Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ

Transcript

1 Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ Rok Lipnik 4.letnik, pedagoška matematika Celje,

2 1 Uvod Kaj naredi število tako popularno, da se z njim ukvarjajo že od starega Egipta? Odgovor je preprost: To število se pojavlja povsod v naravi in je eno izmed najbolj fascinantnih števil. S tem številom so se ukvarjali znani matematiki, umetniki, biologi,... med njimi tudi Platon, Evklid, Fibonacci, Kepler, Ohm, Da Vinci, Stradivari, Bach in Mozart. Vendar pa je število zanimivo tudi iz matematičnega vidika, saj ima presenetljivo veliko zanimivih lastnosti. Število, o katerem govorim, je zlati rez in ga matematično označimo s φ. Približna vrednost je , inverz, ki ga označimo s ϕ, pa ima vrednost φ 1= Vsi vemo, da ostane večini osnovnošolcev in srednješolcev v glavi število π, ker je zelo zanimivo in edinstveno, vendar pa se angleško govoreči matematiki radi pošalijo, da je φ še bolj zanimivo, saj velja: (φ) phi > pi (π) - že zgolj iz slovničnega zapisa fi prevlada. Idejo za izdelavo seminarske naloge z naslovom Zlati rez sem dobil predvsem iz Dan Brownove Da Vincijeve šifre, vedno pa me je zanimala tudi matematična podlaga. Glede na to, da zlati rez ni bil na programu srednje in osnovne šole v času, ko je naša generacija hodila v šolo, se mi zdi pomembno, da bolje spoznamo zlati rez. Med raziskovanjem sem ugotovil, da v knjižnicah načeloma ni gradiva v zvezi z zlatim rezom - v NUK-u imajo le 17 del, ki vključuje ključno besedo zlati rez, pa še od tega je 14 člankov, 1 zbornik, 1 katalog in 1 zbirka poezije. Po drugi strani pa je internet neizčrpen vir podatkov o zlatem rezu. Iskalni niz golden ratio v Googlu poda zadetkov, zlati rez pa ! Vire o zlatem rezu sem iskal tudi v matematični knjižnici na FMF, a so mi sporočili, da imajo le eno knjigo, ki pa je profesorjeva osebna last in si je zato ni mogoče izposoditi

3 2 Definicija Kako pa do tega strašno zanimivega števila sploh pridemo? Prvo definicijo je zapisal že Evklid v svojih Elementih, kasneje pa se je definicija dopolnjevala. A a a + b B b C Daljica predstavlja zlati rez oz. je risana v zlatem rezu, kadar velja, da je: a + b a = a b = φ = oziroma, kadar je razmerje dolžine daljice proti daljšemu delu enako razmerju daljše proti krajši stranici. Točki B rečemo zlata točka. Recimo, da je krajši del dolg eno enoto, zanima pa nas dolžina daljšega. Dobimo: x + 1 x = x 1 x + 1 = x 2 x 2 x 1 = 0 D = x 1,2 = 1 ± 5 2 Ker nas zanimajo le pozitivne rešitve je φ = Načeloma je to le en izmed načinov, kako definiramo φ. Lahko bi število definirali tudi kot: lim n kjer f n predstavlja n-to Fibonaccijevo število. Oziroma povedano drugače, kvocient sosednjih števil v Fibonaccijevem zaporedju konvergira proti zlatemu rezu. Če pogledamo podrobneje, vidimo da so razmerja sledeča: f n f n 1 1, 2, 1.5, 1.667, 1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618, 1.618, 1.618,... Vidimo, da že po desetih členih pridemo do treh natančnih decimalk. Je pa zlati rez še po eni strani močno povezan s Fibonaccijevim zaporedjem, namreč s pomočjo zlatega reza lahko izračunamo katerokoli Fibonaccijevo število! Velja: n C; f n = φn ( φ) n 5 2

4 Kot sem že prej omenil, je zlati rez povezan z inverzom, kar sledi iz definicije: φ = φ Od tod pa sledi: φ = φ φ = Še ena zanimiva zveza, ki sledi iz definicije: φ = 1 + φ φ = φ φ = Zlati rez je povezan s številom 5: 10 φ = φ = Velja tudi, da je peto Fibonaccijevo število enako 5, zato mnogi ugibajo, ali ima število 5 posebno težo. Obstaja pa celo zveza med π, e in φ, ki pa je zgolj numerična: φ. = 7π 5e Obstaja tudi φ-bonaccijev kvader, s stranicami dolžine 1, ϕ in φ, katerega površina je 4 φ. Prvih tisoč števk števila φ:

5 3 Konstrukcije Najlažji način je prikazan v definiciji, kjer razdelimo daljico na dva dela. Preostali načini pa so prikazani spodaj: 3.1 Prvi način 1. Narišemo kvadrat s stranico dolžine 1 (poljubna enota). 2. Kvadrat vodoravno razpolovimo na dva pravokotnika. 3. Iz desnega razpolovišča narišemo lok skozi levo zgornje oglišče. 4. Desni rob kvadrata podaljšamo navzgor dokler ne seka našega loka. 5. Presečišče izberemo za novo oglišče pravokotnika in kvadrat dopolnimo do pravokotnika. Kot je že na sliki nakazano, predstavlja nova stranica točno φ, v primerjavi s stranico kvadrata. Hitro lahko preverimo, da je dolžina stranice res φ. V malem pravokotniku je dolžina diagonale enaka 5, temu pa prištejemo še 1 in dobimo φ. Konstruiranemu 2 2 pravokotniku rečemo tudi zlati pravokotnik. Opomba: Dostikrat se namesto φ uporablja ϕ, vrednost pa se prebere iz konteksta. 4

6 3.2 Drugi način 1. Daljici AB dodamo v desnem oglišču pravokotno daljico, ki je dolga polovico dolžine AB - novo oglišče označimo s C. Točke A,B,C povežemo v trikotnik. 2. S šestilom narišemo lok iz C, ki gre skozi B - presečišče označimo z D. 3. S šestilom nato narišemo lok iz A, ki gre skozi D - presečišče označimo z S. Zlati rez je predstavljen v razmerju AS:SB (= φ : 1). Točka S je zlata točka. 3.3 Konstrukcija z dodatnim zunanjim delom 1. Daljici AS dodamo v desnem oglišču pravokotno daljico enake dolžine. Novo oglišče označimo s C. 2. Daljico AS razpolovimo - razpolovišče označimo z M. 3. S šestilom narišemo lok iz M, ki gre skozi C. Kjer lok seka nosilko daljice AS dobimo novo točko B. Zlati rez je predstavljen v razmerju AS:SB (= φ : 1). Točka S je zlata točka. 5

7 3.4 Evklidova konstrukcija 1. Daljici AB dodamo v levem oglišču pravokotno daljico, ki je dolga polovico dolžine AB - novo oglišče označimo s C. 2. Lok iz C, ki gre skozi B seka nosilko daljice AC v točki D. 3. Presečišče loka iz A, ki gre skozi D, in daljice AB označimo z S. Zlati rez je predstavljen v razmerju AS:SB (= φ : 1). Točka S je zlata točka. 3.5 Odomova konstrukcija 1. Narišemo enakostranični trikotnik. 2. Trikotniku orišemo krožnico. 3. Stranici trikotnika razpolovimo; točki označimo z A in S. 4. Presečišče nosilke daljice AS s krožnico (izberemo presečišče bližje S) označimo z B. Zlati rez je predstavljen v razmerju AS:SB (= φ : 1). Točka S je zlata točka. 6

8 3.6 Konstrukcija s pentagramom 1. Narišemo pravilno petkrako zvezdo (pentagram). 2. AB:BC = EG:EB = AC :C G = φ:1 Zlate točke so : B,C in E. 7

9 4 Zlati rez v vsakdanjem življenju Zlati rez se zelo pogosto pojavlja v našem vsakdanjem življenju, kar dokazujejo naslednja dejstva. 4.1 Človeško telo Pravzaprav je človeško telo sestavljeno iz zlatega reza, kar je vedel že Leonardo Da Vinci - to je tudi uporabil pri Kanonu proporcev. V zlatem rezu so: Višina : višina od popka do tal Višina od kolka do tal : višina od kolena do tal Dolžina n-tega členka : dolžina (n+1) členka Dolžina prvega zoba : dolžina drugega zoba Dolžina od brade do zgornjega zoba : dolžina od zgornjega zoba do nosu Imamo 2 roki, 5 prstov na vsaki, 3 dele prstov, ki jih sestavljata 2 členka - Fibonnacijeva števila... 8

10 Po mnenju nekaterih strokovnjakov naj bi bil popoln obraz v razmerjih zlatega reza. Plastični kirurg Dr. Stephen Marquardt je naredil model popolnega obraza, ki je predstavljen na naslednjih slikah. 9

11 4.2 Narava Narava je zaljubljena v φ :) Dokaz so naslednja dejstva: Delfin je v celoti sestavljen iz zlatega reza, podobno kot ljudje. Polžje hiške imajo spiralno konstrukcijo, ki predstavlja zlati rez, hkrati pa se lepo vidi tudi zlat pravokotnik, ki se naprej deli v manjše zlate pravokotnike. Parjenje zajcev poteka po Fibonaccijevem zaporedju (vsako leto je povprečno φ-krat več zajcev). 10

12 Sončnična semena rastejo v nasprotnih spiralah z razmerji 1 φ :1. Število semen je vedno Fibonaccijevo število. Z razporeditvijo semen in določitvijo spiral se ukvarja posebna veja biologije, ki se ji reče filotaksa. Število ananasovih lusk, ki rastejo v isti smeri je vedno Fibonaccijevo število (rastejo v treh različnih smereh po 8, 13 in 21 lusk). V čebeljem panju je razmerje čebel proti trotom vedno φ:1. Čebelje družinsko drevo je sestavljeno iz Fibonaccijevih števil. Samec ima le enega starša - samico. Samice imajo dva starša - samca in samico. Torej ima samec enega starša, ki ima dva starša, ta imata tri starše, ti imajo pet staršev - Fibonaccijevo zaporedje. Podobno je s samico, ki ima dva starša, ta imata tri starše, ti pa imajo pet staršev - spet Fibonaccijevo zaporedje. Drevesni listi rastejo v Fibonaccijevem zaporedju, rastline pa se širijo po Fibonaccijevem zaporedju, kar se lepo vidi na sliki: Na vsak obrat okoli središča zraste φ listov, kar predstavlja najboljšo razporeditev - na tak način dobijo listi največ sončne svetlobe, dežne kaplje najlažje odtečejo proti tlem, listi pa pokrijejo največjo površino, kar privablja insekte

13 4.3 Človeško delo Da, tudi ljudje s(m)o zaljubljeni v φ. Dokazi so naslednji: Grški Partenon Egipčanske piramide v Gizi Stavba Združenih Narodov v New Yorku (temnejši deli razdelijo stavbo v zlatem rezu) Logotip National Geographic-a 12

14 Stradivarijeve violine (pozicija dveh črk S je v zlatem rezu) Kreditne kartice (velikost je 1:1.583, kar je φ-2%) Olimpijske medalje za Sydney 2000 (sploščen dodekaeder - petkotniki, v katerih je razmerje diagonale in stranice φ:1) Umetniška dela Georges-a Seurat-a (večino slik je razdelil v zlatem rezu) 13

15 ipod (velikost 1:1.67) Nogometna žoga (20 šestkotnikov : 12 petkotnikov = 1.67:1) CN stolp v Torontu (razmerje celotne višine proti višini od opazovalnega stolpa do vrha je φ:1) 14

16 dela Leonarda da Vincija... Zaključimo lahko, da je imel zlati rez velik vpliv na stare kulture (Egipčani, Grki), v sodobnem času pa igra ključno vlogo pri umetnikih in arhitektih, prav tako pa se pogosto pojavlja pri vsakdanjih predmetih. 15

17 5 Zaključek V seminarski nalogi sem ponazoril, da je zlati rez zelo zanimivo število, ki se pojavlja v naravi in v človeškem telesu. Za konec sem pripravil zanimivo izjavo, katere avtor je na žalost neznan: Zlati rez je gradnik, s katerim je sestavljen svet. 16

18 6 Literatura pbourke/other/phi wwu/psychology/attraction.shtml karian/goldensection/page2.html fmc/december2004/seurat.html Goldenratio/goldenratio.html nv htm Irving Adler (prevod: Janez Garbajs): "Matematika : Od zlatega reza do teorije množic", DZS, Ljubljana, 1973 Dan Brown (prevod: Nataša Müller): "Da Vincijeva Šifra", Mladinska Knjiga, Ljubljana,

19 Kazalo 1 Uvod 1 2 Definicija 2 3 Konstrukcije Prvi način Drugi način Konstrukcija z dodatnim zunanjim delom Evklidova konstrukcija Odomova konstrukcija Konstrukcija s pentagramom Zlati rez v vsakdanjem življenju Človeško telo Narava Človeško delo Zaključek 16 6 Literatura 17 18