Vodič za navođenje hranjivih vrijednosti hrane

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vodič za navođenje hranjivih vrijednosti hrane"

Transcript

1 MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE, RIBARSTVA I RURALNOG RAZVOJA ULICA GRADA VUKOVARA 78, ZAGREB Vodič za navođenje hranjivih vrijednosti hrane Izdanje 1. Srpanj, godine 1

2 SADRŽAJ UVOD PRIMJENA VODIČA ZA NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE POJMOVI, ENERGETSKA VRIJEDNOST I HRANJIVA VRIJEDNOST HRANE Pojmovi i količina hranjivih tvari NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE Navođenje hranjivih vrijednosti hrane prema skupinama Navođenje podataka o šećerima, poliolima, škrobu Navođenje podataka o količini masti, masnih kiselina i kolesterola Način navođenja hranjivih vrijednosti hrane Navođenje hranjivih vrijednosti hrane po obroku Navođenje vitamina i minerala NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI KOD PROIZVODA S PREHRAMBENOM TVRDNJOM NEZAPAKIRANA HRANA REFERENTNE VRIJEDNOSTI HRANJIVIH TVARI HRANE RDA (Recommended Daily Allowances) GDA (Guideline Daily Amounts) PRIMJERI ČESTIH POGREŠAKA PRI NAVOĐENJU HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE VITAMINI I MINERALI KOJI SE MOGU NAVODITI I NJIHOVE PREPORUČENE DNEVNE KOLIČINE (RDA) PRILOG POPIS POSEBNIH PROPISA IZ POGLAVLJA Vodič za navođenje hranjivih vrijednosti hrane je izrađen radi primjene Pravilnika o navođenju hranjivih vrijednosti hrane (NN 29/09) i podložan je izmjenama u slučaju donošenja novih propisa. Primjeri korišteni u ovom dokumentu su informativnog karaktera i navedeni su samo kao pojašnjenje. Hrana označena prema Pravilniku o navođenju hranjivih vrijednosti hrane (NN 60/08, 74/08) može se nalaziti na tržištu do 31. listopada godine. 2

3 UVOD Način navođenja hranjivih vrijednosti hrane propisan je Pravilnikom o navođenju hranjivih vrijednosti hrane (NN 29/09) koji je donesen u veljači godine, temeljem Zakona o hrani (NN 46/07; NN 155/08), a primjenjuje se na hranu namijenjenu isporuci krajnjem potrošaču, kao i na hranu namijenjenu opskrbi ugostiteljskih objekata, kantina, bolnica, dječjih vrtića, škola, ustanova socijalne skrbi i drugih sličnih subjekata u poslovanju s hranom koji hranu nude krajnjem potrošaču za izravnu konzumaciju. Odredbe spomenutog Pravilnika ne primjenjuju se na prirodne mineralne vode ili druge vode namijenjene konzumaciji i na dodatke prehrani. Pravilnik o navođenju hranjivih vrijednosti hrane ne dovodi u pitanje odredbe Pravilnika o hrani za posebne prehrambene potrebe (NN 78/08). Uravnotežena prehrana je važna tijekom cijelog životnog perioda te ima veliki utjecaj na zdravlje pojedinca. Hranom se osigurava energija potrebna za rast, tjelesnu aktivnost i druge tjelesne funkcije te se unose tvari koje izgrađuju i održavaju tijelo, pridonose održavanju tjelesne i mentalne kondicije i poboljšavaju otpornost prema bolestima. Važno je zadovoljiti energetske potrebe i potrebe za hranjivim tvarima pojedinca. Za postizanje uravnotežene prehrane važno je znati izvor hranjivih tvari, njihovu funkciju i količinu, stoga je važno da potrošač dobiva ispravnu i jasnu informaciju temeljem koje će moći donijeti odluku o kupnji određenog proizvoda u skladu sa njegovim prehrambenim navikama. Upute u Vodiču se primjenjuju na zapakiranu i nezapakiranu hranu koja se isporučuje krajnjem potrošaču odnosno svim subjektima u poslovanju s hranom koji hranu nude krajnjem potrošaču za izravnu konzumaciju. 3

4 1. PRIMJENA VODIČA ZA NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE Ovim Vodičem pojašnjava se način navođenja hranjivih vrijednosti hrane. Vodič se ne primjenjuje na: prirodne mineralne vode ili druge vode namijenjene konzumaciji te dodatke prehrani. Vodič je namijenjen subjektima u poslovanju s hranom koji su odgovorni za označavanje hrane te osobama koje obavljaju službenu kontrolu hrane. 2. POJMOVI, ENERGETSKA VRIJEDNOST I HRANJIVA VRIJEDNOST HRANE 2.1. Pojmovi Navođenje hranjivih vrijednosti hrane je navođenje podataka koji se odnose se na: a) energetsku vrijednost hrane; b) sljedeće hranjive tvari: bjelančevine ugljikohidrati masti vlakna natrij vitamini i minerali navedeni u Prilogu 1. koji su prisutni u značajnoj količini kako je definirano u Prilogu 1. Prehrambena tvrdnja je svaka tvrdnja koja pri prezentiranju ili reklamiranju hrane tvrdi, navodi na zaključak ili upućuje da hrana ima određena hranjiva svojstva uvjetovana: a) energetskom vrijednošću koja može biti prirodna, smanjena, povećana ili je nema i/ili b) hranjivim tvarima koje mogu biti prirodno prisutne, dodane, oduzete ili nisu prisutne. podrazumijevaju količinu bjelančevina izračunatu prema formuli: bjelančevine = ukupni dušik po Kjeldahlovoj metodi x 6,25. podrazumijevaju sve ugljikohidrate koji se prerađuju metabolizmom čovjeka, uključujući i poliole. Šećeri podrazumijevaju sve monosaharide i disaharide zastupljene u hrani, osim poliola. podrazumijevaju ukupne lipide uključujući i fosfolipide. Zasićene masne kiseline podrazumijevaju masne kiseline bez dvostruke veze. Jednostruko nezasićene masne kiseline podrazumijevaju masne kiseline sa cis dvostrukom vezom. Višestruko nezasićene masne kiseline podrazumijevaju masne kiseline sa cis, cis-metilen prekinutim dvostrukim vezama. Vlakna čine polimeri ugljikohidrata sa tri ili više monomernih jedinica koja nisu probavljiva niti se apsorbiraju u tankom crijevu, a pripadaju u jednu od sljedećih kategorija: jestivi polimeri ugljikohidrata prirodno prisutni u hrani; jestivi polimeri ugljikohidrata dobiveni fizikalnim, enzimskim ili kemijskim postupkom iz sirovine i koji imaju znanstveno dokazan pozitivan fiziološki učinak na organizam; jestivi sintetski polimeri ugljikohidrata koji imaju znanstveno dokazan pozitivan fiziološki učinak na organizam. 4

5 Prosječna vrijednost je vrijednost koja najbolje predstavlja količinu hranjive tvari sadržanu u određenoj hrani, uz dopuštena odstupanja obzirom na sezonsku promjenjivost, način konzumacije i ostale čimbenike koji mogu prouzrokovati variranje stvarne vrijednosti i količina hranjivih tvari Kako bi se odredila energetska vrijednost koriste se sljedeći faktori preračunavanja: ugljikohidrati (osim poliola) 4 kcal/g 17 kj/g polioli 2,4 kcal/g 10 kj/g bjelančevine 4 kcal/g 17 kj/g masti 9 kcal/g 37 kj/g alkohol (etanol) 7 kcal/g 29 kj/g organske kiseline 3 kcal/g 13 kj/g salatrim (struktuirani triglicerid niže energetske vrijednosti) 6 kcal/g 25 kj/g vlakna 2 kcal/g 8 kj/g eritritol 0 kcal/g 0 kj/g. Jedinice u kojima se brojčano izražava energetska vrijednost i količina hranjivih tvari ili njihovih sastojaka u hrani su sljedeće: energetska vrijednost kj i kcal bjelančevine (g) ugljikohidrati (g) masti (g) natrij (g) vlakna (g) kolesterol (mg) vitamini i minerali kako je navedeno u Prilogu NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE Navođenje hranjivih vrijednosti hrane obvezno je kod: 1. hrane sa navedenom prehrambenom ili zdravstvenom tvrdnjom propisane posebnim propisom (Prilog 2. točka 1.); 2. hrane obogaćene hranjivim tvarima kao što su vitamini i minerali i druge tvari propisane posebnim propisom (Prilog 2. točka 2.); 3. hrane za dojenčad i malu djecu te prerađenu hranu na bazi žitarica za dojenčad i malu djecu propisane posebnim propisom (Prilog 2. točka 3.). Na zapakiranoj hrani svi podaci o hranjivim vrijednostima hrane moraju biti jasno vidljivi, čitljivi, neizbrisivi i moraju se nalaziti na uočljivom mjestu na ambalaži. Navođenje hranjivih vrijednosti hrane, bez obzira radi li se o obveznom ili dobrovoljnom navođenju, mora biti u skladu s Pravilnikom o navođenju hranjivih vrijednosti hrane. Preporuka je pri navođenju hranjivih vrijednosti koristiti terminologiju koju koristi i spomenuti Pravilnik. Hranjiva vrijednost hrane izražava se na 10 ili 100 ml proizvoda koji se stavlja na tržište, a može se izraziti i po obroku (vidjeti poglavlje 3.5.) Navođenje hranjivih vrijednosti hrane prema skupinama Hranjive vrijednosti hrane se navode prema sljedećim skupinama i navedenom redoslijedu: a) skupina 1: 5

6 energetska vrijednost hrane, količina bjelančevina, količina ugljikohidrata, količina masti. b) skupina 2: energetska vrijednost hrane, količina bjelančevina, količina ugljikohidrata, količina šećera, količina masti, količina zasićenih masnih kiselina, količina vlakana i količina natrija. Primjer: Navođenje hranjivih vrijednosti hrane prema skupini 1. Prosječne hranjive vrijednosti kj 387 kcal 5 g 85 g 3 g Primjer: Navođenje hranjivih vrijednosti hrane prema skupini 2. Prosječne hranjive vrijednosti od toga: šećeri : od toga: zasićene masne kiseline Vlakna Natrij kj 387 kcal 5 g 85 g 35 g 3 g 1,5 g 2 g 0,5 g 3.2. Navođenje podataka o šećerima, poliolima, škrobu Podaci o šećerima i/ili poliolima i/ili škrobu, navode se odmah nakon navođenja količine ugljikohidrata i to na sljedeći način: ugljikohidrati (g) od toga: šećeri (g) polioli (g) škrob (g). 6

7 Navođenje šećera kao dio ugljikohidrata podrazumijeva ukupne monosaharide i disaharide. U slučaju kada se navodi prehrambena tvrdnja vezana za vrstu šećera, primjerice fruktozu ili laktozu, navodi se količina te vrste šećera u odnosu na ukupne šećere na sljedeći način: -ugljikohidrati (g) od toga: šećeri (g) od toga: fruktoza (g) Primjer: Piće sa sokom od crnog ribiza i jabuke od koncentriranog soka 100 ml približno sadrži 153kJ (36 kcal) < 0,1g od toga: šećeri 9,0g 9,0g 0,1g od toga: zasićene masne kiseline 0 Vlakna 0,1g Natrij 0,1g 3.3. Navođenje podataka o količini masti, masnih kiselina i kolesterola Podaci o količini masnih kiselina i/ili kolesterola, navode se odmah nakon navođenja ukupne količine masti na sljedeći način: masti (g) od toga: zasićene masne kiseline (g) jednostruko nezasićene masne kiseline (g) višestruko nezasićene masne kiseline (g) kolesterol (mg). Prilikom navođenja količine jednostruko nezasićenih masnih kiselina i/ili višestruko nezasićenih masnih kiselina mora se obvezno navesti i količina zasićenih masnih kiselina iako se to ne smatra prehrambenom tvrdnjom. Primjer : Proizvod Margarin od toga: šećeri od toga: zasićene masne kiseline: 2200kJ/540 kcal 6 22 g 7

8 jednostruko nezasićene masne kiseline višestruko nezasićene masne kiseline kolesterol Natrij Vitamin E Vitamin A Vitamin D * RDA- preporučene dnevne količine 19 g < 0,5 g 0 mg 0,195 g 15 mg (150%)* 700 μg (87,5%)* 5 μg (100%)* 3.4. Način navođenja hranjivih vrijednosti hrane Podaci se mogu navoditi: u tabelarnom obliku, znamenkama poravnatim u stupce ili nanizani u liniji, ukoliko nema dovoljno raspoloživog prostora za tabelarni oblik Primjer: Proizvod Fermentirano mlijeko sa žitaricama Tabelarni prikaz: Hranjiva vrijednost hrane od toga: šećeri od toga: zasićene masne kiseline Vlakna Natrij kj 96 kcal 3,3 g 15,2 g 14, 2,5 g 1,6 g 0,2 g 0,02 g Linijski prikaz: Hranjiva vrijednost hrane u 10: energetska vrijednost 407 kj/96kcal, bjelančevine 3,3 g; ugljikohidrati 15,2 g od toga šećeri 14,; masti 2,5 g od toga zasićene masne kiseline 1,6 g; vlakna 0,2 g, natrij 0,02 g Navođenje hranjivih vrijednosti hrane po obroku Podaci o hranjivim vrijednostima hrane navode se za količinu od 10 ili 100 ml, a mogu se izražavati i po obroku, ukoliko je označen podatak o količini koju čini jedan obrok ili podatak o broju obroka sadržanih u pretpakovini.. Primjer: Proizvod Voćni musli Pri navođenju hranjivih vrijednosti hrane po obroku potrebno je odrediti količinu obroka Hranjiva vrijednost hrane 100g po obroku (4 muslija + 60 ml 8

9 mlijeka s 1,7%m.m.) 1365 kj 322 kcal 666 kj 157 kcal 8,2 g 5,3 g od toga: 63 g 28 g šećeri od toga: zasićene masne kiseline 24 g 3,7 g 12,4 g 2,5 g 0,6 g 0,8 g Vlakna 1 4 g Natrij 0,04 g 0,01 g Tiamin 0,3 mg (27% RDA)* 0,2 mg (18% RDA)* Magnezij 89 mg (24% RDA)* 43 mg (11% RDA)* Željezo 3,4 mg (24% RDA)* 1,4 mg (10% RDA)* *RDA -preporučena dnevna količina 3.6. Navođenje vitamina i minerala Ukoliko su u hrani prisutne značajnije količine vitamina i/ili minerala, one moraju biti izražene i kao postotak preporučene dnevne količine (Recommended Daily/Dietary Allowances RDA) za količine od 10 ili 100 ml ili po obroku. Pod značajnijom količinom smatra se količina koja iznosi 15 % od preporučene dnevne količine navedene u Prilogu 1., a sadržana je u 10 ili 100 ml ili u jednoj pretpakovini, koja se stavlja na tržište, a koja sadrži jedan obrok ili više obroka od kojih je samo jedan obrok preporučen za dnevnu konzumaciju. Vitamini i minerali prisutni u količini manjoj od 15% RDA ne navode se u tablici hranjivih vrijednosti hrane, nego se navode u popisu sastojaka. Primjer 1.: Energetsko piće 250 ml Prosječne hranjive vrijednosti u 100 ml % RDA* : 261 kj (62 kcal) 0,4 g 15 g Niacin 8 mg 50 Pantotenska kiselina 2 mg 33 Vitamin B6 2 mg 143 Vitamin B2 1,6 mg 114 Vitamin B12 1,6 µg 64 9

10 Primjer 2.: Naziv proizvoda: Tvrdi bomboni s okusom limuna, s vitaminom C Neto količina: 25 e 11 bombona dnevno podmiruje dnevnu potrebu za vitaminom C Prosječne hranjive vrijednosti u 10 4 g (1 bombon) : 1630 kj / 383 kcal 65 kj / 15 kcal 95,3 g 3,8 g - od toga šećeri 67,9 g 2,7 g - od toga zasićene masne kiseline Vlakna Natrij Vitamin C 180 mg (225 % RDA*) 7,2 mg (9 % RDA*) *RDA preporučena dnevna količina Primjer 3.: Proizvod Biskvit s mliječnim punjenjem i čokoladnim preljevom U ovom primjeru navedeni su podaci za hranjive vrijednosti hrane iz skupine 1 uz navođenje vitamina i minerala. Hranjiva vrijednost 100g RDA* kj/kcal 1842/442 g 7,2 g 37,4 g 29,3 Vitamin B2 (riboflavin) mg 0,25 (18 %) Vitamin B12 µg 0,45 (18 %) Kalcij mg 149 (19 %) Fosfor mg 185 (26 %) *RDA preporučena dnevna količina 4. NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI KOD PROIZVODA S PREHRAMBENOM TVRDNJOM Za hranu kod koje se pri označavanju, prezentiranju ili reklamiranju, isključujući generičko reklamiranje, navodi prehrambena tvrdnja, obvezno je navođenje hranjivih vrijednosti. Podaci o hranjivim vrijednostima te hrane moraju uključivati i hranjivu tvar koja je navedena u prehrambenoj tvrdnji. Ukoliko je navođenje hranjive tvari i njezine količine propisano posebnim propisima, navedenim u Prilogu 2., tada se isto ne smatra prehrambenom tvrdnjom. Primjer 1.: Proizvod Sok od više vrsta voća ima navedenu prehrambenu tvrdnju obogaćen vitaminima U ovom slučaju tablica hranjivih vrijednosti hrane mora sadržavati podatak o količini vitamina i postotni udio preporučene dnevne 10

11 količine (RDA). Prosječne hranjive vrijednosti u 100 ml 218 kj / 51 kcal 0,4 g 11,6 g od toga: šećeri 11,2 g 0,2 g od toga: zasićene masne kiseline 0,03 g Vlakna 0,3 g Natrij < 0,01 g VITAMINI u 100 ml (RDA*) Vitamin C 20 mg (25 %) Niacin 6,0 mg (37 %) Vitamin E 3,0 mg (25 %) Pantotenska kiselina 2,0 mg (33 %) Vitamin B6 0,7 mg (50 %) Vitamin B1 0,5 mg (45 %) Vitamin A (iz provitamina A) 120 µg (15 %) Folna kiselina 66 µg (33 %) Biotin 15 µg (30 %) *RDA = preporučena dnevna količina ILI Prosječne hranjive vrijednosti u 100 ml 218 kj (51 kcal) 0,4 g 11,6 g od toga: šećeri 11,2 g 0,2 g od toga: zasićene masne kiseline 0,03 g Vlakna 0,3 g Natrij < 0,01 g VITAMINI Vitamin C 20 mg (25 % RDA*) Niacin 6,0 mg (37 % RDA) Vitamin E 3,0 mg (25 % RDA) Pantotenska kiselina 2,0 mg (33 % RDA) Vitamin B6 0,7 mg (50 % RDA) Vitamin B1 0,5 mg (45 % RDA) Vitamin A (iz provitamina A) 120 µg (15 % RDA) Folna kiselina 66 µg (33 % RDA) Biotin 15 µg (30 % RDA) *RDA = preporučena dnevna količina ILI 11

12 Prosječne hranjive vrijednosti u 100 ml 218 kj / 51 kcal 0,4 g 11,6 g 0,2 g Vitamin C 20 mg (25 % RDA*) Niacin 6,0 mg (37 % RDA) Vitamin E 3,0 mg (25 % RDA) Pantotenska kiselina 2,0 mg (33 % RDA) Vitamin B6 0,7 mg (50 % RDA) Vitamin B1 0,5 mg (45 % RDA) Vitamin A (iz provitamina A) 120 µg (15 % RDA) Folna kiselina 66 µg (33 % RDA) Biotin 15 µg (30 % RDA) *RDA=preporučena dnevna količina Primjer 2.: Svježi brancin Navedena prehrambena tvrdnja -izvor omega-3-masnih kiselina Prosječne hranjive vrijednosti u 10 : -od toga: šećeri : - od toga: -zasićene masne kiseline u g: -jednostruko nezasićene masne kiseline u g: -višestruko nezasićene masne kiseline u g: -od toga: -omega 3 masne kiseline u g: Vlakna Natrij Vitamin E Fosfor Kalcij *RDA = preporučena dnevna količina 677 kj/ 162 kcal 19,8 g 9,2 g 2,4 g 3,3 g 3,5 g 1,3 g 0,09 g 3 mg (25 % RDA*) 275 mg (39 % RDA) 138 mg (17 % RDA) Primjer 3.: Šunkarica, polutrajna kobasica Na ambalaži su navodi: light - sadrži 3 % masti i smanjen sadržaj masti u odnosu na klasičnu šunkaricu koja sadrži 18 % masti. Također smije pisati navod količina masti smanjena zamjenom masnog tkiva s mesom. Prosječne hranjive vrijednosti u kj / 103 kcal 12

13 16 g 3, - od toga šećeri < 1, 3, - od toga zasićene masne kiseline 1,2 g Vlakna < 1, Natrij 0,9 g Primjer 4.: Dvopek sa heljdinim brašnom s navedenom prehrambenom tvrdnjom: Izvor vlakana Hranjive vrijednosti u 10 1 komad (9,8 g) 1540 kj/364 kcal 151 kj/36 kcal 11, 1,1 g 68,7 g 6,7 g -od toga: šećeri 3, 0,3 g 5,0 0,5 g -od toga: zasićene masne 2,3 g 0,2 g kiseline Vlakna 1 0,98 g Natrij 0,5 0,05 g Primjer 5.: Proizvod Trajno mlijeko s navedenom prehrambenom tvrdnjom 90% manje laktoze Prosječna hranjiva vrijednost za kj 57 kcal 3,2 g 4,7 g od toga: šećeri 4,7 g od toga: laktoza <0,3 g 2,8 g od toga: zasićene masne kiseline 1,9 g mononezasićene masne kiseline 0,8 g polinezasićene masne kiseline 0,1 g Natrij 0,03 g Kalcij 120 mg (15% RDA) RDA=preporučeni dnevni unos 5. NEZAPAKIRANA HRANA Pojam nezapakirana hrana podrazumijeva hranu koja se pakira na mjestu prodaje na zahtjev potrošača ili bez njega, koja se prodaje krajnjem potrošaču ili je namijenjena opskrbi ugostiteljskih objekata, kantina, bolnica, dječjih vrtića, škola, ustanova socijalne skrbi i drugih sličnih subjekata u poslovanju s hranom koji hranu nude krajnjem potrošaču za izravnu konzumaciju. 13

14 Kod nezapakirane hrane hranjive vrijednosti navode se u popratnom dokumentu i moraju se dati na uvid potrošaču u slučaju njegovog zahtjeva. Gotova jela u ugostiteljskim objektima također mogu imati navedene hranjive vrijednosti što potrošači ocjenjuju korisnom informacijom i dobrom uslugom. Primjer 1: Gotovo jelo Piletina u umaku s bijelom rižom Hranjiva vrijednost za piletinu s umakom 10 (kj/kcal) 583/139 (g) 15,5 (g) od toga: šećeri (g) škrob (g) 3,0 2,1 0,7 (g) od toga: zasićene masne kiseline (g) jednostruko nezasićene masne kiseline (g) višestruko nezasićene masne kiseline (g) 7,2 2,7 2,5 1,0 51 kolesterol (mg) Vlakna (g) 1,1 Natrij (g) 0,2 Hranjiva vrijednost za bijelu rižu 10 (kj/kcal) 587/54 (g) 2,6 (g) od toga šećeri (g) 30,9 1,2 (g) od toga: zasićene masne kiseline (g) jednostruko nezasićene masne kiseline (g) višestruko nezasićene masne kiseline (g) 1,3 0,3 0,3 0,5 Vlakna (g) 0,1 Natrij (g) 0,1 Primjer 1: Gotovo jelo Piletina u umaku s bijelom rižom Hranjiva vrijednost 10 (kj/kcal) 961/227 (g) 12,2 (g) od toga šećeri (g) 26 5 (g) od toga: zasićene masne kiseline (g) 8,2 0,7 Vlakna (g) 0,8 Natrij (g) 0,3 14

15 6. REFERENTNE VRIJEDNOSTI HRANJIVIH TVARI HRANE 6.1. RDA (Recommended Daily Allowances) RDA je standard kojim se propisuju preporučene dnevne količine vitamina i minerala potrebne za ispravnu prehranu. Međutim, u svijetu se uvode novi izračuni i novi terminološki sustav DV (Daily Value) dnevnih vrijednosti, odnosno DRI (daily recommended intake) dnevni preporučeni unos. To je novi sustav koji predlaže potrebne količine vitamina i minerala izražene na dinamički način, uz najnižu i najvišu granicu bez opasnosti za zdravlje ljudi. Navedeni izračuni temelje se na RDA vrijednostima GDA (Guideline Daily Amounts) Hrana koja dolazi na hrvatsko tržište iz Europske Unije, a u zadnje vrijeme sve više i hrana proizvedena u Hrvatskoj, označena je s podacima o GDA vrijednostima čije navođenje nije obvezno. GDA (Guideline Daily Amounts) je vodič (smjernice) koji pokazuje koliko kalorija i hranjivih tvari (bjelančevine, ugljikohidrati, šećeri, masti, zasićene masne kiseline, vlakna i sol) sadrži određena količina hrane (obrok) u odnosu na referentni dnevni unos od 2000 kcal. GDA je informacija o energetskoj vrijednosti hrane i količini četiriju hranjivih tvari: masti, zasićenih masnih kiselina, šećera, soli (natrija) i vlakna ako ih proizvod sadrži. Od velike je važnosti za ljudsko zdravlje regulirati njihovo unošenje uravnoteženom prehranom. GDA vrijednosti hrane računaju se na temelju sljedećih referentnih vrijednosti: Energija Šećeri Zasićene masne kiseline Vlakna Sol 2000 kcal 45 g g 6 g Navođenje GDA vrijednosti na hrani pomaže potrošaču izbjegavati prekomjernu konzumaciju određene hrane te mu omogućava da svakodnevno vodi brigu o uravnoteženoj prehrani i održava normalnu tjelesnu masu. Drugim riječima, uravnotežena prehrana prosječnog pojedinca temelji se na dnevnom unosu hrane čija je ukupna energetska vrijednost 2000 kcal (8400 kj). Pri tome udio, primjerice masti, ne bi trebao biti veći od 7 (što iznosi 630 kcal odnosno 31,5 % ukupne dnevne energetske potrebe), odnosno šećera 9 (što iznosi 360 kcal odnosno 18 % ukupne dnevne energetske potrebe). Preporučuje se navođenje GDA vrijednosti na prednjoj strani proizvoda radi bolje komunikacije sa potrošačima. Podaci o energetskoj vrijednosti hrane, šećerima, mastima, zasićenim mastima, soli (natrija), a ukoliko je potrebno i vlaknima se navode u tablici i izraženi su na 10 proizvoda ili na jedan obrok o čijoj količini odlučuje proizvođač. Primjeri navođenja: Izraženo na 10 ili na jedan obrok od...g ( ili primjerice 5 keksa ) Energetska šećeri masti zasićene masti sol 15

16 vrijednost g g g g % % % % % Ukoliko ima raspoloživog prostora na ambalaži preporuka je navesti objašnjenje tablice. Preporučeni dnevni unos prehrambenih tvari (GDA) energetska vrijednost Kcal šećeri u g masti u g zasićene u masti g NaCl u g Tri su načina označavanja energetske vrijednosti kod navođenja GDA vrijednosti 1. Kalorije (što podrazumijeva kcal) + energetska vrijednost 16

17 2. Kalorije + energetska vrijednost + kcal 3. + kcal 17

18 Postoji kombinacija semafora (označavanje bojama pozitivnih i negativnih karakteristika proizvoda visokog, srednjeg i niskog sadržaja hranjivih tvari ) i GDA vrijednosti. Takvo označavanje nije preporučljivo jer dodatno zbunjuje potrošača, a također nije ni definirano koja količina pojedine hranjive tvari označava visok, srednji i nizak sadržaj tako da se za istu količinu hranjive tvari boje razlikuju od proizvođača do proizvođača. Primjer 1. Primjer 2. Razumijevanje tablica Primjer: Sladoled s jagodom i okusom vanilije (neto količina 75 g) Prosječne hranjive vrijednosti Komad (75 g) 689 kj/163 kcal 2 g 29,4 g 18

19 od toga: šećeri od toga: zasićene masne kiseline Vlakna Natrij 24, 4,1 g 3,6 g 2, 0,08 g Kcal šećeri masti zasićene masne kiseline Na vlakna 163 kcal 24 g 4,1 g 3,6 g 0,08 g 2 g 8 % 27 % 6 % 18 % 3 % 8 % Objašnjenje: Konzumiranjem jedne pretpakovine sladoleda potrošač će podmiriti čak 27 % dnevne potrebe za šećerima, a pri tome će zadovoljiti samo 8 % svoje dnevne energetske potrebe, što znači da ostali obroci tijekom dana moraju sadržavati manju količinu šećera, odnosno energetska vrijednost bi trebala biti iz drugih hranjivih tvari (npr. bjelančevine, masti..) 7. PRIMJERI ČESTIH POGREŠAKA PRI NAVOĐENJU HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE Dolje navedeni primjeri pokazuju neke od najčešćih pogrešaka kod navođenja hranjivih vrijednosti hrane. U navedenim primjerima crvenim slovima označeni su pogrešno napisani podaci, plavim slovima preporuka, a zelenim slovima je napisano ispravno navođenje. Primjer 1.: Proizvod Osvježavajuće gazirano bezalkoholno piće od biljnih ekstrakata Vitamin Redoslijed navođenja iza količina masti Prosječne hranjive vrijednosti u 100 ml u 355 ml 2,8 kcal/11,8 kj 10 kcal/ 42 kj od toga šećeri od toga zasićene masne kiseline Vit C 16,9 mg (21 % RDA) 60 mg (75 % RDA) Vit B2 0,47 mg (34 % RDA) 1,7 mg (121 % RDA) Niacin 5,6 mg (35 % RDA) 20 mg (125 % RDA) Vit B6 0,56 mg (40 % RDA) 2 mg ( 143 % RDA) Vit B12 1,69 µg (68 % RDA) 6 µg (240 % RDA) Biotin 84,5 µg (169 % RDA) 300 µg (600 % RDA) Pantotenska kiselina 2,8 mg (47 % RDA) 10 mg (167 % RDA) Krom 14,1µg (35 % RDA) 50 µg (125 % RDA) Vlakna Natrij 0,0016 g 0,006 g * RDA preporučena dnevna količina Primjer 2.: 19

20 Prosječne hranjive Proizvod Biskvit s mliječnim punjenjem i čokoladnim preljevom U ovom primjeru upotrijebljeni su izrazi drugačiji od onih u Pravilniku o navođenju hranjivih vrijednosti hrane. Preporuka je upotrebljavati iste izraze kao u navedenom Pravilniku. preporučena Prehrambena vrijednost 100g 3 kj/kcal 1842/ /132 g 7,2 2,2 g 37,4 11,2 Masnoće g 29,3 8,8 Vitamin E mg 1,5 (15%*) 0,4 (4%*) Vitamin B2 (riboflavin) mg 0,25 (15%*) 0,07 (4%*) Vitamin B12 µg 0,45 (45%*) 0,1 (10%*) Kalcij mg 149 (18%*) 44 (5%*) Fosfor mg 185 (23%*) 55 (6%*) Magnezij mg 45 (15%*) 13 (4%*) *RDA preporučljiva dnevna količina Primjer 3.: Proizvod Krem juha od rajčica s prehrambenom tvrdnjom + vitamini B, C, E i visok sadržaj inulina vlakna Prosječne hranjive vrijednosti 100 ml pripremljene juhe (9 g suhog proizvoda) 200 ml pripremljene juhe (18 g suhog proizvoda) 111kJ/26 kcal 222,5 kj/52,5 kcal 0,5 g 1 g od toga: šećeri 5,4 g 3,4 g 10,8 g 6,8 g 0,15 g 0,3 g od toga: zasićene masne kiseline Dijetalna vlakna - od toga inulin 1,4 g 0,9 g 2,8 g 1,8 g Natrij 0,25 g 0,5 g Vitamin E 1,0 mg (10%)* 2,0 mg (20%)* Vitamin C 6,0 mg (10%)* 12,0 mg(20%)* Vitamin B1 0,15 mg (10%)* 0,3 mg (20%)* Vitamin B2 0,18 mg (10%)* 0,35 mg (20%)* Niacin 2,0 mg (10%)* 4,0 mg (20%)* Vitamin B6 0,23 mg (10%)* 0,46 mg (20%) Folna kiselina 20 μg (10%)* 40 μg (20%)* *% od dnevno preporučene količine Navodi se na 100 g proizvoda 20

21 Primjer 4. : Proizvod Trajno mlijeko sadrži prehrambenu tvrdnju + vitamini C, E, B6, B12, folna kiselina, + kalcij vlakn šećer 100 ml sadrži približno: od toga: mliječni šećer od toga: zasićene masne kiseline Balastna tvar inulin Kalcij Vitamin C Vitamin E Vitamin B6 Vitamin B12 Folna kiselina *RDA=preporučeni dnevni unos 195 kj 46 kcal 3,3 g 4,7 g 4,7 g 1,6 g 1,1 g mg (20% RDA*) 12 mg (20% RDA*) 2 mg (20% RDA*) 0,4 mg (20% RDA*) 0,2 µg (20% RDA*) 40 µg (20% RDA*) preporučena dnevna količina Primjer 5. : Proizvod Piće s biljnim ekstraktom bijelog čaja masti ugljikohidrati vlakna Hranjive vrijednosti na 100 ml: energetska vrijednost 29,2 kcal, ukupne masti, zasićene masne kiseline, natrij 4,2 mg, ukupni ugljikohidrati 7,9 g, šećeri 7,5 g, dijetalna vlakna, bjelančevine, vitamin A mcg (125% RDA), vitamin C 12 mg (15% RDA), vitamin E 0,95 mg (10% RDA), selen 1 mcg (1,8% RDA). pogrešan redoslijed navođenja (vidjeti poglavlje 4.1.) od toga: šećeri µg * RDA preporučena dnevna količina vitamin E i selen se ne navode jer ne iznose 15% RDA vrijednosti 21

22 µg Primjer 6.: Proizvod Početna hrana za dojenčad Prosječna hranjiva vrijednost bjelančevine U tablici hranjivih vrijednosti se navode hranjive tvari, a ne vlaga i pepeo Mora imati naveden način pripreme odnosno što sadržava obrok na 10 proizvoda na 100 ml gotovog obroka ,04 RDA na obrok kcal kj Ukupne masti g 21,86 - od toga nezasićene g linolna g 4,2 0,58 α linolenska mg ,5 - od toga zasićene g 6,9 0,9 Proteini g 12,32 1,71 Ukupni ugljikohidrati g 59,61 8,29 - od toga šećeri g 40 5,6 Vlakna g <0,5 Minerali (pepeo) g 3,21 0,45 Natrij mg Kalij mg Kloridi mg Kalcij mg % Fosfor mg Magnezij mg 60 8,3 Mangan mcg Selen mcg 28,9 4 92% Vlaga g 3 Vitamin A IU/mcg RE 2100/ /86 49% Vitamin D IU/mcg CE 350/8,8 49/1,2 28% Vitamin E IU/mg TE 6,0/4,0 0,84/0,56 Vitamin K mcg 24 3,4 Vitamin C mg 71 9,9 90% Vitamin B1 mg 0,73 0,1 46% Vitamin B2 mg 1 0,14 40% Niacin mg 4,2 0,58 15% Vitamin B6 mg 0,44 0,061 20% Folna kiselina mg % Pantotenska kiselina mg 3,5 0,49 Vitamin B12 mcg 1,4 0,2 64% Biotin mcg 13 1,8 Željezo mg 8,2 1,1 43% Jod mcg % Bakar mg 0,34 0,047 27% Cink mg 5,8 0,81 46% RDA je podatak koji se navodi na 10 ili 100 ml, a ne po obroku Pogrešan redoslijed navođenja i nepotpuni nazivi Ispod tablice nedostaje navod RDA = preporučena dnevna količina 22

23 Primjer 7.: Piće sa sokom od crnog ribiza i jabuke od koncentriranog soka. 100 ml približno sadrži 153kJ (36 kcal) < 0,1g šećeri 9,0g od toga: šećer iz voća 9, < 0,1g od toga zasićene masne kiseline < 0,1g Vlakna < 0,1g Natrij < 0,1g Primjer 8.: Proizvod Margarin sa smanjenim udjelom masti Mora biti navedena prosječna hranjiva vrijednost u 100g masti od toga: zasićene masne kiseline jednostruko nezasićene masne kiseline višestruko nezasićene masne kiseline kolesterol bjelančevine ugljikohidrati od toga šećeri masti - masne kiseline: zasićene mono nezasićene trans kolesterol vlakna natrij vitamini E A D 2200kJ/540 kcal 6 22 g 19 g < 0,5 g 0 mg 0,195 g 15 mg (150%)* 700 μg (87,5%)* 5 μg (100%)* * RDA preporučene dnevne količine Primjer 9.: Jogurt - 2,8% mliječne masti Ne navodi se već samo podaci prema skupini 1. Hranjive vrijednosti 10 (% RDA) 263 kj 62 kcal 4,3 g 2,8 g od toga mliječna mast 2,8 g Kalcij 125 mg (15) 23

24 Primjer 10. : Proizvod Voćne energetske pločice s bobičastim voćem Prosječne hranjive vrijednosti u g 1235 kj (296 kcal) 941 kj (222 kcal) 2, 1,5 g 63, 47,3 g od toga: šećeri 44, 33, od toga grožđani šećer 22, 16,5g 4, 3, od toga: zasićene masne kiseline 2, 1,5 g Vlakna 12,8 g 9,6 g Natrij < 0,1 g < 0,1 g Vitamin B1 0,94 mg (67%)* 0,7 mg (50 %)* Vitamin B2 1,07 mg (67%)* 0,8 mg (50%)* Vitamin B6 1,3 mg (65%)* 1,0 mg (50%)* *RDA= preporučene dnevne količine Ne navodi se već samo podaci prema skupini 2. 24

25 PRILOG 1. VITAMINI I MINERALI KOJI SE MOGU NAVODITI I NJIHOVE PREPORUČENE DNEVNE KOLIČINE (RDA) Vitamin A μg 800 Klor mg 800 Vitamin D μg 5 Kalcij mg 800 Vitamin E mg 12 Fosfor mg 700 Vitamin K μg 75 Magnezij mg 375 Vitamin C mg 80 Željezo mg 14 Tiamin mg 1,1 Cink mg 10 Riboflavin mg 1,4 Bakar mg 1 Niacin mg 16 Mangan mg 2 Vitamin B6 mg 1,4 Florid mg 3,5 Folna kiselina μg 200 Selen μg 55 Vitamin B12 μg 2,5 Krom μg 40 Biotin μg 50 Molibden μg 50 Pantotenska kiselina mg 6 Jod μg 150 Kalij mg 2000 PRILOG 2. POPIS POSEBNIH PROPISA IZ POGLAVLJA Pravilnik o prehrambenim i zdravstvenim tvrdnjama (NN 17/09); 2. Pravilnik o hrani obogaćenoj nutrijentima (dodavanje vitamina, minerala i drugih tvari hrani) (NN 148/08); 3. Pravilnik o hrani za dojenčad i malu djecu te prerađenoj hrani na bazi žitarica za dojenčad i malu djecu (NN 74/08). 4. Pravilnik o sirevima i proizvodima od sireva (NN 20/09); 5. Pravilnik o mlijeku i mliječnim proizvodima (NN 20/09); 6. Pravilnik o voćnim džemovima, želeima, marmeladama, pekmezu te zaslađenom kesten pireu (NN 76/06); 7. Pravilnik o kakau i čokoladnim proizvodima (NN 73/05); 8. Pravilnik o mazivim mastima (NN 89/08); 9. Pravilnik o voćnim sokovima i njima srodnim proizvodima namijenjenim za konzumaciju (NN 20/09); 10. Pravilnik o prirodnim mineralnim i prirodnim izvorskim vodama (NN 57/09); 11. Pravilnik o hrani za posebne prehrambene potrebe (NN 78/08); 25

REPUBLIKA HRVATSKA MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE

REPUBLIKA HRVATSKA MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE REPUBLIKA HRVATSKA MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE Vodič za navođenje hranjivih vrijednosti hrane 2. izdanje Siječanj 2013. SADRŽAJ UVOD 3 1. PRIMJENA VODIČA ZA NAVOĐENJE HRANJIVIH VRIJEDNOSTI HRANE 4 2. POJMOVI,

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

NUTRITIVNA DEKLARACIJA kao obvezni podatak na hrani

NUTRITIVNA DEKLARACIJA kao obvezni podatak na hrani NUTRITIVNA DEKLARACIJA kao obvezni podatak na hrani Radionica Predstavljanje baze podataka o sastavu hrane FAO/INFOODS projekta i Vodiča za prehrambeni sektor "Kako izračunati hranjive vrijednosti hrane?"

Διαβάστε περισσότερα

DODATAK PREHRANI s koenzimom Q10, vitaminima, mineralima i elementima u tragovima

DODATAK PREHRANI s koenzimom Q10, vitaminima, mineralima i elementima u tragovima Vanjsko pakiranje / Deklaracija SUPRADYN energija DODATAK PREHRANI s koenzimom Q10, vitaminima, mineralima i elementima u tragovima Vitamini B6, B12, C, tiamin, riboflavin, biotin, niacin, pantotenska

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Marija Batinić Sermek Ministarstvo poljoprivrede Uprava kvalitete hrane i fitosanitarne politike Imotski, 26. studenog 2015.

Marija Batinić Sermek Ministarstvo poljoprivrede Uprava kvalitete hrane i fitosanitarne politike Imotski, 26. studenog 2015. Marija Batinić Sermek Ministarstvo poljoprivrede Uprava kvalitete hrane i fitosanitarne politike Imotski, 26. studenog 2015. Pravni akti EU Nacionalni propisi Uredba (EU) br. 1169/2011 o informiranju potrošača

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Koprivnica, TEKST DEKLARACIJE ZA PROIZVOD: NUTRIBEL COMPLEX. Hrana za posebne medicinske potrebe, 200 ml, okus čokolada.

Koprivnica, TEKST DEKLARACIJE ZA PROIZVOD: NUTRIBEL COMPLEX. Hrana za posebne medicinske potrebe, 200 ml, okus čokolada. Croatia Page 1 of 6 Koprivnica, 09.06.2017. TEKST DEKLARACIJE ZA PROIZVOD: NUTRIBEL COMPLEX Hrana za posebne medicinske potrebe, 200 ml, okus čokolada. Hrvatski i BiH tekst deklaracije. NUTRIBEL COMPLEX

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

dr. sc. Sanja Kolarić Kravar Ministarstvo poljoprivrede Uprava kvalitete hrane i fitosanitarne politike Zagreb, 9. veljače 2016.

dr. sc. Sanja Kolarić Kravar Ministarstvo poljoprivrede Uprava kvalitete hrane i fitosanitarne politike Zagreb, 9. veljače 2016. dr. sc. Sanja Kolarić Kravar Ministarstvo poljoprivrede Uprava kvalitete hrane i fitosanitarne politike Zagreb, 9. veljače 2016. Nastavni zavod za javno zdravstvo Dr. Andrija Štampar Zakonodavni okvir

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Pravilnik o deklarisanju, označavanju i reklamiranju hrane. ( Sl. glasnik RS, br. 85/2013 i 101/2013) Sadržaj. I. Uvodne odredbe

Pravilnik o deklarisanju, označavanju i reklamiranju hrane. ( Sl. glasnik RS, br. 85/2013 i 101/2013) Sadržaj. I. Uvodne odredbe Pravilnik o deklarisanju, označavanju i reklamiranju hrane ( Sl. glasnik RS, br. 85/2013 i 101/2013) Sadržaj I. Uvodne odredbe II. Uslovi za deklarisanje III. Reklamiranje hrane IV. Prelazna i završne

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Centravit tablete - Uputa o lijeku

Centravit tablete - Uputa o lijeku Kreni zdravo! Stranica o zdravim navikama i uravnoteženom životu https://www.krenizdravo.rtl.hr Centravit tablete - Uputa o lijeku Proizvođač: Dietpharm Samo na recept? NE Skoči na:» opis» primjena» doziranje»

Διαβάστε περισσότερα

Bosna i Hercegovina Federacija Bosne i Hercegovine TUZLANSKI KANTON Ministarstvo prostornog uređenja i zaštite okolice UPUTSTVO

Bosna i Hercegovina Federacija Bosne i Hercegovine TUZLANSKI KANTON Ministarstvo prostornog uređenja i zaštite okolice UPUTSTVO Bosna i Hercegovina Federacija Bosne i Hercegovine TUZLANSKI KANTON Ministarstvo prostornog uređenja i zaštite okolice UPUTSTVO O NAČINU OBRADE I INFORMISANJA JAVNOSTI O PODACIMA IZ SISTEMA ZA PRAĆENJE

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE ENERGETSKE I NUTRITIVNE VREDNOSTI

IZRAČUNAVANJE ENERGETSKE I NUTRITIVNE VREDNOSTI IZRAČUNAVANJE ENERGETSKE I NUTRITIVNE VREDNOSTI Prost procentni račun 1g proteina = 4,1kcal 1g uglj.hidrata = 4,1kcal 1g lipida = 9,3kcal 1 Primer 1 Izračunati energetsku vrednost obroka (kcal) ako je

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

SPECIFKACIJA PROIZVODA TURBOMAX P. PERLIS d.o.o., Osječka 205, Josipovac, Hrvatska

SPECIFKACIJA PROIZVODA TURBOMAX P. PERLIS d.o.o., Osječka 205, Josipovac, Hrvatska Stranica 1/5 Proizvod Proizvođač Skupina kojoj proizvod pripada Opis proizvoda Sastav Namjena: Pakiranje Uvjeti skladištenja Rok valjanosti Označavanje TURBOMAX P termički obrađene pšenične posije za ljudsku

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Hranjive tvari na koje treba paziti u biljnoj prehrani

Hranjive tvari na koje treba paziti u biljnoj prehrani Kreni zdravo! Stranica o zdravim navikama i uravnoteženom životu https://www.krenizdravo.rtl.hr Hranjive tvari na koje treba paziti u biljnoj prehrani Biljna prehrana je sve popularnija među pojedincima

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα