βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

Transcript

1 Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας με το ελάχιστο πολυώνυμο Συνιστώμενες ασκήσεις: -8, -,, 9,,, 6 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου ή Έστω a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του b Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος c Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος και βρείτε ένα ( x) [ x] βαθμού με Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των , και εξετάστε αν οι, είναι όμοιοι 0 Έστω a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του b Δείξτε ότι δεν υπάρχει τέτοιος ώστε Έστω ( v, v, v ) μια διατεταγμένη βάση του και : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από ( v ) v v, ( v) v v v, ( v) v v Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της και εξετάστε αν υπάρχει διατεταγμένη βάση u του ώστε ( : u, u), όπου Α είναι ο πίνακας της άσκησης Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : [ x] [ x], ( ( x)) ( x) ( x) a Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της και εξετάστε αν η είναι διαγωνίσιμη b Βρείτε τη διάσταση κάθε ιδόχωρου της 6 Έστω τέτοιος ώστε ( I )( I )( 7 I ) 0 Εξετάστε αν ο είναι a διαγωνίσιμος, b αντιστρέψιμος 7 Να καθοριστούν όλοι οι τέτοιοι ώστε 0 και Tr 6 8 Να βρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο του Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος ( ) τέτοια

2 Ασκήσεις 6 9 Έστω Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης t :, ( ), και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη 0 Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως 0 Δείξτε ότι ( x) ( x) για κάθε t Έστω και W ο υπόχωρος του άσκηση των Ασκήσεων είδαμε ότι di, τότε κάθε στοιχείο v V v v v v, όπου v ker( ),,0, που παράγεται από τα στοιχεία W Δείξτε ότι diw deg ( x ) Έστω,, C και D 0 C a Δείξτε ότι αν ο D είναι διαγωνίσιμος, τότε οι και C είναι διαγωνίσμοι b Ισχύει το αντίστροφο του a; Βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του Γενικεύοντας την προηγούμενη, άσκηση βρείτε το ελάχιστο πολυώνυμο του a b b b b a b b b b a b b b b a και εξετάστε αν ο Α είναι διαγωνίσιμος, όπου 6 Δείξτε ότι ( x) x και ( x) ( x ), όπου , a Έστω a 0 0 b d 0 c e Αποδείξτε ότι ο Α είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a 0 b Να βρεθούν οι τιμές των abc,, ώστε ο πίνακας να είναι διαγωνίσιμος 8 Έστω a b 0 c 0 0 V I,,, Στην

3 Ασκήσεις 6 k 0 0 x 0 a Βρείτε τις τιμές του k ώστε deg ( ) b Για την τιμή του k που βρήκατε πριν, υπολογίστε τον με χρήση του ( x ) c Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος για κάθε θετικό ακέραιο 9 Να βρεθούν οι τιμές του c τέτοιες ώστε το πολυώνυμο ( x ) ( x x c ) να μηδενίζεται από τον πίνακα Έστω a a a Για καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις βρείτε όλες τις τιμές του a (αν υπάρχουν) τέτοιες ώστε να αληθεύει η αναγραφόμενη ιδιότητα a Υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P P είναι άνω τριγωνικός b Υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P P είναι διαγώνιος c Ο πίνακας Α μηδενίζει το πολυώνυμο ( x )( x )( x 00) Έστω I Έστω, με τέτοιος ώστε I, I, I 0, I 0 a Να δειχθεί ότι οι Α, Β έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο b Αληθεύει ότι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο; c Εξετάστε αν οι, είναι τριγωνίσιμοι I για κάποιο θετικό ακέραιο και Tr Αποδείξτε ότι Έστω τέτοιος ώστε 9 0I 0 Δείξτε ότι ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω περιπτώσεις I ή όμοιος με τον όμοιος με τον I ή Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε για τα ελάχιστα πολυώνυμα ( x), ( x ) ισχύει ( ( x), ( x )) Έστω g g a Δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση g ( ) : V V είναι ένας ισομορφισμός b Δείξτε ότι αν ker {0 V }, τότε ker g {0 } ή V

4 Ασκήσεις a0 0 0 a 0 0 a 0 0 a Στην άσκηση, είδαμε ότι ( x ) ( ) ( x a x a 0) Δείξτε ότι ( x) ( ) ( x) 6 Έστω και ( x) [ x] Ο ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ( ( x), ( x)) 7 Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση και ( x) [ x] Δείξτε ότι ker ( ) ker d( ), όπου d( x) ( ( x), ( x)) 8 Έστω ένας αντιστρέψιμος, τριγωνίσιμος πίνακας τέτοιος ώστε ( x) ( x ) Δείξτε ότι 9 ( I ) 0 a Έστω b Έστω, τέτοιοι ώστε ( ) ( ) x x Δείξτε ότι οι, είναι όμοιοι C, D Δείξτε ότι ( x) ( x ) και ( x) ( x ), αλλά οι πίνακες CD, δεν είναι όμοιοι C D 0 Έστω Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση R:, R( ) Αποδείξτε ότι a Αν ( x) [ x], τότε ( R )( ) ( ) για κάθε, και b ( x) ( x) R Αληθεύει ότι ( x) ( x) ; R C D Έστω, Ξέρουμε ότι ( x) ( x ) (βλ άσκηση 7) Αληθεύει ότι ( x) ( x ) ; Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Υπάρχει με ( x ) ( x )( x ) και ( x) ( x ) ( x ) b Έστω τέτοιος ώστε I 0 Τότε ο είναι διαγωνίσιμος Έστω 0 I με ( x) ( x )( x ) ( x 0) Να βρεθεί το ( x), όπου 0 Έστω με det 0 Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός με 0 Υπολογίστε 0 ένα τέτοιο όταν 0 0 Έστω τέτοιος ώστε Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος και rank Tr( ) 6 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα Έστω a 0 για κάποιο θετικό ακέραιο 0

5 Ασκήσεις 6 b αντιστρέψιμος (0) 0 c Αν, τότε ο είναι διαγωνίσιμος 0 d Έστω, Τότε ( x) ( x) 0 e Αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ( x) ( x ) για κάθε

6 Ασκήσεις 66 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι (μετά από λίγες πράξεις) x ( x) det x ( x ) ( x ) x Ξέρουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και έχει τις ίδιες ρίζες με αυτό (βλ Πόρισμα και Θεώρημα 6) Άρα ( x) ( x )( x ) ή ( x) ( x ) ( x ) Ελέγχουμε αν ο ( I)( I) είναι ίσος με 0 Έχουμε ( )( ) Συνεπώς ( x) ( x )( x ), που είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβαθμίων μονικών παραγόντων Άρα ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Ο είναι αντιστρέψιμος αφού (0) 0 Από ( x) ( x )( x ) x 6x παίρνουμε 0 6 I I ( 6 ) ( 6 I) Ένα ζητούμενο ( x) είναι το ( x) ( x 6 I) Υπόδειξη: Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ( x) ( x) ( x ), ( x) ( x ), ( x) ( x ) Οι, δεν είναι όμοιοι, γιατί όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο (Πρόταση 8) a Απάντηση: ( ) x x b Υπόδειξη: Αν υπήρχε 0, άτοπο με, τότε κάθε ιδιοτιμή του θα ήταν ίση με 0 και άρα Απάντηση: Δεν υπάρχει καθώς x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) Απάντηση: Θεωρώντας τη διατεταγμένη βάση {, xx, }, εύκολα βρίσκουμε ότι ο αντίστοιχος πίνακας της είναι ο Έχουμε ( x) ( x ), η δεν είναι διαγωνίσιμη και υπάρχει μοναδικός ιδιόχωρος οπότε η ζητούμενη διάσταση είναι di V ( ) 6 Έστω ( x) ( x )( x )( x 7) [ x] Έχουμε ( ) 0 και άρα ( x) ( x ) a Από την τελευταία σχέση και το γεγονός ότι το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων στο [ x ], έπεται ότι το () x είναι γινόμενο

7 Ασκήσεις 67 πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων στο [ x ] Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα b ος τρόπος Από ( x) ( x ) και το Θεώρημα 6 έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε,, 7 Άρα το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του και επομένως ο είναι αντιστρέψιμος ος τρόπος Υπόδειξη Ο μηδενίζει ένα πολυώνυμο που έχει μη μηδενικό σταθερό όρο Άρα είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση (Σημείωση Αυτός ο τρόπος δεν χρησιμοποιεί ιδιοτιμές ή ελάχιστο πολυώνυμο αλλά μόνο τον ορισμό αντιστρέψιμου πίνακα) 7 Επειδή, έχουμε ( x) x( x )( x ) Επειδή το 0 ( I)( I) x( x )( x ) είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβάθμιων μονικών παραγόντων στο [ x ], το ίδιο ισχύει και για το () x και επομένως ο Α είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Επίσης, κάθε ιδιοτιμή του είναι ένας από τους αριθμούς 0,, Το άθροισμα των ιδιοτιμών του είναι 6 Επειδή ο είναι, συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές είναι,, Συνεπώς ο είναι όμοιος με τον I Άρα I 8 Παρατηρούμε ότι 0 Ββ C, 0 D όπου, C, D (7) Έχουμε 0 ( x) ( x ) Άρα ( x) ( x )( x 7) C ( x) ( x 7) D C D ( ) ( ) συμπεραίνουμε ότι ( x) x ( x) ( x ) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x ) ( x 7) σύμφωνα με την Πρόταση Από x x γιατί το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Επειδή I 0, έχουμε ( ) ( ) x x Από ( x C ) ( x )( x 7) έπεται άμεσα ότι C ( x) ( x )( x 7) Έχουμε D ( x) x 7 Σύμφωνα με το Πόρισμα 0 ( x) ( ( x), ( x), ( x)) ( x ) ( x 7) C D Ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος αφού το ελάχιστο πολυώνυμό του διαιρείται με το ) ( x ) (Πόρισμα 9 Απάντηση: x x Είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με το Θεώρημα ( ) 0 Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας το ελάχιστο πολυώνυμο, δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη t t t Υπόδειξη: Αν ( x) [ x ], τότε ( ) ( ) και άρα ( ) 0 ( ) 0 k Υπόδειξη: Δείξτε ότι τα στοιχεία I,,,,, όπου k deg ( x), είναι μια βάση του W a Λύση: Αν ( x) ( ) * [ x ], τότε ( D) 0 ( C) Για ( x ) ( ) D x παίρνουμε D ( ) * 0 D( ) D( C) 0 0 D ( C) ( x) ( x), ( x) ( x) D C D

8 Ασκήσεις 68 Επειδή ο D είναι διαγωνίσιμος, το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών D παραγόντων στο [ x ] και άρα το ίδιο ισχύει για καθένα από τα () x, C () x Άρα οι C, είναι διαγωνίσιμοι b Απάντηση: Δεν ισχύει Ένα παράδειγμα είναι C (), D Ο D δεν είναι 0 διαγωνίσιμος Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι και άρα ( x) x( x ) Υπόδειξη: Από την άσκηση ξέρουμε ότι ( x ) ( ) ( x a ( ) b )( x a b ) Δείξτε ότι αν b 0, τότε ( x a ( ) b)( x a b), b 0 ( x) x a, b aλύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το ( x) ( x ) Από το Πόρισμα και το Θεώρημα 6 έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του είναι ένα από τα ( x )( x ), ( x ) ( x ), ( x )( x ), ( x ) ( x ) Από το Πόρισμα, ο Α διαγωνοποιείται αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το ( x)( x ) Είναι σαφές ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το ( x)( x ) αν και μόνο αν ( I)( I) 0 Υπολογίζοντας βρίσκουμε a ( I)( I) ad ae b d 0 Επομένως ( I)( I) 0 a 0 (και b, c, d, e τυχαία) b Απάντηση: a 0 (και bc, τυχαία) 8 Απάντηση: a Έχουμε b Λύση: deg ( x) ( I) 0 k 0 ( ) ( ) 0 x x x x I Στην περίπτωση αυτή x x ( ) ( ) k I I c Λύση: Οι ιδιοτιμές του είναι,, Αν ο είναι διαγωνίσιμος για κάποιο, τότε θα είναι όμοιος με τον I και άρα ίσος με αυτόν, I Δηλαδή ο μηδενίζει το πολυώνυμο x Άρα ( ) x x Από το a έπεται ότι ( x ) ( x ) και επομένως ( x ) x Αυτό είναι άτοπο 9 Το καθώς εφαρμόζοντας την Πρόταση 0 προκύπτει ότι όλες οι ρίζες του x στο είναι απλές ( x ) ( x x c ) μηδενίζεται από τον πίνακα αν και μόνο αν ( ) ( ) ( ) x x x x c Όπως στην άσκηση, βρίσκουμε ότι ( x) ( x )( x ) Επειδή τα πολυώνυμα x, x είναι σχετικά πρώτα, έχουμε σύμφωνα με την Πρόταση ( x) ( x ) ( x x c) x x x c Από την Πρόταση έχουμε x 009 x x c 009 c 0 c

9 Ασκήσεις 69 0 Έχουμε ( x) det( xi) ( x a)( x )( x ) και οι ιδιοτιμές του Α είναι a,, a Επειδή για κάθε a το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ], ο Α είναι τριγωνίσιμος για κάθε a (Θεώρημα ) b Αν a,, τότε ο Α έχει τρεις διακεκριμένες ιδιοτιμές και άρα είναι διαγωνίσιμος συμφωνα με το Πόρισμα 9 Αν a, τότε di V () rank( I ) 0 0 rank που είναι διάφορο της πολλαπλότητας () της ιδιοτιμής του Α Συνεπώς για a, ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 0 Όμοια αποδεικνύεται ότι για a, di V( ) ( ) και άρα ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος Από τα παραπάνω έπεται ότι, δεδομένου του a, υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας διαγώνιος αν και μόνο αν a, P τέτοιος ώστε ο P P είναι c Αν ο Α μηδενίζει το ( x )( x )( x 00), τότε ισχύει ( x) ( x )( x )( x 00) Επειδή το είναι ιδιοτιμή του έχουμε x ( x ) σύμφωνα με το Θεώρημα 6, οπότε x ( x )( x )( x 00) που είναι άτοπο Άρα δεν υπάρχει a τέτοιο ώστε ο Α να μηδενίζει το ( x )( x )( x 00) Από την υπόθεση I συνάγουμε ότι Ο Α διαγωνοποιείται Πράγματι, το ελάχιστο πολυώνυμο () x του Α διαιρεί το x και επειδή το x έχει διακεκριμένες ρίζες στο (όπως προκύπτει εφαρμόζοντας την Πρόταση 0), το ίδιο συμβαίνει για το () x Άρα ο διαγωνοποιείται σύμφωνα με το Πόρισμα Κάθε ιδιοτιμή του Α ικανοποιεί τη σχέση Έστω,, (όχι αναγκαστικά διακεκριμένες) οι ιδιοτιμές του Α Ξέρουμε ότι Tr (Πόρισμα 7) Από την τριγωνική ανισότητα για μέτρα μιγαδικών παίρνουμε Tr Άρα η ανισότητα είναι ισότητα Συνεπώς οι μιγαδικοί αριθμοί,, έχουν το ίδιο πρωτεύον όρισμα Κάθε i έχει μέτρο αφού i Άρα Από τη σχέση Tr παίρνουμε Άρα η διαγώνια μορφή του Α είναι ο πίνακας I, οπότε PI P για κάποιον αντιστρέψιμο P Επομένως I a Ο Α μηδενίζει το x x x ( x )( x ) και άρα x x x Επειδή τα πολυώνυμα x και x είναι ανάγωγα στο [ ] ( ) ( )( ) x παίρνουμε ότι το () x είναι ένα από τα x, x, ( x )( x ) Από την υπόθεση I και το γεγονός ότι deg ( x) (ο πίνακας είναι ), παίρνουμε ( ) x x Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι ( ) x x b Έχουμε ( x) ( x) (Πόρισμα ), deg ( x) deg ( x) (από το a), και τα ( x), ( x) έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο συντελεστή

10 Ασκήσεις 70 Άρα ( x) ( x) c Δεν είναι τριγωνίσιμοι σύμφωνα με το Θεώρημα γιατί το χαρακτηριστικό τους πολυώνυμο είναι το x που δεν είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων στο [ x ] Από τη σχέση I έπεται ότι x x x x x Άρα έχουμε τρεις ( ) 9 0 ( )( ) περιπτώσεις ) ( ) x x I ) ( ) x x I ) ( x) ( x )( x ) διαγωνίσιμος (βλ Πόρισμα 9 ή Πόρισμα ) Στην περίπτωση αυτή, οι ιδιοτιμές του είναι οι,, ή οι,,σύμφωνα με το Θεώρημα 6 Άρα στην περίπτωση αυτή, ο είναι όμοιος με τον Οι τέσσερις πίνακες I, I, ή με τον, είναι ανά δύο μη όμοιοι (πχ έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά πολυώνυμα) και άρα ισχύει ακριβώς μια από τις ανωτέρω περιπτώσεις a Από το Θεώρημα 6 υπάρχουν a( x), b( x) [ x ] τέτοια ώστε ( x) a( x) ( x) b( x ) Άρα V ( g) a( g) g ( g) b( g) ( g) a( g ) Από ( g) a( g) έπεται ότι η γραμμική απεικόνιση ( g) : V V είναι επί Επειδή ο V V είναι πεπερασμένη διάστασης, η ( g) : V V είναι ισομορφισμός b Έστω ότι και ο ker και ο ker g είναι μη τετριμμένοι Τότε το 0 είναι ιδιοτιμή και της και της g Από το Θεώρημα 6 έπεται ότι το x διαιρεί και το ( x ) και το g ( x ), άτοπο αφού ( ( x), ( x )) g 6 Έστω ότι ( ( x), ( x)) Τότε από το Θεώρημα 6 έχουμε ( x) a( x) ( x) b( x) για κάποια a( x), b( x) [ x] Άρα ( ) a( ) I και ο ( ) είναι αντιστρέψιμος Αντίστροφα, έστω ότι ο ( ) είναι αντιστρέψιμος Έστω px ( ) ένας κοινός παράγοντας των ( x), ( x) με deg px ( ) Τότε ( x) p( x) c( x), ( x) p( x) d( x) για κάποια c( x), d( c) [ x] Από την πρώτη σχέση παίρνουμε ( ) p( ) c( ), οπότε det ( ) det p( )det c( ) και άρα det p ( ) 0, δηλαδή ο p ( ) είναι αντιστρέψιμος Από τη δεύτερη σχέση παίρνουμε 0 ( ) p( ) d( ) και επειδή ο p ( ) είναι αντιστρέψιμος έχουμε d( ) 0 Άρα ( x) d( x ) και deg ( x) deg d( x), άτοπο αφού ( x) p( x) d( x) και deg px ( ) 7 8 Υπόδειξη: Αν το είναι μια ιδιοτιμή του, τότε καθένα από τα n, n,,, είναι μια ιδιοτιμή του Επειδή, προκύπτει ότι,0, Συμπεράνετε ότι ( x ) ( ) ( x ) g

11 Ασκήσεις 7 9 Υπόδειξη: a Διακρίνετε περιπτώσεις αν το ελάχιστο πολυώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες ή πολλαπλή ρίζα Στην ειδική περίπτωση που ( x) ( x) ( x ), χρησιμοποιώντας a τριγωνοποίηση έπεται ότι αρκεί να δειχτεί ότι οι, 0 0 αυτοί είναι όμοιοι υπολογίζοντας έναν αντιστρέψιμο P τέτοιον ώστε b Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο rank k k 0 Υπόδειξη: a Αποδείξτε ότι R ( ) για κάθε θετικό ακέραιο k b, είναι όμοιοι Δείξτε ότι οι πίνακες a b P P 0 0 b Αρκεί να δειχτεί ότι για κάθε ( x) [ x] ισχύει ( R ) 0 ( ) 0 Η ισοδυναμία αυτή έπεται από το a Γενικά δεν αληθεύει ότι ( x) ( x) καθώς έχουν βαθμούς αντίστοιχα v, v Απάντηση: Δεν αληθεύει Ένα αντιπαράδειγμα είναι, Έχουμε () x x 0 0 και ( ) x x a Λάθος γιατί το () x δεν διαιρεί το ( x ) (βλ Πόρισμα ) b Σωστό Έχουμε ότι ( ) x x x Αρκεί να δείξουμε ότι το x x δεν έχει διπλή ρίζα στο, γιατί τότε θα συμβαίνει το ίδιο για το () x και άρα ο θα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα Έστω ότι το έχει κοινή ρίζα με την παράγωγό του a 0, τότε a a, οπότε ( ) x x x έχει διπλή ρίζα στο, οπότε θα ( x) x σύμφωνα με την Πρόταση 0 Αν ( a) 0 a a 0 a a 0 a Αλλά το a δεν είναι ρίζα του ( x) x, άτοπο Απάντηση: ( x) ( x ) ( x ) ( x 0) Απάντηση για το τελευταίο ερώτημα Ισχύει x x x οπότε ένας είναι ( 6 I) ( ) ( 6) Υπόδειξη: Ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής diag(0,,0,,,,,, ) όπου a, b, c 0, a b c και rank b c Τότε ο 6 Απάντηση a Σ b Σ c Σ d Σ e Σ a b c είναι όμοιος με τον diag(0,,0,,,) a bc