Mbledhja: Rregullat e mbledhjes binare pёrmblidhen nё tabelёn 1:

Transcript

1 1. Sistemet Numerike Sistem numerik ёshtё ai sistem ku informacioni paraqitet me anё tё njё madhёsie fizike qё mund tё marrё vetёm vlera diskrete. Secila nga kёto vlera mund tё konsiderohet si njё numёr (shifёr). Qё kёtej rrjedh dhe emёrtimi. E kundёrta ndodh nё sistemet analoge, ku madhёsia fizike qё paraqet informacionin ndryshon nё mёnyrё tё vazhdueshme. Madhёsitё fizike qё paraqesin informacionin mund tё kenё natyrё tё ndryshme. Ne sistemet me tё cilёt do tё merremi, kёto madhёsi kanё natyre elektrike (tension, rrymё). Aktualisht madhёsia fizike tё sistemet numerike mund tё marre vetёm dy vlera. Kemi tё bёjmё pra me sisteme binare. Kohёt e fundit sistemet numerike janё pёrhapur shumё. Kjo shpjegohet me lehtёsinё dhe mёnyrёn sistematike nё projektimin e sistemeve numerike me mundёsinё e realizimit dhe pёrdorimit tё qarqeve elektronike tё integruar shumё komplekse, me saktёsinё e madhe tё pёrpunimit tё informacionit etj. Sistemet numerike pёrdoren nё fusha tё ndryshme, si nё sistemet e pёrpunimit tё tё dhёnave, nё sistemet e kontrollit, nё sistemet e marrjes dhe matjes sё informacionit, nё sistemet e transmetimit. Sistemi kombinator, quhet ai sistem numerik nё tё cilin vlera e madhёsive nё dalje nё njё cast cfarёdo varet vetёm nga vlera e madhёsive nё hyrje tё sistemit nё po tё njёjtin cast. Sistem sekuencial quhet ai sistem numerik nё tё cilin dalja nё njё cast cfarёdo varet jo vetёm nga hyrjet po nё atё cast por edhe nga ndodhitё e verifikuara me parё. 2. Aritmetika binare komplementet Mbledhja: Rregullat e mbledhjes binare pёrmblidhen nё tabelёn 1: A B Tabela 1 [A+B=] teprica + rezultati 1 1 (1)0 Zbritja: Nё fillim le tё shikojmё se si paraqiten numrat negative nё kalkulator. Mёnyra mё e thjeshtё ёshtё shkrimi i vlerёs absolute tё paraqitur nga njё simbol konvencional: Kёshtu njё makine me gjatёsi fjale 5 bit, mund tё paraqesё me metodat e mёsipёrme kёto numra: shenja numri 1

2 (+15) (0) (-0) (-1) (-15) Rregullat e zbritjes (Tab 2) jane tё ndryshme nga ato tё mbledhjes, kёshtu qё duhen qarqe tё ndryshёm pёr tё bёrё tё dy veprimet. A B Tabela 2 [A-B=] (borxhi) - rezultati 1 (1)1 0 Supozojme se kalkulatori zotёron nje qark pёr tё bёrё mbledhjen dhe njё qark pёr tё bёrё zbritjen e dy numrave binare. Pёr tё kryer njё shumё algjebrike, kalkulatori duhet: - tё dallojё shenjat e numrave - nёse shenjat janё tё barabarta tё bejё, shumёn dhe rezultatit t i vendosё shenjёn e pёrbashkёt - nёse shenjat janё tё ndryshme tё identifikojё numrin me vlerё absolute mё tё madhe dhe tё beje zbritjen nё mёnyrё te pёrshtatshme, rezultatit t i vendosё shenjёn e numrit me vlerё absolute mё tё madhe. Shihet se pёrveç zbritjes duhet tё bёhen njё sёrё krahasimesh. Nё praktikё pёrdoret paraqitja e numrave negative nёpёrmjet komplementёve tё tyre, gjё qё lejon kryerjen e veprimit tё zbritjes nёpёrmjet qarkut tё mbledhjes, duke eleminuar veprimet e krahasimit. Komplementi me 10. Le tё jenё A e B dy numra dhjetore pozitive me njё shifёr. Kёrkohet tё llogaritet diferenca A-B. Supozojmё se njihet rezultati i operacionit (10-B) qё quhet komplementi me 10 i numrit B. Kryejmё mbledhjen e A+(10-B). Rezultati i kёtij operacioni nёse neglizhojmё tepricёn ёshtё A-B. Pra diferena A-B, u llogarit me anё tё veprimit tё mbledhjes. Nёse numrat A e B janё me n shifra, bёhet komplementi me 10 n. Arsyetimi ёshtё i njёjtё. 2

3 Vlera absolute dhe shenja Komplementi me 10 Komplementi me (1)7 (1) Komplementi me 9 Supozojmё se njihet rezultati [(10-1)-B], qё quhet komplementi me 9, i numrit B. Nё kёtё rast veprimi i mbledhjes A+[(10-1)-B] jep njё R i cili, edhe pse po tё neglizhohet teprica, nuk ёshtё i saktё. Pёr tё marrё rezultatin e saktё R, duhet tё kryhet veprimi tjetёr R=R +1, d.m.th. teprica t i shtohet R -it. Nёse numrat A e B janё me n shifra, bёhet komplementi me 10 n -1. Komplementi me 2. Arsyetimi i mёsipёrm, pёrsa i pёrket komplementit vlen pёr sisteme me baza tё ndryshme. Kёshtu kemi komplementin me 2, dhe komplementin me 1, tё njё numri binar. Komplementi me 2, i njё numri binar B me n bit, jepet nga: Komplementi me 2 i B = 2 n -B Shembull: komplementi me 2 i 101 = =1011 Numri negativ (-B) nё paraqitjen nёpёrmjet komplementit me 2, do t i vihet nё korrespondencё numri 2 n B. Sic shihet nga shembulli, numrat negative edhe me kёtё paraqitje, bitin e shenjёs e kanё tё barabartё me 1 (tabela 3). Me n bit mund tё paraqiten numrat nga (2 n-1-1) deri nё +(2 n-1-1). Tabela 3 Shenja dhe vlera absolute Komplementi me dy Komplementi me nje Shenja Madhesia shenja Madhesia Shenja Madhesia

4 Komplimenti me 1 i njё numri binar B me n bit, jepet nga: Komplimenti me 1, i B = 2 n -1-B. Shembull... Komplimenti me 1 i 101 = =1010 Numrit negativ B, nё paraqitjen me kompliment me 1, do t i vihet nё korrespondence numri (2 n -1-B). Edhe nё kёtё mёnyrё paraqitje, biti i shenjёs pёr numrat negative ёshtё 1. Pёr tё gjetur komplimentin e njё numri B, thamё se ёshtё e nevojshme tё kryhet diferenca (2 n B) ose (2 n -1-B). Shtrohet pyetja: ku qёndron leverdia e paraqitjes sё numrave me anё tё komplimentit tё tyre? Shenojme se: Komplimenti me 1, i B merret duke komplementuar cdo bit tё B. Komplementi me 2 i B merret nё kёtё mёnyrё: a) duke shtuar 1 komplementit me 1 tё B b) duke u nisur nga e djathta lihen tё pandryshuar tё gjithё bitёt deri tek njeshi 1, i parё qё takohet, komplementohen tё gjithё bitёt e tjerё pas njёshit tё parё. 3. Kalimi i kapacitetit ( overflow, derdhja) Gjatё mbledhjeve algjebrike, vlera e rezultatit mund tё jetё me e madhe se +/- 2 n-1-1. Kemi pra njё kalim tё kapacitetit gjё qё duhet dalluar pёr tё evituar gabimet. Ështё e qartё se derdhja mund tё ndodhё vetёm atёherё kur tё dy tё mbledhshmit kanё tё njёjtё shenjё. Le tё shikojmё disa mёnyra pёr verifikimin e kalimit te kapacitetit. 1. Krahasohet shenja e rezultatit me shenjёn e tё mbledhshmeve. Nёse ato rezultojnё tё ndryshme d.m.th se ka ndodhur derdhja. 2. Nёse tё dy tё mbledhshmit janё pozitive derdhja ndodh atёhere kur nё rendin mё me vlere lind teprice. Nёse tё dy tё mbledhshmit janё negativё derdhja ndodh atёherё kur nё rendin mё me vlerё nuk lind tepricё. 3. Ka ndodhur kalimi kapacitetit, atёherё kur teprica nё rendin e shenjёs ёshtё e ndryshme nga teprica nё rendin mё me vlerё. 4. Kodimi i informacionit Informacioni qё i jepet njё sistemi numerik, psh kalkulatorit duhet tё jetё nё formё binare. Pra duhet tё pёrdorё kode binare, d.m.th. vargje me 0 dhe 1, pёr paraqitjen e informacionit. Pёr paraqitjen e shifrave dhjetore duhen tё paktёn 4 bite. Kuptohet qё ekzistojnё shumё kode me 4 bit. Kodi qё takohet me shpesh ёshtё kodi 8421 ose BCD (Binary Code Decimal), i cili pёrbёhet nga dhjetё konfiguracionet e parё nё 4

5 katёr bit (fig. me poshte). Ai bёn pjesё nё klasёn e kodeve tё peshuar, nё tё cilёt pozicionit tё i-tё tё bitit, b i i korrespondon njё peshё p i. Shifra Kodimi binar pesha Shifra Kodimi binar dhjetore dhjetore a) kodi dhjetor 8421, ose BCD b) kodi dhjetor 2421 Nё kёtё mёnyrё, shifra dhjetore D pёrcaktohet nga: D=p n b n +...+p 1 b 1 + p 0 b 0 Njё kod tjetёr i peshuar ёshtё kodi 2421 (fig. b). Shihet se pesё konfiguracionet e para tё kёtij kodi koincidojnё me pesё tё parat e BCD. Konfiguracionet e tjera ndryshojnё. Konsiderojmё kodimin e numrit 5: ai mund tё merret duke komplementuar bit per bit, kodimin e numrit 4, d.m.th tё numrit (9-5). E njёjta gjё ndodh ndёrmjet 6 e 3, 7 e 2 etj. Kodimet japin direkt komplimentin me 9, thjesht duke komplementuar secilin bit. Kemi tё bёjmё me njё kod autokomplementues. Njё kod tjetёr autokomplementues ёshtё kodi me tepricё 3, i cili merret nga BCD duke i shtuar 3 cdo shifre 9fig. 2.a). Shifra dhjetore Kodimi binar Shifra dhjetore Kodimi binar p p a) Kodi dhjetor me teprice 3 b) kodi dhjetor Gray Ky nuk ёshtё njё kod i peshuar. 5

6 Njё kod tjetёr i paraqitur nё fig. 2, ёshtё kodi Gray, tek i cili kodimi i numrit D, ndryshon nga kodimi i numrit D +/-1 me njё bit. Kodi Gray bёn pjesё nё klasёn e kodeve tё pasqyruar. Me tё vёrtetё, nga figura 2b) shihet se kodi ne n bit, fitohet nga kodi me (n-1) bit. Konsiderojmё ne fillim n=1. Ekzistojnё vetёm dy konfiguracionet 0 e 1. Kalojmё tani nё n=2. Kodi korrespondues duke pasqyruar kodin e parё nё njё pasqyrё imagjinare p1 dhe duke i parashtuar 0 konfiguracioneve origjinale, 1 atyreve tё pasqyruara. Pёr tё kaluar nё kodin me 3 bit, pasqyrohen katёr konfiguracionet me 2 bit nё njё pasqyrё p2 e kёshtu me radhё p Deri tani ёshtё folur pёr kodimin e informacionit numerik. Kodimi i njё informacioni tjetёr cfarёdo, psh i atij alfabetik, parimisht kryhet njёlloj: cdo gёrme i vihet nё korrespondencё njё konfiguracion i caktuar me 0 e Algjebra dhe funksionet e komutimit Variablat nё algjebrёn e komutimit mund tё marrin dy vlera, qё do tё shёnohen konvencionalisht 0 e 1. Mbi kёto variabla binare operatorёt NOT, OR, AND tё pёrkufizuar si mё poshtё: NOT ( - ) operatori komplementues. Funksioni i tij pёrcaktohet nga tabela. x X x x Operatoret OR (+) shuma llogjike dhe AND( )produkti llogjik, pёrcaktohen nga tabelat e mёposhtme X Y X + Y X Y X Y x x+y x x y y OR y AND 6

7 pёr cdo variabel binar x, janё tё vёrteta relacionet: x+0 = x x 1 = x x+1 = 1 x 0 = 0 ( x ) = x Pёrkufizim: Funksion komutimi F i n variablave binare x 1 x 2...x n quhet ligji/rregulli sipas tё cilit cdonjёrit prej 2 n kombinimeve tё mundshme tё n variablave i vihet nё korrespondencё njё vlerё 0 ose 1. Funksioni F mund tё jepet nё formё tabelare, nё forme algjebrike, ose nё formёn e rrjetit kombinator (me porta llogjike). Le tё ilustrojmё konceptin e funksionit tё komutimit nёpёrmjet njё shembulli: Shembull: Tre celesa x,y,z komandojnё ndezjen e njё llampe F. Llampa ndizet (F=1) nёse tё paktёn dy prej çelesave ndodhen nё pozicion 1. Ajo do tё shuhet (F=0) nёse tё paktёn dy prej çelesave ndodhen nё pozicion 0. Çelёsat x,y,z dhe rezultati F janё variabla binare. Rezultati do tё jetё 1 nёse janё 1: x dhe y ose x dhe z ose y dhe z Alternativat e mёsiperme pёrfshijnё, pёrderisa nuk e pёrjashtojnё, dhe rastin x dhe y dhe z. Kushti qё F tё marrё vlerёn 1 ёshtё: F= x y + x z + y z x y z F Nё algjebrёn e komutimit, tё prezantuar mё sipёr nёpёrmjet variablave dhe operatorёve tё saj, janё tё vёrteta vetitё e mёposhtme me qё mund tё pёrdoren pёr tё sintetizuar dhe manipuluar funksionet e komutimit. 1. Idempotenca x+x=x x x=x 2. Vetia ndrruese x+y = y+x Funksioni F mund te paraqitet edhe me anen e nje tabele (fig. 1) ku shkruhen te gjitha kombinimet e mundshme te vlerave te hyrjeve dhe vlerat korresponduese qe merr dalja F. formohet keshtu nje tabele kombinimesh apo tabela e vertetesise. 7

8 x y=y x 3. Vetia shoqёruese (x+y)+z=x+(y+z) (x y) z=x (y z) 4. Komplementimi x+x=1 x x=0 5. Vetia shpёrndarёse x (y+z)=x y+x z Vetitё e mёsiperme lejojnё tё pohohet qё algjebra e komutimit ёshtё algjebra buleane. 6. Vetia e absorbimit 1 x + xy= x 7. Vetia e absorbimit 2 x + xy = x+y x (x+y)=x y 8. Teorema e De Morganit (x+y) = x y (x y)= x + y Nga teorema e De Morganit rrjedh teorema e dualitetit. 9. Teorema e dualitetit Le tё jetё dhёnё njё shprehje f(x 1 x 2...x n,0,1, +,, -,) pёr tё marrё shprehjen duale, dmth f, mjafton tё aplikohen kёto rregulla: 1. lihet e pandryshuar struktura e kllapave, mbasi tё vihen nё dukje edhe ato tё tipit (x y) 2. zёvendёsohet AND me OR dhe anasjelltas 3. zevёndёsohen variablat nё formё natyrale me po ato variabla nё formё tё komplementuar dhe anasjelltas 4. zёvendёsohet konstantja 0 me 1 dhe anasjelltas d.m.th f (x 1 x 2...x n,0,1,+, ) = f (x 1 x 2...x n,1,0,,+) Vёrtetimi bёhet duke shfrytёzuar teoremёn e De Morganit. Shembull: Tё gjendet f e funksionit f=((x z) + y) ((y x) +(x z)) Nё bazё tё teoremёs sё dualitetit do tё kemi: 8

9 f = ((x+z) y)+((y+x) (x+z)) 6.Numri minimal i operatorёve Funksioni i komutimit f(x 1 x 2...x n ) i shprehur analitikisht apo nё formё tabelare, mund tё realizohet me anёn e njё rrjeti kombinator. x1 x2 xn Rr. kombinator x y z x y x z F y z Fig.1.b Rrjeti kombinator qё realizon funksionin e komutimit: F=xy+xz+yz paraqitet nё fig. 1.b. Shenojmё se njё rrjet kombinator mund tё ketё mё shumё se njё dalje. p.sh. f 1,f 2,..f k, tё cilave do t u korresondojnё po aq funksione komutimi. Deri tani kemi parё operatorёt NOT, OR, AND tё cilёt pёrbejnё njё bashkёsi komplete. Me ane te tyre shprehet cdo funksion komutimi. Megjithate eshte mundur qё me anё tё njё numri tё vogёl operatorёsh llogjike tё mund tё shprehim njё funksion cfarёdo komutimi. Pёr kёtё na ndihmon teorema e De Morganit. Le tё shikojmё rastet e mёposhtme: I. Me anё tё operatorёve NOT,OR mund tё shprehet operatori AND: x y x+y x y=x y=x+y II. Me anё tё operatorёve NOT, AND mund tё shprehet operatori OR x+y= x+y = x y 9

10 x y x+y III. Konsiderojmё operatorin NAND (NOT AND), me tabelё vёrtetёsie dhe simbol si me poshtё: Operatori NAND ndёrmjet dy variablave x,y shёnohet: x y = x y x y x y x y x y Le tё shikojmё se si realizohen nёpёrmjet operatorit NAND tre operatorёt NOT, OR, AND: a) nga barazimi x=x x, duke komplementuar tё dy anёt pёrftojmё: x=x x pra x = x x x x b) pёr realizimin e operatorit OR x + y = x + y = x y = x y c) pёr realizimin e operatorit AND: x y = x y= x y 10

11 e njёjta gjё mund tё vёrtetohet edhe pёr operatorin NOR (NOT,OR) me tabelё vёrtetёsie dhe simbol si mё poshtё: x y x+y =x y X y X + y Nё kёtё mёnyrё secili nga katёr bashkёsitё {NOT,OR}, {NOT,AND},{NAND}, {NOR} pёrbёn njё bashkёsi funksionale komplete. Pёrdorimi i njё bashkёsie komplete me numёr tё vogёl operatorёsh paraqet pёrparёsitё e mёposhtme. - ulet mundesia e gabimit gjate montimit - lehtёson mirёmbajtjen dmth zevёndёsimin e qarqeve tё dёmtuar - ulet kostoja e prodhimit 7. Sinteza e funksioneve te komutimit Funksioni i komutimit F(x 1,x 2,... x n ) me n variabla mund tё marre dy vlera 0 ose 1. Numri i kombinimeve tё mundshme nё hyrje ёshtё 2 n. Nё korrespondencё tё cdo kombinimi nё hyrje, funksioni mund tё marre dy vlera tё mundshme. Atёherё numri i mundshёm i funksioneve me dy variabla ёshtё 2ne fuqi (2 n ). Konsiderojme tabelёn 1, ku jane paraqitur tё gjithё funksionet e mundshёm me dy variabla F(x,y). Nga kjo tabelё nxjerrim: Tabela 1 x y F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F a) F0 = 0, F15 = 1. Kёto funksione konstante F 0 e F 15 quhen tё degraduar nё lidhje me x e y, meqё nuk varen prej tyre. 11

12 b) F 3 =x, F 5 =y, F, F 10 =y, F 12 =x qe jane funksione te gjeneruar ne lidhje me nje variabel. c) F 1 =x y...(nga tabela e vёrtetёsisё sё operatorit AND) F 7 =x+y...( nga tabela e vёrtetёsisё sё operatorit OR) F 14 =F 1 =x y...(vektori paraqitёs i F 14 ёshtё komplementi i F 1 ) F 9 =F 7 =x+y (vektori paraqitёs i F 8 ёshtё komplementi i F 7 ) d) shqyrtojmё tani funksionet e mbetur qё kanё vetёm njё 1 nё vektorin paraqitёs. 1. konsiderojmё funksionin F 2. Ky funksion nuk pёrputhet me asnjё nga funksionet e njohur (NOT,OR,AND,NAND,NOR). Megjithatё duke zёvendёsuar nё tabelёn 1, vetёm pёr x=1 dhe y=1. Kjo i korrespondon pёrkufizimit tё produktit llogjik x y, pra F 2 =x y. Njёlloj x y, pra F 2 = x y. Njёlloj veprohet dhe me funksionet F 4 e F F 4 =xy, F 8 = x y Nga kёto rezultate gjendet rregulla e mёposhtme: Njё funksion cfaredo me n variabla x 1,x 2,...x n, qё ka ne vektorin paraqitёs vetёm njё 1, quhet funksion minterm dhe mund tё paraqitet me anё tё produktit tё n variablave, tё marrё nё formё natyrale, nёse nё gjendjen e hyrjes qё i korrespondon 1 it tё vetёm kanё vlerёn 1, nё formё te kompletuar nёse nё gjendjen e hyrjes kanё vlerёn 0. Zakonisht mintermat shёnohen me m i, ku i ёshtё numri dhjetor i koduar nga gjendja e hyrjes qё i korrespondon 1 it tё vetёm. e) konsiderojmё funksionet e mbetura qё kanё vetёm njё 0 nё vektorin paraqitёs. Duke arsyetuar nё mёnyrё tё ngjashme si mё sipёr gjendet: F 11 = x +y F 13 = x +y Nga kёto rezultate gjendet rregulla e mёposhtme: Njё funksion cfarёdo me n variabla x 1,x 2,...x n, qё ka nё vektorin paraqitёs vetёm njё 0 quhet maksterm dhe mund tё paraqitet me anё tё shumёs sё n variablave, tё marrё nё formё natyrale nёse nё gjendjen e hyrjes qё i korrespondon 0 s sё vetme kanё vlerё 0, nё formё tё komplementuar nёse nё gjendjen e hyrjes kanё vlerё 1. 12

13 Makstermat shёnohen zakonisht me M j ku j ёshtё numri dhjetor i koduar nga gjendja e hyrjes qё i korrespondon 0 s sё vetme. Nga sa ёshtё parё mё sipёr del se nuk ekziston njё sintezё unike e funksionit tё komutimit tё paraqitur me anё tё tabelёs sё kombinimeve. Kёshtu psh funksioni F= x y mund tё shprehet F= x + y. Si rrjedhim kemi dy rrjeta llogjike qё realizojnё tё njёjtin funksion si nё fig. x y F= x y x y F = x + y Ekzistojnё pra shumё rrjeta llogjike ekuivalente nё kuptimin qё kanё struktura tё ndryshme, por tё njёjtёn sjellje tё jashtme (dmth kanё tё njёjtёn tabelё kombinimesh). Rruga e pёrgjithshme pёr sintezёn llogjike tё njё rrjeti kombinator, mund tё skematizohet si mё poshtё: - Nga pёrshkrimi llogjik i funksionimit tё rrjetit, nxirret tabela e kombinimeve - Nga tabela e kombinimeve nxirret njё formё algjebrike - Nga forma algjebrike kalohet nё skemёn llogjike tё rrjetit Format algjebrike qё nxirren me thjeshtё nga tabela e kombinimeve janё tё ashtuquajturat forma kanonike, qe do t i trajtojmё nё vijim. 13

14 8.Format algjebrike kanonike 8.1 Forma e pare kanonike. Le tё jetё dhёnё njё funksion cfarёdo F i n variablave x 1,x 2,...x n. Shёnojme me m i mintermat (0 i γ = 2 n 1) dhe me f i vlerёn qё funksioni F merr nё korrespondencё tё gjendjes sё hyrjes i. Mund tё shkruajmё: γ F= f o m o +f 1 m f γ m γ = Σ f i m i (1) i=0 Me tё vёrtetё pёr njё gjendje hyrjeje cfarёdo i, vetem mintermi m i ёshtё 1, ndёrsa tё gjitha m j e tjera pёr j i janё zero. Kёshtu vlera e F jepet nga produkti llogjik. F= f i m i = f i 1=f i Si pёrfundim me anё tё shprehjes sё mёsiperme (1) ndёrtohet ekzaktёsisht tabela e kombinimeve tё funksionit F, kёshtu qё kjo shprehje pёrbёn efektivisht njё formё algjebrike tё funksionit tё dhёnё. Nga sa u tha mё sipёr, rrjedh se cdo funksion komutimi mund tё paraqitet si shumё e mintermave qё i korrespondojnё 1 shave tё tij. Forma algjebrike e marrё nё kёtё mёnyrё quhet forma e parё kanonike. Konsiderojmё si shembull funksionin F 6 i cili rezulton: F 6 = m 1 + m 2 = x y x y = x + y Funksioni i mёsipёrm qё quhet OR ekskluziv ose shuma modul 2 realizohet nga rrjeti llogik nё fig. 3.b. nё figurёn 3c, paraqitet simboli i qarkut: x y F a) b) c) XOR ekskluziv fig. 3 OR ekskluziv, ose XOR. Nё mёnyrё tё ngjashme, veprojmё edhe pёr funksionin F 9. F 9 = m o + m 3 = x y + x y = x y 14

15 Ky funksion quhet funksion i koincidencёs, ose AND ekskluziv. Rrjeti llogjik paraqitet nё figurёn e mёposhtme: x y F b) AND ekskluziv fig.4 Shihet se rrjetat kombinatore tё fig. 3b e figurёs 4b pёrmbajnё aq porta AND sa 1 she ka funksioni dhe njё portё OR. Kёto rrjeta quhen me dy nivele, meqё numri maksimal i portave i pёrshkruar nga njё sinjal hyrjeje nga hyrja nё dalje ёshtё dy (invertuesit nuk merren parasysh). 8.2 Forma e dyte kanonike Le tё jetё dhёnjё njё funksion F i n variablave x 1,x 2,...x n. Shёnojmё me M i makstermat (0 i γ = 2 n 1) dhe me f i vlerёn qё funksioni F merr nё korrespondencё tё gjendjes sё hyrjes. Mund tё shkruajmё: γ F= (f o +M o ) (f 1 +M 1 )..(f γ +M γ) = (f i +M i ) (2) i=0 Nё mёnyrё tё ngjashme si pёr formёn e parё kanonike vёrtetohet se shprehja (2) ёshtё efektivisht njё formё algjebrike e funksionit tё dhёnё. Si rrjedhim, cdo funksion komutimi mund tё paraqitet si produkt i makstermave qё i korrespondojnё 0 ve tё tij. Forma algjebrike e marrё nё kёtё menyre quhet forma e dytё kanonike. Le tё rimarrim nё shqyrtim funksionet F 6 dhe F 9 dhe tё shkruajmё formёn e dytё kanonike. F 6 = M 0 M 3 = (x+y)(x+y) F 9 = M 1 M 2 = (x+y)(x+y) Rrjetat kombinatore korresponduese paraqiten si nё figurё 5. 15

16 Fig.5 Shihet se rrjetet pёrmbajnё aq porta OR sa 0 ka funksioni dhe njё portё AND. Edhe kёto rrjete janё rrjete me dy nivele. Shёnojmё se dy format e tё njёjtit funksion janё ekuivalente. Nga njёra formё kalohet tek tjetra duke aplikuar rregullat e algjebrёs. Konsiderojmё psh formёn e dytё tё funksionit F 6. Merret: (x+y) (x+y) = x (x+y) +y(x+y) = = x x + x y + y x + y y = = x y + x y Nё kёtё mёnyrё, u kalua nё formёn e parё kanonike. 9.Manipulimi i formave algjebrike me anё tё algjebrёs sё komutimit tё Boolit Njё interes tё vecantё paraqet problemi i reduktimit tё termave produkt, (nё formёn e parё kanonike) apo tё termave shumё (nё formёn e dytё kanonike) duke pёrdorur rregullat e algjebrёs sё Boolit. Le tё ilustrojmё kёtё problem nёpёrmjet njё shembulli. Konsiderojmё funksionin e komutimit tё dhёnё nё tabelёn 1. x y z F Forma e pare kanonike ёshtё: f= xyz +xyz+ xyz (1) Forma algjebrike (1) nё bazё tё vetisё idempotencёs, mund tё shkruhet: f= xyz +xyz+ xyz+ xyz (2) Shprehja 2, nё bazё tё vetisё sё shpёrndarjes, shkruhet: 16

17 f= xz(y+y) + yz (x+ x) = xz+ yz (3) Nё kёtё mёnyrё forma algjebrike (3) e fituar ka njё term produkt me pak. Gjithashtu numri i variablave pёr term ёshtё mё i vogёl. Njё problem tjetёr qё mund tё paraqesё interes ёshtё gjetja e njёrёs formё kanonike duke u nisur nga njё formё algjebrike cfaredo ( e tё njёjtit tip me formёn kanonike tё dёshiruar). Pёr kёtё shёrben teorema e ekspansionit. Teorema e ekspansionit, ose teorema e Shanonit Le tё jetё dhёnё njё funksion komutimi f, me n variabla x 1,x 2,...x n : f(x 1,x 2,...x n ). Funksioni mund tё shprehet nё format e mёposhtme: a) f(x 1,x 2,...x n ) = x 1 f(1, x 2,...x n ) + x 1 f(0,x 2, x n ) b) f(x 1,x 2,...x n ) =[ x 1 + f(0, x 2,...x n )] [ x 1 + f(1, x 2,...x n )] Funksionet f(1,x 2,...x n ), f(0, x 2,...x n ) me (n-1) variabla quhen mbetjet e funksionit f ne lidhje me x 1. Teorema mund tё aplikohet tek mbetjet nё lidhje me njёrёn prej variablave (n-1) variablave. Duke e aplikuar teoremёn n here, arrijmё nё formen e parё kanonike (po tё aplikohet shprehja a) ose nё formёn e dytё kanonike (po tё aplikohet shprehja b). Vёrtetimi bёhet me induksion matematik. Konsiderojmё njё shembull. Le tё jetё dhёnё funksioni: f= xz + xy + yz ekspansioni nё lidhje me x jep: f= x f(1,y,z) + x f(0,y,z) = x ( 1 z + 0 y + yz) + x (0z+1y+yz) = xz + xyz + xy + xyz ekspansioni nё lidhje me y jep: f= y f(x,1,z) + y f(x,0,z) = = y(xz +x) + y (xz +xz +xz)= =xyz +xy + x y z + xyz +x y z mё nё fund ekspansioni nё lidhje me z jep: f= z f (x,y,1) + zf(x,y,0) 17

18 10. Minimizimi i funksioneve llogjike me dy nivele me ane te diagramave Karnaugh Minimizimi i njё funksioni llogjik, apo i njё rrjeti kombinator ka tё bёjё me zvogёlimin e numrit tё portave llogjike tё pёrdorura nё rrjet. Ne rastin e rrjetave llogjike me dy nivele minimizimi konsiston nё gjetjen e njё forme algjebrike tё tipit shumё produktesh (ose produkt shumash) qё tё realizojё funksionin e dhёnё duke pёrdorur numrin minimal tё portave llogjike. Teorikisht, duke u nisur nga forma kanonike nёpёrmjet algjebrёs sё Boolit mund tё arrihet minimizim i funksionit. Por kjo rrugё jo gjithmonё ёshtё e lehtё. Njё metodё e lehtё minimizimi, vecanёrisht e pёrshtatshme pёr funksione me njё numёr tё kufizuar variablash ёshtё metoda e diagramave Karnaugh. Kjo metodё mbёshtetet nё njё paraqitje tё vecantё gjeometrike tё kombinimeve binare. Konsiderojmё ne fillim kombinimet e vlerave tё njё variabli. Ato janё dy: 0 e 1 dhe mund tё paraqiten nё hapёsirёn njё dimensionale nёpёrmjet skajeve tё njё segmenti (fig. 1.a) a) b) c) Ky segment quhet kub-1. Duke kaluar nё kombinimet me dy variabla (janё katёr kombinime), pёr tё paraqitur gjeometrikisht duhet tё kalojmё nё hapёsirёn me dy dimensione. Pёr kёtё marrim kubin-1 dhe bёjmё njё projektim (fig. 1.b), duke fituar nё kёtё mёnyrё njё figurё me katёr kulme qё quhet kub-2. Kombinimeve tё kubit-1, origjinal i paravendosim 0, ndёrsa atyreve tё kubit-1 tё projektuar i paravendosim 1. Kёshtu merren katёr kombinimet e dy variablave. Vihet re se kombinimet nё skajet e tё njёjtit segment ndryshojnё me largёsi njёsi. Duke ndjekur tё njёjtёn rrugё, fitohet kubi-3, kulmeve tё tё cilit i vihen nё korrespondencё kombinimet e tre variablave. Meqenёse paraqitja tredimensionale nuk ёshtё shumё e pёrshtatshme, kubin -3 e presim sipas njё faqeje si ne fig. 1.c (fig. 2). Kombinimet me largёsi njё njёsi janё pёrsёri fqinj me njёri tjetrin (duke patur parasysh fqinjёsia dhe ndёrmjet ekstremeve 000 e 010, 100 e 110). 18

19 fig.2 fig. 3 Me anё tё diagramёs nё fig.2 mund tё paraqesim njё tabelё kombinimesh duke shёnuar nё cdo kulm vlerёn qё funksioni f, merr nё korrespondencё tё kombinimit tё hyrjes tё njёjtё me atё tё kulmit. Ështё mё e pёrshtatshme ta zhvillojmё mё tej kёtё diagramё, duke kaluar nё njё diagramё tjetёr nё tё cilёn cdo kulm tё kubit-n, i vihet nё korrespondencё njё kuadrat. Pёr tё ndёrtuar kёtё diagramё, ndihmohemi nga fig. 2 e ndarё me vija tё ndёrprera. Merret kёshtu skema nё fig. 3 qё ёshtё diagrama Karnaugh pёr funksionin me tre variabla. Kombinimi binar qё i vihet nё korrespondencё cdo kuadrati jepet nga koordinatat horizontale dhe vertikale tё vetё kuadratit. Kuadrate fqinje do tё quajmё kuadratet qё kanё njё brinjё tё pёrbashkёt. Si edhe mё parё duhet tё kihet parasysh se edhe kuadratet ekstreme janё nё fakt fqinje (diagrama te imagjinohet e perkuluar ne formё unaze). Diagramat Karnaugh pёr funksionet me dy dhe katёr variabla paraqiten nё fig. 4a dhe 4b a) b) fig. 4 Ne rastin e diagramёs Karnaugh me katёr variabla duhet tё kemi parasysh fqinjёsinё ndёrmjet kuadrateve tё sipёrm dhe tё poshtёm si dhe ndёrmjet kuadrateve tё djathtё dhe tё majtё. Mbasi vendosim nje korrespondencё arbitrare ndёrmjet variablave dhe koordinatave, me anё tё diagramёs Karnaugh mund tё paraqesim funksionin f, tё komutimit, duke vёnё nё cdo kuadrat vlerёn e f (0 ose 1) qё i korrespondon kuadratit. Kёshtu psh nё figurёn 5a e 5b paraqiten diagramat Karnaugh pёr funksionet OR dhe AND, ndersa ne fig. 5d paraqitet diagrama Karnaugh e funksionit me tre variabla, me tabele vertetesie ate ne figuren 5c. 19

20 Shkruajmё tё dy format kanonike pёr funksionin f. x y z F f=x+y f=x y f a) b) d) fig.5 c) f I =x y z + x y z + x y z + x y z f II = (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) Konsiderojmё formёn e parё kanonike. Duke aplikuar vetinё e shpёrndarjes dhe rregullёn x+ x = 1, marrim: f I =x z (y+y) + x z(y + y)=xz + xz Shihet se u fitua njё formё algjebrike mё ekonomike se forma kanonike. Konsiderojmё tani mintermat m 1 = xyz e m 3 = xyz (kombinimet 001 dhe 011 qe dhane si rezultat njё reduktim). Dy kuadratet korrespondues jane fqinje. Po keshtu edhe dy mintermat m 5 e m 7 i kane kuadratet korrespondues fqinj. Nё pёrgjithёsi, meqe cdo cifti kuadratesh fqinje i korrespondojne dy kombinime binare qe ndryshojne nga vlera e nje variabli te vetem, per nje cift 1 shesh fqinje ne diagramen Karnaugh, shuma e mintermave korresponduese m i e m j mund te shkruhet: m i + m j = Pp + Pp = P (p +p) = P ku P eshte produkti i variablave qё kanё tё njёjtёn vlerё nё tё dy mintermat p variabli qё ndryshon vlerё nga njёri minterm te tjetri. Si rrjedhim, sa herё qё nё diagramёn Karnaugh me n variabla kemi dy 1 she fqinje, shuma e dy mintermave mund te paraqitet me ane te nje produkti te vetem me (n-1) variabla ku variablat qe marrin pjese jane vetem ato qe kane te njejten vlere ne te dy mintermat. Keto variabla vihen ne forme natyrale nese vlera qe kane te dy mintermat eshte 1 dhe ne forme te komplementuar ne rast te kundert. 20

21 Le te konsiderojme tani funksionin me kater variabla te dhene nepermjet diagrames Karnaugh fig. 6. Nga sa eshte thene me siper, per ciftet e njesheve fqinje, funksioni f, mund te shkruajme: zv xy f=yzv + yzv...(1) f Ne baze te rregullave te algjebres shprehja 1, mund te shkruhet: f=yv(z+z) = yv...(2) fig.6 Nga diagrama Karnaugh shihet se 1 shet e funksionit jane ne kuadrate te gjithe fqinj ndermjet tyre (secili kuadrat eshte fqinj me dy te tjere). Duke shqyrtuar kater kombinimet ne hyrje ne korrespondence te 1 sheve, te funksionit vihet re se dy variablat y e v, nepermjet te cileve eshte shprehur funksioni f, (relacioni 2) ruajme te njejten vlere ndersa dy te tjeret marrin vlera te ndryshme. Si rrjedhim nje grup me kater njeshe te gjithe fqinje ndermjet tyre mund te zevendesohet me nje produkt variablash ku marrin pjese vetem ato variabla qe ruajne te pandryshueshme vleren e tyre. Me ne pergjithesi: Perkufizim: Nje grup prej 2 n kuadratesh, te gjithe fqinje ndermjet tyre, d.m.th te tille ku secili te jete fqinj me m te tjere, quhet nenkub i rendit m. Rregull i pergjithshem: Konsiderojme diagramen Karnaugh te nje funksioni me n variabla. Çdo nenkub i rendit m, te ndertuar vetem me 1 she mund te paraqitet me nje produkt te vetem me (n-m) variabla. Variablat qe bejne pjese ne produkt jane ata qe ruajne te njejten vlere ne te gjithe kulmet e nenkubit. Variablat merren ne forme natyrale nese vlera e ruajtur eshte 1, ne forme te komplementuar nese eshte zero. Vendosim tani kriterin e meposhtem te minimizimit per formen shume produktesh: - nje forme shume produktesh quhet minimale nese permban numrin minimal te termave produkt. Per numer te njejte termash produkt quhet minimale forma qe permban produkte me numer me te vogel variablash. Me ane te diagramave Karnaugh kriteri shprehet: 21

22 Te identifikohet numri me i vogel i nenkubeve maksimale qe mbulojne te gjitha 1 shet e funksionit. Le te konsiderojme tani shembullin e fig. 7, ku identifikohen kater nenkube te rendit 1 (te shenuar me a,b,c,d) dhe nje nenkub i rendit 2 ( i shenuar me e). Shenojme se zgjedhja e nenkubit a eshte e nevojshme meqenese s ekziston ndonje nenkub tjeter i nje rendi me te madh apo te barabarte qe te mbuloje mintermin (xyzv)=(1100). xy b c Fig.7 10 a e 1 d Ne menyre analoge duhen zgjedhur nenkubet b,c,d per te mbuluar perkatesisht (0001), (0110), (1011). Shikohet se bashkesia {a,b,c,d} mbulon te gjitha 1 shet e funksionit, si rrjedhim nuk eshte e nevojshme marrja e nenkubit e. Forma minimale shume produktesh rezulton: f= x y z +x z v + x y z + x v z a b c d Ne shembullin e fig. 8, nenkubet maksimale qe mund te identifikohen jane a,b,c. Nenkubet b e c mbulohen pjeserisht nese kane te perbashket mintermin (xyzv) = (0111). Ky mbulim eshte i lejueshem ne baze te vetise se idempotences: xyzv=xyzv +xyzv, pra mintermi (xyzv) = (0111) mund te marre pjese nje here per realizimin e nenkubit b, nje here per c ne. Ne kete menyre cdo minterm i diagrames mund te mbulohet nga nje numer cfaredo nenkubesh, te zgjedhur per te realizuar funksionin. Eshte e domosdoshme qe mintermat te mbulohen te pakten nje here. xy zv zv b C a Fig.8 Shenojme se forma minimale mund te mos jete unike. Per kete le te shikojme shembullin e figures 9. Mintermi (xyzv) = (0101) mund te mbulohet nga nenkubi b ose nga nenkubi c. Ne te dy rastet fitohen dy forma me kosto te njejte: f = yzv + xzv + yzv 22

23 f = yzv + xyv + yzv a c d b c d a fig Diagramat Karnaugh me pese dhe gjashte variabla. Format produkt shumash Deri tani jane pare diagramat Karnaugh me dy, tre dhe kater variabla. Metoda e diagramres Karnaugh perdoret edhe per funksionet me pese e gjashte variabla. Per paraqitjen e funksionit me pese variabla x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 futet nje dimension i trete me kater prej variablave psh me x 2,x 3,x 4,x 5 ndertojme dy diagrama Karnaugh ndersa me ane te vlerave te ndryshme te variablit te peste emertojme dy diagramat (fig.1). Çdo kuadrat (i vijezuar, ne diagramen per U=1, fig. 1) eshte fqinj me kater kuadratet (te shenuar me pike fig.1) e te njejtes diagrame dhe me kuadratin me koordinata te njejta (x 2,x 3,x 4,x 5 ) ne diagramen tjeter (u=0, fig 1). X4x5 X2x3 X1=1 fig.1 X1=0 x4x5 x2x3 x4x5 X2x x2x x1=0 x1=1 x1=0/1 Eshte e pershtatshme qe dy diagramat te paraqiten ne plan prane njera tjetres (fig.2 a) ose te mbivendosura (fig. 2 b) duke ndare ne rastin e fundit, cdo kuadrat ne dy pjese dhe duke i vene ne korrespondence cdo sektori vleren e variablit te peste. Ne menyre te ngjashme mund te ndertojme diagramat Karnaugh me gjashte variabla (x1,x2,x3,x4,x5,x6), duke vizatuar kater diagrama me kater variabla x4x5 23

24 (x3,x4,x5,x6) dhe duke emertuar secilin me ne konfiguracion te dy variablave (x1,x2) qe mbesin fig. 3. me poshte po japim dy shembuj per funksionet me pese dhe gjashte variabla. shembull 1. konsiderojme funksionin f te dhene me ane te diagrames se meposhtme: x4x5 x2x x1=0 x1=1 Zgjedhim nenkubet e treguar. Funksioni f mund te shkruhet: f=x 1 x 2 x 3 x 5 + x 2 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 5 Shembull 2: Funksioni f, me gjashte variabla i dhene ne diagramen e meposhtme mund te shkruhet: f = x 1 x 3 x 4 x 6 +x 3 x 4 x 5 x 6 +x 1 x 3 x 5 x5x6 x3x4 x4x5 x2x x1x2=10 x1x2=00 x1x2=01 x1x2=11 Sa eshte thene deri tani per format shume produktesh mund te perseritet ne forme duale, per format shume produktesh. Ne kete rast konsiderohen zerot e funksionit te dhene me ane te diagrames Karnaugh dhe zgjidhen nenkubet e ndertuar me zero. Forma minimale e tipit produkt shumash merret duke identifikuar numrin minimal te nenkubeve maksimale me zero. Kjo forme rezulton e barabarte me produktin e numrit minimal te termave shume, per numer te barabarte termash shume, preferohet forma, termat e se ciles kane numer me te vogel variablash. Secilit nenkub i vihet ne korrespondence nje term i tipit shume ku marrin pjese vetem variablat qe ruajne te pandryshuar vleren e tyre ne te gjitha kulmet e nenkubit. Keto variabla merren ne forme natyrale nese 24

25 vlera e ruajtur eshte zero, ne forme te kompletuar nese ajo vlere eshte 1. Shenojme se nese kerkohet forma minimale absolute e nje funksioni duhet te identifikohet si forma minimale shume produktesh fshp ashtu edhe produkt shumash fpsh dhe prej tyre te zgjidhet forma me kosto me te ulet. Le te shikojme nje shembull: Shembull: Te realizohet nje rrjet kombinator me keter hyrje x 1,x 0,y 1,y 0 dhe nje dalje f (fig.1). Hyrjet x 1,x 0 paraqesin nje numer binar x ku x 1, eshte biti mё me vlere. Hyrjet y 1 e y 0 paraqesin nje numer tjeter binary y, ku y 1 eshte biti me me vlere. Dalja f, duhet te marre vleren 1 vetem atehere kur x > y, per ndryshe duhet te jete zero. x1 x0 y1 y0 rrjeti kombinator fig.1 Y1Y0 X1X fig.2 Ndertojme diagramen Karnaugh (fig.2). Prej saj nxjerrim: f SH.P =x 1 x 0 y 0 +x 0 y 1 y 0 + x 1 y 1 f P.SH =(x 1 +x 0 ) (x 1 +y 0 )(x 1 +y 1 )(y 1 +y 0 )(x 0 + y 1 ) Rrjeti me kosto me te ulet eshte ai qe realizohet sipas formes shume produktesh fig.3. x1 x0 f y1 y0 25

26 12. Funksionet jo plotesisht te specifikuar. Minimizimi i tyre Deri tani jane shqyrtuar funksione komutimi te percaktuar per te gjitha kombinimet e mundshme te hyrjeve. Megjithate ka raste kur ne hyrje te sistemit nuk paraqiten kurre disa kombinime te cituara ose, dhe nese paraqiten nuk influencojne ne sjelljen e tij (psh rasti i paraqitjes se hyrjeve te gabuara, te shoqeruara me sinjalizim te vecante, nga nje sistem tjeter). Kjo dmth se ne nuk na intereson dalja (dhe jo se nuk ekziston dalja) per kombinimet e permendura. Te tilla funksione quhen funksione jo plotesisht te specifikuar. Kombinimet ne hyrje per te cilat nuk na intereson dalja quhen kushte/kondita te indiferences. Vlera korresponduese e daljes eshte e paspecifikuar dhe shenohet ne tabelen e kombinimeve me x. Le te kerkohet psh realizimi i nje rrjeti kombinator i cili ne kater hyrjet e tij te kete nje shifer dhjetore ne kodin BCD dhe ne daljen e tij. Te jete 1 nese numri ne hyrje eshte cift (numri zero konsiderohet cift). Ne kater hyrjet x 4,x 3,x 2,x 1 te rrjetit mund te paraqiten vetem dhjete kombinime nga 16 te mundshmet. X4 X3 X2 X1 F X X3 rrjeti f kombinator 11 x x x x X x x f X X X X X X Vlera e daljes ne korrespondence te gjashte kombinimeve qe mbeten nuk paraqet interes, si rrjedhim ajo nuk eshte e specifikuar. Ne figuren 1, jepet tabela e vertetesise se rrjetit te pershkruar si me siper. Çdo rrjet daljet e te cilit 26

27 koincidojne me daljet e specifikuara te funksionit f(fig. 1a) realizon sistemin e kerkuar. Si rrjedhim per realizimin e funksionit f, jo plotesisht te specifikuar ekzistojne aq rrjeta te ndryshem (ne kuptimin qe kane tabela te ndryshme vertetesie) sa kombinime te ndryshme mund te zevendesojne konditat e indiferences. Mund te themi se funksionit me k kondita indiference i korrespondojne 2 k funksione te ndryshme, plotesisht te specifikuar. Minimizimi konsiston ne percaktimin e njerit prej 2 k funksioneve qe te con ne rrjetin minimal. Per kete mjafton qe ne diagramen Karnaugh (fig.1b) ne korrespondence te konditave te indiferences te vendosim 1 ose 0 ne menyre te tille qe te minimizohet numri i nenkubeve te nevojshem per te mbuluar funksionin, duke derguar keshtu ne maksimum dimensionin e nenkubeve. Ne shembullin e mesiperm duke i dhene funksionit f, vleren 1 ne korrespondence te konditave te indiferences 1010, 1100, 1110 dhe vleren 0, ne korrespondence te tre konditave te tjera meret f= x1. Shenojme se, edhe ne rastin e funksioneve jo plotesisht te specifikuar per te gjetur formen minimale absolute duhet te sintetizohen te dy format minimale (shume produktesh dhe produkt shumash) dhe prej tyre te zgjidhet ajo me ekonomike. Mund te ndodhe qe ne te dy format vlerat e f, ne korrespondence te konditave te indiferences te jene te ndryshme. Si rrjedhim nuk mund te kalohet nga njera forme ne tjetren. 13. Format me dy nivele te tipit NAND dhe NOR Ne paragrafet e meparshem eshte pare se operatoret NAND dhe NOR jane universale. Te shohim se si mund te shprehen me ane te operatoreve NAND dhe NOR format me dy nivele. Konsiderojme psh formen shume produktesh: f shp = x 1 y 1 + x 1 x 0 y 0 + x 0 y 1 y 0 duke komplementuar dy here dhe duke aplikuar teoremen de Morgan, gjendet f shp = x 1 y 1 + x 1 x 0 y 0 + x 0 y 1 y 0 = (x 1 y 1 ) (x 1 x 0 y 0 ) (x0 y1 y0) = = (x 1 y 1 ) (x 1 x 0 y 0 ) (x 0 y 1 y 0 ) Ne kete menyre u fitua nje forme me vetem NAND thjesht duke zevendesuar si portat AND ashtu dhe ato OR me NAND. 27

28 x1 x2 f y1 y0 x1 x2 f y1 y0 fig.1 Me ne pergjithesi aplikohet rregulli i meposhtem: Nje forme shume produktesh transformohet ne nje forme me vetem NAND duke zevendesuar portat AND dhe OR me NAND. Variablat e hyrjes ruajne te njejten forme me perjashtim te rastit kur nje variable cfaqet direct ne hyrjen e portes OR: ne formen NAND ai duhet te komplementohet. Per shembull: f= x + xz + xyz = x + xz + xyz = x (x z) (xyz) = = x (x z) ( x y z) Ne menyre duale nje forme produkt shumash transformohet ne nje forme me vetem NOR duke zevendesuar portat OR dhe AND me NOR. variablat e hyrjes ruajne te njejten forme, me perjashtim te rastit kur njevariabel cfaqet direkt ne hyrjen e portes AND ne formen e NOR ai duhet te komplentohet. per shembull: 28

29 f= x (y + z) y = x (y + z) y = x + (y + z) + y = x (y z) y 14. Rrjetet llogjike me shume nivele me zberthim pa nderprerje. Metoda e diagramave Karnaugh lejonte sintezen e funksioneve me dy nivele dhe jo me me shume se gjashte variabla. Ka edhe metoda te tjera sinteze ne te cilat nuk kufizohet numri i niveleve por tentohet te reduktohet numri i hyrjeve ne portat e ndryshme llogjike, ose te modularizohet funksioni duke e zberthyer ne disa funksione me te thjeshte. Reduktimin e numrit te hyrjeve per porte mund ta realizojme me ane te faktorizimit qe konsiston ne aplikimin e vetise shperndarese ne nje forme algjebrike te funksionit psh me ate me dy nivele. Le te sintetizojme psh rrjetin kombinator me kater hyrje dhe nje dalje e cila merr vleren 1 kur ne hyrje ka numer cift njeshesh. Ndertojme diagramen Karnaugh (fig.14.1) x1 x1 x2 x2 f y1 y1 y0 y0 Forma minimale koincidon me formen kanonike: f = x1x2x3x4 + x1x2x3x4 + x1x2x3x4+ x1x2x3x4+ x1x2x3x4+ x1x2x3x4+ x1 x2x3x4+ x1x2x3x4 Per te realizuar funksionin e mesiperm do te duheshin tete porta AND me kater hyrje dhe nje porte OR me tete hyrje. 29

30 duke aplikuar vetine shperndarese dy here marrim: f = x1x2 (x3x4 + x3x4) + x1x2( x3x4 +x3x4) +x1x2 (x3x4 +x3x4) + x1x2 (x3x4 +x3x4) f= (x1x2 + x1x2) (x3x4 + x3x4)+ (x1x2 + x1x2) (x3x4 + x3x4) dime se: (x1x2 + x1x2) = (x1x2 + x1x2) (x3x4 + x3x4) = (x3x4 + x3x4) atehere: f= (x1x2 + x1x2) (x3x4 + x3x4)+ (x1x2 + x1x2) (x3x4 + x3x4) Rrjeti qe realizon funksionin e mesiperm paraqitet ne figuren 14.1.b. Jane perdorur gjashte porta AND dhe dy porta OR qe te gjitha me dy hyrje. Faktorizimi i nje rrjeti mund te jape rezultate te kenaqshme gje qe varet shume nga eksperienca e projektuesit. Modularizimin e nje funksioni dmth zberthimin e nje funksioni kompleks ne disa funksione me te thjeshte mund ta bejme me ane te metodave sistematike. Nje prej tyre eshte ajo qe realizon (kur eshte e mundur) zberthimin funksional disxhuntiv (pa nderprerje) te thjeshte. Supozojme se duhet sintetizuar funksioni me ne variabla f (x1,x2,...xn). Te kryesh zberthim funksional dmth te identifikosh dy apo me shume funksione secili me me pak se n variabla te tille qe duke i lidhur ne menyre te pershtatshme te merret nje rjret qe te realizoje funksionin e dhene. Ne vecanti zberthimi i thjeshte disxhuntiv perkufizohet si me poshte: Le te jete dhene funksioni f(x1,x2,...xn). Le te jene y e z dy nenbashkesi te bashkesise se hyrjeve x={x1,x2,..xn} te tilla qe Y Z = Φ dhe Y U Z = X Nese eshte e mundur te identifikohen dy funksione Φ (y) dhe F[Φ(y),z] te tille qe F te kete te njejten vlere te f per te gjitha kombinimet e hyrjes per te cilat f eshte e specifikuar, thuhet qe F dhe Φ perbejne nje zberthim te thjeshte disxhuntiv te f. Nese nje zberthim i tille ekziston rrjeti merr strukturen si ne figure: Y Φ F f Z 30

31 Problemi qendron ne percaktimin ne se nje funksion i dhene pranon apo jo zberthim te thjeshte disxhuntiv (nese jo te gjithe funksionet pranojne nje zberthim te tille) dhe ne gjetjen e zberthimit. Per cdo ndarje te mundshme te bashkesise X te hyrjeve ne dy nenbashkesi disxhuntive Y dhe Z percaktimi nese funksioni i dhene pranon apo jo nje zberthim te thjeshte disxhuntiv behet nepermjet metodes se meposhtme: - behet nje ndarje e rastit e x ne dy nenbashkesi Y e Z. Variablat e nenbashkesise y quhen variabla te lidhur ndersa ato te Z quhen variabla te lire. - ndertohet diagrama Karnaugh ku variablat e lidhur vihen si variabla te kollones, ndersa variablat e lire si variable te thjeshte. kjo diagrame quhet diagrama e zberthimit - me shumellojshmeri te kollones do te nekuptojme numrin n te kollonave te ndryshme te diagrames. Mund te vertetohet se: nese shumellojshmeria e kolones n eshte jo me e madhe se dy, zberthimi i thjeshte disxhuntiv mund te behet. Perndryshe duhet te konsiderohet nje ndarje tjeter Y,Z dhe x. Realizimin e zberthimit le ta shikojme nepermjet nje shembulli. Konsiderojme funksionin te dhene nepermjet mintermave: f(x1,x2,x3,x4) = Σ m (0,3,4,7,12,15) Zgjedhim ndarjen Y ={x3,x4}, Z ={x1,x2} Diagrama korresponduese e zberthimit rezulton si ne fig a. shihet se shumellojshmeria e kollonave eshte dy keshtu qe zberthimi mund te behet f a) f b) Tani le te sintetizojme funksionin Φ (x3,x4). Secila radhe e diagrames se zberthimit mund te shikohet si nje funksion i variablave x3,x4. Vihet re re nja nga kater vijat eshte konstante (e ndertuar vetem me zero). Si vektor paraqites te Φ (x3,x4)do te marrim nje nder rreshtat jo konstante psh rreshtin funksioni Φ (x3,x4) do te rezultoje : Φ (x3,x4)= x3x4 + x3x4 Hapi i dyte i sintezes qendron ne percaktimin e funksioni F(Φ,x1,x2). per kete qellim ndertohet diagrama e reduktuar duke perdorur kollonat e ndryshme te diagrames se zberthimit. Ne diagramen e reduktuar fig. 14.3b koordinatat e rreshtave jane po ato x1 e x2. Kollonat do te emertohen me ane te vlerave 0 e 1 te Φ. nen vleren Φ=0 do te vendoset ajo kollone, variablat e se ciles ne diagramen e zberthimit kane nje konfiguracion te tille qe e bejne Φ te barabarte me zero. Nen Φ = 1 veme kollonen tjeter te ndryshme. nga diagrama e reduktuar nxjerrim shprehjen e funksionit F, F=x1 Φ + x2 Φ 31

32 15. Projektimi i rrjetave kombinatore me ane te qarqeve te shkalles se mesme te integrimit Qarqet e shkalles se mesme te integrimit (qe permbane qindra tranzistore ne nje piaster te vetme) paraqiten mjaft pershtatshme per sintezen e sistemeve kombinatore. Konsiderojme ne fillim dekoduesit. Dekoduesi eshte nje qark kombinator i cili ka n hyrje dhe k 2 n dalje. Per nje konfiguracion te caktuar te n hyrjeve, vetem njera nder daljet merr vleren 1 ndersa te tjerat ruajne vleren 0. Ne figuren 15.1.b paraqitet tabela e vertetesise se nje dekoduesi: X y x y Dekodues n3 n2 n1 no a) c) n3 n2 n1 no xy xy xy x y x y N 0 N 1 N 2 N Me n=2 hyrje e k = 4 dalje ne baze te se ciles sintetizohen daljet qe rezultojne minterma (fig c) Dekoduesit gjejne nje perdorim te gjere ne ndertimin e sistemve numerike nese ne daljet e tyre paraqiten mintermat e hyrjeve. Keshtu qe cdo forme kanonike shume produktesh mund te realizohet me ane te dekoduesit dhe nje porte OR. Si shembull aplikimi japim ndertimin e rrjetit kombinator per komandimin e treguesit me 7 segmente. Ky tregues eshte i ndertuar prej 7 segmentesh (te realizuar psh me dioda qe emetojne drite). Te vendosura si ne fig a dhe te ushqyer ne menyre te pavarur nga njeri tjetri. 32

33 Nje shifer cfaredo dhjetore mund te formohet duke ushqyer nje pjese te segmenteve sic tregohet ne fig b, si rrjedhim rrjeti kombinator qe komandon treguesin, ka aq hyrje sa eshte numri i biteve qe kodojne shifren dhjetore dhe shtate dalje. Per kodin BCD tabela e kombinimeve paraqitet ne figuren 15.3.a. x y z v a b c d e f G m m m m m m m m m m Fig a. Meqe dekoduesi ne dalje te tij jep te dhjete mintermat m 0 m 9. Shtate funksionet realizohen lehte me poshte: a = m 0 + m 1 +m 3 + m 5 + m 7 +m 8 + m 9 b = m 0 + m 1 +m 2 + m 3 + m 4 +m 7 +m 8 + m 9 c= m 0 + m 1 +m 3 + m 4 + m 5 +m 6 +m 7 + m 8 +m 9 d= m 0 + m 2 +m 3 + m 5 +m 6 +m 9 e= m 0 + m 2 +m 6 +m 8 f= m 0 + m 4 + m 5 +m 6 +m 7 +m 9 g= m 2 +m 3 + m 4 + m 5 +m 6 + m 8 +m 9 X 0 y 1 Z 1 v 0 D E K O D U E S m0 m1 m2 m3 m8 m9 Pervec dekoduesit nevojiten pra dhe shtate porta OR. Ne fig b tregohet realizimi i daljes a. Nga tabela e kombinimeve shihet se funksionet kane me shume njeshe se zero. Si rrjedhim mund te jete me ekonomike te realizohen funksionet e komplementuar (a,b,..) dhe pastaj t i invertojme. Ne kete rast do te kemi: a = m 1 +m 4 + m 6 b = m 5 + m 6 c= m 2 d= m 1 + m 4 +m 7 +m 9 e= m 1 + m 3 +m 4 +m 5+ m 7 +m 9 f= m 1 + m 2 + m 3 +m 8 g= m 0 +m 1 + m 7 33

34 Shenojme se nepermjet shembullit te mesiperme u trajtua dhe procesi i sintezes se rrjetave kombinatore me disa dalje.permendim se minimizimi i daljeve te vecanta ne keto rrjeta nuk siguron rrjetin me karta minimale. Le te konsiderojme tani koduesin i cili eshte nje sistem qe ka k 2 n hyrje prej te cilave njera merr vleren 1 dhe n dalje qe marrin nje konfigurarion te caktuar ne varesi te hyrjes se eksituar (daljet kodojne hyrjen e eksituar). Te shikojme se si realizohet sistemi qe kodon shifrat dhjetore nga 0 ne 9 me kodin BCD. W9 W8 W7 W6 W5 W4 W3 W2 W1 W0 Y3 Y2 Y1 Y W0 W1 KODUESI W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 y 3 y 2 y 1 y 0 Ne kete rast koduesi do te kete 10 hyrje dhe 4 dalje. (fig a). Tabela e vertetesise se koduesit paraqitet ne fig.15.4.b nga e cila gjejme: Y 0 = w 1 +w 3 +w 5 +w 7 +w 9 Y 1 = w 2 +w 3 +w 6 +w 7 Y 2 =w 4 +w 5 +w 6 +w 7 Y 3 =w 8 +w 9 Portat OR ne keto funksione jane realizuar ne fig c me anen e diodave. Kur njera nder linjat horizontale (hyrjet) merr vleren 1 atehere: 34

35 a) linjat vertikale (daljet ) e lidhura me ate linje horizontale nepermjet diodave marrin vleren 1. b) linjat vertikale jo te lidhura me ato horizontale ruajne vleren 0. nnje rrjet tjeter kombinator i shkalles se mesme te integrimit eshte multiplekseri apo zgjedhesi i cili ka: 1) n a hyrje a 1,...a n qe quhen hyrje te adresimit apo te zgjedhjes 2) n d hyrje d 1, d nd qe quhen hyrje te dhenash 3) nje dalje f Zgjedhesi funksionon si me poshte: cdo konfiguracion i mudnshem i aplikuar ne hyrjet e adresimit (apo secila gjendje zgjedhjeje) kodon adresen e njeres prej hyrjeve te te dhenave. Per nje gjendje zgjedhje te caktuar j (0 j n d ) ne daljen f, do te shfaqet vlera e sinjalit te aplikuar ne hyrjen e te dhenave d j. Ky pershkrim llogjik jepet ne tabelen e kombinimeve fig a. a1 a2 d0 d1 d2 d3 f x x x x x x x 0 x x x 1 x x x x 0 x x x 1 x x x x x x x 1 1 a) f = a 1 a 0 d 0 + a 1 a 0 d 1 + a 1 a 0 d 2 +a 1 a 0 d 3 a1 d0 d1 d2 d4 a0 f b) 35

36 per n d = 4. Sic shihet ne kete tabele hyrjet e adresimit jane te vecuara nga ato te te dhenave dhe per cdo gjendje zgjedhjeje j, na intereson vetem vlera e hyrjes d j te te dhenave, ndersa vlerat ne hyrjet e tjera te te dhenave mund te konsiderohen kondita indiferente. Shihet se tabela e kombinimeve ne fig a eshte shume me e reduktuar ne lidhje me tabelen qe do te pershkruante nje rrjet me 2+4= 6 hyrje. Kjo thjeshtesi vjen si rezultat i funksionimit te vecante te zgjedhesit. Funksioni f, jepet nga: f = a 1 a 0 d 0 + a 1 a 0 d 1 + a 1 a 0 d 2 +a 1 a 0 d 3 Skema llogjike e zgjedhesit me kater hyrje te dhenash paraqitet ne fig b. Zakonisht me zgjedhes me k hyrje, nenkuptohet zgjedhesi me k hyrje te dhenash. Zbatime : Pema e zgjedhesve Zgjedhesi ashtu si dhe dekoduesi perdoret gjeresisht ne sistemet numerike si psh ne sistemet e dendesimit ne kohe te sinjaleve etj. Shpesh mund te ndodhe qe numri i hyrjeve te zgjedhesit qe disponohet te jete me i vogel se numri i hyrjes se nevojshme ne sistemin qe kerkohet te sintetizohet. Ne kete rast ndertohet pema e zgjedhesve. Per shembull zgjedhesi me 16 hyrje d 0...d 15, i ndertuar me zgjedhesa me kater hyrje realizohet nepermjet pemes se zgjedhesve te paraqitur ne figuren Nga pikepamja e adresimit mund te thuhet se zgjedhesit z 0,z 1,z 2,z 3 jane te lidhur ne paralel (ne fakt ne hyrjet e tyre te adresimit jane aplikuar te njejtat variabla a 1,a 0. Hyrjet e te dhenave jane ndare ne kater grupe dhe aplikohen sipas radhes ne hyrjet e kater zgjedhesve. 36

37 a 1 a 0 d0 d1 d2 d3 Z 0 MUX f 0 a 1 a 0 d4 d5 d6 d7 Z 1 MUX f 1 a 3 a 2 Z 5 f a 1 a 0 MUX d8 d9 d10 d11 Z 2 MUX f 2 a 1 a 0 Figura 15.6 d12 d13 d14 d15 Z 3 MUX f 3 Daljet e ketyre zgjedhesve jane lidhur me hyrjet e zgjedhesit z 5, ne hyrjet e adresimit te te cilit aplikohen variablat e mbetur a 2,a 3. Supozojme tani se duam te zgjedhim variablin d 6. Gjendja e adresimit eshte:(a 3 a 2 a 1 a 0 ) = (0110). Adresimi (a 1 a 0 )=(10) dergon ne daljet f 0,f 1,f 2,f 3 perkatesisht d 2,d 6,d 10,d 11, adresimi (a 3 a 2 ) = (01) me ne fund dergon ne daljen f, vleren e f 1 dmth pikerisht d 6. B) Ashtu si dekoduesi edhe zgjedhesi mund te perdoret per te sintetizuar funksionet e komutimit. Supozojme se duhet te sintetizohet funksioni f(x 1,x 2,...x n ) me ane te nje zgjedhesi me 2 k hyrje. Per kete ndiqet rruga e meposhtme: - prej n variablave, k prej tyre zgjidhen si variabla adresimi - tabelen e kombinimeve e rendisim dhe e ndajme ne grupe radhesh qe kane te njejten konfiguracion vlerash te variablave te adresimit, pra te njejten gjendje adresimi. - per nje gjendje te caktuar adresimi i, bashkesia e radheve paraqet nje tabele kombinimesh te nje funksioni d i, me (n-k) variabla. Ky funksion duhet te aplikohet ne hyrjen d i te zgjedhesit. - sintetizohen 2 k funksionet me (n-k) variabla. Shihet se kjo metode kerkon sintezen e shume funksioneve. 37

38 Megjithate keto funksione kane nje numer te reduktuar variablash. Supozojme psh se duhet te realizohet funksioni me pese variabla, i dhene me ane te tabeles se kombinimeve si ne fig d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 X Y Z U V f X X X x X X X Fig.15.7 Duke perdorur nje zgjedhes me 8 hyrje, veprimet qe do te bejme ne baze te procedures se dhene me siper jane: 1. zgjedhim 3 varibla si variabla adresimi, psh zgjedhim x,y,z; 2. zgjedhja e bere nuk kerkon renditje te tabeles se kombinimeve; e ndajme tabelen ne 8 pjese secila e karakterizuar nga e njejta gjendje adresimi. Ne kete menyre tabelat e tete funksioneve d 0,...d 7 me dy variabla u e v; 3. sintetizojme 8 funksionet d 0,...d 7 duke i minimizuar me ane te diagramave Kaurnaugh. Do te kemi: d 0 =1 d 4 = v d 1 = u +v d 5 =0 d 2 =0 d 6 = u v d 3 =0 d 7 =1 Pervec zgjedhesit do te duhen pra nje porte OR, nje AND dhe dy NOT. Skema perfundimtare paraqitet ne fig b. Nese kerkohet te sintetizohet nje rrjet kombinator me disa dalje me ane te zgjedhesit, do te nevoiten aq zgjedhesa sa dalje jane. Duhet te shenojme se kompleksiteti i funksioneve te aplikuara ne d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 MUX a 2 a 1 a 0 X Y Z f 38

39 hyrjet e te dhenave te zgjedhesit varet ne pergjithesi nga zgjedhja e variablave qe zbatohen ne hyrjet e adresimit. 20. Qarqet kombinatore te shkalles se larte te integrimit, memoria ROM Ne paragrafin e meparshem pame dekoduesin dhe perdorimin e tij per realizimin e funksioneve te komutimit. Me interes paraqitet rasti i sintezes se disa funksioneve me te njejtat variabla (sistemet kombinatore me disa dalje). Nje pergjithesim i ketij fakti te con ne matricat e pergjithesuara. Konsiderojme skemen e pergjithshme ne fig Kemi te bejme me nje rrjet kombinator me n hyrje x 1,x 2,...x n dhe m dalje z 1,...z m. Rrjeti eshte i perbere nga dy seksione i pari eshte seksion AND i cili eshte ne fakt nje dekodues qe jep ne dalje 2 n minterma m o...m y (y=2 n -1) ne korrespondence te n variablave ne hyrje. Seksioni i dyte (seksioni OR) eshte i ndertuar me m porta OR qe realizojne shuma mintermash. X 1.. X n Seksioni AND m 0 m y Seksioni OR z 1.. z m Nje qark i tille quhet memorie qe vetem lexohet (ROM read only memory). Ne fakt konfiguracionet e hyrjes mund te konsiderohen si adresat e informacioneve ne seksion OR per cdo konfiguracion ne hyrje lexohet tek daljet z 1,...z m nje konfiguracion vlerash i cili mund te shikohet si nje fjale e shkruar ne menyre te perhershme ne memorie. Linjat qe dalin nga dekoduesi quhen shpesh linjat e fjales meqenese adresojne fjalet e seksionit OR, ndersa daljet z 1,...z m quhen linjat e biteve meqenese secila linje paraqitet me nje bit te fjales. Ne kete menyre nje ROM eshte e ndertuar nga nje bashkesi portash AND dhe OR te realizuara psh me dioda. Ne fig paraqitet skema e nje memorie ROM me 4 hyrje dhe 4 dalje qe realizon konvertimin nga kodi 8421 ne kodin 2421 shih fig a. 39

40 Linja e biteve (kodi dales kodi hyres Kodi (8421) Kodi (2421) X3 X2 X1 X0 m Y3 Y2 Y1 Y mo m m m m m m m m m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Fig.16.2 a) Vcc x3 x2 x1 x0 y3 y2 y1 y0 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 Fig b) Linjat e fjaleve 40

41 Hyrjet x 3,x 2,x 1,x 0 dekodohen ne linjat e fjaleve m 0,m 1,m 2,m 3, m 15 si ne fig.16.1 te cilat jane mintermat e meposhtem te dekoduesit te realizuar me portat AND me dioda. m 0 = x 3 x 2 x 1 x 0 m 1 = x 3 x 2 x 1 x 0... Pastaj kodohet secila linje ne kodin e deshiruar y 3 y 2 y 1 y 0. Nga tabela e kombinimeve nxjerrim: y 0 = m 1 +m 3 +m 5 + m 7 +m 9 y 1 = m 2 +m 3 +m 5 +m 8 +m 9 y 2 =m 4 +m 6 +m 7 +m 8 +m 9 y 3 =m 5 +m 6 +m 7 +m 8 +m 9 Kuptohet qe te per nje konfiguracion x 3 x 2 x 1 x 0 te caktuar ne hyrje vetem njeri prej 16 linjave te fjaleve do te kete vleren 1. Ne korrespondence te cdo linje fjale vihen 4 linja bitesh. Linjat e fjaleve te paaktivizuara (me vlere 0) nuk cojne ne 1 asnje nga linjat e biteve. Linja e aktivizuar e fjales dergon 1, ato linja bitesh qe jane te lidhura me te me ane te diodave. Keshtu psh ne fig b nese hyrjet jane (x 3 x 2 x 1 x 0 ) = (0111) aktivitozhet linja e fjales m 7 dhe fjala qe lexohet eshte (y 3 y 2 y 1 y 0 ) = (1101). Ne nje memorie ROM standard, seksioni OR eshte I plote dmth ndermjet cdo linje fjale dhe cdo linje biti ekziston lidhja me anen e nje diode. Projektuesi e adapton kete ROM per nevojat e veta, thjesht duke prishur lidhjet (diodat) qe nuk i interesojne. Problemi i minimizimit mund te shtrohet edhe ne rastin kur perdoret memoria ROM per te realizuar nje sistem kombinator. Minimizimi (reduktimi i kostos) mund te behet ne dy drejtime: - mund te reduktohen dimensionet (numri i linjave ne fjale) e seksionit AND duke perdorur nje seksion me n hyrje por me k< 2 n linja fjalesh. - Ose dimensionet e seksionit OR duke reduktuar dimensionet e fjales. Rasti i pare eshte me i zakonshem ne praktike. Ne kete rast, duhet te precizohen jo vetem lidhjet ne seksionin OR por edhe ato ne seksioninand. Qarqet e integruar te ketij tipi plotesisht te programueshem njihen me emrin matrica llogjike e programueshme (PLA programmable logic array). Skema e pergjithshme e nje PLA eshte njelloj si ajo ROM-it, vetem se numri i linjave te fjaleve p 0,p 1,.p k-1, eshte i reduktuar. Reduktimi ne lidhje me ROM-in konsiston ne mos venien ne seksionin AND te atyre mintermave qe nuk nevoiten per realizimin e sistemit. Supozojme psh se duhet te ndertohet transkoduesi me tabele kombinimesh si ne fig. (16.2.a) me ane te nje PLA. Duhet te reduktohet si rrjedhim numri i pergjithshem i termave produkt. Per kete perdorim diagramat Karnaugh (fig. 16.3) per tre funksionet Y 3,Y 2,Y 1. Persa i perket funksionit Y 0 vlen te merret Y 0 =X 0 (fig a) 41

42 X 1 x X 3 x X x x x 1 1 x x X x x x 1 1 x x X x x x 1 1 x x Y3 Y2 Y1 Fig 16.3 Zgjedhja e nenkubeve ne diagramat Karnaugh lejon qe termi x3 te perdoret per te tre funksionet Y 3,Y 2,Y 1, termi x 2,x 1 si per Y 3 dhe per Y 2, dhe termi x 2,x 1,x 0 si per Y 3 dhe per Y 1, kemi: Y 3 = x 3 + x 2 x 1 + x 2 x 1 x 0 Y 2 = x 3 + x 2 x 1 + x 2 x 0 (16.1) Y 1 = x 3 + x 2 x 1 + x 2 x 1 x 0 Y 0 = x 0 Nga shprehjet e 16.1, shihet se nevojiten vetem 6 terma (linja) ne hyrje te seksionit OR. Pra mjafton nje PLA me 4 hyrje, 4 dalje dhe 6 linja fjalesh (ne vend te nje ROM-i me 4 hyrje e 15 linja fjalesh.). Skema e PLA-se paraqitet ne fig x 3 x 2 x 1 x 0 p0 p5 y3 y2 y1 y0 p0 p1 p2 p3 p4 p5 fig

43 17. FUNKSIONET JO TE RREGULLTA Sistemi numerik mund te mos sillet sipas parashikimit per keto asye: - Eshte bere gabim ne projekt - Ne kondita statike dmth kur sinjalet e aplikuara ne hyrje mbahen ne vlera te dhena fikse, sistemi funksionon korrekt. Megjithate, kur kalojme nga nje gjendje hyrjeje ne nje tjeter, mund te vihen re funksione jo te rregullta, dmth gjate procesit tranzitor, sjella e sistemit eshte e ndryshme nga ajo ideale. - Ka defekte. Rastet 1 dhe 2, duhet te korrigjohen gjate fazes se projektimit, rasti i trete mund te verifikohet ne prodhim ose perdorim. Rastet 1 dhe 3 zgjidhen duke simuluar sistemin me ane te kalkulatoreve. Le te shqyrtojme funksionet jo te rregullta. Rasti i dyte mund te jete i komplikuar. Nje rast qe mund te dallohet dhe zgjidhet lehte paraqitet nga rrjetet me dy nivele. 0 1 Yz x y a d f z b a) b) Fig Konsiderojme funksionin e dhene me ane te diagrames Karnaugh. Forma algjebrike (shume produktesh) eshte: f= xy + xz Skema paraqitet ne fig b. Ne kondita statike, sistemi funksionon ne rregull, sipas diagrames Karnaugh. Supozojme se gjendja e hyrjes eshte (xyz) = (111) ne korespondence te se ciles, dalja e portes a eshte 1, dalja e portes b eshte 0, dalja e portes d eshte 1. Kalojme tani nga gjendja (111) e hyrjes, ne gjenfdjen (011). (ky kalim eshte i lejuar nese vetem nje variable i hyrjes ka ndryshuar vlere). Nese sistemi do te ishte ideal, portat a e b do te komutonin njekohesisht si rrjedhim dalja do te qendrone ne nivelin 1. Ne sistemin real ekzistojne vonesat. Supozojme se vonesat e shkaktuara nga portat a e b jane identike. Invertuesi fut nje vonese 43

44 shtese per shkak te se ciles dalja e portes b do te jete akoma ne nivelin 0. (pra nuk do te kete komutuar) ne kohen kur dalja e portes a ka shkuar ne 0. Keshtu gjate nje intervali kohe t, funksioni f merr vleren 0. Intervali t eshte i barabarte me vonesen me te cilen dalja e portes b komuton ne lidhje me daljen a. kemi te bejme me nje funksionim jot e rregullt qe quhet rrezik static i tipit 0 sepse gjate procesit te tranzitor gjenerohet nje 0 e padeshirua. Ne nje rrjet produkt shumash mund te ndodhe rreziku i tipit 1. Eleminimi i funksionimit jo te rregullt nuk do te mund te behej duke shtuar nje element vonese ne dalje te portes a meqenese funksionimi jo i rregullt do te paraqitej gjate kalimit te kundert (xyz)=(011) (111). Shenojme se nje rrezik statik i tipit 0 (1) ekziston sa here qe dy njeshe (zero) fqinje nuk jane mbuluar nga i njejti nenkub ne diagramen Karnaugh. Per ta eliminuar rrezikun statik duhet te futim pra terma te tepert ne menyre te tille qe cdo cift njeshesh fqinje te mbulohet nga i njejti nenkub. Ne rastin tone do te kemi: F = y + x z +yz Keshtu u fut termi yz, i cili nuk permban variablin e hyrjes x, qe ndryshon kur kalohet nga gjendja (111) ne (011) per te cilat funksioni merr vleren1. Kur kalohet ne rrjetat me shume nivele, apo ne qarqet MSI identifikimi dhe eliminimi i rreziqeve statike behet i pamundur. Ne kete rast problemi zgjidhet duke futur sinjale komande sinkronizues. Keshtu konsiderojme nje multiplekser te integruar i cili pervec hyrjeve te te dhenave dhe hyrjeve te zgjedhjes ka nje hyrje tjeter te quajtur strobe ose aktivizues. Multiplekseri hyn ne funksionim vetem atehere kur aplikohet sinjali i komandes tek strobe, sinjal qe aplikohet vetem pasi te jene stabilizuar te gjtha hyrjet (per te evituar perhapjen e funksionimeve jo te rregullta qe kane ardhur deri te hyrjet e multiplekserit). Ne menyre te ngjashme ne memoriet ROM jane te pajisura me nje hyrje aktivizuese (qe quhet zakonisht chip enable dhe shenohet me CE). Ne mungese te sinjalit ne hyrje memorja nuk funksionon. 44

45 II. Sistemet sekuenciale 1. Hyrje Gjate studimit te sistemeve kombinatore nuk eshte futur koha ne menyre eksplicite (pervec rastti te shqyrtimit te vonesave qe shkaktojne komponentet reale) dhe aq me pak nuk eshte konsideruar si nje variabel qe influencon ne sjelljen e nje sistemi. Ne fakt nje rrjet kombinator eshte perkufizuar si nje rrjet sjellja e te cilit varet vetem nga vlerat e castit te hyrjeve dhe nuk varet nga vargu i meparshem i ndodhive. Krejt ndryshe ndodh ne kategorine tjeter te sistemeve numerike. Sjellja e sistemit sekuencial ne nje cast te dhene varet si nga vlera e hyrjeve ne po ate cast ashtu dhe nga vargu i ndodhive qe kane ndodhur me pare. Ne kete menyre koha shfaqet si variabel i sistemeve sekuenciale. Kuptohet lehte se nje rrjet sekuencial duhet te kete memorie meqe sjellja e tij (prodhimi i daljeve) varet edhe nga historia e tij, dmth nga konfiguracionet e hyrjeve qe jane aplikuar me pare dhe nga radha e aplikimit te tyre. Konsiderojme psh nje telefon me butona. Secila nga shifrat perben nje hyrje. Nese nje person ben nje thirrje telefonike me 4 shifra ne castin t, sjellja e centralit do te varet nga: - Numri k i shifrave te formuara deri ne castin t, (lidhja telefonike do te behet vetem nese jane formuar 4 numra) - Vlerat qe marrin hyrjet ne castet t,t-(k-1), t-(k-2), t-1. Ne kete menyre centrali duhet te memorizoje te gjitha keto fakte. Me siper permendem kohe, ndodhi. Sistemet sekuenciale klasifikohen ne baze te menyres se shfaqjes se ndodhive dhe te njohjes se tyre nga sistemi. Ne rastin e telefonit, nje varg prej dy shifrash a e b, njihet nga sistemi vetem kur ndiqet kjo renditje e ndodhive: - Hyrja a, shtypet - Hyrja a, lihet e lire - Hyrja b, shtypet - Pra sistemi njeh tranzicionet e vlerave te hyrjeve dhe radhen sipas se ciles ndodhin keto tranzicione. Kemi te bejme ne kete rast me nje sistem asinkron ne te cilin vlerat e hyrjeve paraqiten me ane te niveleve. Konsiderojme tani sistemin e hyrjes se nje teleshkruesi. Teleshkruesi merr informacionin binar te transmeruar ne seri (dmth bit pas bitit) nepermjet nje linje. Cdo konfiguracion binar prej 7 bitesh paraqet kodin e nje shenje (germe, shifer etj.). Eshte e nevojshme qe cdo biti t i veme ne korresponence nje kohezgjatje dhe mbi te gjitha te futet nje kohezim qe do t i sherbeje njesise se hyrjes per te dalluar dhe ekzaminuar sinjalet qe arrijne nepermjet linjes. Rrjeti qe do te evoloje do te ndryshoje gjendje vetem ne korrespondence te sinjalit te kohezimit ose te sinkronizimit. Ky sinjal (qe shpesh quhet ora, clock nuk sjell informacion por i jep mundesi rrjetit te marre informacionin qe ndodhet te hyrjet dhe si rrjedhim te evoloje. 45

46 Ne fillim do te studjohen rrjetet sekuencilae te kesaj klase te fundit, dmth rrjetet sinkrone, duke shqyrtuar ne fillim disa tipe qe projektohen lehte para se te kalohet ne rastin e pergjithshem. Pas tyre do te merremi me sistemet sekuenciale asinkrone. 2. Struktura baze e rrjeteve sekuenciale sinkrone Eshte thene se nje rrjet sekuencial duhet te memorizoje ndodhite e shkruara, pra duhet te kete memorie. Sigurisht qe ne nje sistem fizikisht te realizueshem memoria duhet te jete e fundme, pra numri i ndodhive duhet te jete i fundem. Nese gjendjen e nje rrjeti sekuencial e perkufizojme si vargun e vlerave te hyrjes ne castet t-k, t-(k-1),.t-1,t, kushti qe vlera e k se te jete e fundme imponon faktin qe makina te kete nje numer te fundem gjendjesh. Struktura e pergjithshme e nje sistemi sekuencial sinkron paraqitet me fig ne kete skeme: M 1, M m jane elementet e memories. Secili element memorizon nje informacion binar. x 1 x n y 1 y m Rrjeti kombinator Y m z 1 z 2 Y 1 M m M 1 C p Cp eshte sinjali i sinkronizimit te sistemit (clock pulse). (y1,y2, ym) ky konfiguracion percakton gjendjen prezente te sistemit. Variablat y i quhen variablat e gjendjes (ose hyrjet sekondare). Ne baze te ketij konfiguracioni dhe te hyrjeve primare (x 1,x 2,..x n ) sistemi jep nje dalje te caktuar. (Y 1,Y 2,..Y m ) daljet sekondare. Paraqiten ne hyrjet e elementeve Mi per t u transferuar ne dalje te Mi me ardhjen e impulsit te sinkronizimit. Pra ky 46

47 konfiguracion percakton gjendjen e ardhshme te sistemit. Per te paraqitur ne menyre te plote sjelljen e sistemit duhet te percaktojme varesite e djaljeve primare dhe sekondare nga hyrje primare dhe variablat e gjendjes. Keto varesi mund te paraqiten me nje tabele tranzicionesh ne te cilen kolonat emertohen me ane te konfiguracioneve te hyrjeve primare, radhet emertohen me ane te konfiguracioneve te gjendjeve prezente. Ne kutiat e tabeles vendosen gjendja e ardhshme dhe daljet primare. 3. Bistablat Elementet e memories M i mund te ruajne vleren (0 apo 1) qe kishte hyrja perkatese ne castin e meparshem (t-1). Kemi te bejme me elemente sekuenciale (perderisa kane memorie) me dy gjendje pra me bistabla. Bistablat dallohen nga njeri tjetri: - Nga numri i hyrjeve - Nga sjellja ndaj ndryshimeve te hyrjeve 3.1 Bistabli SR Konsiderojme dy porta NOR te lidhura si ne fig 3.1a. Fig. 3.1a S t R t A t B Fig. 3.1.b t 47

48 Le te shikojme sjelljen ne kohe te ketij sistemi. Nderkohe diagramat ne kohe jepen ne figuren 3.1.b duke u mbeshtetur ne rezultatet e meposhtme). Supozojme se fillimisht S=R = 0 dhe A (Q ) =1, B (Q) =0. Daljet jepen nga relacionet A= S+ B B=R+A Duke zevendesuar kushtet fillestare, marrim: A= S+B = 0+0= 1 B = R+A = 0+1 = 0 Supozojme se hyrje S kalon nga niveli 0 ne nivelin 1 (R=0) Do te kemi: A=S+B = 1+0 = 0 B= R+A = 0+0 = 1 Pra daljet ndryshojne. Supozojme se hyrja S kalon nga 1 ne 0 (R=0). Do te kemi: A = S+B = 0+1 = 0 B= R+A = 0+0 = 1 Pra daljet nuk ndryshojne. Supozojme se hyrja R kalon nga 0 ne 1 (S=0). Do te kemi A= S+B = 0+0 = 1 B= R + A = 1+1 = 0 Pra daljet ndryshojne. Supozojme se hyrja R kalon nga 1 ne 0 (S=0) Do te kemi: A= S+B = 0+0 = 1 B = R+A = 0+1 = 0 Pra daljet nuk ndryshojne. Supozojme se hyrjet S e R nuk ndodhen kurre ne nivelin 1 njekohesisht pra imponojne SR=0. Me kete kusht, do te kemi: A=B Keshtu nuk kemi te bejme me dy dalje indipendente. Si dalje te sistemit marrim daljen B dhe e shenojme me Q. Kemi pra nje dalje te vetme te pavarur Q, sistemi eshte nje bistabel SR. Dalja e ardhshme Q jepet nga relacioni: Q = R+Q Q = S+Q Nga sa me siper shihet se nese S=1, atehere Q =1, pra S e vendos (SET) daljen ne 1. Nese R=1, atehere Q = 0, pra R e ben zero (RESET) daljen. Nese S=R =0, atehere Q =Q, pra gjendja nuk ndryshon. Ky bistabel komuton ne frontin rrites te hyrjeve, pra kur niveli ne nje hyrje kalon nga 0 ne 1. 48

49 Sjelljen e bistablit SR mund ta pershkruajme edhe me ane te tabeles se tranzicioneve. Shenojme se dalja Q eshte njekohesisht primare dhe sekondare. Tabela e tranzicioneve paraqitet si ne figuren 3.2.a. Q 0 SR x 1 S Q x 1 R Q Fig.3.2.a) fig.3.2.b) Ekuacioni i funksionimit eshte: Q =S+RQ Simboli i bistablit SR peraqitet ne fig. 3.2.b Bistabli SRT Le te shikojme se si transformohet bistabli SR ne menyre qe komutimi te komandohet nga hyrja e sinkronizimit T (Cp). Per kete shqyrtojme sistemin ne fig. 3.3.a. Sa S S Q T R R Q Ra Fig. 3.3.a 49

50 T (Cp) Fig.3.3.b S t R t Q t Q t Ne hyrjen T aplikohet sinjali i sinkronizimit. Ne mungese te ketij sinjali, bistabli SRT nuk ndryshon gjendje. Ne prezence te tij, hyrjet S dhe R transferohen te portat Not, keshtu bistabli SRT sillet si bistabel SR. Hyrjet S dhe R nuk duhet te ndryshojne vlere gjate impulseve te sinkronizimit te cilet jane shume te ngushte. Hyrjet Sa dhe Ra sherbejne per vendosjen ne 1 dhe per zerimin e bistablit ne menyre asinkrone (ne menyre te pavarur ng ahyrja sinkronizuese T). Ne figuren 3.4 a, paraqitet tabela e tranzicioneve, nga e cila nxirret ekuacioni i funksionimit te bistablit SRT: Q =TQ +T(S+RQ). Simboli i bistablit SRT paraqitet ne fig. 3.4.b. TQ SR x x x x 1 Fig. 3.4 a S T R fig.3.4.b Q Q 50

51 3.3 Bistabli JK, JKT Bistabli JK, me simbol si ne fig. 3.5.a, ne dallim nga bistabli SR, ne korrespondence te hyrjes JK =11, inverton daljen. Tabela e tranzicioneve per bistablin JKT jepet ne fig. 3.5.b. TQ JK J Q K Q Fig Bistabli DT Bistabli DT mund te pershkruhet si me poshte: T- hyrja e sinkronizimit D- hyrja e te dhenave (D-data) Sinjali i sinkronizimit, i aplikuar ne hyrjen T, transferon ne daljen Q vleren e aplikuar ne hyrjen D. Ne mungese te sinjalit ne hyrjen T, vlera e daljes Q nuk ndryshon. Ne fig. 3.6.a, paraqitet tabela e tranzicioneve ndersa ne fig. 3.6.b simboli. Q 0 1 DT D Q T Q Fig Bistabli T Bistabli T, ka nje hyrje te vetme, hyrjen T. Frontet rrites ne hyrjen T komutojne daljen Q te bistablit. Tabela e tranzicioneve dhe simboli jepen ne fig

52 Q T T Q Q Bistabli kryesor vartes Konsiderojme bistablin JKT si ne fig J S Q 0 1 T K R Q Fig Tabela e kombinimeve (fig. 5.1.) eshte bazuar ne llogjiken kombinatore e cila i konsideron hyrjet te pavarura nga daljet. Sidoqofte, per shkak te lidhjes se kundert Q(Q), ne hyrjen R (S), hyrja do te ndryshoje gjate impulsit te sinkronizimit (T=1) nese dalja do te ndryshoje gjendje. J K Q Q S R Q Q Fig Q Q 1 1 Q Q Q 0 Supozojme psh se (JKQ) = (110). Kur aplikohet impulsi i sinkronizimit, dalja Q behet Q = 1 sipas (radhes se shtate te tabeles, fig. 5.1.). 52

53 Ky ndryshim ndodh pas nje intervali kohe t te barabarte me vonesen e perhapjes permes dy portave NOR, ne seri te bistablit SRT. Tani do te kemi (JKQ)=(111) dhe nga radha e tete e tabeles gjejme se Q shkon ne 0. Keshtu konsiderojme se gjate kohes tp (kur T=1) dalja Q do te lekundet ndermjet vlerave 0 dhe 1...te fund te impulsit (T=0), vlera e Q eshte e dyshimte. Kjo situate mund te shmanget nese tp< t<t. Megjithate, ne qarqet e integruar, vonesa e perhapjes eshte shume e vogel zakonisht shume me e vogel se tp. Keshtu qe mosbarazimi i mesiperm nuk kenaqet, si rrjedhim dalja eshte e dyshimte. Mund te vendosen vonesa ne menyre qe t >tp. Ne praktike ky problem zgjidhet me ane te bistablave kryesor-vartes. (Master-slave). Ne fig. 5.2 paraqitet nje kaskade bistablash SRT ku dalja e te dytit, (vartesi) futet ne hyrjen e te parit (kryesori). Kur T=1, kryesori eshte i aktivizuar. Meqenese T=0, bistabli vartes eshte bllokuar, keshtu qe dalja Q nuk ndryshon gjate gjeresise tp, te impulsit te sinkronizimit. Eshte e qarte se dalja Q nuk lekundet me. J S Q K S Q V Q T T K R Q K R Q V Q T FIG.5.2 Kur impulsi i sinkronizimit shkon ne zero (T=0), atehere, T=1, keshtu qe bistabli vartes aktivizohet. Bistabli vartes eshte i tipit SRT. Ne kete menyre, ne intervalin ndermjet dy impulsive te T, vlera e dalje Qk, te kryesorit transferohet ne daljen Q. Si perfundim gjate impulsit (T=1), dalja Q nuk ndryshon, ndersa Qk ndjek llogjiken e bistablit JK; Ne fund te impulsit te sinkronizimit vlera e QK transferohet ne daljen Q. Duhet te theksohet se sinjalet J e K, duhet te mbahen konstante gjate gjeresise se impulstit sinkronizues, perndryshe do te kemi dalje te gabuar. 53

54 Regjistat rreshqites Regjistrat rreshqites jane qarqe sekuenciale shume te thjeshte dhe qe perdoren gjeresisht. Funksionin e pershkruajme me ane te skemes si ne fig X DA QA DB QB DC QC B C A T T T Cp FIG. 6.1 Tani per tani nuk interesohemi mbi faktin se ne cilin front komutojne, bistablat A,B,C. Deshirohet qe ne korrespondence te nje sinjali sinkronizimi, sinjali i jashtem x, te memorizohet ne bistablin A, gjendja prezente e A te tranferohet ne bistablin B, ajo e B ne bistablin C, i cili eshte bistabli i fundit gjendja prezente e te cilit humbet pra te merret nje rreshqitje ne nje pozicion e informacionit qe permbahet ne vargun e bistablave. Duke supozuar se permbajtja fillestare e bistablave A,B,C eshte 1010 dhe se x eshte x=0, ne fund te operacionit, permbajtja e bistablave A,B,C duhet te jete 010. Le te perdorim bistabla qe komutojne ne frontin rrites. Me frontin rrites te sinjalit te sinkronizimit Q A kalon ne 0. Ne daljen e bistablit B do te transferohet 1 (qe eshte gjendja e meparshme e bistablit A), ashtu sic duhet ose do te transferohet 0 (gjendja e re e bistablit A) ne varesi te vlerave te vonesave dhe te gjeresise se impulsit te sinkronizimit. Themi se sistemi funksionon ne menyre te rastit. Perdorim tani bistabla kryesor-vates, dmth me memorie ndihmese. Ne frontin rrites te sinjalit te sinkronizimit vlerat prezente ne hyrjet e ndryshme Di, memorizohen ne seksionet kryesore te tre bistablave, ndersa seksionet vartes mbeten te izoluar duke siguruar keshtu pandryshueshmerine e daljeve te bistablave. Ne frontin zbrites te sinjalit te sinkronizimit informacioni transferohet nga bistablat kryesore te vartesit, ndersa vete kryesoret jane te izoluar pra nuk ndryshojne gjendjen e tyre. Ne kete menyre rreshqitja kryhet ne rregull (shiko diagramat ne kohe ne fig. 6.2) 54

55 Cp Q MA 1 Q SA 0 0 Q MB 1 Q SB 1 Q Mc 0 Q SC Gjendja para rreshqitjes Gjendja pas rreshqitjes Operacionet e rreshqitjes perdoren gjeresisht si ne llogaritje ashtu edhe ne transmetimin e informacionit. Konsiderojme psh nje teleshkrues te lidhur me aparaturen e hyrjes se nje kalkulatori (fig. 6.3). Teleshkruesi Kalkulatori Fig. 6.3 Teleshkruesi dergon informacionin (fjalen koduese te nje shenje, te koduar psh me 7 bit) ne seri, bit pas biti, ne korrespondence te impulseve te sinkronizimit, ndersa kalkulatori, duke i tipit paralel kerkon qe te gjitha bitet t i marre ne shqyrtim pernjeheresh. Per kete eshte i nevojshem nje element 55

56 qe te mund te ngarkohet ne menyre seriale dhe pastaj te mund te lexohet ne paralel. Kemi te bejme me nje regjister rreshqites gjate 7 bit fig Q 6 Q 5 Q 4 Q 3 Q 2 Q 1 Q 0 Nga T.Sh. B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0 Cp Mund te paraqitet i kundert, kur nje informacion ne paralel (i dhene nga kalkulatori) duhet te manipulohet ne seri (nga teleshkruesi). Ne kete rast mund te perdorim nje regjister rreshqites qe pranon ngarkimin ne paralel. Nese permbajtja e regjistrit nuk duhet te humbase, D 6 D 5 D 4 D 3 D 2 D 1 D 0 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0 Fig. 6.5 Cp komande mjafton qe ta riciklojme informacionin dmth informacionin e marre nga bistabli me me vlere. Ne rastin me kompleks operacionet qe kerkon nje regjister rreshqites jane: - Ngarkim ne parallel - Rreshqitje majtas - Rreshqitje djathtas Sigurisht qe tre operacionet jane reciprokisht ekskluzive dhe dalin nga tre sinjale te ndryshem (qe mund t i quajme perkatesisht (P, SL, SR). Ne fig. 6.7 paraqitet skema e nje regjistri rreshqites te programueshem. Ne varesi te konfigurimit zgjedhes ab te multiplekserit realizohen rreshqitje te ndryshme sic tregohet ne tabelen fig

57 QA QA QA QA DA T DA T DA T DA T MUX MUX MUX MUX Q A Q B Q C Q D Q A Q B Q C Q D Q A Q B Q C Q D Q A Q B Q C Q D Fig a b funksioni Asnje rreshqitje, ngarkim paralel Rreshqitje majtas me 1 pozicion me 2 pozicione djathtas me 1 pozicion Shenojme se regjistrat rreshqites disponohen ne forme te integruar. Me ane te tyre realizohen shume thjeshte rrjetat sekuenciale sinkrone. 7. Numuruesit Numuruesi eshte nje rrjet sekuencial qe ka nje hyrje te vetme primare (ku aplikohet sinjali i numurimit) dhe nje sere daljesh nga ku lexohet gjendja dmth numri i ndodhive te numuruara duke u nisur nga momenti fillestar sipas nje moduli te caktuar. Keto dalje zakonisht koincidojne me ato te bistablave qe perbejne memorien e numuruesit (rralle here vendoset nje rrjet transkodifikimi). Karakteristikat ne baze te te cilave dallohen numuruesit jane: - Moduli, dmth numri maksimal i ndodhive qe mund te numuroje numuruesi. Nese moduli eshte M, numurimi shkon nga 0 ne M-1 dhe kthehet ne zero me ardhjen e ndodhise tjeter. Moduli eshte i lidhur me numrin e bistablave te nevojshem per te realizuar numuruesin. Per te numuruar M ndodhi nevoiten te pakten [log 2 M] bistabla (kllapat katrore tregojne rrumbullakosin me teprice). - Kodi sipas te cilit daljet paraqesin numrin e ndodhive te numuruara 57

58 - Natyra. Dallohen ne fakt numurues sinkrone dhe asinkrone. Ne te paret (fig.7.1.a) sinjali i numurimit aplikohet njekohesisht ne te gjithe bistablat dhe si rrjedhim edhe komutimet qe cojne ne gjendjen e re jane te njekohshme. Ne numuruesit asinkrone sinjali i numurimit nuk aplikohet ne te gjithe bistablat; te pakten nje bistabel nuk e merr kete sinjal. Per te arritur ne gjendjen e re dot e jete e nevojshme nje perhapje e komutimit (fig. 7.1.b). Rrjeti kombinator Rrjeti kombinator T A Q A A Q A T B Q B B Q B T C Q C T C Q C Cp T D Q D Cp T D Q D a) b) 8. Numuruesit binare Me numurues binar nenkuptohet nje numurues i bazuar ne kodin binar natyral. Moduli i nje numuruesi me N bistabla eshte 2 M. Le te sintetizojme nje numurues modul 8. Cikli i numurimit sipas te cilit do te evoloje numuruesi, paraqitet nga tete kombinimet binare te 3 biteve. Cdo gjendje e numuruesit identifikohet nga nje prej ketyre kombinimeve. Sinjali i numurimit dergon numuruesin nga njera gjendje ne tjetren. Ciklit te numurimit i korrespondon nje diagrame e gjendjeve e perbere nga nje cikel i vetem, ne te cilen cdo nyje paraqet nje gjendje dhe ka vetem nje hark dales (kalimi ne gjendjen e ardhshme). Pavaresisht nga natyra e numuruesit, diagrama e gjendjeve eshte ajo ne fig

59 Fig. 8.1 Le te realizojme ne fillim numuruesin sinkron. Supozojme se do te perdorim bistabla T. Arsyetime te njejta me ato te bera ne rastin e regjistrave rreshqites cojne ne konkluzionin se edhe ketu jane te nevojshem bistabla kryesore-vartes, dmth komutojne ne frontin zbrites. Duhet te identifikojme funksionet e eksitimit t i, te bistablave te ndryshem duke pasur parasysh se pastaj ato duhet te shumezohen llogjikisht me sinjalin e hyrjes Cp (Ti=ti*Cp). Bistablat T kane vetem nje hyrje). Keto produkte duhet te gjenerojne nje front zbrites vetem atehere kur bistabli korrespondues duhet te komutoje. Ne kete menyre ndertojme tabelen e eksitimeve si ne fig. 8.2.a. Q A Q B Q C t A t B t C Q B Q C Q B Q C Q A Q A t B t A a) b) c) fig Nga tabela 8.2.a dhe diagramat Karnaugh fig. 8.2.b.c, nxjerrim lehte se: T C =Cp=1 T B =Q C C p T A =Q B Q C C p 59

60 Qarku korrespondues eshte treguar ne fig Y 2 y 1 y 0 QA QB QC TA TB TC Cp Fig. 8.3 Mund te verifikohet lehte se per nje modul cfaredo n, funksioni i eksitimit te bistablit te i-te jepet nga: t i =y i-1, y i-2,..y 0 =y i-1 t i-1 (i>1) Kjo sygjeron dhe realizime te ndryshme: realizmi i pare analog me ate te fig. 8.3 ku cdo funksion eksitimi eshte i realizuar si AND i variblave te meparshem te gjendjes, realizimi i dyte rrjedh pikerisht nga shprehja t i =y i-1. Ne kete rastin e fundit struktura bistabel-qark eksitimi eshte plotesisht e perseritshme (pervec dy bistablave te pare). Kalojme tani ne projektimin e nje numuruesi binar asinkron. Supozojme se moduli eshte 8 dhe bistablat jane te tipit (kryesor vartes). Ndertimi i tabeles se funksioneve t i, te eksitimit behet duke ndjekur nje rruge te ndryshme nga ajo e meparshme. Ne fakt, bistabli mund te mos marre ne hyrje sinjalin e numurimit. I vetmi informacion qe mund te jepet eshte fakti qe nje komutim duhet te gjenerohet nga nje front zbrites ne hyrje (kur nuk kerkohet komutim, ne hyrje nuk duhet te kete front zbrites). Gjate ndertimit te tabeles se funksioneve te eksitimit, fig. 8.4.a, kolona tc, rezulton e plotesuart me njeshe te njepasnjeshem, (cdo dyshe gjendjesh te njepasnjeshem karakterizohet nga komutimi i bistablit C. Funksioni tc nuk ka fronte zbrites. Si rrjedhim komutim i bistablit C duhet te realizohet duke shumezuar tc me Cp per te krijuar frontet zbrites duke i sherbyer nga ato te sinjalit te numurimit. Persa i perket kolones t B, ate e ndertojme duke vendosur: - Nje 1 sa here qe kerkohet nje komutim - Nje 0 (nese eshte e mundur) menjehere pas 1-sht te meparshem per te realizuar frontin zbrites. Ne kete menyre plotesohet kolona t B shikojme se te gjithe frontet zbrites jane prezent. Do te kemi T B =t B Cp=QcCp 60

61 Q A Q B Q C t A t B t C Q B Q C x Q A x x 1 1 x x 1 1 x x x a) b) fig. 8.4 Me ne fund ndiqet po e njejta rruge per kollone t A. Megjithate ketu ndermjet 0 dhe nje 1 pasues ekzistojne pozicione ne korresponence te te ciles nuk duhet te kete komutim te bistablit. Vlera e t A ne keto pozicione eshte indiferente mjafton qe te mos gjenerohen fronte zbtires. Keto kondita do t i quajme kondita te indiferences se kondicionuar. Konditat e mesiperme do t i numurojme, per cdo grup, me radhe duke filluar nga kondita qe paraprin 1shin dhe duke u ngjitur te tjera drejt 0-os. Kushti qe te mos gjenerohet nje front zbrites ne nje grup konditash indiference te kondicionuar dmth se nese kondites x i i vihet ne korrespondence vlera 1, duhet t i vihet vlera 1 dhe konditave x i-1, x i- 2,..x 0. Ky kufizim duhet duhet te kihet parasysh ne fazen e minimizimit (fig. 8.4.b). Ne rastin tone gjendet (t A =Q B ) (i vihet vlera 1 konditave x0 dhe x0 ; I vihet vlera 0 konditave x1 dhe x1 ). Rrjeti qe fitohet praqitet ne fig. 8.5.a. Edhe ne kete rast mund te verifikohet me lehtesi se per nje modul cfaredo 2 n, kemi t i =y i-1, i>1. y 2 y 1 y 0 Cp QA TA QB TB QC TC Q C Q B Q A a) b) fig. 8.5 Ne fig. 8.5.b paraqiten diagramat ne kohe duke i konsideruar bistablat ideale (bistabla qe nuk shkaktojne vonesa). Ne dallim nga numuruesit sinkrone ku bistablat komutojne qe te gjithe ne korrespondence te impulsit numurues, te numuruesit asinkrone, bistablat per 61

62 shkak te vonesave, qe ato fusin nuk komutojne qe te gjithe menjehere. Ky fakt ilustrohet me ane te diagramave ne kohe te numuruesit asinkron modul 8, fig Eshte supozuar se gjendja e numuruesit eshte Q A Q B Q C = (011). Me ardhjen e nje impulsi numurues, numuruesi do te kaloje ne gjendjen Q A Q B Q C = 100. Shihet se te gjithe bistablat duhet te komutojne. Bistabli me me vlere n rastin tn e bistabli A do te komutoje pasi te kene komutuar te gjithe bistablat paraardhes. Cp Q C Q B Q A Fig NUMURUESIT DHJETORE Per te realizuar nje numurues dhjetor, dmth nje numurues modul 10, (qe te mund te numuroje nga 0 ne 9) do te duhen 4 bistabla. Per te realizuar nje numurues me disa shifra dhjetore, perdoren disa stade nje shifrore. Lidhja ndermet stadeve te ndryshme mund te jete sinkrone (fig.9.1a), ose asinkrone (fig.9.1.b) Cp a) b) fig.9.1. Tani do te shqyrtojme vetem realizimin e nje stadi te vetem. Lidhja ndermjet stadeve nxirret lehte. Shenojme se cikli i numurimit nuk perfshin me te gjitha gjendjet e mundshme te sistemit: ka 6 gjendje jo te dobishme qe nuk mund te bejne pjese ne ciklin e dobishem. Diagrama e gjendjeve mund te jete e tille qe: - Nga nje gjendje e dobishme te mund te kalohet ne ciklin e numurimit (fig. 9.2a) - Nga nje gjendje jo e dobishme te mos kalohet ne ciklin e numurimit (fig.9.2.b) 62

63 a) b) fig.9.2 Le te sintentizojme nje numurues dhjetor sinkron me kod 8421 (numurues BCD) me bistabla te tipit T (kryesor-vartes). Supozojme se nuk vihet asnje 63

64 kondite ndaj gjendjeve jo te dobishme. Si rrjedhim keto mund te trajtohen si kondita indiference. Ndertojme tabelen e funksioneve eksitues si ne fig. 9.3.a. Q Q Q Q t t t t Q 2 Q Q 2Q Q 8Q Q 8 Q x x x x 11 x x x x x x 10 x x t2 t Q 2Q Q 8 Q x x x x x x x x x x x x 11 x x x x x x x X 10 1 x x x x x X t x x x X Fig. 9.3 Me ane te diagramave Karnaugh (fig. 9.3.b) gjejme: t 1 =1 t 2 =Q 8 Q 1 t 4 =Q 2 Q 1 t 8 =Q 8 Q 1 +Q 4 Q 2 Q 1 shenojme se ne kete menyre konditave te indiferences i jane vene ne korrespondence vlera te caktuara. Keshtu psh ne gjendjen (Q 8 Q 4 Q 2 Q 1 ) = (1010), eksitimet jane (t 8 t 4 t 2 t 1 )= (0001). Si pasoje e nje impulsi te numurimit kalohet ne gjendjen 1011 (komuton vetem bistabli me me pak vlere). Pra nga nje gjendje e padobishme u kalua ne nje tjeter te padobishme. Duke vazhduar arsyetimi ne kete menyre, arrijme te ndertojme diagramen e gjendjeve (fig. 9.4). Per numuruesin e sintetizuar BCD sipas relacioneve 9.1 (fig. 9.5)

65 Q8 T8 Q4 T4 Q2 T2 Q1 T1 Cp Fig. 9.6 Le te projektojme nje numurues dhjetor sinkron me kod 8421 me keto kushte projekti: a- Te perdoren bistabla JKT b- Gjendjet e padobishme te formojne nje cikel te padobishem. Para se gjithash theksojme se sinjali Cp dergohet direkt te hyrja T e bistablave. Duhet te sintetizohen funksionet qe do te aplikohen ne hyrjet J e K te bistablave te vecante per te realizuar komutimet e deshiruara. Ne fillim plotesohet tabela (fig. 9.7.a) per dhjete gjendjet e dobishme. Do ishte e pershtatshme qe te merrnim J 1 =1, K 1 =1, gje qe nuk kompromenton kushtin b, meqenese bistabli 1, komuton gjithmone. Q 8 Q 4 Q 2 Q 1 J 8 K 8 J 4 K 4 J 2 K 2 J 1 K x 0x 0x 1x x 0x 1x x1 00 0x 1x X1 X x 0x x0 1x 01 0x 1x X1 X x 1x x1 x1 11 0x 0x X1 X x x0 0x 1x 10 0x 1x X0 X x x0 1x x1 J 2 K x x0 x0 1x x x1 x1 x x0 0x 0x 1x x1 0x 0x x x0 0x x x 0x 1x 0x x1 1x X X0 X0 X1 X x0 x0 0x x 0x 1X 0x x0 x0 1x X0 X0 X1 X x0 x0 X0 11 J 4 K x0 X1 X x 0x 0x 0x 01 0x 0x 1x 0x 11 X0 X0 X0 X0 10 X0 X1 X0 X0 J 8 K 8 Fig

66 Ne fig. 9.7 b. paraqiten diagramat Karnaugh te funksioneve J.K. prej diagramave nxjerrim: J2= Q 8 Q 1 +Q 4 Q 1 K2= Q 8 Q 1 +Q 4 Q 1 J4 = Q 2 Q 1 K4= Q 2 Q 1 J8= Q 4 Q 2 Q 1 K8 = Q 4 Q 2 Q 1 Kalojme tani ne sintezen e nje numuruesi dhjetor asinkron me kod me teprice 3. Do te perdorim bistabla te tipit T. Tabela e funksioneve eksistues ndertohet si ne rastin e numuruesit asinkron modul 8. Shohim se njeshe te njepasnjeshem ndodhen jo vetem ne kolonen t0, por edhe ne kolonat t 1 e t 2. Prezenca e nje njeshi do te thote qe duhet krijuar nje front zbrites. Kur kemi dy (apo me shume) njeshe te njepasnjeshme, fronti zbrites krijohet vetem me ane te shumezimit te funksionit eksitues ti me sinjalin Cp (Ti=t i Cp). Kjo na detyron qe konditat e indiferences se kondicionuar t i vendosim ne 0. Ne kete menyre fitohet tabela fig.9.8.a dhe diagramat Karnaugh (fig. 9.8.b). Q3 Q2 Q1 Q0 t3 t2 t1 t X X X 1 X X x X X X t X x x x x x X 00 x x 1 x x x x X x x x X 11 1 x X x x x x X x x x X t x x x X x x 0 x 01 x 2 x 1 1 X X X X 10 0 X 2 X 0 X 1 t3 10. Numuruesit me dy drejtime Shpesh paraqitet nevoja qe numuruesi te jete me dy drejtime, dmth te jete i afte te rrise permbajtjen e tij ose ta zvogeloje ate. Informacioni mbi drejtimin e numurimit mund te jepet me ane te nje sinjali te posacem. Supozojme se duhet 66

67 te sintetizohet nje numurues sinkron, modul 8 me dy drejtime duke perdorur bistabla T (kryesor vartes). Le te jete D sinjali qe percakton drejtimin e numurimit. Per D=0 numruesi numeron nga poshte lart, per D=1 numuruesi numuron lart-poshte. Tabela e funksioneve eksitues paraqitet ne fig. 10.1a, ndersa diagrama Karnaugh ne fig b. D=0 D=1 Q2 Q1 Q0 t2 t1 t0 t2 t1 t t t2 Fig Nga diagrama Karnaugh dhe tabela e eksitimeve nxjerrim. T 0 =1 T 1 =Q 0 D + Q 0 D T 2 = Q 1 Q 0 D + Q 1 Q 0 D 11. Numuruesit e integruar Ekzistojne numurues te integruar binare me module te ndryshem, BCD etj, sinkrone dhe asinkrone me nje dhe dy drejtime. Le te shikojme dy raste te vecanta. Konsiderojme ne fillim numuruesi binar te integruar me modul 16 (i cili mund te jete sinkron ose asinkron). Ai ka keto hyrje (fig a): A B C D C0 A B C D C0 A B C D C0 Ci Cp S C Ci Cp S C Ci Cp Set Clear Cp Aktivizimi Fig Hyrja e sinjalit te numurit Cp 67

68 - Hyrja e mbartjes Ci (Carry in). Eshte e lidhur direkt me hyrjen e bistablit me me pak vlere. Kjo hyrje quhet ndryshe edhe CE (Chip Enable) dmth aktivizuese e numuruesit. - Hyrja clear per zerimin e numuruesit - Hyrja set per vendosjen e numuruesit ne konfig Daljet A,B,C,D percaktojne permbajtjen e numuruesit (dalja A i korrespondon bitit me me pak vlere, dalja D bitit me me shume vlere). Ekziston edhe mbartja ne dalje C0 (Carry output) qe gjenerohet ne fakt nga produkti llogjik A*B*C*D. Per te realizuar nje numurues modul 256 lidhur dy numuruesa modul 16 nepermjet hyrjeve mbartese si ne fig b (Hyrja Ci e bllokut me me pak vlere lidhet me nivelin 1). Shqyrtojme tani numuruesin binary te programueshem. Ky numurues ka keto hyrje dhe dalje (fig.11.2.a). A B C D C0 A B C D Ci L C0 D A D B D C D B Ci L D A D B D C D B Cp R Cp a) b) fig hyrja e sinjalit te numuruesit Cp - Daljet e gjendjes ABCD - Mbartja ne dalje C0 - Mbartja ne hyrje Ci -hyrja e ngarkimit L. Kater hyrje D A D B D C D B qe lejojne ngarkimin ne paralel te kater bistablave me ardhjen e nje fronti zbrites ne hyrjen L. Sa kohe qe ne hyrjen L nuk paraqitet nje front zbrites, numuruesi funksionon normalisht duke kaluar neper 16 gjendjet e ciklit te vet te numurimit. Supozojme tani se duam te realizojme nje numurues modul 11 (fig.11.2.b). Hyrjet D A D B D C D B lidhen sipas konfiguracionit Duke patur parasysh se bistabli A eshte bistabli me me pak vlere, themi se ne hyrje eshte paraqitur numri 5. Nje front zbrites nga nje sinjal i jashtem R, inicializues ngarkon numuruesin me konfiguracionin 5. Duke u nisur nga kjo gjendje numuruesi evolon deri ne konfiguracionin 15. Si rrjedhim ne daljen C0 gjenerohet mbartja qe dergohet nepermjet nje invertuesi ne hyrjen e ngarkimit L. Fronti rrites i mbartjes ngarkon perseri numuruesin me numrin 5, si gjendje 68

69 fillestare. Ne kete menyre, u muar nje cikel numurimi nga 5 deri ne 15, dmth cikel me 11 gjendje (fig.11.2.c). 12. Realizimi i numuruesit me regjister rreshqites. Numuruesin mund ta realizojme edhe me ane te regjistriit rreshqites ( i cili ndodhet ne forme te integruar). Skema e pergjithshme paraqitet ne fig Rrjeti kombinator X D Q D Q D Q D Q T A T B T C T D Cp Fig.12.1 Rrjeti kombinator ne baze te gjendjes se regjstrit percakton hyrjen seriale S te regjistrit rreshqites. Vlera e S percakton gjendjen e ardhshme te regjistrit me ardhjen e sinjalit te numurimit. Ndertojme diagramen e plote te gjendjeve te ketij sistemit per nje numer n=3 bistablash. Do te kemi 2 3 =8 gjendje. Per nje vlere te S kalohet nga nje gjendje ne nje tjeter, ose ne vete gjendjen si ne fig fig

70 vihet re se ne kete diagrame kemi te paken nje cikel per cdo gjatesi cikli nga 1 deri ne 8 gjendje. Le te realizojme nje numurues me modul 5. Per kete mjafton te zgjedhim ne diagrame nje cikel me gjatesi 5, psh ate te shenuar me vija te nderprera, gjendjet e te cilit po i shkruajme me poshte: S= (000) Mbi hark eshte shenuar vlera e S qe e dergon sistemin nga nje gjendje ne tjetren. Tani nuk mbetet gje tjeter vecse te sintetizojme S (pra rrjetin kombinator). Per kete ndertojme tabelen e vertetesise si ne fig. 12.3a. (nga diagrama Karnaugh ne fig. 12.3b) gjejme S= Q B Q C. Skema e numuruesit paraqitet ne fig c. shenojme ne kete rast se kodi nuk mund e caktohet sipas deshires. Q A Q B Q C S x x x QBQC QA x 1 x x S=Q B Q C Cp D T A QA QB QC D T B D T C 13. Realizimi i numururesit me ane te memories ROM Rrjeti kombinator ne skemen e pergjithshme te numuruesit (fig. 7.1) mund te realizohet me ane te ROM-it. Daljet e seksionit OR i aplikojne me hyrjet e 4 bistablave (te tipit DT, ne kete menyre funksioni i eksitimit koincidon me gjendjen e ardhshme), ndersa daljet e bistablave i fusim ne seksionin AND.Kodi mund te caktohet sipas deshires. Le te sintetizojme nje numurues dhjetor sinkron me kod me teprice 3. Mekanizmi i numuruesit eshte si me poshte: Per cdo gjendje prezente te numuruesit, lexohet ne ROM konfiguracioni korrespondues i gjendjes se ardhshme qe aplikohet ne hyrjen e elementeve te memories. Nga tab. Fig nxirret skema e fig Q A Q B Q C Q D D A D B D C D D

71 Fig Q D Q C Q B Q A D Q A Q D Q A Q D Q A Q D Q A Q m o m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 Cp Fig

72 Llojet e Memorieve Ne kete seksion do te bejme nje prezantim te llojeve te ndryshme te memorieve te kompjuterit. Do te shohim memoriet RAM (random-access-memory), memoriet ROM (read-only memory), dekoduesit e radhes dhe kolonave, organizimin e memories chip, RAM-et statike, RAM-et dinamike, ROM e programueshme, EPROM-et, flash memoriet, memoriet chache etj. RAM Read Access Memory Memoriet RAM perbejne formen me te njohur te memories se nje kompjuteri. RAM konsiderohet si random access, akses i rastesishem, sepse ne mund te askesojme cdo qelize te memories direkt nese dime adresen e kesaj qelize (radhen dhe kolonen e saj), ne nje RAM tipik koha e aksesit eshte e pavarur nga vendndodhja e te dhenave ne pajisjen e memories. Me fjale te tjera koha e kerkuar per terheqjen e te dhenave nga nje vendndodhje brenda pajisjes se memories eshte gjithmone e njejte dhe mund te aksesohet me nje rregull/komande. RAM eshte e paqendrueshme keshtu qe te dhenat humbasin me fikjen e pajisjes ose shkeputjen e burimit te ushqimit. Nje tip tjeter memorie eshte memoria me akses serial SAM. Ky tip memorie ruan te dhenat si nje seri qelizash te memories qe mund te aksesohen ne menyre sekuenciale (psh si ne nje shirit kasete). Nese te dhenat nuk jane ne vendndodhjen korente, cdo qelize e memories kontrollohet deri sa te gjendet e dhena e kerkuar. SAM punon shume mire si memorie buffer, ku te dhenat normalisht ruhen me qellim qe te perdoren si memorie buffer ose karte video. Nje avantazh i SAM mbi RAM eshte qe RAM eshte nje memorie e paqendrueshme, ndersa tek SAM te dhenat ruhen edhe kur burimi i ushqimit eshte shkeputur. Me poshte ne do ndalemi vetem tek pajisjet RAM. Ne nje pajisje RAM, koha e aksesit e shenuar me t a, ilustrohet me diagramen kohore te figures me poshte: 72

73 Fig 1. Koha e aksesit e percaktuar Ne figuren 2, tregohet nje bllok diagrame e linjave te hyrjes dhe te daljes se nje pajisje tipike RAM. Fig 2. Bllok diagrama e nje pajisje tipike RAM Bitet e pajisjes se memories mund te jene te adresuara individualisht, ose mund te adresohen ne grupe me 4,16, 64 e keshtu me radhe. Keshtu nje pajisje me 64 M-bit ne te cilen te gjithe bitet jane individualisht te adresuar te njohur si 64Mx1, keshtu qe pajisja e konfiguruar si nje adrese 26 bit ku 2 26 =67,108,864 dhe per lehtesi eshte referuar si memorie me 64M fjale x 1bit. Ne kete rast, pjesa kryesore e nje bistabli (flip-flop) dhe qelizat jane te organizuara ne nje matrice katrore. Figura 3 me poshte tregon nje bllokdiagrame te pajisjes me 67, 108, 864 (8192 x8192) fjale me nga 1 bit referuar si pajisje RAM 64M x 1 qe arranxhohet me nje matrice katrore 8192 me

74 Fig. 3 pajisja RAM me 64M fjale me 1 bit. Ne figuren 3, gjate nje operacioni leximi, nje qelize eshte e zgjedhur per lexim ose shkrim duke aktivizuar radhen permes nje dekoduesi te adreses se radhes, dhe kolonen permes nje dekoduesi te adreses se kolones. Nje sensor detekton permbajtjen e qelizes se zgjedhur dhe ofron ate ne terminalin e te dhenave dalese te pajisjes. Nje operim i ngjashem eshte perdorur per operacionin e shkrimit. Shembull Kemi chipe RAM te cilat kane 4096 radhe dhe 256 kolona dhe duam te ndertojme nje memorie me 16M bit. a- Sa chipe RAM nevojiten per kete memorie? b- Sa radhe adresash na duhen, sa linja adresimi kolonash dhe linja per chipet RAM nevojiten? Zgjidhje: a- Sasia aktuale e memories 16Mbit eshte 16,772,216 dhe keshtu ne kemi nevoje per: 16,772,216 / (4096x256) = 16 chipe 4096 x256. b = 2 12 keshtu qe 12 bit jane te nevojshem per linjat e radheve qe nga 256 = 2 8 nevojiten 8 linja per kolonat. Ne duam gjithashtu dhe nje linje per cdo chip RAM ne total 16 chipe RAM per zgjedhjen e linjave. 74

75 Klasifikimi i RAM-eve RAM-et klasifikohen si statike dhe dinamike. RAM-eve statike i referohemi si SRAM-e, perdorin bistablat si qeliza te ruajtjes. RAM-eve dinamike i referohemi si DRAM, perdorin kondesatoret si qeliza te ruajtjes, por ngarkimi i kondesatoreve duhet te rifreskohet periodikisht. Avantazhi kryesor i DRAM mbi SRAM eshte per nje zone te dhene te pajisjes DRAM sigurojne kapacitet me te larte ruajtje. SRAM është një lloj i kujtesës që është më e shpejtë dhe më të besueshme se DRAM më të zakonshme (dinamike RAM). Termi Statike rrjedh nga fakti se ajo nuk ka nevojë të rifreskohen si memoria dinamike RAM. Ndërsa DRAM mbështet aksesin ne rreth 60 nanoseconds, SRAM mund të japin akses ne nje kohe me te shkurter deri në 10 nanoseconds. Përveç kësaj, koha e tij e ciklit është shumë më e shkurtër se ajo e DRAM, sepse ajo nuk ka nevojë për pushim në mes të akseseve. Për fat të keq, ajo është edhe shumë më të shtrenjtë për t u prodhuar se DRAM. Për shkak të kostos të lartë, SRAM është përdorur shpesh vetëm si një cache memorie. ROM- memoriet vetem te lexueshme ROM jane memorie ne te cilat informaconi binar eshte i parashkruar me nje metode speciale dhe permbajtja nuk mund te ndryshohet nga programuesi ose me ndonje software. ROM jane gjithashtu te qendrueshme keshtu qe nuk kane nevoje te riprogramohen pas shkeputjes se burimit te ushqimit. ROM-et jane perdorur per kryerjen e detyrave si konvertimi i kodeve, veshtrimi i nje tabele matematikore, dhe kontrolli per program per nje qellim special ne kompjuter. Si RAM-et dhe ROM-et jane organizuar me N fjale me nga M bit, dhe kur perdoruesi siguron nje adrese, ROM-i nxjerr ne dalje te dhenat e fjales qe shkruhen ne ate adrese, koha e kapjes per nje ROM eshte koha midis futjes se adreses dhe shfaqjes se rezultatit te te dhenave. Aktualisht ROM jane ndertuar me tranzistore MOSFET. Megjithate per thjeshtesi ne do te ilustrojme operimin e nje ROM tip me rezistenca dhe diode si ne figuren 4. 75

76 Fig. 4 Qarku i thjeshtuar i nje memorie ROM Qarku ROM ne figure konsiston ne nje dekoder, matrice diode, rezistenca dhe nje burim ushqimi. Diodat ne qarkun tone sherbejne si nje pajisje elektronike qe lejojne rrymen elektrike te kaloje vetem ne nje drejtim. Nje rezistence eshte nje pajisje elektrike ne te cilen kalimi i rrymes elektrike na jep nje renie tensioni (diference potenciali) permes terminaleve te sja. Burimi i ushqimit i shenuar me Vcc ushqen qarkun e ROM. Linjat e hyrjes X 0, X 1, dhe X 2 zgjedhin nje nga 8 daljet e dekoderit te cilat kur jane aktive, zgjedhin fjalen e duhur per t u shfaqur ne daljet Y 0,Y 1,Y 2,Y 3 keto dalje shkojne ne nivel Low (zero llogjike). Kjo ilustrohet ne qarkun me dioda dhe rezistenca te treguar ne figuren 5. Figura 5, Qarku i thjeshtuar me diode dhe rezistenca 76

77 Dalja Y eshte ne nivel Low, (0 llogjike), sa here qe linja e daljes se dekoderit e zgjedhur eshte aktive low, lejon rrymen elektrike te kaloje permes rezistencave dhe permes diodave qe shkakton nje renie tensioni te barabare me Vcc sic tregohet ne figuren 5a. Dalja Y eshte High (1 llogjik), sa here qe nje linja e daljes e dekoderit e zgjedhur nuk eshte active ne low, dhe ne kete rast nuk kemi kalim rryme dhe rezistence-diode formojne nje qark te hapur si ne figuren 5b. Tabela 1 me poshte tregon daljen Y te nje qarku ROM ne figuren 4 per cdo kombinim te hyrjeve. Tabela 1. Daljet per qarkun ROM te figures 4. ROM-et jane perdorur gjeresisht ne tabelet e kerkimit per funksione te ndryshme te tilla si funksionet trigonometrike, logaritmet, rrenjet katrore etj. Tabela 2 eshte nje shembull e nje tabele me 4 bit ne hyrje dhe nje 4 bit ne dalje te perdorura per te konvertuar nje kend nga 0 ne 90 grade me kosinuesin e tij. Tabela 2 Nje shembull i nje tabele kerkimi 77

78 Vlerat e daljes per cos Θ kuptohet qe do kene vlera me presje psh: Cos 30 o = 0.0. x x2-2 +1x x2-10 = Instruksionet e programit qe jane ruajtur ne njesine ROM me shume se te vensodura ne forme programi jane si pjese e prodhimit. ROM-et jane perdorur si gjenerues karakteresh referuar nje CGROM. Psh nje pajisje CGROM mund te projektohet per prodhimin e 128 karaktereve ne nje matrice 7 me 9. Per te zgjedhur nje nga karakteret, kodi binar i duhur aplikohet ne hyrjet e adreses se pajisjes. Te gjitha pajisjet CGROM jane te afta te zhvendosin karakteret g,j,p,q dhe y poshte linjes baze. Figura 6 tregon nje karakter te pashvendosur A dhe a ne karakterin e zhvendosur j. Figura 6 Karakteret nje nje CGROM tipik. Memoria ROM e programueshme Nje memorie PROM, ose ROM e programueshme, eshte thjesht nje ROM qe mund te jete e programueshme me procedura hardware. Fillimisht PROM-et permbajne te gjitha zero ne cdo bit te ruajtur ne fjalet binare. Bleresi mundet me pas te perdore programuesin e PROM per te ndryshuar zerot ne 1 sic deshiron dhe keshtu ne thyejme linkun e perfaqesuar ne nje gjendje dhe kalojme nje nje tjeter. Ne figuren 7 tregohet nje metode e thjeshte programimi per PROM ku cdo celes i mbyllur perfaqeson nje lidhje te paprishur dhe nje celes i hapur perfaqeson nje lidhje te prishur. Ne PROM-et celesat hapur/mbyllur te treguar ne figuren 7 jane aktuliaht siguresa. Ne nje PROM nje ngarkese dergohet permes nje kolone e cila kalon permes nje sigurese ne nje qelize e lidhur me token duke treguar vleren 1. Qe nga te gjitha qelizat kane nje sigurese fillimisht ne (bosh) gjendja e nje chip PROM eshte te gjitha 0t supozohet qe daljet e dekoderit jane active low. Per te ndryshuar vleren e nje qelize ne nje 1 logjik, ne perdorimin programuesin per te 78

79 derguar nje madhesi te rrymes ne nje qelize dhe kjo rryme na djeg siguresen. Ne perputhje me kete proces te njohur si djegja e PROM, duket qe PROM mund te programohet vetem nje here. Figura 7, Ilustrimi i nje PROM tipi te thjeshtuar. Memoria ROM e riprogramueshme EPROM Memoriet EPROM mund te fshihen dhe riprogramohet shume here. Per te rishikuar nje EPROM ne duhet me pare ta fshijme ate. Per te fshire nje EPROM, perdoret nje instrument i vecante qe leshon nje drite UV ne nje frekuence te caktuar dhe me kohezgjatje te caktuar. Nje EPROM e ndodhur ne treg, ne te cilen nje qelize e cila ndodhet ne nje pikprerje te nje radhe dhe nje kolone eshte zakonisht ne nje tip MOSFET me kanal n me dy porta njera e referuar si porta e fluskimit foating gate dhe tjetra si porta e zgjedhjes select gate. Keto dy porta ndahen nga njera tjetra me nje shtrese te holle oksidi. Porta floating gate eshte e programueshme duke aplikuar nje tension relativisht te larte zakonisht volt ndermjet derdhjes dhe burimit te MOSFET. Ky tension ben qe nje kjo porte te veproje si ne godites me elektrone. Elektronet e eksituar shtyhen permes kanalit dhe kalojne ne anen tjeter te 79

80 shtreses se holle te oksidit duke krijuar nje ndryshim negativ te ketyre ngarkesave qe veprojne si barriere ndermjet portes se zgjedhjes dhe floating gate. Nje pajisje e quajtur sensor i qelizave monitoron nivelin e ngarkeses se elektroneve qe kalojne permes kesaj porte. Nese fluksi i portes eshte me i madh se pragu 50% vlera ndryshon nga 0 ne 1. Kur ngarkesa kalon renien poshte pragut 50%, vlera ndryshon ne 0. Nje EPROM bosh ka te gjitha portat plotesisht te hapura dhe kjo rezulton me nje 1 llogjik ne cdo qelize te EPROM. Memoriet EPROM te riprogramueshme elektrikisht, EEPROM EEPROM eshte nje variant i memories EPROM qe mund te fshihet dhe riprogramohet pa perdorimin e drites ultraviolet. EEPROM-et heqin pengesat me te medha te EPROM-it. EEPROM nuk ka nevoje te rishkruhet dhe nuk eshte e nevojshme te kemi nje chip plotesisht te fshire. Megjithate ndryshimi i permbajtjes nuk kerkon nje pajisje shtese te dedikuar. Ne pergjithesi permbajtjet e EEPROM ndryshojne ne nje kohe gjendjen e nje byte. Megjithate pajisjet EEPROM jane shume te ngadalshme dhe perdorim me shume produkte qe kerkojne ndryshime te shpejta per nje pasjie ruajtese te dhenash. Memoria FLASH Flash Memoria, eshte nje memorie chip e rishkruajtshme qe mban permbajtjen e saj pa burim udhqimi. Ajo perdoret per ruajtje te thjeshte dhe te shpejte te informacioni ne telefonat celulare, ne kamerat dixhitale dhe video gamet. Memoriet flash punojne shume me shpejt se sa EEPROM tradicionale sepse shkruajne te dhenat ne nje madhesi zakonisht 512 byte ne vend te nje byte ne nje kohe. Nje nga perdorimet e shumta te flash memories eshte per sistemin hyrje dalje BIOS te nje kompjuteri. Detyra e BIOs eshte te beje te sigurte qe te gjitha pajisjet e tjera hard driver, porta, mirkoprocesore etj te funksionojne se bashku dhe ne menyren e duhur. Memory stick Nje memory stick eshte nje pajisje qe perdor memorien flash. Ajo u perdor fillmisht ne vitin Nje memory stick regjistron tipe te ndryshme te permbajtjes dixhitale, lejon ndarjen e informacionit midis produkteve te ndryshme digitale dhe mund te perdoret nje game te gjere aplikimesh. Dimensionet e nje memorie stick jane 1.97x inch. Nje madhesi edhe me e vogel e njohur si memoria stcik me dy media ka dimensione 1.22x0.79.x0.006 inch dhe eshte mjaft e perdorur ne aplikimet mobile. 80

81 Shpejtesia e aksesit teorike maksimale e nje memorie stick eshte rreth 150MBps por shpejtesia konkrete varet nga projektimi pajisjes hostuese. Pergjithesisht te gjitha memoriet stick jane te paraformatuara nga prodhuesi dhe jane te vlefshme per perdorim te menjehershem. Prodhuesi siguron instruksionet e riformatimit ne perdorimin e saj te mevonshem. Eshte e mundur qe te dhenat te trasferohet nga nje memory stick ne PC permes nje USB reader ose writer. Avantazhi i flash memory mbi hard diskun eshte se flash memoriet jane pazhurme, sigurojne akses me te shpejte, jane me te vogla ne madhesi dhe me te lehta dhe nuk kane pjese te levizshme, megjithate avantazhi i madh i hard diskut eshte kostoja per megabyte eshte shume me e lire dhe kapaciteti me i madh se sa ai i nje memorie flash. Nje memorie flash shume popullore eshte Smart Media e zhvilluar nga Toshiba, Smart Media Kard, jane te vlefshme me kapacitete 2MB deri ne 128MB. Karta eshte shume e vogel afersisht 45mm e gjate 37 mm e gjere dhe me pas se 1mm w holle. SMART media karte mund te fshihet shkruhet ne te dhe te lexohet. Ajo eshte e shpjete ka besueshmeri te larte dhe lejon perdoruesit te zgjedhe te dhenat qe deshiron te ruaje. Memoria Cache Memoria Cache eshte nje buffer i ruajtjes se shpejre. Ajo eshte esenciale per mikropocesorin e kompjuterit. Caching i referohet rregullimit te nje nensistemi te memories tipike te kompjuterit qe na lejon te kryejme detyrat tona ne kompjuter me shpejt. Keshtu qellimi kryesor i kesaj memorie eshte te pershpejtoje kompjuterin ndersa ne ruajme cmimin e kompjuterit ne nivel te ulet. Kompjuterat modern jane grupuar ne Cache L1 dhe L2 dhe keto terma shpjegohen me poshte. Le te konsiderojme rastin ku nje kompjuter tipik me memorie kryesore RAM me kohen e aksesit 20 nanosekonda dhe kohen e ciklit te mikroprocesorit 0.5 nanosekonda. Pa memorie cache mikroprocesori eshte i detyruar te operoje me kohen e aksesit te RAM prej 20 nanosekondash. Tani le te supozojme se nje mikroprocesor eshte ndertuar me nje madhesi te vogel te memories ne vijim te komponenteve te tjere dhe qe memoria ka nje kohe aksesi 05 nanosekonda, njelloj si koha e ciklit te mikropocesorit. Kjo memorie i referohet si Nivel 1 cache dhe shkurtimisht L1 cache. Le te supozojme gjithashtu qe ne vijim te cache L1 ne instalojme chipe memorie ne motherboard qe te kemi nje kohe 81

82 aksesi prej 10 nanosekondash. Kjo memorie i referohet nivelit te dyte ose shkurt L2 cache. Disa mikroprocesore kane dy nivele te ndertuara direkt ne chip. Ne kete rast mother board cache behet nivelin e 3, L3 cache per shkurt. Cache mundet gjithashtu te ndertohet direkt ne periferika. Hard disqet moderne vijne me memorie te shpejta te vendosura ne hard disk. Kjo memorie kontrollohet nga kontrolluesi i hard diskut. Keshtu per aq kohe sa eshte sistemi i operimit, keto chipe memoriesh jane vete disku. Kur nje kompjuter pyet per te dhenat nga hard disku, kontrolluesi i hard diskut kontrollon ne memorie para levizjes ne pjeset mekanike te hard diskut (i cili eshte shume i ulet krahasuar me memorien). Nese gjen te dhena qe komputeri ka pyetur ne cache, ai kthen te dhenat e ruajtura ne cache pa aksesimin e te dhenave ne vete diskun duke reduktuar keshtu shume kohen. Memoria virtuale Memoria virtuale i referohet nje skeme ku sistemi i operimit krijon hapesire ne RAM per te ngarkuar nje aplikim te ri. Memoria virtual, mund te mendohet si nje forme alternative e memories cache. Per shembull le te supozojme qe RAM eshte plot me aplikime te tjera te hapur nje kohe te caktuar. Pa memorien virtuale, ne do marrim nje mesazh qe RAM eshte plot dhe nuk mund te ngarkojme ndonje aplikim tjeter derisa ne te mbyllim nje aplikim dhe te ngarkojme nje tejter. Megjithate me memorien virtuale sistemi operativ shikon RAM per filat qe nuk jane perdorur se fundmi dhe kopjon ato ne hard disk. Kjo krijon hapesira per nje aplikim tjeter te ngarkohet. Kopjimi nga RAM ne hard disk ndodh automatikisht dhe perdoruesi eshte i pandergjegjeshem per kete operacion. Prandaj perdoruesit i shfaqet qe kompjuteri ka nje hapesire te palimituar te RAM. Memoria virtuale siguron perfitime qe hard disku mund te perdoret ne nje madhesi te madhe te RAM meqe hard disku kushton me pak. Hapesira e hard diskut qe ruan imazhet e RAM eshte quajtur nje page file. Ajo mban faqet e RAM ne hard disk dhe sistemi operativ leviz te dhenat prapa ndermjet faqeve te page file dhe RAM ne platformat e Windows page files jane nje zgjerim SWP. Praktikisht te gjitha sistemet e operimit perfshijne nje menaxher te memories virtual per te aftesuar perdoruesin per konfigurimin e memories manualisht ne ngjarjet qe punojne me aplikimet dhe qe kane nje shpejtesi kritike dhe kompjuteri yne ka dy ose me shume hard diske. Shpejtesia mund te jete nje problem serioz me qe shpejtesia e leximit dhe shkrimit ne nje harddriver eshte 82

83 shume me e vogel se sa RAM dhe teknologjia e hard drive nuk eshte projektuar per aksesimin e pjeseve te vogla te te dhenave ne nje kohe. Nese sistemi yne shtrihet gjeresisht ne memorien virtuale do te verejme nje renie te ndjeshme te performances. Kompjuteri yne duhet te kete nje RAM te kenaqshem per memorien virtual. Ne kete rast memoria virtuale alokohet ne menyren e duhur. Perndryshe sistemi i operimit detyrohet te mbaje constant informacionin. Scratch pad memory Kjo eshte zakonisht memorie e shpejtesise se larte e regjistrit te brendshem e perdorur per ruajtjen e perkohshme te te dhenave paraprake ose shenimeve. Ne nje rajon te rezervuar per memorien ne te cilen programet ruajne gjendjen e te dhenave. Scratch pad memory eshte memoria e shpejte SRAM qe zevendeson memorien cache te menaxhuar ne rruge hardware dhe mund te perdoret per te transferuar variablat nga nje detyre ne nje tjeter. 83

84 Konvertuesit ADC dhe DAC Sinjalet diskrete ne kohe, Kuantizimi Nje sinjal percaktohet nga ndryshimi i disa madhesive fizike si nje funksion i nje ose me shume variablave, ky ndryshim permban informacionin e dobishem qe ne na intereson. Per shembull nje sinjal i vazhdueshem ne kohe qe eshte periodik permban vlerat e tij te frekuences baze (kryesore) dhe harmonikat perberese te tij, gjithashtu vlerat e amplitudave dhe fazave te harmonikave individuale. Qellimi i perpunimit te sinjalit eshte te modifikoje sinjalin e dhene ne menyre te tille qe cilesia e informacionit te permiresohet ne drejtim te mirepercaktimit. Ka nje marredhenie funksionale ndermjet funksionit dhe variablit te pavarur qe na lejon ne te derivojme metodat e modelimit te sinjaleve dhe te gjejme daljen e sistemeveve kur ato ngacmohen nga sinjale ne hyrje. Ne percaktojme nje sinjal te vazhduar si nje funksion te nje variabli te pavarur qe eshte i vazhduar. Nje funksion i vazhduar ne kohe njedimensional f(t) eshte shprehur si nje funksion i kohes qe ndryshon ne menyre te vazhduar nga - ne +. Por ai mund te jete edhe funksion i disa variablave si temperatura, presioni etj. Sinjali mund te jete nje funksion i kohes real, ose me vlera komplekse. Ne mund te percaktojme gjithashtu sinjalin e vazhduar ne kohe si nje sinjal qe per te gjitha vlerat e kohes kemi vleren korresponduese te funksionit. Ne figuren e meposhtme jepen shembuj te dy sinjaleve te vazhduar ne kohe: Figura 1.1 Dy sinjale te vazhduar ne kohe Nje sinjal diskret ne kohe eshte nje funksion qe percaktohet vetem ne momente diskrete te kohes dhe i papercaktuar per te gjitha vlerat e tjera te kohes. Megjithese funksioni diskret ne kohe mund te jete i percaktuar ne vlera arbitrare te kohes ne intervalin e ndryshimit: nga - ne + ne do te konsiderojme vetem funksionet diskrete qe percaktohen ne intervale te barabarte te kohes dhe te percaktuar ne t= nt, ku T eshte nje interval fiks ne sekonda i njohur si perioda e 84

85 kampionimit dhe n eshte nje variabel i pavarur i percaktuar nga - ne +. Nese ne zgjedhim per te kampionuar funksionin f(t) ne intervale te rregullta prej T sekondash, ne gjenerojme f(nt) = f(t) t=nt, si nje sekuence numrash. Meqe T eshte fikse, f(nt) eshte nje funksion vetem i variablit te pavarur n, qe nga ne mund ta konsiderojme funksionin si f(n). Funksioni i vazhduar ne kohe f(t) dhe funksioni diskret ne kohe f(n) jepen ne figuren 1.2. Shpesh ne literatura te ndryshme sinjalin diskret e gjejme te shenuar me DT (discrete time). Nje funksion diskret ne kohe mund te jete me vlera reale ose komplekse. Vlerat e funksionit f(t) dhe f(n) supozohet te jene te vazhdueshem dhe marrin vlera ne nje diapazon te vazhdueshem pra kane vlera me nje numer te pafundem shifrash psh. f(3) = si ne figuren 1.2. Figura 1.2 Funksioni i vazhduar f(t) dhe funksioni diskret f(n) Nje qark mbajtes i rendit zero (ZOH) perdoret per kampionimin e sinjalit te vazhduar f(t) me nje periode kampionimi T dhe i mban vlerat e kampionit per nje periode deri ne kampionimin tjeter. Sinjali DT i gjeneruar nga ZOH tregohet ne figuren 1.3 ne te cilin vlerat e kampioneve mbeten konstante gjate cdo periode kampionimi. Sinjalet e perftuara ne kete menyre quhen sinjale me te dhena te kampionuara dhe perdoren gjeresisht ne sistemet e kontrollit te te dhenave te kampionuara dhe ne filtrat me komutim kapacitetesh (switched capacitor). Megjithate koha gjate te ciles kampionet mbahen konstante mund te jene nje fraksion shume i vogel i periodes se kampionimit ne keto sisteme. Kur vlera e nje kampioni 85

86 mbahet konstante gjate nje periode T (ose nje fraksion i T) nga qarku ZOH si dalje e tij merren vlerat e kuantizuara nga qarku i kuantizuesit. Ky proces quhet kodimi binar ose kuantizim. Figura 1.3 Sinjali me te dhena te kampionura Problemet e lidhura me kuantizimin do te trajtohen me vone, megjithate ne do te shohim shkurtimisht procesin e kuantizimit si ne vijim. Konsiderojme nje sinjal analog si ne figuren 1.2. Kur ai kampionohet, supozojme se sekuenca diskrete qe perftohet ka vlerat e dhena ne tabelen 1.2 Tabela 1.2 Numrat ne forme decimale dhe binare ta jane shprehur vetem ne gjashte shifra kryesore ne decimal dhe vlerat e tyre 86

87 ndersa numrat e shkurtuar jepen ne kolonen e trete. Kur keto shifra kuantizohen nga kuantizuesi me kater shifra binare (bite) vlerat decimale shkurtohen ne vlerat e niveleve diskrete te fundme. Vlerat binare te f(n) te listuara ne kolonen e peste te tabeles jepen ne figuren 1.4. Figura 1.4 Vlerat binare te f(n) pas prerjes ne 4 bite Do te konsiderojme ne fillim konvertuesit D/A qe jane me te thjeshte se konvertuesit A/D. Per me teper nje konvetues D/A shpesh perdoret ne strukturen e konvertuesve A/D. Konvertuesi D/A me rezistenca te peshuara Shtruktura e nje DAC me rezistenca te peshuara tregohet ne fig. e meposhtme. Hyrja eshte nje sinjal binal prej N bitesh..v= V n-1, V n-2, V 0, ne te cilen V k eshte nje tension me nivel llogjik 1 ose 0. Supozohet qe te gjitha Vk, jane njekoheshsiht disponibel. So 87

88 S1 S N-1 Ato veprjne mbi celsat S 0, S 1, S n-1. Kur V k eshte ne nivelin llogjik 1 apo 0, celsi Sk, vihet ne pozisionin 1 ose 0, duke lidhur rezistencen Rk me burimin e tensionit V(1) apo V(0). Biti me me pak vlere LSB, Vo ve ne veprim celsin S0. Veme re se rezistencat R 0, R 1, R i, jane te peshuara. Ato jane ne perpjestim te zhdrejte me peshen numerike te bitit, binar V i korrespondues. Per thjeshtesi, supozojme se V(1) = V R, V(0) =0 dhe R L =0. Rryma I LS ne dalje llogaritet si me poshte: I LS = V R (S N-1 /R N-1 + S N-2 /R N S 0 /R 0 ) = V R /R (S N-1 2 N S ) Ku S k marrin vleren 1 ose 0. Pra vlera numerike e I LS eshte ne perpjestim te drejte me vleren numerike te numrit binar S= S N-1, S N-2, S 0 (ajo me V= V N-1, V N-2, V 0 ). Ky porporcionalitet eksiston edhe kur R L, nuk eshte zero. Kjo mund te shihet nga fig. 2.2, ku konvertuesi eshte zevendesuar me qarkun e tij ekuivalent te Nortonit (duke perjashtuar rezistencen R L ), ku: r=r/2 N 1 Rryma ne R L jepet nga I L = r/(r+r L ) I LS Tensioni V 0 ne dalje rezulton V 0 =R L I L =R L V R /(R+(2 N -1)R L (S N-1 2 N S ) 88

89 Konvertuesi D/A me shkalle R-2R Konvertuesi i figures me poshte perdor rezistenca vetem me dy vlera R dhe 2R. Per thjeshtesi ne figure nuk jane treguar celesat. Duhet nenkuptuar se kur Sk=1, rezistenca perkatese lidhet me nje tension Vr, dhe kur Sk=0 rezistenca tokezohet. AA BB CC Per te pare se si kontribojne ne dalje bitet e ndryshem, konsiderojme kur S 0 =1 dhe S 1 =S 2 =S 3 =0. Duke aplikuar teoremen e Tevenimit hap pas hapi pas rezistences se pare shkalle, AA dhe pastaj pas te dytes ne BB, te tretes CC e keshtu me radhe merret qarku ekuivalent si ne figuren: V R /2 4 R + V0 - Nese do kishim deri ne kater bit ne hyrje kemi V R /2 4 dhe po t i kryejme keto veprime duke u nisur nga S 1 =1 e S 0 =S 2 =S 3 =0 do te gjejme nje qark ekuivalent si ne figuren 3.1 d, ku burimi i tensionit do te jete V R /2 3. Perfundimisht do te kemi V 0 = V R (S 3 /2 1 +S 2 /2 2 +S 1 /2 3 +S 0 /2 4 ) V 0 =V R /2 4 (S S S S ) Ne pergjithsesi nese do kemi N bit ne hyrje: V 0 =V R /2 N (S N-1 2 N-1 +.S ) 89

90 Shprehja e fundit nuk merr parasysh nje ngarkese te mundshme ne dalje. Vendosja e ngarkeses R L redukton daljen me nje faktor R L /(R L +R) Konvertuesi D/A me shkalle te invertuar Supozojme se hyrja numerike eshte 1000 (8V) ne momentin t=0 dhe me vone 0111 (7V). Do te supozojme se ndryshimet ndodhin njekohesisht. Megjithate per shkak te voneses ne shkallen me rezistenca rezulton se niveli 8V, bie menjehere ne 0V. Pastaj tensioni rritet ne 4, 6 dhe perfundimisht ne 7V. Ne shkallen e invertuar te treguar ne figuren me poshte, celsat jane lidhur direkt me amplifikatorin operacional, kemi toke virtuale. Eshte e qarte se rrymat qe rrjedhin ne shkalle jane te pavarura nga pozicionet e celesave. Mund te verifikohet se rryma e marre nga tensioni V R eshte I=V R /R dhe se rrymat ne rezistencat e vecanta jane te lidhur me fuqi te 2 sic tregohet. Celsat sherbejne per te drejtuar keto rryma ne amplifikatorin operacional ose ne toke. Gjithashtu mund te verifikohet se dalja e amplifikatorit V 0, jepet nga V 0 = V R /2 3 (S S S S ) Merita kryesore e konvertuesit me shkalle te invertuar eshte se rrymat ne rezistencen e shkalles nuk ndryshojne dhe nuk ka vonese te shkaktuar nga nevoja e ngarkimit dhe shkarkimit te kondesatoreve parazitare. Konvertuesit A/D Konvertuesit me krahasuese ne paralel 90

91 Skema e thjeshte e konvertuesit me krahasues jepet me poshte. Konvertuesi me krahasues. Ne konvertuesit A/D me krahasuese, te treguar ne figuren e meposhtme, sinjali analog ne hyrje ndryshon nga 0 ne V 0 (V) ndersa ne dalje kemi 3bit. Marredhenia ndermjet daljes numerike dhe hyrjes analoge paraqitet ne figuren e dyte me poshte, ku hyrja analoge eshte e ndare ne 8 zona. Gjashte prejt ketyre zonave jane S=V 0 /7. Dy zonat e tjera ne eksreme jane S/2= V 0 /14. Kur hyrja analoge bie ne zonen e poshtme, nga 0 ne V 0 /14(V), dalja e konvertuest A/D duhet te jete 000, sic eshte treguar. Figura

92 Nese dalja numerike do te rikonvertohej ne nje tension analog nepermjet nje D/A, leximi analog do te ishte 0(V), sic tregohet ne fig. me poshte. V R7 =13/14 V 0 V R7 =11/14 V 0 V R7 =9/14 V 0 V R7 =7/14 V 0 V R7 =5/14 V 0 V R7 =3/14 V 0 V R7 =1/14 V V 0 6/7V 0 5/7V 0 4/7V 0 3/7V 0 2/7V 0 1/7V 0 0 Fig.5.2 Keshtu konvertuesi A/D ka futur nje gabim, gabimin e kuantizimit. Ne zonen e poshtme gabimi eshte te shumten baraz me S/2=V 0 /14 (V). Njelloj kur hyrja analoge bie ne zonen qe shtrihet nga V 0 /14 ne 3V 0 /14(V), dalja numerike korresponduese do te jete 001. Kjo vlere numerike 001 do te interpretohet sikur perfaqeson tensionin analog V 0 /7. Ne kete menyre edhe ne kete zone, gabimi i kuantizimit do te jete perseri me i vogel se S/2=V 0 /14, pavaresisht se ne cilen pike te zones bie hyrja analoge. Tani duket qarte se arsyeja e vendosjes se zonave ne fig me siper eshte qe per te gjithe zonen e hyrjes nga 0 ne V 0 (V), gabimi maksimal i kuantizimit te jete i njejte. Ne fig e pare, kur hyrja analoge Va, bie ne zonen nga 0 deri ne 1/14V 0 (V), daljet e krahasuesve jane 0. Nese Va, bie ne zonen nga 1/14V 0 deri ne 3/14V 0 (V) atehere (K 1,K 2,K 3 K 7 ) = (10 0) etj. Daljet e krahasuesve shifrohen nga shifrusi (enkoduesi). Shembull: Konvertuesi A/D me krahasues fig. 5.1 duhet te konvertoje tensione analoge qe ndryshojne nga V 0 ne +V 0 (v) ne sinjal numerik me 3 bit ne paraqitjen me complement me 2. Percaktoni tensionin e referimit ne hyrjen e secilit krahasues. Ilustrojme rezultatin me nje diagrame te ngjashme ne fig me siper. 92

93 Kur dalja e A/D eshte 000, do te interpretohet si 0(V). Keshtu nese gabimi maksimal i kuantizimti duhet te jete S/2 si ne: V R7 =5/7 V 0 V R6 =3/7 V 0 V R5 =1/7 V 0 V R4 =-1/7 V 0 V R3 =-3/7 V 0 V R2 =-5/7 V 0 V R1 =- V 0-9/7 V /7V 0 4/7V 0 2/7V 0 0-2/7V 0-4/7V 0-6/7V 0-8/7V 0 Fig.5.3 Fig. 5.2 tregimi 000 do t i vihet ne korrespondence zones analoge (0+/-S/2) (V) si tregohet ne fig Tani lind nje problem tensioni analog ne hyrje ndryshon ne menyre simetrike ne lidhje me 0(V) ndersa ne dalje, ne paraqitjen me komplement me 2, kemi nje numer negativ me shume ne lidhje me numrat pozitiv. Nese per nje moment neglizhojme numrin me negativ (1000=-4), mbeten 7 dalje numerike. Si rrjedhim intervali (-V 0 V 0 (V), ndahet ne 7 zona secila me madhesi S=2/7V 0 dhe, si tregohet ne figura 5.3 seciles zone i vihet ne korrespondence nje dalje numerike. Tani marrim ne shqyrtim daljen numerike 100, e cila do te sherbeje per te paraqitur zonen (-8/7V 0 +/-S/2) = -8/7V 0 +/-1/V 0., dmth zonen (-V 0 _-(9/7V 0 )(v). Nese perdorim kete dalje fundi i zinxhirit te rezistencave ne fig. 5.3 duhet te vihet ne -9/7 V 0 (V) dhe do te duhen 7 krahasues me tensionie referimi V 0, -5/7V o etj, deri 5/7 V 0 (v). Nese neglizhojme kete dalje 100, zinxhiri i rezitancece duhet te vihet ne v o dhe dote nevojiten vetem 6 krahasuese. Konvertuesi A/D kaskade Ne konvetesusin A/D me krahasuesa numri i elementeve pothuajse dyfishohet per do bit shtese ne dalje, keshtu konvertuesi me 3 bit, kerkon 7 krahasues 7GG, ndersa konvertuesi me 4 bit do te kerkonte 15 krahasues, 15FF dhe nje rritje ne portat e shifruesit. Duke sakrifikuar shpejtesine e veprimit eshte mundur te veme ne kaskade konvertuesit me krahasuesa duke kursyer elementet. Nje 93

94 konvetues i tille kaskade tregohet ne fig. 6.1,. Konvertuesi siguron 6 bit ne dalje. Nje konvertues i tille, po te ndertohet si ne fig. 5.1 do te kerkonte =63 krahasues. Ne fig. 6.1 perdoren 2 konvertuese me 3 bit, qe perdorin 2(2 3-1)=14 krahasues. Konvertuesi i pare ADC 1 siguron 3 bitet me me vlere, ndersa ADC 2 gjeneron 3 bitet me me pak vlere. Supozojme se dalja numerike jep direkt ne volt madhesine e hyrjes analoge (psh paraqet 13 v). Ne kete rast madhesia e zones per ADC 2 eshte S 2 =1, ndersa per ADC 1 eshte 8V. Dalja numerike e ADC 1 aplikohet ne nje konvertues D/A. Diferenca V=Va-Va^ bie ne zonen e gabimit te kuantizimit te ADC 1. Kjo diference konvertohet ne forme numerike nga konvertuesi ADC 2. Shenojme se bitet e shtuar nga ADC 2 mund ta lene te pandryshuar ose te rrisin vleren numerike te paraqitjes perfundimtare me 6 bit. Do te dukej atehere se ne duhet te na krijohet nje V gjithmone 0 ose positive. Kete mund ta sigurojme duke vendosur nivelet e referimit te krahasuesve te ADC 1 ne.-8v; 0v, 8V,16V, Pastaj shifrimi behet ne menyre te tille qe kur Va bie ne zonen (-8 deri 0V) dalja numerike te jete 111, (duke perdorur komplementin me 2) kur Va bie ne zonen (0-8V) dalja te jete 000, kur Va bie ne zonen (8-16V) dalja te jete 001 etj. Kjo vendosje e zonave dhe shifrimi I bere nuk do te ishte pikerisht ajo qe kerkohej. Sepse supozojme se Va eshte me e vogel se 8(V) me nje p.m.v. Ne kete rast do te donim qe dalja 6 biteshe te ishte ne menyre qe gabimi i kuantizimit te jete jo me shume se +/-1/2 LSB, qe ne rastin tone eshte +/-0.5(V). 94

95 Dalja numerike e ADC 1 per Va me te vogel se 8V, do te jete 000. Edhe pse ADC 2 do te jepte nje dalje 111, tregimi 6 bitesh do te ishte , me nje gabim prej nje LSB te plote. Sic verifikohet lehte veshtiresia mund te kapercehet duke zhvendosur nivelet e referimit te krahasuesve ne drejtimin negativ me 1/2 LSB =0.5 (V). Ne kete rast V mund te rezultoje negative per ndonje zone te Va, por jo me me shume se 1/2 LSB e keshtu nuk kemi me veshtiresi. Diferenca e V e aplikuar ne ADC 2 dote jete tani ne zonen nga -05.v deri ne 7.5V. Konvertuesi me perafrime te njepasnjeshme Parimi i konvertuesit me perafrime te njepasnjeshme del nga shembulli i meposhtem.supozojme se kemi nje objekt, pesha e te cilit eshte e panjohur pervec faktit qe ajo ndodhet ndermjet 0 dhe 1 kg. Supozojme se kemi nje peshore dhe nje bashkesi peshash te njohura 1/2,1/4,1/8 kg etj. Keto pesha te njohura do te perdoren ne nje seri provash per te percaktuar peshen e panjohur. Objektin me peshe te panjohur w, e vendosim ne njeren ane te peshores. Ne anen tjeter vendosim 1/2kg. Nese rezulton w>1/2kg, e leme 1/2 kg ne peshore dhe shtojme 1/4 kg. Nese rezulton w<1/2 kg, heqim peshen 1/2kg dhe vendosim 1/4kg. Ne kete menyre vazhdojme te provojme me radhe peshat gjithnje e me te vogla me nje faktor 2-1. Kur pesha e proves se fundit ben qe peshora te anoje nga ana e peshave te njohura, heqim peshen e fundit dhe provojme peshen tjeter me te vogel. Keshtu nese eshte gjetur se duhet te leme peshen 1/2kg, te heqim 1/4 kg dhe te leme 1/8 kg, mund te perafrojme peshen e panjohur si: 1x1/2kg+0x1/4kg+1x1/8kg=5/8kg Duke i dhene vleren numerike 1/2 bitit binar me me vlere,1/4 tjetrit etj, per peshen e objektit mund te kishim paraqitjen 101. Eshte e qarte se duke vazhduar kete operacion me pesha gjithnje e me te vogla mund te percaktojme peshen e panjohur me nje precizion sa te duam. Nese numri i peshimeve te lejueshme te njepasnjeshme eshte i pakufizuar, procedura e pershkruar me siper eshte e pranueshme. Supozojme se numri i peshimeve eshte i fundem(sic ndodh zakonisht). Atehere per te zvogeluar gabimin e kuantizimit eshte e nevojshme te offsetojme peshoren, dmth ta menjanojme peshoren ne favor te se panjohures. Madhesia e offsetit duhet te jete e barabarte me gjysmen e peshes me te vogel. Kjo ilustrohet ne fig, 7.1 ku mund te behen dy prova te njepasnjeshme duke perdorur peshen 1/2 e 1/4 kg per te percaktuar nje peshe qe ndodhet ndermjet 0 95

96 dhe 1 kg. Ne fig. 7.1.a, diapazoni 0-1 kg eshte ndare ne 4 zona dhe secila zone identifikohet me nje paraqitje numerike. Gjithashtu eshte treguar interpretimi qe i jepet seciles paraqitje numerike. Supozojme tani se e panjohura eshte me e vogel se 1/4 kg me nje pmv. Do te rezultoje se ne nuk mund te perdorim as peshen 1/2 as 1/4 kg dhe tregimi numerik korrespondues do te ishte /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ Fig.7.1 a) b) Atehere gabimi i kuantizimit eshte 1/4. Nje gabim i tille do te takohet ne cdo zone tjeter. Supozojme tani se menjanojme peshoren duke i shtuar nje peshe ne anen e te panjohures. Atehere do te kemi 4 zonat se bashku me tregimet numerike si ne fgi.7.1.b. Nje peshe e panjohur me e vogel se 1/4 kg do te duket si nje peshe me e vogel se 1/8 +1/4 = 3/8 kg. Kjo peshe bie ne zonen me tregim numeric 01. Ky tregim do te interpretohet si 1/4 kg. Keshtu qe gabimi i kuantizimit eshte 1/8kg. Sic mund te shihet ne fig. 7.1b, intervali iri i te panjohures eshte (0-7/8) kg dhe sic mund te verifikohet, gabimi maksimal i kuantizimit qe kryhet ne secilen zone eshte 1/8kg. Konvertuesi me perafrime te njepasnjeshme me 3 bit. Ky konvertues eshte projektuar per te konvertuar sinjalin analog ne kod binar. Konvertimi kryhet me pese interval kohe. Tre nga keto intervale perdoren per te percaktuar 3 bitet, intervali i katert perdoret per te lexuar daljen numerike ndersa intervali i peste perdoret per te azeruar konvertuesin. Pese flip-flopet DT, FFA-FFE formojne nje numerues unazor modul 5, ne te cilin vetem njera prej daljeve Qa-QE eshte ne nivelin 1, nivel qe trasferohet nga A ne B,C E me 96

97 ardhjen e impulsive Cp. Tre flip-flopet FF1,FF2,FF3 perdoren per te regjistruar bitet numerike ku FF1 i korrespondon bitit LSB, ndera FF3 bitit MSB. Cikli i konvertimit fillon me Q A =1 dhe Q B =Q C =Q D =Q E =0. Atehere FF3 do te vendoset ne 1, ndersa FF2 e FF1 azerohen. Pra Q 3 Q 2 Q 1 =100. Konvertuesi D/A konverton tregimin numerik 100 ne daljen analoge V 0. Dalja Co e krahasuesit do te jete C 0 =0 ose C 0 =1 ne varesi te Va>=V 0 ose Va<V 0. Me ardhjen e impulsit tjeter Cp do te kemi Q B =1, Q A =Q C =Q D =Q E =0. Me Q B =1 porta AND 3 aktivizohet dhe FF3 azerohet nese C 0 =1 ose lihet ne 1 nese C 0 =0. Keshtu, ne me tentative vendosem ne 1 bitin me me vlere dhe ne fillim te intervalit te dyte te Cp,ky bit mbetet ne 1 ose ndryshon ne 0 ne varesi te krahasimit te Va dhe V0. Gjate intervaleve te tjere te Cp prova perseritet per bitet ne dy pozicionet e tjera. Intervali kur Q E =1 eshte nje interval ku nuk kerkohen krahasime dhe ne mund te lexojme daljen numerike si dhe te bejme kampionimin e sinjalit Va(t). Ne figuren e meposhtme jepet skema e nje konvertuesi flash ADC me 2 bit. Me poshte jepen skema te disa konvertuesve tipike. Skema e Konvertuesit me dy pjerresi tregohet ne figuren me poshte. 97

98 Tensioni ne dalje te konvertuesit me dy pjerresi. Gjithashtu kemi konvertuesit numurues, konvertuesin qe perdor konvertimin tension frekuence, konvertuesin qe perdor konvertimin tension kohe etj. Nje material shtese mbi konvertuesit jepet bashkelidhur. 98