מדדים מכונה. .served) Time)

Transcript

1 מדדים עמידה בלוחות זמנים מזעור רמת המלאי בתהליך (WIP) מזעור זמן הזרימה הממוצע במערכת מזעור זמן המתנה (חשוב כאשר נותנים שירות לאדם) מזעור זמן בטלה ניצולת גבוה הקטנת זמן הכינון מזעור עלויות דפוסי זרימה זרימה קווית Shop).(Flow כל אחת מ n המטלות חייבת להיות מעובדת ב m מכונות באותו סדר וכל מטלה עוברת פעם אחת בלבד בכל מכונה (דוגמא: פס ייצור). סדנת ייצור Shop).(Job לא כל המטלות דורשות את כל m המכונות. מספר מטלות עשויות לדרוש יותר מפעילות אחת על מכונה מסויימת. לכל מטלה סדר פעולות אחר. עיבוד טורי. m מכונות שונות זו מזו מבצעות עיבודים שונים. עבוד מקבילי. כל המכונות זהות וכל מטלה יכולה להתבצע על כל מכונה. תזמון על גבי מכונה בודדת: חוקי סידור מושג ים ראשון מגיע ראשון נכנס רמר"נ first- (FFS First-come.served) משך העיבוד הקצר ביותר עק"ב (SPT Shortest Processing Time) משך העיבוד הארוך ביותר- LPT: Longest Processing Time המשימות הארוכות בד"כ חשובות יותר ולכן ימוקמו קודם. זמן המסירה הקרוב ביותר מק"ב ate).( arliest ue מטלות מסודרות על פי סדר עולה של זמן היעד שלהן. המטלה עם זמן היעד הקרוב ביותר ראשונה לאחריה המטלה עם זמן היעד הבא וכן הלאה. יחס קריטי י"ק Ratio).(R ritical זמן זרימה Time).(Flow הזמן החולף מרגע שבו מגיעה המטלה למכונה הראשונה ועד לסיום העיבוד במכונה האחרונה. זמן זה שווה לזמן "השהייה" של המטלה במערכת. זמן הזרימה הממוצע, שהוא המדד המקובל לביצועי המערכת, הוא הממוצע החשבוני של זמני זרימת כל n המטלות. מרווח ייצור.(Makespan) זמן הזרימה של המטלה המסתיימת אחרונה, או זמן הנדרש לסיים את כל n המטלות. פיגור. ההפרש החיובי בין זמן הסיום העיבוד של מטלה לבין זמן המסירה המתוכנן של המטלה (זמן יעד). מטלה בפיגור היא מטלה אשר ביצועה נסתיים לאחר זמן היעד. חריגה. ההפרש בין זמן הסיום של המטלה לבין זמן היעד שלה. הערך יכול להיות חיובית או שלילית.

2 First ome, First Served Rule Process first job to arrive at a work center first verage performance on most scheduling criteria ppears fair & reasonable to customers Important for service organizations xample: Restaurants Shortest Processing Time Rule Process job with shortest processing time first. Usually best at minimizing job flow and minimizing the number of jobs in the system Major disadvantage is that long jobs may be continuously pushed back in the queue. ניתן להוכיח כי משך הזרימה הממוצע המינימלי מתקבל כאשר מפעילים את כלל התזמון SPT arliest ue ate Rule Process job with earliest due date first Widely used by many companies If due dates important If MRP used ue dates updated by each MRP run Performs poorly on many scheduling criteria ניתן להוכיח כי כדי למזער את האיחור המירבי יש לסדר את הפריטים לפי זמן היעד שלהם (כלל.( ritical Ratio (R) Ratio of time remaining to work time remaining Time remaining R = Work days remaining = ue date - Today' s date Work (lead ) time remaining Process job with smallest R first Performs well on average lateness

3 dvantages of the ritical Ratio Scheduling Rule Use of the critical ratio can help to: determine the status of a specific job establish a relative priority among jobs on a common basis relate both stock and make-to-order jobs on a common basis adjust priorities and revise schedules automatically for changes in both demand and job progress dynamically track job progress and location riteria to valuate Priority Rules verage completion time = ΣProcess times Utilization = ΣFlow times verage number of jobs in the ΣFlow times # Jobs Σ Late times verage job lateness = Number of jobs Σ Flow times system = ΣProcess times המש ך דוגמא דוגמא ל- FFS משימה זמן עיבוד P 4 P 3 P 3 3 נניח שהמשימות הגיעו יחדיו לפי הסדר:,P,P P3 תרשים גאנט שמתקבל: 0 P P 3 נניח שהמשימות הגיעו לפי הסדר: P, P 3, P. תרשים הגאנט שמתקבל: P P P P זמן זרימה ממוצע :,P3=6. P=30,P=3 ממוצע: 3 תוצאה זו ידועה כאפקט השי ירה. זמן זרימה ממוצע :,P=4. P3=30,P=7 ממוצע: 7

4 0 דוגמא SPT משימה זמן הגעה זמן עיבוד P P.0 4 P P גאנט שמתקבל: P P 3 P תרשים זמן זרימה ממוצע: P: 7; P:-=0; P3:8-4=4;P4:6-5=; verage=8 P 4 Job Sequencing xample Job Job Work Processing time in days Job ue ate (day) FFS SPT Parameter Value Sequence Parameter Value Sequence verage completion time Utilization verage number of jobs in the system verage job lateness 5.4 days 36.4%.75 jobs. days verage completion time Utilization verage number of jobs in the system verage job lateness 3 days 43.%.3 jobs.8 days

5 Summary Parameter Value Sequence verage completion time Utilization verage number of jobs in the system verage job lateness 3.6 days 4.%.43 jobs. days Rule FFS SPT verage ompletio n Time (days) Utilizati on (%) verage Number of Jobs in the System verage Latenes s (ays)..8. ritical Ratio (R) מבוא לתיאורית סידרור למכונה יחידה Job Job Work Processin g time in days Job ue ate (day) ritical Ratio Sequence נניח שקיימות n מטלות לביצוע בעזרת מכונה יחידה. עבור כל מטלה i, נגדיר את הגדלים הבאים: = ti זמן ביצוע/עיבוד למטלה i. ידוע מראש. = di זמן מסירה (מתוכנן) של מטלה i. ידוע מראש. = Wi זמן המתנה עבור מטלה i. זמן ההמתנה לכל מטלה הוא משך הזמן שעל המטלה להמתין בטרם ניתן להתחיל בביצועה. זהו בעצם סכום זמני העיבוד של כל המטלות הקודמות = Fi זמן זרימה עבור מטלה i. זמן הזרימה הוא פשוט זמן ההמתנה ועוד זמן העיבוד.(Fi=Wi+ti) מוגדר כ- Li=Fi-di i. איחור של מטלה = Li Ti=max(Li,0).i פיגור של מטלה = Ti. i=max(-li,0).i הקדמת סיום ביצוע מטלה = i

6 גדלים מסוכמ ים n כמויות רלבנטיות אחרות הן פיגור מרבי,Tmax הנתון על ידי הפונקציה: Tmax = max{t, T,.Tn} וזמן הזרימה הממוצע F, הנתון על ידי הנוסחה: F ' = n i= F i מספר חלופו ת תזמון מכיוון שאנו דנים רק במקרה של מכונה יחידה, ניתן לבטא כל תזמון על ידי חלופה של המספרים השלמים קיימות בדיוק!n חלופות. תזמון על מס פר מכונות סידור אופט י מלי מיזעור משך הזרימה הממוצע: ניתן להוכיח כי משך הזרימה הממוצע המינימלי מתקבל כאשר מפעילים את כלל התזמון.SPT מיזעור האיחור המרבי: ניתן להוכיח כי כדי למזער את האיחור המירבי יש לסדר את הפריטים לפי זמן היעד שלהם (כלל.( בעיה מורכבת בהרבה. תכונה חשובה בעיבוד של מספר מכונות היא האם יש משמעות לסדר המכונות בעיבוד. אם אין משמעות לסדר המכונות בעיבוד זה אומר שלא משנה אם מעבדים את הפריט קודם כל במכונה ואח"כ במכונה או להפך קודם כל מכונה ואח"כ מכונה. הפתרון האופטימלי לתזמון n פריטים על שתי מכונות (כאשר סדר המכונות בעיבוד חייב להישמר) הוא תזמון של הפריטים לפי סדר זהה בשתי המכונות.

7 כלל ג'ונסון Johnson s Rule Used to sequence N jobs through machines in the same order Jobs (N = 3) Saw rill Job Job פריט i קודם לפריט +i אם: min( i, i+ )<min( i+, i ) כאשר i ו- i מייצג זמן עיבוד של פריט i על מכונה או בהתאמה. הכלל מבטיח בהכרח מרווח זרימה מינימלי. Job 995 orel orp. 995 orel orp. Johnson's Rule - Scheduling N Jobs on Two Machines ll jobs are to be listed, and the time each requires on a machine shown. Select the job with the shortest activity time. If the shortest time lies with the first machine, the job is scheduled first; if with the second machine, the job is scheduled last. Once a job is scheduled, eliminate it. pply steps -3 to the remaining jobs, working toward the center of the sequence. Johnson s Rule Steps List jobs & activity times Select job with shortest time Ties? Yes reak arbitrarily No Yes Machine? Schedule FIRST liminate job from list Jobs left? No Schedule LST Stop

8 Johnson s Rule - xample Johnson s Rule - xample Step Job Machine (rill Press) Work enter (Lathe) Step Step Step Step 5 7 Graphical epiction of Job Flow Time => Work center Work center Time => = Idle = Job completed Limitations of Rule-ased ispatching Systems Scheduling is dynamic; therefore, rules need to be revised to adjust to changes in process, equipment, product mix, etc. Rules do not look upstream or downstream; idle resources and bottleneck resources in other departments may not be recognized Rules do not look beyond due dates

9 התפלגות מספר המטלות במערכת על פי תורת התורים הבסיסית התפלגות מספר המטלות במערכת (מספר המטלות המחכות לביצוע ועוד מספר המטלות המבוצעות) במצב יציב היא גיאומטרית עם הגורמים.ρ = λ/µ כלומר, אם L הוא מספר המטלות במערכת במצב יציב, אזי ρ) P{L = i} = ρ i ( עבור = 0,,, 3. i ערכים מ מוצ עים מספר המטלות הצפוי במערכת הוא: L= ρ/(- ρ) מספר המטלות הצפוי בתור הוא:.L q = ρ /(- ρ) שאלה: איך מגיעים לערכים האלה? קיים פתרון רק עבור < ρ. כלומר קצב הגעת המטלות למערכת חייב להיות נמוך מן הקצב בו הן מבוצעות על מנת להבטיח שהמערכת לא תגדל בלי שליטה. זמן הזרימה הממוצע הוא: W ( ) = µ λ שונות זמן הזרימה היא: זמן הז רימה זמן הזרימה של מטלה מתחיל ברגע שהמטלה מצטרפת לתור ונמשך עד שביצוע המטלה הושלם. זמן הזרימה הוא משתנה אקראי. הוא תלוי במימוש זמני העיבוד של מטלות קודמות גם כן. המונח של תורת התורים עבור זמן זרימה הוא זמן ההמתנה במערכת ומסומן באות. W התפלגות זמן הזרימה עבור תור מסוג M/M//FFS היא מעריכית עם פרמטר.µ-λ כלומר, עבור כל t>0 P{W>t} = e -(µ-λ)t VR( W ) = ( µ λ)

10 דוגמא בתחנת דלק קטנה ישנה משאבה אחת בלבד. מכוניות מגיעות לתדלוק בקצב של 0 מכוניות בשעה. הזמן בין מופעי המכוניות מתפלג מעריכית. זמן התדלוק של מכונית בודדת מתפלג אף הוא מעריכית עם ממוצע של דקות. נדרש לחשב: א. משך הזמן בו מכונית נמצאת בתחנת הדלק ב. מספר המכוניות הממוצע הנמצא בתחנת הדלק ג. מספר המכוניות הממוצע הממתין בתור ד. ההסתברות ליותר מארבע מכוניות בתחנת דלק. פתרון א. בשלב הראשון נמצא את λ ואת µ. קצב ההגעה של המכוניות הוא 0 מכוניות לשעה, לפיכך 0=λ לעומת זאת קצב התדלוק הוא 30=60/=µ מכוניות לשעה. לפיכך זמן הזרימה מתפלג מערכית עם פרמטר 0=λ -µ. התוחלת של התפלגות מעריכית הינו ההופכי של פרמטר ההתפלגות. במקרה זה: 0/ כלומר משך זמן השהייה הממוצע הוא 6 דקות. ב. מספר המכוניות במערכת מתפלג גיאומטרי עם פרמטר λ/µ=30/0 ρ. = מספר המכוניות הצפוי במערכת הוא (ρ -)/ρ.לפיכך במקרה זה מספר המכוניות בתחנת הדלק בממוצע הוא מכוניות. ג. מספר המכוניות בתור מתקבל על ידי הנוסחה: L q = ρ /(- ρ)=4/3 ד. קיימות שתי אפשרויות לחשב את ההסתברות המתבקשת באופן ישיר או באמצעות ההסתברות המשלימה. נשתמש בגישה הישירה. על פי נספח מתקיים: P(L>k)= ρ k+ = (/3)5 =0.3 אפשרות אחרת היא לחשב את ההסתברות הרצויה על ידי ההסתברות המשלימה: P(L>k)= - P(L<=k)=-P(L=0)-P(L=)-P(L=)- P(L=3)-P(L=4)=0.3

11 משטר י תורי ם שאינ ם תל ויים בזמנ י עי בוד אם חוק המיון אינו תלוי בזמן העיבוד, זמני הזרימה הממוצעים זהים (ועל כן מספר המטלות הממוצע במערכת והאורך הממוצע של התור גם כן זהה). אולם שונות זמן הזרימה תלויה בחוק המיון. השונות בזמן הזרימה גדול ביותר ב LFS וקטן ביותר ב.FFS VRRNOM 4µ ( W ) = ( µ λ )( µ λ ) ( µ λ) VRLFS VRFFS µ ( W ) = ( µ λ ) ( µ λ) 3 ( W ) = ( µ λ) דוגמא בנתוני הדוגמא האחרונה, חשבו את השונות של זמני השהייה של המכוניות בתחנת הדלק בהנחה של א. הראשון שמגיע מתדלק ראשון ב. האחרון שמגיע מתדלק ראשון ג. התדלוק מתבצע באופן אקראי פתר ו ן VRRNOM 4µ 0 ( W ) = = = 0.0 ( µ λ )( µ λ ) ( µ λ) VRLFS VRFFS 60 ( W ) = µ 0.05 µ λ µ λ = = 3 ( ) ( ) ( W ) = 0.0 ( µ λ) = 00 =