1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï"

Transcript

1 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò á í = á + (í )ù = 7 + (í ) 3 = 7 + 3í 3 = 3í + 4, äçëáäþ ï íéïóôüò üñïò åßíáé ï á í = 3í + 4, í N*. ii) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù =. Óõíåðþò á í = á + (í )ù = + (í ) = + í = í + 9, äçëáäþ ï íéïóôüò üñïò åßíáé ï á í = í + 9, í N*. iii) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 5 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò á í = á + (í )ù = 5 + (í ) ( 3) = 5 3í + 3 = 8 3í, äçëáäþ ï íéïóôüò üñïò åßíáé ï á í = 3í + 8, í N*. iv) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù =. 4 í í+ 3 Óõíåðþò áí = á + (í )ù = + (í ) = + =, äçëáäþ ï í+ 3 íéïóôüò üñïò åßíáé ï á í =, í N*. v) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 6 êáé äéáöïñü ù = 3.

2 8 ÁËÃÅÂÑÁ ÊÁÉ ÓÔÏÉ ÅÉÁ ÐÉÈÁÍÏÔÇÔÙÍ Óõíåðþò áí = á + (í )ù = 6 + (í )( 3) = 6 3í + 3 = 3 3í, äçëáäþ ï íéïóôüò üñïò åßíáé ï áí = 3í 3, í N*.. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 5 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù = 5. Óõíåðþò: á í = á + (í )ù = + (í ) 5 = + 5í 5 = 5í 7, í N*. Ôüôå á 5 = = 75 7 = 68. ii) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 7 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù = 7. Óõíåðþò: á í = á + (í )ù = + (í ) 7 = + 7í 7 = 7í + 4, í N*. Ôüôå á 0 = = = 44. iii) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 4 êáé äéáöïñü ù =. Óõíåðþò: á í = á + (í )ù = 4 + (í ) = 4 + í = í 7, í N*. Ôüôå á 30 = 30 7 = = 33. iv) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 8 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 8. Óõíåðþò: á í = á + (í )ù = 7 + (í ) 8 = 7 + 8í 8 = 8í + 9, í N*. Ôüôå á 35 = = = 89. v) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù =. 3

3 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 9 3 í í+ Óõíåðþò áí = á + (í )ù = + (í ) = + =, Ôüôå á 50 = = vi) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 4 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 3 êáé äéáöïñü ù = í 3 3í Óõíåðþò áí = á + (í )ù = + (í ) = + =, Ôüôå á47 = = = óôù á í ç áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå äéáöïñü ù êáé íéïóôü üñï á í = á + (í )ù, í N*. á6 = á + 5ù= á + 5ù= i) á0 = 6 á + 9ù= 6 á + 9ù á 5ù = 6 á = 5ù á = 5ù á = 5 á = 7. 4ù = 4 ù= ù= ù= á5 = 4 á + 4ù= 4 á + 4ù= 4 ii) á = 4 á + ù= 4 á + ù á 4ù= 4 4 á = 4 4ù á = 4 4ù á = á =. 7ù = 8 ù= 4 ù= 4 ù= 4 á3 = 0 á + ù= 0 á + ù= 0 iii) á7 = 3 á + 6ù= 3 á + 6ù á ù = 3 0 í N*. á = 0 ù á = 0 ù á = 0 3 á = 4. 4ù = ù= 3 ù= 3 ù= 3 í N*.

4 0 ÁËÃÅÂÑÁ ÊÁÉ ÓÔÏÉ ÅÉÁ ÐÉÈÁÍÏÔÇÔÙÍ 4. óôù á í ç áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå äéáöïñü ù êáé íéïóôü üñï á í = á + (í )ù, í N*. á5 = 5 á + 4ù= 5 á + 4ù= 5 i) á5 = á + 4ù = á + 4ù á 4ù = á = 5 4 á = = á = 5 4ù ù = ù = ù = í 65 Óõíåðþò á í = + (í ) =, á 50 = = =. 0 0 á7 = 55 á + 6ù= 55 á + 6ù= 55 ii) á = 45 á + ù = 45 á + ù á 6ù = á = 55 6ù á = 55 6ù á = á = 9. 5ù = 90 ù= 6 ù= 6 ù= 6 Óõíåðþò áí = 9 + (í ) 6 = 6í + 3, í N*, êáé á8 = =. í N*, êáé 5. óôù á í ç áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå äéáöïñü ù êáé íéïóôü üñï á í = á + (í )ù, í N*. i) ïõìå Áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: á í = 97 5í 3 = 97 5í = 00 í = 0, äçëáäþ á 0 = 97 ii) ïõìå áí = 80 + (í ) ( 3) = 80 3í+ 3= 3í+ 83, í N*. Áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: áí = 97 áí = + (í ) 5= + 5í 5= 5í 3, äçëáäþ á 60 = 97. 3í + 83 = 97 3í = 80 í N*. í= 60,

5 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 6. i) Áí x åßíáé ï áñéèìçôéêüò ìýóïò ôùí 0, 40, éó ýåé: 0 + ( 40) 30 x = = = 5. ii) (3x ) = 5x + + 6x 4 = 5x + 6x 5x = + 4 x = óôù x, y ïé äýï æçôïýìåíïé áñéèìïß, ìå x > y. x y= 0 x y= 0 x y= 0 Ôüôå x + y = 5 x + y = 50 x + y + x y = y= x 0 y= x 0 y= 30 0 y= 0. x = 60 x = 30 x = 30 x = i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù =. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 40 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 40, ïðüôå: á + (40 )ù Ó40 = 40 = 40 = =.840. ii) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 0 êáé äéáöïñü ù =. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 40 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 40, ïðüôå: á + (40 )ù Ó40 = 40 = 40 = =.560. iii)êüèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 4 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 6 êáé äéáöïñü ù = 4. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 40 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 40, ïðüôå: á + (40 )ù Ó40 = 40 = 40 = = iv) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 5 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 5. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 40 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 40, ïðüôå: á + (40 )ù ( 7) Ó40 = 40 = 40 = 8 0 = 3.60.

6 ÁËÃÅÂÑÁ ÊÁÉ ÓÔÏÉ ÅÉÁ ÐÉÈÁÍÏÔÇÔÙÍ 9. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù = 3. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 80 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 80, ïðüôå: á + (80 )ù + 79 ( 3) Ó80 = 80 = 80 = ( 33) 40 = ii) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù =. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 80 ðñþôùí 3 3 üñùí, Üñá í = 80, ïðüôå: + 79 á + (80 )ù Ó80 = 80 = 80 = 40 = i) Ïé üñïé ôïõ áèñïßóìáôïò åßíáé üñïé áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ á í ìå ðñþôï üñï á =, äéáöïñü ù = 4 êáé íéïóôü üñï áí = á + (í )ù = + (í )4 = 4í 3, í N*. Ãéá íá âñïýìå ôï Üèñïéóìá, ñåéáæüìáóôå ôï ðëþèïò ôùí üñùí, Üñá áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: áí = 97 4í 3 = 97 4í = 00 í = 50. Óõíåðþò: á + (50 )ù Ó50 = 50 = 50 = = ii) Ïé üñïé ôïõ áèñïßóìáôïò åßíáé üñïé áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ á í ìå ðñþôï üñï á = 9, äéáöïñü ù = 3 êáé íéïóôü üñï áí = á + (í )ù = 9 + (í ) 3= 3í + 6, í N*. Ãéá íá âñïýìå ôï Üèñïéóìá, ñåéáæüìáóôå ôï ðëþèïò ôùí üñùí, Üñá áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: áí = 90 3í + 6 = 90 3í = 84 í = 8.

7 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 3 Óõíåðþò: á + (8 )ù Ó8 = 8 = 8 = 99 4 =.386. iii) Ïé üñïé ôïõ áèñïßóìáôïò åßíáé üñïé áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ á í ìå ðñþôï üñï á = 7, äéáöïñü ù = 3 êáé íéïóôü üñï áí = á + (í )ù = 7 + (í ) ( 3) = 3í 4, í N*. Ãéá íá âñïýìå ôï Üèñïéóìá, ñåéáæüìáóôå ôï ðëþèïò ôùí üñùí, Üñá áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: áí = 09 3í 4 = 09 3í = 05 í = 35. Óõíåðþò: á + (35 )ù ( 7) + 34 ( 3) Ó35 = 35 = 35 = ( 58) 35 = i) ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 4 êáé äéáöïñü ù = 4. Áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: 4 + (í ) 4 Ó í = 80 í = 80 (í + )í = 80 í + í 90 = 0 í = 0 (áðïññßðôåôáé) Þ í = 9. ÅðïìÝíùò ïé 9 ðñþôïé üñïé ôçò áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ Ý ïõí Üèñïéóìá 80. ii) ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 5 êáé äéáöïñü ù = 5. Áíáæçôïýìå í N* Ýôóé þóôå: 5 + (í )5 Ó í = 80 í = 80 (5í + 5)í = 360 í + í 7 = 0 í = 9 (áðïññßðôåôáé) Þ í = 8. ÅðïìÝíùò ïé 8 ðñþôïé üñïé ôçò áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ Ý ïõí Üèñïéóìá 80.. Ôï ðëþèïò ôùí êåñáìéäéþí óå êüèå óåéñü åßíáé áñéèìçôéêþ ðñüïäïò á í ìå ðñþôï üñï á = 53, äéáöïñü ù = êáé í 5. Ï íéïóôüò üñïò ôçò åßíáé: áí = á + (í )ù = 53 + (í ) ( ) = í + 55, í N*, í 5.

8 4 ÁËÃÅÂÑÁ ÊÁÉ ÓÔÏÉ ÅÉÁ ÐÉÈÁÍÏÔÇÔÙÍ Óõíåðþò ç 5ç óåéñü èá Ý åé á5 = = 5 êåñáìßäéá, åíþ ç óôýãç 53 + (5 ) ( ) Ý åé óõíïëéêü Ó5 = 5= 39 5= 585 êåñáìßäéá.  ÏìÜäá. Èåùñïýìå ôç äéáöïñü: á á = 4í [ 4(í )] = 4í + 4í 4 = 4, í í ðïõ åßíáé óôáèåñüò áñéèìüò, Üñá ç á í åßíáé áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå á = 4 = 8 êáé äéáöïñü ù = 4.. i) Ïé èåôéêïß ðåñéôôïß áñéèìïß áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù =. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 00 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 00, ïðüôå: á + (00 )ù + 99 Ó00 = 00 = 00 = = ii) Ïé èåôéêïß Üñôéïé áñéèìïß áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = êáé äéáöïñü ù =. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 300 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 300, ïðüôå: á + (300 )ù + 99 Ó300 = 300 = 300 = = iii) Ïé äïóìýíïé ðåñéôôïß áñéèìïß áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7, äéáöïñü ù = êáé á í = (í ) = í = 379 í = í = 364 í = 8. ÈÝëïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí 8 ðñþôùí üñùí, Üñá í = 8, ïðüôå: á + (8 )ù Ó8 = 8 = 8 = 98 8 = i) Ôá ðïëëáðëüóéá ôïõ 5 áðü ôï ùò ôï 99 áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 5, äéáöïñü ù = 5 êáé ôåëåõôáßï üñï á í = 95. ¼ìùò, á í = á + (í )ù = 5 + (í ) 5 = 5 + 5í 5 = 5í, ïðüôå 5í = 95 í = 39, äçëáäþ áíáæçôïýìå ôï í N*,

9 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 5 á + (39 )ù Ó39 = 39 = 39 = = ii) Ôá ðïëëáðëüóéá ôïõ 3 áðü ôï 0 ùò ôï 00 áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á =, äéáöïñü ù = 3 êáé ôåëåõôáßï üñï á í = 98. ¼ìùò, á í = á + (í )ù = + (í ) 3 = + 3í 3 = 3í + 9, í N*, ïðüôå 3í + 9 = 98 3í = 89 í = 63, äçëáäþ áíáæçôïýìå ôï á + (63 )ù + 63 Ó63 = 63 = 63 = = i) Èåùñïýìå ôç äéáöïñü: á í á í = 5í 4 [5 (í ) 4] = 5í 4 5í = 5, ðïõ åßíáé óôáèåñþ, Üñá ç á í åßíáé áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå á = 5 4 = êáé äéáöïñü ù = 5. Áíáæçôïýìå ôï á + (30 )ù Ó30 = 30 = 30 = 47 5 =.05. ii) Èåùñïýìå ôç äéáöïñü: á í á í = 5í 3 [ 5 (í ) 3] = 5í 3 + 5í = 5, ðïõ åßíáé óôáèåñþ, Üñá ç á í åßíáé áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå á = 5 3 = 8 êáé äéáöïñü ù = 5. Áíáæçôïýìå ôï á + (40 )ù ( 8) + 39 ( 5) Ó40 = 40 = 40 = ( ) 0 = Ïé áêýñáéïé áðü ôï ìý ñé ôï 00 áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í, í N*, ìå ù =, á = êáé í = 00, ïðüôå: + (00 ) A = = 00 = Ïé áêýñáéïé áðü ôï ìý ñé ôï 00 ðïõ åßíáé ðïëëáðëüóéá ôïõ 4 áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï â í, í N*, ìå ù = 4, â = 4 êáé í = 50, 4 + (50 ) 4 ïðüôå B = = 50 = Ïé áêýñáéïé áðü ôï ìý ñé ôï 00 ðïõ åßíáé ðïëëáðëüóéá ôïõ 9 áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï ã í, í N*, ìå ù 3 = 9, ã = 9 êáé

10 6 ÁËÃÅÂÑÁ ÊÁÉ ÓÔÏÉ ÅÉÁ ÐÉÈÁÍÏÔÇÔÙÍ 00 ã í (í ) í 00 í, Üñá 9 <,3 9 + ( )9 í =, ïðüôå à = = =.77. Áí üìùò áðëþò áöáéñýóïõìå áðü ôï Á ôá  êáé Ã, Ý ïõìå áöáéñýóåé ôá êïéíü ðïëëáðëüóéá ôùí 4 êáé 9 äýï öïñýò. ÅðïìÝíùò áõôü ðñýðåé íá ðñïóôåèïýí ìßá öïñü ãéá íá âñïýìå ôï æçôïýìåíï áðïôýëåóìá. Ôá êïéíü ðïëëáðëüóéá ôùí 4 êáé 9 áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï ä í, í N*, ìå ä = 36, ù 4 = 36 êáé 00 ä í (í ) í 00 í < 5, 6, (5 )36 Üñá í = 5 êáé Ä = = 5 = 540. ÅðïìÝíùò ôï æçôïýìåíï Üèñïéóìá åßíáé: Á  à + Ä = = ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå á = êáé äéáöïñü ù = êáé áíáæçôïýìå ôï åëü éóôï í N*, þóôå: + (í ) Ó í > í > í > 4.000, ïðüôå > í > Óõíåðþò ôï åëü éóôï í åßíáé ôï í = = ç ãñáììþ: á í = á + (í )ù = 0 + ( )( 0) = 0 0 = 0. á + (í )ù 0 + ( )( 0) Sí = í = = 65 = 780. ç ãñáììþ: á í = á + (í )ù, Üñá 09 = 5 + (7 )ù 09 = 5 + 6ù 6ù = 04 ù = 4. á + (í )ù 5 + (7 )4 Sí = í = 7 = 57 7 =.539. á + (í )ù á + ( ) 3 3ç ãñáììþ: Sí = í, Üñá 0 =

11 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 0 = (á + 3) 6 0 = á + 98 á = á =. á í = á + (í )ù = + ( ) 3 = + 3 = 34. 4ç ãñáììþ: á í = á + (í )ù, Üñá 8 = á + (6 ) 8 = á + 30 á = 38. á + (í )ù ( 38) + (6 ) Sí = í = 6 = ( 3) 6 = 368. Óõíåðþò ï óõìðëçñùìýíïò ðßíáêáò åßíáé ï áêüëïõèïò: á ù í á í S í ÁÍ ÔÏ ÑÏËÏÚ ÔÕÐÁ ÁÐÏ ÙÓ ÖÏÑÅÓ: Ïé ôýðïé áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå äéáöïñü ù =, ðñþôï üñï á =, í N* êáé í. Áíáæçôïýìå áñ éêü ôï ðëþèïò ôùí ôýðùí óôï ùñï, + ( ) ïðüôå Ó = = (+ ) 6= 3 6= 78 ôýðïé. Ôï óýíïëï ôùí ôýðùí óôï 4ùñï åßíáé Ó = 78 = 56. ÁÍ ÔÏ ÑÏËÏÚ ÔÕÐÁ ÁÐÏ ÙÓ 4 ÖÏÑÅÓ: Ïé ôýðïé áðïôåëïýí áñéèìçôéêþ ðñüïäï â í ìå äéáöïñü ù =, ðñþôï üñï â =, í N* êáé í 4. Áíáæçôïýìå ôï ðëþèïò ôùí ôýðùí óôï 4ùñï, + (4 ) ïðüôå S4 = 4 = ( + 3 ) = 5 = 300 ôýðïé. 9. óôù á í ôï ðëþèïò ôùí êáèéóìüôùí óôç íéïóôþ óåéñü. Áöïý ôï ðëþèïò ôùí èýóåùí áõîüíåôáé áðü óåéñü óå óåéñü êáôü ôïí ßäéï ðüíôá áñéèìü èýóåùí, ç á í åßíáé áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå äéáöïñü ù, í N*, í 33, á = 800 êáé á 33 = Óõíåðþò: á 33 = (33 )ù = ù = 4.60

12 8 ÁËÃÅÂÑÁ ÊÁÉ ÓÔÏÉ ÅÉÁ ÐÉÈÁÍÏÔÇÔÙÍ ù = ù = ù = ù = Ôï óýíïëï ôùí èýóåùí åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí 33 ðñþôùí üñùí ôçò áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ, ïðüôå éó ýåé: (33 ) Ó33 = 33= 33= 33= = 33 = = èýóåéò Ý åé ôï óôüäéï. Ç ìåóáßá óåéñü êáèéóìüôùí åßíáé ç 7ç êáé Ý åé ðëþèïò á7 = (7 ) 05 = = =.480 èýóåéò. 0. óôù á í ç áñéèìçôéêþ ðñüïäïò ìå äéáöïñü ù, ðñþôï üñï á êáé íéïóôü üñï á í = á + (í )ù, í N*. ïõìå üôé á = 3 êáé á = 80. Ôüôå: á = ( )ù = ù = 80 ù = ù = 77 ù = ù = 7. Óõíåðþò ïé æçôïýìåíïé åíäéüìåóïé üñïé åßíáé ïé: á = 0, á 3 = 7, á4 = 4, á5 = 3, á6 = 38, á7 = 45, á 8 = 5, á9 = 59, á = 66, á = Ôï Üèñïéóìá í + (í ) + (í ) + + åßíáé Üèñïéóìá í üñùí áñéèìçôéêþò ðñïüäïõ ìå ðñþôï üñï í êáé ôåëåõôáßï üñï, ïðüôå áðü ôïí á + áí ôýðï Óí = í âñßóêïõìå üôé: í+ (í + )í í + (í ) + (í ) = í = Óõíåðþò: (É).

13 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 9 í í í í í = = í í í í í í í (í + )í (É) í + (í ) + (í ) (í + )í í+ = == = =. í í í. Ôï êüóôïò ôïõ íéïóôïý ìýôñïõ äßíåôáé áðü ôçí áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ðïõ Ý åé äéáöïñü ù = 5 êáé ðñþôï üñï á = 0. ÈÝëïõìå ôï óõíïëéêü êüóôïò ôçò ãåþôñçóçò íá åßíáé ìý ñé 4.700, Üñá áíáæçôïýìå í N* ôýôïéï þóôå: 0 + (í )5 Óí í (40 + 5í 5)í í + 35í í + 7í (É). Ôï ôñéþíõìï í + 7í.880 Ý åé äéáêñßíïõóá Ä = 7 4 (.880) = = 87 7± 87 êáé ñßæåò í = í = 47 < 0 (áðïññßðôåôáé) Þ í = 40. Óõíåðþò ç (É) Ý åé ëýóç: í 40, í N*, äçëáäþ ç ãåþôñçóç ìðïñåß íá ðüåé ìý ñé 40 ìýôñá.

14 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ 5. έως 5. Ερωτήσεις Κατανόησης. i) Στο διπλανό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι ΑΟ = ΟΓ = 3 και ΒΟ = ΟΔ = 5, δηλαδή οι διαγώνιοι διχοτομούνται, οπότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ii) Στο διπλανό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι ΑΟ = ΟΓ = 3 και ΒΟ ΟΔ, δηλαδή οι διαγώνιοι δε διχοτομούνται, οπότε δεν είναι παραλληλόγραμμο. iii) Στο διπλανό τετράπλευρο ΚΛΜΝ ισχύει ΚΛ ΜΝ και ΚΝ ΛΜ, δηλαδή οι απέναντι πλευρές δεν είναι ίσες, οπότε το ΚΛΜΝ δεν είναι παραλληλόγραμμο.

15 346 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ iv) Στο διπλανό τετράπλευρο ΑΔΚΡ ισχύουν: o ϕ+ω= 80 o ϕ= 80 ω (Ι) και o A + P + K + AΔ K = 360 (I) o A +ϕ+ω+ϕ= 360 = o o o A + 80 ω+ ω+ 80 ω= 360 o o A ω= 360 A =ω. Επομένως στο τετράπλευρο ΑΔΚΡ ισχύει ότι A = K = ω και P = A Δ K = ϕ, δηλαδή οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, οπότε το ΑΔΚΡ είναι παραλληλόγραμμο. v) Στο διπλανό τετράπλευρο ΖΗΝΓ έχουμε δύο παράλληλες πλευρές (ΖΓ // ΗΝ, αφού είναι ίσες οι εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνίες ω) και οι άλλες δύο πλευρές είναι ίσες (ΖΗ = ΓΝ = 3). Τα δύο αυτά στοιχεία δεν εξασφαλίζουν ότι το τετράπλευρο ΖΗΝΓ είναι παραλληλόγραμμο, όπως φαίνεται και στο διπλανό τετράπλευρο. vi) Στο διπλανό τετράπλευρο ΕΡΒΛ ισχύει ότι o o o E + P = 90 +θ+ 90 θ= 80, οπότε ΕΛ // ΡΒ, αφού δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές. Συνεπώς στο τετράπλευρο ΕΡΒΛ ισχύει ΕΛ // ΡΒ και ΕΛ = ΡΒ = 6, δηλαδή δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες, οπότε το ΕΡΒΛ είναι παραλληλόγραμμο.

16 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ 347. Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο όταν ισχύει μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις: i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. ii) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. iii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. iv) Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. v) Οι διαγώνιοι διχοτομούνται. 3. Αφού το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες, άρα ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ. Συνεπώς: B Γ x = B ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ, που τέμνονται από τη ΒΓ, οπότε o B= 75. Επίσης: o o o o BΓΔ= 80 ΒΓ x = = 05. Τέλος, αφού το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, δηλαδή o B=Δ= 75 και o A = BΓΔ= Αφού το ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες, άρα ΔΕ // ΗΖ και ΔΗ // ΕΖ. Συνεπώς: ZEx = Z ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΔΕ, ΗΖ, που τέμνονται από την ΕΖ, οπότε ϕ= ω (Ι), και o H + Z = 80 ως εντός και επί τα αυτά γωνίες των παραλλήλων ΔΗ, ΕΖ, που τέμνονται από τη ΖΗ, οπότε o ϕ+ω= 80 (ΙΙ). Η (ΙΙ) γίνεται λόγω της (Ι): o ω+ω= 80 o 3ω= 80 o 80 ω= 3 o ω= 60, άρα o o ϕ= ω= 60 = 0.

17 348 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5. i) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν έχει τις απέναντι γωνίες ίσες και όχι μόνο τις δύο, οπότε η πρόταση είναι λανθασμένη (Λ). ii) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Εφόσον όλα τα ζεύγη των διαδοχικών γωνιών είναι παραπληρωματικές γωνίες, οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές, άρα έχουμε παράλληλες τις απέναντι πλευρές, οπότε η πρόταση είναι σωστή (Σ). iii) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες και όχι μόνο τις δύο, οπότε η πρόταση είναι λανθασμένη (Λ). iv) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες και όχι μόνο τις δύο, οπότε η πρόταση είναι λανθασμένη (Λ). Ασκήσεις Εμπέδωσης. Το ΑΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Α, οπότε A = A (Ι). Επίσης, ισχύει ότι A = E (ΙΙ) ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ, που τέμνονται από το ΑΕ. Από τις (Ι), (ΙΙ) έχουμε A = E, οπότε το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές με ΑΔ = ΔΕ (ΙΙΙ). Τέλος, αφού το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, ισχύει ΑΔ = ΒΓ, άρα από την (ΙΙΙ) βρίσκουμε ότι ΒΓ = ΔΕ.. Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, οπότε ισχύει ότι ΟΒ = ΟΔ (Ι). Στο τετράπλευρο ΒΖΔΕ έχουμε ότι ΟΕ = ΟΖ (υπόθεση) και ΟΒ = ΟΔ [από την (Ι)], δηλαδή οι διαγώνιοι διχοτομούνται, άρα το ΒΖΔΕ είναι παραλληλόγραμμο.

18 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ i) Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΑΒ = ΓΔ (Ι) και ΑΒ // ΓΔ. Το Ε είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε: AB AE = EB = (ΙΙ). Το Ζ είναι το μέσο του ΓΔ, οπότε: ΓΔ Γ Z= ZΔ= (ΙΙΙ). Από τις (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ) προκύπτει ότι ΑΕ = ΓΖ και, αφού ΑΕ // ΓΖ (ΑΒ // ΓΔ), προκύπτει ότι το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. ii) Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοι ΒΔ, ΑΓ διχοτομούνται στο Ο, δηλαδή το Ο είναι κοινό μέσο των ΒΔ, ΑΓ. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοι ΕΖ, ΑΓ διχοτομούνται, δηλαδή έχουν κοινό μέσο. Αφού το Ο είναι το μέσο του ΑΓ και η ΕΖ έχει μέσο το Ο, άρα τα τμήματα ΒΔ, ΑΓ, ΕΖ συντρέχουν στο Ο. 4. Το ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α, οπότε: A = A (Ι). Επίσης, ισχύει ότι A =Δ (ΙΙ) ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ, ΔΕ, που τέμνονται από το ΑΔ. Από τις (Ι), (ΙΙ) προκύπτει ότι: A =Δ, οπότε το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές με ΑΕ = ΕΔ (ΙΙΙ). Το ΖΕΔΒ είναι παραλληλόγραμμο, αφού από την υπόθεση έχουμε: ΖΕ // ΒΔ (ΖΕ // ΒΓ) και ΒΖ // ΔΕ (ΑΒ // ΔΕ), οπότε ΕΔ = ΒΖ και από την (ΙΙΙ) βρίσκουμε ότι ΒΖ = ΑΕ.

19 350 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αποδεικτικές Ασκήσεις. Το τετράπλευρο ΑΕΜΔ είναι παραλληλόγραμμο, αφού από την υπόθεση έχουμε ΑΕ // ΔΜ (ΑΓ // ΔΜ) και ΑΔ // ΕΜ (ΑΒ // ΕΜ), οπότε: ΜΕ = ΑΔ (Ι). Αφού το ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ, ισχύει B =Γ (ΙI). Επίσης, M =Γ (ΙIΙ) ως εντός, εκτός και επί αυτά των παραλλήλων ΜΔ, ΑΓ, που τέμνονται από τη ΒΓ. Από τις (ΙI), (ΙIΙ) έχουμε ότι M = B, άρα το τρίγωνο ΜΔΒ είναι ισοσκελές με ΜΔ = ΔΒ (ΙV). Συνεπώς (I), (IV) MΔ+ ME ===== Δ B+ AΔ= AB.. Ισχύει E = Z (Ι) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΒΕ, ΔΖ, που τέμνονται από το ΕΖ, και A =Γ (ΙΙ) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ, που τέμνονται από το ΑΓ. Η E είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΕ, οπότε: (I), (II) E = A+ B B = E A == B = Z Γ (ΙΙΙ). Η Z είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΖΓΔ, οπότε: ( ) Z =Γ +Δ Δ = Z Γ = ΙΙΙ Δ =Β (ΙV). Τα τρίγωνα ΑΒΕ, ΔΖΓ έχουν: α) Δ =Β [από τη (ΙV)], β) ΑΒ = ΓΔ (ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο), γ) A =Γ [από τη (ΙΙ)], Δ Δ επομένως από το κριτήριο ΓΠΓ έχουμε ABE =ΔZΓ, άρα ΒΕ = ΔΖ. Το τετράπλευρο ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι πλευρές ΒΕ, ΔΖ είναι ίσες και παράλληλες, άρα ΔΕ // ΒΖ.

20 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε ΒΓ =// ΑΔ και ΑΒ =// ΓΔ. Αφού ΑΖ = ΒΓ (= ΑΔ) και ΒΓ // ΑΖ (ΒΓ // ΑΔ), έχουμε ότι το ΑΖΒΓ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΖΒ // ΑΓ (Ι). Αφού ΓΕ = ΑΒ (= ΔΓ) και ΓΕ // ΑΒ (ΑΒ // ΓΔ), έχουμε ότι το ΑΒΕΓ είναι παραλληλόγραμμο, άρα: ΕΒ // ΑΓ (ΙΙ). Όμως, από το σημείο Β διέρχεται μοναδική παράλληλη προς τη ΒΓ, οπότε από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι τα σημεία Ζ, Β, Ε είναι συνευθειακά. 4. Στο τετράπλευρο ΑΖΒΓ ισχύει ότι ΖΕ = ΕΓ (υπόθεση) και ΑΕ = ΕΒ (Ε μέσο του ΑΒ), δηλαδή οι διαγώνιοι ΓΖ, ΑΒ διχοτομούνται, οπότε το ΑΖΒΓ είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει ότι ΑΖ = ΒΓ (Ι) και ΑΖ // ΒΓ (ΙΙ). Στο τετράπλευρο ΑΗΓΒ ισχύει ότι ΒΔ = ΔΗ (υπόθεση) και ΑΔ = ΓΔ (Δ μέσο του ΑΓ), δηλαδή οι διαγώνιοι ΑΓ, ΒΗ διχοτομούνται, οπότε το ΑΗΓΒ είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει ότι ΑΗ = ΒΓ (ΙΙΙ) και ΑΗ // ΒΓ (ΙV). i) Από τις (Ι), (ΙΙΙ) ισχύει ότι ΑΗ = ΑΖ. ii) Από το σημείο Α διέρχεται μοναδική παράλληλη προς τη ΒΓ, οπότε από τις (ΙΙ), (IV) βρίσκουμε ότι τα σημεία Ζ, Α, Η είναι συνευθειακά. 5. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Ο πάνω στη μία από τις δύο παράλληλες. Με κέντρο το Ο και ακτίνα λ γράφουμε κύκλο που τέμνει την άλλη παράλληλη στα σημεία Β και Γ. Από το σημείο Α φέρνουμε την Αx // OB, που τέμνει τις παράλληλες στα Δ, Ε, και την Ay // ΟΓ, που τέμνει τις παράλληλες στα Ζ, Η.

21 35 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Συνεπώς ΟΒ // ΔΕ (Αx // OB) και ΟΔ // ΒΕ (υπόθεση), άρα το ΟΒΕΔ είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει ότι ΟΒ = ΔΕ = λ (Ι). Επίσης, ΟΓ // ΖΗ (Ay // ΟΓ) και ΟΖ // ΓΗ (υπόθεση), άρα το ΟΖΗΓ είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει ότι ΟΓ = ΖΗ = λ (ΙΙ). Από τις (Ι), (ΙΙ) προκύπτει ότι τα τμήματα ΔΕ, ΖΗ είναι ίσα με λ και ανήκουν σε τέμνουσες των παραλλήλων που διέρχονται από το σημείο Α. Σύνθετα θέματα. i) Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΑΒ =// ΓΔ (Ι) και ΑΔ =// ΒΓ (ΙΙ). Όμως: (II), (Y) AK = AΔ KΔ ===== BΓ BZ = ZΓ (ΙΙΙ) και (I), (Y) EB = AB AE ===== ΓΔ Γ H = Δ H (ΙV). Τα τρίγωνα ΑΚΕ και ΓΖΗ έχουν: α) ΑΕ = ΓΗ (υπόθεση), β) ΑΚ = ΖΓ [από την (ΙΙΙ)], γ) A =Γ(ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο), άρα από το κριτήριο ΠΓΠ έχουμε ότι AKE =Γ ZH και ΕΚ = ΖΗ (V). Τα τρίγωνα BEZ και ΔΚΗ έχουν: α) ΒΖ = ΔΚ (υπόθεση), β) ΕΒ = ΔΗ [από την (ΙV)], γ) B =Δ (ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο), άρα από το κριτήριο ΠΓΠ έχουμε ότι BEZ =Δ KH και ΕΖ = ΚΗ (VΙ). Από τις (V), (VI) έχουμε τις απέναντι πλευρές του ΕΖΗΚ ίσες, άρα το ΕΖΗΚ είναι παραλληλόγραμμο. ii) Αφού το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, οι διαγώνιοι ΑΓ, ΒΔ διχοτομούνται και έστω Ο το κοινό τους μέσο. Επίσης, από τις (Ι), (IV) έχουμε ότι BE =// ΔΗ, οπότε το ΒΕΔΗ είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοι ΒΔ, ΕΗ διχοτομούνται. Αφού το Ο είναι το μέσο της ΒΔ, θα είναι το μέσο και της ΕΗ, οπότε οι ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ συντρέχουν. Δ Δ Δ Δ

22 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ 353 Επιπλέον, στο ερώτημα (i) αποδείξαμε ότι το ΕΖΗΚ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοι ΕΗ, ΖΚ διχοτομούνται. Όμως, το Ο είναι το μέσο του ΕΗ, οπότε το Ο είναι και το μέσο του ΖΚ, άρα οι ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ, ΖΚ συντρέχουν.. Αφού ΔΖ = ΔΓ (υπόθεση), το τρίγωνο ΔΓΖ είναι ισοσκελές με Z =Γ (Ι). Επίσης, ΒΕ = ΒΓ (υπόθεση), άρα το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές με E =Γ 3 (ΙΙ). Επιπλέον, ισχύουν: Z =Γ (ΙΙΙ) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΖΔ, ΒΓ, που τέμνονται από τη ΖΓ, και E =Γ 4 (ΙV) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AE, ΔΓ, που τέμνονται από τη ΓΕ. Συνεπώς: από τις (Ι), (ΙΙΙ) προκύπτει ότι Γ = Γ, άρα το ΓΖ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΓΒ, ενώ από τις (ΙΙ), (IV) προκύπτει ότι Γ 3 = Γ 4, άρα το ΓΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΓx. Επομένως τα ΓΖ, ΓΕ είναι διχοτόμοι των εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ΒΓΔ, ΒΓx, επομένως τέμνονται κάθετα, άρα ΓZ Γ E ή o ZΓ E= Αφού ΔΖ = ΔΓ (υπόθεση), το τρίγωνο ΔΓΖ είναι ισοσκελές με Z =Γ (Ι). Επίσης, ΒΕ = ΒΓ (υπόθεση), άρα το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές με E =Γ (ΙΙ). Επιπλέον, η γωνία ΑΒΓ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΓΕ, οπότε AB Γ= E +Γ και λόγω της (ΙΙ) γίνεται: AB Γ= Γ AB Γ Γ = (ΙΙΙ).

23 354 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επίσης, η γωνία ΑΔΓ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΓΔΖ, οπότε A ΔΓ = Z + Γ και λόγω της (Ι) γίνεται A ΔΓ = Γ A ΔΓ Γ = (ΙV). Όμως, οι γωνίες ΑΒΓ, ΑΔΓ είναι ίσες ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, άρα από τις (ΙΙΙ), (IV) έχουμε: ABΓ AΔΓ Γ = Γ = = (V). Τότε: (V) ABΓ ABΓ o ZΓ E = Γ + BΓΔ+ Γ == + BΓΔ+ = ABΓ+ BΓΔ= 80, αφού οι γωνίες ΑΒΓ, ΒΓΔ είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ, που τέμνονται από τη ΒΓ, άρα είναι παραπληρωματικές. Τέλος, αφού o ZΓ E = 80, τα σημεία Ε, Γ, Ζ είναι συνευθειακά. 4. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ, οπότε ABΓ =Γ (Ι). Φέρνουμε τη ΔΖ // ΑΕ. Τότε AB Γ= Z (ΙΙ) ως εντός, εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΔΖ, ΑΕ, που τέμνονται από τη ΒΓ. Από τις (Ι), (ΙΙ) προκύπτει ότι Z =Γ, οπότε το τρίγωνο ΔΓΖ είναι ισοσκελές με ΔΖ = ΔΓ (ΙΙΙ). Από την υπόθεση ισχύει ΒΕ = ΔΓ, άρα λόγω της (ΙΙΙ) έχουμε ΒΕ = ΔΖ. Συνεπώς ΔΖ =// ΒΕ, οπότε το ΒΔΖΕ είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοι διχοτομούνται και το Ο είναι το μέσο του ΔΕ. Συνεπώς η ΒΓ διχοτομεί τη ΔΕ.

24 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ Έστω ότι στα σημεία Α και Β είναι τα δύο χωριά. Αναζητούμε τη θέση της γέφυρας (ΓΔ), που θα είναι κάθετη στις όχθες του ποταμού έτσι ώστε: ΑΓ = ΒΔ (Ι). Φέρνουμε το ΒΕ =// ΓΔ, οπότε το ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει: ΒΔ = ΓΕ (ΙΙ). Από τις (Ι), (ΙΙ) προκύπτει ότι ΓΑ = ΓΕ, οπότε το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές. Συνεπώς η θέση του σημείου Γ προσδιορίζεται από τη μεσοκάθετο του ΑΕ, άρα προσδιορίζεται και η θέση του ΓΔ. 5.3 έως 5.5 Ερωτήσεις Κατανόησης. i) Στο διπλανό τετράπλευρο οι διαγώνιοι είναι ίσες και διχοτομούνται, οπότε είναι ορθογώνιο. Στο διπλανό τετράπλευρο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, ενώ υπάρχει και ορθή γωνία, οπότε είναι ορθογώνιο.

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Όνομα:.....Επώνυμο:...Ομάδα: Α μ 3x8 1. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η περίμετρός του είναι ίση με: 3χ-1 Α. 40 Β. 60 Γ. 48 Δ. 24 Ε. 36 2χ 10 2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.2-1.6 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και μια παράλληλη προς την ΑΔ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Ε, την ΑΓ στο Ζ και την ΑΒ στο Η. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε:

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: 5.-5. Σύνθετα θέματα (version 4--06) Σ. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και τα σημεία Ε, Ζ, Η και Κ των πλευρών ΑΒ, Β, Δ και ΑΔ αντίστοιχα ώστε ΑΕ Η και ΔΚ ΒΖ. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο ΕΖΗΚ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ορθογώνιο (version )

Ορθογώνιο (version ) Ορθογώνιο (version --06) Ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές (ως

Διαβάστε περισσότερα

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να συμπληρώσετε

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να συμπληρώσετε ΘΕΜΑ 4 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ευθεία ΜΛ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΔΓ του τραπεζίου και ισχύει ότι = α) Να αποδείξετε ότι = και = (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15) Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΗ. 1 Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΑΒ = 17cm, ΑΓ = 25cm και ΑΔ = 15cm. ΑΣΚΗΣΗ. 2 Στο ορθογώνιο τραπέζιο είναι ΑΒ= 9cm,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Κόλλιας Σταύρος  1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ>ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕ η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=, ΒΓ=5 και ΒΕ=5, να αποδείξετε ότι: α) ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 06 (version 9-5-06 ΤΕΛΙΚΟ) SOS ΒΓ = ΒΟΓ ˆ = 70 αντί του λανθασμένου 35 στο προτελευταίο θέμα θεωρίας με τις εγγεγραμμένη, επίκεντρη κλπ Τι λέει το αίτημα παραλληλίας;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Τηλ: Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 26 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ [2]

Τηλ: Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 26 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ [2] ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΤΗ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜ/ΜΟ: ΗΜΕΡ/ΝΙΑ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 ΚΑΘ/ΤΗΣ ΣΠΑΝΟΣ Σ. ΒΑΘΜΟΣ: /100, /20 (1) (α) Να αποδείξετε ότι: Δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ.  Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία:

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: ΘΕΜΑ Α μ 4χ3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστές ή με το Λ αν τις θεωρείται λανθασμένες.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου 008 ΘΕΜΑ II Δίνονται ευθεία ε και τα διαδοχικά σημεία της Α, Β, Γ με ΑΒ < ΒΓ. Στο σημείο Β φέρουμε κάθετη ημιευθεία προς την ε, και πάνω σ'αυτήν τα σημεία Δ και Ε με ΒΔ = ΑΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο χορδές του ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται σε ένα σημείο Μ. α) Αν το σημείο Α είναι το μέσο του τόξου ΓΔ, να αποδείξετε ότι:

Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο χορδές του ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται σε ένα σημείο Μ. α) Αν το σημείο Α είναι το μέσο του τόξου ΓΔ, να αποδείξετε ότι: GI_V_GEO_4_8976 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ. α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και σκαληνό, τότε: i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι όμοια. (Μονάδες 0) ii. Να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414 Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551 Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405 Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Παπουτσάκης Κώστας Α.Μ.3249 Χριστοφάκη Μαρία Α.Μ.3277 1 Ορισμοί 1. Σημείο είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ). Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ,ΓΑ (προς το μέρος του Α) θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ,ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version ) 4.6-4.8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 5--06) Σ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ος

Διαβάστε περισσότερα

1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 445 1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Όμοια πολύγωνα Αν έχουμε δύο ομοιόθετα πολύγωνα, τότε το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου. Δύο πολύγωνα Π και Π που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση

Διαβάστε περισσότερα

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 7η έκδοση Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθετα θέματα (version )

Σύνθετα θέματα (version ) .-. Σύνθετα θέματα (version --06) Σ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και η εξωτερική διχοτόμος του Βx. Θεωρούμε δύο σημεία Ε και Κ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος (Ε,ΕΒ) τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, ενώ ο κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα