Ο Μετασχηµατισµος Fourier

Transcript

1 Ο Μετασχηµατισµος Fourier Περιεχόµενα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εισαγωγή Η Εννοια και ο ορισµός του µετασχηµατισµού Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier Το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της F(jω Σχέση άρτιου-περιττού µέρους µε R(ω και X(ω Σχέση R(ω και X(ω της F(jω Μετασχηµατισµός Hilbert Μετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτων Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier Μετασχηµατισµός κυκλωµάτων Ανάλυση στο πεδίο του χρόνου Απόκριση στο πεδίο-ω - Συνάρτηση µεταφοράς Απόκριση σε µιγαδική εκθετική διέγερση - ΜΗΚ Φάσµατα Φάσµατατική πυκνότητα ενέργειας και ισχύος Ιδανική µετάδοση και ιδανικά φίλτρα Διαµόρφωση πλάτους Μια σηµαντική παρατήρηση Πολυπλεξία συχνότητος (FDM Δειγµατοληψία (sampling 323 Ασκήσεις και προβλήµατα

2 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εισαγωγή Η περιγραφή και παράσταση των σηµάτων στο πεδίο του χρόνου, ως συναρτήσεων δηλ. µε ανεξάρητη µεταβλητή τον χρόνο, πολύ λίγες πληροφορίες µπορεί να δώσει όταν τα ηλεκτρικά σήµατα παύουν να περιγράφονται από απλές συναρτήσεις. Ηλεκτρικά σήµατα γιά παράδειγµα εικόνας video ή ήχου (µουσική ή φωνή, µεταβάλλονται τόσο γρήγορα, που η χρονική τους παράσταση (κυµατοµορφή χάνει το νόηµά της. Το σήµα είναι διαφορετικό σε κάθε χρονική στιγµή, αφού σ'αυτή την χρονική µεταβολή οφείλεται η ικανότητά του να µεταφέρει πληροφορίες. Παράλληλα, για την σχεδίαση των συστηµάτων που επεξεργάζονται τα σήµατα και των διαύλων που τα µεταφέρουν, καθοριστική παράµετρος είναι το περιεχόµενο των σηµάτων σε συχνότητες. Διαφορετικά κανάλια και µέθοδοι θα χρησιµοποιηθούν για την µεταφορά φωνής µε τηλεφωνική ποιότητα ( Hz και άλλα για σήµατα εικόνας, που περιέχουν πολύ υψηλότερες συχνότητες, π.χ. 6-8 MHz. Θα ήταν εποµένως πολύ χρήσιµη µια εναλλακτική περιγραφή των σηµάτων, που δεν εξαρτάται από τον χρόνο, αλλά βασίζεται στα χαρακτηριστικά τους που έχουν σχέση µε τις συχνότητες που περιέχουν. Εκτός από ελάχιστες περιπτώσεις συστηµάτων, όπου η λειτουργία και η απόκρισή τους στηρίζεται στην χρονική µορφή του σήµατος, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, ιδίως στον τοµέα της µετάδοσης και επεξεργασίας σηµάτων µε µεγάλο περιεχόµενο πληροφορίας (π.χ. φωνής, data, εικόνας, αυτό που έχει πρωτεύουσα σηµασία είναι το πως συµπεριφέρεται το σύστηµα στις αρµονικές που περιέχονται. Στα τηλεφωνικά συστήµατα για παράδειγµα, δεν ενδιαφέρει η χρονική εικόνα των σηµάτων της φωνής σε κάθε στιγµή (π.χ. αν µεταδίδεται το γράµµα "α" αλλά το γεγονός ότι πρέπει να ανταποκριθούν σωστά στις συχνότητες (αρµονικές που περιέχει η φωνή. Με την ανάλυση των σηµάτων στις φασµατικές τους συνιστώσες (σειρά Fourier και την επέκταση της µεθόδου αυτής µε τον µετασχηµατισµό Fourier, ανοίγονται νέες δυνατότητες στην ανάλυση των συστηµάτων. Ενα ηλεκτρικό σύστηµα είναι πλέον δυνατόν να το βλέπει κανείς όχι ως µια ολοκληρωτικοδιαφορική διαδικασία που εφαρµόζεται στην κυµατοµορφή της διέγερσης αλλά ως µια συγκεκριµένη επεξεργασία που εκτελείται πάνω στη συχνοτική δοµή της διέγερσης, περιγράφεται µε απλά µαθηµατικά και είναι, ανεξάρτητη από τις κατασκευαστικές λεπτοµέρειες του συστήµατος. Οι µέθοδοι Fourier, είναι οι µέθοδοι που απλοποιούν τα µαθηµατικά του -256-

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER συστήµατος, δίνοντας σε κάθε χρονικά περιγραφόµενο σήµα και επεξεργασία µια ισοδύναµη περιγραφή στον πεδίο των συχνοτήτων, που αποκαλύπτει τον τρόπο µε τον οποίο λειτουργούν τα συστήµατα. Η ανάλυση σε σειρά Fourier εφαρµόζεται σε περιοδικά σήµατα και ο µετασχηµατισµός Fourier επεκτείνει την παράσταση των σηµάτων µε το περιεχό- µενό τους σε συχνότητες και στα µη περιοδικά σήµατα. Η παράσταση των µη περιοδικών σηµάτων βέβαια δεν είναι η µόνη εφαρµογή του µετασχηµατισµού Fourier, αφού όπως θα δούµε στη συνέχεια ο µετασχηµατισµός αποτελεί ένα ισχυρότατο εργαλείο παράστασης και ανάλυσης των γραµµικών συστηµάτων στο πεδίο των συχνοτήτων. 5. Η Εννοια και ο ορισµός του µετασχηµατισµού Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να παρουσιάσει κανείς τον µετασχηµατισµό Fourier, ένας από τους οποίους, αυτός που θα ακολουθήσουµε εδώ, είναι ως επέκταση της ανάλυσης περιοδικών σηµάτων σε σειρά Fourier. Σε σειρά Fourier µπορεί να αναλυθεί όπως είδαµε ένα σήµα µόνον όταν είναι περιοδικό. ΣΧΗΜΑ

4 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ας θεωρήσουµε ένα σήµα f(t περιορισµένης διάρκειας, µη περιοδικό σαν αυτό του σχ. 5.α, µε. f(t'0 για t<t και t>t 2. Ας συνθέσουµε τώρα ένα περιοδικό σήµα f 0 (t, το οποίο προκύπτει αν επαναλάβουµε το f(t µε περίοδο Τ 0 $t 2 -t. Το σήµα αυτό φαίνεται στο σχήµα 5.β. Η περίοδος Τ 0, καθορίστηκε από εµάς µε Τ 0 $t 2 -t και φυσικά, όταν τείνει στο άπειρο, το f 0 (t τείνει στο µη περιοδικό f(t. Επειδή το f 0 (t, όταν το T 0 είναι πεπερασµένο, είναι πλέον περιοδικό, µπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier ως εξής: f 0 (t ' j C n ' C n ' n'& C n e jnω 0 t όπου ω 0 ' 2π T 0 (5. Οι φασµατικές συνιστώσες C n της f 0 (t, υπολογίζονται από την σχέση T 0 f T 0 m 0 (te & jnω 0 t dt ' t 2 0 t 2 f T 0 m 0 (te & jnω0t dt t Μεταξύ των ορίων της ολοκλήρωσης έχουµε φυσικά ότι f(t=f 0 (t και εποµένως Ας ορίσουµε τώρα την µιγαδική ποσότητα f(te & jnω0t dt ' f(te & jnω 0 t dt (5.2 T 0 m T t 0 m F(jω ' & & f(te &jωt dt (5.3 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό αυτό, η σχέση (5.2 για τις φασµατικές συνιστώσες της f 0 γίνεται C n ' F(jnω, οπότε έχουµε T 0 0 f 0 (t ' j n'& C n e jnω 0 t ' j n'& T 0 F(jnω 0 e jnω 0t ' 2π j F(jnω 0 e jnω 0 t ω 0 n'& Οταν το Τ 0, το οποίο έχουµε διαλέξει εµείς, τείνει στο άπειρο, το ω 0 =2π/Τ ο τείνει στο µηδέν και µπορούµε εποµένως να το συµβολίσουµε µε Δω, οπότε η τελευταία σχέση γίνεται -258-

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER f(t' lim Δω60 f 0 (t' lim Δω60 f 0 (t ' 2π j n'& F(jnΔω e jnδωt Δω και εποµένως, αφού όταν το Τ 0 τείνει στο άπειρο, το f 0 (t τείνει στο µη περιοδικό f(t: Τελικά για Τ 0 6, οπότε Δω60, έχουµε 2π j F(jnΔω e jnδωt Δω ' n' 2π & F(jωe jωt dω f(t ' 2π & F(jωe jωt dω (5. που είναι η κατά Fourier παράσταση του µη περιοδικού σήµατος f(t. Η ποσότητα F(jω που ορίσαµε στην (5.3 ως F(jω' f(te &jωt dt ονοµάζεται µετασχηµατισµός Fourier της f(t και η & (5.5α f(t' 2π & F(jωe jωt dω (5.5β ορίζει τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier. Τα f(t και F(jω αποτελούν ένα ζεύγος του µετασχηµατισµού Fourier και συνήθως χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό F(jω ' ö f(t ' & f(te &jωt dt (5.6α -259-

6 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ f(t ' ö & F(ω ' 2π & F(jωe jωt dω (5.6β Οπως και στην σειρά Fourier έτσι και στον µετασχηµατισµό Fourier, για την πλήρη µαθηµατική ανάλυση πρέπει να εξετάζονται οι συνθήκες ύπαρξης του µετασχηµατισµού, αν και στην πράξη αυτές ικανοποιούνται πάντοτε από τα πραγµατικά φυσικά σήµατα και συστήµατα. Οι συνθήκες ύπαρξης του µετασχηµατισµού Fourier µιας µη περιοδικής f(t, που δεν πρέπει να είναι κατ' ανάγκη περιορισµένη (bounded, είναι οι παρακάτω:. Η f(t να έχει πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών και ακροτάτων 2. Η f(t να είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη: *f(t*dt < m Τα ενεργειακά σήµατα ικανοποιούν τις συνθήκες ύπαρξης αφού είναι είτε περιορισµένα ή ασυµπτωτικά περιορισµένα (f(t 6 0 όταν t 6 ±. Τα σήµατα ισχύος πού έχουν άπειρη ενέργεια αλλά πεπερασµένη µέση ισχύ, αποδεικνύεται ότι έχουν µετασχηµατισµό Fourier, ο οποίος όµως περιέχει κρουστικές δ(ω στο πεδίο συχνοτήτων. Ολα εποµένως τα φυσικά σήµατα που συναντάει κανείς στην µελέτη των ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών συστηµάτων, τα οποία είναι ή ενεργειακά ή σήµατα ισχύος, έχουν µετασχηµατισµό και ο µηχανικός δεν ασχολείται ιδιαίτερα µε τις συνθήκες ύπαρξης. Ο µετασχηµατισµός Fourier F(jω ενός πραγµατικού σήµατος f(t είναι εν γένει µια µιγαδική συνάρτηση του ω και για το λόγο αυτό προτιµούµε τον συµβολισµό F(jω αντί του F(ω που χρησιµοποιείται συχνά στην βιβλιογραφία. Ως µιγαδική ποσότητα το F(jω µπορεί να εκφραστεί µε το µέτρο και την γωνία του ως & F(jω ' F(jω e jφ(ω (5.6 Η F(jω ονοµάζεται και φάσµα της f(t. Το µέτρο *F(jω* της F(jω ονοµάζεται φάσµα πλάτους και η φ(ω=ëf(jω, φάσµα φάσης της f(t. Ο µετασχηµατισµός Fourier δίνει µια περιγραφή της χρονικής συνάρτησης f(t στο πεδίο των συχνοτήτων, όπως οι µιγαδικοί συντελεστές C n της σειράς Fourier στην περίπτωση των περιοδικών σηµάτων

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 5.2 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier. Γραµµικότητα Ο µετασχηµατισµός Fourier είναι γραµµικός. Αυτό σηµαίνει ότι αν ö [f (t] ' F (jω ö [f 2 (t] ' F 2 (jω a, b σταθερές τότε ö af (t % bf 2 (t ' af (jω % bf 2 (jω (5.7 και ö & af (jω % bf 2 (jω ' af (t % bf 2 (t 2. Μετατόπιση χρόνου και συχνότητος ö f(t&t o ' e & jωt o F(jω ö e jω 0 t f(t ' F(j(ω&ω 0 ( Κλιµάκωση χρόνου ö f(at ' a F(j ω a. Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου ö d n d f(t ' jωf(jω και ö dt dt nf(t ' (jωn F(jω ( Παραγώγιση στο πεδίο συχνοτήτων ö & d dω F(jω '&jtf(t ( Ολοκλήρωση στο πεδίο χρόνου: -26-

8 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ö t f(τdτ ' F(jω%πF(0δ(ω (5. m jω & 7. Η συνέλιξη: ö f (t ( f 2 (t ' F (jωf 2 (jω ( Το γινόµενο: ö f (t f 2 (t ' 2π F (jω(f 2 (jω ( Δυϊκότητα: αν ö[f(t] ' F(jω Y ö[f(jt] ' 2π f(&ω (5. 0. Σχέσεις συµµετρίας: Αν ö[f(t]' F(jω τότε ö f(&t 'F(&jω'F ( (jω (5.5α όπου F * (jω η συζυγής της F(jω. Η σχέση F(&jω ' F(jω και φ(&ω'&φ(ω (5.5β ότι δηλ. το φάσµα πλάτους είναι άρτια συνάρτηση του ω ενώ το φάσµα φάσης περιττή συνάρτηση του ω. Αν η f(t εκφραστεί συναρτήσει του άρτιου και περιτού της µέρους ως f(t'f e (t%f o (t τότε f(&t'f e (t&f o (t και f(t%f(&t'2f e (t και εποµένως F(&jω'F ( (jω σηµαίνει ότι ö 2f e (t 'ö f(t%f(&t 'F(jω%F ( (jω'2re F(jω απ όπου συµπεραίνουµε ότι ö f e (t 'Re F(jω (5.6α Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ö f o (t 'jim F(jω (5.6β -262-

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER. Το θεώρηµα του Parseval Το θεώρηµα του Parseval εκφράζεται µε την παρακάτω σχέση: & f 2 (tdt ' 2π & F(jω 2 dω (5.7α Η απόδειξη του θεωρήµατος είναι απλή: & f 2 (tdt ' & f(t 2π & F(jωe jωt dωdt ' 2π & F(jω & f(te &j(&ωt dtdω ' ' 2π & & F(jωF(&jωdω ' 2π f (tf 2 (tdt ' 2π & & F(jωF ( (jωdω ' 2π F (jωf 2 (&jωdω ' 2π & & F(jω 2 dω Αν το f(t είναι η τάση πάνω σε µια αντίσταση Ω, τότε το f 2 (t θα είναι η στιγµιαία καταναλισκόµενη ισχύς στην µοναδιαία αντίσταση, ενώ το ολοκλήρωµα της ισχύος αυτής θα είναι η καταναλισκόµενη ενέργεια. Με το θεώρηµα Parseval µπορούµε και υπολογίζουµε την ενέργεια αυτή που καταναλίσκεται στο Ω (κανονικοποιηµένη ενέργεια και στο πεδίο των συχνοτήτων. Η ποσότητα F(jω 2 ονοµάζεται φασµατική πυκνότητα ενέργειας (energy spectral density µε την οποία θα ασχοληθούµε σε επόµενο εδάφιο. Μια πιό γενική και ενδιαφέρουσα έκφραση του θεωρήµατος του Parseval είναι η παρακάτω: F (jωf ( 2 (jωdω (5.7β ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5. Υπολογίζουµε εδώ τον µετασχηµατισµό Fourier του χρονικά µετατοπισµένου κρουστικού σήµατος δ(t-t o : ö δ(t&t o ' & δ(t&t o e &jωt dt ' & δ(t&t o e &jωt o dt'e &jωt o & δ(t&t o dt'e &jωt o Στον υπολογισµό χρησιµοποιήθηκε η βασική ιδιότητα του κρουστικού σήµατος -263-

10 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ t 2 (εδάφιο..2 x(tδ(t&t µε x(t συνεχή γιά t=t o και t < t o < t 2,, m o dt'x(t o t η οποία για κρουστικές στο πεδίο συχνοτήτων γίνεται: ω 2 x(ωδ(ω&ω m o dω'x(ω o ω µε x(ω συνεχή γιά ω=ω o και ω < ω o < ω 2, Είναι προφανές ότι για t o =0 έχουµε ö[δ(t] ' ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.2 Υπολογίστε τον µετασχηµατισµό Fourier του εκθετικού σήµατος f(t ' e jω o t. Από τις ιδιότητες της κρουστικής έχουµε ότι δ(ω&ω o e jωt dω'e jω o t δ(ω&ω o dω'e jω ο t Y 2π & & & 2πδ(ω&ω o e jωt dω''e jω ο t Αυτό σηµαίνει ότι ö & [2πδ(ω&ω ο ] ' e jω ο t και εποµένως ö e jω ο t ' 2πδ(ω&ω ο ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.3 ΣΧΗΜΑ 5.3 Για να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του περιορισµένης διάρκειας τετραγωνικού σήµατος του σχήµατος 5.3, εφαρµόζουµε τον ορισµό και αλλάζουµε τα όρια της ολοκλήρωσης αφού το σήµα είναι µη µηδενικό µόνον από -a/2 έως a/2: -26-

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER F(jω ' & Εe &jωt dt ' E a 2 & a 2 e &jωt dt ' E &jω e &jωt % a 2 & a 2 ' E e &jω a 2 & e jω a 2 ' &jω sin(ω a 2 ' Ea ω a 2 µε f' ω 2π ' Ea sin(πaf πaf ' aesinc(af και sinc(x' sin(πx πx ΣΧΗΜΑ 5. Η γραφική παράσταση της πραγµατικής στην περίπτωση του συγκεκριµένου παλµού F(jω φαίνεται στο σχήµα 5. µε Ε= και α=. Οι µηδενισµοί γίνονται όταν αf=ακέραιος. Η συνάρτηση sinc ορίστηκε στο εδάφιο..5 ως sinc(x ' sin(πx (µε sinc(0= πx δεν πρέπει να συγχέεται µε την συνάρτηση δειγµατοληψίας (sampling function Sa(x' sin(x x η οποία συνδέεται µε την sinc µε την σχέση sinc(x'sa(πx' sin(πx πx Οι φασµατικές συνιστώσες (συντελεστές της µιγαδικής µορφής της σειράς Fourier C n του εικονιζόµενου σήµατος f x (t -265-

12 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ δίνονται από την σχέση C n ' ae T sin nπ a T nπ a T 'aef ο sin πanf o πanf o 'aef o sinc(anf o και είναι προφανής η συνάφεια και αναλογία. Οι παραπάνω εφαρµογές σκοπό είχαν να δείξουν πως υπολογίζονται οι µετασχηµατισµοί Fourier απλών βασικών συναρτήσεων. Συνήθως δεν καταφεύγουµε στον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων αλλά χρησιµοποιούµε τον πίνακα ζευγών µετασχηµατισµού Fourier...και πολλά τεχνάσµατα. Ακολουθεί ένας πίνακας ιδιοτήτων και ένας πίνακας ζευγών του µετασχηµατισµού Fourier. Η συνδυασµένη χρήση του πίνακα µε τον πίνακα ιδιοτήτων του µετασχη- µατισµού, µπορεί να δώσει λύση στα περισσότερα προβλήµατα που αντιµετωπίζει ο µηχανικός που ασχολείται µε τις επικοινωνίες και την µελέτη ηλεκτρικών συστηµάτων

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER f(t ΠΕΔΙΟ ΧΡΟΝΟΥ F(jω ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 2 af (t%bf 2 (t f(t&t o af (jω%bf 2 (jω e &jωt o F(jω 3 f(&t F(&jω'F ( (jω e jω o t f(t 5 f(at 6 d dt f(t 7 &jtf(t 8 t F j(ω&ω o *a* F j ω a jωf(jω d dω F(jω f(τdτ πf(0δ(ω% m jω F(jω & 9 f (t(f 2 (t F (jωf 2 (jω 0 f (tf 2 (t f(t'f e (t%f o (t 2π F (jω(f 2 (jω ö f e (t 'Re[F(jω] ö f o (t 'jim[f(jω] 2 F(t 2πf(jω 3 f(tcos(ω o t 0.5F(j(ω&ω ο %0.5F(j(ω%ω ο f(tsin(ω o t j 0.5F(j(ω&ω ο &0.5F(j(ω%ω ο 5 f(t' j n'& c n e jnω o t 2 π j n'& c n δ(ω&nω o -267-

14 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΖΕΥΓΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER f(t F(jω δ(t 2 δ(t-t o e &jωt 0 3 2πδ(ω u(t πδ(ω % jω 5 e jω 0 t 2πδ(ω-ω 0 6 cos(ω 0 t π[δ(ω+ω 0 +δ(ω-ω 0 ] 7 sin(ω 0 t jπ[δ(ω+ω 0 -δ(ω-ω 0 ] 8 u(te &at a>0 9 te &at u(t a>0 0 e &a t u(t a>0 jω % a (jω % a 2 2a a 2 % ω 2 a 2 % t 2 e &a ω e &at 2 a>0 2 π a e &ω 2 a 3 p a (t ' t <a p a (t ' 0 t >a sin(at πt 2a sin(ωa ' 2asinc(2fa ωa ω'2πf p a (jω ' ω <a p a (jω ' 0 ω >a -268-

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER f(t 5 sgn(t 6 j δ(t&nt n'& 7 u(tcos(ω o t F(jω 2 jω ω 0 j δ(ω&nω 0 n'& όπου ω 0 ' 2π T jω % ω 2 ο &ω2 % π 2 [δ(ω%ω ο %δ(ω&ω ο ] 8 u(tsin(ω o t 9 u(te &at cos(ω o t a>0 ω o % ω 2 ο &ω2 %j π 2 [δ(ω%ω ο &δ(ω&ω ο ] a%jω (jω%a 2 %ω 2 ο 20 u(te &at sin(ω o t a>0 ω o (jω%a 2 %ω 2 ο 5.3 Το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της F(jω Μια εναλλακτική έκφραση του µετασχηµατισµού Fourier βασίζεται στην έκφραση του πραγµατικού και του φανταστικού του µέρους. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, οι µετασχηµατιζόµενες συναρτήσεις f(t είναι πραγµατικές και πληρούν τις προϋποθέσεις ύπαρξης του µετασχηµατισµού F(jω, που είναι µια µιγαδική ποσότητα και εποµένως έχει ένα πραγµατικό και ένα φανταστικό µέρος: -269-

16 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ F(jω'Re[F(jω]%jIm[F(jω]'R(ω%jX(ω Χρησιµοποιώντας την παραπάνω στον ορισµό του µετασχηµατισµού σε συνδυασµό µε την σχέση του Euler παίρνουµε F(jω'R(ω%jX(ω' f(t[cos(ωt&jsin(ωt]dt' f(tcos(ωtdt&j f(tsin(ωtdt m m m Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι & R(ω' f(tcos(ωtdt X(ω'& f(tsin(ωtdt (5.8 m m & Επειδή η cos(ωt είναι άρτια συνάρτηση του ω, το R(ω είναι επίσης άρτιο. Αντίστοιχα, επειδή η sin(ωt είναι περιττή συνάρτηση, το X(ω είναι επίσης περιττό. Εκφράζοντας τώρα την σχέση του αντίστροφου µετασχηµατισµού & & & f(t' F(jωe jωt dω 2π m συναρτήσει του πραγµατικού και φανταστικού µέρους της F(jω, παίρνουµε & f(t' R(ω%jX(ω cos(ωt%jsin(ωt dω (5.9 2π m και λαµβάνοντας υπόψη ότι γιά πραγµατικές f(t: Το γινόµενο µιας άρτιας και µιας περιττής συνάρτησης είναι περιττό Το γινόµενο µιας άρτιας µε µια άρτια συνάρτηση είναι άρτιο Το γινόµενο µιας περιττής µε µια περιττή συνάρτηση είναι άρτιο και το γεγονός ότι όταν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι συµµετρικά, το ολοκλήρωµα των περιττών συναρτήσεων είναι µηδέν, η παραπάνω σχέση δίνει f(t' R(ωcos(ωt& X(ωsin(ωt dω 2π m & f(t' R(ωcos(ωt& X(ωsin(ωt dω π m 0 & (5.20α Ο ολοκληρούµενη ποσότητα είναι άρτια συνάρτηση, πράγµα που επιτρέπει την αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης ως εξής: (5.20β -270-

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Τελικά, οι εξισώσεις 5.8 και 5.20β, που επαναλαµβάνονται εδώ: R(ω' f(tcos(ωtdt X(ω'& f(tsin(ωtdt m m & f(t' R(ωcos(ωt&X(ωsin(ωt dω π m 0 & R(ω' f(tcos(ωtdt'2 f(tcos(ωtdt m m & X(ω'& f(tsin(ωtdt'0 m & 0 (5.2 περιγράφουν τον µετασχηµατισµό Fourier, αφού µε τις 5.8 υπολογίζεται η F(jω από την f(t και µε την 5.20β η f(t από την F(jω. Παρατηρήστε ότι ο παραπάνω ορισµός του µετασχηµατισµού, περιλαµβάνει πραγµατικά µόνον ολοκληρώµατα και ότι για την ανάκτηση της πραγµατικής f(t από την F(jω, χρειάζονται µόνον πληροφορίες για ω>0. Είδαµε παραπάνω ότι επειδή η cos(ωt είναι άρτια συνάρτηση του ω, το R(ω είναι επίσης άρτια συνάρτηση του ω και αντίστοιχα, επειδή η sin(ωt είναι περιττή συνάρτηση, το X(ω είναι επίσης περιττή συνάρτηση του ω. Εποµένως R(-ω=R(ω και X(-ω= -X(ω πράγµα που σηµαίνει ότι το συζυγές F * (jω της F(jω είναι F ( (jω'f(&jωκαι F(jωF ( (jω'f(jωf(&jω'r 2 (ω%x 2 (ω' F(jω 2 (5.22 Οταν η f(t είναι άρτια, τότε το f(tcos(ωt είναι άρτια και το f(tsin(ωt περιττή συνάρτηση του ω και εποµένως: f(t' R(ωcos(ωt&X(ωsin(ωt dω' R(ωcos(ωt dω π m π m 0 0 (5.23α Ο µετασχηµατισµός εποµένως των αρτίων συναρτήσεων είναι πραγµατικές συναρτήσεις του ω ö f(t 'F(jω'R(ω'2 f(tcos(ωtdt m και για την ανάκτησή τους από την F(jω, αρκεί 0 µόνον το πραγµατικό µέρος R(ω της F(jω : (5.23β -27-

18 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Οταν η f(t είναι περιττή, τότε το f(tcos(ωt είναι περιττό και το f(tsin(ωt άρτια συνάρτηση του ω και εποµένως: R(ω' f(tcos(ωtdt'0 m & X(ω'& f(tsin(ωtdt'&2 f(tsin(ωtdt m m & 0 (5.2α πράγµα που σηµαίνει ότι ο µετασχηµατισµός περιττών συναρτήσεων είναι φανταστική συνάρτηση του ω ö f(t 'F(jω'jX(ω'&2j f(tsin(ωtdt m και για την ανάκτησή τους από την F(jω, αρκεί µόνον το φανταστικό µέρος X(ω της F(jω: 0 f(t' R(ωcos(ωt&X(ωsin(ωt dω'& X(ωsin(ωtdω π m π m 0 0 (5.2β 5.3. Σχέση άρτιου και περιττού µέρους της f(t µε R(ω και X(ω Η γενική σχέση f(t'f e (t%f o (t (f e (t και f o (t, το άρτιο και περιττό µέρος αντίστοιχα της f(t δίνει φυσικά ö f(t 'ö f e (t %ö f o (t 'R(ω%jX(ω'F e (jω%f o (jω Επειδή η f e (t είναι άρτια, ο µετασχηµατισµός της θα έχει µόνον πραγµατικό µέρος R e (ω. Αντίστοιχα, επειδή η f o (t είναι περιττή, ο µετασχηµατισµός της θα έχει µόνο φανταστικό µέρος X o (ω. Χρησιµοποιώντας τις παρατηρήσεις αυτές, η παραπάνω σχέση δίνει ö f(t 'ö f e (t %ö f o (t 'R(ω%jX(ω'F e (jω%f o (jω'r e (ω%jx o (ω από την οποία προκύπτει ότι R e (ω'r(ω και X o (ω'x(ω (5.25 Η f e (t ως άρτια, σύµφωνα µε την σχέση 5.23β, θα είναι -272-

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER f e (t' R π m e (ωcos(ωtdω' R(ωcos(ωt dω π m και η f o (t ως περιττή από την 5.2β Συµπερασµατικά έχουµε ότι: 0 f o (t'& X π m o (ωsin(ωtdω'& X(ωsin(ωtdω π m 0 f e (t'ö & R(ω ' R(ωcos(ωtdω πm και f o (t'ö & jx(ω '& X(ωsin(ωtdω πm ( Σχέση R(ω και X(ω της F(jω Αν η f(t εκτός από πραγµατική είναι και µονόπλευρη (ή αιτιοκρατική µε f(t=0 γιά t<0, τότε αποδεικνύεται ότι για την ανάκτησή της από την F(jω, απαιτείται µόνον το ένα µέρος από τα R(ω και X(ω. Στο εδάφιο.2. του πρώτου κεφαλαίου, παρουσιάζοντας τις σχέσεις συµµετρίας των σηµάτων, είδαµε ότι για αιτιοκρατικά σήµατα και µόνον γιά t>0 ισχύει ότι: f(t'2f e (t και f(t'2f o (t µόνον για t>0 (5.27 που επιβεβαιώνονται εποπτικά στο σχήµα 5.6. Στην περίπτωση λοιπόν των µονόπλευρων σηµάτων, επειδή όπως απεδείχθη ισχύει η γενική σχέση 5.26 f e (t' R(ωcos(ωtdω και f πm o (t'& X(ωsin(ωtdω πm 0 βρίσκουµε για την f(t και µόνον γιά t$0: 0 f(t' 2 R(ωcos(ωtdω'& 2 X(ωsin(ωtdω t$0 (5.28 π m π m

20 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ η οποία αποδεικνύει ότι ένα αιτιοκρατικό σήµα µπορεί να ανακτηθεί από το πραγµατικό ή το φανταστικό µόνον µέρος του µετασχηµατισµού του. Από την σχέση αυτή γίνεται επίσης προφανές ότι τα R(ω και Χ(ω συνδέονται µεταξύ τους και ο A. Papoulis απέδειξε ότι: X(ω' 2 π m m 0 0 R(λcos(λtsin(ωtdλ dt Οι σχέσεις βέβαια αυτές µε τα διπλά ολοκληρώµατα έχουν µόνον θεωρητική αξία και παρακάτω δίνονται απλούστερες σχέσεις µεταξύ R(ω και X(ω. ΣΧΗΜΑ Μετασχηµατισµός Hilbert Στο κεφάλαιο ορίστηκε η συνάρτηση προσήµου sgn(x'% γιά x>0 sgn(x'& γιά x<0 Ορίζεται ως µετασχηµατιστής Hilbert ένας ιδανικός ολισθητής ή µετατοπιστής φάσης (phase shifter κατά π/2, που είναι ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς Papoulis Athanasios, "The Fourier Integral and its Applications", McGraw-Hill,

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER H(jω'e &j π 2 γιά ω>0 H(jω'e %j π 2 γιά ω<0 Επειδή e &j π2 '&j και e j π2 'j, η συνάρτηση µεταφοράς του µετατοπιστή αυτού, µπορεί να γραφτεί ώς µετασχηµατισµού Fourier έχουµε H(jω'&jsgn(ω. Από την γραµµή 5 του πίνακα ζευγών του ö[sgn(t]' 2 jω ιδιότητα της δυϊκότητας κατά την οποία ö[f(jt]'2πf(&ω και χρησιµοποιώντας την παίρνουµε ö 2 jt '2πsgn(&ω'&2πsgn(ω 6 ö πt '&jsgn(ω Η κρουστική απόκριση του µετασχηµατιστή Hilbert θα είναι εποµένως h(t'ö & [H(jω]'ö & [&jsgn(ω]' πt Η χρονική απόκριση του µετασχηµατιστή Hilbert σε µια διέγερση x(t θα είναι y(t'x(t(h(t'x(t( πt ' π m R(ω' X(λ π m ω&λ dλ και X(ω'& R(λ π m ω&λ dλ (5.29 & & & x(τ t&τ dτ Η παραπάνω σχέση ορίζει τον µετασχηµατισµό Hilbert και συγκεκριµένα η y(t ονοµάζεται "µετασχηµατισµός Hilbert" της x(t. Ας θεωρήσουµε τώρα ένα µονόπλευρο πραγµατικό σήµα f(t (f(t=0 γιά t<0, του οποίου υπάρχει ο µετασχηµατισµός Fourier F(jω, και µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του πραγµατικού και φανταστικού της µέρους ως F(jω=R(ω+jX(ω. Αν η f(t δεν περιέχει κρουστική δ(t για t=0, αποδεικνύεται ότι το πραγµατικό µέρος µπορεί να υπολογιστεί από το φανταστικό και το φανταστικό από το πραγµατικό µε τις παρακάτω σχέσεις: Το πραγµατικό δηλ. µέρος είναι ο µετασχηµατισµός Hilbert του φανταστικού και -275-

22 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ το φανταστικό ο µετασχηµατισµός Hilbert του πραγµατικού µε αρνητικό πρόσηµο. Στην περίπτωση που η f(t περιέχει κρουστικό σήµα για t=0, η παραπάνω σχέση γίνεται R(ω'R(% X(λ π m ω&λ dλ και X(ω'& R(λ π m ω&λ dλ & 5. Μετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτων & Τα περιοδικά σήµατα παραβιάζουν τις συνθήκες για την ύπαρξη του µετασχηµατισµού Fourier, καθόσον δεν είναι απόλυτα ολοκληρώσιµα αφού t *f(t*dt 6. Με την αυστηρή εποµένως µαθηµατική αντιµετώπιση, δεν έχουν m & µετασχηµατισµό, πράγµα που παρακάµπτεται µε την χρήση των γενικευµένων συναρτήσεων και συγκεκριµένα της κρουστικής δ(t. Είδαµε ότι ένα περιοδικό σήµα f(t µε περίοδο Τ o, αναλύεται σε σειρά Fourier f(t ' j C n e jnω 0 t όπου ω ο =2π/Τ o. Ο µετασχηµατισµός του εποµένως n'& µπορεί να βρεθεί παίρνοντας τους µετασχηµατισµούς των δύο µερών της παραπάνω σχέσης και συγκεκριµένα F(jω ' ö[f(t] ' ö j C n e jnω 0 t ' j C n ö e jnω 0 t & αφού οι φασµατικές συνιστώσες C n είναι ανεξάρτητες από τον χρόνο. Επειδή όµως ö e jnω 0 t ' 2πδ(ω&nω ο, ο µετασχηµατισµός της f(t είναι τελικά & F(jω ' ö[f(t] ' 2π j & C n δ(ω&nω ο (5.30 δηλ. µια σειρά κρουστικών στις συχνότητες των αρµονικών. Τα φάσµατα πλάτους και φάσης των περιοδικών σηµάτων είναι εποµένως διακριτά και όχι συνεχή όπως στην περίπτωση των µη περιοδικών σηµάτων. Η περιβάλλουσα των διακριτών συχνοτήτων θα δούµε ότι έχει άµεση σχέση µε το συνεχές φάσµα ενός µη περιοδικού σήµατος

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ενα περιοδικό σήµα f(t σαν αυτό του σχήµατος 5.7 µπορεί κανείς να το δεί ως άθροισµα ενός µη περιοδικού σήµατος f o (t (σχήµα 5.8, που ορίζεται από -Τ ο /2 έως Τ ο /2 και των µετατοπισµένων f o (t ± nτ ο κατά ±nτ ο όπου n=,2,3,... ΣΧΗΜΑ 5.7 & ΣΧΗΜΑ 5.8 Το περιοδικό δηλ. σήµα f(t, µπορεί να εκφραστεί ως f(t ' j f o (t&nt o. Ο µετασχηµατισµός του µη περιοδικού σήµατος f o (t είναι T o /2 F o (jω ' f m o (te &jωt dt ' f m o (te &jωt dt και εποµένως για ω=nω ο έχουµε F o (jnω o ' m &T o /2 T o /2 &T o /2 f o (te &jnω o t dt Οι φασµατικές συνιστώσες του περιοδικού σήµατος f(t δίνονται από την σχέση: C n ' T o T o /2 T o /2 m &T o /2 f(te &jnω 0 t dt' T o n'& f m o (te &jnω 0 t dt' F T o (jnω o o &T o /2-277-

24 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ αφού µέσα στα όρια της ολοκλήρωσης ισχύει ότι C n ' T o F o (jnω o f(t'f o (t. H παραπάνω σχέση είναι πολύ σηµαντική και δηλώνει ότι η περιβάλλουσα του φάσµατος του περιοδικού σήµατος f(t είναι το φάσµα του µη περιοδικού σήµατος f o (t µε συντελεστή /Τ ο. Τελικά από την σχέση αυτή και την F(jω' 2π j T o & F(jω ' ö[f(t] ' 2π j & F o (jnω o δ(ω&nω ο 'ω oj & C n δ(ω&nω ο βρίσκουµε για τον µετασχηµατισµό της περιοδικής f(t: F o (jnω o δ(ω&nω ο (5.3 Αυτό σηµαίνει ότι γιά να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό µιας περιοδικής f(t, αρκεί να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό F ο (jω της f o (t, να βάλουµε όπου ω6nω ο και να εφαρµόσουµε την παραπάνω σχέση. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5. Γιά τον υπολογισµό του µετασχηµατισµού Fourier του περιοδικού τετραγωνικού σήµατος του σχήµατος 5.0 µε παλµούς διάρκειας a και περίοδο Τ ο, το περιοδικό σήµα το βλέπουµε να αποτελείται από το µη περιοδικό σήµα f o (t του σχήµατος 5.9 και τα µετατοπισµένα του f o (t±nto. ΣΧΗΜΑ 5.9 ΣΧΗΜΑ 5.0 Γιά να υπολογίσουµε εποµένως τον µετασχηµατισµό του f(t, θα υπολογίσουµε πρώτα το µετασχηµατισµό F o (jω του f o (t και θα εφαρµόσουµε την σχέση: -278-

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER F(jω'ω oj F o (jnω o δ(ω&nω ο & Γιά τον µετασχηµατισµό Fourier του µη περιοδικού f o (t του σχήµατος 5.9, έχουµε ότι F ο (jω' & Εe &jωt dt'e & a 2 a 2 e &jωt dt ' E &jω e &jωt % a 2 & a 2 'E e &jω a 2 &e jω a sin(ω a 2 2 'Ea &jω ω a 2 και εποµένως: F ο (jnω o 'Ea sin(nω o a 2 nω o a 2 Ο µετασχηµατισµός του περιοδικού σήµατος θα είναι F(jω'ω oj & F o (jnω o δ(ω&nω ο 'aeω oj & a sin(nω o 2 δ(ω&nω a ο nω o 2 ή F(jω'2πE a j T o & sinc(n a T o δ(ω&nω ο δηλ. µια σειρά κρουστικών σε απόσταση ω ο µεταξύ τους µε δύναµη 2πE a T o sinc(n a T o η καθεµιά. Παρατηρήστε ότι καθοριστικό ρόλο παίζει ο κύκλος καθήκοντος D=a/T o, ο οποίος όταν είναι ίσος µε 0.5, µηδενίζει τις συνιστώσες µε άρτιο n. Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier του περιοδικού σήµατος f(t του σχήµατος 5.0 θα είναι C n ' T o F o (jnω o ' E a T o sin(nω o a 2 nω o a 2 a sin(nπ ' E a Τ ο T o nπ a Τ ο ' E a T o sinc(n a T o -279-

26 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 5.α: ΦΑΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕ D=0.25 Το σχήµα 5.α δείχνει το φάσµα F(jω του περιοδικού σήµατος µε D=0.25 ενώ το σχήµα 5.β, το φάσµα του περιοδικού σήµατος για D=0.5, οπότε το σήµα έχει µόνον τις περιττές αρµονικές. ΣΧΗΜΑ 5.β ΦΑΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕ D=0.5 Υπενθυµίζεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις, η περιβάλλουσα είναι F. T o (jω o Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό του τετραγωνικού σήµατος του σχήµατος

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΧΗΜΑ 5.2 Ενας εύκολος τρόπος είναι να το θεωρήσουµε ως το σήµα του σχήµατος 5.0 (του οποίου έχουµε τον µετασχηµατισµό µε Ε=2Α, µετατοπισµένο προς τα δεξιά κατά α/2 και προς τα κάτω κατά Α και να χρησιµοποιήσουµε τις κατάλληλες ιδιότητες. Ενας άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουµε ότι το σήµα αποτελείται από µετατοπισµένα αντίγραφα του παρακάτω f o (t. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να υπολογίσουµε µόνο τον µετασχηµατισµό του f o (t και να χρησιµοποιήσουµε την σχέση F(jω'ω oj F o (jnω o δ(ω&nω ο & Εφαρµόζοντας απευθείας τον ορισµό του µετασχηµατισµού έχουµε: a T o F o (t' f m o (te &jωt dt'a e &jωt dt&a e &jωt dt' A m m &jω e &jωa & % A jω e &jωt o &e &jωa & που δίνει τελικά 0 a F o (jω' A &jω e &jωa & % A jω e &jωt o &e &jωa ' A jω %e &jωt o &2e &jωa Εχοντας το F o (jω βρίσκουµε το F o (jnω o µε απλή αντικατάσταση του ω µε nω ο : F o (jnω o ' A %e &jnω ot o &2e &jnω oa jnω o και εποµένως -28-

28 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ F(jω'ω o j F o (jnω o δ(ω&nω o 'A j n'& n'& %e &jnω o T o &2e &jnω o a jn δ(ω&nω o Γιά n=0 φαίνεται να υπάρχει πρόβληµα αφού µηδενίζεται ο αριθµητής και ο παρονοµαστής. Στην περίπτωση αυτή προσφεύγουµε στα όρια και βρίσκουµε το όριο γιά n 0 µε τον κανόνα του Hospital σαν να ήταν η έκφραση συνεχής συνάρτηση του n. lim n60 A %e &jnω o T o &2e &jnω o a ' A &ω jn o T o e &jnω o T o %2aω o e &jnω o a 'Aω n'0 ο (2a&Τ ο Για το συγκεκριµένο περιοδικό τετραγωνικό σήµα του σχήµατος 5.2, η συνεχής συνιστώσα µηδενίζεται µόνον όταν 2α=Τ ο, όταν δηλ. το σήµα έχει κύκλο καθήκοντος D=0.5. Στην περίπτωση που το περιοδικό σήµα έχει α=τ ο /2, δηλ. κύκλο καθήκοντος D=0.5, οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται ως εξής: F o (jnω o ' A %(& n% 2 nω o F(jω'ω o j F o (jnω o δ(ω&nω o 'A j n'& n'& %(& n% n 2 δ(ω&nω o ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γιά τον µετασχηµατισµό του περιοδικού τετραγωνικού σήµατος βρήκαµε ότι F(jω'2πE a j sinc(n a δ(ω&nω T o & T ο o Επιλέγοντας Ε=/α, και το α60, το τετραγωνικό σήµα γίνεται ένας συρµός κρουστικών σηµάτων όπως στο σχήµα. Ο συρµός αυτός εκφράζεται ως j n'& δ(t&nt o. Ο µετασχηµατισµός εξάλλου του -282-

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER τετραγωνικού σήµατος µε Ε=/α και α60 γίνεται F(jω' 2π j sinc( 0 δ(ω&nω T o & T ο ' 2π j δ(ω&nω o T ο 'ω oj o & & δ(ω&nω ο αφού sinc(0= και ω ο =2π/Τ ο. Ο µετασχηµατισµός εποµένως ενός περιοδικού συρµού κρουστικών είναι ένας συρµός κρουστικών στο πεδίο συχνοτήτων σε απόσταση ω ο. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ö[δ(t&t o ]'e &jωt o σε συνδυασµό µε την γενική σχέση 5.3 υπολογισµού των µετασχηµατισµών περιοδικών σηµάτων. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.5 Στην εφαρµογή αυτή, θα υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό Fourier του ηµιανορθωµένου σήµατος f(t του παραπάνω σχήµατος. Γιά τον υπολογισµό, µπορούµε να το θεωρήσουµε ότι συντίθεται από το f o (t και τα µετατοπισµένα του f o (t±nt o και να εφαρµόσουµε την σχέση (5.3 F(jω'ω oj & Γιά το µη περιοδικό σήµα f o (t ισχύει φυσικά: F o (jnω o δ(ω&nω ο. f o (t'acos(ω o t γιά t # T o f o (t'0 γιά t > T o Προτιµούµε όµως να ακολουθήσουµε µια άλλη µέθοδο θεωρώντας την f(t ως γινόµενο της f (t'acos(ω o t µε ω o ' 2π Τ o του σχήµατος 5.3α και του εικονιζόµενου στο σχήµα 5.3β συρµού τετραγωνικών παλµών f 2 (t

30 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 5.3 Γιά τον µετασχηµατισµό του τετραγωνικού f 2 (t έχουµε από την εφαρµογή 5.: F 2 (jω'aeω οj sinc(n a δ(ω&nω & T ο o στην οποία βάζοντας a' T o 2 και E' παίρνουµε F 2 (jω'π j sinc( n 2 δ(ω&nω ο Το φάσµα της f(t=af 2 (tcos(ω o t θα είναι εποµένως & F(jω'ö Af 2 (tcos(ω o t ' A 2 ö f 2 (t e jω o t %e &jω o t ' ' A 2 F 2 (j(ω%ω ο % A 2 F 2 (j(ω&ω o Παραπέρα επεξεργασία του αποτελέσµατος αυτού δίνει: -28-

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER F(jω' Aπ 2 j & ' Aπ 2 j & sinc( n 2 δ(ω%ω ο &nω Aπ ο % 2 j & sinc( n 2 δ(ω%ω ο &nω ο %δ(ω&ω ο &nω ο sinc( n 2 δ(ω&ω ο &nω ο Λαµβάνοντας υπόψη ότι για άρτια n η sinc(n/2 µηδενίζεται και ότι για n=0 παίρνει τιµή ίση µε την µονάδα, παίρνουµε: F(jω' Aπ 2 j sinc( n & 2 δ(ω%ω ο &nω ο %δ(ω&ω ο &nω ο ' '...% % Aπ &7 sinc( 2 2 δ(ω%8ω ο %δ(ω%6ω ο % Aπ 2 sinc( 7 2 δ(ω&6ω ο %δ(ω&8ω ο ' % Aπ &5 sinc( 2 2 δ(ω%6ω ο %δ(ω%ω ο % Aπ 2 sinc( 5 2 δ(ω&ω ο %δ(ω&6ω ο % % Aπ &3 sinc( 2 2 δ(ω%ω ο %δ(ω%2ω ο % Aπ 2 sinc( 3 2 δ(ω&2ω ο %δ(ω&ω ο % % Aπ & sinc( 2 2 δ(ω%2ω Aπ ο %δ(ω % 2 sinc( 2 δ(ω%δ(ω&2ω ο % Aπ 2 sinc( 0 2 δ(ω%ω ο %δ(ω&ω ο Εισάγοντας τις τιµές της sinc, βρίσκουµε τελικά ότι: F(jω' Aπ 2 j sinc( n & 2 δ(ω%ω ο &nω ο %δ(ω&ω ο &nω ο ' '...% % A 7 δ(ω%8ω ο %δ(ω%6ω ο % A 7 δ(ω&6ω ο %δ(ω&8ω ο % % A 5 δ(ω%6ω ο %δ(ω%ω ο % A 5 δ(ω&ω ο %δ(ω&6ω ο % % A 3 δ(ω%ω ο %δ(ω%2ω ο % A 3 δ(ω&2ω ο %δ(ω&ω ο % %A δ(ω%2ω ο %δ(ω %A δ(ω%δ(ω&2ω ο % % Aπ 2 δ(ω%ω ο %δ(ω&ω ο -285-

32 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 5.5 Ο µετασχηµατισµός F(jω του συγκεκριµένου σήµατος είναι πραγµατική συνάρτηση του ω και εποµένως το φάσµα πλάτους F(jω είναι απλά η απόλυτη τιµή του µετασχηµατισµού. Το φάσµα αυτό πλάτους του ηµιανορθωµένου σήµατος του σχήµατος (γ, φαίνεται στο σχήµα 5.5. Γιά να κρατήσει κανείς µόνον την συνεχή συνιστώσα, αν η ανόρθωση γίνεται σε ένα τροφοδοτικό DC τάση, είναι προφανές ότι θα χρειαστεί ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής µικρότερη από την ω ο. 5.5 Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier Παρόλο που ο µετασχηµατισµός Fourier είναι συνδεµένος µε την µελέτη των συστηµάτων στο πεδίο των συχνοτήτων, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ενδιάµεσο στάδιο και για την µελέτη τους στο πεδίο του χρόνου. Οι εφαρµογές που ακολουθούν είναι ενδεικτικές Μετασχηµατισµός κυκλωµάτων Ο µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να εφαρµοστεί στην ανάλυση κυκλωµάτων µε δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι να καταγράψει κανείς τις απαραίτητες σχέσεις στο πεδίο του χρόνου και να καταλήξει στην τελική ολοκληρωτικοδιαφορική εξίσωση και να εφαρµόσει τον µετασχηµατισµό σε αυτήν. Ο δεύτερος τρόπος είναι να µετασχηµατίσει το κύκλωµα από την αρχή µετασχηµατίζοντας όλα τα στοιχεία και τις µεταβλητές του. Ο δεύτερος αυτός τρόπος είναι και ο χρησιµοποιούµενος σχεδόν κατ αποκλειστικότητα στην ανάλυση κυκλωµάτων µε τον µετασχηµατισµό Fourier. Η γνωστή σχέση ρεύµατος-τάσεως του γραµµικού αντιστάτη είναι v R (t ' Ri R (t. Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Fourier και των δύο µερών έχουµε: -286-

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ö v R (t ' ö Ri R (t Y V R (jω ' RI R (jω Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση είναι ο νόµος του Ohm που ισχύει και για τα µετασχηµατισµένα µεγέθη τάσης και ρεύµατος. Το µοντέλο του γραµµικού αντιστάτη στο πεδίο συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Η σχέση ρεύµατος-τάσεως του επαγωγέα v L (t'l d, αν µετασχηµατιστεί και dt i L (t στα δύο µέρη της κατά Fourier, δίνει: ö v L (t ' ö L d dt i L (t Y V L (jω ' jωli L (jω Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση θυµίζει τον νόµο του Ohm, όπου η µετασχηµατισµένη τάση V(jω δηµιουργείται από τον πολλαπλασιασµό της ανάλογης προς την αντίσταση ποσότητος jωl, επί το µετασχηµατισµένο ρεύµα I(jω. Η µετασχηµατισµένη αντίσταση του επαγωγέα ορίζεται εποµένως ως Z L (jω ' jωl και φυσικά η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα του επαγωγέα θα είναι Y L (jω' jωl µετασχηµατισµένου επαγωγέα. Μια τέτοια σχέση οδηγεί στο παρακάτω µοντέλο του Η σχέση ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή i C (t ' C d όταν µετασχηµατιστεί dt v C (t κατά Fourier και στα δύο µέρη δίνει: ö i C (t ' ö C d dt v C (t Y I C (jω ' jωcv C (jω Y V C (jω ' jωc I C (jω -287-

34 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση θυµίζει τον νόµο του Ohm, όπου η µετασχηµατισµένη τάση V C (jω δηµιουργείται από τον πολλαπλασιασµό της ανάλογης προς την αντίσταση ποσότητας /jωc, επί το µετασχηµατισµένο ρεύµα του I C (jω. Ετσι η µετασχηµατισµένη αντίσταση του πυκνωτή ορίζεταιι ως Ζ C (jω ' και φυσικά η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα του πυκνωτή θα jωc είναι Y C (jω'jωc Η µετασχηµατισµένη σχέση ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή υπαγορεύει το παρακάτω µοντέλο του για το πεδίο συχνοτήτων. Το σηµαντικό κέρδος που αποκοµίσαµε µετασχηµατίζοντας τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι ότι ενώ στο πεδίο του χρόνου δεν είναι δυνατόν να οριστεί η αντίσταση των στοιχείων χωρίς απώλειες L και C, στο πεδίο συχνοτήτων ορίζεται η µετασχηµατισµένη αντίσταση και ισχύουν απλές σχέσεις ρεύµατος τάσεως στα µετασχηµατισµένα στοιχεία. Γενικά η µετασχηµατισµένη αντίσταση ενός στοιχείου δύο ακροδεκτών, ορίζεται ως ο λόγος της µετασχηµατισµένης τάσης στους ακροδέκτες του προς το µετασχηµατισµένο ρεύµα του κλάδου, σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα. Η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα του µονόθυρου, ορίζεται ως ο λόγος του µετασχηµατισµένου ρεύµατος προς την µετασχηµατισµένη τάση, δηλ. το αντίστροφο της µετασχηµατισµένης αντίστασης. Z(jω ' V(jω I(jω και Y(jω ' I(jω V(jω ' Z(jω Αντί του όρου "µετασχηµατισµένη αντίσταση", χρησιµοποιείται σε µέρος της -288-

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ελληνικής βιβλιογραφίας ο αδόκιµος ειδικά δηµιουργηµένος όρος "εµπέδηση". Ο µετασχηµατισµός ενός κυκλώµατος από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων µε τον µετασχηµατισµό Fourier, στηρίζεται στην αντικατάσταση όλων των στοιχείων του κυκλώµατος µε τα αντίστοιχα µετασχηµατισµένα τους, βάσει αυτών που εκτέθηκαν παραπάνω. Για να µετασχηµατίσουµε κατά Fourier ένα κύκλωµα, κάθε µεταβλητή, ρεύµα ή τάση, αντικαθίσταται µε την µετασχηµατισµένη της και κάθε στοιχείο µε το µετασχηµατισµένο του στοιχείο, σύµφωνα µε τα εκτεθέντα µοντέλα. ΣΗΜΑ 5.6α ΣΧΗΜΑ 5.6β Το σχήµα 5.6α δείχνει ένα κύκλωµα στο πεδίο του χρόνου και το 5.6β το µετασχηµατισµένο του στο πεδίο συχνοτήτων κατά Fourier. Το χαρακτηριστικό της ανάλυσης ενός µετασχηµατισµένου κυκλώµατος είναι ότι δεν εµπλέκονται καθόλου παράγωγοι και ολοκληρώµατα στην διαδικασία επίλυσης. Οτι γνωρίζουµε γιά τα κυκλώµατα στο πεδίο του χρόνου, ισχύουν χωρίς αλλαγές και στο πεδίο των συχνοτήτων. Η ισοδυναµία Norton-Thevenin, οι νόµοι του Kirchhoff, οι µέθοδοι κόµβων και βρόχων και όλα τα θεωρήµατα των κυκλωµάτων ισχύουν και στο πεδίο των συχνοτήτων, µε την µόνη διαφορά ότι αναφέρονται στα αντίστοιχα µετασχηµατισµένα µεγέθη Υπολογισµοί κυκλωµάτων στο πεδίο του χρόνου Η ανάλυση στο πεδίο του χρόνου µε την βοήθεια του µετασχηµατισµού Fourier έγκειται στην ανάλυση του µετασχηµατισµένου κυκλώµατος, τον υπολογισµό της µετασχηµατισµένης εξόδου και τέλος τον υπολογισµό της χρονικής εξόδου, µε την -289-

36 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ αντιστροφή της µετασχηµατισµένης εξόδου, αν αυτό είναι απαραίτητο. Στο µετασχηµατισµένο κατά Fourier κύκλωµα, όλες οι µεταβλητές θα είναι µετασχηµατισµένες και δεν θα υπάρχει η έννοια του χρόνου. Τα ρεύµατα θα είναι πλέον συναρτήσεις του jω, δηλ. I(jω, όπως και οι τάσεις V(jω. Τα ηλεκτρικά στοιχεία επίσης έχουν πλέον µετασχηµατισµένες αντιστάσεις Z(jω και γιά όλα ισχύει ο απλός νόµος του Ohm του τύπου V(jω=Z(jωI(jω. Συνήθως στα κυκλώµατα θεωρούµε την είσοδο γνωστή αλλά όχι συγκεκριµένη. Την διέγερση για παράδειγµα e(t, την παριστάνουµε στη γενική της µετασχη- µατισµένη µορφή E(jω, και υπολογίζουµε την απόκριση, π.χ. V ο (jω συναρτήσει της E(jω. Με τον τρόπο αυτό αντί να υπολογίζουµε την τάση v ο (t, υπολογίζουµε την µετασχηµατισµένη τάση V ο (jω, η οποία φυσικά µπορεί µετά να µας δώσει και την v ο (t, η οποία είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της V ο (jω. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.6 ΣΧΗΜΑ 5.7 Υπολογίστε την εξαναγκασµένη απόκριση του κυκλώµατος του σχήµατος 5.7 µε R=, L=2, όταν (α e(t=u(t και (β e(t=δ(t Η πρώτη ενέργεια που θα κάνουµε είναι να µετασχηµατίσουµε το κύκλωµα σύµφωνα µε τα προηγούµενα (σχήµα 5.8. ΣΧΗΜΑ 5.8 Ενας τρόπος ανάλυσης του συγκεκριµένου κυκλώµατος είναι να µετατρέψουµε την πηγή τάσης σε ρεύµατος, αντικαθιστώντας την µε το ισοδύναµο Norton οπότε το κύκλωµα γίνεται ως εξής: -290-

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΧΗΜΑ 5.9 Γράφουµε τώρα την εξίσωση του ΝΡΚ γιά το κύκλωµα του σχ. 5.9 V(jω % % R R 2 jωl ' E(jω R από την οποία παίρνουµε V(jω ' V(jω ' jωlr 2 jωl(r %R 2 % R R 2 E(jω Ενας άλλος τρόπος αναλυσης του συγκεκριµένου αυτού κυκλώµατος του σχήµατος 5.8 είναι να θεωρήσουµε τον παράλληλο συνδυασµό R 2 και jωl ως Z(jω και να εφαρµόσουµε την σχέση διαιρέτη τάσεως: Z(jω R %Z(jω E(jω ' jωlr 2 jωl(r %R 2 % R R 2 E(jω Για τις συγκεκριµένες τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος έχουµε: jωlr V(jω ' 2 jω E(jω ' 0.5 jωl(r %R 2 % R R 2 jω%0.25 E(jω Αυτή είναι η γενική σχέση για την µετασχηµατισµένη έξοδο, από την οποία µπορούµε πλέον να πάρουµε τις αποκρίσεις για τις διάφορες εξειδικευµένες διεγέρσεις της εφαρµογής. (α e(t=u(t δηλ. E(jω=πδ(ω+/jω Στην περίπτωση αυτή η µετασχηµατισµένη απόκριση είναι: jω πδ(ω% jω V(jω ' 0.5 ' 0.5 jωπδ(ω% jω%0.25 jω%0.25 ' 0.5 jω%0.25 Στην παραπάνω σχέση χρησιµοποιήθηκε η ιδιότητα του κρουστικού σήµατος f(xδ(x=f(0δ(x. Από τον πίνακα βρίσκουµε ότι η χρονική απόκριση θα είναι v(t ' ö & [V(jω] ' ö & 0.5 jω % 0.25 ' 0.5e & t u(t -29-

38 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ που είναι φυσικά η βηµατική απόκριση του κυκλώµατος, αφού e(t=u(t. (β e(t=δ(t δηλ. E(jω=. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζουµε την κρουστική απόκριση h(t. Η µετασχηµατισµένη απόκριση γίνεται: jω V(jω ' 0.5 jω%0.25 οπότε h(t ' v(t ' ö & [V(jω] ' ö & jω 0.5 jω % 0.25 ' ' 0.5ö & & 0.25 jω%0.25 ' 0.5δ(t&0.25e & u(t ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.7 Θα υπολογίσουµε τώρα την κρουστική και την βηµατική απόκριση του κυκλώµατος που χρησιµοποιήθηκε στο εδάφιο 3.5 του προηγουµένου κεφαλαίου, µε σκοπό να συγκρίνετε την ευκολία της λύσης µε την δυσκολία που είχαµε εκεί. t ΣΧΗΜΑ 5.20 Μετασχηµατίζουµε το κύκλωµα σύµφωνα µε τα προηγούµενα. Γράφουµε τώρα την εξίσωση του ΝΤΚ ΣΧΗΜΑ 5.2 I(jωR% jωc I(jω'E(jω V 2 (jω'i(jω jωc -292-

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER από τις οποίες παίρνουµε V 2 (jω ' jωrc% E(jω' RC jω% E(jω RC Αυτή είναι η γενική σχέση για την µετασχηµατισµένη έξοδο, από την οποία µπορούµε πλέον να πάρουµε τις αποκρίσεις για τις διάφορες εξειδικευµένες διεγέρσεις της εφαρµογής. (α Υπολογισµός κρουστικής απόκρισης µε e(t=δ(t δηλ. E(jω=. Στην περίπτωση αυτή έχουµε από την παραπάνω γενική σχέση για Ε(jω=: RC V 2 (jω' jω% RC οπότε από τον πίνακα ζευγών µετασχηµατισµού Fourier βρίσκουµε v 2 (t'u(t RC e & Η u(t χρησιµοποιήθηκε γιατί η απόκριση για t<0 είναι µηδενική, επειδή το κύκλωµα είναι ένα φυσικό αιτιοκρατικό σύστηµα. Η απόκριση αυτή, επειδή οφείλεται στο κρουστικό σήµα, είναι φυσικά η κρουστική απόκριση RC t h(t'u(t RC e & (β Υπολογισµός βηµατικής απόκρισης µε e(t=u(t δηλ. E(jω=πδ(ω+/jω Στην περίπτωση αυτή η µετασχηµατισµένη απόκριση είναι: V 2 (jω' RC jω% (πδ(ω% jω ' RC 'πδ(ω% RC t RC jω% πδ(ω% RC &RCω 2 %jω 'πδ(ω% jω &. jω% RC RC &ω 2 % jω RC ' -293-

40 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στους παραπάνω υπολογισµούς χρησιµοποιήθηκε η ιδιότητα του κρουστικού σήµατος f(xδ(x=f(0δ(x. Από τον πίνακα βρίσκουµε ότι η χρονική απόκριση θα είναι v 2 (t ' ö & πδ(ω% jω & jω% RC 'u(t&u(te & RC t 'u(t &e & RC t που είναι φυσικά η βηµατική απόκριση του κυκλώµατος, αφού e(t=u(t Απόκριση στο πεδίο συχνοτήτων - Συνάρτηση µεταφοράς Ας θεωρήσουµε ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(t. Σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν στο κεφάλαιο 3, η απόκριση y(t του συστήµατος όταν η διέγερση είναι x(t θα είναι ίση µε την συνέλιξη της διέγερσης µε την κρουστική απόκριση: y(t ' x(t(h(t ' x(τh(t&τdτ m Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Fourier και των δύο µερών της παραπάνω σχέσης βρίσκουµε ότι: ö[y(t] ' ö[x(t(h(t]'ö[x(t]ö[h(t] & δηλ. Y(jω' H(jω X(jω Η µιγαδική συνάρτηση H(jω'ö h(t ' Y(jω X(jω ' ö[απόκρισης] ö[διέγερσης] ορίζεται ως η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Η συνάρτηση µεταφοράς ταυτίζεται µε τον µετασχηµατισµό της κρουστικής απόκρισης και εποµένως, ο αντίστροφος µετασχηµατισµός της συνάρτησης µεταφοράς είναι η κρουστική απόκριση: -29-

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER h(t ' ö & H(jω. Το µέτρο H(ω της συνάρτησης µεταφοράς H(ω' H(jω, ονοµάζεται απόκριση πλάτους ή φάσµα πλάτους του συστήµατος και η γραφική του παράσταση από 0 έως είναι η καµπύλη απόκρισης πλάτους, ενώ όταν παριστάνεται από - έως αναφέρεται ως φάσµα πλάτους του συστήµατος. Το φ(ω, το όρισµα της µιγαδικής εν γένει Η(jω, ονοµάζεται απόκριση φάσης ή φάσµα φάσης του συστήµατος και η γραφική του παράσταση από 0 έως ονοµάζεται καµπύλη απόκρισης φάσης, ενώ όταν την παριστάνουµε από - έως, αναφέρεται ως φάσµα φάσης. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.8 Στο κύκλωµα του σχήµατος 5.22 µε R =R 2 =, C=, L= υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης, την απόκριση πλάτους και φάσης και την τάση εξόδου αν η e(t=0cos(t. Υπολογίστε και την κρουστική απόκριση. Μετασχηµατίζουµε το κύκλωµα και εφαρµόζουµε την µέθοδο βρόχων στους δύο εµφανείς βρόχους του. ΣΧΗΜΑ 5.22 R % jωc %jωl &jωl &jωl R 2 %jωl I(jω I 2 (jω ' E(jω

42 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Από τις παραπάνω εξισώσεις βρόχων, υπολογίζουµε το Ι 2 (jω µε την µέθοδο Crammer και χρησιµοποιώντας την σχέση V(jω=I 2 (jωe(jω, βρίσκουµε: V(jω ' Η συνάρτηση µεταφοράς τάσης θα είναι ω 2 LCR 2 ω 2 LC(R %R 2 & R 2 & jω(l%cr R 2 E(jω H(jω ' V(jω E(jω ' ω 2 LCR 2 ω 2 LC(R %R 2 & R 2 & jω(l%cr R 2 και για τις δεδοµένες τιµές των στοιχείων: H(jω ' 2ω 2 & & j2ω Η καµπύλη απόκρισης πλάτους είναι η γραφική παράσταση του *Η(jω* *H(jω* ' ω 2 (2ω 2 & 2 % ω 2 ' ω 2 ω 2 ω % Η απόκριση φάσης θα είναι φ(ω 'ËH(jω ' tan & 2ω. 2ω 2 & ΣΧΗΜΑ 5.23 Στο σχήµα 5.23 φαίνονται οι αποκρίσεις πλάτους και φάσης σε µοίρες. 80 π φ(ω -296-

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Οταν e(t=0cos(t, το πλάτος είναι 0, ω= και η απόκριση θα είναι και αυτή συνηµιτονική µε πλάτος 0 ( 2 ' 0 ' 2 5 '.7 ( % 5 και διαφορά φάσης φ( ' tan & 2 2( 2 & ' tan& (2 '.07rad ' 63.3 ο Η απόκριση τελικά όταν e(t=0cos(t θα είναι.7cos(t+.07. Γιά την κρουστική απόκριση έχουµε: h(t ' ö & [H(jω] ' ö & ω 2 2ω 2 & & j2ω ' 2 %jω 2 ö& & ( 2 %jω2 % Y h(t' 2 δ(t & 2 e & 2 t cos( 2 t ΣΧΗΜΑ 5.2 Το σχήµα 5.2 δείχνει την κρουστική και την βηµατική απόκριση

44 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.9: Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα της συνάρτησης µεταφοράς Αν εκφράσουµε µια οποιαδήποτε συνάρτηση µε το άρτιο και περιττό του µέρος έχουµε h(t'h e (t%h o (t και h(&t'h e (&t%h o (&t'h e (t&h o (t Παίρνοντας το άθροισµα και την διαφορά των h(t και h(-t βρίσκουµε h(t%h(&t'2h e (t και h(t&h(&t'2h o (t Στα αιτιοκρατικά (causal LTI συστήµατα, η κρουστική απόκριση h(t είναι αιτιοκρατική (µονόπλευρη, δηλ. h(t=0 γιά t<0. Αυτό σηµαίνει ότι h(-t=0 για t>0. Οι παραπάνω εποµένως σχέσεις για αιτιοκρατικές συναρτήσεις και µόνον γιά t>0 γίνονται: h(t'2h e (t και h(t'2h o (t µόνον για t>0 Το σχήµα 5.25 δείχνει την εκ πρώτης όψεως περίεργη αυτή κατάσταση. Στο εδάφιο 5.3. είδαµε ότι και ΣΧΗΜΑ 5.25 ö h e (t 'Re H(jω ö h o (t 'jim H(jω -298-

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER πράγµα που συνδυάζουµε µε το παραπάνω συµπέρασµα για να βρούµε ότι: h(t'2ö & ReH(jω και h(t'2ö & jimh(jω Οι σχέσεις αυτές, ισχύουν µόνον γιά µονόπλευρες κρουστικές αποκρίσεις αιτιοκρατικών συστηµάτων Απόκριση σε µιγαδική εκθετική διέγερση - ΜΗΚ Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι όταν η διέγερση ενός γραµµικού χρονικά αµετάβλητου συστήµατος συνεχούς χρόνου είναι µιγαδική εκθετική x(t'e jω ο t, τότε και η απόκριση είναι της ίδιας µορφής, δηλ. µιγαδική εκθετική µε διαφορετικό µόνο πλάτος και γωνία. Για την απόδειξη ορίστηκε η µιγαδική, ανεξάρτητη του χρόνου ποσότητα: και απεδείχθη ότι η απόκριση είναι: H ο (jω ' h(τe &jω ο τ dτ m & y(t ' H o (jωe jω ο t Τώρα είναι προφανές ότι η H ο (jω, όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της κρουστικής απόκρισης h(t, δηλ. η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Επειδή η H ο (jω είναι µιγαδική µπορεί να γραφτεί συναρτήσει του µέτρου και της γωνίας της (όρισµα ως εξής H ο (jω ' H ο (ωe jφ(ω µε H ο (ω ' H ο (jω και φ(ω ' ËH ο (jω Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνουµε για την απόκριση στο µιγαδικό εκθετικό σήµα x(t'e jω ο t : y(t ' H o (jωe jω o t 'H ο (ωe j(ω ο t%φ(ω µε H ο (ω' H ο (jω και φ(ω'ëh ο (jω πράγµα που σηµαίνει ότι η απόκριση είναι και αυτή µιγαδική εκθετική µε διαφορετική απλά γωνία και πολλαπλασιασµένη επί την πραγµατική και ανεξάρτητη από τον χρόνο ποσότητα H ο (ω' H ο (jω, το µέτρο δηλ. της Η ο (jω. Αν τώρα στην y(t ' H o (jωe j(ω ο t -299-

46 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ εκφράσουµε την µιγαδική εκθετική διέγερση µε την σχέση του Euler, παίρνουµε y(t ' ReH o (jω%jimh o (jω cosω o t%jsinω o t δηλ. y(t ' ReH o (jωcosωt&imh o (jωsinω o t % j ImH o (jωcosωt%reh o (jωsinω o t Αφού η διέγερση είναι x(t'e jω ο t 'cos(ω o t%jsin(jω o t και η πραγµατική διέγερση προκαλεί πραγµατική απόκριση η δε φανταστική διέγερση προκαλεί φανταστική απόκριση, η παραπάνω σχέση σηµαίνει ότι: αν x(t=cosω o t, τότε Y y(t ' ReH o (jωcosω o t&imh o (jωsinω o t'h o (ωcos(ω o t%φ(ω και αν x(t=sinω ο t Y y(t ' ImH o (jωcosω o t%reh o (jωsinω o t'h o (ωsin(ω o t%φ(ω φυσικά µε H o (ω ' H o (jω και φ(ω ' ËH o (jω Από τα παραπάνω προκύπτει ότι στα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα, η απόκριση σε ηµιτονική διέγερση (cosωt και sinωt που ορίζονται από - έως και όχι οι µονόπευρες u(tcosωt και u(tsinωt είναι της ίδιας µορφής και αλλάζει µόνον το πλάτος και η φάση µε τρόπο που καθορίζει το σύστηµα µε την συνάρτηση µεταφοράς του. Το συµπέρασµα αυτό αποτελεί την βάση της µελέτης των κυκλωµάτων στην µόνιµη ηµιτονική κατάσταση (sinusoidal steady state, ΜΗΚ Φάσµατα Ο µετασχηµατισµός Fourier ενός σήµατος, σχετίζεται µε το περιεχόµενο του σήµατος αυτού σε συχνότητες. Αν δηλ. θέλουµε να δούµε τι συχνότητες περιέχει ένα σήµα, σχηµατίζουµε την γραφική παράσταση του µέτρου του µετασχηµατισµού του. Για παράδειγµα, η κρουστική συνάρτηση δ(t έχει µετασχηµατισµό σταθερό ίσο µε την µονάδα. Το φάσµα της εποµένως περιέχει όλες τις συχνότητες, από - έως, µε µοναδιαίο πλάτος. Το σήµα f(t'u(te &at µε a>0, έχει, βάσει του πίνακα, µετασχηµατισµό F(jω' jω%a -300-

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER του οποίου το µέτρο είναι F(jω ' /0 jω%a /0 ' ω 2 %a 2 και η γραφική του παράσταση συναρτήσει του ω δίνεται στο σχήµα 5.26 απ' όπου γίνεται σαφές ότι το εκθετικό σήµα περιέχει κυρίως χαµηλές συχνότητες ενώ οι υψηλές περιέχονται µε χαµηλό πλάτος. ΣΧΗΜΑ 5.26 Ο µετασχηµατισµός Fourier του συνηµιτονικού σήµατος cos(ω o t είναι π[δ(ω+ω 0 +δ(ω-ω 0 ], και εποµένως το φάσµα πλάτους του συνηµιτονικού σήµατος είναι αυτό του σχήµατος ΣΧΗΜΑ 5.27 Το ίδιο ακριβώς φάσµα πλάτους έχει και το sin(ω o t του οποίου ο µετασχηµατισµός είναι jπ[δ(ω%ω ο &δ(ω&ω ο ]'e j π2 πδ(ω%ω ο %e &j π2 πδ(ω&ω ο -30-

48 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 5.28 Η διαφορά έγκειται µόνον στο φάσµα φάσης Φάσµατική πυκνότητα ενέργειας και ισχύος Η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητος ενέργειας (energy spectral density function και η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητος ισχύος (power spectral density function χρησιµοποιούνται για να δείξουν αντίστοιχα την κατανοµή της ενέργειας ενός ενεργειακού σήµατος και την κατανοµή ισχύος ενός σήµατος ισχύος στο φάσµα συχνοτήτων. Η γνώση των φασµάτων πυκνότητος ενέργειας ή ισχύος είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στην σχεδίαση επικοινωνιακών και άλλων συστηµάτων. Φάσµατική πυκνότητα ενέργειας Στο εδάφιο.2. του πρώτου Κεφαλαίου ορίστηκαν ως ενεργειακά σήµατα, τα σήµατα που έχουν πεπερασµένη ολική ενέργεια Ε, δηλ. E ' m & f(t 2 dt < Συνήθως ενεργειακά σήµατα είναι µη περιοδικά σήµατα µε πεπερασµένη διάρκεια και σήµατα που τείνουν ασυµπτωτικά προς το µηδέν µε τον χρόνο. Επειδή f(t' F(jωe jωt dω, η σχέση της ολικής ενέργειας µπορεί να γραφτεί ως: 2π m & E' f(t m & F(jωe jωt dω dt' F(jω f(te jωt dt dω 2π m 2π m m & & & -302-

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Αναγνωρίζοντας ότι f(te jωt dt'f(&jω m & παίρνουµε τελικά E' F(jωF(&jωdω 2π m & Για πραγµατικά σήµατα f(t, όπως είναι τα ρεύµατα και οι τάσεις στα ηλεκτρικά συστήµατα, ισχύει φυσικά ότι F(&jω'F ( (jω, όπου µε δείκτη τον αστερίσκο συµβολίζεται η συζυγής ποσότητα. Η παραπάνω σχέση γίνεται E' F(jωF(&jωdω' F(jωF ( (jωdω' F(jω 2 dω 2π m 2π m 2π m & και εποµένως γιά την ολική ενέργεις του ενεργειακού σήµατος έχουµε E' f(t 2 dt' F(jω 2 dω m 2π m & & που είναι µια έκφραση του θεωρήµατος του Parseval, το οποίο παρουσιάστηκε σε προηγούµενο εδάφιο. Αν και η παραπάνω σχέση απεδείχθη για πραγµατικά σήµατα, αποδεικνύεται ισχύει και για µιγαδικά σήµατα. Επειδή η ποσότητα F(jω 2 είναι πραγµατική και άρτια συνάρτηση του ω, µπορούµε να γράψουµε & & E' F(jω 2 dω' F(jω 2 dω 2π m π m & Η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητος ενέργειας ορίζεται ως 0 õ(ω' π F(jω 2 ' π F(jωF ( (jω και είναι µια πραγµατική συνάρτηση του ω, που αποκαλύπτει την κατανοµή της ενέργειας του σήµατος στο φάσµα του. Φυσικά για την ολική ενέργεια του σήµατος ισχύει E' õ(ωdω m & ΕΦΑΡΜΟΓΗ

50 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Το εικονιζόµενο στο σχήµα 5.29 τετραγωνικό σήµα είναι σαφώς ενεργειακό αφού έχει πεπερασµένη διάρκεια. Στην εφαρµογή 5., υπολογίσαµε τον µετασχηµατισµό του και συγκεκριµένα βρήκαµε ότι sin(ω a 2 F(jω'aE ω a 2 'ae sin(πaf 'aesinc(af πaf µε f' ω 2π και sinc(x' sin(πx πx Στο σχήµα 5.29 φαίνεται επίσης και το φάσµα του σήµατος f(t. ΣΧΗΜΑ 5.29 Τετραγωνίζουµε τον µετασχηµατισµό και τον διαιρούµε µε 2π για να δηµιουργήσουµε το φάσµα της ενέργειας, το οποίο παριστάνουµε συναρτήσει του 2π F(jω 2 ω στο σχήµα ΣΧΗΜΑ 5.30 Στη συνέχεια αναδιπλώνουµε το αριστερό µέρος του φάσµατος ενέργειας ως προς τον κατακόρυφο άξονα ω=0 και προσθέτουµε το φασµατικό περιεχόµενο των µερών -30-

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER που επικαλύπτονται, δηµιουργώντας στην πραγµατικότητα το, την π F(jω 2 φασµατική πυκνότητα ενέργειας, µε πεδίο ορισµού από 0 έως (σχήµα 5.3α ΣΧΗΜΑ 5.3 Αν τώρα θέλουµε να υπολογίσουµε την ενέργεια του σήµατος γιά µια συγκεκριµένη ζώνη από ω έως ω 2, αρκεί να υπολογίσουµε το γραµµοσκιασµένο εµβαδόν όπως δείχνει το σχήµα 5.3β E 2 ' m ω 2 ω õ(ωdω Φάσµατική πυκνότητα ισχύος Τα σήµατα ισχύος, έχουν άπειρη ενέργεια αλλά την αποδίδουν µε ένα πεπερασµένο ρυθµό, έχουν δηλ. πεπερασµένη ισχύ. Η κανονικοποιηµένη µέση ισχύς των σηµάτων αυτών είναι ως γνωστόν: P ' lim T6 T & T 2 T 2 f(t 2 dt -305-

52 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ολα τα περιοδικά σήµατα καθώς και τα γνωστά µας βηµατικό σήµα και σήµα προσήµου (signum είναι σήµατα ισχύος και έχουν άπειρη ενέργεια, πράγµα που πολλές φορές τα κάνει να µην έχουν µετασχηµατισµό Fourier, αφού παραβιάζουν τις συνθήκες ύπαρξης του µετασχηµατισµού. Για να ξεπεραστεί το πρόβληµα αυτό, χρησιµοποιείται ένα µόνον µέρος του σήµατος f(t από -Τ έως Τ που µπορεί να προκύψει µε τον πολλαπλασιασµό του σήµατος µε έναν παλµό p Δ (t=u(t+t-u(t-t, ο οποίος µηδενίζει το σήµα γιά t>t και t<-t. Το χρονικά αυτό περιορισµένο σήµα, έχει πλέον πεπερασµένη ενέργεια και το συµβολίζουµε εδώ µε f T (t. Συνήθως µε τα σήµατα ισχύος θέλουµε να γνωρίζουµε πως κατανέµεται η ισχύς τους στο φάσµα συχνοτήτων, κάτι που περιγράφει η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητος ισχύος. Το χρονικά περιορισµένο σήµα f T (t, το οποίο είναι πλέον ενεργειακό, έχει ενέργεια E' m T &T P' lim T6 f T (t 2 dt ' m T m & & f T (t 2 dt ' F 2π m Τ (jω 2 dω (Τα όρια της ολοκλήρωσης αλλάζουν γιατί f T (t=0 για *t*>t Η µέση του ισχύς θα είναι f T (t 2 dt ' lim T6 & F(jω 2 dω 2πT m Οταν το T τείνει στο άπειρο και η f T (t στην f(t, η ολική ενέργεια τείνει και αυτή στο άπειρο. Για να παραµείνει η µέση ισχύς πεπερασµένη, θα πρέπει η ενέργεια να τείνει στο άπειρο µε τον ίδιο ρυθµό µε το Τ, οπότε µπορούµε να αντιστρέψουµε την σειρά της διαδικασίας του ορίου και της ολοκλήρωσης στην παραπάνω σχέση, για να πάρουµε: P' 2π & & lim T6 T F T (jω 2 dω Η ποσότητα που ολοκληρώνεται ορίζεται ως η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητος ισχύος του σήµατος -(ω' lim T6 T F T (jω 2 και είναι άρτια συνάρτηση του ω. Η κανονικοποιηµένη µέση ισχύς του σήµατος θα -306-

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER δίνεται εποµένως από την P' 2π & -(ωdω' π 0 -(ωdω Μετάδοση ισχύος και ενέργειας Η σχέση εισόδου-εξόδου των γραµµικών χρονικά αµετάβλητων συστηµάτων στο πεδίο συχνοτήτων είναι Y(jω' H(jωX(jω και παίρνοντας το συζυγές των δύο µερών Y ( (jω'h ( (jωx ( (jω Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις κατά µέλη παίρνουµε Y(jωY ( (jω'h(jωh ( (jωx(jωx ( (jω Y Y(jω 2 ' H(jω 2 X(jω 2 Διαιρώντας µε π βρίσκουµε: π Y(jω 2 ' H(jω 2 π X(jω 2 Y õ Υ (ω' H(jω 2 õ Χ (ω Αντίστοιχα παίρνουµε lim T6 T Y T (jω 2 ' H(jω 2 lim T6 T X T (jω 2 Y - Υ (ω' H(jω 2 - Χ (ω Οι δύο παραπάνω σχέσεις που συνδέουν την φασµατική πυκνότητα ενέργειας και ισχύος της διέγερσης µε αυτή της απόκρισης, είναι πολύ µεγάλης σηµασίας. Στην σχεδίαση επικοινωνιακών συστηµάτων για παράδειγµα, δεν µπορεί να προβλεφθεί το ακριβές περιεχόµενο των σηµάτων πληροφορίας. Οι φασµατικές πυκνότητες όµως είναι δυνατόν να προσδιοριστούν στατιστικά, πράγµα που επιτρέπει την αξιοποίηση των παραπάνω σχέσεων Ιδανική µετάδοση και ιδανικά φίλτρα Οταν το φάσµα πλάτους (απόκριση πλάτους της συνάρτησης µεταφοράς Η(ω=*Η(jω* ενός συστήµατος δεν παραµένει σταθερό για όλες τις συχνότητες ενδιαφέροντος αλλά εξαρτάται από την συχνότητα, οι διάφορες συχνότητες που περιέχει η διέγερση περνάνε µε µε διαφορετικό κέρδος µε αποτέλεσµα η απόκριση να είναι διαφορετική από την διέγερση. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται παραµόρφωση πλάτους. Οταν το φάσµα φάσης (απόκριση φάσης της συνάρτησης µεταφοράς Η(jω ενός συστήµατος, δηλ. η φ(ω=ëη(jω δεν είναι γραµµικό συναρτήσει της -307-

54 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ συχνότητος, οι διάφορες συχνότητες που περιέχει η διέγερση περνάνε µε διαφορετική καθυστέρηση µε αποτέλεσµα η απόκριση να είναι διαφορετική από την διέγερση. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται παραµόρφωση φάσης. Οταν η απόκριση y(t ενός LTI συστήµατος σε διέγερση x(t είναι της µορφής y(t'ax(t&t o το σύστηµα δηλ. εισάγει µόνον ένα ανεξάρτητο της συχνότητος κέρδος και µια σταθερή καθυστέρηση, λέµε ότι έχουµε µετάδοση χωρίς παραµόρφωση ή ιδανική µετάδοση. Στην µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, η απόκριση είναι της ίδιας µορφής µε την διέγερση, µετατοπισµένη κατά t o, τον χρόνο δηλ. που χρειάζεται το σήµα για να περάσει από το σύστηµα. Ο χρόνος αυτός ονοµάζεται καθυστέρηση και για κάθε σήµα καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Fourier των δύο µερών της παραπάνω σχέσης έχουµε: Y(jω'AX(jωe &jωt o και εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος που υλοποιεί µετάδοση χωρίς παραµόρφωση είναι: H(jω' Y(jω X(jω 'Ae&jωt o µε απόκριση (φάσµα πλάτους H(ω' H(jω 'A και απόκριση (φάσµα φάσης φ(ω'ëh(jω'&ωt o Η καθυστέρηση οµάδος (group delay D(ω, είναι η χρονική καθυστέρηση που εισάγει το σύστηµα και ορίζεται ως: D(ω'& d dω φ(ω (sec Στην συγκεκριµένη περίπτωση συστήµατος µε µετάδοση χωρίς παραµόρφωση είναι: D(ω'& d dω φ(ω'& d dω [&ωt o ]'t o (sec ΣΧΗΜΑ 5.33: ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΑ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Γιά να εξασφαλίζει εποµένως ένα σύστηµα µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, πρέπει -308-

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER να έχει ανεξάρτητο της συχνότητας κέρδος και γραµµική φάση (σταθερή καθυστέρηση. Οι προϋποθέσεις αυτές φαίνονται παραστατικά στο σχήµα Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο ονοµάζεται ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς H(jω, του οποίου η απόκριση πλάτους είναι *Η(jω*= για *ω*#ω C και *Η(jω*=0 για *ω*>ω C και η απόκριση φάσης είναι γραµµική, δηλ.της µορφής ËΗ(jω= φ(ω= -ωt o. Η γραµµική φάση εξασφαλίζει ότι όλες οι συχνότητες περνούν από το σύστηµα µε την ίδια καθυστέρηση t o. H συχνότητα ω C >0 ονοµάζεται η συχνότητα αποκοπής. Μια τέτοια συνάρτηση µεταφοράς ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου επιτρέπει στις συχνότητες τις µικρότερες της συχνότητος αποκοπής ω C να φτάνουν στην έξοδο µε αµετάβλητο πλάτος, ενώ αποκόπτει εντελώς τις µεγαλύτερες. ΣΧΗΜΑ 5.3: ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ Το σχήµα 5.3 δείχνει τα χαρακτηριστικά του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου, το οποίο θα επιθυµούσαµε να µπορεί να υλοποιείται από τα ηλεκτρονικά φίλτρα, όταν θέλουµε να αποκόψουµε τις υψηλότερες της συχνότητος αποκοπής αρµονικές ενός σήµατος. Στη συνέχεια όµως αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο φίλτρο δεν είναι πραγµατοποιήσιµο. Η συνάρτηση µεταφοράς µε τα παραπάνω χαρακτηριστικά δεν είναι άλλη από την H(jω ' e &jωt o H(jω ' 0 για *ω*#ω C για *ω*>ω C Η κρουστική απόκριση του συστήµατος µε την παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς, υπολογίζεται παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό της: -309-

56 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ h(t' 2π ' ω C π H(jωe jωt dω' H(jω e &jωto e jωt dω' e jω(t&to dω' 2π 2π &ω C &ω C sinω C (t&t o ' 2f (t&t o ω C sinc[2f C (t&t o ] όπου f C ' ω C C 2π & ω C ω C ΣΧΗΜΑ 5.35: ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΒΠ ΦΙΛΤΡΟΥ Η παράσταση της κρουστικής απόκρισης -30- h(t'2f C sinc[2f C (t&t o ] του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου δίνεται στο σχήµα Η πρώτη παρατήρηση έγκειται στο ότι ενώ η διέγερση στο σύστηµα είναι µηδενική για t<0 και η κρουστική δ(t εφαρµόζεται την χρονική στιγµή t=0, υπάρχει απόκριση του συστήµατος για t<0, πριν δηλ. εφαρµοστεί η διέγερση! Αυτό κάνει το σύστηµα µη αιτιοκρατικό (non causal, δηλ. µη πραγµατοποιήσιµο. Το ιδανικό εποµένως βαθυπερατό φίλτρο δεν υπάρχει στην πράξη. Παρόµοια συµπεράσµατα περί µη πραγµατοποιησιµότητος µπορούν να αποδειχθούν και για τις άλλες κατηγορίες ιδανικών φίλτρων (γιά το υψιπερατό και το ζωνοδιαβατό βλέπε αντίστοιχα ασκήσεις 5.5 και 5.2. Μια δεύτερη παρατήρηση είναι ότι όταν η συχνότητα αποκοπής τείνει στο άπειρο, η διάρκεια του κυρίως λοβού της κρουστικής απόκρισης τείνει στο µηδέν και το

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER µέγιστο της κρουστικής απόκρισης τείνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή η κρουστική απόκριση του φίλτρου γίνεται ένα καθυστερηµένο κρουστικό σήµα δ(t-t ο. Οταν όµως το ω C τείνει στο άπειρο, το φίλτρο γίνεται ένα ιδανικό ολοπερατό (allpass φίλτρο που περνάει όλες τις συχνότητες, εισάγοντας απλώς µιά σταθερή καθυστέρηση. ΣΧΗΜΑ 5.36: ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΟΛΟΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ Ας θεωρήσουµε τώρα ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε µηδενική καθυστέρηση t o =0. Η συνάρτηση µεταφοράς του θα είναι: H(jω ' για *ω*#ω C H(jω ' 0 για *ω*>ω C και η κρουστική του απόκριση: h(t' 2π & ' sin(ω C t πt ω C H(jωe jωt dω' H(jω e jωt dω' e jωt dω' 2π 2π &ω C &ω C ' 2f C sinc[2f C t] -3- όπου f C ' ω C 2π Η βηµατική απόκριση s(t του φίλτρου θα είναι φυσικά το ολοκλήρωµα της κρουστικής δηλ. t t t sin(ω s(t' h(tdt' C t sin(ω dt' C t ω m m πt m πω C t C dt & & & ω C

58 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Βάζοντας t sin(ω s(t' C t ω m πω C t C dt' π m & x'ω C t, και προσαρµόζοντας τα όρια της ολοκλήρωσης παίρνουµε: ω C t & sin(x x 0 dx' π m & sin(x x ω C t dx% π m 0 sin(x x dx Οµως σύµφωνα µε τις ιδιότητες της Si(t' m t 0 sin(x dx x, που περιγράψαµε στο εδάφιο..5: m 0 & sin(x x dx' m 0 sin(x dx'si(' π x 2 και τελικά για την βηµατική απόκριση του ιδανικού ΒΠ φίλτρου µε µηδενική καθυστέρηση βρίσκουµε: s(t' 2 % π m ω C t 0 sin(x x dx ' 2 % Si(ω C t π Η βηµατική απόκριση φαίνεται στο παραπάνω σχήµα µαζί µε την κρουστική. Οταν το t 6, η βηµατική απόκριση τείνει στην τιµή s(t' 2 % Si( π ' 2 % π 2 π ' -32-

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ανεξάρτητα από την ω C. Τα ακρότατα της s(t συµβαίνουν εκεί που µηδενίζεται η h(t, αφού ο µηδενισµός της h(t, σηµαίνει ότι µηδενίζεται η h(t' d. Το πρώτο δηλ. ακρότατο της dt s(t βηµατικής γιά t>0, συµβαίνει γιά t' π και η τιµή του είναι: ω C s( π ' ω C 2 % Si(π π ' 2 % ' π Αντίστοιχα συµβαίνουν και γιά t<0. Συγκεκριµένα η τιµή του πρώτου ακρότατου της s(t γιά t<0, συµβαίνει γιά t'& π και η τιµή του είναι ω C s(& π ω C ' 2 % Si(&π π ' 2 % & '& & &0.09 π Την τιµή του Si(π= παίρνουµε από πίνακες τιµών της Si(x ή την υπολογίζουµε µε την βοήθεια κάποιου µαθηµατικού προγράµµατος (Mathcad, MATLAB κ.λπ.. Οι ανεξάρτητες αυτές από το ω C τιµές των πρώτων ακροτάτων της s(t, προσδιορίζονται στην βιβλιογραφία ως υπέρβαση (κωδωνισµός, overshoot 9%. Το φαινόµενο αυτό σχετίζεται µε το φαινόµενο Gibbs που παρουσιάστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Το φαινόµενο δηλώνει ότι το overshoot 9% που δηµιουργείται στις ασυνέχειες, είναι πάντοτε 9% του ύψους της ασυνέχειας, άσχετα από το πόσες αρµονικές του σήµατος "κόψουµε" µε το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο ρυθµίζοντας την ω C. Ας δούµε για παράδειγµα την περίπτωση που δεν έχουµε βηµατική διέγερση αλλά το τετραγωνικό σήµα f(t του παραπάνω σχήµατος µε θεµελιώδη κυκλική -33-

60 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ συχνότητα ω ο, για το οποίο έχουµε υπολογίσει τον µετασχηµατισµό του στην εφαρµογή 5.: a sin(nω o F(jω'aEω o j n'& 2 nω o a 2 δ(ω&nω ο '2πE a j sinc(n a δ(ω&nω T o n'& T ο o Γιά να διευκολύνουµε τους υπολογισµούς, θεωρούµε ότι Ε= και α=τ ο /2, οπότε η διέγερση είναι πλέον της µορφής και ο µετασχηµατισµός της απλοποιείται ως εξής: F(jω'π j n'& sin(n π 2 n π δ(ω&nω ο 'π j 2 n'& sinc( n 2 δ(ω&nω ο Η απόκριση του ιδανικού βαθυπερατού, το οποίο υπενθυµίζεται ότι δεν είναι πραγµατοποιήσιµο, θα είναι G(jω'H(jωF(jω'H(jωπ j n'& sin(n π 2 n π δ(ω&nω ο 2 Θα θεωρήσουµε ότι η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου είναι ω C 'kω o και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι η H(jω είναι µηδενική γιά *nω ο *>kω C, µπορούµε να γράψουµε ότι G(jω'H(jωF(jω'π j k n'&k sin(n π 2 n π δ(ω&nω ο 2 Αυτό σηµαίνει ότι γιά k=, περνάει µόνον η πρώτη αρµονική, γιά k=2 περνάνε µόνον οι δύο αρµονικές, κ.ο.κ. -3-

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Γιά να υπολογίσουµε την χρονική απόκριση g(t υπολογίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό της G(jω: g(t' G(jωe jωt dω' k π 2π m 2π m j & & n'&k sinc n 2 Αλλάζοντας την σειρά ολοκλήρωσης και άθροισης βρίσκουµε: δ(ω&nω ο e jωt dω g(t' 2 j k ' 2 j k n'&k m & n'&k sinc n 2 sinc n 2 δ(ω&nω ο e jωt dω' 2 j k n'&k δ(ω&nω m ο e jnω o t dω' k 2 j & n'&k sinc n 2 sinc n 2 δ(ω&nω m ο e jωt dω' & e jnω o t Η sinc(n/2 βγήκε εκτός ολοκλήρωσης γιατί δεν εξαρτάται από το ω και χρησιµοποιήθηκε η ιδιότητα της κρουστικής y(xδ(x&x m o dx'y(x o Συνδυάζοντας τους όρους του αθροίσµατος γιά αντίθετα n και επειδή η sinc είναι άρτια, βρίσκουµε τελικά χρησιµοποιώντας την σχέση του Euler: & g(t' 2 j k n'&k sinc n 2 e jnω o t ' k 2 % j sinc n n' 2 cos(nω o t' ' 2 % 2 π cos(ω o t& 2 3π cos(3ω o t% 2 5π cos(5ω o t& 2 7π cos(7ω o t%...% 2 kπ sin(k π 2 cos(kω o t Η παραπάνω έκφραση είναι ουσιαστικά η προσέγγιση του τετραγωνικού σήµατος µε k όρους της σειράς Fourier, αφού το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω C 'kω o, απέκοψε τις µεγαλύτερες του k αρµονικές. Στο επόµενο σχήµα υπολογίζεται και παρίσταται µε το Mathcad η απόκριση g(t του ιδανικού φίλτρου όταν η διέγερση είναι το τετραγωνικό σήµα. Παρατηρήστε το αναµενόµενο overshoot 9% του ύψους της ασυνέχειας (το οποίο είναι. -35-

62 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Διαµόρφωση πλάτους Στις επικοινωνίες πολύ συχνά τα προς µετάδοση σήµατα διαµορφώνονται κατά πλάτος (AM, Amplitude Modulation. Η διαδικασία έγκειται στον πολλαπλασιασµό του σήµατος m(t επί ένα συνηµιτονικό σήµα cosω C t (το φέρον, οπότε προκύπτει το σήµα f o (t=m(tcosω C t. Τα σχήµατα που ακολουθούν δείχνουν τις κυµατοµορφές m(t και του φέροντος cos(ω c t (σχήµα 5.37 καθώς και το γινόµενό τους m(tcos(ω C t (σχήµα ΣΧΗΜΑ

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΧΗΜΑ 5.38 Η µελέτη του φάσµατος του σήµατος m(tcos(ω C t που προκύπτει από την διαµόρφωση πλάτους θα δείξει και την χρησιµότητά της. Ο µετασχηµατισµός Fourier του διαµορφωµένου σήµατος f o (t θα είναι ο µετασχηµατισµός του γινοµένου των δύο σηµάτων m(tcosω C t, δηλ. η συνέλιξη των δύο επιµέρους µετασχηµατισµών: F o (jω ' ö[m(tcosω C t] ' 2π ö[m(t](ö[cosω C t] Αν ο µετασχηµατισµός του m(t είναι M(jω, τότε επειδή ο µετασχηµατισµός του συνηµιτόνου είναι πδ(ω-ω C +πδ(ω+ω C θα έχουµε: F o (jω ' ö[m(tcosω C t] ' 2π M(jω((πδ(ω&ω C %πδ(ω%ω C ' ' 2 M(jω(δ(ω&ω C % 2 M(jω(δ(ω%ω C ' 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C ΣΧΗΜΑ

64 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στον παραπάνω υπολογισµό έγινε χρήση της ιδιότητος του κρουστικού σήµατος f(x*δ(x-a=f(x-a. Το φάσµα εποµένως της m(t, µε τον πολλαπλασιασµό µε το συνηµιτονικό σήµα, χωρίστηκε σε δύο µέρη, µετατοπισµένα το καθένα κατά ω C, σύµφωνα µε το σχήµα 5.39 Ενα κατά πλάτος διαµορφωµένο σήµα περιγράφεται συνήθως ως f o (t ' [ % k a m(t]cosω C t όπου m(t είναι το προς µετάδοση σήµα, cosω C t είναι το φέρον σήµα και η σταθερά k a ορίζεται ως η ευαισθησία πλάτους. ΣΧΗΜΑ 5.0 ΣΧΗΜΑ 5. Το σχήµα 5.0 δείχνει την κυµατοµορφή του διαµορφωµένου σήµατος, όπου η περιβάλλουσά του αντιστοιχεί στο σήµα m(t. Οταν ο όρος +k a m(t γίνεται -38-

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER αρνητικός, δηλ. k a m(t<- τότε λέµε ότι το σήµα υπερδιαµορφώνεται και έχουµε παραµόρφωση περιβάλλουσας µια και δεν υπάρχει άµεση αντιστοιχία της περιβάλλουσας µε το σήµα m(t όπως φαίνεται στο σχήµα 5.. Ο µετασχηµατισµός Fourier του διαµορφωµένου σήµατος όταν εκφραστεί ως f o (t ' [ % k a m(t]cosω C t, θα είναι F o (jω'ö[f o (t]'ö[( % k a m(tcosω C t]'ö[cosω C t]%ö[k a m(tcosω C t]' 'πδ(ω&ω C %πδ(ω%ω C % k a 2 M(ω&ω C % k a 2 M(ω%ω C ΣΧΗΜΑ Μια σηµαντική παρατήρηση Στην διαµόρφωση πλάτους, αλλά και σε άλλες περιπτώσεις, παρουσιάζονται µετασχηµατισµοί Fourier, ως αθροίσµατα άλλων µετασχηµατισµένων ποσοτήτων, όπως π.χ F o (jω' και εµείς µε µεγάλη ευκολία κάνου- 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C µε σχήµατα όπως το παρακάτω: ΣΧΗΜΑ

66 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρώντας ότι F o (jω '. Αυτό εκ πρώτης όψεως 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C είναι ένα σοβαρό µαθηµατικό σφάλµα αφού εν γένει: F o (jω ' /0 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C /0 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C!!! Ας δούµε για παράδειγµα την περίπτωση που M(jω'ö[m(t]' (a%jω 2 %ω 2 ο Αν υπολογίσει κανείς το σφάλµα Ε(ω' 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C & / 0 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C /0 θα διαπιστώσει, όπως αναµένεται, ότι δεν είναι µηδενικό (βλέπε π.χ. το επόµενο σχήµα που οι υπολογισµοί έγιναν µε το Mathcad. ω ο Αποδεικνύεται ότι όταν το µέτρο του M(jω είναι µηδενικό γιά *ω*>ω Β ισχύει η ισότητα οπότε το /0 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C /0 ' 2 M(j(ω&ω C % 2 M(j(ω%ω C -320-

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER σφάλµα µηδενίζεται. Ο µηδενισµός του φάσµατος γιά *ω*>ω Β εξασφαλίζεται στις επικοινωνίες µε την διέλευση του σήµατος m(t από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω Β και αυτός είναι ο λόγος γιά τον οποίο η προϋπόθεση αυτή συνήθως δεν αναφερεται αφού όσοι ασχολούνται µε τις επικοινωνίες γνωρίζουν ότι τα σήµατα υφίστανται ανάλογο φιλτράρισµα πριν διαµορφωθούν. Το επόµενο σχήµα δείχνει πως µηδενίζεται το σφάλµα µετά το φιλτράρισµα. Υπενθυµίζεται ότι στο Mathcad, η βηµατική u(x παριστάνεται ως Φ(x Πολυπλεξία συχνότητος (FDM Η πολυπλεξία συχνότητος (Frequency Division Multiplexing, FDM, επιτρέπει την χρήση ενός µέσου (διαύλου για την ταυτόχρονη µετάδοση διαφορετικών σηµάτων. Πολλοί ραδιοφωνικοί σταθµοί γιά παράδειγµα εκπέµπουν στον αέρα (δίαυλος επιτρέποντας όµως σε έναν δέκτη να επιλέξει µόνον ένα σταθµό. Η µέθοδος χρησιµοποιείται επίσης για την ταυτόχρονη µετάδοση τηλεφωνικών συνδιαλέξεων χρησιµοποιώντας το ίδιο ζεύγος συρµάτων. Η µέθοδος στηρίζεται στην µετατόπιση του φάσµατος του κάθε σήµατος σε δική του περιοχή συχνοτήτων, στην οποία δεν έχουν φασµατικές συνιστώσες τα υπόλοιπα σήµατα. Αυτό γίνεται µε κάποια µέθοδο διαµόρφωσης, όπως για -32-

68 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ παράδειγµα η διαµόρφωση πλάτους (ΑΜ που παρουσιάστηκε σε προηγούµενο εδάφιο. Για την πλήρη κατανόηση της µεθόδου, ας θεωρήσουµε τρία σήµατα περιορισµένου φάσµατος f (t, f 2 (t και f 3 (t, τα φάσµατα πλάτους των οποίων φαίνονται στο επόµενο σχήµα. ΣΧΗΜΑ 5.8 Αν διαµορφώσουµε το f (t µε cosω C t, το f 2 (t µε cosω C2 t και το f 3 (t µε cosω C3 t και προσθέσουµε τα διαµορφωµένα σήµατα, θα έχουµε f o (t'f (tcosω C t%f 2 (tcosω C2 t%f 3 (tcosω C3 t Ο µετασχηµατισµός Fourier του αθροίσµατος θα είναι κατά τα γνωστά: F o (jω' 2 F (jω%jω C %F (jω&jω C % % 2 F 2 (jω%jω C2 %F 2 (jω&jω C2 % % 2 F 3 (jω%jω C3 %F 3 (jω&jω C3 ΣΧΗΜΑ 5.9 του οποίου το φάσµα πλάτους θα είναι κάτι σαν αυτό του σχήµατος 5.9. Φυσικά δεν θα πρέπει να υπάρχει επικάλυψη των φασµάτων, δηλ. ω C3 +ω 3 <ω C2 - ω 2 και ω C2 +ω 2 <ω C -ω. Υπό τις συνθήκες αυτές, τα τρία σήµατα µεταδίδονται το καθένα στην δική του ζώνη και αν ένας δέκτης θέλει να ανακτήσει ένα από αυτά, θα πρέπει να απορρίψει τα άλλα και να αποδιαµορφώσει αυτό που τον ενδιαφέρει

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΧΗΜΑ 5.50 Η πρώτη διαδικασία επιλογής γίνεται µε ένα ιδανικό ζωνοδιαβατό (ΖΔ φίλτρο. Αν π.χ. επιθυµούµε την ανάκτηση του f (t, το ιδανικό ζωνοδιαβατό φίλτρο θα πρέπει να έχει κέρδος από ω C -ω µέχρι ω C +ω και µηδενικό κέρδος για συχνότητες µικρότερες από την ω C -ω και µεγαλύτερες από την ω C +ω. Η έξοδος του ζωνοδιαβατού φίλτρου πρέπει µετά να αποδιαµορφωθεί, και µια µέθοδος είναι να ξαναδιαµορφωθεί και να περάσει από ένα βαθυπερατό φίλτρο. Το διαµορφωµένο για παράδειγµα f (tcosω C t που παίρνουµε στην έξοδο του ζωνοδιαβατού, αν διαµορφωθεί ξανά µε cosω C t (σύγχρονη αποδιαµόρφωση θα δώσει f (tcos 2 ω C t=0.5f (t+0.5 f (tcos(2ω C t από το οποίο είναι εύκολο να απορριφθεί το 0.5 f (tcos(2ω C t µε ένα κατάλληλο βαθυπερατό φίλτρο, αφού η συχνότητα ω C του φέροντος είναι κατά κανόνα πολύ µεγαλύτερη από τις συχνότητες που περιέχει το σήµα Δειγµατοληψία (sampling Πολύ συχνά είναι απαραίτητο τα σήµατα συνεχούς χρόνου να παρίστανται µε τις τιµές τους σε τακτά χρονικά διαστήµατα. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται οµοιόµορφη (uniform ή περιοδική δειγµατοληψία (ή απλά δειγµατοληψία και χρησιµοποιείται κυρίως για να διευκολύνει ψηφιακές επεξεργασίες και συστήµατα. Γιά την κατανόηση της διαδικασίας της δειγµατοληψίας, χρησιµοποιείται το απλό παράδειγµα του δειγµατολήπτη (sampler που αποτελείται από έναν διακόπτη, που αλλάζει θέση µε συχνότητα f s, δηλ. κάθε Τ s =/f s δευτερόλεπτα. Για πραγµατικούς λόγους, η επαφή δεν µπορεί να διαρκέσει µηδενικό χρόνο και θεωρούµε ότι διαρκεί -323-

70 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ α δευτερόλεπτα. Το σχήµα 5.5 δείχνει την διαδικασία και την έξοδο x s (t του δειγµατολήπτη (sampler. ΣΧΗΜΑ 5.5 Το µεγάλο πρόβληµα που προκύπτει είναι αν τελικά από το δειγµατισµένο σήµα x s (t, είναι δυνατόν να ανακτήσουµε το αρχικό σήµα. Η απάντηση είναι θετική, αν τηρηθούν κάποιες βασικές προϋποθέσεις, οι οποίες θα παρουσιαστούν εδώ µε την βοήθεια του µετασχηµατισµού Fourier. Αν συµβολίσουµε τον εικονιζόµενο στο σχήµα 5.52 τετραγωνικό παλµό µε p Δ (t µπορούµε να ορίσουµε ένα περιοδικό σήµα ως S(t' j p Δ (t&nt s n'& ΣΧΗΜΑ 5.52 η κυµατοµορφή του οποίου φαίνεται στο σχήµα Η S(t ονοµάζεται, λόγω του ρόλου της, συνάρτηση δειγµατοληψίας και µε την βοήθειά της, µπορούµε να δούµε το δειγµατισµένο σήµα x s (t ως το γινόµενο του x(t επί την S(t: x s (t'x(t S(t'x(t j p Δ (t&nt s n'& Τον πολλαπλασιασµό αυτό αναλαµβάνει να κάνει ένας πολλαπλασιαστής και η όλη κατάσταση φαίνεται στο σχήµα Στην εφαρµογή 5., βρήκαµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης δειγµατοληψίας, όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι: S(jω'2πD j sinc(ndδ(ω&nω s n'& -32-

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΧΗΜΑ 5.53 όπου D' a T s ο κύκλος καθήκοντος της συνάρτησης δειγµατοληψίας. Για τον µετασχηµατισµό της x s (t έχουµε: X s (jω'd j X s (jω'ö x(ts(t ' 2π X(jω(S(jω' X(jwS(j(ω&wdw' 2π m n'& 'D j n'& & sinc(nd X(jwδ(ω&nω m s &wdw Αντικαθιστώντας την έκφραση γιά το X(jω βρίσκουµε: 'DX(jω%D j & sinc(ndx(j(ω&nω s δ(ω&nω m s &wdw'd j n' & sinc(nd X(j(ω%nω s %X(j(ω&nω s n'& sinc(ndx(j(ω&nω s ' Αναπτύσσοντας την σειρά παίρνουµε: X s (jω'dx(jω%dsinc(dx(j(ω&ω s %Dsinc(2D X(j(ω&2ω s %X(j(ω%2ω s % %Dsinc(3D X(j(ω&3ω s %X(j(ω%3ω s %... Ας θεωρήσουµε τώρα ότι το φάσµα της x(t είναι περιορι σµένο (λέµε τότε ότι το x(t είναι band limitted, -325-

72 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ζωνοπεριορισµένο, δηλ. ότι µηδενίζεται γιά κυκλικές συχνότητες ω µε *ω*>w, όπου W η µέγιστη κυκλική συχνότητα που περιέχεται στο φάσµα της x(t. Στην περίπτωση αυτή το φάσµα του ζωνοπεριορισµένου x(t θα είναι της µορφής του σχήµατος και σύµφωνα µε το αποτέλεσµα για τον µετασχηµατισµό X S (jω της δειγµατισµένης x S (t, το φάσµα της θα είναι όπως στο σχήµα 5.5. ΣΧΗΜΑ 5.5 Είναι προφανές ότι γιά να ανακτηθεί το ζωνοπεριορισµένο x(t από το δειγµατισµένο, θα πρέπει να είναι δυνατόν να ανακτηθεί το φάσµα *X S (jω* και για να είναι αυτό εφικτό θα πρέπει τα φάσµατα να µην επικαλύπτονται, συνθήκη που εξασφαλίζεται αν ω S &W$W δηλαδή ω S $2W. Η ελάχιστη αυτή κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας 2W, ονοµάζεται συχνότητα Nyquist προς τιµήν του H. Nyquist, των Bell Labs, που διετύπωσε πρώτος τον περιορισµό αυτό. Οταν εποµένως το σήµα x(t είναι περιορισµένου εύρους W (περιέχει δηλ. κυκλικές συχνότητες από -W έως W και η κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας είναι µεγαλύτερη από 2W, είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος από το δειγµατισµένο, περνώντας το µέσα από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε κυκλική συχνότητα αποκοπής ω C µε W<ω C <ω S -W. Για το φάσµα του δειγµατισµένου σήµατος έχουµε βρεί ότι X s (jω'dx(jω%d j sinc(nd X(j(ω%nω s %X(j(ω&nω s n' Η σχέση αυτή και όλη η παραπάνω ανάλυση ισχύουν γιά τον συγκεκριµένο τρόπο δειγµατοληψίας µε την συνάρτηση δειγµατοληψίας να έχει µη µηδενικό κύκλο καθήκοντος D. Ο κύκλος καθήκοντος D της συνάρτησης δειγµατοληψίας που χρησιµοποιείται, είναι ιδιαίτερα σηµαντικός αφού πολλαπλασιάζει το φάσµα X(jω, από το οποίο ανακτάται το σήµα. Ετσι αν κανείς θέλει πολύ στενούς παλµούς, -326-

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER προκειµένου να πετύχει στιγµιαία δειγµατοληψία, τότε αναπόφευκτα µικραίνει τον κύκλο καθήκοντος D. Σηµειώνεται ότι όταν η διάρκεια του παλµού τείνει στο µηδέν, το D τείνει επίσης στο µηδέν δυσχεραίνοντας την ανάκτηση του x(t. Αξίζει όµως να εξετάσουµε και την περίπτωση της στιγµιαίας δειγµατοληψίας, αυτής δηλ. που γίνεται µε D60. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να θεωρήσουµε ότι χρησιµοποιείται ο παλµός του οποίου το όριο όταν α60, είναι κατά τα a p Δ (t γνωστά το δ(t µε αποτέλεσµα η συνάρτηση δειγµατοληψίας στην περίπτωση αυτή να είναι η S(t' j δ(t&nt s n'& δηλ. ένας συρµός κρουστικών µε περίοδο T S (σχήµα 5.55 ΣΧΗΜΑ 5.55 Εποµένως το δειγµατισµένο σήµα θα είναι στην περίπτωση αυτή x s (t'x(ts(t'x(t j δ(t&nt s ' j x(tδ(t&nt s ' j x(nt s δ(t&nt s n'& n'& n'& Ο µετασχηµατισµός της κρουστικής συνάρτησης δειγµατοληψίας είναι ö j δ(t&nt s 'ω s j δ(ω&nω s µεω s '2πf s n'& n'& σύµφωνα µε την παρατήρηση στο τέλος της εφαρµογής 5. (βλέπε και Ασκηση 5.. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης, βρίσκουµε X s (jω'ö x(t 'X(jω(ö j δ(t&nt s ' 'X(jω( ω s j n'& n'& δ(ω&nω s 'ω s j X(j(ω&nω s n'& αφού γενικά γιά την συνέλιξη µε κρουστική ισχύει. g(z(δ(z&z o 'g(z&z o Τελικά, το φάσµα του δειγµατισµένου σήµατος είναι

74 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ X s (jω'ω s j n'& X(j(ω&nω s 'ω s X(j(ω%ω s j n' X(j(ω%nω s %X(j(ω&nω s Το σχετικό φάσµα πλάτους φαίνεται στο σχήµα 5.56, και η ουσιαστική διαφορά του από το φάσµα στην περίπτωση δειγµατοληψίας µε παλµούς διάρκειας α, είναι ότι τα πλευρικά φάσµατα έχουν το ίδιο πλάτος µε το κεντρικό γιά n=0. ΣΧΗΜΑ 5.56 Είναι προφανές και στην περίπτωση της στιγµιαίας δειγµατοληψίας ότι γιά να ανακτηθεί το x(t από το δειγµατισµένο, θα πρέπει να είναι δυνατόν να ανακτηθεί το φάσµα *X S (jω* και για να είναι αυτό εφικτό θα πρέπει να µην υπάρχει επικάλυψη των φασµάτων, συνθήκη που εξασφαλίζεται όταν ω S &W$W δηλαδή ω S $2W (συχνότητα Nyquist. Οταν εποµένως το σήµα x(t είναι περιορισµένου εύρους W (περιέχει κυκλικές συχνότητες από -W έως W και η κυκλική συχνότητα στιγµιαίας δειγµατοληψίας είναι µεγαλύτερη από 2W, είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος από το δειγµατισµένο, περνώντας το µέσα από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω C µε W<ω C <ω S -W. Η παρουσίαση του θέµατος έγινε µε βάση την κυκλική συχνότητα ω=2πf. Πιστεύουµε ότι η αναγωγή των συµπερασµάτων συναρτήσει της συχνότητος f, είναι προφανής και δεν χρειάζεται περισσότερες εξηγήσεις. Ολα τα παραπάνω συνοψίζονται στο περίφηµο θεώρηµα οµοιόµορφης δειγµατοληψίας (uniform sampling theorem, το οποίο διατυπώνεται µε πολλούς τρόπους µεταξύ των οποίων και αυτός που ακολουθεί. Ενα ζωνοπεριορισµένο σήµα που δεν περιέχει συχνότητες µεγαλύτερες από f W Herz, παρίσταται πλήρως από τις τιµές του σε χρονικές στιγµές που απέχουν το -328-