija Poenkarea Znanstvenik od imena, a posebno matematičar, oseća u svom radu isto kao i umetnik, njegova je radost velika i potiče od same prirode - Henri Poenkare. Francuski matematičar, rod en 29. aprila godine a umro godine. Predavao je matematičku fiziku i račun verovatnoće na Faculte des sciencas u Parizu, a zatim predaje višu analizu na Ecole Polytechnique. Njegov značajni rad se ogleda na polju matematike, fizike i astronomije. Istraživao je diferencijalne jednačine a posebno su važni njegovi radovi iz oblasti topologije i njegova interpretacija geometrije Lobačevskog. U svom delu O dinamici elektrona (1905) Poenkare je anticipirao specijalnu teoriju relativiteta. Od njegovih astronomskih radova naročito je važna rasprava o problemu triju tela. Dao je i nekoliko dela filozofskog karaktera kao što su Znanost i hipoteza (1902) i Vrednost znanosti (1906). Objavio je oko 500 značajnih radova. Važnija dela su mu: O teoriji Fuksovih funkcija (1881), Predavanja o nebeskoj mehanici ( ), Kurs matematičke fizike ( ). Poenkareov najoriginalniji rad iz oblasti matematičke astronomije razrad en je ukratko u njegovoj velikoj monografiji Nove metode nebeske mehanike ( u tri knjige 1892., i 1899.). Ako se osvrnemo na Poenkareov život iz detinjstva, možemo videti da je bio neobično brz. Veoma brzo je naučio govoriti, no isto tako u početku jako loše, jer je brže mislio nego što je mogao izgovarati reči. Motorna koordinacija mu je 9 Eugenio Beltrami ( ), italijanski matematičar 10 Felix Christian Klein ( ), nemački matematičar 11 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ), nemački matematičar 12 Jules Henri Poincare ( ), francuski matematičar i fizičar

10 1.2. ŽIVOT I RAD HENRIJA POENKAREA 9 od početka bila slaba. Kad je naučio pisati otkrili su da se može služiti i levom i desnom rukom. Poenkare se nikada nije oslobodio svoje fizičke nespretnosti iako je svrstan u najistaknutije matematičare. Da nije bio izvrstan kao matematičar svrstali bi ga, prema testovima, u duševno zaostale. U petoj godini Poenkarea je zadesila difterija koja mu je paralizovala grlo devet meseci, no to ga je nateralo da se okrene vlastitim sposobnostima. Glavna razonoda mu je bila čitanje, gde se iskazao po prvi put njegov neobičan talenat. Knjigu koju bi pročitao jednom i neverovatnom brzinom usvajao je trajno, te je uvek mogao navesti red i stranu gde se nešto nalazi. Strašnu memoriju koju je posedovao sačuvao je za ceo život i ta darovitost mogla bi se nazvati vizuelnom ili specijalnom memorijom. Većina matematičara teoreme pamti vizuelno, dok u Poenkarea je to pamćenje uglavnom bilo po sluhu. Da je Poenkare bio jak na praktičnom području znanja kao što je bio na teorijskom, mogao je biti četvrti uz trojicu nenadmašivih: Arhimeda 13, Njutna 14 i Gausa. Ljubav prema matematici ga je zarobila neposredno pre nego što je napunio petnaest godina. Već na početku pokazivao je izrazitu osobenost: matematiku je radio u glavi, dok bi neumorno hodao unaokolo i stavljao na papir kad je sve bilo smišljeno. Priličan deo njegovog rada pokazuje znake prenagljenog pisanja, pa on sam kaže da nikada nije završio rad, a da se ne osvrne na njegov oblik ili sadržaj. Poenkare je tj. sa sedamnaest godina, po francuskom običaju, položio ispite za prve akademske stepene iz književnosti i prirodnih nauka, nakon što je gotovo pao iz matematike. Zakasnio je na ispitu, zbunio se i pao na neobično jednostavnom dokazu formule koja rešava zbir konvergentne geometrijske progresije. Zatim se prijavio za prijemne ispite u Šumarsku školu gde je vršnjake zapanjio osvajanjem prve nagrade a da se nije ni potrudio da pravi bilo kakve beleške na predavanjima. Na kraju godine Poenkare prelazi u Politehničku školu u kojoj je bio poznat po matematičkom oštroumlju, po savršenoj nesposobnosti na svim fizičkim vežbama, uključujući i vojne, kao i krajnjoj nemogućnosti da izradi nacrte koji bi podsećali na nešto sa neba ili zemlje. Ovo poslednje je bilo više nego šaljivo jer je njegov broj bodova na prijemnom ispitu iz crtanja bio ni manje ni više nego nula, što ga je skoro udaljilo iz škole. Med utim njegov ostali rad je bio bez premca pa su ga ispitivači propustili. Ali njegova nesposobnost za crtanje se pokazala ozbiljnom preprekom kada je došao do geometrije te je izgubio prvo mesto i školu je završio kao drugi po uspehu. Ali njemu ni to nije smetalo da postane jedan od eksperata za hiperboličku geometriju otkrivši disk model. Nakon odlaska sa Politehničke škole godine, u dvadeset prvoj godini života, Poenkare se upisao u Rudarsku školu sa namerom da postane inženjer. Pored toga ostajalo mu je vremena da se bavi onim što ga je istinski zanimalo a to je matematika, pa je tako načeo glavni problem u diferencijalnim jednačinama. Nakon tri godine podnosi Fakultetu prirodnih nauka u Parizu disertaciju o istom predmetu. Njegovo prvo imenovanje za profesora matematičke analize bilo je 1. decembra godine u Kanu. Nakon dve godine bio je promovisan za Sveučilište u Parizu, gde je godine ponovo promovisan preuzevši na sebe kurs mehanike i eksperimantalne fizike. 13 Arhimed (287 p.n.e.-212 p.n.e.), grčki matematičar, fizičar i astronom 14 Isak Njutn ( ), engleski fizičar, matemtičar, astronom, alhemičar i filozof

11 10 GLAVA 1. ISTORIJA NEEUKLIDSKE GEOMETRIJE Poenkareov stvaralački period počinje disertacijom i završava se njegovom smrću U tom relativno kratkom vremenskom periodu, u trajanju od trideset četiri godine, strpao je mnoštvo posla. Kao što je napomenuto na početku, u njegovom popisu ima oko 500 radova iz nove matematike, med u kojima su razne rasprave, zatim knjige iz teoretske fizike, astronomije itd. Poenkareov prvi uspeh bio je na polju diferencijalnih jednačina, na kome je primenio sva sredstva iz analize kojom je apsolutno vladao. Ispitivanje diferencijalnih jednčina dovelo je Poenkarea godine do sjajnog otkrića, generalizacije eliptičkih funkcija. Za eliptičku funkciju, recimo E(z) postoje dva različita periodična broja, npr. p 1 i p 2, tako da je E(z + p 1 ) = E(z) i E(z + p 2 ) = E(z). Poenkareov najoriginalniji rad iz oblasti matematičke astronomije razrad en je ukratko u njegovoj velikoj monografiji Nove metode nebeske mehanike, koju smo napomenuli na početku. Poenkare je bio prvi koji je razbio krute okvire teorije, u kojima se činilo da je ona zatvorena i završena, i otvorio nove prozore u svet. On je u studijama dinamike uneo nove pojmove: prvi, koji je ranije bio iznesen ali se nije primenjivao u mehanici, jeste pojam varijacijskih jednačina tj. linearnih diferencijalnih jednačina koje odred uju rešenje problema koji je beskonačno blizu datog rešenja, zatim drugi pojam je pojam o integralnim nepromenljivim veličinama. Ovim pojmovima je pridodao mnoštvo osnovnih, naročito u vezi sa periodičnim rešenjima i ovim započinje sasvim nova grana u matematici: istraživanje periodičnih putanja. Med utim, ono što je obeležilo Poenkareov rad u matematici jeste njegovo interesovanje za hiperboličku geometriju, gde razvija jedan model hiperboličke planimetrije poznat kao disk model, koji po njemu nosi naziv Poenkareov disk model. Kasnije, dolazi i do otkića poluravanskog modela hiperboličke planimetrije. Na kraju, reći ćemo nešto o samom završetku Poenkareovog života. Poslednje četiri godine patio je od mučne bolesti, dok mu je poslovni život bio miran i srećan. Pljuštala su brojna odlikovanja od kojih je naprestižnije bilo 1906.godine, u njegovoj pedeset drugoj godini, kada je dobio položaj predsednika Akademije nauka. pored matematike, jedna od njegovih strasti bila je i simfonijska muzika. Na Med unarodnom matematičkom kongresu godine, održanom u Rimu, Poenkarea je sprečila bolest da čita svoj nadobudni govor koji je trebao da glasi: Budućnost matematičke fizike. Bolovao je od hipertrofije prostate, koje ga je oslobodio italijanski doktor, pa se mislilo da je trajno izlečen. Po povratku u Pariz latio se posla kao i obično ali ga je godine počeo mučiti osećaj da neće dugo živeti, pa je 9. decembra pisao izdavaču matematičkog časopisa moleći ga da prihvati nedovršenu raspravu. U proleće godine Poenkare se ponovo razboleo i 9. juna podvrgao drugoj operaciji, koja je uspela. Med utim, 17. juna iste godine iznenadno umire od embolije. Bio je u pedeset devetoj godini života i na vrhuncu svoje intelektualne sposobnosti - živ mozak racionalnih znanosti, rekao je, za Poenkarea, Painlevea Paul Painleve ( ), francuski matematičar i političar

12 1.2. ŽIVOT I RAD HENRIJA POENKAREA 11

13 12 GLAVA 1. ISTORIJA NEEUKLIDSKE GEOMETRIJE

14 Glava 2 Hilbertov sistem aksioma 2.1 Pet grupa aksioma i njihove posledice Nastavljajući rad svojih prethodnika, tek je nemački matematičar Hilbert zasnovao geometriju na potpunom, neprotivrečnom i nezavisnom sistemu aksioma u svom delu Osnove geometrije iz godine. Za razliku od Euklida, Hilbert ne pokušava da opiše osnovne geometrijske pojmove: tačke, prave, ravni, već ih posredno odred uje preko aksioma. Hilbertova aksiomatika se odnosi na geometrijske objekte koji mogu imati raznovrsna značenja, te je ona formalnog karaktera. Hilbert u Osnovama geometrije uvodi dvadeset aksioma razvrstanih u pet grupa. Danas se koristi sledeći modifikovan Hilbertov sistem: 1. AKSIOME INCIDENCIJE (9 aksioma) 1.1. Svaka prava sadrži najmanje dve tačke A i B Postoji najmanje jedna prava koja sadrži dve tačke A i B Postoji najviše jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke A, B i C Postoji najmanje jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B i C Postoji najviše jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B i C Ako dve razne tačke A i B neke prave p pripadaju nekoj ravni π, tada sve tačke prave p pripadaju ravni π Ako dve ravni α i β imaju jednu zajedničku tačku A, onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku B Postoje četiri nekomplanarne tačke A, B, C i D. 13

15 14 GLAVA 2. HILBERTOV SISTEM AKSIOMA 2. AKSIOME PORETKA (4 aksioma) 2.1. Ako su A, B i C tri kolinearne tačke takve da je B(A, B, C), gde je B relacija izmed u, tada su tačke A, B i C med usobno različite Ako su A i B proizvoljne tačke, postoji najmanje jedna tačka C takva da je B izmed u A i C tj. B(A, B, C) Ako su A, B i C tri tačke jedne prave, najviše jedna se nalazi izmed u ostale dve Ako su A, B i C tri kolinearne tačke ravni π i prava l pripada ravni π, ne sadrži tačku A i seče pravu BC u tački P takvoj da je B(B, P, C), tada prava l seče pravu AC u tački Q koja je izmed u tačaka A i C ili pravu AB u tački R koja je izmed u tačaka A i B. 3. AKSIOME PODUDARNOSTI (5 aksioma) 3.1. Ako su A i B dve tačke prave a i ako je A tačka te iste ili neke druge prave a, onda se uvek na pravoj a sa date strane tačke A može naći tačka B, takva da je duž AB podudarna duži A B, što se označava (A, B) = (A, B ) Ako su duži A B i A B podudarne jednoj istoj duži AB, onda je i (A, B ) = (A, B ) Neka su AB i BC dve duži prave a, koje nemaju zajedničkih tačaka i neka su, dalje, A B i B C dve duži te iste ili neke druge prave a, koje takod e nemaju zajedničkih tačaka. Ako je tada AB = A B i BC = B C, onda je i AC = A C Neka je dat ugao hk u ravni α, prava a te iste ili neke druge ravni α i neka je, u odnosu na pravu a zadana poluravan ravni α. Neka je, dalje, h poluprava prave a sa početnom tačkom O. Tada u ravni α, kroz tačku O, u datoj poluravni s obzirom na pravu a, prolazi samo jedna poluprava k takva da je hk podudaran uglu h k. Svaki ugao je sam sebi podudaran Neka su A, B i C tri tačke koje ne pripadaju istoj pravoj i neka su A, B i C takod e tri tačke koje ne pripadaju istoj pravoj. Ako je pri tome AB = A B, AC = A C, BAC = B A C, onda je i ABC = A B C.

16 2.1. PET GRUPA AKSIOMA I NJIHOVE POSLEDICE AKSIOME NEPREKIDNOSTI (1 aksioma) 4.1. (Dedekindova 1 aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dva neprazna skupa tačaka orijentisane prave p tako da za proizvoljnu tačku P skupa M i proizvoljnu tačku Q skupa N važi da je tačka P ispred tačke Q (P Q), tada na pravoj p postoji tačka X takva da je za svaku tačku P M \{X} i Q N \{X} važi relacija P X Q. 5. AKSIOME PARALELNOSTI (1 aksioma) 5.1. (Plejferova 2 aksioma paralelnosti) Ako je p proizvoljna prava i A tačka van nje, tada u ravni π(p,a) postoji najviše jedna prava a, koja sadrži tačku A i nema zajedničkih tačaka sa pravom p. Prva grupa aksioma zasnovana je na relacijama pripada i sadrži se (, ) koje jednim imenom nazivamo relacijama incidencije (veze). Prve četiri aksiome odnose se na geometriju ravni (planimetrijske aksiome incidencije), a ostalih pet aksioma odnosi se na geometriju prostora (stereometrijske aksiome incidencije). Napomenimo neke od posledica aksioma incidencije: Teorema Postoje tri nekolinearne tačke. Teorema Dve razne prave mogu imati najviše jednu zajedničku tačku. Teorema Postoji jedna i samo jedna prava p koja sadrži dve razne tačke A i B. Teorema Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B i C. Teorema Dve ravni ili nemaju zajedničkih tačaka ili nemaju zajedničku pravu, kojoj pripadaju sve zajedničke tačke te dve ravni. Teorema Ravan i prava koja ne pripada toj ravni mogu imati samo jednu zajedničku tačku. Aksiome poretka opisuju relaciju izmed u. Prvih pet aksioma odnose se na geometriju prave (linearne aksiome). Aksioma 2.4. naziva se Pašova 3 aksioma i odnosi se na geometriju ravni. Bez Pašove aksiome ne bismo mogli da izgradimo geometriju poretka na pravoj, već bismo linernim morali da dodamo nove aksiome. Neke od njih su posledica Pašove aksiome. Nadalje navodimo neke od posledica Pašove aksiome i aksioma poretka: 1 Julius Wilhem Richard Dedekind ( ), nemački matemtičar 2 John Playfair ( ), škotski matematičar 3 Moritz Pasch ( ), nemački matematičar

17 16 GLAVA 2. HILBERTOV SISTEM AKSIOMA Teorema Ako su A, B i C tri različite kolinearne tačke tada važi samo jedna od relacija: B(A,B,C), B(A,C,B) ili B(C,A,B). Teorema Ako su A i B dve razne tačke, tada na pravoj AB postoji tačka C takva da je B(A,C,B). Teorema Ako su A, B, C i D četiri kolinearne tačke takve da je B(A,B,C) i B(B,C,D), tada je B(A,C,D) i B(A,B,D). Teorema Ako su A, B, C i D četiri kolinearne tačke takve da je B(A, B, C) i B(A, C, D), tada je B(B, C, D) i B(A, B, D). Teorema Izmed u ma kojih dveju tačaka prave postoji beskonačno mnogo drugih tačaka koje pripadaju toj pravoj. Teorema Prava koja prolazi kroz teme A trougla ABC i sadrži neku unutrašnju tačku tog trougla seče njegovu stranicu BC. I još mnogo drugih teorema. Na osnovu aksioma podudarnosti i prve dve grupe aksioma mogu se dokazati mnogobrojne teoreme kao što su: Teorema U jednakokrakom trouglu uglovi naspram podudarnih stranica su podudarni. Teorema Zbir dva unutrašnja ugla trougla manji je od zbira dva prava ugla. Teorema Spoljašnji ugao trougla veći je od unutrašnjeg nesusednog ugla tog trougla. Može se dokazati da važe: - Nejednačine koje vezuju stranice i uglove trougla. - Svih pet stavova o podudarnosti trougla. - Sve teoreme o podudarnosti triedara. Takod e se može definisati prav ugao i definisati normala prave. Pomoću prve tri grupe aksioma se na poznati način definiše kružnica i dokazuje niz teorema od kojih ćemo pomenuti: Teorema Prava i kružnica, kao i dve kružnice ne mogu imati više od dve zajedničke tačke. Dalje, možemo upored ivati duži i uglove, definisati sabiranje uglova i sabiranje duži. Može se, takod e, definisati i transformacija podudarnosti. Na osnovu aksioma neprekidnosti može se zasnovati merenje duži i uglova a mogu se dokazati i važne teoreme: Teorema Ako prava prolazi kroz tačku u unutrašnjosti kružnice, ona seče tu kružnicu u dvema tačkama.

18 2.1. PET GRUPA AKSIOMA I NJIHOVE POSLEDICE 17 Teorema Ako kružnica prolazi kroz tačku u unutrašnjosti kružnice i tačku u spoljašnjosti te kružnice, onda se te dve kružnice seku u dvema tačkama. Teorema Zbir unutrašnjih uglova trougla ne može biti veći od zbira dva prava ugla. Prve četiri grupe aksioma dopuštaju zasnivanje analitičke geometrije. Apsolutna geometrija je zasnovana na ove četiri grupe aksioma.

19 18 GLAVA 2. HILBERTOV SISTEM AKSIOMA 2.2 Aksioma paralelnosti i neki njeni ekvivalenti U ovom delu ćemo dati aksiomu paralelnosti i odgovarajuće teoreme koje je mogu zameniti. Definicija Dve prave su paralelne ako nemaju zajedničkih tačaka. Egzistenciju paralelnih pravih možemo lako dokazati pomoću prve tri grupe aksioma. Slika Uočimo pravu AB (Slika 2.2.1) i tačku P na njoj, i neka su P i P dve tačke prave p, takve da je P izmed u P i P. Na osnovu aksioma podudarnosti uvek postoji prava A B koja prolazi kroz P, tako da je P P B = P P B. U tom slučaju ne postoji tačka S, zajednička tačka za prave AB i A B, jer bi u trouglu SP P jedan spoljašnji ugao bio podudaran unutrašnjem nesusednom uglu, što je nemoguće. Na osnovu ovoga zaključujemo sledeće: Teorema Kroz svaku tačku koja ne pripada datoj pravoj prolazi prava koja joj je paralelna. Dakle, egzistencija paralelnih pravih je posledica prve tri grupe aksioma. Plejferova aksioma paralelnosti se po formulaciji razlikuje od Euklidovog petog postulata i predstavlja njegov ekvivalent. Kako ovaj iskaz poseduje jednostavniju formulaciju, Plejfer godine uzima ovaj stav za aksiomu a peti postulat za teoremu. Teorema (Plejferova aksioma paralelnosti) Ako je p prava i A tačka van nje tada u ravni π(p, A) postoji jedinstvena prava a koja sadrži tačku A i nema zajedničkih tačaka sa pravom p. Teorema (Peti Euklidov postulat) Ako dve prave, pri preseku sa trećom, obrazuju suprotne uglove, čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla, onda se one seku i to sa one strane sečice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla.

20 2.2. AKSIOMA PARALELNOSTI I NEKI NJENI EKVIVALENTI 19 Aksioma paralelnosti ima, osim petog postulata, i mnoge druge ekvivalente. Med utim, ono što je od velikog značaja u ovom radu jeste to da je Lobačevski sistemu aksioma apsolutne geometrije pridružio novu aksiomu umesto petog postulata i tako došao do novog sistema geometrije, o čemu je već bilo reči u prvoj glavi. Aksioma koju je pridodao nosi njegovo ime i mi ćemo je ovde navesti: Teorema (Aksioma Lobačevskog) Za svaku pravu a i svaku tačku A van nje, u njima odred enoj ravni, postoje dve različite prave a 1 i a 2 koje sadrže tačku A i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka. Ravan i prostor u kojima važe ove aksiome se nazivaju redom hiperbolička ravan ili ravan Lobačevskog i hiperbolični prostor ili prostor Lobačevskog i obeležavaju se sa L 2 i L 3.

21 20 GLAVA 2. HILBERTOV SISTEM AKSIOMA

22 Glava 3 Potencija tačke u odnosu na krug i sferu 3.1 Potencija tačke u odnosu na krug Transformacije sličnosti prostora E n omogućuju u geometriji likova tog prostora razotkrivanje raznih metričkih svojstva tih likova. Od posebnog su interesa svojstva vezana za krug i sferu. Pre uvod enja definicije potencije tačke u odnosu na krug i sferu, neophodno je najpre dokazati sledeću teoremu. Teorema Ako su u ravni zadati krug k i tačka P, tada za svaku pravu s koja seče krug k u tačkama X i Y i prolazi kroz tačku P važi P X P Y =const. Ako je tačka P van kruga k i T dodirna tačka jedne od tangenata iz tačke P van kruga k, tada je P X P Y = P T 2. Slika Dokaz. Neka je tačka P van kruga k i neka su s i s dve razne prave kroz tačku P (Slika 3.1.1) i seku krug k, prva u tačkama X i Y a druga u tačkama X i Y. Tada 21

23 22 GLAVA 3. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA KRUG I SFERU je P XY P X Y, prema drugom stavu o sličnosti trouglova 1, pa je P X : P Y = P X : P Y, a odavde je P X P Y = P X P Y. Slučajevi, kada je tačka P na krugu k je trivijalan a kada je tačka P unutar kruga k razmatra se analogno prvom slučaju. Specijalno, u slučaju kada je tačka P izvan kruga k i T dodirna tačka jedne od tangenata iz tačke P na krug k, imamo da je P XT P T Y, odakle je P X : P T = P T : P Y, tj. P X P Y = P T 2. U nastavku daćemo definiciju i neke važne osobine potencije u odnosu na krug. Definicija Konstantan proizvod P X P Y uveden prethodnom teoremom nazivamo potencija tačke P u odnosu na krug k, i označavamo sa p(p, k). Iz definicije neposredno sledi da je potencija p(p, k) manja od nule ako je OP < r, jednaka nuli ako je OP = r i veća od nule ako je OP > r. Označimo sa OP = d a sa A i B presečne tačke prave P O i kruga k. Tada je p(p, k)=d 2 r 2. Navešćemo lemu koja će nam koristiti nadalje za dokaz tvrd enja. Lema Ako su A i B dve tačke neke ravni i d duž, tada skup tačaka X te ravni takvih da je AX 2 BX 2 = d 2 predstavlja pravu upravnu na pravoj AB. Teorema Skup svih tačaka ravni E 2 kojima su potencije u odnosu na dva ekscentrična kruga k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ) med usobom jednake predstavlja jednu pravu upravnu na pravoj O 1 O 2. Slika Dva trougla prostora E n, (n = 2, 3), su slična ako su dva ugla jednog trougla podudarna odgovrajućim uglovima drugog trougla.

24 3.1. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA KRUG 23 Dokaz. Neka je P tačka u ravni krugova k 1 i k 2 (Slika 3.1.2) takva da je p(p, k 1 ) = p(p, k 2 ). Tada je O 1 P 2 r 2 1 = O 2 P 2 r 2 2, tj. O 1 P 2 O 2 P 2 = r 2 1 r 2 2 = const. Na osnovu prethodne leme sledi da tačka P pripada pravoj p koja je upravna na pravu O 1 O 2 u tački Q za koju O 1 Q 2 O 2 Q 2 = r 2 1 r 2 2. Definicija Skup svih tačaka ravni čije su potencije jednake u odnosu na dva ekscentrična kruga k 1 i k 2 nazivamo potencijalnom ili radikalnom osom tih krugova. Neka su dati krugovi k 1 i k 2. Konstruišimo potencijalnu osu tih krugova. Mogu nastupiti tri slučaja: (i) Krugovi k 1 i k 2 se seku u tačkama A i B. U tom slučaju svaka od tačaka A i B ima potenciju nula. U ovom slučaju potencijalna osa je prava AB. (ii) Krugovi k 1 i k 2 se dodiruju. Tada je potencijalna osa njihova zajednička tangenta. (iii) Krugovi k 1 i k 2 nemaju zajedničkih tačaka. Konstrukciju potencijalne ose vršimo uz pomoć dokazane leme. Drugi način je konstrukcija pomočnog kruga koji seče krugove k 1 i k 2 redom u tačkama A 1, B 1 i A 2, B 2. Presečna tačka P pravih A 1 B 1 i A 2 B 2 pripada potencijalnoj osi pomenutih krugova. Pomenimo još neke pojmove vezane za potenciju tačke u odnosu na krug. Definicija Skup svih krugova neke ravni od kojih svaka dva imaju za potencijalnu osu istu pravu p, naziva se pramen krugova ili sistem koaksijalnih krugova, a prava p potencijalna osa tog pramena. Teorema Potencijalne ose triju krugova pripadaju istom pramenu pravih. Dokaz. Neka su krugovi k 1, k 2 i k 3 takvi da ne pripadaju istom pramenu i nikoja dva nisu koncentrična. Tada posmatrajući ih par po par odred ujemo tri potencijalne ose. Tačka koja ima istu potenciju u odnosu na sva tri kruga pripada svakoj od tri pomenute potencijalne ose. Obratno, tačka preseka bilo koje dve od tri potencijalne ose ima istu potenciju u odnosu na sva tri kruga pa mora pripadati i trećoj potencijalnoj osi. Ako su dve od tih potencijalnih osa paralelne onda je i treća osa njima paralelna. Definicija Tačku O u kojoj se seku potencijalne ose triju krugova nazivamo potencijalnim ili radikalnim središtem tih krugova. Teorema Važe sledeća tvrd enja: (i) Ako se u jednom pramenu krugova dva kruga seku u tačkama A i B onda se svaka dva kruga tog pramena seku u tačkama A i B.

25 24 GLAVA 3. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA KRUG I SFERU (ii) Ako se u nekom pramenu krugova dva kruga dodiruju u tački C, onda se svaka dva kruga tog pramena dodiruju u tački C. (iii) Ako dva kruga nekog pramena krugova nemaju zajedničkih tačaka, onda nikoja dva kruga tog pramena nemaju zajedničkih tačaka. Navedene osobine omogućuju da u geometriji ravni E 2 krugova. razlikujemo tri pramena Definicija Pramen krugova u ravni E 2 je eliptički ako se krugovi tog pramena seku u dvema različitim tačkama, parabolički ako se dodiruju i hiperbolički ako nemaju zajedničkih tačaka. Teorema Za svaka dva kruga postoji tačno jedan pramen krugova kome oni pripadaju. Slika Dokaz. U slučaju kada se krugovi seku ili se dodiruju dokaz je trivijalan. Neka krugovi k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ) (Slika 3.1.3) nemaju zajedničkih tačaka. Označimo sa l njihovu potencijalnu osu, a sa Q presečnu tačku prave l sa pravom d = O 1 O 2. Neka su A i A preseci kruga k 2 sa pravom d. Tada je zadovoljen uslov QA QA = QM QM, kojim je i odred en krug pramena. Ako se tačke M i M poklapaju onda je krug k 3 degenerisan u tačku. Ako su krugovi k 1 i k 2 koncentrični, onda se dogovorno hiperbolički pramen, odred en tim krugovima, sastoji od svih krugova koji su koncentrični sa datim krugovima. U tom slučaju potencijalnu osu predstavlja beskonačno daleka prava ravni posmatranih krugova. Teorema Skup krugova ortogonalnih na sve krugove datog pramena predstavlja opet pramen krugova. U tom slučaju potencijalna osa prvog pramena sadrži središta krugova drugog pramena.

26 3.1. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA KRUG 25 Slika Dokaz. Neka je prvi pramen zadat krugovima k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ). Neka je l potencijalna osa krugova k 1 i k 2 a O 1 i O 2 tačke prave l koje su izvan krugova k 1 i k 2 (Slika 3.1.4). Te dve tačke imaju istu potenciju u odnosu na krugove k 1 i k 2 pa prema tome predstavljaju središta krugova koji ortogonalno seku date krugove. Kako je ortogonalnost uzajamna, to tačka O 1 ima istu potenciju r 2 1 u odnosu na krugove sa centrima O 1 i O 2. Zaista, to sledi iz činjenice da je poluprečnik r 1 istovremeno i odsečak tangente iz tačke O 1 na krugove sa centrima u tačkama O 1 i O 2. Analogno, tačka O 2 ima istu potenciju r 2 2 u odnosu na navedene krugove. Odavde sledi da je prava O 1 O 2 potencijalna osa pramena odred enog krugovima sa centrima redom u tačkama O 1 i O 2. Označimo sa Q presečnu tačku pravih O 1 O 2 i O 1O 2. Prema Pitagorinoj teoremi sledi tj. O 1 O 2 1 = QO QO 2 1 = r r 2 1, QO 2 1 r 2 1 = (QO 2 1 r 2 1 ). Odavde sledi da ako je potencija tačke Q u odnosu na jedan pramen pozitivna, onda je ona negativna u odnosu na drugi pramen. To znači da se tačka Q nalazi unutar krugova jednog, a van krugova drugog pramena. Drugim rečima, ako je jedan pramen eliptički, onaj drugi je hiperbolički i obrnuto. Očigledno je da ako je prvi pramen parabolički, onda je isti takav i onaj drugi. Definicija Pramenovi krugova iz prethodne teoreme nazivaju se ortogonalnim. Definicija Skup krugova ravni E 2 od kojih svaka tri imaju isti radikalni centar nazivamo snop krugova. Potencija radikalnog centra u odnosu na sve krugove snopa naziva se potencija snopa. Ako je potencija snopa negativna onda taj snop zovemo eliptičkim, ako je nula onda snop zovemo paraboličkim i ako je potencija snopa pozitivna onda snop zovemo hiperboličkim.

27 26 GLAVA 3. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA KRUG I SFERU Navodimo još dve teoreme, ali bez dokaza: Teorema Važe sledeća tvrd enja: (i) Radikalno središte eliptičkog snopa nalazi se unutar svih krugova snopa. (ii) Svi krugovi paraboličkog snopa prolaze kroz radikalno središte. (iii) Radikalno središte hiperboličkog snopa nalazi se van svih krugova snopa. Teorema Važe sledeća tvrd enja: (i) Postoji jedan i samo jedan krug koji krugovi nekog eliptičkog snopa seku u dijametralno suprotnim tačkama. (ii) Postoji jedan i samo jedan krug koji je ortogonalan na sve krugove nekog hiperboličkog snopa. 3.2 Potencija tačke u odnosu na sferu Sve što je rečeno o krugovima u ravni E 2 može se preneti i na sferu u prostoru E 3. Neka je u prostoru data sfera S(O, r) i prava s koja prolazi kroz tačku M i prodire sferu u tačkama A i B. Potencijom tačke M u odnosu na sferu S nazivamo konstantan proizvod MA MB. Ako sferu presečemo proizvoljnom ravni α koja sadrži tačku M, onda nije teško zaključiti da je potencija tačke M u odnosu na presečni krug ravni α i sfere S jednaka potenciji tačke M u odnosu na sferu S. Za tačke van sfere potencija je pozitivna, za tačke na sferi je jednaka nuli a za tačke unutar sfere potencija je negativna. Kao i u slučaju potencije u odnosu na krug, potencija tačke M u odnosu na sferu S(O, r) jednaka je p 2 = MO 2 r 2. Ako je tačka M van sfere S(O, r), onda je sfera sa središtem u tački M i poluprečnikom p ortogonalna na sferu S. Na primer, neka su u ravni dati ortogonalni krugovi k(o, r) i l(m, p) i neka je T jedna od njihovih zajedničkih tačaka. Rotacijom te figure oko prave OM krugovi k i l opisuju sfere redom sa središtima u tačkama O i M. Ravni koje prolaze redom kroz prave OT i T M a ortogonalne su na ravan odred enu tačkama O,T i M, predstavljaju tangentne ravni pomenutih sfera. Kako je ugao izmed u tih dveju ravni upravo ugao OT M, to su pomenute ravni ortogonalne, tj. ortogonalne su odgovarajuće sfere. Važi sledeća teorema koju navodimo bez dokaza. Teorema Skup svih tačaka prostora koje imaju iste potencije u odnosu na dve zadate sfere S 1 (O 1, r 1 ) i S 2 (O 2, r 2 ) jeste ravan ortogonalna na pravu O 1 O 2. Definicija Skup svih tačaka prostora čije su potencije jednake u odnosu na dve zadate sfere naziva se radikalna ili potencijalna ravan.

28 3.2. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA SFERU 27 Teorema Ako su centri triju sfera tri nekolinearne tačke, onda se tri radikalne ravni datih sfera seku po jednoj pravoj. Dokaz. Kako su središta triju datih sfera tri nekolinearne tačke, to nikoje dve radikalne ravni pomenutih sfera nisu paralelne. Neka se dve od pomenutih triju ravni seku po pravoj l. Sve tačke prave l imaju jednake potencije u odnosu na sve tri date sfere, odakle sledi da i treća radikalna ravan sadrži pravu l. Definicija Skup tačaka prostora E 3 koje imaju jednake potencije u odnosu na tri date sfere naziva se radikalna osa tih sfera. Teorema Ako centri četiri različite sfere ne pripadaju istoj ravni, tada šest radikalnih ravni tih sfera imaju jednu zajedničku tačku. Dokaz. Neka su O 1, O 2, O 3 i O 4 centri pomenutih sfera. Radikalne ose sfera sa centrima O 1, O 2, O 3 i O 1, O 3 i O 4 pripadaju jednoj te istoj ravni i to radikalnoj ravni sfera sa centrima O 1 i O 2. Presek S tih radikalnih osa ima jednake potencije u odnosu na sve četiri sfere. Odatle sledi da tačku S sadrže i preostale radikalne ose, a takod e i sve radikalne ravni tih sfera. Definicija Presečnu tačku svih radikalnih osa četiri sfere čiji centri ne pripadaju istoj ravni nazivamo radikalnim centrom tih krugova. Definicija Skup sfera od kojih svake dve imaju istu radikalnu ravan nazivamo pramenom sfera. Ako radikalna ravan seče sve sfere pramena onda takav pramen nazivamo eliptičkim, ako ih dodiruje paraboličkim a ako nema sa njima zajedničkih tačaka hiperboličkim pramenom sfera. Sve vrste pomenutih pramenova možemo dobiti rotacijom odgovarajućih pramenova krugova oko prave odred ene središtima tih krugova. U tom slučaju krugovi pramena opisuju sfere a njihova radikalna osa radikalnu ravan sfera. Definicija Skup svih sfera od kojih svake tri imaju istu radikalnu osu nazivamo snopom sfera. U zavisnosti od toga da li osa seče, dodiruje ili nema zajedničkih tačaka sa svakom od pomenutih sfera snop je redom eliptički, parabolički ili hiperbolički. Predstavu o snopu sfera lako dobijamo posmatranjem odgovarajućeg snopa krugova gde svaki krug možemo zamisliti kao dijametralni presek sfere, a radikalnu osu kao normalu na ravan crteža u centru snopa krugova. Definicija Skup sfera od kojih svake četiri imaju isto radikalno središte naziva se mreža sfera. Zajedničku potenciju radikalnog centra sfera nazivamo centrom mreže. Mreža je eliptička ako centar pripada unutrašnjosti svih sfera mreže, parabolička ako sve sfere mreže sadrže radikalni centar a hiperbolička ako je radikalni centar van svih sfera mreže.

29 28 GLAVA 3. POTENCIJA TAČKE U ODNOSU NA KRUG I SFERU

30 Glava 4 Uvod u hiperboličku geometriju 4.1 Ravan Lobačevskog Kao što smo u prvoj glavi pomenuli, Lobačevski je sistemu aksioma apsolutne geometrije pridružio novu aksiomu umesto petog postulata i došao do novog sistema geometrije. Sva tvrd enja koja važe u apsolutnoj geometriji prenose se i važe u hiperboličkoj geometriji, a dobija se i niz tvrd enja koja su posledica aksiome Lobačevskog. Ovde ćemo navesti neke osnovne osobine i tvrd enja koja važe u hiperboličkoj geometriji. Teorema Zbir unutrašnjh uglova trougla u ravni L 2 je manji od zbira dva prava ugla. Posledica Svaki spoljašnji ugao trougla u ravni L 2 je veći od zbira dva unutrašnja nesusedna ugla tog trougla. Teorema Zbir unutrašnjih uglova prostog n-tougla manji je od (n 2) Teorema Ne prolazi kroz svaku unutrašnju tačku oštrog ugla prava koja seče oba kraka tog ugla. Teorema Neka u hiperboličkoj ravni prave a i b seku pravu p, tako da je prava a normalna na p, a prava b nije. Prave a i b se ne seku uvek. Teorema Ne može se oko svakog trougla opisati kružnica. Teorema U hiperboličkoj ravni ne postoje tri kolinearne tačke koje su podjednako udaljene od date prave. Teorema Ako u hiperboličkoj ravni dve prave pri preseku sa trećom obrazuju suprotne uglove čiji je zbir manji od zbira dva prava ugla, one se ne seku uvek. 29

31 30 GLAVA 4. UVOD U HIPERBOLIČKU GEOMETRIJU Teorema Ako su u hiperboličkoj ravni date prava a i tačka A (Slika 4.1.1) van nje, tada u ravni L 2 postoji neograničeno mnogo pravih koje sadrže tačku A i ne seku pravu a. Slika U hiperboličkoj ravni zbir unutrašnjih uglova trougla nije konstantan. Posmatrajmo trougao ABC (Slika 4.1.2) i na njegovim stranicama AB i AC, respektivno tačke B 1 i C 1. Kad bi zbir uglova trougla bio konstantan, onda bi to bio slučaj i sa trouglom ABC i AB 1 C 1, AC 1 B 1 + AB 1 C 1 = ACB + ABC Slika Dobijamo da je zbir uglova četvorougla CBB 1 C 1 jednak zbiru četiri prava ugla, što protivureči aksiomi Lobačevskog. Definicija Razlika izmed u zbira dva prava ugla i zbira uglova trougla: naziva se uglovni defekt trougla. δ = 2R ( ABC + BAC + ACB)