O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI O`RTA MAXSUS KASB-HUNAR TA`LIM MARKAZI

Transcript

1 O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI O`RTA MAXSUS KASB-HUNAR TA`LIM MARKAZI SAMARQAND VILOYAT HOKIMLIGI O`RTA MAXSUS KASB-HUNAR TA`LIM BOSHQARMASI Alisher Navoiy omidagi Samarqad davlat uiversiteti Oqdaryo xizmat ko`rsatish kasb-huar k o l l e j i R. Muxammadiyeva, H.X.Ro zimuradov Matematik termilarig izohli lug ati (Umumta`lim maktablarig yuqori sif, akademik litsey, kasb-huar kollej o`qituvchilari va o`quvchilari uchu o quv-uslubiy qo`llama) Samarqad 00 yil

2 Muxammadiyeva R., Ro zimuradov H.X. Matematik termilarig izohli lug ati. (Umumta`lim maktablarig yuqori sif, akademik litsey, kasb-huar kollej o`qituvchilari va o`quvchilari uchu o quv-uslubiy qo`llama). - Oqdaryo xizmat ko rsatish kasbhuar kolleji ashri, 00 yil. 44 bet. Taqrizchilar: Abduhamidov A.U. SamDU dotseti. Nasimov H.A. - Samarqad viloyat hokimligi o`rta maxsus kasb-huar ta`lim boshqarmasi bo lim boshlig i 3

3 So z boshi Aqliy zakovat va ruhiy-ma aviy salohiyat ma rifatli isoig ikki qaotidir. I.Karimov Mustaqil O zbekistoimizig o qituvchi va o quvchilariga taqdim etilayotga bu qo llama, eg muhim matematik termilari to plam va ularig zamoaviy ochib berish masalasii o z oldiga maqsad qilib qo yga. Ilgari ashr qiliga termiologik lug atlar termilariig tarkibi jihatda ham, ularig talqi etilishi jihatida ham eskirib qolga bo lishi bila birga kamyob ham bo lib qolga. Fikrimizcha, bu masala juda muhimdir va ayiqsa matematik metodlar faig turlituma bo limlariga kirib borayotga xalq xo jaligida keg qo llailayotga hozirgi zamoda bu masala alohida ahamiyat kasb etadi. Shu muosabat bila akademik lisey va kasb-huar kolledjlari programmasiga oliy matematika elemetlari kiritilayotir. Akademik lisey va kasb-huar kolledjlari sifat jihatida o zgarmoqda. Yagi programmalar o qituvchi va o quvchilarda oliy matematikai acha keg bilishi va matematika taraqqiyotiig bosh yo alishlarii tasavvur qila bilishi talab etadi. Qo llamai yozishda elemetar matematikada oliy matematikaga o tishda yuz beradiga prisipial yagi jihatlarga qaratishga itildik. Matematika termilari akademik lisey va kasbhuar kollejlari programmasida birmucha kegroq bayo qiliadi. Uchrab turadiga tushucha, teorema, metodlari ularig matiqiy tomoiga e tibor berib talqi qilishga itildik. Odatda qulay talab oliga termi yoki belgi (simvol) faig qaratilayotga sohasidagi biror bhlimig o zlashtirishii tezlashtiradi va osolashtiradi, oqulay o ylab topilga termi yoki belgi (simvol esa azariyaig) o zlashtirishii qiyilashtirib yuboradi. Fa va texikaig taraqqiy etishi bila termilarig bir qismi eskirib qolga, shaklii o zgartirga yoki qo llamay qolib ketmoqda. (Masala, isbiy solar, variata, to plamlar ko paytmasi va boshqalar): ayi vaqtda boshqa yagi termilar paydo bo lmoqda. 4

4 Termilar, shu jumlada bir echa so zlarda iborat bo lga termilar ham lug atda alfavit tartibi bila joylashtirildi. Leki lug atda foydalaishi qulaylashtirish uchu ko p so zli termilarda, masala uqta, teorema, metod so zlari qatashga termilarda bu so zlar termiig oxiriga qo yildi. 5

5 Matematik termilarig izohli lug ati A Absolyut miqdor.- Haqiqiy x soiig absolyut miqdori ( x bila belgilaadi) mafiy bo lmaga so bo lib, quyidagicha aiqladi: agar x 0 bo lsa, u holda x = x ; agar x < 0 bo lsa, u holda x = x. Absolyut miqdor ta rifida quyidagi muosabatlar kelib chiqadi: a = a ; a = a = a ; a b a + b a + b a b = a b ; a b a = ; b 0. b Agar so kompleks, ya i z = a + bi bo lsa, z = a + b bo ladi. z 0. Algebraik fuksiya. y = f ( x) bo lib, bu fuksiya F( y, x ) ko phad 5 + x mavjud. Masala: y = f ( x) = x 5 + x Algebraik ifoda: Algebraik amallar (Qo shish, ayirish, ko paytirish, bo lish, butu darajaga ko tarish va butu ko rsatkichli ildiz chiqarish) ishoralari va ehtimol bu amallarig ketmag ket bajarilishii ko rsatuvchi ishoralar. 3 Masala: ) a + b c ab - butu algebraik ifoda. ) ab c - kasr algebraik ifoda. a Algebraik so. Butu rasioal koeffisiyetli ko phadig ildizi G.Kator AC solar to plami saoqli to plam tashkil qilishii ko rsatadi. Aaliz Tahlil oma lumda ma lumga, izlaayotga berilgaga o tish yo li bila fikr yoki isbotlash metodi (usuli). Ati parallel to g ri chiziqlar. Agar a va b to g ri chiziqlar KOL burchak tomolari bila bir xil burchaklar hosil qilsa, a va b to g ri chiziq KOL burchakig tomolariga isbata atiparallel to g ri chiziq deyiladi. 6

6 0 Apofema. Mutazam ko pburchakig apofemasi mutazam burchakig markazida uig biror tomoiga tushirilga perpedikulyarig uzuligi. Arifmetika. Hisob solar va ular ustida bajariladiga amallar haqidagi fa. Arifmetikada birichi avbatda atural va kasr solar o rgailadi. Arifmetika iso bilimiig eg qadimgi tarmoqlarida biridir. Arifmetik progressiya. Solar ketma-ketligi bo lib, uig ikkichi soida boshlab har bir soi oldigisiga hamma hadlar uchu o zgarmas bo lga va arifmetik progressiyaig ayirmasi deb ataladiga d soii qo shishda hosil bo ladi. Agar arifmetik progressiyaig birichi hadi a bo lsa, u holda arifmetik progressiya buday ko riishda bo ladi: a, a + d, a + d,..., a + d,... Arifmetik progressiyaig -hadi a = a + ( ) d formula. Arifmetik progressiya dastlabki ta hadi yig idisi: a + a S =. Arifmetik proporsiya a b = c d ko riishdagi teglik. Arifmetik ildiz. Mafiy bo lmaga soig juft yoki toq darajali 3 ildizig mafiy bo lmaga qiymati. Masala: 4 6 =. 7 - mavjud emas. Arifmetik o rta qiymat. Bir echa a... a a soig arifmetik o rta a + a a qiymati deb soga aytiladi. Arifmetik so Har qaday mafiy bo lmaga so. Har qaday so arifmetik so deb qaraladi. Algebrada faqat musbat solar va olgia emas, balki mafiy solar hali o rgailadi. 7

7 Arkkosius kosiusga teskari fuksiya. Arccos -belgilaadi. arccos( x) = π arccos x. 0 arccos x π x. Misol: arccos = π arccos ya i: π arccos = 3 ; Arksius siusga teskari fuksiya. π π arcsi x ; x. arcsi = arcsi ; π Arcsi = ( ) + π. 6 Misol: Arc si belgilaadi. 8

8 4 Bikvadrat teglama ax + bx + c = 0 ko riishdagi teglama. a 0 bikvadrat teglama uchhadli teglamaig xususiy holi bo lib, 4 x + y y bila almashtirib yechiladi. Almashtirish ax + bx + c = 0 ; x = y. b ± b 4ac x,,3,4 = ± a Biom ikkihad dega ibora bila bir xil ma oi aglatadi. Bu teorema bi -ikki dega so z bila grekcha omos soha qism had dega so zlarda hosil bo lga. Burchak bissektrisasi. Burchakig uchida chiqqa va burchaki teg ikkiga bo ladiga yarim (tekislik) to g ri chiziq (ur) burchak bissektrisasi burchakig simmetriya o qidir. Bissektrisiya uchburchagi. Uchburchakig ichki burchagi bissektrisiyasiig kesmasi bo lib, bu kesmaig bir uchi bu burchak uchida bo lib, ikkichi uchi burchak bissektrisasi bila uchburchak ichki chizilga aylaaig (ichki chizilga doiraig) markazida kesishadi. Uchburchak bissektrisalarig kesishish uqtasi uchburchakig to rtta ajoyib uqtasida biridir. Turli tomoli har qaday uchburchakda uchburchak bissektrissasi ayi bir uchda chiqqa baladlik bila media orasiga joylashga bo ladi. Teg yoli uchburchakda uchburchak bissektrisasi teg tomolar orasiga joylashga bo lib, ayi vaqtda uchburchakig ham baladligi ham mediaasi, ham uig simmetriya o qi bo ladi. B Vadermod determiati - Misol K a a a a 3 a a a a 3 M M M M a a a a 3 Б = 5 7 = (7 5)(7 )(5 ) = 5 3 =

9 Vektor. To g ri chiziqig yo alishga ega bo lga kesmasi, ya i uchlarida biri vektorig boshi deb, ikkichisi esa vektorig oxiri deb ataladiga kesma. Vektor hisobi. Matematikaig vektorlar ustida bajariladiga turli amallar o rgauvchi bo limi. BA = a b ya i ikki vektorig a b ayirmasi ayriluvchi b vektorig oxirida kamayuvchi a vektorig oxiriga qarab yo alga vektor kabi aiqlaadi. ( a) va b) rasmlar. Vertikal burchaklar. Karamag karshi burchaklar vertikal burchaklar bo ladi. Vertikal. To g ri chiziqig ikkita g zaro perpedikulyar tekislikdagi proyeksiyalariig tekshirgada proyeksiyalarig vertikal tekisligiga parallel bo lib, leki proyeksiyalarig gorizotal tekisligiga perpedikulyar bo lmaga tug ri chiziq. Viyet formulasi. = bo lga xususiy holda ikkichi darajali x + px = q ko phad uchu Viyet formulasii hosil qilamiz. a + a = p, a a = q. Gamma fuksiya. x s x S e ds 0 Г. Γ ( ) = formula bila aiqlaadiga fuksiya. Garmoik proporsiya. a : c = ( a b) : ( b c) ko riishdagi proporsiya bo lib, buda birichi so yoki kesma uchichi soga qaday isbatda bo lsa, birichi so bila ikkichi so ayirmasi ikkichi so bila uchichi so ayirmasiga shuday isbatda bo ladi. Garmoik proporsiyadagi b so a va c solarig garmoik o rta qiymatidir: b = H ( a, c) 0 ac b = a + c

10 Garmoik aaliz: matematikaig fuksiyalari trigoometrik qator va itegrallarga yoyishga bag ishlaga bo limi. Davri π bo lga ixtiyoriy davriy f ( x ) silliq fuksiyai trigoometrik qator shaklida tasvirlash mumki: a 0 f ( x) = + a cos x + b si x. = Garmoik qator. Hadlari atural solar qatoridagi solarig teskarisida iborat bo lga L + + L soli qator. 3 Garmoik o rta qiymati: va a, a, K a ( ) musbat soig garmoik o rta qiymat. ga teg bo lga so. + + L + a a a Garmoik urta qiymat a, a, K, a solarig o rta qiymatida iborat. Gauss lemmasi ko phadlarig keltiriladiga bo limi haqida Gauss lemmasi buday ta riflaadi. Agar butu soli ko phad rasioal solar maydoida keltiriladiga bo lsa, bu ko phad butu solar halqasida ham keltiriladiga bo ladi. Ba za bu lemma Gaus teoremasi deb ataladi. Gauss formulasi. Aiq itegrallari taqribiy hisoblash uchu ishlatiladiga quyidagi formula: b [ ] f ( x) dx = ( b a) A f ( x ) + A f ( x ) + K + A f ( x ) a Geometrik progressiya Ikkichi hadida boshlab har bir hadi mazkur progressiya uchu o zgarmas bo lga biror q (progressiya maxrajiga) oldigisii ko paytirishda hosil bo ladiga solar ketmaketligi geometrik progressiyaig umumiy ifodasii buday yozish mumki: a, aq, aq, K, aq, K buda a -biror had q -geometrik progressiya maxraji. Geometrik progressiyaig dastlabki ta hadiig yig idisi quyidagi formula bila ifodalaadi: a aq S = q

11 Agar q < bo lsa, hadlariig soi cheksiz ko p bo lgada a ( ) S yig idi aiq S = limitga itiladi, bu hol quyidagicha q yoziladi: a a + aq + aq + K + aq + K = q Bu teglikig chap tomoi geometrik qator deb ataladi va quyidagi ko riishda yoziladi: aq. = Geometrik o rta qiymat - ta musbat a, a, K, a solarig geometrik o rta qiymati deb, bu solar ko paytmasida oliga darajali arifmetik ildizga aytiladi. G a a a3 a = L yoki a. i= i Geometriya Dastlab geometriya shakllar haqidagi, ularig turli qismlariig o zaro joylaishi va o lchamlari haqidagi shakllarig almashtirilishi haqidagi fa deb qaralar edi. Grek-yer, metro-o lchayma so zlarida oliga bo lib, lug aviy ma osi yer o lchash demakdir. Gero formulasi uchburchak yuzii uig uch tomoi orqali ifodalovchi formula: S = p( p a)( p b)( p c) Buda S -uchburchakig yuzi, a, b, c- tomolari, p -yarim a + b + c perimetriya, ya i p =. Giperbola Doiraviy kousi uig ikkita yasovchisiga parallel tekislik bila kesishda hosil bo ladiga egri chiziq. Giperbolai x y xossasii quyidagicha yozish mumki: =. a b

12 Gomotetiya Tekislik yoki fazoig har bir M uqtasiga M ' uqtai mos qilib qo yadiga shuday almashtirishki, buda SM ' = SM K tekislik qaoatlatiradi, bu yerda S -berilga uqta bo lib, gomotetiyaig markazi deyiladji, K esa olga teg bo lmaga o zgarmas so. Bu so gomotetiyaig koeffisiyeti deyiladi. K > 0 da M va M ' uqtalar boshi S uqtada bo lga bitta urda yotadi. (- rasm) K < 0 da M va M ' uqtalar to g ri chiziqig boshi S uqtada bo lga turli urlarda yotadi. (-b. rasm) Gorizatal Proyeksiyalarig gorizatal tekisligiga parallel bo lga va proyeksiyalarig vertikal tekisligiga perpedikulyar bo lmaga to g ri chiziq. Д. Dekart koordiatalar sistemasi Tekislik yoki fazodagi to g ri chiziqli koordiatalar sistemasi bo lib, uda o qlardagi masshtablab bir xil o qlar bo yicha yo alga vektorlar uzuligi teg. Determiat g Aiqlovchi. Diagoal Ko pburchakig diagoali ko pburchakig bir tomoiga tegishli bo lmaga ikkita uchii tutashtiruvchi to g ri chiziq kesmasi. Har qaday burchakig diagoallari soi C kombiasiyalar soi bila uig tomolari soi ayirmasiga teg: ( ) ( z) = Diametr. Yoqig figuraig diametri vatarlarig eg kattasi. Grekcha diametro ko dalag o lcham dega ma oi bildiradi. Diskrimiati. ax + bx + c uchhadig diskrimiati Д = b 4ac sodir. Buda a 0 va a, b, c, - haqiqiy solar. Agar uchhadig D > 0 3

13 bo lsa, uchhadig ta ildizi haqiqiy va har xil, D = 0 bo lsa, ta haqiqiy ildizga ega, D < 0 bo lsa, uchhad ildizga ega emas. Differesial teglmalar oma lum fuksiyalar, ularig har qaday tartibli hosilalari va erkli o zgaruvchilari o z ichiga olga teglamalar. Oddiy differesial teglamalar ichida eg soddasi - tartibli teglama, ya i F( x, y, y ') = 0 yoki y' = f ( x, y). Differesiallash Hosila, xususiy hosila to la differesiallari hisoblash. E Yevklid algoritmi Butu solar va bir o zgaruvchili ikki ko phadig eg katta umumiy bo luvchisii topish usuli. Dastlab Yevklidig Asoslar kitobida ikki kesmaig umumiy o lchovii topish usuli sifatida geometrik shaklda bayo qiliga edi. Butu solar halqasida ham, bir o zgaruvchili ko phadlar halqasida ham eg katta umumiy bo luvchii topishig Yevklid algoritmi halqalaridagi biror umumiy algoritmig xususiy holidir. Butu solar uchu Yevklid algoritmi quyidagida iborat: a va b-solar butu solar va a b bo lsi deb faraz qilamiz. Uda a i b ga qoldiq bila bo lamiz: to liqmas q bo lima va r qoldiq hosil bo ladi, buda 0 r b. Buda keyi r ga qoldiq bila bo lamiz: to liqmas bo lima q va r qoldiq hosil bo ladi. 0 r r so gra r i r ga qoldiq bila bo lamiz va h.o. shuda quyidagi tegliklar hosil bo ladi: a = bq + r (0 r < b) b = r q + r (0 r < r3 ) r = r q + r (0 r < r ) r = r q + r (0 r < r ) r = r q + r ( r = 0) Buda bir qacha qadamda keyi olga teg bo lga ( r + = 0) avbatdagi qoldiq hosil bo ladi, chuki qoldiqlar ketma-ketligi mafiy bo lmaga butu solarig kamayuvchi ketmag ketligi, ya i b > r > r > K > r > r + bo lgai uchu va, chekli sodagi qoldiqlarda so g ol bila tugashi kerak. Bu holda a va b solarig eg katta umumiy bo luvchisi ketma-ket bo lishig () sxemasidagi olda farqli eg keyigi r qoldiqqa teg bo ladi. 4

14 Misol keltiramiz: 98 = = = = Nolda farqli eg keyigi qoldiq 7; shuig o zi 98 va 378 solariig eg katta umumiy bo luvchisidir. Yevklid geometriyasi Absolyut geometriya aksiomalari va parallel chiziqlar haqidagi Yevklid aksiomasiga asoslauvchi geometriya. Yevklid fazosi xossasi absolyut geometriya aksiomalari va Yevklidig parallel to g ri chiziqlar haqidagi postulati (aksiomasi) bila ta rif qiliadiga fazo. 3 Zich to plam - P to plamig har qaday uqtasiig har qaday atrofida M to plamig uqtasi topilsa, M to plam topologik P M fazoda zich to plam bo ladi. Masala: Rasioal solar to plamig barcha haqiqiyo solar to plamida zich to plam bo ladi. P = M bo lga holda M to plam o zida zich to plam deyiladi. И Ildiz chiqarish Darajaga ko tarishga teskari bo lga algebraik amal. Ildiz chiqarish berilga daraja va uig berilga ko rsatgichiga qarab daraja asosii izlashda iborat. Agar = bo lsa, -darajali a ildiz kvadrat ildiz deb, = 3bo lgada 3-darajali 3 a ildiz kub ildiz deb ataladi. Arifmetik ildizlari topishda ko picha uig rasioal yaqilashmalarida ya i, ildiz jadvali, hisob (logarifmik) chizg ichi, taqribiy formulalar bioial qatorlar va boshqalarda foydalaadi. Ikosaedr Yigirmayoq. Mutazam ikosaedr mutazam ko pyoqlarig beshta tipida biri bo lib, uig 0 uchburchakli yog i, uchi va har bir uchida beshtada uchrashuvchi 30 qirrasi bor. Mutazam ikosaedr dodekaedrga muosibdir. Agar mutazam dodekaedr yoqlariig markazii mutazam ikosaedrig uchi deb olisa, ui mutazam dodekaedrda hosil qilish mumki. 5

15 Ismli so qaralayotga miqdorig o lchov birligi omi bila 0 birga ko shib yozilga so, masala 5 m (besh metr) (ikki gradus), 3 ga (uch gektar) 40 cm (qirq kvadrat satimetr). Ideks Bir xil simvollar bila belgilaga ifodalari farqlatirib turadiga so, harf yoki boshqa belgi. Masala: i x0, x, y, z 4; Loticha idex ko rsatgich dega ma oi bildiradi. Iduksiya Iduktiv metod. Xususiy xulosaga asoslaib umumiy xulosa chiqariladiga, ya i ayrim xususiy faktlarga asoslaib umumiy xulosa chiqariladiga fikr yuritish metodi. Iduksiyaga misol: Ikki oma lumli chiziqli teglamalarda bir qachasiig masala, x y + 3 = 0 va x + y + 4 = 0 teglamalarig grafiklarii yasab va bu teglamalarig to g ri burchakli dekart koordiatalari sistemasidagi grafiklari to g ri chiziq ekaligiga ishoch hosil qilib, biz ax + by c = 0 ko riishdagi har qaday teglamaig o sha koordiatalar sistemasidagi grafigi to g ri chiziq bo ladi dega xulosaga kelamiz. Matematik iduksiya Matematikadagi muhim isbotlash metodlarida biri bo lib, matematik iduksiya aksiomasiga (prisipiga) asoslaadi. Matematik iduksiya aksiomasi quyidagicha: Aytaylik = bo lgada + soiig ham shuday A xossasi bo lishi kelib chiqadi. Bu holda A xossa har qaday atural so uchu o rili bo ladi. Misol: quyidagi formulaig to g ri ekaii isbot qilamiz: ( + ) K + =, + bo lgada, tekshirishig ko rsatishicha, formula to g ri bo ladi () formula biror = k uchu ham o rili bo lsi deb faraz qilamiz. Matematik iduksiya arifmetik va geometrik progressiya formulalarii, logarifmlari o rgaishda uchraydiga formulalari, Nyuto biomi va kambiatoriga loir formulalari chiqarishda va h.o.da keg qo llailadi. Iersiya qoui. Haqiqiy kvadratik formulalarig iersiya qoui quyidagida iborat. Maxsusmas chiziqli almashtirish yordamida haqiqiy koeffisiyetli ormal ko riishga keltirilga kvadratik formadagi musbat va mafiy kvadratlar soi bu 6

16 almashtirishga bog liq emas. Bu jumla haqiqiy kvadratik formalar azariyasiig asosiy teoremalarida biridir. Itegral g Matematik aalizig muhim tushuchasi. f ( x ) fuksiyaig aiqmas itegrali ( f ( x) dx bila belgilaadi) shuday F( x ) fuksiyalar to plamidirki, ularig har bir uqtadagi hosilasi f ( x ) teg. Bu fuksiyalar f ( x ) uchu boshlag ich fuksiyalar deb ataladi va quyidagicha yozish mumki: f ( x) dx = F( x) + c f ( x ) fuksiyaig a dab gacha aiq itegrali f ( x) dx = F( b) F( a) ayirmaga aytiladi. Itegral to g ri chiziq Differesial teglama yoki differesial teglamalar sistemasiig yechimii tasvirlaydiga egri chiziq. Iformasiya - Iformasiya azariyasiig asosiy tushuchalarida biri. Irrasioal ifoda Radikal ildizda tashkil topga algebraik ifoda. 3 Masala: a + a + b; a ; a + a b va h.o. Irrasioal teglamalar. Noma lum so ishorasi ostida bo lga teglamalar. Masala: x = 5 va x + x = x 4 teglamalar irrasioal teglamalardir. Irrasioal teglamalar darajasi tushuchasi kiritilmaydi. Irrasioal teglamalari quyidagi metodlar bila yechamiz: ) Yordamchi oma lum kiritish metodi, ui kiritish atijasida irrasioal teglmai yechish masalasi raisoal teglamalar sistemasii yechishga keltiriladi. Masala: y + x = s. b a x y. x 4 S = = bila boshlasak, x = y ; y + x = S; x 4 = S sistemasii yechishga kelamiz. ) Radikali yakkalash va teglamaig har ikki tomoii kvadratga ko taramiz. 3) Teglamaig ikkala tomoii uig bir tomoida turga ifodaga qo shma bo lma ifodaga ko paytiramiz. Irrasioal solar Davriy bo lmaga cheksiz o li kasr ko riishida yoziladiga solar masala: ±0, ± ; 0 ± lg 5; ± si 3 va h.o. 7

17 Irrasioal solar p q ko riishda tasvirlamaydi. K Katet To g ri burchakli uchburchakig to g ri burchagiga yopishga ikki tomoda har biri. Buda to g ri burchakli sferik uchburchak deb faqat bitta to g ri burchakka ega bo lga uchburchakka aytiladi. AB va AC - katetlar. Kvadrat Ikki perpedikulyar koordiata o qi hosil qilga to rtta to g ri burchakda biri. Kvadrat koordiata burchagi yoki chorak ham deb ataladi. Kvadrat Ikki qo shi tomoi teg bo lga (buda barcha tomolariig tegligi kelib chiqadi) to g ri to rtburchak. Kvadrati uchlarida biridagi burchagi to g ri burchak bo lga rombdir. Yoki barcha tomolari va barcha burchaklari teg bo lga parallelogrammdir. Kvadrat teglama. ax + bx + c = 0 ko riishdagi teglama, buda a 0, a, b, c koeffisiyetlar haqiqiy yoki kompleks solar bo lishi mumki. Agar a = bo lsa, kvadrat teglama keltirilga kvadrat teglama deyiladi. U holda x + px + q = 0 ko riishda yoziladi. Agar b = 0 yoki c = 0 yoki b = c = 0 bo lsa, kvadrat teglama chala kvadrat teglama deyiladi. Kepler teglamasi. Bu teglama y asi y = x ko riishda bo ladi. Ui birichi marta I.Kepler osmo mexaikasi masalalari muosabati bila tekshirga. Kompleks kombiatorlik topologiyaig asosiy tushuchalarida biri topologik fazolar keg sifii o rgaish kompleksig topologik xossalarii o rgaishga keltiriladi. Kompleks to g ri joylashtirilga har xil o lchamli simplekslar to plamidir, ya i kompleksga tegishli bo lga har qaday ikki simpleks yoki kesishmaydi. 8

18 Har qaday simpleks bila birga kompleksga simpleksig barcha yoqlari ham tegishli bo ladi. Kompleksga simplekig eg katta o lchami kompleksig o lchami deyiladi. Masala, shtrixlaga ikki uchburchakda va AB, BC va ED kesmalarda tuzilga kompleksig o lchami ga teg. Kompleks solar Birichi marta tasvirlashda a + bi ko riishdagi ifodalardir. Buda a va b - haqiqiy solar i - biror simvol kompleks solari qo shish va ko paytirish, bo lish quyidagi formulalar bila beriladi: ( a + bi) + ( x + yi) = ( a + x) + ( b + y) i ( a + bi)( x + yi) = ( ax by) + ( ay + bx) i a + bi ax + by bx ay = +. i x + yi x + y x + y Kompleks solar ustidagi amallarda i = ekaligi kelib chiqadi. Masala, = i = ( )( ) =. Ba za kompleks solari trigoometrik shaklda yozish mumki: a + bi = ρ(cosϕ + isi ϕ) Kous sirti - l to g ri chiziq hamma vaqt qo zg almas (berilga) S uqtada o tib va qo zg almas SDE chiziqi kesib o tgada kous sirti hosil bo ladi. l to g ri chiziq kous sirtiig yasovchisi S -uig uchi SDE chiziq yo altiruvchisi deyiladi. 9

19 x + y z a c = 0 s 0 bo lgada yuqoridagi teglik o rili bo ladi. Kous Yopiq kous sirtiig ikki pallasida biri bila chegaralaga va S uchida o tmaydiga tekislik bila kesilga geometrik jism. Kousig yo sirti Sён = c l = π rl formula bila hisoblaadi. Buda l -yasovchi, r esa kous asosiig radiusi. Kous hajmi v = qh = π r h formula bila hisoblaadi, 3 3 buda h -baladlik. Kosakas - Trigoometrik fuksiyalarda biri bo lib, cosecx bila belgilaadi ( x -argumet) va quyidagi formula bila aiqlaadi: cosecx = si x kosekas hosilasi quyidagi formula bila cos x hisoblaadi: (cos ecx)' = = ctgx cosecx. si x Kosiuslar teoremasi Tekislikdagi trigoometriyaig kosiuslar teoremasi quyidagiga: Har qaday uchburchak ixtiyoriy tomoiig kvadrati qolga ikki tomoi kvadratlari yig idisida shu tomolar bila ular orasidagi burchak kosiusi ikkilaga ko paytmasi ayrilgaiga teg: c = a + b abcos c buda a, b, c - uchburchak tomolariig uzuliklari, c esa a va b tomolar orasidagi burchak. 0

20 Kotages Trigoometrik fuksiyalarda biri bo lib, ctg x ( x -argumet) orqali belgiladi va quyidagi formula bila aiqlaadi: cos x ctg x =. si x x = π ( = 0; ± ; ± ; K ) Hosilasi: Kotagesga teskari bo lga fuksiya arkkotages deyiladi. ( ctgx)' = si x bo ladi. Kotagesda oliga itegral: ctg x dx = l si x + c bo ladi. Kramer qoidasi Chiziqli teglamalar sistemasii yechish qoidasi. Determiat olda farqli bo lga oma lumli ta teglama sistemasi doimo yechimga ega. Misol. Sistemai yechamiz: x x + x = 3 x + 3x x = 3 x + x + 3x3 = 4 Kramer qoidasi bo yicha maxrajlarida turuvchi D determiati va mos suratlarda turuvchi D, D, D 3 determiatlari yozamiz:

21 D = 3 ; D = ; D = ; D = 3 ; D 0. x x D 3 D 0 = = ; x = = ; D 8 D 8 D 5 D 8 Л 3 3 = = Leybis-Nyuto teoremasi fuksiyai uig hosilasida oliga itegral orqali tasvirlash haqida teorema. agar f ( x ) uzluksiz differesiallauvchi fuksiya bo lsa, u holda: f ( x) f ( a) f '( t) dt x = Lemma Bir yoki bir echa teoremai isbotlash uchu ishlatiladiga yordamchi jumla. Logarifm. N soiig a asosga ko ra logarifmi deb shuday soiga aytiladiki, a asosi ( a > 0, a ) - darajaga ko targada N soi hosil bo ladi. N soiig a asosga logarifmi quyidagicha belgilaadi: log N a. Ta rifga ko ra, log N = a teglik a = N teglikka ekvivaletdir. Logarifmig asosiy xossalari kuyidagicha: a

22 log ( MN) = log M + log N a a a M loga = loga M loga N N k k loga N = k log a N; loga N = loga N k Л Limitlar azariyasi Hozirgi zamo matematik aalizig asosi bo lga azariyadir. Bu azariya limitlarig xossalarii o rgaadi va ularig mavjudlik shartlarii va qoidalarii belgilab beradi. Limitlar azariyasida limitlari hisoblashi yegillashtiradiga bir qator teoremalar bor: ig qiymati har qaday bo lgada x va y uchu x y tegsizlik o rili bo lsa, hamda x va y chekli lim x = a, lim y = b, limitlarga ega bo lsa, u holda a b buladi. x o zgaruvchilar ustida arifmetik amallar bajarish mumki. Agar lim a = a va lim b = b chekli limitlar mavjud bo lsa ( b 0), u holda limitlar mavjud bo ladi). a lim ( ) ; lim, lim a a ± b = a± b a b = ab = b b ( b 0 chekli M Matematik o qitish metodikasi O rta maktabda matematika o qitishig yo llari va metodlari haqidagi fa. Boshqacha aytgada matematika o qitishda yaxshi atijalarga erishish uchu o rta maktab o quvchilariga matematikai qaday o qitish kerakligi haqidagi fa. Mius Gorizotal chiziq shaklidagi matematik ishora bo lib, ayirish amalii yoki mafiy solari belgilashda qo llailadi. Loticha mius- kamroq dega ma oi bildiradi. 3

23 Miut Tekis burchaklarig o lchov birligi bo lib, gradusig bo lagiga teg. Miut qiyshiq shtrix bila belgilaadi. Masala: 60 Besh miutga teg α burchak quyidagicha yoziladi: α = 5'. Miutig /60 bo lagi sekud deb ataladi. Mavhum birlik (0,) ko riishdagi kompleks so. Mavhum birlik i harfi bila belgilaadi. Uig kvadrati - ga teg, ya i i = ; i = ; i = yoki: i =. ( -butu so). Mavhum birlik - ig kvadrat ildizi = ± i teglik orqali bog laga. Mavhum qismi - a + bi kompleks kompleks soig sof mavhum bi soi deyiladi, u holda b so mavhum qismi oldidagi koeffisiyet deyiladi. Mavhum so - a + bi kompleks so bo lib, buda b 0; a, b haqiqiy solar, ya i mavhum so b 0bo lgadagi z = a + bi kompleks so, a = 0; b 0 bo lgada a + bi mavhum so sof mavhum so deyiladi. Matematik jadvallar Biror fuksiyaig argumetlariig tegishli qiymatlari uchu hisoblab chiqarilga so qiymatlari. Buig eg sodda misoli hammaga bolaligida ma lum bo lga ko paytirish jadvalidir. Matematik jadvallar matematika, fizika, ximiya, astroomiya, texika va boshqa falarda har xil hisoblash ishlarida muhim yordamchi vositadir. Mutazam ko pyoq Hamma yoqlari mutazam teg ko pburchaklar va hamma ko p yoqli burchakli teg bo lga qavariq ko pyoq mutazam ko pyoq deyiladi. Mutazam ko pyoqig har bir uchida chiquvchi qirralari soi bir xil sodir. Yevklid mutazam ko pyoqig faqat bitta turi bor ekaligii isbot etga: Mutazam tetraedr, mutazam Geksaedr, mutazam oktaedr, mutazam dodakaedr, mutazam ikosaedr. 4

24 Natural geometriya Bizig moddiy uqta moddiy to g ri chiziq moddiy tekislik va boshqa moddiy geometrik obrazlarda olga tasavvurimiz asosida tuzilga geometriya atural geometriya ko rgazmali geometriya deb ba za tajriba geometriyasi deb ham ataladi. Natural geometriya maktabda geometriya o qitishig dastlabki bosqichlarida keg qo llailadi. Natural so har qaday butu musbat so atural sodir. Natural logarifm Asosi l = lim( + ) =,78K trassetdet so atural logarifm deyiladi va l N bila belgilaadi. Natural qator Butu musbat solarig o sib borish tartibida joylashtirilga ketma-ketlik atural qator deyiladi.,,3, 4, K,, K atural qator solari to plamiga ekvivalet bo lga har qaday to plam saoqli to plam deyiladi. Nol matrisa Butulay ollarda tuzilga matrisa ormal matrisa deyiladi. Nol matrisa matrisalar halqasida halqa oli rolii o yaydi. Nol vektor - uzuligi olga teg bo lga vektor yoki boshqacha aytgada, ol vektor boshi va oxiri ustma-ust tushadiga vektor. Nol vektori 0 r bila belgilaadi. Nol vektori tayili yo alishi yo q. Nol vektor vektorlar ustida amallar bajarishdagi mulohazalarimiz umumiy bo lishi uchu kiritilga: ikkita qarama-qarshi vektori ko rishda yoki vektori λ = 0 soga (skalyarga) ko paytirish atijasida biz skalyar emas, balki ol vektor hosil qilamiz. Nol ko rsatgich Darajaig olga teg ko rsatgichi. Ta rifga o ko ra a 0 a = bo ladi. (Nyuto Leybis teoremasi). 5 O

25 Ochiq soha o o lchovli fazodagi soha shu fazoig butulay ichki uqtalarida tuzilga bog laga to plamdir. Masala: doira, to g ri to rtburchak, ko pburchak. Ordiata Tekislik yoki fazodagi uqta koordiatalariig tartib bo yicha ikkichisidir. Nuqtaig ordiatasi odatda u bila belgilaadi. Ordial so tartib soig xuddi o zi bu ordial sodir. Ordial so kardial so ya i miqdoriy so tushuchasiga qaramaqarshi o laroq shuday deb ataladi. Ortogoal matrisa Maxsusmas matrisa bo lib, uga isbata teskari matrisa uig traspoirlaga matrisasi bila mos tushadi. Ortogoal proyeksiya. Parallel proyeksiyaig xususiy holi bo lib, buda proyeksiya o qlariga yoki proyeksiya tekisliklariga perpedikulyar bo ladi. Ortogoal proyeksiya to g ri burchakli proyeksiya ham deyiladi. Sharig ortogoal proyeksiyadagi abrisi aylaa bo ladi. Ortogoal trayektoriya berilga chiziq yoki sirtlar oilasiig har bir chizig i yoki har bir sirtii to g ri burchak ostida kesuvchi egri chiziqlar. To g ri chiziqlar dastasi markazi dastaig markazi bila ustma-ust tushuvchi kosetrik aylaalar oilasiig ortogoal trayektoryadir. Ortogoal fuksiyalar. Fuksiyalarig biror chiziqli fazosida skalyar ko paytma aiqlaga bo lsi. Agar bu fazoig ikkita f va g fuksiyaig skalyar ko paytmasi olga teg bo lsa, bu fuksiyalar ortogoal fusiya bo ladi. Masala, f juft fusiya va g toq fuksiya quyidagi skalyar ko paytmaga isbata ortogoaldir: + =. ( f, g) f ( x) g( x) dx Oddiy kasr. Birlikig bitta yoki bir echa teg ulushlarida tuzilga so. Yoki, arifmetik kasr ikki atural soig isbatidir. Oddiy yoy kesmaig uzluksiz va o zaro bir qiymatli usxasi (obrazi). П 6

26 Parabola Tekislikig o zida yotuvchi bir F uqta (fokus)da va ma lum l to g ri chiziqda bir xil uzoqlikda yotuvchi uqtalarig geometrik o ri parabola deyiladi. To g ri burchakli dekart koordiatalarida parabolaig eg sodda teglamasi y = px ko riishda bo ladi, bu yerda P = F0 - berilga F uqtada berilga l to g ri chiziqgacha bo lga masofa. Parabolaig teglamasi parabola ikkichi tartibli egri chiziq ekaligii ko rsatadi. Paralleloedrlar Qavariq ko pburchaklar bo lib, ulari parallel ko chirish orqasida uch o lchovli fazoi ular bila bo shliq va kesishuvlar bo lmaydiga qilib to ldirish mumki, masala, kub yoki olti burchakli mutazam prizma. Grekcha parallelog-parallel va edraasos dega ma oi bildiradi. Parametrik teglamalar. x = ϕ( t), y = g( t) ko riishdagi teglamalar tekislikdagi tegishli egri chiziqig parametrik teglama deb ataladi. Masala: x y + = bog laishig parametrik 4 9 tasvirlaishi x = cos t, y = 3si t (0 t π ) bo ladi. Paskal uchburchagi Biomial koeffisiyetlarda iborat solarig uchburchakli jadvali: c c o o c o c c c 0 c c c c o K 7

27 Paskal uchburchagi solar orqali buday tasvirlaadi: k k + k + Biomial koeffisiyetlarig c + c = c+ xossasiga asosa Paskal uchburchagiig har bir soi o ziig ustida turuvchi ikkita soig yig idisiga teg. Pifagor teoremasi. Agar to g ri burchakli uchburchakig tomolari uzulikig ayi bir o lchov birligi bila o lchaga bo lsa, u holda gipoteuza uzuligiig kvadrati katetlar uzuliklari kvadratlariig yig idisiga teg. Yoki qisqacha gipoteuzaig kvadrati katetlar kvadratiig yig idisiga teg: ( BC) = ( AB) + ( AC) Pifagor solari: x + y = z teglamai qaoatlatiruvchi uchta butu musbat x, y, z so. Bu teglamaig barcha yechimlari, barcha pifagor soi x = a b ; y = ab; z = a + b formulalar bila ifodalaadi, bu yerda a, b - ixtiyoriy solar. ( a > b). Proyeksio operator - o lchovli Yevklid fazodagi operator bo lib, u har bir x vektoriga uig birorta ma lum qismi fazodagi proyeksiyasii mos keltiradi. Proyeksiya. M uqtaig d tekislikka tushirilga proyeksiyasi M uqtadagi va boshqa tayi bir S uqtada o tuvchi to g ri chiziq bila α tekislik kesishishiig M ' uqtasidir. Buda S uqta proyeksiyalash markazi deb, α tekislik proyeksiya tekisligi yoki 8

28 kartialar tekisligi deb, MS to g ri chiziq esa proyeksiyalovchi to g ri chiziq deb ataladi. Promill. Biror soig promili o sha soig migda bir o ulushi. Bir promill / oo ko rida belgilaadi. Promill tushuchasi proset tushuchasiga juda yaqi. Promill tushuchasi qotishmalarda (olti probasi 900, 800 va h.o degaiig ma osi qotishmaig 000 ulushiga toza oltiig 900, 800 va h.o ulushlari to g ri kelishii bildiradi) va dorixoalarda dori tortishda va boshqa sohalarda qo llailadi. Proporsioal bo lish Biror soi (yoki kesmai) berilga solarga (yoki kesmalarga) to g ri yoki teskari proporsioal qismlarga bo lishdir. Masala: 60 i,, 3 solariga proporsioal qismlarga bo lish uchu quyidagi amallar bajariladi: (60 : 6) 0; (60 : 6) 0; (60 : 6) 3 30 = = = Shuday qilib, 0 : 0 :30 = : :3. 60 soii va 3 solariga teskari proporsioal qismlarga bo lish uchu 60 i berilga solarga teskari bo lga solarga proporsioal qismlarga, ya i va 3 solariga proporsioal qismlarga bo lish yetarlidir. Biobari, (60 : 4) = 5; (60 : 4) 3 = 45. Shuday qilib, 5:45=:3. P Radikal yoki ildiz biror a soda - darajali ildiz chiqarish amalii ifodalovchi matematik ishora, quyidagicha yoziladi: a. Radikal tekislik. Ikki sferaig radikal tekisligi fazoig bu sferalarga isbata bir xil darajaga ega bo lga uqtalariig geometrik o ri. Rasioal fuksiya quyidagi ko riishdagi fuksiyadir: p( x) aox + ax + K + a m m a( x) bo x + b x + K + bm f ( x) = = 9

29 a, b -o zgarmas solar. a 0; b 0. m ва Bu yerda o o mafiy bo lmaga butu solar. m = 0bo lgada rasioal fuksiya butu rasioal fuksiya yoki ko phad deb ataladi. m bo lgada esa: y ax + b = cx + d bo ladi. 30 = = Rima geometriyasi Uch o lchovli Yevklid fazosidagi sferaig diametrial qarama-qarshi uqtalari ayiylashtirilga ikki o lchovli geometriyasi. Rima geometriyasi ( + ) o lchovli Yevklid fazosidagi sferada modellaadi. Rim raqamlari solari bildiruvchi belgilar: M D C L X Y I Masala: MCXXVIII = = 8 MCDLIX = = 459 Red qator plyus (+) ishorasi bila qo shilga simvollar ketmaketligi: a + a + K + a + K qatorig hadlari deb ataladiga a, a, K, ak simvollar solari, fuksiyalari, vektorlari yoki matrisalari va shu kabilari ifodalashi mumki. + + K + + K = = a a a a C Siljish tekislikda (yoki fazoda) o zii-o ziga affi almashtirishig turlarida biri. Tekislikig siljish affi koordiatalarida quyidagi formulalar bila ifodalaadi: x' = x + py; y ' = y. Siljish. So o qiig segmeti yoki kesma soli to g ri chiziqig koordiatalari a x b sharti qaoatlatiradiga uqtalari to plami. Ya i to g ri chiziqig berilga ikkita uqtasi

30 orasidagi uqtalariig o sha ikki uqtai ham o z ichiga olga to plam. Sektor. Doiraviy sektor doiraig ikki radius va doira yoyi bila chegaralaga qismi. Simmetrik uqtalar. Biror l to g ri chiziqqa isbata simmetrik uqta - l ga o tkazilga perpedikulyar to g ri chiziqda l da ikki tomoda va uda teg masofada yotuvchi M va M ' uqta. Buda l to g ri chiziq simmetriya o qi deyiladi. Biror 0 uqtaga isbata simmetriya uqta 0 da o tadiga to g ri chiziqda 0 uqtada ikki tarafda va uda teg masofada yotuvchi ikkita M va M ' uqta ya i: OM = OM '. Sitez mulohaza yuritish yoki isbot qilish metodi (usuli) bo lib, buda oma lumda ma lumga izlaayotgada berilgaga o tadi. Misol. a > 0bo lgada, a + ekaligii isbot qilamiz. a ( a ) 0 a + a ig ikkala tomoi a ga ( a > 0) bo lib, izlaayotga a + tegsizliki topamiz. a Sius Trigoometrik fuksiyalarda biri bo lib, si x bila belgilaadi. Siusig aiklaish sohasi solar o qidir, uig ; segmetdir. Sius chegaralaga, toq va qiymatlari sohasi [ ] davriy fuksiyadir. Siusig hosilasi (si x)' = cos x ga teg. Uig itegrali si dx = cos x + c formula bila topiladi. Sius darajali qatorga yoyiladi: 3 5 x x si x = x + + K ( < x < ) 3 5. Taqribiy qiymatlari hisoblashda bu qatorda foydalailadi. Siuslar teoremasi. Tekislikdagi trigoometriyaig teoremasi bo lib, ixtiyoriy uchburchakig a, b, c tomolari bila bu tomolar qarshisida yotga burchaklar siuslari orasidagi bog laishi ifodalaydi. 3

31 a b c = = = si A si B si C R Bu yerda R -uchburchakka tashqi chizilga aylaaig radiusi. Sferik trigoometriyada siuslar teoremasi aalitik ravishda quyidagicha ifodalaadi: si a si b si c = =. si A si B si C Sfera Fazoig tayi bir 0 uqtada ma lum r masofada turuvchi uqtalariig geometrik o ri. Bu sferaig to g ri burchakli dekart koordiatalaridagi teglamasi quyidagicha bo ladi. ( x a) + ( y b) + ( r c) = r bu yerda a, b, c markazig koordiatalari r esa S = 4π r. radiusi. Radius r bo lga sfera sirtiig yuzi 3 sferaig T Teylor qatori. f ( x ) fuksiyaig a uqtadagi Telor qatori quyidagicha yoziladi: f '( a) f ''( a) f '''( a) f ( a) ( x a) ( x a) ( x a)!! 3! 3 = + + +K 3 masala, f ( x) = x fuksiya uchu a = 0 uqtada Teylor qatorii yozish mumki emas, chuki bu uqtada fuksiyaig hosilalari yo q. Tezor hisobi Matematikaig tezorlari va tezor maydolari chiziqli algebra va matematik aaliz vositalari bila o rgauvchi bo limi o lchovli chiziqli fazoda tezorlar ustida algebraik qo shish, yig ishtirish, simmetriklash amallari bajariladi. Tezor hisobiga oid dastlabki g oyalar XIX asrda differesial geometriya masalalari muosabati bila k.gauss va Rima ishlarida paydo bo ladi. Tor doirai l o q atrofida aylatirishda hosil bo lga geometrik jism, bu l o q doira tekisligida yotib, doirai kesib o tmaydi. Ba za aylaai o z tekisligida yotuvchi, leki aylaai kesib o tmaydiga l o q atrofida aylatirishda hosil bo lga sirt,

32 ya i tori chegaralab turga sirt ham tor deb ataladi. Torig tashqi ko riishi bublik oga yoki qutqarish chambaragiga o xshaydi. Torig sirti va hajmi, Gyulde teoremalariga asosa quyidagi formulalar bila hisoblab topiladi: π π π S = r r = 4 r Rr V = π r π r = π R R Bu yerda r - berilga doiraig radiusi, R - doira markazida l aylaish o qigacha bo lga masofa. Triedr Bir uqtada chiquvchi o zaro perpedikulyar bo lga uchta birlik vektor to plami. Triedr kuzatuvchi uchyoq yoki Serre- Free uchyoqligi deb ham ataladi. Grekcha tri-murakkab so zlarda uch, edra -asos, yoq dega ma oi bildiradi. У O riga qo yishlari ko paytirish - darajali bir juft o riga qo yishga o shaday darajali uchichi o riga qo yish mos keltiruvchi K operasiya. agar A = i i i va K i i K i B = i i K i B = bo lsa, ta rifga asosa, j jk j K AB = j j j - darajali barcha o riga qo yishlar K to plami o riga qo yishlari ko paytirish opersiyasiga isbata - darajali simmetrik gruppa hosil qiladi. Masala: A = ва A = AB = ва BA = bo lsi, u holda.

33 Uitar almashtirish Chekli o lchovli chiziqli kompleks fazoig uitar almashtirish musbat aiqlaga biror Ermit formasii o zgartirmay saqlab qoladiga chiziqli almashtirishdir. Bu forma orqali ifodalauvchi Ermit ko paytmasiga isbata ortoormallaga bazisda uitar almashtirish uitar matrisa bila yoziladi. Uitar almashtirish kompleks chiziqli fazoda aylaish tushuchasiig umumlashtirilishidir. Ф Faktorial da tayi bir atural sogacha bo lga barcha atural solarig ko paytmasi faktorial! = 3 K = i bila belgilaadi. Faktorial so zi iglizcha factor - ko paytuvchi so zida kelib chiqqa. Matematikada faktor juda xilma-xil formulalarda, masala Teylor qatorida poliomial koeffisiyetlarda va shu kabi formulalarda ishlatiladi. Ta rifga ko ra, 0! i birga teg deb olish qabul qiliga. Feyerbax teoremasi: To qqiz uqta aylaasi ichki chizilga aylaaga va yodosh chizilga uchta aylaaga uriadi. To qqiz uqta aylaasi bila ichki chizilga aylaa va yodosh chizilga aylaalarig uriish uqtalari Feyerbax uqtalari deb ataladi. Bu teorema ui isbot etga emis matematigi Feyerbax omi bila ataladi. Fuksioal teglama Noma lum fuksiya bo lga teglama bo lib, uda izlaayotga fuksiya ma lum fuksiyalarga murakkab fuksiya hosil qilish operasiyasi orqali algebraik bog laga. Misollar: x f ( x + y) = f ( x) + f ( y), l x, e. Fuksioal aaliz Hozirgi zamo matematikasiig muhim bo limi. Algebra va geometriyaig ba za tushuchalari o rtasida chuqur o xshashlik borligi aiqlagada keyi XIX asr oxiri XX asr boshlarida fuksioal aaliz mustaqil fa sifatida tarkib topdi. Fuksioal aaliz metodlari matematikada ham, hozirgi zamo fizikasi va ximiyasida ham (masala, kvat fizikasi va kvat ximiyasida) keg qo llailadi. i= 34

34 Furye itegrali. Absolyut itegrallauvchi f ( x ) fuksiyaig Furye itegrali-ko riishi quyidagicha bo lga xosmas itegraldir: f ( x) = dz f ( u)cos( u x) rdu dz f ( u)cos z( u x) du π = π 0 ёки ( ) π i( u x) dz f u e du Furye qatori. f ( x ) fuksiyaig ϕ( x), ϕ( x), K, ϕ ( x), K ortoormallaga fuksiyalar sistemasiga isbata yozilga Furye qatori - Ckϕk ( x) qatordir, bu yerda k k = X 35 C - Furye koeffisiyetlari. Xarakteristik ko phad. Kvadrat A matrisaig xarakteristik ko phadi - A matrisaig xarakteristik matrisasiig determiati, ya i A λe. Bu determiat λ ga isbata - darajali ko phad bo ladi. Xarakteristik teglama. Kvadrat A matrisaig xarakteristik teglama uig olga teglashtirilga xarakteristik ko phadidir, ya i: A λe = 0. Siklik gruppa Shuday a elemetga ega bo lga gruppaki, k uig har qaday g elemeti biror butu k ko rsatgichda g = a bo ladi. Masala: birda chiqarilga - darajali kompleks ildizlar gruppasi butu solarig additiv gruppasi va h.o. Sikloida Qo zg almas to g ri chiziq bo yicha sirpamasda g ildirayotga aylaaga qimirlamaydiga qilib biriktirilga M uqta chizadiga tekis egri chiziq. Sikloidaig parametrik teglamasi: a a x = r( t si t); y = r( cos t) r r Bu yerda r -qo zg almas doiraig radiusi, a doira markazida M uqtagacha bo lga masofa, t parametr bo lib, doira to g ri chiziq bo yicha g ildiragida o zi (yoki radiusi) qacha burchakka burilgaii ko rsatadi. k

35 Silidrik sirt o z-o ziga parallel holda ko chib, biror yassi w egri chiziqi kesib o tadiga l to g ri chiziqig harakatlaishida hosil bo ladiga sirt. Silidrik koordiatalari shuday koordiatalarki, bular uchu r θ z ) r = cost koordiatalar sirti yasovchilari ( p uqtaig,, 0z o qqa parallel bo lga silidrdir. Silidrik koordiatalar x, y, z dekart koordiatalariga quyidagi muosabatlar bila bog laadi: x = r cos θ, y = r cos θ, z = z. Dekart koordiatalarida silidrik koordiatalarga almashtirish (o tish) Yakobiai quyidagi ko riishda bo ladi. cosθ siθ 0 D( x, y, z) = r siθ r cosθ 0 = r D( r, θ, z) 0 0 Sirkulyasiya. a( r ) vektor maydoig yopiq l egri chiziq adr itegraldir. Koordiatalar bo yicha oliga sirkulyasiya - orqali yozilishi quyidagicha: L L a dx + a dy + a dz, a = a i + a j + a k, dr = dxi + dyj + drk x y z x y Kulo va Nyuto tortishish maydoida, boshqa, ko pgia potesial maydolardagi kabi, maydoig ixtiyoriy yopiq kotur bo yicha oliga sirkulyasiyasi olga teg: adr = 0 36 Ч Chastota. Davriy fuksiyaig w chastotasi davrga teskari bo lga miqdordir, ya i davriy f ( t ) fuksiyaig t argumetiig f ( t) = f ( t + T ) bo ladigadagi T o zgarishga teskari bo lga miqdordir: w =, masala si 3t davriy fuksiyaig davri T 3 w = π. chastotasi esa L T = π 3

36 Chebishev tegsizligi. Solar azariyasidagi Chebishev tegsizligi: agar x da katta bo lmaga tub solar echta ekaii π bila belgilasak, u holda shuday o zgarmas ko rsatuvchi soi ( x) x x a va b solar ( a < b) mavjudki, buda a π ( x) < b l x l x tegsizlik bajariladi. x bo lgada bu tegsizlik o rii bo ladi. Ш Shar sfera bila chegaralaga geometrik jism. Shari doirai o z diametri atrofida aylatirishda hosil bo lga jism deb qarash mumki. Radiusi R bo lga shar sirtiig yuzi S = 4π R, hajmi V 4 π 3 3 = R formula bila aiqlaadi. Shar kamari shar sirtiig sferik sirtiig ikkita parallel kesuvchi tekislik orasidagi kesma. Shar kamari zoa deb ham ataladi. Shar kamari shar qatlamiig yo sirtida iboratdir. Shar segmeti Sharig kesuvchi tekislik bila sferik sirtiig ikki qismida biri orasidagi qismi. Shar sektori doiraviy sektori uig yoyiq bila ichki uqtalarga ega bo lmaga diametr atrofida aylaishida hosil bo lga geometrik jism. Shar qatlami Sharig kesuvchi parallel tekisliklar orasidagi qismi. Э Eyler itegrali birichi va ikkichi tur ko riishdagi itegraldir: 37

37 p q t r B( p, q) = x ( x) dx ва Γ ( x) = e t dt 0 0 Eyler to g ri chizig i. Uchburchakig M og irlik markazi (mediaalariig kesishuv uqtasi) tashqi chizilga doiraig 0 markazi va ortomarkaz joylashga to g ri chiziq. Buda OM : MH = : turli tomoli va teg yoli uchburchaklarda yagoa Eyler to g ri chizig i mavjud: teg yoli uchburchakda uchburchakig simmetriya o qi, teg tomoli uchburchakda esa Eyler to g ri chizig i uig dastasi bo ladi. Eyler formulasi. Eylerig aiq itegrallari taqribiy hisoblash b formulasi - f ( x ) dx itegrali f ( x ) fuksiya va uig a hosilalariig ba zi uqtalardagi qiymatlari orqali ifodalaydiga formula: b f ( x) dx = h{ f ( a) + f ( a + h) + K + f [ a + ( ) h] K } a Elemetar algebra Elemetar matematikaig bo limi bo lib, bu bo limda asosa birichi va ikkichi darajali teglama va tegsizliklar, yuqori darajali teglamalarig xususiy holllari, eg sodda (elemetar) fuksiyalar, so va limit tushuchalari, ayiy almashtirishlar va kombiatorika masalalari o rgailadi. Elemetar geometriya asosa harakatlar gruppasi va o xshashlik gruppasi bila aiqlaadiga geometriya. Elemetar geometriyada iversiya almashtirishlari sferik geometriya elemetlari, geometrik yasashlar elemetlari, geometrik miqdorlari o lchash azariyasi va matematikaig boshqa bo limlari ham o rgailadi. Elemetar geometriya aiq, qat iy chegaralaga mazmuga ega emas. Elemetar geometriya boshqa geometriyalar kabi, hozir ham rivojlamoqda. Elemetar fuksiyalar ko phadlar rasioal fuksiyalar, ko rsatgichli, darajali, logarifmik va trigoometrik fuksiyalar, teskari trigoometrik fuksiyalar, shuigdek aytib o tila bu fuksiyalarda to rt arifmetik amal va chekli marta qo llailga superpozisiyalar 38

38 yordamida hosil qliadiga fuksiyalari o z ichiga olga fuksiyalar sifi. Masala: y = 3 x e ε si 4x Ellips - α tekislikdagi shuday uqtalarig geometrik o ridirki, bu uqtalarig har birida α tekislikka yotuvchi ikkita berilga F va F uqtagacha bo lga masofalarig yig idisi o zgarmas miqdor bo lib, bu miqdor F bilaf orasidagi masofada katta va berilga a soiga teg. Ellipsi buday chizish mumki. Uzuligi a bo lga cho zilmaydiga ip olib, uig uchlarii F va F uqtalarda bog laymiz. So gra bu ipi qalam uchi bila tortamiz va qalam uchii qog ozda yurgizamiz. Qalam uchi harakatiig trayektoriyasi yopiq egri chiziq Ellips bo ladi, buda MF + MF = a. MF ва MF kesmalar Fokal radislar deb ataladi. Ellipsig to g ri burchakli dekart koordiatalari sistemasidagi kaoik (eg sodda) teglamasi: ko riishda bo ladi. Я Yakobia ko riishi quyidagicha bo ladi: determiat: x a y + = b y y y K x x x y y y K x x x y x K K K y K x y x 39

39 Bu yerda yi = fi( x, x, K, x) bir sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo lga fuksiyalar. i Yaobia qisqacha D( y, y, K, y) shaklida belgilaadi. Uga emis fizigi Yakobia D( x, x, K, x ) omi berilga. Yakobia sxemalari Ko phadlari bo lish va ko phadlarda kvadrat ildiz chiqarish sxemalari; bu sxemalari M.V.Yakovki ishlab chiqqa. Qoldiqli bo lish amali bo liuvchida birichi qoldiqqa, birichi qoldiqda ikkichisiga o tishda va ihoyat qoldiqda darajasi bo luvchiig darajasida kichik bo lga ko phad hosil bo lgucha shu tariqa qoldiqda qoldiqqa o tishda iboratdir. Odatda bu holatda takrorlaadiga bu amallar burchakli bo lish yordamida bajariladi; buday bo lishda hisoblar quyidagi misolda ko rsatish mumki. Yakovki sxemasiga asosa, chala bo lima hadlarii topish uchu oraliq qoldiqlarig eg katta darajali hadlarii bo luvchiig eg katta darajali hadiga bo lish kerak, shuday qiligada bu qoldiqlarig o zii topishga ehtiyoj qolmay ularig eg katta darajali hadlarii bilishig o zi yetarli bo ladi. Bu yerda yuqoridagi chap burchakka bo luvchiig eg katta hadi yozilga, qolga hadlari esa teskari ishora bila oliib, ustu qilib yozib chiqilga. Bo liuvchi yuqorigi satrga yozilga. Pastki qatordagi x -bo limaig eg katta hadiyu bo luvchiig eg katta hadi bila bo limaig eg katta hadi ko paytmasi yozilmaga, chuki bu ko paytma bo liuvchida ayrilgada qisqarib ketadi. Bo limaig eg katta hadiig bo luvchiig teskari ishora bila oliga. Qolga hadlariga ko paytmasi ikkichi satrga yozilga So gra birichi qoldiqig eg katta 40 3x + 4x = 7x hadi

40 bo luvchiig eg katta hadiga bo liadi, buda bo limaig ikkichi hadi (7x) hosil bo ladi va h.o. ustu qilib yozilga o xshash hadlar qo shib chiqilgada x 3x + 4 qoldiq hosil bo ladi. Foydalailga adabiyotlar. I.A.Karimov. Barkamol avlod O zbekisto taraqqiyoti poydevori. Toshket. 997 y.. O.V.Maturov. Yu.K.Solsev. Matematika termilariig izohli lug ati. 3. T.Azlarov, H.Masurov. Matematik aaliz. - va - qismlar. 4

41 4