JEDINIČNI KOREN VREMENSKOG NIZA UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD MENTOR: broj indeksa: 9 STUDENT:

Transcript

1 UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU JEDINIČNI KOREN VREMENSKOG NIZA MASTER RAD MENTOR: Prof. dr Biljana Popović STUDENT: Bojana S. Petković broj indeksa: 9 NIŠ, FEBRUAR 2014.

2 Sadrºa j Uvod Uvodni pojmovi Stohasti ki procesi i vremenske serije Stacionarne serije Autokovarijansna i autokorelaciona funkcija stacionarnog stohasti kog procesa Linearni procesi Autoregresioni modeli Autoregresioni model prvog reda AR(1) Autoregresioni model drugog reda AR(2) Modeli pokretnih sredina Model pokretnih sredina prvog reda MA(1) Model pokretnih sredina drugog reda MA(2) Autoregresioni procesi pokretnih sredina ARMA(p,q) Nestacionarni modeli vremenskih nizova Uvod Uzroci i priroda nestacionarnosti Nestacionarnost u srednjem, deterministi ki i stohasti ki trend Uop²teni ARIMA procesi Procesi slu ajnog kretanja Nestacionarnost u varijansi Varijansa i njene stabilizacione transformacije Testovi jedini nog korena Diki-Fulerov (DF) test KPSS test PP, ERS i M testovi Permutacioni test za jedini ni koren u autoregresionom modelu Testovi jedini nog korena i strukturni lom Peronov test jedini nog korena Zivot-Endrujsov test Svojstva ocene autoregresionog parametra vremenske serije sa jedini nim korenom Test autokorelisanosti reziduala Zaklju ak Literatura Biograja autora

3 Uvod Analiza vremenskih serija je statisti ka disciplina, koja beleºi najdinami niji razvoj poslednjih decenija. Vremenska serija je ureženi niz opservacija, gde se ureživanje vr²i s obzirom na vreme, u jednakim vremenskim intervalima. Kako je proces dono²enja odluka esto povezan sa predvižanjem budu ih vrednosti promenljivih koje zavise od vremena, vremenske serije i njihova analiza, predstavljaju pogodno sredstvo za to. U analizi vremenskih serija, od interesa je posebna klasa stohasti kih procesa, a to su linearni stacionarni procesi, te su njihove osnovne karakteristike navedene u prvoj glavi ovog rada, ija je tema jedini ni koren vremenskog niza, odnosno vremenske serije. Takože, u uvodnom poglavlju, navedene su osnovne karakteristike stacionarnih procesa, i tri modela linearnih stacionarnih procesa, koji se koriste za modeliranje vremenskih serija, a to su autoregresivni modeli 1 (AR), modeli pokretnih sredina 2 (MA) i ARMA 3 procesi. Kako se u realnom svetu de²ava da su pretpostavke o stacionarnosti naru²ene, u drugom poglavlju e se izu avati nestacionarni modeli vremenskih serija, uzroci i priroda nestacionarnosti, serije nestacionarne u srednjem i varijansi, kao i autoregresioni integrisani proces pokretnih sredina (ARIMA). U poslednjem poglavlju izloºeni su testovi za jedini ni koren. Jedna od klju nih tema u prakti nom modeliranju jeste utvrživanje broja jedini nih korena koje poseduje data vremenska serija. Diki 4 i Fuler 5 su dali veliki doprinos teoriji jedini nog korena, i razvili test jedini nog korena godine u svom radu Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root. U statistici, Diki-Fulerovim testom testira se da li je jedini ni koren prisutan u autoregresivnom modelu. Deivid Alan Diki je ameri ki statisti ar, specijalizovan za analizu vremenskih serija. Bio je profesor u odeljenju za statistiku na drºavnom univerzitetu Severne Karoline. Vejn Artur Fuler je istaknuti ameri ki statisti ar specijalizovan za istraºivanja u ekonometriji, uzorkovanju i analizi vremenskih serija. Bio je lan ameri kog udru- ºenja za statistiku, instituta za matemati ku statistiku, biometrijskog dru²tva, i mnogih drugih. Dobio je mnoge prestiºne nagrade, a godine dobio je zvanje po asnog doktora na drºavnom univerzitetu u Severnoj Karolini. Posebno zahvaljujem mentoru, prof. dr Biljani Popovi, na podr²ci i pomo i pri izradi ovog rada, kao i lanovima komisije. 1 autoregressive model 2 moving average 3 autoregressive moving average 4 David Alan Dickey, ameri ki statisti ar 5 Wayne A. Fuller, ameri ki statisti ar 3

4 1 Uvodni pojmovi 1.1 Stohasti ki procesi i vremenske serije U ovoj glavi zapo injemo izlaganje teorijskih osnova savremenih statisti kih modela vremenskih serija. Zbog njihove stohasti ke prirode, pravimo kratak osvrt na stohasti ke procese. Time deni²emo teorijski okvir analize vremenskih serija, a istovremeno deni²emo i samu vremensku seriju. Slobodno re eno, vremenska serija predstavlja ureženi niz opservacija, pri emu se ureženje ostvaruje u odnosu na vreme, i to naj e² e u jednakim vremenskim intervalima. Da bi dozvolili mogu nost nepredvidivosti budu ih opservacija, prirodno je pretpostaviti da je svaka opservacija z t realizovana vrednost neke slu ajne promenljive Z t. Vrenenski niz {z t : tǫt 0 } je onda realizacija familije slu ajnih promenljivih {Z t : tǫt 0 }. Ovo razmatranje nam sugeri²e modeliranje podataka kao realizaciju stohasti kog procesa {Z t : tǫt}, gde je T T 0. Do pojma stohasti kog procesa dolazimo pro²iruju i pojam slu ajne promenljive. Slu ajna promenljiva je po deniciji funkcija mogu ih ishoda statisti kog eksperimenta. Ako posmatramo njenu evoluciju tokom vremena, ona postaje i funkcija vremena. Naime, slu ajna promenljiva u op²tem slu aju ne zavisi od vremena, mežutim, mnoge pojave i dogažaji, iji su ishodi neizvesni, a koje se odvijaju u vremenu, zahtevaju da se pojam slu ajne promenljive uop²ti tako da se uklju i i vremenska komponenta (t). Posmatraju i familiju slu ajnih promenljivih koje zavise od vremena, dolazimo do pojma stohasti ki ili slu ajan proces. Za opisivanje pojma stohasti kog procesa, neophodno je denisati prostor verovatno a(ω, F, P) i indeksni (parametarski) skup T, koji je naj e² e interval vremena [0,T], [0, ), (,+ ), [a,b] u kome se prate slu ajne promene. Da emo sada i formalnu deniciju stohasti kog procesa. Denicija 1. Neka je (Ω,F,P) dati prostor verovatno a i T skup vrednosti parametra t. Familija slu ajnih promenljivih Z = {Z(ω,t) : ωǫω,tǫt} denisanih nad istim prostorom verovatno a (Ω, F, P) zove se stohasti ki ili slu ajni proces, sa indeksnim skupom T. Kako je stohasti ki proces Z(ω, t) skup vremenski indeksiranih slu ajnih promenljivih denisanih na uzora kom prostoru, obi no se izostavlja promenljiva ω, i umesto Z(ω,t), kratko e radi, stohasti ki proces ozna ava se sa Z(t) ili Z t. Stohasti ki proces moºemo shvatiti i kao funkciju dve promenljive, t i ω tj. Z : ΩxT S, gde je S skup realnih brojeva R ili skup kompleksnih brojeva C. Za ksirano t, Z(ω, t) je slu ajna promenljiva koju nazivamo zasek. Ako pak ksiramo ω, Z(ω,t), kao funkcija po t je realna funkcija realne promenljive i naziva se realizacija ili trajektorija slu ajnog procesa. Mi emo razmatrati samo realne vremenske serije, tj. one iji je kodomen skup realnih brojeva. Denicija 2. Stohasti ki proces {Z t : tǫt} sa prebrojivim indeksnim skupom T zove se vremenski niz ili vremenska serija, odnosno slu ajni niz ili slu ajni proces sa diskretnim vremenom. 4

5 Mi emo u ovom razmatranju podrazumevati da je indeksni skup skup svih celih brojeva (T Z), osim ako nije druga ije nagla²eno. Populacija koju ine sve mogu e realizacije zove se ansambl (agregat) u analizi stohasti kih procesa i analizi vremenskih serija. U tom smislu odnos vremenske serije i slu ajnog procesa odgovara odnosu uzorka i osnovnog skupa u standardnoj teoriji statisti kog zaklju ivanja. Kao ²to uzorak predstavlja deo osnovnog skupa na osnovu koga se izvode zaklju ci o svojstvima osnovnog skupa, tako i analiza konkretne vremenske serije treba da omogu i sagledavanje karakteristika slu ajnog procesa. Otuda u analizi vremenskih serija polazimo od toga da smo vremensku seriju izvukli kao uzorak iz nekog ansambla. Zadatak statisti ke analize vremenskih serija je da na osnovu kona nog broja posmatranja, naj e² e samo jedne realizacije, odredi model kojim se data serija najbolje opisuje, ocene nepoznati parametri izabranog modela posmatrane vremenske serije, ili proceni njeno pona²anje u pro²losti ili budu nosti. Najpotpuniji na in opisivanja strukture stohasti kog procesa jeste kada se zna funkcija raspodele stohasti kog procesa. Mežutim, kao ²to je pokazao Kolmogorov, ako stohasti ki proces ispunjava odrežene uslove regularnosti, nije potrebno formirati funkciju raspodele beskona no dimenzionog stohasti kog procesa. Radi boljeg razumevanja analize vremenskih serija, u ovom odeljku uve² emo osnovne koncepte stohasti kih procesa. Razmotrimo kona an skup datih slu ajnih promenljivih {Z t1,z t2,...,z tn } stohasti kog procesa {Z(ω,t) : tǫz}. Neka je n dimenzionalna funkcija raspodele verovatno e denisana kao: F Zt1,...,Z tn (x 1,...,x n ) = P {Z t1 x 1,...,Z tn x n } gde su x i, i = 1,...,n bilo koji realni brojevi. Kaºe se da je proces stacionaran prvog reda u raspodeli ako je njegova jednodimenzionalna funkcija raspodele invarijantna u vremenu (vremenski nepromenljiva) tj. ako je F Zt1 (x 1 ) = F (x Zt1 +k 1) za proizvoljne celobrojne t 1 i k ; drugog reda stacionaran u raspodeli ako je F Zt1,Z t2 (x 1,x 2 ) = F Zt1 +k,z (x t2 +k 1,x 2 ) za proizvoljne celobrojne t 1, t 2 i k ; a n tog reda stacionaran u raspodeli ako je: F Zt1,...,Z tn (x 1,...,x n ) = F Zt1 +k,...,z tn+k (x 1,...,x n ) za proizvoljnu n-torku (t 1,...,t n ) celih brojeva i ceo broj k. Zna i da funkcija raspodele stohasti kog procesa ostaje neizmenjena kada se pomeri (translira) u vremenu, za proizvoljno k. Denicija 3. Proces je strogo (jako, kompletno, u raspodeli) stacionaran, ako poslednja jednakost vaºi za bilo koje n, tj. za n = 1,2,..., i bilo koje cele brojeve t 1, t 2,..., t n i k. Dakle, ako vaºi za n = m, takože vaºi i za svako n m, jer m-dimenzionalna funkcija raspodele odrežuje sve funkcije raspodele niºeg reda. Dakle, iz stacionarnosti vi²eg reda uvek sledi stacionarnost niºeg reda. Za dati realni proces {Z t : tǫz} denisa emo: funkciju srednje vrednosti procesa (o ekivanje procesa) sa: µ t = E(Z t ), 5

6 disperziju (varijansu) procesa sa: σ 2 t = D(Z t ) = Var(Z t ) = E(Z t µ t ) 2, autokovarijacionu (autokovarijansnu) funkciju za Z t1 i Z t2 sa: γ(t 1,t 2 ) = E((Z t1 µ t1 )(Z t2 µ t2 )), autokorelacionu funkciju za Z t1 i Z t2 sa: ρ(t 1,t 2 ) = γ(t 1,t 2 ) σ 2 t1 σ. 2 t2 Za strogo stacionaran proces, po²to je funkcija raspodele ista za svako t, srednja vrednost µ t = µ je konstantna, pod uslovom da je E( Z t ) <. Na isti na in, ako je E(Z 2 t) <, onda je σ 2 t = σ 2 za svako t i zbog toga je takože konstanta. tavi²e, budu i da je F Zt1,Z t2 (x 1,x 2 ) = F Zt1 +k,z t2 +k (x 1,x 2 ) za svako celobrojno t 1, t 2 i k, imamo: i Stavljaju i t 1 = t k i t 2 = t, dobijamo: γ(t 1,t 2 ) = γ(t 1 +k,t 2 +k) ρ(t 1,t 2 ) = ρ(t 1 +k,t 2 +k). i γ(t 1,t 2 ) = γ(t k,t) = γ(t,t+k) = γ k ρ(t 1,t 2 ) = ρ(t k,t) = ρ(t,t+k) = ρ k. Prema tome, za strogo stacionarne procese sa prva dva kona na momenta, autokovarijansa i autokorelacija izmežu Z t i Z t+k zavise samo od vremenske razlike k. Stroga stacionarnost intuitivno zna i da grak realizacije procesa na dva vremenska intervala jednakih duºina ima sli ne statisti ke osobine. Do sada, diskutovali smo isklju ivo strogu stacionarnost procesa u terminima njegove funkcije raspodele. Jednostavan primer stacionarnog procesa je niz nezavisnih identi ki raspodeljenih 6 (i.i.d.) slu ajnih promenljivih. Ovaj niz nezavisnih slu ajnih promenljivih obi no ne postoji u realnom svetu ili nije od interesa u vremenskim serijama. Osim ovog jednostavnog i.i.d. slu aja, ipak, veoma je te²ko ili ak nemogu e odrediti funkciju raspodele, naro ito zajedni ku funkciju raspodele posmatranih vremenskih serija. Prema tome, u analizi vremenskih serija, esto koristimo slabije zna enje stacionarnosti u terminima momenata procesa. Denicija 4. Stohasti ki proces {Z t : tǫz} je slabo stacionaran ako su ispunjeni slede i uslovi: 1) E(Z t ) = µ = const., tǫz 2) E(Z 2 t) <, tǫz 3) γ(t 1,t 2 ) = γ(t 1 +k,t 2 +k), t 1,t 2,kǫZ. 6 independent and identically distributed 6

7 Dakle slabo stacionaran proces drugog reda ima e konstantno o ekivanje i disperziju, sa autokovarijacionom i autokorelacionom funkcijom koje zavise samo od vremenske razlike. Ponekad se termini stacionarnost u ²irem smislu ili autokovarijansna stacionarnost takože koriste za opisivanje slabo stacionarnog procesa drugog reda. Iz denicije sledi da strogo stacionaran proces sa prva dva kona na momenta je drugog reda slabo ili autokovarijansno stacionaran proces. Ipak, strogo stacionaran proces ne mora imati kona ne momente, zato ne mora biti autokovarijansno stacionaran. Nadalje e se koristiti termin stacionaran kada se misli na slabu stacionarnost, osim kada se druga ije naglasi. 1.2 Stacionarne serije Osnovna osobina relevantna za stohasti ki proces, koji se ispituje analizom vremenske serije, je stacionarnost, odnosno klasi na ekonometrijska analiza vremenskih serija se zasniva na pretpostavci da raspoloºivi podaci poseduju svojstvo stacionarnosti, pod kojim se, slobodno re eno, podrazumeva vremenska serija ije se kretanje tokom vremena odvija po ustaljenom obrascu u smislu nepromenljivosti njegovih svojstava, tj. podrazumeva konstantnost srednje vrednosti i varijanse vremenske serije, tokom vremena. Najve i broj ekonomskih vremenskih serija ne zadovoljava uslove stacionarnosti. Na primer, privredno i politi ko okruºenje se menja u toku vremena, ²to dovodi do kretanja mnogih kvalitativnih i kvantitativnih veli ina. Te promene se naj e² e ispoljavaju kroz nestabilnost srednje vrednosti i varijanse. Analiza vremenskih serija podrazumeva upoznavanje tog stohasti kog procesa, modeliranjem relevantnih promenljivih veli ina i njihovih odnosa. S tim u vezi, prva docnja (ka²njenje) za slu ajnu promenljivu Z u trenutku vremena t je Z t 1, druga je Z t 2, itd. Drugim re ima, docnja duºine s predstavlja vrednost promenljive Z koja je ostvarena s perioda pre trenutka vremena (t) i ozna ava se kao Z t s. Docnja se moºe predstaviti i operatorom docnje (operator ka²njenja) L ( esto se ovaj operator ozna ava i sa B): LZ t = Z t 1 ; L s Z t = Z t s. Prva diferenca serije ozna ava se sa Z t, a predstavlja razliku (diferencu) izmežu vrednosti promenljive u trenutku t i trenutku t 1 : Z t = Z t Z t 1. Druga razlika (diferenca) ili diferencni operator drugog reda je: 2 Z t = ( Z t ) = (Z t Z t 1 ) = (Z t Z t 1 ) (Z t 1 Z t 2 ) = Z t 2Z t 1 +Z t 2 = Z t 2LZ t +L 2 Z t = ( 1 2L+L 2) Z t = (1 L) 2 Z t. 7

8 Diferencni operator reda d je: d Z t = ( d 1 Z t 1 ) =... = (1 L) d Z t. Kako u prakti noj primeni obi no imamo na raspolaganju samo jednu seriju, dakle, samo jednu realizaciju stohasti kog procesa za koji se smatra da generi²e podatke, da bi se uspe²no primenilo statisti ko zaklju ivanje, moraju biti ispunjene odredjene pretpostavke. Na primer, da bi se ocenile o ekivana vrednost, varijansa i kovarijanse stohasti kog procesa {Z t }, treba da postoji vi²e od jedne realizacije ovog slu ajnog niza. Pretpostavka o ergodi nosti procesa podrazumeva da uzora ki momenti izra unati na osnovu kona nog broja opservacija vremenske serije, pri rastu broja elemenata u seriji, konvergiraju pravim momentima populacije. Taj koncept je zna ajan samo ako moºemo pretpostaviti da su za svako t o ekivane vrednosti E(Z t ) = µ t i varijanse Var(Z t ) = σ 2 t konstantne. Razlikuju se, kao i kod stohasti kih procesa sa neprekidnim vremenom, dve vrste stacionarnosti. Ako pretpostavimo da se funkcija raspodele stohasti kog procesa ne menja pomacima u vremenu, za proces se kaºe da je strogo stacionaran. Ali, kako je ovaj koncept te²ko primeniti u praksi, koristi se pojam slabe stacionarnosti. Pojam stroge odn. slabe stacionarnosti procesa naveden je u deniciji 3, odnosno deniciji 4, respektivno. Sledi denicija slabe stacionarnost vremenske serije. Denicija 5. Vremenska serija Z t je stacionarana, ako zadovoljava slede e uslove: 1.E(Z t ) = µ t = µ = const, za svaki trenutak vremena t = 1, 2, 3,... 2.Var(Z t ) = E [ (Z t µ) 2] = σ 2, kona na i konstantna za svako vreme t = 1, 2, 3,... 3.Cov(Z t,z s ) = E[(Z t µ t )(Z s µ s )] = σ( t s ), funkcija samo od vremenske razlike izmežu dve slu ajne promenljive i ne zavisi od konkretnog vremena t. Uslov 3. moºe biti predstavljen i kao Cov(Z t,z t k ) = γ(k), za t = 1, 2, 3,... i k = 1, 2, 3,... i podrazumeva da je kovarijansa stacionarnog slu ajnog procesa samo funkcija udaljenosti promenljivih, odnosno ona ne zavisi od perioda u kojem se razmatraju izabrane promenljive, ve samo od njihovog mežusobnog rastojanja u vremenu. Uslovi 1. i 2. zna e da se srednja vrednost i varijansa ne menjaju tokom vremena. Drugim re ima, statisti ka svojstva stacionarnog slu ajnog procesa, koja se mere srednjom vredno² u i varijansom, ostaju ista, nezavisno od izabranog perioda posmatranja. 8

9 Slika 1: Stacionarna vremenska serija Na dalje emo posmatrati samo slabo stacionarne serije. Za stohasti ki proces {Z t,tǫt} kaºemo da je normalan ili Gausov 7 proces, ako svaka kona na linearna kombinacija slu ajnih promenljivih Z t ima normalnu (Gausovu) raspodelu. Vremenska serija {a t,tǫz} naziva se beli ²um 8 ako su a 1,a 2,... nekorelisane slu- ajne promenljive sa ksnom raspodelom, konstantnim o ekivanjem, konstantnom disperzijom, odnosno ako je: 1) E(a t ) = µ a = 0, tǫz 2) Var(a t ) = E(a t ) 2 = σ 2 a = const., tǫz 3) Cov(a t,a t k ) = E(a t a t k ) = 0, tǫz; k = 1,2,...(k 0). Autokovarijansna i autokorelaciona funkcija procesa beli ²um, date su respektivno sa: i γ k = { σ 2 a, k = 0 0, k 0, ρ k = { 1, k = 0 0, k 0. Iako se beli ²um retko pojavljuje u praksi on igra veoma vaºnu ulogu kao osnovni element u izgradnji modela vremenskih serija. Ukoliko navedenim uslovima dodamo i uslov da su lanovi niza beli ²um nezavisne slu ajne promenljive, ija je zajedni ka raspodela normalna, tada je razmatrani proces Gausov beli ²um. Beli ²um je slu ajan proces, koji na izvestan na in korespondira slu ajnoj gre²ci klasi nog linearnog regresionog modela. Sam termin beli ²um izveden je iz spektralne analize bele svetlosti. Naime, spektar bele svetlosti karakteri²e jednaki doprinos svih 7 Johann Carl Friedrich Gauss ( ), nema ki matemati ar 8 white noise 9

10 sedam osnovnih boja spektra. Drugim re ima, ukupna energija bele svetlosti sadrºi jednak uticaj komponenti, na razli itim frekvencijama. Na osnovu procesa belog ²uma deni²emo najop²tiju klasu procesa, takozvane linearne procese, o kojima e biti re i kasnije. Kao i u drugim oblastima, i u statistici najvi²e rezultata za vremenske serije postoji za Gausove procese. U slede im razmatranjima, osim ako nije druga ije nagla²eno, {a t } se uvek smatra da je Gausov proces belog ²uma, sa o ekivanjem nula. Slika 2 : Gra ki prikaz Gausovog belog ²uma Autokovarijansna i autokorelaciona funkcija stacionarnog stohasti kog procesa Po deniciji 5, kod stacionarnog procesa {Z t }, sredina E(Z t ) = µ i varijansa Var(Z t ) = σ 2 su konstante, a kovarijanse Cov(Z t,z s ) su funkcije samo od vremenske razlike t s. Zato je kovarijansa izmežu Z t i Z t+k data slede om denicijom. Denicija 6. Funkcija stacionarnog stohasti kog procesa {Z t,tǫt} denisana sa: γ k = Cov(Z t,z t+k ) = E[(Z t E(Z t ))(Z t+k E(Z t+k ))] = E[(Z t µ)(z t+k µ)], tǫt; kǫz, je funkcija od k i naziva se autokovarijaciona funkcija. Koecijent korelacije izmežu Z t i Z t+k je: ρ k = Cov(Z t,z t+k ) Var(Zt ) Var(Z t+k ) = γ k γ 0, tǫt; kǫz, gde smo ozna ili Var(Z t ) = Var(Z t+k ) = γ 0. Funkcija ρ k naziva se autokorelaciona funkcija. Teorema 1. Za stacionarni stohasti ki proces, vaºe slede e osobine za autokovarijacione i autokorelacione funkcije: 10

11 (i)γ 0 = Var(Z t ), ρ 0 = 1. (ii) γ k = γ k, ρ k = ρ k (osobina simetri nosti, odnosno γ k i ρ k su funkcije simetri ne u odnosu na k = 0), (iii) γ k γ 0, ρ k 1, (iv) Autokovarijaciona funkcija je pozitivno semidenitna tj. vaºi: n i=1 n α i α j γ ti t j 0, j=1 a autokorelaciona funkcija je pozitivno semidenitna tj. : n i=1 n α i α j ρ ti t j 0 j=1 za bilo koji skup vremenskih trenutaka t 1,...,t n i bilo koje realne brojeve α 1,..., α n. (v) Autokovarijaciona matrica Γ n je pozitivno semidenitna, odnosno determinanta matrice: γ 0 γ 1 γ 2 γ n 1 1 ρ 1 ρ 2 ρ n 1 γ 1 γ 0 γ 1 γ n 2 ρ 1 1 ρ 1 ρ n 2 Γ n = γ 2 γ 1 γ 0 γ n 3 =σ 2 ρ 2 ρ 1 1 ρ n 3 = γ n 1 γ n 2 γ n 3... γ 0 ρ n 1 ρ n 2 ρ n σ 2 P n, i svi njeni glavni minori su pozitivni ili jednaki nuli. Sa P n smo ozna ili autokorelacionu matricu koja je takože pozitivno semidenitna. Dokaz. : (i)γ 0 = E[(Z t E(Z t )) (Z t+0 E(Z t+0 ))]= E(Z t E(Z t )) 2 =Var(Z t )= D(Z t ) 0, Cov(Z ρ 0 = t,z t+0 ) = Var(Zt) = 1. Var(Zt) Var(Z t+0 ) Var(Z t) (ii) Ova osobina proisti e iz injenice da su razlike vremenskih trenutaka izmežu Z t,z t+k i Z t,z t k iste. Iz uslova stacionarnosti sledi da je: γ k = Cov(Z t,z t+k ) = Cov(Z t k,z t+k k ) = Cov(Z t k,z t ) = γ k, ρ k = Cov(Z t,z t+k ) = Cov(Z t k,z t+k k ) = Cov(Z t k,z t) = ρ Var(Zt) Var(Z t+k ) Var(Zt k ) Var(Z t+k k ) Var(Zt k )Var(Z t) k, (iii) Na osnovu Ko²i- varcove 9 nejednakosti, vaºi: γ k = Cov(Z t,z t+k ) Var(Z t ) Var(Z t+k ) = γ 0, ρ k = γ k γ 0 γ 0 γ 0 = 1. 9 Karl Hermann Amandus Schwarz ( ), nema ki matemati ar 11

12 (iv) Deni²u i slu ajnu promenljivu X = n i=1 α iz ti, rezultat prve nejednakost sledi iz: 0 Var(X) = n i=1 n α i α j Cov ( ) n Z ti, Z tj = j=1 Sli an rezultat se dobija i za ρ k deljenjem prve nejednakosti sa γ 0. i=1 n α i α j γ ti t j. (v) Ovo sledi na osnovu injenice da je varijansa slu ajne promenljive Y = λ 1 Z t + λ 2 Z t 1 + +λ n Z t n+1 nenegativna, gde su λ 1, λ 2,..., λ n proizvoljne konstante. j=1 1.3 Linearni procesi U statisti kom modeliranju, jedan od bitnijih zadataka jeste pronalaºenje odgovaraju e funkcionalne veze, izmažu odreženih ulaznih i izlaznih informacija. Jedna od naj e² ih pretpostavki je da je ta veza linearna. U analizi vremenskih serija, linearni lter je operator koji transformi²e vremensku seriju {Z t } tǫz u vremensku seriju {Y t } tǫz Y t = L(Z t ) = j= ω j Z t j, gde su koecijenti ω j vremenski invarijantni. Denicija linearnog ltera implicira da vrednost vremenske serije Y t u trenutku t, zavisi od sopstvenih pro²lih i budu- ih vrednosti. Kako su u praksi na raspolaganju samo istorijski podaci, uvodi se pretpostavka da je j 0, pa se dolazi do denicije linearnog ltera: Y t = L(Z t ) = ω j Z t j, gde vrednost {Y t } tǫz u trenutku t zavisi samo od sopstvenih pro²lih vrednosti. Denicija 7. Proces {Z t, tǫt} je linearan, ako moºe da se predstavi u obliku: Z t = µ t + j=0 θ j a t j, gde su: µ t deterministi ka komponenta, {a t, tǫt} proces belog ²uma, a θ 1,θ 2,θ 3,... nepoznati parametri. Osnovna odlika deterministi ke komponente je ta, da ona moºe da se aproksimira sa nekom deterministi kom funkcijom, ²to u situaciji prognoziranja vremenske serije zna i da e izabrani tip funkcije vaºiti i u budu em periodu. Suma: j=0 θ j a t j, j=0 predstavlja stohasti ku komponentu ovog procesa, i ona opisuje dejstvo slu ajnih faktora u modelu. O ekivanje i varijansa linearnog procesa su: 12

13 E(Z t ) = E(µ t )+ θ j E(a t j ) = µ t +0 = µ t, j=0 Var(Z t ) = Var(µ t )+ = 0+σ 2 j=0 = σ 2 θj. 2 j=0 θ 2 j θjvar(a 2 t j ) Momenti prvog i drugog reda su kona ni kada je µ t µ = const. i j=0 θ2 j <. Tada su autokovarijansna i autokorelaciona funkcija linearnog procesa: j=0 γ k = Cov(Z t,z t k ) = E((Z t µ)(z t k µ)) = E((a t +θ 1 a t θ k a t k +θ k+1 a t k )(a t k +θ 1 a t k )) = σ 2 (θ k +θ 1 θ k+1 +θ 2 θ k ) = σ 2 θ j+k θ j. j=0 j=0 θ2 j ρ k = γ k = σ2 j=0 θ j+kθ j. γ 0 Ako su ispunjeni uslovi da je µ = const. i j=0 θ2 j <, autokovarijansna funkcija zavisi samo od k, pa je linearan proces slabo stacionaran. Ukoliko se dodatno pretpostavi da je beli ²um Gausov, tada je funkcija raspodele stohasti kog procesa potpuno odrežena sa prvim i drugim momentima procesa i proces je strogo stacionaran. U tom slu aju, kada su ispunjeni ovi uslovi, linearan proces ekvivalentno moºemo da zapi²emo kao: Z t µ = Z t = θ j a t j, j=0 E(Z t) = 0. Linearni proces, predstavljen poslednjom jednako² u, kori² enjem operatora ka²njenja (operator docnje) L, moºe da se predstavi na slede i na in: Z t = θ j a t j = j=0 θ j L j a t = θ(l)a t, j=0 gde smo sa θ(l) ozna ili polinom po operatoru ka²njenja, pri emu je θ(l) = 1+θ 1 L+θ 2 L = j=0 θ jl j. 13

14 Denicija 8. Linearan proces {Z t,tǫt}, za koji vaºi da je E(Z t ) = µ, za svako tǫt, je invertibilan, ako postoje ϕ 1,ϕ 2,..., takvi da je: a t = ϕ j (Z t j µ) = j=0 ϕ j Zt j j=0 ϕ j <, j=0 a Z t j = Z t j µ. Kako u do sada denisanim modelima, linearnih vremenskih serija guri²e beskona an broj parametara, cilj je da se njihov broj ograni i na kona no mnogo. Postoje tri grupe linearnih procesa koje imaju kona an broj parametara: -autoregresioni modeli reda p (AR(p)), -modeli pokretnih sredina reda q (M A(q)), -autoregresioni (autoregresivni) modeli pokretnih sredina (ARM A(p, q)). Na osnovu ove tri klase modela, moºe biti opisano stacionarno kretanje vremenske serije. O svakom od ovih modela bi e re i u poglavljima koja slede. 1.4 Autoregresioni modeli Autoregresioni model reda p, u oznaci AR(p), deni²e se na slede i na in: Z t = φ 1 Z t 1 +φ 2 Z t φ p Z t p +a t, gde su φ 1,φ 2,...,φ p autoregresioni parametri, i a t je proces belog ²uma. Ovaj proces moºemo napisati u saºetijem obliku, kori² enjem operatora pomeranja unazad (operator docnje) B: φ(b)z t = a t, gde je φ(b) = 1 φ 1 B φ 2 B 2... φ p B p. Kako je p j=1 φ j <, proces je uvek invertibilan. Autoregresioni (autoregresivni) procesi, kao ²to im ime kaºe, impliciraju regresiju na sopstvene vrednosti, otuda i preks auto u nazivu ovog procesa. Drugim re ima, data promenljiva se opisuje u funkciji od sopstvenih vrednosti iz prethodnih perioda Z t 1,Z t 2,..., odnosno, teku a vrednost procesa je linearna kombinacija p sopstvenih pro²lih vrednosti, plus slu ajni ²ok. Autoregresionom modelu reda p moºe se pridruºiti karakteristi na jedna ina oblika: g p φ 1 g p 1 φ 2 g p 2... φ p = 0 u kojoj g 1,g 2,...,g p ozna avaju re²enja (korene) karakteristi ne jedna ine. Stacionarnost vremenske serije koja je generisana AR(p) modelom, zavisi od re²enja g 1,g 2,...,g p karakteristi ne jedna ine. Za korene karakteristi ne jedna ine, vaºe slede a tvrdjenja: 14

15 a) Ukoliko su svi koreni g 1,g 2,...,g p po modulu strogo manji od jedan, onda je vremenska serija stacionarna. b) Ukoliko postoji bar jedan koren g i, za i = 1, 2,...,p, koji je jednak vrednosti jedan po modulu, onda je vremenska serija nestacionarna. Takva vremenska serija se naziva vremenska serija sa jedini nim korenom. Pri tome, re²enje jednako jedan ozna ava prisustvo obi nog jedini nog korena, ali se pridev obi ni uglavnom izostavlja. Ova forma nestacionarnosti se otklanja postupkom uzimanja razlika. Broj jedini nih korena ovog tipa odrežuje koliko puta treba uzimati razlike vremenskih serija koje se tom prilikom dobijaju da bi vremenska serija postala stacionarna. Kada je bar jedno re²enje jednako minus jedan, tada u seriji postoji sezonski jedini ni koren. Njegovo prisustvo otklanja se primenom sezonske diference (razlike). c) Ukoliko postoji bar jedan koren g i za i = 1, 2,..., p, koji je strogo ve i od jedan, tada je vremenska serija eksplozivna. To zna i da je vremenska serija pod uticajem aditivnog dejstva trajno rastu eg efekta neo ekivanih slu ajnih ²okova. Posmatrajmo AR(p) model, kod koga je autoregresioni parametar jednak vrednosti 1 (p = 1). Pona²anje ove vremenske serije na dugi rok odreduje re²enje slede e karakteristi ne jedna ine: Z t 1 Z t 1 = a t g 1 = 0 g = 1. Koren korespondiraju e karakteristi ne jedna ine uzima vrednost jedan. Otuda poti e naziv jedini ni koren. Broj jedini nih korena odgovara nivou integrisanosti vremenske serije, odnosno broju razlika potrebnih za stacionarnu reprezentaciju vremenske serije. Kako izgleda vremenska serija sa dva jedini na korena? Sada emo je predstaviti: Z t = 2Z t 1 Z t 2 +a t Z t 2Z t 1 +Z t 2 = a t g 2 2g +1 = 0 (g 1) 2 = 0 g 1 = g 2 = 1 Z t I(2) Z t Z }{{ t 1 } = Z t Z t 1 Z t 2 }{{} +a t Z t 1 } {{ } Z t I(1) Z t = Z t 1 }{{} +a t Z t Z t 1 = 2 Z t }{{} 2 Z t = a t }{{} 2 Z t I(0) Primenom operatrora prve razlike, elimini²e se jedan jedini ni koren. Polazni model svodi se na Z t = Z t 1 + a t, u kojem se sada posmatra vremenska serija prve razlike. Ova vremenska serija je i dalje nestacionarna. Jo² jedna primena operatora prve razlike daje drugu razliku vremenske serije, koja odgovara procesu beli ²um, 2 Z t = a t, i stoga je stacionarna. Su²tinski, razlika izmežu vremenske serije sa jednim i sa dva jedini na korena nastaje zbog razli itog uticaja nepredvidljivih slu ajnih ²okova. Dok je uticaj tih ²okova tokom vremena identi an kod vremenske serije sa jednim jedini nim korenom, vremensku seriju sa dva jednini na korena karakteri²e stalno rastu i uticaj slu ajnih impulsa tokom vremena. Slobodno re eno, postoji izraºeniji efekat dejstva impulsa na kretanje vremenske serije sa dva jedini na korena, nego kod vremenske serije sa samo jednim jedini nim korenom. 15

16 Ako vremenska serija ima d jedini nih korena, onda je ona integrisana reda d, i treba uzeti d razlika, da bi se obezbedila njena stacionarna reprezentacija, ²to se moºe zapisati kao: Z t I(d) d Z t I(0) Autoregresioni model prvog reda AR(1) Autoregresivni proces prvog reda AR(1), predstavlja se na slede i na in: ili Z t = φ 1 Z t 1 +a t (1 φ 1 B)Z t = a t, gde je φ 1 autoregresioni parametar. Ovaj proces je uvek invertibilan. Da bi bio stacionaran, koren od (1 φ 1 B) = 0 mora biti izvan jedini nog kruga, odnosno za stacionaran proces imamo φ 1 < 1. Pokaza emo sada to. Rekurzivnom zamenom unazad, polaze i od jedna ine Z t = φ 1 Z t 1 + a t, dobijamo: Z t = φ 1 Z t 1 +a t = φ 1 [φ 1 Z t 2 +a t 1 ]+a t = φ 2 1[φ 1 Z t 3 +a t 2 ]+a t +φ 1 a t 1 =... = a t +φ 1 a t 1 +φ 2 1a t 2 +φ 3 1a t 3 + Odavde izvodimo varijansu vremenske serije Z t : Var(Z t ) = Var(a t +φ 1 a t 1 +φ 2 1a t 2 +φ 3 1a t 3 + ) = σ 2 (1+φ 2 1 +φ 4 1 +φ ) i σ 2 = Var(a t ) = E(a 2 t). Ova varijansa bi e kona na, a vremenska serija slabo stacionarna, jedino ako je φ 1 < 1. Pri ovom uslovu imamo: Var(Z t ) = σ 2( 1+φ 2 1 +φ 4 1 +φ ) = σ2. 1 φ Autoregresioni model drugog reda AR(2) Autoregresioni model drugog reda, u oznaci AR(2) model, deni²e se na slede i na in: ili Z t = φ 1 Z t 1 +φ 2 Z t 2 +a t (1.1) 16

17 ( 1 φ1 B φ 2 B 2) Z t = a t, gde su φ 1 i φ 2 autoregresioni parametri modela. AR(2) proces, kao kona an autoregresioni model, je uvek invertibilan. Da bi bio stacionaran, koreni φ(b) = (1 φ 1 B φ 2 B 2 ) = 0 moraju leºati van jedini nog kruga. Na primer, proces (1 1,5B +0,56B 2 )Z t = a t je stacionaran, jer (1 1,5B +0,56B 2 ) = (1 0,7B)(1 0,8B) = 0 daje B = 1 0,7 i B = 1 kao dva 0,8 korena, koja su ve a od 1 po apsolutnoj vrednosti. Opet, (1 0,2B 0,8B 2 )Z t = a t nije stacionaran, jer jedan od korena (1 0,2B 0,8B 2 ) = 0 je B = 1, ²to nije van jedini nog kruga. Pokaza emo kada je model AR(2) stacionaran, pri emu emo uslov stacionarnosti iskazati preko njegovih parametara. Model (1.1) ozna ava stohasti ku diferencnu jedna inu drugog reda: Z t φ 1 Z t 1 φ 2 Z t 2 = a t, kojoj se pridruºuje karakteristi na jedna ina: Re²enja ove jedna ine su: g 2 φ 1 g φ 2 = 0. g 1 = φ 1 + φ φ 2, g 2 = φ 1 φ φ (1.2) Re²enja (1.2) su realna za φ φ 2 0, a kompleksna su pri uslovu: φ φ 2 < 0. Da bi se modelom (1.1) opisala slabo stacionarna vremenska serija, potrebno je da re²enja g 1 i g 2 po modulu budu strogo manja od jedan, tj. g 1 < 1, g 2 < 1. Re²enja g 1 i g 2, kvadratne jedna ine g 2 φ 1 g φ 2 = 0, i parametre φ 1 i φ 2 povezuju tkz. Vijetove formule: Iz ovih relacija, sledi: g 1 +g 2 = φ 1 ; g 1 g 2 = φ 2. g 1 < 1, g 2 < 1. g 1 +g 2 = φ 1 ;g 1 g 2 = φ 2 Imaju i u vidu da je ispunjeno: } φ 1 < 2, φ 2 < 1. g 1 < 1, g 2 < 1. g 1 = φ 1+ φ φ 2 2 g 2 = φ 1 φ φ 2 2 g 2 g 1 1 < φ 1 φ φ 2 2 }{{} φ 2 φ 1 <1 φ 1 + φ φ 2 < 1, }{{ 2 } φ 1 +φ 2 <1 uslov stacionarnosti vremenske serije AR(2) modela opisuje se slede im sistemom nejednakosti: 17

18 φ 1 +φ 2 < 1 φ 2 φ 1 < 1 1 < φ 2 < Modeli pokretnih sredina ili Model pokretnih sredina reda q, u oznaci MA(q), deni²e se na slede i na in:. Z t = a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2... θ q a t q, (1.3) Z t = θ(b)a t, gde je kao i ranije, sa a t ozna en proces belog ²uma, sa varijansom σ 2, parametri modela su θ 1,θ 2,...,θ q, i θ(b) = (1 θ 1 B... θ q B q ). Zbog toga ²to je 1+θ1+...+θ 2 q 2 <, kona ni proces pokretnih sredina je uvek stacionaran. Proces pokretnih sredina je invertibilan, ako koreni θ(b) = 0 leºe van jedini nog kruga. Procesi pokretnih sredina su korisni za opisivanje fenomena u kojima dogažaji prave trenutni efekat, koji traje samo kratak period vremena. Naziv modela nema direknu interpretaciju, kao ²to je to slu aj sa modelima autoregresivnog tipa. Ovaj naziv dovodi se u vezu sa postupkom izravnanja vremenske serije koji esto podrazumeva izra unavanje pokretnih sredina. U modelu pokretne sredine, reda q, nivo vremenske serije u trenutku t opisuje se u funkciji od lanova procesa belog ²uma u trenucima t,t 1,...,t q. Kako se pomeramo u vremenu, tako se menjaju neki lanovi zbira u (1.3), ali broj sabiraka u zbiru ostaje isti. Na primer, nivo vremenske serije u trenutku t 1 zavisi od lanova belog ²uma u trenucima t 1,...,t q 1, nivo vremenske serije u trenutke t 2 odrežen je slu ajnim lanovima u trenucima t 2,...,t q 2, i sli no. Modelom (1.3) opisuje se slabo stacionarna vremenska serija, budu i da je re o kona nom zbiru lanova belog ²uma na razli itim docnjama. To zna i da je varijansa vremenske serije data sa (1.3), kona na: Var(Z t ) = Var(a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2... θ q a t q ) = σ 2( 1+θ 2 1 +θ θ 2 q) Model pokretnih sredina prvog reda MA(1) Ako je θ(b) = (1 θ 1 B), imamo proces pokretnih sredina MA(1) prvog reda, oblika: Z t = a t θ 1 a t 1 = (1 θ 1 B)a t, gde je a t proces belog ²uma, sa o ekivanjem nula i konstantnom disperzijom σ 2 a. 18

19 1.5.2 Model pokretnih sredina drugog reda MA(2) Ako je θ(b) = (1 θ 1 B θ 2 B 2 ), imamo proces pokretnih sredina MA(2) drugog reda, oblika: Z t = a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2 = ( 1 θ 1 B θ 2 B 2) a t, gde je a t proces belog ²uma, nulte srednje vrednosti E(Z t ) = 0. Kako je MA(2) proces uvek kona nog reda, on je uvek stacionaran. Za invertibilnost, koreni jedna ine (1 θ 1 B θ 2 B 2 ) = 0 moraju leºati van jedini nog kruga. Odatle je: θ 2 +θ 1 < 1 θ 2 θ 1 < 1 1 < θ 2 < Autoregresioni procesi pokretnih sredina ARMA(p,q) Prirodno pro²irenje istog autoregresivnog procesa i istog procesa pokretnih sredina je me²oviti autoregresivni proces pokretnih sredina. Ovaj proces sadrºi ²iroku klasu modela vremenskih nizova koji se sre u u praksi. Kao ²to je pokazano, stacionaran i invertibilan proces, moºe se prikazati ili u autoregresivnoj formi, ili u formi pokretnih sredina. Problem sa bilo kojom reprezentacijom je taj ²to ona moºe sadrºati preveliki broj parametara, ak i u slu aju modela pokretnih sredina kona nog reda, odnosno autoregresivnog modela kona nog reda, zbog toga ²to su za dobru aproksimaciju esto potrebni modeli vi²eg reda. Uop²te, veliki broj parametara umanjuje ekasnost ocenjivanja. Zbog toga, u modeliranju moºe biti neophodno u model uklju iti i autoregresivne komponente i komponente pokretnih sredina, ²to nas dovodi do me²ovitog autoregresivnog procesa pokretnih sredina (ARM A procesa), datog sa: gde je: i φ p (B)Z t = θ q (B)a t, φ p (B) = 1 φ 1 B φ p B p, θ q (B) = 1 θ 1 B θ q B q. Za polinome φ p (B) i θ q (B) pretpostavlja se da ne sadrºe zajedni ke faktore i da opisuju redom autoregresionu komponentu i komponentu pokretnih sredina stacionarne i invertibilne serije Z t. Proces a t je beli ²um. Da bi proces bio invertibilan, zahteva se da koreni jedna ine θ q (B) = 0 leºe van jedini nog kruga. Da bi proces bio stacionaran, zahteva se da koreni jedna ine φ p (B) = 0 leºe van jedini nog kruga (kao i to da φ p (B) = 0 i θ q (B) = 0 nemaju zajedni kih korena). Zbog toga, ovaj proces ozna avamo kao ARMA(p,q) proces ili model, pri emu se parametri p i q. 19

20 koriste da bi ukazali na red odgovaraju ih polinoma: autoregresivnog i polinoma pokretnih sredina, respektivno. Stacionaran i invertibilan ARM A proces, moºe se dati u isto autoregresivnoj reprezentaciji, tj., moºemo ga prikazati kao: gde je: π(b)z t = a t, π(b) = φ p(b) θ q (B) = ( 1 π 1 B π 2 B 2 ). Ovaj proces se isto moºe zadati i u reprezentaciji isto pokretnih sredina, kao: gde je: Z t = ψ(b)a t, ψ(b) = θ q(b) φ p (B) = ( 1+ψ 1 B +ψ 2 B 2 + ). 2 Nestacionarni modeli vremenskih nizova 2.1 Uvod Na osnovu izlaganja u prethodnoj glavi, isti emo osnovnu karakteristiku stacionarnih stohasti kih procesa: konstantnost sredine (nivoa serije), konstantnost varijanse i zavisnost autokovarijansi samo od vremenskih intervala. Mežutim, ve- ina vremenskih serija uop²te, a posebno u ekonomiji i poslovanju, imaju bar jednu osobinu kojom odstupaju od karakteristi nog izgleda stacionarne serije. Naj e² e, sredina te serije nije konstantna, nego je vremenski zavisna, preciznije re eno, nivo serije se menja tokom vremena. Stohasti ke procese i vremenske serije sa vremenski zavisnim nivoom i/ili varijansom, nazivamo nestacionarni stohasti ki procesi i serije. Dakle, oni mogu imati ili nekonstantnu srednju vrednost µ t, ili vremenski promenljive momente drugog reda, kao ²to je nekonstantna varijansa σt, 2 ili i jedno i drugo. Stoga, razlikujemo procese koji su nestacionarni u srednjem (u srednjoj vrednosti), i one koji su nestacionarni u varijansi. Modeliranjem takvih stohasti kih procesa bavimo se u okviru ove glave, naime, napravi emo najpre osvrt na procese koji su nestacionarni u srednjem, a zatim i na one nestacionarne u varijansi. U klasi noj analizi vremenskih serija, uobi ajeni na in modeliranja vremenskih serija sa trendom (nestacionarne vremenske serije sa promenljivim nivoom) zasnovan je na prilagožavanju podacima izabrane deterministi ke funkcije vremena - deterministi kog trenda. Postojanje trenda ozna ava dugoro nu komponentu u kretanju ekonomske vremenske serije. U zavisnosti od toga da li vrednosti vremenske serije tokom vremena opadaju ili rastu, trend moºe biti opadaju i ili rastu i. Najve i broj ekonomskih vremenskih serija poseduje rastu i vremenski trend, ²to zna i da te vremenske serije ispoljavaju tendenciju rasta tokom vremena. Postojanje deterministi kog trenda se jednostavno modelira uklju ivanjem u analizu funkcije oblika a+bt, gde t predstavlja promenljivu trenda, dok su a i b parametri 20

21 (b>0 u slu aju rastu eg trenda). Promenljiva trenda se deni²e tako da uzima redom vrednosti 1, 2, 3,.... Ako su vrednosti parametara a i b poznate, tada se kretanje vremenske serije prognozira prema funkciji linearnog trenda. Tip funkcije je uslovljen izgledom graka vremenske serije, a naj e² e su kori- ² eni polinomijalni i eksponencijalni tipovi trenda. Serija odstupanja opservacija vremenske serije od ocenjene linije deterministi kog trenda testira se potom kao stacionarna serija. Klju na pretpostavka od koje polaze ovi modeli vremenskih serija, pogotovo u situaciji njihovog kori² enja u predvižanju, je da e izabrani tip funkcije trenda vaºiti i u budu em periodu. Mežutim, veoma esto se u primenama javlja situacija da se za vremensku seriju ne moºe prihvatiti pretpostavka postojanja deterministi ke funkcije vremena kojom bismo u celom posmatranom periodu modelirali tu seriju. Tako na primer, za seriju, koja ima sve karakteristike nestacionarne serije, ali istovremeno za nju ne moºemo pretpostaviti postojanje globalnog deterministi kog trenda, i sam trend doºivljava promene tokom vremena pod dejstvom slu ajnih faktora. Takav trend nazivamo stohasti ki trend. Stohasti ki trend se menja pod uticajem slu ajnih faktora i ozna ava dugoro nu tendenciju razvoja, koja se ne moºe predvideti na osnovu poznavanja podataka u pro²losti. Iako oba trenda, deterministi ki i stohasti ki, opisuju tendenciju dugoro ne promene, u pitanju su dva potpuno razli ita pristupa u modeliranju vremenske serije. Dakle, u analizi vremenskih serija, uo ava se razlika izmežu deterministi kog i stohasti kog trenda, u zavisnosti od toga da li se promene serije tokom vremena mogu predvideti ili ne. U bliskoj vezi sa konceptom stohasti kog trenda jeste denicija homogeno nestacionarnih serija, kojom se bavimo u jednom od narednih poglavlja. Kod ovih serija, stacionarnost se postiºe uzimanjem razlika elemenata vremenske serije. Na stacionarne serije, dobijene postupkom uzimanja razlika, primenjujemo zatim teoriju stacionarnih stohasti kih procesa, za koju je denisana op²ta klasa ARMA modela. Time smo izvr²ili uop²tavanje ARMA klase modela i na slu aj nestacionarnih procesa. Najop²tija klasa je tkz. klasa autoregresionih integrisanih procesa pokretnih sredina (standardna oznaka je ARIMA 10 ), o kojoj e biti re i u nekom od narednih poglavlja. U okviru poglavlja koja slede, bi e izloºeni i specijalni procesi, koji su od posebnog zna aja u ekonomiji. Re je o tzv. procesima slu ajnog kretanja. 2.2 Uzroci i priroda nestacionarnosti Kao ²to je ve re eno, ako vremenska serija ne zadovoljava bar jedan od uslova stacionarnosti, onda je ona nestacionarna. Svojstvo nestacionarnosti se moºe smatrati prirodnim u ekonomskom ºivotu. Jedan od izvora nestacionarnosti jesu promene u zakonskim propisima, ali daleko od toga da su jedine. Ekonomski rast, izazvan tehni kim progresom, uti e na to da mnoge ekonomske vremenske serije ispoljavaju tendenciju rasta tokom vremena. Ova tendencija rasta se moºe posmatrati sa razli itih aspekata. Mi emo se ovde fokusirati na tipu stohasti ke nestacionarnosti, koja se javlja usled trajnog kumulisanog dejstva prethodnih slu ajnih gre²aka. Takve vremenske serije karakteri²e trend koji se u datom trenutku ne moºe pred- 10 autoregressive integrated moving average 21

22 videti prema prethodnim informacijama. Zato se i kaºe da ova vremenska serija poseduje stohasti ki trend. Postoji vi²e faktora koji obja²njavaju za²to ekonomske vremenske serije sadrºe stohasti ki trend. Na primer, tehnologija podrazumeva trajnost ste enog znanja, tako da je sada²nji nivo tehnologije kumulacija prethodnih otkri a i inovacija. Otuda, vremenske serije koje zavise od tehnolo²kog progresa, naj e² e poseduju stohasti ki trend. Takože, usled zdruºenog uticaja promena na svetskom trºi²tu nafte, vremenske serije cena karakteri²e trend stohasti kog tipa. Ako jedna vremenska serija sa stohasti kim trendom ostvaruje stohasti ki zna ajan uticaj na kretanje drugih, onda e i one poprimiti isto svojstvo nestacionarnosti. Na primer, u uslovima hiperinacije, stohasti ki trend u nov anoj masi manifestuje se prisustvom stohasti kog trenda u cenama i deviznom kursu. Posmatrajmo autoregresioni model prvog reda Z t = φ 0 +φ 1 Z t 1 +a t, kojim se opisuje kretanje vremenske serije Z t. Da bismo pojednostavili izlaganje, pretpostavimo da je parametar φ 0 jednak nuli, tj., imamo model: Z t = φ 1 Z t 1 +a t. Teku i nivo Z t zavisi od nivoa iz prethodnog perioda Z t 1 i slu ajne gre²ke a t, koja je proces belog ²uma, i u kontekstu ekonomskih uticaja, esto se smatra slu ajnim ²okom. Iz jedna ine Z t = φ 1 Z t 1 +a t, sledi : Z t = φ 1 Z t 1 +a t = φ 1 [φ 1 Z t 2 +a t 1 ]+a t = φ 2 1[φ 1 Z t 3 +a t 2 ]+φ 1 a t 1 +a t =... = φ t 1Z 0 +a t +φ 1 a t 1 +φ 2 1a t 2 +φ 3 1a t 3 + +φ t 1 1 a 1, gde je Z 0 po etna opservacija koja prethodi nizu podataka Z 1,Z 2,..., vremenske serije Z t. Zaklju ujemo da Z t predstavlja zbir svih prethodnih slu ajnih ²okova: a t, a t 1, a t 2,..., a 1. Njihov uticaj se rasprostire tokom vremena u zavisnosti od vrednosti parametra φ 1. Za φ 1 < 1, uticaji slabe tokom vremena (φ 1 a t 1 ima manji uticaj od a t, kao i φ 2 1a t 2 od φ 1 a t 1 ). Stoga je vremenska serija Z t stacionarna. Potrebno je napomenuti da je uticaj inicijalnog podatka Z 0 zanemaljiv, budu i da je pomnoºen sa φ t 1. Ukoliko je φ 1 =1, tada vremenska serija Z t postaje: Z t = Z 0 +a t +a t 1 +a t 2 +a t 3 + +a 1. Moºemo primetiti da slu ajni ²okovi ostvaruju jednak uticaj na Z t u svakom trenutku vremena. To zna i da slu ajni ²okovi imaju uticaj permanentnog dejstva na kretanje Z t. Vremenska serija Z t poseduje stohasti ki trend, koji se dobija kumulacijom slu ajnih ²okova. Varijansa vremenske serije Z t za φ 1 = 1 je: 22

23 Var(Z t )=Var(Z 0 )+Var(a t )+Var(a t 1 )+Var(a t 2 )+Var(a t 3 )+ +Var(a 1 ) = 0+σ 2 +σ 2 +σ 2 +σ 2 + +σ 2 = tσ 2. Varijansa je funkcija vremena t, ²to zna i da nije konstantna. Time se naru²ava pretpostavka o stacionarnosti. Prema tome, za φ 1 = 1, vremenska serija nije stacionarna. Zamenom φ 1 = 1 u jedna ini Z t = φ 1 Z t 1 + a t, dobijamo model Z t = Z t 1 + a t, kojim se opisuje najjednostavnija nestacionarna vremenska serija, poznata pod nazivom slu ajno kretanje ili slu ajni hod. O ovoj vremenskoj seriji bi e re i kasnije. Postoje dva osnovna razloga koji ine relevantnom podelu na stacionarne i nestacionarne veli ine: Statisti ki : Primena standardne statisti ke procedure nepouzdana je u regresionoj analizi vremenskih serija sa jedini nim korenom. Ocene parametara regresionog modela dobijene primenom metoda ocene najmanjih kvadrata (u oznaci ONK) su pristrasne i nepostojane. Ocene parametara regresionog modela dobijene primenom metoda ONK, nemaju normalnu raspodelu. To zna i da statisti ko zaklju ivanje zasnovano na t-koli niku i F-testu zna ajnosti koecijenta determinacije nije mogu e. Mogu a je pojava besmislene regresije. Ekonomski: Razlika izmedu vremenske serija sa i bez jedini nog korena ima jasnu ekonomsku implikaciju. Dok uticaj slu ajnih ²okova na nivo stacionarne vremenske serije slabi tokom vremena, efekat ²oka na nivo vremenske serije sa jedini nim korenom ima trajno dejstvo za neodreženi period vremena. Ova razlika posebno dolazi do izraºaja u teoriji poslovnih ciklusa: ako vremenska serija sadrºi jedini ni koren, tada njeno odstupanje od dugoro nog trenda ne e biti povremeno, kako nagla²ava tradicionalna teorija, ve permanentno za neodreženi period vremena. Slika 3: Nestacionarna vremenska serija. 23

24 2.3 Nestacionarnost u srednjem, deterministi ki i stohasti ki trend Proces koji je nestacionaran u srednjem moºe predstavljati vrlo ozbiljan problem pri proceni vremenski zavisne funkcije srednje vrednosti ako nemamo na raspolaganju ve i broj realizacija. Sre om, postoje modeli koji mogu biti konstruisani na osnovu samo jedne realizacije a koji mogu da opi²u odgovaraju u vremensku zavisnost. Uve² emo dve klase takvih modela, koji su vrlo korisni u modeliranju vremenskih nizova koji su nestacionarni u srednjem. Prvi na in modeliranja nestacionarnosti ima klasi an pristup i polazi od toga da se srednja vrednost nestacionarnog procesa moºe predstaviti deterministi kom funkcijom vremena. Tada za seriju ka- ºemo da joj odgovara deterministi ki trend. Drugi pristup zasnovan je na postupku uzimanja razlika elemenata vremenske serije. Prvobitna serija sadrºi stohasti ki trend, ali se pravljenjem potrebnog broja razlika dobija stacionarna serija. Prvi pristup modeliranju stohasti kih procesa, kod kojih je prisutna nestacionarnost u srednjem, zasnovan je na pretpostavci da u op²tem slu aju, sredina evoluira kao polinom po vremenu reda d. Ocenom izabrane linije trenda i ra unanjem serije reziduala dobijamo stacionaran stohasti ki proces. Ovu klasu stacionarnih procesa nazivamo trend stacionarni procesi i predstavljamo ih kao zbir deterministi ke komponenteµ t (polinom po vremenu) i stacionarne komponente η t, koja u op²tem slu aju sledi ARM A proces. Ovaj nestacionarni proces pi²emo u obliku: Z t = µ t +η t = d β j t j +ψ(b)a t. (2.1) j=0 Po²to je E(η t ) = E(ψ(B)a t ) = ψ(b)e(a t ) = 0, i E(Z t ) = E(µ t ) = d j=0 β jt j, a kojecijenti β j ostaju konstantni tokom vremena, ovaj trend nazivamo deterministi ki. Ako pretpostavimo da je stacionarna komponenta proces belog ²uma, a deterministi ka komponenta linearni trend (d = 1), tada prethodnu jednakost mo- ºemo napisati u obliku: Z t = β 0 +β 1 t+a t. (2.2) Drugi na in modeliranja nestacionarne serije u srednjem, Z t, zasnovan je na pretpostavci da e njena razlika reda d biti stacionarna. Klasu procesa sa ovim svojstvom nazivamo diferencno stacionarni procesi. Da bismo sagledali kakve su posledice pogre²nog tretmana ovog diferencno stacionarnog procesa, kao trend stacionarnog procesa, posluºimo se jednostavnim primerom u kome je prva razlika serije pretstavljena zbirom konstante i procesa belog ²uma: (1 B)Z t = β 1 +a t. Drugim re ima, polaze i od AR(1) procesa sa konstantom, kod koga je φ 1 = 1, dolazimo do procesa datog poslednjom jednako² u. Slu aj kada je φ 1 > 1, generi²e eksplozivan tok vremenske serije i kao takav, nije od posebnog interesa u analizi. U op²tem slu aju, ARM A procesi kod kojih koreni AR polinoma sa operatorom pomeranja unazad leºe na jedini nom krugu, od posebnog su interesa u analizi tzv. 24

25 homogeno nestacionarnih procesa. pisati u obliku: Izraz (1 B)Z t = β 1 + a t, moºemo druga ije Z t = Z t 1 +β 1 +a t, odakle kumuliranjem promena Z od po etne vrednosti, na primer Z 0, dobijamo: Z t = Z 0 +β 1 t+ t a i. Prema izrazu Z t = Z t 1 + β 1 + a t, nivo procesa u trenutku t zavisi od prethodne vrednosti procesa koja je sa svoje strane pod uticajem stohasti kog lana. Po²to se nivo procesa stohasti ki menja tokom vremena, kaºemo da ovu klasu procesa karakteri²e stohasti ki trend. Slobodni lan u Z t = Z 0 + β 1 t + t i=1 a i nije stalan koecijent, nego zavisi od po etne vrednosti Z 0, a stohasti ki deo nije stacionaran jer mu varijansa i autokovarijanse zavise od vremena. U slu aju kori² enja procesa Z t = β 0 + β 1 t + a t u prognoziranju, varijansa gre²ke predvižanja bi e ograni ena, bez obzira na duºinu horizonta predvižanja, zato ²to a t, odnosno η t imaju kona nu varijansu. to se ti e predvižanja procesa modeliranog izrazom Z t = Z 0 +β 1 t+ t i=1 a i, varijansa gre²ke predvižanja neograni eno raste tokom vremena. Uve² emo sada dve klase modela, koji mogu biti konstruisani iz samo jedne realizacije, koji se mogu koristiti za opisivanje vremenski zavisnih pojava i koji su vrlo korisni u modeliranju vremenskih nizova, koji su nestacionarni u srednjem. Modeli Deterministi kog Trenda Funkcija srednje vrednosti nestacionarnog procesa se moºe predstaviti deterministi kim trendom vremena. U tom slu aju, standardni regresioni model se moºe iskoristiti kako bi se opisala posmatrana pojava. Na primer, ako funkcija srednje vrednosti µ t prati linearan trend µ t = α 0 +α 1 t, moºemo upotrebiti model deterministi kog linearnog trenda: i=1 Z t = α 0 +α 1 t+a t, gde je a t niz belog ²uma sa nultom srednjom vredno² u. Za deterministi ku kvadratnu funkciju srednje vrednosti µ t = α 0 +α 1 t+α 2 t 2, moºemo upotrebiti: Z t = α 0 +α 1 t+α 2 t 2 +a t. Ukoliko se deterministi ki trend moºe predstaviti kao sinusno-kosinusna kriva, tada moºemo proces modelirati sa: gde je: Z t = ν 0 +νcos(ωt+θ)+a t = ν 0 +αcos(ωt)+βsin(ωt)+a t, 25

26 α = νcosθ, β = νsinθ, ν = α 2 +β 2, θ = tan 1 ( β /α). ν, ω i θ predstavljaju amplitudu, frekvenciju i fazu krive, respektivno. Op²tije, moºemo imati model: Z t = ν 0 + m (α j cosω j t+β j sinω j t)+a t, j=1 koji se obi no naziva model skrivenih periodi nosti. Modeli Stohasti kog Trenda i Diferenciranje Iako su mnogi vremenski nizovi nestacionarni, razli iti delovi ovih nizova se, usled izvesnih ravnoteºnih sila, pona²aju dosta sli no, izuzev razlika u nivoima lokalnih srednjih vrednosti. Boks 11 i Jenkins 12 nazivaju ovakvu vrstu nestacionarnog pona²anja homogenom nestacionarno² u. U terminima ARM A modela, proces je nestacionaran ako neke nule njegovog AR polinoma ne leºe van jedini nog kruga. Medjutim, zbog prirode homogenosti, lokalno pona²anje homogeno nestacionarnog niza ovog tipa je nezavisno od nivoa niza. Dakle, ako uzmemo da Ψ(B) bude autoregresivni operator kojim se opisuje pona²anje, ima emo: Ψ(B)(Z t +C) = Ψ(B)Z t, za bilo koju konstantu C. formu: Ova jedna ina ukazuje da Ψ(B) mora imati slede u Ψ(B) = φ(b)(1 B) d, za neko d>0, pri emu je φ(b) stacionarni autoregresivni operator. Odavde vidimo da se homogeno nestacionarni niz moºe svesti na stacionarni niz uzimanjem razlika elemenata niza na podesan na in. Drugim } re ima, niz {Z t } je nestacionaran, ali njegov d-ti izvedeni niz {(1 B) d Z t, za neki ceo broj d 1, je stacionaran. Na primer, ako d-ti izvedeni niz prati fenomen belog ²uma, imamo: (1 B) d Z t = a t. Da bismo videli implikaciju ove vrste homegene nestacionarnosti, posmatrajmo poslednju jednakost tako da je d = 1. Imamo: tj. (1 B)Z t = a t 11 George Edward Pelham Box ( ), engleski statisti ar 12 Gwilym Meirion Jenkins ( ), vel²ki statisti ar i inºenjer sistema 26

27 Z t = Z t 1 +a t. To zna i da ako su nam date informacije o vrednostima niza u proteklom prethodnom vremenu, Z t 1, Z t 2,..., nivo niza u trenutku t je µ t = Z t 1, i zavisi od slu ajnog poreme aja u trenutku (t 1). Drugim re ima, nivo srednje vrednosti procesa Z t u (1 B) d Z t, za d 1 se u toku vremena menja stohasti ki i moºemo okarakterisati proces kao proces koji ima stohasti ki trend. Ovaj rezultat se razlikuje od modela deterministi kog trenda, kod koga je nivo srednje vrednosti procesa u trenutku t isto deterministi ka funkcija vremena. Kao ²to je ve pomenuto, modeliranje serije koja je nestacionarana u nivou, zasnovano je na kori² enju stohasti kog trenda, a njegovo uvoženje u analizu zasnovano je na osobini ve ine nestacionarnih serija prema kojoj se razli iti delovi serije pona²aju veoma sli no, osim ²to postoji razlika u lokalnom nivou serije. Primer takve serije prikazan je na slici 4 (a). Ako zanemarimo razliku u nivou tri ucrtana okvira, moºemo uo iti da su tokovi serija u svakom okviru sli ni mežusobno. Slika 4: Homogeno nestacionarna serija: (a) u nivou i (b) u nivou i nagibu Primer procesa kod kojih se razli iti delovi serije pona²aju sli no, osim ²to postoji razlika u nivou i nagibu serije, prikazan je na slici 4 (b). Kod ove serije tri ucrtana okvira, osim ²to su postavljeni na razli itim nivoima, imaju mežusobno i razli ite nagibe. Mežutim, tok serije unutar ovih okvira je veoma sli an. Ovim razmatranjem homogene nestacionarnosti, pripremili smo teren za denisanje najop²tije klase modela vremenskih serija, koja je pogodna za modeliranje kako stacionarnih, tako i nestacionarnih stohasti kih procesa. 2.4 Uop²teni ARIMA procesi Kako su autoregresivni modeli pokretnih sredina korisni za opisivanje stacionarnih vremenskih serija, u ovom odeljku emo diskutovati upotrebu pravljenja razlika kako bismo izgradili ²iroku klasu modela vremenskih serija, modela integrisanih 27

28 autoregresivnih pokretnih sredina, koji su korisni za opisivanje raznih homogeno nestacionarnih vremenskih serija. Proces dat izrazom Z t = Z t 1 + β 1 + a t, predstavlja jedan primer klase procesa poznate pod nazivom integrisani procesi (prvog reda, jer je njena prva razlika stacionarna, odnosno jednaka stacionarnom procesu beli ²um), kod kojih se vi²estrukim uzimanjem razlika postiºe stacionarnost. Tako se kod procesa datog izrazom Z t = Z t 1 + β 1 + a t, uzimanjem prvih razlika elemenata serije dobija stacionaran proces, odnosno proces belog ²uma. O igledno, stacionaran proces dobijen odgovaraju im razlikama homogenog nestacionarnog niza nije nuºno beli ²um. Op²tije, stacionaran izvedeni niz (1 B) d Z t prati stacionarni ARMA(p,q) model. Dakle, imamo: φ p (B)(1 B) d Z t = θ 0 +θ q (B)a t, (2.3) pri emu, stacionarni AR operator φ p (B) = 1 φ 1 B φ 2 B 2... φ p B p, reda p i invertibilni MA operator θ q (B) = 1 θ 1 B θ 2 B 2... θ q B q, reda q, nemaju zajedni kih faktora, dok d ozna ava nivo integrisanosti vremenske serije. Za razliku odarma(p,q) modela, u izraz ozna en sa (2.3), uveli smo i konstantu θ 0, koja ima razli ite uloge u slu aju kada je d = 0 i u slu aju kada je d > 0. Ako je d = 0, proces je stacionaran, a konstanta je u relaciji sa sredinom procesa θ 0 = µ(1 φ 1... φ p ), gde je µ = E(Z t ). Mežutim, u slu aju d 1, θ 0 se naziva lan deterministi kog trenda i esto se izostavlja iz modela, osim ako nije zaista neophodan. U daljem tekstu pretpostavljamo da koreni odgovaraju ih karakteristi nih jedna ina φ p (B) = 0 i θ q (B) = 0 leºe van jedini nog kruga, drugim re ima, pretpostavljamo da su ispunjeni uslovi stacionarnosti i invertibilnosti. Homogeno nestacionarni proces dat izrazom (2.3) nazivamo autoregresioni integrisani proces pokretnih sredina, reda p, d i q, ili prema skra enoj notaciji ARIMA(p,d,q) proces. Takože, za proces Z t kaºemo da je integrisan reda d, u oznaci I(d). U prakti nim primenama, kod ekonomskih vremenskih serija, obi no je broj potrebnih razlika d jednak 0, 1 ili 2. Specijalno, ako u izrazu (2.3) zamenimo p = 0, d = 1 i q = 1, dobijamo ARIMA(0,1,1) proces, koji je dat jedna inom: Z t = Z t 1 +a t θ 1 a t 1, koji kori² enjem operatora pomeranja unazad (operator docnje) pi²emo u obliku: (1 B)Z t = (1 θ 1 B)a t, gde je θ 1 <1. Proces slu ajnog kretanja, koji sledi, je specijalni slu aj ovog ARIMA(0,1,1) procesa (ili kako se ponekad ozna ava IMA(1,1) 13 proces) za nultu vrednost koecijenta θ integrated moving average 28

29 2.5 Procesi slu ajnog kretanja Najjednostavniji primer nestacionarne vremenske serije je model slu ajnog kretanja, kojim se predstavlja zapaºeno kretanje mnogih ekonomskih serija, koje tokom vremena pokazuju slu ajno odstupanje od svoje ranije vrednosti. Model slu ajnog kretanja je samo specijalan slu aj ²ire klase stohasti kih procesa, koji su poznati kao integrisani procesi. Kao ²to je bilo re i, ako u izrazu (2.3) zamenimo da je p = 0, d = 1 i q = 0, dobi emo proces slu ajnog kretanja : Z t = Z t 1 +a t Z t = Z t Z t 1 = a t, (2.4) Dakle, teku a promena vrednosti serije, ozna ena sa, odnosno prva diferenca, predstavlja slu ajnu promenljivu veli inu Z t = Z t Z t 1, koja ispunjava sve klasi ne pretpostavke potpuno slu ajne promenljive veli ine, sa nultom o ekivanom vredno² u, konstantnom varijansom σ 2 i odsustvom autokorelacije. Kori² enjem operatora pomeranja unazad (operator docnje), jedna inu (2.4) pi- ²emo u obliku: (1 B)Z t = a t. Koriste i standardnu notaciju, ovaj proces ozna avamo kao ARIM A(0, 1, 0) proces. Ovaj model ima ²iroku primenu u opisivanju pona²anja niza cena akcija i deonica, odnosno uop²te za opisivanje kretanja cene robe na ²pekulativnom trºi²tu. U modelu slu ajnog hoda vrednost Z u trenutku t je jednaka zbiru vrednosti Z u trenutku (t 1) i slu ajnog ²oka. Izraz slu ajno kretanje, u nazivu ovog procesa, poti e od njegovog karakteristi nog pona²anja koje podse a na kretanje pijanog oveka, iji je poloºaj u trenutku t odrežen poloºajem u predhodnom trenutku plus korak u slu ajno izabranom pravcu u teku em trenutku. Kao ²to je predstavljeno izrazom (2.4), tj. Z t = Z t Z t 1 = a t, serija slu ajnog kretanja moºe se u initi stacionarnom, uzimaju i prvu razliku, pa se zove i diferencno stacionarna. Za takvu seriju se kaºe da je integrisana prvog reda, sa oznakom I(1), ili da ima jedini ni koren, za razliku od stacionarne serije: I(0). U op²tem slu aju, ako je potrebno uzimati razliku d puta, da bi serija Z t postala stacionarna, serija je integrisana, reda d, u oznaci Z t I(d). U ekonomije se uglavnom sre u serije prvog reda integrisanosti, vrlo retko i drugog (na primer u slu aju visoke inacije). 29

30 Slika 5: Grak slu ajnog kretanja (bez konstante). Proces slu ajnog kretanja predstavlja grani ni slu aj AR(1) procesa, tj. kao model sa autoregresionim parametrom 1, koji se dobija za φ 1 = 1. Na osnovu obi ne autokorelacione funkcije AR(1) procesa ρ k = φ k 1, moºemo za autokorelacionu funkciju procesa slu ajnog kretanja re i da je karakteri²u visoke, neopadaju e vrednosti. Prva razlika procesa slu ajnog kretanja predstavlja proces belog ²uma, pa autokorelaciona funkcija na svim docnjama ima vrednost nula. Vratimo se sada na model dat jednako² u (2.4). Dakle, ako pretpostavimo da je Z 0 = 0, imamo: Z t = Z t 1 +a t,e(a t ) = 0,Var(a t ) = σ 2,Cov(a t,a t k ) = 0,k 0. Z t = Z }{{} t 1 +a t = a t +a t 1 +Z t 2 = a t +a t 1 +a t 2 +Z t 3 =... Z t 2 +a t 1 Z t = a t +a t 1 +a t 2 + +a 1 }{{} t + Z o }{{} 0 Z t = a t +a t 1 +a t 2 + +a 1, Z 1 = a 1, Var(Z 1 ) = Var(a 1 ) = σ 2, Z 2 = a 2 +a 1, Var(Z 2 ) = Var(a 2 +a 1 ) = 2σ 2, Z t = a t +a t 1 +a t 2 + +a 1, Var(Z t ) = Var(a t +a t 1 +a t 2 + +a 1 ) = σ 2 +σ 2 +σ 2 + +σ 2 }{{} t = tσ 2. Slu ajano kretanje nema stabilnu varijansu. Varijansa je linearna funkcija vremena, a protokom vremena, varijansa se neograni eno pove ava. Po²to varijansa raste u toku vremena, slu ajano kretanje je nestacionarano. Takože vaºi da kovarijansa svaka dva lana zavisi od trenutka vremena i da se sa protokom vremena ona pove ava. Kao ²to je ve re eno, slu ajano kretanje transformi²e se u stacionarnu seriju primenom operatora prve razlike. Prva razlika primenjena jednom je: Z t = Z t Z t 1. Prva razlika primenjena dva puta je druga razlika: 2 Z t = Z t = (Z t Z t 1 ) = Z t Z t 1 = Z t 2Z t 1 +Z t 2. Slu ajano kretanje je: 30

31 Z t = Z t 1 + a t Z t Z }{{ t 1 = a } t Z t = a t, pa je E( Z t ) = E(a t ) = 0, a Z t Var( Z t ) = Var(a t ) = σ 2 = const., t = 1, 2,... Pretpostavimo sada da u modelu slu ajnog kretanja postoji slobodan lan koji je kod ekonomskih vremenskih serija obi no pozitivan, β > 0. Tada se model moºe predstaviti na slede i na in: Z t = β+ Z }{{} t 1 + }{{} Z 0 }{{} 0 Dakle: +a t = 2β+a t +a t 1 +Z t 2 =... = tβ+a t +a t 1 +a t a 1 β+z t 2 +a t 1 t Z t = Z 0 +βt+ t a j. (2.5) Uo avamo da se u modelu ozna enom sa (2.5), opservacije vremenske serije menjaju kao rezultat zbirnog dejstva slu ajnih ²okova ( t j=1 a j) i da se istovremeno pove avaju u svakom slede em trenutku za vrednost β, po ev od inicijalne vrednosti Z 0. Otuda parametar β ozna ava konstantni prirast (stopu rasta) slu ajnog kretanja. Dati model naziva se slu ajano kretanje sa konstantnim prirastom. Ovo moºemo uo iti i ako u izraz ozna en sa (2.5), uzimaju i u obzir da je Z 0 = 0, stavimo da je t = 1, dobije se model Z 1 = β +a 1. Za t = 2, model postaje Z 2 = 2β +a 2 +a 1, itd. Dakle, vidimo da se deterministi ka komponenta svakog narednog lana vremenske serije uve ava za vrednost β. Primer takve vremenske serije prikazan je na slici 6.1 gde je β = 0,7. j=1 Slika 6.1: Slu ajno kretanje sa konstantnim prirastom. 31

32 Slika 6.2 : Prva razlika kod slu ajnog kretanja sa konstantnim prirastom Primenom operatora prve razlike, na model slu ajnog kretanja sa slobodnim lanom β, elimini²e se nestacionarnost: Z t = β +a t,e( Z t ) = β,var( Z t ) = Var(a t ) = σ 2. Alternativni termini za slu ajano kretanje su, dakle: Diferencno-stacionarna vremenska serija ; Kod ove serije, prva razlika sledi stacionarnu putanju. Vremenska serija sa stohastickim trendom ; Na osnovu informacije o prethodnom kretanju vremenske serije, ne moºemo predvideti njeno kretanje u budu nosti. U suprotnom, kada bi trend bio deterministi ki, tada bi i predvižanje bilo pouzdano. Integrisano-stacionarna vremenska serija; Vremenska serija dobija se na osnovu zbira lanova procesa belog ²uma. Operaciji sabiranja u diskretnom prostoru odgovara postupak integraljenja neprekidnih veli ina. Re je o integrisanom procesu prvog reda, gde red 1 pokazuje koliki je broj razlika koje treba uzeti, da bi se dobila njena stacionarna reprezentacija. Ako je prva razlika stacionarna, tada je vremenska serija integrisana reda 1. Oznaka je: Z t ~I(1). Za stacionarnu vremensku seriju kaºemo da je integrisana reda 0, u oznaci: Z t ~I(0). 2.6 Nestacionarnost u varijansi Za otklanjanje ove nestacionarnosti, potrebne su nam druga ije transformacije od razlika. Mnoge vremenske serije su stacionarne u o ekivanju, ali nisu stacionarne u varijansi. Proces stacionaran u o ekivanju nije obavezno stacionaran u varijansi, ali proces nestacionaran u o ekivanju e takože biti nestacionaran u varijansi. 32