Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Transcript

1 Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα, σε ξένα κυρίως βιβλία ή περιοδικά. Η πληκτρολόγηση διαρκεί δυστυχώς πολύ και για το λόγο αυτό ο αριθμός των θεμάτων είναι σχετικά περιορισμένος. Τα θέματα λύθηκαν όλα κατά την προηγούμενη σχολική χρονιά μαζί με τους μαθητές μου, αλλά και από άλλους συναδέλφους.έχω και τις λύσεις όλων των ασκήσεων, αλλά αυτές δυστυχώς δεν είναι πληκτρολογημένες. Ωστόσο πολλές από αυτές μπορείτε να τις βρείτε στα βιβλία μου που ήδη γνωρίζετε, αν και οι περισσότερες ασκήσεις είναι νέες. Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Θέμα ο Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί α,β, γ που έχουν ίσα μέτρα και α + β + γ = Να αποδείξετε ότι α) αβ + βγ + γα = β) α = β = γ γ) Οι εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου δ) Οι εικόνες των αριθμών αβ, βγ, γα είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Θέμα ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ οι οποίοι έχουν εικόνες τα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα. Αν α β +β γ +γ α = και w = β α, να αποδείξετε ότι: γ α α) w= w. β) Ο w είναι πραγματικός αριθμός. γ) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Θέμα ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z,w, w = z και z = w. A. Να αποδείξετε ότι: α) z = w =. β) z = και z w =. w Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

2 Σελίδα από 4 γ)z = w. δ) w = και z =. Β. α) Να βρείτε τους μιγαδικούς z, w β) Να βρείτε τον z 4. Θέμα 4 ο I. ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ = Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθμός V = α + β β + γ γ + α + + γ α β είναι πραγματικός και ο αριθμός U = α β β γ γ α + + γ α β είναι φανταστικός. β) Ο αριθμός w αβ + βγ + γα α + β + γ = έχει μέτρο και οι εικόνες των α, β, γ, w είναι ομοκυκλικά σημεία. γ) α + + β + + αβ +, α β και Re( α β ) δ) α + + α + + α + ε) α + β - γ + β + γ - α + γ + α β II. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς α, β, γ δίνεται επιπλέον ότι α + β + γ =. Α. Να αποδείξετε ότι: α) αβ + βγ + γα =, α + β + γ = και α + β + γ = α β + β γ + γ α β) α = βγ, β = γα, γ = αβ και α = β = γ γ) Re( α β ) = Re( β γ ) = Re( γ α ) = B. Να αποδείξετε ότι : α) οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. β) α β = β γ = γ α = Γ. Να αποδείξετε ότι : i) Οι εικόνες Α, Β, Γ των μιγαδικών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Οι εικόνες Κ, Λ, Μ των μιγαδικών αριθμών κ = α, λ = β, μ = γ αντίστοιχα, είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. iii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο περίκεντρο. Θέμα 5 ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ, δ με αντίστοιχες εικόνες τις κορυφές Α, Β, Γ, ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ. Α. Αν α + γ = β + δ και οι μιγαδικοί α, β, γ, δ έχουν ίσα μέτρα, να αποδείξετε ότι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

3 Σελίδα από 4 α) το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι παραλληλόγραμμο β) το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Β. Έστω ότι α β γ δ β γ δ α + = + α β γ δ β γ δ α. Να αποδείξετε ότι α + γ = β + δ Γ. Αν α + γ = β + δ, αν αποδείξετε ότι α β γ δ β γ δ α + = + α β γ δ β γ δ α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θέμα 6 ο Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα ( f f )() =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: α) f()=. β) Η f έχει σύνολο τιμών το R. γ) Η f αντιστρέφεται. δ) Η f δεν είναι γνησίως μονότονη Θέμα 7 ο Μια συνάρτηση f: (,+ ) R έχει την ιδιότητα : ylny yf() + f(y) f( y), για κάθε,y >. Να αποδείξετε ότι: α) f() =. β) f = f(), για κάθε >. γ) f() = ln, >. Θέμα 8 ο Έστω f: R R μία συνάρτηση με τις ιδιότητες f(y) = f()f(y) και f(+y) = f()+f(y)+y, για κάθε,y R. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, f() = και f( ) =. β) Η f είναι άρτια. γ) f() =, για κάθε R. Θέμα 9 ο ίνεται ο μιγαδικός w = 4z 4z z, z C + z α) Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση 4z + z = Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

4 Σελίδα 4 από 4 β) Αν ο μιγαδικός w = 4z 4z + z z, z C είναι φανταστικός, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z γ) Αν οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z, z, w, w είναι εσωτερικά σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) για τον οποίο ισχύει z -z + w -w = Β. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Θέμα ο Μια συνάρτηση f: IR IR έχει την ιδιότητα f(y) + f() + f(y) + = + y + y, για κάθε,y R. α) Να αποδείξετε ότι: f() =. β) Να βρείτε τον τύπο της f. γ) Να βρείτε το συν lim f. + () + Θέμα ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: f () + αf () + βf() = , για κάθε R, όπου α,β R και α < β. α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (,). Θέμα ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln, >. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β)να αποδείξετε ότι: + ln, για κάθε >. γ) Αν + αln, για κάθε >, να αποδείξετε ότι: α =. Θέμα ο Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο =, με f () = και f() =, τότε: Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

5 Σελίδα 5 από 4 α) Να βρείτε το Α = β) Να βρείτε το Β = ημ e lim lim f().. f() γ) Να αποδείξετε ότι lim =. ημ e Θέμα 4 ο Έστω συνάρτηση f : IR IR, όχι σταθερή, με την ιδιότητα f( + y) = f()f(y), για κάθε, y IR. Να αποδείξετε ότι α) f() = β) η C f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα γ) f() >, για κάθε IR δ) αν η f είναι συνεχής στο, τότε είναι συνεχής στο IR ε) αν η f είναι συνεχής στο α, τότε είναι συνεχής στο IR στ) αν η f παραγωγίζεται στο με f () =, τότε : i) η f παραγωγίζεται στο IR με f () = f() ii) η f είναι γνησίως αύξουσα iii) η συνάρτηση g() = f() e - είναι σταθερή συνάρτηση στο IR και f() = e, για κάθε IR. iv) η C f εφάπτεται στην ευθεία (ε) : y = + Θέμα 5 ο ίνεται η συνάρτηση f() = lnχ lnα - α + a, όπου α > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το πρόσημο της f α β - α γ) Αν β > α, να αποδείξετε ότι ln β < αβ Θέμα 6 ο ίνονται οι συναρτήσεις f() = (e +), > και g() = e (+e )ln(+e ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

6 Σελίδα 6 από 4 Να αποδείξετε ότι: α) Η g είναι γνησίως φθίνουσα. β) g() <, για κάθε >. γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,+ ). Θέμα 7 ο Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ ) R έχει την ιδιότητα f(y) + f = f(), για κάθε, y >. y Αν f() = και f () =, να αποδείξετε ότι: α) f() + f =, για κάθε >. β) f () + f =, για κάθε >. γ) f() = ln, >. Θέμα 8 ο Έστω f: (,+ ) R γνησίως αύξουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f(f ())+f() =, για κάθε >. Να αποδείξετε ότι: f f α) f ()=. β) ( )() =, για κάθε >. γ) f ()+f () =, για κάθε >. δ) f() = ln, για κάθε >. Θέμα 9 ο ίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR f( ) f () για κάθε IR ΙR με την ιδιότητα Να αποδείξετε ότι α) η εξίσωση f () = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( -, ) β) f (- ) = f () = f () γ) η συνάρτηση f έχει τουλάχιστον 4 πιθανά σημεία καμπής στο διάστημα ( -, ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

7 Σελίδα 7 από 4 Θέμα ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( - )e α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f, f, f β) Na αποδείξετε ότι f () >, για κάθε >. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής δ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ε) Να λύσετε την εξίσωση f() = και να βρείτε το πρόσημο της f στ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ζ) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f και να γίνει η γραφική παράσταση της f Θέμα ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR με την ιδιότητα f() - f() e =, για κάθε IR. α) Να εκφράσετε την f () και την f () ως συνάρτηση της f() β) Να αποδείξετε ότι e i ) η εξίσωση + = έχει μοναδική ρίζα, την οποία να βρείτε ii ) f() = γ) Να μελετήσετε την f() ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να βρείτε το πρόσημό της. δ) Να αποδείξετε ότι Θέμα ο ίνεται η συνάρτηση f : IR f ( ) f IR με την ιδιότητα α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το IR ' ( ), για κάθε IR. f () + f() =, για κάθε IR γ) Να βρείτε την αντίστροφη της f δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα. Θέμα ο Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: IR ΙR, με f() =,έχει την ιδιότητα : f(χ) f (-χ) =, για κάθε χ ΙR. Να αποδείξετε ότι : Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

8 Σελίδα 8 από 4 α) f (χ) f(-χ) = f(χ) f (-χ), για κάθε χ ΙR. β) η συνάρτηση g() = f(χ) f(-χ) είναι σταθερή στο IR.Ποια είναι η τιμή της g(χ); γ) f (χ) = f(χ), για κάθε χ ΙR.Ποιος είναι ο τύπος της f(χ) ; Θέμα 4 ο ίνεται η συνάρτηση f() = е + -. α) Να βρείτε την f () και την f () β) Να εξετάσετε αν η C f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο Α (, f()) γ) Να βρείτε τη μονοτονία και το πρόσημο της f () δ) Να βρείτε τη μονοτονία και το πρόσημο της f() ε) Να αποδείξετε ότι η f() έχει ολικό ελάχιστο στ) Να λύσετε την εξίσωση е + = +. ζ) Να αποδείξετε ότι е - (- ), για κάθε IR Θέμα 5 ο ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 4 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα χ χ γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τον άξονα χ χ δ) Να εξετάσετε αν η C f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στ )Να βρείτε το σύνολο τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ζ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης α 4 + α =, όπου α ΙR Γ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα 6 ο Έστω f:ir R συνεχής και άρτια συνάρτηση με f() =. Αν F είναι αρχική της f με την ιδιότητα f() F α) Η συνάρτηση h() = F() F β) F() F =, για κάθε >, να αποδείξετε ότι: =, για κάθε >., είναι σταθερή στο (,+ ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

9 Σελίδα 9 από 4 F() γ) Η συνάρτηση φ() = είναι σταθερή στο (,+ ). δ) Ο τύπος της f είναι f() =, για κάθε IR. Θέμα 7 ο ίνεται η συνάρτηση f() = + + α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει η αντίστροφη της f και αν ναι, να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. γ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = και να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y = - με την C f δ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα ( -, ) στ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = ζ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. η) Να λύσετε την εξίσωση (λ - ) = (λ ) - λ + 4 θ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = Θέμα 8 ο f ()d ίνεται μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη, με την ιδιότητα : f() = και f () = (4 - f () ) για κάθε IR Α. Να αποδείξετε ότι : α) f () =, για κάθε IR β) f() =, για κάθε IR Β. Να βρείτε : α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f που διέρχονται από το σημείο Σ(, - 5). β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες. Θέμα 9 ο Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

10 Σελίδα από 4 Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR έχει την ιδιότητα f () + f() =, για κάθε IR α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην αρχή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να λύσετε την εξίσωση f() = και να βρείτε το πρόσημο της f(). δ) Να αποδείξετε ότι f() = f () f() f (), για κάθε IR ε) Να αποδείξετε ότι f () f f (t)dt = 4 στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το IR και να βρείτε την f - () Θέμα ο ίνεται η συνάρτηση f() = e + - α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει η αντίστροφη της f και αν ναι, να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. γ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = και να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y = - με την C f δ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = ε) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. ζ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = e f ()d η) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f, η οποία διέρχεται από το σημείο Σ(, e) θ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τον άξονα y y. Θέμα ο Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

