Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo. Logika in Množice. Študijsko gradivo

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Logika in Množice Študijsko gradivo Primož Šparl Ljubljana, januar 2018 c Primož Šparl

2

3 Kazalo Uvod 1 1 Osnove matematične logike Izjave in izjavne povezave Ekvivalenca izjav Logične implikacije in sklepanje Kvantifikatorji Še o sklepanju Teorija množic Pripadnost in pojem enakosti množic Podmnožice in aksiom o paru Unija in presek množic Potenčna množica in kartezični produkt Relacije in razbitja Funkcije Ekvipolenca množic iii

4 iv

5 Uvod Kot pove že sam naslov, se bomo ukvarjali z (matematično) logiko in z množicami. Gre za koncepte, ki v moderni dobi predstavljajo temelje matematike. Čeprav je morda za marsikoga matematika predvsem računanje, reševanje enačb in geometrijsko načrtovanje, se namreč v matematiki večino časa posvečamo precej drugačnim temam. Bistvo matematike je pravzaprav v odkrivanju novih spoznanj, do katerih se iz začetnih predpostavk in že osvojenega znanja dokopljemo s pomočjo logičnega sklepanja. Na ta način lahko pridemo do rezultatov, ki se jih da koristno uporabiti bodisi pri kakšni drugi matematični teoriji bodisi na drugih področjih znanosti, ne primer v fiziki, strojništvu, računalništvu, biologiji, kemiji ali celo družboslovju. Marsikateri sodobni tehnološki pripomoček je bilo tako mogoče razviti zato, ker je v preteklosti kak matematik prišel do ustreznega odkritja. Pravimo, da je matematika univerzalni jezik, saj opisuje splošne resnice, ki so neodvisne od časa in prostora, prav tako pa ne od konkretne formulacije v posameznem govorjenem ali pisanem jeziku in zato tudi niso podvržene možnosti različnih interpretacij. Nekateri znanstveniki so celo predlagali, da bi lahko matematika služila kot komunikacijsko sredstvo z morebitnimi drugimi inteligentnimi živimi bitji iz vesolja. Pa pustimo na tem mestu takšna filozofska vprašanja. Da bi torej lahko brali, razumeli in tudi sami ustvarjali matematično korektne vsebine, se moramo naučiti matematičnega jezika in osvojiti pravila logičnega sklepanja. To je eden glavnih ciljev tega predmeta. Sodobni matematični jezik se je v največji meri razvil šele ob koncu 19. in v začetku 20. stoletja. To pa ne pomeni, da se z logiko niso ukvarjali že prej. Čeprav se logika pojavlja tudi v nekaterih delih kitajskih in indijskih filozofov in matematikov, se je potreba po utemeljevanju zatrjevanih ugotovitev z neizpodbitnimi dokazi najbolj izrazila v stari Grčiji. Velike zasluge za uvodni razvoj logike tako pripisujemo grškim velikanom antike kot so Tales, Pitagora, Platon, Evklid, še posebej pa Aristotel. Njihova dela so nato našla pot tudi v muslimanski svet, v srednjem veku pa so evropski sholastiki študirali in nadgrajevali predvsem Aristotelova dela. Najbolj plodno obdobje na področju matematične logike je bilo brez dvoma ob koncu 19. in v začetku 20. stoletja. Pravzaprav štejejo nekateri preboj matematične logike iz tega obdobja celo za enega največjih intelektu- 1

6 2 KAZALO alnih dosežkov človeštva nasploh. Takrat so se pojavile težnje po postavitvi rigoroznih temeljev pomembnejših matematičnih teorij tistega časa in sicer v obliki sistemov aksiomov, iz katerih bi lahko teorijo zgradili s pomočjo logičnega sklepanja. V ta namen je bilo potrebno ustrezno razviti tudi samo matematično logiko. Potrebo po formalizaciji logičnih sklepov in dokazov v tako imenovani izjavni račun so sicer nekateri matematiki, na primer Leibniz, izrazili že v 18. stoletju, a za začetnike moderne logike danes štejemo predvsem matematike 19. stoletja kot so DeMorgan, Bool, Peirce in Frege. Njihovo delo so ob koncu 19. in v začetku 20. stoletja nadeljevali matematiki, kot so Schröder, Venn, Dedekind, Peano, Hilbert, Zermelo, Whitehead in Russell, kasneje pa še Gödel, Tarski, Church, Turing, Cohen in drugi. Dandanes je matematična logika že povsem samostojno matematično področje, ki se še vedno razvija. Ob vsem tem je zagotovo potrebno izpostaviti vsaj še Georga Cantorja in njegov članek iz leta 1874, v katerem je postavil temelje moderne teorije množic, ki danes za večino matematikov predstavljajo osnovne gradnike vsake matematične teorije. Potem, ko so v začetku 20. stoletja odkrili, da lahko Cantorjeva teorija privede do nepremostljivih paradoksov, so sicer nekateri ugledni matematiki tistega časa Cantorjevo teorijo ostro napadli. Kljub temu se je kasneje izkazalo, da je teorija izjemnega pomena za nadaljni razvoj matematike, pojavili pa so se predlogi aksiomatskih sistemov, ki naj bi takšne paradokse zaobšli. Danes je eden najbolj splošno sprejetih aksiomatskih sistemov tako imenovani sistem ZFC, ki sta ga razvila Ernst Zermelo in Abraham Fraenkel. V okviru tega gradiva bomo spoznali nekatere aksiome aksiomatskega sistema ZFC, v največji meri pa se bomo posvetili različnim operacijam na množicah in matematičnim objektom, kot so relacije in funkcije, ki jih je moč zgraditi na podlagi množic. Brez slednjih bi v matematiki zelo težko shajali.

7 Poglavje 1 Osnove matematične logike Preden se resno lotimo spoznavanja osnov matematične logike, podajmo bralcu nasvet, kako se lotiti reševanja matematičnih problemov. Gre za dobro znani princip, ki ga je zagovarjal madžarski matematik György Pólya (v zahodnem svetu znan tudi kot George Pólya). Po njegovem mnenju se je dobro držati naslednjih treh korakov: 1. korak: Problem je treba najprej razumeti. O čem govori trditev, ki naj bi jo dokazali ali ovrgli? Poznati moramo torej pomen vseh pojmov, o katerih trditev govori. Kakšno strukturo ima trditev? Gre za enostavno ali sestavljeno izjavo? Kaj so predpostavke in kaj naj bi dokazali? Moramo pokazati, da imajo neko lastnost vse reči, o katerih trenutno govorimo, ali je dovolj konstruirati en sam konkreten primer? 2. korak: Kako problem rešiti? Sedaj, ko dobro razumemo, kaj so predpostavke in kaj problem od nas zahteva, je potrebno izpeljati ustrezen matematično korekten dokaz. Na tem mestu je morda pravi čas, da pregledamo obstoječo literaturo (na primer svoje zapiske predavanj in vaj ali primerno knjigo). Ali smo že obravnavali kak podoben primer? Morda na vajah, predavanjih ali pa smo kaj podobnega zasledili v kakšni knjigi? Če je temu tako, skušajmo uporabiti ideje, ki so pripeljale do rešitve sorodnih primerov. 3. korak: Problem rešimo, rešitev zapišemo in jo preverimo. Ko smo prepričani v korektnost našega sklepanja, je potrebno ves razmislek znati tudi zapisati in to v obliki, ki bo nekomu, ki pozna osnovne pojme obravnavane tematike, omogočala rekonstrukcijo celotne rešitve. Na koncu je dobro še enkrat natančno preveriti vsak korak v sklepanju. Opisana metoda seveda podaja le osnovne smernice. Da v praksi zadeva res deluje, se je treba dogovoriti še za nekaj osnovnih zadev. Najprej se je treba dogovoriti za jezik, ki ga bomo pri ukvarjanju z matematiko uporabljali. Če želimo v tem jeziku brati in pisati stavke (ki predstavljajo neke trditve, oziroma izjave), moramo poznati sintakso matematičnega jezika, 3

8 4 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE torej pravila za sestavljanje izjav iz osnovnih gradnikov. Tako napisane stavke je seveda potrebno tudi razumeti. Poznati moramo torej pomen besed in besednih zvez, oziroma semantiko jezika. Šele tedaj, ko zapisane stavke v izbranem jeziku razumemo, se lahko začnemo spraševati o pravilnosti oziroma nepravilnosti pripadajočih izjav. A to že ni več naloga matematične logike. Njena naloga je, da izjave analizira (temu pravimo logična analiza) in na ta način pridela izjave, ki iz omenjenih začetnih izjav logično sledijo ali so jim celo enakovredne. Na ta način namreč dane izjave bolje razumemo in se zato lažje odločamo o njihovi pravilnosti oziroma nepravilnosti. Ilustrirajmo vse skupaj na dveh konkretnih zgledih. Zgled: Oglejmo si izjavo: Če velja, da v primeru, ko je deset sodo število, ne obstaja več kot deset praštevil, potem je deset sodo število in ne obstaja več kot deset praštevil. Ali znamo presoditi o njeni resničnosti? Najbrž težko. A s pomočjo logične analize se da ugotoviti, da je zgornja izjava enakovredna izjavi Deset je sodo število. No, da je ta izjava resnična, seveda vemo. Zgled: Oglejmo si še naslednji primer. Vsi se najbrž strinjamo, da je za vsako naravno število n izjava Če je n2 liho število, je tudi n liho število. pravilna. Če pa bi nekdo od nas zahteval dokaz njene pravilnosti, bi imel najbrž marsikdo težave. Naloga postane precej lažja, če najprej ugotovimo, da je omenjena izjava enakovredna izjavi Če je n sodo število, je tudi število n 2 sodo. 1.1 Izjave in izjavne povezave Dogovorimo se, da izhajamo iz predpostavke, da je vsaka izjava, o kateri bomo govorili, bodisi pravilna (oziroma resnična) ali pa nepravilna (oziroma neresnična). Gre za tako imenovani princip Tretje možnosti ni, oziroma v latinščini Tertium non datur. Zgolj kot zanimivost omenimo, da obstaja tudi veja matematične logike, v kateri principa izključitve tretje možnosti ne privzamejo. Gre za tako imenovano intuicionistično, oziroma konstruktivistično logiko, s katero pa se mi ne bomo ukvarjali. Dogovorimo se tudi, da bomo izjave praviloma označevali z malimi črkami p, q, r, itd. Dejstvo, da je izjava p resnična, bomo označevali s p 1, da je neresnična pa s p 0. Določimo sedaj osnovne gradnike izjavnega računa. Definicija. Izjava, ki se je ne da razbiti na več krajših izjav, vsaka izmed katerih ima pomen, je enostavna izjava. Izjava, ki ni enostavna, je sestavljena. Zgled: Tako je na primer izjava 13 je praštevilo. enostavna, saj se je ne da razbiti na več manjših smiselnih enot. Po drugi strani je izjava Če je

9 1.1. IZJAVE IN IZJAVNE POVEZAVE 5 naravno število n sodo in večje od 2, potem ni praštevilo. sestavljena, saj sestoji iz izjav Naravno število n je sodo., Naravno število n je večje od 2. in Naravno število n ni praštevilo. Posvetimo se sedaj vprašanju, kako sestavljamo sestavljene izjave. To storimo tako, da enostavne izjave med seboj povežemo z logičnimi vezniki. Mi se bomo osredotočili na najpomembnejših pet, to so negacija, logični in, logični ali, implikacija in ekvivalenca. Preden jih definiramo, opozorimo, da mora imeti vsak logični veznik lastnost, da je pri vsaki možni vrednosti (pravilna ali nepravilna) vstopnih izjav vrednost pripadajoče sestavljene izjave natanko določena. Vpeljimo še pojem resničnostne tabele. Definicija. Naj bo p izjava, ki je sestavljena iz enostavnih izjav p 1, p 2,..., p k. Tedaj je resničnostna tabela za izjavo p tabela, v kateri je za vsak možen nabor vrednosti enostavnih izjav p 1, p 2,..., p k zapisana vrednost izjave p pri teh vrednostih enostavnih izjav p 1, p 2,..., p k. Pri tem se dogovorimo, da vrstice resničnostne tabele uredimo leksikografsko glede na vrednosti izjav p 1, p 2,..., p k, pri čemer začnemo z vrstico, v kateri imajo vse enostavne izjave vrednost 0. Vpeljimo sedaj zgoraj omenjene logične veznike, zraven pa si oglejmo še pripadajoče resničnostne tabele. Definicija. Naj bosta p in q dani izjavi. Negacija izjave p, ki jo s simboli označimo z p (kar beremo ne p), je izjava, ki je resnična, če je izjava p neresnična in je neresnična, če je izjava p resnična. Konjunkcija izjav p in q, ki jo s simboli označimo s p q (kar beremo p in q), je izjava, ki je resnična, ko sta izjavi p in q obe resnični, in je neresnična v vseh drugih primerih. Disjunkcija izjav p in q, ki jo s simboli označimo s p q (kar beremo p ali q), je izjava, ki je neresnična, ko sta izjavi p in q obe neresnični, in je resnična v vseh drugih primerih. Implikacija izjave p na izjavo q, ki jo s simboli označimo s p q (kar beremo če p potem q, ali tudi iz p sledi q), je izjava, ki je neresnična, ko je izjava p resnična, izjava q pa neresnična, in je resnična v vseh drugih primerih. Ekvivalenca izjav p in q, ki jo s simboli označimo s p q (kar beremo p natanko tedaj, ko q, ali tudi p če in samo če q), je izjava, ki je resnična, ko sta izjavi p in q bodisi obe resnični bodisi obe neresnični, in je neresnična v ostalih dveh primerih. Kot rečeno lahko pomen opisanih veznikov ponazorimo tudi s pomočjo

10 6 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE resničnostnih tabel. p p p q p q p q p q p q Bralec naj bo še posebej pozoren na veznika disjunkcije in implikacije. V pogovornem jeziku namreč s p ali q včasih v resnici mislimo p ali q, a ne oboje hkrati. Podobno izjavo Če boš priden, dobiš nagrado. v pogovornem jeziku običajno v resnici razumemo kot Če boš priden, dobiš nagrado, sicer pa ne. To pomeni, da v pogovornem jeziku veznik ali pogosto v resnici razumemo kot ekskluzivni ali, veznik implikacije pa kot veznik ekvivalence. Omeniti velja vsaj še tri veznike, ki so pogosto v uporabi, mi pa jim veliko pozornosti ne bomo posvečali. Prvega smo v resnici že omenili. Gre za ekskluzivni ali, za katerega se običajno uporablja oznaka, v resnici pa ima izjava p q isti pomen kot (p q). Potem sta precej znana še Shefferjev veznik in Peirceov veznik, kjer je pomen izjav p q in p q enakovreden izjavama (p q) oziroma (p q). V nekaterih matematičnih razpravah je dejstvo, da je izjava oblike p q ali oblike p q resnična, podana na malce drugačen način. Govora je o potrebnih in/ali zadostnih pogojih. Da je izjava p q resnična, tako lahko sporočimo tudi tako, da rečemo, da je p zadosten pogoj za izjavo q, ali pa tudi, da je izjava q potreben pogoj za izjavo p. Da je resnična izjava p q, lahko povemo tako, da rečemo, da je izjava p potreben in zadosten pogoj za izjavo q. Zakaj uporabljamo tako terminologijo, ni težko utemeljiti. Če je namreč izjava p q pravilna, iz resničnostne tabele za implikacijo razberemo, da so možne samo naslednje tri situacije: p 0 in q 0, p 0 in q 1 ali pa p 1 in q 1. Če torej dodatno vemo še to, da je p 1, mora zagotovo veljati q 1. Dejstvo, da je p resnična izjava, torej zadošča za ugotovitev, da je tudi q resnična izjava. Podoben premislek utemelji tudi ostala dva pojma. Preden nadaljujemo opozorimo še to, da so sami zapisi p, q, p q, p (q ( r)), itd. le tako imenovane izjavne forme, ne pa konkretne izjave. Neka izjavna forma tako zares postane izjava šele takrat, ko določimo pomen posameznih izjav p, q, r, itd., ki v izjavni formi nastopajo. Velika prednost izjavnega računa je ravno v tem, da v primeru, da pokažemo veljavnost nekega dejstva za dano izjavno formo (recimo, da je ekvivalentna neki drugi izjavni formi, o čemer bomo več povedali v naslednjem razdelku), pripadajoče dejstvo velja tudi za vse konkretne izjave, ki jih dobimo tako, da posamezne simbole v izjavni formi nadomestimo s konkretnimi izjavami.

11 1.1. IZJAVE IN IZJAVNE POVEZAVE 7 Kljub temu se dogovorimo, da bomo običajno malce površni in bomo tudi izjavnim formam rekli kar izjave. Kadar izjave sestavljamo v vedno bolj zapletene izjave, lahko dobljeni izraz zaradi prevelikega števila oklepajev postane težko berljiv, kot na primer v izjavi (((p q) r) ((( p) r) p)). Zato sklenimo dogovor glede moči vezave posameznih veznikov. Dogovorimo se, da si izmed zgornjih petih logičnih veznikov po moči vezave, od najmočnejšega do najšibkejšega, sledijo,,, in. To torej pomeni, da ima negacija prednost pred vsemi drugimi vezniki, konjunkcija pred vsemi razen negacije, itd. Poleg tega pravila se dogovorimo tudi, da izraze vedno asociiramo z leve proti desni, kar pomeni, da pri veznikih iste moči vrednost izjave izračunavamo z leve proti desni. V zgornji izjavi torej lahko izpustimo prav vse oklepaje, saj je po tem dogovoru to ravno izjava p q r p r p. Seveda pa se včasih oklepajem ne želimo (če želimo posebej poudariti vrstni red) ali pa sploh ne moremo povsem izogniti. Na primer, izjava p q r ima pri vrednostih p q r 0 vrednost 0, izjava p (q r) pa ima pri istih vrednostih izjav p, q in r vrednost 1. Sedaj imamo vse potrebno, da za poljubno sestavljeno izjavo zapišemo njeno resničnostno tabelo. To lahko storimo na primer tako, da najprej glede na zgornje dogovore določimo vrstni red delovanja logičnih veznikov, ki nastopajo v izjavi, nato pa tabelo izpolnjujemo po vrsticah ali pa po stolpcih v tem vrstnem redu. Zgled: Oglejmo si konkreten zgled, še nekaj pa jih bomo napravili v sledečih razdelkih. Sestavimo resničnostno tabelo za izjavo p q r p q r. Glede na zgornje dogovore gre za izjavo (p (q ( r))) ((p q) r). Za lažje računanje si v posamezne stolpce zapisujemo vrednosti posameznih krajših sestavljenih izjav, ki sestavljajo našo izjavo. Tako bomo na primer zapisovali vrednosti za r v stolpec pod veznik, potem vrednosti za q r v stolpec pod veznikom, itd. Dobimo naslednjo tabelo: p q r p q r p q r Pri tem smo vrednosti v stolpcu, ki ustreza vezniku, ki deluje zadnji, odebelili, saj so tam zapisane ravno vrednosti naše sestavljene izjave pri posameznih naborih vrednosti enostavnih izjav, ki jo sestavljajo.

12 8 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE Dogovorimo se, da bomo stolpcu resničnostne tabele, v katerega smo zapisali vrednosti pripadajoče sestavljene izjave (v zgornjem zgledu torej odebeljeni stolpec), rekli resničnostni stolpec za to izjavo. Za dano izjavo je lahko njen resničnostni stolpec treh bistveno različnih oblik. Lahko se zgodi, da so v njem same enice, lahko same ničle, ali pa je v njem nekaj ničel in nekaj enic. Te tri tipe izjav posebej poimenujmo. Definicija. Imejmo sestavljeno izjavo p. Če je izjava p resnična ne glede na vrednosti enostavnih izjav, ki jo sestavljajo, je tavtologija ali resnica, če pa je izjava p neresnična ne glede na vrednosti enostavnih izjav, ki jo sestavljajo, je protislovje ali laž. V vseh ostalih primerih je p faktična izjava. V nekaterih spodnjih nalogah se bomo ukvarjali z namišljenim svetom vitezov in oprod, o katerem je veliko pisal nedavno preminuli ameriški logik Raymond Smullyan, ki se je precej ukvarjal z Gödlovo teorijo. Na tem mestu ga omenjamo predvsem zato, ker je napisal celo zbirko izvrstnih poljudnih knjig na temo matematične logike, v katerih je zastavil kopico logičnih ugank in na relativno preprost način predstavil nekatere dosežke velikih imen matematične logike in teorije množic kot sta Georg Cantor in Kurt Gödel. Nakaj najbolj znanih naslovov je Poznate naslov te knjige?, Alica v deželi ugank in Satan, Cantor in neskončnost. Bralcu jih vsekakor toplo priporočam v branje. Naloga 1.1. Zapišite resničnostno tabelo za sestavljene izjave p (q p), p (q r) q in (p q) (q p). Naloga 1.2. Denimo, da ste prebivalec otoka vitezov (ki vedno govorijo resnico) in oprod (ki vedno lažejo) in da ste oproda. Vaš prijatelj (ki ve, da ste vi oproda), je pred naslednjo nalogo: iz košare mora izbrati enega izmed treh ključev (bel, rdeč in moder) in z njim odkleniti ena izmed treh vrat (kovinska, plastična in lesena). Če mu uspe odkleniti vrata, dobi nagrado. Le en ključ odklene sploh kakšna vrata, pa še to samo ena. Vi ste nekako izvedeli, da je to bel ključ, ki odklene lesena vrata. Na voljo imate samo en trdilni stavek, ki mu ga lahko poveste. Ali mu lahko z vašo izjavo posredujete dovolj informacij, da bo z gotovostjo vedel kako priti do nagrade? Kaj pa če vaš prijatelj ne ve, da ste vi oproda, poleg tega pa bi moral prijatelj najprej izbrati škatlo (rumeno, oranžno ali vijolično), od katerih bi bili dve prazni, v eni pa bi bili omenjeni trije ključi? Če veste katera škatla je prava, ali bi mu tedaj lahko z enim trdilnim stavkom pomagali do nagrade? Naloga 1.3. Na otoku vitezov in oprod srečamo dva domačina, Janeza in Tončko. Ko ju ogovorimo, nam povesta naslednje. Janez: Midva s Tončko sva poročena in sva oba istega stanu. Tončka: Nisva poročena in niti istega stanu nisva! Ali lahko na podlagi njunih izjav sklepamo o njunem stanu (pripadata vitezom ali oprodam) in o tem ali sta poročena ali ne?

13 1.2. EKVIVALENCA IZJAV 9 Naloga 1.4. Vrnimo se še malce na otok vitezov in oprod. Tokrat srečamo Tineta, Toneta in Tinkaro. Tole nam povedo: Tine: Jutri bo na našem otoku velika zabava, na katero lahko pridejo le vitezi in tujci. Tinkara: Naš Tone je vitez, Tine pa oproda. Tone: Tinkara, če sem jaz vitez, si oproda ti! Ali bo torej jutri res zabava za viteze in tujce? Naloga 1.5. Ali je sodost naravnega števila n zadosten pogoj za to, da n ni praštevilo? Je sodost naravnega števila n potreben pogoj za to, da je število n 3 + 2n 2 + n deljivo s 3? Je morda zadosten? Je deljivost naravnega števila n s 6 in 15 zadosten pogoj za njegovo deljivost s 30? Kaj pa s 60? 1.2 Ekvivalenca izjav Kot smo povedali že uvodoma, je ena izmed glavnih nalog matematične logike analiza izjav. Dani izjavi želimo poiskati enakovredne oziroma ekvivalentne izjave, da bi na ta način bolje razumeli, kaj izjava sporoča, oziroma, da bi se lažje odločali o njeni resničnosti. Opredelimo pojem ekvivalence izjav še formalno. Definicija. Izjavi p in q sta enakovredni oziroma ekvivalentni, če je izjava p q tavtologija. V tem primeru to dejstvo označimo s p q. Glede na to, da je izjava p q resnična ravno v obeh primerih, ko imata p in q isto vrednost, je torej (sestavljena) izjava p ekvivalentna (sestavljeni) izjavi q natanko tedaj, ko se njuni vrednosti ne razlikujeta pri nobenem naboru vrednosti enostavnih izjav, ki ju sestavljajo. Na nek način bi torej lahko rekli, da sta izjavi p in q ekvivalentni natanko tedaj, ko imata ista resničnostna stolpca (čeprav je ta interpretacija lahko malce problematična, kot bomo videli kasneje). Oglejmo si zgled. Zgled: Denimo, da imamo dan nek vektorski prostor V in njegovo podmnožico B. Premislimo, če sta izjavi Če je B linearno neodvisna množica, ki je hkrati še ogrodje prostora V, je B baza prostora V. in Množica B je linearno odvisna, ali ni ogrodje prostora V, ali pa je baza prostora V. ekvivalentni. V ta namen označimo vse tri enostavne izjave, ki nastopajo v danih dveh izjavah: p B je linearno neodvisna množica. q B je ogrodje prostora V. r B je baza prostora V. Zgornji izjavi sta tedaj p q r in p q r. Sedaj lahko izpolnimo resničnostno tabelo za pripadajočo sestavljeno izjavo, ki jo dobimo tako, da

14 10 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE obe sestavljeni izjavi povežemo z ekvivalenco: p q r p q r p q r Pripadajoča izjava je torej tavtologija in zato sta izjavi p q r in p q r ekvivalentni. Tu velja izpostaviti, da s tem nismo dokazali le, da sta ekvivalentni sestavljeni izjavi, ki smo ju podali na začetku tega zgleda. Ker smo ekvivalentnost dokazali na ravni izjavnih form, lahko namreč sedaj poljubno spremenimo pomen izjav p, q in r, pa bosta izjavi p q r in p q r še vedno ekvivalentni. Utemeljimo še naše zgornje opozorilo glede preverjanja ekvivalentnosti izjav preko resničnostnih stolpcev. Dve izjavi, ki sta si sicer ekvivalentni, sta namreč načeloma lahko sestavljeni iz različno mnogo enostavnih izjav. To pa pomeni, da pripadajoča resničnostna stolpca sploh nista iste dolžine in ju je zato nemogoče primerjati. Na primer, lahko se je prepričati, da je izjava p (p q) ekvivalentna izjavi p. A prva ima resničnostno tabelo s štirimi vrsticami, druga pa resničnostno tabelo z dvema vrsticama. Spomnimo se Polyajevega priporočila glede reševanja matematičnih problemov. Najprej moramo sam problem dobro razumeti. Zdaj je najbrž že bolj jasno, kaj ima s tem opraviti matematična logika. Dane izjave bomo želeli preoblikovati v ekvivalentne izjave, ki nam bodo olajšale razumevanje njihovega pomena. Tako se bomo tudi lažje odločali o njihovi resničnosti. In kako to storimo? Zaenkrat znamo namreč le preveriti, če sta dve dani izjavi ekvivalentni ali ne. To je namreč povsem preprosto. Zapišemo resničnostno tabelo za izjavo, ki je iz obeh izjav sestavljena s pomočjo veznika ekvivalence, nato pa preverimo, če je pripadajoča izjava tavtologija. A mi običajno izjave, ki naj bi bila dani izjavi ekvivalentna, seveda še ne poznamo. Zato je dobro poznati čimveč splošno veljavnih ekvivalenc med izjavami (oziroma izjavnimi formami). Nekatere najbolj znane so zbrane v naslednjem izreku. Izrek 1.1. Naj bodo p, q, r poljubne izjave. Tedaj veljajo naslednje ekvivalence: 1. p 1 p, p 1 1, p 0 0 in p 0 p 2. p p 0, p p 1 in p ( p)

15 1.2. EKVIVALENCA IZJAV p p p in p p p idempotentnost 4. p q q p in p q q p komutativnost 5. (p q) r p (q r) in (p q) r p (q r) asociativnost 6. p (q r) (p q) (p r) in p (q r) (p q) (p r) distributivnost 7. (p q) p q in (p q) p q DeMorganova zakona 8. p (p q) p in p (p q) p absorbcija 9. p q p q, p q q p in (p q) p q 10. p q (p q) (q p) in (p q) p q Dokaz: Točka 1 sledi neposredno iz definicij logičnih veznikov konjunkcije in disjunkcije. Ostale ekvivalence bo bralec dokazal sam s pomočjo pripadajočih resničnostnih tabel. Seveda pa tega ni treba narediti za prav vse podane ekvivalence. Ko smo neko ekvivalenco enkrat dokazali, jo seveda lahko uporabimo pri dokazu drugih. Na primer, ko dokažemo idempotentnost, distributivnost in absorbcijo p (p q) p, sledi p (p q) (p p) (p q) p (p q) p. Podobno se lahko druga ekvivalenca pod številko 9 potem, ko smo dokazali že vse prejšnje ekvivalence, dokaže takole: p q p q q p q p q p. Oglejmo si na tem mestu nekaj zgledov, ki pokažejo uporabnost pravkar navedenih ekvivalenc. Zgled: Naj bo n neko izbrano naravno število. Oglejmo si še enkrat izjavo Če je n2 liho število, je tudi n liho število. in poskušajmo dokazati, da je pravilna. Če s p označimo izjavo n2 je liho število. in s q izjavo n je liho število., potem želimo v resnici pokazati, da je izjava p q resnična. Po zgornjem izreku je ta izjava ekvivalentna izjavi q p. Dokaz resničnosti te izjave se zdi precej bolj naraven. Iz definicije logičnega veznika implikacije namreč sledi, da nas primer, ko izjava q ni resnična, v resnici ne zanima. Pokazati moramo le, da je v primeru, ko je resnična izjava q, takšna tudi izjava p. Pa denimo, da velja q 1, kar v resnici pomeni, da je n sodo število. Tedaj obstaja naravno število n 0, da je n = 2n 0. Potem pa je n 2 = (2n 0 ) 2 = 4n 2 0 = 2(2n2 0 ), kar je prav tako sodo število. Ko je torej resničan izjava q, izjava p ni resnična, torej je v tem primeru resnična izjava p. Tako smo pokazali, da je izjava q p tavtologija, s tem pa je seveda resnična tudi izjava Če je n2 liho število, je tudi n liho število. Ustavimo se pri zgornjem zgledu še za trenutek in razmislimo, kaj smo sploh dokazali. Smo morda pokazali, da je n liho število? Da je n 2 liho število? Seveda nič od tega. Smo pa pokazali, da je n liho število, če vemo, da je n 2 liho število. Z drugimi besedami, pokazali smo, da je lihost števila

16 12 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE n 2 zadosten pogoj za lihost števila n. potreben pogoj za lihost števila n 2. Ali še drugače, lihost števila n je Zgled: Naj bo n zopet neko izbrano naravno število. Kako pa je z resničnostjo trditve Število n je liho natanko tedaj, ko je n2 liho število. Če uporabimo oznake prejšnjega zgleda, lahko našo trditev sedaj zapišemo kot q p. Po izreku 1.1 je ta izjava ekvivalentna izjavi (q p) (p q). Ker je ta izjava konjunkcija, je seveda resnična natanko tedaj, ko sta resnični obe izjavi, ki jo sestavljata. Da je izjava p q resnična, že vemo. Kako pa je z resničnostjo izjave q p? Postopamo podobno, kot pri dokazu resničnosti izjave q p. Če je izjava q resnična, je n = 2n 0 1 za neko naravno število n 0. Tedaj je n 2 = (2n 0 1) 2 = 4n 2 0 4n = 2(2n 2 0 2n 0 + 1) 1, kar je seveda zopet liho število. Izjava p je torej v tem primeru resnična in tako je resnična tudi izjava q p. Izjava Število n je liho natanko tedaj, ko je n 2 liho število. je torej resnica. Z drugimi besedami, pokazali smo, da je lihost števila n potreben in zadosten pogoj za lihost števila n 2. Bralca vabimo naj razmisli o vprašanju: Smo mar zdaj dokazali, da je n liho število? Razdelek zaključimo z naslednjim problemom. Denimo, da imamo dano naravno število n in stolpec dolžine 2 n, sestavljen iz samih ničel in enic. Ali tedaj obstaja izjava, sestavljena iz n enostavnih izjav, katere resničnostni stolpec je ravno dani stolpec? Razrešimo najprej naslednjo posebno obliko tega vprašanja. Denimo, da iščemo sestavljeno izjavo q, ki je sestavljena iz enostavnih izjav p 1, p 2,..., p n in ki je pri natanko enem naboru vrednosti enostavnih izjav p i (recimo mu izbrani nabor) resnična, pri vseh ostalih pa neresnična. Ker je konjunkcija izjav resnična natanko tedaj, ko je vsaka izmed nastopajočih izjav resnična, lahko torej za q vzamemo konjunkcijo vseh tistih izjav p i, ki so pri izbranem naboru resnične, in negacij vseh tistih izjav p j, ki so pri izbranem naboru neresnične. Vsaki taki konjunkciji rečemo osnovna konjunkcija izjav p 1, p 2,..., p n. Glede na definicijo logičnega veznika disjunkcije je sedaj na dlani tudi odgovor na začetno vprašanje kako dobiti izjavo, ki je pri vsakem izmed v naprej predpisanih naborov izjav p 1, p 2,..., p n resnična, pri ostalih naborih pa neresnična. Vzamemo disjunkcijo vseh zgoraj opisanih osnovnih konjunkcij. Edini izmed 2 2n možnih stolpcev, pri katerem ta metoda ne deluje, je stolpec samih ničel. A taka izjava je protislovje (ki jo označimo z 0) in se jo lahko recimo dobi že kot p p. To pomeni, da smo pravkar dokazali spodnji izrek 1.2. (Preden ga navedemo, si oglejmo še definicijo pojma izbrana disjunktivna oblika.) Definicija. Denimo, da je q sestavljena izjava, ki je sestavljena iz enostavnih izjav p 1, p 2,..., p n. Če je q zapisana kot disjunkcija samih osnovnih konjunkcij izjav p 1, p 2,..., p n, pravimo, da je q zapisana v izbrani oziroma normalni disjunktivni obliki.

17 1.2. EKVIVALENCA IZJAV 13 Izrek 1.2. Vsako izjavo, ki ni protislovje, lahko zapišemo v izbrani disjunktivni obliki. Da vse skupaj še dodatno razjasnimo in utrdimo, si oglejmo konkreten zgled, bralcu pa priporočamo, da nekaj zgledov naredi tudi sam. Zgled: Poiščimo izjavo q, ki je sestavljena iz enostavnih izjav p 1, p 2 in p 3 in ima naslednjo resničnostno tabelo: p 1 p 2 p 3 q Izjava q ima v prvi vrstici vrednost 1, zato je treba vzeti pripadajočo osnovno konjunkcijo p 1 p 2 p 3. Osnovna konjunkcija, ki ustreza peti vrstici, je p 1 p 2 p 3, osnovna konjunkcija, ki ustreza zadnji vrstici, pa je p 1 p 2 p 3. Izjava q je torej ekvivalentna izjavi ( p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ). S pomočjo ekvivalenc iz izreka 1.1 jo lahko še nekoliko poenostavimo: q (( p 1 p 1 ) ( p 2 p 3 )) (p 1 p 2 p 3 ) ( p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ), pri čemer smo pri zapisu ekvivalnec izpustili vmesni korak, kjer smo upoštevali p 1 p 1 1, poleg tega pa velja omeniti, da smo nekaj oklepajev zapisali le zaradi boljše preglednosti, glede na naš dogovor o moči vezave logičnih veznikov pa bi jih lahko tudi izpustili. Kot smo omenili že zgoraj, ima vsaka izjava natanko en zapis v izbrani disjunktivni obliki (do vrstnega reda osnovnih konjunkcij in vrstnega reda izjav p i v posamezni osnovni konjunkciji natančno). To pomeni, da lahko ekvivalenco izjav študiramo tudi s pomočjo zapisa v izbrani disjunktivni obliki. Vsako izmed danih izjav lahko zapišemo v izbrani disjunktivni obliki in ju nato primerjamo. Čisto za konec si oglejmo še naslednji zanimiv zgled. Zgled: Denimo, da ste se znašli na otoku vitezov in oprod. Kot tujec seveda niste preveč priljubljeni, saj domačini nikdar ne vedo ali je to, kar trenutno izjavljate, resnica ali laž. V resnici ste jim postali že tako moteči,

18 14 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE da so sklenili, da se vas odkrižajo. Izbira, kako bo do tega prišlo, pa je na srečo (odvisno od tega, kako dobri ste v logiki) v vaših rokah. Domačini vas namreč skupaj s silakom, za katerega pa ne veste ali je oproda ali vitez, napotijo po poti, ki vodi skozi pragozd. Na nekem mestu se pot razcepi. Ena izmed poti vodi do obale, na kateri čaka vaš čoln, druga pa vodi do jase, na kateri mrgoli strupenih kač. Vaš stražar kot domačin seveda ve, katera pot vodi do obale. Na razpotju lahko silaku zastavite eno samo vprašanje. Kaj boste vprašali, da boste lahko iz odgovora razbrali, katera pot vodi do obale? Izjava, katere resničnost nas zanima, je recimo Leva pot vodi do obale. (označimo jo s p). Seveda pa stražarja ne moremo kar vprašati Ali leva pot vodi do obale?, saj ne vemo ali je vitez ali oproda. Pomembna je torej tudi resničnost izjave Vi ste vitez. (označimo jo s q). Ali lahko iz p in q sestavimo izjavo, ki nas bo odrešila? Poizkusimo poiskati izjavo r, ki bo imela to lastnost, da bomo na vprašanje o njeni resničnosti, ne glede na stan našega stražarja, dobili odgovor da natanko tedaj, ko leva pot vodi do obale. Kakšno vrednost mora imeti izjava r, če sta p in q obe neresnični? Ker v tem primeru na svobodo vodi desna pot, mora biti odgovor, ki ga bomo dobili, ne. Ker je v tem primeru naš sogovornik oproda, se bo zlagal, torej mora biti izjava r, po resničnosti katere ga bomo vprašali, resnična. Če sta izjavi p in q obe neresnični, mora biti torej izjava r resnična. Kaj pa, če je p neresnična, q pa resnična? Ker tudi v tem primeru do obale vodi desna pot, moramo zopet dobiti odgov ne. A stražar je sedaj vitez, kar pomeni, da mora biti izjava, po pravilnosti katere ga sprašujemo, neresnična. Podobno dobimo vrednosti za r še pri ostalih dve možnostih. Dobimo naslednjo situacijo p q r Najbrž je bralec že iz same tabele razbral, da gre torej za izjavo p q. Eno izmed vprašanj, ki nam pomaga do rešitve, je torej: Ali je res, da leva pot vodi do obale natanko tedaj, ko ste vi vitez? Naloga 1.6. V naslednjih sestavljenih izjavah prepoznajte enostavne izjave, ki jih sestavljajo, nato te enostavne izjave označite s simboli (p, q, r, itd.), pripadajočo sestavljeno izjavo zapišite v jeziku matematične logike in dobljeno izjavo poenostavite z uporabo ekvivalenc Izreka 1.1. Dobljeno poenostavljeno izjavo nato zapišite z besedami. (Pozor! Tu se ne ukvarjamo s pomenom konkretnih izjav, zato tudi nočemo trditi, da je to, kar izjave povedo, nujno resnica!) Če sta Ana in Jakob oba viteza, je vsaj eden izmed njiju oproda.

19 1.3. LOGIČNE IMPLIKACIJE IN SKLEPANJE 15 Če množica B ni baza vektorskega prostora V, je B ogrodje za V natanko tedaj, ko velja, da je B baza ali ogrodje za V. Če je zaporedje a konvergentno, potem iz dejstva, da je omejeno, sledi, da je konvergentno in ima stekališče. Če ni res, da Floki grize, ko je jezen, potem je Floki jezen in grize. Naloga 1.7. Preverite, če za logični veznik implikacije velja asociativnost, to je, če za poljubne izjave p, q in r velja (p q) r p (q r). Naloga 1.8. Pokažite, da bi lahko shajali samo z logičnima veznikoma negacije in disjunkcije, to je, da lahko vsaki izjavi najdemo ekvivalentno izjavo, v kateri nastopata samo negacija in disjunkcija. Nato izjavi p q r poiščite ekvivalentno izjavo, ki vsebuje le negacije in disjunkcije. Naloga 1.9. Naj bo n neko naravno število. S pomočjo logičnih ekvivalenc iz izreka 1.1 prevedite izjavo Če je n liho število, število 2n ni celo število. v ekvivalentno obliko, ki vam bo omogočila dokaz resničnosti te izjave. Naloga Na otoku vitezov in oprod srečate tri domačine, Francija, Janeza in Jožeta. Ali lahko enemu izmed njih zastavite vprašanje, na katerega bo odgovoril pritrdilno natanko tedaj, ko so vsi trije istega stanu? 1.3 Logične implikacije in sklepanje V prejšnjem razdelku smo se ukvarjali z vprašanjem, kdaj sta dve izjavi, oziroma izjavni formi, ekvivalentni, torej kdaj v resnici nosita isto informacijo. Pogosto pa se zgodi, da ekvivalentne izjave, ki bi nam ustrezala, enostavno ne znamo najti, ali pa nas zanima zgolj naslednje: če predpostavimo, da so neke dane izjave resnične, za katere izjave lahko tedaj trdimo, da so tudi zagotovo resnične? V takih primerih torej iščemo izjave, ki iz danih začetnih izjav logično sledijo. Opredelimo ta pojem bolj natančno. Definicija. Naj bosta p in q izjavi. Pravimo, da je izjava q logična posledica izjave p, če je izjava p q tavtologija. V tem primeru pravimo, da je p q logična implikacija. Kot v prejšnjem razdelku nas bodo tudi tokrat zanimale predvsem logične implikacije na ravni izjavnih form. Poiskali bi torej radi splošno veljavne logične implikacije, ki jih bomo potem lahko pri logičnem sklepanju uporabili v konkretnih situacijah. Oglejmo si preprost zgled. Zgled: Pokažimo, da je izjava q p logična posledica izjave p. V ta namen se je potrebno prepričati, da je izjava p (q p) tavtologija. To lahko dosežemo preko pripadajoče resničnostne tabele. Bolj eleganten način gre preko ekvivalenc izreka 1.1: p (q p) p ( q p) p p q 1 q 1.

20 16 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE S tem smo med drugim dokazali, da je na primer za neko številsko zaporedje a izjava Če je zaporedje a omejeno, je njegov prvi člen negativen. logična posledica izjave Prvi člen zaporedja a je negativen. Da bi utemeljili pomen logičnih implikacij še enkrat premislimo, kaj nam pove dejstvo, da je izjava q logična posledica izjave p. To seveda ne pomeni, da je izjava q nujno resnična. Po definiciji logičnega veznika implikacije namreč vrednost izjave q v primeru, ko je p neresnična izjava, ne vpliva na resničnost sestavljene izjave p q. Dejstvo, da je izjava q logična posledica izjave p, v resnici pomeni le, da je izjava q resnična pri vsakem naboru enostavnih izjav, ki sestavljajo izjavi p in q, pri katerem je resnična izjava p. Logične implikacije nam torej povedo, kdaj smemo iz resničnosti neke izjave sklepati na resničnost neke druge izjave. Na ta način torej logične implikacije omogočajo logično sklepanje. V tem pa v resnici tiči bistvo matematike. V idealnem svetu bi bil namreč matematik sposoben dani izjavi poiskati vse mogoče ekvivalentne izjave ali vsaj razumeti, kako naj bi take izjave izgledale. V resnici pa tega žal nismo sposobni in se moramo zadovoljiti že s tem, da pokažemo, da so neke izjave logične posledice drugih. Na ta način lahko bogato matematično teorijo uporabimo tudi pri reševanju povsem konkretnih problemov. Omeniti velja tudi naslednje. V bogati zgodovini matematike je bilo vpeljanih že ogromno različnih pojmov in teorij, med katerimi običajno, vsaj na videz, ni prav nobene zveze. In vendar vedno znova odkrivamo povezave med njimi. Tako se na primer zgodi, da matematiki po temeljitem študiju neke nove teorije odkrijejo, da gre pri nekaterih pojmih te nove teorije v resnici za koncepte, ki so bili poglobljeno študirani že v kakšni drugi teoriji (seveda morda v povsem drugem kontekstu) in si zato lahko pri nadaljnjem razvoju te nove teorije pomagajo z že znanimi rezultati. Na ta način se rezultati različnih teorij dopolnjujejo, hkrati pa pripomorejo tudi k bolj čisti teoriji. Tako imamo danes zelo elegantne in relativno kratke dokaze mnogih klasičnih rezultatov, katerih prvi dokazi so bili tako tehnično zahtevni in dolgi, da so bili za veliko večino povsem nerazumljivi. Zgolj kot zanimivost omenimo eno izmed najdlje odprtih domnev v teoriji števil, katere formulacija je povsem preprosta in razumljiva slehernemu človeku, odgovor na vprašanje o njeni resničnosti pa je očitno tako zapleten in zahteva tolikšno mero logičnega sklepanja, da ga v več kot 260 letih ni našel še nihče. In to kljub dejstvu, da so domnevo skušali rešiti največji umi zadnjih stoletij. Gre za domnevo iz pisma, ki ga je Christian Goldbach, po katerem domneva nosi ime, leta 1742 pisal slovitemu Leonhardu Eulerju. Domneva pravi, da lahko vsako sodo število, ki je večje od 2, zapišemo kot vsoto dveh (ne nujno različnih) praštevil. Čeprav ta problem buri matematične duhove že toliko časa, še do danes nihče ni uspel dokazati niti da je ta izjava pravilna, niti da je nepravilna. S pomočjo računalnikov so

21 1.3. LOGIČNE IMPLIKACIJE IN SKLEPANJE 17 sicer potrdili, da je izjava pravilna za vsa naravna števila do vključno 10 18, a to seveda za dokončni odgovor ne pomeni praktično nič. Kdor bi o tej zadevi želel izvedeti kaj več, si lahko na primer ogleda knjigo Apostolosa Doxiadisa z naslovom Stric Petros in Goldbachova domneva. Glavni junak knjige in njegova zgodba sta sicer plod pisateljeve domišljije, a bralec se bo ob branju seznanil z nekaterimi zanimivimi dejstvi iz zgodovine teorije števil. Gre seveda za izjemno težka vprašanja, s kakršnimi se bralec tekom študija ne bo ukvarjal. Pa vendar se tudi takrat, ko se spopadamo s precej lažjimi nalogami, v resnici skoraj vedno sprašujemo, ali je neka izjava logična posledica neke druge izjave (ali večih izjav). Zato je zelo pomembno, da se naučimo nekaj osnovnih prijemov pri takšnem sklepanju. Oglejmo si v ta namen nekaj najpomembnejših logičnih implikacij. Izrek 1.3. Naj bodo p, q in r poljubne izjave. Tedaj veljajo naslednje logične implikacije: p q p Poenostavitev p (p q) q Modus ponens q (p q) p Modus tollens p (p q) q Disjunktivni silogizem (p q) (q r) (p r) Hipotetični silogizem p p q Pridružitev Dokaz: Kot smo omenili že v zgornjem zgledu, bi seveda lahko vse te implikacije dokazali kar tako, da sestavimo pripadajoče resničnostne tabele. Dokazov pa se lahko lotimo tudi s pomočjo izreka 1.1. Na primer, p (p q) q (p ( p q)) q ( p (p q)) q (1 ( p q)) q p q q p 1 1, s čimer smo dokazali veljavnost logične implikacije Modus ponens. Dokaze preostalih logičnih implikacij prepuščamo bralcu. Včasih govorimo o tem, da je neka izjava logična posledica množice nekih izjav (oziroma predpostavk). V tem primeru v resnici govorimo o tem, da je ta naša izjava logična posledica konjunkcije vseh omenjenih izjav. Kako preveriti, če je sklep, da je dana izjava res logična posledica predpostavk, pravilen? Lahko seveda formiramo pripadajočo implikacijo konjunkcije vseh predpostavk in izjave, ki naj bi iz njih logično sledila, in preverimo, če je dobljena izjava tavtologija. A če v vseh teh izjavah nastopa veliko število enostavnih izjav, je tak pristop preveč zamuden. Že pri šestih enostavnih izjavah moramo namreč izpolniti resničnostno tabelo s 64 vrsticami. Zato raje razmišljajmo takole. Če je izjava p logična posledica predpostavk p 1, p 2,..., p n in je izjava q logična posledica predpostavk p 1, p 2,..., p n in p,

22 18 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE je seveda q tudi logična posledica predpostavk p 1, p 2,..., p n (bralca vabimo, da to dokaže). To pomeni, da lahko dejstvo, da je neka izjava logična posledica danih predpostavk, dokažemo po korakih. Vsako izjavo, ki jo dobimo kot logično posledico predpostavk, lahko priključimo k množici predpostavk. Na tem dejstvu temelji vsak matematičen dokaz. Iz predpostavk izpeljujemo nove in nove logične posledice, dokler ne pridemo do tiste, ki je naš cilj. Da bomo sklepanje, ki ga je pri tem treba opraviti, zapisali na sistematičen način, sklenimo naslednji dogovor o pravilih za pisanje formalnega dokaza : Vsak korak premisleka zapišemo v novo vrstico, vrstice pa številčimo. V začetne vrstice zapišemo vse predpostavke, dejstvo, da so to predpostavke, pa označimo tako, da k vrsticam dopišemo besedico predp. Včasih je kako izjavo bolje prepisati v ekvivalentno obliko. Kadar storimo to, v vrstico, kamor zapišemo ekvivalentno izjavo, dopišemo znak in dodamo številko vrstice, v kateri se nahaja originalna izjava. Če se v nekem koraku sklepanja opremo na eno izmed logičnih implikacij izreka 1.3, navedemo katero (Po, MP, MT, DS, HS, Pr) in v oklepaju dodamo številke vrstic pripadajočih izjav, ki pri tem nastopajo v vlogi izjav p, q in r. Seveda je pri takem logičnem sklepanju vsaka vrstica, ki jo na ta način dobimo, logična posledica predpostavk, torej je logična posledica tudi vsaka konjunkcija tako dobljenih izjav. Kadar torej več izjav že dobljenih vrstic povežemo s konjunkcijo, rečemo, da smo pripadajoče izjave združili, to dejstvo pa v našem zapisu označimo z Zd skupaj s pripadajočimi številkami. Opisana pravila bomo najbolje razumeli, če si jih ogledamo na konkretnem zgledu. Zgled: Denimo, da so za današnji dan resnične naslednje izjave: Če grem na avtobus, zamudim v službo. Grem na avtobus ali na vlak. Če zamudim v službo, nimam časa za kosilo. Če grem na vlak, preberem časnik. Imam čas za kosilo. Ali je sklep, da bom potemtakem danes prebral časnik, pravilen? Napravimo premislek najprej opisno. Ker imam čas za kosilo, po pravilu Modus tollens ne zamudim v službo. Po vnovični uporabi pravila Modus tollens torej v službo ne grem z avtobusom. Po pravilu disjunktivnega silogizma torej grem na vlak. Po pravilu modus ponens pa to pomeni, da preberem časnik. Torej je sklep, da preberem časnik, pravilen.

23 1.3. LOGIČNE IMPLIKACIJE IN SKLEPANJE 19 Poiščimo še formalen dokaz pravilnosti zgornjega sklepa, to je, pokažimo, da je izjava Prebral bom časnik logična posledica predpostavk. Očitno v sklepanju nastopajo naslednje enostavne izjave: a Grem na avtobus. v Grem na vlak. z Zamudim službo. k Imam čas za kosilo. c Preberem časnik. Da je zgornji sklep pravilen, lahko torej z upoštevanjem zgornjega dogovora formalno dokažemo takole: 1. a z predp 2. a v predp 3. z k predp 4. v c predp 5. k predp 6. k 5 7. z MT (3, 6) 8. a MT (1, 7) 9. v DS(2, 8) 10. c MP (4, 9) Kot smo omenili že zgoraj, bi lahko veljavnost sklepa, da je izjava c logična posledica predpostavk, pokazali tudi tako, da bi zapisali resničnostno tabelo za izjavo (a z) (a v) (z k) (v c) k c in se s tem prepričali, da gre za tavtologijo. A pripadajoča resničnostna tabela bi imela 32 vrstic, kar bi zagotovo vzelo bistveno več časa kot zgornji premislek. Zgled: Denimo, da so resnične trditve: Če grem z vlakom, potem iz dejstva, da zjutraj popijem čaj, sledi, da ne grem z avtom. Grem z avtom ali vlakom. Če grem v posteljo pozno, zjutraj ne popijem čaja. Ali je tedaj sklep, da v primeru, ko popijem čaj, grem z vlakom, pravilen? Kaj hitro ugotovimo, da pravilnosti sklepa ne moremo dokazati. Pokažimo, da sklep ni pravilen. To dosežemo tako, da poiščemo take vrednosti enostavnih izjav, ki nastopajo v zgornjih sestavljenih izjavah, da bodo vse predpostavke resnične, izjava Če popijem čaj, grem na vlak. pa bo neresnična. Če naj bo to res, mora veljati, da ne grem na vlak, grem z avtom, zjutraj popijem čaj in ne grem pozno v posteljo. Hitro se prepričamo, da so v tem primeru vse predpostavke res resnične, izjava Če popijem čaj, grem na vlak. pa ni resnična. Da dokažemo, da nek sklep ni pravilen, je torej dovolj najti take vrednosti enostavnih izjav, ki sestavljajo predpostavke in zaključek, da so vse

24 20 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE predpostavke pravilne, izjava, ki naj bi iz njih sledila, pa ne. Oglejmo si za konec razdelka še primer malce bolj netrivialnega sklepa. Zgled: Denimo, da so resnične izjave: v p, t s, p q r s, t u v z, s in q (z s). Ali smemo od tod sklepati na resničnost izjave r? 1. v p predp 2. t s predp 3. p q r s predp 4. t u v z predp 5. s predp 6. q (z s) predp 7. t DS(2, 5) 8. t u P r(7) 9. v z MP (4, 8) 10. v P o(9) 11. p MP (1, 10) 12. z P o(9) 13. z s Zd(5, 12) 14. ( z s) (z s) q MT (6, 15) 17. q p q Zd(11, 17) 19. r s MP (3, 18) 20. r DS(5, 19) Naloga Vaš prijatelj Janko se zelo navdušuje nad delom nekega precej svojevrstnega slikarja. Na vseh svojih slikah uporablja le modro, rdečo in zeleno barvo. No, da je stvar še toliko bolj nenavadna, ima hkrati še naslednje muhe. Če na sliki uporabi modro in rdečo, uporabi tudi zeleno. Če uporabi rdečo ali zeleno, uporabi tudi modro. Na isti sliki nikoli ne uporabi tako modre kot zelene. Vedno uporabi vsaj eno izmed modre in rdeče. Lahko na podlagi tega vašemu prijatelju Janku kaj poveste o tem, kakšne barve bodo na njegovi novi sliki, ki jo namerava kupiti? Naloga V vsakem izmed spodnjih primerov so podane izjave p, q in r. Če vam nekdo pove, da sta izjavi p in q resnični, ali smete kaj sklepati o resničnosti izjave r? 1. primer: p Če bo jutri deževalo, grem v službo z avtobusom. q Jutri grem v službo s kolesom. r Jutri ne bo deževalo.

25 1.4. KVANTIFIKATORJI primer: Naj bosta a in b realni števili. p Če je a > 10, je b < 3/2. q b = 1. r a > primer: Naj bosta zopet a in b realni števili. p Če je a < b, je a2 < b 2. q b < a. r b 2 < a primer: Naj bodo a, b in c realna števila. p Če je b > a in b > 0, je b > c. q b c. r b a ali b 0. Naloga Denimo, da so za naravno število n resnične vse naslednje izjave: Če število n ni praštevilo, je deljivo s 7. Število n je liho ali ni deljivo s 7. Število n je praštevilo ali je večje od 100. Če je število n liho, potem je praštevilo, poleg tega pa je še večje od 100 ali deljivo s 7. Ali smemo tedaj sklepati, da je število n praštevilo? Smemo sklepati, da je deljivo s 7? Naloga Denimo, da so resnične predpostavke p (q r), q, t p, s p r t in t q. Ali smemo tedaj sklepati, da je izjava p neresnična? Ali lahko sklepamo o resničnosti izjave s? 1.4 Kvantifikatorji Množicam se bomo sicer precej podrobno posvetili kasneje, ko bomo govorili tudi o aksiomatski teoriji množic, ker pa bomo z nekaterimi osnovnimi množicami delali tudi v tem razdelku, se za potrebe tega razdelka dogovorimo, da običajno množico razumemo kot skupek nekih reči, označujemo pa jih z velikimi latinskimi črkami, na primer, A, B, C, itd. Rečem, ki dano množico sestavljajo, rečemo elementi te množice, izjavo, da je reč a element množice A, pa označimo z zapisom a A. Negacijo te izjave, torej izjavo, da a ni element množice A, označimo z zapisom a / A. Ko opazujemo elemente neke množice A, nas lahko zanima, kateri njeni elementi imajo določeno preučevano lastnost, recimo L. Da bi bilo o tem sploh smiselno govoriti, mora veljati, da za vsak element a A lahko presodimo, če ima lastnost L ali ne. V tem primeru (ko torej za poljuben element množice A velja, da bodisi ima ali pa nima lastnosti L) pravimo, da je L smiselna lastnost za elemente množice A. Tako je na primer praštevilskost

26 22 POGLAVJE 1. OSNOVE MATEMATIČNE LOGIKE smiselna lastnost za naravna števila, ne pa tudi za realna števila, saj brez dodatnega dogovora ni jasno, kdaj naj bi bilo neko realno število praštevilo in kdaj ne. Naj bo sedaj L neka smiselna lastnost za elemente množice A. Tedaj izjavo a ima lastnost L krajše zapišemo z L(a) (izjavo a nima lastnosti L pa seveda z L(a)). Funkciji L pravimo (enomestni) predikat na množici A. Kot vidimo, torej enomestni predikati na nek način ustrezajo lastnostim. Zato smo včasih malce površni in ne razlikujemo med predikatom L in lastnostjo L. Ponavadi pri obravnavi določene matematične teme govorimo le o elementih neke v naprej določene množice. Govorimo lahko na primer o naravnih številih, ali pa o realnih zaporedjih. Da ni treba ves čas ponavljati, o elementih katere množice je govora, zato običajno to jasno povemo na samem začetku. Pravimo, da smo določili domeno pogovora. Včasih želimo povedati, da imajo dano lastnost vsi elementi iz domene pogovora, spet drugič pa želimo povedati, da ima to lastnost vsaj en element domene pogovora. S tem nekaj povemo o kvantiteti elementov, ki imajo dano lastnost, zato pripadajoča znaka, ki ju uporabljamo za zapise takih izjav, imenujemo kvantifikatorja. Mi bomo spoznali le univerzalni in eksistenčni kvantifikator, ki sta daleč najbolj pogosto uporabljana. S tem, ko dopuščamo predikate in kvantifikatorje, nismo več v okvirih navadnega izjavnega računa, ampak vstopimo v predikatni račun, oziroma logiko prvega reda, ki sta jo osnovala predvsem Frege in Peirce. Definicija. Naj bo A domena pogovora in naj bo L enomestni predikat, ki predstavlja smiselno lastnost L za elemente domene pogovora A. Tedaj izjavo Vsi elementi domene pogovora imajo lastnost L. v jeziku logike prvega reda zapišemo kot a: L(a). Znak imenujemo univerzalni kvantifikator. Izjavo Nekateri elementi domene pogovora imajo lastnost L. zapišemo kot a : L(a). Kvantifikator je eksistenčni kvantifikator. Če se v naprej ne dogovorimo za domeno pogovora, lahko zgornji izjavi zapišemo v obliki a A : L(a), oziroma a A : L(a). Omeniti velja, da so matematiki pojem kvantifikatorjev začeli uporabljati šele od sredine 19. stoletja naprej. O njih je sicer v svoji knjigi iz leta 1827 govoril že botanik George Bentham, a njegova knjiga ni dosegla večjega odmeva. Med matematiki sta kvantifikatorje v drugi polovici 19. stoletja omenjala predvsem Hamilton in DeMorgan, medtem ko je Frege v svoji knjigi Begriffsschrift iz leta 1879 govoril tudi že o predikatih in domenah pogovora. Še bolj so kvantifikatorji stopili v veljavo po letu 1903, ko je Russell objavil svojo knjigo Principles of mathematics. Kot zanimivost omenimo še dejstvo, da so se znaki za eksistenčni in univerzalni kvantifikator skozi čas spreminjali. Tako se je na primer znak za univerzalni kvantifikator dokončno uveljavil šele v drugi polovici 20. stoletja.