Vremenske serije. Anica Kosti c
|
|
- Μωσῆς Μαλαξός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vremenske serije Anica Kosti c
2 Glava 1 Holt-Winters metod Ovaj metod izravnanja serije koristimo kada pretpostavljamo da u seriji imamo i trend i sezonsku varijaciju, koji se menjaju tokom vremena. Mo ze se koristiti za predvidanje. Jedna cine aditivnog Holt-Winters modela su: Nivo (level): a t = α(x t s t p ) + (1 α)(a t 1 + b t 1 ) Nagib (slope): b t = β(a t a t 1 ) + (1 β)b t 1 Sezonski efekat: s t = γ(x t a t ) + (1 γ)s t p gde su a t, b t, i s t ocenjeni nivo, nagib i sezonski efekat u trenutku t, a α, β, i γ su parametri izravnanja. Do sada smo imali samo pojam trenda i sezonske varijacije. U ovom modelu ono sto smo smatrali trendom je razbijeno na dve komponente - nivo i nagib. Nagib bi slobodno re ceno trebalo da predstavlja izvod trenda, tj. brzinu promene funkcije trenda, a nivo samu vredost trenda u trenutku t. U navedenim rekurentnim jedna cinama po kojima se odreduju a t, b t, i s t koristi se linearna kombinacija dve razli cite mogu ce ocene za te komponente na osnovu vrednosti prethodno ocenjenih komponenti. U jedna cini za nivo u trenutku t prva mogu ca ocena je razlika vrednosti opservacije u trenutku t i odgovaraju ce sezonske komponente ocenjene za prethodni period (ovo je dobra ocena ako se sezonska komponenta ne menja puno po godinama). Druga mogu ca ocena za nivo dobijena je na osnovu pretpostavke da se trend ocenjen prethodnog trenutka linearno nastavlja brzinom koja je takode ocenjena za prethodni trenutak. To je upravo 1
3 GLAVA 1. HOLT-WINTERS METOD vrednost a t 1 + b t 1. U jedna cini za nagib u trenutku t prva mogu ca ocena je razlika nivoa ocenjenih u trenutku t i t 1. Ovo je logi cna ocena - kao izvod ali u diskretom vremenu, mera promene trenda. Druga ocena je samo ocena nagiba u prethodnom trenutku, i to je dobra ocena ukoliko je trend linearan, jer je tada izvod (nagib) konstantan. Ukoliko se menja nepredvidivo, za ocenu nagiba je bolja prva ocena. U jedna cini za sezonski efekat u trenutku t prva ocena je razlika opservacije u trenutku t i nivoa u tom trenutku (koji je ocenjen u prvoj jedna cini), a druga je samo sezonska komponenta iz istog meseca prethodne godine sto smo ve c imali ocenjeno. Prva ocena je bolja ako se sezonska varijacija zna cajno promenila u odnosu na onu prethodnu, a druga ako ona ostaje pribli zno ista. Parametre izravnanja α, β, i γ mo zemo eksplicitno zadati u funkciji HoltWinters ili prepustiti R-u da ih sam oceni, o cemu ce uskoro biti re ci. Prvo pomenimo da je potrebno precizirati po cetne vrednosti za a t, b t, i s t. Naj ce s ce se uzima a 1 = x 1 a vrednosti b 1, s 1,..., s p se postavljaju na 0 ili ocenjuju funkcijom decompose, sto je po default-u u R-u. Sada kada smo videli smisao i znamo da izra cunamo ova tri niza, pitanje je koja je ta cno jedna cina izravnjene serije, i kako se ovaj model koristi za prognoziranje. Za aditivni Holt-Winters model, jedna cina izravnjene serije je u stvari njena ocenjena vrednost jedan korak unapred ˆx t = a t 1 + b t 1 + s t p Vratimo se na ocene parametara izravnanja. Ukoliko se oni ne navedu, ra cunaju se tako da gre ska izmedu ocenjene i izravnjene serije bude minimizirana. Dakle, tra zi se minimum od n (x t ˆx t ) 2 t=1 Vrednost te minimizirane sume mo ze se dobiti pozivom sweetw.hw$sse. Objasnimo rezultate poziva slede cih funkcija u R-u. Pogledati oka ceni kod za informacije o seriji kojom se bavimo. sweetw.hw <- HoltWinters (sweetw.ts) 2
4 GLAVA 1. HOLT-WINTERS METOD plot(sweetw.hw) plot (sweetw.hw$tted) Pozivom ove dve plot funkcije dobijamo dva graka. Na prvom imamo dve linije, crna je na sa originalna serija, a druga, crvena, je ona ocenjena prethodnom jedna cinom. Vidimo da crvena po cinje malo posle crne, to je zbog indeksa za s, mogu ce je ocenjivati tek posle prve godine, to jest za t p. Na drugom graku dobijamo prikazane sve komponente modela na razli citim gracima. Va zi da je xhat= level+trend+season, u sta se mo zemo uveriti i pozivom sweetw.hw$tted i poredenjem vrednosti. Pozivom sweetw.hw$coef, dobija se niz ocenjenih koecijenata modela u poslednjim trenucima, koji se takode ra cunaju po prethodnoj formuli, dakle ako imamo n opservacija dobijeni koecijenti su a = a n, b = b n i s n p+1,..., s n ocene za 12 sezonskih komponenti (kod godi snje serije). Oni su posebno izdvojeni jer se na osnovu njih vr si predvidanje. Jedna cina predvidanja k koraka u budu cnost (k koraka nakon zavr setka serije) je ˆx n+k n = a n + k b n + s n+k p k p Kao sto mo zemo videti iz ove jedna cine predvidanja, pretpostavlja se da se trend nakon zavr setka serije linearno nastavlja slede cih k koraka u budu cnosti, po cev od poslednjeg nivoa, nagibom ocenjenim za poslednji trenutak. Za sezonsku komponentu koristi se odgovaraju ca, poslednja ocenjena vrednost. Jedna cine multiplikativnog Holt-Winters modela su: ( ) xn Level: a n = α + (1 α)(a n 1 + b n 1 ) Trend (or slope): Seasonal eect: s n p b n = β(a n a n 1 ) + (1 β)b n 1 s n = γ ( xn a n ) + (1 γ)s n p Multiplikativni model koristimo kada na osnovu graka serije sumnjamo da sezonska varijacija raste sa porastom trenda. Sa ovim modelom smo se ve c susreli kod funkcije decompose. Rekurentne jedna cine ovog modela su analogne aditivnom modelu, i njihov smisao se lako mo ze opisati kao sto 3
5 1.1. EKSPONENCIJALNO IZRAVNAVANJE GLAVA 1. HOLT-WINTERS METOD smo to ve c uradili u slu caju aditivnog modela. Formula po kojoj se ra cuna izravnjena serija je x t = (a t 1 + b t 1 ) s t p Pozivima funkcija u R-u koje smo istakli za aditivni model (samo treba navesti seasonal="mult" kao argument funkcije HoltWinters, pogledati kod) dobijamo odovaraju ce grake i koecijente za multiplikativni model, treba imati na umu da je sada xhat= (level+trend)season. Ako je dato n opservacija ukupno, jedna cina predvidanja k koraka unapred je ˆx n+k n = (a n + k b n ) s n+k p k p Ukoliko je na sa serija dobro ocenjena Holt-Winters modelom, reziduali (tj. gre ske predvidanja jedan korak unapred) bi trebalo da budu nekorelisani, sto se proverava korelogramom, ili Ljung-Box testom, i pribli zno normalno raspodeljeni sa jednakom diperzijom. Da li je disperzija jednaka u svim vremenskim trenucima mo ze se zaklju citi na osnovu graka reziduala. 1.1 Eksponencijalno izravnavanje Najjednostavniji specijalni slu caj Holt-Winters metoda je eksponencijalno izravnavanje. Koristimo ga kada imamo seriju bez o ciglednog trenda i sezonske komponente. Srednja vrednost te serije bi trebalo u tom slu caju da bude pribli zno konstantna, jer da je srednja vrednost npr. rastu ca funkcija, onda bi postojao trend, sto po pretpostavci ne bi trebalo. Jedna cina ovog modela je x t = µ t + w t gde je µ t funkcija srednje vrednosti a w t proces gre ske, sa nezavisnim vrednostima, o cekivanjem 0 i disperzijom σ 2. Bez znanja Holt-Winters metoda, tu funkciju srednje vrednosti bismo mogli da ocenimo metodom pokretnih proseka (MA) ali to ne bi bilo dobro jer pretpostavljamo da se ta funkcija srednje vrednosti menja nepredvidivo pa ne bi bilo zgodno koristiti jednake te zine svih opservacija u okolini t za ocenu µ t. Jedina komponenta Holt-Winters metoda je nivo (po sto nema sezonske komponente ni o ciglednog trenda koji bi imao svoj nagib ), i ra cuna se po formuli Nivo (level): a t = αx t + (1 α)a t 1 4
6 1.1. EKSPONENCIJALNO IZRAVNAVANJE GLAVA 1. HOLT-WINTERS METOD α (0, 1) je parametar izravnanja. Sto je α manje, manje vrednost x t uti ce na a t. Veliko α je dobro koristiti kada su promene u µ t ve ce u odnosu na devijaciju gre ske, σ. Tada se po cetna serija veoma malo izravna ( sto nam odgovara, jer ve ci deo varijabilnosti potice od µ t ). Male vrednosti α je dobro koristiti kada se µ t sporo menja, a σ je veliko. Tada se serija vi se izravna - vrednosti u trenutku t su bliske onim u t 1, a samo x t malo utice na a t. Ipak, po sto smo rekli da se bavimo serijom cija je funkcija srednje vrednosti pribli zno konstantna, vi se nam odgovaraju manje vrednosti za α, cesto se uzima na primer 0.2. Prognoziranje na osnovu HW metoda je dato sa ˆx n+k n = a n. Ovo je logi cna ocena, jer pretpostavljamo da se funkcija srednje vrednosti sporo menja (pribli zno konstantna) pa je najbolje budu cnost oceniti poslednjom poznatom vredno s cu nivoa. Dodatno, po sto proces gre ske ima nezavisne vrednosti, sa srednjom vredno s cu 0, tu gre sku nikako ne mo zemo oceniti i uklju citi u prognozu. Radi boljeg razumevanja eksponencijalnog izravnavanja jedna cinu za nivo mo zemo zapisati u druga cijem obliku: a t = αx t + α(1 α)x t 1 + α(1 α) 2 x t Odavde se vidi da vrednosti u najbli zim trenucima najvi se uti cu na vrednost nivoa, a one u daljim sve manje i manje, ali za razliku od MA metoda ovde uti cu sve vrednosti iz pro slosti (kod MA metoda uti ce samo prethodnih i budu cih 6 u slu caju godi snje serije). 5
7 Glava 2 Osnovni stohasti cki modeli Do sada smo razmatrali dva pristupa modelovanju vremenskih serija. Prvi je bio da postoji trend i sezonska varijacija koja je ista za svaki period (npr. iste vrednosti sezonske varijacije za iste mesece razli citih godina, ako je u pitanju godi snja vremenska serija). Nakon sto se oceni trend metodom pokretnih proseka, oceni se i sezonska varijacija, tako da ona bude ista za svaki period (razli cito za aditivni odnosno multiplikativni model). Drugi pristup je podrazumevao da se i sezonska varijacija menja tokom vremena, i jedan primer takvog modela je Holt-Winters metod. Nakon sto tujemo na su seriju u neki od modela, primetimo da postoje odstupanja stvarnih vrednosti od tovanih vrednosti - te razlike cine proces gre ske reziduala. Ve c smo se bavili procesom gre ske, koji smo izdvojili iz serije funkcijom decompose i smatrali smo da je stacionaran, da bismo mogli da donosimo zaklju cke na osnovu korelacione funkcije, kao mere linearne zavisnosti. Ukoliko je na s model dobar, trebalo bi da je pokupio sve deterministi cke komponente serije, i da su gre ske nezavisne slu cajne veli cine, sa srednjom vredno s cu 0, iz neke raspodele. Iz tog razloga smo kao ocenu da li je neki model dobar, koristili koreloram. Po zeljno je bilo da sto manje vrednosti (po zeljno nijedna) korelacione funkcije upadne u kriti cnu oblast pri testiranju hipoteze o nekorelisanosti (govori se o serijskoj korelisanosti u okviru iste serije za svaki korak k ). Ipak, cesto se u tom procesu gre ske uo cavaju veze izmedu uzastopnih elemenata i denisanje te veze nam mo ze pomo ci u prognoziranju ili simulacijama. Kasnije cemo razmatrati neke stacionarne modele kao modele procesa gre ske. Na osnovu korelograma do sada smo samo videli kako izgleda korelogram karakteristi can za AR(1) i AR(2) model. Iako smo pomenuli ova dva modela, nismo denisali nijedan 6
8 2.1. BELI SUM GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI model procesa gre ske. Krenimo od onog najpo zeljnijeg - procesa sa nezavisnim vrednostima iz iste raspodele. 2.1 Beli sum Neka je y t vrednost serije u trenutku t, i neka je ŷ t ocenjena (tovana) vrednost. Tada je gre ska u trenutku t vrednost x t = y t ŷ t. Videli smo kako na korelogram uti cu trend i sezonska varijacija. Ukoliko su ocenom trenda i sezonske varijacije uklonjene sve korelacije izmedu elemenata serije, elementi procesa gre ske bi trebalo da budu nekorelisani. Proces belog suma opisuje takav proces gre ske. Proces {W t : t = 1,..., n} je diskretan proces belog suma ako su sve slu cajne veli cine W t nezavisne, jednako raspodeljene, sa o cekivanjem 0 i disperzijom σ 2. Ako dodatno one imaju N(0, σ 2 ) raspodelu, taj proces se zove Gausov proces belog suma. Analogna je denicija procesa belog suma u neprekidnom vremenu. Beli sum je po zeljan model za proces gre ske, i to je prvi model denisan strogo kao jedan slu cajni proces, cije karakteristike kao sto su funkcija srednje vrednosti i korelaciona funkcija mo zemo izra cunati - da bismo znali sta da o cekujemo na korelogramu. Pre ovoga smo se bavili samo izravnavanjem serije - na osnovu jedne realizacije serije odredujemo njene komponente, ali pre sprovedenog metoda izravnavanja nemamo nikakvo teorijsko znanje o tome kakav ce biti izgled i svojstva dobijenih komponenti. 2.2 Slu cajno lutanje Slede ci model kojim se bavimo je Braunovo kretanje. Ovaj model (slu cajni proces) nema veze sa procesom gre ske, ali je blizak pomenutom Belom sumu, pa ga uvodimo sada. U primerima i pri simulacijama (videti kod) Beli sum smo posmatrali kao slu cajan proces u diskretnom vremenu. Takode, u svim primerima do sada posmatrana je neka zi cka veli cina koja se menja neprekidno u vremenu, u smislu da u svakom trenutku ona ima svoju vrednost i u svakom trenutku mo ze se desiti promena. Za sto se onda bavimo diskretnim procesima, kada bi prema ovome vremenska serija trebalo da bude jedna trajektorija procesa u neprekidnom vremenu? U praksi smo ograni ceni diskretnim vremenom. Generisanje vrednosti kod 7
9 2.2. SLU CAJNO LUTANJE GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI kompjuterskih simulacija kao i bele zenje dobijenih vrednosti neke realne serije mogu ce je samo u diskretnim vremenskim trenucima. Zato se merenja vr se u sto vi se trenutaka, da bi se zabele zilo sto vi se tih promena, a kao modeli tih serija koriste se (aproksimativno) slu cajni procesi u neprekidnom vremenu. Slu cajno lutanje za t=0,1,2,... se deni se rekurentno B 0 = 0B t = B t 1 + W t, t 1 gde je W t proces diskretnog belog suma, W t N(0, σ 2 ). Grani cni slu caj slu cajnog lutanja je Braunovo kretanje (Vinerov proces). Sta to zna ci i kako bi se simulirala jedna trajektorija ovog procesa, na intervalu [0,T]? Poznato je da je u trenutku t vrednost procesa realizacija slu cajne veli cine B t, koja ima N(0, t) raspodelu, i da je prira staj na intervalu (s, t), B t B s slu cajna veli cina sa N(0, t s) raspodelom, nezavisna od prira staja na bilo kom drugom disjunktnom intervalu, pa tako i nezavisna od B s. Ova osobina nezavisnosti je bitna za simulacije. Kao sto je ve c re ceno, neprekidni procesi se simuliraju tako sto se uzima veoma veliki broj deobnih ta caka, a same vrednosti procesa se odreduju u diskretnim vremenima. Ideja je prvo napraviti jednu ekvidistantnu podelu intervala [0, T ], 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T, t i t i 1 = t, a zatim u svim ta ckama podele, koriste ci svojstvo nezavisnosti prira staja, odrediti vrednost procesa na slede ci na cin, induktivno B 0 = 0, B tn = B tn 1 + Z t gde je Z slu cajna veli cina sa N(0, 1) raspodelom. ovako zadato B tn disperzija ba s jednaka t n. Uverite se kako je za U slu cajevima kada serija prati rastu ci ili opadaju ci trend, a u okviru tog trenda imamo i variranja mo zemo sumnjati na slu cajno kretanje sa driftom. Jedna cina ovog procesa je X t = X t 1 + δ + W t, gde je δ neka nepoznata konstanta - parametar drift. Braunovo kretanje se koristi kao model nestacionarne serije u ekonommiji i nansijama. Osobine ove serije su du zi periodi rastu ceg ili 8
10 2.3. AR MODELI GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI opadaju ceg trenda i nepredvidive promene smera kretanja. Kako je nepredvidiva promena u narednom trenutku, za predvidanje budu cnosti najbolje je koristiti sada snju (poslednju dostupnu) vrednost. 2.3 AR modeli Slu cajni proces X t je AR model reda p, u oznaci AR(p) ako je se mo ze napisati u obliku X t = φ 1 X t 1 + φ 2 X t φ p X t p + W t φ 1,..., φ p su autoregresioni koecijenti. Karakteristi cna jedna cina mo ze se denisati na dva na cina. Prema prvom to je g p φ 1 g p 1 φ 2 g p 2... φ p = 0. Drugi na cin je kori s cenjem operatora siftovanja unazad (BX t = X t 1 ) θ p (B)X t = (1 φ 1 B φ 2 B 2... φ p B p ) Pa je karakteristi cna jedna cina θ p (B) = 0, polinom po B. U prvom slu caju va zi da je serija stacionarna ako su svi koreni polinoma (to mogu biti i kompleksni brojevi) po apsolutnoj vrednosti manji od 1, a u drugom ako su svi koreni polinoma po apsolutnoj vrednosti ve ci od AR(1) model Jedna cina modela: X t = φ 1 X t 1 + +W t Uslov stacionarnosti svodi se na φ 1 < 1 Funkcija srednje vrednosti: µ t = 0 Autokovarijaciona funkcija (pri uslovu stacionarnosti): Autokorelaciona funkcija: γ k = σ2 φ k 1 1 φ 2 1 ρ k = φ k 1 9
11 2.4. ARIMA GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI 2.4 ARIMA Stacionarne vremenske serije su one cije osobine ne zavise od trenutka u kom se serija posmatra. Vremenske serije sa trendom ili sezonskim efektom nisu stacionarne (te komponente imaju kao posledicu razli cte vrednosti serije u razli citim trenucima) Neki slu cajevi mogu biti zbunjuju ci - vremenske serije sa cikli cnom komponentom (a bez trenda i sezonske komponente) su stacionarne. To je jer ciklusi nisu ksne du zine, pa ne znamo unapred gde ce biti najvi se i najni ze ta cke. Dakle stacionarne serije nemaju predvidiv obrazac koji se ponavlja. Grak stacionarne serije (vrednost posmatranog obele zja u odnosu na vreme) ima osobinu da je (grubo) horizontalan, sa konstantnom disperzijom tokom vremena. Za koje od 9 graka na gornjoj slici bismo rekli da su realizacije (jedna trajektorija) stacionarnog procesa? 10
12 2.4. ARIMA GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI Diferenciranje Jedan na cin da se od nestacionarne serije dobije stacionarna je diferenciranjem. Diferenciranjem serije dobija se nova serija tako sto se prave razlike uzastopnih opservacija. x t = x t x t 1 Na primer, diferenciranjem Braunovog kretanja dobija se beli sum (stacionarna serija). Grak (b) je zapravo dobijen diferenciranjem (a). Primetimo da se diferenciranjem meri promena u seriji (kao diferenciranje u analizi) i da diferencirana serija ima jedan element manje nego po cetna. Drugi na cin da se dobije stacionarna serija je njenim logaritmovanjem (ovo je mogu ce u slu caju pozitivnih vrednosti serije) jer se time stabilizuje disperzija). Ova transformacija se koristi kada disperzija zavisi od srednje vrednosti ("variance-on-mean relationship"), nakon logaritmovanja taj uticaj se elimini se i dobijamo seriju cija disperzija ne zavisi od srednje vrednosti. Za malo vi se informacija pogledati ovde. Diferenciranje drugog reda Opisano je diferenciranje prvog reda. Nekad diferencirana serija i dalje ne izgleda stacionarno, pa je potrebno vi se puta diferencirati. x t = (x t x t 1 ) (x t 1 x t 2 ) = x t 2x t 1 + x t 2 Ovim je u seriji modelovana mera promene u seriji promene i takva serija ima dve opservacije manje nego po cetna. Sezonsko diferenciranje Sezonsko diferenciranje je pravljenje razlike izmedu neke opservacije i njene odgovaraju ce opservacije iz istog meseca prethodne godine x t = x t x t m, m brojsezona Ove razlike se zovu i diferenciranje sa zadr skom m. Ako se ovim diferenciranjem dobija beli sum, onda je odgovaraju ci model po cetne serije x t = x t m + w t 11
13 2.4. ARIMA GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI Predvidanje jednu godinu unapred - vrednost u odgovaraju cem mesecu prethodne godine. Mogu ce je kombinovanje obi cnog diferenciranja (sa korakom 1) i sezonskog jer nekad nije dovoljno samo sezonsko diferenciranje da bi se dobila stacionarna serija. Dato je slede com jedna cinom: x t = (x t x t 1 ) (x t 12 x t 13 ) = (x t x t 12 ) (x t 1 x t 13 ) Odavde se vidi da je svejedno kojim poretkom diferenciramo, ali je bolje prvo primeniti sezonsko diferenciranje, pa onda obi cno, jer nekad nakon sezonskog diferenciranja nije vi se potrebno ni sta transformisati. Kako uklopiti u model datu seriju? Nesezonski ARIMA model mo ze biti zapisan preko operatora siftovanja unazad na slede ci na cin (1 φ 1 B φ p B p )(1 B) d y t = c+(1+θ 1 B+ +θ q B q )w t (2.1) ili ekvivalentno (1 φ 1 B φ p B p )(1 B) d (y t µt d /d!) = (1+θ 1 B+ +θ q B q )w t, (8.3) gde je c = µ(1 φ 1 φ p ), a µ je srednja vrednost procesa (1 B) d y t. Dakle ako dodamo konstantu u nestacionarni ARIMA model na sa serija ce imati polinomni trend reda d, a bez konstante trend je polinom reda d 1. Specijalno, ako je d = 0, µ je srednja vrednost serije y t. arima() Po default-u arima() postavlja c = µ = 0 kada je d > 0, a ocenjuje µ kada je d = 0. Parametar µ je "intercept", i njegova vrednost ce biti blizu uzora cke srednje vrednosti serije, ali cesto ne ista jer uzora cka srednja vrednost nije ocena metodom maksimalne verodostojnosti kada je p + q > 0. Dodatni argument include.mean ima efekta samo za d = 0 i po default-u je TRUE. Ako se postavi include.mean=false, µ ce biti 0 Arima() Funkcija Arima iz paketa forecast takode ima argument include.mean koji ima istu ulogu kao kod arima() funkcije. Takode ima i argument include.drift koji dopu sta µ 0 kada je d = 1 i taj parametar se zove drift. Za d > 1 nije dozvoljena konstanta jer je kvadratni ili neki drugi polinom vi seg reda, kao ocena za trend, lo s za predvidanje. auto.arima() auto.arima() funkcija koja nalazi najbolji model, takode uklju cuje modele sa konstantom u slu cajevima d = 0 ili d = 1 ako oni pobolj savaju vrednost AIC-a. Za d > 1 konstanta se isklju cuje, ako se prosledi allowdrift=false, onda se konstanta uklju cuje samo za d=0. 12
14 2.4. ARIMA GLAVA 2. OSNOVNI STOHASTI CKI MODELI 13
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραNa grafiku bi to značilo :
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραJEDINIČNI KOREN VREMENSKOG NIZA UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD MENTOR: broj indeksa: 9 STUDENT:
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU JEDINIČNI KOREN VREMENSKOG NIZA MASTER RAD MENTOR: Prof. dr Biljana Popović STUDENT: Bojana S. Petković broj indeksa: 9 NIŠ, FEBRUAR
Διαβάστε περισσότεραUvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za
Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραDiferencne jednačine
Diferencne jednačine Ana Manojlović Marko Mladenović Sandra Hodžić Uvod Aritmetički i geometrijski niz su primeri nizova zadatih rekurentnim vezama. Oba niza su odredjena ponavljanjem prvog člana u neke
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα