Konstrukcija hibridnih orbital s projekcijskimi operatorji iz simetrijsko pogojenih linearnih kombinacij atomskih orbital

Transcript

1 Konstrukcija hibridnih orbital s projekcijskimi operatorji iz simetrijsko pogojenih linearnih kombinacij atomskih orbital Seminar pri predmetu Simetrije na podiplomskem študiju fizike Mojca Miklavec Mentor: doc. dr. Primož Ziherl Ljubljana, 8. december 010

2 Kazalo Kazalo Povzetek Atomske Orbitale Oblika atomskih orbital Simetrijske lastnosti atomskih orbital Kovalentna kemijska vez Hibridne orbitale Hibridne orbitale z vezmi σ sp linearna hibridizacija sp trikotna hibridizacija sp 3 tetraedrična hibridizacija sp 3 d trigonalno bipiramidalna hibridizacija sp 3 d oktaedrična hibridizacija Matematična oblika hibridnih orbital sp linearna hibridizacija sp trikotna hibridizacija Baza upodobitve Tabela transformacij Razcep na nerazcepne upodobitve Določitev primernih orbital Uporaba projekcijskega operatorja Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Izračun koeficientov Rezultat sp 3 tetraedrična hibridizacija Baza upodobitve Tabela transformacij Razcep na nerazcepne upodobitve Določitev primernih orbital Uporaba projekcijskega operatorja Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Izračun koeficientov Rezultat sp 3 d trigonalno bipiramidalna hibridizacija Baza upodobitve Tabela transformacij Razcep na nerazcepne upodobitve

3 Določitev primernih orbital Uporaba projekcijskega operatorja Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Rezultat sp 3 d oktaedrična hibridizacija Baza upodobitve Karakter transformacij Razcep na nerazcepne upodobitve Določitev primernih orbital Uporaba projekcijskega operatorja Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Rezultat Hibridne orbitale z vezmi π Primer trikotne molekule Baza upodobitve Tabela transformacij Razcep na nerazcepne upodobitve Določitev primernih orbital Primer oktaedrične molekule Baza upodobitve Razcep upodobitve Določitev primernih orbital Zaključek Literatura Priloge

4 Povzetek V seminarju si bomo ogledali, kako simetrija pomaga pri obravnavi kemijskih vezi, natančneje hibridnih orbital matematičnega modela, ki pomaga razumeti strukturo molekul. V prvem poglavju so predstavljene atomske orbitale, njihova oblika in simetrijske lastnosti, v drugem kovalentne vezi in nekaj splošnega o njihovi obliki, v tretjem pa so obravnavane hibridne orbitale. Najprej se dotaknemo splošne oblike, navedemo primere petih najpogostejših hibridizacij z enojnimi vezmi in v jedru seminarja izpeljemo celoten postopek, s katerim izračunamo matematično obliko hibridnih orbital in jih tudi narišemo. Na grobo je orisan tudi postopek računa hibridnih orbital z vezmi π za dve različni geometriji molekul. 3

5 1. Atomske Orbitale 1.1. Oblika atomskih orbital Atomske orbitale so lastne rešitve Schrödingerjeve enačbe, s katerimi opisujemo gibanje elektronov v atomu oziroma verjetnost, da se elektron nahaja v določenem delu prostora okrog atomskega jedra. Za vodikov atom so lastne rešitve funkcije ψ nlm, ki jih lahko v sferičnih koordinatah (r, ϑ, ϕ) izrazimo kot produkt radialnega in kotnega dela: ψ nlm (r, ϑ, ϕ) = R nl (r )Y lm (ϑ, ϕ) (1) in jih je mogoče zapisati tudi analitično. Katero koli valovno funkcijo pa lahko zapišemo kot vsoto Ψ = n 1 l n=1 l=0 m= l c nlm ψ nlm. () Glavno kvantno število n označuje lupino, stransko kvantno število l določa obliko orbitale, magnetno kvantno število m pa njeno orientacijo. Prvih nekaj orbital je naštetih v tabeli 1. n l m s 0 s 1 p x p z p y 3 0 3s 3 1 3p x 3p z 3p y 3 3d xy 3d xz 3d z 3d yz 3d x y Tabela 1 Kvantna števila in atomske orbitale. Pri ostalih atomih valovnih funkcij ne moremo več zapisati analitično, vendar so zgornjim kvalitativno podobne. V nadaljevanju nas tudi ne bo zanimala radialna odvisnost, temveč le kotni del Y lm (ϑ, ϕ), kot je prikazan na sliki 1 in izračunan v tabeli (kjer smo zaradi jasnosti in nadaljnje obravnave funkcijo Y lm zapisali v kartezičnih koordinatah) [1]. 4

6 l m l orb. Y lm Tabela 0 0 s 1 1 π 3 π 3 π 1 3 p y π π 15 π 1 15 d yz π 15 π 1 0 p z 1 1 ± 1 p x 1 0 d z ± 1 d xz 1 ± d xy 1 d x y 1 4 z r x r y r 3z r r xz r yz r xy r 15 x y π r Kotni del valovnih funkcij, izražen s kartezičnimi koordinatami. 1s p x p y p z 3d xy 3d xz 3d z 3d yz 3d x y Slika 1 Vodikove orbitale s, p in d. 5

7 1.. Simetrijske lastnosti atomskih orbital Orbitale s so krogelno simetrične, zato jih katera koli simetrijska operacija iz točkovne grupe preslika same vase. Karakter poljubne simetrijske operacije je zato kar enak 1. Orbitale p x, p y in p z se pri teh simetrijskih operacijah obnašajo enako kot funkcije x, y in z, kar je razvidno že iz tabele. Rotaciji C (z) in C (y), inverzija ali zrcaljenje σ yz bodo na primer orbitalo p x preslikali v p x (čemur pripišemo karakter 1), rotacija C (x), zrcaljenji σ xy ali σ xz pa jo pustili nedotaknjeno (karakter 1). Rotacija C n (z) za n > orbitalo p x preslika v linearno kombinacijo p x in p y, kar povzroči degeneracijo in čemur pripišemo karakter cos (π/n). Podobno velja za orbitale d, ki se transformirajo po isti upodobitvi kot funkcije v indeksu in so za razliko od orbital p invariante na inverzijo skozi izhodišče koordinatnega sistema. Orbitala d xy (glej sliko 1) se transformira enako kot funkcija xy: pri inverziji, rotacijah C (x), C (y), C (z) in zrcaljenjih σ xy, σ yz, σ zx se ne spremeni (karakter 1). Pri rotaciji C 4 (z) ali zrcaljenju preko ravnine x = ±y pa spremeni predznak (karakter 1). Karakter simetrijskih operacij pri delovanju na posamezno orbitalo navadno lahko preberemo iz tabel karakterjev, ki jih najdemo v skoraj vsakem učbeniku o simetrijah. V zadnjih običajno dveh stolpcih lahko preberemo, kateri homogeni polinomi stopnje n (navadno za n = 1 in ) ustrezajo posamezni upodobitvi. Primer je v tabeli 4. Orbitala s vedno ustreza prvi nerazcepni upodobitvi, orbitale p najdemo v predzadnji vrstici in ustrezajo polinomom prve stopnje, orbitale d pa v zadnji in ustrezajo polinomom druge stopnje. Včasih so navedeni tudi polinomi tretje stopnje, ki ustrezajo orbitalam f. Nekatere funkcije, kot npr. x +y ali x +y +z se sicer transformirajo po dani nerazcepni upodobitvi, a ne ustrezajo nobeni orbitali. Na spletni strani najdemo tabele karakterjev skupaj s polinomi tretje stopnje.

8 . Kovalentna kemijska vez Če si pobliže ogledamo sosednja atoma v neki molekuli s kovalentnimi vezmi, opazimo, da je za elektrone energijsko najugodneje, če se nahajajo na sredini med obema jedroma, saj je ob tem elektrostični privlak med elektronom in jedroma največji, pozitivno nabiti jedri pa zaradi senčenja elektronov čutita manjši odboj. Verjetnostno gostoto elektronov v molekuli sicer v splošnem opišemo z dokaj kompleksno valovno funkcijo, vendar si je takrat, ko ne potrebujemo numeričnih rezultatov, nadvse priročno molekule predstavljati kot skupek atomov, povezanih s kemijsko vezjo, kjer kemijska vez pomeni zgolj povečano elektronsko gostoto med sosednjima atomoma. V najbolj poenostavljeni obliki govorimo o enojnih, dvojnih in trojnih vezeh med atomi v molekuli, pri čemer enojni vezi pravimo tudi vez σ, dvojna (oziroma trojna) vez pa je sestavljena iz ene vezi σ in ene (oziroma dveh) vezi π. Pri tvorbi vezi navadno sodelujeta dva elektrona z nasprotnima spinoma []. Imena za vezi σ, π, δ, ϕ in γ izhajajo iz poimenovanja atomskih orbital s, p, d, f in g. Najmočnejše so vezi σ, ki so simetrične glede na rotacijo okrog osi med atomoma. Valovna funkcija, s katero jih opišemo, je brez vozelnih ravnin (ang. nodal plane). Nastanejo z neposrednim prekrivanjem orbital sosednjih atomov, ki morajo biti prav tako simetrične glede na omenjeno os vrtenja (npr. med orbitalama s s, s p z, p z p z, p z d z,... ). Slika Vez σ med ogljikoma v molekuli etena (levo), ki je nastala iz prekrivanja orbital p z p z in je simetrična na rotacijo okrog vezi. Vez σ na desni je nastala iz prekrivanja orbital d z d z. Vir: [7] in [8]. Vezi π imajo eno vozelno ravnino in posledično niso več simetrične na rotacijo. Nastanejo s posrednim prekrivanjem vzporednih orbital sosednjih atomov (npr. med orbitalama p x p x, p y p y,... ). Med sosednjima atomoma lahko nastaneta največ dve vezi π z medsebojno pravokotnima vozelnima ravninama. 7

9 Slika 3 Vez π, sestavljena iz dveh orbital p (levo) in dveh orbital d (desno). Vir: [9] in [10]. Vezi δ (ϕ, γ) imajo dve (štiri, osem) vozelnih ravnin, ustrezajo prekrivanju atomskih orbital d (f, g) in so še šibkejše od vezi π. Najdemo jih predvsem pri koordinacijskih spojinah in jih ne bomo posebej obravnavali. Slika 4 Vez δ v molekuli MO. Vir: [11]. Slika 5 Vezna in nevezna molekulska orbitala ϕ. Vir: [1]. 8

10 3. Hibridne orbitale V najbolj splošnem primeru za opis molekul uporabljamo molekulske orbitale, v zelo grobem približku pa molekule opišemo s kovalentimi kemijskimi vezmi in uporabimo teorijo valenčne vezi. Teorija valenčne vezi pravi, da atomi stremijo po tem, da bi imeli zapolnjeno zunanjo lupino. Npr. vodik z enim zunanjim elektronom potrebuje en dodaten elektron, kisik s šestimi pa dva do zapolnjene lupine. Kisik v molekuli vode si tako z vsakim vodikom»deli«po en elektron v skupnem elektronskem paru. Žal pa ta teorija ne zna razložiti niti obstoja molekule BH 3 niti SF. V prvem primeru bi imel bor zgolj šest elektronov, žveplo v drugem pa dvanajst. Prav tako teorija ne ve povedati mnogo o sami geometriji molekule. Po drugi strani lahko kemijsko vez opišemo kot prekrivanje atomskih orbital sosednjih atomov. Vendar je tudi ta opis zelo omejen. Za opis vode bi lahko npr. predpostavili, da se orbitali s obeh vodikovih atomov prekrivata z orbitalama p x in p y kisikovega atoma. Vendar v tem primeru dobimo kot med obema vezema enak 90, kar ne ustreza dejanski vrednosti 104,5. Molekule metana s štirimi atomi vodika okrog ogljika ne moremo opisati, saj nimamo na voljo dovolj ogljikovih orbital [3]. Zato so v kemiji vpeljali koncept hibridnih orbital, pri katerem s kombiniranjem zunanjih atomskih orbital centralnega atoma v molekuli AB n dobimo n enakovrednih hibridnih orbital, ki kažejo v smereh sosednjih atomov in se prekrivajo z atomskimi (lahko tudi s hibridnimi) orbitalami sosednjih atomov [4]. Hibridne orbitale φ i sestavljamo iz linearnih kombinacij posameznih atomskih orbital ψ p centralnega atoma: φ i = p c pi ψ p, (3) pri čemer si bomo v poglavju 3. ogledali, kako zgolj s pomočjo upoštevanja simetrije določimo koeficiente c pi. (Indeks p teče po atomskih orbitalah 1s, s, p x,... ) Hibridne orbitale torej stanje v molekuli opišejo natančneje od atomskih orbital in manj natančno od molekulskih orbital. Sama hibridizacija ni realen fizikalen proces, temveč zgolj model, ki pomaga razložiti strukturo molekule, ko enostavnejši model odpove. 9

11 3.1. Hibridne orbitale z vezmi σ Najpogosteje srečamo pet tipov hibridizacij, ki so prikazani na spodnjih skicah: linearno (sp), trikotno (sp ), tetraedrično (sp 3 ), trigonalno bipiramidalno (sp 3 d) in oktaedrično (sp 3 d ). Pri n hibridnih orbitalah imamo v vsaki od n smeri bodisi kemijsko vez, na katero je»pripet«sosednji atom, bodisi nevezni elektronski par. Nevezni elektronski pari zavzamejo več prostora in nekoliko popačijo geometrijo molekule ter ji znižajo simetrijo, vendar teh primerov ne bomo posebej obravnavali. Na spodnjih slikah so predstavljene hibridizacije, postavitev atomov oziroma prostih elektronskih parov, oblika molekule z besedo, simetrijska grupa in primer take molekule. sp linearna hibridizacija linearna D h BeH sp trikotna hibridizacija trikotna D 3h upognjena C v BH 3, BF 3 CH 10

12 sp 3 tetraedrična hibridizacija tetraedrična T d trikotno piramidalna C 3v upognjena C v CH 4 NH 3 H O sp 3 d trigonalno bipiramidalna hibridizacija trikotno gugalnica/ v obliki bipiramidalna metulj črke T linearna D 3h C v C v D 3h PF 5 SF 4 BrF 3 XeF sp 3 d oktaedrična hibridizacija oktaedrična O h kvadratno piramidalna C 4v kvadratno planarna D 4h SF ClF 5 XeF 4 11

13 3.. Matematična oblika hibridnih orbital Za določitev koeficientov v enačbi (3) pri mešanju atomskih orbital so potrebni sledeči koraki [5]: 1. Določimo točkovno skupino molekule.. Določimo bazo upodobitve: vektor φ i v smeri vsake kemijske vezi (oz. hibridne orbitale) σ, 3. Za vsak bazni vektor φ i in vse operacije G a določimo, kam simetrijska operacija T (G a ) preslika vektor. 4. Izračunamo karakterje χ(g a ) za operacije G a v tej upodobitvi. 5. Upodobitev razcepimo na nerazcepne upodobitve T (α) : Γ hib = α m α Γ (α), m α = 1 g p c p χ p (α) χ hib p. (4). Za vsako dobljeno nerazcepno upodobitev T (α) : a. Iz tabele karakterjev preberemo, katere orbitale ustrezajo tej upodobitvi. b. Glede na elektronsko konfiguracijo centralnega atoma določimo, katere od simetrijsko ustreznih orbital imajo smisel. c. Uporabimo projekcijski operator P (α) na enem, dveh ali treh vektorjih φ i (glede na to, ali je upodobitev T (α) eno-, dvo- ali tridimenzionalna): P (α) φ i = s α χ a (α) T (G a )φ i, (5) g a G kjer je P (α) projekcijski operator v upodobitvi T (α), s α dimenzija upodobitve, g število elementov grupe in χ a (α) karakter operacije G a v tej upodobitvi. č. Normaliziramo dobljene vektorje (zato bomo v vseh nadaljnjih računih izpuščali predfaktor s α /g). d. Izračunamo, kako se posamezne atomske orbitale izražajo s hibridnimi. e. Iz inverzne oziroma transponirane matrike preberemo, kako se hibridne orbitale izražajo z atomskimi orbitalami. 1

14 sp linearna hibridizacija Linearna molekula pripada točkovni skupini D h. Za bazo vzamemo vektorje iz enačbe (9). φ z φ 1 φ 1 = (0, 0, 1), (9) φ = (0, 0, 1). V tem primeru bomo rezultat, ki je dovolj enostaven, zgolj zapisali: φ 1 = 1 (s + p z ), (10) φ = 1 (s p z ). Podroben postopek, kako do rezultata pridemo, si bomo ogledali pri ostalih hibridizacijah. φ 1 φ Slika Hibridni orbitali berilija v molekuli BeH iz orbital s in p. V molekuli BeH se vodikovi orbitali s prekrivata z enako predznačenim (pozitivnim oz. vijoličnim) delom hibridne orbitale berilijevega atoma. 13

15 sp trikotna hibridizacija Baza upodobitve Trikotna molekula pripada točkovni skupini D 3h. Za bazo vzamemo naslednje vektorje: a 1 y a a 3 x φ 1 = (0, 1, 0), (14) ( ) 3 φ =, 1, 0 in ( ) 3 φ 3 =, 1, 0. Tabela transformacij Simetrijske operacije vektorje φ i preslikajo tako, kot vidimo v tabeli 3. Karakter je enak številu vektorjev, ki se pri transformaciji ne spremenijo. E C 3 3C σ h S 3 3σ v φ 1 φ 1 φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ 1 φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ 1 φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ 1 φ 3 φ 3 φ 1 φ φ φ 1 φ 3 φ 3 φ 1 φ φ φ 1 φ 3 χ hib Tabela 3 V tabeli so uporabljene simetrijske operacije (E) (C 3, C3 ) (C, C, C ) (σ v) (S 3, S3 ) (σ v, σ v, σ v ), kjer C 3 in S 3 rotirata za 10 v obratni smeri urinega kazalca, C (i) vrtijo okrog φ i, σ v (i) pa slikajo čez vertikalno ravnino, ki gre skozi φ i. Razcep na nerazcepne upodobitve Pri razcepu si bomo pomagali s tabelo karakterjev za grupo D 3h (tabela 4). Za razcep uporabimo enačbi 14

16 D 3h E C 3 3C σ h S 3 3σ v A x + y, z A R z E (x, y) (x y, xy) A A z E (R x, R y ) (xz, yz) Tabela 4 Tabela karakterjev za D 3h. Vir: []. Γ hib = m α T (α), (15) α m α = 1 g p c p χ p (α) χ hib p, kjer je α indeks nerazcepne upodobitve Γ (α) (za D 3h je α { A 1, A,..., E } ), p indeks razreda simetrijskih operacij, c p število elementov v njem, g število vseh elementov g = p c p in χ p oz. χ (α) p karakter operacije iz razreda p v upodobitvi Γ hib oz. Γ (α). Tako izračunamo: m A = (1(1)(3) + ( 1)(0) + 3( 1)(1) + 1( 1)(3) + ( 1)(0) + 3( 1)(1)) = 1, m A = 1 1 (1(1)(3) + ( 1)(0) 3( 1)(1) + 1( 1)(3) + ( 1)(0) + 3( 1)(1)) = 0, m E = 1 1 (1()(3) + ( 1)(0) + 3( 0)(1) + 1( )(3) + ( 1)(0) + 3( 0)(1)) = 1, m A = (1(1)(3) + ( 1)(0) + 3( 1)(1) + 1( 1)(3) + ( 1)(0) + 3( 1)(1)) = 0, m A = 1 1 (1(1)(3) + ( 1)(0) 3( 1)(1) + 1( 1)(3) + ( 1)(0) + 3( 1)(1)) = 0, m E = 1 1 (1()(3) + ( 1)(0) + 3( 0)(1) + 1( )(3) + ( 1)(0) + 3( 0)(1)) = (1) 0. Od tod sledi, da je Γ hib = Γ A 1 Γ E. (17) Določitev primernih orbital Iz zadnjih dveh stolpcev tabele karakterjev za D 3h (tabela 4) preberemo, katere atomske orbitale so primerne za tvorbo hibridnih orbital: 15

17 upodobitev Γ A 1 Γ E orbitale s s p (p x, p y ) d d z (d x y, d xy) Tabela 5 Atomske orbitale, primerne za tvorbo hibridnih orbital v trikotnih molekulah. Dve orbitali med oklepaji pomenita, da orbitali skupaj tvorita dvodimenzionalno nerazcepno upodobitev. Od tod bi lahko sklepali na katero koli izmed naslednjih kombinacij orbital: sp, sd ali d 3. V tem primeru moramo upoštevati še kemijske lastnosti elementa, katerega hibridne orbitale računamo. V primeru bora je energija orbital d previsoka, da bi lahko sodelovale pri hibridizaciji, zato pride v poštev le hibridizacija iz orbital s, p x in p y. Pri atomih višje v periodnem sistemu pa je mogoče»mešanje«: hibridne orbitale lahko zapišemo kot φ = aφ sp + bφ sd, (18) kjer koeficienta a in b dobimo iz kvantnomehanskih izračunov. Uporaba projekcijskega operatorja S pomočjo projekcijskega operatorja lahko iz enega (dveh ali treh) vektorjev dobimo novo linearno kombinacijo vektorjev, ki ustreza natanko izbrani nerazcepni upodobitvi. Če začasno zanemarimo normalizacijo, se projekcijski operator zapiše kot P (α) φ i = χ a (α) T (G a )φ i, (19) G a G kjer je P (α) projekcijski operator v upodobitvi Γ (α) in χ a (α) upodobitvi. karakter operacije G a v tej Če želimo projekcijski operator uporabiti na katerem koli baznem vektorju φ i, tabelo 3 raje prepišemo v nekoliko bolj splošno obliko, kjer za vsako vrstico znotraj vsakega razreda seštejemo elemente. S simbolom S smo označili S = φ 1 + φ + φ 3. 1

18 E C 3 3C σ h S 3 3σ v φ i φ i S φ i S φ i S φ i S Tabela Vsota elementov znotraj razreda za splošno vrstico i iz tabele 3. Rezultat uporabe vseh šestih projekcijskih operatorjev P α na vektorjih φ i je prikazan v tabeli 7. Dobimo ga kot skalarni produkt vrstice iz tabele in vrstice iz tabele karakterjev (tabela 4). E C 3 3C σ h S 3 σ v vsota P (A 1 ) φ i 1φ i 1(S φ i ) 1S 1φ i 1(S φ i ) 1S 4S P (A ) φ i 1φ i 1(S φ i ) 1S 1φ i 1(S φ i ) 1S 0 P (E ) φ i φ i 1(S φ i ) 0S φ i 1(S φ i ) 0S (3φ i S) P (A 1 ) φ i 1φ i 1(S φ i ) 1S 1φ i 1(S φ i ) 1S 0 P (A ) φ i 1φ i 1(S φ i ) 1S 1φ i 1(S φ i ) 1S 0 P (E ) φ i φ i 1(S φ i ) 0S φ i 1(S φ i ) 0S 0 Tabela 7 Rezultat delovanja projekcijskega operatorja P (α) na vektor φ i. Za neničelni projekciji je P (A 1 ) φ i = 4S 1 3 S in (0) P (E ) φ i = (3φ i S) 1 (3φ i S), za projekcijske operatorje v ostalih upodobitvah, ki niso del razcepa iz enačbe (17), pa je rezultat po pričakovanjih enak 0. Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Za enodimenzionalno upodobitev A 1, ki ustreza simetriji orbitale s, je dovolj uporabiti projekcijski operator na enem samem vektorju P (A 1 ) φ 1 = 4S = 4(φ 1 + φ + φ 3 ) oziroma normalizirano obliko s: = ψ s = 1 3 (φ 1 + φ + φ 3 ). (1) Atomske orbitale bomo krajše zapisovali kar s črkami s, p x, p y,... 17

19 Za dvodimenzionalno upodobitev E moramo uporabiti projekcijski operator na dveh vektorjih: P (E ) φ 1 = (φ 1 φ φ 3 ) 1 (φ 1 φ φ 3 ), () P (E ) φ = (φ φ 1 φ 3 ) 1 (φ φ 1 φ 3 ). Upodobitvi E ustrezata orbitali p x in p y, rezultata sta zato linearni kombinaciji obeh orbital: 1 (φ 1 φ φ 3 ) = a 1 p x + b 1 p y, a 1 + b 1 = 1, (3) 1 (φ φ 1 φ 3 ) = a p x + b p y, a + b = 1. Izračun koeficientov Koeficiente a 1, a, b 1 in b določimo tako, da izberemo katerokoli simetrijsko operacijo, ki izraza (φ 1 φ φ 3 )/ oziroma (φ φ 1 φ 3 )/ ne spremeni, in opazujemo, kam se pri tem preslikata orbitali p x in p y. Zrcaljenje preko ravnine x = 0 (σ v) pusti izraz (φ 1 φ φ 3 )/ nespremenjen, zato je: ( ) 1 T (σ v) (φ 1 φ φ 3 ) po drugi strani pa je = 1 (φ 1 φ φ 3 ) oziroma (4) T (σ v )(a 1p x + b 1 p y ) = a 1 p x + b 1 p y, (5) T (σ v)(a 1 p x + b 1 p y ) = a 1 T (σ v)p x + b 1 T (σ v)p y = a 1 p x + b 1 p y, () od koder sledi, da sta a 1 = 0 in b 1 = 1, oziroma je p y : = ψ py = 1 (φ 1 φ φ 3 ). (7) Tudi rešitev b 1 = 1 ustreza enačbam (3), (5) in (), vendar le b 1 = 1 ustreza začetnemu nastavku (14). Če predpostavimo, da je valovna funkcija p y pozitivna pri y > 0 in ker imajo φ 1, φ in φ 3 vse pozitivno komponento y, je izbira b 1 = 1 ustreznejša. Operator, ki ne spremeni izraza (φ φ 1 φ 3 )/, je zrcaljenje preko ravnine skozi drugi atom, σ v. Orbitali p x in p y transformira kot 18

20 p y p x p x σ v T (σ v )p x = 1 p x + T (σ v )p y = 3 p x 1 p y 3 p y, (31) φ p y in velja ( ) 1 T (σ v ) (φ φ 1 φ 3 ) = 1 (φ φ 1 φ 3 ) oziroma (3) Torej T (σ v )(a p x + b p y ) = a p x + b p y, istočasno pa še T (σ v )(a p x + b p y ) = a T (σ v )p x + b T (σ v )p y = ( ) ( = a + b p x + a 1 ) b p y = 3 = p x 1 p y. (33) 1 3 (φ φ 1 φ 3 ) = p x 1 (φ 1 φ φ 3 ), (34) p x : = ψ px = 1 (φ 3 φ ). (35) Enačbam bi ustrezala tudi a = 3/ in b = 1/, a zopet zaradi ujemanja predznakov z orbitalami izberemo negativni predznak. Vse tri enačbe za orbitale zapišemo v matrični obliki 1 s p x = p y 1 1 φ 1 φ φ 3. (3) Rešitev dobimo z inverzijo matrike (3), a ker je matrika ortogonalna, je njen inverz kar transponirana matrika: φ 1 φ φ 3 = s p x p y = s p x p y. (37) Rezultat Hibridne orbitale sp se z atomskimi orbitalami torej izražajo kot: 19

21 φ 1 = φ = φ 3 = ( 1 3 s + ) p y, (38) ( 1 3 s 1 p x 1 ) p y in ( 1 3 s + 1 p x 1 ) p y. ter so za borov trihidrid (iz atomskih orbital s in p) upodobljene na sliki 7. φ 1 φ φ 3 Slika 7 Hibridne orbitale za BH 3 (sp ). 0

22 sp 3 tetraedrična hibridizacija Baza upodobitve Tetraedrična molekula pripada simetrijski grupi T d. Molekulo orientiramo tako, da lahko za bazo izberemo vektorje med središčem in štirimi nesosednjimi oglišči kocke (enačbe (4)), s čimer je najlaže računati. φ φ 1 z φ 1 = ( 1, 1, 1) (4) y φ = ( 1, 1, 1) x φ 3 = ( 1, 1, 1) φ 4 φ 3 φ 4 = ( 1, 1, 1) Tabela transformacij Vpliv štiriindvajsetih simetrijskih operacij na bazne vektorje in karakter posameznih operacij je predstavljen v tabeli 8. 1

23 E 8C3 3C S4 σ φ1 φ1 φ1 φ1 φ4 φ3 φ φ4 φ3 φ φ3 φ4 φ φ φ4 φ3 φ φ4 φ3 φ1 φ φ1 φ3 φ1 φ4 φ φ φ3 φ4 φ φ φ4 φ1 φ1 φ3 φ4 φ3 φ1 φ3 φ1 φ1 φ4 φ3 φ4 φ φ1 φ4 φ φ3 φ φ3 φ3 φ4 φ φ1 φ4 φ3 φ3 φ φ1 φ1 φ φ4 φ4 φ φ4 φ1 φ1 φ φ4 φ3 φ3 φ1 φ φ3 φ4 φ4 φ φ3 φ3 φ1 φ1 φ φ4 φ4 φ φ1 φ3 φ1 φ3 φ φ3 φ φ1 φ3 φ4 φ φ4 φ4 φ1 χ hib Tabela 8 V tabeli so uporabljene simetrijske operacije (E) (C 3, C 3, C, C, C, C, C 3, C 3 3, C 3 3, C 3 ) (C x, Cy, Cz) (S4(x), S 4x 3, S 4y, S 4y 3, S 4z, S 4z 3 ) (σ 1, σ34, σ13, σ4, σ14, σ3), kjer je C (i) 3 vrtenje okrog vektorja φi za 10, C (i) 3 pa vrtenje za 40 okrog istega vektorja. Operacija Ci vrti okrog koordinatne osi i za kot 180, operacije S4i in S 3 4i prav tako vrtijo z zrcaljenjem okrog osi i za kot 90 oziroma 70, σij pa zrcali čez ravnino, ki jo napenjata vektorja φi in φj (skozi koordinatno izhodišče).

24 Razcep na nerazcepne upodobitve T d E 8C 3 3C S 4 σ d A x + y + z A E (z x y, x y ) T (R x, R y, R z ) T (x, y, z) (xy, xz, yz) Tabela 9 Tabela karakterjev za T d Z uporabo tabele karakterjev za T d (tabela 9) po enakem postopku razcepimo upodobitev v Γ hib = Γ A 1 Γ T. (43) Določitev primernih orbital Iz zadnjih dveh stolpcev tabele 9 odčitamo, katere orbitale v ustrezni upodobitvi lahko uporabimo za tvorbo hibridnih orbital. upodobitev Γ A 1 Γ T orbitale s s p (p x, p y, p z ) d (d xy, d xz, d yz ) Tabela 10 Orbitale centralnega atoma, primerne za tvorbo hibridnih orbital v tetraedričnih molekulah. V atomu ogljika je edina možna izbira orbitala s in vse tri orbitale p. Orbitale d ležijo energijsko previsoko, vendar je hibridizacija sd 3 mogoča pri atomih v višjih periodah periodnega sistema. Uporaba projekcijskega operatorja Tabelo 8 lahko povzamemo s tabelo 11, s čimer olajšamo nadaljnje računanje. 3

25 E 8C 3 3C S 4 σ φ i φ i S S φ i (S φ i ) S + φ i Tabela 11 Povzetek tabele 8, kjer smo s S označili vsoto S = φ 1 + φ + φ 3 + φ 4. Uporaba projekcijskega operatorja (19) da: P (A1) φ i = S 1 S, (44) P (T ) φ i = (4φ i S) 1 1 (4φ i S). Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Enodimenzionalna upodobitev A 1 ustreza simetriji orbitale s. Projekcijski operator lahko uporabimo na kateremkoli vektorju in dobimo, da je s = 1 (φ 1 + φ + φ 3 + φ 4 ). (45) Za trodimenzionalno upodobitev T moramo projekcijski operator uporabiti na treh vektorjih: P (T ) φ (3φ 1 φ φ 3 φ 4 ) = a 1 p x + b 1 p y + c 1 p z, (4) P (T ) φ 1 1 (3φ φ 3 φ 4 φ 1 ) = a p x + b p y + c p z in P (T ) φ (3φ 3 φ 4 φ 1 φ ) = a 3 p x + b 3 p y + c 3 p z. Izračun koeficientov Koeficiente a i, b i, c i dobimo tako, da poleg upoštevanja normalizacije preverimo, kam denimo vrtenje C 3 za 10 okrog vektorja φ 1, ki izraza (3φ 1 φ φ 3 φ 4 ) ne spremeni, preslika orbitale p {x,y,z}. Od tod dobimo, da je a 1 = b 1 = c 1 = 1/ 3. Za določitev ostalih koeficientov si ogledamo še vrtenji C 3 in C 3 okrog vektorjev φ in φ 3. 4

26 Rezultat Z reševanjem sistema po enakem postopku kot za sp dobimo končno rešitev za hibridne orbitale sp 3 : φ 1 = 1 φ = 1 φ 3 = 1 φ 4 = 1 (s + p x + p y + p z ), (47) (s p x p y + p z ), (s + p x p y p z ), (s p x + p y p z ). φ 1 φ φ 3 φ 4 Slika 8 Hibridne orbitale za CH 4 (sp 3 ). 5

27 sp 3 d trigonalno bipiramidalna hibridizacija Baza upodobitve Trigonalno bipiramidalna molekula podobno kot trikotna pripada točkovni skupini D 3h. Za bazo vzamemo naslednje vektorje: φ 4 φ 1 φ φ 3 z y x φ 1 = (0, 1, 0), (51) ( ) 3 φ =, 1, 0, ( ) 3 φ 3 =, 1, 0, φ 5 φ 4 = (0, 0, 1), φ 5 = (0, 0, 1). Tabela transformacij Transformacije vektorjev so prav tako zelo podobne tistim iz hibridizacije sp. Ker se prvi trije vektorji ne mešajo s preostalima dvema, lahko obravnavamo tudi vsako skupino posebej. Z znakom za vzporedno bomo tako označili vektorje v ravnini z = 0 in z znakom za pravokotno preostala dva. E C 3 3C σ h S 3 σ v φ 1 φ 1 φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ 1 φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ 1 φ φ 3 φ 1 φ 3 φ φ 1 φ 3 φ 3 φ 1 φ φ φ 1 φ 3 φ 3 φ 1 φ φ φ 1 φ 3 φ 4 φ 4 φ 4 φ 4 φ 5 φ 5 φ 5 φ 5 φ 5 φ 5 φ 4 φ 4 φ 4 φ 5 φ 5 φ 5 φ 5 φ 4 φ 4 φ 4 φ 4 φ 4 φ 4 φ 5 φ 5 φ 5 χ hib χ hib χ hib Tabela 1 Rezultat delovanja simetrijskih operacij na posamezne vektorje. Oznake so enake kot v tabeli 3. Ker se prvi trije vektorji ne mešajo s preostalima dvema, ju lahko obravnavamo ločeno.

28 Razcep na nerazcepne upodobitve S pomočjo tabele 4 obe upodobitvi razcepimo na: Γ hib = Γ A 1 Γ E Γ A, (5) Γ hib = Γ A 1 Γ E, Γ hib = Γ A 1 Γ A. Določitev primernih orbital Orbitale, ki ustrezajo dobljenim upodobitvam, so navedene v tabeli 13. Pri tem orbitale s, p x in p y porabimo za konstrukcijo treh orbital v ravnini, orbitali p z in p z pa za preostali hibridni orbitali izven ravnine. upodobitev Γ A 1 Γ E Γ A orbitale s s p (p x, p y ) p z d d z (d x y, d xy) Tabela 13 Atomske orbitale, primerne za tvorbo hibridnih orbital v trigonalno bipiramidalnih molekulah. Uporaba projekcijskega operatorja V tabeli 14 smo povzeli transformacijsko tabelo, pri čemer smo uporabili oznake i {1,, 3}, j {4, 5}, S = φ 1 + φ + φ 3, s φ j pa smo označili eno od obeh orbital izven ravnine, ki ni enaka φ j. E C 3 3C σ h S 3 σ v φ i φ i S φ i S φ i S φ i S φ j φ j φ j 3φ j φ j φ j 3φ j Tabela 14 Povzetek tabele 1. Od tod izračunamo delovanje projekcijskih operatorjev na bazne vektorje (enačba (19)). 7

29 P (A 1 ) φ i = 4S 1 3 S, (53) P (E ) φ i = (3φ i S) 1 (3φ i S), P (A 1 ) φ j = (φ j + φ j ) 1 (φ j + φ j ), P (A ) φ j = (φ j φ j ) 1 (φ j φ j ). Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Prve tri hibridne orbitale se izražajo enako kot v primeru hibridizacije sp, preostali dve pa sta linearni kombinaciji orbital p z in d z. S pomočjo zrcaljenja preko z = 0 izračunamo ali kar uganemo (d z σ h ), da mora veljati: mora biti simetrična, p z pa antisimetrična glede na p z = 1 (φ 4 φ 5 ) in (54) d z = 1 (φ 4 + φ 5 ). (55) 8

30 Rezultat φ 1 = ( 1 3 s + p y φ = ( 1 3 s 1 p x + p y φ 3 = ( 1 3 s + 1 p x + p y ( φ 4 = ( φ 5 = + 1 p z + 1 d z 1 p z + 1 d z ), (5) ), ), ), ). φ 1 φ φ 3 φ 4 φ 5 Slika 9 Hibridne orbitale za PF 5 (3s3p 3 3d). 9

31 sp 3 d oktaedrična hibridizacija Baza upodobitve Oktaedrična molekula pripada simetrijski grupi O h. Izberemo si naslednje bazne vektorje: φ 1 = (1, 0, 0), (0) φ 3 z φ = (0, 1, 0), φ 4 φ 5 φ φ 1 y x φ 3 = (0, 0, 1), φ 4 = ( 1, 0, 0), φ φ 5 = (0, 1, 0), φ = (0, 0, 1). Karakter transformacij Namesto celotne tabele transformacij (ki jo sicer moramo izračunati, če želimo uporabiti projekcijski operator) zapišimo le karakterje posameznih geometrijskih operacij: E 8C 3 C C 4 3C i 8S S 4 σ d 3σ h χ hib Tabela 15 Karakterji simetrijskih operacij iz grupe O h v izbrani bazi. 30

32 Razcep na nerazcepne upodobitve O h E 8C 3 C C 4 3C i 8S S 4 σ d 3σ h A 1g A g E g T 1g T g A 1u A u E u T 1u T u Tabela 1 Tabela karakterjev za O h. Z uporabo tabele karakterjev za grupo O h (tabela 1) in enačbe (15) upodobitev razcepimo na Γ hib = Γ A 1g Γ E g Γ T 1u. (1) Določitev primernih orbital V tabelah karakterjev so za dobljene upodobitve navedene naslednje atomske orbitale: upodobitev Γ A 1g Γ E g Γ T 1u orbitale s s p (p x, p y, p z ) d (d z, d x y ) Tabela 17 Atomske orbitale, primerne za tvorbo hibridnih orbital v oktaedričnih molekulah. Za tvorbo hibridnih orbital v oktaedrični molekuli potrebujemo šest atomskih orbital, torej moramo uporabiti vse od naštetih. 31

33 Uporaba projekcijskega operatorja Matrike za delovanje simetrijskih operacij na posamezne elemente nismo zapisali, vseeno pa zapišimo povzetek vsoto vseh elementov, ki jih dobimo kot rezultat delovanja simetrijskih elementov nekega razreda na vektor φ i. E 8C 3 C C 4 3C φ i φ i (S φ i φ i ) S φ i + φ i S + φ i φ i φ i + φ i i 8S S 4 σ d 3σ h φ i (S φ i φ i ) S φ i + φ i S + φ i φ i φ i + φ i Tabela 18 Povzetek tabele simetrijskih operacij. Oznaka S pomeni vsoto φ 1 + φ + φ 3 + φ 4 + φ 5 + φ, medtem ko smo s φ i označili φ (i+3) mod oziroma» φ i «. Tretja in četrta vrstica sta zgolj nadaljevanje prvih dveh. Rezultati projekcij, dobljenih iz skalarnega produkta vrstic v tabelah 1 in 18, je naslednji: P (A 1g) φ i = 8φ i 1 S, () P (E g) φ i = 4(3φ i + 3φ i S) 1 1 (3φ i + 3φ i S), P (T 1u) φ i = 8(φ i φ i ) 1 (φ i φ i ). Zveza med atomskimi orbitalami in dobljenimi projekcijami Enodimenzionalna upodobitev ustreza kar orbitali s: P (A 1g) φ 1 1 (φ 1 + φ + φ 3 + φ 4 + φ 5 + φ ) = s. (3) Projekcijski operator v tridimenzionalni upodobitvi moramo uporabiti na treh vektorjih. Rezultat zlahka pripišemo trem orbitalam p: P (T 1u) φ 1 1 (φ 1 φ 4 ) = p x, (4) P (T 1u) φ 1 (φ φ 5 ) = p y, P (T 1u) φ 3 1 (φ 3 φ ) = p z. Z nekaj računanja hitro pridemo do zaključka, da z delovanjem projekcijskega operatorja iz dvodimenzionalne upodobitve na tretjem vektorju dobimo rezultat, ki ustreza simetrijskim lastnostim orbitale d z : 3

34 P (E g) φ (φ 3 φ 1 φ + φ φ 4 φ 5 ) = d z, (5) nakar potrebujemo le še zadnji linearno neodvisen vektor. Če s projekcijskim operatorjem delujemo na φ 1 in φ : P (E g) φ (φ 1 φ φ 3 + φ 4 φ 5 φ ), () P (E g) φ 1 1 (φ φ 3 φ 1 + φ 5 φ φ 4 ), (7) in rezultat odštejemo ter normiramo, dobimo še zadnjo orbitalo: d x y = 1 (φ 1 φ + φ 4 φ 5 ). (8) Rezultat φ 1 = ( 1 s + 1 p x 1 1 d z ) 1 d x y, (9) ( 1 φ = s + 1 p y 1 d z 1 ) 1 d x y, ( 1 φ 3 = s + 1 ) 1 p z 3 d z, φ 4 = φ 5 = φ = ( 1 s 1 p x 1 1 d z ) 1 d x y, ( 1 s 1 p y 1 1 d z 1 d x y ), ( 1 s 1 p z 1 3 d z ). φ 1 φ φ 3 φ 4 φ 5 φ Slika 10 Hibridne orbitale za SF (3s3p 3 3d ). Opazimo, da so orbitale φ 1, φ, φ 4 in φ 5 enake, φ 3 in φ pa se razlikujeta, kar»podre«našo predpostavko, da mora biti vseh šest hibridnih orbital enakovrednih. Metoda torej dobro deluje za hibridizacije sp, sp in sp 3, pri hibridizacijah sp 3 d in sp 3 d pa nagaja oblika orbital d, kjer predpostavimo obstoj»preferenčne smeri«z. Medtem ko lahko iz orbital p sestavimo linearne kombinacije, ki so neodvisne od osnovne orientacije molekule, bi pri trigonalno bipiramidalni in oktaedrični molekuli 33

35 dobili drugačno obliko hibridnih orbital, če bi na začetku izbrali drugačno orientacijo molekule. Pri hibridizaciji sp 3 d se sicer lahko izgovarjamo na to, da sta orbitali v smeri z dejansko drugačni, pri oktaedrični molekuli pa bi morali izhajati iz drugačnih»orbital d« Hibridne orbitale z vezmi π Postopek računanja hibridnih orbital z vezmi π je enak kot za orbitale z enojnimi vezmi, le da potrebujemo novo bazo. Za vezi π namreč ni pomembna le njihova lega, temveč tudi orientacija, zato jih predstavimo z vektorji, pravokotnimi na vozelno ravnino vezi, ki naj kažejo od negativne proti pozitivni strani valovne funkcije. Na mestu vsake vezi potrebujemo dva medsebojno pravokotna vektorja (pravokotna tudi na enojno vez), po enega za vsako vez π. Primer trikotne molekule Baza upodobitve V primeru molekule BCl 3 (slika 11) so tri vezi v ravnini (»in plane«) in tri izven ravnine (»out of plane«) ter se pri simetrijskih operacijah ne mešajo med seboj, zato lahko obravnavamo vsako skupino posebej (česar ne moremo vedno narediti pri ostalih geometrijah). z y x φ 1 φ φ 3 φ 4 φ 5 φ Slika 11 Baza upodobitve za hibridne orbitale π v trikotni molekuli. Za uspešno tvorbo vezi π mora orientacija šestih izbranih vektorjev ustrezati orientaciji pripadajočih orbital v sosednjih (klorovih) atomih. 34

36 Tabela transformacij E C 3 C σ h S 3 σ v φ 1 φ 1 φ φ 1 φ 1 φ φ 1 φ φ φ 3 φ 3 φ φ 3 φ 3 φ 3 φ 3 φ 1 φ φ 3 φ 1 φ χ φ 4 φ 4 φ 5 φ 4 φ 4 φ 5 φ 4 φ 5 φ 5 φ φ φ 5 φ φ φ φ φ 4 φ 5 φ φ 4 φ 5 χ Tabela 19 V levem stolpcu je začetni vektor, v osrednjem delu tabele pa vektor, v katerega se preslika po simetrijski operaciji iz prve vrstice. Razcep na nerazcepne upodobitve Iz karakterjev posameznih upodobitev D 3h E C 3 3C σ h S 3 3σ v Γ hib Γ hib Tabela 0 Karakterji za izbrani upodobitvi in s tabelo karakterjev (tabela 4) dobimo razcep: Γ hib = A E (70) Γ hib = A E. Določitev primernih orbital ustreza orbi- Iz tabele karakterjev odčitamo, da za vezi izven ravnine upodobitvi A tala p z, upodobitvi E pa degenerirani orbitali (d xz, d yz ). Atom bora nima energijsko dostopnih orbital d, lahko pa samo z orbitalo p z tvori eno samo vez π, ki se enakomerno porazdeli v vseh treh smereh. (V resnici je vez med 35

37 borom in halidom krajša od dolžine, ki bi jo pričakovali pri enojni vezi, kar pomeni, da ima vez med atomi vsaj delno značaj dvojne vezi.) Atomi višje v periodnem sistemu pa lahko izven ravnine tvorijo hibridizacijo pd iz orbital p z, d xz in d yz. Za vezi v molekulski ravnini upodobitvi A ne ustreza nobena orbitala, medtem ko za upodobitev E najdemo dva degenerirana para orbital: (p x, p y ) in (d x y, d xy). Za atom bora je energija orbital d prav tako previsoko, orbitali p x in p y pa že sodelujeta pri tvorbi vezi σ. Pri ostalih atomih tretje skupine pa lahko orbitali d x y tvorita dve vezi π v ravnini, ki se enakomerno razporedita v vse tri smeri. in d xy Primer oktaedrične molekule Baza upodobitve Pri oktaedrični geometriji potrebujemo dvanajst osnovnih vektorjev za upodobitev vezi π (slika 1). z y x Slika 1 Osnovni vektorji za upodobitev vezi π v oktaedrični molekuli. Razcep upodobitve V tem primeru ne moremo ločeno obravnavati vezi π v ravnini in izven ravnine, saj se vseh dvanajst vektorjev meša med seboj. Iz karakterjev upodobitve (tabela 1) 3

38 O h E 8C 3 C C 4 3C i S 4 8S 3σ h σ d χ hib Tabela 1 in tabele karakterjev lahko upodobitev razcepimo na: Γ hib = Γ T 1g Γ T g Γ T 1u Γ T u. (71) Določitev primernih orbital Orbitale, ki ustrezajo dobljenim neracepnim upodobitvam, so navedene v tabeli. upodobitev Γ T 1g Γ T g Γ T 1u Γ T u orbitale p (p x, p y, p z ) d (d xy, d xz, d yz ) Tabela Ker so bile orbitale p najverjetneje uporabljene že za tvorbo vezi σ, ostanejo za tvorbo vezi π le še tri orbitale d, ki se enakomerno porazdelijo v vseh šest smeri. 37

39 Zaključek V seminarju smo se naučili, kako zgolj na osnovi simetrije in brez uporabe kvantne mehanike hibridne orbitale lahko zapišemo kot linearno kombinacijo atomski orbital, katerih obliko že poznamo. Izračunali in narisali smo oblike vse petih tipov hibridizacij, ki tvorijo vezi sigma ter opisali dva primera z vezmi pi. Pri hibridizacijah s petimi in šestimi sosedi žal nismo mogli dobiti povsem enakovrednih orbital, nepričakovano pa smo izvedeli, da je tudi v molekuli BF 3 prisoten karakter dvojne vezi. Za natančnejši opis stanja elektronov v izbrani molekuli bi morali namesto hibridnih uporabljati molekulske orbitale, vendar že hibridne orbitale zadovoljivo opišejo in razložijo geometrijo širokega spektra molekul in so kot take uporabno matematično orodje v kemiji. 38

40 Literatura [1] Prasad R. K. Quantum chemistry. New Age Science, Tunbridge Wells, 4th edition, 009. [] Willock David J. Molecular symmetry. J. Wiley & Sons, Chichester, 009. [3] Bishop David M. Group theory and chemistry. Dover Publications, New York, [4] Kim Shoon Kyung. Group theoretical methods and appllications to molecules and crystals. Cambbridge University Press, Cambridge, [5] Vincent Alan. Molecular symmetry and group theory: a programmed introduction to chemical applications. J. Wiley & Sons, Chichester [etc.], nd edition, 001. [] Kettle Sidney Francis Alan. Symmetry and structure: readable group theory for chemists. John Wiley & Sons, Chichester, 3rd edition, 007. [7] url slike: [8] url slike: -dz.jpg [9] url slike: /Pibonds.html [10] url slike: [11] url slike: -Spartan-HF-3-1G-3D-side.png [1] url slike: Skice so bile narejene s paketom makrojev za T E X pgf/tikz, 3D predstavitve atomskih in hibridnih orbital pa naračunane in izrisane s programom PovRay iz vodikovih oziroma linearne kombinacije vodikovih orbital, z rezom pri konstantni absolutni vrednosti valovne funkcije. 39

41 Priloge Mullikenovi simboli za nerazcepne upodobitve A B E T g u nedegenerirana orbitala, simetrična glede na glavno os C n nedegenerirana orbitala, antisimetrična glede na glavno os C n dvojno degenerirana orbitala (de. entartet) trojno degenerirana orbitala simetrično glede na središče inverzije (de. gerade) antisimetrično glede na središče inverzije (de. ungerade) 1 simetrično glede na C (pravokotno na C n ) antisimetrično glede na C (pravokotno na C n ) simetrično glede na σ h antisimetrično glede na σ h 40

42 41