ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ A ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΕΑΡΙΝΟΥ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ A ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΕΑΡΙΝΟΥ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΥΠΟΧΡΩΤΙΚΟ ΖΗΤΗΜΑ Υ (5.0 µονάδες) α) Σχεδιάστε το δίπλευρο φάσµα πλάτους του σήµατος g(t)in(t) e &t u(t)%e t u(&t) (.0 µονάδα) Αν x(t)e &t u(t) τότε x(&t)e t u(&t) και ορίζουµε f(t)=x(t)+x(-t) οπότε από την ιδιότητα της σειράς του πίνακα ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Fourier, που δίνεται στο συνηµµένο τυπολόγιο: G(jω)ö in(t)f(t) j F(j(ω&))& F(j(ω%)) όπου F(jω) είναι ο Μ. Fourier της f(t). Είναι προφανές ότι το φάσµα της g(t)in(t) f(t) είναι το µισό σε πλάτος φάσµα F(jω) µετατοπισµένο προς τα δεξιά κατά και προς τα αριστερά κατά. Για τον υπολογισµό του F(jω) έχουµε: F(jω)ö f(t) ö x(t)%x(&t) X(jω)%X(&jω) (από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier, σειρά 3 στο συνηµένο τυπολόγιο). Από την σειρά 8 του πίνακα ζευγών µετασχηµατισµού Fourier έχουµε: X(jω)ö e &t u(t) και %jω ω % &j ω X(&jω) ω % &jω ω % %j ω ω % Εποµένως, F(jω)X(jω)%X(&jω), που είναι ω % πραγµατικό και πάντα θετικό. Το διπλανό σχήµα δείχνει το δίπλευρο φάσµα πλάτους F(jω) /0 και το φάσµα πλάτους της g(t) που ω % /0 ω % όπως βρήκαµε είναι το µισό σε πλάτος φάσµα της F(jω), µετατοπισµένο προς τα δεξιά και αριστερά κατά. Αναλυτικά υπολογίζεται ότι G(jω)j (ω&) % & (ω%) %...j 8ω ω &6ω %5 8ω και εποµένως G(ω) G(jω) ω &6ω %5 β) Υπολογίστε την σχέση των πυκνωτών C και C του εικονιζόµενου κυκλώµατος ώστε η τάση v o (t) να είναι µηδενική για κάθε τάση εισόδου e(t) (.0 µονάδα) Αριθµούµε τους τελεστικούς και ονοµατίζουµε τις τάσεις όπως στο σχήµα. Ο ΤΕ είναι ένας αντιστρεπτικός οοκληρωτής Miller και εποµένως V & RC E(). Ο ΤΕ είναι σε διάταξη αντιστρεπτικού ενισχυτή τάσης και εποµένως V 3 & C C V (προσοχή στους δείκτες). Η αντιστρεπτική είσοδος του ΤΕ έχει µηδενική τάση και δεν τραβάει ρεύµα, εποµένως Ε()&0 0&V R 3 C Y V 3 & RC E() & C V C Y V C E() RCC Η τάση εξόδου V ο είναι το ηµιάθροισµα των V και V και εποµένως για να είναι πάντα µηδέν πρέπει V %V 0 ]& RC E()% C RCC E()0 ] C C

2 γ) Επιβεβαιώστε ότι η παρακάτω συνάρτηση µεταφοράς Η () έχει ένα πόλο για = -. και υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace h(t). H () % (.0 µονάδα) 3 %. %3.%. Βάζοντας =-. στον παρονοµαστή βρίσκουµε (&.) 3 %.@(&.) %3.@(&.)%.0 και εποµένως το =-. είναι πόλος. Εποµένως ο παρονοµαστής µπορεί να γραφτεί ως (+.)Q(), όπου Q() είναι το πηλίκο της διαίρεσης του 3 %. %3.%. διά (+.). Κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε µηδενικό υπόλοιπο και πηλίκο ( + +), που σηµαίνει ότι H () %. (%.)( %%) Λύνοντας το τριώνυµο του παρονοµαστή βρίσκουµε τους άλλους πόλους: &0.5±j0.5 7&0.5±j.39. Γνωρίζοντας τους πόλους, η συνάρτηση µεταφοράς αναλύεται σε µερικά κλάσµατα (εδάφιο 6. στο βιβλίο) και αντιστρέφεται µε την χρήση του συνηµµένου πίνακα ζευγών µετασχηµατισµού Laplace. H () % (%.)( %%) k %. % k %0.5&j.39 % k ( % 0.5 % j.39 Υπολογίζοντας τα υπόλοιπα από τον τύπο του Heaviide βρίσκουµε: k.86 k&0.73 k ( &0.73 H () % (%.)( %%).86 %. & 0.73 %0.5&j.39 % 0.73 % 0.5 % j %. (%0.5) %.39 Εποµένως από τα ζεύγη µετασχηµατισµού Laplace (υπάρχουν στο τυπολόγιο) e &at u(t) ] και e &at %a co(ω %a o ] µε a>0 και ω (%a) %ω o >0 o βρίσκουµε τελικά: h (t).86e &.t u(t)&.86e 0.5t co(.39 δ) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης H() V () E() του διπλανού κυκλώµατος και σχεδιάστε µε ακρίβεια την καµπύλη απόκρισης πλάτους για τις τιµές που φαίνονται στο σχήµα. (.0 µονάδες) Ο επαγωγέας L είναι παράλληλα σε ιδανική πηγή τάσης και δεν παίζει ρόλο στην µεταφορά τάσης στην έξοδο και µπορεί να αγνοηθεί. R= L =L = C = L Συνθέτουµε παράλληλα τον πυκνωτή C µε τον επαγωγέα L : Z() L C % Στο κύκλωµα του σχήµατος (β), γράφουµε τις εξισώσεις των δύο εµφανών βρόχων: R &R &R R%Z() I I E() 0 Επειδή V =RI, παίρνουµε τελικά και λύνουµε ως προς Ι : R E() I /0 &R 0 /0 R R &R 3R %RZ() E() /0 &R R%Z() /0

3 R V 3R %RZ() E() Y H() V () E() R 3R %RZ() R L 3R %R L C % 3 % 3 &ω Για τις τιµές που δίνονται: H(), H(jω) Y H(jω) 3 % L C % 3RC % L C 3 0.5&ω % 3 % &ω %j 3 ω% (0.5&ω ) % 9 ω Προφανώς για ω=0 το κέρδος είναι /3 και για ω=0.5 το κέρδος µηδενίζεται. Εύκολα επίσης υπολογίζεται ότι για ω6, το κέρδος τείνει στο /3. Οι τιµές αυτές είναι όλες αναµενόµενες από το κύκλωµα: Στο DC (ω=0), ο πυκνωτής έχει άπειρη αντίσταση και ο επαγωγέας µηδενική και εποµένως το κέρδος καθορίζεται από τους αντιστάτες. Το παράλληλο συντονιζόµενο κύκλωµα C - L, συντονίζει για ω=0.5 και απειρίζεται η αντίστασή του µε αποτέλεσµα να µηδενίζεται το κέρδος. Όταν το ω τείνει στο άπειρο, η αντίσταση του επαγωγέα απειρίζεται ενώ του πυκνωτή µηδενίζεται, οπότε και πάλι το κέρδος καθορίζεται από τους αντιστάτες. Για να σχεδιαστεί η καµπύλη, µπορούµε να πάρουµα και ενδιάµεσα σηµεία: G(0.5)=0.305 G(0.6)=0.6 G()=0.305 G()=0.38 Ζητήµατα Επιλογής ΖΗΤΗΜΑ Ε (.5 µονάδες) Το µπλοκ στο εικονιζόµενο κύκλωµα παριστάνει ένα ηλεκτρικό κύκλωµα µε άπειρη αντίσταση εισόδου, το οποίο έχει βηµατική απόκριση τάσης α(t) & t τ u(t). Υπολογίστε την µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα εισόδου Y() της διάταξης και σχολιάστε. Η κρουστική απόκριση του συστήµατος που παριστάνει το µπλόκ θα είναι η παράγωγος της βηµατικής, δηλ. h(t)α(t) d & t u(t) d dt τ dt u(t) & d t dt τ u(t)δ(t) & t τ δ(t)% τ u(t) & t τ (Χρησιµοποιήθηκε η ιδιότητα της κρουσικής: f(t)δ(t)=f(0)δ(t).) δ(t)& τ u(t)δ(t)& τ u(t) Εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς τάσης του µπλόκ θα είναι H() δ(t)& τ u(t) & τ Για να υπολογίσουµε την αγωγιµότητα εισόδου θεωρούµε µια τάση εισόδου E() που προκαλεί ένα ρεύµα I() όπως στο σχήµα. Φυσικά Y() I() E() και η τάση στην έξοδο του µπλοκ είναι Vo()=H()E(). Το ρεύµα I() περνάει όλο στον αντιστάτη αφού το µπλοκ έχει έπειρη αντίσταση εισόδου και εποµένως I() E()&V o () R o E()&H()E() E() (&H()) E() R o R o τr o την οποία προκύπτει ότι Y() I(). E() τr o Σχόλιο: Προφανώς το συνολικό σύστηµα συµπεριφέρεται στους ακροδέκτες εισόδου ως γειωµένος επαγωγέας µε επαγωγή L = τr o. Αυτό σηµαίνει ότι αν µπορέσουµε να έχουµε κυκλώµατα µε συνάρτηση µεταφοράς τάσης από H()& τ, µε την χρήση µια αντίστασης υλοποιούµε προσοµοιωµένο γειωµένο επαγωγέα.

4 ΖΗΤΗΜΑ Ε (.5 µονάδες) Σχεδιάστε ένα διαφορετικό κύκλωµα µόνον µε ενισχυτές, αθροιστές και ολοκληρωτές, που να έχουν την ίδια συνάρτηση µεταφοράς µε το εικονιζόµενο κύκλωµα. Θα καταστρώσουµε την διαφορική εξίσωση του κυκλώµατος και θα την υλοποιήσουµε µε κανονική µορφή Ι ή ΙΙ (εδάφιο 3.9. σελ. 90 του βιβλίου). Α ΤΡΟΠΟΣ (Ανάλυση στο πεδίο του χρόνου) Στον πρώτο βρόχο έχουµε: v IN (t)i (t)r % Cm (i (t)&i (t))dt ή Cm (i (t)&i (t))dtv IN (t)&i (t)r Στον δεύτερο βρόχο έχουµε: (αφού ) Cm (i (t)&i (t))dtl d dt i (t)%i (t)r L d R dt v OUT (t)%v OUT (t) i (t)r v OUT (t) Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των παραπάνω εξισώσεων, επειδή είναι ίσα τα πρώτα µέλη, παίρνουµε v IN (t)&i (t)r L d R dt v OUT (t)%v OUT (t) ή i (t)& L d. R R dt v OUT (t)& v R OUT (t)% v R IN (t) Την τιµή αυτή του i και την µετά από πράξεις i (t) v OUT (t) R αντικαθιστούµε στην εξίσωση του πρώτου βρόχου και βρίσκουµε τελικά d dt v OUT (t)% R C % R L d dt v OUT (t)% R %R LR C v OUT (t) R LR C v IN (t) Β ΤΡΟΠΟΣ (Μέσω της συνάρτησης µεταφοράς) Ένας άλλος τρόπος είναι να υπολογίσει κανείς την συνάρτηση µεταφοράς H() V OUT () V IN () Y V OUT ()H()V IN () και να αντικαταστήσει το µε τον τελεστή της παραγώγου d Για τον υπολογισµό της συνάρτησης µεταφοράς, γράφουµε τις εξισώσεις βρόχων: R % & I E() C C & R C %L% I C 0 και λύνουµε ως προς Ι : R % C I /0 V IN () & /0 0 C C R % & R C C R %LR % R C & /0 /0 % R V c % L C % IN () C & C R C %L% C Λαµβάνοντας υπόψη ότι V OUT ()I ()R η συνάρτηση µεταφοράς υπολογίζεται εύκολα ότι είναι H() V OUT () V IN () % R LR C R C % R L % R %R LR C

5 Εποµένως Y V OUT ()% R C % R L V OUT ()% R %R LR C V OUT () R LR C V IN () d Βάζοντας όπου τον τελεστή και όπου τον προκύπτει η διαφορική εξίσωση d d dt v OUT (t)% R C % R L d dt v OUT (t)% R %R LR C v OUT (t) R LR C v IN (t) ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Η παραπάνω εξίσωση είναι της µορφής: d a dt v OUT (t)%a d dt v OUT (t)%a 0 v OUT (t)b d dt v IN (t)%b d dt v IN (t)%b 0 v IN (t) όπου φυσικά αναγνωρίζουµε a a R C % R L a 0 R %R LR C b 0 b 0 b 0 R LR C Δείτε τώρα την εφαρµογή 3.8 στο εδάφιο 3.9. στη σελ. 90 του βιβλίου το πως γίνεται η πρώτη και η δεύτερη κανονική µορφή, που δίνονται στο επόµενο σχήµα. ΖΗΤΗΜΑ Ε3 (.5 µονάδες) Στο σχήµα φαίνονται οι πόλοι και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς τάσης H() ενός κυκλώµατος, το οποίο στο DC έχει κέρδος τάσης ίσο µε. α) Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης. β) Υπολογίστε την κρουστική απόκριση. γ) Σχεδιάστε µε όση ακρίβεια µπορείτε την καµπύλη απόκρισης πλάτους, δείχνοντας οπωσδήποτε τα χαρακτηριστικά της σηµεία.. (α) Προφανώς H()A % (%3)(%&j)(%%j) A % (%3)( %%5) Επειδή στο DC (f=0 και =0) το κύκλωµα έχει κέρδος τάσης ίσο µε,

6 0 A % και η συνάρτηση µεταφοράς είναι τελικά (0%3)(0 %@0%5) Y A YA5 5 5( H() %) (%3)( %%5) 5( %) 3 %5 %%5 (β) Δείτε µεθοδολογία στη λύση του θέµατος Υγ (γ) G(ω) H(jω) 5(ω & 5(ω &3) %(ω &) ω 5(ω G(ω) H(jω) & ω 6 %3ω &9ω %5 G(0)= G()=0 G()=0 G()=3.070 G(.7)= G(3)=3.93 G(0)=.65 ΖΗΤΗΜΑ Ε (.5 µονάδες) Τρία γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα συνδέονται µε τον τρόπο που φαίνεται στο σχήµα για να αποτελέσουν ένα συνολικό σύστηµα µε διέγερση x(t) και απόκριση y(t). - Το Σύστηµα έχει την κρουστική απόκριση h (t) = -3δ(t). - Το Σύστηµα έχει βηµατική απόκριση α (t)e &t u(t)& - Το Σύστηµα 3 έχει συνάρτηση µεταφοράς H 3 () και % Υπολογίστε την κρουστική απόκριση h(t) του συνολικού συστήµατος. Όταν βάλλουµε x(t)=δ(t), το σύστηµα θα δώσει στην έξοδό του h (t) = -3δ(t). Το σύστηµα έχει H ()=-3 Το σύστηµα θα δώσει στην έξοδό του h (t) d dt α (t) d dt e &t u(t)& d dt e &t u(t) &e &t u(t)%e &t δ(t)&e &t u(t)%δ(t) H συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ()& % % Η h (t) θα είναι διέγερση του συστήµατος 3 µε συνάρτηση µεταφοράς H 3 (), το οποίο θα δώσει στην έξοδό % του g(t)=h (t)*h 3 (t) (όπου h 3 (t) & ). % & & % δ(t)&e &t u(t) Τελικά µε x(t)=δ(t), η απόκριση y(t) θα είναι η κρουστική απόκριση του συνολικού συστήµατος και θα είναι ίση µε h(t)h (t)%h (t)(h 3 (t) ή H()H ()%H ()H 3 ()&3% (%) (%) &3% (%)(%) &3%& 6% (%)(%) && 6% (%)(%) H()&& k % % k % 6% 6% µε k % / & και k / 8 0& % 0& Εποµένως h(t)&δ(t)%e &t u(t)&8e &t u(t) Παρατήρηση: Ο όρος 6% αναλύθηκε σε & ώστε να µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο τύπος του (%)(%) (%)(%) Heaviide για απλούς πόλους, που προϋποθέτει τάξη του πολυωνύµου του αριθµητή µικρότερη από αυτή του παρονοµαστή. Η ανάλυση γίνεται µε µια απλή διαίρεση πολυωνύµων, στην περίπτωση αυτή του διά του (%)(%) %3% που δίνει πηλίκον και υπόλοιπο (6+).

7 ΖΗΤΗΜΑ Ε5 (.5 µονάδες) Ενα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα έχει την βηµατική απόκριση (t) του σχήµατος. Υπολογίστε και σχεδιάστε µε ακρίβεια την κυµατοµορφή της απόκρισης y(t) του συστήµατος, αν διεγερθεί µε το εικονιζόµενο σήµα e(t). Όταν στο σύστηµα βάζουµε διέγερση u(t), παίρνουµε την (t) που δίνεται. Η e(t) µπορεί να γραφτεί ως e(t)=u(t-)-u(t-) και εποµένως, αφού το σύστηµα είναι γραµµικό και χρονικά αµετάβλητο, η απόκριση για διέγερση e(t)=u(t-)-u(t-) θα είναι : y(t) = (t-) - (t-). Στο σχήµα φαίνεται η διαδικασία παραγωγής της y(t) αφαιρώντας την (t-) από την (t-). Η κρουστική απόκριση του συστήµατος θα είναι η παράγωγος της βηµατικής (t) που φαίνεται στο σχήµα. Ένας τρόπος για να υπολογίσουµε την απόκριση για δεδοµένη απλή διέγερση e(t), όταν έχουµε την κρουστική απόκριση, είναι µέσω του γραφικού υπολογισµού της συνέλιξης. Για t=0 έχουµε την παρακάτω κατάσταση όπου h(τ)e(-τ)=0 και εποµένως και το συνελικτικό ολοκλήρωµα είναι µηδενικό και y(0)=0 Το ίδιο συµβαίνει και για κάθε t #, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Εποµένως y(t)=0 για 0 # t #

8 Γιά < t # η κατάσταση είναι αυτή του διπλανού σχήµατος όπου το h(τ)e(t-τ) = και το σχετικό εµβαδόν είναι y(t) = t -. Γιά t= το εµβαδόν είναι y() = Για < t < 3 η κατάσταση είναι αυτή του διπλανού σχήµατος όπου το το σχετικό εµβαδόν είναι y(t) = 5-t. Γιά t= το εµβαδόν είναι y() = και για t=3 το εµβαδόν είναι y(3) = -. Γιά 3 < t < η κατάσταση είναι αυτή του διπλανού σχήµατος όπου το σχετικό εµβαδόν είναι y(t) = - t. Γιά t=3+ το εµβαδόν είναι y(3+) = - και για t= το εµβαδόν είναι y() = 0, τιµή που διατηρείται και για t>. Τελικά από τα σηµαία που υπολογίσαµε, η απόκριση y(t) θα είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

9 ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (Δ Εξάµηνο)) ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER f(t) F(jω) af (t)%bf (t) af (jω)%bf (jω) f(t&t o ) e &jωt o F(jω) 3 f(&t) F(&jω)F ( (jω) e jω o t f(t) F j(ω&ω o ) 5 f(at) 6 d dt f(t) 7 &jtf(t) 8 t *a* F j ω a jωf(jω) d dω F(jω) f(τ)dτ πf(0)δ(ω)% m jω F(jω) & 9 f (t)(f (t) F (jω)f (jω) 0 f (t)f (t) f(t)f e (t)%f o (t) π F (jω)(f (jω) ö f e (t) Re[F(jω)] ö f o (t) jim[f(jω)] F(t) πf(jω) 3 f(t)co(ω o t) 0.5F(j(ω&ω ο ))%0.5F(j(ω%ω ο )) f(t)in(ω o t) j 0.5F(j(ω&ω ο ))&0.5F(j(ω%ω ο )) 5 f(t) j n& c n e jnω o t π j n& c n δ(ω&nω o )

10 ΠΙΝΑΚΑΣ ΖΕΥΓΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER f(t) F(jω) δ(t) δ(t-t o ) e &jωt 0 3 πδ(ω) u(t) πδ(ω) % jω 5 e jω 0 t πδ(ω-ω 0 ) 6 co(ω 0 t) π[δ(ω+ω 0 )+δ(ω-ω 0 )] 7 in(ω 0 t) jπ[δ(ω+ω 0 )-δ(ω-ω 0 )] 8 u(t)e &at a>0 jω % a 9 te &at u(t) a>0 0 e &a t u(t) a>0 (jω % a) a a % ω a % t e &at a>0 3 p a (t) t <a p a (t) 0 t >a in(at) πt 5 gn(t) 6 j δ(t&nt) n& 7 u(t)co(ω o t) 8 u(t)in(ω o t) 9 u(t)e &at co(ω o t) a>0 0 u(t)e &at in(ω o t) a>0 e &a ω &ω π a e a a in(ωa) ainc(fa) ωa ωπf p a (jω) ω <a p a (jω) 0 ω >a jω ω 0 j δ(ω&nω 0 ) όπου ω 0 π n& T jω % π ω ο &ω [δ(ω%ω ο )%δ(ω&ω ο )] ω o ω ο &ω %j π [δ(ω%ω ο )&δ(ω&ω ο )] a%jω (jω%a) %ω ο ω o (jω%a) %ω ο

11 ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE (Μονόπλευρες f(t) µε f(t)=0 γιά t<0) f(t) F() af (t)%bf (t) af ()%bf () f(t&t o )u(t&t o ) e &t o F() 3 e &at f( F(%a) f( t a )u(t) af a f( t a &b)u(t) ae &ab F a u(t) d dt f(t) F()&f(0! ) u(t) d n t dt n f(t) f(τ)dτ m 0 f(t) u(t) t f(t)(g(t) f(τ)g(t&τ)dτ m & f(t) g(t) n F()& n& f(0! )& (n&) df(t) dt / & 0t0! & (n&3) d f(t) dt / &...& 0t0! d n& f(t) dt n& / & d n& f(t) 0t0! dt n& / 0t0! F() F( m )d F()G() F()( G() 8 tf( & df() d 9 f(0 % ) lim 6 F() 0 lim t6 f(t) lim 60 F() f(t) j n0 f (t&nt o )u(t&nt o ) F () j t n f(t) (&) n d n n0 e &nt o F () &e &T o d nf()

12 ΠΙΝΑΚΑΣ ΖΕΥΓΩΝ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE (Μονόπλευρες f(t) µε f(t)=0 γιά t<0 και γι αυτό πολλαπλασιάζουµε µε u(t)) f(t) F() δ(t) u(t) 3 e &at f( F(+a) f( t a ) af(a) 5 f(t-a)u(t-a) e &a F() 6 e &at u(t) % a 7 [δ(t)&ae &at ]u(t) % a & a % a 8 te &at u(t) ( % a) 9 e &at (&a 0 (&e &at )u(t) b&a (e &at &e &bt )u(t) (b&a a &a )e &a t!(b&a )e at u(t) ( % a) a ( % a) & % a a b ( % a)( % b) %b a (%a )(%a ) a 3 in(ω ο co(ω ο ω ο % ω ο % ω o 5 e &at in(ω o 6 e &at co(ω o 7 in(ω o t%φ)u(t) ω o (%a) %ω o µε a>0 και ω o >0 %a (%a) %ω o µε a>0 και ω o >0 inφ%ω o coφ %ω o 8 co(ω o t%φ)u(t) coφ&ω o inφ %ω o 9 tf(! df() d 0 f(t)in(ω o j [F( & jω ο ) & F( % jω ο )] f(t)co(ω o tin(ω ο [F( & jω ο ) % F( % jω ο )] ω o ( % ω o ) 3 tco(ω ο & ω o ( % ω o )