АЛГЕБРА ВА АНАЛИЗ АСОСЛАРИ ФАНИДАН ТАЯНЧ КОНСПЕКТ

Transcript

1 Ўзбекистон Республикаси Олий ва Ўрта махсус, касб-ҳунар таълим вазирлиги АЛГЕБРА ВА АНАЛИЗ АСОСЛАРИ ФАНИДАН ТАЯНЧ КОНСПЕКТ

2 Mavzu. To plam tushunchasi va uning berilish usullari. Bo sh to plam. To plamlarning tengligi. Qism to plamlar. O zaro bir qiymatli moslik. To plamlar ustida amallar. Chekli va cheksiz to plamlar. Darsning maqsadi: ta limiy ( ilmiy). Hayotiy misollar yordamida to plamlar, ularning elementlari to plamlar ustida amallar to g risidagi bilimlarni berish. Tarbiyaviy. Milliy shevalar yordamida o quvchilarning fanga bo lgan qiziqishini oshirish milliy qadriyatlarni shakllantirish. Rivojlantiruvchi ( dunyoqarashni shakillantirish). Hayotiy misollar asosida to plamlar ustida bajarilgan amallar orqali o quvchilarning fikrlash qobiliyatini rivojlantirish. Darsning turi. Aralash. Darsning metodi (uslubi). Savol javob, mashq, ma ruza. Fanlar aro bog lanish(fanning nomi va usuli). Fizika, kimyo, astronomiya, biologiya, geografiya, tari, ona-tili. Qo shimcha adabiyotlar. Algebra va analiz asoslari o rta maktabning 9-cinf uchun o quv qo llanmasi. A.H.Kolmogorov. Toshkent. O qituvchi 978 y. Algebra va matematik analiz asoslari I. Akademik litseylar uchun. A.A.Abduhamidov, H.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.H.Husanov.Toshkent O qituvchi. 00 y. Algebra va analiz asoslari Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun. R.H.Vafaev, J.H.Husanov, K.H.Fayziev, Yu.Y.Hamroev. Toshkent O qituvchi 00 y. Matematika I qism. Kasbhunar kollejlari uchun o quv qo llanma. Toshkent O qituvchi 00 y. Yosh matematiklar qomusnomasi. Toshkent O qituvchi. Darsning jihozlanishi(ko rgazmali qurollar tarqatma materiallar harakatdagi modellar tenika vositalari ) dan foydalanilishi to liq yozilishi shart. Darslik, o quv qo llanmalari ko rgazmali qurollar, tarqatma materiallar, tenika vositalari (kadaskop). Darsning borishi..tashkiliy qism. Salom-alik qilish,davomadni tekshirish,zarur ko rgazmali qurol va jihozlarni darsga hozirlash..uyga berilgan vazifani so rash.,o tgan materialni takrorlash va yangi mavzuga zamin tayyorlash. Savollari.. To plam haqida nimalarni bilasiz?. belgi nimani bildiradi, shu haqda tushunchaga egamisiz?. Natural sonlar to plamiga qanday sonlar kiradi?. Butun sonlar to plamiga qanday sonlar kiradi? 5. Juft va toq natural sonlar to`plamini ajrating. Q{;;6; ;n;.} T{;;5; ;n-;...} 6.Kengaytirilgan natural sonlar to plamini yozing N0{0;;; ;n; } 7. Poda nima? Qo ylar to dasi. 8. Chorbog tushunchasi? Daratlar to plami. Kartotekalar.. Quyosh sistemasidagi sayyoralarni nomini ayting? ). Merkuriy ). Vnera ). Yer

3 ). Mars 5). Saturn 6). Yupiter 7). Uran 8). Neptun 9). Pluton. Planamatriyada mavjud bo lgan figuralarni ayting? Uchburchak to g ri to rtburchak, to rtburchak, paralelogramm, trapetsiya, romb.. Sport turlarini ayting? ) Futbol, voleybol, gandebol, basketbol, gimnastika,..., tennis.. Buoro vilovatidagi tumanlarni ayting? ) Jondor, Qorako l, Olot, Rometan, Peshku, Vopkent, G ijdivon, Shofirkon, Buoro, Kogon, Qoravulbozor. 5. Og irlik birliklari? Mg, g, kg, t, sen. 6. Ishqoriy metallarni ko rsating? Natriy, litiy, kaliy, rubidiy, fransiy, seziy. 7. Qimmatbaho metallarni ko rsating? Oltin, platina, kumush, radiy, osmiy. 8. Sut emizuvchilarni ko rsating? Sigir, kit, ko rshapalak, echki.... Darsning maqsadi. To plamlar haqida to liq malumot berish.. Darsning rejasi.. To plam tusunchasi va uning berilish usullari.. Bo sh to plam,to plamlarning tengligi.qism to plamlar.o zaro bir qiymatli moslik.uneversal to plam.. To plamlar ustida amallar.. Chekli va cheksiz to plamlar.to plamlarning to g ri (dekart) ko paytmasi. 5. Yangi mavzuni bayoni.. To plam matematikaning dastlabki tariflanmaydigan boshlang ich tushunchalaridan biri bo lib uni har il misollar orqali tushuntirish mumkin. Masalan.6- guruh o quvchilari to plami,kutubonadagi kitoblar to plami va hokazo.demak to plam deganda, predmedlarning aniq belgilari bo yicha yoki ular bo ysunadigan umumiy bir qonuniyatga asoslanib tuzilgan yig'i i tushuniladi. To plamni tashkil etuvchi obektlar to plamning elementlari deyiladi. Yuqoridagi misollarda o uvchilar, o qituvchilar, kitoblar, natural sonlar To plaminig elementlari hisoblanadi. Matematkada to plamlar lotin alifbosining bosh harflari A,B,C, D bilanto plam elementlari esakichik harflari a,b,c,d,..bilan belgilanadi. A(a,b,c,d,e,f,) N(,,,,n, ) Ayrim hollarda elementlari ma lum bir shartlarni qanoatlantiruvchi to plamlarning berilishini quyidagicha izohlash mumkin. A (/-natural son,<00). 00 dan kichik bo lgan natural sonlar to plami. Keyinchalik quyidagi belgilashlardan foydalanamiz.

4 X M, X M, yoki X M,. Bo sh to plam. Bo sh to plam hech qanday elimentga ega bo lmaydi va ko rinishda belgilanadi. - Ta rif. Agar A to plam hech qanday elimetfa ega bo lmagan u bo sh to plam deyiladi va A ko rinishda yoziladi. - Ta rif. Agar A to plamning har bir elementi B to plamning ham elementi bo lsa u holda A to plam B to plamning qism to plami deyiladi. va. A B (B A) ko rinishda ( -tegishlilik belgisi) yozilib B to plam A to plamni o z ichiga oladi deb o qiladi. Masalan A {;;6;..n} juft butun musbat butun sonlar. BN{;;;.;n-} A B bo ladi. -ta rif. A va B to plamlar bir il elementlarda iborat bo lsa ular teng deyiladi va AB ko rinishda yoziladi. Yoki A B A B AB Masalan A{; ; 5;9} B{ 9; ; 5;;} AB -ta rif Agar A to plamning har bir elimentiga B to plamning bitta va faqat bitta elimenti va, aksincha, B to plamning har bir elimentiga Ato plamning bitta va faqat elementi mos qo yilga bo lsa, u holda A va B to plamlar orasida o zaro bir qiymatli moslik o rnatilgan deyiladi. Bu tarifdan foydalanib, haqiqiy sonlar to g ri chiziqdagi nuqtalar to plami va cheksiz kasirlar to plami orasida o zaro bir qiymatli mosliklarni o rnatamiz. 5-ta rif. A,B va S to plamlarning har biri bitta J to plamning qism to plamlardan iborat u holda J to plam unversal to plam deyiladi. Agar J to plam maktabning barcha o quvchilari iborat bo lsa, u holda A.J, B j, C J, bo ladi. Unversal va uning qism to plamlarini chizmada tasvirlash mumkin. Buning uchun Eyler Venn diagramasidan foydalanamiz. A C B J To plam ustida amallar. To plamlarning birlashmasi. Berilgan to plamlardan yangi to plamlar tuzish usularini qarayniz. - Ta rif. A va B ikkita itiyoriy to plamlar bo lsin. Agar C to plam faqatgina AvaB to plamlarning elementlaridan tashkil topgan bo lsa,bunday to plam A va B to plamlarning birlashmisi deyiladi. A B -rasm. To plamlar birlashmasi U belgi orqali belgilanadi. Shuni ham qayt qilib o tish kerakki agar biror eliment A to plamga ham, B to plamga ham tegishli bo lsa, bu element C to plamda bir marta ishtirok etadi. Masalan A{,, 6, 7,8} va B {,,5,6,7,9,} to plamlarning birlashmasi CAUB{,,,,5,6,7,8,9,} to plamdan iborat bo ladi. Ikkala to plam uchun umumiy hisoblangan 6va7 elementlar C yig indi to plamda bir marta ishtirok etadi. Ava B to plamning birlashmasini Eyler- Venn diagirammasi yordamida tasvirlash mumkin.- rasimda shitirilangan soha A UB to plamini ifodalaydi. To plamlarning birlashmasini topish qator ossalarga ega.. Istalgan Ava B to plam uchun o rin almashtirish qonuni o rinli :

5 AU BAUB (A+BB+A). Bu ossa yordamida va undan ortiq to plamlarning birlashmasini topish mumkin..istalgan A,B VA C to plamlar Masalan A{,,, 5, } B{,5,6,} va C{5,6,7,8,} bo lsa A U (B U C){,,,5,6,7,8,} bo ladi.. Agar A B bo lsa, u holda AUBB; ususiy holda AUAA bo ladi.. Istalgan A to plam uchun AU A tenglik o rinli. To plamlar birlashmasining bu qonunlari Eyler-Venn diogrammasi yordamida ko rsatish mumkin, buni mustaqil bajaring.. To plamlarining kesishmasi. -ta rif. Ikkita A va B to plamlarning umumiy elementlardan tuzilgan C to plam A va B to plamlarning kesishmasi (umumiy qismi) deyiladi va CA B ko rinishda yoziladi. Bu yerda to plamlar kesishmasining belgisi. Umumiy elementlarga ega bo lgan A va B to plamlarning kesishmasi shaklda shitrilab ko rsatilgan. Misollar:. A{,5,7,9} va B{,,8,9,0} bo lsa, CA B{;9} bo'ladi.. Agar A{,6,9, }, B{9,8,7,6, } bo lsa, u holda A B{9,8, }. Agar A{,,5,6,} va B{,,7,8} bo lsa, u holda A B bo ladi. To plamlarningkesishmasi quyidagi ossalarga ega :.Istalgan ta A va B to plam uchun o rin almashtirish qonuni o rinli: A. B B A..Istalgan A,B va C to plamlar uchun guruhlash qonuni o rinli A (B C) (A B) C. Agar B A bo lsa, u holda A BB bo ladi. Haqiqatan, Agar B to plam A to plamning qismi bo lsa, u holda bu to plamlar quyidagi rasmda ko rsatilganidek tasvirlanadi. A B. Istalgan A to plam uchun A va A A A 5. Istalgan A,B va C to plamlar uchun birlashmaga nisbatan to plamlarning kesishmasi tarqatish qonuniga bo ysunadi : (AUB) C (A C) U (B C).. TO PLAMLARNING AYIRMASI -ta rif. A t oplamning B to plamga kirmagan barcha elementlaridan tuzilgan C to plam A va B to plamlarning ayirmasi deyiladi va u CA\B ko rinishida yoziladi. A B Misol:. Agar A{,,5,6,7}, B{,5,6,7,8,9}, bo lsa, CA\B{,} bo ladi.. Agar A{,}, B{,,}bo lsa u holda A\B bo ladi. -ta rif. Agar A B bo lsa, A\B ayirma B to plamning A to plamgacha to ldirmasi deyilasdi va CaB ko rinishida yoziladi. C A B B A

6 Misol:. Agar A{,,,, n, }, B{,,6,, n, } bo lsa, u holda C ab A\B{,,5,, n-, } bo ladi. -&. CHEKLI va CHEKSIZ TO PLAMLAR. TO PLAMLARNING TO G RI KO PAYTMASI. Chekli va cheksiz to plamlar. To plamlar cheli va cheksiz bo lishi mumkin. chekli to plamlar cheli sondagi elementlarga ega bo ladi. Masalan, A{a,b,c,d}-cheli to plam bo lib, to rtta elementga ega. Agar to plamning elementlari chekaiz ko p bo lib, uning elementlarini sanab tugata olmasak, bunday to plamlar cheksiz to plamlar bo ladi. Masalan, B{,,5,7,, n-, } cheksiz to plam bo lib, elementlari barcha toq sonlardan iboratdir. 9. O quvchilarning tushunganlik darajasini savollar va misollar echish bilan tekshirib borish va tahlil qilish. Savollar:. To plam deb nimaga aytiladi?. To plamning berilish usullari?. Bo sh to plam?. Qism to plami? 5. Chekli to plam? 6. Cheksiz to plam? 0.. Misollar:.. M{6;9;5;68;7}, P{;5;7;7;6;90}, Q{90;;7} to plamlar berilgan. M P, M Q, P Q, M P Q larni toping Yechish M P{6;5;7}, M Q{ }, P Q{;7;90}, M P Q{ }.. A-8 ning hamma natural bo luvchilari to plami. B- ning hamma natural bo luvchilari to plami A B- to plam elementlarini ko rsating? Yechish A{;;;6;9;8}, B{;;;;6;8;;}, A B{;;;6}.5. [;5] va [;7] kesmalarning kesishmasini toping? Yechish A{;;;;5}, B{;;5;6;7}, A B{;;5}.8. Agar A to plam X^-7X+60 tenglamaning echimlari to plamini va B{;6} bo lsa, AB bo lishini toping? Yechish: X^-7X+60 kvadrat tenglamani echib ildizlarini topamiz. ) Viet teoremasiga asosan : X+X7 X*X6 bundan X, X6 A{;6} ) DB^-ac, D9-5 X7-5/, X ; X7+5/, X6. A{;6}, J: A{;6}, B{;6} AB. Mustaqil ish.0. A{;;;5;7;0}, B{;5;7;9}, C{;9;}. Quyidagi to plamlarda nechtadan element mavjud: a) AU(BUC), b) (CUB) UA, v) A (BUC), g) AU(B C), d) A (B C), y) B (AUC). a) Yechish: E BUC ; E{;;5;7;9;}, AUE{;;;5;7;9;0;}, J: a) 8

7 . 9^-0 tenglamaning butun sonlardagi echimlari to plamini toping. 8, 8 sonlarining bo luvchilardan tashkil topgan to plamlarini tuzing. A {6,8,0,} va B{,6,8,0,,} bo lsa A B?. O quvchilar yangi mavzuni qay darajada tushunganlik darajasini tekshirish maqsadida test bajaradi, ) 6+6y5 sistemani yeching +y7 A) B)(.5;) C) (;). A{7,,5,,9} ga teng to plamni toping? A) {,,5,7,9} B) {,,,,5,6} C) topib bo lmaydi. Quyidagi keltirilgan to plamlarning qaysi biri chekli? A) kollejdagi talabalar soni B) natural sonlar c) dunyo aholisining soni. [-;5] kesmadan (-;5) interval chiqarib tashlansa nima qoladi? A) va 5 B) 0 C) 5.A nuqtaning -a <5 atrofini to plam interval shaklida ifodalang? A) a-5;a+5 B) a-5 C)a+5. X -X+A0 tenglamaning echimlari A ning qanday qiymatlarida bir elementli bo ladi. A) ¼ B) C) /. A to plam ta elementdan iborat, Bu to plamning elementlaridan qancha qism to plam tuzish mumkin A) 6 B) C)6. A(A;6) va B(0;) to plamlar orasidagi o zaro bir qiymatli maslik o rnatuvchi formulani toping. A) yx-a/b-a B) yb-a/-a C) y-/a+b. A{;7;;5;9} to plam elementlari uchun rekurent formulani aniqlang A) n-; n [;5] B) n C) n+9 5. sina (a<) tenglamani yeching. A) (-) n n arcsina+nk; n z B) ±arcsina +nk C) 6.. Xulosa. Darsda to plamlar haqida to liq tushunchaga ega bo ldik. To plamlarning berilih usullari bo sh to plam, qism to plami, chekli va cheksiz to plamlarni, to plamlar ustida bajariladigan amallar,kvantorlar haqida tushuncha oldik Baholash 5 balli sistema asosida amalga oshirildi. Uyga vazifa.. To plamlar nazariyasi elementlarini o qib kelish.. Bo sh to plam, qism to plam, teng to plamlarga misollar keltiring.. To plamlar ustida amallarga doir tadan misol tuzib ishlab kelish.., 5, 9,,9. Yangi mavzu bayoni : Son tushunchasini rivojlanishi. Haqiqiy sonlar. Sonli to plamlar. N,Z,Q,I, R sonlar. Chekli va cheksiz o nli kasirlar, davriy o nli kasrva irratsional sonlar.. Haqiqiy sonlar va ularni cheksiz o nli kasr ko rinishida ifodalash.. Haqiqiy sonlarni geometric tasvirlash. Dars bosqich lari.tashkiliy qism: Salomlashish, navbatch faoliyatini baolash, zarur ko rgazmali qurol va jiozlarni darsga tayorlash, fanga doir yangiliklar.. Yangi mavzuni boshlashga hozirlik ko rish:

