CURS 6 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ (continuare)

Transcript

1 CURS 6 ERODIAICĂ ŞI FIZICĂ SAISICĂ (cotuare) 6.1 Prcpul II al termodamc Să e reamtm că prmul prcpu al termodamc a arătat posbltatea trasformăr lucrulu mecac, L, î căldură, Q, ş vers, fără a specfca î ce codţ sut posble aceste trasformăr. El a arătat echvaleţa dtre L ş Q ş a trodus mărmea fzcă umtă eerge teră (U), care u varază î abseţa teracţulor cu medul exteror. Exstă îsă feomee care u pot f explcate cu ajutorul prcpulu I al termodamc. Astfel, prcpul I u oferă o explcaţe petru sesul de derulare a proceselor termodamce d atură, spre exemplu, petru faptul că deplasarea căldur se produce îtotdeaua de la u obect cald spre uul rece sau că îtr-u gaz se produce u flux de molecule dspre zoa cu destate mare de molecule spre aceea cu o destate mca de molecule. Explcaţa acestor feomee este furzată de prcpul II al termodamc care dcă sesul î care se desfăşoară procesele d atură. Petru a euţa prcpul II al termodamc, Clausus a trodus oţuea de etrope, S, deftă cu ajutorul relaţe Q ds (6.1) ude otaţa Q e atetoează că varaţa cattăţ de căldura u este o dfereţală totală. Prcpulu al dolea al termodamc afrmă că procesele termodamce se desfăşoară î mod atural (fără terveţe exteroară) astfel ca Q J ds (6.) K adcă evoluţa aturală a uu sstem termodamc spre starea sa de echlbru este îsoţtă de o creştere de etrope. Î relaţa (6.1) semul egal se referă la procese reversble, ar semul egaltăţ la procese reversble. Deoarece etropa este o mărme de stare, varaţa sa u depde de drumul parcurs, c uma de starea ţală ş starea fală a sstemulu astfel că d (6.) rezultă S S S 1 1 Q Procesele reale, reversble, se desfăşoară î sesul creşter etrope, adcă (6.3) S = S S 0 (6.4) 1 Prcpulu II al termodamc se regăseşte ş sub alte formulăr: Formularea dată de S. Carot O maşă termcă u poate produce î mod cotuu lucru mecac, decât dacă agetul termc schmbă căldură cu două surse de căldură, cu temperatur dferte. Această formulare afrmă mposbltatea trasformăr tegrale a căldur î lucru mecac. Îtr-adevăr, cuoaştem faptul că îtr-o maşă termcă, căldura u se poate

2 trasforma tegral î lucru mecac, ar aprecerea, d acest puct de vedere, se face cu ajutorul radametulu termc. Formularea dată de R. Clausus Căldura u poate trece de la se (î mod atural) de la u corp cu temperatură scăzută la u corp cu temperatură ma rdcată. Acest euţ u exclude posbltatea trecer căldur de la u corp rece la u corp cald, dar atuc procesul se produce î urma ue terveţ exteroare (u cosum de lucru mecac d exteror, aşa cum se îtâmplă î cazul cazul pompelor de căldură ş al stalaţlor frgorfce). Formularea dată de W. homso (lord Kelv) U perpetuum moble de speţa a II-a este mposbl. Prcpul II al termodamc costtue ua d cele ma mportate leg ce guverează fzca sstemelor macroscopce. Î cazul gazelor deale, etropa se defeşte pr relaţa D ecuaţa de stare a gazelor deale, etrope deve Itegrâd relaţa (6.6) obţem Q du L CV d pdv ds CV p pv R, rezultă că S d p dv (6.5) R, astfel că varaţa V d dv ds CV R (6.6) V d dv S1 CV R CV l R l (6.7) V 1 V1 Prtr-u raţoamet aalog se poate demostra relaţa V sau Î geeral etropa se poate scre ude C = căldura molară poltropă. S p S S c p R l 1 l (6.8) 1 p1 Q cd ds (6.9) S1 C l C l (6.10) rasformăr poltrope rasformarea poltropă este trasformarea î care căldura specfcă a sstemul termodamc rămae costată. O asemeea trasformare este descrsă de formula pv cost. (6.11) ude χ = expoet poltropc care se defeşte

3 C C p (6.1) C CV ude C = căldura molară, c v = căldura molară la volum costat, ar C p = căldura molară la presue costată. Relaţa (6.1) se umeşte formula lu Posso. Fe o trasformare poltropă î care, coform defţe, căldura molară a sstemulu este costata Q C cost. (6.13) vd ude m = masa sstemulu termodamc. Dacă î expresa prcpulu I al termodamc îlocum cattatea de căldura folosd relaţa (6.13) obţem sau d Cd pdv (6.14) C v ( C Cv ) d pdv (6.15) Dfereţd ecuaţa de stare a gazulu perfect obţem dpv pdv Rd (6.16) Elmăm temperatura ître relaţle (6.15) s (6.16) s obţem ( C Cv )( pdv Vdp) RpdV (6.17) sau ( C Cv ) pdv ( C Cv R) Vdp 0 (6.18) sau ( C Cv ) pdv ( C C p ) Vdp 0 (6.19) Relaţa (6.19) este o ecuaţe dfereţală cu varable separable. Separâd varablele ecuaţe vom avea dv dp 0 V p (6.0) Itegrâd ecuaţa (6.0) se obţe formula (6.11) a trasformărlor poltrope. rasformărle smple ale gazulu deal sut cazur partculare ale trasformăr poltrope. Aceasta se observă dâd aumte valor partculare costate χ: =0 trasformare zobară ( p cost. ); - trasformare zocoră (V=cost.); =1 trasformare zotermă ( cost. ); = - trasformare adabată ( dq 0 ). 6.3 Prcpul III al termodamc Prcpul al III-lea al termodamc, formulat de cãtre erst, se referă la comportarea sstemelor termodamce î vecătatea temperatur de zero absolut, făcâd uele predcţ asupra valorlor pe care etropa le poate avea î acest domeu. Prcpul III al termodamc - Câd temperatura 0K, etropa tde către o valoare ftă, costată, depedetă de parametr de pozţe, starea de agregare sau alte

4 caracterstc ale sstemulu. Costatărle expermetale au arătat că petru sstemele omogee, pure, aflate î stare de echlbru termodamc, avem lm S 0 0 (6.1) Pe baza uor cosderete de mecacă statstcă Plack a demostrat că la temperatura de zero absolut etropa sstemelor omogee are valoarea zero, ceea ce a dus la afrmaţa: etropa ue substaţe se aulează la zero absolut. Prcpul al trelea al termodamc poate f legată de următorul prcpu feomeologc cosderat echvalet cu prcpul III: c u sstem u poate f rãct pâă la temperatura de zero absolut. Afrmaţa poate f demostrată pr reducere la absurd. Astfel, presupuem că u sstem poate f răct la temperatura de zero absolut. Fe cclul Carot d fg.5.1 î care cosderăm 0 =0K. Screm formula prcpulu II al termodamc (6.) petru o trasformare reversblă Petru trasformărle adabatce ale cclulu avem S = S 1 + S 3 + S 34 + S 41 = 0 (6.) ceea ce face ca relaţa (6.) să devă S 3 = S 41 = 0 (6.3) S = S 1 + S 34 = 0 (6.4) Observăm îsă că relaţa obţută este falsă deoarece cattatea S 1 este ua ftă î tmp ce S 34 este ua ftă (d cauza că 0 0K), astfel îcât fd aduate u se vor putea aula. Aceasta îseama că presupuerea pe baza cărea am îceput demostraţa este ua falsă, adcă tocma ceea ce era de demostrat. Aceasta observaţe refertoare la mposbltatea atger temperatur de zero absolut pr vreu mjloc oarecare costtue o cosecţă extrem de mportată a prcpulu al III-lea al termodamc. 6.4 Elemete de fzcă statstcă Ître parametr macroscopc a termodamc feomeologce ş ce mcroscopc exstă aumte relaţ astfel că detfcarea ue stăr mcroscopce duce la detfcarea stăr macroscopce geerate de acea stare mcroscopcă. Recproca u este adevărată deoarece exstă u mare umăr de stăr mcroscopce corespuzătoare aceleaş stăr macroscopce. Studul sstemelor alcătute dtr-u umăr mare de partcule arată că acestea sut guverate de leg statstce, dferte de legle ce descru comportărle dvduale ale partculelor pe baza leglor mecac clasce. ărmle macroscopce asocate sstemelor termodamce rezultă d mederea efectelor produse de mărmle mcroscopce corespuzătoare partculelor compoete. ărmle mcroscopce suferă abater faţă de valoarle med - suferă fluctuaţ. Problema determăr ue stăr macroscopce reve la localzarea stăr mcroscopce î spaţul fazelor. Localzarea cu precze a ue stăr mcroscopce u este posblă ş c ecesară deoarece exstă ş alte faze corespuzătoare aceleaş stăr

5 macroscopce. Este sufcetă î schmb cuoaşterea dstrbuţe puctelor care repreztă stărle mcroscopce. Petru aceasta apelăm la cosderaţ de teora probabltăţlor sau cosderaţ statstce. Petru a troduce elemetele de teora probabltăţlor aplcate la feomee fzce (elemete de fzcă statstcă), vom aalza cazul uu sstem termodamc cocret, acela al moleculelor gazulu atmosferc. Cuoaştem că î mşcarea lor dezordoată, moleculele uu gaz se dstrbue uform î volumul uu vas astfel că, î mede, utatea de volum coţe acelaş umăr de molecule. Î starea de echlbru, presuea ş temperatura preztă aceleaş valor î îtreg volumul. Aceste afrmaţ sut valable doar atâta vreme cât moleculele gazulu u sut supuse acţu uor forţe exteroare care să le modfce repartţa î domeul cosderat. Î realtate, îtotdeaua, asupra moleculelor gazulu acţoează forţa gravtaţoală. Dacă u ar exsta agtaţa termcă, moleculele de aer ar cădea pe Pămât sub acţuea atracţe gravtaţoale, ar î abseţa atracţe gravtaţoale toate moleculele ar evada î spaţu ca efect al agtaţe termce. Acţuea smultaă a agtaţe termce ş atracţe gravtaţoale împedcă atât căderea moleculelor pe Pămât cât ş răspâdrea lor î Uvers determâd stablrea ue dstrbuţ moleculare pe o aumtă dstaţă î jurul Pămâtulu. e propuem să determăm legea care guverează această dstrbuţe. Fe o coloaă de aer (vez fg.6.1). otăm cu p 0 presuea atmosfercă la suprafaţa Pămâtulu ( la z=0) s cu p presuea atmosfercă la alttudea. La o varaţe a alttud cu dz presuea varază cu dp. Cattatea dp măsoară dfereţa presulor coloaelor de aer avâd arle bazelor egale cu utatea ş îălţmle z+dz ş z. Cu acestea avem dp gdz (6.5) ude ρ = destatea aerulu, ar g = acceleraţa gravtaţoală. Ac semul mus este mpus de faptul că varaţa dp este egatvă. Dacă m este masa ue molecule ar este cocetraţa acestora m (6.6) Alttude z dz p(z+dz)=p+dp p(z) Pămât Fg.6.1 Dstrbuţa moleculelor î atmosferă Cosderâd ecuaţa de stare a gazelor deale sub forma p=k b exprmăm destatea mp (6.7) kb Cu aceasta relaţa (6.5) deve

6 dp k B pdz (6.8) dp dz p k B Cosderâd că temperatura este aceeaş la orce alttude (presupuere ce este adevărată uma petru varaţ relatv reduse ale alttud) se obţe pr tegrare l p z l C (6.9) k B ude lc repreztă costata de tegrare. Astfel, rezultă p z k B Ce (6.30) ude costata C se determă mpuâd codţa că la z=0 presuea să fe p 0. Astfel, se obţe formula barometrcă z kb p p 0 e (6.31) care repreztă legea varaţe presu cu alttudea. Cu ajutorul ecuaţe de stare a gazelor deale sub forma p kb, d (6.31) obţem varaţa destăţ moleculelor cu alttudea z kb 0 e (6.3) Formulele (6.31, 6.3) descru aproxmatv depedeţa presu atmosferce ş a cocetraţe moleculelor de alttude deoarece demostrarea lor s-a bazat pe uele aproxmăr. Astfel, deoarece cotrar presupuer oastre, temperatura varază cu alttudea, ecuaţle ateroare sut corecte uma petru dfereţe de alttude relatv mc petru care modfcarea temperatur u este semfcatvă. De asemeea, aceste calcule s-au bazat pe presupuerea că acceleraţa gravtaţoale u depde de alttude, avâd valoarea costată. Această presupuere este ş ea valablă uma petru dfereţe de alttude relatv mc. Petru dfereţe ma mar de alttude trebue să se ţă seama că acceleraţa gravtaţoală varază cu alttudea coform leg g( r) k (6.33) ( R h) 11 m ude k este costata atracţe uversale, = masa Pămâtulu, ar R kg = raza mede a Pămâtulu. Formula barometrcă coţe la umărătorul argumetulu expoeţale expresa z a eerge poteţale a molecule aflate la îălţmea z. Se poate afrma că formula barometrcă exprmă cocetraţa de molecule a căror eerge poteţală este U z. u exstă c u motv petru care am putea crede că s-ar obţe o altă lege de varaţe a

7 cocetraţe de molecule de aer cu alttudea dacă î locul greutăţ moleculelor am cosdera o altă forţă ce acţoează asupra acestora. Dacă gazul se află îtr-u câmp de forţe oarecare astfel că partculele sale să dobâdească o eerge poteţală U, dstrbuţa moleculelor va f exprmată de formula lu Boltzma U kb 0 e (6.34) Relaţa (6.34) arată că, cocetraţ de molecule depde atât de valoarea eerge poteţale U a moleculelor cât ş de temperatura acestora. Î vrtutea aceste leg de dstrbuţe observăm că umărul moleculelor pe utate de volum,, va scădea cu creşterea eerge poteţale a moleculelor, respectv cu scăderea temperatur. Itroducem acum oţule fudametale de fzcă statstcă. Astfel, îţelegem pr evemet aleatoru, E, acel evemet ale căru codţ de realzare î cadrul uu raţoamet partcular u sut cuoscute ş u pot f prevăzute fd cu totul îtâmplătoare. Presupuem că realzăm u expermet costâd î arucarea uu zar. Fecare arucare se poate solda cu u rezultat costâd d aparţa aleatoare a uu umăr de pucte ître 1 s 6 (fg.6.). Fg.6. Expermetul arucăr zarulu valor posble. Observăm că u putem să prevedem rezultatul care va apărea la o arucare. Î toată această certtude exstă totuş ş o aumtă regulartate: dacă se repetă extragerea de u umăr foarte mare de or, umărul de extrager î care s-au obţut fecare dtre cele şase valor posble tde spre valor egale. Cu alte cuvte putem spue că probabltăţle de realzare a celor 6 evemete posble (aparţa uu aumt rezultat) dev egale atuc câd umărul de expermete este foarte mare (tde spre ft). Fe acum cazul uu expermet ude o mărme fzcă poate lua u şr dscret de valor posble 1,,...,,...,. Derulăm expermetul ş măsurăm de or valoarea mărm fzce. Descrerea rezultatelor expermetulu o putem face cu ajutorul tabelulu 1. abel 1 abel stetc ce descre u expermet costâd d îcercăr (măsurător). Valor posble ale mărm fzce umar de cazur favorable evemetulu Probabltate de aparţe a valorlor posble w 1 w w 3... w Evemetul E 1 E E 3... E Pe baza acestu tabel se defesc oţule fudametale specfce aalze făcute cu ajutorul fzc statstce petru expermetul cosderat. Astfel, se defeşte frecveţa evemetulu, w, ca fd raportul umărulu de cazur favorable realzăr evemetulu ( ) ş umărul total al cazurlor posble (, cosderâd că toate evemetele sut echprobable

8 w (6.35) 1 Petru expermetul dscutat, costâd î arucarea uu zar, rezultă că w, ude 6 =1,,..., 6. Dacă umărul cazurlor posble (umărul expermetelor sau al măsurătorlor realzate este foarte mare),, se defeşte probabltatea uu evemet, P, pr care se îţelege lmta spre care tde raportul ître umărul de evemete realzate ş umărul total de evemete (cercăr, expermete) câd acesta d urmă tde la ft P lm (6.36) Fe u alt exemplu care e va permte să euţăm o teoremă fudametală a calcululu probabltăţlor. Presupuem că îtr-o cute se găsesc 0 de ble, 5 dtre acestea sut albe, ar restul sut egre. Probabltatea de a extrage o blă de culoare albă (dferet 5 15 care d cele 5) este, ar probabltatea de a extrage o blă eagră va f de Probabltatea ca la o extragere să extragem o blă eagră sau ua albă va f =1, adcă u asemeea evemet se va produce cu certtude. Astfel, se observă că dacă umărul de evemete asocate uu expermet (spre exemplu, umărul de măsurator efectuate asupra ue mărm fzce ) este =, atuc w 1 sau (petru cazul uu umăr mare de evemete realzate) P 1. 1 Dacă u evemet este compus d reurea ma multor evemete depedete, probabltatea sa se calculează ţâd cot de teorema îsumăr probabltăţlor care afrmă că dacă w 1, w, w 3, etc. sut probabltăţle ma multor evemete compatble, probabltatea de realzare a uua dtre ele este egală cu suma probabltăţlor tuturor acestor evemete. Suma probabltăţlor de realzare a evemetelor asocate uu expermet este egal cu 1, adcă cu certtudea. Fe u evemet compus costâd î realzarea smultaă a două sau ma multor evemete depedete (evemetele depedete sut acele evemetele î care probabltatea de realzare a uea dtre ele u depde de realzarea sau de erealzarea celorlalte). Probabltatea acestu evemet se calculează cu ajutorul teoreme produsulu probabltăţlor care afrmă că probabltatea de realzare cocomtetă a două sau ma multor evemete depedete este egală cu produsul probabltăţlor fecărua dtre evemetele luate separat. Să presupuem că dorm să determăm valoarea ue mărm fzce ş petru aceasta efectuăm u umăr de măsurător asupra mărm respectve. Rezultatul măsurătorlor a evdeţat valoarea 1 î 1 cazur, valoarea î dtre cazur, etc. Pr defţe, valoarea mede a mărm va f (6.37)

9 ude am avut î vedere că. Cum repreztă raportul dtre umărul realzărlor ş umărul cazurlor posble, ş el defeşte probabltatea P de a obţe valoarea la o măsurătoare putem scre P P P3 3 P P (6.38) Relaţa (6.38) arată că valoarea mede a mărm este egală cu suma produselor dtre valorle posble ale mărm,, ş probabltăţle asocate acestor valor, P. Să cosderăm acum cazul ue mărm fzce (x) ale căre valor posble aparţ u uu şr dscret c uu domeu cotuu, care, spre exemplu, este cuprs ître valorle x 0 ş x f. Problema poate f redusă la cazul precedet pr împărţrea tervalulu x 0 - x f î tervale de lăţme ft mcă, dx. I acest caz vom avea u umăr foarte mare de valor posble ale mărm fzce otate, otate cu (x), probabltăţle lor de aparţe fd dp(x), ar evemetele corespuzâd aparţe ue aumte valor fd E(x). Acest raţoamet e permte să adaptăm formulele mportate obţute petru cazul mărmlor fzce cu valor posble aparţâd uu şr dscret (spre exemplu, (6.38)) la cazul mărmlor fzce cu valor posble aparţâd uu terval cotuu. Astfel (6.38) deve 0 ( x) dp (6.39) este Să observăm faptul că suma probabltăţlor valorlor posble ale uu evemet x f x0 dp( x) 1 (6.40) relaţe ce se umeşte codţa de ormare. Î cele ce urmează vom dscuta oţuea de dstrbuţe statstcă. Petru aceasta vom cosdera câteva exemple sugestve. Dacă, de exemplu, dorm să descrem dstrbuţa populaţe ue ţăr după vârsta persoaelor ce o compu, demersul este lpst de ses deoarece umărul varatelor de vârstă este ft î tmp ce umărul dvzlor este ft. u se poate stabl decât umărul probabl al persoaelor a căror vârstă se plasează î terorul uu aumt terval de valor. Îtr-adevăr, câd se afrmă despre o persoaă că are 18 a u se urmăreşte să se îţeleagă că persoaa are 18 a, zero lu, zero zle, zero mute ş zero secude c că vârsta acele persoae este cuprsă ître 18 a ş 19 a. Este teresată terpretarea formule barometrce, respectv a leg lu Boltzma pr prsma teore probabltăţlor. Petru aceasta e propuem să aflăm care este umărul de molecule d, d umărul total de molecule studate, care se află la îălţmea z+dz. Evdet că acest d este proporţoal cu dz ş cu, adcă sau d, dz (6.41)

10 d= a dz (6.4) ude a = coefcet de proporţoaltate. De fapt a este o fucţe de dstrbuţe a moleculelor după îălţme, f(z), astfel că relaţa (6.4) deve d= f(z) dz (6.43) Să observăm că raportul d dp f ( z) dz (6.44) repreztă fracţuea de molecule care sut plasate la îăltmea z îtr-u strat de grosme dz, dar, î acelaş tmp repreztă ş probabltatea ca o moleculă d cele ale sstemulu studat să fe plasată la îălţmea z (sau, cu alte cuvte, să abă eerga poteţală U=z). Î acest cotext, observăm că fucţa de dstrbuţe f (z) exprmată d (6.44) sub forma d dp f ( z) 1 (6.45) dz dz repreztă fracţuea d umărul total de molecule plasate la îălţmea z îtr-u terval de valor egal cu utatea, î jurul valor z, sau repreztă probabltatea de prezeţă a orcăre molecule î elemetul de terval egal cu utatea î jurul valor z a îălţm. Să observăm că folosd relaţa lu Boltzma (6.3) putem exprma umărul de molecule de aer d stratul de grosme dz aflat la îălţmea z z d dz 0 e dz (6.46) Dorm să elmăm d (6.46) cocetraţa moleculelor de la sol, 0, ş să o îlocum cu umărul total de molecule coţute î coloaa atmosfercă ftă cu secţuea egală cu utatea,. Petru aceasta observăm că se obţe îsumâd umerele de molecule d corespuzătoare tuturor straturlor dz î care am împărţt atmosfera terestră adcă calculâd tegrala z d. dz 0e dz 0 (6.47) de ude Cu aceasta relaţa (6.46) deve (6.48) z d e dz (6.49)

11 Pr compararea relaţlor (6.43) ş (6.49) putem detfca expresa fucţe de dstrbuţe a moleculelor de gaz î raport cu îălţmea z (sau cu valoarea eerge poteţale U) z z U f ( z) e Ce Ce (6.50) umtă fucţa de dstrbuţe Boltzma. Fucţa de dstrbuţe petru u sstem termodamc este u elemet fudametal petru studerea sstemulu. Astfel, cuoscâd fucţa de dstrbuţe putem calcula valoarea mede a orcăre mărm fzce caracterstce sstemulu (folosd relaţa (6.39)) precum ş probabltatea uu evemet caracterstc sstemulu (folosd relaţa (6.45)). Reamtm faptul că, aşa cum am arătat ateror (6.44), fucţa de dstrbuţe Boltzma (ca orcare altă fucţe de dstrbuţe) trebue să satsfacă codţa de ormare 0 f ( z) dz 1 (6.51) care exprmă faptul că dacă partcula sstemulu termodamc studat exstă, ea va f cu sguraţă localzată udeva î Uvers, î tervalul de alttude de la zero la ft. Deoarece U z repreztă eerga poteţală a partcule î câmpul gravtaţoal presupus uform, atuc relaţa (6.44) se poate scre dp e U dz 1 e U du (6.5) ceea ce repreztă probabltatea ca o moleculă oarecare a sstemulu termodamc studat să abă eerga poteţală gravtaţoală cuprsă î tervalul (U, U+dU). Cuoscâd curba de dstrbuţe a uu aume tp de evemete îtâmplătoare legate de sstemul termodamc studat, se poate prezce umărul de evemete îtr-u aumt tervalul valorlor posble ale cattăţ îtâmplătoare. Sublem faptul că, cu cât umărul total de evemete este ma mare, cu atât predcţa este ma precsă. Î sstemele cu u mare umăr de molecule îtr-u volum de matere foarte mc, toate presupuerle statstce despre comportametul moleculelor sut făcute cu o acurateţe mare. 6.5 Dstrbuţa moleculelor după vteză Î cele ce urmează vom studa dstrbuţa moleculelor uu gaz î fucţe de vteza lor. Astfel, dorm să stablm probabltatea ca vteza ue molecule oarecare să satsfacă smulta codţle - compoeta v x a vteze să se plaseze î tervalul v x, v x +dv x ; - compoeta v y a vteze să se plaseze î tervalul v y, v y +dv y ; - compoeta v z a vteze să aparţă tervalulu v z, v z +dv z. Valorle compoetelor v x, v y, v z sut depedete, astfel că probabltatea ca vteza molecule să satsfacă smulta aceste tre codţ repreztă probabltatea uu evemet compus d tre evemete depedete ş va f egală, aşa cum s-a arătat î paragraful ateror, cu produsul probabltăţlor acestor evemete. Fe probabltăţle celor tre evemete meţoate descrse de relaţle

12 dp dp x y f ( v ) dv dpz f ( vz ) dvz Probabltatea ca vteza ue molecule d volum să abă smulta compoetele î v x, vx dv x, v y, v y dv y, v z, v z dv z va f egală cu produsul dpx dpy dpz 3 mv x vy vz m kb dp dpx dpy dp e dvxdv ydvz k B (6.54) x y x f ( v ) dv tervalul 3 mv kb y (6.53) m dp e dvxdv ydvz k B umtă legea lu axwell a dstrbuţe moleculelor după modulul vtezelor. Îtr-u spaţu al vtezelor, î care coordoatele sut compoetele vteze, mărmea dp repreztă probabltatea ca o moleculă oarecare să abă varful vectorulu vteză îtr-u elemet ftezmal de volum dv x,dv y,dv z, aflat î vecătatea puctulu de coordoate (v x, v y, v z ). Caracterul haotc al agtaţe termce face ca drecţa vteze să fe lpstă de relevaţă, toate drecţle fd egal probable. Este dec ma utl să calculăm umărul de partcule care au mărmea modululu vteze cuprsă î tervalul v ş v+dv, dferet de oretarea vteze acestora. Elemetul de volum d spaţul modululu vtezelor va f u strat sferc cu raza cuprsă ître v ş v+dv, avâd valoarea 4 v dv, astfel că de ude rezultă că dp d 3 mv m kb 4 e v dv k B (6.55) 3 mv m kb d 4 e v dv k B (6.56) Expresa fucţe de dstrbuţe va f 3 mv m kb e (6.57) 1 d f ( v) 4 v dv k B Aceasta este fucţa de dstrbuţe a lu axwell. Ea trebue să verfce codţa de d ormare. Î expresa (6.57) raportul repreztă cocetraţa de molecule a căror vteze se plasează î tervalul v, v dv. Î fgura 6.3 am reprezetat dstrbuţa vtezelor moleculelor, adcă curba f f (v). Petru v 0 ş v umărul de molecule tde să fe egal cu zero.

13 f Fg.6.3 Fucţa de dstrbuţa a vteze moleculelor După cum se poate observa î fg.6., curba f f (v) are u maxm a căru localzare o vom determa mpuâd codţa ca dervata fucţe î raport cu vteza să se auleze mv d d e v 0 (6.58) dv dv de ude se obţe v (6.59) m Relaţa (6.59) e dă valoarea vteze petru care fucţa de dstrbuţe deve maxmă, dec vteza majortăţ moleculelor d sstem. Această vteză este umtă vteza cea ma probablă a moleculelor uu gaz. Vteza mede a moleculelor gazulu se obţe cu relaţa 3 v vmede v (6.60) m ş este ma mare decât vteza cea ma probablă a moleculelor (vez fg.6.3). umărul de molecule cu vteze apropate de v este de 1,1 or ma mare decât umărul de molecule cu vteze apropate de v; de 1,9 or ma mare decât al moleculelor cu vteze apropate de 0.5v ş de 5 or ma mare decât cel al moleculelor cu vteze apropate de v. Eerga cetcă E a ue molecule este c v max mv E c (6.61) Pr dfereţerea aceste expres se obţe de c mvdv (6.6) astfel că relaţa (6.54) se poate scre Ec kb dp cost. e E de (6.63) Aceasta relaţe repreztă probabltatea ca partcula să abă eerga cetcă cuprsă î tervalul Ec, Ec dec. Să otăm faptul că la deducerea formule lu axwell refertoare la dstrbuţa moleculelor după modulul vteze u s-a ţut seama de cocrle dtre molecule. Or v v m c v c

14 tocma cocrle ître molecule guverează forma fucţe de dstrbuţe f (v). Astfel, să presupuem că gazul se află ţal îtr-o stare î care moleculele au vteze egale î modul. Cocrle dtre molecule vor scoate gazul d această stare ş valorle modulelor vtezelor u vor ma f egale. Ca rezultat al ue cocr, ua d cele două molecule ce se cocesc va dobâd o vteză ma mare, ar cealaltă se va mşca ma let. Astfel vor decurge evemetele pâă la stablrea ue stăr de echlbru î care moleculele vor dobâd vteze dferte dstrbute î modul coform relaţe (6.63). Î cocluze, î starea de echlbru la o temperatură dată a gazulu, mşcarea moleculelor este absolut haotcă ar vtezele moleculelor sut coform dstrbuţe axwell. emperatura este stabltă de eerga cetcă mede a mşcărlor dezordoate ş u de mşcarea drjată a moleculelor dferet de drecţa acestora. Astfel, vâturle cele ma volete pot f calde sau pot f rec depzâd u de voleţa lor caracterzată de vteza mare a mşcăr drjate, c de mşcărle dezordoate ale moleculelor atreate î mşcarea drjată. Aalog se poate obte fucţa de dstrbuţe a partculelor după eerga lor totală, E c +E p, umtă fucţa de dstrbuţa axwell - Boltzma.