Sklepanje je torej tudi interpretacija stavka predstavljena kot sekvenca instanc pravil.
|
|
- Ἰάκωβος Βιτάλη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavje 2 SKLEPANJE Teorija je definirana z množico pravil. Pravila lahko definirajo preverjanje tipov stavka danega jezika, definirajo interpretacijo jezika,... Sklepanje predstavimo s sekvenco aplikacij pravil na stavku, ki je podan kot vhodni parameter. Sklepanje je torej predstavljeno s sekvencami instanc pravil. Vse instance pravil predstavljajo interpretacijo jezika, vsa možna obnašanja programov. Sklepanje je torej tudi interpretacija stavka predstavljena kot sekvenca instanc pravil. Sekvenca instanc pravil lahko predstavlja: preverjanje strukture stavkov, preverjanje tipov stavkov, interpretacija stavkov, itd. 2.1 Objekti in sodbe Sodba je izjava o objektih, ki jih opazujemo. Izraz sodba velikokrat zamenjamo z izrazom izjava. 19
2 20 POGLAVJE 2. SKLEPANJE Uporabljali bomo najrazličnejše oblike sodb: n nat n je naravno število n = n 1 + n 2 n je vsota n 1 in n 2 a ast a je abstraktno sintaksno drevo T type T je tip e : T izraz e je tipa T e v izraz e ima vrednost v (2.1) Sodba (izjava) pravi, da ima eden ali več objektov neko lastnost ali obstaja razmerje med objekti Lastnost sodbe ali samo relacijo definirano s sodbo imenujemo forma sodbe. Sodba o konkretnem objektu je instanca forme sodbe. Formo sodbe imenujemo tudi predikat in objekte, ki sodelujejo subjekti. Metaspremenljivko P bomo uporabili za nespecificirano obliko sodbe in meta-spremenljivke a, b, c,... za nespecificirane objekte. Zdaj lahko napišemo a P, kar pomeni da ima a lastnost P. Ko ni pomembna vsebina sodbe uporabimo meta-spremenljivko J, ki določa nespecificirano sodbo. Namerno bomo predstavili univerzum objektov bolj splošno. objekt, ki ga definiramo s končnim postopkom. Dovolimo katerikoli Predpostavimo, da unverzum vsebuje vse objekte, ki jih je možno kreirati kot n-terico (a 1,a 2,...,a n ) objektov a i. Predpostavimo tudi, da univerzum vsebuje neskončno simbolov, ki so zaprti za označevanje.
3 2.2. PRAVILA SKLEPANJA Pravila sklepanja Pravila služijo kot osnoven način za opisovanje pomena programskih jezikov. V zadnjih desetletjih so se pravila zelo različno obravnavala: od enostavnih prehodov med stanji tranzicijskega sistema, pravil operacijske semantike, ki prav tako predstavljajo prehode med različnimi stanji, do pravil LF, ki so zapisane v logiki višjega reda. Pravila lahko obravnavamo kot logično implikacijo. Osnova semantike programskih jezikov je torej spet logika! Izrazna moč pravil je ključnega pomena pri opisovanju semantike jezikov. Tukaj si bomo ogledali pravila, ki imajo zelo splošno obliko. Pravila obravnavamo kot induktivne definicije forme sodbe. Definicija forme sodbe J je sestavljena iz množice pravil oblike: a 1 J a 2 J...a k J a J (2.2) Izjavo nad črto imenujemo premisa. Izjavo pod črto imenujemo posledica. Če pravilo nima premis ga imenujemo aksiom. Pravilo beremo kot logično implikacijo, kjer so premise zadosten pogoj za sklepanje na posledico pravila. Da bi pokazali a J je zadosti pokazati a 1 J,... Lahko imamo več pravil z isto posledico vsako s svojimi premisami. V primeru, da velja posledica ni nujno, da veljajo premise vseh pravil. Pravimo, da je sodba J zaprta za dano pravilo, če in samo če izjave a 1 J,...,a k J implicira a J. Forma sodbe je definirana z indukcijo nad pravili. Pravila so potreben kot tudi zadosten pogoj za sklepanje na posledico na osnovi premis.
4 22 POGLAVJE 2. SKLEPANJE Primer Induktivna definicija sodbe a nat. zero nat a nat succ(a) nat (2.3) Primer Iduktivna definicija forme sodbe za drevo. empty tree a tree b tree node(a, b) tree (2.4) Primer Induktivna definicija enakosti naravnih števil. zero = zero nat a = b nat succ(a) = succ(b) nat (2.5) Primer Podobno je definirana induktivno enakost nad drevesi. empty = empty tree a 1 = b 1 tree a 2 = b 2 tree node(a 1,a 2 ) = node(b 1,b 2 ) tree (2.6) Spremenljivke a in b imenujemo metaspremeljivke. Domena metaspremenljivk so objekti, ki so predmet definicije. Pravila so torej sheme, ki stojijo za neskončno mnogo konkretnih objektov. 2.3 Izpeljave Pravilnost induktivne definicije sodbe lahko pokažemo tako, da konstruiramo drevo izpeljave. Drevo izpeljave dobimo s kompozicijo pravil, ki se začnejo z aksiomi in se zaključijo v sodbi.
5 2.3. IZPELJAVE 23 Struktura izpeljave je drevo, ki je prikazano kot kopica s pravili naloženimi eno na drugo. Naj bo a 1 J...a k J a J (2.7) pravilo izpelave in naj bodo 1... k izpeljave premis, potem je 1... k a J (2.8) izpeljava posledice pravila aj. Na primer, izpeljava succ(succ(succ(zero)))nat izgleda takole: zero nat succ(zero) nat succ(succ(zero)) nat succ(succ(succ(zero))) nat (2.9) Podobno predstavlja naslednji izraz izpeljavo node(node(empty, empty), empty) tree: empty tree empty tree node(empty, empty) tree empty tree node(node(empty, empty), empty) tree (2.10) Da bi pokazali, da je neka izjava pravilna moramo poiskati izpeljavo. Obstajata dve glavni metodi za izpeljave izrazov: veriženje naprej ali konstrukcija od spodaj navzgor in veriženje nazaj oz. konstrukcija od zgoraj navzdol. Veriženje naprej začne z aksiomi in napreduje proti ciljnemu izrazu, medtem ko veriženje nazaj začne z izrazom in napreduje proti aksiomom.
6 24 POGLAVJE 2. SKLEPANJE Pri sklepanju naprej začnemo s prazno množico in iterativno širimo množico z uporabo pravil - posledico pravila dodamo množici v primeru, da se premise ujemajo. Proces se konča, ko je željena sodba v množici. Če uporabljamo vsa pravila pri enem koraku postopka potem pričakujemo, da bomo našli izpeljavo, ne moremo pa zagotovo trditi, da bomo izpeljavo našli. Takšen postopek iskanja ni odločljiv (decidable). Postopek izpeljave lahko dodaja posledice k množici, brez da bi prišel do izpeljave. Odločljivost posameznih izrazov lahko definiramo samo na osnovi poznavanja strukture jezika in splošnih lastnosti jezika. Veriženje naprej je neusmerjeno iskanje, ker pri izvajanju koraka postopka ne upoštevamo cilj izpeljave. Veriženje nazaj usmerjeno iskanje saj algoritem usmerjajo komponente ciljnega izraza. Na vsaki fazi algoritma imamo seznam ciljev za katere iščemo izpeljave. Začetno vsebuje seznam samo ciljno izjavo. Vsaka faza odstani izjavo iz vrste in jo nadomesti s premisami pravil katerih posledica je dan cilj. Proces se konča, ko je vrsta prazna in smo dosegli vse cilje. Enako kot pri veriženju naprej se nam lahko zgodi tudi pri veriženju nazaj, da ne uspemo najti izpeljave. V splošnem ne obstaja algoritmična metoda, ki bi nam povedala, da se neka izjava da izpeljati. Seznam ciljev se nam lahko širi ne da bi prišli do točke, kjer lahko rečemo, da je začetni cilj dosežen. 2.4 Indukcija pravil Induktivno definirana sodba drži samo v primeru, da imamo kakšno izpeljavo s pravili. Lastnosti sodb lahko dokažemo z uporabo indukacije pravil ali indukcije na izpeljavah.
7 2.4. INDUKCIJA PRAVIL 25 Napišemo P(J), če hočemo povedati, da lastnost P velja, če je sodba J izpeljiva. Če hočemo pokazati, P velja za vse izpeljive sodbe J je zadosti, da pokažemo, da je P zaprta za pravila, ki definirajo J. Za vsako pravilo oblike J 1...J k J (2.11) velja if P(J 1 )...P(J k ), then P(J) (2.12) Konjunkcije lastnosti P(J 1 ),...,P(J k ) imenujemo induktivne hipoteze. Dokaz implikacije same imenujemo induktivni korak. Opazka Princip indukacije pravil je izraz dejstva, da je sodba J induktivno definirana z množico pravil in je najmočnejša sodba zaprta z danimi pravili. J je lahko izpeljiva samo zato, ker obstaja pravilo, kjer je J posledica in je vsaka premisa v pravilu tudi izpeljiva. Po principu indukcije lahko predpostavljamo, da P velja za vse premise in potem pokažemo, da P velja tudi za J. Če to naredimo za vsako pravilo, potem P mora veljati za vse sodbe J, ki so izpeljive. V primeru, da pravilo nima premis potem velja P brez pogojev. Če je P(J) zaprta za množico pravil, ki definirajo sodbo J, potem to velja tudi za Q(J) = P(J) J. J je zaprta tudi za pravila, ki jo definirajo.
8 26 POGLAVJE 2. SKLEPANJE To pomeni, da lahko v vsakem indukcijskem koraku predpostavimo, da velja J i in P(J i ) za vsako od premis pravila za izpeljavo P(J) kot posledico. Poglejmo si še notacijo. Če ima J obliko C za nek predikat C, včasih napišemo PC(a), ali samo P(a), namesto P(a C) pri uporabljanju indukcije v dokazu. Za specifične lastnosti P pogosto uporabljamo ad-hoc notacijo katere pomen je razviden iz konteksta. Zdaj lahko začnemo z uporabo indukije za dokazovanje lastnosti sodb. Poglejmo si nekaj primerov. Primer Pri specializaciji na pravila 2.3 princip indukcije pravi, da je za veljavnost P(a nat) vedno ko a nat zadosti pokazati: 1. P(zero nat). 2. P(succ(a) nat), pri predpostavki P(a nat). To je soroden princip matematični indukciji in poseben primer indukcije pravil. Primer Podobno velja tudi pri indukciji po pravilih 2.4 velja, da če želimo pokazati P(a tree) vedno ko a tree, je zadosti pokazati: 1. P(empty tree). 2. P(node(a1;a2) tree), če predpostavimo P(a 1 tree) in P(a 2 tree). To imenujemo princip indukcije nad drevesi, ki je tudi primer indukcije pravil. Poglejmo si primer dokaza refleksivnosti enakosti naravnih števil z indukcijo nad pravili 2.3. Lema Če a nat, potem a = a nat.
9 2.4. INDUKCIJA PRAVIL 27 Dokaz. Uporabili bomo indukcijo na osnovi pravil 2.5. Najprej vidimo na osnovi pravila 2.5a, da velja zero = zero nat. Predpostavimo zdaj, da velja a = a nat. succ(a) = succ(a) nat. Pravilo 2.5b pravi, da potem velja tudi Poglejmo si še en primer uporabe indukcije pravil. Pokazali bomo, da je predhodnik naravnega števila tudi naravno število. Dokaz je enostaven, želimo pa pokazati kako je lastnost izpeljana iz začetnih principov. Lema Če succ(a) nat, potem a nat. Dokaz. Poglejmo najprej osnovo. V primeru, da je succ(zero) naravno število, potem je zero naravno število po aksiomu 2.3a. Predpostavimo zdaj, da imamo neko poljubno naravno število succ(a). To naravno število je lahko nastalo samo z uporabo pravila 2.3b, kar pomeni, da velja a nat. Pokažimo zdaj, da je operacija naslednik injektivna. Lema Če succ(a 1 ) = succ(a 2 ) nat, potem a 1 = a 2 nat. Dokaz. Trditev je koristno prepisati tako, da bomo lažje uporabljali indukcijo pravil. Pokazali bomo da če velja b 1 = b 2 nat in če velja da b 1 je succ(a 1 ) in b 2 je succ(a 2 ), potem velja a 1 = a 2 nat. Uporabili bomo indukcijo po pravilih 2.5: Poglejmo najprej primer, ko je b 1 = succ(zero) in b 2 = succ(zero). Pravilo 2.5a pravi, da velja zero = zero nat.
10 28 POGLAVJE 2. SKLEPANJE Če predpostavimo premiso b 1 = b 2 nat, potem pokažemo da: če succ(b 1) je succ(a 1 ) in succ(b 2) je succ(a 2 ), potem predpostavimo, da b 1 = b 2 nat in po drugem pravilu 2.5 velja tudi succ(b 1) = succ(b 2) nat. Torej velja b 1 = a 1 in b 2 = a 2 in tudi a 1 = a 2 nat, ker b 1 = b Iterativne in simultane indukcijske definicije Induktivne definicije so pogosto podane iterativno: ena induktivna definicija je definirana skupaj z drugo. Primer Naslednji definiciji opišeta sodbo alist, ki pravi da je a seznam naravnih števil. nil list a nat b list cons(a, b) list (2.13) (2.14) Drugo pravilo vsebuje kot premiso sodbo a nat, ki je definirana hkrati. Simultana indukcijska definicija množice sodb J 1,J 2,...,J n je opisana z množico med sabo povezanih pravil. Pravila definirajo vse sodbe hkrati. Vsako pravilo lahko referencira katerokoli sodbo, ki se definira. Primer Poglejmo si naslednja pravila, ki hkrati (simultano) induktivno definirajo sodbe a even, ki pravi, da je a sodo naravno število, in sodba a odd, ki pravi, da je a liho naravno število: zero even a odd succ(a) even (2.15) (2.16)
11 2.4. INDUKCIJA PRAVIL 29 a even succ(a) odd (2.17) Primer Poglejmo si še en primer. Princip indukcije za ta pravila pravi, da bi pokazali P(a even) vedno ko velja a even in P(a odd) vedno ko velja a odd, je zadosti, da bi pokazali naslednje: 1. P (zero even); 2. če P(a odd), potem P(succ(a) even); 3. če P(a even), potem P(succ(a) odd). Ko prepišemo izraza z Peven(a) in P odd (a), so pogoji naslednji: 1. Peven(zero); 2. če P odd (a), potem Peven(succ(a)). 3. če Peven(a), potem P odd (succ(a)); Definicija funkcij s pravili Pogosto uporabimo induktivne definicije za opis grafa, ki predstavlja funkcijo. Graf predstavlja razmerje med vhodi in izhodi s pomočjo premis in posledic pravil. En način za definicijo seštevanja naravnih števil je induktivna definicija sodbe sum(a, b, c), katere pomen je c = a + b. b nat sum(zero, b, b) (2.18) sum(a,b,c) sum(succ(a), b, succ(c)) (2.19)
12 30 POGLAVJE 2. SKLEPANJE Pokazati želimo, da je c enolično določen z a in b. Izrek Za vsak a nat in b nat obstaja natančno en c nat, kjer velja c = a + b. Dokaz. Veljati mora, da za vsak a nat in b nat obstaja natančno ena vrednost c nat, tako da sum(a,b,c). Dokaz se sestoji iz dveh delov: 1. (obstoj) Če a nat in b nat potem obstaja c nat tako, da velja sum(a,b,c). 2. (enoličnost) Če a nat in b nat potem obstaja natančno en c nat tako, da velja sum(a, b, c). Pokažimo najprej obstoj. Naj bo P(a nat) izjava: če b nat potem obstaja c nat tako, da sum(a,b,c). Dokažemo, da če velja a nat potem velja P(a nat) z indukcijo po pravilih Imamo dva primera. Pokažimo najprej P(zero nat). Če predpostavimo b nat in če vzamemo da je c enak b potem dobimo sum(zero,b,c) po pravilu 2.18a. Predpostavimo zdaj, da P(a nat), in pokažimo, da velja P(succ(a) nat). Ker P(a nat) velja in velja tudi b nat potem po predpostavki obstaja c tako da sum(a,b,c). Če zdaj apliciramo pravilo 2.18b potem velja sum(succ(a), b, succ(c)), torej velja tudi P(succ(a) nat). Pokažimo se unikatnost vrednosti c. Dokažemo, da če velja sum(a,b,c 1 ) in sum(a,b,c 2 ), potem velja c 1 = c 2 nat po indukciji na osnovi pravil Poglejmo najprej idukcijsko osnovo. Naj bo a = zero in c 1 = b. Pravilo 2.18a pravi, da potem velja sum(zero,b,b) torej c 1 = c 2 = b. In še indukcijski korak. Predpostavimo, da unikatnost vrednosti velja za vsoto a in b: sum(a,b,c), kjer je c enoličen. Z uporabo pravila 2.18a velja isto tudi za naslednika a: vsota succ(a) in b je succ(c) oz. sum(succ(a), b, succ(c)), kjer je succ(c) enoličen.
13 2.5. HIPOTETIČNE SODBE Hipotetične sodbe Kategorična sodba je brezpogojna izjava o nekem objektu univerzuma. Hipotetična sodba je sestavljena na osnovi ene ali več hipotez ali predpostavk, ki izpeljejo zaključek. Ogledali si bomo dve vrsti hipotetičnega sklepanja: izpeljevanje in dopustno sklepanje Izpeljivost Ena forma hipotetičnega sklepanja izraža izrazljivost posledic iz danih predpostavk ali hipotez. Takšno sklepanje ima naslednjo obliko. A 1,...,A n A. (2.20) Izjave A 1,...,A n so hipoteze in A predstavlja posledico. Pomen zgornje izjave: lahko izpeljemo A s kompozicijo pravil začevši z danimi predpostavkami kot začasnimi aksiomi. Z drugimi besedami, dokaz za pravilnost hipotetične sodbe je izpeljava zaključka s pomočjo instanc pravil iz danih predpostavk. Primer Hipotetična sodba a nat succ(succ(a)) nat (2.21) Premiso a nat uporabimo kot aksiom iz katerega izpeljemo posledico succ(succ(a)) nat na osnovi pravil 2.3. Tole je izpeljava posledice.
14 32 POGLAVJE 2. SKLEPANJE a nat succ(a) nat succ(succ(a)) nat succ(succ(succ(a))) nat (2.22) Zanimivo je, da je izpeljava popolnoma neodvisna od začetnega objekta a. Lahko bi vzeli namesto a nek poljuben objekt, npr. smet, in izpeljali naslednjo izjavo. smet nat succ(succ(smet)) nat (2.23) Sodbo smet nat vzamemo kot aksiom iz katerega izpeljemo stavek z uporabo pravil za definicijo naravnih števil. Poglejmo si nekaj strukturnih lastnosti izpeljav. Refleksivnost. Vsaka sodba je posledica same sebe: A A. Posledica je upravičena sama s seboj kot aksiom. Omejevanje. Če Γ A potem velja tudi Γ,A A. Izpeljava A uporablja pravila iz Γ in se ne spremeni ob dodajanju novih sodb. Tranzitivnost. Če Γ,A A in Γ A potem Γ,Γ A. Če dodamo dokaze za neko hipotezo premisi potem ta sodba (hipoteza) ni več potrebna med premisami. Strukturne lastnosti se dajo izraziti kot pravila izpeljave, ki jih imenujemo strukturna pravila izpeljave. Γ,A A Γ A Γ,A A Γ A Γ,A A Γ A (2.24) (2.25) (2.26)
15 2.5. HIPOTETIČNE SODBE 33 Izpeljivost je relativno močen pogoj, ki je stabilen za razširjanje množice pravil, ki definirajo sodbo. Če je pravilo izpeljivo iz danih pravil potem je izpeljivo tudi iz razširjene množice. Dodatna pravila torej ne spremenijo obstoječih izpeljav. Te lastnosti nima forma sklepanja, ki jo bomo ogledali v naslednji temi. Teorija domen predstavlja več o urejenosti in strukturnih lastnostih prostora sodb. Predstavljena bo v enem od naslednjih poglavij Dopustno sklepanje Druga oblika hipotetičnega sklepanja je dopustno sklepanje. J = K (2.27) Sodba K je izpeljiva na osnovi danih pravil vedno, ko je sodba J izpeljiva z isto množice pravil. Dopustno sklepanje je enostavno pogojna izjava, ki pravi, da če je sodba J izpeljiva s pravili, potem je tudi sodba K. Kot pri sklepanju z izpeljavo lahko tudi tukaj iteriramo dopustno sodbo tako, da zapišemo J 1,...,J n = J, kar pomeni, če je J 1 izpeljiva,..., J n izpeljiva, potem je tudi J izpeljiva. Pravimo, da je naslednje pravilo dopustno, če in samo če J 1,...,J n = J. J 1,...,J n J (2.28)
16 34 POGLAVJE 2. SKLEPANJE Primer Za poljuben a nat velja naslednja dopustna izpeljava. succ(a) nat = a nat (2.29) Izjava je veljavna glede na pravila (2.3). To lahko pokažemo z indukcijo. Če velja succ(a) nat potem je moralo biti pri izpeljavi succ(a) nat uporabljeno drugo pravilo (2.3b). Toda potem mora veljati tudi a nat, ker je premisa pravila. Dopustno sklepanje je striktno šibkejše od izpeljevanja. Če velja J 1,...,J n J potem velja tudi J 1,...,J n = J. Obratno sploh ni nujno, da velja. Poglejmo dokaz v levo stran. Če predpostavimo J 1,...,J n J, potem so J 1,...,J n izpeljivi s pravili zapisano J 1,..., J n. Če upoštevamo pravila oslabitve in tranzitivnost, dobimo J, kar pomeni, da je J izpeljiv iz originalnih pravil. Po drugi strani velja, da succ(a) nat a nat: ne obstaja način po katerem bi s pravili izpeljali a nat iz succ(a) nat. Definicija dopustnega sklepanja pogojuje enake strukturne lastnosti kot hipotetično sklepanje. Veljajo naslednje lastnosti: refleksivnost, omejevanje in tranzitivnost. Za razliko od hipotetičnega sklepanja, dopustno sklepanje je občutljivo na dodajanje pravil. Recimo, da smo razširili pravila (2.3) z naslednjim pravilom: succ(smet) nat (2.30) S to razširitvijo pravil ne velja več succ(a) nat = a nat, ker se novo dodano pravilo ujema z succ(a) nat v posledici, ne obstaja pa premisa, ki katere pravilnost bi dopustila a nat.
17 2.6. OPOMBE Opombe Poglavje vsebuje prevode izbranih sekcij iz učbenika Practical Foundations for Programming Languages [5] avtorja Roberta Harperja.
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραPoglavje Uvod. the next 700 languages turn out to be, they will surely be variants of lambda calculus.
Poglavje 6 Λ-RAČUN 6.1 Uvod Lambda račun (λ-račun) je razvil leta 1930 Alonzo Church. Uporabljen je bil leta 1936 kot osnovni jezik v slavnem članku o obstoju neodločljivega problema (Entscheidungsproblem).
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραPredikatni račun 1 - vsebina
Predikatni račun 1 - vsebina 1. Domena in predikati; 2. Kvantifikatorji; 3. Sintaksa predikatnega računa; 4. Zaprte izjavne formule; 5. Interpretacija oz. semantika predikatnega računa; 6. Tavtologije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραPosplošena električna dominacija
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Aleš Omerzel Posplošena električna dominacija DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραTRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008
TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραNormalizacija. Iztok Savnik, FAMNIT. npb7, normalizacija
Normalizacija Iztok Savnik, FAMNIT Problem redundance Redundantnost je vzrok za vrsto problemov relacijskih podatkovnih baz: redundantni podatki, anomalije pri insert/delete/update. Integritetne omejitve
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO. Petra MATEMATIKA I
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek, Matevž Črepnjak Visokošolski učbenik z rešenimi nalogami MATEMATIKA I Maribor 03 Naslov publikacije: Visokošolski
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραVERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότερα