Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.)
|
|
- Ματθάν Ιωαννίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi numerici, Facultatea de Inginerie Electrică, /71
2 Cuprins 1 Introducere Modelare Simulare 2 Analiza circuitelor rezistive liniare în c.c. Algoritm - SRT Tratarea SRC Tratarea SICU Metoda nodală modificată 3 Analiza circuitelor liniare în c.a. Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă 2/71
3 Modelare Simulare Circuitele electrice sunt modele ale realităţii Circuitele electrice modele ale realităţii; conţin elemente ideale, obţinute prin idealizarea elementelor reale; reprezintă o mulţime de elemente ideale conectate între ele pe la borne (terminale). 3/71
4 Modelare Simulare Circuitele electrice sunt alcătuite din elemente ideale Elementele ideale de circuit electric sunt caracterizate de mărimi electrice definite la borne (curenţi, tensiuni sau potenţiale); se definesc funcţional, printr-o relaţie caracteristică (constitutivă) între mărimile definite la borne. Modelarea nu este obiectul teoriei circuitelor, ea presupune analiza câmpului electromagnetic. C = ε 0A s 4/71
5 Modelare Simulare Exemple de elemente ideale Cele mai frecvent folosite: liniare dipolare: R, L, C, conductorul şi izolatorul perfect; parametrice: K (comutatorul); neliniare rezistive : SIT, SIC, DP; liniare multipolare: SICU, SUCI, SUCU, SICI, AOP, M; neliniare multipolare: AOPn. 5/71
6 Modelare Simulare Exemple de elemente ideale γu ρi u i αu βi + u i 6/71
7 Modelare Simulare Modelarea componentelor din circuitele reale 7/71
8 Modelare Simulare Determinarea răspunsului sub acţiunea unei excitaţii Simulare = simulare numerică (cu ajutorul calculatorului) Simularea determinarea mărimilor de interes (tensiuni, curenţi) din circuit; determinarea răspunsului sub acţiunea unui semnal de excitaţie cunoscut. 8/71
9 Modelare Simulare Determinarea răspunsului sub acţiunea unei excitaţii O simulare făcută cu succes presupune buna formulare a circuitului (soluţia să existe şi să fie unică); este echivalentă cu buna formulare a problemei matematice asociate; conceperea sau alegerea unui algoritm numeric robust pentru rezolvare. 9/71
10 Modelare Simulare Algoritmul de rezolvare Algoritmul potrivit pentru rezolvare depinde de caracteristicile elementelor de circuit (liniare/neliniare, rezistive/reactive); tipul mărimilor din circuit (constante - c.c., sinusoidale - c.a., periodice, oarecare). 10/71
11 Modelare Simulare Tipuri de circuite / probleme matematice Tip de circuit 1 Circuite rezistive liniare/neliniare în c.c.) 2 Circuite liniare în regim sinusoidal (c.a.); 3 Circuite liniare/neliniare în regim tranzitoriu; 4 Circuite liniare/neliniare în regim periodic; 5 Oscilatoare (frecvenţe de rezonantă.) Problema matematică 1 Sisteme de ec. algebrice liniare/neliniare, în IR; 2 Sisteme de ec. algebrice liniare, în complex. 3 Sisteme ODE, lin./nelin. cu condiţii iniţiale. 4 Superpoziţie de c.a./ode cu condiţii de periodicitate. 5 Calcul de valori proprii (analiza modală). 11/71
12 Modelare Simulare Scopul acestui curs Întelegerea: modului în care se dezvoltă instrumentele software pentru analiza circuitelor electrice; importanţei bunei formulări a problemei (circuitului) ce trebuie rezolvată; modului în care se generează automat sistemele de rezolvat; faptului că fundamentul simulării numerice a circuitelor electrice îl constituie disciplina Metode numerice Algoritmi. 12/71
13 Problema fundamentală Conţin: rezistoare (R), surse ideale de tensiune (SIT) şi curent (SIC), surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI). Problema fundamentală a analizei acestor circuite Se dau: Se cer: topologia circuitului (schemă/tabel de descriere (netlist)/matrice de incidenţă sau apartenenţă); valorile parametrilor (rezistenţele, valorile surselor). curenţii şi tensiunile din fiecare latură; puteri. 13/71
14 Condiţii de bună formulare Teoreme Topologice: Pentru ca circuitul să fie bine formulat este necesar să existe un arbore normal; Dacă circuitul nu are surse comandate şi toate rezistoarele sunt strict pozitive, atunci este necesar şi suficient să existe un arbore normal. Algebrice: Pentru ca circuitul să fie bine formulat este necesar şi suficient ca matricea sistemului de ecuaţii algebrice liniare, asamblat printr-o metodă sistematică să fie nesingulară. Q1: Ce este un arbore normal? 14/71
15 Metode de rezolvare sistematice metoda ecuaţiilor Kirchhoff :( metoda potenţialelor nodurilor :) (dacă nu sunt surse comandate matricea coeficienţilor este simetrică şi diagonal dominantă) metoda curenţilor ciclici : (dacă nu sunt surse comandate matricea este simetrică, necesită definirea unui sistem de bucle independente convenabil ales) = metoda potenţialelor nodurilor ("tehnica nodală") 15/71
16 Tratarea SRT Laturi standard: Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) Se dau: topologia: N, L, (ni k, nf k, k = 1,...,L); toate rezistenţele R k, k = 1,...,L, presupuse nenule, toate t.e.m. e k, k = 1,...,L Se cer: u k k = 1,...,L i k k = 1,...,L puterea consumată şi puterea generată în circuit. u k 16/71
17 Ecuaţii Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k Kirchhoff clasic: A ik = 0, n = 1,...,N 1, (1) k (n) A uk = 0, b = 1,...,L N + 1, (2) k [b] u k = R k i k e k, k = 1,...,L, (3) 2L ecuaţii cu 2L necunoscute 17/71
18 Necunoscute Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k Schimbare de variabilă - necunoscutele sunt: v k, k = 1,...,N, v N = 0 (prin convenţie) Kirchhoff II: A uk = 0, b = 1,...,L N + 1, (4) k [b] u k = v nik v nfk, k = 1,...,L. (5) 18/71
19 Notaţii Introducere Kirchhoff I: u = [ u 1 u 2... u L ] T IR L 1 i = [ i 1 i 2... i L ] T IR L 1 v = [ v 1 v 2... v N 1 ] T IR N 1 1 e = [ e 1 e 2... e L ] T IR L 1 R = diag([ R 1 R 2... R L ]) IR L L (6) Ai = 0, (7) A = (a ij ) i=1,n 1;j=1,L este matricea incidenţelor laturi-noduri - matrice topologică, (N 1) L 0 dacă nodul i nu aparţine laturii j; a ij = +1 dacă nodul i este nod iniţial pentru latura j; 1 dacă nodul i este nod final pentru latura j. 19/71
20 Ecuaţii scrise compact Kirchhoff I (KCL): Ai = 0, (8) Kirchhoff II (KVL): u = A T v, (9) Joubert (relaţii constitutive): u = Ri e. (10) Dacă R este inversabilă (R k 0, k = 1, L) i = R 1 (u+e). (11) AR 1 A T v = AR 1 e. (12) G n v = j n. (13) 20/71
21 Sistem de ecuaţii Introducere G n v = j n. (14) G n conductanţe nodale; j n injecţii de curent în noduri. G nii = k (i) G n = AR 1 A T IR (N 1) (N 1) (15) 1, G nij = R k k (i);k (j) 1 R k pentru i j. j n = AR 1 e IR (N 1) 1 (16) j n k = A e m R m m (k) 21/71
22 Proprietăţile matricei G n G n : simetrică, diagonal dominantă şi pozitiv definită dacă rezistenţele sunt pozitive A IR n n este pozitiv definită dacă ea este simetrică şi dacă x T Ax > 0 pentru orice vector real, nenul x IR n 1. R 1 = diag([ 1/R 1 1/R /R L ]). (17) Simetria: G T n = (AR 1 A T) T = (A T) T ( R 1) T (A) T = AR 1 A T = G n Pozitiv definire: Fie x vector coloană arbitrar, nenul. x T G n x = x T AR 1 A T x = y T R 1 y = L k=1 unde y = A T x are componentele y k, k = 1,...,L. y 2 k R k > 0, 22/71
23 Etapele algoritmului etapa de preprocesare în care se descrie problema şi se asamblează sistemul de ecuaţii de rezolvat; etapa de rezolvare în care se apelează o procedură propriu-zisă de rezolvare a sistemului de ecuaţii rezultat ("solver"); etapa de postprocesare în care se calculează alte mărimi de interes. 23/71
24 Structuri de date Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k ; declaratii date - varianta A întreg N întreg L tablou întreg ni[l] tablou întreg nf[l] tablou real R[L] tablou real e[l] ; număr de noduri ; număr de laturi ; noduri iniţiale ale laturilor ; noduri finale ale laturilor ; rezistenţe ; tensiuni electromotoare În vederea obţinerii unui algoritm simplu, vom presupune că: sensul de referinţă al curentului unei laturi este identic cu cel al t.e.m de pe latură; toate laturile sunt orientate cf. regulii de la receptoare. 24/71
25 Structuri de date Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k Se recomandă agregarea datelor: ; declaraţii date - varianta B înregistrare circuit întreg N ; număr de noduri întreg L ; număr de laturi tablou întreg ni[l] ; noduri iniţiale ale laturilor tablou întreg nf[l] ; noduri finale ale laturilor tablou real R[L] ; rezistenţe tablou real e[l] ; tensiuni electromotoare 25/71
26 Matrice rare Introducere G n şi j n sunt foarte rare. Exemplu: dacă pp. 4 laturi care concură la un nod, atunci densitatea matricei d = 5n/n 2 = 5/n, (pentru n 1000 d = 0.5 %). Pentru simplitate: ; declaraţii variabile utile tablou real Gn[N, N] ; stocată rar tablou real jn[n] ; stocat rar tablou real v[n] ; vectorul potenţialelor 26/71
27 Citire date Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k funcţie citire_date_b () ; declaraţii... citeşte circuit.n, circuit.l pentru k = 1,circuit.L citeşte circuit.ni k, circuit.nf k citeşte circuit.r k, circuit.e k întoarce circuit 27/71
28 Asamblarea sistemului de ecuaţii Orientată pe laturi: e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k ni k nf k ni k +1/R k 1/R k nf k 1/R k +1/R k ni k nf k e k /R k +e k /R k Contribuţia unei laturi k la matricea conductanţelor nodale (stânga) şi la vectorul injecţiilor de curent (dreapta). 28/71
29 Preprocesare Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k procedură nodalre_v1 (circuit, Gn, t) ; asamblează sistemul de ecuaţii pentru un circuit ; cu laturi de tip R,E folosind tehnica nodală ; parametri de intrare: ; circuit - structură de date ce descrie circuitul ; parametri de ieşire: ; Gn - matricea conductanţelor nodale şi ; jn - vectorul injecţiilor de curent ; declaraţii... L = circuit.l ; pentru simplificarea scrierii algoritmului N = circuit.n ni = circuit.ni nf = circuit.nf R = circuit.r e = circuit.e 29/71
30 Preprocesare Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k procedură nodalre_v1 (circuit, Gn, jn)... Gn = 0 jn = 0 ; asamblează sistem pentru k = 1, L ; parcurge laturi i = ni k ; nodul iniţial al laturii k j = nf k ; nodul final al laturii k Gn ii = Gn ii + 1/R k Gn jj = Gn jj + 1/R k Gn ij = Gn ij 1/R k Gn ji = Gn ji 1/R k jn i = jn i e k /R k jn j = jn j + e k /R k retur 30/71
31 Preprocesare Observaţii: am folosit pseudocod simplificat pentru a scrie anularea componentelor Atenţie! varianta pentru i = 1,N pentru j = 1,N Gn ij = 0 scrisă pentru "instrucţiunea" Gn = 0 va umple complet matricea Gn. pentru a evita repetarea unor calcule, se pot memora valorile 1/R k şi e k /R k. 31/71
32 Preprocesare - varianta a II-a e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k procedură nodalre_v2 (circuit, Gn, jn)... ; anulează componentele: A = 0 ; matricei incidenţe laturi noduri G = 0 ; matricei diagonale R 1 ; asamblează sistem pentru k = 1, L ; parcurge laturi i = ni k ; nodul iniţial al laturii k j = nf k ; nodul final al laturii k A ik = 1 A jk = +1 G kk = 1/R k Gn = A G A T ; apel proceduri speciale pentru matrice rare jn = A G e retur 32/71
33 Rezolvare Sistemul asamblat are dimensiunea N N, nodul de referintă nefiind tratat special. Sistemul de rezolvat trebuie să aibă dimensiunea N 1. După rezolvare trebuie adaugată o componentă în plus vectorului potenţialelor: v N = 0. Exemplu: Gauss (N 1,G,t,v) v N = 0 Q2: Cum implementaţi această idee în Matlab/Octave? 33/71
34 Rezolvare Metode posibile de rezolvare: directe (Gauss, factorizare) - nu introduc erori de trunchiere, dar matricele se umple în cursul algoritmului; iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) - matricele îşi păstrează gradul de raritate, dar apar erori de trunchiere şi eventuale probleme de convergenţă; semiiterative (gradienţi conjugaţi, GMRES, etc) - avantajoase dacă matricea sistemului este simetrică şi pozitiv definită (dacă nu există surse comandate). 34/71
35 Postprocesare Introducere e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k procedură postprocesare_circuitre (circuit, v)... Pc = 0 ; puterea consumată Pg = 0 ; puterea generată pentru k = 1, L ; parcurge laturi u = v nik v nfk ; tensiunea laturii c = (u + e k )/R k ; curentul prin latură scrie "Latura" k "are tensiunea" u "şi curentul" c Pc = Pc + R k c 2 ; adaugă contribuţia laturii la Pc Pg = Pg + e k c ; adaugă contribuţia laturii la Pg scrie Pc, Pg retur Q3: Cum implementaţi postprocesarea în Matlab/Octave folosind operaţii cu matrice? 35/71
36 Tratarea surselor reale de curent Sursele reale de curent (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k G k 0 se pot echivala în laturi de tip SRT e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k R k = 1/G k şi e k = j k /G k Algoritmul se extinde f. uşor. u k 36/71
37 Tratarea surselor reale de curent În general, dacă laturile sunt de tip SRT sau SRC: Ai = 0 u = A T v i = Yu+j A(Yu+j) = 0 SRC: Y k = G k SRT: Y k = 1/R k j k = e k /R k AYA T v = Aj. (18) Y n = AYA T (19) este operatorul matriceal al admitanţelor nodale. j n = Aj (20) este vectorul termenilor liberi ("injecţii de curent în noduri"). Y n v = j n. (21) 37/71
38 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Metoda nodală = metoda în care necunoscutele sunt numai potenţialele nodurilor. Metoda nodală permite şi tratarea SICU. Matricea îşi pierde proprietăţile de simetrie (şi deci pozitiv definirea). Structurile de date trebuie adaptate. SRC e caracterizată de G k (conductanţa laturii); j k (curentul electromotor). SICU e caracterizată de γ k (conductanţă de transfer); nci k, ncf k (noduri care indică tensiunea de comandă). 38/71
39 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune (2) (3) i 2 i V 1Ω 2 V u 0.4u 1Ω i 1 i 6 0.3u 2Ω i 4 i 3 (1) 0.5Ω (4) k tip ni k nf k G k j k γ k nci k ncf k [S] [A] [S] 1 SRC SRC SRC SRC SICU SICU /71
40 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Vom pp. numerotarea laturilor începând cu SRC. [ ] [ isrc usrc i =, u = i sicu u sicu Relaţiile ce descriu starea circuitului: A src i src + A sicu i sicu = 0 u src = A T srcv u sicu = A T sicu v i src = G src u src + j src i sicu = γs sicu v unde A = [ A src ]. (22) A src (G src u src +j src )+A sicu γs sicu v = 0, A sicu ]. Ecuaţia de rezolvat: (A src G src A T src + A sicu γs sicu )v = A src j src, (23) 40/71
41 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Pentru exemplul considerat: A src = , A sicu = , G src = , γ = 5 6 [ ], 41/71
42 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Pentru exemplul considerat: S sicu = 5 6 [ ], j src = , unde cifrele mici indică indicii corespunzători de laturi (cu albastru) sau de noduri (cu roşu). 42/71
43 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Varianta "algoritmului cu ştampile" - laturile SRC (contribuţii similare ca la SRT) ştampila laturii k de tip SRC la Y n este de tip AGA T [ ni k +1 nf k 1 k ni k nf k ni k nf k ] G k [ +1 [ ] ni k +Gk G 1 = k nf k G k +G k ştampila laturii k de tip SRC la vectorul j n este de tip Aj ], k [ ni k +1 nf k 1 ] j k = ni k nf k [ jk +j k k ]. (24) 43/71
44 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Ştampila laturii k, de tip SICU, având: ni k şi nf k (noduri considerate pentru latura de ieşire, cea corespunzătoare sursei de curent - mărimea comandată), conductanţa de transfer γ k şi nodurile ce indică tensiunea de comandă: nci k şi ncf k este de tip AγS adică [ ni k +1 nf k 1 k nci k ncf k nci k ncf k ] γ k [ +1 [ ] ni k +γk γ 1 = k nf k γ k +γ k ], (25) şi se aplică doar matricei coeficienţilor. SICU nu contribuie la vectorul termenilor liberi. 44/71
45 Tratarea surselor de curent comandate în tensiune Pentru exemplul simplu considerat: Ştampila laturii 1 Ştampila laturii 2 Ştampila laturii 6. 45/71
46 Concluzii - 1 Poate fi aplicată doar în circuitele în care toate laturile sunt controlabile în tensiune. 2 Necunoscutele sunt numai potenţialele nodurilor. 3 Sistemul de rezolvat este de tipul Y n v = j n (26) 4 Dacă circuitul este reciproc (nu conţine surse comandate) atunci Y n este simetrică şi pozitiv definită. 5 Algoritmul poate fi conceput folosind operaţii eficiente cu matrice, caz în care este utilă scrierea detaliată ca: (A src G src A T src + A sicu γs sicu )v = A src j src. (27) 6 Algoritmul poate fi conceput şi prin parcurgerea laturilor şi adăugarea contribuţiilor la sistem, caz în care este utilă stabilirea ştampilelor fiecărei laturi: 46/71
47 Concluzii - 47/71
48 Metoda nodală modificată (Modified Nodal Analysis) 1 Se aplică analizei circuitelor care conţin elemente incompatibile cu tehnica nodală clasică (elemente controlate în curent): surse independente de tensiune (SIT); surse de tensiune comandate (SUCU, SUCI); surse de curent comandate în curent (SICI). 2 Sistemul asamblat este extins faţă de varianta clasică. 3 Necunoscutele metodei nu sunt numai potenţialele nodurilor. 48/71
49 Metoda nodală modificată (Modified Nodal Analysis) Necunoscutele: i m curenţii din sursele ideale de tensiune (SIT); curenţii porţilor de ieşire la SUCU; curenţii porţilor de ieşire la SUCI; Ecuaţiile au forma: [ Yn B m A m Z m ][ v i m ] = [ jn e m ] (28) 49/71
50 Metoda nodală modificată (Modified Nodal Analysis) 50/71
51 Varianta a 2-a: Asamblarea blocurilor de matrice Exemplu - cazul cu SRC, SIT şi SUCU. Kirchhoff I: Kirchhoff II: relaţii constitutive: A src i src + A sit i sit + A sucu i sucu = 0, (29) u src = A T srcv, (30) u sit = A T sitv, (31) u sucu = A T sucuv, (32) i src = G src u src + j src (33) u sit = e sit, (34) u sucu = αs sucu v, (35) α - diagonală, conţine parametrii surselor comandate, S SUCU - topologică, selectează perechea de noduri 51/71
52 Varianta a 2-a: Asamblarea blocurilor de matrice N 1+L E + L sucu necunoscute: v x = i sit. (36) i sucu Mx = p (37) M = A src G src A T src A sit A sucu A T sit 0 0 A T sucu αs sucu 0 0 p = A src j src e sit 0, (38). (39) 52/71
53 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Conţin: rezistoare liniare (R); bobine liniare (L); bobine liniare cuplate (M); condensatoare liniare (C); surse ideale de tensiune (SIT); surse ideale de curent (SIC); surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI). SIT sau SIC au variaţii de forma: y(t) = Y 2 sin(ωt +ϕ). (40) unde ω are aceeaşi valoare pentru toate mărimile. 53/71
54 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Problema fundamentală a analizei circuitelor de c.a. Se dau: Se cer: topologia circuitului (schemă/tabel de descriere (netlist)/matrice de incidenţă sau apartenenţă); valorile parametrilor (rezistenţele, bobinele, cuplajele, condensatoarele, valorile surselor: frecvenţă, valorile efective, fazele iniţiale). curenţii şi tensiunile din fiecare latură (valori efective, faze iniţiale); puteri (active, reactive, aparente, defazaje). 54/71
55 Similitudinea cu c.c. Introducere Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Metoda de analiză se bazează pe reprezentarea în complex. y(t) = Y 2 sin(ωt +ϕ) Y = Y e jϕ. (41) Ideea: ecuaţiile similare: TK1 TK2 Circuitul de c.c. (A) k (n) i k = 0 (A) k [b] u k = 0 Circuitul de c.a. (A) k (n) I k = 0 (A) k [b] U k = 0 SRT u k = R k i k e k U k = Z k I k E k SRC i k = G k u k + j k I k = Y k U k + J k SUCI e k = r km i m E k = z km I m SICU j k = g km u m J k = y U km m SUCU e k = α km u m E k = α km U m SICI j k = β km i m J k = β I km m 55/71
56 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Reprezentarea în complex a elementelor ideale Rezistor (R) Bobină (L) Condensator (C) Impedanţa complexă Z R jωl 1/(jωC) Admitanţa complexă: Y 1/R 1/(jωL) jωc Defazajul: ϕ 0 π/2 π/2 Impedanţa: Z R ωl 1/(ωC) Admitanţa: Y 1/R 1/(ωL) ωc Rezistenţă de c.a.: R R 0 0 Reactanţa: X 0 ωl 1/(ωC) Conductanţa de c.a.: G 1/R 0 0 Susceptanţa: B 0 1/(ωL) ωc 56/71
57 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Algoritm Similar cu cel din c.c.: în loc de rezistenţe se lucrează cu impedanţ complexe; parametrii surselor sunt tot valori constante, dar complexe, obţinute din reprezentarea în complex a variaţiilor care se dau. Diferenţe faţă de algoritmul din c.c.: în etapa de preprocesare: citirea datelor de descriere şi reprezentarea lor în complex; în etapa de asamblare, apar în plus bobinele cuplate, care contribuie la sistem cu următoarele ştampile: 57/71
58 Algoritm Introducere Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Cuplaje [ ni j nf j ni k nf ] k A m j k ni j B m nf j ni k Z m e m j n nf k j k j[ ] jωljj jωl jk jωl k kj jωl kk Nu contribuie [ ij i k ] 58/71
59 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Caracteristici de frecvenţă În multe aplicaţii practice interesează reprezentarea caracteristicilor de frecvenţă: comportarea semnalelor de ieşire pentru un interval al frecvenţelor semnalelor. Variante de implementare: 1 Se lucrează simbolic, cu parametrul ω şi se obţin expresii simbolice ale mărimilor de ieşire care apoi se evaluează numeric; 2 Se lucrează numeric, pentru frecvenţe din intervalul de interes se rezolvă mai multe probleme de c.a. 59/71
60 Referinţe Introducere Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Minimal: [AN], Algoritmi numerici pentru calcule ştiintifice în ingineria electrică Editura MatrixROM, 2013, pag [Ioan12] Daniel Ioan, Teoremele fundamentale ale circuitelor electrice, Notiţe de curs, disponibile online Alte recomandări: [Chua75] L.O. Chua and P.M. Lin, Computer-aided analysis of electronic circuits: algorithms and computational techniques, Prentice-Hall /71
61 Simulatoare de circuit Introducere Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Free and Open Source NgSpice (are si varianta online), GnuCap, CircuitLogix, LTSpice, MultiSim, TopSpice, MacSpice, Xyce (open source, SPICE-compatible, high-performance analog circuit simulator) Licensed/Paid Circuit simulation software Spectre (Cadence), PSpice, MultiSim, SiMetrix, TINA Vedeţi şi /71
62 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 62/71
63 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 63/71
64 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 64/71
65 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 65/71
66 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 66/71
67 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 67/71
68 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 68/71
69 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 69/71
70 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Simulatoare de circuit incluse în programe de câmp COMSOL - pentru probleme cuplate. 70/71
71 Similitudinea cu c.c. Caracteristici de frecvenţă Tema 5 (din categoria "activitate pe parcurs") 1 Partea I (5 %) - Parcurgeţi capitolul 3 din cartea de exerciţii şi scrieţi un raport relevant. 2 Partea a II-a (5%): a) Modificaţi codul pe care l-aţi scris astfel încât să puteţi rezolva probleme de curent alternativ pentru circuite care conţin rezistoare, bobine necuplate, condensatoare şi surse independente de tensiune. b) Alegeţi pentru testarea codului un exemplu simplu (de exemplu, dar nu obligatoriu, un filtru pasiv adică fără A.O., din lista Verificaţi soluţia (caracteristica de frecvenţă - Bode) comparând-o cu o soluţie de referinţă care poate fi: analitică sau obţinută cu un instrument de tipul calculator online c) Verificaţi soluţia (caracteristica de frecvenţă - Bode) comparând-o cu un simulator de circuit de tipul spice - vă recomandăm: ngspice varianta online disponibilă la sau LTSpice Scrieţi un raport care să rezolve punctele de mai sus. Este obligatoriu ca raportul să aibă: o pagină de titlu, un cuprins generat automat, o lista de referinţe. Daţi o structură coerentă raportului. 71/71
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.)
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραCap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Notes. Notes
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare
numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραCap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCircuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραM. Stef Probleme 3 11 decembrie Curentul alternativ. Figura pentru problema 1.
Curentul alternativ 1. Voltmetrele din montajul din figura 1 indică tensiunile efective U = 193 V, U 1 = 60 V și U 2 = 180 V, frecvența tensiunii aplicate fiind ν = 50 Hz. Cunoscând că R 1 = 20 Ω, să se
Διαβάστε περισσότερα1.11 Rezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirkhhoff
Curs mine. ezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirhhoff Se numeşte circuit electric, un ansamblu de surse de tensiune electromotoare şi receptoare, cu legătură conductoare între
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1 TEOREMELE LUI KIRCHHOFF
INTRODCERE Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. n circuit fizic este
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Διαβάστε περισσότεραSIGURANŢE CILINDRICE
SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE CH Curent nominal Caracteristici de declanşare 1-100A gg, am Aplicaţie: Siguranţele cilindrice reprezintă cea mai sigură protecţie a circuitelor electrice de control
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα2. GRAFURI ŞI MATRICE DE INCIDENŢĂ
. GRAFURI ŞI MATRICE DE INCIDENŢĂ.. Grafurile circuitelor electrice Graful unui circuit electric este reprezentarea geometrică a configuraţiei acestuia, obţinută prin asocierea câte unui punct (numit nod
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Capitolul 4 mplificatoare elementare 4.. Etaje de amplificare cu un tranzistor 4... Etajul emitor comun V CC C B B C C L L o ( // ) V gm C i rπ // B // o L // C // L B ro i B E C E 4... Etajul colector
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραConf.dr.ing. Lucian PETRESCU CURS 4 ~ CURS 4 ~
Conf.dr.ing. Lucian PETRESC CRS 4 ~ CRS 4 ~ I.0. Circuite electrice în regim sinusoidal În regim dinamic, circuitele electrice liniare sunt descrise de ecuaţii integro-diferenţiale. Tensiunile şi curenţii
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραTEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE
TEOA TEO EETE TE An - ETT S 9 onf. dr.ing.ec. laudia PĂA e-mail: laudia.pacurar@ethm.utcluj.ro TE EETE NAE ÎN EGM PEMANENT SNSODA /8 EZONANŢA ÎN TE EETE 3/8 ondiţia de realizare a rezonanţei ezonanţa =
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραInterpolarea funcţiilor.
Interpolarea funcţiilor.. Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/52 Cuprins Introducere 1 Introducere
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (
Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραElectronică anul II PROBLEME
Electronică anul II PROBLEME 1. Găsiți expresiile analitice ale funcției de transfer şi defazajului dintre tensiunea de ieşire şi tensiunea de intrare pentru cuadrupolii din figurile de mai jos și reprezentați-le
Διαβάστε περισσότεραDispozitive Electronice şi Electronică Analogică Suport curs 01 Notiuni introductive
1. Reprezentarea sistemelor electronice sub formă de schemă bloc În figura de mai jos, se prezintă schema de principiu a unui circuit (sistem) electronic. sursă de energie electrică intrare alimentare
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCircuit rezonant LC paralel
Circuit rezonant LC paralel Scopul lucrarii...1 Descrierea circuitului...1 Ecuatii de stare...1 Ecuatii TTN...2 Calculul functiei de transfer H(s)...2 Metoda I: divizor de tensiune...2 Metoda II: ecuatii
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE ELECTRICITATE
PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα