UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

Transcript

1 UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI Zbira zadataa NIŠ,.

2

3 Sadržaj Furijeov red, spetar 5 Literatura 5 Indes pojmova 5

4 Sadržaj

5 Furijeov red, spetar Zadata. Izračunati oeficijente Furijeovog reda i nacrtati amplitudsi i fazni spetar periodičnog signala g(t), osnovne periode T = s, datog izrazom g(t) = { 8 za < t < 6s za 6s < t < s. (.) Rešenje: Frevencija signala je f = /T = / =.8Hz, odnosno ružna učestanost ima vrednost w = π f = π/t = π/6 =.5rad/s. Periodični signali mogu biti predstavljeni Furijeovim redom g a (t) = = C e jnw t (.) čije oeficijente odred - ujemo na osnovu izraza i C = T T C = T T g(t)dt = T g(t)e jw t dt = T T/ T/ U onretnom slučaju se oeficijent C izračunava ao C = g(t)dt = [ 6 T/g(t)dt, za = (.) T/g(t)e jw t dt, za =,,,... (.) ] 8dt + dt = 8(6 ) 6 8t 6 = = = e j (.5) i odgovara srednjoj vrednosti signala g(t) (DC omponenta (na frevenciji f = )). Koeficijente C, =,,... izračunavamo iz izraza 5

6 6. Furijeov red, spetar 6 C = g(t)e jwt dt = 8e jπt/6 dt = 6 e jπt/6 dt = 6 jπ e jπt/6 6 = j [ e jπ6/6 j e jπ/6] π = j [ e jπ ], =,,,... π Na osnovu izraza (.6) zaljučujemo da je C = 8 j π za = m( parno) za = m+( neparno). s obzirom da je e j(m)π = a e j(m+)π =. Na osnovu ovog izraza se dobija da je (.6) (.7) C =.565 j =.565e j π C = + j = e j C =.888 j =.888e j π C = + j = e j (.8) C 5 =.59 j =.59e j π a. C = C = j =.565e j π C = C = + j = e j C = C = j =.888e j π C = C = + j = e j (.9) C 5 = C 5 = +.59 j =.59e j π. gde je sa C obeležena onjugovano omplesna vrednost onstante C. Amplitudsi spetar signala datog izrazom (.) je priazan na slici.. Fazni spetar ovog signala priazan je na slici.. Jednaost periodične ontinualne funcije i njenog Furijeovog reda besonačne dužine postoji samo u slučaju nepreidnih funcija. Data funcija g(t) je sa preidima u trenucima t =..., 8,,,,8,,6,,..., ada soovito menja vrednost sa 8 na i obrnuto, što za posledicu daje Gibsov fenomen (otriven od strane Henry Wilbraham-a prvi put godine 88. a potom i od strane Willard Gibbs-a 899. godine po ome nosi naziv). Furijeov red (funcija dobijena sumiranjem jednosmerne omponente i harmonia) poseduje oscilatornu prirodu sa masimumom u oolini preida funcije g(t), oji se ne može uinuti a oji onvergira neoj onačnoj vrednosti ada dužina reda neograničeno raste ( ). Pratično Furijeov red onačne dužine aprosimira periodičnu funciju g(t), što je za slučaj N = 5 priazano na slici., tj.

7 7 Amplitudsi spetar.5.5 abs(c ) Sl..: Amplitudsi spetar pravougaonog signala datog izrazom (.). Fazni spetar.5.5 arg(c ) Sl..: Fazni spetar pravougaonog signala datog izrazom (.). g a (t) = 5 = 5 Furijeov red dužine N = je priazan na slici.. C e j π 6 t (.) Sa slia.5 i.7 primećujemo da funcija g a (t) poseduje masimum u oolini tače preida funcije g(t) čija je vrednost veća od 8.5. Treba obratiti pažnju da je na slici.5 na x osi vreme u seundama a na slici.6 na x osi je indes (redni broj oeficijenata Furijeovog reda C čije se vrednosti modula mogu očitati sa y ose). S obzirom da C uazuje na amplitudu omplesne prostoperiodične funcije frevencije w, moguće je na x osi za označavanje umesto rednog broja oristiti frevenciju harmonia. Pratično sve vrednosti na x osi treba samo pomnožiti sa w čime se dobijaju vrednosti u rad/s ili pomnožiti sa f = /T posle čega bi vrednosti na x osi bile u Hz.

8 8. Furijeov red, spetar 9 Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N= ga(t) g a (t) g(t) t Sl..: Periodična funcija g(t) i njen Furijeov red g a (t) dužine N = 5. Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N= 8 6 ga(t) g a (t) g(t) t Sl..: Periodična funcija g(t) i njen Furijeov red g a (t) dužine N =. Za odred - ivanje oeficijenata Furijeovog reda je isorišćen MATLAB R program, u ome je potrebno na samom početu promeniti izraz za izračunavanje oeficijenta C (označenog sa c u programu) i izraz ojim se izračunavaju oeficijenti C, =,,...N (označeni sa cc u programu), a čiji je od priložen u nastavu, ao bi se mogao isoristiti za proizvoljnu funciju g(t). clear all close all

9 9 9 Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N= Amplitudsi spetar ga(t) t g a (t) g(t) abs(c ) Sl..5: Periodična funcija g(t) i njen Furijeov red g a (t) dužine N =. Sl..6: Amplitudsi spetar za N =. 9 Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N= 6 Amplitudsi spetar ga(t) g a (t) g(t) abs(c ) t 6 6 Sl..7: Periodična funcija g(t) i njen Furijeov red g a (t) dužine N = 6. Sl..8: Amplitudsi spetar za N = 6. syms t T= % perioda seundi c=(/t)*int(8,t,,6) % jednosmerna (DC) omponenta N= % broj oeficijenata oji odredjujemo (ne % racunajuci DC omponentu)- broj harmonia n=:n; cc=(/t)*int(8*exp(-j*n**pi*t/t),t,,6) % izracunava oeficijente =[c cc];% formira niz oeficijenata (C, C,..., CN) =double(); % prelazi iz simbolie u realne vrednosti oef=[conj(fliplr((:length()))) ]; % dodaje oeficijente sa % negativnim indesom oji su onjugovane vrednosti figure stem([-n:n],abs(oef)) % amplitudsi spetar xlabel( n ) ylabel( abs(c_n) ) title( Amplitudsi spetar )

10 . Furijeov red, spetar grid figure stem([-n:n],angle(oef)) xlabel( n ) ylabel( arg(c_n) ) title( Fazni spetar ) grid tt=:.:; % vremensa osa za sliu tt=tt ; nn=-n:n; pom=tt*nn; pom=pom ; w=*pi/t; % ugaona ucestanost prvog harmonia ff=oef*exp(j*w*pom); %ff=()+()*exp(j**pi*tt/t)+conj(())*exp(-j**pi*tt/t)+()*exp(*j**pi*tt/t) figure plot(tt,ff, r, LineWidth,) xlabel( t ) ylabel( f_a(t) ) aaa=numstr(n); title([ Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N=,aaa]) grid Zadata. Izračunati oeficijente Furijeovog reda i nacrtati amplitudsi i fazni spetar periodičnog signala g(t), osnovne periode T = s, datog izrazom g (t) = { za < t < 6s za 6s < t < s. (.) Rešenje: Zbog simetrije signala u odnosu na t osu, i identičnog trajnja dela signala ada je njegova vrednost jednaa i dela signala ada mu je vrednost-, srednja vrednost signala jednaa je nuli tj. C =. Važi da je g (t) = g(t) (g(t) je funcija iz zadata.). Zbog toga se spetar signala razliuje po pitanju DC omponente a svi ostali harmonici imaju istu amplitudu ao u prethodnom zadatu, što se može uočiti sa slie.. Komplesni Furijeov red f(t) = = C e jw t (.) može biti dat i preo realnih oeficijenata f(t) = a + [ a cos(w t)+b sin(w t) ] (.) = čime je pratično predstavljen preo svog parnog i neparnog dela, s obzirom da je osinus parna a sinus neparna funcija. Data funcija g (t) je naparna (simetrična u odnosu na oordinatni početa),

11 5 Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N= 6 Amplitudsi spetar.5 ga(t) g a (t) g (t) abs(c ) t 6 6 Sl..9: Periodična funcija g (t) i njen Furijeov red g a (t) dužine N = 6. Sl..: Amplitudsi spetar za N = 6. tao da u izrazu. nedostaju osinusni članovi, odnosno a, =,,,... su jenai nuli. S obziroma da je e jα = cos(α)+ j sin(α) u izrazu. oeficijenti C biće čisto imaginarni brojevi, ao je poazano izrazom.9. Dale ao je data funcija parna (simetrična u odnosu na y osu) Furijeov red (.) sadrži samo osinusne članove, odnosno oeficijenti C iz izraza (.) su čisto realni brojevi a ao je data funcija neparna, postoje samo sinusni članovi Furijeovog reda zbog čega su oeficijenti C čisto imaginarni brojevi. Nee funcije nisu ni parne ni neparne. Tave funcije poseduju omponente i osinusnog i sinusnog reda a oeficijenti C su omplesni brojevi (imaju i realni i imaginarni deo). Osim ove dve moguće simetrije funcija može posedovati i polutalasnu simetriju, definisanu sa f(t) = f(t + T ). (.) Ovave funcije poseduju samo neparne harmonie odnosno za njih važi da je C, za = m+ C =, za = m (.5) S obzirom da funcija g (t) poseduje polutalasnu simetriju svi parni harmonici su jednai nuli ao se uočava sa slie.. Treba naglasiti da funcija može biti ni parna ni neparna, ada su oeficijenti C omplesni brojevi, ali da istovremeno poseduje polutalasnu simetriju zbog čega su svi parni harnonici jednai nuli. Na primer, uvod - enjem vremensog pomeraja od T pom = s, od funcije g(t) dobijamo funciju g (t) = g(t T pom ) oja je priazana na slici.. Na istoj slici priazana je funcija g a (t) dobijena sraćivanjem Furijeovog reda na članova (DC omponenta- C i prvih harmonia). Kao je obli funcije identičan funciji g(t) (sastoji se od dela trajanja 6s amplitude 8 i dela trajanja 6s amplitude, ao i g(t)) obe funcije poseduju identičan amplitudsi spetar, što je priazano na slici.. Razlia izmed - u funcija g (t) i g (t)

12 . Furijeov red, spetar 9 Aprosimacija funcije Furijeovim redom za N= ga(t) g a (t) g (t) t Sl..: Periodična funcija g (t), periode T = s dobijena vremensim pomeranjem funcije g(t). postoji i ona je uočljiva sa slie. jer je neophodno promeniti početne fazne stavove osinusnih i sinusnih funcija ao bi se pojavilo vremenso ašnjenje od s. Amplitudsi spetar Fazni spetar.5.5 abs(c ) arg(c ) Sl..: Amplitudsi spetar funcije g (t) za N =. Sl..: Fazni spetar za N =. Da pojasnimo ao do ašnjenja dolazi. Na slici. je priazano idealno olo za ašnjenje signala. Pratično je reč o pojačavaču čije počanje ne zavisi od frevencije, odnosno pojačanje ima vrednost A = e jmw = e jmw = A e j arg(a). (.6) Na slici.5 je priazana amplitudsa arateristia pojačavača. Kao što vidimo, pojačanje ne

13 g(t) = ulaz A izlaz = g (t) Sl..: zavisi od frevencije i uve ima jediničnu vrednost (za A < i A > se očuvava obli signala, s tim da amplituda signala opada, odnosno raste). A 6 6 w [rad/s] τ [s] w [rad/s] Sl..5: Amplitudsa arateristia idealnog pojačavača. Sl..6: Grupno ašnjenje idealnog pojačavača. Na slici.7 je priazana fazna arateristia idealnog pojačavača. Faza se dobija ao arctan Imag(A) Real(A) i sva rešenja su u opsegu ( π,π). Razmotavanjem faze, oje se u MATLAB R -u realizuje naredbom unwrap, eliminišu se soovi vrednosti π, posle čega se dobija ontinualna fazna funcija priazana na slici.8. Izvod faze po frevenciji predstavlja grupno ašnjenje τ(w) = d{arg(a)} dw = ( m) = m (.7) oje se meri u seundama. Grupno ašnjenje u opštem slučaju je funcija frevencije i uazuje na to za olio seundi na izlazu pojačavača zaasni signal frevencije w u odnosu na ulazni signal iste frevencije. Na slici.6 je priazano grupno ašnjenje za m =. Prethodno navedene fazne arateristie taod - e odgovaraju slučaju m =. Karateristia grupnog ašnjenja je ontinualna funcija a u onretnom slučaju treba primetiti da je ulazni signal priazan preo Furijeovog reda taav da ao ga sagledamo ao sumu prostoperiodičnih funcija, prisutan samo na frevencijama,w,w,..., pa nam je samo na tim frevencijama od interesa ava je vrednost grupnog ašnjenja. Ove arateristične vrednosti od interesa su na slici.6 označene ružićima. Kao što vidimo, sve omponente Furijeovog reda oje odgovaraju ulaznom signalu biće zaašnjenje za tačno seunde. Izlaz pojačavača se dobija množenjem ulaznog signala i pojačanja, tj.

14 . Furijeov red, spetar 5 arg(a) [rad] arg(a) [rad] w[rad/s] w [rad/s] Sl..7: Nerazmotana fazna arateristia idealnog pojačavača. Sl..8: Razmotana fazna arateristia idealnog pojačavača. g (t) = g(t) A = [ = = = C e jw t ] [ e jmw] = C e jw (t m) = g(t m) = (C )e jw t e jmw (.8) odale vidimo da je izlazni signal zaašnjena verzija ulaznog signala za m seundi. Dale, da bi izlazni signal bio neizobličen (da se očuva njegov obli) potrebno je da pojačanje bude onstantno na svim frevencijama (jediničnim pojačanjem se očuvava i amplituda signala) a fazna arateristia linearno zavisna od frevencije. Ova je osobina od rucijalane važnosti u neim oblastima pratične primene obrade signala, ao što je prenos signala (omuniacija izmed - u dve tače) gde je neophodno bez greše ustanoviti na prijemnoj strani aav je signal bio na predajnoj strani. Dale, sa slie. vidimo da ulazne omponente imaju fazu jednau π/ za w = (+ )w i fazu jednau nuli za w = w. Prolasom signala g(t), datog jednačinom., roz pojačavač, menja se fazni stav svih harmonia prisutnih u Furijeovom redu oji odgovara ovom signalu, a vrednosti za olio se faza menja na ojoj fregenicji se mogu očitati sa grafia.8 i na frevencijama w su one obeležene ružićima. Kao je faza data izrazom ϕ(w) = arg(a) = w zaljučujemo da su njene vrednosti na frevencijama w,w, w, w, 5w, 6w, 7w, 8w, 9w i w jednae -.7, -.9, -.6, -.888, -5.6, -6.8, -7., , -9.8, i -.7, respetivno. Zato je faza signala frevencije w na izlazu pojačavača jednaa π/ w = π/.7 =.68( π/ je faza ulaznog signala na frevenciji w ojoj dodajemo uticaj pojačavača na toj frevenciji). Na frevenciji w faza na izlazu ima vrednost (w ) =.9(drugi harmoni ulaznog signala ne postoji i faza mu je jednaa nuli). Slično na frevenciji w faza na izlazu ima vrednost π/ (w ) = π/.6 =.7. Na frevenciji w faza izlaznog signala je (w ) =.888. Istim postupom se na frevencijama od 5w do w dobijaju vrednosti faze , -6.8, -8.9, , i -.7.

15 Literatura 5

16 Indes pojmova Gibsov fenomen, 7 6