TMO 1/15 MODELI MASOVNOG OPSLUŽIVANJA
|
|
- ῬαΧάβ Κούνδουρος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TMO /5 MODELI MASOVNOG OPSLUŽIVANJA Teorija redova, nagomilavanja, redova čekanja (Queueing theory, a često queuing theory, odnosno waiting lines, congestion), ili kako se označava u ruskim izvorima (Теория массового обслуживания, Ivčenko i dr. 982), ili u nekim od domaćih izvora (Teorija masovnog opsluživanja, Vukadinović 988) predstavlja deo operacionih istraživanja koji se bavi istraživanjem veze zahteva za opslugom i karakteristika procesa opsluživanja, odnosno mogućnosti zadovoljenja tih zahteva. Ova teorija posmatra se i kao deo primenjene teorije verovatnoće čiji se početak vezuje za danskog inžinjera Agner Krarup Erlanga koji je 909 publikovao prvi rad iz ove oblasti. Erlang je bio inžinjer zaposlen u telefonskoj centrali u Kopenhagenu, i primenom ove teorije rešavao je praktične zadatke koji su se odnosili na opslugu korisnika. Nakon pojave Erlangovog pionirskog rada, tokom jednog celog veka razvoja, napisan je zaista impozantan broj radova i knjiga iz ove oblasti (neke od najpoznatijih su Kleinrock 975; Arnold, 978; Nelson 995, Gross, Harris, ), a danas praktično da i ne postoji udžbenik operacionih istraživanja u kome ova teorija nije pomenuta (Hillier, Lieberman 995; Taha 2003). Takodje, veliki broj knjiga iz ove oblasti postoji i na srpskom jeziku (napr. Petrić 983; Vukadinović 988). Isto tako, popularnost i široka mogućnost primene TMO uticala je i na pojavu specijalizovanih web stranica posvećenih ovoj oblasti (napr. Myron Hlynka's Queueing Theory Page: www2.uwindsor.ca/~hlynka/queue.html ).
2 TMO 2/5 Paralelno sa time, razvijen je i veliki broj softverskih paketa, dobrim delom i shareware, odnosno freeware softvera, kakav je QTSPlus, koji se može besplatno naći na Internetu, a obuhvata veliki broj modela TMO, ili RAQS, takodje besplatan: bubba.acc.okstate.edu/cocim/raqs.html. Predmet TMO je određivanje funkcionalnih veza između pokazatelja efektivnosti funkcionisanja sistema masovnog opsluživanja (SMO) - verovatnoće opsluživanja zahteva (klijenata), verovatnoće stajanja kanala opsluživanja, dužine reda, vremena čekanja klijenata i dr., i karakteristika potoka zahteva za opsluživanjem, vremena opsluge zahteva, strategije opsluge itd. Kao cilj TMO često se navodi i nalaženje balansa izmedju investiranja u resurse i nivoa opsluge korisnika, što je, kako je to prikazano u nastavku, ideja na kojoj je zasnovano korišćene ove teorije u dimenzionisanju sistema rukovanja materijalom. U okviru sistema rukovanja materijalom brojni su primeri procesa koji se mogu predstaviti kao SMO, s obzirom da se većina procesa vezanih za tokove materijala može predstaviti kao sistem u kome "klijent" biva "opslužen" nekim "kanalom opsluge" - "serverom". Primena ove teorije bazira se na analogiji predstavljenoj na slici Ovaj Excelov paket obuhvata modele obradjene u knjizi (Gross, Harris, 998)
3 TMO 3/5 Analogija pretovarnog sistema i SMO Prostor za čekanje tran. sredstava PRETOVARNI SISTEM KAO SMO Transportna sredstva koja dolaze na pretovar RED Opslužena transportna sredstva ULAZNI POTOK KANALI OPSLUGE IZLAZNI POTOK Pretovarna sredstva Pretovarna mesta Pojmovi korišćeni u TMO, u slučaju pretovarnih sistema imaju sledeće značenje: kanali opsluge (sredstva - resursi koji realizuju zahtev: pretovarna mesta, viljuškari,...) opsluga (aktivnosti kojima se realizuje neki zahtev - istovar vozila viljuškarem, postavljanje vozila na front pretovara, uskladištenje jedinice u regalsku ćeliju,...) klijent (osoba, predmet, zahtev - vozilo, paleta,...) ulazni potok (zakon nailaska klijenata broj paleta ili vozila u nekom vremenskom intervalu,...) izlazni potok (zakon po kome se vrši opsluga broj paleta ili vozila u nekom vremenskom intervalu,...) red (klijenti koji čekaju na opslugu, vozila na parkingu, palete u pufernoj zoni,...)
4 TMO 4/5 Posmatranje realnog sistema kao SMO, u skladu sa prikazanom analogijom i utvrdjivanje funkcionalnih veza, odnosno vrednosti odgovarajućih pokazatelja primenom TMO, pruža onda mogućnost za davanje odgovora na neka pitanja (Heragu, 997): Koliki je očekivani broj klijenata koji čekaju u redu? Koliko je očekivano vreme koje klijent provodi u sistemu? Kolika je verovatnoća da če klijent po dolasku u sistem zateći slobodan kanal opsluživanja? Kolika je verovatnoća zauzetosti svih kanala opsluživanja? i sl. TMO MOGUĆNOST PRAKTIČNE PRIMENE I OGRANIČENJA Primena TMO podrazumeva, prvo, analizu realnog sistema, potom njegovu simplifikaciju, obično apstrahovanjem manje važnih detalja i korišćenjem odgovarajućih aproksimacija, a potom, ali i tokom ovog procesa, raspoznaje se odgovarajući model TMO koji na najbolji način opisuje taj pojednostavljeni sistem. U većini slučajeva aproksimacije se koriste u procesu transformacije često nepotpunih ili neodredjenih podataka u matematički korektne veličine koje primenu modela čine mogućom. Shodno tome, i rezultate primene TMO na realnim sistemima, pa tako i na sistemima rukovanja materijalom, treba prihvatiti uslovno i tretirati kao približne ocene, odnosno indikatore ponašanja realnog sistema
5 TMO 5/5 Kada se govori o dostignućima u razvoju TMO tokom gotovo jednog veka od uspostavljanja ove teorije, treba imati u vidu da se praktično svi postignuti rezultati odnose na stacionarni režim rada sistema Medjutim, ne retko, i u slučaju kada se radi o stacionarnim režimima, izrazi kojima se odredjuje neka od veličina mogu biti veoma su komplikovani za primenu, a da je, pri tome, sistem koji se posmatra već uprošćen do nivoa kada predstavlja samo grubu sliku realnosti. Najveći deo modela TMO, kod kojih postoje egzaktna rešenja, odnosi se na one sisteme kod kojih su potoci klijenata Puasonovski, a vreme opsluge podleže eksponencijalnoj raspodeli. Na sreću, veliki broj procesa u realnim sistemima ima ove karakteristike, pa tako na primer, dolazak vozila na utovar, odnosno istovar, u sistemima rukovanja materijalom najčešće i ima karakteristike Puasonovog potoka dogadjaja, odnosno karakteristike približne ovom. U principu, TMO se koristi za odredjivanje tačkastih ocena relevantnih karakteristika sistema kao što su na primer: srednji broj klijenata u sistemu, srednji broj klijenata u redu, prosečno vreme opsluge klijenta, prosečno vreme čekanja u redu i sl.
6 TMO 6/5 Sa druge strane modeli TMO najčešće nisu pogodni za utvrdjivanje raspodela verovatnoća pojedinih veličina. U tu svrhu, mada odredjeni modeli TMO daju tu mogućnost, ipak je uputnije koristiti simulaciju. Primena TMO u sistemima rukovanja materijalom PROBLEM KLIJENT SERVER Broj (kapacitet) sredstava za realizaciju zadatka Dužina akumulacionog konvejera, veličina pufera VoziLo, ili bilo koji drugi pretovarni zahtev jedinica tereta Viljuškar, konvejer, trakasti transporter, pret. mesto... Proces (operacija) koja izuzima jedinicu iz sistema KONVENCIONALNA NOTACIJA U TMO Da bi se ukazalo na konkretan model uobičajeno se koristi Kendalova (Kendall, 953), odnosno kako se u nekim izvorima navodi (Heragu, 997), Kendal-Lijeva notacija, s obzirom da je Lee izvršio odredjene modifikacije u notaciji (Lee, 966). Interesantno je pomenuti da je veliki engleski matematičar David G. Kendall, u radu koji je publikovao u časopisu Kraljevskog statističkog društva prvi upotrebio i termin "queueing system", još daleke 95. godine (Kendall, 95). Saglasno Kendalovoj notaciji za opis tipa modela SMO koristi se sledeća generalna forma: A/ B/ C/ D/ E/ F, pri čemu slovne oznake imaju sledeće značenje:
7 TMO 7/5 A priroda ulaznog potoka (M-Puasonov, tj Markovski proces, D-konstantno vreme između klijenata, E k -Erlangov reda k, H k -Hiper eksponencijalna reda k, G-generalna (bilo koja) raspodela) B karakter vremena opsluge (oznake kao i za prirodu ulaznog potoka) C broj kanala opsluživanja S (S ) D disciplina opsluge (FCFS /First Come First Served/ prvi došao, prvi opslužen; LCFS /Last Come First Served/ poslednji došao, prvi opslužen, SIRO /Service In Random Order/ opsluga prema slučajnom redosledu,..., GD generalna disciplina opsluge) E kapacitet sistema C, koji obuhvata broj mesta u redu (C, S C) F veličina populacije Tako će, saglasno Kendalovoj notaciji, SMO sa eksponcijalno rasporedjenim intervalima izmedju klijenata i eksponencijalnim vremenom opsluge, sa 2 kanala opsluživanja, kod koga se opsluga vrši po principu FCFS, bez ograničenja broja mesta u redu, sa neograničenom kapacitetom sistema i neograničenom veličinom populacije koja pristupa opsluzi, imati oznaku M / M / 2 / FCFS / / U praktičnoj primeni, često se koriste modeli sa FCFS disciplinom opsluge, beskonačnim kapacitetom sistema i beskonačnom veličinom populacije, pa onda oznake D, E, F imaju fiksirane vrednosti. Otuda se često koristi skraćena notacija oblika A/ B/ C.
8 TMO 8/5 OSNOVNI MODELI TMO U ANALIZI SISTEMA RUKOVANJA MATERIJALOM U literaturi se može naći veliki broj modela TMO, ali su u principu analitička rešenja najčešće poznata samo za sisteme sa beskonačnom populacijom, kada su interval nailazaka klijenata, kao i vreme opsluge, nezavisno od discipline opsluge i kapaciteta sistema, eksponencijalno rasporedjeni. Pored ovih, tzv. osnovnih, ili eksponencijalnih modela, postoji niz rešenja za tzv. neeksponencijalne modele, ali samo za neke specijalne slučajeve kada su, neretko, poznate samo donja i gornja granica relevantih veličina čije se vrednosti utvrdjuju primenom TMO (od ovoga je izuzetak jedino M / G / model kod koga su izvedena analitička rešenja svih relevantnih veličina). Imajući to u vidu, shodno osnovnoj intenciji ove knjige, prezentirani su samo modeli koji podrazumevaju eksponencijalnu raspodelu intervala nailazaka klijenata i eksponencijalno vreme opsluge, za slučajeve koji se mogu smatrati tipičnim za sisteme rukovanja materijalom. Za slučajeve kada se ni intervali nailaska klijenata, niti vremena opsluge ne mogu aproksimirati eksponencijalnom raspodelom, u praktičnoj primeni za analizu sistema rukovanja materijalom preporučuje se korišćenje simulacije. Ipak, treba istaći da softverski alati iz oblasti TMO najčešće pružaju mogućnost utvrdjivanja relevantnih veličina i za slučaj neeksponencijalnih modela pa se oni mogu koristiti, ali veoma obazrivo, s obzirom na mogućnost pojave značajnijih greški. Primena modela TMO bazirana je na nekoliko osnovnih ulaznih veličina kojima se opisuju karakter ulaznog potoka klijenata, proces opsluge i resursi sistema opsluživanja,
9 TMO 9/5 tj. broj kanala opsluživanja i broj mesta u redu, odnosno kapacitet sistema. Dakle, kao ulazne veličine koriste se: S broj kanala opsluživanja (servera) C broj mesta u redu intenzitet ulaznog potoka [klijenata u jedinici vremena] μ intenzitet opsluge (izlazni potok) [klijenata u jedinici vremena] Primenom odgovarajućih relacija, u modelima TMO, utvrdjuju se sledeće osnovne izlazne veličine: ρ = S μ iskorišćenje kanala opsluge (servera) P 0 verovatnoća da u sistemu nema klijenata P n verovatnoća da se u sistemu nalazi n klijenata L srednji broj klijenata u sistemu L q srednji broj klijenata u redu L S srednji broj klijenata na opsluzi W srednje vreme boravka klijenta u sistemu [vremenskih jed.] W q srednje vreme boravka klijenta u redu [vremenskih jed.] W S srednje vreme boravka klijenta na opsluzi [vremenskih jed.]
10 TMO 0/5 EKSPONENCIJALNI MODELI TMO Na bazi rezultata TMO i korišćenjem Litlove formule dobijeni su izrazi za utvrdjivanje relevantnih veličina koje opisuju performanse SMO. U tabelama su prikazani su rezultati (Heragu, 997), koji se odnose na četiri modela koji se mogu preporučiti kao najpogodniji za analizu performansi i dimenzionisanje sistema rukovanja materijalom. Eksponencijalni modeli sa neograničenim kapacitetom sistema VELIČINA KOJA SE TIP MODELA UTVRDJUJE M/M//GD/ / M/M/S/GD/ / S S P 0 ρ ( ρs) ( ρs) + S!( ρ) n! c n L L q W n ρ μ n= 0 n ρ, za n S n! n ρ, za n > S n S S!S L q + μ S ( ρs) P0ρ L ρ 2 S!( ρ) μ W q μ( μ ) W + q μ L q n
11 TMO /5 Eksponencijalni modeli sa ograničenim kapacitetom sistema VELIČINA KOJA TIP MODELA SE UTVRDJUJE M/M//GD/C/ M/M/S/GD/C/ ( ρ) P 0 C+ ( ρ ) n c n ρ, za n C 0, za n > C ρ ρ (C + ) ρ ρ C+ L C+ L q L P W S n= ( ρs) n! n S ρ + S! C ρ n= S+ n S n ( ρs), za n S n! n ( ρs), za S < n C n S S!S 0, za n > C ( PC ) Lq + μ [( ρs) P ρ][ ρ (C S)( ρ) ρ S!( ρ) S C S L L ( P ) ( P ) C Lq Lq W q ( P ) ( P ) C Efektivni intenzitet ulaznog potoka klijenata eff, u sistemima sa fiksnom dužinom reda može se odrediti na bazi: C eff = P n = ( PC ) n= 0 C C C S ]
12 TMO 2/5 OKVIR ZA PRIMENU TMO U SISTEMIMA RUKOVANJA MATERIJALOM Primena TMO u pretovarnim, i uopšte u sistemima rukovanja materijalom najčešće se realizuje u dva osnovna pravca: analiza performansi sistema, optimalno dimenzionisanje sistema. Analiza performansi sistema može se opisati kao «direktna primena TMO», koja se odnosi na utvrdjivanje jedne ili više veličina prikazanih u tabelama, sa ciljem da se sagledaju neke od karakteristika sistema za definisanu strukturu i karakteristike elemenata sa jedne i parametara zahteva koji se realizuju sa druge strane Pored toga TMO se, ne retko, primenjuje i za optimalno dimenzionisanje elemenata pretovarnih sistema. Ova primena rezultat je postojanja funkcionalnih veza izmedju karakteristika zahteva za opslugom i resursa opsluživanja kao ulaznih veličina, i performansi sistema, kao izlaznih veličina primene modela TMO, koje opisuju ponašanje sistema u datim uslovima. T Pristup dimenzionisanju resursa pretovarnog sistema, predstavljenog modelom SMO na bazi analogije sa slike, počiva najčešće na konceptu izbora optimalnog intenziteta opsluge μ, u osnovi zavisnog od broja i S kapaciteta elemenata S, za poznati intenzitet ulaznog potoka, min primenom troškovnog modela. U slučaju korišćenja troškovnog modela, definiše se odgovarajuća funkcija cilja koja obuhvata ukupne troškove sistema a optimalno rešenje podrazumeva nalaženje vrednosti μ*, S* i C* koje minimiziraju ciljnu funkciju oblika:
13 TMO 3/5 T (μ,, S, C) min U suštini, proces nalaženja vrednosti μ*, S* i C*, koje minimiziraju ciljnu funkciju, svodi se na sukcesivnu primenu modela odgovarajućeg modela TMO za različite vrednosti ulaznih veličina, i sračunavanjem vrednosti funkcije cilja u svakoj od iteracija. Funkcija ukupnih troškova T (μ,, S, C) utvrđuje se u zavisnosti od konkretnog problema, ali se po pravilu uzimaju u obzir troškovi povezani sa resursima SMO i radom, kao i oni povezani sa klijentima koji se opslužuju. Tako se, na primer, pri opsluzi drumskih vozila viljuškarima može koristiti sledeća funkcija ukupnih troškova: gde su: S C C 2 C 3 C 4 IS T(S) = (C + C2) S + Lq C3 + L (W IS) C4 broj angažovanih viljuškara troškovi pretovarnog mesta troškovi viljuškara troškovi jednog parking mesta troškovi zadržavanja jednog vozila interval strpljivosti vozila (period u kome se ne generišu troškovi zadržavanja vozila)
14 TMO 4/5 PRIMERI PRIMENE TMO U SISTEMIMA RUKOVANJA MATERIJALOM Zadatak. Neka na front pretovara vozila dolaze po Puasonovom potuku intenzitetom =2 [vozila na čas] i neka je intenzitet opsluge koji se obezbedjuje jednim pretovarnim mestom, koga opslužuje jedan viljuškar, takodje Puasonov μ=2.5 [vozila na čas]. Ukoliko je pretovarno mesto zauzeto vozila se upućuju na parking prostor za koji je predvidjen dovoljan prostor da se može smatrati neograničenim, pri čemu je gradnja i korišćenje parking mesta povezana sa odredjenim troškovima. Primenom odgovarajućeg modela TMO potrebno je odrediti optimalni broj pretovarnih mesta, ukoliko je poznato da je period u kome se ne generišu troškovi čekanja vozila IS=30 minuta (interval strpljivosti vozila). Neka su poznati i sledeći troškovi rada sistema: troškovi pretovarnog mesta [novčanih jed./pret.mestu], C =50 troškovi viljuškara [novčanih jed./viljuškaru], C 2 =20 troškovi parking mesta [novčanih jed./park.mestu], C 3 =30 troškovi zadržavanja vozila [novčanih jed./čas], C 4 =250 Rešenje: PRORAČUN OSNOVNIH PARAMETARA SISTEMA PRIMENOM TMO Imajući u vidu da je potrebno odrediti broj pretovarnih mesta u sistemu kod koga su i dolazak vozila i opsluga Puasonovski procesi, gde se vozila, kada su sva mesta zauzeta upućuju na parking koji je praktično neograničenog kapaciteta, očigledno je da se ovaj sistem može opisati modelom M/M/S/GD/ /. Kako iskorišćenje kanala opsluge (servera) mora biti manje od, tj. ρ = S = 4.8 S μ μ očigledno je da ovaj pretovarni sistem mora imati više od četiri pretovarna mesta, tj. 5,6,7,...ili više. Da bi se utvrdilo koji je optimalan broj pretovarnih mesta, primenom relacija koje važe za razmatrani model SMO potrebno je utvrditi one veličine čija je primena neophodna za proračun vrednosti funkcije cilja.
15 TMO 5/5 Ukoliko se za proračun koristi troškovna funkcija oblika T(S) = (C + C2) S + Lq C3 + L (W IS) C4 za svaki razmatrani broj pretovarnih mesta (servera), potrebno je odrediti samo tri veličine: srednji broj klijenata us sistemu (L), Srednji broj vozila u redu (Lq) i ukupno vreme boravka vozila u sistemu (W). Primenom odgovarajućih relacija, odnosno nekog od softverskih alata za date ulazne veličine dobijaju se sledeće vrednosti posmatranih veličina. Kako se vidi iz tabele u nastavku, za svaku od varijanti, kao ilustracija, utvrdjivano je i iskorišćenje servera. Performanse sistema utvrđene na bazi primene odgovarajućih relacija TMO prikazane su tabelom u nastavku S=5 S=6 S=7 S=8 S=9 ρ ρ ρ ρ ρ L L 6.87 L 5.4 L 5.0 L 4.87 Lq 2.64 Lq 2.07 Lq 0.6 Lq 0.2Lq 0.07 W 2.20 W 0.57 W 0.45 W 0.42 W 0.4 PRORAČUN VREDNOSTI FUNKCIJE CILJA Na bazi vrednosti prikazanih u tabeli i poznatih jediničnih troškova, moguće je utvrditi vrednosti definisane funkcije cilja za različit broj pretovarnih mesta. Tako vrednost funkcije cilja za sistem sa 5 pretovarnih mesta T(5) ima sledeću vrednost: T (5) = ( ) ( ) 250 = T(5) 2,736.2 Na ovaj način dobijaju se i ostale vrednosti funkcije cilja, 4,000 2,000 T(6) prikazane u tabeli i na slici. Očigledno je da se najniži 0,000 ukupni troškovi rada sistema mogu očekivati za slučaj kada 8,000 T(7) ,000 T(8) se u sistemu nalazi šest pretovarnih mesta, što predstavlja 4,000 2,000 T(9) 532. optimalno rešenje za ovaj primer
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.
1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za
Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:
Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Otvorene mreže. Zadatak 1
Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.