11 Σελίδα από 4 ίνεται η συνάρτηση f() =, = e, > α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. β) Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I() = f(t)dt, > δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της C f, του άξονα και της ευθείας =. ε) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C f. Θέμα ο ίνεται συνάρτηση f, ορισμένη στο IR, με συνεχή δεύτερη παράγωγο που έχει την ιδιότητα για κάθε χ, f() = και f () = (t + )f (t)dt = tf (t) dt - 4 tf () dt α) Να αποδείξετε ότι f() = + β) Να βρείτε το εμβαδόν Ε (α) του χωρίου μεταξύ της C f, του άξονα χ χ και των ευθειών χ =, χ = α, με α θετικό. γ) Αν το α είναι θετικό και μεταβάλλεται με ρυθμό εμβαδού τη χρονική στιγμή που αυτό είναι ίσο με ln cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Δ. ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα ο ίνονται οι μιγαδικοί α, β, γ με α+β+γ μοναδιαίο κύκλο, να αποδείξετε ότι:. Αν α + β + γ = και οι εικόνες των α, β, γ βρίσκονται στο α) α + β + γ = + +. β) α β γ α, β = και γ = α β γ =. γ) το μέτρο του μιγαδικού w = α + β+ γ είναι ίσο με, δηλαδή α+β+γ =. Θέμα 4 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln + β - +β lnχ - β +β lnβ, όπου β > Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

12 Σελίδα από 4 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Αν < α < β,να αποδείξετε ότι ln α +β < α β lnα + α +β α + β lnβ Θέμα 5 ο ίνεται η συνάρτηση f() = α χ χ, με < α <. α) Να μελετήσετε την f() ως προς τη μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση α - χ α χ + (χ +) 4 χ γ) Να λύσετε την εξίσωση α - α - = (χ - 4) (χ -) Θέμα 6 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln, όπου > α) Να μελετήσετε την f() ως προς τη μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι e π > π e γ) Να αποδείξετε ότι e e, για κάθε χ > δ) Να αποδείξετε ότι α α + > (α+) α, για κάθε α > e ε) Να λύσετε την εξίσωση χ =, με > Θέμα 7 ο ίνεται η συνάρτηση f: IR IR με την ιδιότητα f() + f( ) = + 4 για κάθε πραγματικό αριθμό. Α. Να αποδειχθεί ότι : α) f(-) + f() = 4 +5 β) ο τύπος της f δίνεται από τη σχέση f() = χ + B. ύο εφαπτόμενες της C f διέρχονται από το σημείο Μ (,9). Να βρείτε : α) τα σημεία επαφής της C f με τις εφαπτόμενες αυτές β) τις εξισώσεις των εφαπτόμενων αυτών Θέμα 8 ο Δίνεται το ολοκλήρωμα Ι = ημ d + π. Να αποδείξετε ότι: π e π e ημ α) Ι = d. β) Ι = π. π e + Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

13 Σελίδα από 4 Θέμα 9 ο Μια συνάρτηση f: R R* έχει την ιδιότητα: f () α) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = (f() + f ())e d. β) Να αποδείξετε ότι f() = e, R. + =, για κάθε R. Αν f() = : f () e Θέμα 4 ο Έστω f: R R συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα f()= f(t)dt+ e Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι παραγωγίσιμη. β) Η συνάρτηση g() = e f() είναι σταθερή στο R. γ) f() = ( + )e, για κάθε R., για κάθε R. Θέμα 4 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (,+ ) R με την ιδιότητα f() = A. Nα αποδείξετε ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη. β) f () = f (), για κάθε >. γ) f() =, για κάθε >. e, για κάθε >. f(t)dt Β. Η εφαπτομένη της C f στο μεταβλητό της σημείο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΑ = ΜΒ. β) Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν, ανεξάρτητο δηλαδή από τη θέση του σημείου Μ. Θέμα 4 ο Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις από τις οποίες η f είναι άρτια και η g έχει την ιδιότητα g() + g( ) =, για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι: f()g()d = f()g( )d. α α α β) Να αποδείξετε ότι: f()g()d = f()d. α α Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

14 Σελίδα 4 από 4 π συν γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Α= π d. + e Θέμα 4 ο ίνεται η συνάρτηση f() = 4 e t t dt, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = f()d. Θέμα 44 ο ίνονται οι συναρτήσεις: f()= (+ ) + 4 και g()= α) Να αποδείξετε ότι: g ()=, για κάθε R*. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = α α f (t)dt f ()d, όπου α R*., με. Θέμα 45 ο Έστω f συνεχής συνάρτηση στο IR και α < β. Αν β β f( + t)dt, για κάθε ΙR, τότε : α f()d α β+χ f(t)dt α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε χ ΙR. α+χ β f()d β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g() = - γ) Να εξετάσετε αν η g έχει ολικό ελάχιστο δ) Να αποδείξετε ότι f(α) = f(β) α β α f( + t)dt β f(t)dt α ε) Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ΙR τέτοιο, ώστε f (ξ) = Θέμα 46 ο Μια συνάρτηση f : (, + ) IR έχει την ιδιότητα f( y ) = f() + f(y) + y - - y, για κάθε, y > Α. α) Να βρείτε το f() β) Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο (, + ) γ) Αν η f είναι συνεχής στο α >, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο (, + ) Β. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο o =, με f () =, Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

15 Σελίδα 5 από 4 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f()d Θέμα 47 ο Έστω F μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης f : ΙR ΙR, με την την ιδιότητα F () F() F(α -) για κάθε χ ΙR, όπου α. Να αποδείξετε ότι : α) F() = F(α) β) η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο IR Θέμα 48 ο ίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [, π ], με π f ()d = και F μια αρχική της f α) Να βρείτε τον αριθμό F() F(π) β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, π) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ημξ Θέμα 49 ο Έστω μια συνεχής και άρτια συνάρτηση f: IR IR και η συνάρτηση g() = β α f ( t) dt, ΙR με α < β. α) Να βρείτε την παράγωγο της g β) Να αποδείξετε ότι g(α) =g(β) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ-α) = f(ξ β) Θέμα 5 ο ίνεται το ολοκλήρωμα Α = α) Να αποδείξετε ότι Α= β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α ln( + ) d. ln ( + ) ln( ) ln( + ) d Θέμα 5 ο ίνεται ο αριθμός α, με < α και α α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης αχ ν g() = α - ν, με χ > β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() έχει ελάχιστο γ) α = e αχ ν για κάθε >, όπου ν είναι φυσικός αριθμός. ν Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

16 Σελίδα 6 από 4 Θέμα 5 ο ίνονται οι συναρτήσεις f () = + ln( ) και g() = - ln( ), με χ >, και γραφικές παραστάσεις C f και C g αντίστοιχα. A.Να βρείτε : α) τα κοινά σημεία των C f και C g β) τη μονοτονία και το σύνολο τιμών των f και g Β.Να αποδείξετε ότι οι C f και C g έχουν κάθετες εφαπτόμενες στα σημεία τους με την ίδια τεταγμένη. Θέμα 5 ο Σε ένα βαθμολογικό κέντρο φτάνουν 8 γραπτά θετικής κατεύθυνσης. Κάθε γραπτό διορθώνεται από δύο διαφορετικούς βαθμολογητές. Κάθε βαθμολογητής διορθώνει 4 φακέλους των 5 γραπτών την ημέρα. Για τη διόρθωση κάθε γραπτού ο βαθμολογητής αμείβεται με ευρώ.τη διόρθωση συντονίζoυν δύο σχολικοί σύμβουλοι που αμείβονται με ευρώ την ημέρα. Στο τέλος της διόρθωσης όλων των γραπτών κάθε βαθμολογητής παίρνει επιπλέον ως επίδομα 4 ευρώ, ανεξάρτητα από τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκε. α) Να αποδείξετε ότι το κόστος Κ(χ) για τη διόρθωση όλων των γραπτών δίνεται από τη συνάρτηση 6 Κ(χ) = 4 ( χ ) ευρώ, χ όπου χ είναι ο αριθμός των διορθωτών που απασχολούνται. β) Πόσοι πρέπει να είναι οι βαθμολογητές, ώστε το κόστος της διόρθωσης να είναι ελάχιστο ; γ) Να βρείτε το ελάχιστο αυτό κόστος και τη συνολική διάρκεια διόρθωσης των γραπτών. Θέμα 5 ο ίνονται οι συναρτήσεις f, g : IR IR, για τις οποίες ισχύει ότι f() g() = 4, για κάθε χ IR. Έστω ότι η ευθεία y = χ 7 είναι ασύμπτωτη της C f στο +. α) Να βρείτε τα όρια : i) lim + g() ii) g() + + ημ lim + f () + β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = χ είναι ασύμπτωτη της C g στο + Θέμα 55 ο Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

17 Σελίδα 7 από 4 ίνεται η συνάρτηση f : (,+ ) IR, με f() = + ln( ) Έστω c πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του.αν η ευθεία y = c τέμνει τη C f στα διαφορετικά σημεία Α(χ, y ) και Β(χ, y ), με χ <χ, τότε : α) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f β) Να βρείτε την παράγωγο και τη μονοτονία της f γ) Nα αποδείξετε ότι χ < και χ > δ) Nα αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες. Θέμα 56 ο ίνονται οι συναρτήσεις f() = (e - ) και g() = ( e ) α) Να αποδείξετε ότι f() g(), για κάθε ΙR β) Να λύσετε την εξίσωση f() = g() γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των C f, C g και της ευθείας = Θέμα 57 ο ίνεται η συνάρτηση f() = + + α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα γ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της C f δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στ) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ζ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης + ( - λ) + =, όπου λ IR. η) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, την πλάγια ασύμπτωτη της C f και την ευθεία = Θέμα 58 ο t e + συνt ίνεται η συνάρτηση f() = dt t + e, με IR α) Να βρείτε την f () β) Να αποδείξετε ότι f () = + ημ, για κάθε IR γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f - : [ ο, π ] [ ο, π ] δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των C f, C f και των ευθειών =, = π είναι Ε = 4 τ.μ. Θέμα 59 ο Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

18 Σελίδα 8 από 4 ίνεται η συνάρτηση f() = ( -) ln, >. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να αποδείξετε οτι η f έχει ολικό ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να εξετάσετε αν η C f έχει κατακόρυφη ή οριζόντια ασύμπτωτη ε) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f () d στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ χ και την ευθεία χ = e Θέμα 6 ο ίνεται η συνάρτηση f() = t+ ln t dt, με t + α) Να αποδείξετε ότι f() = ln, για κάθε β) Να βρείτε το εμβαδόν μεταξύ της C f,του άξονα χ χ και της ευθείας y =. Θέμα 6 ο Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() = f () = α) Να αποδείξετε ότι β) Αν f () = f()d 6 χ + = f ()d, να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f()d. Θέμα 6 ο ίνεται η συνάρτηση f() = + ημ,. α) Να βρείτε τη μονοτονία της f() β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της δ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = π f ()d Θέμα 6 ο ίνονται οι συναρτήσεις g() = ημ e + και f() = g( t)dt Α. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g β) Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Β. α) Να βρείτε τη μονοτονία και το πρόσημο της συνάρτησης f στο διάστημα = [-π, π] Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

19 Σελίδα 9 από 4 β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται στο και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της C f, του άξονα και των ευθειών = - π, = π δ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = π - - π f ()d Θέμα 64 ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με την ιδιότητα f '() α) Να αποδείξετε ότι = e f( ) για κάθε IR και f() = β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f f () = f () - f () για κάθε IR γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από C f, την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τον άξονα y y Θέμα 65 ο Έστω f: R R παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα: f(t)dt ( )e, για κάθε R. α) Να βρείτε το f(). β) Αν f ()=, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο Α(,f()). γ) Να βρείτε το Α= f() lim. Θέμα 66 ο Έστω μια συνάρτηση f: R R, με την ιδιότητα f()f(y) = f( + y), για κάθε,y R. Α) Αν f() =, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Β) Αν η f δεν είναι σταθερή, να βρείτε το f(). Γ) Αν υπάρχει α R, ώστε f(α) =, να αποδείξετε ότι f() =, για κάθε R δ) Αν f() =, να αποδείξετε ότι f() >, για κάθε R ε) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο = β, με f(β). Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι συνεχής στο =. ii) η f είναι συνεχής στο R Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

20 Σελίδα από 4 Θέμα 67 ο Έστω f: R R συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα: f() + f( ) =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: π π f() α) 4 d 4 π d π συν συν 4 4 f( ) f() =. Β) π d = συν π 4 4 Θέμα 68 ο ίνεται η συνάρτηση f() = +. i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με την ευθεία η : y =. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν μεταξύ της C f και της C f. Θέμα 69 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ημ (ημ) + συν (συν). π π π π α) Να αποδείξετε ότι: = f ()d f()d ή = π f()d f()d β) Να βρείτε το Α= π f ()d. γ) Να αποδείξετε ότι: π. π f()d = Θέμα 7 ο Μια συνάρτηση f: (,+ ) R έχει συνεχή πρώτη παράγωγο και για κάθε > ικανοποιεί τη σχέση: α) Να αποδείξετε ότι: t + = f(u)du dt + )f() (t + t)f (t)dt (. + f(t)dt = ( + )f(), για κάθε >. β) Να βρείτε τον τύπο της f. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

21 Σελίδα από 4 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες =, = Θέμα 7 ο ίνεται η συνάρτηση f() = 4. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. γ) Να γράψετε τον πίνακα μεταβολών της f. δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. ε) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση C f της f. στ) Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ R το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης λ 4 =. ζ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Θέμα 7 ο Έστω ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση f: R R* με την ιδιότητα: Να αποδείξετε ότι: Θέμα 7 ο f() + f( ) = f()f( ), για κάθε R. α) f(), για κάθε R. β) ίνεται η συνάρτηση f() =. συν(t)dt π π συν π d = f(). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο IR και f () = συν - f(), δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής ε) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

22 Σελίδα από 4 Θέμα 74 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( )ln + + α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής γ) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ε) Να λύσετε την εξίσωση f() = και να βρείτε το πρόσημο της f στ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ζ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f η) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( )ln - λ =, λ IR θ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και την ευθεία = Θέμα 75 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( u 6e t dt)du α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη γ) Να βρείτε την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της f() δ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τη μονοτονία ε) Να βρείτε το πρόσημο της f() και να λύσετε την εξίσωση f() = στ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f()d Θέμα 76 ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: IR IR με την ιδιότητα για κάθε IR. Na αποδείξετε ότι : f() + f(t)dt = f () α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη β) υπάρχει χ ο (, ) τέτοιο, ώστε f (χ ο ) = f() + f(t)dt γ) f() = f() Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

23 Σελίδα από 4 δ) υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) = Θέμα 77 ο f() ξ + Α. ίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο Α= (, + ) με την ιδιότητα f(χ) = + tf(t) dt για κάθε χ > α) να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο Α= (, + ) β) Να βρείτε τη συνάρτηση f B. ίνεται η συνάρτηση f() = ln +, χ > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f ε) να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ =, χ = e Θέμα 78 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (,+ ) R με την ιδιότητα f() = A. Nα αποδείξετε ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη. β) f () = f (), για κάθε >. γ) f() =, για κάθε >. e, για κάθε >. f(t)dt Β. Η εφαπτομένη της C f στο μεταβλητό της σημείο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΑ = ΜΒ. β) Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν, ανεξάρτητο δηλαδή από τη θέση του σημείου Μ. Θέμα 79 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR και η συνάρτηση g() =. + f(t)dt Αν η γραφική παράσταση C f της f έχει στο + πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = +, τότε : α) Να βρείτε τα όρια f'() = και Β = lim (f '() ) A lim + + β) Να αποδείξετε ότι η g παραγωγίζεται και να βρείτε την g ως συνάρτηση της f Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

24 Σελίδα 4 από 4 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ() (, + ) τέτοιο ώστε g() = f(ξ()) lim f() =+ δ) Να αποδείξετε ότι ε) Να αποδείξετε ότι + lim g() = + + Γ= g() lim στ) Να βρείτε το όριο + Θέμα 8 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR και η συνάρτηση g() =. + f(t)dt Αν η γραφική παράσταση C f της f έχει στο + πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = +, τότε : α) Να βρείτε τα όρια f'() = και Β = lim (f '() ) A lim + + β) Να αποδείξετε ότι η g παραγωγίζεται και να βρείτε την g ως συνάρτηση της f γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ() (, + ) τέτοιο ώστε g() = f(ξ()) lim f() =+ δ) Να αποδείξετε ότι ε) Να αποδείξετε ότι + lim g() = + + Γ= g() lim στ) Να βρείτε το όριο + Θέμα 8 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln + α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. ε) Να λύσετε την εξίσωση : f() + f( ) = f( 5 ) + f( ) στ) Αν α, β > και α = e ( β α )( β+α) ( ) β, να αποδείξετε ότι α = β. ΥΠΟΔΕΙΞΗ α) Γνησίως αύξουσα (, ] [, + ) β) Κοίλη στο και κυρτή στο.το Α(,) είναι σημείο καμπής γ) Αρνητική στο (, ) και θετική στο (, + ) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

25 Σελίδα 5 από 4 δ) Το IR ε) Το χ = προφανής λύση. Αν >, τότε <, 5 < και έτσι τελικά f()+ f( ) < f( 5 ) + f( ).Αν < >, τότε > και 5 >, οπότε τελικά f()+ f( ) > f( 5 ) + f( ) στ) Λογαριθμίζουμε και γίνεται ισοδύναμη με την f(α) = f(β) κλπ Θέμα 8 ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμού α, β, γ διαφορετικοί ανά δύο με α = β = γ. Να αποδείξετε ότι : α) Οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί και έχουν ίσα μέτρα. β) α + αβ + β = και α + β + γ = γ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. δ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Υπόδειξη γ) Η σχέση α + αβ + β = δίνει (α - β) = - αβ, οπότε : (α - β) = - αβ ή α β = θ, όπου θ = α Όμοια β γ = θ και γ α = θ Επομένως α β = β γ = γ α =θ Θέμα 8 ο ίνεται ο μιγαδικός w = 4z 4z + z z, z C α) Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση β) Αν ο μιγαδικός w = 4z 4z + z z 4z + z =, z C είναι φανταστικός, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z γ) Αν οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z, z, w, w είναι εσωτερικά σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) για τον οποίο ισχύει Θέμα 84 ο z -z + w -w = ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: IR IR με την ιδιότητα για κάθε IR. Na αποδείξετε ότι : f() + f(t)dt = f () α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

26 Σελίδα 6 από 4 β) υπάρχει χ ο (, ) τέτοιο, ώστε f (χ ο ) = f() + f(t)dt γ) f() = f() δ) υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) = Θέμα 85 ο f() ξ + ίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις fg, :(, + ) IR* με f() = g() = και f '( ) f ( ) g( ) g'( ) g ( ) f( ) + = + =, για κάθε >. α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι θετικές και f = g β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f, g γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = α, = α + όπου α >, καθώς και το όριο : A = lim E( α ) α + α) Η f είναι συνεχής στο διάστημα (-, ) και f() σταθερό πρόσημο στο (-, σταθερό θετικό πρόσημο. f( ) >, g( ) > + Άρα για κάθε. ΛΥΣΗ + για κάθε (, ) +,οπότε η f διατηρεί ).Επειδή f() = >, η f διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο. Όμοια η g διατηρεί (, + ) Είναι + = + = () f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) και + = + = () g ( ) g ( ) f( ) g ( ) f( ) g ( ) f ( ) Αφαιρούμε κατά μέλη τις (), () και παίρνουμε f ( ) g( ) g ( ) f( ) f( ) f ( ) g( ) g ( ) f( ) = = g ( ) g( ) = Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

27 Σελίδα 7 από 4 Άρα υπάρχει c,ώστε f( ) = c, για κάθε g ( ) > Για = προκύπτει ότι c =, επομένως f( ) = f ( ) = g( ) για κάθε. g ( ) > D Επιπλέον ισχύει ότι f g = D, οπότε f = g για κάθε (, + ). ( ) + ( ) ( ) = β) Η σχέση f f g γίνεται + = + = f ( ) f ( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f = f = = f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα υπάρχει c, ώστε = + c, για κάθε. f ( ) > Για =,η τελευταία δίνει c =. Έτσι, f ( ) = + > οπότε f ( ) = +, για κάθε >.Η f διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο, άρα f( ) = +, >, και g ( ) = +, >. γ) Η f είναι συνεχής στο (-,+ ) και ( + ) f ( ) = = ( + ) ( + ) + <, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-,+ ). Είναι lim f( ) = lim = ,διότι lim + = και + + για δεξιά του -. Άρα η ευθεία = - είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης. Είναι lim f( ) = lim = lim =. Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. δ) Είναι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

28 Σελίδα 8 από 4 a+ a+ a+ E( a) = f ( ) d = d = = a a + d a + a+ a + = ( ) + d= + = a+ a+ τ. μ. a a Είναι ( a+ ) ( a+ ) lim Ea ( ) = lim ( a+ a+ ) = lim = a + a + a + a+ + a+ lim = a + a( ) a a Θέμα 86 ο ίνεται η συνάρτηση f() = α ln - lnα με < α < α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να λύσετε την εξίσωση α = α και να αποδείξετε ότι αν β >α, τότε β α > α β γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f δ) Να βρείτε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου που σχηματίζει η C f με τον άξονα και την ευθεία = λ, με λ > και διάφορο του α. ε) Να βρείτε τα όρια Θέμα 87 ο ίνεται η συνάρτηση f lime( λ), lim E( λ) λ λ + : IR IR με την ιδιότητα f ( f ( y)) + f ( yf ( )) = y για κάθε, y IR. Α.α) Να βρείτε το f() και να αποδείξετε ότι f() = ή f() = - β) Αν η f είναι -, να αποδείξετε ότι f ( ) = f ( ), για κάθε Β. Αν f() =, να αποδείξετε ότι α) f ( ) + f ( f ( )) = για κάθε IR. β) η f είναι γ) f() =, για κάθε IR. Γ. Αν f() = -, να αποδείξετε ότι : α) f(-) = β) f ( ) + f ( f ( )) = για κάθε IR γ) η f είναι δ) f() = -, για κάθε IR. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

29 Σελίδα 9 από 4 Υπόδειξη Μπάμπης Στεργίου, Μάης 7 Α.α) Για = y =. Θέτουμε ακόμα y = και στη νέα σχέση τα =, = f() β) Στην f((f()) = θέτουμε όπου το και στην αρχική θέτουμε y = f ( ) Β.α) Για y = στην αρχική. β) Με τον ορισμό. γ) Θέτουμε όπου το στο α). Γ. α) Θέτουμε στην f(f()) = όπου το - και στη συνέχεια = - f(-). Έτσι f(-) = - ή f(-) =. Αν είναι f(-) = -, τότε η f(- f(-)) = δίνει f() =, άτοπο. β) Στην αρχική σχέση θέτουμε y = - κλπ γ) Με τον ορισμό. δ) Θέτουμε όπου το στο β). Θέμα 88 ο Μια συνάρτηση f έχει αρχική F στο IR και ισχύει : f()f(y) Αν f()=, F() =, τότε : f(y)f() για κάθε, y στο IR. α) Να αποδείξετε ότι f() = F() για κάθε χ στο IR. β) Να αποδείξετε ότι f() = e, για κάθε στο IR. γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων καθώς και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση, την παραπάνω εφαπτομένη και τον άξονα y'y. '' Θέμα 89 ο ίνεται η συνάρτηση f ( )= + +. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Θέτουμε = - u και παίρνουμε I = d f( ) Υπόδειξη Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

30 Σελίδα από 4 Επομένως u I = = + u + + u du 5 d I = I + I = d + d 5 = = ( + ) d =... = d 5 = και τελικά I = Άλλος τρόπος Πολύ λίγοι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με τη μέθοδο της αντίστροφης πορείας: Αντί να ολοκληρώσουμε, ας παραγωγίσουμε : Ας δούμε πως εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος. Θέτουμε f( )= και I ( ) = f( tdt ), οπότε : 6 I'( ) = ( f( t) dt)' = f( ) + f( ) = ( + ) = ( + + ) 6 =, I( ) = ( + + ) Επομένως, τελικά, παίρνουμε : Θέμα 9 ο 5 I( ) = και I = I( 5) = ίνονται οι μιγαδικοί z και z με z =, και η συνάρτηση f()= z ημ + z συν για την οποία ισχύει f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: z +. f ()= ημ + συν Re( z z )ημ Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

31 Σελίδα από 4. O μιγαδικός w z = είναι φανταστικός. z. O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με εξίσωση +ψ = και το εσωτερικό του. π 4. Η εξίσωση f()= έχει ακριβώς μία πραγματική λύση στο,. Θέμα 9 ο Έστω η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο R και έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία ψ= +4. Υπολογίστε τα όρια: α) lim + f γ) lim + f ( ) ( ) + ln ln ε) lim f - + δ) f lim + f ( ) + 4 ( ) + β) lim [ f ( ) ] + 7 στ) lim f + Θέμα 9 ο Έστω η συνάρτηση f()= - ln.. Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. -. Να αποδείξετε ότι e για κάθε >.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f που διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Θέμα 9 ο Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει αρχική την F και η f () F () e έχει αρχική την e. f : IR IR για την οποία να ισχύεί ότι η f Έστω ότι ισχύουν ) ( ) ( ) f ( ) για κάθε IR () F = Απόδειξη F ( ) f ( F ( ) f ( ) και e = e για κάθε IR F ( ) e = e, F ( ) f ( ) από () f ( ) e = e για κάθε IR () Πρέπει f ( ) > για κάθε IR. ln f ( ) e = ln e ln f ( ) + F( ) = f ( ) για κάθε IR. Οι συναρτήσεις στα δύο f ( ) ln f ( ) + F( ) = f ( ) + f ( ) = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) f ( ) F ( ) f ( ) Από () ( ) μέλη είναι παραγωγίσιμες οπότε ( ) ( ) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

32 Σελίδα από 4 ln f ( ) + = ( ) για κάθε IR. f ( ) Οπότε υπάρχει σταθερά c IR τέτοια ώστε f ( ) + = + c f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = ln + με >. Είναι g ( ) = = παρουσιάζει ελάχιστο στο το g( ) =, δηλαδή ( ) = ln + Από (4) + c για κάθε IR το οποίο φυσικά είναι ΑΤΟΠΟ. ln για κάθε IR.(4), >. Άρα η g για κάθε >. g Θέμα 9 ο Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, ] με < f ( ) 4 για κάθε ε [, ] (), και f ( ) + f ( ) = () Να αποδειχτεί ότι f ( ) για κάθε ε [, ] (). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Από ΘΜΤ στο [, ] υπάρχει χ ε (, ) ώστε: f () f () = f ( ) f () = f () = f () < f ( ) 4, άρα < f () και () 4 ( ) < f ( ) f (χ )= Από () ισχύει: f οπότε f και. Αποδείξαμε δηλαδή την () για χ= και για χ=. Έστω ε(, ). Από ΘΜΤ στα διαστήματα [, ] και [, ] υπάρχουν ε (, ) ώστε: ε (, ) και f ( ) f () f () f ( ) f ( ) = και f ( ) =. f ( ) f () f () f ( ) f ( ) = και ( ) = > f ( ) f () 4 f ( ) f () < f ( ) < 4 f ( ) < Από την ανίσωση () ισχύουν: 4 f. Άρα και, οπότε προσθέτοντας κατά μέλη και χρησιμοποιώντας την () έχουμε: ή. Τελικά f ( ) για κάθε [, ].Το ίσον μπορεί να ισχύει μόνο για χ=. Θέμα 94 ο ίνεται συνάρτηση f : IR IR για την οποία γνωρίζουμε ότι: f () = και f ( ) = f ( ) + IR. α). Να δείξετε ότι η συνάρτηση h ( ) = f ( ) + f( ), IR είναι σταθερή. για κάθε Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

33 Σελίδα από 4 β). Να βρεθεί το όριο f ( ) lim Απάντηση α). Εύκολο. Αποδεικνύεται επιπλέον ότι: h ( ) = f ( ) + f( ) =, IR.() β). Ισχύουν f () =, f γνησίως αύξουσα στο IR οπότε για κάθε > f( ) >. 6 f( ) f ( ) Ακόμη f ( ) = < για κάθε >, οπότε η f είναι κοίλη στο [, + ). f ( ) + ( ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Ο(,) είναι η y= και είναι, στο [, + ), «πιο πάνω» από την γραφική παράσταση της f, δηλαδή ( ) f ( ) < για κάθε > < f < για κάθε >. Άρα f( ) lim = Από () Από () Σημείωση + = f ( ) f( ) f( ) για κάθε > και έτσι lim = f ( ) f( ) f ( ) = για κάθε > Άρα lim = f( ) lim =. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε lim f( ) = l IR ή lim f( ) = Το πρώτο ερώτημα δίνει ότι f () + f() =. Η σχέση αυτή εξασφαλίζει (με άτοπο) ότι + Επομένως lim f( ) =+ () f ( ) f ( ) = f ( ) + + f ( ) lim = lim ( f ( ) f '( ) = lim = lim ΣΧΟΛΙΟ o Η σχέση f () + f() = γράφεται f f f χ >. Έτσι < f ( ) <, οπότε η λύση του kser συντομεύει. = ( )( ( ) + ) ( ) για κάθε θετικό, αφού f() > για ΣΧΟΛΙΟ o Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

34 Σελίδα 4 από 4 Βλέπω ότι η f - βρίσκεται και έχει όριο + καθώς το χ τείνει στο +. Με μια αλλαγή μεταβλητής νομίζω ότι θα προκύψει ότι και το όριο της f στο + είναι ίσο με +.Επομένως η σχέση () στο πρώτο σχόλιο προκύπτει και διαφορετικά. οκιμάστε το αν θέλετε. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

35 Σελίδα 5 από 4 Θέμα 95 ο f() Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με την ιδιότητα f(d) = [, + ) f()e =, D = [, + ) έχει σύνολο τιμών το Απόδειξη b a a) b Θεωρούμε. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει, ώστε f( h() = e Θεωρούμε τη συνάρτηση με.( Αυτή είναι η πιθανολογούμενη αντίστροφη της f ).Με την =. βοήθεια της παραγώγου βλέπουμε αμέσως ότι η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα και. Θεωρούμε λοιπόν a b = be και θα αποδείξουμε ότι f(a) = b. Όμως : που ισχύει. Άρα. f(a) b b f(a) = b h(f(a)) = h(b) f(a)e = be a = be, f(d) = [, + ) Άλλος τρόπος f() Εύκολα συμπεραίνουμε ότι για κάθε. b a= be b Έστω και. a) > b e >e f(a) > b f(a) b Αν ήταν f(, τότε και αφού, παίρνουμε(με πολλαπλασιασμό) ότι a) < b Αν ήταν f(, τότε και αφού f(a) b b f(a)e > be a> be, άτοπο! f(a) b e < e f(a) < b, παίρνουμε(με πολλαπλασιασμό) ότι f(a) b b f(a)e < be a< be, άτοπο! Επομένως θα είναι f( a) = b και τελειώσαμε. Θέμα 96 ο Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάσημα Δ = [, ) + με f() = και f() f'() = για κάθε > f() α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g() =, > β) Να αποδείξετε ότι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

36 Σελίδα 6 από 4 f() = 6, Δ γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C f και τον άξονα δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το παραπάνω χωρίο Ω σε δύο νέα χωρία με ίσα εμβαδά. Υπόδειξη α) Βρίσκουμε την παράγωγο της g, οπότε τελικά g() = 6, μια και g() = β) Βασιζόμαστε στο α). f( ) = limf() Επιπλέον είναι = =, διότι η f είναι συνεχής στο. γ) Ε(Ω) = δ) Πρέπει ( 6 )d = 4 6 α ( 6 α)d = εν αναπτύσσουμε τις ταυτότητες, αλλά με κοινό παράγοντα το (6 α) καταλήγουμε εύκολα στην εξίσωση ( 6 ) α = α= 4 Θέμα 97 ο 4 e 4 f ( ) =, Α. ίνεται η συνάρτηση α. Να αποδείξετε ότι για κάθε. f ( ) > lim f ( ) lim f ( ) β. Να βρείτε τα όρια,. Β. α. Αν για κάθε πραγματικό αριθμό 4 ισχύει: e α + β + 4 +, να αποδείξετε ότι: α και β 8 4 β. Να αποδείξετε ότι e , για κάθε πραγματικό αριθμό. Α. α. Έστω η συνάρτηση g( ) = e, ΛΥΣΗ IR. Είναι g ( ) = e, g ( ) = e > > και g ( ) = e < <. Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Έτσι, για κάθε > θα είναι IR οπότε Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

37 Σελίδα 7 από 4 και για κάθε < θα είναι g ( ) > g() g( ) > g ( ) > g() g( ) >, > δηλαδή για κάθε ισχύει g( ) > ή (). 4 Για : 4 η () γίνεται e 4 > για κάθε () 4 4 Συνεπώς f ) = > ΣΧΟΛΙΟ e ( Μπορούμε να θέσουμε από την αρχή = e για κάθε. 4 g ( )= e 4 κλπ 4 4 β. Είναι lim f ( ) lim e = = Επίσης με τον κανόνα de L Hospital βρίσκουμε : e lim f ( ) = lim 6e = lim 4 = = lim 4 ( e 4 ) ( ) 4 4e 4 = lim = lim 4 ( 4e 4) ( ) 4 Β. α. Για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: e α + β + 4 +, άρα 4 e ιαιρούμε με για και παίρνουμε Αν υποθέσουμε ότι < 4 α + β για κάθε IR. f ( ) α + β για κάθε α τότε lim ( α + β ) = + ενώ lim f ( ) =,. ΑΤΟΠΟ αφού f ( ) α + β για κάθε. Πρέπει συνεπώς α. Ακόμη,, και f ( ) α + β για κάθε. Πρέπει β 8. lim( α + β ) = β lim f ( ) = 8 4 h( ) = e 8 4, IR και έχουμε: 4 h ( ) = 4e 6 4 IR 4 4 h ( ) = 6e 64 6 = 6 e 4 > για κάθε, h συνεχής στο οπότε h γνησίως αύξουσα στο IR. h ( ) = > θα είναι h ( ) > h () h ( ) > < θα είναι h ( ) < h () h ( ) < 4 β. Για να αποδείξουμε την ανίσωση e για κάθε IR Θεωρούμε τη συνάρτηση, ( ) (από τη σχέση () του Αα). Όμως Επίσης είναι. Για κάθε Για κάθε Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

38 Σελίδα 8 από 4 Έτσι, η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο παρουσιάζει ελάχιστο το h( ) =. Άρα [,+ ). Συνεπώς στο Θέμα 98 ο h ( ) για κάθε IR e για κάθε IR. ίνεται η συνάρτηση 5 f( )= e e. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 5 f( ) I = d Υπόδειξη δ) Θέτουμε u = και βρίσκουμε Ι = - Ι, δηλαδή Ι = Θέμα 99 ο ίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR, με f( ) = 6,f( ) = και f'() = + f( α) e f(t) dt, για κάθε IR α) Να αποδείξετε ότι f( α ) = β) Να βρείτε τη συνάρτηση f και την τιμή του α., όπου α είναι σταθερός αριθμός. γ) Αν για τη συνάρτηση g ισχύει ((f g)() = (g f)() για κάθε IR, να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει μία τουλάχιστον λύση. δ) Να αποδείξετε ότι η C f εφάπτεται με τη C h, όπου h() = ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν η C f, η C h και ο άξονας y y. Θέμα ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο = [, + ) με α) Να βρείτε τη μονοτονία της f. f() f()e = για κάθε. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f -, αν f( )= [, + ) γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

39 Σελίδα 9 από 4 I= f()d, αν f() = α. ΜΕΘΟΔΟΣ : Η ειδική αντικατάσταση Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Υπόδειξη = ημ( ) d π π π I e Μπάμπης Στεργίου, Απρίλης 7 Θέτουμε = π u και τελικά βρίσκουμε Ι = - Ι. Απάντηση : Ι = Θέμα ο Έστω f συνεχής και θετική συνάρτηση στο IR. Να αποδείξετε ότι : α) t f(t)dt >, για κάθε > β) tf(t)dt< f(t)dt, για κάθε > γ) Η συνάρτηση h() = t f(t)dt, f(t)dt i) γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). είναι : ii) γνησίως φθίνουσα στο (,). δ) Η συνάρτηση h() = f(t) tdt ημ f(t) συνtdt π είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ). ε) Αν η f είναι επιπλέον γνησίως αύξουσα, τότε : i) tf(t)dt < f() ii) Η συνάρτηση g() = f(t)dt, > είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8

40 Σελίδα 4 από 4 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός 5//8