Noţiuni de verificare a ipotezelor statistice

Transcript

1 Noţu de verfcare a potezelor statstce Verfcarea potezelor statstce este legată de compararea dfertelor poteze asupra ue populaţ statstce (ş u asupra uu eşato) cu datele obţute pr îcercăr expermetale Dacă datele observate u sut compatble cu o aumtă poteză, atuc ea trebue respsă Defţe Vom um poteză statstcă orce presupuere prvd repartţa ue varable aleatoare, ar metodele de verfcare a potezelor statstce le vom um teste statstce Testele care se referă la poteze ce prvesc valorle ecuoscute ale parametrlor ue repartţ specfcate se umesc teste parametrce ar cele care se referă la poteze făcute î legătură cu îsăş repartţa ue varable se umesc teste de cocordaţa (eparametrce) Teste parametrce Să cosderăm o repartţe udmesoală caracterzată de destatea de repartţe f(x,), depedetă de parametrul ecuoscut Ne propuem să verfcăm poteza coform cărea = Notăm această poteza H := Dacă poate lua ş alte valor,,,, atuc potezele H : = =, sut poteze admsble Petru a o dstge de alte poteze, poteza H o umm poteză ulă Orce altă poteză admsblă este umtă poteză alteratvă Dacă valoarea parametrulu propusă î poteza alteratvă este ucă atuc poteza alteratvă se umeşte smplă, î caz cotrar ea fd compusă Dacă poteze ule se asocază o poteză alteratvă compusă de forma H :, de exemplu, atuc ea geerează u test parametrc ulateral ar dacă poteza alteratvă este H : ea geerează u test blateral Ipoteza ulă poate f verfcată cu ajutorul valorlor observate cuprse î selecţa X=(x,x,,x ) alcătută d rezultatele măsurătorlor pe u eşato de volum Dacă poteza ulă este adevărată, atuc valorle selecţe aparţ uu spaţu V(X) cu o probabltate codţoată: P[X V(X) / H ] P[X V(X) / ] Dacă probabltatea este mcă, mulţmea V(X) este deumtă regue crtcă ar î caz cotrar regue de acceptare Dacă rezultatele măsurătorlor, grupate î vectorul de selecţe X, sut cluse î reguea crtcă, atuc respgem poteza ulă H ş acceptăm poteza alteratvă, caz cotrar o acceptăm Dfcultatea î alcăturea uu test petru verfcarea ue poteze costă tocma î alegerea regu crtce V(X) Î luarea decze prvd admterea sau respgerea ue poteze sut posble două tpur de eror: - respgerea poteze ule deş ea este adevărată (eroare de ordul uu), ş - admterea poteze ule deş este falsă (eroare de ord do) Presupuem poteza ulă H := cu alteratva H := ş fe V(X) reguea crtcă, ar V(X) reguea de acceptare Putem pue î evdetă următoarele probabltăţ: Probabltatea de respgere a poteze ule deş ea este adevărată (probab comter eror de ord uu): P[XV(X)/= ]= Probabltatea de acceptare a poteze ule ea fd adevărată: P[X V(X) / ] 3 Probabltatea de acceptare a poteze ule deş ea este falsă (probabltatea comter eror de ord do): P[X V(X) / ] 4 Probabltatea de respgere a poteze ule ea fd falsă (puterea testulu): P[X V(X) / ] Cu cât ş sut ma mc cu atât testul bazat pe reguea crtcă V(X) este ma puterc Alegâd u test, pr mărrea volumulu selecţe putem mcşora orcât de mult probabltatea comter ue eror, dar u totdeaua a ambelor Impuâd (de regulă, sau,5), rezultă ca o cosecţa ş vers Nu se poate afrma care d aceste probabltăţ trebue să fe ma mcă, eexstâd o regulă î această prvţa De exemplu, dacă dorm să verfcăm compozţa uu medcamet care peste u aumt grad de cocetrare deve vătămător, comterea ue eror de ordul do este ma gravă decât comterea uea de ordul uu Î cotrolul statstc al caltăţ produselor se umeşte rscul furzorulu ş rscul beefcarulu Defţe Probabltatea de respgere a poteze ule fucţe de valorle posble ale parametrulu, se umeşte fucţe de putere a testulu ( ) P[XV(X)/ ], λd Petru poteza smplă formulată ateror, ( )= ş ( )=-

2 Dtre toate mulţmle V(X) petru care P[XV(X)/H ]=, mulţmea petru care este mm se umeşte cea ma buă regue crtcă, ar testul bazat pe acesta se umeşte cel ma puterc test Dfcultatea î alcăturea uu test statstc costă tocma î alegerea regu crtce V(X) Exemplul Test prvd meda repartţe ormale de dsperse cuoscută, destatea de repartţe a ue varable ormal repartzate N(m, (xm) / ) fd: f(x, ) e Formulăm poteza ulă H :m=m cu alteratva H :m=m >m ş dorm să deducem o regue crtcă la velul de semfcaţe (probabltatea comter eror de ordul uu mpusă) Î acest scop alcătum o selecţe x,x,,x de volum pr sodaj pur aleator Fd cazul ue repartţ depzâd de u sgur parametru (m), coform leme Neyma-Pearso, reguea crtcă este deftă pr egaltatea: f(x,m ) k f(x,m ) Îlocud f(x,) î egaltatea de ma sus, după câteva calcule elemetare rezultă: (m m ) x l k (m m ) Deoarece, pr poteza alteratvă m >m, rezultă: x x [m m ( /)lk]/(m m ) x c dec reguea crtcă este x, ude x este meda de selecţe Dar x c u poate f determat decât dacă se cuoaşte valoarea lu k Ceea ce costtue avatajul leme este faptul că preczează forma regu crtce Valoarea lu k poate f determată mpuâd probabltatea comter eror de ordul uu, dec: P[x x c/ m m ] P[x x c/ m m ],sau P[x x c/ m m ] dar, după cum se şte, meda de selecţe este ormal dstrbută xn(m, /), dec ultma egaltate deve: x c f (x,m )dx [ (x m )/ ] x c de ude rezultă: m ( ) Desgur putem determa valoarea lu k dar î acest caz u este ecesar Dec dacă meda de selecţe este ma mare decât x c calculat cu relaţa ateroară, respgem poteza ulă s acceptăm alteratva Puterea testulu î raport cu poteza alteratvă este: (m ) P[x x / m m ] f (x,m )dx [ (x m )/ ] c c Îlocud pe x c, după câteva calcule termedare rezultă: (m ) [ ( ) (m m )/ ] Î acest caz partcular, d ultma egaltate se poate determa volumul eşatoulu petru ca (probabltatea comter eror de ord do) să abă o valoare dortă, ş aume: [ ( ) ( )]/(m m ) Observaţe: Dacă poteza alteratvă este H :m=m <m, forma regu crtce se schmbă s aume x<x c Impuâd aceeaş probabltate de comtere a eror de ordul uu, rezultă: m ( ) ar puterea testulu va f: [m ] P[x x c/ m m ] [ ( ) (m m )/ ] Exemplul Testul Studet prvd meda repartţe ormale de dsperse ecuoscută Fe N(m, ) cu parametr m ş ecuoscuţ Formulăm poteza ulă H :m=m cu alteratva H :m=m m ş dorm să deducem o regue crtcă la velul de semfcaţe dat Î acest scop se efectuează o selecţe de volum, X=(x,x,,x ) ş se calculează meda x ş dspersa s de selecţe Cuoaştem succesv următoarele: x N(m, ) xn(m, /) 3 x m N(,) /

3 x x (,) 6 x x (x m) 4 N(,) 5 T( ) s Pe ceastă bază putem deduce u terval de îcredere petru meda m, la velul de semfcaţe dat: b (x m) Pa b f T() (x)dx s a Î cazul uu terval cetrat, ultma egaltate furzează valorle â ş ˆb Reguea de acceptare a poteze ule este determată de probabltatea codţoată: (x m) ˆ (xm ) P aˆ b/m m ˆ ˆ Pa b s s Reguea crtcă va f: V(X) X/ x m as ˆ / X / x m bs ˆ / Dacă alteratva la poteza ulă este H :m<m, reguea crtcă va f: V(X) {X/ x m ˆ as / }, ar dacă alteratva este H :m>m, reguea crtcă va f: V(X) {X/ x m ˆ bs / } Exemplul 3 Testul Fscher se utlzează petru verfcarea egaltăţ dsperslor a două varable depedete repartzate ormal Fe N(m, ) ş N(m, ) Se cere să se verfce poteza ulă H : = cu alteratva H : > la velul de semfcaţe dat Î acest scop se efectuează măsurătorle x,x,,x ş x,x,,x pe selecţle de volum ş respectv d cele două populaţ Cuoaştem succesv următoarele: s (x x ) ş s (x x ) x N(m, ) ş x N(m, ) 3 (x x ) N(, ) ş (x x ) N(, ) 4 (x x ) (, ) ş (x x ) s 5 F(, ) s (x x ) Dacă alteratva este (x x ) (, ) dacă H: atuc reguea crtcă este geerată de probabltatea codţoată: c F(, ) s P x / f (x)dx s Valoarea x c rezultă d ultma egaltate Ea poate f găstă ş î tabele petru dferte valor ale velulu de semfcaţe Î cosecţă dacă î urma măsurătorlor varabla este ma mare decât x c respgem poteza ulă s acceptăm alteratva Teste eparametrce Testul x Fe o varablă aleatoare cu dstrbuţa î probabltate =,m ş,,, m frecveţele p absolute de aparţe a valorlor x îtr-o selecţe de volum Se demostrează că varabla aleatoare: m ( p ) (m,) p Ne propuem să verfcăm poteza ulă H :p =p =,m, cu alteratva H : p I p Reguea crtcă este geerată de probabltatea codţoată: 3

4 P[ / H : p p ] f (x)dx c c (m,) Ultma egaltate permte determarea lu c Să aplcăm cele de ma sus la verfcarea ormaltăţ ue varable aleatoare, dec la verfcarea ue poteze H :N() î care presupuem că o varablă este repartzată ormal Î acest scop se fac măsurător pe u eşato de volum ş rezultă valorle x,x,,x m cu frecveţele absolute,,, m, avâd meda ş dspersa de selecţe x ş respectv s Dacă poteza ulă este adevărată atuc varabla (x x)/ s N(,) ar probabltăţle p sut: [(x x)/s] [(x x)/s] Petru test procedăm î felul următor: - se calculează frecveţele absolute; - se calculează abaterle faţa de mede ş abaterle ormate; - se calculează probabltăţle p î poteza repartţe ormale a varable; - se costrueşte varabla ; - se deduce (sau se cteşte d tabel) c petru ş m date; - dacă > c respgem poteza ulă (î caz cotrar o acceptăm) Exemplul 4 Vrem să verfcăm poteza ormaltăt varable, (de exemplu parametrul la u trazstor), petru, =,5 Î acest scop aplcăm testul Efectuăm măsurătorle de volum = 6 Datele sut grupate î sera de tp S 3 d tabel, petru care =6; x =463, s =8,94 Iterval x (x x)/s (x x)/s p ( p ) /p M= (-,445] ,,,,59 M= (445,448] ,67,475,5,5 M=3 (448,45] ,34,9,46,3 : (46,463] 4 463,5,93,53 : : (478,48] 3 48,,9778,53,7 m= (48,),,66 ( p ) 4, 4 D tabele rezultă c = ;,5=9,7 p Deoarece < c acceptăm poteza ulă Teste eparametrce de tp Kolmogorov Teorema Kolmogorov serveşte ca bază petru verfcarea cocordaţe dtre repartţa teoretcă s cea emprcă Dacă pe baza aalze repartţe î frecveţe deducem fucţa emprcă F (x), putem geera u test de verfcare a poteze ule H :F (x) F(x) ude F(x) este o fucţe de repartţe preczată Reguea crtcă este determată de probabltatea codţoată: P[max F (x) F(x) ( / ) H ] K( ) x ude K() este fucţa Kolmogorov, este velul de semfcaţe ş volumul eşatoulu Ultma egaltate permte determarea valor ˆ Î cosecţa reguea crtcă este: V(X) x / max F (x) F(x) ˆ / x Petru verfcarea ormaltăt se procedează î felul următor (testul Massey): - d datele de selecţe se alcătueşte sera statstcă ş se calculează frecveţele relatve f, =, - se calculează valorle F(x), =, - se calculează meda ş dspersa de selecţe - se ormalzează varabla, calculâd valorle y (x x)/s 4

5 - se calculează valorle (y ) ş dfereţele F(y) (y) ş se alege valoarea maxmă a acestor dfereţe - petru velul de semfcaţe se calculează (d tabele) ˆ ş ˆ / - dacă dfereţa maxmă este ma mcă decât ˆ / se acceptă poteza ulă pr care varabla examată are repartţe ormală, î caz cotrar o respgem Observaţe: Testul Massey se poate aplca ş petru eşatoae de volum mc 3 Exemplul 5 Se îcearcă 6 mprmate de acelaş tp ş se costată tmp de fucţoare d tabel Se verfcă poteza coform cărea repartţa tmpulu de fucţoare fără defecţu este ormală D date rezultă T = 5h ; s = 73h Se costată că y (T T)/s Nr T f F(y) (y ) 5,5 -,36 /6,6,9,3 6,5 -,6 /6,,3, 3 7,6 -, /6,8,4,4 : : : : : : : 3,85 /6,78,8, 4 6, /6,86,86, 5 85,3 /6,93,9,7 6 34, /6,,98, y F (y ) d max F (y ) (y ),9 D tabele rezultă / =6 petru =,5 Cum d <,6 acceptăm poteza ulă Pe baza aceloraş date se pot efectua teste prvd meda ş dspersa repartţe Probleme propuse P Fe o varablă aleatoare dstrbută expoeţal egatv, avâd destatea de repartţe f(x,)= e -x Să se determe o regue crtcă, la velul de semfcaţe, petru testarea poteze ule H := cu alteratva H : = > P Se efectuează o selecţe de volum =4 petru cercetarea ue varable aleatoare, valorle obţute pr măsurător fd arajate î sera statstcă: Să se testeze, cu u vel de semfcaţe =,5, poteza ulă H :N(m=, =6) P3 Durata de fucţoare a uu dspoztv oarecare poate f cosderată o varablă aleatoare TN(5h, h ) O selecţe de volum =5 obţută pr sodaj pur aleator dă o mede T =38h Să se verfce poteza H :m=m =5h, faţa de alteratva H :m=m <5h, la u vel de semfcaţe =, Care este puterea testulu petru m =4h? P4 Se supu îcercărlor 5 de dspoztve electroce de acelaş tp ş se costată că tmp de fucţoare pâă la defectare (exprmaţ î ore) sut ce d tabel: a) Să se verfce poteza ulă pr care tmpul de fucţoare pâă la defectare este repartzat expoeţal egatv cu fucţa de repartţe F(t)=-e -t/6, cu u rsc =, b) Să se verfce poteza pr care acelaş tmp este repartzat ormal de mede m=6h ş dsperse =5 h 5