D. Vrkljan, M. Klanfar Tehnologija nemetalnih mineralnih sirovina. Cement

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "D. Vrkljan, M. Klanfar Tehnologija nemetalnih mineralnih sirovina. Cement"

Transcript

1 Cement Cemet je mineralno vezivo, čija je pretežna primjena u građevinarstvu kao vezivo prirodnih ili umjetnih agregata za prozvodnju betona i mortova. Cement je zajednički naziv za sva veziva s izrazito hidrauličkim svojstvima, što znači da vežu i strvdnjavaju u dodiru s vodom, svejedno da li se nalaze na zraku ili pod vodom, jer reakcijom s vodom daju stabilne ili netopljive produkte (sve vrste cementa i hidraulično vapno). Za razliku od nehidrauličnih veziva koja vežu i stvrdnjavaju djelovanjem vode na zraku, a pod vodom ne mogu očvrsnuti, jer su im produkti reakcija s vodom topljivi spojevi i nestabilni u vodi (glina, vapno i gips). Riječ cement dolazi od latinskih riječi caedare = lomiti i lapidem = kamen. To je najvažnije mineralno vezivo, koje pomiješano s vodom i agregatom daje beton. Cementi se prema svojem mineralnom sastavu dijele u dvije skupine: - silikatni cementi, - aluminatni cementi. Silikatni su oni cementi kod kojih su glavni minerali klinkera silikati, a prema sastavu se mogu podijeliti u podgrupe: - čisti Portland cement, - Portland cement s dodacima, - pucolanski cement, - metalurški cement, - miješani cement, - bijeli cement. Aluminatni cementi kao glavne minerale klinkera sadrže kalcijeve aluminate. Prema namjeni cementi se dijele na cemente opće namjene među koje spada većina silikatnih cemenata i na cemente posebne namjene ili specijalne cemente gdje spadaju: - cementi niske topline hidratacije, - sulfatno otporni cementi, - bijeli cement, - aluminatni cement. 1

2 Proizvodni proces Tipični proces proizvodnje cementa uključuje sljedeće faze: - Eksploatacija mineralnih sirovina - Priprema (oplemenjivanje i homogenizacija) mineralnih sirovina za proizvodnju klinkera - Miješanje mineralnih sirovina i proizvodnja klinkera - Mljevenje klinkera i dodavanje aditiva te pakiranje cementa Eksploatacijom mineralne sirovine (najčešće vapnenac i lapor), bušenjem i miniranjem ili strojnim iskopom, dobiva se materijal širokog granulometrijskog sastava i nejednolikog kemijskog sastava. Veličina zrna može se kretati od nekoliko milimetara pa do 1,5 ili više metara, a kemijski sastav varira kako se prostorno mijenja sastav ležišta. Potreban granulometrijski sastav sirovine razlikuje se kako se razlikuju postrojenja za proizvodnju cementa, a ovisi o korištenim drobilicama. Najčešće su kamenolomi povezani u proizvodni proces i drobilice se nalaze u sklopu postojenja za proizvodnju cementa, međutim postoje i slučajevi gdje je potrebno je prethodno prilagoditi granulometrijski sastav i tipični je zahtjev da zrna materijala budu u rasponu mm. Ujednačeni kemijski sastav mineralne sirovine vrlo je važan za kvalitetu i svojstva cementa, stoga se mineralna sirovina predhomogenizira. Ovo se postiže uzimanjem uzoraka iz minskih bušotina radi kemijske analize, tako se dobivaju podaci o raspodjeli kemijskog sastava stijenske mase. Kod povoljnog rasporeda mineralnih supstanci u ležištu, odminirana sirovina se može homogenizirati već pri utovaru i transportu. Ili se pak predhomogenizacija odvija na deponijama tako što se sirovina deponira vertikalno u slojevima a eksploatira horizontalno presijecajući slojeve. Ovako homogenizirani i granulometrijski obrađeni materijal čini ulazni materijal postrojenja u proizvodnji cementa. Daljnji proces se sastoji od mljevenja potrebnih sirovina na veličinu zrna tipično ispod 90 µm, te doziranja i miješanja istih sirovina, čiji omjeri ovise o sastavu pojedine sirovine te vrste cementa koji se proizvodi. Iz ovako pripremljene mješavine, na visokoj temperaturi ( C) u rotacionoj peći nastaje klinker (slika 1). Rotaciona peć je u osnovi čelični cilindar promjera nekoliko metara i dužine metara, iznutra obložen visokotemperaturnim ciglama. Blago je nagnut na jednu stranu i na donjem kraju opremljen plamenikom, dok gornji kraj čini ulaz za sirovinu. Rotacija oko uzdužne osi uzrokuje postupno gibanje materijala s višeg, hladnijeg kraja prema nižem, gdje se na koncu ispušta i hladi. 2

3 Slika 1 Rotacijska peć za proizvodnju klinkera U rotacijskoj peći se odvija niz reakcija od kojih su neke vrlo kompleksne (evaporacija volatila, kalcinacija 1, sinteriranje 2, taljenje, raspadanje postojećih minerala i formiranje novih, hlađenje) a njihov produkt su granule klinkera, tamno smeđe boje i veličine 1-25 mm. Dobiveni klinker se tada melje na dimenzije cementa (slika 2) uz istovremeno dodavanje gipsa i eventualno drugih dodataka. Tipični suvremeni proces proizvodnje cementa prikazan je na slici 3. Radi se o suhom postupku proizvodnje cementa u rotacijskoj peći, s predgrijačem i predkalcinatorom. Sitne čestice mljevene i miješane sirovine u suhom stanju zagrijavaju se u tornju za predgrijavanje ili predgrijaču. Predgrijač je niz od 4 do 5 aerociklona gdje sirovinsko brašno prolazi kroz protustruju vrućeg zraka, stvorenu koristeći toplinu peći i toplinu hlađenja klinkera. Na taj način je omogućen vrlo efikasan prijenos topline na čestice sirovine, koja se pri tome djelomično kalcinira i oslobađa od vlage prije ulaska u rotacijsku peć. Nakon izlaska iz peći klinker se hladi u uređaju za hlađenje a toplina dobivena hlađenjem se ponovno iskorištava u tornju za predgrijavanje. Najnovije dostignuće u proizvodnji ovim postupkom je predkalcinator, uređaj koji funkcionira na istom principu kao i predgrijač a nalazi se između predgrijača i peći. Ovdje se uz dodatak goriva postižu veće temperature te se prije ulaska u peć kalcinira % sirovine. 1 Kalcinacija je proces termalne obrade mineralnih supstanci, na visokoj temperaturi ali ispod temperature taljenja, i provodi se u svrhu evaporacije volatila, redukcije i oksidacije, raspadanja (npr. kalcijev karbonat pri visokoj temperaturi otpušta ugljikov dioksid i nastaje kalcijev oksid ili živo vapno: CaCO 3 + toplina CaO + CO 2 ) 2 Sinteriranje je proces stvaranja adhezije među česticama praha utjecajem visoke temperature ali ispod temperature taljenja (npr. sitno mljevene čestice sirovina za proizvodnju cementa, na visokoj temperaturi u rotacijskoj peći, međusobno se povezuju i tako okrupnjuju tvoreći klinker) 3

4 Slika 2 Unutrašnjost mlina s kuglama za mljevenje klinkera Postoje i drugi postupci proizvodnje cementa a razlikuju se upravo u gore opisanom segmentu (vrsta peći, predgrijač i predkalcinator, vrsta hladnjaka te suho ili mokro stanje suspenzije). Prvi postupak proizvodnje cementa bio je mokri postupak, gdje suspenzija sirovine i vode ulazi neposredno u peć bez predgrijavanja, a prednost mu je bila tehnološka jednostavnost miješanja sirovina u obliku vodene suspenzije. Ovaj postupak se napušta zbog male energetske učinkovitosti, naime kod mokrog postupka se mnogo energije troši na evaporaciju vode iz suspenzije, a toplina iz peći i hlađenja klinkera se ne 'reciklira' u tornju za predgrijavanje. Iz specifične potrošnje energije za pojedine postupke proizvodnje, prikazane u tabeli 1, vidljivo je da suvremeni postupci imaju značajno veću enegretsku učinkovitost. Tabela 1 Potrošnja energije za različite postupke proizvodnje cementa 4

5 Slika 3 Moderni postupak proizvodnje cementa Osim rotacijskih peći, za proizvodnju cementa koriste se i vertikalne (šahtne) peći gdje nije potrebno mljevenje sirovine, već samo drobljenje jer klinker nastaje taljenjem (slika 4), dok je kod rotacionih peći za nastanak klinkera dominantno sinteriranje sitnih mljevenih čestica. Vertikalne peći se koriste za proizvodnju nekih vrsta specijalnih cemenata, među koje spada i aluminatni (naziva se još taljenim ili boksitnim cementom). 5

6 Slika 4 Verikalna peć (lijevo) i klinker dobiven taljenjem (desno) 6

7 Sirovine za proizvodnju cementa Za proizvodnju cementa upotrebljava se više vrsta mineralnih sirovina, od kojih su primarni vapnenac i lapor, zatim glina, pijesak, tufovi, boksit, rude željeza, gips i dr. Tkođer se koristi industrijski otpad poput talioničke troske i letećeg pepela. Bitno je da sirovine budu izvor minerala potrebnih za formiranje klinkera ili pak izvor potrebnih aditiva koji se dodaju pri meljavi klinkera, a koje sirovine će se upotrijebiti ovisi o dostupnosti ovih sirovina na nekom području te o vrsti i svojstvima cementa koji se proizvodi. Osnovni kemijski spojevi koje čine klinker su kalcijevi silikati, kalcijevi aluminati i kalcijevi aluminoferiti. Ovi spojevi tvore četiri najzastupljenija minerala u klinkeru, a to su alit, belit, aluminat i ferit (tabela 2). Iz kemijskog sastava ovih minerala vidljivo je i koji su oksidi najzastupljeniji u klinkeru, kalcijev oksid (CaO), silicijev dioksid (SiO 2 ), aluminijev oksid (Al 2 O 3 ) i željezov oksid (Fe 2 O 3 ). Važno je napomenuti da ovi oksidi u klinkeru ne postoje kao slobodni oksidi, već međusobnim spajanjem tvore gore navedene minerale, iako u cementu može postojati mali udio slobodnog kalcijevog oksida (živo vapno - CaO). Notacija u obliku oksida koristi se jer kemijska analiza kao rezultat daje sadržaj pojedinih oksida, pa je tako moguće udjelom oksida izraziti i sastav, odnosno vrstu cementa. Tabela 2 Četiri osnovna minerala koji tvore klinker Naziv minerala Približna kemijska formula Zapis u obliku oksida 3 Zapis u kemiji cementa 4 Udio u portland klinkeru [%] Alit Ca 3 SiO 5 trikalcijev silikat Belit Ca 2 SiO 4 dikalcijev silikat Aluminat Ca 3 Al 2 O 6 trikalcijev aluminat Ferit 2(Ca 2 AlFeO 5 ) tetrakalcijev alumino-ferit 3CaO SiO 2 C 3 S CaO SiO 2 C 2 S CaO Al 2 O 3 C 3 A CaO Al 2 O 3 Fe 2 O 3 C 4 AF Kemijske analize stijena i minerala se najčešće provode u vidu određivanja sadržaja oksida, tako da je pogodno sastav zapisivati u obliku kombinacije tih oksida. 4 Budući se minerali sastoje od kombinacija oksida, da bi se skratila notacija u kemiji cementa su uvedeni simboli za svaki pojedini oksid (C-CaO, S-SiO 2, A-Al 2 O 3, F-Fe 2 O 3, f-feo, M-MgO, T-TiO, H-H 2 O, K- K 2 O, N-Na 2 O). 7

8 Primarni mineral potreban za proizvodnju klinkera je kalcijev karbonat (CaCO 3 ) koji je visoko zastupljen u vapnencima i nekim laporima. To je razlog zašto su ove sirovine važne za proizvodnju cementa. Osnovna reakcija u proizvodnji klinkera je kalcinacija kalcijevog karbonata u kojoj se on, pri temperaturi iznad 900 C u peći, razlaže na ugljični dioksid i kalcijev oksid ili živo vapno (CaO) prema jednažbi: CaCO 3 + toplina CaO + CO 2, a kalcijev oksid dalje reagira s ostalim oksidima tvoreći ranije spomenute minerale klinkera. Izvor ostalih glavnih oksida su već spomenute sirovine. Lapori su sedimentne stijene koje sadrže glinovite minerale (20-80%) i kalcit (80-20%), stoga su dobar izvor CaCO 3, SiO 2 i ostalih oksida. Postoje ležišta kvalitetnog lapora koji već prirodno sadrže optimalan omjer kalcita i ostalih minerala, te se iz takvih lapora klinker portland cementa (silikatni cement) proizvodi bez dodatnih sirovina. Gdje su primarne sirovine nedovoljne kvalitete ili se proizvode cementi posebnih svojstava (miješani portland cement, aluminatni cement ), potrebno je kombinirati sirovine da bi se postigao željeni sastav. Gline i pijesci sadrže visoki udio SiO 2, boksit Al 2 O 3, a rude željeza Fe 2 O 3. U tabeli 3 je primjer kemijskog sastava triju sirovina čijim se miješanjem u određenim omjerima dobiva tipični sastav sirovine za klinker portland cementa. Gips je također česta sirovina u proizvodnji cementa, međutim ne sudjeluje u reakcijama tvorbe klinkera u peći, već se dodaje pri mljevenju klinkera a za svrhu ima reguliranje vremena vezivanja cementa, tj. usporenje (retardant). U tipičnom portland cementu njegov udio je 2-4 %. Gips se dobiva rudarenjem iz prirodnih ležišta ili kao produkt čišćenja dimnih plinova termoelektrana (odsumporavanje). Uz gips, česti dodaci pri mljevenju klinkera su pucolani (industrijski - leteći pepeo i silicijska prašina, prirodni tufovi), zatim talionička troska i vapnenac koji pridonose svojstvima poput vodonepropusnosti i otpornosti na agresivne uvjete, sulfate i alkalije, zatim topline hidratacije i visoke rane čvrstoće betona. Talionička troska 5, leteći pepeo 6 i silicijska prašina 7 čine industrijski otpad kojim je moguće regulirati svojstva cementa, ali njihova primjena ima i jednu veliku prednost sa stajališta očuvanja okoliša. Naime, svjetska proizvodnja cementa je u porastu, a u proizvodnji klinkera se koriste velike količine energije i pri tome se CO 2 dobiven kalcinacijom otpušta u atmosferu. Ovi materijali, svojstvima slični klinkeru, služe kao zamjena za klinker te se njihovim dodatkom proizvode cementi i sa manje od 40 % klinkera u svome sastavu. Na taj način se postiže ušteda energije i sirovina te manje emisije štetnih plinova. 5 Zgura visoke peći (troska) je nusprodukt ekstrakcije željeza iz željezne rude, sastoji se primarno od silikata i alumosilikata kalcija koji se formiraju u otopljenom stanju zajedno sa željezom u visokoj peći 6 Leteći pepeo je kruti ostatak pri izgaranju ugljena koji se filtrima izdvaja iz dimnih plinova 7 Silicijska prašina je nusprodukt u proizvodnji silicijskih i ferosilicijskih legura 8

9 Tabela 3 Primjer kemijskog sastava sirovina za portlanski klinker Udio u rovnoj sirovini [%] Udio u Komponenta miješanoj Vapnenac Lapor Boksit sirovini [%] SiO 2 0,77 30,51 14,61 13,58 Al 2 O 3 0,26 3,60 50,81 3,87 Fe 2 O 3 0,3 2,24 20,04 1,83 CaO 54,09 32,00 0,35 42,45 (76,5 CaCO 3 ) MgO 0,91 1,08-1,27 TiO ,10 0,18 9

10 Vrste i svojstva silikatnog cementa Upotreba cementa u neku svrhu postavlja određene zahtjeve na svojstva cementa, o kojima ovisi njegova primjenjivost. Ta svojstva ovise o više faktora među kojima su najznačajniji sirovine korištene u proizvodnji klinkera i dodaci cementu. Osim toga na svojstva cementa utječe i proizvodni proces, npr. vrsta i sastav goriva, temperatura u peći, brzina hlađenja klinkera, itd., međutim kako je ovdje riječ o mineralnim sirovinama težište će biti na njima i njihovom utjecaju na svojstva cementa. Već je spomenuto da udio pojedninih sirovina u mješavini određuje formiranje minerala klinkera, a o sastavu klinkera i dodataka cementu ovise svojstva betona pri ugradnji, vezivanju te u očvrsom stanju tokom uporabe, i to na slijedeći način. Alit (3CaO SiO 2 ) je najzastupljeniji mineral silikatnog klinkera, veže s vodom (hidratizira) uz oslobađanje znatne količine gašenog vapna (Ca(OH) 2 ) i topline. 3CaO SiO 2 + aq 3CaO SiO 2 xh 2 O + Ca(OH) 2 2(3CaO SiO 2 )+ 6H 2 O 3CaO 2SiO 2 3H 2 O + Ca(OH) 2 Potpunom hidratacijom oslobodi 500 J/g topline. Brzo razvija čvrstoću tokom prvih 7 dana i najviše doprinosi konačnoj čvrstoći cementa. Belit (2CaO SiO 2 ) je drugi po redu najzastupljeniji mineral silikatnog klinkera. Hidratizira, kao i alit, uz oslobađanje gašenog vapna i topline ali u znatno manjoj mjeri. 2CaO SiO 2 + aq 2CaO SiO 2 xh 2 O 2(2CaO SiO 2 )+ 4H 2 O 3CaO 2SiO 2 3H 2 O + Ca(OH) 2 Toplina hidratacije iznosi 260 J/g. Jednoliko pridonosi razvoju čvrstoće cementa kroz prvih 28 dana, a nakon toga je glavni nosilac prirasta čvrstoće. Pojavljuje se u 4 kristalne modifikacije, od čega samo β modifikacija ima vezivna svojstva. Ova modifikacija nastaje naglim hlađenjem klinkera, i to je razlog zašto je hlađenje klinkera bitna faza u proizvodnji cementa. Trikalcij aluminat (3CaO Al 2 O 3 ) se pojavljuje u kristalnom i amorfnom obliku. U kontaktu s vodom vrlo brzo hidratizira, što dovodi do smanjanja obradivosti betona. Stoga se cementu dodaju sulfati, odnosno gips da bi se usporila reakcija hidratacije. Kristalni oblik hidratizira bez obzira na sulfate i zato je nepoželjan u cementu. Potrebni amorfni oblik se dobiva naglim hlađenjem klinkera. Način na koji se usporava reakcija hidratacije je slijedeći: vezanjem gipsa i aluminata u prisutsvu vode nastaje mineral etringit 3CaO Al 2 O 3 + 3(CaSO 4 2H 2 O)+aq 3CaO Al 2 O 3 3CaSO 4 31H 2 O, 10

11 koji obavija čestice cementa i tako spriječava daljnji kontakt čestica cementa i vode, tj. hidrataciju. Nakon nešto više od jednog sata, ovojnica puca i mineral etringit dalje kristalizira u zrnca igličastog oblika, koja se međusobno isprepliću (Slika 5 ). Etringit je nestabilan te nakon cca 16 sati veže vapno nastalo hidratacijom alita i belita, te prelazi u stabilni kalcijaluminatni hidrat 3CaO Al 2 O 3 3CaSO 4 31H 2 O + Ca(OH) 2 4CaO Al 2 O 3 12H 2 O+3(CaSO 4 2H 2 O)+ 14H 2 O Ova reakcija oslobađa gips i znatne količine vode, koja isparava ostavljajući pore u betonu. Ovakvo djelovanje vode je jedan od razloga zašto velika količina trikalcij aluminata nije poželjna u cementu. Slika 5 Kristalizacija etringita Drugi razlog je sulfatna korozija betona. Pod utjecajem voda koje sadrže sulfatne soli (podzemna voda u sadrenim terenima, otpadna voda, morska voda...), u porama betona nastaje mineral etringit. Za razliku od sviježeg betona, gdje etringit ima pozitivno djelovanje pri hidrataciji, u očvrslom betonu je njegova pojava štetna. Kristalizacijom etringita povećava se njegov volumen, što uzrokuje unutarnja naprezanja u betonu i pojavu pukotina. Aluminat pridonosi vrlo brzom razvoju čvrstoće unutar prvih 24 sata i oslobađa više topline pri hidrataciji nego ostali minerali, 870 J/g. Celit ili feritna faza (4CaO Al 2 O 3 Fe 2 O 3 ) daje različite hidrate, većinom slične hidratima trkalcij aluminata. Uz razliku što ovi ne stvaraju etringit pod utjecajem sulfatnih voda. Ujednačeno pridonosi razvoju čvrstoće u svim periodima i nije bitan za konačnu čvrstoću. Oslobađa umjerenu toplinu hidratacije, 420 J/g. Ako se želi umanjiti udio trikalcij 11

12 aluminata, zbog mogućih štetnih efekata, dodaje se željezna ruda u sirovinsko brašno. Tako se formira više feritne, a manje aluminatne faze klinkera. Slika 6 Sulfatna korozija cementnog kamena Vapno (Ca(OH) 2 ), koje se oslobađa pri hidrataciji alita i belita, može činiti 15 20% mase cementnog kamena. Uz sulfatnu koroziju hidrata trikalcij aluminata, gotovo sve vrste korozije betona nastaju reakcijom agresivne tvari sa ovim vapnom. Sprečavanje korozije može se postići na više načina: - proizvodnjom klinkera sa manjim udjelom alita, budući od oslobađa najviše vapna - dodatkom troske pri meljavi, budući je troska građena uglavnom od belita te tako zamjenjuje dio alita - dodatkom pucolana 8 (leteći pepeo, silisijka prašina, tufovi) pri meljavi, jer oni vežu vapno pri hidratciji cementa i tako smanjuju njegov udio u cementnom kamenu 8 Pucolani su silikatni i aluminatni materijali koji u prisustvu vode reagiraju s vapnom (kalcijev hidroksid) tvoreći hidrate 12

13 - proizvodnjom klinkera sa manjm udjelom ili bez aluminatne faze, budući su ovi hidrati podložni sulfatnoj koroziji Osim otpornosti na agresivne uvjete, podešavanjem sastava klinkera reguliraju se i druga svojstva. Cement sa manjim udjelom alita i aluminatne faze ima nižu toplinu hidratacije, budući ovi minerali oslobađaju najviše topline. Nasuprot tome, cement s više alita postiže veću ranu čvrstoću (Tabela 4 ). Tabela 4 Sastavi klinkera silikatnog cementa Čisti portland cement sastoji je od minerala klinkera i dodatka gipsa. Međusobni odnos glavnih minerala u klinkeru određuje svojstva cementa. Stoga se sastav sirovine podešava tako da se dobije klinker s određenim udjelom glavnih minerala (tabela 4) i na taj način se reguliraju svojstva te proizvode cementi s izraženom ranom čvrstoćom, niskom toplinom hidratacije ili otpornošću na sulfate i kiseline. Portland cement s dodacima proizvodi se mljevenjem običnog portland klinkera uz dodatak gipsa i dodatak do 35% troske, pucolana (leteći pepeo, silicijska prašina, pečeni škriljac) ili vapnenca. Ovaj cement je svojstvima sličan portland cementu ali dodatak troske ili pucolana snižava toplinu hidratacije pri vezanju betona i povećava otpornost na sulfate, dok 13

14 dodatak vapnenca smanjuje propusnost betona. Ovakvi cementi se proizvode uz dodatak jedne komponente ili njihove mješavine. Metalurški cement, pucolanski cement i miješani cement se proizvode mljevenjem portlandskog klinkera uz dodatak više od 35% troske, pucolana ili njihove mješavine. Ovi cementi imaju nisku toplinu hidratacije i izrazitu otpornost na kemijske utjecaje. Bijeli cement je prema sastavu čisti portland cement ali se klinker proizvodi iz vapnenaca visoke čistoće i kaolina (gline) bijele boje. Tj. sirovina sa vrlo malim udjelom željezovih spojeva (Fe 2 O 3 ) koji inače daju boju običnom portland cementu. Mljevenje ovog klinkera se vrši u mlinovima s porculanskim kuglama i oblogom, kako čestice trošenja mlina ne bi bojale cement. Uz čvrstoću, važno svojstvo je njegova bjelina koja povećava dekorativnost betonskih konstrukcija. 14

15 Oznaka npr: CEM II/A-M (S-V-L) 32,5 R CEM I CEM II Vrsta cementa CEM III CEM IV CEM V Mješavina mineralnih dodataka Količina mineralnih dodataka Vrsta mineralnih dodataka Klasa cementa Prirast čvrstoće Tabela 5 Označavanje vrste i klase cementa M Značenje čisti portland cement portland cement s dodacima metalurški cement pucolanski cement miješani cement ako u oznaci postoji M, cement sadrži mješavinu dodataka a u suprotnom samo jedan dodatak A 6 20 % B % S zgura visoke peći V leteći pepeo pucolanskih svojstava VV leteći pepeo pucolanskih i hidr. svojstava T škriljevac pečen na oko 800 C vapnenac s najviše 0,50 % ugljika L organskog porijekla vapnenac s najviše 0,20 % ugljika LL organskog porijekla P prirodni pozolan (tufovi) Q prirodni pucolan termički obrađen D filtarski prah 32,5 42,5 tlačna čvrstoća nakon 28 dana (MPa) 52,5 N normalni R visoka rana čvrstoća 15

16 Uvjeti kvalitete sirovina za silikatni cement Osim već navedenih, glavnih oksida (CaO, SiO 2, Al 2 O 3 i Fe 2 O 3 ), cementne sirovine sadrže druge primjese u obliku minerala ili oksida. Sporedni sastojci su magnezijev oksid (MgO), sumporni trioksid (SO 3 ) i alkalije (Na 2 O i K 2 O), u manjim količinama mogu biti prisutni manganov oksid (MnO), fosforni pentoksid (P 2 O 5 ), titanov dioksid (TiO 2 ), barijev oksid (BaO) i klor (Cl). U cementnoj industriji često se upotrebljavaju moduli koji izražavaju omjere glavnih oksida u klinkeru. Na taj način se određuje kvaliteta sirovina, sirovinskih mješavina i klinkera. Hidraulični modul je omjer CaO naspram ostalih glavnih oksida: CaO HM = SiO + Al O + Fe O , i kreće se od 1,7 do 2,2. Silikatni modul definira omjer SiO 2 prema Al 2 O 3 i Fe 2 O 3 : SM SiO Al O + Fe O 2 =, i kreće se od 1,7 3, Aluminatni modul je omjer Al 2 O 3 i Fe 2 O 3 : Al 2 3 AM =, a vrijednost mu je između 1,5 2,4. Fe O 2 O 3 Najvažniji modul je stupanj zasićenja, SZ koji se računa prema formuli: SZ 100CaO = 2,8SiO + 1, 2Al O + 0,65Fe O , i mora biti između %. Ovaj modul pokazuje udio CaO koji će se, u normalnom procesu pečenja i hlađenja klinkera, vezati za ostale glavne okside tvoreći minerale klinkera. Idealna vrijednost stupnja zasićenja je 100%, međutim u procesu proizvodnje ona se postiže samo približno. Dok udio glavnih oksida u sirovinskoj mješavini određuje formiranje minerala klinkera i slobodnog vapna (CaO), sporedni sastojci mogu imati negativan utjecaj na svojstva cementa. Magnezijev oksid javlja se u kristalnom ili amorfnom obliku. Amorfni MgO odmah hidratizira i nema posebnog štetnog djelovanja na svojstva očvrslog cementa. Nastaje pri naglom hlađenju klinkera i u cementu ga smije biti do 5%. Kristalni MgO teško je topiv u 16

17 vodi i sporo hidratizira. U količini do 1% ugrađuje se u kristalnu rešetku glavnih cementnih minerala a ostatak hidratizira nakon očvršćavanja cementa: MgO + H 2 O Mg(OH) 2. Nastali hidroksid ima povećani volumen, što izaziva unutarnja naprezanja i pukotine u očvrsloj masi. Ovaj efekt se manifestira kao nepostojanost volumena betona i stoga standardi ograničavaju ukupni sadržaj MgO u cementu na najviše 5%. Kalcijev oksid, iako je normalni sastojak cementa, može imati štetno djelovanje. Sirovine za cement nije moguće idealno miješati i homogenizirati. Zato preostaje dio CaO koji se pri pečenju ne veže u cementne minerale i naziva se slobodno vapno. Ono nastaje na višoj temperaturi nego pri proizvodnji građevinskog vapna i stoga se naziva prepečenim. Hidratizira vrlo sporo i to u očvrslom cementnom kamenu: CaO + H 2 O Mg(OH) 2. Izaziva nepostojanost volumena betona, jednako kao i MgO. Opasnost od nepostojanosti volumena se izbjegava ako je udio slobodnog vapna u cementu manji od 2%. Alkalije, Na 2 O i K 2 O u kontaktu sa vodom gotovo trenutno prelaze u hidrokside, NaOH i KOH. U dužem kontaktu sa zrakom, koji uvijek ima nešto vlage i CO 2, najprije vežu vlagu, a zatim i CO 2 te prelaze u karbonate. Natrijev i kalijev karbonat (Na 2 CO 3 i K 2 CO 3 ) ubrzavaju vezanje cementa te mogu izazvati lažno vezanje, što je štetna pojava. U gotovom betonu, u kontaktu s agregatom, alkalije mogu izazvati alkalno-silikatnu reakciju. Osim toga, alkalije iz cementa spadaju u jake lužine, vodena otopina koja je komponenta cementne paste, oštećuje sve organske tvari pa tako može i nagristi kožu. Alkalno-silikatna reakcija je najviše izražena vrsta alkalno-agregatne reakcije, koja se javlja između agregata betona i alkalija koje sadrži cement. Ako agregat sadrži SiO 2 u amorfnom obliku, u očvrslom betonu može doći do ovakve reakcije, pri čemu novonastali spojevi imaju veći volumen nego spojevi koji su ušli u kemijsku reakciju. Na taj način nastaju unutarnja naprezanja, što dovodi do pukotina u betonu. Alkalno-silikatna reakcija nastaje ako cement sadrži više od 0,5% alkalija i ako je beton izložen vlazi. Ova reakcija može se spriječiti: - upotrebom niskoalkaličnog cementa (sirovine sa niskim udjelom alkalija) - dodavanjem pucolana koji sadrži amorfni SiO 2. Fino mljeveni pucolani odreagiraju s alkalijama dok je beton svjež, što nije štetno. Druga vrsta alkalno-agregatne reakcije je alkalno-dolomitna. Manje je izražena a javlja se ako agregat sadrži reaktivni dolomitni vapnenac i na temperaturama iznad 30 C. Posljedice su jednake kao kod alkalno-silikatne reakcije. 17

18 Slika 7 Alkalno-agregatna reakcija Ostali oksidi poput P 2 O 5, TiO 2 i BaO mogu biti prisutni u manjim količinama. Iako se smatraju štetnim primjesama, nije zabilježeno štetno djelovanje ovih oksida na svojstva cementa. 18

19 Vrste i svojstva aluminatnog cementa Aluminatni cement spada u specijalne cemente a proizvodi se meljavom klinkera, dobivenog taljenjem ili sinteriranjem. Kemijski i mineraloški se bitno razlikuje od silikatnog cementa (tabela 6). Glavni mineral je monokalcijev aluminat (CA) kojeg sadrži preko 45 %. Tabela 6 Kemijski sastav silikatnog i aluminatnig klinkera Vrsta i svojstva cementa ovise o primjenjenom postupku (sinteriranje, teljenje) i uporabljenim sirovinama. Većina aluminatnog cementa proizvodi se taljenjem vapnenca i boksita. U manjim količinama proizvodi se cement sa vrlo visokim udjelom aluminata, postupkom sinteriranja, gdje umjesto boksita korisi aluminijev oksid (glinica). Aluminatni cement se klasificira i označava prema udjelu aluminata, gdje je osnovna oznaka KAC (kalcij aluminatni cement) a zatim slijedi brojka udjela aluminata. Tri su osnovne skupine aluminatnog cementa: - Cement sa niskm udjelom aluminata (npr. KAC 40), - Cement sa srednjim udjelom aluminata (npr. KAC 50), - Cement sa visokim udjelom aluminata (npr. KAC70). 19

20 Tabela 7 Klasifikacija aluminatnog cementa Vrsta Al 2 O 3 % (KAC) Fe 2 O 3 % SiO 2 % CaO % Proizvodni proces Boja visok sadržaj željezooksida nizak udio aluminata taljenje tamno siva (standard) niskisadržaj željezooksida srednji udio aluminata taljenje/ sinteriranje svjetlo siva bez željezooksida visoki udio aluminata 65 >80 0 0,5 0 0, sinteriranje bijela Cement sa niskim i srednjim udjelom aluminata proizvodi se iz vapnenca visoke čistoće i boksita koji može sadržavati različit udio željezova oksida, pa se često klasificira i kao cement s niskim sadržajem željeza ili cement s visokim sadržajem željeza. Cement sa visokim udjelom aluminata proizvodi se iz vapnenca visoke čistoće i aluminijeva oksida, tj. glinice. Upotreba glinice umjesto boksita osigurava visoki udio aluminijeva oksida i nizak udio nečistoća, željeza i silicija. Ovaj cement se ne klasificira prema udjelu željeza, budući je njegov udio zanemariv. Tabela 8 prikazuje prikazuje skupine aluminatnog cementa prema kemijskom sastavu (udio oksida), postupku proizvodnje i rezultirajućoj boji cementa. Taljenje se primjenjuje za cemente do cca. 50 % sadržaja aluminata, što uključuje cemente niskog, i neke srednjeg sadržaja aluminata, dok se cementi visokog sadržaja aluminata proizvode isključivo sinteriranjem. Zahtjevi kvalitete sirovina za aluminatni cement se odnose na kemijski sastav, tj. omjere oksida u sirovinskoj mješavini. Kod postupka taljenja, osim kemijskog sastava postoje i zahtjevi na granulometrijski sastav, vlažnost i mineraloški sastav. Ovi zahtjevi proizlaze iz principa rada vertikalnih peći, gdje se sirovina prethodno ne melje već se korite granule 50-20

21 100 mm. Tipične vrijednosti ovih parametara za cement s niskim do srednjim sadržajem aluminata prikazane su u tabeli 8. Tabela 8 Zahtjevi kvalitete sirovina Svojstva aluminatnog cementa: - Brzo stvrdnjavanje, 2-4 h - Brzo postizanje čvrstoće, unutar 24 h - Dobra vatrostalna svojstva - Velika otpornost na sulfate - Otpornost na kiseline - Velika otpornost na abraziju - Niske temperature primjene do 10 o C Primjena aluminatnog cementa: - U građevinarstvu gdje postoje zahtjevi za brzim postizanjem čvrstoće - Proizvodnja vatrostalnih betona i blokova, vezivo na visokim temperaturama kalupi ( C) - Samonivelirajući podovi - Aditivi u PC i drugim građevnim materijalima - Obloge otporne na sulfate, kiseline, koroziju i abraziju 21

22 Eksploatacija sirovina za proizvodnju cementa u Hrvatskoj U Hrvatskoj danas postoje četriri proizvođača cementa, od kojih Holcim, Dalmacijacent i Našicecement proizvode silikatne cemente (čisti i miješani portland cement), dok Istracement proizvodi specijalne, aluminatne cemente. Proizvodna postrojenja redovito su smještena u blizini eksploatacijskih polja radi manjih transportnih udaljenosti, tj. vezana su uz ležišta sirovina za proizvodnju cementa. Tako od dvadesetak lokacija na kojima su istraživane ili eksploatirane cementne sirovine, danas se eksploatira i proizvodi cement iz svega nekoliko ležišta: Glinoviti lapori, lapori i vapnenci na Papuku (eksploatacijsko polje Bukova glava, nositelj koncesije Našicecement d.d., Našice) Lapori i glinoviti vapnenci na Papuku (eksploatacijsko polje Vranović, nositelj koncesije Našicecement d.d., Našice) Vapnenački lapori na Kozjaku kod Splita (eksploatacijska polja Sv.Juraj-sv.Kajo i 10.kolovoz, nositelj koncesije Dalmacijacement d.d., Kaštel sućurac) Tuf na Svilaji kod Sinja (eksploatacijsko polje Zelovo, nositelj koncesije Dalmacijacement d.d., Kaštel sućurac) Lapori i glinoviti vapnenci na Labinskom poluotoku (eksploatacijsko polje Koromacno, nositelj koncesije Holcim hrvatska d.o.o., Koromacno) Eksploatacijsko polje Max, nositelj koncesije Istracement international d.d., Pula Ukupna proizvodnja cementa u Hrvatskoj iznosi 2,8-3,5 milijuna tona godišnje (za period g., prema USGS-u). Za usporedbu sa svijetskom proizvodnjom, tabela 7 prikazuje proizvodnju i proizvodne kapacitet za nekoliko najvećih proizvođaća cementa. 22

23 Tabela 9 Svijetska proizvodnja i proizvodni kapaciteti cementa Slika 8 Eksploatcijska polja cementnih sirovina u Republici Hrvatskoj 23

24 Ležište Koromačno Geološke značajke šireg područja Šire područje eksploatacijskog polja Koromačno (Slika 9) izgrađuju karbonatne stijene gornjokredne starosti te sedimenti paleocena i eocena (liburnijske naslage, foraminiferski vapnenci i fliš). Mineralnu sirovinu za proizvodnju cementa čine foraminiferski vapnenci donjo do srednje eocenske starosti (E 1,2 ) te klastične naslage fliš srednje do gornje eocenske starosti (E 2,3 ), među koje spadaju glinoviti vapnenci, razni varijeteti lapora te numulitne i vapnenačke breče. Foraminiferski vapnenci donjeg do srednjeg eocena (E 1,2 ) izgrađuju veliki dio paleogenske sinklinale, koja se nalazi i unutar eksploatacijskog polja Koromačno. Sjeverno i sjeveroistočno su u kontaktu s liburnijskim naslagama. Na istoku su u anormalnom kontaktu s mlađim krednim vapnencima, a na jugu i jugozapadu ulaze u more. Prijelaz iz liburnijskih naslaga u foraminerske vapnence je postupan. Također je kontinuiran prijelaz unutar foraminerskih vapnenaca (između miliolidnih, alveolinskih te numulitnih vapnenaca). Foraminiferske vapnence uglavnom izgrađuju smeđe-sivi i smeđi kalkareniti u kojima mjestimično prevladavaju kalciruditski elementi. Sadrže obično između 96 97% CaCO 3. Vapnene čestice su veličine od 0,09 0,14 mm, nepravilnog okruglastog oblika, vezane kalcitnim vezivom. Lapori su istaloženi konkordantno u odnosu na foraminiferske vapnence. Granica između lapora i vapnenaca nije oštra, već nalazimo prelazne slojeve, tzv. gomoljaste lapore plavičasto-zelenkaste boje, koja potječe od glaukonita. Oksidacijom na zraku, boja im prelazi u rđavo-sivu.. Slojevi gomoljastih lapora debeli su cca 2 m, a prema gore postaju sve laporovitiji, dok ne pređu u plavičaste lapore. Vapnenačka komponenta u plavičastim laporima varira po pružanju i po debljini slojeva. Različiti tipovi lapora eocenske starosti, koji čine kvalitetnu mineralnu sirovinu za proizvodnju cementa eksploatacijskog polja Koromačno, izgrađuju jezgru paleogenske sinklinale. S istočne strane lapori i biokalareniti u rasjednom su kontaktu s foraminiferskim vapnencima. Sa zapadne strane pod fliške naslage normalno tonu foraminiferski vapnenci sa smjerom pada prema istoku. U krovini lapora dolazi sitnozrni vapneni pješčenjak, koji štiti lapore od jačeg utjecaja erozije. [8] Oscilacije unutar eocenskog bazena uvjetovale su intenzivnu izmjenu lapora i biokalkarenita, što se osobito dobro vidi prema rezultatima analiza uzoraka jezgre istražnih bušotina. 24

25 Slika 9 Geološka karta šireg područja ležišta 'Koromačno' Građa ležišta Ležište mineralne sirovine za proizvodnju cementa Koromačno sedimentnog je tipa. Mineralnu sirovinu izgrađuju foraminiferski vapnenci, glinoviti vapnenci, različiti varijeteti lapora te numulitne i vapnenačke breče. Unutar eksploatacijskog polja Koromačno razlikujemo autohtone i alohtone sedimente (Slika 10 Situacija ležišta 'Koromačno' s rasporedom litološkoh članova). 25

26 Autohtoni sedimenti su glinoviti vapnenci i različiti tipovi lapora. Oni zapunjavaju depresiju (paleogensku sinklinalu). Odlikuju se postojanošću i rasprostranjeni su unutar cijele sinklinale. Kontakti između različitih tipova lapora su kontinuirani i često nejasni. Podinske naslage ležišta čine foraminiferski vapnenci eocenske starosti (E 1,2 ) (oznake CB), koji izgrađuju dno sinklinale. Na njih su konkordantno taloženi glinoviti vapnenci (oznake G - grašo), debljine 50 70m u središnjem dijelu sinklinale. Glinoviti vapnenci postupno prelaze u lapore sivo-plave boje (oznake M2,3 - magro). Prosječna debljina ovih lapora iznosi između 60 i 90 metara. Slijede siliciklastični lapori (silificirani lapor, MS). Odlikuju se povećanim udjelom siliciklastične komponente. Prosječne debljine su oko 10 metara. U slijedu autohtonih sedimenata, iznad siliciklastičnih lapora nalaze se sivo-plavi lapori (oznake M1-M). Prosječna debljina naslaga ovih lapora iznosi 10 do 25 m. Gornji sloj autohtonih sitnozrnih sedimentata predstavljaju lapori oznake M0. Rasprostranjeni su samo u centralnom, vršnom dijelu eksploatacijskog polja. Debljine su do 20 metara. Alohtone sedimente ležišta Koromačno čine vapnenačke i numilitne breče (C3, C2 i C1) te kalkareniti unutar lapora (M1-K). Unutar lapora oznake M2,3 nalazi se debritno tijelo vapnenačke breče (oznake C3). Breča je izgrađena od fragmenata uglavnom foraminiferskih vapnenaca, veličine do nekoliko centimetara. Ova breča isklinjava u centralnom dijelu eksploatacijskog polja u smjeru istoka, sjevera i juga, a kartirana je na istočnoj otkopnoj fronti iznad četvrte i pete etaže, na nadmorskoj visini između 65 i 80 metara. Prosječna debljina ove vapnenačke breče iznosi između 5 i 10 metara. Vapnenački debrit izgrađen od fragmenata uglavnom foraminiferskih vapnenaca krupnoće oko 10 cm (C2) prekriva cijeli centalni dio eksploatacijskog polja. Prosječne debljine je preko 25 metara i najmoćnija je vapnenačka breča eksploatacijskog polja. Najmlađe debritno tijelo predstavljaju naslage izgrađene od kalkarenita (M1-K), rasprostranjene u centralnom, vršnom dijelu sinklinale. Debljina kalkarenita iznosi do 15 m. Gornji dio vapnenačkih naslaga izgrađuje sitnozrna vapnenačka i numulitna breča (C1), rasprostranjena po cijelom centalnom dijelu eksploatacijskog polja, izgrađena uglavnom od numulita i fragmenata foraminiferskog vapnenca veličine do nekoliko centimetara. Prosječna debljina naslaga tipa C1 iznosi do 20 metara. Naslage kalkarenita i numulitne breče zahvaćene su eksploatacijom na samom vrhu eksploatacijskog polja te ih nalazimo pri vrhu otkopnih fronti iznad pete etaže i u otkpnoj fronti šeste etaže. 26

27 Slika 10 Situacija ležišta 'Koromačno' s rasporedom litološkoh članova Određivanje kakvoće mineralne sirovine za proizvodnju cementa Kvaliteta mineralne sirovine za proizvodnju cementa određena je kemijskim odnosom između CaO, SiO 2, Al 2 O 3 i Fe 2 O 3. Rezerve mineralne sirovine u eksploatacijskom polju Koromačno sastoje se od četiri vrste sirovine, tj. litološki članovi su podijeljeni prema kemijskom sastavu i koncentracijama oksida u četiri skupine: visoka sirovina (grašo) - predstavljena je laporovitim vapnencem do vapnenim laporom (G) sa vrlo visokim sadržajem CaCO 3 niska sirovina (magro) predstavljena je laporima (M3,2, M1, M, M0), kombinira se s ostalim sirovinama te određuje vijek trajanja eksploatacije silificirani lapor lapor s visokim sadržajem SiO 2 (MS), upotrebljiv uz dodatak boksita kao korektiva u kombinaciji s ostalim sirovinama vapnenci predstavljeni eocenskim forminiferskim vapnencima (CB) u podini laporovith naslaga i vapnenim brečama (C1, C2, C3) u krovini laporovitih naslaga 27

28 Kakvoća mineralne sirovine za proizvodnju cementa eksploatacijskog polja Koromačno utvrđena je brojnim ispitivanjima kemijskog sastava uzoraka dobivenih istražnim bušenjem na ispuh i s jezgrovanjem. PROSJEČNI SIL. VISOKA NISKA SIROVINA (MAGRO) VAPNENAC KEM. LAPOR (GRAŠO) SASTAV (%) MO AM M1 M2 M23 C1 C2 C3 MS G SiO 2 23,44 51,36 21,26 18,79 17,03 7,31 2,86 4,58 30,84 10,59 Al 2 O 3 6,50 12,33 5,76 4,94 4,67 2,19 0,78 1,30 3,91 2,97 Fe 2 O 3 3,10 3,10 2,68 2,33 2,15 1,10 0,48 0,67 1,90 1,41 CaO 33,92 14,22 36,12 38,27 39,80 48,47 52,43 50,78 32,98 45,22 MgO 1,19 1,65 1,37 1,42 1,40 0,85 0,82 0,88 1,01 1,26 SO 3 0,07 0,20 0,29 0,56 0,33 0,07 0,08 0,08 0,44 0,25 K 2 O 1,19 1,44 1,22 1,07 0,94 0,42 0,13 0,26 0,68 0,55 Na 2 O 0,40 1,73 0,29 0,26 0,24 0,10 0,08 0,11 0,20 0,15 TiO 2 0,33 0,39 0,29 0,26 0,25 0,11 0,04 0,07 0,19 0,15 P 2 O 5 0,15 0,26 0,12 0,14 0,15 0,07 0,07 0,08 0,13 0,13 TGŽ 27,92 12,96 29,85 31,59 32,76 38,97 42,04 40,81 26,98 36,86 SM 2,36 3,25 2,43 2,49 2,41 2,15 2,20 2,25 5,14 2,34 AM 2,20 4,10 2,26 2,23 2,29 2,09 1,72 2,06 2,15 2,21 STUP. ZAS. 45,04 8,87 53,07 63,82 72,91 203,91 567,36 343,14 35,77 132,72 PROSTORNA MASA (t/m 3 ) 2,66 2,71 2,65 2,69 Sirovinsko brašno za proizvodnju cementa dobije se mješavinom navedenih vrsta sirovine. Sastav mješavine određuje se temeljem hidrauličnog, silikatnog i aluminatnog modula te stupnja zasićenja koje moraju biti u okviru određenih vrijednosti. Hidraulični modul između 2,10 i 2,30. Silikatni modul između 2,0 i 3,0. Aluminatni modul između 1,5 i 2,5. Idealna vrijednost stupnja zasićenja bila bi 100% a u tehnološkom procesu kreće se između 95 i 98%. 28

29 Osnovni financijsko-ekonomski pokazatelji eksploatacije cementnih sirovina U ovom poglavlju daje se primjer izračuna osnovnih financijsko-ekonomskih pokazatelja za jedan kamenolom lapora i vapnenca, korištenih primarno za proizvodnju cementa a sekundarno kao tehničko-građevni kamen, koji proizlazi iz suviška vapnenca za cement. Predmet analize je postojeći otvoreni površinski kop sirovine za proizvodnju cementa i tehničko-građevnog kamena. Sirovina za proizvodnju cementa koristi se za proizvodnju cementa i ne plasira se direktno na tržište. Trošak proizvodnje cementa predstavlja ulaznu komponentu u strukturi troškova pri proizvodnji cementa. Tehničko-građevni kamen (vapnenac) dijelom se koristi kao sirovina za proizvodnju cementa a tek se suvišak plasira na tržište. Površinski kop u sirovini za cement potpuno je otvoren i pripremljen za eksploataciju. Tijekom eksploatacije nisu potrebna dodatna ulaganja u rudarske prostorije za pripremu otkopavanja. Tijekom otkopavanja tehničko-građevnog kamena potrebno je uložiti sredstva u radove otvaranja etaža i izradu transportnih puteva do etažnih ravnina. Prema projektu, eksploatacijske rezerve polja Koromačno iznose m 3 sirovine. Od toga m 3 čine cementne sirovine a m 3 tehničko-građevni kamen. Projektirana je ravnomjerna godišnja proizvodnja od m 3 u sraslom stanju. Od toga m 3 cementne sirovine, i to m 3 lapora te m 3 vapnenca. Preostalih m 3 čini vapnenac, čija je eksploatacija vezana za cementnu sirovinu ali predstavlja višak, i stoga se plasira kao tehničko-građevni kamen. Prema ovakvoj godišnjoj proizvodnji, eksploatacijske rezerve dovoljne su za više od 60 godina proizvodnje. Troškovi ulaganja Troškovi ulaganja tijekom trajanja eksploatacije na površinskom kopu Koromačno specificiraju se na slijedeće stavke: - zamjena rudarske mehanizacije, - rekonstrukcija drobilišnog postrojenja, - istraživanje, dopuna i obnova eksploatacijskih rezervi - otkup zemljišta unutra prostora izvođenja rudarskih radova - izrada tehničke dokumentacije i ažuriranje geodetske podloge Razrada i iznos troškova prikazani su u Tabela 10. Ukupna ulaganja tijekom eksploatacije iznose U= ,00 kuna, od čega se 54,2 % odnosi na nabavu rudarske mehanizacije, 27,4 % na drobilišno postrojenje, 1,0 % na istražne radove, 0,5 % na izradu tehničke dokumentaciji i 16,9 % na rješavanje imovinskopravnih odnosa. Nositelj rudarske koncesije osigurati će financijska sredstva za ulaganja iz vlastitih prihoda. 29

30 Tabela 10 Struktura troškova ulaganja Vrsta ulaganja Iznos, Kn Rudarska mehanizacija buldozer, 1 kom ,00 6 bušaća garnitura, 1kom ,00 6 utovarač, 1 kom ,00 6 bager gusjeničar, 1 kom ,00 6 damperi, 3 komada ,00 6 dostavna i pomoćna vozila, 3 kom ,00 6 Drobilišno postrojenje rekonstrukcija drobilišnog postrojenja Σ ,00 investicijsko održavanje: zamjena rotora drobilice ,00 32 zamjena obloga i ploča ,00 21 zamjena čekića ,00 61 godišnji remont ,00 Σ ,00 Istraživanje, dopuna i obnova eksploatacijskih rezervi Obzirom na projektiranu godišnju proizvodnju, predviđa se svakih 10 godina obnoviti rudarsku mehanizaciju , 00 3 Obzirom na projektiranu godišnju proizvodnju, procjenjuje se da je svakih 20 godina potrebno izvesti rekonstrukciju drobilišnog postrojenja. Osim toga potrebno je uložiti sredstva u investicijska ulaganja (zamjena rotora drobilice svake 2 god.,obloga i ploča svake 3 god., zamjena čekića jednom godišnje) i godišnji remont. obnova rezervi , 00 Postojeće rezerve dovoljne su za preko 60 istražna bušenja na jezgru i analize 1 000, m' geotehnička i hidrogeološka ,00 istraživanja izrada dokumentacije , 00 Otkup zemljišta Σ ,00 Σ ,00 Izrada tehničke dokumentacije i ažuriranje geodetske podloge izrada tehničke dokumentacije ,00 ažuriranje geodetske podloge i ,00 izrada izvedbeni ažurne projekt situacije rekultivacije ,00 Σ ,00 Ukupno: ,00 godina eksploatacije. Zakonski, u nove istražne radove, potrebno je ulagati tek nakon 40 godina. Svakih pet godina potrebno je provesti postupak obnove rezervi. U cilju prevođenja izvanbilančnih rezervi u bilančne (ispod kote 0 m) potrebno je provesti dodatne istražne radove. 2 Eksploatacija se odvija na površini 75, m otprilike 56 ha, za koje je potrebno riješiti imovinsko-pravne odnose 30

31 Jedinični troškovi ulaganja (po toni sirovine) iznose 4,27 kn/t: T u U = = = 4,27 kn / t ( G + G ) ρ ( ) 2,66 c th gdje je: G c - eksploatacijske rezerve cementnih sirovina G th - eksploatacijske rezerve tehničko-građevnog kamena U - ukupni troškovi ulaganja ρ - gustoća u sraslom stanju Troškovi eksploatacije Priprema za otkopavanje, otvaranje novih etaža i izrada transportnih putova te radovi rekultivacije direktno terete troškove eksploatacije mineralne sirovine. Također su uključeni materijalni troškovi i dio plaća za režiju. Očekivani troškovi eksploatacije, svake godine predviđenog životnog vijeka projekta, prikazani su u Tabela 11. Tabela 11 Troškovi eksploatacije Specifikacija eksploatacijskih troškova, kn/t bušenje i miniranje 4,00 utovar 2,20 prijevoz 4,90 drobljenje 3,20 troškovi rekultivacije 0,80 troškovi režije (zaposleni) 1,50 troškovi održavanja puteva 0,30 troškovi održavanja separacije 0,60 troškovi održavanja strojeva 0,50 naknada za eksploataciju 0,15 Σ 18,15 Ukupni godišnji eksploatacijski troškovi iznose ,45 kn: Te, god = Q ρ Te = ,66 18,15 = , 45 kn gdje je: Q projektirani godišnji kapacitet, u sraslom stanju T e jedinični eksploatacijski troškovi 31

32 Godišnji ukupni prihod Godišnji ukupni prihod (GUP) potječe većim dijelom od prihoda proizvodnje cementa i manjim dijelom od prihoda tehničko-građevnog kamena. Udjel troškova mineralne sirovine za proizvodnju cementa (18,15 kn/toni) u ukupnim troškovima proizvodnje cementa iznosi 8,04% (prema podacima Holcima d.o.o. Hrvatska). Ukupni troškovi proizvodnje cementa iznose 225,5 kuna/toni (računajući i amortizaciju). Prosječna prodajna cijena tone cementa iznosi 520 kuna/toni. GUP = P + P = = ,00 kn c th P = G c = ,81 = ,00 kn c c ps c = CP UT = 520 0, 0804 = 41,81 kn / t ps c ms P = G CP = ,5 = ,00 kn th th th gdje je: P c - dio ukupnog prihoda ostvaren prodajom cementa koji pripada sirovini G c - projektirana godišnja proizvodnja sirovine za proizvodnju cementa c ps - udio mineralne sirovine u prodajnoj cijeni cementa UT ms - udio troškova mineralne sirovine u proizvodnji cementa (8,04%) P th - dio ukupnog prihoda ostvaren prodajom tehničko-građevnog kamena G th - projektirana godišnja proizvodnja tehničko-garđevnog kamena - prodajna cijena tehničko-građevnog kamena (25,5 kn) CP th Bruto dobit i porez na dobit Jed. trošk. ulag. T u, kn/t Jed. trošk. ekspl., T e, kn/t ukupni jed.troš. T=T u +T e, kn/toni ukupni prihod, GUP, kuna ukupni troškovi, T*G, kuna Brutto dobit, (4-5) kuna porez, 20%, kuna netto dobit, (6-7) kuna 4,27 18,15 22, Ocjena isplativosti ulaganja Godišnja netto dobit iznosi kuna. Ukupna netto dobit tijekom 61 godine trajanja projekta iznosi kuna. Ukupna ulaganja tijekom trajanja projekta iznose kuna. U početku izvođenja projekta nema većih ulaganja, obzirom na činjenicu da je otkup zemljišta proveden, izvedena su istraživanja i utvrđene rezerve mineralnih sirovina a kop je potpuno otvoren i spreman za ostvarivanje projektirane proizvodnje. Veće ulaganje u rudarsku mehanizaciju nastupa tek za 10 godina ( kuna). Budući se zamjena strojeva može rasporediti unutar nekoliko godina (ili se strojevi nabave na otplatu), vidljivo je da se ulaganja mogu pokriti iz vlastitog prihoda. 32

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično.

Vapno. Vapnenac/glinoviti vapnenac/dolomit. Kalcinacija. Kalcitno živo vapno + silikati. Hidratizacija (atmosferski tlak) Hidraulično. Vapno Vapno je naziv koji se koristi za čitav niz proizvoda dobivenih preradom (kalcinacijom i/ili hidratacijom) vapnenca ili dolomita. Proizvodi se razlikuju prema kemijskom sastavu i svojstvima te fizikalnom

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

D. Vrkljan, M. Klanfar Tehnologija nemetalnih mineralnih sirovina. Gips

D. Vrkljan, M. Klanfar Tehnologija nemetalnih mineralnih sirovina. Gips Gips Gips je mineral koji spada u skupinu sulfata, tj. soli sumporne kiseline koje su često zastupljene u Zemljinoj kori. Kemijski naziv gipsa je kalcij-sulfat dihidrat (CaSO 4 2H 2 O). Male je tvrdoće

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Komponente betona: Cement

Komponente betona: Cement Komponente betona: Cement Predavanje, 23.10.2012. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Vrste mineralnih veziva Općenito o cementu Hidratacija cementa Tehnologija proizvodnje

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI RAD FRANE MRŠIĆ-BOŽINOVIĆ

ZAVRŠNI RAD FRANE MRŠIĆ-BOŽINOVIĆ SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO ARHITEKTONSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD FRANE MRŠIĆ-BOŽINOVIĆ SPLIT,2015 SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO ARHITEKTONSKI FAKULTET Utjecaj mineralnih dodataka na svojstva betona

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

3. dio: KERAMIKA, BETON I DRVO BETON

3. dio: KERAMIKA, BETON I DRVO BETON 3. dio: KERAMIKA, BETON I DRVO BETON je heterogeni polifazni kompozitni materijal. Prostim okom vide se u presjeku betona zrna agregata u matrici cementnog kamena. U cementnom kamenu i oko zrna agregata

Διαβάστε περισσότερα

Komponente betona: Cement

Komponente betona: Cement Komponente betona: Cement Predavanje, 29.10.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Vrste mineralnih veziva Općenito o cementu Hidratacija cementa Tehnologija proizvodnje

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Škola za dizajn tekstila i kože Novi Pazar PREDMET: GRAĐEVINSKI MATERIJALI

Škola za dizajn tekstila i kože Novi Pazar PREDMET: GRAĐEVINSKI MATERIJALI Škola za dizajn tekstila i kože Novi Pazar PREDMET: GRAĐEVINSKI MATERIJALI Definicija Mineralna veziva su materijali neorganskog porekla, najčešće u praškastom stanju, koji pomešani sa vodom daju plastična

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU

SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU ZAVRŠNI RAD PRIMJENA TERMIČKIH METODA U ANALIZI PROCESA HIDRATACIJE CEMENTA IVANA KNEZOVIĆ Mat.br. 355 Split, rujan 1. SVEUČILIŠTA U SPLITU KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš 7. ZAGREBAČKI ENERGETSKI TJEDAN 2016 Utjecaj izgaranja biomase na okoliš Ivan Horvat, mag. ing. mech. prof. dr. sc. Damir Dović, dipl. ing. stroj. Sadržaj Uvod Karakteristike biomase Uporaba Prednosti

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα