1 / 47. Matematičko modeliranje u biologiji 3. MODEL BIOREAKTORA

Transcript

1 1 / 47 Matematičko modeliranje u biologiji 3. MODEL BIOREAKTORA

2 2 / 47 Model bioreaktora Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 3.1. Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka Ukoliko nema ogranićenja na hranjive sastojke, rast je opisan s P = b P Količina hrane ograničena (ne obnavlja se) povećanjem populacije, smanjuje se količina (dostupnost) hrane smanjuje se brzina rasta

3 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 3 / 47 Označimo S(t) - koncentracija hranjivih sastojaka P(t) - koncentracija populacije Napomena. volumen S(t) - ukupna količina hranjivih sastojaka N(t) = volumen P(t) - ukupna veličina populacije Brzina rasta (b) ovisi o S b(s)

4 4 / 47 Model bioreaktora Pretpostavke na b(s) Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka S = 0 - nema hranjivih sastojaka nema rasta b(0) = 0 Količina hrane neograničena - S = eksponencijalni rast b( ) = V Najjednostavnija funkcija b koja zadovoljava b(0) = 0 i b( ) = V je b(s) = V S K + S

5 5 / 47 Jackues Monod Model bioreaktora Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 1910, Pariz, Francuska 1976.,Cannes, Francuska Nobelova nagrada za fiziologiju i medicinu Jedan od utemljitelja molekularne biologije J. Monod (1949). The growth of bacterial cultures, Ann. Rev. Microbiol., 3, Proučavao brzinu rasta kultura bakterija Escherichia Coli K12. Ovisnost brzine rasta o koncentraciji hranjivih sastojaka (glukoza) Za konstantnu koncentraciju glukoze (S), brzina rasta je konstantna: P = b(s) P. Eksperimentalno utvr divao specifičnu brzinu rasta za danu koncentraciju glukoze

6 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 6 / 47 Eksperimentalno utvr dena veza izme du specifične brzine rasta i koncentracije hranjivih sastojaka: b(s) = V S K + S Monodova funkcija V - maksimalna specifična brzina rasta K - polusaturacijska konstanta = koncentracija supstrata na kojoj je specifična brzina rasta jednaka polovici maksimalne Sada je brzina rasta populacije dana s P (t) = V S(t) K + S(t) P(t)

7 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 7 / 47 Zakon o održanju mase: ukupna masa sustava je konstantna Sva hrana se pretvara u biomasu. Masa populacije = volumen P(t) m P (m P masa jedne stanice) Masa hranjivih sastojaka = volumen S(t) m S (m S jedinična masa hranjivih sastojaka) Definirajmo Y = m S m P volumen P(t) m P + volumen S(t) m S = const Y S(t) + P(t) = const d [Y S(t) + P(t)] = 0 dt S (t) = P (t) Y S(t) P(t) = V K + S(t) Y

8 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka Monodov model P (t) = V S(t) K + S(t) P(t) S (t) = V S(t) P(t) K + S(t) Y P t S t Vrijeme 8 / 47

9 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka Iz slijedi Y S + P = C S = 1 (C P) Y P = V S K + S P = V Y C P K + 1 Y (C P)P = V (C P) K Y + C P P P = V (C P) K Y + C P P 9 / 47

10 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 10 / 47 Model dobro opisuje eksperimentalne podatke. Podaci za rast E. coli P t

11 11 / 47 Model bioreaktora Fazni portret sustava. Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka - Parametarski graf {(S(t), P(t)) t 0} Monodov model: P + Y S = C Linearna veza. C je definiran početnim uvjetima: C = P(0) + Y S(0) = P 0 + Y S 0

12 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 12 / P P t S t

13 Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 13 / P

14 14 / 47 Model bioreaktora Fazni portret za Monodov model Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka P

15 Rast i mirovanje 15 / Rast i mirovanje Kada su hranjivi sastojci potrešeni (nedostupni), stanice mogu prijeći u stanje mirovanja (engl. quiescence). U tom stanju mogu biti dugo vremena. Uvodimo još jednu populaciju stanica (stanice u mirovanju), Q: S - koncentracija (ograničenih) hranjivih sastojaka P - populacija stanica u rastu (koncentracija) Q - populacija stanica u mirovanju (koncentracija)

16 Rast i mirovanje 16 / 47 Model izvodimo iz prijašnjeg modela: S = V S P K + S Y P = V S K + S P Q Q =? Napomena. Stanice u mirovanju ne troše hranjive sastojke. S ne ovisi o Q

17 17 / 47 Model bioreaktora Rast i mirovanje Pretpostavke: Brzina prijelaza iz P Q je proporcionalna P Brzina prijelaza iz Q P je proporcionalna Q Obje ovise o S (koncentarciji hranjivih sastojaka): Q = α(s)p β(s)q Izbor funkcija α(s) i β(s): Ako ima dovoljno hranjivih sastojaka (S velik) α(s) 0 i β(s) > 0 Ako nema hranjivih sastojaka (S 0) α(s) > 0 i β(s) 0 α(0) > 0, α( ) = 0 i β(0) = 0, β( ) > 0 α(s) = S i β(s) = S 1 + S

18 Rast i mirovanje 18 / 47 Model: S = V S P K + S Y P = V S P α(s)p + β(s)q K + S Q = α(s)p β(s)q Napomena. Ukoliko umjesto mirovanja imamo umiranje. Nema povratka Q P, β 0

19 Rast i mirovanje 19 / 47 S t P t Q t

20 20 / 47 Model bioreaktora 3.3. Chemostat model Chemostat model Monodov model - rast u zatvorenom sustavu. Nema dotoka hrane ili uklanjanja dijela populacije. Kulturu stanica je moguće uzgajati u fiksiranom volumenu gdje se hranjivi sastojci konstantno obnavljaju protokom medija kroz njih.

21 Chemostat model 21 / 47 U komori se, u mediju, nalaze stanice i hranjivi sastojci (supstrat) Izmješani su idealno (koncentracija stanica i hranjivih sastojaka u komori je uniformna) Supstrat konstantnim tokom dotječu u komoru Istom brzinom sadržaj komore istječe, održavajući volumen konstantnim ω - brzina ispiranja (engl. washout rate) = brzina toka (volumen/vrijeme) / volumen komore

22 Chemostat model 22 / 47 Ovakav bioreaktor se naziva chemostat ( Chemical environment is static) ili CSTR ( continuosly stirred tank reactor) Dotok hranjivih sastojaka/supstrata se može regulirati Tako der se može regulirati temperatura, dovod kisika,... može se uzgajati više populacija (u različitom me duodnosu) biološki model za složene ekosustave

23 Izvod modela Model bioreaktora Chemostat model Promjena koncentracije supstrata: Q = dotok iz spremnika - potrošnja populacije - ispiranje Promjena koncentracije populacije: P = dioba - ispiranje brzina diobe: V S P (Monodova funkcia) K + S brzina potrošnje supstrata: V S P K + S Y brzina dotoka supstrata: ω S 0 Ukupan dotok (brzina): ω ν (ν - volumen komore) Ukupan dotok supstrata: ω ν S 0 Povećanje koncentracije supstrata: ω ν S 0 /ν = ω S 0 Ukupno istjecanje (brzina): ω ν (= ukupan dotok) Istjecanje - populacija: ω P(t) Istjecanje - supstrat: ω S(t) 23 / 47

24 Chemostat model. Model bioreaktora Chemostat model S = V S P K + S Y + ω S 0 ω S P = V S K + S P ω P S t P t / 47

25 25 / 47 Biofilm. Model bioreaktora Chemostat model Tijekom rasta u komori stanice se mogu početi lijepiti za stijenku komore. Biofilm. Sada se u komori nalaze stanice koje slobodno plutaju u mediju (P) stanice priljepljene za zid komore (Q) Stanice priljepljene za zid komore imaju drugačiju potrošnju hranjivih sastojaka (manja dostupnost) manja specifična brzina rasta ne istječu s medijem iz komore Stanice se priljepljuju za stijenku komore brzinom α = α(s) (prijelaz iz populacije P u populaciju Q) Uslijed protoka medija, stanice se odljepljuju od stijenke komore brzinom β = β(s) (prijelaz iz populacije Q u populaciju P)

26 Chemostat model 26 / 47 Model: S = V S P K + S Y V Q S P K Q + S Y ω (S S 0) S P = V S P ω P α(s) P + β(s) Q K + S Q = V Q S P + α(s) P β(s) Q K Q + S

27 Chemostat model 27 / 47 S t P t Q t

28 28 / 47 Model bioreaktora Chemostat model Hranidbeni lanac. Rast s ograničenim hranjivim sastojcima U posudi su tri vrste mikroba (P 1, P 2, P 3 ). Populacija P 1 konzumira supstrat S 1 koji koji se nalazi u posudi. P 1 proizvodi supstrat S 2 za populaciju P 2 P 2 proizvodi supstrat S 3 za populaciju P 3 S 1 P 1 S 2 P 2 S 3 P 3 Populacija P 1 supstrat S 2 proizvodi brzinom m 2 Populacija P 2 supstrat S 3 proizvodi brzinom m 3

29 29 / 47 Model bioreaktora Krenut ćemo od Monodovog nodela. Chemostat model Pretpostavljamo da sve stanice proizvode suptrat. Izvedimo jednadžbu za populaciju P 1. Rast populacije je opisan s: Proizvodnja supstrata: m 2 P 1. Promjena supstrata S 1 : P 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 Jednadžbe: S 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 Y 1 m 2 Y 1 P 1 P 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 S 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 Y 1 m 2 Y 1 P 1

30 Chemostat model 30 / 47 Druga populacija analogno. Povećanje koncentracije supstrata: m 2 P 1. P 2 = V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 S 2 = m 2 P 1 V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 Y 2 m 3 Y 2 P 2 Isto i za populaciju P 3, jedino što nema proizvodnje supstrata: P 3 = V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3 S 3 = m 3 P 2 V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3 Y 3

31 Chemostat model 31 / 47 Model: S 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 Y 1 m 2 Y 1 P 1 P 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 S 2 = m 2 P 1 V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 Y 2 m 3 Y 2 P 2 P 2 = V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 S 3 = m 3 P 2 V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3 Y 3 P 3 = V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3

32 Chemostat model 32 / 47 P 1 t P 2 t P 3 t Populacija se smanjuje!

33 Chemostat model 33 / 47 S1 t S2 t S3 t Negativne koncentracije supstrata!

34 Chemostat model Stanice proizvode supstrat i kada više nemaju svojih hranjivih sastojaka! Treba koristiti model s uključenim stanicama u mirovanju. Supstrat proizvode samo aktivne stanice. Kada nema hranjivih sastojaka, stanice su u stanju mirovanja i nema proizvodnje supstrata. Zadatak Modificirajte prethodni model tako da uključite i populaciju stanica u mirovanju. 34 / 47

35 35 / 47 Rješenje. Model bioreaktora Chemostat model S 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 Y 1 m 2 Y 1 P 1 P 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 α 1 (S 1 ) P 1 + β 1 (S 1 ) Q 1 Q 1 = α 1 (S 1 ) P 1 β 1 (S 1 ) Q 1 S 2 = m 2 P 1 V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 Y 2 m 3 Y 2 P 2 P 2 = V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 α 2 (S 2 ) P 2 + β 2 (S 2 ) Q 2 Q 2 = α 2 (S 2 ) P 2 β 2 (S 2 )Q 2 S 3 = m 3 P 2 V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3 Y 3 P 3 = V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3 α 3 (S 3 ) P 3 + β 3 (S 3 ) Q 3 Q 3 = α 3 (S 3 ) P 3 β(s 3 )Q 3

36 Chemostat model 36 / 47 P 1 t S1 t P 2 t S2 t P 3 t S3 t Negativne koncentracije supstrata!

37 Chemostat model 37 / 47 I dalje se troši supstrat kada ga nema. Modificirajmo proizvodnju supstrata. Ako nema supstrata S 1 onda nema niti proizvodnje supstrata S 2. Proizvodnja: S S 1 m 2 P 1 S S 2 m 3 P 2

38 Chemostat model 38 / 47 P 1 t S1 t P 2 t S2 t P 3 t S3 t

39 Chemostat model 39 / 47 Ako na isti način modificiramo model rasta s ograničenjem (bez populacije stanica u mirovanju) dobijamo Model: S 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 Y 1 S S 1 m 2 Y 1 P 1 P 1 = V 1 S 1 K 1 + S 1 P 1 S 2 = S S 1 m 2 P 1 V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 Y 2 S S 2 m 3 Y 2 P 2 P 2 = V 2 S 2 K 2 + S 2 P 2 S 3 = S S 2 m 3 P 2 V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3 Y 3 P 3 = V 3 S 3 K 3 + S 3 P 3

40 Chemostat model 40 / 47 P 1 t S1 t P 2 t S2 t P 3 t S3 t

41 41 / Domaća zadaća Model bioreaktora Chemostat model Izvedite model hranidbenog lanca s tri populacije za rast u chemostatu.

42 42 / 47 Model bioreaktora 4.4. Model infuzije lijeka Model infuzije lijeka Modifikacija chemostat modela se može iskoristiti kao jednostavan model utjecaja lijeka u krvi (npr. kemoterapija). Ovdje je S 0 - koncentracija lijeka u krvi koja ulazi u organ (u chemostat modelu je to bila oznaka za koncentraciju hranjivih sastojaka).

43 Model infuzije lijeka 43 / 47 P(t) - broj stanica izloženih lijeku (pretpostavka: sve su stanice jednake mase) V volumen krvi u organu, tj. volumen krvi u području u kojem se stanice tretiraju. F = F in = F out - brzina protoka krvi (l/s) S 0, S(t) - koncentracija lijeka Pretpostavka: stanice i lijek u organu su dobro izmiješani. Realističniji modeli npr. uključuju da lijek djeluje samo na vanjske stanice tumora. F je brzina toka krvi koja arterijom dolazi u organ i izlazi iz njega..

44 Model infuzije lijeka 44 / 47 Glavna razlika u odnosu na chemostat model: stanice se razmnožavaju brzinom koja je, u principu, nezavisna o lijeku. ali lijek ima negativni utjecaj na rast populacije stanica ubijajući ih. Brzinu ubijanja opisujemo nekom funkcijom K (S). krv na izlazu sadrži samo (neiskorišteni) lijek a ne i stanice. Pretpostavke su: stanice se razmnožavaju eksponencijalno brzina ubijanja je proporcionalna s K (S) P.

45 Model infuzije lijeka 45 / 47 Uočimo da je brzina ubijanja stanica modelirana s K (S) P. Broj ubijenih stanica u jedinici vremena ovisi o ukupnom broju stanica. Povećanjem broja stanica očekujemo i povećanje broja ubijenih stanica K (S) P je najjednostavnija funkcija koja to opisuje (parsimonija!)

46 46 / 47 Chemostat model: Model bioreaktora Model infuzije lijeka P = K (S)P ωp S = K (S) P Y + ω(s S 0) Rast populacije ne ovisi o koncentraciji lijeka (S): = K (S)P kp Nema otjecanja stanica: = ωp 0 Model infuzije lijeka: P = kp K (S)P S = αk (S)P + ω(s S 0 )

47 Model infuzije lijeka 47 / 47 Kako definirati funkciju K (S)? K (0) = 0 i K ( ) = β < = K (S) = βs a + S. Zadatak. Modificirajte model. Pretpostavku o eksponencijalnom rastu zamijenite logističkim ili Gompertzovim modelom.