Oscilacije mehaničkih sustava

Transcript

1 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 Oscilacije ehaničih susava Osnovni ojovi Iz saie znao da je nei ehaniči susav (u esu sraćeno ehaniza ) u oložaju sabilne saiče ravnoeže, ao u o oložaju ia inialnu oencijalnu energiju. To oložaju odgovara i inialna uuna energija (zbroj ineiče i oencijalne energije). očena saiča ravnoeža roaranog ehaniza, ože se narušii nei vanjsi uzroo oji će ovećai uunu energiju ehaniza. Naon ulanjanja og uzroa doći će do učesalog gibanja ehaničog susava oo oložaja sabilne ravnoeže. Gibanje će nasai zbog djelovanja elasičnih sila i sila graviacije oje eže ovrau ehaničog susava u ravnoežni oložaj. Tavo gibanje nazivao slobodni oscilacijaa. Uuna ehaniča energija susava za vrijee slobodnih oscilacija osaje sačuvana (onsanna). Jednosavan rijer slobodnih oscilacija riazan je gibanje uglice oje nasaje o zarivljenoj glaoj odlozi, naon očenog oaa iz ravnoežnog oložaja (slia ). g Slia. Oscilacije uglice o u ehaničo susavu naon ulanjanja očenog uzroa oscilacija, osi elasičnih i graviacijsih sila djeluju i nee druge vanjse aivne sile, ili ao je njihovo djelovanje jedini uzro oscilacija, ada nasaju risilne oscilacije. Za vrijee oscilacija ogu bii risuni različii neelasični oori gibanju: (sile renja, visozni oor sredine u ojoj se susav giba, unuarnji oori saog susava i drugi). U o slučaju ažeo da je ehaniči susav disiaivan, a njegove oscilacije su rigušene. Ovisno o uzrou oscilacija i osojanju oora za vrijee gibanja razliujeo: -Slobodne nerigušene oscilacije -Slobodne rigušene oscilacije -risilne nerigušene oscilacije -risilne rigušene oscilacije rolaz ehaničog susava roz ravnoežni oložaj za vrijee oscilacija ože se onavljai u jednai inervalia vreena. U o slučaju ažeo da su oscilacije eriodične, a rajanje jednog vreensog inervala u seundaa, naziva se eriod i označava slovo T. Oscilacije o ojia se govori u oviru ovog olegija ograničene su reosavo, da u svao renuu udaljenos od ravnoežnog oložaja ožeo riazai s dovoljno alo veličino, ao da ih linearni risu dovoljno očno oisuje.

2 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 Svarni ehaniči susavi sasavljeni su od više različiih elasičnih ijela. Svarno ijelo deforira se od djelovanje vanjsih sila. Tijelo oje deforacije u ounosi nesaju naon ulanjanja oerećenja, nazivao idealno elasično ijelo (riječ idealno se česo izosavlja). soluno rua ijela u ehaničo susavu ogu bii sojena s elasični ijelo. Sila u avo soju naziva se elasična sila. Elasična sila, u idealno elasično ijelu osljedica je njegove deforacije, i linearno je roorcionalna s deforacijo (Hooeov zaon). Idealno elasično ijelo ožeo riazai s elasično orugo bez ase. Oruga duljine L 0, oerećena neo silo F, deforira se za neu veličinu x. Elasična sila, ojo oruga ruža oor deforaciji, roorcionalna je oj deforaciji. = x Konsana je secifični oor deforaciji, naziva se ruos oruge i definira se ao sila oja orugu ože deforirai (rodužii ili sraii) za jediničnu duljinu. U sladu s i jedinica za ruos je N/, N/c, N/,... F L 0 +x x Slia. Idealno elasično ijelo U neo soju ože bii više elasičnih ijela. Ona eđusobno ogu bii ovezana u aralelno ili serijso soju. U oba slučaja ogu se zajenii jedno orugo evivalenne ruosi e. Evivalenna ruos određuje se doslovno rijeno definicije ruosi. Na sl. riazan je aralalan, a na sl. 4 serijsi soj dviju elasičnih oruga različiih ruosi i, i jednaih duljina L 0. F F L 0 +x, = e x, = x, = x L 0 +x F L 0 +x, =, +, e x= x+ x e = + Slia. aralelni soj

3 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 F F= = e x F=, =, L 0 +x, = x, = x F,, Fel, x=x +x L 0 +x L 0 +x F e F F Slia 4. Serijsi soj e Soj riazan elasični ijelo bez ase, ože se na isi način zaijenii orugo evivalenne ruosi. Na slici 5 riazana je aerijalna oča ase M, sojena elasični šao zanearive ase, uei u odlogu. roaraju se oscilacije aerijalne oče ooio na sjer osi šaa. Elasičnu onzolu reba zajenii orugo evivalenne ruosi. U sladu s definicijo ruosi, ražio silu ojo reba oereii onzolu na vrhu, da bi rogib iao jediničnu veličinu (uziao sao ujecaj savijanja na oa δ). E,I L M F δ e F L E I E I L e M Slia 5. Soj elasični ijelo bez ase Broj oordinaa (salarnih veličina) x i (), i=,...n, orebnih za ouno oisivanje gibanja ehaničog susava u svao renuu, naziva se broj sunjeva sloboda gibanja. Sva ijela u svarni ehaniči susavia, deforabilna su i iaju neu rasodijeljenu asu. Za oisivanje gibanja avog susava oreban je velii broj oordinaa (eorijsi besonačan), šo zbog nedovoljne očnosi osalih ujecaja u raičnoj rijeni nea sisla. Tijeo gibanja javljaju se oori čiju veličinu, zaonios rojene, i uzro, nije uvje oguće očno oisai. Česo se i uzro oscilacija ne ože očno oisai. Zbog oga se oscilacije svarnih susava, za raične orebe analiziraju na ojednosavljeni ehaniči (uglavno aeaiči) odelia. Najčešće se asa ridružuje asoluno rui ijelia, a sojevi su idealno elasična ijela bez ase. o je ehaniči susav sasavljen od više asoluno ruih i idealno elasičnih ijela ovezanih u ineaiči lanac, i njegov je oložaj u bilo oje renuu određen sao s jedno oordinao (n=), ažeo da je o susav s jedni sunje slobode, ili jednosuanjsi susav.

4 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 4 Svai ehaniza s jedni sunje slobode, u oje su zaneareni oori gibanju i nelinearni ujecaji, ožeo riazai odelo oji se naziva linearni haronijsi oscilaor. Linearni haronijsi oscilaor Linearni haronijsi oscilaor riazuje se s jedno elasično orugo ruosi čija se asa zanearuje, i aerijalno očo ase. To je osnovni ehaniči odel onzervaivnog susava s jedni sunje slobode x(). Zaon gibanja x(), rješenje je diferencijalne jednadžbe ojo je oisano gibanje ase. a) b) glaa odloga x( ), x ( ), x ( ) g g x( ), x ( ), x ( ) Slia 6. Model linearnog oscilaora Diferencijalna jednadžba slobodnih nerigušenih oscilacija Diferencijalna jednadžba gibanja ovog susava ože se odredii na više načina:. rijeno jednadžbi dinaiče ravnoeže,. rijeno zaona o očuvanju energije,. rijeno eode virualnog rada..rijena dinaiče ravnoeže (rea rinciu D labera) Za vrijee gibanja u horizonalnoj ravnini, na aerijalnu oču djeluje rojenjiva elasična sila i inercijalna sila. Masa oruge se zanearuje. Da bi uvje dinaiče ravnoeže rijenili na odel riazan na slici 6. a), orebno je odredii sve sile oje djeluju na aerijalnu oču u renuu 0. F i x( ), x ( ), x ( ) g N Slia 7. Sile za vrijee gibanja odela a) Reacija odloge i vlasia ežina su onsanne i eđusobno su u ravnoeži. Deforacija oruge određena je olono iz ravnoežnog oložaja, ao da je elasična sila x( ). Inercijalna sila roorcionalna je asi i ubrzanju

5 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 5 F i x( ). Uvje dinaiče ravnoeže je F i + =0. Naon susiucije dobije se diferencijalna jednadžba gibanja ehaničog odela riazanog na slici 6 a): x x 0. o uvje dinaiče ravnoeže rijenio na odel riazan na slici 6 b), orebno je rvo odredii deforaciju oruge u saičo ravnoežno oložaju, oo ojeg aerijalna oča oscilira (slia 8). =0 0 g g x s x( ), x ( ), x ( ) F i g g Slia 8. Sile za vrijee gibanja odela b) U neo renuu, elasična sila je roorcionalna ruosi i deforaciji oruge u o renuu: F ( x x( )). el s Inercijalna sila je ao i u odelu a), roorcionalna asi i ubrzanju u o renuu F i x( ). Uvje dinaiče ravnoeže je F i + g = 0. U ovu jednadžbu uvrsio vrijednos inercijalne i elasične sile i dobijeo x( ) xs x( ) g 0. Konsanni dio elasične sile u ravnoeži je s ežino aerijalne oče, ao da je diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija odela b) idenična jednadžbi slobodnih oscilacija odela a) x x 0. Možeo zaljučii da od određivanja diferencijalne jednadžbe oscilacija sijeo zanearii osojanje graviacijsih sila.

6 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija rijena zaona o očuvanju energije Za vrijee slobodnih oscilacija očena energija uvedena u ehaniza osaje sačuvana. Ona se izjenjuje izeđu elasične oruge i ase, odnosno relazi iz energije deforacije u ineiču energiju, i obrano. Već je oazano da diferencijalnu jednadžbu oscilacija ožeo jednosavnije odredii ao ne uziao u obzir ujecaj graviacijsih sila (odel riazan na slici a). U neo renuu, uuna energija susava sasoji se od zbroja ineiče energije i oencijalne energije: E u = E +E Eu x x cons. Derivacija uune energije o vreenu ora isčezavai: ili E u x x x x 0, x x x 0. Jednadžba je zadovoljena u svao renuu, sao ao izraz u zagradi isčezava, šo određuje već oznau diferencijalnu jednadžbu oscilacija x x 0.. Virualni rad, Hailonov rinci, Lagrangeove jednadžbe gibanja o diferencijalnu jednadžbu oscilacija onožio s virualni oao δx, dobijeo jednadžbu virualnog rada elasične i inercijalne sile izvršenog za vrijee og oaa. ( x ) x ( x ) x 0 oa x se jenja s vreeno, šo znači da je varijacija oaa δx određena izeđu dva oložaja, dale za dva različia renua i, a gornju jednadžbu ožeo inegrirai o vreenu. ( x x )d ( x x )d Naon arcijalne inegracije rvog inegrala uz 0 dv xd v x u x du xd d uz x ( x ) i zbog isčezavanja δx na granicaa inegracije, dobije se d, dobije se x x x xd

7 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 7 šo je uz E ( x x )d ( x x )d 0, x x i E jednao inegralu varijacije: ( E E ) d 0. o se u ovaj izraz doda i virualni rad neonzervaivnih sila (ojih u naše odelu nea) dobiva se jednadžba oja je u dinaici oznaa ao Hailonov varijacijsi rinci. Hailonov rinci oazuje da je razlia ineiče i oencijalne energije neog susava nasala u određeno inervalu vreena zbog rada neonzervaivnih sila u o susavu E ( ) E ( ) d Wnc( )d 0. E i E redsavljaju uunu ineiču i oencijalnu energiju a W nc uuni rad svih neonzervaivnih sila u roarano susavu. riazani uvje se ože rijenii na bilo oji susav (linearni ili nelinearni), uz odgovarajuće određenu energiju. U saičo slučaju gubi se ovisnos o vreenu, i ineiča energija isčezava. Dobiju se jednadžbe saiče ravnoeže oisane uvjeo iniua oencijalne energije (E W nc ) =0. o se oaci riažu ooću generaliziranih oordinaa, oencijalna energija E () roizvoljnog susava ože se oisai odabrano gruo oordinaa x...x n, a ineiča energija E () u oće slučaju ože bii riazana funcijo oložaja i brzine. Virualni rad svih neonzervaivnih sila na virualni oacia nasali zbog varijacije grue generaliziranih oordinaa, riazuje se ao linearna funcija varijacija generaliziranih oordinaa: W nc =Q x + Q x Q n x n Koeficijeni Q i nazivaju se funcije generaliziranih sila za odgovarajuću oordinau x i. o ovao određenu ineiču i oencijalnu energiju, e varijaciju rada neonzervaivnih sila uvrsio u Hailonove jednadžbe, rijenjujući varijaciju o svi oordinaaa, dobiju se oznae Lagrangeove jednadžbe gibanja: d d T T x i xi V x i Q i i =,,.... n Za određivanje generaliziranih sila Q i, orebno je naći W nc, odnosno odredii rad svih neonzervaivnih sila u susavu (oje djeluju unuar ili izvan elasičnog ijela), za vrijee do se ehaničo susavu daju virualni oaci x i.

8 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 8 Zaon gibanja (slobodne nerigušene oscilacije) Zaon gibanja x(), određuje se iz rješenja diferencijalne jednadžbe ojo je oisano gibanje ase. x x 0 x x 0 Uvodi se onsana, da bi se jednadžba naisala u obliu x x 0. osua oji dolazio do rješenja diferencijalne jednadžbe ozna je iz aeaie. Rješenje je haronijsa funcija ovisna o vreenu i ri onsane ω, C, i C. x ( ) C Cos( ) C Sin( ) Konsane C i C određuju se iz očenih uvjea oji su oisani ao uzro oscilacija: -očeni oa x(=0)=x 0, C =x 0 v0 -očena brzina x (=0)=v 0. C Uz uvje da su očeni oa x 0 i očena brzina v 0 različii od nule dobije se v0 x( ) x0 Cos( ) Sin( ). C Uvođenje novih onsani: C C, i rctan( ), rješenje se ože naisai C i u obliu: x ( ) Sin( ). rea oznaaa na sl. 8, zaon gibanja određuje olon od ravnoežnog oložaja u bilo oje renuu. Konsana određuje asialni olon od ravnoežnog oložaja, naziva se aliuda oscilacija i ovisi o uzrou oscilacija. Konsana (jeri se radiania o jedinici vreena), ovisi sao o ruosi i asi roaranog ehaničog susava, i naziva se vlasia frevencija susava ili ružna frevencija. Vlasia frevencija ne ovisi o oložaju ehaničog susava u rosoru, odnosno o ravnini u ojoj susav oscilira. Kao šo se ože vidjei iz izvoda, vlasia frevencija odela a) oji oscilira u horizonalnoj ravnini, jednaa je vlasioj frevenciji odela b) oji oscilira u verialnoj ravnini, ao oba odela iaju jednau asu i ruos. Možeo zaljučii da sile graviacije neaju ujecaj na vlasiu frevenciju linearnog haronijsog oscilaora. oložaj ase u bilo oje renuu i određen je suerozicijo saičog rogiba i olona x( i ).

9 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00 9 Naziv ružna frevencija dolazi od usoredbe s gibanje oče o ružnici radiusa, onsanno uno brzino ω. Kružno gibanje određeno je zaono ( ) 0. o je središe ružnice u ishodišu, udaljenos oče od osi y za 0, u svao renuu određena je veličino x ( ) Sin( ), Tavo gibanje o ružnici riazano je na slici 9, ao da su crane uzasone rojecije veora oložaja oče, na sjer osi x, u jednai inervalia vreena Δ=T/8(s). Na aj način određen je oložaj oče u renucia y α ω x() i = i- + Δ, i=,..., 0 =0 riazane oče leže na rivulji određenoj zaono Sin(α) x() x ( ) Sin( ). eriod oscilacija T je vrijee orebno da oča dođe u očeni oložaj, (šo znači da jedno obiđe ružnicu) T. Ova relacija određuje vezu izeđu erioda i ružne frevencije: T. Slia 9. Haronijso gibanje

10 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija rijer Mehaniči susav sasoji se od šaa ase, ružnog disa ase i oruge ruosi. Ša je jedni raje zglobno vezan na neoičnu odlogu a na njegov drugi raj zglobno je vezan ružni dis. Na rub disa naoano je uže. Jedan raj užea vezan je za neoičnu odlogu, a drugi raj užea nasavlja se na orugu oja je vezana za neoičnu odlogu, ao šo je riazano na crežu. Treba odredii: a) diferencijalnu jednadžbu slobodnih oscilacija oče B b) vlasiu frevenciju slobodnih oscilacija riazanog ehaničog susava. c) zaon alih oscilacija oče B, oje će nasai naon djelovanja iulsa S, ao rije djelovanja iulsa ehaniza iruje u verialnoj ravnini. d) Zaon alih oscilacija oče B oje će nasai naon djelovanja iulsa S, ao se isovreeno s djelovanje iulsa uloni veza oja ridržava dis ao da ežine ijela ne oerećuju orugu e je oruga rije očea gibanja nedeforirana. R=0.5L S B 0.5 L 0.5 L oaci za vrijee oscilacija: Slia 0. riaz ehaniza Rješenje: R x x oaci za vrijee oscilacija ehaniza, riazani su na slici 0. Ša ase roira oo neoične oče, a dis ase oo svog renunog cenra roacije. Moeni roosi ase šaa i disa na cenre roacija su I I L R R. a) Diferencijalna jednadžba oscilacija ože se odredii na bilo oji od oisanih načina.. način: rijeni će se energesi risu, odnosno svojsvo onzervaivnih susava, da uuna ehaniča energija za vrijee slobodnih nerigušenih oscilacija osaje nerojenjena. E E E cons. Kineiča energija u bilo oje renuu gibanja ehaniza, osljedica je roacije oja ovisi o veličini olona x, odnosno o brzini x. E I x L I x R 5 x oencijalna energija sasoji se od oencijala elasičnih sila E o ; (oruga), i oencijala graviacijsih sila E g ; (ežina šaa i ežina disa), a jerena je od nivoa c oji odgovara sanju nedeforirane oruge. E E o E g

11 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00. E o x x g x 5 E g g x c g x c 5 E x g x c Oruga je u očeno ravnoežno oložaju deforirana zbog djelovanja graviacijsih sila. oa x u sanju ravnoeže naziva se x s, i ože se odredii iz uvjea iniua oencijalne energije: de d 5 5 g 0 4 x g x xs. 8 Olon x() za vrijee oscilacija uobičajeno se jeri od ravnoežnog oložaja, šo znači da se veličina uunog oaa ože riazai ooću suerozicije salnog, saičog udjela x s, i rojenjivog x(). o u izrazu za oencijalnu energiju uuni oa riažeo na aj način, dale ujeso x zajenio x s +x() i uvrsio saiči olon x s, naon sređivanja dobijeo izraz oji odgovara oencijalnoj energiji jerenoj od ravnoežnog nivoa c. E 5 ( xs x) g ( xs x) c x 5 g c x c. ovrđeno je da graviacijse sile ne uječu na rojenjivi dio oencijalne energije za vrijee oscilacija u verialnoj ravnini, nego jenjaju vrijednos onsannog dijela oencijala (iz c u c ). Izbor nivoa onsannog oencijala, od ojeg se jeri rojenjivi dio, je slobodan i nea ujecaja na diferencijalnu jednadžbu oscilacija jer se onsane gube naon deriviranja uune energije o vreenu. 5 d E x x c cons. / d 5 5 x x x x 0 ( x x) x 0 Da bi jednaos bila zadovoljena u bilo oje renuu, ora bii ili 5 x x 0, 6 x x Način: Ujeso riazanog osua, vlasia frevencija, a ie i diferencijalna jednadžba, ože se jednosavnije odredii reducijo zadanog ehaničog susava na linearni haronijsi oscilaor ase r i ruosi r. U o slučaju ora bii zadovoljen uvje

12 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00. evivalencije energije reduciranog haronijsog oscilaora i energije svarnog susava u bilo oje renuu. Korisio već određene izraze za ineiču i oencijalnu energiju E i E, zadanog ehaničog susava: -Evivalencija ineiče energije E, r =E 5 0 r x x r -Evivalencija oencijalne energije (uzia se sao ujecaj elasičnih sila) E,r =E r x x r 4 Vlasia frevencija linearnog haronijsog oscilaora određena je izrazo r 6. 5 r Sada se lao odredi diferencijalna jednadžba oscilacija: 6 x x 0 x x Način: Diferencijalnu jednadžbu oscilacija ožeo odredii i rijeno eode virualnog rada. oznao je da za ehaniči susav od djelovanje sila u ravnoeži vrijedi: W 0. Zadano ehanizu, oji u neo renuu za vrijee gibanja ia olon x od ravnoežnog oložaja, dajeo virualni oa δx, i osavljao uvje dinaiče ravnoeže. I ε 0.5 L R g g 0.5 L x s+ x (x s + x) δx δx Slia. oaci i sile (oeni) I ε U o slučaju za vrijee gibanja virualni rad vrše sile inercije, graviacijse sile i elasične sile. Gibanje ijela određeno je roacijo oo oznaih cenara roacije, ao da ujeso rada sila inercije uziao rad njihovih oenaa oo ih cenara, i ao jednadžba virualnog rada osaje jednosavnija. Moen sila inercije ase šaa na oču, riazan je s I ε =I x, L a oen sila inercije disa na oču, s I ε =I R x. I i I, već su određeni oeni roosi.

13 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija 00. Elasična sila u roarano renuu ia veličinu = (x s +x), gdje je x s već 5 g ranije određen saiči rogib: x s. 8 U sladu s navedeni oznaaa uuni virualni rad svih sila određen je sa x x x g g x I I Fel x 0. L R Naon susiucije oznaih veličina i sređivanja dobije se jednadžba x x 4 x x 0. Uočavao da se rad graviacijsih sila oe onišava s virualni rado onsannog dijela elasične sile. Za δx 0, izraz u zagradi ora izčezavai, e se diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija zadanog ehaniza dobije sređivanje og izraza. x 6 5 x 0 b) Tražena vlasia frevencija ω dobije se iz faora uz x, jer je diferencijalna jednadžba svedena na obli: 6 x x 0. 5 c) Zaon oscilacija određen je rješenje diferencijalne jednadžbe u oje očeni uvjei x 0 i v 0 ovise o očeno uzrou oscilacija, oisano u esu zadaa. v0 x( ) x0 Cos( ) Sin( ) U renuu =0 susav iruje u ravnoežno oložaju (od ojeg se jeri x), šo uvjeuje da je izjereni očeni oa x 0 =0. očena brzina v 0 osljedica je djelovanja iulsa S, oji će u renuu =0 roijenii oličinu gibanja ehaničog susava. oazano je na lanu oaa, da se asa šaa i asa disa roiraju oo različiih cenara roacija. Da bi se ogao rijenii sava iulsa za ijelo u roaciji, susav se ora rasavii, a se uvodi unuarnji iuls S, oji vanjsi iuls S renosi sa šaa na dis. Djelovanje iulsa na ijelo u roaciji oo neoične osi c objašnjeno je rije. Moen iulsa na os c, ijenja oen oličine gibanja ijela šo išeo jednadžbo I c Ic M cs. Jednadžbe ovog oblia ogu se naisai za ša i za dis: ω 0.5 L S 0.5 L B S v 0 Ša roira oo oče (oo osi ooie na ravninu creža): L L S S L ()

14 V.Radua, Mehania II-DINMIK, radna verzija S R=0.5L Dis roira oo oče (odnosno osi ooie na ravninu creža roz oču ) R S R () ω v 0 Zbog razdvajanja ehaniza i zasebnog roaranja roacije svaog ijela, orebno je osigurai oaibilnos gibanja. L R v (). 0 Uvedena je oznaa v 0, za brzinu u zglobno soju šaa i disa (oča B). To je ražena očena brzina. Veličina v 0 odredi se eliinacijo iz susava jednadžbi (), (), (). v 0 0 S Zaon oscilacija glasi: v0 S 5 6 x( ) Sin( ) Sin( ) x( ) S Sin( ) 5 d) U renuu =0, susav iruje ridržan ao da oruga nije deforirana. To znači da rea slici, uz oznau x=x (=0) =x 0, ora bii x s +x 0 =0. x 0 x s 5 g 8 očena brzina nasaje od djelovanja iulsa a osaje isa ao u rješenju od c). Zaon oscilacija određen je funcijo: 5 g 6 6 x( ) Cos( ) S Sin( )