INFRACRVENA TERMOGRAFIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "INFRACRVENA TERMOGRAFIJA"

Transcript

1 Laboratorijska vježba: INFRACRVENA TERMOGRAFIJA STUDIJ: KOLEGIJ: DODIPLOMSKI STUDIJ Laboratorijski rad USTANOVA: SVEUČILIŠTA U ZAGREBU Pripremili: Prof.dr.sc. Srećko Švaić, dipl.ing. Doc.dr.sc. Ivanka Boras, dipl.ing. Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilište u Zagrebu

2 1. UVOD Što je to infracrvena termografija IC termografija je beskontaktna metoda mjerenja temperature i njezine raspodjele na površini tijela. Temelji se na mjerenju intenziteta infracrvenog zračenja s promatrane površine. Rezultat termografskog mjerenja je termogram, koji u sivim tonovima ili nekom kodu boja daje sliku temperaturne raspodjele na površini promatranog objekta. Temperaturna raspodjela posredno daje informaciju o različitim stanjima same površine ili je pak odraz strukture i unutrašnjeg stanja promatranog objekta. O elektromagnetskom zračenju Sva tijela kontinuirano emitiraju elektromagnetsko zračenje, koje kroz vakuum putuje brzinom svjetlosti m/s. Pokusi su nedvojbeno potvrdili da se zračenje ponaša kao čestica u svojoj interakciji s tvari, a kao val kad se širi kroz prostor. Elektromagnetski valovi tako imaju dualnu prirodu: valnu i korpuskularnu. Valna je duljina zračenja λ vezana na frekvenciju vala v i brzinu širenja vala c preko izraza: c = v λ (1) Iako na visokim temperaturama užarena tijela svijetle, vidljiva svjetlost nije jedino zračenje koje ona emitiraju. Emisijski spektri čvrstih tijela kontinuirani su i sastoje se od svih valnih duljina, od neke minimalne do maksimalne. Oblik spektra i raspored energije po pojedinim valnim duljinama ovisi o temperaturi i svojstvima površine koja zrači. Slika 1 prikazuje elektromagnetski spektar. Toplinski efekti su vezani za zračenja u području valnih duljina od 0,1 do 100 µm. Vidljivi dio spektra obuhvaća vrlo usko područje unutar područja toplinskog zračenja, tj. vidljivi je spektar dio toplinskog zračenja kojeg može registrirati ljudsko oko. Nalazi se u području valnih duljina između 0,4 do 0,7 µm. Idući u smjeru porasta valnih duljina područje se toplinskog zračenja tako može podijeliti na tri uzastopne poddomene: ultraljubičasto područje, vidljivi dio i infracrveno područje. Slika 1 Elektromagnetski spektar Laboratorijska vježba 2/14

3 Slika 2 Usporedba prikaza u vidljivom i infracrvenom dijelu spektra U većini krutina i kapljevina se zračenje koje emitira pojedina molekula jako apsorbira od strane susjednih molekula. Tako, zračenje koje emitiraju odnosno apsorbiraju kapljevine odnosno krutine, uključuje samo molekule blizu površine: za metale je taj sloj debljine nekoliko molekula, a za nemetale nekoliko mikrometara. Za ovakve se materijale emisija i apsorpcija zračenja mogu promatrati kao površinski fenomeni. S druge strane za mješavine plinova koje sadrže čestice vodene pare ili ugljičnog dioksida, ili pak za krutine koje su djelomično propusne za zračenja, apsorpcija je dubinska i zračenje koje tijelo emitira može imati izvor bilo gdje u promatranom tijelu. Emisija i apsorpcija zračenja su tada volumenski fenomeni. 2. CRNO TIJELO Crno tijelo je idealno tijelo koje apsorbira cjelokupno zračenje koje pada na njega, bez obzira na valnu duljinu ili kut upada i ništa ne reflektira. Jasna je posljedica ove definicije da je cjelokupno zračenje koje dolazi s površine crnog tijela emitirano zračenje, te da nijedno tijelo ne može emitirati više zračenja od crnog tijela pri određenim valnim duljinama i temperaturi. Crno tijelo nema preferirani smjer emitiranja zračenja, zračenje je difuzno. E* 1 E* Slika 3 Crno tijelo apsorbira cjelokupno prispjelo zračenje Laboratorijska vježba 3/14

4 Crno tijelo emitira u cijelom spektru valnih duljina. Ako promatramo monokromatsko zračenje crnog tijela, E b, kao energiju zračenja emitiranu po jedinici površine i po valnoj duljini (W/m 2 µm) spektralna je raspodjela E b po valnim duljinama opisana Planckovim zakonom: E C λ 5 1 bλ = C2 / λ T e 1 (2) 8 pri čemu je λ valna duljina u µm, T apsolutna temperatura u K, a konstante iznose C1 = 3, W µm 4 /m 2 4 i C2 =1, µmk. Maksimum se spektralne gustoće zračenja pomiče prema kraćim valnim duljinama kako temperatura raste. Wienov zakon pomaka daje vezu između temperature i valne duljine na kojoj se nalazi maksimum spektralne gustoće: λ max T = 2898 µmk (3) što objašnjava promjenu u boji površine od crvene do bijele tijekom grijanja. Vlastita emisija crnog tijela je energija zračenja emitirana s površine crnog tijela, na svim valnim duljinama. Njen je iznos proporcionalan četvrtoj potenciji apsolutne temperature crnog tijela, prema Stefan-Boltzmannovom zakonu: 4 2 E b = σ T W/m (4) pri čemu je σ Stefan-Boltzmannova konstanta i iznosi 5, W/m 2 K REALNA TIJELA Zračenje koje dolazi na površinu realnog tijela djelomično se apsorbira, djelomično reflektira, a djelomično propusti. E * * * * = a E + r E + d E (5) E* r E* a E* d E* Slika 4 Apsorbirano, reflektirano i propušteno zračenje Laboratorijska vježba 4/14

5 Omjer između apsorbiranog i prispjelog zračenja zove se faktor apsorpcije, omjer između reflektiranog i prispjelog zračenja faktor refleksije, a omjer između propuštenog i prispjelog zračenja faktor dijatermije. Iz jednadžbe (5) slijedi: 1 = a + r + d (6) Većina površina od inženjerskog interesa je nepropusna (d = 0), izuzev nekih materijala kao što su stakla i plastični filmovi. U tom se slučaju cjelokupno prispjelo zračenje djelomično apsorbira, a djelomično reflektira, te se jednadžba (6) svodi na oblik: 1 = a + r (7) Udio prispjelog zračenja koji će se apsorbirati, odnosno reflektirati, ovisi o materijalu i stanju površine, valnoj duljini prispjelog zračenja i o kutu upada. Prisutna je također i ovisnost o temperaturi. Za inženjersku je primjenu prihvatljivo raditi s prosječnim vrijednostima faktora apsorpcije a i faktora refleksije r. Zračenje realnih tijela u bitnome odstupa od zračenja crnog tijela, te je raspodjela intenziteta zračenja po spektru valnih duljina drugačija. Faktor emisije ε definira se kao omjer vlastite emisije realnog tijela pri određenoj temperaturi i vlastite emisije crnog tijela pri toj istoj temperaturi. E( T ) ε = (8) Eb ( T) Emisijski faktor realnih tijela ovisi o temperaturi i stanju površine, te bitno ovisi o kutu otklona od normale na promatranu površinu. Emisijski je faktor za sveukupno zračenje različit od ε u smjeru normale i računa se kao: ε 1,2 za nisko emitirajuće polirane metalne površine, ε n ε ε n 0,98 za visoko emitirajuće nemetalne površine. Stefan - Boltzmannov zakon za realna tijela tako dobiva oblik: E = ε σ T 4 (9) Prema Kirhoffovom zakonu vrijedi jednakost faktora emisije i faktora apsorpcije: ε ( λ) = a( λ) (10) Jasno je da u slučaju kada ε ovisi o valnoj duljini, emisijski spektar realnih tijela općenito više nije sličan spektru crnog tijela. Laboratorijska vježba 5/14

6 4. PRINCIP RADA TERMOGRAFSKOG UREĐAJA Termografski se sustav sastoji od termografske kamere i jedinice za obradu termograma (osobno računalo). U samoj kameri integrirana je IC optika, osjetnik IC zračenja, jedinica za pretvorbu električnog u video signal, monitor i kartica za pohranu podataka. Računalo služi za obradu termograma prema određenom softveru i u njega se podaci učitavaju s kartice koja se nalazi u kameri. Kako su karakteristike elektromagnetskog zračenja jednake za cijeli elektromagnetski spektar, to je optika koja se koristi u IC uređajima po obliku jednaka onoj kod fotografskih uređaja, no različita po materijalima iz kojih je napravljena. Materijali koji se koriste za izradu leća moraju biti propusni za IC zračenje, a to su; germanij, cink sulfid, cink selenid za dugovalna IC zračenja te silikon, safir, kvarc ili magnezij za srednjevalna IC zračenja. Slika 5 Princip rada suvremenog termografskog uređaja Osjetnik u termografskoj kameri mjeri količinu energije koja pada na njegovu površinu i koja odgovara intenzitetu zračenja definiranog dijela IC spektra. Dozračena energija na osjetnik jednaka je sumi energija koje dolaze od promatranog tijela - vlastita emisija i refleksija od okoline E env. E os * ( E r E ) +, energije koja prolazi kroz tijelo d E ** i energije koja dolazi os * ** ( E + r E ) + d E Eenv E = + (11) E env E** E* a E** E = E b ε d E* a E* r E* r E** E env d E** Slika 6 Energija koja pada na osjetnik termografskog uređaja prilikom termografskog snimanja objekta Laboratorijska vježba 6/14

7 Da bi se iz zračenja prispjelog na osjetnik kamere izračunala korektna vrijedost temperature promatranog objekta potrebno je poznavati svojstva površine objekta, temperaturu okolišnjih objekata, udaljenost kamere od promatranog objekta, temperaturu i relativnu vlažnost zraka. Sve te podatke potrebno je prethodno podesiti kao ulazne parametre u softveru kamere. Utjecaj zračenja iz okoliša treba svesti na minimum, osobito ako se radi o objektu koji je na temperaturi bliskoj okolišnjoj ili ima nisku vrijednost emisijskog faktora. Osim utvrđivanja temperature objekta poznatog emisijskog faktora, softver u kameri pruža i drugu mogućnost. Na temelju poznavanja temperature objekta i svih prethodno navedenih ulaznih parametara moguće je dobiti vrijednost emisijskog faktora promatrane površine. Kad se pak radi o potrebi anuliranja propusnosti, ispred objektiva kamere stavljaju se različiti filtri čija je zadaća spriječiti prolaz kroz objektiv elektromagnetskih valova onih valnih duljina za koje je promatrani objekt propustan. 5. AKTIVNA I PASIVNA TERMOGRAFIJA Prema pristupu mjerenjima i obradi rezultata termografija se dijeli na aktivnu i pasivnu, te na kvalitativnu i kvantitativnu. Aktivna se termografija zasniva na promatranju dinamičkog ponašanja površine objekta izloženog toplinskoj pobudi. Toplinska se pobuda može postići na različite načine. Tako su poznate impulsna, periodička, lock-in, vibracijska i druge vrste pobuda. Svima njima zajednički je cilj poslati određeni paket energije u promatrani objekt i promatrati njegov odziv na tu toplinsku pobudu - vremenski razvoj površinske temperaturne raspodjele. Naknadnom se analizom može zaključivati o strukturi materijala ispod površine, mogućim uključinama, pukotinama ili procesima koji se zbivaju ispod površine. 48,1 C 45 LI01 LI02 LI ,6 C Slika 7 Aktivna termografija; Rezultati mjerenja za uzorak izrađen iz fenolne smole, t=300 s. Pasivna termografija promatra objekte u stacionarnom stanju. Razlike u iznosima infracrvenog zračenja koje dolaze s površine objekta su ili posljedica razlika u temperaturi ili razlika u svojstvima promatrane površine. Laboratorijska vježba 7/14

8 Slika 8 Pasivna termografija: Fotografija i termogram zida stare Nacionalne i sveučilišne biblioteke Naknadna obrada snimljenih termograma na računalu može bili kvalitativna, što podrazumijeva samo uočavanje mjesta različitosti, slika 9, ili kvantitativna što uključuje utvrđivanje iznosa temperatura, temperaturnih razlika ili emisijskih faktora po pojedinim lokacijama na termogramu, slike10, 11 i 12. Slika 9 Na termogramu se lako uočavaju mjesta viših temperatura Slika 10 Toplinsko opterećenje strojnih dijelova, analiza uz primjenu alata" isotherm dual above" Laboratorijska vježba 8/14

9 Slika 11 Termografska snimka spremnika s vertikalnom linijskom temperaturnom raspodjelom Slika 12 Procjena stanja strukture zida građevine s pomoću usporedne histogamske analize dvaju područja na termogramu 6. TERMOGRAFSKI SUSTAV ThermaCAM 2000 Osnovne karakteristike IC kamere Točnost +/- 2 % Osjetljivost < 0,08 o C kod 30 o C Vidno polje 24 o x 18 o / 0,5m Detektor FPA 320 x 240 piksela (nehlađeni bolometar) Područje osjetljivosti 7,5 13 mikrona Video izlaz VH Monitor kolor LCD PC kartica tip II ili tip III Spremanje slike u realnom vremenu, 14 bitni digitalni zapis Laboratorijska vježba 9/14

10 Baterije Dimenzije Masa Video kamera Temperaturna mjerna područja AKU Nikal-metal hidrid 209 x 122 x 130 mm 2,43 kg 640 x 480 piksela - 40 o C 120 o C 0 o C 500 o C 350 o C 1500 o C Meniji i mogućnosti odabira Izbornik FILE sa svojim podizbornicima omogućuje otvaranje prethodno spremljenih termograma s diska, pojedinačno ili periodično spremanje termograma u prethodno odabrani ili novostvoreni direktorij, brisanje termograma, te unošenje različitih komentara uz pojedine termograme, u obliku zvučnog zapisa ili teksta. Izbornik ANALYSIS u cijelom nizu podizbornika nudi definiranje važnih karakteristika snimanog objekta i njegovog okoliša: emisijskog faktora, temperature ambijenta i vlažnosti zraka. Osim toga, s pomoću podizbornika Spot, Area, Isotherm i Profil moguće je raditi trenutačnu analizu snimanog objekta preko temperatura pojedine točke, linijske temperaturne raspodjele ili analize temperatura pojedinog područja. Izbornik IMAGE sadrži podizbornike koji omogućuju izbor između infracrvenog ili video zapisa, odabir mjernog područja temperatura, podešavanje termograma u smislu izbora njegovog temperaturnog nivoa i raspona temperatura, zamrzavanje na ekranu trenutnog prikaza, automatsko podešavanje oštrine i palete boja termograma, te mogućnost postavljanja markera u video modu, što olakšava kasniju analizu termografskog prikaza. Izbornik SETUP sa svojim podizbornicima pruža mogućnost postava opcija za točku, površinu i izotermu (boja, veličina itd.), promjenu parametara slike, ručno ili automatsko podešavanje termograma, izbor palete boja, korekciju za šum i način obilježavanja temperaturnog zasićenja. Također se nudi niz opcija za definiranje organizacije termograma, mjernih jedinica, jezika, datuma, načina spremanja, teksta, zvuka, naziva i formata spremanja, kao i generalno izbor količine informacija koja se pojavljuju na termogramu. RAD S PROGRAMOM ThermaCAM-Researcher Osnovna je namjena programa ThermaCAM Researcher obrada IC prikaza (termograma) koji s kamere dolaze u realnom vremenu. Međutim, program može primati i raditi obradu termograma i s drugih medija kao što je PC hard disk (kartica). Program može obrađivati brze/srednje/spore toplinske procese, ovisno o postavljenoj konfiguraciji, može prikazivati trenutne termograme, bilježiti ih na disk, te ih naknadno analizirati. Rezultati mjerenja, termogrami, mogu se obrađivati pomoću slijedećih alata: izoterma, točka, područje i linija. Rezultati dobiveni primjenom ovih alata se mogu na ekranu prikazati zajedno sa termogramom i to: prozor u kojem je prikazan traženi profil temperatura, prozor u kojem je prikazan Laboratorijska vježba 10/14

11 histogram, tablica u kojoj su navedeni osnovni rezultati te prozor u kojem je prikazan crtež. Rezultati mjerenja mogu se također povezati ili obraditi različitim podprogramima. Standardna je aplikacija u ovom programu namještanje prikaza, a označena je s rječju «lock». Tako je moguće fiksirati temperaturnu skalu, parametre objekta ili zoom faktor. To znači da se može upotrebljavati točno određena (prethodno definirana) temperaturna skala podešavanjem i zaključavanjem na korisniku željene vrijednosti. Trenutni će prikaz, a i oni koji slijede, biti prikazani u toj definiranoj skali temperatura, premda su spremljeni u drugoj skali. Nakon otključavanja uz svaki će se IC prikaz pojavit originalna temperaturna skala. Sučelje programa Nekoliko je mogućih prikaza sučelja. Oni se mogu odabrati pomoću ikonica prikazanih u donjem dijelu ekrana. Tako je moguće kombinirati termogram s profilom temperatura, histogramom, crtežom ili tablicom rezultata. Raspored prozora nije moguće mijenjati na ekranu, ali se mogu njihove veličine povećavati ili smanjivati. Slika 13 Prikaz mogućeg sučelja programa ThermaCAM Researcher Alati koji omogućuju obradu termograma nalaze se na slijedećim funkcijama: standardna funkcija (kreiranje, otvaranje, dodavanje ili spremanje prikaza, itd.) funkcija za način prikazivanja termograma funkcija za bilježenje termograma funkcija za dohvaćanje termograma iz direktorija funkcija za analizu termograma funkcija za skaliranje termograma IC prikaz objekta na ekranu Za dobivanje dobrog prikaza s IC kamere potrebno je ostvariti povezivanje s kamerom, odabrati prikladno područje mjerenja, pokrenuti samopodešavanje kamere, fokusirati. Bez obzira da li se radi Laboratorijska vježba 11/14

12 o termogramu u realnom vremenu, zaustavljenom prikazu ili prikazu s diska, potrebno je postaviti parametre objekta (emisijski faktor, temperatura okoliša, temperatura okolišnje atmosfere, relativna zagađenost zraka, udaljenost). Slika 14 Postavljanje osnovnih parametara IC prikaza Ukoliko je odabrana paleta boja neprikladna, ona se može promijeniti. Na prikazu je moguće dodati temperaturnu skalu boja, dodatne labele teksta a postoji mogućnost i pseudo 3D verzije prikaza. Slika 15 Odabir načina prikazivanja IC prikaza Kako se koriste alati za numeričku i statističku analizu Alati za analizu kao rezultat daju tablicu rezultata, crtež, profil ili histogram, u odgovarajućim prozorima ili direktno na termogramu. Moguće je dobiti i iznos apsolutne temperature ili pak provesti relativno mjerenje. Relativna se mjerenja odnose na prethodno definiranu referentnu temperaturu i parametre objekta. Laboratorijska vježba 12/14

13 Izoterma Točka Leteća točka Područje Linija Formula Izoterma je marker koji u infracrvenom prikazu označava mjesta na kojima je zračenje koje dolazi s površine promatranog objekta jednako. To zapravo znači da su označena područja iste temperature ukoliko je emisijski faktor objekta isti preko cijelog mjerenog područja. Aktiviranjem se ove ikonice omogućuje izbor između pet standardnih tipova izotermi na IC prikazu. Nakon odabira položaja točke na termogramu u tablici rezultata može se dobiti iznos temperature, temperaturne razlike u odnosu na referentnu temperaturu, emisijski faktor, udaljenost objekta i koordinate točke na termogramu. Ovaj alat prikazuje vrijednost temperature na mjestu pokazivača miša. Ovaj alat mjeri maksimum, minimum, prosječnu vrijednost i standardnu devijaciju temperature unutar odabranog dijela termograma, a vrijednosti prikazuje u tablici rezultata. Rezultati se također mogu predstaviti grafički, pomoću histograma. Moguće je dobiti vrijednost emisijskog faktora objekta, udaljenost objekta i koordinate područja. Područje je moguće kreirati kao pravokutnik, krug ili proizvoljan poligon. Ovaj alat mjeri minimum, maksimum, prosjek i standardnu devijaciju temperature duž linije povučene unutar granica termograma. Rezultati su prikazani tablično. Linijska se temperaturna raspodjela može predstaviti i grafički u prozoru Profil temperature. Linija se naknadno može pomicati preko termograma te joj je moguće promijeniti veličinu i nagib. Ovaj se alat koristi za dodavanje i editiranje formula. Formula može sadržavati sve matematičke operatore i simbole. Rezultati korištenih formula se pokazuju u tablici, a moguće ih je i prikazati u grafičom obliku. Najčešća razlika između pojedinih dijelova termograma su različite vrijednosti emisijskog faktora i različite udaljenosti promatranih objekata od objektiva kamere. Svi alati za analizu termograma (izuzev izoterme) prihvaćaju korekciju parametara objekta pri naknadnoj analizi. Laboratorijska vježba 13/14

14 7. ZAKLJUČAK Svaka eksperimentalna metoda ima svoje prednosti i nedostatke. Tako se za termografiju može reći da su joj dobre osobine: beskontaktno mjerenje, brzi odziv, relativno jednostavna interpretacija termograma, široke mogućnosti primjene. a one loše: utjecaj emisijskog faktora, atmosfere, udaljenosti, geometrije objekta i ostalih svojstava tijela na rezultat mjerenja, teško provediva toplinska stimulacija velikih objekata, mogućnost promatranja samo površinskih efekata. Za kvalitativnu i kvantitativnu analizu termograma potrebno je osposobiti kadrove koji za traženu primjenu moraju ovladati termografskim sustavom i poznavati problematiku koja se rješava. Laboratorijska vježba 14/14

IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI

IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI STUDIJ: USTANOVA: POSLIJEDIPLOMSKI FILOZOFSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU Pripremili: Prof.dr.sc. Srećko Švaić, dipl.ing. Doc.dr.sc. Ivanka

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Infracrvena termografija

Infracrvena termografija Primjena termografije Infracrvena termografija građevinarstvo preventivno održavanje ispitivanje kvalitete proizvoda traganje, spašavanje, vojne svrhe, medicinska dijagnostika,. 1 2 Primjena termografije

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Primjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina

Primjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina Primjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina Dr.sc. Lovre Krstulović-Opara, red. prof. Edo Modun, dipl. oecc. Katedra za konstrukcije Fakultet elektrotehnike strojarstva i brodogradnje

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U KVANTNU TEORIJU

UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Prijenos topline Vođenje (kondukcija) Strujanje (konvekcija) Zračenje (radijacija):

Prijenos topline Vođenje (kondukcija) Strujanje (konvekcija) Zračenje (radijacija): Prijenos topline Toplina je dio unutrašnje energije nekog tijela koja prelazi iz područja više temperature u područje niže temperature. Taj prijelaz se odvija na 3 načina: Vođenje (kondukcija): čvrsta

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBA 2: MJERENJE TEMPERATURE

VJEŽBA 2: MJERENJE TEMPERATURE VJEŽBA 2: MJERENJE TEMPERATURE 4. OPĆENITO O MJERENJU TEMPERATURE 4.1 Temperatura i mjerenje S termodinamičkog stajališta moglo bi se reći da je najprikladnija definicija temperature po kojoj "dva tijela

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 SMJER: ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 SMJER: ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 SMJER: ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON ZRAČENJA ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE NFP1 1 ZADACI 1. Odredite otpor volframove niti za razne struje i izračunajte

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam

Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam 2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa

Διαβάστε περισσότερα

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2

F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2 F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.

Διαβάστε περισσότερα