τα βιβλία των επιτυχιών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τα βιβλία των επιτυχιών"

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2

3 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Μα θ η μ α τ ι κ α Β Λυκειου Oμαδας Προσανατολισμου Θετικων Σπουδων

4 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γε ν ι κ ό Λύκειο Β Λυκείου: Θετικές Σπουδές Μαθηματικά Β Λυκείου O.Π. Θετικών Σπουδών Νίκος Τάσος ISBN: Δημιουργικό: Γεωργία Λαμπροπούλου Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Δημήτρης Κάπος, Ειρήνη Καλομοίρη Εξώφυλλο: Πωλίνα Κοντογεώργη Υπεύθυνος έκδοσης: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Copyright 2015 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Επικοινωνία με συγγραφέα: Νίκος Τάσος Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, ΤΚ Πειραιάς Τ F

5 Στη Σοφούλα Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη των Μαθηματικών O.Π. Θετικών Σπουδών, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συνάδελφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα) κατηγορίες, οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ & ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις τύπου «σωστό-λάθος», πολλαπλής επιλογής και αντιστοίχισης, οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν επαναληπτικά θέματα και διαγωνίσματα δομημένα με τέτοιον τρόπο, ώστε ο μαθητής να κάνει μία ολοκληρωμένη επανάληψη και ο συνάδελφος εκπαιδευτικός να έχει μία σημαντική τράπεζα θεμάτων. VIΙ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, όπως δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας. VΙΙΙ. ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Στην τελική επανάληψη έχει συμπεριληφθεί σε μορφή ερωτήσεων όλη η θεωρία που χρειάζεται να γνωρίζει ο μαθητής, επαναληπτικές ασκήσεις και ασκήσεις συνδυαστικού χαρακτήρα. ΙΧ. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Μετά την τελική επανάληψη ακολουθούν συνδυαστικά διαγωνίσματα, τα οποία καλύπτουν όλο το εύρος της ύλης. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν: οι απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων του παρόντος βιβλίου, οι αναλυτικές απαντήσεις όλων των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει τον στόχο της, παραδίδουμε το παρόν πόνημα στην αυστηρή κρίση των μαθητών και συνάδελφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

6

7 Περιεχόμενα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.. Η έννοια του διανύσματος Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσμάτων. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...11 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...19 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης...28 Ερωτήσεις κατανόησης...30 Φύλλο αξιολόγησης Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...35 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...38 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης...58 Ερωτήσεις κατανόησης...63 Φύλλο αξιολόγησης Συντεταγμένες στο επίπεδο Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...69 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...76 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης...98 Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Επανάληψη στα Διανύσματα Τράπεζα Θεμάτων Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 5.. Εξίσωση ευθείας Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης...247

8 7. Εµβαδόν τριγώνου Απόσταση σηµείου από ευθεία Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρµογές Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Επανάληψη στην Ευθεία Τράπεζα Θεµάτων ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 8. Κύκλος Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρµογές Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Παραβολή Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρµογές Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Έλλειψη Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρµογές Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Υπερβολή Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρµογές Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Η εξίσωση αx 2 + βy 2 + γx + δy + ε = 0 Θεωρία σε µορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρµογές Εφαρµογές εµπέδωσης & εµβάθυνσης Επανάληψη στις Κωνικές Τοµές Τράπεζα Θεµάτων Θέµατα επανάληψης σε όλη την ύλη Απαντήσεις στις ασκήσεις του βιβλίου Απαντήσεις στην Τράπεζα Θεµάτων...583

9 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Η έννοια του διανύσματος - Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσμάτων 2. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 3. Συντεταγμένες στο επίπεδο 4. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 9

10

11 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1η εν ν ο ι α του Δι α ν υ Σ Μ α τ ο Σ - ΠροΣθεΣη & αφαιρεση ΔιανυΣΜατΩν θεωρια Σε ΜορΦη ερωτησεων - απαντησεων 1 i. Πώς ορίζεται το διάνυσμα; ii. Τι ονομάζουμε αρχή και πέρας ενός διανύσματος; iii. Πώς συμβολίζουμε ένα διάνυσμα; iv. Ποιο διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό και πώς συμβολίζεται; Απάντηση i. Διάνυσμα λέγεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή κάθε ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα είναι διατεταγμένα. B (πέρας) ii. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο άκρο πέρας του διανύσματος. iii. Το διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με ΑΒ. iv. Μηδενικό διάνυσμα λέγεται εκείνο που η αρχή και το πέρας του συμπίπτουν και συμβολίζεται 0. A (αρχή) AB A AΑ Για το συμβολισμό των διανυσμάτων μπορούμε επίσης να χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα, όπως α, β, u, v. 2 i. Τι λέγεται μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ και πώς συμβολίζεται; ii. Ποιο διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο; Απάντηση i. H απόσταση των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος ΑΒ. Συμβολίζεται με ΑΒ, είναι δε ΑΒ 0. (Το ίσον ισχύει όταν ΑΒ = 0.) ii. Αν το διάνυσμα ΑΒ έχει μέτρο ίσο με τη μονάδα, λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα. Δηλαδή, ΑΒ μοναδιαίο ΑΒ = 1 Ισχύει ΑΑ = 0 = 0 και γενικότερα ΑΒ = 0 ΑΒ = 0 11

12 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 3 Τι λέγεται φορέας ενός διανύσματος; Απάντηση Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκονται τα σημεία Α, Β ενός μη μηδενικού διανύσματος ΑΒ λέγεται φορέας του διανύσματος. A B ε i. Το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο στην ευθεία ε και γράφουμε ΑΒ //ε. ii. Ένα μηδενικό διάνυσμα ΑΑ έχει φορέα οποιαδήποτε ευθεία περνά από το σημείο Α. 4 Πότε δύο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά; Απάντηση Δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα. α β α β α β α β Στην περίπτωση που α // β λέμε ότι τα α, β έχουν την ίδια διεύθυνση. 5 Πότε δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται i. ομόρροπα ii. αντίρροπα και πως συμβολίζονται; Απάντηση i. Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ομόρροπα: Α B α. όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β. όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Λέμε τότε ότι τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια φορά και διεύθυνση) και συμβολίζουμε ΑΒ ΓΔ. Γ Δ Δ B Γ Α Α B ii. Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται αντίρροπα όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα. Δ Γ 12

13 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Λέμε τότε ότι τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (αντίθετη φορά και ίδια διεύθυνση) και συμβολίζουμε ΑΒ ΓΔ. B A Γ Δ i. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται ομόρροπο και αντίρροπο προς κάθε άλλο διάνυσμα. ii. Ισχύει η ισοδυναμία: 6 i. Πότε δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ίσα και πώς συμβολίζονται; ii. Πότε δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται αντίθετα και πώς συμβολίζονται; Απάντηση i. Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ίσα, όταν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα. = Συμβολισμός ΑΒ ΓΔ ii. Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται αντίθετα, όταν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα. Συμβολισμός ΑΒ = ΓΔ ή ΑΒ // ΓΔ = ΑΒ ΓΔ ( ΑΒ ΓΔ ή ΑΒ ΓΔ ) i. Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους. ii. α = β { α β α = β iii. α = β { α β α = β iv. Ισχύει ΒΑ = ΑΒ v. Αν ΑΒ = ΓΔ τότε vi. Αν Μ μέσο του ΑΒ τότε: ΑΓ = ΒΔ, = ΓΑ, ΔΒ ΒΑ = ΔΓ ΑΜ = ΜΒ και αντίστροφα Γ Α Δ B 7 Ποια διανύσματα ονομάζονται διαδοχικά; Απάντηση Τα διανύσματα, όπου το πέρας του ενός είναι αρχή του άλλου, ονομάζονται διαδοχικά. 13

14 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8 Πώς ορίζεται η γωνία δύο διανυσμάτων α και β και πώς συμβολίζεται; Απάντηση Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α και ΟΒ = β. β β B β β B β α β O α α Α O Α α Β A O α Β O α Α Την κυρτή γωνία Α ^Ο Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ τη λέμε γωνία των διανυσμάτων α και β. Συμβολισμός ( α ^, β ) ή ( ^ β, α ) ή θ i. Η γωνία ( α ^, β ) = θ είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του Ο και ισχύει: 0 ο θ 180 ο ή 0 θ π ii., Αν α β 0 και θ = ( α ^, β ), ισχύει ότι: α. α β θ = 0 β. α β θ = π γ. α // β (θ = 0 ή θ = π) iii. Αν θ = π 2, τότε τα iv. Αν θ = ( α ^, β ) με α, β α) ( α ^, β ) = ( ^ α, β) ( ^ α, β ) = θ α, β λέγονται ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α 0, τότε: β ) = π θ β α α β β. iv. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται ομόρροπο ή αντίρροπο ή κάθετο σε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα. 9 Πώς προσθέτουμε δύο διανύσματα α και β ; Απάντηση Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα α και β εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: 14

15 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Κανόνας διαδοχικών διανυσμάτων Τα καθιστούμε διαδοχικά και ορίζουμε ως άθροισμα ή συνισταμένη των α και β το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του δεύτερου. Κανόνας του παραλληλόγραμου Εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλόγραμμου όπου παίρνουμε τα δύο διανύσματα μετατοπισμένα παράλληλα ώστε να έχουν κοινή αρχή Ο. Η περιεχόμενη διαγώνιος ΟΓ μεταξύ των διανυσμάτων α και β του παραλληλόγραμμου ΟΑΓΒ είναι το άθροισμά τους. α O α A α O β OΓ = α + β A Γ β B β B OB = α + β α β > Παράδειγμα: i. Το άθροισμα των διανυσμάτων α, β είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. ii. Ο πρώτος τρόπος, δηλαδή να κάνουμε τα διανύσματα διαδοχικά, είναι προτιμότερος αν έχουμε να προσθέσουμε περισσότερα από δύο διανύσματα. iii. Ένας μνημονικός κανόνας είναι ο εξής: ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, AB + BΓ + ΓΔ = ΑΔ Γενικεύοντας, μπορούμε να γράψουμε: Για να υπολογίσουμε το άθροισμα: Α 1 Α 2 + ΑΔ + ΕΚ + ΛΜ + ΔΕ + βάζουμε τα διανύσματα στη σειρά, ώστε να είναι διαδοχικά. Τότε: ΑΔ + ΕΚ + ΛΜ + ΔΕ + ΚΛ = ΑΔ + Α 2 Α Α ν 1 Α ν = ΔΕ + ΚΛ Α 1 Α ν ΕΚ + ΚΛ + ΛΜ = ΑΜ 10 Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσμάτων. Απάντηση Στην πρόσθεση διανυσμάτων ισχύουν οι ιδιότητες: i. α + β = β + α (αντιμεταθετική) ii. α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ (προσεταιριστική) iii. α + 0 = 0 + α = α (ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου) iv. α + ( α ) = ( α ) + α = 0 15

16 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 11 Πώς Απάντηση αφαιρούμε δύο διανύσματα α και β ; Η διαφορά α β του διανύσματος β από το διάνυσμα α ορίζεται ως O β B άθροισμα των διανυσμάτων α και β. Δηλαδή: α β = α + ( β ) Στο παραλληλόγραμμο της πρόσθεσης των διανυσμάτων α και β η δεύτερη διαγώνιος εκφράζει τη διαφορά των α και β. α A Γ i. Ισχύουν επίσης τα εξής: α + γ = β + γ α = ( α ) = α ( α + β ) = ( α ) + ( β α + x = β x = β α + x = α x = α + x = 0 0 x = α β (νόμος διαγραφής) ) α i. Η αφαίρεση δύο διανυσμάτων με κοινό πέρας μπορεί να μετατραπεί σε πρόσθεση διαδοχικών διανυσμάτων. Για παράδειγμα: ΑΒ ΓΒ = ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ iii. Κανόνας διαδοχικών Κανόνας Διανύσματα διανυσμάτων παραλληλογράμμου α β α β α β β α β β α > Παράδειγµα: Το άθροισμα ΚΛ ΜΛ ΟΝ + ΜΝ μπορεί να γραφεί ως ένα άθροισμα με τον εξής τρόπο: ΚΛ ΜΛ ΟΝ + ΜΝ = ΚΛ + ΛΜ + ΝΟ + = ΚΛ + ΛΜ + ΜΝ + ΝΟ = ΚΟ ΜΝ = 16

17 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ορίζεται το διάνυσμα θέσης ή διανυσματική ακτίνα ενός σημείου Μ; 12Πώς Απάντηση Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ που λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου λέγεται σημείο αναφοράς στον χώρο. μπορούμε να γράψουμε ένα διάνυσμα 13Πώς Απάντηση Αν Ο σημείο αναφοράς και ΑΒ τυχαίο διάνυσμα τότε: ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Δηλαδή «κάθε διάνυσμα στον χώρο ισούται με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής». ΑΒ με τη βοήθεια ενός σημείου αναφοράς Ο; O A B > Παραδείγματα: i. Το διάνυσμα ΒΔ με σημείο αναφοράς το Μ γράφεται: ΒΔ = Μ Δ ΜΒ ii. Ισχύει ότι: ΑΡ ΖΡ + ΖΒ = ΑΖ + ΖΒ = iii. Για να εκφράσουμε το διάνυσμα ΑΒ + ΓΔ συναρτήσει των διανυσμάτων ΓΒ και ΑΔ ενεργούμε ως εξής: Έστω Ο σημείο αναφοράς, τότε: ΑΒ + ΓΔ = ΟΒ ΟΑ + ΟΔ ΟΓ = ΟΒ ΟΓ + ΟΔ ΟΑ = ΓΒ ΑΔ ΑΒ + ανισοτικές σχέσεις ισχύουν για το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων 14Ποιες Απάντηση Στο διπλανό σχήμα έχουμε δύο διανύσματα α, β και το άθροισμά τους α στο τρίγωνο ΟΑΒ βρίσκουμε: (OA) (AB) (OB) (OA) + (OB) δηλαδή: α β α + β α + β + α και β ; β. Από την τριγωνική ανίσωση Β β A α + β α O 17

18 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ > Παράδειγμα: Αν α = 3 και β = 7, τότε: α β α + β α + β 3 7 α + β α + β 10 i. Αν στη σχέση α β α + β α + β θέσουμε όπου β το β, βρίσκουμε: α β α β α + β α β α β α + β ii. Ειδικότερα: Αν α 0 και β 0 και α, β μη συγγραμμικά, τότε: α β < α + β < α + β Αν α β, τότε: α β < α + β = α + β Αν α β, τότε: α β = α + β < α + β Αν α = 0 ή β = 0, τότε: α β = α + β = α + β 18

19 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Κατηγορία 1 ΜεθοΔοΛοΓιεΣ - εφαρμογεσ Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εκφράσουμε ένα διάνυσμα x συναρτήσει γνωστών διανυσμάτων τα οποία όλα μαζί δημιουργούν μια κλειστή πολυγωνική γραμμή. μέθοδος Ορίζουμε μια φορά κίνησης όπως για παράδειγμα αυτή των δεικτών του ρολογιού. Αν κατά την κίνηση αυτή συναντάμε την αρχή του διανύσματος, τότε θέτουμε το πρόσημο (+) μπροστά από αυτό ενώ αν συναντάμε το πέρας το πρόσημο ( ). Δεν θα πρέπει να ξεχνάτε ότι το άθροισμα αυτό είναι ίσο με το εφαρμογή Να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των υπόλοιπων διανυσμάτων του διπλανού σχήματος. Ορίζουμε ως θετική φορά κίνησης αυτή των δεικτών του ρολογιού. Τότε ξεκινώντας από το διάνυσμα α βρίσκουμε διαδοχικά: α ε δ β x γ α β + γ + x δ ε = 0 x = α + β γ + δ + ε Κατηγορία 2 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδείξουμε διανυσματικές ισότητες. μέθοδος Xρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: Α τρόπος Κάνουμε πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων (πρόσθεση, αφαίρεση) που υπάρχουν στη δοθείσα ισότητα με στόχο να καταλήξουμε ισοδύναμα σε κάτι που ισχύει. Β τρόπος Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα της δοθείσας ισότητας ως διαφορά δύο διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή ένα καινούργιο σημείο Ο. Επιλέγουμε δηλαδή το Ο ως σημείο αναφοράς. Γ τρόπος Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα της δοθείσας ισότητας ως διαφορά δύο διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή ένα από τα σημεία της αρχικής ισότητας.επιλέγουμε δηλαδή ένα γνωστό σημείο, ως σημείο αναφοράς. 19

20 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.2 εφαρμογή Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει: ΔΒ + ΓΑ = ΓΒ ΑΔ A τρόπος Η δοθείσα ισότητα ισοδύναμα γράφεται: ΔΒ + ΓΑ = ΓΒ ΑΔ ΑΔ + ΔΒ = ΓΒ ΓΑ ΑΒ = ΑΒ, που ισχύει B τρόπος Έστω Ο ένα οποιοδήποτε σταθερό σημείο. Τότε η δοθείσα σχέση γράφεται: ΔΒ + ΓΑ = ΓΒ ΑΔ ΟΒ ΟΔ + ΟΑ ΟΓ = ΟΒ ΟΓ ( ΟΔ ΟΑ ) ΟΔ + ΟΑ = ΟΔ + ΟΑ, που ισχύει Γ τρόπος Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς ένα από τα υπάρχοντα σημεία, για παράδειγμα το Α. Τότε η δοθείσα σχέση γράφεται: ΔΒ + ΓΑ = ΓΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ + ΓΑ = ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΓΑ = ΑΓ, που ισχύει 1.3 εφαρμογή Αν ισχύει ότι ΑΔ = ΓΕ και ΔΒ = ΕΖ να δείξετε ότι: ΓΑ = ΖΒ και ΑΒ = ΓΖ Ισχύει ότι: και Από τις (1), (2) βρίσκουμε: = Επειδή ΓΑ ΖΒ παίρνουμε: ΑΔ = ΓΕ ΑΓ = ΔΕ ΓΑ = ΔΒ = ΕΖ ΔΕ = ΒΖ ΕΔ = ΓΑ = ΖΒ ΕΔ (1) ΖΒ (2) ΑΓ = ΒΖ ΑΒ = ΓΖ 20

21 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.4 εφαρμογή Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ, E και Ζ ισχύει: ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ Η δοθείσα ισότητα ισοδύναμα γράφεται: ΑΔ ΑΕ + ΒΕ ΒΖ + ΓΖ ΓΔ = 0 ΕΔ + ΖΕ + ΔΖ = 0 ΕΔ + ΔΖ + ΖΕ = 0 ΕΖ + ΖΕ = 0 ΕΕ = 0, που ισχύει Μεθοδολογικό σχόλιο Για να δείξουμε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ αρκεί να δείξουμε ότι: ΑΜ = Αν γνωρίζουμε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ, τότε έχουμε ως δεδομένο ότι: ΑΜ = ΜΒ ΜΒ 1.5 εφαρμογή Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ αν ισχύει: ΔΜ ΓΑ = ΔΒ + ΜΓ Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς το Μ. Τότε η δοθείσα ισότητα γράφεται: ΜΔ ( ΜΑ ΜΓ ) = ΜΒ Άρα το Μ είναι το μέσο του ΑΒ. ΜΔ + ΜΓ ΜΑ + ΜΓ = ΜΒ + ΜΓ ΑΜ = ΜΒ 1.6 εφαρμογή Αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της πλευράς ΑΒ, να αποδείξετε ότι: ΜΓ + ΜΒ + ΔΑ = ΔΓ 21

22 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς το Μ. Τότε η δοθείσα ισότητα γράφεται: ΜΓ + ΜΒ + ΜΑ ΜΔ = το οποίο ισχύει αφού Μ μέσο του ΑΒ. ΜΓ ΜΔ ΜΒ = ΜΑ ΜΒ = Κατηγορία 3 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δείξουμε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓδ είναι παραλληλόγραμμμο. μέθοδος Για να δείξουμε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί να δείξουμε ότι: ΑΒ = ΔΓ ή ΒΓ = Προσοχή! Γενικά πρέπει να γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι μη συνευθειακά. Τις ίδιες ισότητες χρησιμοποιούμε αν γνωρίζουμε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΑΔ ΑΜ Δ Α Γ B 1.7 εφαρμογή Αν τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι μη συνευθειακά και για ένα σημείο Κ ισχύει: ΚΓ + ΚΑ = ΚΒ + να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΚΔ Ισχύει ότι: ΚΓ ΚΒ = ΚΔ ΚΑ ΒΓ = ΑΔ Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 1.8 εφαρμογή Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω α, β, γ και δ τα αντίστοιχα διανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο. Τι μπορείτε να συμπεράνετε για το τετράπλευρο ΑΒΓΔ αν: i. α + γ = β + i. Η σχέση α δ ii. α γ = β δ iii. α + γ = β + δ ισοδύναμα γράφεται: + γ = β + ΟΑ + ΟΓ = ΟΒ + ΟΔ ΟΑ ΟΒ = ΟΔ ΟΓ ΒΑ = Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. δ και α γ = β δ ΓΔ 22

23 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ii. Ισχύει ότι: ΟΑ ΟΓ = ΟΒ ΟΔ ΓΑ = ΔΒ Δηλαδή το ΑΒΓΔ έχει ίσες διαγώνιους. iii. Από (i), (ii) συμπεραίνουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιους, συνεπώς είναι ορθογώνιο. Κατηγορία 4 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δείξουμε ότι δύο σημεία ταυτίζονται (συμπίμτουν). μέθοδος Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α, Β ταυτίζονται, αρκεί να δείξουμε ότι: ΑΒ = 0 ή ΟΑ = ΟΒ 1.9 εφαρμογή Για τα σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει ότι: Nα δείξετε ότι τα σημεία Α, Δ ταυτίζονται. ΔΒ ΔΑ = ΓΒ ΓΔ Η δοθείσα ισότητα ισοδύναμα γράφεται: Οπότε τα σημεία Α, Δ ταυτίζονται. ΔΒ ΔΑ = ΓΒ ΓΔ ΑΒ = ΔΒ ΑΒ ΔΒ = 0 ΑΔ = εφαρμογή Για τα σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει ότι: Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Μ ταυτίζονται. ΓΜ + ΒΔ = ΒΑ Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς το Ο. Τότε η δοθείσα ισότητα γράφεται: ΟΜ ΟΓ + ΟΔ ΟΒ = ΟΑ ΔΓ ΟΒ ( ΟΓ ΟΔ ) Άρα τα σημεία Α, Μ ταυτίζονται. ΟΜ ΟΓ + ΟΔ = ΟΑ ΟΓ + ΟΔ ΟΜ = ΟΑ 23

24 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Κατηγορία 5 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζουν δύο διανύσματα. μέθοδος Πρέπει να προσέχουμε αν τα διανύσματα των οποίων θέλουμε να βρούμε τη γωνία έχουν κοινή αρχή. β β O θ O θ α α Στο πρώτο σχήμα είναι ( α ^, β ) = θ ενώ στο δεύτερο ( ^ α, β ) = π θ εφαρμογή Να σημειώσετε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα α, β του παρακάτω σχήματος. β 130º O α β 130º O α β 130º O α Για το πρώτο σχήμα είναι ( α ^, β ) = 130. Για το δεύτερο σχήμα είναι ( α ^, β ) = π ( ^ α, β ) = = 50. Για το τρίτο σχήμα είναι ( α ^, β ) = ( ^ α, β ) = εφαρμογή Με βάση το διπλανό σχήμα να βρείτε τις γωνίες: i. ( ΑΒ ^, ΒΔ ) ii. ( ΔΓ ^, ΓΚ ) iii. ( ΑΒ ^, ΚΒ ) Α B 12 iv. ( ΑΒ, ^ ΓΚ ) v. ( ΔΓ ^, ΑΓ ) vi. ( ΒΔ ^, ΒΚ ) Δ Γ K 24

25 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Οι διαγώνιες ενός τετράγωνου είναι και διχοτόμοι των γωνιών. Τότε: i. ( ΑΒ ^, ΒΔ ) = ( ^ ΒΑ ΒΔ, ) = = 135 ii. ( ^ ΔΓ, ΓΚ ) = 0 iii. ( ΑΒ ^, ΚΒ ) = ( ^ ΒΑ, Β Κ ) = 135 iv. ( ^ ΑΒ, ΓΚ ) = 0 v. ( ΔΓ ^, ΑΓ ) = ( ^ ΓΔ, ΓΑ ) = 45 vi. ( ΒΔ ^, ΒΚ ) = ^Β 1 + ^Β 2 = = 90 Κατηγορία 6 Ασκήσεις στις οποίες εμφανίζονται ανισοτικές σχέσεις διανυσμάτων με μέτρα. μέθοδος Χρησιμοποιούμε κατά κύριο λόγο τη βασική ανίσωση: α β α ± β α εφαρμογή i. Αν α = 2 και β = 7, να δείξετε ότι: ii. Αν ΟΑ = 4 και ΟΒ = 6, να δείξετε ότι: iii. Να δείξετε ότι: 5 α β 9 2 ΑΒ 10 κ α + λ β κ α + λ β β, κ, λ > 0 i. Είναι: α β α β α + β 2 7 α β α β 9 25

26 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ii. Ισχύει ότι ΑΒ = ΟΒ ΟΑ. Τότε: iii. Έχουμε: ΟΒ ΟΑ ΑΒ ΟΒ + ΟΑ 4 6 ΑΒ κ α + λ β κ α + λ β = κ α + λ β λ>0 κ>0 κ α ΑΒ 10 + λ β κ α + λ β 1.14 εφαρμογή Αν κ 0, να δείξετε ότι: Ισχύει ότι: α + Αρκεί επομένως να δείξουμε ότι: α + β 2 (1 + κ 2 ) α 2 + ( β 2 ( α + β ) 2 = α κ 2 ) β β α β α 2 + β α β (1 + κ 2 ) α 2 + ( κ ) β 2 α 2 + β α β α 2 + κ 2 α 2 + β β 2 κ 2 2 α β κ 2 α β 2 0 ( κ α ) 2 2 α κ 2 ( κ α κ 1 2 β ) 0, που ισχύει β + ( 1 β ) 2 κ Μεθοδολογικό σχόλιο Για να δείξουμε ότι α β αρκεί να δείξουμε ότι: α + β = α + β Για να δείξουμε ότι α β αρκεί να δείξουμε ότι: α β = α + β 26

27 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.15 εφαρμογή Αν για τα διανύσματα α, β ισχύει ότι: α = 2, να δείξετε ότι τα α, β είναι ομόρροπα. β = 6 και α + β 8 Ισχύει ότι: Οπότε: 8 α + β α + α + β = β = 8 = α + β άρα α α + β 8 β 1.16 εφαρμογή Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι: να δείξετε ότι α β και α γ. α + β + γ = 0 και α 4 = β 3 = γ 7 Έστω: Tότε: α = 4κ, α 4 = β 3 = γ 7 = κ β = 3κ και γ = 7κ Είναι α + β = γ, οπότε: α + β = γ = γ = 7κ και α + β = 4κ + 3κ = 7κ Τότε: α + β = α + β οπότε α β Επίσης α Τότε: + γ = β, οπότε: α + γ = β = β = 3κ και γ α = 7κ 4κ = 3κ α + γ = γ α οπότε α γ 27

28 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΦΑ Ρ Μ Ο Γ Ε Σ ΕΜ Π Ε Ω Σ Η Σ & ΕΜ Β Α Θ Υ Ν Σ Η Σ 1.17 Να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των υπόλοιπων διανυσμάτων των παρακάτω σχημάτων. ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΔΙΑΔΡΟΜΕΣ α x β δ γ γ α ε α β ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ x β δ 1.18 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει: ΓΑ = ΓΒ ΑΔ + ΒΔ 1.19 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε ισχύει: 1.20 Αν ισχύει ότι ΑΒ δείξετε ότι: ΑΓ + ΕΔ = ΒΔ ΒΑ ΒΓ = 1.21 Αν ισχύει ότι ΑΕ να δείξετε ότι: = ΕΖ και ΔΕ και ΓΕ = ΑΓ + ΒΑ = = ΓΕ ΑΔ = ΒΔ ΑΔ και ΒΖ ΕΖ = ΒΓ + ΓΖ, να ΒΔ, 1.22 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ ισχύει: ΕΔ + ΕΒ + ΖΓ + ΖΑ = ΕΑ + ΖΒ + ΕΓ + ΖΔ 1.23 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, το Μ είναι μέσο της πλευράς ΑΓ. Αν για δύο σημεία Δ, Ε ισχύει: ΒΓ = ΔΜ και ΕΜ = ΑΒ να δείξετε ότι το σημείο Α είναι μέσο του ΔΕ Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και για δύο σημεία Δ, Ε του επιπέδου του τριγώνου έχουμε: ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ + ΑΕ να αποδείξετε ότι: i. το Μ είναι μέσο ΔΕ, ii. για οποιοδήποτε άλλο σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου, θα είναι ΝΒ + ΝΓ = ΝΔ + ΝΕ 1.25 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τα παραλληλόγραμμα ΑΒΚΛ, ΑΓΝΜ και ΒΓΔΕ. Να αποδείξετε ότι: ΛΜ + ΝΔ + ΕΚ = Αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ το E είναι μέσο της πλευράς ΑΒ και το Ζ μέσο της πλευράς ΓΔ, να αποδείξετε ότι: ΕΓ + ΕΔ + ΖΑ + ΖΒ = 0 28

29 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.27 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι: i. ΑΔ ΒΔ = ΔΕ ΔΓ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο ii. αν Ο είναι το σημείο τομής των διαγώνιων του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ τότε: ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ = 1.28 Για ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι: ΑΒ ΓΚ + ΑΚ = ΔΓ ΓΑ Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ ώστε ΑΕ = ΗΓ και ΖΓ = ΑΘ. Να δείξετε ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 0 TAΥΤΙΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ότι το τετράπλευρο ΗΖΕΘ είναι παραλληλόγραμμο Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το παραλληλόγραμμο ΑΕΓΖ το οποίο έχει με το ΑΒΓΔ κοινή διαγώνιο την ΑΓ. Να δείξετε ότι: ΒΕ = ΖΔ 1.31 Αν για τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ ισχύει ΑΓ = ΑΒ + ΑΔ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Έστω Α, Β, Γ τρία μη συνευθειακά σημεία και Κ σημείο του ΒΓ. Αν για το σημείο Ο ισχύει ΚΟ = ΑΚ + ΚΒ + ΚΓ να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΟΓ είναι παραλληλόγραμμο Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Μ, Ν ισχύει ότι: ΑΒ ΑΓ = ΜΒ ΝΓ να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν ταυτίζονται Αν για τα σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει ότι: ΓΑ + ΔΛ = ΓΒ ΑΔ να δείξετε ότι τα σημεία Β, Λ ταυτίζονται. ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1.35 Αν ισχύει ότι: ΚΕ ΖΜ ΚΛ = ΜΕ ΖΒ να δείξετε ότι τα σημεία Λ, Β ταυτίζονται Να σημειώσετε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα α, β του παρακάτω σχήματος. β 100º β 100º β 100º O α O α O α 1.37 Με βάση το παρακάτω σχήμα να βρείτε τις γωνίες: i. ( ΖΕ ^, ΕΓ iv. ( ΖΑ ^, Α B Γ Ζ Ε Δ ) ii. ( ΑΒ ^, ΔΕ ) iii. ( ΒΔ ^, ΔΕ ) ΔΓ ) v. ( ΑΖ ^, ΒΓ ) vi. ( ΒΖ ^, ΕΖ ) 29

30 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.38 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύει: α = β = γ και γ = α + β Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων β και γ Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ^Α = 90 ) και σημείο Δ της υποτείνουσας. Να βρείτε τις γωνίες: i. ( ΒΑ ^, ΒΓ iii. ( ΒΔ ^, ) ΔΓ ) ii. ( ΑΒ ^, ΒΓ iv. ( ΓΔ ^, ) ΒΔ ) ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΤΡΑ 1.40 i. Αν α = 6 και β = 2 να δείξετε ότι: 4 α β 8 ii. Αν ΟΑ = 6 και ΟΒ = 5 να δείξετε ότι: 1 ΑΒ Για τα διανύσματα α, β ισχύει ότι: α 3 και β 4 Να δείξετε ότι: i. α + β iii. 3 α 2 β 1 7 ii. α + 2β Αν για τα διανύσματα α, β ισχύει ότι: α = 5, β = 7 και α + β 12 να δείξετε ότι τα α, β είναι ομόρροπα Αν ισχύει ότι α β και α β να αποδείξετε: α α β + β α + β Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο, να δείξετε ότι για τα διανύσματα α, β ισχύει ότι: α + β β α Για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι: α + β + γ = 0 και α 3 = β 5 = γ 8 Να δείξετε ότι α β και α γ 1.46 Για δύο διανύσματα u, v να δείξετε ότι: i. 1 + u u ii. 1 + u v + u v 1.47 Για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι: α = 3, β = 5 και γ = 9 Να δείξετε ότι α + β + γ 1.48 Δίνονται τα διανύσματα α, β όπου το μέτρο του α είναι διπλάσιο του μοναδιαίου. Αν επιπλέον ισχύει ότι α β = 7, να δείξετε ότι: 5 β 9 0 ερωτησεισ κατανοησησ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ 1.49 Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. Ισχύει η ισοδυναμία α > 0 α 0. ii. Αν α = β, τότε α = β iii. Αν τα διανύσματα α, β είναι ομόρροπα, είναι και παράλληλα. iv. Αν τα διανύσματα α, β έχουν την ίδια διεύθυνση, τότε είναι ομόρροπα. 30

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α 3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. 1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = α, Α = β. α) Το διάνυσµα ΑΓ ισούται µε Α. α - β Β. β - α Γ.. α + β Ε. α - β α + β β) Το διάνυσµα Β ισούται µε α + β Α. α + β Β. β -

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή:

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή: α.. Πρόσθεση διιανυσμάτων Αν έχουμε δύο διανύσματα α, β για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: 1 0ς τρόπος!! Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε διάνυσμα Α = α!!!!!" και στη συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Περιεχόμενα Η Εννοια του διανύσματος Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα Ισα Αντίθετα διανύσματα Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Διάνυσμα θέσεως Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

!! viii) Αν λ α = μα

!! viii) Αν λ α = μα Αν έχουμε το διάνυσμα α O και τον πραγματικό αριθμό * λ R τότε γινόμενο του λ με το διάνυσμα α! λέγεται το διάνυσμα λ α! το οποίο: i) είναι ομόρροπο του α! όταν λ>0 και είναι αντίρροπο του α! όταν λ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα