MARKOVLJEVI LANCI 1. kolokvij studenog (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
|
|
- Ἡρωδίωνν Δουρέντης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MARKOVLJEVI LANCI 1. kolokvij studenog (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. Neka je (X n ) n 0 Markovljev lanac sa skupom stanja S i prijelaznom matricom P = (p ij ). (a) (3 boda) Iskažite Markovljevo svojstvo. (b) (3 boda) Za m N 0, i S dokažite da je uvjetno na X m = i slučajni proces (X m+n ) n 0 (δ i, P )-Markovljev lanac nezavisan od slučajnih varijabli X 0, X 1,..., X m. (c) (2 boda) Izračunajte vjerojatnost da Markovljev lanac (X n ) n 0 koji kreće iz stanja i S zauvijek ostaje u stanju i, tj. izračunajte P i (X n = i za svaki n N). (d) (2 boda) Izračunajte vjerojatnost da Markovljev lanac (X n ) n 0 koji kreće iz stanja i neprestano alternira izmedu stanja i i j (za neke i, j S, i j), tj. izračunajte Rješenje: P i ( {X2n = i za svaki n N} {X 2n 1 = j za svaki n N} ). (a) Pogledajte definiciju 1.2 s predavanja. (b) Pogledajte teorem 1.6 s predavanja. (c) Primijetimo da za svaki m N vrijedi P i (X 1 = X 2 = = X m = i) = p m ii pa puštanjem m i korištenjem monotonosti vjerojatnosti obzirom na padajuće nizove dogadaja slijedi da je tražena vjerojatnost jednaka { lim P 1 ako je p ii = 1, i(x 1 = X 2 = = X m = i) = lim m m pm ii = 0 ako je p ii < 1. (d) Primijetimo da za svaki m N vrijedi ( P i X2 = X 4 = = X 2m = i, X 1 = X 3 = = X 2m 1 = j ) = p ij p ji p ij p }{{ ji = p m ij p m ji } 2m faktora pa puštanjem m i korištenjem monotonosti vjerojatnosti obzirom na padajuće nizove dogadaja slijedi da je tražena vjerojatnost ovog puta jednaka { lim (p ijp ji ) m 1 ako je p ij = p ji = 1, = m 0 ako je p ij < 1 ili p ji < 1.
2 2. (10 bodova) Promatramo populaciju u kojoj svaka ženka daje točno 3 potomka. Svaki potomak je ženka s vjerojatnošću p 0, 1, a mužjak s vjerojatnošću q = 1 p. Izračunajte vjerojatnost izumiranja ženki u toj populaciji u ovisnosti o parametru p. Pritom pretpostavljamo da populacija započinje točno jednom ženkom te da ona uvijek sadrži dovoljan broj mužjaka. Rješenje: Označimo sa Z n broj ženki u n-toj generaciji i s π vjerojatnost izumiranja ženki u populaciji. Tada je Z 1 B(3, p) pa je E Z 1 = 3p. Sada koristimo teorem s vježbi. Ako je E Z 1 1, odnosno p 1, tada je π = 1. 3 Ako je E Z 1 > 1, odnosno p > 1, tada je π jednistveno nenegativno rješenje jednadžbe 3 s = P (s) koje je strogo manje od 1. Vrijedi: čija rješenja su P (s) = s (q + ps) 3 = s p 3 s 3 + 3p 2 qs 2 + (3pq 2 1)s + q 3 = 0 (s 1) ( ) p 3 s 2 + (3p 2 q + p 3 )s + 3p 2 q + p 3 + 3pq 2 1 = 0, }{{} q 3 (s 1) ( p 3 s 2 + p 2 (3 2p)s (1 p) 3) = 0, s 1 = 1, s 2 = p(3 2p) p(4 3p) 2p 2, s 3 = p(3 2p) + p(4 3p). 2p 2 Zbog 3 2p > 0 slijedi s 2 < 0 pa je π = s 3 = p(3 2p) + p(4 3p) 2p 2. Alternativno, stavimo x 3 = s. Tada je (q + ps) 3 = s q + ps = 3 s q + px 3 = x p(x 3 x) + q(1 x) = 0 (x 1)[px(x + 1) q] = 0 (x 1)(px 2 + px q) = 0 pa su rješenja x 1 = 1, x 2,3 = p ± p 2 + 4pq 2p je π = = p ± 4p 3p 2 2p ( p 3 4) 3. = 1 2 ± 1 p 3 4. Stoga
3 3. Zadan je Markovljev lanac X = (X n : n 0) na prostoru stanja S = {1, 2, 3, 4, 5} s matricom prijelaza 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 0 2/5 1/5 1/5 1/5 P = 0 0 3/5 1/5 1/ /5 1/ (a) (3 boda) Odredite klase komuniciranja. Obrazložite. (b) (2 boda) Ispitajte povratnost/prolaznost svakog stanja. (c) (2 boda) Odredite Cl({i}) za sva stanja i S, pri čemu je Cl({i}) najmanji zatvoreni skup stanja koji sadrži i. Obrazložite! (d) (3 boda) Ako lanac kreće iz stanja 1, izračunajte vjerojatnost da on prije posjeti stanje 5, nego stanje 4. Rješenje: (a) Primjetimo da za sve i, j S vrijedi i j ako i samo ako je i j, tj. i j ako i samo ako je i = j. Dakle, postoji 5 klasa komuniciranja: C i = {i}, za i = 1,..., 5. (b) Klase C i za i 5 nisu zatvorene, pa su nužno prolazne. Dakle, stanja 1,..., 4 su prolazna. Budući da je skup stanja konačan, on mora sadržavati barem jedno povratno stanje iz čega zaključujemo da je stanje 5 povratno. (Alternativno, to smo mogli direktnije zaključiti, jer je stanje 5 apsorbirajuće pa je nužno povratno.) (c) Po zadatku s vježbi, Cl({i}) = {j S : i j}, za svako i S. zaključujemo da je Cl({i}) = {i, i + 1,..., 5} za sve i S. Iz dijela (a) sada (d) Za sve i S definiramo prvo vrijeme posjeta stanju i s T i = min{n 0 : X n = i}, uz konvenciju min = +. Traži se P 1 (T 5 < T 4 ) i ta vjerojatnost se neće promijeniti ako stanje 4 proglasimo apsorbirajućim (uz stanje 5, koje to već jest). Dakle, promatramo novi Markovljev lanac s matricom prijelaza: P = 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 0 2/5 1/5 1/5 1/ /5 1/5 1/
4 i za njega računamo P 1 (T 5 < T 4 ) = P 1 (T 5 < ). Stavimo h i = P i (T 5 < ) za svaki i S. Po teoremu s predavanja vektor vjerojatnosti pogadanja h = (h i : i S) je minimalno nenegativno rješenje sustava jednadžbi: h 1 = 5 i=1 p 1jh j = 1 h h h h h 5 5, h 2 = 5 i=1 p 2jh j = 0 h h h h h 5 5, h 3 = 5 i=1 p 3jh j = 0 h h h h h 5 5, h 4 = 5 i=1 p 4jh j = 0 h h h h h 5, h 5 = 1. Kako bismo lakše riješili sustav, primijetimo h 4 = P 4 (T 5 < ) = 0 i da je četvrta jednadžba suvišna. Rješavanjem dobivamo h 1 = h 2 = h 3 = 1 2 pa je tražena vjerojatnost h 1 = 1 2.
5 4. Prijatelji Fabijan i Janko igraju stolni tenis. Ishod svake partije ovisi o ishodima prethodnih dviju partija. Ukoliko je Fabijan pobijedio u obje prethodne partije, sljedeću partiju će pobijediti s vjerojatnošću 2 3. Ukoliko je Fabijan pobijedio u točno jednoj od prethodne dvije partije, sljedeću partiju će pobijediti s vjerojatnošću 1 2. Ukoliko je Fabijan izgubio u obje prethodne partije, sljedeću će partiju će pobijediti s vjerojatnošću 1 4. (a) (3 boda) Modelirajte problem kao Markovljev lanac i nadite mu matricu prijelaza. (b) (3 boda) Kolika je vjerojatnost da će, nakon dvije uzastopne Jankove pobjede, Fabijan u sljedeće tri partije pobijediti barem jedanput? (c) (4 boda) Koliko će očekivano Fabijan i Janko još odigrati partija dok Janko prvi put ne pobijedi dvije partije za redom, ako znamo da je prethodne dvije partije dobio Fabijan? Rješenje: (a) Neka X n označava ishod (n 1)-ve i n-te partije za n 1. Označimo sa S = {F F, F J, JF, JJ} skup stanja, pri čemu F, odnosno J, označavaju pobjedu Fabijana, odnosno Janka. Matrica prijelaza lanca je 2/3 1/3 0 0 P = 0 0 1/2 1/2 1/2 1/ /4 3/4 (b) Primjetimo da je lakše računati vjerojatnost komplementa traženog dogadaja, tj. vjerojatnost da će nakon dvije uzastopne Jankove pobjede, Fabijan izgubiti sve tri sljedeće partije. Dakle, tražena vjerojatnost je jednaka ( 3 ) 3 1 P JJ (X 1 = JJ, X 2 = JJ, X 3 = JJ) = 1 p 3 37 JJ,JJ = 1 = (c) Ovdje tražimo E F F (T JJ ). Stavimo g i = E i (T JJ ) za svaki i S. Po teoremu s predavanja vektor očekivanja vremena pogadanja g = (g i : i S) je minimalno nenegativno rješenje sustava jednadžbi: g F F = g F F g F J, g F J = g JF g JJ, g JF = g F F g F J, g JJ = 0. Rješavanjem dobijemo g F F = 15 2, g F J = 9 2, g JF = 7 pa je E F F (T JJ ) = g F F = 15 2.
6 5. Neka je (X n ) n 0 Markovljev lanac sa skupom stanja S. (a) (3 boda) Definirajte povratnost stanja i S. Pritom definirajte i pojmove koje koristite u definiciji. (b) (7 bodova) Iskažite i dokažite rezultat o karakterizaciji povratnosti stanja i u terminima n- koračnih prijelaznih vjerojatnosti p (n) ii. U dokazu napišite i definicije svih pojmova vezanih uz povratnost koje spominjete te jasno formulirajte i pokažite i sve pomoćne tvrdnje koje koristite. Rješenje: (a) Pogledajte definiciju 6.1. (b) Pogledajte propoziciju 6.3 s predavanja. Za dokaz pogledajte i propoziciju 6.2(a) i definicije funkcija izvodnica P ii i F ii.
7 6. (Zadatak za dodatne bodove) Košarkaš izvodi niz slobodnih bacanja. Na početku pogada s vjerojatnošću 1. Nakon toga njegova uspješnost ovisi o tome je li se ohrabrio serijom neposredno 2 prethodnih pogodaka ili obeshrabrio serijom neposredno prethodnih promašaja. Ukoliko je košarkaš dosadašnja bacanja završio serijom od točno k 1 uzastopnih pogodaka, tada će u narednom bacanju pogoditi s vjerojatnošću k. k+1 Ukoliko je košarkaš dosadašnja bacanja završio serijom od točno k 1 uzastopnih promašaja, tada će u narednom bacanju pogoditi s vjerojatnošću 1. 2 k (a) (5 dodatnih bodova) Hoće li košarkaš s vjerojatnošću 1 kad-tad doći do serije od 5 uzastopnih pogodaka? Detaljno obrazložite odgovor! (b) (5 dodatnih bodova) Hoće li košarkaš s vjerojatnošću 1 kad-tad doći do serije od 5 uzastopnih promašaja? Detaljno obrazložite odgovor! Rješenje: Markovljev lanac (X n ) n 0 možemo modelirati skupom stanja S = Z, pri čemu: 0 označava početno stanje, k (za k N) označava stanje kod kojeg košarkaš ima seriju od k pogodaka, k (za k N) označava stanje kod kojeg košarkaš ima seriju od k promašaja te prijelaznim vjerojatnostima: p 0,1 = p 0, 1 = 1, 2 p k,k+1 = k, p k+1 k, 1 = 1 za svaki k N, k+1 p k, k 1 = 1 1, p 2 k k,1 = 1 za svaki k N, 2 k dok je p ij = 0 za sve ostale parove stanja (i, j). (a) NE. Pitamo se vrijedi li P 0 (T 5 < ) = 1, tj. P 0 (T 5 = ) = 0. Kako bismo pokazali da to nije istina, ocijenit ćemo grubo P 0 (T 5 > n) P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2,..., X n = n) = p 0, 1 p 1, 2 p 2, 3 p n+1, n = 1 n 1 (1 1 ) = 1 n 1 (1 1 ) 2 2 k 4 2 k k=1 za bilo koji n 3. Matematičkom indukcijom po m N se lako dokaže da za svake brojeve x 1, x 2,..., x m [0, 1] vrijedi nejednakost k=2 m (1 x l ) 1 l=1 m x l. l=1 Njenom primjenom dobivamo P 0 (T 5 > n) 1 4 ( n 1 1 ) 1 1 ( 1 2 k 4 k=2 k=2 1 ) = 1 ( 1 1 ) = 1 2 k
8 Prelaskom na limes kada n i korištenjem monotonosti vjerojatnosti obzirom na padajuće nizove dogadaja slijedi P 0 (T 5 = ) = lim n P 0 (T 5 > n) 1 8 > 0. (b) DA. Pitamo se vrijedi li P 0 (T 5 < ) = 1 i upravo to ćemo i dokazati. Najprije pokažimo jednostavniju činjenicu: P 1 (T 1 < ) = 1. Naime, za proizvoljni n N imamo P 1 (T 1 = ) P(X 0 = 1, X 1 = 2,..., X n = n + 1) = p 1,2 p 2,3 p n,n+1 = n n + 1 = 1 n + 1, pa puštanjem n dobivamo P 1 (T 1 = ) = 0, tj. doista vrijedi P 1 (T 1 < ) = 1. Kako je po Markovljevom svojstvu P 0 (T 1 < ) = 1 2 P 1(T 1 < ) + 1 }{{} 2 P 1(T 1 < ), }{{} očigledno =1 po dokazanom =1 usput dobivamo i P 0 (T 1 < ) = 1. Radi jakog Markovljevog svojstva još preostaje dokazati P 1 (T 5 < ) = 1. Posljednja vjerojatnost se neće promijeniti ako prostor stanja Markovljevog lanca suzimo na S = { 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3,...} te prikladno promijenimo prijelazne vjerojatnosti p 5,i tako da bude p 5,1 = 1. Novodobiveni Markovljev lanac s vjerojatnošću 1 iz stanja 1 u najviše 5 koraka dolazi u stanje 1 pa očigledno imamo P 1 (T 1 < ) = 1. U kombinaciji s već dokazanim P 1 (T 1 < ) = 1 zaključujemo P 1 (T (1) 1 < ) = 1, tj. stanje 1 je povratno. Kako svaka dva stanja novog lanca komuniciraju, vidimo da je on ireducibilan i povratan. Po teoremu 6.11 s predavanja vrijedi P 1 (T 5 < ) = 1, što smo i željeli dokazati.
MARKOVLJEVI LANCI popravni kolokvij veljače (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MARKOVLJEVI LANCI popravni kolokvij - 2. veljače 204. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (a) Neka je X (X n : n 0) Markovljev lanac sa skupom stanja S i matricom prijelaza
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραMARKOVLJEVI LANCI 2. kolokvij - 9. veljače (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MATIČNI BROJ STUDENTA IME I PREZIME BROJ BODOVA MARKOVLJEVI LANCI. kolokvij - 9. veljače 009. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!. Neka je X (X n : n 0 Markovljev lanac sa
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST 1. kolokvij studenog 2013.
Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραA(s) := a n s n. Definicija 1.2 Neka je X nenegativna cjelobrojna diskretna slučajna varijabla:
Funkcije izvodnice Definicija. Neka je (a n ; n N 0 ) niz realnih brojeva. Tada se tom nizu pridružuje red potencija A(s) := a n s n n=0 koji zovemo funkcijom izvodnicom niza (a n ). Definicija.2 Neka
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMARTINGALNE TEHNIKE I VREMENA MIJEŠANJA MARKOVLJEVIH LANACA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Hrvoje Planinić MARTINGALNE TEHNIKE I VREMENA MIJEŠANJA MARKOVLJEVIH LANACA Diplomski rad Zagreb, srpanj 2014. Voditelj rada:
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραProsti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα