ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET BEOGRAD računske vežbe iz Fizike 2 prolećni semestar godine KINETIČKA TEORIJA GASOVA

Transcript

1 LKROHIČKI FKUL OGRD računse ežbe iz Fizie rolećni seestar 00. godine KIIČK ORIJ GSO Jedna od glanih tea oje terodinaia razatra je fizia gasoa. Gas se sastoji od atoa (ili indiidualnih ili eđusobno ezanih tao da foriraju oleule oji isunjaaju zareinu i deluju ritiso na zidoe osude u ojoj se nalaze. Pored ritisa i zareine, treća arososa eličina oja oisuje stanje gasa je teeratura. Se tri eličine stanja zareina, ritisa i teeratura osledica su retanja atoa. Zareina se odnosi na slobodu atoa da se reću roz osudu, ritisa je osledica sudara atoa sa zidoia suda, a teeratura je diretno oezana sa inetičo energijo atoa. Kinetiča teorija gasoa daje ezu izeđu retanja atoa i arososih eličina stanja gasa. Kretanje atoa je oisano inetičo energijo, odnosno brzino atoa, a inetiča teorija gasoa zarao ezuje irosose i arosose osobine gasa. Jedan ol sustance sadrži ogadro broj eleentarnih čestica (uobičajeno atoa ili oleula, gde je rednost eserientalno određena i iznosi 6,0 0 ol -. olarna asa redstalja asu jednog ola sustance. eza izeđu olarne ase i ase jednog oleula data je sa. Proizod ogadroog broja i oltzann-oe onstante (,8 0 - J/K uobičajeno se označaa sa R i nazia unierzalna gasna onstanta (R 8,4 J/(ol K.. nergija translatornog retanja [zz 500]. Uuna inetiča energija translatornog retanja oleula azota oji se nalazi u sudu zareine 0.0 je 5 J. fetina brzina oleula je eff /s. Pronaći asu gasa i ritisa oji gas deluje na zidoe suda. Srednja energija usled teričog retanja jednog oleula idealnog gasa data je izrazo: j gde j redstalja broj steeni slobode retanja oleula. roj steeni slobode redstalja broj oonenti brzine otreban da bi se u otunosti oisalo retanje oleula (broj nezaisnih načina da oleul sladišti energiju. aie, ada se određena oličina tolote reda idealno gasu, ona odlazi na oećanje inetiče energije oleula oja je roorcionalna asolutnoj teeraturi. Prea rinciu eiarticije, na sai steen slobode odlazi srednja energija od ½. Doedena tolota odlazi na oećanje inetiče energije translacije (, rotacije (R i ibracije ( oleula, a se broj steeni slobode j ože redstaiti reo zbira: j j + j + Za jednoatosi gas broj steeni slobode je j j jer je oguće sao translatorno retanje. Za doatosi gas broj steeni slobode je j j + j R + 5 i uračunaa translatornu i rotacionu inetiču energiju. U onretno slučaju, data je uuna inetiča energija translatornog retanja, a je j j, a uuna energija se dobija ada energiju o jedno oleulu oonožio sa uuni broje oleula: R j t j n R Jasna Crnjansi

2 gde je broj oleula u gasu n izražen reo broja oloa n i ogadroog broja. Srednja inetiča energija se sa druge strane ože izraziti reo brzine oleula: t Koren iz srednje rednosti adrata brzine (srednje adratne brzine taođe redstalja neu rstu srednje brzine i nazia se efetina brzina retanja eff : eff Izjednačaanje izraza za inetiču energiju za jedan oleul (, dobija se efetina brzina oleula izražena reo asolutne teerature i olarne ase: eff R eff fetina brzina daje generalnu ideju o brzini oleula u gasu oji se nalazi na teeraturi. eđuti, često je otrebno znati oji broj (oji deo oleula ia brzinu eću ili anju od efetine brzine. Kao je broj oleula u gasu jao elii, za oisianje stanja oleula gasa ćesto se oristi teorija eroatnoće, a je onead otrebno odrediti sa ojo se brzino najeroatnije reću oleuli (odnosno oja je najeroatnija brzina retanja oleula. Da bi odgoorili na oa itanje otrebno je znati aa je rasodela brzina o oleulia. Rasodela o brzinaa oleula u gasu nazia se axell-oa rasodela i data je funcijo gustine rasodele: f ( 4 / ex eličina f( nazia se gustina rasodele i redstalja broj oleula oji iaju brzinu u jedinično interalu brzine oo, do eličina f(d redstalja broj oleula, od uuno, oji iaju brzinu u interalu brzina od do + d. Poršina isod rasodele odgoara ono broju oleula od uuno, oji iaju brzine u interalu od nula do besonačno elie brzine, što zarao redstalja ategoriju ojoj riada sih oleula, a je oršina isod rie jednaa za sau teeraturu. Srednja brzina oleula u gasu dobija se određianje integrala funcije rasodele: Jasna Crnjansi

3 + 0 f ( d 8R ajeroatnija brzina P je brzina za oju funcija gustine rasodele ia asiu i ože se odrediti na osnou: df ( 0 d R P Proizoljno izabrani oleul u gasu će najeroatnije iati brzinu P ili neu njoj blisu brzinu, ali će nei oleuli iati i brzine oje će biti nogo eće od najeroatnije brzine. Urao oaj re rasodele oogućaa ostojanje iše i Sunčee setlosti. a osnou oznate efetine brzine i uune inetiče energije, ože se odrediti asa gasa oji se nalazi u osudi: R eff t t R, 5 g. Pritisa u gasu ože se odrediti iz jednačine stanja idealnog gasa: eff R R R t 5,67 0 Pa.. nergija rutog rotatora [zz 50]. Kolia je energija teričog retanja 0 g iseonia O, olarne ase g/ol na teeraturi t 0 C? Koji deo energije otada na translatorno, a oji na rotaciono retanje oleula? Koristiti odel rutog rotatora za redstaljanje oleula iseonia i zaneariti ibracije atoa u oleulu. a osnou rešenja rethodnog zadata uuna energija teričog retanja data je izrazo: j j n j R U onretno slučaju, u itanju je iseoni O oji redstalja doatosi gas, a je broj steeni slobode j j + j R + 5, a uuna energija: 5 R,68 J. Deo energije oji odlazi na inetiču energiju translatornog retanja dobija se za j j : R,06 J ribližno 60% a deo oji odlazi na inetiču energiju rotacionog retanja dobija se za j j R : R R,47 J ribližno 40% Jasna Crnjansi

4 . Secifična tolota [zz 50]. Za nei gas su eserientalno utrđene secifične tolote c 0,9 J/(g K i c 6,4 J/(g K. Odrediti olarnu asu i broj steeni slobode u gasu. Koji je gas u itanju? Da li je dobijeni rezultat u sladu sa odelo rutog rotatora? Količina tolote Q otreba da se oeća teeratura ase date sustance sa na roorcionalna je roeni teerature Δ i asi sustance, sa onstanto roorcionalnosti c oja zaisi od rste sustance i nazia se secifična tolota: Δ Q cδ o se radi o ali roenaa rethodni izraz se ože zaisati u obliu: dq cd a je secifična tolota ože definisati ao oličina tolote oju je otrebno doesti g sustance da bi se njena teeratura oećala za K: dq c [J/(g K] d Količina tolote se ože redstaiti i reo broja oloa n : dq n cd a se ože definisati i olarna secifična tolota C c oja redstalja oličinu tolote oju je otrebno doesti olu sustance da bi se njegoa teeratura oećala za K: Secifična tolota idealnog gasa zaisi od načina na oji se ona eri, odnosno određuje. o se rilio eserienta, zareina gasa održaa onstantno ( const, dobija se secifična tolota ri onstantnoj zareini (c ili C, do ao se ritisa održaa onstanti ( const, dobija se secifična tolota ri onstantno ritisu (c ili C. Odnos secifičnih tolota ri onstantno ritisu i zareini uobičajeno se označaa grči sloo aa: κ C C Iz I zaona terodinaie, ože se dobiti eza izeđu olarnih secifičnih tolota ri onstantno ritisu i zareini (ajeroa jednačina: c c C C + R U ošte slučaju araetar aa zaisi od broja steeni slobode gasa rea relaciji: κ j + j a osnou definicije araetra aa i njegoe eze sa broje steeni slobode, za zadate secifične tolote ri onstantno ritisu i zareini, dobija se: c j + κ j c j c / c Iz ajeroe relacije ože se odrediti olarna asa gasa: C R C R ( c c g/ol ( c c a osnou određene olarne ase, ože se zaljučiti da je u itanju odoni. eđuti, oznato je da je odoni doatosi gas (H što nije u sladu sa rethodno određeni broje steeni slobode oji sugeriše da je u itanju jednoatosi gas. Oo neslaganje se ože objasniti uolio su rednosti secifičnih tolota određiane ri eoa nisi teeraturaa ada se rotacija ože zaneariti Jasna Crnjansi

5 4. Dalton-o zaon [zz 504]. Gustina seše azota (olarne ase 8 g/ol i odonia H (olarne ase H g/ol na teeraturi t 47 C i ritisu 0 Pa je ρ 0, g/. Kolia je oncentracija oleula odonia, a olia oncentracija oleula azota u toj seši? Koncentracija redstalja broj oleula u jedinici zareine n /, a na osnou jednačine stanja idealnog gasa ože se izraziti i reo ritisa i teerature : nr n n n Prea Dalton-oo zaonu, zbir arcijalnih ritisaa oonenata seše jedna je uuno ritisu seše sih gasoa: + H gde su sa i H označeni arcijalni ritisci azota i odonia, resetino. a osnou oog izraza, oncentracija seše se ože redstaiti u obliu: + n H H + n + i za oznat ritisa i teeraturu t + 7,6 K ia oznatu rednost. a osnou eze izeđu gustine i oncentracije: n H ρ n n dobija se još jedna relacija o arcijalni oncentracijaa: ρ + H n + n H H Rešaanje dobijenog sistea od de jednačine, ogu se odrediti arcijalne oncentracije: n H ρ R,40 H 4 / R 5 nh n 4,4 0 / Jasna Crnjansi

6 5. Sudari oleula [zz 506]. aći srednju dužinu slobodnog uta λ i srednji interal reena izeđu suscesinih sudara τ oleula iseonia na teeraturi t 0 C i ritisu 00 Pa. Uzeti da je efetini dijaetar oleula iseonia d 0.5 n, a olarna asa g/ol. Jedna od retostai inetiče teorije gasoa je da se oleuli onašaju ao aterijalne tače, odnosno da je njihoa dienzija zanearljio ala u odnosu na srednje rastojanje izeđu saih čestica i dienzije suda. eđuti, u oao odelu ne bi bili ogući sudari izeđu oleula, a je otrebno forirati i razatrati realniji odel u oe su oleuli rute lote olurečnia r. Posatrao gas oji se sastoji od lotastih oleula olurečnia r oji zauziaju zareinu suda. Pretostaio da se oleul reće srednjo brzino, ci-ca utanjo. Do sudara izeđu da oleula će doći sai ut ada je noralno rastojanje u odnosu na raac retanja izeđu da oleula jednao r. Srednji broj sudara jednog oleula sa ostali oleulia, u jedinici reena (freencija sudara, dat je relacijo: d dτ 4 r Srednje ree izeđu da sudara redstalja reciročnu rednost broja sudara u jedinici reena: τ 4 r Srednje rastojanje izeđu da sudara (srednja dužina slobodnog uta dobija se ada se srednje ree izeđu da sudara onoži sa srednjo brzino retanja oleula: λ τ 4 r / 4 r n 4 r 69, n. a osnou izraza za srednju brzinu: 8R i eze izeđu srednjeg slobodnog uta i srednjeg reena izeđu da sudara, dobija se: λ τ 6 s Jasna Crnjansi

7 6. Srednji broj sudara u jedinici reena [zz 507]. Srednja dužina slobodnog uta oleula iseonia je λ na teeraturi t 0 C i ritisu. Kolii je srednji broj sudara oleula iseonia u jedinici reena ao se gas u sudu eauiše do ritisa 0.0. eeratura too rocesa je onstantna. olarna asa iseonia je g/ol. Srednji broj sudara u jedinici reena jednog oleula, redstalja reciročnu rednost srednjeg reena izeđu da sudara: ξ. τ λ Srednja dužina slobodnog uta je u situaciji ada se teeratura održaa onstantno, obrnuto srazerna sa ritiso: λ ~ 4 r, a se rilio sanjenja ritisa sa na 0.0 srednja dužina slobodnog uta zarao oeća 00 uta: a osnou izraza za srednju brzinu: λ ~ 00. λ 8R, srednji broj sudara u jedinici reena, naon eauacije gasa do ritisa dobija se u obliu: ξ λ 8R 4, λ 7 /s Jasna Crnjansi

8 7. Uuan broj sudara u jedinici reena i zareine [zz 508]. Srednja dužina slobodnog uta oleula neog gasa je λ 0.5 μ a efetina brzina eff 500 /s. Kolii je uuan broj sudara u jedinici reena i zareine ao je efetini dijaetar oleula d 0.6 n. Uuan broj sudara sih oleula, u jedinici reena i jedinici zareine ože se odrediti na osnou izraza: ξ Z nξ n. λ gde je fator ½ osledica činjenice da se sai sudar događa izeđu da oleula. Srednja brzina se ože izraziti reo efetine brzine: 8R 8 R 8 eff, a oncentracija se ože izraziti na osnou srednje dužine slobodnog uta: λ 4 r n n d λ Konačno, uuan broj sudara sih oleula u jedinici reena i jedinici zareine: 8 eff 7 Z 0 c - s -. d λ λ Jasna Crnjansi

9 8. Koeficijent dinaiče isoznosti [zz 509]. serientalno je utrđeno da je oeficijent dinaiče isoznosti odonia H na teeraturi t 5 C, η 8,7 0-6 Pa s. Odrediti efetini dijaetar oleula odonia. olarna asa je,06 g/ol. Koeficijent dinaiče isoznosti definiše se ao: η nλ a osnou izraza za srednju brzinu i srednju dužinu slobodnog uta, dobija se: η n 8R d n odale je efetini dijaetar d η 8R Za jedan oleul ( asa /, a je efetini dijaetar d / η 8R 0, n Jasna Crnjansi

10 9. Koeficijent difuzije [zz 5]. Gas se ri onstantno ritisu zagrea od teerature 00 K do nee teerature, ri čeu se oeficijent difuzije udostruči. Odrediti teeraturu. Difuzija redstalja roces too og se oleuli iz oblasti eće oncentracije sontano reću a oblasti anje oncentracije se do se ne usostai ranoteža, odnosno se do se oncentracije ne izjednače. Gustina struje čestica ri difuziji definiše se izrazo: dn J D dx gde je D difuziona onstanta, a dn/dx gradijent oncentracije duž x raca. Prea inetičoj teoriji gasoa, difuziona onstanta u gasu je: D λ Zaeno izraza za srednju brzinu i srednju dužinu slobodnog uta, dobija se: D 8R d o se roces zagreanja izršaa ri onstantno ritisu, difuziona onstanta je diretno srazerna sa teeraturo: / D ~ a se teeratura jednostano određuje iz: / / D D / 58, 7 D D K 0. [K aj 008]. U sudu zareine l nalazi se atoa helijua He na teeraturi 00 K. Odrediti: a najeroatniju ( P, srednju ( i efetinu ( eff brzinu oleula, b srednju inetiču energiju jednog oleula, c ritisa gasa na zidoe suda, d broj oleula (od oji iaju inetiču energiju anju od ; funcija gustine eroatnoće (axwell-oa rasodela brzina oleula je: f ( 4 ex gde je asa jednog oleula, a olcanoa onstanta, i e broj oleula helijua oji iaju brzinu izeđu i + Δ, ao je Δ 0 /s. / Poznata je rednost integrala x ex( x dx 0, 9 i onstante R 8,4 J/(ol K, 6,0 0 0 /ol. Sa dooljno tačnošću se ože uzeti da je atosa asa jednaa aseno broju Jasna Crnjansi

11 a ajeroatnija brzina data je izrazo: R 8,4 00 P 6,74 /s 4 0 Srednja brzina data je izrazo: 8R 88,400, ,0 /s fetina brzina data je izrazo: R 8,4 00 eff 67,47 /s 4 0 b Heliju je jednoatosi gas, a je broj steeni slobode j j i srednja inetiča energija jednog oleula ( data je izrazo: t R j 8,4 6, , 0 - J c Pritisa gasa na zidoe suda dat je izrazo (ideti zadata : t 6 0 6,0 0 4,4 0 - Pa d a osnou zadate gustine eroatnoće u funciji brzine, ože se odrediti gustina eroatnoće u funciji od energije: f ( d f ( d f ( f ( d d gde je eza izeđu brzine i energije data reo inetiče energije: d d Gustina eroatnoće u funciji od energije dobija se u obliu: f ( 4 / ex f ( / ( ex roj oleula, od uuno oji iaju energiju anju od <, dobija se određianje integrala: < f d / ( 0 ( 0 d ex Jasna Crnjansi

12 00 Jasna Crnjansi -- o se uede sena: x xdx d rethodni integral se ože sesti na: ,9 4 ex( 4 ex( ( 0 0 / < dx x x xdx x x e roj oleula oji iaju brzinu izeđu i + d je f(d. Kao je rednost srednje brzine nogo eća od Δ 0 /s, traženi broj oleula se ože odrediti bez izračunaanja integrala: 70 ex 4 ( / Δ Δ Δ f gde je asa jednog oleula helijua: 7 0 6,64 0 6,0 0 4 g.