Predikatni račun 1 - vsebina
|
|
- Ἀρίσταρχος Μπλέτσας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Predikatni račun 1 - vsebina 1. Domena in predikati; 2. Kvantifikatorji; 3. Sintaksa predikatnega računa; 4. Zaprte izjavne formule; 5. Interpretacija oz. semantika predikatnega računa; 6. Tavtologije ter enakovredne izjave; 7. Prenexna normalna oblika; 8. Sklepanje v predikatnem računu. 1 (zadnji update 6. novembra) 1
2 Predikatni račun Ali je spodnji sklep pravilen? 1. Vsi zajci ljubijo korenje. 2. Feliks je zajec. 3. Torej Feliks ljubi korenje. Zgornji sklep se nam po občutku zdi pravilen, vendar ga v izjavnem računu prevedemo le takole: 1. p 2. q 3. r ker nobena od izjav ne vsebuje veznikov. Izjavni sklep je očitno nepravilen za p = q = 1, r = 0. Težava je v tem, da v izjavnem računu izgubimo zveze med izjavami oz. njihovo notranjo zgradbo: p in q govorita o zajcih ; q in r govorita o Feliksu ; p in r pa o ljubezni do korenja ; 2
3 V predikatnem računu to popravimo z upoštevanjem notranje zgradbe osnovnih izjav. Najprej označimo: Z(x) x je zajec; L(x) x ljubi korenje; a Feliks; Zdaj zgornji sklep zapišemo v obliki: 1. x : (Z(x) L(x)) 2. Z(a) 3. L(a) V predikatnem računu je to pravilen sklep. Nastopajoči simboli: Z, L sta enomestna predikata; x je individualna spremenljivka; a je individualna konstanta; je univerzalni kvantifikator. 3
4 Domena in predikati Domena oz. področje pogovora D je neprazna množica, iz katere izbiramo individualne konstante oz. individue. n-mestni predikat P : D n {0, 1} je n-mestna funkcija iz pogovornega področja D, ki vsaki n-terici individuov priredi vrednost 1 (resnica) oz. 0 (neresnica). Manj formalno: V izjavah predikati predstavljajo lastnosti oz. odnose med individui iz področja pogovora. Če je P 1-mestni predikat potem predstavlja neko lastnost individuov iz področja pogovora. Zgled: Naj bo P(x) predikat x je praštevilo, področje pogovora pa naj bo množica naravnih števil N. Potem, P(6) = 0 ; P(3) = 1. Če je P n-mestni predikat za n 2, potem predstavlja relacijo oz. odnos med n individui iz področja pogovora. Tako za P(a 1, a 2,...,a n ) rečemo, da so a 1,a 2,...,a n v odnosu oz. relaciji P. Zgled: Naj bo V (x,y, z) predikat x je vsota y in z, področje pogovora pa naj bo množica naravnih števil N. V (6, 3, 2) = 0 ; V (6, 4, 2) = 1. 4
5 Kvantifikatorji Poznamo dva kvantifikatorja: - univerzalni ter - eksistenčni. x za vsak x, x obstaja tak x, da Ko hočemo poudariti, da je x iz področja pogovora D, zapišemo: x D in x D Zgled: Naj bo P(x) predikat x je praštevilo, področje pogovora pa naj bodo naravna števila N: x : P(x) x : P(x) x : P(x) x : P(x) x : P(x) x : P(x) Vsako naravno število je praštevilo. Vsaj eno naravno število je praštevilo. Nobeno naravno število ni praštevilo. Ni res, da obstaja vsaj eno praštevilo. Vsaj eno naravno število ni praštevilo. Ni res, da je vsako naravno število praštevilo. Vprašanje 1 Katere od zgornjih izjav povedo eno in isto? 5
6 Še nekaj prevodov: S(x) x je študent; U(x) x se uči; Vsi študentje se učijo Noben študent se ne uči Nekateri študentje se učijo Nekateri študentje se ne učijo V splošnem si pomagamo z naslednjim obrazcem: Vsi A so B Noben A ni B Nekateri A so B Nekateri A niso B x : (S(x) U(x)) x : (S(x) U(x)) x : (S(x) U(x)) x : (S(x) U(x)) x : (A(x) B(x)) x : (A(x) B(x)) x : (A(x) B(x)) x : (A(x) B(x)) Omejeni oz. pogojni kvantifikatorji. Pogosto imamo opraviti z več množicami oz. domenami hkrati. Zato je smiselno vpeljati: x A : P(x) pomeni x : (A(x) P(x)); x A : P(x) pomeni x : (A(x) P(x)). Zgornje prevode lahko zapišemo takole: Vsi študentje se učijo Noben študent se ne uči Nekateri študentje se učijo Nekateri študentje se ne učijo x S : U(x) x S : U(x) x S : U(x) x S : U(x) 6
7 Sintaksa predikatnega računa Izjavni račun ne zadošča za analizo pravilnega sklepanja, zato jezik izjavnega računa razširimo. Jezik 1. reda je določen z množico simbolov S, množico termov T in množico izjavnih formul F. I. Simboli Množico simbolov S sestavljajo: 1. individualne spremenljivke: x,y, z,...,x 1, x 2, individualne konstante: a,b,c,...,a 1,a 2, predikati: P,Q,R,...,P 1, P 2,... So enomestni, dvomestni, itn. 4. funkcijski simboli: f, g,h,...,f 1,f 2,... So tudi enomestni, dvomestni, itn. 5. izjavni vezniki:,,, kvantifikatorja: in 7. ločila: ( ) :, 7
8 II. Termi Množica termov T je podana induktivno takole: 1. Vsaka individualna spremenljivka je term. 2. Vsaka individualna konstanta je term. 3. Če je f n-mestni funkcijski simbol in so t 1,t 2,...,t n termi, potem je f(t 1, t 2,...,t n ) term. Zgled: x, a, 1, f(a, x), f(a, b), x + 3, g(x,f(b, y)) so termi. Term je zaprt, če ne vsebuje individualnih spremenljivk. Zgled: V zgornjem zgledu so zaprti termi le a, 1 in f(a, b). 8
9 III. Izjavne formule Množica izjavnih formul F je definirana induktivno takole: 1. Če je P neki n-mestni predikat in so t 1,t 2,...,t n termi, potem je P(t 1,t 2,...,t n ) izjavna formula. 2. Če sta Z in Y izjavni formuli, potem so tudi: izjavne formule. (Z), (Z) (Y ), (Z) (Y ), (Z) (Y ), Če je Y formula in x individualna spremenljivka, potem sta izjavni formuli. ( x : Y ) in ( x : Y ) Zgled: P(x), P(a), Q(x,y), x : P(x), x : P(x) y : Q(b,y) so izjavne formule. 9
10 Dogovor o prednosti in opuščanje ločil: Kvantifikatorji vežejo močneje kot izjavni vezniki; Dvopičje pred kvantifikatorjem opuščamo. Zgledi: x y : Q(x,y, z) y : P(y, z, x) x y : (Q(x,y, z) y : P(y, z, x)) Doseg kvantifikatorjev Območje delovanja ali doseg kvantifikatorja v izjavni formuli je najkrajše nadaljevanje za kvantifikatorjem, ki je samo zase izjavna formula. Zgledi: : x : P(x) Q(x) x : (P(x,y) y : Q(y)) x : (P(x) x : Q(x,z) y : R(x, y)) Q(x,y) 10
11 Zaprte izjavne formule oz. izjave Nastop spremenljivke v izjavni formuli je vezan, če se nahaja tik za kvantifikatorjem; ali je v dosegu kvantifikatorja, ki se nanaša nanjo. Sicer je nastop prost. Zgledi: x : P(x) Q(x) x : (P(x,y) y : Q(y)) x : (P(x) x : Q(x,z) y : R(x, y)) Izjavna formula je zaprta, če ne vsebuje prostih nastopov individualnih spremenljivk. Zaprti formuli rečemo izjava. Zgledi: Naslednje izjavne formule so zaprte: P(a) x : P(x) x y : (P(x,y) Q(y)) Zapiranje izjavnih formul. Odprto izjavno formulo lahko zapremo tako, da: proste spremenljivke nadomestimo z individualnimi konstantami; ali formulo zapremo s kvantifikatorji. 11
12 Zgled: Naj bo R(x, y) predikat x ima rad y. Kot izjavna formula R(x, y) ima dve prosti spremenljivki x,y in zato ni zaprta. Izjavno formulo zapremo na 8 načinov takole: x y : R(x, y) x : x ima rad vsakogar. Vsi imajo radi vsakogar. y x : R(x, y) y : vsakdo ima rad y. Vsi imajo radi vsakogar. x y : R(x, y) x : x ima nekoga rad. Vsakdo ima koga (vsak svojega) rad. y x : R(x, y) y : nekdo ima rad y. Vsakogar ima nekdo rad. x y : R(x, y) x : x ima rad vse. Nekdo ima rad vse. y x : R(x, y) y : vsi imajo radi y. Vsi imajo radi nekoga (vsi istega). x y : R(x, y) x : x ima nekoga rad. Nekdo ima nekoga rad. y x : R(x, y) y : nekdo ima rad y. Nekdo ima nekoga rad. 12
13 Semantika predikatnega računa Interpretacijo I jezika 1. reda podamo takole: 1. Izberemo neprazno množico D I. To je domena interpretacije oz. področje pogovora. 2. Za vsako individualno konstanto a izberemo neki element a I D I. 3. Za vsak n-mestni predikat P izberemo neko n-mestno relacijo P I D I n. 4. Za vsak n-mestni funkcijski simbol f izberemo neko n-členo operacijo f I : D I n D I. Opomba. V dani interpretaciji vsakemu zaprtemu termu ustreza določen element domene; vsaki zaprti izjavni formuli pa ustreza določena izjava o elementih domene, ki je lahko resnična oz. neresnična. 13
14 Zgled: Vzemimo izjavne formule P(a), x : P(x), P(f(a,b)), kjer je P enomesten predikat. Obravnavajmo naslednjo interpretacijo I: D I = N a I = 2 b I = 3 f I (x,y) = 2x + y P I (x) x je praštevilo. Potem dobimo: f I (a I, b I ) = = 7 je naravno število. P I (a I ) je resnična izjava, ker je a I = 2 praštevilo. x : P I (x) je neresnična izjava. P I (f I (a I,b I )) = P I (7) je resnična izjava. Opomba. Odslej bomo indeks I opuščali. 14
15 Zgled: Vzemimo izjavno formulo x y : R(x, y) v različnih interpretacijah: I 1 : I 2 : I 3 : I 4 : D = N in R(x, y) x > y. Potem, x y : R(x, y) Za vsako naravno število obstaja manjše naravno število. (NI RES) D = Z in R(x, y) x > y. Potem, x y : R(x, y) Za vsako celo število obstaja manjše celo število. (RES) D = N in R(x, y) x < y. Potem, x y : R(x, y) Za vsako naravno število obstaja večje naravno število. (RES) D = { ljudje } in R(x, y) x ima rad y-a. Potem, x y : R(x, y) Vsakdo ima koga rad. (Mogoče je RES, mogoče pa NI RES) Opomba. Ista izjavna formula je lahko v eni interpretaciji resnična in v drugi neresnična. 15
16 Splošno veljavne izjave in enakovrednosti Zaprta izjavna formula ϕ je logično veljavna (oz. splošno veljavna), če je resnična v vsaki interpretaciji. Pišemo = ϕ. Zgled: Velja = x : P(x) x : P(x). Dokaz. Če imajo vsi objekti iz domene interpretacije D lastnost P, potem gotovo ne obstaja objekt iz D, ki nima lastnosti D. Zaprti izjavni formuli ϕ 1 in ϕ 2 sta enakovredni, če sta v vsaki interpretaciji bodisi obe resnični bodisi obe neresnični. V tem primeru pišemo ϕ 1 ϕ 2. Trditev 1 Naj bosta ϕ 1, ϕ 2 zaprti izjavni formuli. Potem je ϕ 1 ϕ 2 natanko tedaj, ko je = ϕ 1 ϕ 2. Dokaz. Naj bo najprej ϕ 1 ϕ 2. Vzemimo poljubno interpretacijo I. V njej imata ϕ 1 in ϕ 2 enako resničnostno vrednost, torej je formula ϕ 1 ϕ 2 splošno veljavna. Naj bo zdaj = ϕ 1 ϕ 2 in I poljubna interpretacija. V njej je formula ϕ 1 ϕ 2 resnična, torej imata ϕ 1 in ϕ 2 v I enako resničnostno vrednost. Ker je bila I poljubna, je ϕ 1 ϕ 2. 16
17 Kako pokažemo, da neka izjavna formula ϕ ni logično veljavna? Poiščemo protiprimer tj. interpretacijo v kateri ϕ ni resnična. Kako pokažemo, da formuli ϕ 1 in ϕ 2 nista enakovredni? Poiščemo protiprimer tj. interpretacijo, v kateri je ena resnična, druga pa ne. Zgled: Pokaži x y : P(x, y) Protiprimer: y x : P(x,y)! Naj bosta D = N in P(x, y) x y. Potem: x y : x y je resnična izjava (lahko vzamemo kar y = x). y x : x y trdi, da obstaja naravno število, ki je največje. Zato je to neresnična izjava. Zgled: Pokaži x : (P(x) Q(x)) x : P(x) x : Q(x)! Protiprimer: Naj bo D = N in P(x) x je sodo število, Q(x) x je liho število. Potem: x : (P(x) Q(x)) trdi, da je vsako naravno število sodo ali liho. To je res! x : P(x) x : Q(x) trdi, da so vsa naravna števila soda ali pa so vsa naravna števila liha. To pa ni res! 17
18 Zakoni predikatnega računa V nadaljevanju si oglejmo nekaj tavtologij oz. enakovrednosti (urejenih glede na izjavne povezave): 1. Negacija. Veljata naslednji zvezi: x : P(x) x : P(x) in x : P(x) x : P(x) Tako sta kvantifikatorja in med seboj zamenljiva: x : P(x) x : P(x) in x : P(x) x : P(x) Zgled: Negacija izjave Vsi so pošteni ni Vsi so nepošteni ampak je Nekdo ni pošten. 2. Konjunkcija. Tu veljata naslednji zvezi: x : (P(x) Q(x)) x : (P(x) Q(x)) x : P(x) x : Q(x) x : P(x) x : Q(x) Naloga 1 Pokaži, da naslednja implikacija ne velja: x : P(x) x : Q(x) x : (P(x) Q(x)). 18
19 3. Disjunkcija. Tu veljata naslednji zvezi: x : P(x) x : Q(x) x : P(x) x : Q(x) x : (P(x) Q(x)) x : (P(x) Q(x)). Naloga 2 Pokaži, da naslednja implikacija ne velja: x : (P(x) Q(x)) x : P(x) x : Q(x). 4. Implikacija. Tu veljata naslednji zvezi: x : (P(x) Q(x)) x : (P(x) Q(x)) ( x : P(x) x : Q(x)) ( x : P(x) x : Q(x)). 5. Ekvivalenca. Splošno veljavna je naslednja izjava: x : (P(x) Q(x)) ( x : P(x) x : Q(x)) Naloga 3 Ugotovi ali sta splošno veljavni naslednji izjavi: x : P(x) x : Q(x) x : (P(x) Q(x)) x : P(x) x : Q(x) x : (P(x) Q(x)). 19
20 Še nekaj zakonov: x y : P(x,y) y x : P(x,y) x y : P(x,y) y x : P(x,y) x y : P(x,y) y x : P(x,y) Naloga 4 Ali je veljavna implikacija: y x : P(x,y) x y : P(x,y)? 20
21 Splošnejša oblika predikatnih zakonov Ko smo podali zakone predikatnega računa, smo se omejili na mestnost predikatov P in Q ter privzeli, da spremenljivki x, y nastopata v P in Q. Te omejitve lahko opustimo in dobimo spodnji seznam zakonov. Za poljubne izjavne formule ϕ, ψ velja: 1. x : ϕ x : ϕ 2. x : ϕ x : ϕ 3. x y : ϕ y x : ϕ 4. x y : ϕ y x : ϕ 5. x : (ϕ ψ) x : ϕ x : ψ 6. x : (ϕ ψ) x : ϕ x : ψ. Če x ne nastopa prosto v ϕ, potem 7. ϕ x : ψ x : (ϕ ψ) 8. ϕ x : ψ x : (ϕ ψ). Podobna zakona lahko zapišemo za. Če je y nova spremenljivka oz. ne nastopa v ϕ(x), potem 9. x : ϕ(x) y : ϕ(y) 10. x : ϕ(x) y : ϕ(y) Če x ne nastopa prosto v ϕ (opuščanje nepotrebnih kvantifikatorjev): 11. x : ϕ ϕ in 12. x : ϕ ϕ. 21
22 Prenexna normalna oblika Izjavna formula F je v prenexni normalni obliki, če je oblike F = Q 1 x 1 Q 2 x 2 Q n x n : L, kjer je vsak Q i {, } in je L formula, ki ne vsebuje kvantifikatorjev. Zgled: Izjavna formula v prenexni normalni obliki: x y z : (P(x) Q(x,y) R(a, z)). Recept za preoblikovanje izjavne formule v prenexno normalno obliko: 1. Vse izjavne veznike nadomestimo z,,. 2. Vse negacije premaknemo na predikate (uporabimo De Morgana, negacija kvantificirane formule, ). 3. Individualne spremenljivke preimenujemo tako, da: nobena spremenljivka ne nastopa hkrati vezano in prosto; nobena spremenljivka ne nastopa v več kot enem kvantifikatorju. 4. Uporabimo distributivnost kvantifikatorjev glede na in : če x ne nastopa prosto v ϕ, potem ϕ x : ψ x : (ϕ ψ) in ϕ x : ψ x : (ϕ ψ). Podobne formule dobimo za. 22
23 Zgled: Zapiši izjavno formulo F v prenexni normalni obliki: R(x, y) y : (P(y) ( x : P(x) Q(y))) V 1. koraku F zapišemo takole: R(x, y) y : ( P(y) ( x : P(x) Q(y))), po 2. pa takole: R(x, y) y : ( P(y) ( x : P(x) Q(y))), v 3. koraku vpeljemo zamenjave x u in y v ter dobimo: R(x, y) v : ( P(v) u : P(u) Q(v)) v : ( R(x, y) P(v) u : P(u) Q(v)) v u : ( (R(x,y) P(v) P(u)) Q(v)). Zaradi preglednosti lahko naredimo en korak več in zapišemo takole: v u : (R(x, y) P(v) P(u) Q(v)) 23
24 Zgled: Zapiši izjave x : P(x) x : Q(x) in x : (P(x) y : (Q(x,y) z : R(y, z))) v prenexni normalni obliki. Prvo izjavo uredimo takole: x : P(x) x : Q(x) x : P(x) x : Q(x) x : P(x) y : Q(y) x y : ( P(x) Q(y)) x y : (P(x) Q(y)) Drugo izjavo pa takole: x : (P(x) y : (Q(x,y) z : R(y, z))) x : ( P(x) y : ( Q(x,y) z : R(y, z))) x y : ( P(x) z : ( Q(x,y) R(y, z))) x y z : ( P(x) Q(x,y) R(y, z))) x y z : (P(x) Q(x,y) R(y, z)) 24
25 Sklepanje v predikatnem računu Sklep ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k = ϕ je pravilen (oz. logično veljaven ali splošno veljaven), če je v vsaki interpretaciji, v kateri so resnične vse predpostavke, resničen tudi zaključek. Zgled: Pokaži, da je sklep pravilen. ϕ 1. x : (P(x) ( y : R(x, y) z : R(z, x))) ϕ 2. x : (P(x) z : R(z, x) R(x, x)) ϕ 3. x : R(x, x) ϕ. x : (P(x) y : R(x, y)) Dokaz. Vzemimo x 0 D in predpostavimo, da velja P(x 0 ). Iz ϕ 1 dobimo po (MP), da velja ϕ 4. y : R(x 0, y) z : R(z, x 0 ). Če bi veljalo z : R(z, x 0 ), bi iz ϕ 2 po (MP) dobili R(x 0,x 0 ), kar pa je v protislovju s ϕ 3. Torej velja z : R(z, x 0 ), kar nam skupaj s ϕ 4 po (MT) da y : R(x 0,y) oziroma y : R(x 0, y). Povzemimo: iz predpostavke P(x 0 ) smo izpeljali y : R(x 0,y) in po (PS) velja P(x 0,y) y : R(x 0, y). Ker pa je bil x 0 poljuben, velja torej x : (P(x) y : R(x, y)). 25
26 Zgled: Pokaži da spodnji sklep ni splošno veljaven. ϕ 1. Vsi gasilci so močni. ϕ 2. Nekateri gasilci so hrabri. ϕ 3. Nekateri močni ljudje niso gasilci. ϕ. Torej, nekateri močni ljudje niso hrabri Vpeljemo naslednje oznake: G(x) x je gasilec; M(x) x je močan; H(x) je hraber; Sklep zapišemo takole: ϕ 1. x : (G(x) M(x)) ϕ 2. x : (G(x) H(x)) ϕ 3. x : (M(x) G(x)) ϕ. x : (M(x) H(x)) Protiprimer: 26
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραPredikatni račun. Iztok Savnik PMJ, 2015/16 1
Predikatni račun Iztok Savnik 1 Prosojnice temeljijo na predavanjih: Enrico Franconi Free University of Bozen-Bolzano, Italia Predmet: Opisna logika http://www.inf.unibz.it/~franconi/dl/course/ Predikati
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo. Logika in Množice. Študijsko gradivo
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Logika in Množice Študijsko gradivo Primož Šparl Ljubljana, januar 2018 c Primož Šparl Kazalo Uvod 1 1 Osnove matematične
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραSklepanje je torej tudi interpretacija stavka predstavljena kot sekvenca instanc pravil.
Poglavje 2 SKLEPANJE Teorija je definirana z množico pravil. Pravila lahko definirajo preverjanje tipov stavka danega jezika, definirajo interpretacijo jezika,... Sklepanje predstavimo s sekvenco aplikacij
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO. Petra MATEMATIKA I
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek, Matevž Črepnjak Visokošolski učbenik z rešenimi nalogami MATEMATIKA I Maribor 03 Naslov publikacije: Visokošolski
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραTadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo
Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Katedra za algebro in analizo Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana, 2015 Predgovor
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008
TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραLogika in izjavni račun
Logika in izjavni račun 1. Zapiši pravilnostne tabele za negacijo, in, ali, ekskluzivni ali, implikacijo, ekvivalenco, nein in neali. 2. Zapiši prioritetno tabelo logičnih operacij. 3. Tone je izjavil
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραPosplošena električna dominacija
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Aleš Omerzel Posplošena električna dominacija DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραKvantifikacija v naravnem človeškem jeziku
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Matematika teoretična smer (UNI) Sašo Živanović Kvantifikacija v naravnem človeškem jeziku Diplomsko delo Ljubljana, 2002 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Motivacija.............................
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα