METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE
|
|
- Προκόπιος Παπαγεωργίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A 0. LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE Asura feomeelor de masă studate de statstcă acţoează u umăr de factor rcal ş secudar, eseţal ş eeseţal, sstematc ş îtâmlător, obectv ş subectv, care se găsesc sau u î legătur recroce. Avâd î vedere fatul că statstca studază feomeele de masă r rsma leglor statstce care le guverează, ce se caracterzează r forma de tedţă, cuoscută ş verfcată uma la velul asamblulu, se mue î mod atural, aalza legăturlor dtre feomeele de masă studate de statstcă tot sub forma de tedţă a relaţlor de cauzaltate. Se cuoaşte că î domele ştţfce, tehce ş ale atur, u loc mortat îl ocuă studul legăturlor cauzale î care u feome sau ma multe determă î mod uvoc schmbarea uu alt feome. Î acest caz este vorba de o legătură fucţoală de forma: (0.) y = f(x), ude x, y ot f varable reale sau vectorale. Pe lâgă deedeţa a două sau ma multe feomee sau exsteţa uor legătur fucţoale, ître acestea ot să exste legătur de atură statstcă. Partculartatea acestu t de legătur costă î fatul că o caracterstcă X deumtă caracterstcă factorală, deedetă (exogeă sau cauză) exerctă o aumtă flueţă asura ue alte caracterstc Y, deumtă caracterstcă rezultatvă, deedetă (edogeă sau efect). Î cadrul legăturlor statstce, ue valor a caracterstc factorale X î coresude o dstrbuţe de valor a caracterstc rezultatve Y, d cauză că asura caracterstc deedete Y exerctă flueţă ş alţ factor (caracterstc), care d uctul de vedere al legătur dtre X ş Y se cosderă îtâmlător. Secfc legăturlor statstce (socale, ecoomce etc.) este fatul că legtăţle ce acţoează î cadrul acestora u ot f verfcate etru fecare caz î arte, c uma la velul îtregulu asamblu. Legăturle statstce se ot clasfca duă ma multe crter. Dacă se a î cosderare o sgură caracterstcă factorală, care determă o sgură caracterstcă rezultatvă, celalţ factor fd cosderaţ rezdual, suem că avem o legătură smlă. Câd se au î studu ma mult de două caracterstc factorale suem că avem o legătură multlă.
2 8 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 De exemlu, dacă se studază deedeţa desfacer Y, de surafaţa comercală X, avem o legătură smlă, dacă se studază roftul ca fucţe de surafaţa comercală, mărmea stocurlor, valoarea desfacer etc., avem o legătură multlă. Duă drecţa legăturlor deosebm: a) legătur drecte, atuc câd la creşterea (descreşterea) valorlor caracterstc factorale î coresude creşterea (descreşterea) valorlor caracterstc rezultatve; b) legătur verse, atuc câd creşter (descreşter) valorlor ue caracterstc factorale î coresude descreşterea (creşterea) valorlor caracterstc rezultatve. De exemlu, ître volumul desfacer ş îcasărle resectve exstă o legătură drectă. Duă exresa aaltcă a legătur, deosebm legătur lare sau elare (arabolce, herbolce, exoeţale etc.). Duă tmul câd se roduce legătura, ot f legătur scroe (cocomtete) sau ascroe (cu decalaj). Studul ş aalza statstcă a legăturlor dtre feomee se face atât cu metode smle (elemetare), r care se verfcă exsteţa ş forma legătur dtre caracterstcle îregstrate, cât ş cu metode ma comlexe, utlzâd uele rezultate matematce d studul fucţlor, r care se măsoară testatea deedeţe statstce. 0.. Metode elemetare de caracterzare a legăturlor dtre varablele statstce Dtre metodele elemetare de cercetare a legăturlor statstce amtm: m ) metoda serlor statstce aralele m ) metoda gruărlor statstce m 3 ) metoda grafcă m 4 ) metoda tabelulu de corelaţe sau cotgeţă m 5 ) metoda aalze dsersoale. Metoda serlor statstce aralele rereztă u rocedeu smlu, ce costă î orgazarea î aralel a uor ser de date statstce, î ordea crescătoare sau descrescătoare a caracterstc factorale. Pr comararea serlor de valor astfel ordoate se oate stabl dacă exstă sau u aumte legătur ître ele, ş dacă da, care este drecţa acestora. Se ot comara î acest mod ser de dstrbuţe, croologce sau tertorale. Serle aralele se folosesc câd avem u umăr relatv mc de utăţ observate. Î cazul uu umăr ma mare de utăţ observate ş a ue varaţ de amltude mare se recurge la metoda gruărlor statstce. Metoda gruărlor îcearcă să surrdă asectele eseţale ale legăturlor dtre varablele statstce, duă ce utăţle colectvtăţ se gruează î fucţe de caracterstca factorală. Petru caracterstca rezultatvă se calculează dcator dervaţ (mărm relatve sau med) secfce fecăre grue.
3 0.. Metode elemetare de caracterzare a legăturlor dtre varablele statstce 9 Pr comararea varaţe caracterstc factorale cu cea a caracterstc rezultatve se ot aroxma: caracterul legătur, drecţa ş testatea e. Petru aalza legăturlor dtre feomee trebue să se obţă grue sufcete, etru a se desrde corect forma de terdeedeţă dtre caracterstcle luate î studu. Î geeral este dcat să se lucreze cu tervale de gruare egale etru fecare d caracterstcle mlcate î aalza de corelaţe. Metoda grafcă costă î costrurea grafculu de corelaţe (corelograme), e baza uu sstem de coordoate rectagular. Valorle caracterstc factorale X sau tervalele acestea se trec e abscsă, ar e ordoată se trec valorle caracterstc rezultatve Y sau tervalele acestea. Fecare utate observată, r valorle măsurate etru cele două caracterstc, va determa u uct de aceste coordoate e grafcul de corelaţe. Î fucţe de amltudea varaţe caracterstc factorale se stableşte scala de rerezetare e abscsă. Se recomadă, ca ş etru caracterstca rezultatvă Y, să se stablească acelaş umăr de dvzu al scăl. Metoda grafcă se ma umeşte ş metoda orlor de ucte ; ea stă la baza aleger fucţe aaltce î cazul regrese ş corelaţe. Corelograma dă osbltatea stablr atât a exsteţe legătur, a sesulu, a forme, a testăţ, cât ş a abseţe legătur. Fg.0..
4 30 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Î fg.0.. grafcul a) dcă abseţa ue legătur ître caracterstcle X ş Y, grafcul b) dcă o legătură drectă, ar grafcul c) dcă o legătură versă. 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă Să cosderăm o oulaţe statstcă P avâd u umăr ft de utăţ statstce (card(p) = ), etru care, î urma ue observăr statstce, s-au îregstrat etru caracterstcle X, Y erechle de valor dstcte (x, y j ),,, cu frecveţele absolute j,,,,. j defeşte umărul de utăţ statstce etru care s-a îregstrat măsurătoarea x coresuzător caracterstc X ş y j coresuzător caracterstc Y. Frecveţele absolute (efectve) j satsfac relaţa: (0..) Aalza tabelelor de cotgeţă, r utlzarea dstrbuţe cu două dmesu, surrde corelaţa care exstă ître varablele studate X ş Y, cât ş testatea deedeţe dtre acestea. Î urma îregstrăr smultae a măsurătorlor asura utăţlor oulaţe, duă cele două caracterstc, se obţe tabelul de codgetă de forma: X Y j = Tabelul 0.. y... y j... y j. x... j.... M M x... j.... M M x... j..... j.. j... (=) Î tabelul 0.. j. rereztă umărul utăţlor statstce etru care, coresuzător caracterstc X, s-a îregstrat modaltatea x, fără a ţe seama de valorle caracterstc (varable) Y.. j defeşte umărul utăţlor statstce etru care, coresuzător varable Y, s-a îregstrat modaltatea y, fără a lua î cosderare valorle îregstrate etru caracterstca X. Numerele (0...) j = card{u P: X(u)=x ; Y(u)=y j } d terorul tabelulu de corelaţe se ma umesc efectve arţale. Serle
5 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 3 x y (0..3) ; ;.., j, rereztă dstrbuţle utăţlor oulaţe statstce duă o sgură caracterstcă X, resectv Y, frecveţele lor se ma umesc efectve margale etru varabla X, resectv Y, =.. rerezetâd umărul de utăţ ale oulaţe se umeşte efectv total. Ître efectvele defte ma sus exstă relaţle: (0..4) j =., j =. j =. Efectvele de ma sus sut, de fat, frecveţe absolute e baza lor se ot costru frecveţele relatve coresuzătoare. j (0..5) fj =,.. care defesc oderea fecăre îregstrăr (x, y j ) î raort cu efectvul total. Frecveţele arţale raortate la efectvele margale se umesc frecveţe arţale codţoate: j* j* (0..6) f / j* = f =, =,, j* =, fxat.. j* j* f defeşte roorţa utăţlor care au valoarea varable X îcadrată î modaltatea x, î raort cu efectvul utăţlor care au î comu modaltatea y j etru varabla Y. Î mod aalog se defesc ş frecveţele arţale codţoate * *j (0..7) f j / * = f j =, j =,, * =, fxat. *. Pr raortarea efectvelor margale la efectvul total se obţ frecveţele relatve margale etru varabla X, resectv Y:.. j f. =, =, ; f. j =, j =,.... Ître frecveţele relatve defte ma sus se stablesc relaţle: (0..8) f j =, f. =., f. j = * j* (0..9) f. f j = fj, f. j f = fj
6 3 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Aalza tabelulu de cotgetă curde î rmul râd aalza dstrbuţlor margale coresuzătoare celor două caracterstc X, resectv Y. Fecare d acestea oate f aalzată ca o sere udmesoală. Astfel, etru sera de frecveţe: x x... x (0..0) X : se oate calcula meda oderată:. x (0..) x = = f. x. Ţâd seama de relaţa. = j, această valoare mede este dată de asemeea r: (0..) x = x j.. Petru aceeaş dstrbuţe margală coresuzătoare caracterstc X se obţe varaţa (dsersa): (0..3) V ( X ) =. =. ( x x) ( x x) Abaterea mede ătratcă σ(x) se calculează ca rădăcă ătrată d varată, (V(X)=σ (X)), dec avem: (0..4) σ ( X ) = V ( X ), ar coefcetul de varaţe exrmat î rocete este deft r : σ (X ) (0..5) C(X) % = 00 x Aceleaş caracterstc umerce ot f calculate etru dstrbuţa margală coresuzătoare caracterstc Y. Fe acum o modaltate fxată y j coresuzătoare caracterstc Y, utlzâd frecveţele absolute (efectvele) coloae lu y j ş valorle caracterstc X se defeşte sera udmesoală a caracterstc X codţoată de modaltatea y j a caracterstc Y: f.
7 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 33 x x... x (0..6) X : j, j =, j j... fxat j Coresuzător aceste dstrbuţ codţoate de varablă X î coresude: mede codţoată: xj xj (0..7) x j = = = xf / j*,.j etru fecare, fxat; varaţă codţoată: (0..8) V (X) = j j ( x x ) j j = j / j* =. j ( x x ) f, j, ; abatere stadard: (0..9) σ j ( X) = V j(x), j =, fxat; u coefcet de varaţe: (0..0) % σ j(x) C j (X) = 00, x j j =, fxat. Dacă se fxează o modaltate x a caracterstc X, atuc aceleaş caracterstc umerce ot f costrute etru dstrbuţle codţoate ale varable Y, de modaltăţle x,, fxat: (0..) y : y y... y.... Vom obţe: (0..) y = j = y. j, V ( Y ) = j = ( y y ) % σ (X) (0..3) σ (Y) = V (Y) C (Y) = 00. y. j
8 34 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Valorle umerce rezetate ateror caracterzează varablele statstce margale ş codţoate, ca ser udmesoale de varablă X, resectv Y, fără a stabl legătur ître aceste caracterstc. Pord de la fatul că ître efectvele acestor ser udmesoale exstă relaţle de legătură (0..4), vom arăta că acestea coduc la aumte relaţ de legătură ître aceste caracterstc umerce. Dacă etru fecare, asocem mede codţoate a varable X, x j dată de (0..7) frecveţa absolută margală.j obţem o ouă sere udmesoală. x (0..4) X = x... x Dacă etru această sere statstcă calculăm valoarea mede, atuc aceasta rereztă o mede a medlor codţoate ale varable X, cu oderle margale coresuzătoare acestea, ş care oate f terretată ca meda varable X, rezetată rtr-u tablou cu dublă trare. O otăm cu x ş avem: x j. j (0..5) x = = x j f. j.. Î mod asemăător se defeşte meda etru varabla Y. Avem: y. (0..6) y = = y f... j Varaţa sere (0..4) oartă umele de varaţa medlor codţoate etru varabla (caracterstca) X. Notăm cu V( x ) această varaţă ş avem: (6..7) j = ( x j x) j =. j. j j = j =. j. j ( ) V ( X ) = = x x j.
9 r: (6..8) 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 35 Abaterea stadard a medlor codţoate este σ( X )= ( X ) V. Î mod asemăător etru varabla Y varaţa medlor codţoate este dată V ( y j y) j =. j ( ).. ( Y ) = = y. y ar abaterea stadard a medlor codţoate este σ(y )= ( y) V. Dacă etru varabla X, dată r tabelul de covaraţă, cosderăm varaţa totală dată r: (0..9) V(X) = ( x x) f., ar meda varaţelor codţoate: (0..30) atuc ord de la relaţa: V j(x).j ( x x j) j V (x) = =,.j j ( x x j) + ( x x j) x x = se obţe relaţa (0..3) V (X) = V(x) + V(x), adcă varaţa totală a caracterstc X este suma dtre meda varaţelor dstrbuţlor codţoate ş varaţa medlor dstrbuţlor codţoate. Idcator calculaţ ma sus e baza datelor dtr-u tabel cu dublă trare au fost calculaţ e baza serlor uvarate obţute d tabel. Aalzâd smulta varaţa celor două caracterstc îregstrate îtr-u tabel cu dublă trare, ot f troduş alţ dcator statstc, dtre aceşta covaraţa măsoară testatea legătur dtre cele două varable. Exemlul. Să resuuem că etru două varable ecoomce (X,Y) datele îregstrate sut coţute î tabelul 0. cu dublă trare (bvarat).,
10 36 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 X Y Tabelul j Să se calculeze caracterstcle umerce (mede, dserse, varaţă, coefcet de varaţe) etru dstrbuţle margale ş codţoate duă varablele X ş Y. Petru varabla X avem dstrbuţa margală: X :, etru care se obţ dcator: valoarea mede x =65,8, varaţa V(X)=04,36, abaterea mede stadard σ(x)= V (X) =0, ş coefcetul de varaţe C(X)=6,6%. Hstograma d fg.0.. reztă dstrbuţa de frecveţe margale duă caracterstca X Fg.0.. Dstrbuţa de frecveţe margale duă varabla Y este: Y :,
11 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 37 etru aceasta se obţ dcator: valoarea mede y =77,8, varaţa V(X)=93,6, abaterea mede stadard σ(y)=9,65, coefcetul de varaţe C(Y)=,4% ş hstograma de frecveţe d fg Fg.0.3. Petru a calcula dcator meţoaţ etru dstrbuţle codţoate duă varabla X este utl să costrum u tabel de forma: Tabelul 0.3. Y X (x) x x x x 3 3 x 3 x 4 4 x 4 x Total Pe baza datelor d Tabelul 0.3 se obţ dcator dstrbuţlor de frecveţe 780 duă varabla X, codţoate de modaltăţle varable Y. Avem: x = = 56, V (X) = 56 = 64, σ I (X)=8 ş C (X)=5,%; 5 x =60,7, V (X)=6,8, σ (X)=7,89 ş C (X)=4,9%; x 3 =66,5, V 3 (X)=73,4, σ 3 (X)=8,57 ş C (X)=5,5%; x 4 =74,3, V 3 (X)=48,08, σ 4 (X)=6,93 ş C (X)=3,98%.
12 38 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Aalzâd coefcetul de varaţe observăm că dstrbuţa codţoată de modaltatea y =90 este cea ma omogeă. Î mod aalog se calculează dcator med ş a varaţe etru dstrbuţle de frecveţe codţoate duă varabla Y Covaraţă etru două varable statstce Î aragraful recedet, ord de la tabelul cu dublă trare etru două varable X, Y (tabelul 0.), folosd serle uvarate margale ş codţoate, au fost calculaţ dferţ dcator. Pe baza aceluaş tabel de cotgeţă ot f calculaţ dcator de aalză a varaţe smultae a celor două caracterstc X ş Y. Dtre aceşta vom rezeta mometele smle, mometele cetrate ş covaraţa. Petru u ş v umere aturale, coresuzător varablelor X ş Y se calculează e baza datelor d tabelul de cotgeţă mometele smle de ordul u ş v r relaţa: u v (0.3.) M u,v (X,Y) = x y j j Petru u= ş v=0 M,0 (X,Y)= x, ar etru u=0 ş v= M 0, (X,Y)= y. Mometele cetrate de ordul u ş v se calculează ca ş mometele smle etru varablele cetrate X- x ş Y- y, adcă avem relaţa: u v (0.3.) m u,v (X,Y) = x x y j y j Covaraţa ue varable bdmesoale (X,Y) se utlzează ca dcator termedar î măsurarea legătur lare dtre cele două varable X ş Y. Calculul covaraţe se face cu relaţa: (0.3.3) cov (X,Y) = ( x x) ( y j y) j, adcă cov (X,Y)=m, (X,Y). D (0.3.3) se obţe următoarea formulă echvaletă de calcul a covaraţe: (0.3.4) cov (X,Y) = xyjj x y = m, (X,Y) x y.
13 0.3. Covaraţă etru două varable statstce 39 D formulele de calcul a covaraţe rezultă următoarele roretăţ ale acestea: a) Covaraţa este u dcator smetrc, adcă are loc: cov (X,Y) = cov (Y,X). b) Covaraţa este o fucţe omogeă î ambele varable, adcă: cov (αx,βy) = αβ cov (X,Y) orcare ar f α,β 3. c) Dacă ua d varable este costată, atuc: cov (X,Y) = 0. d) Dacă X, X sut două varable deedete ş α,β două umere reale, atuc cov(αx +βx, Y) = α cov(x,y) + β cov(x Y) e) cov( X,Y) V(X)V(Y) Să rerezetăm grafc r ucte de coordoate (x, y ) valorle îregstrate etru varablele X, Y. Vom obţe u grafc (fg.0.4) ce se umeşte orul de ucte al varable bdmesoale (X,Y). fg.0.4. Puctele stuate î cadraele I ş III arată o legătură drectă ître cele două varable X ş Y, ar cele d cadraele II ş IV u î evdeţă o legătură drectă. Cu cât redomă uctele dsuse, î ua sau alta d cele două erech de cadrae, î lugul uea, resectv altea d cele două bsectoare, cu atât acea legătură este ma utercă. Îtrucât covaraţa u este u dcator ormalzat ş dede de utăţle de măsură e cele două axe, ea u se oate utlza drect etru arecerea testăţ
14 40 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 legătur, dar, ord de la covarată, se costrueşte coefcetul lar de corelaţe, ca dcator de măsură a testăţ legătur dtre două varable. Exemlul. Să se calculeze covaraţa etru varablele X, Y etru care datele îregstrate sut rezetate î tabelul 0.3 de cotgeţă (exemlul d.0..). Se va utlza formula (0.3.4), ar calculele ot f arajate ca î tabelul următor: Tabelul 0.4 X Y 4 4 (y ) x. x. y j j x y jj (x ) j y j.j y j.j x j j y x j Se obţe cov (X,Y)=58,76, ce arată că ître cele două varable exstă o legătură oztvă (drectă) Grafcul de corelaţe. Curba de regrese. Raortul de corelaţe Să resuuem că etru o sere bvarată (X,Y) s-au îregstrat culur de valor (x, y ),,. Dacă fecăre erech de valor (x, y ) se asocază u uct dtr-u la, raortat la u sstem de axe cartezee, atuc suem că s-a realzat rerezetarea grafcă a sere bvarate. Pozţoarea uctelor î la dă o mage a sere bvarate, î fucţe de care se oate stabl tutv gradul de dsersare a utăţlor, recum ş forma legătur dtre cele două varable. Grafcul astfel trasat oartă umele de grafc de corelaţe sau grafcul orulu de ucte. Petru a obţe o cocluze cât ma verdcă trebue ca umărul de valor îregstrate să fe sufcet de mare.
15 0.5. Metoda regrese 4 Exemlul. Să resuuem că varablele X ş Y rereztă cheltuelle de reclamă ş resectv volumul vâzărlor. Pe arcursul a 0 lu s-au îregstrat aceste cheltuel ş vâzăr, obţâdu-se astfel următoarele erech de valor (î aceleaş utăţ băeşt): (,; 0), (0,8; 9), (,00; 0), (,3; 0), (0,7; 90), (0,8; 8), (,0; 93), (0,6; 75), (0,9; 9), (,; 05). Folosd aceste date se obţe tutv legătura dtre cheltuelle de reclamă ş volumul vâzărlor r grafcul de corelaţe d fg.0.5. Fg.0.5. Se observă clar, de e grafc, că la o creştere a lu x coresude o creştere a lu y. Ma mult, lasâd o le dreată rtre aceste ucte, ea oate f folostă la o revzue asura evoluţe vâzărlor, coresuzătoare ue evoluţ a cheltuellor de reclamă. Curba de regrese asgură o stetzare, duă aumte regul de calcul, a orulu de ucte (grafcul de corelaţe) r marcarea î laul de rerezetare al orulu de ucte a grafculu ue fucţ aaltce. Petru aalza deedeţe statstce, dtre varablele X ş Y se costruesc două curbe de regrese: a) Curba de regrese a varable Y î fucţe de X se costrueşte e baza erechlor de umere (x, y ), ude y este meda dstrbuţe codţoate a varable Y etru modaltatea x. b) Curba de regrese a varable X î fucţe de Y se costrueşte e baza erechlor ( x j, y j ), ude x j este meda dstrbuţe codţoate a varable X etru modaltatea y j.
16 4 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Î cazul a) curba de regrese ueşte uctele (x, y ),,, ude y = yj j.. Î cazul b) curba de regrese ueşte uctele ( x j, y j ),,, ude x j = j x.. j Petru datele d Exemul curba de regrese F y/x (a lu Y î fucţe de X) ş F x/y (a lu X î fucţe de Y) ueşte uctele resectve d grafcul de corelaţe deoarece la fecare x coresude u sgur y j ş recroc,,,0. Petru datele d Exemlul,.0.. curbele de regrese F x/y ş F y/x au forma d fg.0.6. Fg.0.6. Dtre toate curbele de ajustare a evoluţe descrse de orul de ucte, cea ma buă aroxmare este asgurată de curba de regrese, F Y/X î sesul că, dacă ŷ =f(x) este o curbă de ajustare a orulu de ucte, atuc: fj j (0.4.) ( y ŷ ) este mm câd F Y/X =f(x). F X/Y se bucură de aceeaş roretate. Aalza terdeedeţe dtre feomeele ecoomce, socale etc. este deosebt de dfclă. Î secal, defrea coexu cauzale dtre feomeele ecoomce trebue făcută ţâd seama de codţle cocrete î care aar. Î geeral, r coexue cauzală îţelegem fatul că aarţa uu evemet A determă aarţa uu evemet B, evdet î aumte codţ, ş eaarţa evemetulu A atrage duă se eaarţa evemetulu B. Aalza coexu cauzale resuue î rmul râd o aalză caltatvă ş ao ua cattatvă, etru a măsura atât forma cât ş testatea legătur.
17 0.5. Metoda regrese 43 Duă testatea coexu cauzale dstgem: deedeţa totală sau lsa de legătur, legătur fucţoale sau totale ş legătur relatve sau statstce. Dacă etru varablele statstce X ş Y s-au îregstrat datele îtr-u tabel cu dublă trare, atuc caracterstca X este deedetă de Y dacă dstrbuţle codţoate ale varable X de modaltăţle varable Y sut detce ître ele ş de asemeea sut detce cu dstrbuţa margală duă varabla X. Coexuea statstcă este tul de legătură cel ma des îtâlt î studul feomeelor d domeul ecoomc ş socal. Partculartatea rcală a acestu t de legătură este că la o valoare dată a varable factorale X î coresude o dstrbuţe de valor ale caracterstc rezultatve Y. O deedeţă statstcă se reztă sub forma: (0.4.) f j = f(x ) + ε j, ude ε j rereztă comoeta aleatoare, care se datorează altor factor decât a varable X. Pe baza grafculu orulu de utere se determă curba de regrese. Forma legătur dtre cele două varable se determă tutv r modul de dsuere a uctelor î laul de rerezetare grafcă. Ca tur de legătur dstgem legătur lare ş elare. Cele elare ot f la râdul lor de dferte forme: arabolce, exoeţale etc. Î fg.0.7. a) ş b) rereztă o legătură lară drectă (oztvă), resectv versă (egatvă), c) ua arabolcă, ar d) ua exoeţală. Să revem asura relaţe (0..3) umtă egaltatea varaţelor (0.4.3) V (X) = V(x) + V(x) etru varabla X, îtr-u tabel cu dublă trare. Prmul terme, varaţa margală a caracterstc X, (0.4.4) V (X) = x x... este rezultatul tuturor factorlor, atât a factorulu de gruare cât ş a factorlor aleator. Ea măsoară dsersa globală a caracterstc X. Varaţa medlor dstrbuţlor codţoate: (0.4.5) V (x) = ( x j x).. rereztă dsersa medlor codţoate ale varable X, ea este varaţa care rezultă d gruarea alcată ş se umeşte varaţă exlcată r gruare..j
18 44 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Fg.0.7. Meda varaţelor codţoate (0.4.6) V (x) = Vj( X).j.. rereztă dsersa uctelor d orul de ucte î jurul curbe de regrese F X/Y. Ea se umeşte varaţă rezduală. Raortul de corelaţe (R ) rereztă u dcator ormalzat al arecer testăţ legătur dtre cele două varable ale tabelulu de cotgeţă. El se calculează duă relaţa: V(x) V(x) (0.4.7) R X / Y = =, V(x) V(x) etru exlcarea lu X î fucţe de Y ş duă relaţa: V(y) V(y) (0.4.8) R Y / X = =, V(y) V(y) etru exlcarea lu Y î fucţe de X.
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE
TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE Obectve Cuoaşterea metodelor umerce de descrere a datelor statstce Aalza rcalelor metode umerce etru descrerea datelor cattatve egruate Aalza
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. Obiectivele cursului
STATISTICĂ ECONOMICĂ INTRODUCERE Deschderea ş mobltatea metodelor statstce de vestgare a feomeelor ş roceselor, î coferă acestea u caracter geeral de cercetare a realtăţ. Acest fat stă la baza dfertelor
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραProf. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA
Metode ş procedee de ajustare a datelor pe baza serlor croologce utlzate î aalza tedţe dezvoltăr dfertelor dome de actvtate socal-ecoomcă Prof. uv. dr. Costat ANGHELACHE Uverstatea Artfex/ASE - Bucureșt
Διαβάστε περισσότεραSTATISTICĂ MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN
MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN STATISTICĂ STATISTICĂ CUPRINS Captolul NOŢIUNI INTRODUCTIVE... 5. Momete ale evoluţe statstc... 5. Obectul ş metoda statstc... 5.3 Noţu fudametale utlzate î statstcă...
Διαβάστε περισσότερα3. INDICATORII STATISTICI
3. INDICATORII STATISTICI 3.. Necestatea folosr dcatorlor statstc. Idcator statstc prmar. Idcator statstc dervaţ Am văzut că obectul de studu al statstc îl costtue feomeele ş procesele de masă. Acestea
Διαβάστε περισσότεραANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE
4. ANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE Feomeele de masă studate de statstcă se mafestă pr utăţle dvduale ale colectvtăţ cercetate care preztă o varabltate (împrăştere)
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραProductia (buc) Nr. Salariaţi Total 30
Î vederea aalze productvtăţ obţute î cadrul ue colectvtăţ de salaraţ formată d 50 de persoae, s-a extras u eşato format d de salaraţ. Datele refertoare la producţa zle precedete sut prezetate î tabelul
Διαβάστε περισσότεραElemente de teorie a informaţiei. 1. Câte ceva despre informaţie la modul subiectiv
Elemete de teore a formaţe. Câte ceva desre formaţe la modul subectv Î cele ce urmează vom face câteva cosderaţ legate de formaţe ş măsurare a e. Duă cum se cuoaşte formaţa se măsoară î bţ. De asemeea
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă. Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă Şef de Lucrăr Dr. Mădăla Văleau mvaleau@umfcluj.ro MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medaa, Modul, Meda geometrca, Meda armoca, Valoarea cetrala MĂSURI DE DE DISPERSIE Mm, Maxm,
Διαβάστε περισσότεραProprietatile descriptorilor statistici pentru serii univariate
Revsta Ioratca Ecooca, r. (3) / 000 67 Proretatle descrtorlor statstc etru ser uvarate Pro.dr. Vergl VOINEAGU, co.dr. Tudorel ANDREI Catedra de Statstca s Prevzue Ecooca, A.S.E. Bucurest Studerea uu eoe
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA
ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA Cursul CERMI Facultatatea Costruct de Mas www.cerm.utcluj.ro Cof.dr.g. Marus Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA STATISTICA DESCRIPTIVA Populate, Caracterstca dscreta, cotua
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă (contnuare) Şef de Lucrăr Dr. Mădălna Văleanu mvaleanu@umfcluj.ro VARIABILE CANTITATIVE MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medana, Modul, Meda geometrca, Meda armonca, Valoarea
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότεραProcese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραCURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate
Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilitatilor
Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza univariata a datelor
Aalza uvarata a datelor Chestu orgazatorce Nota: Exame fal (mart, 13 ma): 70% Proect semar: 30% Suport curs: Cătou I. (coord.), Băla C., Dăeţu T., Orza Gh., Popescu I., Vegheş C., Vrâceau D. "Cercetăr
Διαβάστε περισσότεραVII. STATISTICĂ 7.1. INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE Mărimile medii Media aritmetică
VII STATISTICĂ 7 INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE 7 Mărmle med Meda velurlor dvduale ale ue varable (caracterstc) statstce este epresa stetzăr îtr-u sgur vel reprezetatv a tot ceea ce este eseţal, tpc ş
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic
Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Biostatistica: trecere in revista a metodelor statistice clasice
Curs 3. Bostatstca: trecere revsta a metodelor statstce clasce Bblo: W.Ewes, G.R. Grat Statstcal methods boformatcs, Sprger, 005 Cap. -3, cap.5 Structura Teste de asocere (depedeță) Teste de cocordață
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE LABORATOR NR. 1 MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA
LUCRARE DE LABORATOR NR. MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA. OBIECTIVELE LUCRARII Isusrea uor otu refertoare la: - eror
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραStatistica matematica
Statstca matematca probleme de dfcultate redusa ) Dtr-o popula e ormal repartzat cu dspersa ecuoscut se face o selec e de volum. Itervalul de îcredere petru meda m a popula e cu dspersa ecuoscut s s este
Διαβάστε περισσότερα13. AMPLIFICATOARE LOGARITMICE
MPLIFICTORE LOGRITMICE Sut FI cu amlfcarea varablă autmat ş stataeu, astfel îcât ître semalul de trare ş cel de eşre să exste deedeţă lgartmcă (amlfcarea varază vers rrţal cu amltudea semalulu de trare)
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραNumere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραTema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE
Tea. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE. Eror de ăsură A ăsura o ăre X îseaă a copara acea ăre cu alta de aceeaş atură, [X], aleasă pr coveţe ca utate de ăsură. I ura aceste coparaţ se poate scre X=x[X]
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα1. Modelul de regresie
. Modelul de regrese.. Câteva cosderete de ord geeral La fel ca ş î multe alte dome, î domeul ecoomc ş î partcular î cel al afacerlor se îtâlesc deseor stuaţ care presupu luarea uor decz, care ecestă progoze
Διαβάστε περισσότερα2. MATERIALE SEMICONDUCTOARE
2. MATERIALE SEMICONDUCTOARE Materalele semcoductoare stau la baza realzăr de dsoztve electroce ş de crcute tegrate. Acestea se caracterzează r valor ale coductvtăţ electrce cursă î tervalul de valor σ=
Διαβάστε περισσότεραECONOMICĂ INTRODUCERE
STATISTICĂ ECONOMICĂ INTRODUCERE Deschderea ş mobltatea metodelor statstce de nvestgare a fenomenelor ş roceselor, î conferă acestea un caracter general de cercetare a realtăţ. Acest fat stă la baza dfertelor
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni de verificare a ipotezelor statistice
Noţu de verfcare a potezelor statstce Verfcarea potezelor statstce este legată de compararea dfertelor poteze asupra ue populaţ statstce (ş u asupra uu eşato) cu datele obţute pr îcercăr expermetale Dacă
Διαβάστε περισσότερα4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală.
4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE. 4.. Noţun teoretce ş rezultate fundamentale. 4... Dferenţabltatea funcţlor reale de o varablă reală. Multe robleme concrete conduc la evaluarea aromatvă a creşter
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα7. METODE TERMODINAMICE DE STUDIU
7. MEODE ERMODINAMICE DE UDIU Câd se vorbeşte desre metoda termodamcă de studu a feomeelor fzce, se are î vedere studul care se bazează e folosrea rmulu ş celu de-al dolea rcu al termodamc. Folosrea rclor
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPARTIŢII. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME. METODA MOMENTELOR.
Curs 6 OI ETOE E ETIARE A ARAETRILOR UNEI REARTIŢII. ETOA VEROIILITĂŢII AIE. ETOA OENTELOR.. Noţu troductve Î legătură cu evaluarea ş optzarea proceselor oraţoale apar ueroase problee de estare cu sut:
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότεραBILANT DE MATERIALE legii conservarii masei Gin = Gout consum specific Randamentul de produse finite pierderi de materiale Gin = Gout + Gp
BILANT DE MATERIALE Este o exrese a leg coservar mase sstemele chmce: greutatea G a materalelor care tra roces trebue sa e egala cu greutatea G a materalelor care es d roces: G = G Este ecesar etru a determa:
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE OPTIMIZARE. Lucrarea 8 1. SCOPUL LUCRĂRII 2. PREZENTAREA TEORETICĂ 2.1. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE 2.2. COEFICIENTUL DE CORELAŢIE
Lucrarea 8 METODE DE OPTIMIZARE. SCOPUL LUCRĂRII Prezetarea uor algort de optzare, pleetarea acestora îtr-u lbaj de vel îalt î partcular, C ş folosrea lor î rezolvarea uor problee de electrocă.. PREZENTAREA
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din București, Facultatea de Chimie, Specializarea: Chimie Medicală/Farmaceutică
Uverstatea d Bucureșt, Facultatea de Chme, Specalzarea: Chme Medcală/Farmaceutcă Statstcă & Iformatcă TEME ș aplcaț Laborator (M. Vlada, 07 Laborator Tema. Calcule statstce, fucț matematce ș statstce facltăț
Διαβάστε περισσότεραCURS 6 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ (continuare)
CURS 6 ERODIAICĂ ŞI FIZICĂ SAISICĂ (cotuare) 6.1 Prcpul II al termodamc Să e reamtm că prmul prcpu al termodamc a arătat posbltatea trasformăr lucrulu mecac, L, î căldură, Q, ş vers, fără a specfca î ce
Διαβάστε περισσότεραSub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:
Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Captolul 4 mplfcatoare elementare 4.. Etaje de amplfcare cu un tranzstor 4... Etajul sursa comuna L g m ( GS GS L // r ds ) m ( r ) g // L ds // r o L ds 4... Etajul drena comuna g g s m s m s m o g //
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότερα2. Conducţia electrică în solide. Purtători de sarcină
Catolul Coducta electrca solde.purtător de sarcă. Coducţa electrcă î solde. Purtător de sarcă.1 Itroducere Soldele sut substaţele care au volum costat ş formă rore. Soldele au o structură crstală formată
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραTeoria aşteptării- laborator
Teora aşteptăr- laborator Model de aşteptare cu u sgur server. Î tmpul zle la u ATM (automat bacar care permte retragerea de umerar s alte trazacţ bacare electroce) avem î mede 4 de cleţ pe oră, adcă.4
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic -III
STATISTICA Sodajul statstc -III tema 9 sapt.3-7 aprle 1 al.sac-mau www.amau.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studet/de.asp?tem=fsere&id=88 Dstrbuta ormala Dstrbuta ormala Cea ma mportata dstrbute cotua: umeroase
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα6. VARIABILE ALEATOARE
6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă
Uverstatea Spru Haret Facultatea de Stte Jurdce, Ecoome s Admstratve, Craova Programul de lceta: Cotabltate ş Iformatcă de Gestue Dscpla Matematc Ecoomce Ttular dscplă Cof uv dr Laura Ugureau SUBIECTE
Διαβάστε περισσότερα5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.
5. STRUCTURI D FILTR UMRIC 5. Realzarea ltrelor cu răspuns nt la mpuls (RFI) Fltrul caracterzat prn: ( z ) = - a z = 5.. Forma drectă - - yn= axn ( ) = Un ltru cu o asemenea structură este uneor numt ltru
Διαβάστε περισσότεραPRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE
Lucrarea r. PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE. GENERALITATI I electrotehcă ş electrocă terv umeroase mărm fzce ca: tesue, curet, rezsteţă, eerge, etc., care se caracterzează pr mărme ş pr aumte
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότερα