ŠTEVILO PI SANJA ZAMIDA

Transcript

1 ŠTEVILO PI SANJA ZAMIDA

2 ŠTEVILo PI π je enak razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom π je matematična konstanta π je ploščina kroga s polmerom 1 π imenujemo jo tudi Arhimedova konstanta ali Ludolfovo število

3 π je iracionalno št. (ne da se ga natančno zapisati kot razmerje dveh celih števil (Lambert, 1767) π je transcendentno št. (ne obstaja polinom s celimi (ali racionalnimi) koeficienti, katerega koren je π (Lindemann,1882)

4 Zgodovina računanja decimalk

5 Sumerci π okrog 2000 let p. n. š. so uporabljali vrednost π=3 π ploščina kroga naj bi bila enaka 1/12 kvadrata njegovega obsega

6 Egipčani π 17. stoletje p. n. š. π prvi ki so opazili da število 3 ne predstavlja tega razmerja, π približek so dokazali z merjenjem Na Rhindovem papirusu je izračunana ploščina kroga ki ima premer 9. π Ploščina kroga je enaka ploščini osmerokotnika, ki ga dobimo, ko odrežemo kvadratu ABCD vogale.

7 π Dobimo enakokrake trikotnike s stranico 3. π Ploščina celega kvadrata je enaka 81 π Ploščina vseh štirih odrezkov je enaka dvojni ploščini kvadrata s stranico 3 (=18) π Ploščina kroga p= π*81/4. π Po Rhindovem papirusu naj bi bilo to enako 64, torej: π= 3,16

8 Grki π Vsako trditev so želeli dokazati, jih izvesti iz nekaj osnovnih, očitnih resnic-aksiomov. π Ploščine kroga se je lotil eden največjih umov antike Arhimed ( p.n.š) ARHIMED

9 π π π π Imamo krog polmera a in vanj včrtan pravilni šestkotnik. Obseg šestkotnika je nekoliko manjši kot obseg kroga. Enak je 6a. Če bi iz tega približka izračunali π, bi dobili prastari rezultat π = 3. Če vzamemo pravilni dvanajstkotnik, dobimo boljši rezultat, ki pa da za število π še vedno premajhno vrednost.

10 π Arhimed je s včrtanim in očrtanim 24-kotnikom, 48- kotnikom in 96- kotnikom dobil zgornjo in spodnjo oceno za število π: π Skoraj celih dvatisoč let se znanje o številu π ni premaknilo bistveno naprej od Arhimedovih spoznanj. π V tem času so izračunali precej boljših približkov od Arhimedovih 22/7, vendar je metoda računanja ostala njegova.

11 π Od grških matematikov je velja omeniti še Ptolemeja (približno leta 150 p.n.š.). π Za število π je dal približek 377/120, ki se ujema s pravo vrednostjo π= 3, že na štiri decimalke.

12 Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo v Sredozemlju, niso dali matematiki ničesar novega. π V srednjem veku so ploščino kroga tehtali. π Nekateri učenjaki so z Biblijo v roki dokazovali, da je π = 3, saj je v Bibliji omenjeno starodavno obrtniško navodilo, da je obseg kroga tri krat večji od premera. π Arabci so prevedli vsa pomembnejša dela (tudi Arhimeda), tako so se ta dela ohranila, saj so jih nato renesančni pisci Evrope prevedli v latinščino.

13 Indijci π Indijski matematik Aryabhata, je izračunal vrednost 3,1416. π Izvor rezultata ni povsem jasen, ali izhaja iz kakšnega neznanega grškega dela, ali pa ga je dobil po Arhimedovi metodi s pomočjo 384-kotnika. π Indijski matematik Bhaskara (okrog leta 1150), je navedel približek 22/7 (Arhimed) in

14 Kitajci π Tudi Kitajci so se ukvarjali z obsegom in ploščino kvadrata. π Li Hue je v tretjem stoletju po podobni poti kot Arhimed izračunal približek: π Tus Čung Či (5. stoletje) je poznal število π na šest decimalk (3, ) in racionalni približek 335/113, ki je dober do šeste decimalke.

15 Evropa π Od Arabcev so prevedli klasična grška dela in originalne prispevke islamskih učenjakov. π Leonardo Fibonaccij, je živel v 13. stoletju. π Šel je po Arhimedovi poti in poiskal točnejše meje za število π, in dal racionalni približek 864/275=3,1418 (pravilno se ujema na 3 decimalke)

16 Francija π V 16. stoletju, so matematiki iskali približek v obliki decimalnega števila in ne več v obliki ulomka. π Po Arhimedovi metodi je Francois Viete našel zgornjo in spodnjo mejo za število π. Obe meji sta se ujemali na devet decimalk natančno (π=3, )

17 Nizozemska π Adriaen van Roomen je našel 15 točnih decimalk. Pri računanju si je pomagal s pravilnimi mnogokotniki z 2 30 stranicami ( kotnik). π V začetku 17. stoletja je živel Ludolf van Ceulen, ki je izračunal 35 decimalk, po Arhimedovi metodi, s pomočjo mnogokotnika z 2 62 stranicami.

18 π Vsi so uporabljali Arhimedovo metodo in zapravljali cela leta za nekaj decimalk. π Fizik Snell je našel znatno izboljšanje klasične metode za računanje, tako da je v krajšem času in z uporabo kotnika dobil van Ceulenovih 35 decimalk.

19 Škotska π Škotski matematik James Gregory je leta 1671 našel neskončno vrsto za funkcijo arkus tangens. π S tem je bilo mogoče dosti lažje in hitreje izračunati število π na precejšnje število decimalk.

20 Švica π S pomočjo te metode je tudi švicarski matematik Leonhard Euler izračunal 128 decimalk (v manj kot 80 urah). π Uvedel je tudi rabo simbola π za razmerje med obsegom in polmerom kroga. π Pred tem so uporabljali π/δ. (π= obseg, δ=premer)

21 Jurij Vega π Naš najbolj znani matematik. π 1789 je Vega dosegel tedanji svetovni rekord in izračunal število π na 140 decimalk, od katerih pa zadnje štiri niso bile pravilne. π Rekord je obdržal 52 let do leta 1841.

22 KRATEK PREGLED