Ključi sorazmerij, 2...
|
|
|
- Πηρω Ἀγλαΐη Δυοβουνιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 10 Ključi sorazmerij, Ključi sorazmerij, Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:40 PM
2 Zlati rez Zlati rez ni le cifra; je najodličnejši predstavnik členitve. Predstavlja konstantno spremembo kot nasprotje strukturi, ki jo gradi konstantni člen, enota. Vsak novi člen je za faktor Φ večji ali manjši, nikakor pa ne more biti enak. Govorimo o sorazmerju (proporcu, proporciji). Kaže se skozi nespremenljivost karakterističnega odnosa, predstavlja pa enotnost mere, materiala in duha. Torej presega golo matematično igro in ga lahko v celoti dojamemo le intuitivno. * Zagrebški profesor Vjenceslav Richter je zastavil dobro vprašanje: Zakaj ima krog 360, ko pa po geometrijski poti ne morem narisati kota 1. Če krog razdelim na pol, dobim 180, ob drugi delitvi 90, ob tretji 45. Naprej ne morem več z razpolavljanjem, ker bi dobil decimalne vrednosti. Torej bi moral 45 deliti na tri dele, kar pa po geometrijski poti ni rešljivo. Trčil sem ob problem trisekcije kota. Vprašanje je res skrajno provokativno, še bolj pa je provokativna predlagana rešitev. Profesor namreč predlaga, da naj bi po novem polni kot meril 512. Če namreč krog devetkrat razpolovimo, dobimo na koncu kot 1 Richterjeve ločne stopinje. Sliši se res inteligentno in zakaj potem polni krog ne meri 512. Razlog ni geometrijski, ne izvira iz Grčije ali Egipta, temveč iz arabskega sveta. Število 360 je namreč drugo število med 1 in 1000 po številu deljiteljev. Boljše je le še število 720, ki je deljivo z vsemi deljitelji števila 360 in še s številom 360 samim. Torej se z njim zelo lepo računa, ker le redko dobimo decimalne vrednosti. Kotne mere so tudi edine mere, ki so matematično natančno definirane. Tako nas je profesor Vjenceslav Richter pripravil, da smo se vprašali po nečem, kar je navidez tako očitno, da se tega nikoli ne vprašamo in zato tudi ne vemo. Podobno je tudi z zlatim rezom. Opazil sem, da niti ljudje, ki naj bi po svoji poklicni izobrazbi natanko poznali problem, niti približno ne vedo, za kaj sploh gre. Tisti, ki nekaj le vejo, pa poznajo le vrednost 1,6. Toda to je le cifra, do popolnosti okleščeno bogastvo zakonitosti, ki se skrivajo za pojmom zlatega reza. Poleg tega se je prav nasprotno, kot v prej omenjenem primeru kotne stopinje, vsa zgodba začela z geometrijskimi igrami in ne z aritmetiko. Da bo vse skupaj še bolj jasno in tudi kakšen dvom ali zabloda manj, bom zlati rez primerjal s 2. zato, ker ljudje zlati rez in 2 pogosto zamenjajo. Prva naloga Najprej bi morda nalogo postavil takole. Iščem pravokotnik, ki mu odrežem največji možni kvadrat, to je tisti, ki leži ob pravokotnikovi krajši stranici in ima z njim to stranico skupno, kar pa ostane, pa je, matematično povedano, podoben pravokotnik. To je takšen, ki ima 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:40 PM
3 enaka razmerja med stanicami. Izkaže se, da je to možno le v pravokotniku s stranicami v razmerju zlatega reza, torej v zlatem pravokotniku. Druga naloga Iščem pravokotnik, ki ga razpolovim pravokotno na daljšo smer, in kar ostane, je spet, matematično rečeno, podoben pravokotnik. Tej zahtevi ustreza pravokotnik z razmerjem stranic 1 proti diagonali kvadrata s stranico 1, torej z razmerjem stranic 1 : 2. Očitno je, da sta nalogi zastavljeni bistveno drugače. V prvem primeru gre za popolno ponavljanje razmerja (različnosti, ne enote), torej za sorazmerje, proporc (proporcijo) oziroma, kar so Grki imenovali analogia. V drugem primeru pa gre za stalni člen. Prvo imenujemo členitev, drugo pa struktura. Prvo drži skupaj sorazmerje, to je konstantna sprememba oziroma modul spremembe, drugo pa lahko prevedemo na enoto mere, torej na modul mere. Nalogi lahko tudi obrnem. Najprej vzamem za osnovo kvadrat in mu ob eno stranico dodam popolnoma enek (to je skladen) kvadrat. Dobim pravokotnik 1 : 2. Sedaj ob daljšo stranico postavim kvadrat z enako dolžino 2. Sestavil sem pravokotnik razmerja 2 : 3. Ponovim postopek še nekajkrat in dobim pravokotnike z razmerjerm stranic 3 : 5, 5 : 8, 8 : 13, 13 : 21, 21 : 34, 34 : 55, 55 : 89,... Dobil sem zaporedje števil 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... z lastnostjo an = an-1 + an-2. Imenujemo ga Fibonaccijevo zaporedje. Njegova lastnost pa je, da zaporedje zdeljencev (kvocientov) sosednjih števil limitira k vrednosti zlatega reza, ki jo imenujemo Θ, to je nekaj podobnega na samem začetku tega pisanja omenjeni cifri. Izkaže se tudi, da za sam začetek lahko vzamem kakršen koli pravokotnik, torej ni pogoj kvadrat, ki mu ob daljšo stranico postavim kvadrat in po znanem postopku naprej, pa bo zakonitost še vedno držala. Le operacojo bom moral ponoviti večkrat, da bom z razultatom zadovoljen (več začetnih parov bo neuporabnih). Drugič dodam pravokotniku ob daljšo stranico popolnoma enak (skladen) pravokotnik tako, da bosta imela to stranico skupno, in novi pravokotnik bo imel enako razmerje stranic, kakor pravokotnika, ki ga sestavljata. V prvi nalogi gre torej za neskončno členitev, ko dva sosednja člena nista nikoli enaka, v drugem primeru pa bi lahko dokazal, da stalno ponavljam en sam člen, torej enoto. Do sedaj sem govoril o zlatem rezu in 2, kakor da nimata prav nič skupnega. Toda izkaže se, da nista tako huda tujca. Vzamem pravokotnik razmerja stranic 1 : 2, mu po že znani metodi (uporabil sem jo pri zlatem rezu, ne 2) odrežem navečji možni kvadrat in pogledam, kaj mi ostane. Dobljeni pravokotnik so v zgodovini imenovali Θ. Ima pa posebno lastnost. Njegova diagonala namreč oklepa z daljšo stranico kot 22,5, kar je ravno polovica od 45. Kdor misli, 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:41 PM
4 da ima opazovani pravokotnik razmerje stranic 1 : 2, se zelo moti in naj raje pametno molči. Gre namreč za razmerje 1 : (1 + 2). Arhitekti bi ga morali poznati iz vaj pri zgodovini arhitekture 1, ko so risali pročelje klasičnega templja. Diagonala ležečega pravokotnika Θ namreč predstavlja naklon stehe, oziroma v tak pravokotnik lahko včrtamo timpanon. Sedaj pa moram povedati, kaj ima ta pravokotnik skupnega z zlatim rezom. Skupen je postopek neskoknčne delitve, le da je sšmo pravilo malo drugačno. Pravokotniku Θ odrežem največji dvojni kvadrat, to je pravokotnik z razmerjem stranic 1 : 2, in kar dobim, je spet Θ. Delitev je, podobno kot pri zlatem rezu, neskončna. Pa lahko nalogo tudi obrnem. Ob dvojni kvadrat dodam dvojni kvadrat, kot to kaže slika. Dobim pravokotnik 2 : 5. Ponovim postopek in dobim 5 : 12, 12 : 29,... Pravilo je an = 2an-1 + an-2. Zaporedje imenujemo Pellovo in velja, da zdeljenci sosednjih členov limitirajo k razmerju 1 : (1 + 2). Pravilo velja za poljubni začetni pravokotnik, ne le za dvojni kvadrat; v tem primeru je le primer najbolj nazoren. * Najbolj splošna definicija zlatega reza pravi, da je to odnos med stranico desetkotnika in polmerom temu desetkotniku očrtanega kroga. Če narišem tako imenovani zlati pravokotnik, velja, da ko je stranica kvadrata enaka omenjenu polmeru, je krajša stranica novega zlatega pravokotnika enaka stranici desetkotnika, njegova diagonala pa starnici petkotnika. Če je premer 1, potem je stranica desetkotnika enaka obratni vrdenosti Φ (1/Φ). O čem pravzaprav govorim. O dveh popolnoma različnih principih; o členitvi in strukturi ter o razliki, ki se skriva za tema dvema pojmoma. Pri členitvi je edina konstanta sprememba oziroma sorazmerje, o čemer piše knjiga z največjo naklado v zgodovini človeštva Yijing. Členitev oziroma sorazmerje je enakost vsaj dveh razmerij (Ευκλιδεζ), enakost vsaj dveh primerjav. Ne moremo dobro primerjati dveh stvari brez tretje in med njimi potrebujemo povezavo, ki jih druži. (Πλατονεζ: Τιμεοζ). Pomeni, da tako kot sta si različna 1. in 2. člen, sta si različna tudi 2. in 3. člen. To skupno razmerje imenujemo sorazmerje; pravimo, da je razmerje element sorazmerja. Nespremenljivost karakterističnega odnosa je očitna. Pri zlatem rezu velja poleg konstantne stpremembe še, da je tretji člen vsota prejšnjih dveh; a : b = b : (a + b) (glej Fibonaccijevo zaporedje). Pri strukturi pa je poglavitna enota, ki se ponavlja. Torej govorim o ritmu, ritem pa je temeljna človekova izkušnja urejenega toka gibanja; ritem je za čas to, kar je simetrija za prostor. Gre predvsem za primerjavo merljivih količin; količine pa merimo z enotami. Pri strukturi lahko posamezne člene odvzemam in dodajam, ne da bi s tem spremenil ritmični karakter, ki temelji na ponavljaju. V primeru 2 velja še dodatna zakonitost, ki pravi da je vsak drugi 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:41 PM
5 nasledjni člen dvakratnik določenega člena (an + 2 = 2an; 1, 2, 2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2,...). S tem mislim že prej omenjeno podvajanje oziroma ponavljanje. * Zakaj pa matematične igre obravnavam na simpoziju o likovni teoriji? Likovnost išče realnost za tistim, kar lahko vidim. Tudi znanost išče univerzalno resnico, ki je za tistim, kar lahko zaznam s čutili. Kaj to pomeni za kompozicijo. Dovolil si bom nekoliko svobodno interpretacijo definicij Vasilija Kandinskega iz knjige Punkt und Linie zu Fläche. V prvi definiciji pravi: Elemnt v kompoziciji definiramo iz treh vidikov: 1. element sam na sebi, 2. element do drugih elementov in 3. element do celote. To pomeni naslednje: vsak format v sliksrtvu, blok v kiparstvu ali gabarit v arhitekturi vsebuje določeno sorazmerje. Načeloma velja, de če želimo ustvariti dobro kompozicijo, moramo spoštovati to sorazmerje pri odnosih med elementi in pri oblikovanju elemntov samih. V bistvu isto pravi tudi Kandinski v drugi definiciji: Kompozicija je notranje smotrno podrejanje 1. posameznih elementov in 2. zgradbe (konstrukcije) konkretnemu prostorskemu cilju. Z zgradbo pa v likovnem smislu med drugim razumem predvsem sorazmerje. In sedaj že omenja parafraza : V resnici ne materializirajo vsebine likovne stvaritve zunanje forme, temveč med temi oblikami živeče sile = napetosti; njih pa ustvarjajo predvsem sorazmerja. Piet Mondrian je komponiral svoje slike po občutku. Če pogledam katero njegovih nedokončanih sik, vidim, kako je s poskusi določal količinske odnose oziroma položaje posameznih elementov. Po natančni analizi pa ugotovim, da je na oko presenetljivo dobro sledil odnosom zlatega reza. Tudi njegov tovariš Teo van Doesburg je v zelo podobnih kompozicijah sledil enekemu sorzmerju, le da je to počel zavestno; on je računal. Rezultati pa so res presenetljivo podobni. Podobno Wolfgang Amadeus Mozart. Ekspozicija Simfonije v G molu je dolga 100 taktov. Najvišji ton G6 se pojavi v 62. taktu (62 : 38 = Φ, = 100). Najnižji ton se pojavi v 24. taktu (38 : 24 = Φ, = 62). Žal nisem našel podatkov, kako je simfonija nastala; ne vem, če je Mozart razmerja računal ali je zgolj sledil intuiciji. Toda največji sodobni skladatelj, vsaj po merilih večine antologij moderne glesbe, Karheinz Stockhausen svoje kompozicije ponavadi računa. V Klavierstücke III se poigrava s 55 toni v 34 različnih taktih (obe števili najdemo v prvem Fibonaccijevem zaporedju).v vsakem taktu je 50 poltonov razpona ( = 50; 3, 5, 8, 13, 21 so tudi števila prvega Fibonaccijevega zaporedja). * 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:41 PM
6 Zelo pogosto slišim, da umetnost ni matematika in da so taki in podobni primeri le slučaj. Toda psihologi so dokazali nasprotno. V enem od testov so narisali več pravokotnikov z različnimi razmerji stranic. Velika večina vprašanih (govori se dejansko o večini) je kot najbolj ugoden lik izbrala zlati pravokotnik. Torej verjetno smem zaključiti, da je matematika v tem primeru le orodje pri ustvarjanju, ki skrbi, da ostanem na varni strani, če se je držim. Pravim če, ker je izbira svobodna. Slikar Paul Klee v eni svojih knjig trdi, da je večina problemov rešljivih po racionalni in intuitivni poti. Zelo malo pa je takih, ki so rešljivi le po eni sami od omenjenih poti. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:41 PM
7 620 Homogen črtni vzorec Gestalt psihologija Renzo Piano 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:42 PM
8 621 Zakon podobnosti Tanjše linije tvorijo svojo skupnost, debele svojo. Pompidoujev center 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:42 PM
9 622 Zakon bližine Bližnji liki se družijo v skupine. Miroslav Šutej 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:43 PM
10 623 Zakon zaprte oblike Zaprta oblika je močnejši zakon, kot sta prejšnja. Brazilija 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:44 PM
11 624 Zakon skupne usode Linija kot celota Miroslav Šutej 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:44 PM
12 625 Zakon izkušnje Dustin Fenstermacher 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:44 PM
13 626 Zakon konkavne oblike Konveksno (zunanji izraz), konkavno (notranja vsebina) Oblika in načrtovalsko orodje Masonski znaki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:45 PM
14 627 Standardni element, modularni element Opeka 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:45 PM
15 628 Modul je največja skupna mera v kompoziciji. Modularne mere Modularna omara 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:46 PM
16 629 Modularna mreža Modularna hiša 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:46 PM
17 630 Modularne oblike Arena v Španiji 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:47 PM
18 631 Arhitekt razvija: 1. modularne principe in 2. modularno gradivo. Wrightovi zidaki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:47 PM
19 632 Enotna oblika kamna izhaja iz načina lomljenja kamna v kamnolomu. Kamen v kamnolomu 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:47 PM
20 633 Zlaganje manj določenih oblik v»red«srbski samostan 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:48 PM
21 634 Klasični red v zlaganju modularnih oblik. Louis Sullivan 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:48 PM
22 635 Modularni princip v navidez nemodularni zgradbi (organska oblika). Antoni Gaudi 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:49 PM
23 636 Hagia Sophia 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:49 PM
24 637 Ena kompozicija, več modulov več velikosti Hagia Sophia Hagia Sophia 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:50 PM
25 638 Pantheon 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:50 PM
26 639 Pantheon in Kepler 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:51 PM
27 640 Modularno mestno tkivo Mesto iz zraka 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:52 PM
28 = = = = = = = = = 6 1 x 2 x 3 = 6 Temeljne lastnosti števil Popolno število 6 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:52 PM
29 642 Posebne lastnosti elementarnih oblik, kot so posebne lastnosti števil. Pravilna telesa 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:53 PM
30 643 Najprej so določili osnovni smeri v prostoru. Rimski legionar 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:53 PM
31 644 Enako na papirju Dioklecijanova palača 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:53 PM
32 645 Osnovni križ na papirju 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:54 PM
33 646 Boljša razmerja in kar tako neka razmerja Φ in 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:54 PM
34 647 Najugodnejša razmerja so rezultat izkušenj. Višina prostora 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:55 PM
35 Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez S sestavljanjem kvadratov se približujemo zlatemu rezu. Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:58:59 PM
36 Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:03 PM
37 Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55 144/89 233/ / ,5 1,666 1,600 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,617 1,618 1,618 1, Fibonaccijeva vrsta 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:04 PM
38 651 Zlati rez 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:05 PM
39 652 Zlati rez in 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:06 PM
40 653 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ=1+ 2 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ= Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:08 PM
41 654 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ=1+ 2 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ= Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:10 PM
42 655 n x x decimalno 1/ 2-1/ 2 2-0, , x-n=1/x 1 (1-5)/2 (1+ 5)/2-0, ,61803 Ø , ,41421 Θ 5 ( 5-3)/2 ( 5+3)/2-0, ,61803 Ø , , Ø+1 Ø=(1+ 5)/2 Θ= Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:11 PM
43 656 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Pravokotnik, ki mu odrežem največji možni kvadrat, kar pa ostane, je podoben pravokotnik. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:12 PM
44 Pravokotnik, ki ga razpolovim, in kar ostane, je podoben pravokotnik. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:14 PM
45 658 Zlati rez in sorodniki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:14 PM
46 659 Po Le Modulorju Vitruvijanska figura 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:15 PM
47 660 Koren iz dva in sorodniki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:15 PM
48 661 Koren iz dva in sorodniki Zlati rez in sorodniki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:16 PM
49 662 razmerje najbolj priljubljeni najmanj priljubljeni širina/višina Fechner (%) Lalo (%) Fechner (%) Lalo (%) kvadrat 1/1 3,0 11,7 27,8 22,5 kvadriagon 5/6 0,2 1,0 19,7 16,6 biauron 4/5 2,0 1,3 9,4 9,1 penton 3/4 2,5 9,5 2,5 9,1 diagon 2 7/10 7,7 5,6 1,2 2,5 hemolion 2/3 20,6 11,0 0,4 0,6 auron - zlati rez 5/8 35,0 30,3 0,0 0,0 sikston /23 20,0 6,3 0,8 0,6 dvojni kvadrat 1/2 7,5 8,0 2,5 12, /5 1,5 13,3 35,7 26,6 skupaj 100,0 100,0 100,0 100,0 Razmerja po priljubljenosti 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:17 PM
50 663 53,4 cm = 13" 43,2 cm = 10½" 86,3 cm = 21" 69,8 cm = 17" 139,7 cm = 34" 113 cm + 27½" 226 cm = 55" 182,9 cm = 44½". 365,8 cm = 89". 295,9 cm = 72.". 591,8 cm = 144". 478,8 cm = 116½". Le Modulor 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:17 PM
51 664 Primer zlatega reza Le Corbusier 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:18 PM
52 665 Zgodovinske napake? Stari Sveti Peter 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:18 PM
53 666 Palatinska kapela, Aachen 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:18 PM
54 667 Palatinska kapela, Aachen 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:19 PM
55 668 Popolnost v osmerokotniku St. Vitale, Ravenna 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:19 PM
56 669 St. Vitale, Ravena 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:20 PM
57 670 Geometrija kvadrata: kvadrat je v vseh vrstah; kvadrat se deli na vse načine. 2 x 2 8 x 8 Tretjinjenje Tretjinjenje in razpolavljanje 3 x 3 6 x 6 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:22 PM
58 671 Tretjinjenje in tretjinjenje Na pet 9 x 9 5 x 5 Na pet in na pol Na sedem 10 x 10 7 x 7 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:26 PM
59 672 Odlika odlične kompozicije je v enostavnosti. Santa Maria Novella 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:27 PM
60 673 Santa Maria Novella Santa Maria Novella 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:29 PM
61 674 Razpolavljanje in tretjinjenje Serlio 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:29 PM
62 675 Razpolavljanje in tretjinjenje Leone Batista Alberti: Mantova Leone BatistaAlberti: S. Andrea Mantova 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:30 PM
63 676 Na pet; na San Miniato 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:31 PM
64 677 Ploskev razstavljamo na podobne like. Poljubni format lahko razpolavljamo. Metoda razpolavljanja Metoda podobnih likov 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:32 PM
65 678 Podobni liki Serlio 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:33 PM
66 679 Sorazmerje (proporcija) je razmerje. ki se v kompoziciji stalno ponavlja. Benetke 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:33 PM
67 680 Triangulatura (trikotnikovanje) Glouchester 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:34 PM
68 681 Triangulatura ne izhaja nujno iz enakostraničnega trikotnika. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:34 PM
69 682 Triangulatura in kvadratura; trikotniška in kvadratna števila 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:35 PM
70 683 Kvadratura? Wells 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:35 PM
71 684 Wells 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:36 PM
72 685 Leone Batista Alberti 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:36 PM
73 686 Sorazmerje se ohranja, če so diagonale vzporedne ali pravokotne. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:37 PM
74 687 Razmerja v tipografiji: velikost pisave, stožec ali kegel, kern. Tipografija 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i /16/08 12:59:38 PM
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Kunci, jabolka in zlatnina
Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum
Kotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Kotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
![matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):](/thumbs/87/96579490.jpg "matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):")
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.
DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni
8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Osnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Numerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Algebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
VEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Funkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
p 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Splošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ
Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 19 1000 Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ Rok Lipnik 4.letnik, pedagoška matematika Celje, 15.10.2006 1 Uvod Kaj naredi število tako popularno, da se z njim ukvarjajo
Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Deljivost naravnih števil
Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva
Osnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Vaje: Električni tokovi
Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete
Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM
Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s
Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
vezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Reševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008
TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na
Matematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
3.letnik - geometrijska telesa
.letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =
Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:
PROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Shefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
![cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.](/thumbs/72/66438140.jpg "cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.")
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Letnik 0, številka 5
Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:
CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor:
diferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Če je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):
ELEKTRIČNI TOK TEOR IJA 1. Definicija enote električnega toka Električni tok je gibanje električno nabitih delcev v trdnih snoveh (kovine, polprevodniki), tekočinah ali plinih. V kovinah se gibljejo prosti