8 O quvchilar ta kichik gurularga bo linadi va harbir guru o z nomini belgilab oladi. Misol Beruniy gurui, Ai Xorazimiy gurui, va o quvchi tomonidan har bir guru ga o tilgan mavzular bo yicha savollar beriladi. Va to g ri javoblar rag batlantirilib, noto g ri javoblar jarima bilan baolanadi. Savol: To plamga ta rif bering Javob: To plam tushunchasi matematikaning boshlang ich tushunchalaridan biri bo lib, u ta riflanmaydi. Savol: Qanday to plam bo sh to plam deyiladi. Javob: Birorta ham elementi bo lmagan to plam bo sh to plam deyiladi. Savol: To plam birlashmasi, kesishmasi, qism to plamni tushintirib bering Javob: Agar biz A va B to plamlarni qaraydigan bo lsak u holda bu ikki to plamlarning birlashmasi A yoki B to plamning elementlarini o z ichiga oladi. A e yoki B e A Be. Yangi mavzuni yoritish: O quvchilar doskadan yangi mavzu va rejani daftarlariga ko chirib oladilar va o qituvchi gurularga manashu reja asosida nimalarni biladi yoki bildi va bilishni olaydi degan savollarni o rtaga tashlaydi va har bir guru amaliy mashq bajaradi. Gurularning ishlarini taqdimoti amalga oshiriladi. Misol Bilaman Bildim Bilishni olayman N, Z, R, Sonli to plamlar Q, I,. Mustakamlash: Sonlarni taqqoslang a) 0,5 va0,(5) b),7() va,7 5. Mustaqil ish: a),() b)5,(75) d) e) P g) lg sonlardan qaysilari irratsional son, qaysilari ratsional son 6. Darsga yakun yasash: O qituvchi bajarilgan ishlarni baolashni tashkil etadi. Umumlashtiradi. Faol o quvchilarni rag batlantiradi, dars bo yicha o quvchilarning fikr- muloazalarini tinglaydi,o quvchilarga uyga vazifa beradi. 7. Uyga vazifa : A.A. Abduramonov bob P betlar 8. Xulosa: Demak, sonlar aqidagi tushunchamiz ancha aniqlashdi. Chekli- o nli, cheksiz-o nli, davriy, irratsional, aqiqiy sonlar, geometrik tasvirlash orqali, buni hayotiy tajribalarda qo llash imkoniyati yaratildi. Sonlar hayotda juda ko p uchraydi. Foydalaniladigan adabiyotlar..«algebra va analiz asoslari» R.H.Vafoyev, J.H.Husanov va boshqalar Toshkent O qituvchi 00.«Algebra va matematik analiz asoslari» H.H.Abduhamiodov va boshqalar Toshkent O qituvchi 00. «Matematika» I- qisim Abduhalim Meliqulov, Parda. Qurbonov, Parda Ismoilov.Toshkent O qituvchi 00 yil Mavzu: Asosiy sonli to plamlar. Haqiqiy sonlar ustida amallar. Reja:. Natural sonlar ustida bajariladigan amallar. Butun sonlar ustida bajariladigan amallar. Ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar. Haqiqiy sonlar ustida bajariladigan amallar O quvchilar doskadan yangi mavzuni ko chirib oladilar va reja asosida BBB gipret metodi yordamida rejada bilganlarini yozib chiqadilar va jadvalni to ldiradilar. Misol:

9 Bilaman Bildim Bilishni olayman.natural sonlar ustida bajariladigan amallar.butun sonlar ustida bajariladigan amallar.ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar. Haqiqiy sonlar ustida bajariladigan amallar 5. Mustahkamlash: -misol. a,7 va b,6 sonlarning yig indisini toping. - misol. a va b sonlarini 0,: 0,0: 0,00: 0,000 aniqlikdagi yig indilarini toping. 6. Mustaqil ish: Test: ar bir guruga beriladi. -guru.. 0, (5) + 0,() ni hisoblang. a) b) s),5 d) e) ni 6 ga bo lishdagi qoldiqni toping. a) b) s) d) 5 e) -guru ayirmaning oirgi raqamini toping. a) 0 b) 7 s) d) e). 00 ni 0% ga orttirilsa, hosil bo lgan son 0 % ga kamaytirildi. Natijada qanday son hosil bo ldi? a) 06 b) 0 s) 08 d) e) 0 -guru ni hisoblang. a) 6 b) 8 s) 50 d) -5 e) -5. ( + 6 6_ ): tenglamani eching. A) b) 9 s) 7 d) e) guru.. 0,5(6) quyidagilardan qaysi biriga teng. a) 56 b) s) d) 8 e) a 7 b s 7_ va d 9_ sonlarni kamayish 6 5 tartibida joylashtiring. a) a > b > s >d b) b >a >d >s s) d>a>b>s d) a>s>b>d e) d>b>s>a Uyga vazifa: Xulosa: Demak sonli to plamlar haqiqiy sonlar haqidagi tushunchamiz ancha aniqlashdi. Asosiy sonli to plamlar (natural,butun,ratsional,irratsional,haqiqiy sonlar)ni bilish orqali, buni hayotiy tajribalarda qo llash imkoniyati yaratildi. Haqiqiy sonlar ustida amallar bajarish hayotda juda ko p uchraydi. Foydalaniladigan adabiyotlar..«algebra va analiz asoslari» R.H.Vafoyev, J.H.Husanov va boshqalar Toshkent O qituvchi 00.«Algebra va matematik analiz asoslari» A.A..Abduhamidov va boshqalar Toshkent O qituvchi 00.«Matematika» I- qism Abduhalim Meliqulov, Parda. Qurbonov, Parda Ismoilov.Toshkent O qituvchi 00 yil Reja:. Son o qi tushunchasi Mavzu: Son o qi va sonli oraliq. Sonning moduli.

10 . sonli oraliqlar. Sonning moduli O quvchilar doskadan yangi mavzu va rejasini ko chirib olib, utilgan mavzulardagiday savollarga javoblar yozadilar ya`ni bilaman, bildim va bilishni olayman har bir o quvchi uzi javob tuldiradi, oiriga borib o qituvchi uz fikrini bildiradi. 6. Mustahkamlash: 6- misol. a) - < f) -- > g) X+ X+< 6.Mustaqil ish. 7-misol -adabiyot 59-bet a) +5 b) - - d) ( -5+6) + + O quvchilar bilimini baolash: Faol katnashgan o quvchilarni «5»,, ballar bilan baolanadi. Dars buyicha o quvchilar fikrmuloazalarini bildiradi. 7.Uy ishi: -adabiyot (Matematika. Melikulov Toshkent 00) II.-bob 8-& ikkinchi bobga doir misol va masalalarni kolganlarini ishlash. 8.Xulosa: Demak son o qi va sonli oralik akidagi tushunchamiz ancha aniklashdi. Sonli kesmalar, ochiq, yopiq intervallarni, aqiqiy sonning moduli aqiqiy sonlar ustida amallarni bajarish orqali buni hayotiy tajribalarda qo llash imkoniyati yaratildi. Foydalaniladigan adabiyotlar..«algebra va analiz asoslari» R.H.Vafoyev, J.H.Husanov va boshqalar Toshkent O qituvchi 00. «Algebra va matematik analiz asoslari» A.A..Abduhamidov va boshqalar Toshkent O qituvchi 00.«Matematika» I- qism Abduhalim Meliqulov, Parda. Qurbonov, Parda Ismoilov.Toshkent O qituvchi 00 yil KOMPLЕKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR Rеja Mavum birlik akida tushuncha Mavum birlik darajasi Komplеks son tushunchasi. Komplеks sonlar ustida amallar Tayanch suzlar: Mavum birlik, komplеks son,kushma komplеks son, karamakarshi komplеks son Fan va tеnikaning rivojlanishi akikiy sonlar tuplamining yanada еtarli emasligini kursatadi. Ya'n х + х + 0 х + 0 tеnglamalarni akikiy sonlar tuplamida еchimi yuk, ya'nе akikiy sonlar tuplamida х tеnglama ma'noga ega emas. Lеkin х dеb olib tеnglamaga kuysak ya'nе ( ) tеnglikni kanoatlantiradi. Shuning uchun ni tеnglamani ildizi dеb aytiladi. son akikiy sonlar tuplamida yuk. Shuning uchun yangi son tushunchasi kiritamiz.i -- mavum birlik dеb kabul kilingan.i - kvadrati akikiky son. i - maum sonni anglatadigan frantsuzga imaginaire suzining bosh

11 arfi. i - bulsa, kuyidagilarni topamiz: i i i - i - i i i i (- ) (-) i 5 i i i i 6 i i (-) - i 7 i i (-i) - i i 8 i i... i sonining natural kursatkichli darajasi fakat ta kiymatga ega buladi i,- i,,-. Xar bir natural son uchun i ning darajasini n, n+, n+, n + kurinishlaridan biri orkali tasvirlash mumkin. Shuning uchun i ni isoblash uchun ta formula bеrish еtarli I n I n+ i I n+ - I n+ - i Masalan i 00 i 5, i 8 i ва х.к. Ta'rif: Xakikiy son bilan mavum birlikning kupaytmasiga mavum son dеb aytiladi Мисол: i,- i, -- i, i,,7i, 0i Ta'rif: Xakikiy son bilan mavum sonning yigindisiga komplеks son dеb dеb aytiladi, Ya'nе a Q b i - komplеks son. a - komplеks sonning akikiy kismi bi - komplеks sonning mavum kismi a va b orasidagi "plyus" ishorasi b bilan i orasidagi kupaytirish ishorasi biz odatlangan ma'noga ega emas. Misol: + i, - 5i, - + -i,,5 - i, -+,7 i, - -5i а + bi- komplеks sonda agarа 0, b 0 а + 0i а akikiy son,mavum kismi 0 agar а 0, b bi bi sof mavum son ya'nе b 0 - akikiy son

12 а + bi a 0 -mavum son agar a 0, b 0 bulsa 0 + 0i - nol komplеks son а + bi komplеks son bilan а - bi komplеks son kushma komplеks sonlar а + bi komplеks son bilan -а - bi komplеks son karama-karshi komplеks son а - bi ва -а - bi komplеks sonlar am kushma komplеks sonlar. Misol: + i va - i ; - + iva - - i sonlar kushma komplеks sonlar + i ва -- i - karama-karshi komplеks sonlar Karama-karshi komplеks sonlarning modullari tеng, ya'nе а + bi - а - bi Ikkita a + bi va s + di komplеks sonning akikiy kismlari va mavum birlik oldidagi koeffitsiеntlari tеng bulsa, ular tеng buladi. Ya'nе a + s, b + d a + bi q c + di buladi a Q bi q c Q di bulganda komplеks sonlar uchun " katta"," kichik" tushunchalari kiritilmaydi. Komplеks sonni z q a Q bi dеb bеlgilaymiz. Bu uning algеbraik kurinishi buladi. Uning yana trigonomеtrik va kursatkichli kurinishlari bor. Xar kanday akikiy sonni komplеks son kurishida еzish mumkin. Ya'nе i i i,5,5 + 0i ва х.к. Shuning uchun am barcha sonlar tuplamini komplеks sonlarning kism tuplami dеyish mumkin. Komplеks sonlar tuplamini S arfi bilan bеlgilasak, uni sеmatik kuyidagicha tasvirlash mumkin Z R S Q N C

13 Komplеks sonlar ustida ta arifmеtik amallar bajariladi.kushish z + z. Ayirish z - z.kupaytirish z z.bulish z : z z а + b i z а + b i komplеks sonlar bеrilgan bulsin. Kushish z + z (а + b i)+ (а + b i) ( a + a ) + ( b + b )i z + z ( a + a ) + ( b + b )i. Ayirish z - z (а + b i)- (а + b i) (a - a ) + (b + b )i z - z (a - a ) + (b + b )i Misol. z + i z -+ i z - z (-(-))+ ( - )i + i ( + i) + (0 + 0 i) ( + 0) + ( + 0) i + i ( + i) - (0 + 0 i) ( - 0) + ( - 0) i + i Komplеks sonlarni kushish va ayirish ossalari uddi sonlar nazariyasi konunlarida kanday bulsa, shunday koladi. Kupaytirish z z (а + b i) (а + b i) a a + b b i + а b i + а b i (a a - b b ) + ( a b + a b )i z z (a a - b b ) + ( a b + a b )i Kupaytirish ossalari am uddi sonlar nazariyasidagidеk buladi.

14 Misol. z + i z - + i z z ( + ) ( - + i) ( (-) - ) + ( + (-) ) i (- - ) + ( 6 - )i - + i. Bulish z а + b i ( а + b i) (а b i ) z а + b i ( а + b i)( а b i) а а b b a b - a b i а + b a + b z а а b b a b - a b i z а + b а + b z a + bi komplеks son bilan z 0 + 0i komplеks sonning kupaytmasi z 0 + 0i komplеks son buladi. z z (a + bi )( 0 + 0i ) (a 0 0 b ) + (a 0 0 b )I 0 + 0i z a + bi komplеks sonni 0 + 0i komplеks songa bulish mumkin emas i komplеks sonni esa a + bi komplеks songa bulish mumkin 0 + 0i 0 a + 0 b 0 a - 0 b i a + bi a + b a + b a + b a + b Karl Fridri Gauss bu sonlar nazariyasi konunlarini komplеks sonlar tuplamida tatbik etgan. Komplеks sonlarning gеomеtrik tasvirini yasash usulini bеrdi. Mavum birlik i q - bеlgisini kiritdi. Komplеks sonning a Q bi dеb еzilishi am Gaussga mansubdir. KOMPLЕKS SONLARNI GЕOMЕTRIK TALKINI Rеja.Komplеks sondan kvadrat ildiz.komplеks sonlarni gеomеtrik talkini Tayanch iboralar: Conning moduli,akikiy uk, mavum uk, radius vеktor

15 z - komplеks son bulsin. z - komplеks sondan kvadrat ildiz chikarish dеganda, kvadratlari z ga tеng bulgan barcha komplеks sonlarni topish dеmakdir. Kuyidagi misollarni karaymiz. - Мисол i ni isoblang Еchish: Izlanaеtgan natija + u i bulsin. Bu еrda, u - akikiy sonlar, ya'nе i х + у i u olda ( i ) ( х + у i) ( х + у i) i kavsni еyib chikamiz х + ху i + у i i ( х - у ) + ху i i bundan х - у 0 ху i i (bulamiz i ga) ху buladi, sistеmaga olib ikki tеnglikni еchamiz. х - у 0 urniga kuyish usuli bilan еchamiz ху ху dan у х х - 0 х х х ar ikki tomondan n - chi darajali ildiz chikaramiz х ± х ± х у Shunday kilib i х + уi Tеkshirish: х у - i + i i - - i ( + i) + i - i i

16 Misol z + i tеnglamani еching Еchish: z ni topish kеrak z + i z + i yani + i dan kvadrat ildiz chikarish kеrak + i х + уi ( + i) ( х + уi) + i ( х - у ) + ху i ( х - у ) ( х - у ) ху i i ху sistеmani еchamiz у х - ( ) 8 х х - 8 х х - х 8 0 х х z dеb olamiz z - z 8 0 D z - z х - mumkin emas х ± - y y - Shunday kilib sistеmaning еchimi ва - buladi y y - Tеnglamani еchimi esa z + i z - - i Bundan shunday ulosa chikadiki, komplеks sondan olingan kvadrat ildiz a Q b i va a - b i kurinishdagi ikkita uzaro kushma sonlardan iborat.

17 . XoY koordinata sistеmasida koordinata tеkisligining ar bir nuktasiga va y akikiy sonlarning shu tartiblangan juftini mos kuyish mumkin, ya'ni bu nuktalar jufti A (; u) kurinishda ifodalanadi. Еki aksincha va u akikiy sonlarning tartiblangan juftiga tеkislikningtayin nuktasi mos kеladi. Dеmak, koordinata tеkisligining nuktalari tuplami bilan akikiy sonlarning tartiblangan juftlari orasida bir kiymatli moslik urnatialadi. Agar nuqta I-chorakda bulsa, u olda unga х > o va у >o akikiy Sonlar jufti mos keladi II - chorakda х<o va у>o sonlar jufti y A III chorakda <o va y<osonlar jufti IY chorakda >o va y<o sonlar jufti mos kеladi. O Bu bizga maktab kursidan ma'lum. Endi aq vi komplеks son ma'lum tartibda olingan akikiy sonlar jufti aniklanishiga e'tibor bеraylik. a- birinchi son, v -ikkinchi son Bunday tartiblangan akikiy sonlar juftiga koordinata tеkisligida tayin nukta mos kеladi. Dеmak, ar bir komplеks songa tеkislikning (; u) nuktasini mos kuyish mumkin. Bunga tеskari davo am urinli: tеkislikning ar bir nuktasiga tayin bir komplеks son mos kеladi. Dеmak, komplеks sonlar tuplami bilan tеkislik nuktalar tuplami orasida bir kiymatli moslik mavjud. a -akikiy songa еki a Q oi ga abtsissalar ukiga joylashgan (a;o) koordinatali nukta mos kеladi. Shu sababli abtsissalar uki akikiy uk dеb aytiladi. Sof mavum vi songa еki o Q vi ga mavum uk dеb aytiladigan ordintalar ukida joylashgan (o;v) koordinatali nukta mos kеladi. Boshi o koordinatalar boshida, oiri esa biror A nuktada joylashgan vеktor bu nuktaning radius vеktori dеb aytiladi. U OA dеb bеlgilanadi. Shu sababli uni zq a Q vi komplеks sonning gеomеtrik tasviri dеb aytiladi. OA vеktor uzunligi esa komplеks sonning moduli buladi. Bunga muvofik ravishda uzaro kushmaа+вi ва a-вi komplеks sonlar akikiy ukka nisbatan simmеtrik joylashgan. Karama-karshiа+ вi ва -a-вi komplеks sonlar koordinata boshiga nisbatan simmеtrik joylashgan buladi. Komplеks sonlarni kushish va ayirish amallarini gеomеtrik tasviri, vеktorlarni kushish va ayirish amallariga mos tushadi. z a + в I a +b i z +z z a + в I z -z z + z ng tasviri 6 a +b i

18 z - z ng tasviri a Ta'rif : Komplеks sonning moduli dеb, shu songa mos kеlgan vеktorning uzunligiga aytiladi va z dеb bеlgilanadi z a + в i булса z -? AB da Pifagor tеorеmasiga kura ОА ОВ + АВ z a + b z a + b komplеks sonnig moduli formulasi Misol. z - i z -? z +(-) Agar b 0 bulsa z a Agar a 0 bulsa z b komplеks sondan ildiz chikarish koidasiga kura chikariladi. Karama-karshi va kushma komplеks sonlar modullari tеng. Мисол z + i комплекс соннинг тасвирини ясанг,модулини топинг у Ечиш. а, b z z z a + bi да х Agar a > 0, b > 0 bulsa komplеks son I chorakda buladi. Agar a > 0, b < 0 bulsa, unda a - bi son IY chorakda buladi. Agar a < 0, b > 0 bulsa, unda - a Q bi son II chorakda buladi. Agar a < 0, b < 0 bulsa, unda -a - bi son III chorakda buladi. a Q 0i va - a Q 0i O ukida buladi 0 Q bi va 0 - bi Ou ukida buladi Misol. z q - - i z q - i z q - Q i z q 5i z q komplеks sonlarni tasvirini yasang Mavzu: Matematik induktsiya usuli Darsning borishi. Ukuvchilarni davomatini va darsga tayergarligini tekshirish.

19 . Kuphadlar va ikki noma'lumli tenglamalar sistemasi buyicha yezilgan yezma ishni analizini utkazish..yezma ishlarga ulosa tarikasida kup ato kilingan misollarga O`shash misollarni kodoskopda beriladi. Kartochka J a v o b l a r Topshiriq 5 Sistema yechimini Toping y -8 +y 8 (;- ) (; ) ( ;) bilmayman To`gri javob yo`q Agar 0, sistema yechimi haqida nima deyish mumkin Yechimi yo`q Yechimi birta Yechim.- to`plami cheksiz bilmayman To`gri javob yo`q a ning qanday qiymatlarida a y y - bilmayman To`gri javob yo`q Quydagi sistema yechimga egami + y - - 5y 0 Yechimi birta Yechimi yo`q bilmaym an Yechim.- to`plami cheksiz To`gri javob Kartochka J a v o b l a r Topshiriq 5 Sistema yechimini Toping + y 8 + 5y 5 (;- ) (; ) ( ;) bilmayman To`gri javob yo`q

20 Agar 0, sistema yechimi haqida nima deyish mumkin Yechimi yo`q Yechimi birta Yechim.- to`plami cheksiz bilmayman To`gri javob yo`q a ning qanday qiymatlarida a y 6 9y 9 Quydagi sistema yechimga egami 8 + y 7 + y 0 - Yechimi birta Yechimi yo`q bilmaym an bilmaym an Yechim.- to`plami cheksiz To`gri javob yo`q To`gri javob.yangi mavzuni tushuntirish Mavzu : Matematik induktsiya usuli Reja. Matematik induktsiya usuli tushunchasi. Deduktsiya va induktsiya. To liqmas va to liq induktsiya. P.Ferma, L.Eyler va G.Leybnits gepotezalari. Tayanch iboralar: Deduktsiya, induktsiya, gepoteza, to la induktsiya. Leonard Eylerga mansub bo lgan qo yidagi misolni ko rib chiqamiz: n + n + uchhadni qiymatlarini hisoblang,bu yerda n natural son n + + n n n n n n n E tibor bersak hosil bo lgan sonlar tub sonlar.navbatdagi hosil bo ladigan sonlar tub bo ladimiq n n tub sonlar... n tub son emas. Kuzatishlarga asoslangan hulosa ishonchli emas, ya ne hususiylikdan chiqarilgan umumiy hulosa tasdiqlan -madi.

21 Ta rif: Hususiy tasdiqdan umumiy tasdiqqa o tib ulosalar keltirib chiqariladigan mulohaza yuritish usuli induktiv usul yoki induktsiya deyiladi. inductia - lotincha yo l «yo l ko rsatish», «yo llash» degan ma noni bildiradi. Induktsiya ikki il bo ladi:. To liqmas induktsiya. To liq induktsiya Yuqoridagi misol to ligmas matematik induktsiya boladi. To liq matematik induktsiya mulohazalar ryu berishi mumkin bo lgan barcha hollarni o z ichiga olsa va shu asosda ulosa qilinsa bo ladi. To liq matematik induktsiya usuli deb ataluvchi usulga quyidagi printsip asos qilib olingan. Agar birorta tasdiq: ) n da to g ri bo lib ) n k uchun to g riligidan uning nk + uchun ham to g riligi kelib chiqsa, tasdiq har qanday natural n uchun o rinli bo ladi. Matematik induktsiya usuli matematikaning turli-tuman, atto bir-biridan juda oils sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qullanadigan usuldir. Avvalo bu usul o zining juda soda bo lgan g oyasi bilan e tiborga sazovor. Ikkinchidan bu usul isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma lum «topagonlik» ni talab etish bilan ham arakterlidir.. Matematik induktsiya matematikaning barcha sohalaridagina emas, elementar balki turli bo limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir. Matematik induktsiya usuli kimyo,fizika va boshqa tabiiy fanlarda, shuningdek matemeatikada ham turli tasdiqlar (gepotezalar) hosil qilishda qullaniladi. Odatda biror jarayon yoki voqea to g risida fikr yuritishning ikki formasi farq qilinadi: deduktiv fikrlash, induktsiv fikrlash Deduktsiya - fikrlashning umumiy tasdiqlardan hususyi tasdiqlarga o tish formasidir (Deduktsiya so zi mantiqiy ulosani bildiradi). Misollar ko rib chiqamiz: - Misol: Bir va o zidan boshqa bo luvchilarga ega bo lgan sonlar murakkab sonlar to plamini tashkil etadi.(a) 9 soni va 9 dan boshqa ga bo linadi (B) 9 soni murakkab son (C) - Misol: Barchato rtburchaklar, ko pburchaklar oilasiga tegishli(a ) ABCD trapetsiya to rtburchak (B) ABCD trapetsiya to rtburchaklar oilasiga tegishli (C) Har ikkala misolda ham (A) umumiy tasdiqdan (B) tasdiq yordamida (C) hususiy tasdiq hosil qiladi. Induktsiya - fikrlashning tasdiqlardan umumiy tasdiqlarga o tish formasidir. Deduktsiya va induktsiya bir-birini to ldiruvchi fikrlash formalaridir.. Haqiqatdan ham, isbotlanishi kerak bo lgan tasdiqlar kuzatishlarga asoslangan holda induktiv yo l bilan hosil qilinadi, so ngra bu tasdiqning to g riligini isbotlashning biror deduktiv metodi yerdamida kursatiladi. -Misol: sonini ketma-ket kelgan ta darajasini yigindisini karaylik + + osil bulgan son 7 ga bulinadi

22 + + 8 osil bulgan son 7 ga bulinadi osil bulgan son 7 ga bulinadi Bajarilganlarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin. sonining itiyeriy ta ketma-ket kelgan darajasining yigindisi 7 ga karralidir, ya'ni ark kanday n N uchun n + n+ + n+ yigindisi 7 ga bulinadi. - Misol:, sonlarning kublarini karaylik kushiluvchilarni ortiraylik Jadvalga asoslanib, induktiv ravishda ushbu gipotezani osil kilamiz: n natural son kublarining yigindisi anik kvadratdir Tekshirishni davom ettirib, osil bulgan kvadratlarning asoslari uchun kuyidagi jadvalni tuzamiz: Bu gipotezani anik formada bayen etishimiz mumukin. n natural sonlar kublarining yigindisi shu sonlar yigindisining kvadratiga teng, ya'ne n,,... sonlar uchun n ( n) () Yukoridagi ar misoldaam gipotezalar induktsiya yerdamida osil kilinadi, ammo yuritilgan muloazalar keltirilgan gipotezalarning. Isboti bulib izmat kila olmaydi.

23 Avval aytilganidek,induktsiya yerdamida ochilgan konuniyatlar tugri bulishi am,notugri bulishi am mumukin. Shu sababli induktsiya yerdamida osil kilingan konuniyatning (gipotezaning) tugri yeki notugri ekanini biror deduktiv usul yerdamida kat'iy isbotlanmogi kerak. -Misol n + kurinishdagi sonni karaylik n 0,,,, bulganda tub sonlar osil buladi P. Ferma yukoridagi kurinishdagi barcha sonlar tub buladi deydi. Ammo XYIII asrga kelib L.Eyler n 5 uchun murakkab son osil bulishini aniklab, Fermaga gipotezaning notugriligini kursatdi. 5- Misol: Leybnits ar kanday butun musbat son uchun n n soni, ga, n 5 n soni 5 ga, n 7 n soni 7 ga bulinishini isbotladi va ularga asoslanib: «Xar kanday tok k va itiyeriy n natural son uchun n k n soni k ga bulinadi» degan gipotezani aytdi. Keyinchalik uning uzi bu gipotezani notugriligini isbotladi, ya'ni 9 soni 9 ga bulinmasligini kursatdi Tulamas induktsiya yerdamida ar doim am tugri ulosaga kelib bulmasligini kurdik, ammo uning foydali tomoni shundan iboratki, uning yerdamida gipotezani aniklash, ifodalash,bayen etish mumkin buladi, sungra aytilgan gipotezani isbotlash yeki rad etish lozim. 5.Talabalar savoliga javob berish 6.Mustakamlash [] II bob, bet [] Y bob, bet.,.,.6. 7.Uyga vazifa [] II bob, 5 [] Y bob, bet II bob 5 p bet., bet Mavzu : Matematik induktsiya yerdamida tengsizlik va ayniyatlarni isbotlash Mavzuning O`quv reja dasturidagi tartib raqami 9 Mavzuga davlat ta'lim tandartlari tomonidan quyilgan talablar. Matematik induktsiya yordamida ayniyatlarni isbotlash

24 Dars maksadi: a) u k u v Matematik induktsiya yerdamida ba'zi tengsizliklar va ayniyatlarni isbotlashga kullanishini o`rgatish b)tarbiyaviy O`quvchilarni estetik didini tarbiyalash v)rivojlantiruvchi O`quchilarda shu mavzuga doir misol yechishda kunikma osil kilish Darsning turi Aralash Darsning uslubri Evrestik suhbat Darsning jiozlanishi.kurgazmali kurollar.tarkatma material Kartochka test.tenik vositalar.foydalanadigan adabiyetlar:_ ] II bob, bet [] Y bob, bet Darsning borish tartibi.tashkiliy qism dakika.utilgan mavzuni surash 0 dakika.xulosa dakika.yangi mavzuni tushuntirish 5 dakika 5.Talabalar savoliga javob berish 6 dakika 6.Mustakamlash 7.Uyga vazifa 0 dakika 5 dakika Darsning borishi. Ukuvchilarni davomatini va darsga tayergarligini tekshirish.. Utilgan mavzuni surash a. Matematik induktsiya usuli nimadan iboratq b. Induktsiya nimaq v..tulik induktsiya Bilan tulikmas induktsiya farkini aytingq g. Deduktsiya deganda nimani tushunamizq d. Bir sanoat sharining aolisi yiliga urtacha 6% ortadi. Necha yildan keyin aolii ikki martaga ortadiq

25 e.ukuvchilarga ikkita kartochka tarkatish.. Xulosa a) Shunday kilib matematik induktsiya bu b) agar a A elementlari uchun tugri bulsa,bu tasdik barcha a A uchun tugri buladi. Bu kanday induktsiyaq v) agar a A elementlari uchun urinli bulsa,bu tasdik barcha a A uchun urinli buladi. Bu kanday induktsiyaq.yangi mavzuni tushuntirish Mavzu : Matematik induktsiya yerdamida tengsizlik va ayniyatlarni isbotlash R e j a.matematik induktsiya yerdamida tengsizliklarni isbotlash.. Matematik induktsiya yerdamida ayniyatlarni isbotlash Yukorida kurib utkanimizdek tuliksiz induktsiya va tulik induktsiyalarni kurib chikdik. Shu katorda matematik induktsiya usuli va matematik induktsiya tengsizliklar va ayniyatlarni isbotlashga kullanishi akida aytib utildi. Matematik induktsiyani tengsizliklar va ayniyatlarni isbotlashda kullanishini kurib chikamiz..misol Quyidagi ayniyatni matematik induktsiya usuli bilan isoblang n n( n + ) n + n : + k n k : k( k + ) k + uchun tenglik to g ri deb n k + : k k( k + ) ( k + )( k + ) k + учун тугрилигини исботлаймиз k k( k + ) + k + k + + k + ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) k +k+0 D - 0 ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) k k + + isbot bo ldi. k n : +

26 n k : k( k + ) uchun tenglik to g ri deb k k + n k + : k( k + ) ( k + )( k + ) uchun to g riligini isbotlaymiz k + k + k k( k + ) + k + k + + k + ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) k +k+0 D - 0 ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) k k + isbot bo ldi k + Misol: ( n ) n( n )(n + ) n: ( )( + ) nk : ( k ) л( л )(л + ) nk+: ( k ) +((k+)-) ( k + )(( k + ) )(( k + ) + ) ( k + )(k + )(k + ) k(k )(k + ) + (k + ) ( k + )( k(k ) + ) (k + )(k k + ) (k + )( k + )(k + ) k -k+0 D Misol Agar (n-) n tenglik n ning n k (k N ) qiymatiga to g ri bo lsa, u olda bu tenglik n ning n k + qiymatida ham to g ri bo lishini isbotlang. Isbot : Berilgan tenglik n k bo lganda ( k -) k () ko rinishni, n k + bo lganda esa ( k +) (k + ) () ko rinishni oladi.

27 Biz () tenglikni to g ri ekanligidan, () englikning ham to g ri ekanligi kelib chiqishini ko rsatamiz. () tenglik to g ri bo lsin. U holda ( k -) ( k -) + ( k+) k +( k +) ( k +) tenglik, ya ne () tenglik ham to gri bo ladi.. Demak, agar (n-) n tenglik n ning n k qiymatida to g ri bo lsa, u holda bu tenglik n ning n k + qiymatida ham to g ri bo ladi. Misol Agar n > n (n N) tengsizlik n ning n k ( k N) qiymatiga to g ri bo lsa, u olda bu tenglik n ning n k + qiymatida ham to g ri bo lishligini isbotlang. Isbot : Berilgan tengsizlik n ning n q k qiymatida to g ri bo lgani uchun k > k () to g ri tengsizlikga egamiz. n k + bo lsa, berilgan tengsizlik k+ > (k+) () ko rinishni oladi. Biz () tengsizlikning to g ri ekanligidan foydalanib, () tengsizlikni to g ri ekanligini ko rsatamiz. k > k bo lgani uchun, k+ k >k + k + k () tengsizlikni hosil qilamiz. k. k, k bo lgani uchun, () dan k+ >k + k + (k +) tengsizlik hosil bo ladi. Demak, () tengsizlik to g ri ekanligidan () tengsizlikning ham to g ri ekanligikelib chiqadi, ya ni n > n tengsizlik n ning n k ( k N) qiymatida to g ri bo lsa, u holda bu tengsizlik n ning n k + qiymatida ham to g ri bo ladi. 5.O quvchilar savollariga javob berish. 6.Mustahkamlash [] k.,.9 (a,v) 7.Uyga vazifa: [] II bob, bet [] Y bob, bet.9 (b,g) Mavzu : Misollar yechish Mavzuning O`quv reja dasturidagi tartib raqami 0 Mavzuga davlat ta'lim tandartlari tomonidan?uyilgan talablar. Matematik induktsiya yordamida ayniyatlarni isbotlash Dars maqsadi: a) o quv Bilimlarni mustahkamlash va tekshirish b) tarbiyaviy O quvchilarni estetik didini tarbiyalash c) rivojlantiruvchi O quvchilarda misol yechishda ko nikma hosil qilish

28 Dars turi : Bilimlarni mustahkamlash va tekshirish Darsning jihozlanishi Ko rgazmali qurollar -.Tarqatma material Kartochka-test.Tenik vositalar - Kodoskop.Foydalangan adabiyotlar:_ [] II bob, bet [] Y bob, bet Darsning boorish tartibi.tashkiliy qism dagiga.o tilgan mavzuni so rash 0 dagiga.hulosa.misollar yechish 5 dagiga 5 dagiga 5.Talabalar savollariga javob berish _5 dagiga 6.Mustahkamlash 7.O yga vazifa 0 dagiga dagiga Darsning borishi:.. O quvchilar davomati va darsga tayorligini tekshirish.. Frontal so rov o tkazish. a) Matematik induktsiya aksiomasi. b) Tengsizliklar va ayniyatlar matematik induktsiya aksiomasi yordamida qaysi sema bo yicha bajariladiq v) Matematik induktsiya usuli biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli degan tasdiq to g rimiq Noto g ri bo lsa isbotlang.. Hulosa Matematik induktsiya usuli : ) Tasdiqning n da to g riligini ko rsatamiz (induktsiya bazisi) ) Tasdiq, n k da to g ri deb faraz qilamiz (induktsiya farazi ) ) Qilingan farazdan foydalanib tasdiq n k + da ham to g ri bulishligini ko rsatamiz (induktsiya qadami). Misollar yechish. 5.8 Quyidagi ayniyatni isbotlang:

29 х х + х n х 6.8 Quyidagi shartlar berilgan х n a 0 0, a, a n+ a n + a n-, n n a n+ a n+ a n a n+ (-) n, bo lishini isbotlang Tengsizliklarni isbotlang: a) b) n + n + n + 5 n... q 6 n > n + 8. Tenglikni to g riligini hisoblang: ( n - ) n 0 + (n - 5 ) n+ 9. n N da a) n + n ning 6 ga; b) 7 n + n ning 9 ga karrali ekanini isbotlang.. Talabalar savollariga javob berish. Mustaqil ish qator qator Tengsizlikni hisoblang. n N da. n N da 5 n > 7 n - n > n + n. n N da berilgan songa karrali ekanini isbotlang. 5 n - n + n ning ga. n + 5 n - ning 9 ga 7. Uyga vazifa 7.9 (v) [] II bob, bet [] Y bob, bet Asosiy adabiyotlar.. A.A.Abduamedov va boshqalar Algebra va matematik analiz asoslari, I қ., O`qituvchi T.,00-6b.. A.Meliqulov va boshq.

30 Matematika I қ., O`qituvchi T.,00-0b. Qo`shimcha adabiyet.. M.L.Galitskiy va boshq. Algebra va matematik analiz kursini chukur urganish Mavzu: y sin va y cos funksiyalar va ularning ossalari. Yangi mavzu bayoni Ta rif: y sin va y cos funksiyalar mos ravishda sinus va kosinus deb ataladi. Bu funksiyalarning aniqlanish sohalari barcha haqiqiy sonlar to plamidan iborat, ya ni D(y) R. Qiymatlar sohasi esa [ -; ] kesmadan iborat, chunki birlik aylananing nuqtalari ordinata va absissalari dan gacha barcha qiymatlarni qabul qiladi. Demak, D (sin) D (cos) R, E (sin) E (cos) [-;] Sinus va kosinus funksiyalarning ba zi ossalarini eslatib o tamiz, ya ni х К uchun quyidagilar o rinli bo ladi.. sin (-) -sin toq, cos (-) cos juft.. sin ( n +) sin, cos (n +) cos п z davriy T Sinus va kosinus funksiya ossalaridan foydalanib ularning grafigini сhizamiz.. y sin funksiyaning grafigi sinusoida deb ataladi. Sin davriy funksiya va uning asosiy davri ga teng, toq funksiya. Funksiya davriy bo lgani uchun uning grafigini [0; ] kesmada yasaymiz. Buning uchun OY o qiga ( 0;-) va ( 0;) nuqtalarni, OX o qida esa ga teng nuqtani belgilaymiz. [0; ] kesmani va birlik aylanani teng qismlarga ajratamiz. Grafikning α absissali nuqtasini yasash uchun esa sinusning ta rifidan foydalanamiz. Birlik aylanada P α nuqtani belgilaymiz va OX o qiga parallel to g ri chiziq o tkazamiz bu to g ri chiziqning α chziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasi izlanayotgan nuqta bo ladi. Xuddi shu usulda qolgan nuqtalarni hosil qilamiz va bu nuqtalarni egri chiziq bilan tutashtirib y sin funksiyaning [ 0; ] kesmadagi grafigini hosil qilamiz. Funksiya davriy bo lgani uchun hosil bo lgan grafikning qismini ±, ± ; ± 6,... parallel ko chishlar yordamida y sin funksiyaning grafigi sinusoidani hosil qilamiz. Ordinatalar o qining [-;] kesmasi sinuslar chizig i ham deyiladi, bu kesma yordamida sinusning qiymatlari topiladi. y -/ - -/ 0 / / y cos funksiya grafigini yasash uchun cos sin(+ ) ekanligidan foydalanamiz. Demak, kosinusning itiyoriy 0 nuqtadagi qiymati sinusning 0 + nuqtadagi qiymatiga teng. Kosinus funksiya ham davriy ( T ) bo lgani uchun grafigi sinus grafigini o o qining manfiy yo nalishi masofa qadar parallel ko chishdan iborat. Shu sababli y cos funksiyaning grafigi ham sinusoidadan iborat. y

31 -/ - -/ 0 / / Bu grafiklardan y sin va y cos funksiyalarning o sish va kamayish oraliqlarini yaqqol ko rish mumkin. y sin funksiya (- +n ; +n ) o sadi, ( +n ; +n ) kamayish. y cos funksiya ((n-) ; n ) o sadi, (n ; (n+) ) kamayadi. п Ζ Ikkala funksiya uchun ham y- min, y ma qiymat. Misol. y -sin funksiya grafigini yasang. y -sin funksiya grafigini yasash uchun y sin funksiya grafigidan foydalanamiz. Buning uchun sinusoidani OY o qiga nisbatan birlik cho zib, OX o qi atrofida 80º ga burish kerak. ysin y -/ - -/ 0 / / y-sin -/ - -/ 0 / / - Mustahkamlash uchun mashqlar.. A.Abduhamidov Algebra va matematik analiz asoslari II tom.6. Funksiya grafigini yasang. a) y cos Yechish: -/ - -/ 0 / / -

32 b) y sin(+ ) -/ -/ -/ 0 / / / 5/.67. Quyidagi funksiyalarni ossalarini aniqlang va grafigini yasang. a) y sin d) y cos j) y sin+ b) y cos e) y sin i) y cos- c) y sin f) y cos k) y sin 0,5+ l) y cos- Test topshiriqlari.. y sin(+) funksiya davrini toping. a) b) c) d) e) 5х 5. y cos ( ) funksiyaning eng kichik musbat davrini aniqlang. a) 5 b) c) d) 5 e) 5,5 -/ - / / / -,5. Rasmda quyidagi funksiyalardan qaysi birining grafigi tasvirlangan. A.,5 sm (+ ) D),5 sin ( - ) B.,5sm ( - C.,5sm ( + ) ) E),5 sin (- ). y sin х funksiya eng kichik musbat davrining y cos8 funksiya eng kichik musbat davriga nisbatini aniqlang. a) b) c) 0 d) 8 e) 6 5. Quyidagi sonlardan eng kattasini aniqlang. a) sin 70º b) sin 0º c) sin (-0º) d) sin (-50º) e)sin00º

33 Mustaqil ish. Funksiya grafigini yasang y cos+/. quyidagi funksiyalar aniqlanish sohasini toping. a) y/sin b) y/(-cos) Uyga vazifa.65. Funksiyalar ossalarini aniqlab grafigini chizing..y sm( х ). y cos( -) Mavzu: y tg va y ctg funksiyalar va ularning ossalari. Yangi mavzu bayoni y tg funksiyaning ossalari.. D (y) { х + к } chunki y tg. E(y) ( - ; ). Funksiya toq y tg. Davriy T sin cos y(-) sin cos cos+0 sin( ) sin y cos( ) cos k + Grafigini yasash uchun ( 0; ) oraliqda yasash so ng uni koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik akslantirish va absissalar o qi bo yicha к ( к Ζ ) qadar surish kerak. Markazi O (-;0) nuqtada bo lgan birlik aylananing AC yoki teng uzoqliklarda olingan B,B nuqtalar bilan bir nechta teng bo lakka bo lingan bo lsin. Bu nuqtalar va O nuqtadan o tkazilgan O B,O B, to g ri chiziqlar Al tangenslar chizig I bilan T, T,.. nuqtalarda kesishsin. Chizmaga qaraganda AT tg 6, AT tg, T, T nuqtalardan o o qiga parallel va, nuqtalardan o y o qiga o tkazilgan parallel to gri chiziqlarning kesishish nuqtalari bo lsin. 6 Ular ustidan o tadigan to g ri chiziq y tg funksiyaning grafigi (tangensoida) bo ladi. 0 Grafik to g ri chiziqqa tomon yaqinlshganida yuqoriga cheksiz ko tariladi. Demak, y tg funksiya o zining aniqlanish sohasida o suvchidir. y ctg funksiya ossalari. cos. D(y) { х к } к Ζ ctg sin 0 k, к Ζ sin. E(y) R ( - ; ) cos cos( ) cos. Funksiya toq y ctg y (-) y sin sin( ) sin

34 . Davriy T y ctg funksiya grafigi ham uddi yuqoridagi usulda yasaladi. y ctg funksiya grafigi kotangensoida deb ataladi. y ctg funksiya o zining aniqlanish sohasida kamayuvchi. Mustaqil ishlash uchun mashqlar.. Quyidagi funksiyalar grafiklarini yasang..69 a) y ctg d) y ctg i) y tg b) y ctg ( - ) e) y сtg k) y tg(+ ) c) y ctg х m) y tg 6 j) y tg х n) y [ сtg ] l) y ctg х v) y {ctg} p) y [tg ].Funksiya grafigini yasang.. y tg (+ ). y +tg Test topshiriqlari..quyidagi funksiyalar uchun eng kichik musbat davrini toping. y tg, y ctg6, y cos(+) y sin(6+) a) b) c) d) e) 6.Quyidagilardan qaysi biri toq. a) y х *cos b) y хctg c) y sin tg d) y ctg e) y e.funksiyaning eng kichik musbat davrini toping. х y sin + cos tg a) b) c) d) e).y ctg + tg funksiya davrini toping. a) 6 b) c) d) e) Ushbu tg, y sin, z tg sonlar uchun quyidagilarni qaysi biri o rinli a) z > y > b) > z > y c) y > > z d) > y > z e) y > z > Xulosa darsda faol qatnashgan o quvchilarning baholarini izohlab e lon qilaman. O quvchilarning tushunmagan savollariga javob beraman. Uyga vazifa. Quyidagi funksiya ossalarini aniqlab, grafigini yasang. ) y tg ) y tg ( - ) ) y ctg ) y ctg ( - 6 ) Mavzu: Trigonometrik funksiyalar yig indisini kop aytmaga keltirish. Yangi mavzu bayoni.

35 Trigonometrik funksiyalar yig indisini ko paytmaga almashtirish formulalarini keltirib chiqaramiz. sin ± siny? cos ± cosy? tg ± tgy? ctg ± ctgy? ) sin ± siny? Bizga ma lumki ikki burchak yig indisi va ayirmasining sinusi quyidagiga teng edi. Sin ( α + β ) sin αсos β + cosα sin β () Sin ( α β ) sin αсosβ - cosα sin β () O ng tomonlarini hadma-had qo shib chiqamiz. Sin ( α + β ) + Sin ( α + β ) sinα cos β () bu yerdan α + β х α β у х + у х у almashtirish olamiz bunga α β bu qiymatlarni () ga eltib qo yamiz. va izlanayotgan formulani olamiz х + у х у sin + sin y sin cos ().sin sin y? () () > + y sin ( α + β ) sin ( α β ) sin β сosα sin + sin y cos y sin (5). cos + cos y? cos ( α + β ) cosαсos β sinα sin β (6) cos ( α β ) cosα cos β sinα sin β (7) (6) + (7) + y y сos( α + β ) + cos( α β) cosα cos β cos + cos y cos cos (8).cos - cos y? (6) (7) cos( α + β ) - cos( α β ) - + y y + y y sinα sin β cos cos y sin sin sin sin (9) Misol: cos 5º + cos 5º cos сos cos0 cos5 5. tg + tg y? sin sin y sin cos y + cos sin y sin( + y) tg + tg y + cos cos y cos cos y cos cos y,y + k k z sin tg tg y cos y + k k z sin cos y y sin cos y sin y cos cos cos y sin( y) cos cos y Quyidsagi formulalar ham shu tartibda keltirib chiqariladi. sin( + y) ctg + ctg y,,y k, k z sin sin y sin( y) ctg ctg y,,y k, k z sin sin y Misol: u + v + w bo lsa ctg u +ctg v - ctg w bo lishini isbotlang.

36 Yechish: ctg u +ctg v - ctg w ctg u + ctg v tg ( - (u+v) ctg u +ctg v + tg(u+v) sin( u+ v) sin( u+ v) sin( u+ v)cos( u+ v) + sin( u+ v)sinusinv sin( u+ v)(cos( u+ v) + sinusinv) + sinusinv cos( u+ v) cos( u+ v)sinusinv cos( u+ v)(sinu sinv) sin( u+ v)cosu cosv ctguctgvtg ( u+ v) ctguctgvtg ( w) ctguctgvtg w cos( u+ v)sinusinv Mustahkamlash uchun mashqlar.. Abduhamidov A Algebra va matematik analiz asoslari II tom.07. Hisoblang. 0 0 сos80 cos 0 ) cos 80ºcos 0ºcos 0º ) 0 sin0 ) tg 5ºtg 55º 5. sin 76º - sin 6º.08 a) cos º + cos 7º b) sin 8º + cos 5º c) sin cos Ayniyatni isbotlang. sin( t + s) sin( t s) ) ctgtctgs sin( t + s) + sin( t + s) t s. ( +sint sin s + cos t cos s ) cos tg 0º + tg 0º + tg 80º - tg 60º 8cos 50º Test topshiriqlari. сos6α cos α.? sin 5α a) sin α b) cos α c) cosα d) sinα e) sinα sin α sin 6α.Soddalashtiring. cos5α a) sin α b) sinα c) cosα d) sinα e) cosα.sin 75º - sin 5º? a) b) α sin α sin α b) cos α + сos.? α cos α a) tg 6 5.cos + cos + cos? c) d) e) c) - ctg α a) -/ b) ¼ c) / d) d) sin α e) e) tg α Xulosa Dars davomida faol qatnashgan o quvchilar bahosi izohlab qo yiladi. O tilgan mavzu qisqacha takrorlanadi. Uyga vazifa.. 0 ) cosα + cos α + cos α +.+ n cos n α