NajkraÊe reëeno, obveznica je dugoroëni. 3. to je obveznica
|
|
- Μέντωρ Αθανασιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 22 3. to je obveznica NajkraÊe reëeno, obveznica je dugoroëni duæniëki vrijednosni papir. To je duæniëki financijski instrument jer kupac obveznice (na primarnom træiπtu) posuappleuje iznos na koji obveznica glasi njezinu izdavatelju (emitentu obveznice). Izdavatelj obveznice obeêava tijekom utvrappleenoga vremenskog razdoblja imatelju obveznice (vlasniku) godiπnje plaêati utvrappleeni iznos kamata, te o dospijeêu obveznice i iznos na koji obveznica glasi. U biti, rijeë je o klasiënom kreditnom odnosu izmeappleu izdavatelja i kupca obveznice. Meappleutim, za razliku od klasiënog kredita, duæniëki financijski instrument moæe biti kupljen ili prodan na sekundarnom træiπtu. Zapravo, obveznica je upravo kredit kojim se namjerava trgovati. Iznos kredita odnosno obveze izdavatelja jest tzv. nominala obveznice. To je iznos koji se izdavatelj obvezao platiti o dospijeêu obveznice, odnosno iznos na koji obveznica glasi.
2 Kao πto se na svaki drugi kreditni aranæman plaêa kamata, tako se i obveznice izdaju uz odreappleenu kuponsku kamatu (nominalnu kamatnu stopu) koja je uglavnom odreappleena opêim træiπnim uvjetima u vrijeme primarne emisije. Jednom utvrappleena, kuponska kamata vrijedi za cijeli æivotni vijek obveznice. Spomenimo ipak da postoje i obveznice Ëija se kamatna stopa tijekom njezina trajanja mijenja (obveznice s promjenjivom kamatnom stopom), pa Ëak i obveznice koje ne nose klasiëne kamate (tzv. obveznice bez kupona) veê se izdaju ispod nominale za iznos kamata. NovËani iznos plaêenih kamata jednostavno se moæe utvrditi kao umnoæak kamatne stope i nominalne vrijednosti obveznice. Primjerice, ako obveznica koja glasi na kuna nosi nominalnu kamatnu stopu od 10%, tada Êe njezin vlasnik po osnovi kamate ostvariti novëani iznos od 100 kuna godiπnje. Isplata kamata moæe biti utvrappleena u razliëitim intervalima, a uobiëajena je polugodiπnja ili godiπnja isplata. Vrijeme otplate glavnice naziva se dospijeêem obveznice. Otplata obveznice moæe biti jednokratna, tj. cjelokupna se glavnica (iznos na koji obveznica glasi) moæe isplatiti o dospijeêu obveznice, dok je isplata kamata periodiëna. Suprotno tome, pri serijskim (anuitetnim) otplatama kamate i glavnica isplaêuju se odreappleenom dinamikom Cijena obveznice i prinos Cijena obveznice ne iskazuje se izravno kao cijena koπtanja u novëanim jedinicama, veê u postotku nominalnog iznosa na koji obveznica glasi. Primjerice, ako obveznica glasi na 1000 kuna, njezina cijena od 100 znaëi da kupac mora platiti 100% nominalnog iznosa na koji obveznica glasi, tj kuna. Cijena od npr. 95 znaëi 95% nominale, tj. 950 kuna, dok cijena od 105 znaëi 105% nominalnog iznosa na koji obveznica glasi (1 050 kuna). Kad se obveznicom trguje po cijeni ispod 100% (ispod nominale), kaæemo da se obveznica træi uz diskont, a ako se obveznicom trguje po cijeni veêoj od 100%, kaæemo da se obveznicom trguje uz premiju: %, 98%, 99% 100% 101%, 102%, 103%... diskont y nominala l premija Cijena obveznice prvenstveno ovisi o sposobnosti izdavatelja da podmiruje svoju obvezu po kamatama i glavnici te, naravno, o ponudi i potraænji. Meappleutim, jedan od opêenitih Ëimbenika koji utjeëu na cijenu obveznice jesu prevladavajuêe træiπne kamatne stope. MoguÊnost (vjerojatnost) da Êe kamatne stope prouzroëiti pad vrijednosti izdanih obveznica jest tzv. rizik promjene kamatnih stopa. U tom smislu opêenito vrijedi pravilo da cijene obveznica rastu kada kamatne stope padaju, i obrnuto - kada kamatne
3 24 stope rastu, cijene obveznica na sekundarnom træiπtu padaju. Ako se malo zamislimo nad prihodom koji se ostvaruje investiranjem u obveznice, tada je priliëno jasno da postoji uzroëno-posljediëna veza izmeappleu cijene obveznice i prihoda, odnosno povrata koji ostvaruje ulagaë. Umjesto pojma prihod koji nosi obveznica u praksi se upotrebljava (skraêeni) izraz: prinos. Kuponski ili nominalni prinos nije niπta drugo nego unaprijed utvrappleena kamatna stopa, koju se izdavatelj obvezuje platiti vlasniku obveznice. Iako smo to veê spomenuli, ponovo Êemo naglasiti: nominalni (kuponski) prinos utvrappleen je prilikom izdavanja i on se ne mijenja tijekom æivota obveznice. Dakle, za obveznicu koja glasi na kuna i nosi kamatu od 10% njezin Êe vlasnik dobiti 100 kuna godiπnje - i to je nominalni ili kuponski prinos njegove obveznice. Meappleutim, investicijska se odluka ne donosi samo na osnovi nominalnog prinosa (nominalne kamatne stope) obveznice, veê i na osnovi cijene po kojoj se obveznica u danom trenutku træi. Pokazatelj koji uzima u obzir træiπnu cijenu i novëani iznos kamata πto ih obveznica donosi njezinu vlasniku jest tzv. tekuêi prinos obveznice. To je pokazatelj koji nam govori kakva je træiπna kamatna stopa na obveznice, odnosno kolika je stopa povrata na iznos investiran u obveznicu: godiπnje isplaêena kamata TekuÊi prinos = træiπna cijena obveznice BuduÊi da je iznos godiπnje isplaêene kamate tijekom trajanja obveznice uvijek jednak, tekuêi se prinos mijenja ovisno o træiπnoj cijeni: Træiπna cijena 90 (900 kn) 100 (1 000kn) 110 (1 100kn) Nominalna kamata 10% (100kn) 10% (100kn) 10% (100kn) TekuÊi prinos 11,11% 10% 9,09% Nominalna je kamata (kamatna stopa), ponavljamo, zadana varijabla za æivota obveznice. Meappleutim, kao πto znamo, kamatne stope na kredite mijenjaju se tijekom vremena, pa se ovisno o promjenama træiπnih kamatnih stopa nove obveznice izdaju uz viπu ili niæu nominalnu kamatu od nominalne kamate na veê postojeêe obveznice. Kako bi stare obveznice iπle ukorak s novim obveznicama (odnosno bile usklaappleene s træiπnim kamatnim stopama), vrijednost, tj. cijena starih (postojeêih) obveznica se mijenja. Ako kamatne stope na
4 træiπtu rastu, cijena postojeêih obveznica pada zato πto stara obveznica vrijedi manje od tek izdane obveznice s veêom kuponskom kamatom. Pri padu kamatnih stopa na træiπtu dogaapplea se obrnuto: cijena postojeêih obveznica raste jer vrijede viπe od novih obveznica s niæom nominalnom kamatnom stopom. Prema tome, cijena i prinos obveznice obrnuto su proporcionalne veliëine: ako træiπna cijena pada, tekuêi prinos raste i obrnuto - tekuêi prinos pada kada raste træiπna cijena. Takoappleer moramo zapamtiti: tekuêi je prinos veêi od nominalne kamatne stope ako se obveznicom trguje uz diskont; ako se pak obveznicom trguje uz premiju, tekuêi je prinos manji od nominalne kamate, odnosno od nominalnog prinosa. Kada je træiπna cijena jednaka nominalnom iznosu na koji obveznica glasi, tekuêi je prinos jednak nominalnoj kamatnoj stopi. cijena W 25 W prinos 3.2. Vrste obveznica Postoji mnoπtvo kriterija prema kojima se obveznice mogu klasificirati. Tako se s obzirom na oznaku vlasnika mogu podijeliti na obveznice na ime i obveznice na donosioca; s obzirom na kamatu, razlikuju se obveznice s fiksnom kamatom, s promjenjivom kamatom i obveznice bez kupona; s obzirom na otplatu, obveznice mogu biti s jednokratnim dospijeêem i s anuitetnom otplatom; s obzirom na osiguranje, one mogu biti osigurane (npr. hipotekom, zalogom opreme i sl.) ili bez osiguranja (tzv. zaduænice) itd. Meappleutim, najvaænija podjela jest ona s obzirom na izdavatelja obveznice, pri kojoj se pravi razlika izmeappleu korporativnih obveznica (obveznica poduzeêa) i obveznica javnog sektora (dræavnih obveznica) Obveznice poduzeêa Da bi poduzeêe moglo poslovati, potreban mu je kapital. U tom smislu nije svejedno izdaje li poduzeêe dionice ili obveznice. VeÊ smo spominjali da su vlasnici dionica (kako redovnih, tako i povlaπtenih) zapravo (su)vlasnici poduzeêa. Takoappleer znamo da vlasnik obveznice nije sudionik u
5 26 vlasniπtvu veê da je on vjerovnik odnosno kreditor poduzeêa. Iz toga proizlazi da u odreappleenim okolnostima vlasnik obveznice ima prednost pred dioniëarom. Tako prije isplate dividendi moraju biti podmirene obveze poduzeêa po kamatama na obveznice; u sluëaju (ne daj Boæe) bankrota poduzeêa, prvi se iz prodaje imovine poduzeêa namiruju vlasnici obveznica, dok su dioniëari sa svojim potraæivanjima tek na kraju tuæne likvidacijske priëe. Stoga (iz perspektive ulagaëa) opêenito vrijedi da su obveznice u usporedbi s dionicama manje riziëne. Izdavanje obveznica moæe i iz perspektive poduzeêa imati odreappleene prednosti pred dionicama jer, primjerice, izdavanje dionica ili vlasniëkih udjela moæe oslabiti ulogu i poziciju osnivaëa poduzeêa pri donoπenju strateπkih odluka - obveznice ne razvodnjavaju vlasniëku strukturu postojeêih dioniëara. U usporedbi s klasiënim kreditom, obveznice uglavnom stavljaju kapital na raspolaganje po niæim kamatnim stopama. Kada poduzeêa prodaju obveznice izravno investitorima, zapravo se preskaëe uloga komercijalne banke kao posrednika izmeappleu onoga πto struka zove novëano suficitarnim i novëano deficitarnim jedinicama, pa je upravo stoga financiranje Ëesto i jeftinije. Osim toga, obveznica je uëinkovitiji instrument od kredita zato πto je poduzeêe poπteappleeno zasebnih pregovora s viπe kreditora (ako je npr. rijeë o velikim iznosima) - obveznica je jedinstveni instrument kojim je moguêe posuditi velike iznose kapitala od stotina ili tisuêa investitora bez posebnih pregovara na relaciji poduzeêe - investitori Obveznice javnog sektora Iako se pod pojmom obveznica javnog sektora najëeπêe razumijevaju dræavne obveznice koje izdaje ministarstvo financija, u πirem smislu treba im pribrojiti i dugoroëne financijske instrumente lokalnih jedinica uprave i samouprave (tzv. municipalne obveznice) te obveznice razliëitih dræavnih agencija ili fondova. U veêini zemalja srediπnja je dræavna vlast najveêi pojedinaëni posuappleivaë sredstava i duænik s najveêim kredibilitetom. Visoka razina zaduæivanja dræave najëeπêe se objaπnjava nuænoπêu financiranja naglih i golemih izdataka (npr. rat, velike elementarne nepogode i sl.), stalnim rastom javnog sektora u mnogim nacionalnim gospodarstvima te neuravnoteæenim dræavnim prihodima i rashodima na godiπnjoj razini, ali i potrebom upravljanja gospodarskom aktivnoπêu ili jednostavno veêom politiëkom prihvatljivosti zaduæivanja u usporedbi s oporezivanjem. U zemljama s razvijenim financijskim træiπtem, træiπte obveznica je jedan od vaænijih mehanizama na raspolaganju dræavi u upravljanju gospodarstvom. Ako npr. vlada æeli
6 stimulirati gospodarsku aktivnost, otkupljuje svoje obveznice, πto im podiæe cijenu i smanjuje prinos. To utjeëe i na cijene i prinose korporativnih obveznica, te opêenito smanjuje razinu kamatnih stopa. Istodobno to znaëi i dodatnu injekciju novca u financijski sustav, πto rezultira porastom novëane ponude. Ako pak dræava æeli zauzdati gospodarsku aktivnost, moæe prodavati obveznice - poveêati kamatne stope i smanjiti ponudu novca. Dræavni dug u odreappleenoj je mjeri sliëan je dugu poduzeêa. Meappleutim, za razliku od poduzeêa, dræava obiëno ne smanjuje svoj dug u apsolutnom iznosu, veê preferira refinanciranje starih dugova novim zaduæivanjem, oslanjajuêi se na rast nacionalnoga gospodarstva i odræavanje duga u odnosu prema BDP-u (bruto domaêem proizvodu) u odreappleenim granicama. Iako se dræava zaduæuje i putem klasiënih kredita, dugoroëna priroda dræavnih dugova i visoki kredibilitet dræave Ëine zaduæivanje izdavanjem obveznica Ëesto i jednostavnijim i jeftinijim naëinom. Zapravo, u veêini je zemalja nastanak træiπta obveznica potaknula upravo dræava. Za investicijskog bankara, ali i za svakog drugog investitora, vrlo je vaæna Ëinjenica da je træiπte dræavnih vrijednosnica jedan od stupova cjelokupnoga financijskog træiπta. DuæniËki instrumenti dræave po pravilu su iznimno homogeni u svom obliku i raspoloæivi u takvim koliëinama da je træiπte izrazito likvidno - postoji velik obujam trgovine, koji investitoru omoguêuju kupovine i prodaje velikih pozicija bez prekomjernih transakcijskih troπkova. Osim toga, buduêi da se dræava smatra duænikom s najmanjim rizikom, prirodno je da se sve ostale obveznice (u odreappleenoj valuti) usporeappleuju s odgovarajuêim dræavnim obveznicama. To vrijedi za domaêe obveznice, ali i za strane obveznice i euroobveznice. Promatramo li npr. obveznicu izdanu u njemaëkim markama (DEM), osnovica za usporedbu (tzv. benchmark) jest njemaëka dræavna obveznica: u odnosu prema njemaëkoj dræavnoj obveznici usporeappleuju se sva ostala izdanja DEM obveznica - domaêe obveznice njemaëkih kompanija u DEM, strana izdanja obveznica (izdanja poduzeêa njemaëkih nerezidenata, izdanja obveznica drugih dræava na njemaëkom træiπtu) te sve emisije euroobveznica u DEM. Sva se izdanja ocjenjuju usporedbom njihova prinosa s odgovarajuêim njemaëkim dræavnim obveznicama. Razlika u prinosu je tzv. spread, pa se govori o spreadu preko njemaëke dræavne obveznice. Jednako je tako za bilo koju drugu valutu dræavna obveznica benchmark za sve ostale obveznice izdane u toj valuti. Benchmark je, oëito, vrlo koristan pri odreappleivanju cijene i opêe ocjene obveznice, kako na primarnome, tako i na sekundarnom træiπtu. Ako investitor, primjerice, razmiπlja o ulaganju u obveznicu poduzeêa te se odluëuje izmeappleu mnogih izdavatelja, prinos je, naravno, bitan Ëimbenik. 27
7 28 Meappleutim, usporedbom tog prinosa s prinosom na dræavnu obveznicu investitor moæe bolje procijeniti razliëite kreditne rizike koji se kriju iza obveznica πto ih namjerava kupiti; ako dræavna obveznica predstavlja kamatnu stopu osloboappleenu rizika, odbijemo li tu stopu od prinosa na obveznicu πto je namjeravamo kupiti, u spreadu moæemo prepoznati kompenzaciju za rizik koju nudi izdavatelj obveznice Obveznice na hrvatskom træiπtu kapitala Pesimist bi mogao reêi da danas na træiπtu nema ni jedne jedine korporativne obveznice te da se trenutaëno trguje tek s Ëetiri izdanja obveznica javnog sektora. Optimist bi pak mogao izjaviti da se danas, ako se uzme u obzir da do sredine proπle godine nije bilo niëega, ne trebamo æaliti. Bilo kako bilo, potkraj godine situacija na hrvatskome sekundarnom træiπtu obveznica priliëno je mrπava. Meappleutim, Ëini se da ideja o træiπnom rjeπavanju problema dræavnih dugova (u uæem i πirem smislu) konaëno postaje hrvatskom praksom, a ne iznimkom. Na sekundarnom træiπtu obveznica u Hrvatskoj zainteresiranom se ulagaëu trenutaëno nude Ëetiri obveznice. Obveznica s najviπe staæa na træiπtu jest ona Hrvatskog zavoda za zdravstveno osiguranje (HZZO-a), zatim slijede dva izdanja Dræavne agencije za osiguranje πtednih uloga i sanaciju banaka (DAB), dok Ministarstvo financija ima jedno izdanje obveznica Republike Hrvatske (RH) na sekundarnom træiπtu. Svi navedeni vrijednosni papiri denominirani su u euru (EUR), pri Ëemu je jedna obveznica jednaka 1 EUR (nominala obveznice). U tom je smislu za sva plaêanja relevantan srednji teëaj Hrvatske narodne banke (kupovina i prodaja obveznica, plaêanje kamata, otplata glavnice). Sva su izdanja dematerijalizirana, tj. obveznice ne postoje u fiziëkom obliku veê su upisane i vode se u Depozitoriju nematerijaliziranih vrijednosnih papira SDA. Obveznice glase na ime i obuhvaêene su uslugom prijeboja i namire, a dokaz vlasniπtva nad obveznicama jest stanje u Depozitoriju. Osnovna obiljeæja obveznica prikazana su u tablici 1. Podulja skupina slova i brojki pod oznakom ISIN nije niπta drugo nego jedinstveni identifikacijski broj ( International Securities Identification Number - ISIN) koji je pridruæen odreappleenome vrijednosnom papiru. ISIN je oznaka vrijednosnog papira u skladu s meappleunarodnim standardima, a ticker je (takoappleer) jedinstvena oznaka vrijednosnog papira na (domaêem) organiziranom træiπtu. Sve Ëetiri obveznice kotiraju na ZagrebaËkoj burzi (Zagreb Stock Exchange - ZSE), uz pomalo Ëudnu Ëinjenicu kojoj bi se mogao nasmijati neutralni promatraë: obveznice HZZO-a i DABrovi uvrπteni su u viπu kotaciju od de facto prave dræavne obveznice.
8 Tablica 1. Pregled osnovnih obiljeæja obveznica na hrvatskom træiπtu kapitala Izdavatelj HZZO DAB DAB RH Iznos izdanja EUR 220 mil. EUR 105 mil. EUR 225 mil. EUR 200 mil. ISIN HRHZZOO047A3 HRDAB0O03CA8 HRDAB0O05CA3 HRRHMFO049A5 Uvrπtenje i kotacija ZSE, I. ZSE, I. ZSE, I. ZSE, TN Ticker HZZO-O-047A DAB-O-03CA DAB-O-05CA RHMF-O-049A Datum izdanja Godiπnja kamatna stopa 8,5% 8,0% 8,375% 6,5% Kamatna stopa nepromjenjiva nepromjenjiva nepromjenjiva nepromjenjiva Isplata kamata polugodiπnje polugodiπnje polugodiπnje polugodiπnje Datum prve isplate kamata Datum zadnje isplate kamata Isplata glavnice jednokratno jednokratno jednokratno jednokratno DospijeÊe izdanja Denominacija EUR 1 EUR 1 EUR 1 EUR 1 Jamstvo Vlada RH Vlada RH Vlada RH - Za sada sekundarnim træiπtem obveznica u Hrvatskoj vladaju (gotovo iskljuëivo) banke, koje se na træiπtu postavljaju na strani ponude i na strani potraænje, nalazeêi svoj interes u razlici izmeappleu cijene po kojoj su spremne prodati ili kupiti obveznicu. toviπe, Ëini se da veêina transakcija obveznicama ide mimo træiπta na naëin da banke svojim klijentima nude (i prodaju) obveznice iz vlastitog portfelja koje ostaju registrirane na vlastitim vlasniëkim pozicijama. Ipak, poneko poduzeêe i malobrojni individualni investitor zalutaju na sekundarno træiπte u potrazi za sigurnim ulaganjem. Kretanje træiπne cijene obveznica od njihova uvrπtenja na ZagrebaËku burzu moæe se vidjeti u prilogu 1. na kraju vodiëa. VeÊ iz pogleda na nominalne kamatne stope iz tablice 1. moæe se naslutiti smjer kretanja træiπnih cijena, zar ne? 3.4. Digresija: steëena kamata Nakon uvida u træiπne cijene obveznica uvrπtenih na ZagrebaËku burzu, malo Êemo zakomplicirati stvar. Naime, u praksi postoje dva naëina kotiranja cijene obveznice: jedan je tzv. Ëista cijena, dok se drugi naziva prljavom cijenom, a razlikuju se po tome obuhvaêaju li tzv. steëenu kamatu ili ne. Neovisno o naëinu isplate kamata (npr. polugodiπnje ili godiπnje), kamatna stopa na obveznice utvrappleena je na godiπnjoj razini. Jedna godina ima npr. 365 dana; od toga svaki dan dræanja obveznice donosi njezinu vlasniku odreappleeni iznos kamata. Ako se vlasnik odluëi prodati obveznicu, tada mu, logiëno, pripada novëani iznos kamate koju je stekao do trenutka prodaje. UkljuËuje li se zaraappleena (steëena) kamata u cijenu obveznice na træiπtu, 29
9 30 govorimo o prljavoj cijeni, a ako u cijeni obveznice nije obuhvaêena steëena kamata, rijeë je o Ëistoj cijeni. Cijena obveznica uvrπtenih na ZagrebaËku burzu temelji se na Ëistoj cijeni, πto znaëi da se plaêanje po kupoprodajnoj transakciji obavlja prema cijeni po kojoj se trgovalo, uveêanoj za iznos steëene kamate. Drugim rijeëima, kupac plaêa prodavatelju træiπnu cijenu uveêanu za steëenu kamatu. SteËena kamata po obveznici okvirno se moæe izraëunati ovako: iznos steëene kamate = glavnica x kamatna stopa x (dani steëene kamate/365). Glavnica nije niπta drugo nego umnoæak nominalne vrijednosti obveznice i koliëine obveznica koje se prodaju, odnosno kupuju. Dani steëene kamate raëunaju se kao broj dana koji je protekao od dospijeêa prethodne isplate kamata (ukljuëivπi dan dospijeêa) do dana namire kupoprodajne transakcije (iskljuëivπi dan namire). Ako je kupoprodaja obveznice obavljena prije dospijeêa prve isplate kamata, naravno da steëena se kamata, naravno, raëuna za razdoblje od izdavanja obveznice do dana namire kupoprodajne transakcije. Pogledajmo (hipotetiëki) primjer kupoprodaje obveznica na ZagrebaËkoj burzi koji se mogao dogoditi npr. u ponedjeljak 8. listopada godine. Obveznica HZZO-O-047A RHMF-O-049A Nominala EUR 1 EUR 1 Godiπnja kamatna stopa 8,5% 6,5% Prodavatelj Zoran Denis Kupac Vjeko Anto KoliËina Cijena 105,00 99,80 Datum transakcije (T) Datum namire (T+4) DospijeÊe prethodne kamate nema Datum izdanja nepotreban Dani steëene kamate Iznos steëene kamate (EUR) 2 026,03 391,78 Dana 8. listopada godine na Burzi su izvrπeni Zoranov nalog za prodaju obveznica HZZO-a po cijeni od 105 i nalog za kupnju iste koliëine obveznica koju je Vjeko æelio kupiti do cijene od 105. Zadovoljstvo vlasniπtva nad obveznica HZZO-a koπtat Êe Vjeku EUR. Takoappleer, Vjeko Êe isplatiti Zoranu kamatu koju je on zaradio od dana prethodne isplate kamata do dana namire transakcije. BuduÊi da je prethodna kamata bila isplaêena (dospjela) 17. srpnja, a kupoprodaja obveznica obavljena je 8. listopada, raëunica glasi: ukljuëivπi 17. srpnja, Zoran je u srpnju stjecao kamatu
10 15 dana, u kolovozu 31 dan, u rujnu 30 dana, dok je u listopadu kamatu stjecao 11 dana (do dana namire kupoprodajne transakcije, iskljuëivπi dan namire, 12. listopada). Dakle, Zoran je kamatu stjecao dana, tj. 87 dana. Prema tome: 31 Zoranova steëena kamata = (1EUR x ) x 8,5% x (87/365) = x0,085x 0, = 2 026,03 EUR. Sve u svemu, Vjeko Êe za obveznice izbrojiti EUR Ëiste cijene i EUR steëene kamate. Istog dana kada je Vjeko kupio obveznice HZZO-a, Denis i Anto bili su sudionici kupoprodajne transakcije obveznica RH. Kako do 8. listopada godine nije moglo biti isplate kamata (prva tranπa kamata po obveznicama dospijeva u oæujku godine), logiëno je da se dani steëene kamate raëunaju od dana izdanja obveznice do dana namire kupoprodajne transakcije. Tako je Denis stjecao kamatu 11 dana u rujnu i 11 dana u listopadu, Anto je obveznice platio EUR i steëenu kamatu u iznosu 391,78 EUR. Meappleutim, Vjekin i Antin izdatak za steëenu kamatu u biti je privremen jer Êe o sljedeêem dospijeêu kamata cjelokupni iznos pripasti njima: jedan dio jest njihova steëena kamata, a drugi je dio refundiranje isplate steëene kamate Zoranu i Denisu, odnosno prijaπnjim vlasnicima obveznica. Tako je konaëna raëunica s kamatom za sve njih poπtena.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSloženo periodično i neprekidno ukamaćivanje
Matematičke financije 1 Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Zadatak 1: Guverner kolonije Nova Nizozemska, Peter Minuit, kupio je 1626. godine od Indijanaca otok Manhattan plativši im u robi čija
Διαβάστε περισσότεραFINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu. Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova.
Zagreb, 24. veljače 2003. FINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova. 1. Efektivna godišnja kamatna
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE KAMATNIH STOPA
OSNOVE KAMATNIH STOPA U delu gradiva pod nazivom osnove kamatnih stopa proučavaćemo: Pjam i suštinu kamatnih stopa Ponašanje kamatnih stopa Rizičnu i ročnu strukturu kamatnih stopa Razumevanje kamatnih
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE
1 2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu. Pri tom se pod glavnicom najčešće podrazumijeva određena svota novca,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDevizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković
Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKorporativne finansije
Ekonomski fakultet u Podgorici Magistarske studije Smjer Finansije i bankarstvo II generacija Korporativne finansije Prof. Saša Popović Blok 2: Vrijednost, cijena i rizik Osnovna pitanja Zašto se akcije
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVREMENSKO VREDNOVANJE NOVCA
VREMENSKO VREDNOVANJE NOVCA KRATKOROČNI FINANSIJSKI MENADŽMENT OBUHVATA PROBLEMATIKU PITANJA: Dali je bolje sada imati novac i ostvariti poznati prinos ili ga imati u budućnosti sa očekivanim prinosom?
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραVelike fluktuacije na financijskim tržištima
Velike fluktuacije na financijskim tržištima Zvonko Kostanjčar, Sveučilište u Zagrebu, FER svibanj 2011. Investicije i investitori Velike fluktuacije Geometrijsko Brownovo gibanje Zarada na dionicama =
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραTABLICE AKTUARSKE MATEMATIKE
Na temelju članka 160. stavka 4. Zakona o mirovinskom osiguranju («Narodne novine», br. 102/98., 127/00., 59/01., 109/01., 147/02., 117/03., 30/04., 177/04., 92/05., 43/07., 79/07., 35/08., 40/10., 121/10.,
Διαβάστε περισσότεραhrvatski ured za osiguranje træiπte osiguranja u RH
hrvatski ured za osiguranje træiπte u RH 2008 tržište u Republici Hrvatskoj hrvatski ured za osiguranje træiπte u RH izdavaë mb tel fax e-mail Hrvatski ured za osiguranje MartiÊeva 73 10000 Zagreb 3879585
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραNerevidirani financijski izvještaji Zagrebačke banke d.d. za razdoblje od do Sadržaj:
Nerevidirani financijski izvještaji Zagrebačke banke d.d. za razdoblje od 01.01.2017. do 31.03.2017. Sadržaj: 1. Izvještaj poslovodstva za razdoblje od 01.01.2017. do 31.03.2017. godine 2. Izjava osoba
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραUPRAVLJANJE POSLOVNIM FINANCIJAMA
3 VELEUČILIŠTE "NIKOLA TESLA" GOSPIĆ Prof.dr.sc. Mehmed Alijagić UPRAVLJANJE POSLOVNIM FINANCIJAMA (recenzirana skripta) Gospić, siječanj, 2015. 4 SADRŽAJ I dio UVODNI DIO 11 1. Financijski sustav 11 2.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα1 Uvod. 1.1 Jednostavni model
1 Uvod Osnovna ideja ovog kolegija je uvesti modele financijskih tržista u modelima s diskretnim vremenom te razviti vjerojatnosne tehnike i metode za njihovo opisivanje Pretpostavit ćemo da svi modeli
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότερα1.2. Klasificirajte navedene oblike imovine prema vremenskom kriteriju: VREMENSKI KRITERIJ
1. ZADATAK 1.1. Odredite pojavni oblik za navedene oblike imovine: POJAVNI OBLIK IMOVINE - zgrada - dan zajam poslovnom partneru - zemljište - zalihe sirovina i materijala - kupljene dionice 1.2. Klasificirajte
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραRAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI
RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI Služi za pokriće troškova poslovanja i ostvarenje dobiti; Troškovi poslovanja: materijalni troškovi; amortizacija; troškovi rada; ostali troškovi; Razlikujemo
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα