Konstruktivne metode u geometriji. prema predavanjima prof. Vladimira Voleneca
|
|
- Ἀνδρομάχη Αθανασίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima prof. Vladimira Voleneca
2 1 Euklidske konstrukcije 1.1 Povijest Ravnalo i šestar su najstariji geometrijski instrumenti. Ne zna se gdje su i kada izumljeni, ali je sigurno da su nastali iz potrebe pri gradnjama i premjeravanju zemljišta. Zahtjev da se za rješavanje neke zadaće koriste samo ta dva instrumenta postavio je još Platon ( g. pr. n. e.). Geometrija ravnala i šestara je dugo bila jedina poznata, a vrhunac te geometrije predstavlja Euklidovo djelo Elementi, gdje je ona sistematski obrađena. Euklid je bio nastavnik u aleksandrijskoj školi oko 300. g. pr. n. e. Elementi se sastoje od 13 knjiga u kojima je sustavno obrađena sva do tada poznata geometrija, osim teorije krivulja drugog stupnja. Mogućnost izvođenja konstrukcija ravnalom i šestarom opisuje Euklid tzv. aksiomima ravnala i šestara (koje ćemo kasnije upoznati). Zatim Euklid pokazuje kako se rješavaju neke osnovne konstruktivne zadaće. Međutim, već je starim Grcima postalo jasno da komplet ravnalo šestar ima ograničene konstruktivne mogućnosti. Tim se kompletom mogu rješavati konstruktivne zadaće koje pri analitičkom rješavanju dovode do linearnih i kvadratnih jednadžbi, a to su tzv. zadaće prvog i drugog stupnja. Starim Grcima bili su poznati neki problemi, jednostavni po svojoj izreci, koje nisu uspjeli riješiti pomoću ravnala i šestara. Tri najpoznatija problema tog tipa su: duplikacija kocke, trisekcija kuta i kvadratura kruga. U svrhu rješavanja tih problema Grci su koristili neke krivulje (stupnja višeg od 2) kao npr. kvadratrisu i konhoidu i kruvulje drugog reda (elipsu, parabolu i hiperbolu). Matematičari su stoljećima pokušavali naći elementarna rješenja (tj. rješenja pomoću ravnala i šestara) ovih triju "klasičnih problema". Tek je krajem 18. i početkom 19. stoljeća dokazano da se ova tri problema ne mogu elementarno riješiti. 2
3 1.2 Aksiomi konstruktivne geometrije Konstruktivna geometrija je dio geometrije koji se bavi geometrijskim konstrukcijama. Mi ćemo se ograničiti samo na konstruktivnu geometriju ravnine. Osnovni pojam konstruktivne geometrije je konstrukcija geometrijskog lika, tj. skupa točaka u ravnini. Taj pojam uzimamo bez definicije. Njegov smisao poznat nam je iz prakse, a u interesu logičke strogosti formulirat ćemo njegova osnovna svojstva, tj. aksiome koji ga karakteriziraju. Aksiomi konstruktivne geometrije su: A1. Svaki dani lik je konstruiran. Dakle za neki lik kažemo da je dan ako je već konstruiran, tj. nacrtan. Treba razlikovati pojam "dani lik" od pojma "lik određen danim elementima". Primjer drugog pojma je kružnica kojoj je poznato središte i poznat joj je polumjer, ali koja nije nacrtana. A2. Ako su konstruirana dva ili više likova, onda je konstruirana i njihova unija. A3. Ako su konstruirana dva lika, može se ustanoviti je li njihova razlika prazan skup ili nije. U slučaju da ta razlika nije prazan skup, ta je razlika konstruirana. A4. Ako su konstruirana dva ili više likova, može se ustanoviti je li njihov presjek prazan skup ili nije. U slučaju da taj presjek nije prazan skup, taj presjek je konstruiran. A5. Ako je konstruiran neki neprazan lik, moguće je konstruirati točku koja pripada tom liku. Ovo su tzv. opći aksiomi konstruktivne geometrije. Osim njih, potrebni su nam i tzv. aksiomi instrumenata koji karakteriziraju svojstva pojedinih instrumenata. Mi ćemo koristiti ravnalo i šestar. Aksiom ravnala. Ravnalom je moguće: 1. konstruirati dužinu ako su dani krajevi te dužine, 2. konstruirati polupravac s danom početnom točkom koji prolazi kroz drugu danu točku, 3. konstruirati pravac kroz dvije dane točke. Aksiom šestara. Šestarom je moguće: 1. konstruirati kružnicu ako je dano njeno središte i njen polumjer, 2. konstruirati bilo koji od dva luka kružnice određena s dvije točke kružnice ako je dano središte kružnice i krajnje točke tog luka. 3
4 Navedeni aksiomi omogućavaju da se izvedu tzv. temeljne konstrukcije, a to su: konstrukcija dužine kojoj su dani krajevi konstrukcija polupravca kojem je dana početna točka i još jedna točka konstrukcija pravca koji prolazi kroz dvije dane točke konstrukcija kružnice kojoj je dano središte i polumjer konstrukcija bilo kojeg od dva luka kružnice određenih s dvije točke kružnice ako je dano središte kružnice i krajnje točke tog luka konstrukcija konačnog broja zajedničkih točaka dviju danih likova konstrukcija točke koja pripada danom liku U aksiomu ravnala i aksiomu šestara idealizirali smo situaciju jer smatramo da je ravnalo beskonačno dugačko, šestar ima beskonačno velik otvor i ravnina je neograničena u svim smjerovima. U praksi to nije tako, pa se kasnije možemo pozabaviti i tim problemom. Napomenimo da je dovoljno zahtijevati drugo svojstvo u aksiomu ravnala i drugo svojstvo u aksiomu šestara, jer ostala svojstva slijede na temelju aksioma A2 i A4. 4
5 1.3 Konstruktivna zadaća Konstruktivna zadaća sastoji se u konstrukciji nekog lika danim instrumentima, ako je dan drugi lik i opisani odnosi između elemenata danog i traženog lika. Rješenje konstruktivne zadaće je svaki lik koji zadovoljava sve postavljene uvjete. Naći rješenje znači svesti danu zadaću na konačan niz temeljnih konstrukcija danim instrumentima, nakon čega smatramo da je traženi lik i sam konstruiran. Može se dogoditi da konstruktivna zadaća ima više rješenja, tj. da postoji više različitih likova od kojih svaki zadovoljava uvjete zadaće. Ovisno o broju rješenja, zadaća može biti: određena (ako ima konačno mnogo rješenja), neodređena (ako ima beskonačno mnogo rješenja), nemoguća (ako nema rješenja). Likovi koji zadovoljavaju uvjete zadaće mogu se razlikovati po obliku, veličini i položaju u ravnini. Ako se rješenja zadaće razlikuju samo po položaju u ravnini, tada ta rješenja ne smatramo bitno različitima. Primjer. Konstruirati trokut čije su stranice sukladne danim duljinama. Svi trokuti kojima su stranice sukladne trima danim dužinama su međusobno sukladni i zato smatramo da ta zadaća ima samo jedno rješenje (uz pretpostavku da rješenje postoji nejednakost trokuta). Iz dane točke izvan dane kružnice konstruirati tangente na danu kružnicu. Postoje dvije različite tangente. Konstruirati zajedničke tangente dviju danih kružnica od kojih je svaka izvan druge. Postoje četiri rješenja. Konstruirati kružnicu koja dira svaku od osam danih kružnica. Najviše osam rješenja (ovisno o međusobnom položaju danih kružnica). Ako zadaća ima beskonačno mnogo rješenja, tada kažemo da je ta zadaća neodređena. Tada je u pravilu broj uvjeta premalen i treba dodati još uvjeta da zadaća postane određena. Primjer. Konstruirati trokut čije su dvije stranice sukladne danim dvjema dužinama. Postoji beskonačno mnogo bitno različitih trokuta koji zadovoljavaju navedeni uvjet, pa je to neodređena zadaća. Međutim, ako se zada još jedan element (stranica ili kut), zadaća postaje određena. Zadaća koja ima barem jedno rješenje, kažemo da je moguća. 5
6 Ako zadaća nema rješenja, tada kažemo da je ta zadaća nemoguća. Takva je npr. ova zadaća: Primjer. Upisati kružnicu danom pravokutniku koji nije kvadrat. Ako zadaća ima rješenje, a pri konstrukciji tog rješenja nije korišten neki uvjet zadaće, tada je taj uvjet očito suvišan i kažemo da je zadaća preodređena. Takva je npr. zadaća: Primjer. Konstruirati četverokut kojemu su sve četiri stranice sukladne danoj dužini, nasuprotne stranice su mu paralelne i svi kutovi pravi, a dijagonale međusobno okomite i raspolavljaju se. Reći ćemo da je zadaća elementarno rješiva ako se može riješiti samo pomoću ravnala i šestara, tj. ako se može svesti na konačan niz ranije navedenih temeljnih konstrukcija. Treba razlikovati pojam moguće zadaće od pojma elementarno rješive zadaće. Postoje zadaće (npr. trisekcija kuta i ostale klasične zadaće) koje su moguće, ali nisu elementarno rješive. Neshvaćanje ovih činjenica je glavni razlog što često pojedini laici smatraju da su riješili neku zadaću za koju je pokazano da nije elementarno rješiva. Krajem semestra opisat ćemo detaljno sva tri klasična problema i objasniti zašto nisu elementarno rješivi. Pri rješavanju konstruktivnih zadaća osim temeljnih konstrukcija pojavljuju se vrlo često još neke jednostavne konstrukcije koje ćemo zvati elementarnim zadaćama. Popis elementarnih zadaća je stvar dogovora. Npr. za elementarne zadaće možemo uzeti ove zadaće: E1. Raspoloviti danu dužinu. E2. Raspoloviti dani kut. E3. Na zadanom pravcu konstruirati dužinu jednaku danoj dužini. E4. Konstruirati kut jednak danom kutu, ako je zadan jedan krak. E5. Kroz danu točku konstruirati pravac paralelan s danim pravcem. E6. Konstruirati okomicu danom točkom na dani pravac. E7. Podijeliti danu dužinu u danom omjeru. E8. Konstruirati trokut ako su dane sve tri stranice. E9. Konstruirati trokut ako su dane dvije stranice i kut između njih. E10. Konstruirati trokut ako je dana jedna stranica i kutovi uz nju. E11. Konstruirati pravokutni trokut ako je dana jedna kateta i hipotenuza. Posljednje četiri često ćemo zvati osnovne konstrukcije trokuta. Primijetimo da su E8, E9 i E10 redom SSS, SKS i KSK konstrukcije, dok je E11 specijalni slučaj SSK konstrukcije. 6
7 Da bi se neka konstruktivna zadaća riješila treba: ustanoviti konačan broj načina na koji se mogu izabrati dani elementi u svakom pojedinom slučaju odgovoriti na pitanja ima li zadaća rješenja i koliko ih je dati konstrukciju rješenja u svakom slučaju kada postoji rješenje ili utvrditi da se zadaća ne može riješiti danim instrumentima. Pri rješavanju konstruktivne zadaće treba se držati ovog redoslijeda zaključivanja i rješavanja: 1. analiza, 2. konstrukcija, 3. dokaz, 4. rasprava. Pod analizom mislimo na traženje načina za rješavanje zadaće. Tu se ispituje veza danog i traženog lika uz pomoć eventualnih pomoćnih likova. U analizi se koriste raniji poznati teoremi i konstrukcije. Konstrukcija se sastoji u tome da se na temelju analize istakne onaj niz osnovnih i temeljnih konstrukcija ili ranije riješenih zadaća koji daje traženi lik. Dokaz je korak kojim se pokazuje da dobiveni lik zadovoljava sve uvjete zadaće i da je svaki korak u konstrukciji moguć. Raspravom se odgovara na pitanja: Je li uvijek moguće izvršiti konstrukciju na promatrani način? Je li moguće traženi lik konstruirati na neki drugi način u slučaju kada se promatrani način ne može primijeniti? Koliko rješenja ima zadaća uz svaki mogući odabir danih elemenata? U diskusiji se ispituju svi međusobni položaji danih elemenata koji mogu doći u obzir. Kod rješavanja nekih jednostavnijih zadaća može se dopustiti da se neki od navedenih koraka ne pojavljuje. Postoje neke specijalne metode za rješavanje konstruktivnih zadaća. Najčešće se koriste: metoda presjeka, algebarska metoda i metoda transformacija. Zadatak. Konstruirajte paralelogram ABCD ako je zadan kut α = DAB, duljina d = AB + BC te duljina v visine na AB. Zadatak. Konstruirajte trokut kojem su dane duljine dviju stranica i veličina kuta nasuprot jedne od njih (SSK konstrukcija). Provedite raspravu. 7
8 1.4 Metoda presjeka Zadatak. Konstruirati točku koja je jednako udaljena od danih točaka A, B i C. Tražena točka T mora zadovoljavati uvjete d(t, A) = d(t, B) = d(t, C). To možemo shvatiti kao dva neovisna uvjeta: d(t, A) = d(t, B) i d(t, B) = d(t, C). Neka je R 1 = {T d(t, A) = d(t, B)}, R 2 = {T d(t, B) = d(t, C)}. Tada je rješenje zadanog problema R 1 R 2. Neke određene zadaće u kojima traženi lik mora zadovoljavati dva ili više uvjeta mogu se riješiti tzv. metodom presjeka na sljedeći način: Od uvjeta se izaberu neki (ne svi) i traže se svi likovi koji zadovoljavaju te uvjete. Dobiva se jedna neodređena zadaća koja općenito ima beskonačno mnogo rješenja. Neka je R 1 skup svih tih rješenja. Sada od zadanih uvjeta odaberemo neke druge uvjete (opet ne sve) i riješimo dobivenu neodređenu zadaću. Dobivamo neki skup rješenja R 2. Ovaj postupak nastavimo potreban broj puta, recimo n. U svakom slučaju dobivamo neku neodređenu zadaću i pripadni skup rješenja R i (i = 1,..., n). Pritom treba paziti da se svaki uvjet dane zadaće nalazi kao uvjet u barem jednoj od promatranih n neodređenih zadaća. Tada je skup likova R 1 R 2 R n rješenje početne zadaće, jer ispunjava sve dane uvjete. Ovom metodom obično tražimo točku, ali to je sastavni dio gotovo svake konstrukcijske zadaće. Zadatak. Konstruirajte trokut ako je dano b, c, α. Traži se trokut. Najprije nacrtamo dužinu AB duljine c, te još trebamo odrediti položaj točke C. Točka C zadovoljava dva uvjeta: 1. BAC = α, što znači da C leži na polupravcu koji s AB zatvara kut α; 2. AC = b, što znači da C leži na kružnici oko točke A polumjera b. Sada je jasno da rješenje dobivamo metodom presjeka. Svaka pojedina od zadaća koje dobivamo ispuštanjem pojedinih uvjeta općenito ima neki beskonačan skup rješenja. Zato je potrebno znati riješiti najčešće neodređene zadaće. 1. Odrediti točke jednako udaljene od dvije zadane točke A i B. Rješenje: simetrala dužine AB 2. Odrediti točke na udaljenosti d od danog pravca a. Rješenje: dvije paralele s a 3. Odrediti točke udaljene za d od dane točke O. Rješenje: kružnica k(o, d) 8
9 4. Odrediti točke udaljene za d od dane kružnice k(o, r). Rješenje: kružnice k(o, r + d) i k(o, r d). Rasprava: uz uvjet d < r obje kružnice, za d = r prva kružnica i točka O, za d > r samo prva kružnica. 5. Odrediti točke jednako udaljene od dva dana pravca a i b. Rješenje: simetrale. Dvije, ako se pravci sijeku; samo jedna ako su pravci paralelni. 6. Odrediti točke s dane strane pravca AB iz kojih se dana dužina AB vidi pod danim kutom α. Rješenje: luk kružnice kroz A i B. 7. Odrediti točke iz kojih se dana dužina AB vidi pod kutom od 90. Rješenje: kružnica promjera AB. 8. Odrediti točku T za koju je razlika kvadrata udaljenosti od dviju čvrstih točaka A, B jednaka danom broju q. Detaljno na predavanju 9. Odrediti točku T za koju je omjer udaljenosti od dviju danih točaka A i B jednak danom omjeru p : q (p, q > 0). Apolonijeva kružnica. Detaljno na predavanju Na vježbama će se rješavati zadatci primjenom metode presjeka. 1.5 Algebarska metoda Radi se u osnovi o metodi algebarske analize. Do rješenja konstruktivne zadaće dolazi se tako da se tražena veličina (npr. dužina) izračuna pomoću danih elemenatai dobiveni izraz konstruira. Pri tom se neki algebarski izraz može konstruirati ako se on dobiva konačnim brojem tzv. racionalnih operacija (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijenjenje, vađenje kvadratnog korijena) iz danih elemenata. Ako su dane duljine a, b i c i prirodni brojevi m i n, konstruirajte dužinu duljine a + b, a b, ma, ab c, ab, a2 + b 2, 1 n a, m n a a2 b 2. 9
10 Mogu se konstruirati i dužine određene nekim kompliciranijim izrazima: Zadatak. Konstruirati dužinu duljine x = a3 b 2 Zadatak. Zadatak., gdje su a, b, c, d duljine danih dužina. c 2 d2 Konstruirati x = a 2 + b 2 cd gdje su a, b, c, d duljine danih dužina. Konstruirati x = 4 a 4 b 4 gdje su a i b duljine danih dužina. Pokažimo sada na dva primjera kako se konstruktivne zadaće rješavaju algebarskom metodom. Zadatak. Konstruirati kružnicu koja dira krakove danog kuta i prolazi danom točkom. Napomena: može i metodom homotetije. Zadatak. Dani su paralelni pravci a, b, c. Konstruirati jednakostranični trokut ABC tako da je A a, B b, C c. Napomena: može i pomoću rotacije. 10
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivne metode. U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. metoda afinosti, metoda kolineacije.
Iz rječnika metodike Konstruktivne metode Zdravko Kurnik, Zagreb U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji niz razvijenih metoda rješavanja konstruktivnih zadataka, tako da se dobar dio tih zadataka
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα