Statistica matematica

Transcript

1 Statstca matematca probleme de dfcultate redusa ) Dtr-o popula e ormal repartzat cu dspersa ecuoscut se face o selec e de volum. Itervalul de îcredere petru meda m a popula e cu dspersa ecuoscut s s este t, t? ) Fe u parametru al colectvt geerale (,,, ) o fuc e de selec e. Spuem c este o estma e cosstet a lu dac (,,, ) coverge î probabltate c tre? 3) Mometele de selec e sut estma absolut corecte ale mometelor teoretce? 4) Fe destatea de repart e f(, ), cu parametru ecuoscut. Fe cazul poteze smple: H 0 : = 0 ; H : =. Probabltatea de respgere a poteze H 0 ca fuc e de se ume te rscul furzorulu? 5) Itervalul de credere petru parametrul mede m d reparta ormala N(m, ) cad se cuoaste este? 6) Itervalul de credere petru parametrul m al repartte ormale N(m, ) cad u se cuoaste dspersa este? 7) Itervalul de credere petru parametrul dsperse al reparte ormale N(m, ) este? 8) Valoarea mometulu de selec e de ordul r este? 9) Mometele de selec e sut estma absolut corecte ale mometelor teoretce? 0) Urmatoarea estmate: este o estmate edeplasata petru dspersa teoretca?

2 ) Fe s do estmator edeplasat petru u parametru. Sa se preczeze daca estmatorul pastreaza propretatea de a f edeplasat petru parametrul dat? ) Testul Z se aplcã petru verfcarea poteze H : m m 0 0 cu alteratva H : m m petru dstrbuta N m, cu cuoscut? 3) Petru compararea a doua proport provete d doua esatoae de volume s ale aceleas populat se foloseste statstca ormal redusa:? 4) Petru compararea a proport testam poteze ula: cotra poteze alteratve: la u prag de semfcate. Atuc spuem ca respgem poteza ula cazul:, ude reprezta cuatla de ord? 5) Valorle d, ude este fucta de reparte petru o varabla ormal redusa, u se cuosc? 6) Dacã,..., coverge î probabltate cãtre parametrul cosstetã a lu?, spuem cã este o estmate 7) Dacã M,..., spuem cã,...,, lm D,..., 0, este o estmate corectã a parametrulu? 8) O estmate este edeplasatã dacã M 0? 9) Dspersa de selecte este teoretca? s este o estmate edeplasata petru dspersa

3 0) Valoarea mede de selecte este? ) Valoarea dsperse de selecte este s? ) Dacã repartta teoretcã are meda m s dspersa mede s dspersa?, atuc meda de selecte are valoarea 3) Testul "t" (Studet) se aplcã petru verfcarea poteze H : m m 0 0 cu alteratva H : m m petru dstrbuta N m, cu cuoscut? 4) Petru compararea dsperse de sodaj cu dspersa populate orgare cosderatã N trebue verfcatã poteza H : 0 0 cotra alteratve H. : s se face cu ajutorul uu esato de volum cu statstca U ~ m, care are o repartte? 5) Dacã repreztã umãrul observatlor î care a apãrut o valoare a caracterstc decât atuc fucta de repartte de selecte este F? ma mcã 6) O estmate este edeplasatã dacã D 0? 7) Problema regrese cost î a descre legea de vara e mede a ue varable î fuc e de ua sau ma multe varable cuoscute?

4 8) Problema corela e cost î caracterzarea test leg tur cu ajutorul uu coefcet umerc coefcet de corela e depedet de ut le de m sur ale varablelor correlate? 9) O cod e ecesar petru u calcul statstc corect problema de regrese s de corelate este omogetatea datelor u um r mc de observa? 30) Caracterul omoge sau eomoge al colectvt statstce poate f seszat eamâd dagrama de dspersare a ut lor observate î raport cu valorle varablelor correlate? 3) Itervalul de credere petru parametrul dsperse al reparte ormale N(m, ) este? 3) Fe s date, atuc cuatlele repartte : tabelete?, tab, ;, tab sut ; 33) Estmatorul verosmltat mame petru parametrul al repartte Posso este u estmator effcet? 34) Douã estmat efcete ale parametrulu u sut egale aproape sgur? 35) Valoarea mede a mometulu de selecte de ord r, r este r? 36) Dspersa mometulu de selecte de ord r, r este? 37) Meda cod oat teoretc a lu y î raport cu este a b estma pr metoda celor ma mc p trate? y.parametr a b se pot 38) Fe u parametru ecuoscut petru o destate de repartte f, selecte de volum obtem douã statstc probabltatea P A,..., B,..., se umeste...de credere. A,...,. Atuc petru o B,..., astfel îcât,,ude u depde de. Atuc [A,B]

5 39) Fe este u parametru ecuoscut petru destatea de repartte f,.atuc petru o selecte de volum obtem douã statstc, A,...,, B,..., astfel îcât probabltatea P A,..., B,..., multmea puctelor de selecte,..., petru care A B, se umeste... de acceptare petru.,ude u depde de. I acest caz 40) Fe este u parametru ecuoscut al destat de repartte f, î care petru o selecte de volum obtem douã statstc, A,..., P A,..., B,..., umeste... de îcredere al tervalulu [A,B]. B,..., astfel îcât probabltatea,,ude u depde de.atuc umãrul se 4) Dspersa de selec e este o estma e cosstet petru...teoretc. 4) Probabltatea de respgere a poteze ule ca fucte de parametrul cosderat se umeste fucte de... a testulu. 43) Î luarea decze de admtere sau respgere a ue poteze se pot face o eroare de gradul îtâ daca... H 0 des ea este adevãratã. 44) Î luarea decze de admtere sau respgere a ue poteze se pot face o eroare de gradul do daca... H 0 des ea este falsa. 45) Fe,..., valorle observate ale varable y,..., ym valorle observate ale varable y fe f j um rul ut lor popula e care au valoarea a varable y petru y. Atuc f j f j m f se umesc repart...ale lu y, respectv. j f j 46) Caracterstcle...ale lu y (mede dsperse) sut f, D ( ) f f f y f m j y j f m. j, D ( y) y j y f j f j

6 probleme de dfcultate mede ) S-a costatat c cererea uu aumt artcol îtr-o peroad a aulu este o varabl aleatoare. Luâdu-se la îtâmplare 00 de bour de comad s-au observat urm toarele Cererea ( ) Frecve a ( ) Aflat cererea mede. = 5, 49 ) Fe o selec e de volum 5 repetat asupra ue caracterstc X a ue popula statstce care a codus la rezultatele urm toare: k k determat dspersa de selec e. 3) Se cosder X o caracterstc a ue popula cu destatea de repart e f, cu parametru ecuoscut, f, e, N, > 0, fe! selec repetate de volum efectuat asupra lu X. Determat u estmator de mam verosmltate al parametrulu 4) Fe X o caraterstc a ue popula, X (m, coduce la o valoare mede 95. k rezultatele ue k, θ = ), cu = 36, fe o selec e de volum =9 care Itervalul de îcredere petru parametrul m este 7,48;8,5 petru ce coefcet de îcredere? δ = 0,95 5) Fe X o caraterstc a ue popula, X (m, ) fe o selec e de volum =9 care coduce la o valoare mede o dsperse modfcat 50, s =,75. Itervalul de îcredere petru parametrul m este 48,3; 5,689 petru ce coefcet de îcredere? δ = 0,98 6) Dtr-o popula e ormal se face o selec e de volum 6 g sdu-se: k :,8;,8;,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,; 3; 3;,9;,9;,8; 3,4; 3; 3. Aflat tervalul de îcredere 98% corespuz tor dsperse [ 0,076;0,033 ] 7) Dtr-o selec e ordoat de volum =5 s-au ob ut urm toarele date: mede de selec e = 4,85, dsperse de selec e modfcat s =,5. Se face urmatoarea poteza asupra valor med teoretce H 0 : m = 5,5. I aceste codt, se accepta poteza H 0 la u vel de semfca e = 0,05? Yes

7 8) Pe u e ato dtr-o popula e N(m, ) de volum =5 s-a ob ut =,64; Se fac urmatoarele poteze asupra valor med teoretce : H 0 : m =, H : m. La u vel de semfca e = 0,05, t,6 se accepta H 0? Yes s 6,5. 9) Dtr-o popula e ormal repartzat cu dspersa ecuoscut se face o selec e de volum 9 se ob e 50, s,75. S se scre tervalul de îcredere dac 0, 05 t,37. 48,6;5,38 ( ) 0) Preczat mometul cetrat de selec e de ordul r ) Daca petru o secte de volum se cuoaste dspersa de selecte atuc sa se preczeze valoarea dsperse de selecte modfcate. ) S se arate c dac este o varabl aleatoare ormal, atuc petru o selecte de volum care este repart a mede de selec e? 3) Spuem c este o estma e cosstet a lu daca coverge î probabltate c tre parametrul? Yes 4) Recuoastet urmatoarea teorema: Dac este o estma e absolut corect a parametrulu, atuc D,... 5) Dac este o fuc e de estma e absolut corect, atuc cum se umeste raportul e M l D f, M efceta lu l f,. Rao-Cramer 6) Petru compararea dsperse de sodaj cu dspersa populate orgare comsderata ormala trebue verfcata poteza ula cotra alteratve la u prag de credere.specfcat: daca auc petru respgem? 7) Determarea regu crtce se face cu ajutorul care leme? Neyma-Pearso False

8 8) Preczat tervalul de credere petru parametrul mede m d reparta ormala N(m, ) cad se cuoaste 9) Sa se afle tervalul de credere petru parametrul m al repartte ormale N(m, ) cad u se cuoaste dspersa. 0) Sa se determe u terval de credere petru parametrul dsperse al reparte ormale N(m, ) ) Fe repartta de tp cotuu f, ude poate lua orce valoare dtr-u terval I. Valorle de selecte,..., obtute î urma a etract depedete d populate sut varable aleatoare depedete cu aceeas destate de probabltate f,. Atuc cum se umeste fucta, P,..., ; d... d f,... f, d... d? fucte de verosmltate r μ = ) Preczat mometul cetrat de selecte de ordul r ( ) = 3) Preczat mometul de selecte de ordul r petru o varabla aleatoare 4) Compararea mede uu sodaj cu meda cuoscuta a ue populat orgare se face cu ajutorul testulu Z care se bazeaza pe statstca Z=... 5) Compararea a douã proport se realzeza cu ajutorul a douã esatoae de volum respectv d populat dferte sau d aceeas populate. Aceste esatoae e dau proporþle p respectv p de elemete posedâd o aumtã caracterstcã A. Vom testa poteza H : p p 0 cotra alteratve p p H : p p. Z = pq pq + cu ajutorul care statstc? r α r r = = 6) Daca e este efceta lu atuc 0 e? True 7) S-a costatat c cererea uu aumt artcol îtr-o peroad a aulu este o varabl aleatoare. Luâdu-se la îtâmplare 00 de bour de comad s-au observat urm toarele Cererea ( ) Frecve a ( ) Atuc calculat dspersa modfcat de selec e s. s % = 4, 47

9 8) Fe o selec e de volum 5 repetat asupra ue caracterstc X a ue popula statstce care a codus la rezultatele urm toare: k k Aflat. = 0,96 9) Fe o popula e caracterzat smulta de dou varable X Y. Fe,,..., valorle observate ale varable X y, y,..., ym valorle observate ale varable Y. Fe f j um rul ut lor popula e care au valoarea a varable X y j petru Y. Numerele fj,,, j, m, satsfac urmatoarele relat fj 0,,, j, m, m j f? j True 30) Se cosdera o populate avad doua caracterstc X s Y, varablele aleatoare dscrete, petru care se cuosc repart le dvduale repart a comu date î tabloul X\Y 0 p - / 5/ / /4 /4 / q j /3 /3 Determat repart a varable 3X - Y 3-3 3X Y : ) Fe o popula e caracterzat smulta de dou varable X Y petru care calcul m meda teoretca cod oata a lu Y raport cu X, y. $ ( y y D ) Coefcetul de varate a ajustar se calculeaza cu ce formula? y CV = = ude y y y = a+ b. 3) La dou teste opt elev au ob ut urm toarele rezultate: Test X Test Y Calculat valorle med y. = 45 y = 50 33) La dou teste opt elev au ob ut urm toarele rezultate: Test X Test Y Calculat coefcetul a al drepte de regrese a lu y î raport cu, a = 0,75 34) Dac se dau 7, 8, y 7, 86, s 4, 86, s y 5, 50 r y 0, 573, preczat dreapta de regrese a lu y î raport cu. y = 0, ,7 y a b

10 35) Dac se dau 7, 8, y 7, 86, s 4, 86, s 5, 50 r 0, 573, coefcetul a d ecua a drepte de regrese 36) Dac se dau 7, 8 y a b are ce valoare? y, y 7, 86, s 4, 86, s 5, 50 r 0, 573, coefcetul b d ecua a drepte de regrese y a b are ce valoare? y y y a = 0,5967 b = 3,7 37) Petru datele d tabelul urm tor y Cat sut valorle med y. = 59 38) Petru datele d tabelul urm tor y coefcetul a al drepte de regrese y = 40 y a b are ce valoare? a = 4,56 39) Petru datele d tabelul urm tor y f j Sa se determe f y = 3.7 y = 35.6

11 probleme de dfcultate rdcata. Se fac cc m sur tor cu u aparat asupra lugm ue bare se g sesc rezultatele î mm: 9 ; 94 ; 03 ; 05 ; 06. S se determe valoarea mede a lugm bare, dspersa de selec e dspersa de selec e modfcat.. Repart a valorlor ue varable observate pe baza a 50 de observa este dat de tabelul: S se calculeze valoarea mede a m rm observate. 3. Repart a valorlor ue varable observate pe baza a 50 de observa este dat de tabelul: S se calculeze valoarea dspersee modfcate. 4. Petru a cerceta prezeta studetlor la u aumt curs s-a ales u esato de 00 studet s s-a regstrat umarul absetelor acestora la cc cursur cosecutve: 40 de studet u au c o abseta, 0 de studet au abseta, 5 studet au absete, 0 studet au 3 absete, 8 studet au 4 absete s ultm 7 studet au absetat la toate cele 5 cursur. Sa se determe valoarea mede de selecte.,47 5. O selecte aleatoare de volum =0 dtr-o populate ormala a dat urmatoarele valor: -, -,,,, 3, 3, 4, 4, 5 Sa se scre u terval de credere petru meda populate ormale la u prag de credere de 95%. Se cuoaste ca,6. 0,3<m<3,7 6. Se efectueaza masurator depedete asupra ue varable aleatoare repartzate ormal, rezultatul masuratorlor fd urmatorul :-0,5;-0,4;-0,4;-0,;0;0,;0,6;0,8;;,;,;,5. Sa se detrme la u prag de credere de 0,05 u terval de creder petru meda teoretca. Se cuoaste cuatla -0,04<m<0,8 7. Sa se gaseasca o estmate efceta petru parametrul d repartta Posso, k=0,..., pe baza ue selec repetate de volum. 8. Sa se preczeze u estmator efcet petru parametrul mede m d repartta ormala cu f, m e destatea de probabltate m. meda de selecte

12 9. O selecte de volum =3 a dat o estmate deplasata determe o estmate edeplasata a dsperse teoretce. a dsperse teoretce. Sa se 3, 0. Durata de fuctoare a uu tp de tub florescet de 40 de w poate f cosderata o varabla aleatoare reprezetata de meda m=500h s. O selecte de 50 de tubur dau o durata mede de fuctoare de ore. Sa se verfce poteza ula h fata de alteratva petru. Se cuoaste cuatla dec respgem. Durata de fuctoare a uu tp de tub florescet de 40 de w poate f cosderata o varabla aleatoare reprezetata de meda m=500h s. O selecte de 50 de tubur dau o durata mede de fuctoare de ore. Sa se determe puterea testulu petru. Salarul medu luar dtr-o utate de producte este de le. Se face o cercetare selectva pe u esato de 5 de salarat s se obte. Std ca salarul este o varabla aleatoare ormala s ca abaterea mede patratca a salaratlor =30.000le sa se decda daca salarul medu este semfcatv ma mc decat cel autat la u prag de credere de =0,0. Se ste ca. dec respgem 3. Pe u esato format d de dvz d totalul populaþe ue zoe de de dvz, s-a costatat cã cosumul medu luar petru meaj este de le º o abatere mede pãtratcã s Sã se determe u terval de îcredere petru estmarea mede de cosum a îtreg populaþ.se cuoaste ca t, m Sã se determe u terval de îcredere petru parametrul cu u prag de îcredere de 98 % std cã î urma a 5 de mãsurãtor depedete s-a obþut meda 8, s dspersa ~ s, 63. 0,88 σ, Sa se afle estmatorul de verosmltate mama petru parametrul m d repartta ormala N(m, ). m = = 6. Sa se estmeze parametrul petru repartta ormala N(m, ) 7. Sa se estmeze parametrulu d reparta Posso f k; ue select repetate de volum. k e k!, k 0,,... pe baza 8. Se efectueazã o selecte de volum 00 asupra ue varable aleatoare care e furzeazã valorle, 5, 9, cu frecvetele 0, 3, 0, 5, 0,, s 0, atuc aflat valoarea fucte de repartte emprce F(). F()=0,3 9. Fe o varablã aleatoare ormalã N m,, atuc sa se afle repartta mede de selecte. este o varablã aleatoare ormalã

13 0. Fe o varablã aleatoare cu o repartte Posso de parametru. Sã se determe repartta mede de selecte. este repartzat Cauchy. O masã fabrcã pese î sere. Ea a fost reglatã astfel ca dametrul peselor sã fe de, 60 mm. Pe u esato de 00 de pese s-a obtut valoarea mede a dametrelor, 65 mm. Dacã 0, 6 se cere: Sã se decdã dacã dametrele sut semfcatv ma mar decât dametrul autat petru 0,0. u sut semfcatv ma mar. O masã fabrcã pese î sere. Dacã volumul esatoulu este 0,, 65 s s 0,584 sã se verfce dacã dametrele dferã semfcatv de cel autat. 0, 05. dametrele dfera semfcatv 3. Îtr-u oras s-a efectuat u sodaj prvd cheltuelle luare petru cosumul almetar. Sodajul a fost efectuat pe douã esatoae cuprzâd categor socale dferte. S-au obtut rezultatele: Volumul esato Muctor 37 Fuctoar 86 Meda de cosum (le) Abaterea mede pãtratcã s s Sã se testeze dacã dfereta cheltuellor med luare este semfcatvã petru cele douã categor socale da, dfereta este semfcatca 4. Repart a valorlor ue varable observate pe baza a 50 de observa este dat de tabelul: S se calculeze valoarea dsperse Se cosder o popula e caracterzat smulta de varablele aleatoare dscrete X, Y s de urm torul tablou complet ude X\Y 0 p - / q j /3 este u parametru real strct poztv. S se completeze tabloul dat astfel îcât acesta s aleatoare X Y. X\Y 0 p - λ /-λ / /3- λ /6+λ / q j /3 /3 furzeze repart a comu a varablelor

14 6. Se cosder o popula e caracterzat smulta de varablele aleatoare dscrete X, Y s de urm torul tablou complet X\Y 0 p - /6 / q j /3 X\Y 0 p Preczat repart a comu a varablelor aleatoare X Y. - /6 /3 / /6 /3 / q j /3 /3 7. Doua caracterstc ale ue populat sut descrse de varablele aleatoare dscrete X, Y, petru care se cuosc repart le dvduale repart a comu date î tabloul X\Y 0 p - / 5/ / /4 /4 / q j /3 /3 I aceste codt, care este legatura dtre X s Y. depedete, dar corelate? 8. Preczat care sut propretatle coefcetulu de corelate r asocat la doua varable X s Y A.r este cuprs ître ş + B.Dacă r este strct poztv, ambele varable varază î acelaş ses. Dacă r este strct egatve, varablele varază î sesur opuse. C.Dacă valoarea absolută a coefcetulu de corelaţe este mcă, poate esta o legatura tre varablele X s Y, dar aceasta u poate f de formă lară. D.Coefcetul de corelaţe este drect proporţoal cu coefcetul de regrese. 9. Petru testarea caracterulu omoge al ue colectvt statstce se utlzeaz coefcetul de vara e. Cu cât velul acestu coefcet este ma apropat de zero cu atât vara a este ma mc ar colectvtatea ma omoge? True 30. Fe o popula e caracterzat smulta de dou varable X Y. Se cosdera urmatoarele date 4 5 y j Care este cea ma bua fucte de ajustare lara a datelor? y = Fe o popula e caracterzat smulta de dou varable X Y. Se cosdera urmatoarele date 4 5 y j Se studaza depedeta lara a celor doua caracterstc s se determa fucta de regrese y a b pr metoda celor ma mc patrate. Detremat eroarea de ajustare globala S y a b s coefcetul de varate CV? S = 0, 4, CV = 0,6 3. Propretarul uu magaze s propue sa aalzeze mosul care valoarea casarlor a fost ufluetata de cheltuelle cu publctatea. Petru aceasta etrage d documetele de evdeta velul cheltuellor cu publctatea s valoarea vazarlor d ultmle 5 lu. Cheltuel publctate (m le) 4

15 Nvelul vazarlor (ml. le) y Determat fucta de regrese lara care descre terdepedeta dtre cele doua caracterstc y = 8,5 3,5 33. La dou teste opt elev au ob ut urm toarele rezultate: Test X Test Y Aflat dreapta de regrese a b y = 0,75 + 6, 5 y 34. Petru datele d tabelul urm tor y f y f s se calculeza medle y. y = Petru datele d tabelul urm tor y Care este ecua a drepte de regrese a b y = 4,56 06, Petru datele d tabelul urm tor y Care sut valorle lu s s y s s = 33 y y = 9,5 = 0? 37. Petru o selecte de volum =4 se cuoaste dspera de selecte. Sa se determe dspersa de selecte modfcata. 3, Repart a valorlor ue varable observate pe baza a 50 de observa este dat de tabelul: Sa se determe moda varable( valoarea caracterstc carea corespude cea ma mare frecveta) Repart a valorlor ue varable observate este dat de tabelul

16 Valorle m rm Frecve ele Valoarea mede a m rm observate este 4,7? False 40. S-a costatat c cererea uu aumt artcol îtr-o peroad a aulu este o varabl aleatoare. Luâdu-se la îtâmplare 00 de bour de comad s-au observat urm toarele Cererea ( ) Frecve a ( ) Cererea mede dspersa modfcat de selec e s sut egale cu 5, 49, s 4,47? True 4. Dtr-o popula e ormal repartzat cu dspersa ecuoscut se face o selec e de volum 9 g sdu-se 50 s,75. Petru 0,95 t,96 tervalul de îcredere este 47,98;57,0? False 4. Se cosder X o caracterstc a ue popula cu destatea de repart e f, cu parametru ecuoscut, f, e, N, > 0, fe k rezultatele ue k,! selec repetate de volum efectuat asupra lu X. U estmator de mam verosmltate al parametrulu este? False