LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA

Transcript

1 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA Matematika za drugi letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, februar 016

2 KAZALO 1 Potenčna funkcija Kvadratna funkcija Kvadratna enačba Kvadratna neenačba... 1 Potence in koreni Kvadratni in kubični koren Koreni višjih stopenj Potence z racionalnimi eksponenti Geometrija v ravnini Osnovni geometrijski pojmi Odnosi med geometrijskimi elementi v ravnini Obseg, ploščina in prostornina Dolžinske enote in merjenje obsega Obseg kvadrata in pravokotnika Merjenje ploščine Ploščina pravokotnika in kvadrata Merjenje prostornine Prostornina kvadra in kocke Kot in krog Kot Simetrala daljice in kota Krog in krožnica Krožni lok, krožni izsek, krožni kolobar Talesov izrek o sorazmerjih Trikotniki, štirikotniki in večkotniki Trikotniki Izreki v trikotniku Štirikotniki Trapez Paralelogram Deltoid Pravilni večkotnik Literatura in viri

3 1 Potenčna funkcija Potenčna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f (x) = x n ; za n є. Funkciji z eksponentoma 0 in 1 sta linearni funkciji. Ostale potenčne funkcije lahko razdelimo v naslednje štiri skupine: 1. Potenčne funkcije z lihim pozitivnim eksponentom, večjim od 1 : Lastnosti funkcije z lihim pozitivnim eksponentom : - Df =, - Zf =, - je liha, zato velja f(-x) = -f(x), - povsod narašča.. Potenčne funkcije s sodim pozitivnim eksponentom : Lastnosti funkcije s sodim pozitivnim eksponentom : - Df =, - Zf = [0, ), - je soda, zato velja: f(-x) = f(x), - ima minimum v točki T(0, 0),

4 - pada na intervalu (, 0], - narašča na intervalu [0, ). 3. Potenčne funkcije z lihim negativnim eksponentom : Lastnosti funkcije z lihim negativnim eksponentom : - Df = \ {0}, - Zf = \ {0}, - je liha, zato velja f(-x) = -f(x), - ima navpično asimptoto x = 0, - ima vodoravno asimptoto y = 0, - pada na intervalu (, 0) in na intervalu (0, ). 4. Potenčne funkcije s sodim negativnim eksponentom : Lastnosti funkcije s sodim negativnim eksponentom : - Df = \ {0}, - Zf = (0, ), - je vedno pozitivna, - je soda, zato velja f(-x) = f(x), - ima navpično asimptoto x = 0, 3

5 - ima vodoravno asimptoto y = 0, - narašča na intervalu (, 0), - pada na intervalu (0, ). Naloge 1. V koordinatni sistem nariši grafe potenčnih funkcij : a) f(x) = x e) f(x) = x -1 b) f(x) = x f) f(x) = x - c) f(x) = x 3 g) f(x) = x -3 d) f(x) = x 4 h) f(x) = x -4 Odgovori na spodnja vprašanja! i) Skozi katere skupne točke potekajo grafi potenčnih funkcij z lihim eksponentom? j) Skozi katere skupne točke potekajo grafi potenčnih funkcij s sodim naravnim eksponentom? k) Kateri graf predstavlja linearno funkcijo? l) Oglej si grafe funkcij a), c), e), g), Kaj lahko rečemo o legi grafa v I. kvadrantu glede na graf v III. kvadrantu? Katero lastnost imajo take funkcije?. Napiši predpis potenčne funkcije če : a) Funkcija zavzame vrednost 16, če je izbrani x =. b) Točka A(-, -8) leži na grafu funkcije. 3. Spodnja slika prikazuje grafe treh potenčnih funkcij. Kateri izmed grafov ima največji eksponent in kateri najmanjšega? Zakaj? 4. Kje funkcije iz tretje naloge padajo in kje naraščajo? 5. V isti koordinatni sistem nariši grafa funkcij : f(x) = x in g(x) = x -1. V katerih točkah se grafa sekata? Bi znal to utemeljiti tudi računsko? 4

6 6. Grafično predstavi spreminjanje ploščine kvadrata v odvisnosti od njegove dolžine stranice. 1.1 Kvadratna funkcija Funkcijam, ki jih v splošnem lahko zapišemo v obliki: f (x) = ax + bx + c, pravimo kvadratna funkcija. Obliki zapisa pa splošna oblika. Prepoznamo jo po spremenljivkah druge stopnje. Druga oblika, v kateri lahko zapišemo kvadratno funkcijo je temenska oblika: f (x) = a(x p) + q. Števili p in q, ki nastopata v tej obliki, sta koordinati temena kvadratne funkcije. Teme je točka T(p, q), v kateri kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. p in q izračunamo naslednjih formulah: p b a q D 4a Številu D rečemo diskriminanta kvadratne funkcije in jo izračunamo po formuli: D = b 4ac Kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v ničelni obliki: f (x) = a(x x1)(x x). x1 in x sta ničli kvadratne funkcije. (Ničla kvadratne funkcije pomeni presečišče grafa funkcije parabole z abscisno osjo) Če je D > 0, sta obe ničli kvadratne funkcije realni (x1, x ). Če je D = 0, sta števili x1 in x enaki - kvadratna funkcija ima samo eno realno ničlo (x1 = x ). Če je D < 0, sta obe ničli kvadratne funkcije nerealni (x1, x ) - graf funkcije ne seka abscisne osi (v realnem koordinatnem sistemu). Kako iz splošne oblike kvadratne funkcije izračunamo ničle? Formula: x 1, b b 4ac a Ničli kvadratne funkcije poiščemo lahko tudi tako, da enačbo ax + bx + c = 0 faktoriziramo (razstavimo pri tem uporabimo znanje, ki smo ga pridobili pri razstavljanju izrazov) in ugotovimo rešitve. Primer: Določi ničle kvadratni funkciji f(x) = x x 3. 5

7 0 = x x 3 0 = (x 3)(x + 1) x1 = 3, x = -1 Ničli dane funkcije sta torej N1(3,0) in N(-1,0). Kako izračunamo začetno vrednost funkcije? Presečišče funkcije z ordinatno osjo (začetna vrednost) določimo tako, da za vrednost spremenljivke x vstavimo 0. Primer: Določi začetno vrednost funkciji f(x) = x x 3. f(0) = f(0) = -3 Torej je začetna vrednost dane funkcije točka Z(0, -3). Kako izračunamo teme kvadratne funkcije? Primer: Določi teme funkcije f(x) = x x 3. ( b 4ac) (4 1) 16 p 1 q 4 1 4a 4 4 Teme je torej T(1, - 4). Pomen vodilnega koeficienta a 0 : a > 0 => funkcija konveksna a < 0 => funkcija konkavna Graf kvadratne funkcije je parabola. Graf narišemo tako, da najprej kvadratni funkciji izračunamo ničle, začetno vrednost in teme. Za tem narišemo koordinatni sistem ter označimo vse izračunane vrednosti (točke). Ob koncu narišemo parabolo skozi omenjene točke. Primer: Nariši graf funkcije f(x) = x x 3. Ničli sta x1 = 3, x = -1, začetna vrednost f(0) = y = - 3, teme pa T(1, - 4). Graf funkcije je torej takšen: 6

8 Kvadratna funkcija povzetek f(x) = ax + bx + c splošna oblika kvadratne funkcije f(x) = a(x p) + q temenska oblika kvadratne funkcije p = b ; q = a b 4ac - enačbi za izračun koordinat temena kvadratne funkcije 4a f(x) = a(x x1)(x x) ničelna oblika kvadratne funkcije Grafični pomen vodilnega koeficienta in prostega člena 7

9 Vloga vodilnega koeficienta in pomen diskriminante f(x) = ax + bx + c D = b 4ac splošna oblika kvadratne funkcije enačba za izračun diskriminante x1, = b b 4ac a enačba za izračun ničel kvadratne funkcije D > 0 D = 0 D < 0 a > 0 a < 0 Naloge 1. Koliko so koeficienti a, b in c pri funkciji : a) f(x) = x + 5x + 3 b) f(x) = - x + c) f(x) = x + 4x. Izračunaj vrednost diskriminante za funkcije : a) f(x) = x + x b) f(x) = x + 3x + 4 c) f(x) = -x + x 1 3. Funkcijam izračunaj ničle in začetno vrednost ter teme. a) f(x) = x + x + 1 b) f(x) = x x c) f(x) = x x 3 č) f(x) = x 8

10 V kakšni obliki so zapisane zgornje funkcije? (Splošni, temenski ali ničelni?) Kaj pomenijo izračunane vrednosti? Nariši koordinatni sistem in na njem označi za vsako funkcijo posebej točke, ki predstavljajo ničle, začetno vrednost in teme. Ob koncu še nariši graf. Kaj je definicijsko območje danih funkcij in kaj zaloga vrednosti? Kakšno obliko imajo grafi teh funkcij? 4. Dana je funkcija f(x) = (x + ) 3. V kakšni obliki je zapisana dana funkcija? Koliko sta koordinati temena? Zapiši dano funkcijo še v splošni obliki. Ali točka A(-1,-) leži na grafu te funkcije? Ali je dana funkcija konveksna ali konkavna? 5. Funkciji f(x) = x 6x 7 določi ničle, začetno vrednost in teme ter v koordinatni sistem nariši njen graf. 6. Dana je funkcija f(x) = (x )(x + ). V kakšni obliki je zapisana dana funkcija? Zapiši ničli za dano funkcijo. Zapiši dano funkcijo še v splošni obliki. Ali točka B(,0) leži na grafu te funkcije? Ali je dana funkcija konveksna ali konkavna. 7. Funkciji f(x) = x + 5x določi presečišče z ordinatno osjo in abscisno osjo ter izračunaj teme funkcije. V koordinatni sistem nariši graf funkcije f(x). Zapiši tudi definicijsko območje in zalogo vrednosti za funkcijo f(x). 8. Določi presečišča z ordinatno in abscisno osjo in teme funkcije ter nariši graf funkcije: a) f(x) = (x + 1) b) f(x) = (x + ) + 3 c) f(x) = (x 3) 1 č) f(x) = - x Naslednjim funkcijam določi presečišča z ordinatno in abscisno osjo ter izračunaj teme funkcije. a) f(x) = - x b) f(x) = - x 4x + 5 c) f(x) = x + 4x č) f(x) = x 4x Zapiši enačbo kvadratne funkcije v temenski obliki, ki ima teme v točki T(,1) njen vodilni koeficient pa je Zapiši enačbo kvadratne funkcije, ki ima teme v točki T(,4) in gre skozi točko A(4,3). 1. Zapiši kvadratno funkcijo, ki ima ničli x1 = 3 in x = 5, ter gre skozi točko A(1, - 4). 13. Ugotovi, katera enačba funkcije ustreza grafu na sliki. Obkroži pravilen odgovor. 9

11 a) f(x) = x a) f(x) = - x b) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x - 1 c) f(x) = - x + č) f(x) = x - č) f(x) = x Smučišče je odprto za obiskovalce 8 ur na dan. Od začetka obratovanja smučišča se je temperatura zraka na smučišču spreminjala po enačbi : T = t 4t kjer je T temperatura zraka na smučišču [ C] in t čas obratovanja smučišča [h]. Nariši graf te funkcije na intervalu t [0,8], ki predstavlja spreminjanje temperature v odvisnosti od časa. Po kolikem času je bila temperatura na smučišču najvišja? 15. Poraba kurilnega olja za ogrevanje bližnjega rastlinjaka se je za obdobje petih mesecev (od novembra do marca) gibala po predpisu: f(t) = - t + 1t kjer je t čas v mesecih in f(t) poraba kurilnega olja v litrih na dan. 10

12 1. Kvadratna enačba Vsako kvadratno enačbo lahko zapišemo v obliki: ax + bx + c = 0, kjer so a,b,c poljubna realna števila in a 0. Postopek reševanja kvadratnih enačb je enak postopku iskanja ničel pri kvadratni funkciji. Formula za izračun rešitev kvadratne enačbe: x 1, b b 4ac a Primer: Reši kvadratno enačbo: x 3x + = 0. a = 1 b = -3 c = Vstavimo v formulo in dobimo: x1 = in x = 1. Seveda lahko enačbo rešimo tudi z razstavljanjem po Vietovem pravilu. Naloge 1. Reši kvadratne enačbe : a) x x 3 = 0 b) x + 6x + 8 = 0 c) x(x + 5) = x 4 d) x 3x + = x 6x + 4 e) x + x = 0 f) (x 1) = 0 g) (x + 4)(x 4) = 0 h) x + 9x + 3 = - x - i) 5x 1x = - 4 j) 6x 3x = 9 k) x 4x = 6 l) 4x + 8x = 3 m) (x + 1)(x + 1) (x + )(x 1) = 3(x + 1) n) 4x(x + 5) (3x 5)(3x + 5) = 54 (x 7) 11

13 1.3 Kvadratna neenačba Je vsaka enačba, ki jo lahko zapišemo v obliki ax + bx + c > 0. Namesto znaka >, lahko nastopajo tudi znaki <,,. Kvadratno neenačbo najlažje rešimo s pomočjo grafa: Primer : Reši neenačbo : x x +. Neenačbo preoblikujemo in razstavimo : x x 0 (x + 1)(x ) 0 Presečišči z abscisno osjo sta x1 = -1 in x =. Označimo točki na x-osi in upoštevamo vlogo vodilnega koeficienta a, ki je v tem primeru pozitiven : Množica rešitev so vse tiste vrednosti na abscisni osi, za katere velja, da je vrednost funkcije pozitivna ali enaka nič (rdeča barva). Torej je rešitev vsak x (, 1] ali x [, ). Naloge 1. Reši kvadratno neenačbo s pomočjo grafa kvadratne funkcije : a) x x 6 > 0 (Rešitev: x < - ali x > 3) b) x + x 1 < 0 (Rešitev: - 4 < x < 3). Reši kvadratne neenačbe. a) x + 5x + 6 < 0 b) x 3x > 10 c) x + 7x 0 1

14 Potence in koreni.1 Kvadratni in kubični koren Poiskati kvadratni koren danega števila a pomeni poiskati tako nenegativno število x, da je x = a. Poiskati kubični koren danega števila a pomeni poiskati tako število x, da je x 3 = a. Pravila za računanje s koreni: 1. Seštevanje korenov: 3 3 a a a 3 a a a. Množenje korenov: 3 3 a b ab 3 a b ab 3. Deljenje korenov: 3 a a 3 3 a a : b a : b 3 3 b b b Za a, b 0 velja : a a a 3 3 a a a Splošneje: n a n a a b ( 3 n a ) 3 a n Delno korenjenje je postopek pri katerem število pod korenom razcepimo na produkt dveh faktorjev od katerih je en faktor popoln kvadrat. Ker en faktor korenimo, drugega pa ne pravimo temu delno korenjenje. Racionalizacija imenovalca je postopek pri katerem odpravimo koren iz imenovalca. 13

15 Naloge 1. Koreni. a) 9 b) 36 c) 11 d) e) 144 f) g) 3 7 h) 3 64 i) 3 8 j) Delno koreni in poenostavi. a) b) ( - 3 ) - (3 + 6 )(3-6 ) + 48 c) ( )( ) d) 3a - 18a + a 7 3. Racionaliziraj imenovalec. a) 5 b) Racionaliziraj imenovalca in seštej : Izračunaj. (3 16 ) + ( 5 ) 3 14

16 . Koreni višjih stopenj Število b je n-ti koren iz a natanko takrat, ko je b n = a. b = n a < = > b n = a Za sodi korenski eksponent je korenjenec a lahko le pozitivno realno število. Za lihi korenski eksponent je število a lahko pozitivno ali negativno realno število. 15

17 Naloge 1. Poenostavi. a) 3 4 a a b) 4 1 a b c c) 6 48 a d) 6 3 a 1 e) 3 a f) ab ab a g) : 3 a a b b. Za a = in b = 3 izračunaj vrednost izraza: 3 a 6 64b 7b 1 3 a 4 3. Pokaži da je , Potence z racionalnimi eksponenti Za poljubno naravno število m, celo število n in nenegativno realno število a je definirana potenca z racionalnim eksponentom tako: n m a m a n Naloge 1. Zapiši s korenom. 1 a) 3 b) 3 c) Izračunaj. 1 a) b) 7 c)

18 3. Poenostavi a) a a : a b) b : b b c) a 3 17

19 3 Geometrija v ravnini 3.1 Osnovni geometrijski pojmi Točka je osnovni geometrijski pojem. Označujemo jo z velikimi tiskanimi črkami A, B, C, Točka nima razsežnosti, njeno lego pa ponazorimo s krožcem ali križcem. Pojem točke lahko prikažemo s pomočjo različnih modelov iz narave. Tako je model točke lahko kroglica na verižici ali drobno pšenično zrno. Ob jasnih nočeh pa po nebu kar mrgoli množica točk, ki jih poznamo kot zvezde. Če pa v vrsto nanizamo več točk dobimo črte. Poznamo ravne in krive črte. Neomejena ravna črta je premica. Premica je osnovni geometrijski pojem. Označujemo jo z malimi črkami p, r, s, Skozi dve točki A in B gre natanko ena premica. Premico si torej predstavljamo kot zelo dolgo neomejeno ravno črto. Premica nima ne začetka in ne konca. Dve premici se lahko sekata v eni točki. Tej točki rečemo presečišče. Če premico omejimo z dvema točkama A in B, ki ležita na tej premici, dobimo daljico. Daljica je osnovni geometrijski pojem. Točki A in B sta krajišči daljice. Premica na kateri leži daljica se imenuje nosilka daljice. Daljica je lahko drog na katerem plapola zastava. Poltrak je osnovni geometrijski pojem. Omejen je na eni strani. Označujemo ga z malimi črkami k, h, Dopolnilna poltraka ležita na isti premici in skupaj tvorita premico. Imata skupno izhodišče in sta nasprotno usmerjena. Model poltraka dobimo, če posvetimo s laserskim žarkom. Ravnina je osnovni geometrijski pojem. Označujemo jo običajno z velikimi pisanimi črkami R, S, Ravnina je neomejena ravna ploskev. Tako bi lahko testo (ob predpostavki, da imamo dovolj sestavin) razvlekli v ravnino. 18

20 Naloge 1. Nariši poltrak, ki ima začetek v točki A in poteka skozi točko B.. Nariši premici p in r, ki se sekata v točki T. 3. Nariši premico CD in na njej označi točko P tako, da bo ležala med točkama C in D. Katere daljice določajo točke CDP?. Odnosi med geometrijskimi elementi v ravnini 1. Točka in premica Točka lahko leži na premici ali pa ne leži na njej. T p točka T leži na premici p. T p točka T ne leži na premici p.. Dve premici V ravnini je medsebojna lega dveh premic lahko različna. Imamo tri možnosti. p r premici sta vzporedni. p r = {P} premici se sekata. p = r premici se prekrivata (sovpadata). Premici, ki se sekata pod pravim kotom sta pravokotnici. Takrat to zapišemo p r. Premici, ki nimata skupnih presečišč sta vzporednici. 19

21 Naloge 1. Nariši premico p in točko B, ki je od premice oddaljena 10 cm.. Nariši premico p in njeno vzporednico, ki je od premice p oddaljena,5 cm. 3. Oglej si sliko in ugotovi pravilnost izjav. a) A t b) C EB c) D t č) r p d) p r e) A CB f) t p 0

22 3 Obseg, ploščina in prostornina 3.1 Dolžinske enote in merjenje obsega a) Merjenje dolžine Osnovna merska enota za merjenje dolžine je meter. Uporabljamo tudi : decimeter, centimeter, milimeter, kilometer, b) Pretvarjanje dolžinskih enot meter decimeter centimeter milimeter kilometer [km] meter [m] decimeter [dm] 0, centimeter [cm] 0,01 0, milimeter [mm] 0,001 0,01 0,1 1 Pri zapisovanju enot uporabljamo predpone : kilo 1000 enot hekto 100 enot deka 10 enot deci 0,1 enote centi 0,01 enote mili 0,001 enote Naloge 1. Pretvori. a) 738, m = cm b) 89, m = mm c) 0,15 dm = cm č) 8790 m = km d) 17,37 cm = mm e) 4748 m = km f) 0,34 km = m g) 150,34 cm = m h) 78,9 m = mm i) 0,39 dm = mm j),6 km = dm k) 98, cm = dm. Izračunaj. a) 87 m + dm cm b) 18 m + 4 dm + 71 cm 1

23 c) 0,38 m + 3 dm 15 cm č) 1, km 15 m dm 3. Izračunaj obseg danih likov. Potrebne podatke izmeri. 4. Izračunaj obseg likov v metrih. 3. Obseg kvadrata in pravokotnika Obseg kvadrata izračunamo tako, da seštejemo vse njegove stranice. Ker ima kvadrat vse stranice enako dolge je to 4-kratni produkt dolžine njegove stranice. o = a + a + a + a = 4 a Pravokotnik pa ima po dva para skladnih (enako dolgih) stranic, zato njegov obseg dobimo : o = a + b Naloge 1. Izračunaj obseg kvadrata, če je njegova stranica dolga 7,8 cm.. Izračunaj obseg pravokotnika, če je njegova dolžina 4,6 cm, širina pa 14,5 cm. 3. Izračunaj dolžino stranice kvadrata, če meri obseg kvadrata 64 cm. 4. Obseg pravokotnika meri 7 cm, njegova dolžina pa 0 cm. Kolikšna je širina pravokotnika?

24 5. Cilka bi rada uokvirila sliko. Iz lesene letvice dolžine 6 m želi izdelati pravokoten okvir z dolžino 0,57 m in širino 0,83 m. Koliko okvirjev lahko Cilka naredi? 6. Stranici pravokotnika merita a = 9 cm in b = 6 cm. Za koliko se spremeni obseg, če stranico a zmanjšamo za tretjino, stranico b pa povečamo za polovico. 3.3 Merjenje ploščine Osnovna enota za merjenje ploščine je kvadratni meter (m ). To je ploščina kvadrata s stranico 1 m. Uporabljamo tudi : kvadratni kilometer, kvadratni decimeter, kvadratni centimeter, kvadratni milimeter. Pretvarjanje ploščinskih enot : Kvadratni kilometer [km] Kvadratni meter [m] Kvadratni decimeter [dm] Kvadratni centimeter [cm] Kvadratni milimeter [mm] Kvadratni meter Kvadratni Kvadratni Kvadratni decimeter centimeter milimeter ,1 0,1 = 0, ,01 0,01 0,0001 0,001 0,001 0, ,1 0,1 0,01 0,01 0,01 0, ,1 0,1 0,01 1 3

25 Poznamo še : ar [a] : 100 m hektar [ha] : m 1 ha = 100 a Zgled 1 : Kateri lik na sliki ima večjo ploščino? Če želimo primerjati ploščine obarvanih likov, moramo ploščino izraziti v enakih ploščinskih enotah. Na prvi sliki je velikost lika 1 ploščinskih enot, na drugi sliki pa 11 ploščinskih enot. Ploščina prvega lika je večja od ploščine drugega. Za ploščinsko enoto smo izbrali 1 cm. Zgled : Določi ploščino spodnjega lika na sliki, če je ploščinska enota 1 kvadratek. Ploščina obarvanega lika je 4 ploščinskih enot. Naloge 1. Ploščino narisanega lika izrazi v cm, dm in m (kvadratek je 1 cm ). a) b) 4

26 . Pretvori. a) 55 cm = dm b) 8,38 cm = m c) 198 mm = cm č) 4,7 km = m d) 3 a = m e) 5480 m = a f) 7,3 ha = a g) 0,38 a = dm h) 847 ha = km i) m = km j) 78,5 a = ha k) 939 dm = a 3. Izračunaj. a) 4 m + 3,7 dm + ha b),3 m cm mm c) 8,5 dm + 3,6 m + 0,7 km 3.4 Ploščina pravokotnika in kvadrata Mojster Miha je tlakoval dvorišče pred hišo. Dvorišče ima 10 vrst, v vsaki vrsti je 0 tlakovcev kvadratne oblike s stranico 40 cm. V enem dnevu je mojster dokončal 7 vrst. Kolikšna je ploščina vseh položenih tlakovcev, ki jih je mojster tlakoval v enem dnevu? Koliko znaša ploščina celotnega dvorišča? Ploščino bi izračunali tako, da bi najprej izračunali dolžino in širino : 0 40 = 800 cm dolžina 7 40 = 80 cm širina Nato pa pomnožimo dolžino s širino : = cm 5

27 Ploščino celotnega dvorišča izračunamo podobno : 0 40 = 800 cm dolžina = 400 cm širina Pomnožimo : = cm V enem dnevu je mojster položil cm tlakovcev. Celotno dvorišče meri cm. Ploščino pravokotnika izračunamo tako, da pomnožimo dolžini sosednjih stranic. Ploščino kvadrata izračunamo tako, da pomnožimo dolžini sosednjih (enako dolgih) stranic. Naloge 1. Izračunaj ploščino kvadrata, če poznaš dolžino njegove stranice a = 8,9 cm.. Izračunaj ploščino pravokotnika, če poznaš njegovo dolžino a = 45, cm in širino b = 8,6 cm. 3. Izračunaj ploščino pravokotnika, če je a = 54,5 cm, b = 3,48 dm. 4. Izračunaj dolžino stranice kvadrata, če je njegova ploščina 144 cm. 5. Izračunaj ploščino prikazanega lika na sliki. 6. Izračunaj površino telesa, ki nastane, ko sestavimo narisano mrežo. a) b) 6

28 7. Katero telo je na sliki? Nariši mrežo in izračunaj površino narisanega telesa. 8. Izračunaj površino telesa, katerega mreža je na sliki. 3.5 Merjenje prostornine Osnovna enota za merjenje prostornine je kubični meter (m 3 ). To je prostornina kocke z robom dolžine 1 m. Uporabljamo tudi : kubični kilometer, kubični decimeter, kubični centimeter, kubični milimeter. 7

29 Pretvarjanje prostorninskih enot : Kubični meter [m] Kubični decimeter [dm] Kubični centimeter [cm] Kubični milimeter [mm] Kubični meter Kubični decimeter Kubični centimeter ,1 0,1 0,1 0, ,01 0,01 0,01 0, ,001 0,001 0,001 0, ,1 0,1 0,1 0,0001 0,01 0,01 0,01 0, Kubični milimeter ,1 0,1 0,1 0,001 1 Pomni : 1 l = 1 dm 3 Zgled 1 : Iz 50 litrskega soda napolnjenega z vodo smo v posodo za zalivanje najprej pretočili 3,4 dl vode, nato pa še 10 cm 3 vode. Koliko vode je še v sodu? Prostornino preostale vode v sodu izračunamo : 50 l 3,4 dl 10 cm 3 Račun zapišemo (izrazimo) v enakih merskih enotah : cm cm 3 10 cm 3 = cm cm 3 = 46,64 dm 3 = 46,64 l V sodu je še 46,64 litra vode. 3.6 Prostornina kvadra in kocke Iz kock smo sestavili dva stolpa. Prvi ima obliko kvadra, drugi pa kocke. Prostornino stolpa izračunamo tako, da preštejemo število kock, ki sestavljajo posamični stolp. Prvi stolp ima = 84 enotskih kock, drugi pa = 64 enotskih kock. Večjo prostornino ima torej prvi stolp. 8

30 Prostornino kvadra z robovi a, b in c izračunamo tako, da zmnožimo dolžine vseh treh robov : V = a b c Kocka je poseben primer kvadra, saj ima vse robove enako dolge, zato velja : V = a a a = a 3 Zgled 1 : Izračunaj prostornino škatle z dolžino 10,6 dm, širino 67 cm in višino 0,34 m. Prostornino škatle izračunamo po obrazcu : V = a b c V = 106 cm 67 cm 34 cm V = cm 3 = 41,468 dm 3 Prostornina škatle je 41,468 dm 3. Naloge 1. Pretvori v ustrezne enote. a) 4 km 3 v m 3, cm 3 in mm 3 b) 35 m 3 dm 3 v cm 3 in mm 3 c) 56 cm 3 v dm 3 in mm 3 č) dm 3 v m 3 in l d) 1, m cm 3 v cm 3 e) 7,6 m 3 v l in dl f) 1394 l v m 3 in dm 3 g) cm 3 v dm 3 in m 3. Bazen je dolg 5 m, širok 10 m in visok 1,8 m. Koliko litrov vode bi lahko natočili v takšen bazen? 3. Kocka ima rob dolžine 6,8 cm. Koliko litrov vode bi lahko natočili vanjo? 4. Tri kocke z robom 1,6 m smo postavili v stolp. Poleg smo pritrdili še kvader z robovoma 5 m in 1,6 m, ki se kocki natančno prilega. Koliko znaša prostornina takšnega telesa (glej sliko)? 9

31 5. Stolp kvadraste oblike je dolg 14 m, širok 4,7 m in visok 1360 cm. Koliko je prostornina stolpa? 6. Izračunaj prostornino telesa na sliki. 7. Površina kocke meri 54 dm. Koliko litrov vode bi lahko natočili v takšno kocko? 30

32 4 Kot in krog 4.1 Kot Dva poltraka s skupnim izhodiščem, razdelita ravnino na dve množici točk dva kota. Kot je množica točk med dvema poltrakoma s skupnim izhodiščem. Skupno izhodišče imenujemo vrh kota, poltraka pa kraka kota. Ker vsaka od omenjenih množic določa kot, imamo na sliki dva kota vdrti kot in izbočeni kot. Kote označujemo z grškimi črkami α, β, γ, ali <) V, oziroma <) AVB (črka v sredini vedno predstavlja vrh kota). Velikost kota običajno merimo s kotomerom oziroma geotrikotnikom. Merska enota za velikost kota je kotna stopinja ( ). 1 je tisti kot, ki ga dobimo če krog razdelimo na 360 enakih delov. Poznamo še kotno minuto (') in kotno sekundo (''). 1 = 60' 1' = 60'' Kota sta skladna, kadar sta enako velika. Takšna kota se popolnoma prekrivata. Kote razlikujemo glede na njihovo velikost. Kot nič : meri 0. Ostri koti : so večji od 0 in manjši od 90. Pravi kot : meri 90. Topi koti : so večji od 90 in manjši od 180. Iztegnjeni kot : meri 180. Polni kot : meri 360. Kota, ki skupaj merita 180 sta suplementarna kota. Kota, ki skupaj merita 90, sta komplementarna kota. Kota z vzporednima krakoma sta enaka ali pa suplementarna. 31

33 Sokota sta kota, ki imata en krak skupen, druga kraka pa sta dopolnilna poltraka. Njuna vsota meri 180. α + β = 180 Sovršna kota sta kota, ki imata skupen vrh, oba para krakov pa se dopolnjujeta v premico. Kote lahko tudi seštevamo ali odštevamo. To lahko storimo tudi grafično kota sestavimo skupaj tako, da imata skupen vrh in skupen krak. Velikost novega kota izmerimo. Naloge 1. Kotu označi vrh in kraka ter mu pobarvaj notranjost. Koliko rešitev dobiš v vsakem primeru?. Nariši poljuben vdrti in izbočeni kot ter ju pravilno označi. 3. Dopolni stavek, da bo pravilen: Poltraka imenujemo kota. Skupno izhodišče poltrakov imenujemo kota. Kot je del ravnine med. 4. V ravnini si izberi točke C, D, G, F. Nariši: a) izbočeni kot CDF b) vdrti kot DFG 5. Označi kot med obema krakoma lestve. 3

34 6. Dan je izbočeni kot <) AVB. Zapiši točke, ki ležijo v notranjosti, na meji ter v zunanjosti kota. a) točke v notranjosti kota: b) točke na meji kota: c) točke v zunanjosti kota: 7. Katera slika ponazarja kot? a) b) c) d) e) 33

35 8. Izmeri velikosti kotov. 9. Izmeri velikosti notranjih kotov lika na sliki. 10. Nariši kote : 60, 75, 90, 10, 150, 180, 35, 8, 100, Izrazi v kotnih sekundah. a) 34 0'50'' b) '19'' c) '15'' 1. Ugotovi, ali sta narisana kota skladna. 13. Določi vrsto kotov na sliki. 34

36 14. Nariši kot in mu določi njegov sokot. Določi vrsto kota za kot in njegov sokot. a) α = 40 b) β = 85 c) γ = 108 č) δ = Pretvori v kotne stopinje in kotne minute. a) 76' b) 530' c) 1390' č) 335' 16. Seštej ali odštej. a) b) c) 68 35' ' č) d) 84 3' ' e) 14 34' ' 4. Simetrala daljice in kota Simetrala daljice je premica, ki je pravokotna nanjo in jo razpolavlja. Razpolovišče daljice je točka, kjer simetrala seka daljico. Oznaka : sab Vsaka točka na simetrali daljice je enako oddaljena od krajišča daljice. Simetrala kota je premica, ki poteka skozi vrh kota in ga razpolavlja. Vsaka točka na simetrali kota je enako oddaljena od krakov kota. Oznaka : sα 35

37 4.3 Krog in krožnica Krog je množica točk, ki so od izbrane točke (središča) oddaljene za polmer ali manj. Krožnica je množica točk, ki so od izbrane točke (središča) enako oddaljene. Krožnica je mejna črta kroga. r polmer ali radij razdalja med središčem krožnice in poljubno točko na krožnici. d premer povezuje dve točki na krožnici in poteka skozi središče. S središče k krožnica Krožnico rišemo s šestilom. Medsebojna lega dveh krožnic : dve krožnici se lahko sekata, dotikata ali pa nimata nobene skupne točke. 36

38 Krožnici z istim središčem imenujemo koncentrični krožnici. Središčna razdalja je razdalja med središčema dveh krožnic. Medsebojna lega krožnice in premice : krožnica in premica se lahko sekata, dotikata ali pa nimata nobene skupne točke. Premica, ki nima s krožnico nobene skupne točke je mimobežnica. Premica, ki ima s krožnico eno samo skupno točko je tangenta ali dotikalnica. Premica, ki ima s krožnico dve skupni točki je sekanta. Tangenta je v dotikališču vedno pravokotna na polmer. Daljica, ki povezuje dve točki na krožnici je tetiva. Dolžino krožnice imenujemo obseg. Količnik med obsegom kroga in njegovim premerom je konstanten (stalen) in je enak številu, ki ga zapišemo z grško črko π. o d Iz te enačbe neposredno sledi ugotovitev, da je obseg kroga enak : o = π d o = π r d = r Ploščino kroga izračunamo po enačbi : S = π r 37

39 4.4 Krožni lok, krožni izsek, krožni kolobar Krožni lok je del krožnice, ki povezuje dve točki na krožnici. Krožni izsek je del kroga, ki ga odrežeta dva polmera. Krožni odsek je del kroga, ki ga odreže tetiva. Dolžino krožnega loka dobimo po enačbi : o l 360 l r 360 r l 180 Ploščino krožnega izseka s polmerom r in središčnim kotom α (če je le ta v stopinjah) dobimo po enačbi: S iz r 360 S iz l r Krožni kolobar je ravninski lik med dvema krožnicama s skupnim središčem in različnima polmeroma. Ploščina krožnega kolobarja krogov s skupnim središčem in polmeroma r1 ter r izračunamo : S = π(r r1 ) 38

40 Naloge 1. Nariši krožnico s središčem v točki S in polmerom 3 cm.. Izberi si točko T in nariši vse točke, ki so od T oddaljene 5,5 cm. 3. Nariši daljico AB = 6 cm. Poišči vse točke, ki so od točke A oddaljene 4 cm, od točke B pa 3 cm. 4. Nariši koncentrični krožnici s polmeroma r1 = 4 cm, r = 6 cm. 5. Poimenuj pojme označene z : S, DC, p, s, SC. 6. Nariši kot α = 70. V njegovi notranjosti nariši krožnico tako, da bosta oba kraka kota tangenti na krožnico. 7. Nariši krožnico s polmerom 8 cm, krožni izsek s središčnim kotom α = 60 in tetivo, ki pripada središčnemu kotu. Koliko meri tetiva? 8. Nariši krožnico s polmerom 5 cm in na njej odmeri 3 cm dolgo tetivo. Kolikšen je središčni kot, katerega kraka gresta skozi krajišči tetive? 9. Na krožnici s polmerom 6,5 cm označi točke A, B in C tako, da velja AB = 3 cm, BC = 4 cm. Nariši središčne kote, katerih kraki potekajo skozi A, B in C. Kateri središčni kot je največji? 10. Polmer kroga je r = 15 cm. Izračunaj njegov obseg in ploščino. 11. Premer zgoščenke je 1 cm. Kolikšen je njen obseg? 1. Tine želi s 46 cm dolgo vrvico izmeriti obseg lonca s polmerom 8 cm. Ali je vrvica dovolj dolga? 13. Izračunaj obseg kroga za dani polmer oziroma premer : a) d = 4 cm b) r = 7 m c) d =,5 cm 39

41 14. Kuharica ima pokrovko z obsegom 88 cm. Kolikšen je premer te pokrovke? 15. Ploščina kroga znaša 16π cm. Koliko znaša polmer kroga? 16. Izračunaj ploščino krožnega kolobarja, če je r notranji polmer in r1 zunanji polmer : a) r1 = 4,6 cm r = 3 cm b) r1 = 5 cm r = 3, cm 17. Minutni kazalec na stenski uri meri 1, m. Kolikšno pot opiše minutni kazalec v pol ure? 18. Ploščina kroga je 108 cm. Izračunaj ploščine izsekov pri danih središčnih kotih: 36, 18, 7, Izračunaj središčni kot, če je polmer r = 8,5 cm, Siz = 91 cm. 0. V kvadratno ploščo s stranico 8 dm smo izrezali okroglo luknjo s polmerom,6 dm. Izračunaj, koliko meri ploščina luknje in koliko dm je ploščina tako obdelane plošče. 4.5 Talesov izrek o sorazmerjih 1. Talesov izrek o sorazmerjih : razmerje odsekov na poljubni premici šopa, ki ga seče snop premic, je enako razmerju prirejenih odsekov na poljubni drugi premici šopa : OB : OD : OF = OA : OC : OE. Talesov izrek o sorazmerjih: razmerje odsekov na poljubni premici šopa je enako razmerju prirejenih odsekov na vzporednicah, ki sekata dani šop. Pri tem moramo upoštevati, da gredo ustrezni odseki na premicah šopa od središča 0. OB : OD : OF = AB : CD : EF 40

42 S pomočjo Talesovih izrekov lahko razdelimo daljico na enake dele, razdelimo daljico v danem razmerju, podaljšamo ali skrajšamo daljico ipd. Primer : Daljico dolgo 8 cm razdeli na 5 enakih delov. Narišemo daljico AB dolžine 8 cm. V enem izmed krajišč daljice (npr. A) narišemo pomožni poltrak. Na poltrak s šestilom nanesemo od začetnega krajišča toliko enakih delov kot jih potrebujemo (npr. 5). Zadnjo delilno točko povežemo z drugim krajiščem daljice. Iz ostalih delišč na pomožnem poltraku narišemo pomožne vzporednice k daljici, ki povezuje zadnjo delilno točko z drugim krajiščem daljice. Vzporednice sekajo dano daljico AB na ustrezno število enako velikih delov. Naloge 1. Daljico dolžine 9 cm razdeli na 6 enakih delov.. Razdeli daljico z dolžino 9 cm v razmerju : 3 : Trak dolžine 1 m razrežemo v razmerju : 5 : 8. Kako dolg je posamezen del? 41

43 5 Trikotniki, štirikotniki in večkotniki 5.1 Trikotniki Trikotnik je geometrijski lik, določen s tremi nekolinearnimi točkami. Točke imenujemo oglišča trikotnika. Stranice trikotnika so daljice, ki točke povezujejo. Stranice trikotnika ležijo nasproti istoimenskih oglišč (npr. : stranica a nasproti oglišča A). Notranji koti trikotnika so koti, ki imajo za kraka po dve stranici trikotnika. Običajno jih označujemo z grškimi črkami. Zunanji koti trikotnika so sokoti notranjih kotov. Pri označbah jim običajno dodamo črtico ali številko, da jih ločimo od notranjih kotov. Višina trikotnika je daljica, ki pravokotno povezuje oglišče trikotnika z nasprotno nosilko stranice. A, B, C oglišča trikotnika (tri nekolinearne točke) a, b, c stranice trikotnika,, notranji koti ', ', ' zunanji trikotnika vc višina trikotnika Višinska točka je presečišče vseh treh višin trikotnika. 4

44 Delitev trikotnikov glede na dolžine stranic : Raznostranični trikotnik Enakokraki trikotnik Enakostranični trikotnik A c a C b B krak a C krak a A c B osnovnica C a a A a B Dolžine njegovih stranic so med seboj različne. Dve stranici sta enako dolgi. Vse njegove stranice so enako dolge. Enakokraki trikotnik ima eno simetralo, ki je pravokotna na osnovnico, razpolavlja kot med krakoma, za kota ob osnovnici pa velja da sta skladna. Enakostranični trikotnik ima tri simetrale. Vsaka je pravokotna na stranico in jo razpolavlja. Prav tako razpolavlja notranji kot. Vsi notranji koti so skladni. Glede na največji notranji kot trikotnike razdelimo na : - ostrokotni (ima vse kote manjše od 90 ) - pravokotni (ima en kot pravi 90 ) - topokotni (ima en kot topi večji od 90 ) Trikotniška neenakost : c < a + b, b < a + c, a < b + c Vsota notranjih kotov trikotnika je enaka = 180 Vsota zunanjih kotov trikotnika je enaka 360. ' + ' + ' =

45 Velja še : + ' = ' = ' = 180 Pri načrtovanju trikotnikov se poslužujemo skladnostnih izrekov. Ponovimo : trikotnika sta skladna, če se popolnoma prekrivata. Imata torej skladne kote in stranice. Skladnosti izreki za trikotnike : 1. Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh stranicah.. Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in v kotu, ki ga ti dve stranici oklepata. 3. Trikotnika sta skladna, če se ujemata v eni stranici in v obeh kotih, ki sta priležna tej stranici. 4. Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži večji stranici nasproti. Trikotniku lahko očrtamo krožnico. To naredimo tako, da narišemo simetrale vseh treh stranic trikotnika. Presečišče simetral stranic je hkrati središče trikotniku očrtane krožnice. Trikotniku lahko včrtamo krožnico. To naredimo tako, da narišemo simetrale vseh treh kotov trikotnika. Presečišče simetral kotov je hkrati središče trikotniku včrtane krožnice. 44

46 Težiščnica trikotnika je daljica, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice. Težišče trikotnika je točka, kjer se sekajo vse tri težiščnice. Naloge 1. Na sliki so trije trikotniki. Dopolni sliko tako, da pravilno označiš oglišča, stranice in notranje kote. V katero skupino spadajo spodnji trikotniki glede na dolžine stranic? Kam pa glede na največji notranji kot?. Ali lahko iz lesenih palic z dolžinami 6 cm, 9 cm in 16 cm sestavimo trikotnik? 3. Izračunaj manjkajoče notranje in zunanje kote trikotnika, če je a) α = 50 in β = 60 b) α = 50 in γ = 80 45

47 c) α'= 110 in β = 8 č) γ'= 75 in β' = 1 4. Načrtaj trikotnik s podatki: a) b = 4 cm b) a = 5 cm c) a = 4 cm č) a = 4 cm c = 5 cm β = 40 b = 5 cm v a = 3 cm α = 70 γ = 80 β = 60 γ = 80 d) a = 3 cm e) b = 4 cm f) a = 3 cm g) a = 4 cm c = 5 cm c = 5 cm b = cm β = 45 β = 40 α = 30 α = 100 ta = 3,5 cm 5. Načrtaj enakostranični trikotnik s stranico a = 3 cm. 6. Načrtaj pravokotni trikotnik s katetama a = 3 cm in b = 4 cm. 7. Nariši enakokrak trikotnik z osnovnico c = 5 cm in kotom ob osnovnici β = Nariši raznostranični trikotnik s podatki a = 6 cm, β = 30 in γ = 50 ter mu očrtaj in včrtaj krožnico. 9. Nariši trikotnik s podatki a = 4 cm, c = 6 cm in β = 40 ter mu določi težišče. 10. Načrtaj trikotnik s podatki c = 4 cm, α = 50 in rv = 3 cm. 11. Načrtaj trikotnik s podatki b = 4 cm, α = 110 in rv = 1,4 cm. 1. Načrtaj trikotnik s podatki a = 4 cm, va = 3cm in ro =,5 cm. 13. Načrtaj trikotnik s podatki a + c = 11 cm, α = 50 in γ = Izreki v trikotniku V trikotniku veljajo nekatere zakonitosti. Poleg že omenjenih, naštejmo še nekatere. Razmerje dolžin enakoležnih stranic imenujemo podobnostni koeficient (k) : 46

48 a b a b c k c Trikotnika sta podobna, če imata enake kote in enako razmerje dolžin vseh ustrezno prirejenih enakoležnih stranic : a : b : c = a1 : b1 : c1, α = α1, β = β1, γ = γ1 => Δ ABC ~ Δ A1B1C1 Podobno velja za spodnjo sliko : Trikotniki VAB, VA1B1, VAB, so podobni, saj imajo enake kote in razmerja dolžin enakoležnih stranic. Ta razmerja so odvisna samo od kota, saj se spremenijo le, če spremenimo kot. Zato tem razmerjem pravimo kotne funkcije in so definirana tako : Sinus kota je enak razmerju med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo. Kosinus kota je enak razmerju med kotu priležno kateto in hipotenuzo. Tangens kota je enak razmerju med kotu nasprotno kateto in priležno kateto. Kotangens kota je enak razmerju med kotu priležno kateto in nasprotno kateto. Če imamo torej trikotnik ABC s stranicami a, b in c lahko dane funkcije zapišemo tako : sin α = c a ; cos α = c b ; tan α = b a ; cot α = a b Poleg kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku velja Pitagorov izrek, ki pravi, da je ploščina kvadrata nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika enaka vsoti ploščin kvadratov načrtanih nad njegovima katetama. Ali drugače: V pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c in katetama a in b, je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet : 47

49 c = a + b Ploščino trikotnika lahko izračunamo na več načinov, odvisno od tega, katere količine poznamo. Vemo, da je ploščina (oznaka S) trikotnika ploščinsko enaka polovični ploščini paralelograma, katerega nevzporedni stranici sta dve od trikotnikovih stranic : S = a v a b v b c v c Če poznamo stranici trikotnika in velikost kota med njima, lahko ploščino dobimo tako : S = a b sin a c sin b c sin Če poznamo vse tri stranice trikotnika uporabimo Heronov obrazec : o S = s( s a)( s b)( s c) ; s = Za enakostranični trikotnik pa uporabimo : S = a 3 4 Ob tem mimogrede omenimo, da je višina enakostraničnega trikotnika enaka : v = a 3 Obseg trikotnika dobimo tako, da seštejemo stranice trikotnika : o = a + b + c Polmer trikotniku očrtanega (oznaka R) kroga lahko izračunamo, če poznamo dolžine vseh treh stranic in njegovo ploščino : R = abc 4S Polmer trikotniku včrtanega (oznaka r) kroga lahko ugotovimo, če poznamo ploščino trikotnika in njegov obseg : r = s S 48

50 Naloge 1. Izračunaj ploščino trikotnika, če poznaš vse tri njegove stranice : a) a = 3 cm, b = 4,5 cm, c = 6 cm b) a = 4 dm, b = 4,8 dm, c = 5,6 dm. Izračunaj ploščino trikotnika z dano stranico in višino na njo: a) a = 4 cm, va = cm b) c = 4 cm, vc = 3,6 dm 3. Izračunaj ploščino trikotnika z danima stranicama in kotom med njima: a) a = 1 cm, b = 8 cm γ = 140 c) b = 30 m, c = 40 m, α = 3 b) a = 1 dm, b = 16 cm, γ = 80 d) a = 3,5 cm, c =,4 cm, β = 4 4. Natančno izračunaj višino na stranico, če poznaš ploščino trikotnika: a) S = 4 cm, a = cm b) S = 0,4 m, c = 0,7 m 5. Izračunaj stranico a v enakostraničnem trikotniku s ploščino: a) 60 cm b) 80 mm 6. Zapiši Pitagorov izrek za spodnja trikotnika 7. V pravokotnem trikotniku meri hipotenuza 15 cm, katera pa 9 cm. Koliko meri druga kateta? Koliko znaša ploščina trikotnika? 8. V pravokotnem trikotniku izračunaj dolžino hipotenuze trikotnika, če kateti merita: a) a = 5 cm, b = 1 cm, b) a = 0, 4 m, b = 0, 3 m. 9. V pravokotnem trikotniku izračunaj dolžino neznane katete trikotnika če je c = 5 dm in b = 4 dm. Koliko merita oba notranja ostra kota tega trikotnika? 10. Izračunaj dolžino lestve, ki je prislonjena ob steno. Koliko meri kot med lestvijo in 49

51 vodoravno podlago? 11. V pravokotnem trikotniku izračunaj kot, če meri nasprotna kateta a = 7 cm in hipotenuza c = 11 cm. Koliko meri kateta b? Koliko meri ploščina tega trikotnika? 1. Na sliki je narisan enakokraki trikotnik ABC ( AC = BC ). Izračunaj notranje kote tega trikotnika. 13. V enakokrakem trikotniku meri osnovnica 6 cm in kot med krakoma = 50. Izračunaj višino na osnovnico in dolžino kraka enakokrakega trikotnika. Koliko meri kot β v tem trikotniku? Nariši skico. 14. Na sliki je narisan pravokotni trikotnik. Ob oglišču C je pravi kot, kot β pa meri 63. Izračunaj vse notranje in zunanje kote tega trikotnika. Rezultate zapiši v spodnjo razpredelnico. Koliko merita stranici a in b, če meri hipotenuza 1 cm? Izračunaj ploščino trikotnika ABC. Notranji koti trikotnika Ustrezni zunanji koti trikotnika α = α = β = β = γ = γ = 50

52 15. Na sliki je narisan trikotnik ABC. Višina na stranico c meri 6 cm. Dolžina stranice b = AC = 8 cm. Kot ob oglišču B meri 45. Izračunaj vse notranje in zunanje kote tega trikotnika. Rezultate zapiši v spodnjo razpredelnico. Notranji koti trikotnika Ustrezni zunanji koti trikotnika α = α = β = β = γ = γ = 16. V ostrokotnem trikotniku ABC meri stranica a = 9 cm. Stranica b = 1 cm. Kot = 7. Izračunaj ploščino trikotnika. 17. Izračunaj obseg in ploščino trikotnika s stranicami a = 1 cm, b = 15 cm in c = 17 cm. Koliko meri polmer trikotniku očrtanega kroga? 18. V enakostraničem trikotniku meri stranica 6 cm. Izračunaj obseg in ploščino trikotnika. Koliko merijo vsi notranji koti v tem trikotniku? 19. Natančno izračunaj polmer kroga včrtanega trikotniku s ploščino S = 16 cm in obsegom o = 16 cm. 51

53 5.3 Štirikotniki Štirikotnik je ravninski lik, ki ga omejujejo štiri stranice. Za razliko od trikotnika ima štirikotnik tudi dve diagonali. Štirikotnike glede na obliko delimo na trapezoide, trapeze in paralelograme. Trapezoid nima vzporednih stranic. Trapez ima en par vzporednih stranic. Paralelogram ima dva para vzporednih stranic. Vsota notranjih kotov v štirikotniku je 360. Vsota zunanjih kotov v štirikotniku je 360. Naloge 1. Načrtaj štirikotnik s podatki a = 4 cm, b = 3 cm, α = 70, β = 50, γ = Načrtaj štirikotnik s podatki α = 60, δ = 90, β = 75, a = 5 cm in d = 4 cm. 3. Načrtaj štirikotnik s podatki b = 5 cm, d = 3,5 cm, β = 75, γ = 46, c = 4 cm. 4. Izračunaj vse manjkajoče notranje in zunanje kote štirikotnika na sliki. 5

54 5. Izračunaj manjkajoče notranje in zunanje kote štirikotnika, če veš, da je β = 68, γ' = 103 in δ' = Trapez Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči obeh krakov : a c s = Pri notranjih kotih velja : α + δ = β + γ = 180. Enakokraki trapez ima kraka b in d enako dolga. Velja, da je osno simetričen lik. Kota ob osnovnici pri enakokrakem trapezu sta skladna (α = β), prav tako diagonali (e = f). ( a c) v Ploščina trapeza je : S = Obseg pa predstavlja vsota vseh stranic : o = a + b + c + d 53

55 Naloge 1. Nariši trapez s podatki a = 5,5 cm, b = 3 cm, c = cm in β = 50.. Nariši trapez s podatki a = 5 cm, v = 3 cm, α = 60, β = Nariši trapez s podatki c = 3 cm, d = 4 cm, v = 3 cm in γ = Nariši enakokraki trapez s podatki c = 3 cm, d = 5 cm in f = 6,5 cm. 5. Nariši enakokraki trapez s podatki c =,5 cm, δ = 150 in e = 8 cm. 6. Izračunaj ploščino trapeza s podatki : a) a = 6 cm, c = 4 cm, va = cm b) a = 7 cm ; b = 4 cm ; c = 3 cm ; β = Trapez je sestavljen iz treh enakostraničnih trikotnikov. Kolikšen je obseg in ploščina trapeza, če meri stranica trikotnika 4cm? 8. Izračunaj kota α in β v trapezu s stranicami a = 16 cm, b = 14 cm, c = 6 cm in d = 1 cm. 9. Izračunaj ploščino in obseg enakokrakega trapeza ABCD, pri katerem merita osnovnici 38 cm in cm, višina pa 4 cm. 10. Kot v presečišču nosilk krakov enakokrakega trapeza meri 40. Izračunaj vse notranje kote. 5.5 Paralelogram Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic. Lastnosti paralelograma : a) nasprotni stranici sta skladni, b) nasprotna kota sta skladna, c) kota ob isti stranici sta suplementarna, č) diagonali se razpolavljata paralelogram je središčno simetričen lik. 54

56 Posebni paralelogrami : - romb (vse štiri stranice enako dolge). - pravokotnik (ima dva para različno dolgih stranic in notranje kote prave). - kvadrat (ima vse štiri stranice enako dolge in notranje kote prave). Ploščino in obseg paralelograma izračunamo po obrazcih : S = a va = b vb = a b sinα o = a + b Diagonali romba sta med sabo pravokotni, zato velja Pitagorov izrek: a e f =. Ploščino romba izračunamo : S = a e f sinα (saj ima vse stranice enako dolge) ali S =, saj se diagonali sekata pravokotno. Pri kvadratu in pravokotniku lahko prav tako obrazec za računanje ploščine poenostavimo, saj imata oba lika vse notranje kote prave, kar pomeni, da je sin90 = 1. Zato je ploščina pravokotnika : S = a b, kvadrata pa a a = a. Naloge 1. Nariši paralelogram s podatki a = 7 cm, b = 3 cm in α = 75.. Nariši paralelogram s podatki a = 5 cm, b = 4 cm, β = Nariši paralelogram s podatki va = 3 cm, f = 6 cm, α = Nariši paralelogram s podatki b = 5 cm, e = 7 cm, f = 8 cm. 5. Nariši romb s podatki a = 4 cm, α = Nariši romb s podatki a = 11 cm, v a = 6 cm, b = 10 cm. 7. Nariši romb s podatki v = 3,5 cm, e = 5 cm. 8. Izračunaj vse manjkajoče notranje kote paralelograma na sliki. 9. Izračunaj obseg, ploščino in diagonalo kvadrata, če meri njegova stranica 7 cm. 55

57 10. Obseg pravokotnika meri 16 cm, njegovi stranici pa sta v razmerju 3 : 1. Izračunaj diagonalo in ploščino pravokotnika. 11. V rombu ABCD meri stranica a = 5 cm, diagonala BD = f = 6 cm. a) Izračunaj obseg in ploščino romba. b) Izračunaj dolžino stranice e. c) Izračunaj, kolikšen kot α oklepata stranici romba. 1. V rombu meri kot = 30. Dolžina stranice a meri 8 cm. Koliko meri ploščina romba? 13. Izračunaj ploščino paralelograma ABCD, če je a = 5 cm, b = 4cm in α = Nariši paralelogram s podatki a = 5 cm, va = 3 cm, kot β = 10 in izračunaj njegovo ploščino. 15. V paralelogramu je α = 74. Koliko merijo preostali notranji koti? 16. Izračunaj ploščino paralelograma s podatki: a) a = 4 cm, b = 6 cm, α = 30 b) a = 0 cm, va = 10 cm 5.6 Deltoid Deltoid je štirikotnik, ki ima dva para sosednjih skladnih stranic. Lastnosti deltoida : a) diagonala f je os simetrije deltoida, b) stranici, ki imata skupno oglišče na osi simetrije sta enako dolgi : a = b in c = d, c) diagonala f razpolavlja diagonalo e in notranja kota β in δ, č) kota, ki ju os simetrije ne razpolavlja, sta skladna : α = β, d) diagonali sta med seboj pravokotni. Posebni deltoidi : - romb (vse štiri stranice enako dolge). - kvadrat (ima vse štiri stranice enako dolge in notranje kote prave). 56

58 Naloge 1. Nariši deltoid s podatki a = 4 cm, d = cm in f = 5 cm.. Nariši deltoid (os simetrije poteka skozi oglišči B in D). a) a = 6 cm, e = 5 cm, f = 8 cm b) b = 5 cm, d = 3 cm, f = 9 cm c) d = 4 cm, f = 8 cm, α = 10 č) a = 4 cm, d = 3 cm, e = 3 cm 3. Izračunaj neznane kote v deltoidu. 4. Izračunaj ploščino deltoida, če je e = 10 cm in f = 8 cm. 5. Ploščina deltoida je 48 cm, diagonala e = 4 cm. Izračunaj diagonalo f. 6. V deltoidu ABCD merita stranici a = b = 0 cm, c = d = 15 cm in diagonala e = 4 cm. Izračunaj obseg deltoida, diagonalo f in ploščino deltoida. 5.7 Pravilni večkotnik Večkotnik je pravilen, če ima vse stranice in notranje kote skladne. Pravilne večkotnike najlaže narišemo tako, da narišemo očrtani krog ter iz njegovega središča narišemo ustrezno velike kote, ki jih izračunamo tako, da 360 delimo s številom, ki ustreza številu oglišč večkotnika. Diagonala večkotnika je daljica, ki veže katerikoli nesosednji oglišči večkotnika. Število diagonal za n kotnik izračunamo po formuli : d n n n 3 Vsota notranjih kotov večkotnika z n oglišči je (n ) 180. Vsota zunanjih kotov izbočenega večkotnika ni odvisna od števila stranic in je vedno

59 Središčni kot α dobimo : 360 n Obseg dobimo, če seštejemo dolžine vseh stranic : o = n a Ploščino pa po obrazcih : S a n r S n R sin Naloge 1. Kateri od spodnjih enakostraničnih štirikotnikov je pravilen? Zakaj?. Nariši pravilni šestkotnik s stranico dolžine 5 cm. Koliko diagonal ima? Izračunaj obseg in ploščino šestkotnika. 3. Največ koliko diagonal lahko narišeš iz enega oglišča : a) enajstkotnika b) dvanajstkotnika c) štirinajstkotnika 58

60 6 Literatura in viri [1] M. Vencelj, Matematika za triletne poklicne šole, drugi in tretji zvezek. [] P. Legiša, Matematika, drugi in tretji zvezek. [3] D. Kavka, Od piramid do kaosa. [4] E-um interaktivna učna gradiva [ [5] 59