Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare
|
|
|
- Αντίγονος Αναστασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, Facultatea de Inginerie Electrică, /51
2 Cuprins Introducere 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple 2 3 Prin cod Prin date 4 2/51
3 Elemente ideale - rezistive, liniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple γu ρi u i αu βi Liniare u i 3/51
4 Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple Elemente ideale - rezistive, neliniare u i γ(u) u ρ(i) i i = g(u) α(u) β(i) Neliniare u i 4/51
5 Elemente reale - rezistive, neliniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple u i i = g(u) Figura este preluată de la 5/51
6 Elemente reale - rezistive, neliniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple u i i = g(u) Figura este preluată de la 6/51
7 Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple (c.c.) Date: Topologia circuitului (graful circuitului) - poate fi descris: geometric; numeric (matrice topologice/ netlist); Pentru fiecare latură liniară k: tipul laturii (R,SUCU,SICI,SICU,SUCI, SIT,SIC); caracteristica constitutivă R k ; parametrul de transfer α k, β k, γ k, ρ k ; semnalul de comandă (curent/tensiune, latură/noduri); parametrii surselor: (e k, j k ) 7/51
8 Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple (c.c.) Pentru fiecare latură neliniară k: tipul laturii (Rn,SUCUn,SICIn,SICUn,SUCIn); caracteristica constitutivă neliniaa f k (i) dacă controlul este în curent sau g k (u) dacă controlul este în tensiune; dependenţeleα k (u), β k (i), γ k (u), ρ k (i); semnalul de comandă (curent/tensiune, latură/noduri); Se cer: i k (t), u k (t), k = 1, 2,...,L. 8/51
9 Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple Ca la c.c. - cazul elementelor liniare 1 Kirchhoff I 2 Kirchhoff II 3 Ecuaţii constitutive pentru elementele rezistive liniare: laturi de tip SRC, SRT; laturi de tip SIC, SIT; laturi de tip SUCU, SICI, SUCI, SICU - comandate liniar. DAR relaţii algebrice 9/51
10 Elementele rezistive neliniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple Ecuaţii constitutive pentru elementele rezistive neliniare: rezistoare neliniare; surse comandate neliniar; relaţii algebrice neliniare Sistemul de rezolvat va fi un sistem algebric neliniar Ce se întâmplă dacă surselor independente sunt variabile în timp? 1/51
11 Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R u=? E i=? 11/51
12 Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R i i = g(u) = E u R u=? E i=? 11/51
13 Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ u=? E i=? 11/51
14 Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R u=? i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ E i=? i [A] u [V] 11/51
15 Exemplul 2 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R u=? i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ E i=? i [A] u [V] 12/51
16 Exemplul 3 a) Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R 15 i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ U=? 1 E I=? /51
17 Exemplul 3 b) Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R 15 i i = g(u) = E u R E = V, R = mΩ U=? 1 E I=? /51
18 Exemplul 4 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple D3 D4 R 2 u L =? D5 D6 E 1 R 1 15/51
19 Exemplul 4 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple D3 D4 D5 R 2 u L =? D6? E 1 R 1 15/51
20 Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k i k = G k u k + j k u k i k = g k (u k ) i = Gu+j G = diag{g 1, G 2,..., G L } G IR L L u, j, i IR L 1 i = G(u) G = [g 1, g 2,...,g L ] T G : IR L IR L u, i IR L 1 16/51
21 Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k i k = G k u k + j k u k i k = g k (u k ) i = Gu+j Ai = u = A T V A(GA T V+j) = i = G(u) Ai = u = A T V A(G(A T V)) = 17/51
22 Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k i k = G k u k + j k u k i k = g k (u k ) i = Gu+j Ai = u = A T V AGA T V = Aj i = G(u) Ai = u = A T V AG(A T V) = 18/51
23 Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k u k i k = g k (u k ) i k = G k u k + j k AGA T V = Aj Sistem algebric liniar AG(A T V) = Sistem algebric neliniar F(V) = unde F(V) = AG(A T V) F : IR (N 1) IR (N 1) 19/51
24 Dioda semiconductoare Prin cod Prin date Modelul exponenţial (de exemplu modelul cu parametrii I s şi u T ) ( ) i(u) = I s e u u T 1 unde I s 1 6 A, u T 25mV 2/51
25 Dioda semiconductoare Prin cod Prin date Modele liniare pe porţiuni (de exemplu - modelul cu parametrii u p, G d, G i ) definite prin cod { Gi u dacă u u i(u) = p G d (u u p )+G i u p dacă u > u p 21/51
26 Dioda semiconductoare Prin cod Prin date Modele liniare pe porţiuni - definite prin tabele de valori Exemplu - modelul lpp cu parametrii u p, G d, G i u u p 2u p i G i u p (G i + G d )u p 22/51
27 Newton Introducere Iteraţii Newton: Ecuaţie: f(x) = x (m+1) = x (m) f(x (m) )/f (x (m) ) sau z = f(x (m) )/f (x (m) ) (1) x (m+1) = x (m) + z (2) Sistem: F(x) = x (m+1) = x (m) (F (x (m) )) 1 F(x (m) ) sau F (x (m) )z = F(x (m) ) (3) x (m+1) = x (m) + z (4) 23/51
28 Newton Introducere În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = unde F(V) = AG(A T V) Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (5) V (m+1) = V (m) + z (6) F (V) = AG (A T V)A T 24/51
29 Newton Introducere În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = unde F(V) = AG(A T V) Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (5) V (m+1) = V (m) + z (6) F (V) = AG (A T V)A T Calculul Jacobianului necesită evaluarea conductanţelor dinamice! 24/51
30 Newton Introducere În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = unde F(V) = AG(A T V) Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (5) V (m+1) = V (m) + z (6) F (V) = AG (A T V)A T Calculul Jacobianului necesită evaluarea conductanţelor dinamice! Evaluarea conductanţelor dinamice depinde de modul în care au fost definite caracteristicile neliniare. 24/51
31 Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T Liniare (SRC) AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) AGA T V = Aj 25/51
32 Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) Liniare (SRC) AGA T V = Aj Semnificaţia relaţiei (9): 25/51
33 Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T Liniare (SRC) AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) AGA T V = Aj Semnificaţia relaţiei (9): La fiecare iteraţie se rezolvă un circuit liniar, poteţialele lui reprezintă corecţiile în iteraţiile Newton 25/51
34 Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T Liniare (SRC) AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) AGA T V = Aj Semnificaţia relaţiei (9): La fiecare iteraţie se rezolvă un circuit liniar, poteţialele lui reprezintă corecţiile în iteraţiile Newton Circuit incremental 25/51
35 Circuite incrementale/liniarizate Neliniar Liniar AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) AGA T V = Aj G (m) k z nik z nf k z nik = V (m+1) ni k V (m) ni k i (m) k z nf k = V (m+1) nf k V (m) nf k 26/51
36 Circuite incrementale/liniarizate Neliniar Liniar V nik V (m) ni k z nik AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) AGA T V = Aj G (m) k z nf k V (m) nf k V nf k z nik = V (m+1) ni k V (m) ni k i (m) k z nf k = V (m+1) nf k V (m) nf k 26/51
37 Circuite incrementale/liniarizate Neliniar Liniar AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) AGA T V = Aj G (m) k V nik V nf k i (m) k G (m) k u (m) k Circuit liniarizat La fiecare iteraţie se rezolvă un circuit liniar, potenţialele lui reprezintă soluţiile noi în iteraţiile Newton 26/51
38 Algoritm - bazat pe asamblare de circuite Ideea (nr. 1): Se rezolvă o succesiune de circuite rezistive liniare (liniarizate). it = iniţializează soluţia V repetă it = it + 1 înlocuieşte elementele neliniare cu schemele lor liniarizate rezolvă circuitul rezistiv liniar şi calculează Vn actualizează soluţia V = Vn dacă it == itmaxscrie mesaj de eroare cât timp norma(v Vnou) > toleranţa impusăşi it < itmax 27/51
39 Algoritm - bazat pe rezolvare de circuite Ideea (nr. 2): Se rezolvă o succesiune de circuite rezistive liniare (incrementale). it = iniţializează soluţia V repetă it = it + 1 înlocuieşte elementele neliniare cu schemele lor incrementale rezolvă circuitul rezistiv liniar şi calculează corecţiile z actualizează soluţia V = V + z dacă it == itmaxscrie mesaj de eroare cât timp norma(z) > toleranţa impusăşi it < itmax 28/51
40 Algoritm - bazat pe operaţii cu matrice Ideea (nr. 3): Se rezolvă o succesiune de sisteme algebricce liniare. it = asamblează matricea A iniţializează soluţia V repetă it = it + 1 calculează conductanţele dinamice şi asamblează G rezolvă sistemul liniar AG A T z = Ai şi calculează corecţiile z actualizează soluţia V = V + z dacă it == itmaxscrie mesaj de eroare cât timp norma(z) > toleranţa impusăşi it < itmax 29/51
41 Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazăm Primul algoritm scris pentru circuite rezistive liniare (crl) - laturi SRT e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k ; declaratii date - varianta A întreg N întreg L tablouîntreg ni[l] tablouîntreg nf[l] tablou real R[L] tablou real e[l] ; număr de noduri ; număr de laturi ; noduri iniţiale ale laturilor ; noduri finale ale laturilor ; rezistenţe ; tensiuni electromotoare 3/51
42 Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazăm Primul algoritm scris pentru circuite rezistive liniare (crl) - laturi SRT e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k ; declaraţii date - varianta B înregistrare circuit întreg N ; număr de noduri întreg L ; număr de laturi tablou întreg ni[l] ; noduri iniţiale ale laturilor tablou întreg nf[l] ; noduri finale ale laturilor tablou real R[L] ; rezistenţe tablou real e[l] ; tensiuni electromotoare 3/51
43 Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazăm Să pp că avem la dispoziţie o procedură: procedură nodal_crl(circuit,v) ; rezolvă un circuit rezistiv liniar cu metoda nodală ; date de intrare: structura circuit ; ieşire: valorile potenţialelor v în noduri, ultimul nod este de referinţă retur Obs: procedura cuprinde atât asamblarea sistemului de ecuaţii cât şi rezolvarea lui. 31/51
44 Cel mai simplu algoritm - ce e nou Admitem acum în plus, laturi rezistive neliniare, controlate în tensiune; Vom presupune că există câte o procedură care poate, pentru orice latură neliniară, să întoarcă curentul prin latură pentru o tensiune dată (i k = g k (u k )); Dacă curbele neliniare sunt date tabelar - aceasta presupune o interpolare). conductanţa dinamică a laturii, pentru o tensiune dată (G k = g k (u k)). Dacă curbele neliniare sunt date tabelar - aceasta presupune o derivare numerică). 32/51
45 Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare funcţie citire_date () ; declaraţii... citeşte circuit.n, circuit.l pentru k = 1,circuit.L citeşte circuit.ni k, circuit.nf k citeşte circuit.tip k ; tipul poate fi "R" sau "n" dacă circuit.tip k = "R" citeşte circuit.e k, circuit.r k citeşte tol ; toleranţă pentru procedura Newton citeşte itmax ; numărul maxim de iteraţii admis întoarce circuit 33/51
46 Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare funcţie citire_date () ; declaraţii... citeşte circuit.n, circuit.l pentru k = 1,circuit.L citeşte circuit.ni k, circuit.nf k citeşte circuit.tip k ; tipul poate fi "R" sau "n" dacă circuit.tip k = "R" citeşte circuit.e k, circuit.r k citeşte tol ; toleranţă pentru procedura Newton citeşte itmax ; numărul maxim de iteraţii admis întoarce circuit Dar partea neliniară? 33/51
47 Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare Variante - pentru partea neliniară: funcţie g(u) nd = 3 ; numărul de puncte de discontinuitate funcţie g(u) uval =... Is = 1e-12 ival =... Vt =.278 m = cauta(uval, ival, u) întoarce Is*(exp(u/Vt)-1) întoarce ival(m) + (ival(m+1) - ival(m))/(uval(m+1)-uval(m))*(u - uval(m)) funcţie gder(u) Is = 1e-12 Vt =.278 întoarce Is*exp(u/Vt)/Vt funcţie gder(u) nd = 3 ; numărul de puncte de discontinuitate uval =... ival =... m = cauta(uval, ival, u) întoarce (ival(m+1) - ival(m))/(uval(m+1)-uval(m)) Is, Vt, nd, uval, ival - pot fi citite în etapa de preprocesare (şi pot fi diferite pentru diferitele elemente neliniare). 34/51
48 Algoritm - v2 Introducere procedură solve_crnl_v2(circuit,tol,itmax,v) circuit - structură - parametru de intrare tol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii Newton V - vector - parametru de ieşire... iniţializare V = ; vector de dimensiune N err = 1 itk = cât timp err > tolşi itk < itmax kit = kit + 1 pentru k = 1:L dacă circuit.tip(k) == "n" tens = V(circuit.ni(k)) - V(circuit.nf(k)) cond_din = gder(tens) crt = g(tens) circuit.r(k) = 1/cond_din circuit.e(k) = circuit.r(k)*crt - tens nodal_crl(circuit,vn) err = norma(vn V) V = Vn retur 35/51
49 Algoritm - v1 Introducere procedură solve_crnl_v1(circuit,tol,itmax,v) circuit - structură - parametru de intrare tol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii Newton V - vector - parametru de ieşire... iniţializare V = ; vector de dimensiune N err = 1 itk = cât timp err > tolşi itk < itmax kit = kit + 1 pentru k = 1:L dacă circuit.tip(k) == "n" tens = V(circuit.ni(k)) - V(circuit.nf(k)) cond_din = gder(tens) crt = g(tens) circuit.r(k) = 1/cond_din circuit.e(k) = circuit.r(k)*crt nodal_crl(circuit,z) err = norma(z) V = V + z retur 36/51
50 Exemplul 1 - rezultate R u=? E i=? 37/51
51 Exemplul 1 - rezultate R i i = g(u) = E u R u=? E i=? 37/51
52 Exemplul 1 - rezultate R i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ u=? E i=? 37/51
53 Exemplul 1 - rezultate R u=? i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ E i=? i [A] u [V] 37/51
54 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
55 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
56 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
57 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
58 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
59 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
60 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
61 Exemplul 1 - rezultate i [A] u [V] 38/51
62 Exemplul 4 - rezultate D3 D4 R 2 u L =? D5 D6 E 1 R 1 39/51
63 Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D D5 2 D /51
64 Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D D5 2 D /51
65 Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D D5 2 D /51
66 Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D D5 2 D /51
67 Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D D5 2 D /51
68 Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D D5 2 D /51
69 Exemplul 4 - rezultate E 1 [ 2, 2]V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, u R2 =?.4 Caracteristica de transfer u R [V] E [V] 42/51
70 Exemplul 4 - rezultate Sursa variabilă în timp? Timpul are un caracter convenţional. (Sistemul este algebric!) e 1 (t) = 2 sin(2πt)v, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, u R2 (t) =? e 1 (t) u R2 (t) 1 Tensiune [V] t [s] 43/51
71 Concluzii Introducere Analiza circuitelor rezistive neliniare se reduce la o succesiune de rezolvări de sisteme algebrice liniare (care pot fi privite ca rezolvări de circuite rezistive liniare - incrementale sau liniarizate). Convergenţa procedurii depinde de iniţializare. Numărul de iteraţii depinde de iniţializare şi de eroarea impusă soluţiei. 44/51
72 Cazul caracteristicilor lpp Aproximaţia lpp a caracteristicii diodei semiconductoare. R u=? i [A] E i=? u [V] 45/51
73 Cazul caracteristicilor lpp Aproximaţia lpp a caracteristicii diodei semiconductoare. R u=? i [A] E i=? u [V] 46/51
74 Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iniţializarea i [A] u [V] 47/51
75 Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia i [A] u [V] 47/51
76 Cazul caracteristicilor lpp D3 D4 R 2 u L =? D5 D6 E 1 R 1 48/51
77 Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iniţializarea. 6 D3 1 D D5 6 D /51
78 Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 1. 6 D3 1 D D5 6 D /51
79 Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 2. 6 D3 1 D D5 6 D /51
80 Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 2 - zoom in..1 D3 1 D D5.1 D /51
81 Cazul caracteristicilor lpp Eroarea impusă nu influenţează prea mult numărul de iteraţii deoarece după determinarea corectă a segmentului în care se află PSF, eroarea impusă este satisfăcută la următoarea iteraţie. Dacă iniţializarea corespunde combinaţiei corecte de segmente, atunci se va face exact o singură iteraţie. Numărul maxim de iteraţii este egal cu numărul maxim de combinaţii de segmente. Există o variantă a metodei (cunoscută sub numele de metoda Katzenelson) în care la fiecare iteraţie se modifică un singur segment, cel corespunzător variaţiei maxime. Avantaj - convergenţa garantată. 5/51
82 Lectură Introducere Obligatoriu: Ioan98 D. Ioan et al., Metode numerice in ingineria electrica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, (Capitolul 17) Cartea se găseşte la biblioteca UPB, puteţi verifica accesând catalogul Facultativ: Chua75 Leon Chua, Pen-Min Lin, Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits, Prentice-Hall,1975. (Capitolele 5 si 7) 51/51
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Notes. Notes
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.)
Cap.2. Aplicaţie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.)
Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice liniare (c.c. şi c.a.) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Integrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Capitolul 4 Amplificatoare elementare
Capitolul 4 mplificatoare elementare 4.. Etaje de amplificare cu un tranzistor 4... Etajul emitor comun V CC C B B C C L L o ( // ) V gm C i rπ // B // o L // C // L B ro i B E C E 4... Etajul colector
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Interpolarea funcţiilor.
Interpolarea funcţiilor.. Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/52 Cuprins Introducere 1 Introducere
Stabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Integrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 016-017 1/40 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative)
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative) Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Lucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii)
ucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii) A.Scopul lucrării - Verificarea experimentală a rezultatelor obţinute prin analiza circuitelor cu diode modelate liniar pe porţiuni ;.Scurt breviar teoretic
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Corectură. Motoare cu curent alternativ cu protecție contra exploziei EDR * _0616*
Tehnică de acționare \ Automatizări pentru acționări \ Integrare de sisteme \ Servicii *22509356_0616* Corectură Motoare cu curent alternativ cu protecție contra exploziei EDR..71 315 Ediția 06/2016 22509356/RO
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
1.11 Rezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirkhhoff
Curs mine. ezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirhhoff Se numeşte circuit electric, un ansamblu de surse de tensiune electromotoare şi receptoare, cu legătură conductoare între
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Elemente de circuit rezistive. Uniporţi şi diporţi rezistivi. Caracteristici de intrare şi de transfer.
Elemente de circuit rezistive. Uniporţi şi diporţi rezistivi. Caracteristici de intrare şi de transfer. Scopul lucrării: Învăţarea folosirii osciloscopului în mod de lucru X-Y. Vizualizarea caracteristicilor
CAPITOLUL 1 TEOREMELE LUI KIRCHHOFF
INTRODCERE Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. n circuit fizic este
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..
I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,
CIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
CIRCUITE CU DZ ȘI LED-URI
CICUITE CU DZ ȘI LED-UI I. OBIECTIVE a) Determinarea caracteristicii curent-tensiune pentru diode Zener. b) Determinarea funcționării diodelor Zener în circuite de limitare. c) Determinarea modului de
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
SIGURANŢE CILINDRICE
SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE CH Curent nominal Caracteristici de declanşare 1-100A gg, am Aplicaţie: Siguranţele cilindrice reprezintă cea mai sigură protecţie a circuitelor electrice de control
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina i Numerici, 2016-2017 1/60
PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Tranzistoare bipolare cu joncţiuni 1. Noţiuni introductive Tranzistorul bipolar cu joncţiuni, pe scurt, tranzistorul bipolar, este un dispozitiv semiconductor cu trei terminale, furnizat de către producători
Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric