1 Uvod. 1.1 Jednostavni model

Transcript

1 1 Uvod Osnovna ideja ovog kolegija je uvesti modele financijskih tržista u modelima s diskretnim vremenom te razviti vjerojatnosne tehnike i metode za njihovo opisivanje Pretpostavit ćemo da svi modeli koje ćemo promatrati zadovoljavaju sljedeće pretpostavke 1 : sve stranke imaju isti pristup informacijama; nema troškova transakcija; sva financijska imovina je beskonačno djeljiva i likvidna; kamatna stopa je jednaka za posud ivanje i ulaganje Da bismo uveli osnovne pojmove i koncepte, promotrit ćemo model financijskog tržista s dva vremenska trenutka (t =0it = 1) u kojem postoje dva moguća stanja svijeta Iako model nije realističan, bit će dosta koristan pri uvod enju osnovnih koncepata kao što su arbitraža, vjerojatnost neutralna na rizik i replicirajući portfelj 11 Jednostavni model Promotrimo financijsko tržište s dvije financijske imovine: jednom dionicom i jednom nerizičnom imovinom (na primjer novac uložen u banku) te dva vremenska trenutka: t =0(danas)it = 1 (npr sutra, za mjesec dana, za godinu dana) Utrenutkut = 0, vrijednost dionice je kn, a u trenutku t = 1 vrijednost dionice može biti s d kn ili s g kn (s d <s g ), ovisno o tome da li cijena naraste ili padne Time opisujemo moguća stanja svijeta u trenutku t = 1 i primijetimo da ishod nije poznat u trenutku t =0 Formalno, moguća stanja svijeta se modeliraju pomoću skupa Ω = {ω d,ω g } Tada je vrijednost dionice u trenutku t = 1 moguće shvatiti kao slučajnu varijablu 2 S 1 :Ω [0, ) s vrijednostima S 1 (ω d )=s d i S 1 (ω g )=s g 1 eng frictionless market, tržištebeztrenja 2 Vjerojatnost elementarnih dogad aja skupa Ω predstavlja intrinzično svojstvo modela i i često nam neće nam trebati u razmatranju koje slijedi 5

2 1Uvod S 1 (ω g )=s g S 1 (ω d )=s d Pretpostavimo da nerizičnu imovinu modeliramo kao ulaganje u banku uz fiksnu kamatnu stopu r(r >0) Dakle, 1 kn u trenutku t = 0 vrijedi 1 + r kn u trenutku t =1 Napomena Primijetimo da vrijednost nerizične imovine u trenutku t = 1 ne ovisi o stanju svijeta S druge strane, cijenu dionice u trenutku t = 1 nije moguće predvidjeti utrenutkut = 0, što nosi odred eni rizik u trgovanju i time dionicu smatramo rizičnom imovinom Sada ćemo u opisanom modelu uvesti neke financijske instrumente Call opcija (opcija za kupnju) je sljedeći financijski instrument (ugovor): kupac opcije plaća piscu opcije iznos (premiju) C 0 trenutku t = 0, a zauzvrat dobiva pravo (ali ne i obvezu!) na kupnju dionice u trenutku t =1pocijeni izvršenja 3 K Primijetimo da kupac call opcije u trenutku odluke o kupnji dionice zna cijenu dionice i ima sljedeće mogućnosti: ako je cijena dionice veća od cijene izvršenja K, onda kupac opcije može kupiti dionicu po dogovorenoj cijeni K i odmah nakon toga ju može prodati po tržišnoj cijeni, čime je ostvario profit S 1 K ; ako je cijena dionice manja od K, onda neće kupiti dionicu Označimo li s C 1 :Ω [0, ) vrijednost call opcije u trenutku t = 1, onda iz gornjeg razmatranja dobijemo gdje je x + := max{x, 0} C 1 =(S 1 K) +, Put opcija (opcija za prodaju) daje pravo kupcu opcije da u trenutku t =1proda dionicu po cijeni izvršenja K dogovorenoj u trenutku kupnje (t = 0) Analogno gornjem razmatranju se dobije da je vrijednost put opcije u trenutku t =1danas P 1 =(K S 1 ) + Jedno od osnovnih pitanja koje se postavlja jest odred ivanje (poštene!) cijene opcije unutar ovakvog modela financijskog tržšta 3 eng exercise price, strike price 6

3 12 Cijena opcije i replicirajući portfelj 12 Cijena opcije i replicirajući portfelj Promotrimo prvo call opciju i pretpostavimo da je s d K s g Primijetimo da preostali slučajevi nisu zanimljivi: ako je K<s d, onda kupac opcije uvijek ostvaruje profit od barem s d K>0; ako je K>s g, onda je pisac opcije na dobitku (dobio je premiju), jer kupac opcije u ovom slučaju neće iskoristiti pravo na kupnju dionice po cijeni K Sada ćemo konstruirati portfelj 4 koji ima istu vrijednost u trenutku t = 1 kao i call opcija Portfelj je ured eni par φ =(φ 0,φ 1 ) R 2,gdjejeφ 0 R količina novca u banci 5, a φ 1 R je količina dionica koje investitor drži 6 s Vrijednost portfelja φ utrenutkut =0jedanas 0 := φ 0 + φ 1,autrenutkut =1 { φ 0 (1 + r)+φ 1 s d, ako je cijena dionice s d 1 := φ 0 (1 + r)+φ 1 s g, ako je cijena dionice s g Drugim riječima, 1 je slučajna varijabla na Ω i Primijetimo da vrijedi 1 = φ 0 (1 + r)+φ 1 S 1 t = φ ((1 + r) t,s t ), t =0, 1, gdje označava skalarni produkt vektora u R 2 Reći ćemo da portfelj φ =(φ 0,φ 1 ) replicira 7 call opciju, ako ima istu vrijednost u trenutku t = 1 kao i call opcija (bez obzira na cijenu dionice!), tj ako vrijedi što se svodi na sustav linearnih jednadžbi C 1 (ω) = 1 (ω) za sve ω Ω, φ 0 (1 + r)+φ 1 s d =0 φ 0 (1 + r)+φ 1 s g = s g K 4 eng portfolio 5 Ako je φ 0 < 0, onda smo u trenutku t = 0 posudili novac od banke i vraćamo iznos φ 0 (1 + r) u trenutku t =1 6 φ 1 < 0 se može interpretirati na sljedeći način: od brokera smo u trenutku t = 0 posudili φ 1 dionica i odmah ih prodali (eng short sell) tetajnovacutrenutkut = 0 uložili u banku tako da u banci imamo φ 0 + φ 1 U trenutku t = 1 ćemo vratiti posud ene dionice brokeru tako da podignemo novac iz banke i kupimo φ 1 dionica po tržišnoj cijeni S 1 i vratimo ih brokeru U tom trenutku nam ubanciostaneφ 0 (1 + r)+ φ 1 ((1 + r) S 1 )kn 7 Ovakav portfelj ćemo zvati replicirajući portfelj 7

4 1Uvod Ovaj sustav ima jedinstveno rješenje φ =(φ 0,φ 1 )danos φ 0 = s g K s d s g s d, φ1 = s g K s g s d Sada bismo mogli definirati cijenu call opcije u trenutku t = 0 kao vrijednost portfelja koji ju replicira u trenutku t =0: C 0 := 0 = φ0 + φ 1 = s ( g K S ) d (11) s g s d Ovakvu definiciju možemo opravdati na sljedeći način opcije iz više razloga C 0 je poštena cijena call (a) Pisac opcije može s iznosom C 0 koji dobije od kupca kupiti portfelj φ =(φ 0,φ 1 ) dan s (11), čija je vrijednost s g K u slučaju rasta cijene dionice i time će pokriti 8 njegov eventualni gubitak 9 (b) Kupac opcije neće platiti više od C 0 Naime, ako je kupac kupio call opciju za iznos q>c 0, onda nije optimalno prošao, jer je mogao za iznos q kupiti portfelj ψ =(φ 0 +(q C 0 ),φ 1 ) 10 čija je vrijednost u trenutku t = 1 veća od vrijednosti replicirajućeg portfelja (i opcije!): V ψ 1 = 1 +(q C 0 )(1 + r) > 1 Ako ne vrijedi s d K s g, onda možemo na sličan način pronaći replicirajući portfelj, ali sada rješavamo sustav φ 0 (1 + r)+φ 1 s d =(s d K) + =: c d φ 0 (1 + r)+φ 1 s g =(s g K) + =: c g, čije je rješenje φ 0 = c ds g c g s d (1 + r)(s g s d ), φ1 = c g c d s g s d Primijetimo da je φ 1 0, tj pri repliciranju call opcije uvijek posjedujemo dionice u portfelju 11 Cijena call opcije je vrijednost replicirajućeg portfelja u trenutku t = 0,tj C 0 = 0 = 1 (p c g +(1 p )c d ), (12) 8 eng hedge 9 Ovakav portfelj se zove eng hedging portfolio Dakle ovo je minimalna cijena opcije koja je potrebna piscu da ne bude na gubitku 10 Zapravo je u trenutku t = 0 kupio portfelj φ i razliku q C 0 uložio u banku 11 eng long position in the stock, za razliku od dugovanja dionica (eng short position in the stock) 8

5 13 Vjerojatnosna mjera neutralna na rizik gdje je p = Primijetimo da ne vrijedi uvijek p (0, 1) Preciznije, 1 s g s d ((1 + r) s d ) (13) p (0, 1) ako i samo ako je s d < (1 + r) <s g (14) Gornji postupak je dosta općenit, tj ako je H :Ω [0, ) slučajna varijabla (slučajni zahtjev) s vrijednostima H(ω d )=h d i H(ω g )=h g, onda je njezina cijena dana s H 0 = 1 (p h g +(1 p )h d ) 13 Vjerojatnosna mjera neutralna na rizik Pretpostavimo da je s d < (1 + r) <s g tako da vrijedi p (0, 1) Tada (13) možemo napisati na sljedeći način (1 + r) =(1 p )s d + p s g (15) Lijeva strana prethodne jednakosti je jednaka vrijednosti u trenutku t = 1 početne cijene dionice uložene u banku u trenutku t = 0, a desna strana je očekivana cijena dionice, ako je vjerojatnost da cijena dionice bude veća jednaka p, a u drugom slučaju 1 p Time se može reći da je ovakav model neutralan na rizik : sasvim je svejedno da li ulažemo u rizičnu ili nerizičnu imovimu, budući da je očekivana vrijednost oba ulaganja utrenutkut =1jednaka U ovom slučaju možemo definirati vjerojatnost 12 P na skupu Ω = {ω d,ω g } s P ({ω g })=p =1 P ({ω d }) Tada slučajna varijabla S 1 ima distribuciju ( ) sd s S 1 g 1 p p Dakle, (1 + r) = E S 1 Time smo dobili vjerojatnosnu mjeru P, koja opisuje stanje svijeta u kojem je investitor neutralan u odnosu na rizik koji nosi promjena cijene dionice Zbog toga P zovemo vjerojatnosna mjera neutralna na rizik 12 Ova vjerojatnost općenito ne mora biti realna vjerojatnost pojavljivanja pojedinog stanja svijeta 9

6 1Uvod Za call opciju vrijedi (v (12)) [ ] C 0 = E (S1 K) + Drugim riječima, cijena call opcije je očekivana diskontirana vrijednost (sadašnja vrijednost!) njezine vrijednosti u trenutku t + 1 u odnosu na vjerojatnosnu mjeru neutralnu na rizik Općenito, ako promotrimo slučajnu varijablu (slučajni zahtjev 13 ) H 1 :Ω R,onda je njezina cijena u trenutku t =0danas [ ] H 0 = E H1 Put opcija se može promatrati kao slučajni zahtjev (tj slučajnu varijablu) P 1 = (S 1 K) + pa joj je cijena dana s [ ] (K P 0 = E S1 ) + = 1 (p (K s g ) + +(1 p )(K s d ) + ) Zbog S 1 K =(S 1 K) + (K S 1 ) + i (15) dobijemo put-call paritet 14 : K [ ] = E S1 K = C 0 P 0 14 Arbitraža Jedan od zahtjeva na naš model financijskog tržišta jest isključiti mogućnost bezrizičnog profita 15 Ako takva mogućnost postoji, onda će svi investitori pokušati to iskoristiti što čini model nestabilnim Kažemo da je portfelj φ =(φ 0,φ 1 ) arbitraža ako vrijedi 0 = φ 0 + φ 1 =0 i 1 (ω d)=φ 0 (1 + r)+φ 1 s d 0 i 1 (ω g)=φ 0 (1 + r)+φ 1 s g 0, (16) 13 eng contingent claim 14 eng put-call parity 15 Kao što smo već vidjeli, glavni razlog ulaganja u rizičnu imovinu jest mogućnost većeg dobitka(prinosa) nego ulaganje u nerizičnu imovinu Postojanje bezrizičnog profita čini model nerealističnim 10

7 14 Arbitraža gdje je barem jedna od nejednakosti u (16) stroga Drugim riječima, arbitraža je investicija (protfelj) koji u trenutku t = 0 vrijedi 0 kn, ali je u trenutku t = 1 sigurno nenegativne vrijednosti i postoji mogućnost (pozitivna vjerojatnost) da vrijedi više od 0 kn, što ju čini nerizičnom Formalno, ako je P realna vjerojatnosna mjera na Ω, onda je portfelj φ arbitraža ako vrijedi 0 =0, 1 0 i P( 1 > 0) > 0 Teorem 11 Mogućnost arbitraže u jednostavnom modelu ne postoji ako i samo ako je s d < (1 + r) <s g (17) Dokaz Pretpostavimo da (17) ne vrijedi, tj (1 + r) s g ili (1 + r) s d Ako je (1 + r) s g > s d, onda je portfelj φ = (1, 1 ) arbitraža 16 Zaista, 0 =1+( 1 ) =0i 1 (ω d)=() s d > s d s d =0 i 1 (ω g)=() s g s g s g =0 U slučaju s g >s d (1 + r) je portfelj φ =( 1, 1 ) arbitraža 17,jerje 0 = 1+ 1 = 0 te vrijedi i 1 (ω g)= (1 + r)+ s g > s g + s g =0 1 (ω d)= (1 + r)+ s d s d + s d =0 Neka je φ =(φ 0,φ 1 ) arbitraža Tada je φ 0 = φ 1 0 (inače bi vrijedilo 1 =0 pa portfelj φ ne bi bio arbitraža), odakle slijedi 0 1 (ω d )=φ 1 ( (1 + r) + s d ) i 0 1 (ω g )=φ 1 ( (1 + r) + s g ) Odavde slijedi da su izrazi (1 + r) + s d i (1 + r) + s g 16 Primijetimo da ovdje u trenutku t = 0 napravimo short sell dionice i iznos = 2 stavimo u banku 17 1 Primijetimo da smo ovdje posudili iznos 1 iz banke da bismo kupili dionica U trenutku t =1 možemo prodati dionice i vratiti banci posud eni novac 11

8 1Uvod istog predznaka (kao i φ 1 )paje (1 + r) s d >s g ili s d <s g (1 + r), što je i trebalo dokazati Usporedimo li Teorem 11 s (14), vidimo model ne dopušta arbitražu ako i samo ako postoji vjerojatnosna mjera 18 P na Ω takva da je P({ω g })=p > 0 i P({ω d })=1 p > 0 Može se promatrati i tržište na kojem, osim dionice, kao rizičnu imovinu imamo i izvedenice kao što su call i put opcija U ovom slučaju je portfelj φ =(φ 0,φ 1,φ 2,φ 3 ) R 4, gdje su φ 2 i φ 3 količina put i call opcija Vrijednost portfelja je definirana s Arbitraža se definira analogno t = φ ((1 + r) t,s t,p t,c t ), t =0, 1 Zadatak 12 Pretpostavimo da tržište ne dopušta arbitražu Dokažite put-call paritet C 0 P 0 = K Rješenje Formulu ćemo dokazati tako da pretpostavimo da ne vrijedi i pronad emo arbitražu Ako je K >P 0 C 0 +, onda je α := K (P 0 C 0 + ) > 0 Posudimo u ovom slučaju K α ubancii kupimo kupimo 1 put opciju, 1 dionicu, a prodamo 1 call opciju (short sell) Dakle, u portfelju imamo ( K α) kn, 1 dionicu, 1 put opciju i kratki smo za jednu call 1+α opciju Vrijednost ovog portfelja u trenutku t = 0je ( ) K V 0 = α + + P 0 C 0 =0 Utrenutkut = 1 je vrijednost (koristimo formulu P 1 C 1 =(K S 1 ) + (S 1 K) + = K S 1 ) ( ) K V 1 = (1 + r) α + S 1 + P 1 C 1 = K +()α + S 1 +(K S 1 )=()α >0 18 Ovakvu mjeru ćemo zvati ekvivalentna martingalna mjera, gdje ekvivalentnost u ovom jednostavnom modelu znači da je vjerojatnost svih elementarnih dogad aja strogo pozitivna Osim toga, vidimo da vrijedi E [ S1 ]= s d (1 p )+ sg p = = S0 (), što znači da je slučajni proces { St 0 () : t =0, 1} t P -martingal uz filtraciju {F 0, F 1 } gdje je F 0 = σ( )={, Ω} i F 1 = σ(s 1 )={, {ω d }, {ω g }, Ω} 12

9 14 Arbitraža pa je konstruirani portfelj arbitraža, jer ćemo na ovaj način uvijek ostvariti profit od (1 + r)α >0 U slučaju K <P 0 C 0 + definiramo β := P 0 C 0 + K > 0 Prodamo 1 put opciju i 1 dionicu (short sell), kupimo 1 call opciju i iznos P 0 C 0 + = β + K stavimo u banku Time smo konstruirali portfelj čija je vrijednost u trenutku t = 0 V 0 = ( β + K ) P 0 + C 0 =0, autrenutkut =1 ( V 1 =() β + K ) P 1 + C 1 S 1 =()β + K (K S 1 ) S 1 =()β >0 Dakle, opet smo ostvarili bezrizični profit čime smo dobili arbitražu Zadatak 13 Pretpostavimo da tržište ne dopušta arbitražu Dokažite da je cijena call opcije nerastuća funkcija cijene izvršenja Rješenje Označimo s C 0 (K 1 ) cijenu call opcije s cijenom izvršenja K>0 Pretpostavimo da C nije nerastuća, tj da postoje 0 <K 1 <K 2 takvi da je C 0 (K 1 ) <C 0 (K 2 ) Neka je α := C 0 (K 2 ) C 0 (K 1 ) > 0 Konstruiramo portfelj na sljedeći način Prodamo call opciju s cijenom izvršenja K 2 (short sell), kupimo call opciju s cijenom izvršenja K 1 te iznos α stavimo u banku Vrijednost ovog portfelja u trenutku t =0je Utrenutkut = 1 imamo V 0 = α + C 0 (K 1 ) C 0 (K 2 )=0 V 1 =()α + C 1 (K 1 ) C 1 (K 2 ) =()α +(S 1 K 1 ) + (S 1 K 2 ) + (1 + r)α >0, jer iz S 1 K 1 S 1 K 2 slijedi (x x + je neopadajuća funkcija!) (S 1 K 1 ) + (S 1 K 2 ) + Dakle, konstruirani portfelj je arbitraža čime smo došli do kontradikcije 13

10 1Uvod 15 Stopa povrata i rizik I dalje promatramo jednostavni model u kojem stanja svijeta modeliramo pomoću skupa Ω = {ω d,ω g } ivjerojatnosnemjerep takve da je gdje je p (0, 1) P({ω g })=p =1 P({ω d }), Stopa povrata dionice je u ovom jednostavnom modelu dana s Označimo R(S 1 )= S 1 m(s 1 ) := E[R(S 1 )] = ps g +(1 p)s d 1 Rizik dionice tada mjerimo pomoću varijance slučajne varijable R(S 1 ), tj definiramo Računamo, v(s 1 ) 2 =VarR(S 1 ) ( ) 2 ( v(s 1 ) 2 sg sd = p m(s 1 ) +(1 p) m(s 1 ) ( ) 2 ( ) 2 (1 p)(sg s d ) p(sg s d ) = p +(1 p) ( ) 2 sg s d = p(1 p) Standardnu devijaciju v(s 1 ) := v(s 1 ) 2 zovemo volatilnost dionice 19 Vrijedi v(s 1 )= s g s d p(1 p) Volatilnost mjeri fluktuaciju cijena (rizičnost) dionice Promotrimo rizik vezan uz call opciju s cijenom izvršenja K>0 Sjetimo se da je broj dionica u replicirajućem portfelju (delta opcije) dan s 19 eng volatility of the stock(asset) = c g c d s g s d ) 2 14

11 15 Stopa povrata i rizik Elastičnost opcije se definira s Ω= c g c d C 0 s g s d, odakle je Ω = C 0 Elastičnost Ω predstavlja osjetljivost promjene cijene opcije na promjenu cijene dionice Kao i prije, dobijemo sljedeće formule za očekivani povrat i volatilnost opcije: m(c 1 )= pc g +(1 p)c d C 0 1 v(c 1 )= p(1 p) c g c d C 0 Posebno je v(c 1 )=Ωv(S 1 ), tj rizik call opcije je jednak produktu elastičnosti i volatilnosti dionice na koju uzimamo opciju Drugim riječima, što je veća volatilnost dionice, to je veći rizik call opcije Propozicija 14 Volatilnost opcije nije manja od volatilnosti dionice, tj v(c 1 ) v(s 1 ) Takod er vrijedi 20 m(c 1 ) r m(s 1 ) r Dokaz Da bismo pokazali prvu tvrdnju, zbog v(c 1 )=Ωv(S 1 ) je dovoljno je pokazati da je Ω 1 Iz (12) i (13) slijedi da je Odavde slijedi C 0 = πc g +(1 π)c d, π = (1 + r) s d s g s d (1 + r)( (c g c d ) C 0 (s g s d )) = s d c g s g c d = s d (s g K) + s g (s d K) + 0, gdje zadnja nejednakost slijedi promatranjem svih slučajeva: 0, s d <s g K s d (s g K) + s g (s d K) + = s d (s g K), s d K s g s d (s g K) s g (s d K) =0, s g >s d K Stoga vrijedi 0 (1 + r)c 0 (s g s d )(Ω 1) 20 Ova relacija kaže da se isplati kupiti opciju, jer ima veću stopu povrata nego odgovarajuća dionica 15

12 1Uvod pa je Ω 1 Da bismo pokazali drugu tvrdnju, dovoljno je pokazati da vrijedi m(c 1 ) r =Ω(m(S 1 ) ω) Sjetimo se da za replicirajući portfelj φ =(φ 0,φ 1 )=( c ds g c gs d ()(s g s d ), cg c d s g s d ) call opcije vrijedi φ 1 =, i C 0 = φ 0 + φ 1, odakle dobijemo φ 0 (1 + r)+φ 1 S 1 = C 1 S 1 C 1 = (1 + r)φ 0 =()( C 0 ) Zato je tj drugačije zapisano E[S 1 C 1 ]=()( C 0 ), Dakle, r( C 0 )=E[(S 1 ) ] E[C 1 C 0 ]= m(s 1 ) C 0 m(c 1 ) m(c 1 ) r = C 0 (m(s 1 ) r) 16