Linearni operatori. Stepenovanje matrica
|
|
- Θυώνη Γερμανός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u + v Au + Av, homogen: A(λu λau, za svao u, v X i λ K Uslovi 1 i se mogu zameniti uslovom Oznae: A(λu + µv λau + µav, u, v X, λ, µ K R A A(X, N A er A {u Au θ, u X}, dim R A rang A r A (rang, dim N A def A n A (defet Matrica linearnog operatora u onačno dimenzionalnim prostorima: Nea su X i Y vetorsi prostori onačnih dimenzija, dim X n, dim Y m, {e 1,, e n } je baza u prostoru X, {f 1,, f m } je baza u prostoru Y Matrica linearnog operatora A : X Y jednaa je a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A fe, a m1 a m a mn gde su elementi matrice odred eni sa 1
2 Ae 1 a 11 f 1 + a 1 f + + a m1 f m Ae a 1 f 1 + a f + + a m f m Ae n a 1n f 1 + a n f + + a mn f m Operacije sa matricama: Nea su date matrice A [a ij ] m n, B [b ij ] m n, C [c ij ] m n i salar λ K Tada se može definisati 1 množenje matrice salarom: sabiranje matrica: C λa, c ij λa ij, i 1,, m, j 1,, n; C A + B, c ij a ij + b ij, i 1,, m, j 1,, n Ao je A [a ij ] m n, B [b ij ] n p, C [c ij ] m p definišemo 3 množenje matrica: C A B, c ij Ao je A [a ij ] m n, tada je 4 transponovana matrica Zadaci: a i b j, i 1,, m, j 1,, p 1 A T [a ji ] n m 1 Nea je A : R M linearan operator definisan sa [ ] a a + b A(a, b 0 b Odrediti matricu operatora A u bazama {[ ] {(1, 0, (0, 1},, Naći rang i defet operatora A [ ] 0 1, [ ], [ ]} 0 1
3 Rešenje: Označimo bazne vetore u prostorima R i M sa e 1, e i E 11, E 1, E 1, E redom Kao je dim R i dim M 4, matrica operatora A je matrica A [a ij ] 4 Odredimo slie baznih vetora prostora R : Ae 1 A(1, 0 [ ] 1 1 [ ] + [ ] E E E E, [ ] [ ] [ ] 0 1 Ae A(0, E E E E Koordinate vetora Ae 1 su elementi prve olone, a vetora Ae druge olone matrice A Zato je A Za odred ivanje defeta operatora A potrebno je odrediti njegovo jezgro N A Kao je [ ] [ ] [ ] a a + b A(a, b 0 b to je N A a b 0, { [ ]} (a, b R A(a, b {(0, 0} U vetorsom prostoru čiji je jedini element nula vetor nema linearno nezavisnih vetora, pa je def A dim N A 0, rang A dim R def A 3 Dat je linearni operator A : R M na sledeći način: [ ] a a + b A(a, b (a, b R b a + b Odrediti matricu operatora A:
4 4 a u prirodnim bazama; b u bazama M B 1 {(1, 0, (1, 1} i B R : (e {(1, 0, (0, 1}, {[ ], M : (E {[ ] [ ] [ ] [ ]} ,,, 1 1 [ 0 1 ] [ ] [ ]},, 1 1 Za formiranje matrice A operatora A potrebne su slie vetora baze (e oje se dobijaju ovim presliavanjem A(1, 0 A(0, 1 [ ] [ ] (E (E, (01 (0 Koordinate vetora slia (01 i (0 predstavljaju olone matrice A, dale A b Potražimo slie operatora A primenjenog na vetore baze B 1 [ ] 1 1 A(1, 0, 0 1 [ ] 1 A(1, 1 1 Odredimo oordinate ovih vetora slia u bazi B Polazeći od linearne ombinacije vetora baze B
5 α [ ] + β [ ] γ [ ] δ [ ] [ α + β + γ + δ β + γ + δ γ + δ δ ], 5 tražene oordinate dobijamo iz uslova [ ] [ ] 1 1 α + β + γ + δ β + γ + δ 0 1 γ + δ δ [ ] [ ] 1 a + b + c + d b + c + d 1 c + d d i Izjednačavanjem odgovarajućih omponenti matrica dolazimo do sistema jednačina α + β + γ + δ 1, a + b + c + d 1, β + γ + δ 1, b + c + d, i γ + δ 0, c + d 1, δ 1, d Eliminacijom nepoznatih dobijamo α 0, β 1, γ 1, δ 1, i a 1, b 1, c 1, d Tražena matrica A operatora A formira se od pronad enih oordinata smeštenih u olone 0 1 A Nea je A : R M operator zadat sa [ ] a + b a A(a, b b a b a Doazati da je A linearan operator b Odrediti matricu operatora A u bazama {(1, 0, (1, 1} i { [ ] [ ] [ ] [ ] } 1 1,,, 1 1 c Odrediti rang i defet operatora A
6 6 Rešenje: a Doazaćemo da je A(λu + µv λau + µav, za u, v R, u (a, b, v (p, q: A(λu + µv A(λ(a, b + µ(p, q A(λa + µp, λb + µq [ ] (λa + µp + (λb + µq λa + µp λb + µq (λa + µp (λb + µq [ ] [ ] λa + λb λa µp + µq µp + λb λa λb µq µp µq [ ] [ ] a + b a p + q p λ + µ b a b q p q λa(a, b + µa(p, q λau + µav b Presliaćemo bazne vetore prostora R operatorom A: [ ] 1 1 A(1, 0 ( Izrazićemo dobijenu matricu ao linearnu ombinaciju vetora baze prostora M, to jest, ao matricu [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 λ + µ µ λ + µ + ν + δ 1 1 ν + δ δ Iz jednaosti A(1, 0 [ ] 1 1 λ 0 1 [ ] + µ [ ] ν [ ] + δ [ ] 1 1 [ ] λ + µ µ ν + δ δ imamo [ ] [ ] λ + µ µ ν + δ δ λ + µ 1, µ 1, ν + δ 0, δ 1 Rešenje dobijenog sistema jednačina, vetor [ ] T, predstavlja prvu olonu u matrici A operatora A Na sličan način odredićemo i drugu olonu matrice A Ao presliamo drugi bazni vetor, dobijamo
7 A(1, 1 [ ] 1 λ [ ] + µ [ ] ν [ ] + δ [ ] 1 1 [ ] λ + µ µ, ν + δ δ 7 odale je [ ] 1 [ ] λ + µ µ ν + δ δ λ + µ, µ 1, ν + δ 1, δ 0 Rešenje ovog sistema jednačina je vetor druge olone matrice A [ 1 1 ] T Matrica A operatora A je A c Za rang i defet operatora važi relacija rang A + def A dim R Znamo da je dim R i da važi dim er A def A Nea je [ ] [ ] a + b a Au A(a, b a + b 0, a 0, b 0, a b 0, b a b odale je a b 0 To znači da jezgro operatora čini samo nula vetor (0, 0, pa je dimenzija jezgra nula, to jest, defet je nula Rang operatora je sada jedna 4 Nea je operator A : P [x] P 1 [x] definisan sa A(ax + bx + c (a 3b + cx + (a + b c a Doazati da je A linearan operator b Odrediti matricu operatora A u bazama {x + x + 1, x + 4x +, x + x} i {x + 1, x 1} c Odrediti rang i defet operatora A
8 8 Rešenje: a Nea je P (x ax + bx + c i Q(x px + qx + r Doazaćemo da je A linearan A(λP (x + µq(x A(λ(ax + bx + c + µ(px + qx + r A((λa + µpx + (λb + µqx + λc + µr ((λa + µp 3(λb + µq + (λc + µrx + ((λa + µp + (λb + µq (λc + µr ((λa 3λb + λcx + (λa + λb λc + ((µp 3µq + µrx + (µp + µq µr λ((a 3b + cx + (a + b c + µ((p 3q + rx + (p + q r λa(p (x + µa(q(x b Odredićemo slie baznih vetora i izrazićemo ih preo baze u prostoru P 1 [x]: A(x +x+1 ( 3+1x+(+1 1 λ(x+1+µ(x 1 (λ+µx+(λ µ, odale je Slično, λ + µ 0, λ µ λ 1, µ 1 A(x +4x+ (1 1+x+(1+4 9x+3 λ(x+1+µ(x 1 (λ+µx+(λ µ, odale je i λ + µ 9, λ µ 3 λ 3, µ 6, A( x +x ( 1 3x+( 1+1 4x λ(x+1+µ(x 1 (λ+µx+(λ µ λ + µ 4, λ µ 0 λ, µ Matrica operatora A je jednaa A [ ] c Jezgro operatora čine svi polinomi P (x ax + bx + c čija je slia nula polinom Imamo A(ax +bx+c (a 3b+cx+(a+b c 0x+0 a 3b+c 0, a+b c 0 Za rešenje dobijenog sistema imamo a 1 c, b 1 c, c R P (x 1 c(x + x +
9 Jezgro operatora je er A { 1 c(x + x + c R} i njegova dimenzija je 1, pa je def A jedna 1 Iz relacije rang A + def A dim P [x] i dim P [x] 3 dobijamo da je rang A 5 Nea je operator A : R 3 P 1 [x] definisan sa a Doazati da je A linearan operator A(a, b, c (a + bx + (b c b Odrediti matricu operatora A u bazama {(0, 1,, (0, 3, 0, (1, 1, 0} i {x + 1, x} c Odrediti rang i defet operatora A Rešenje: a Doazaćemo da važi A(λ(a, b, c + µ(p, q, r λa(a, b, c + µa(p, q, r: A(λ(a, b, c + µ(p, q, r A(λa + µp, λb + µq, λc + µr ((λa + µp + λb + µqx + (λb + µq (λc + µr ( (λa + λbx + (λb λc + ( (µp + µqx + (µq µr λ((a + bx + (b c + µ((p + qx + (q r λa(a, b, c + µa(p, q, r b Odredićemo elemente prve, druge i treće olone matrice operatora A: A(0, 1, x 1 α(x βx (α + βx + α α + β 1, α 1 α 1, β 3, A(0, 3, 0 3x + 3 α(x βx (α + βx + α α + β 3, α 3 α 3, β 3, A(1, 1, 0 3x + 1 α(x βx (α + βx + α Matrica operatora A je jednaa α + β 3, α 1 α 1, β 1 A [ ]
10 10 c Odredićemo er A {(a, b, c A(a, b, c θ, a, b, c R} Imamo i važi A(a, b, c (a + bx + b c 0x + 0, a + b 0, b c 0 a R, b a, c a Sada je er A {(a, a, a a R}, pa je dim er A 1 i s obzirom na jednaost rang A + def A dim R 3 i dim R 3 3, dobijamo rang A 6 Nea je u prostoru X zadata baza {e 1, e, e 3 } u ojoj operator A : X X ima matricu 3 A Odrediti matricu operatora A u bazi {e 1, e 1 + e, e 1 + e + e 3 } Rešenje: Ao sa f 1, f, f 3 označimo vetore druge baze, imaćemo f 1 e 1 e 1 f 1 Taod e, iz date matrice operatora A važi f e 1 + e e f f 1 f 3 e 1 + e + e 3 e 3 f 3 f A(e 1 e 1 + e + e 3, A(e e + 7e 3, A(e 3 3e 1 + e + 5e 3 Da bismo odredili matricu operatora A u drugoj bazi, odredićemo slie A(f 1 A(e 1 e 1 + e + e 3 f 1 + (f f 1 + (f 3 f f 1 + f + f 3, A(f A(e 1 + e A(e 1 + A(e (e 1 + e + e 3 + ( e + 7e 3 e 1 + e + 8e 3 f 1 + (f f 1 + 8(f 3 f 0f 1 7f + 8f 3, A(f 3 A(e 1 + e + e 3 A(e 1 + A(e + A(e 3 (e 1 + e + e 3 + ( e + 7e 3 + (3e 1 + e + 5e 3 4e 1 + 3e + 13e 3 4f 1 + 3(f f (f 3 f f 1 10f + 13f 3
11 11 Matrica operatora A u bazi {f 1, f, f 3 } je a matrica operatora A je A f, gde je 1 A f , A f Dat je linearni operator A : R R, A(a, b (b, a (a, b R Odrediti matrice operatora A, A i A 1 u prirodnoj bazi Rešenje: Matrica operatora A je A [a ij ] jer je dim R Za odred ivanje njenih elemenata potrebno je odrediti slie baznih vetora Kao prirodnu bazu u prostoru R čine vetori e 1 (1, 0 i e (0, 1 i to je Ae 1 A(1, 0 (0, 1 e, Ae A(0, 1 (1, 0 e 1, Matrica operatora B A je Kao je B A A [ 0 1 ] [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] I 0 1 A (a, b A (A(a, b A(b, a (a, b, to je A AA I, gde je I identiči operator, pa je A 1 A Stoga je matrica operatora A 1 jednaa A 8 Dat je operator A : R 3 R 3, A(a, b, c (a + b + 3c, b + c, c Odrediti matrice operatora A i A n, n N u prirodnoj bazi
12 1 Rešenje: Prirodnu bazu prostora R 3 čine sledeće ured ene troje realnih brojeva R 3 : (e {(1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1} Za odred ivanje matrice A operatora A potrebne su slie vetora baze (e dobijene presliavanjem A A(1, 0, 0 (, 0, 0 [ ] T (e, A(0, 1, 0 (1,, 0 [1 0] T (e, A(0, 0, 1 (3, 1, [3 1 ] T (e Dobijene oordinate vetora slia smeštamo u olone matrice A 1 3 A 0 1 Matrica operatora A n, n N jeste A n Da bismo je odredili, uvedimo oznae gde su A I + B, I 0 i B Matrica I omutira sa svaom drugom matricom istog reda (dale IB BI B, tao za odred ivanje stepena A n možemo oristiti Njutnovu binomnu formulu A n (I + B n 0 (I n B 0 n B (04 Odredimo stepene matrice B B 1 1 0, B 3 B B O, 0 B n O, n 3
13 13 Zamenom vrednosti matrica B u (04, za n dobijamo A n ( n 0 ( n 0 n B n B n 1 B + 1 n(n 1 n B n B n I + n n 1 B + n B n 0 + n n n(n 1 n n 0 n 0 + n 0 n n 1 3n n 1 n(n 1 n 3 n n n n n 1 n(n 1 n 3 + 3n n 1 0 n n n 1 n n n n 1 n(n + 11 n 3 0 n n n 1 n 9 Odrediti A n (n N ao je A a 0, a R 0 a Rešenje: Napisaćemo matricu A u obliu zbira 0 A a a I + B, 0 a 0 a 0 gde je matrica B jednaa 0 B a 0 a 0 i za nju važi B 3 0 (nilpotentna je, reda 3 Sada je B 0, za 3 Odredićemo
14 14 0 B a a 0 0 a a 0 a Primenom binomne formule (a + b n 1, 0 0 a n b na omutativne matrice I i B dobijamo A n ( I + B n 0 ( I n B ( n ( n 1 ( I n B ( I n 1 B a b n, n(n 1 (n + 1,! ( n ( I n B + 3 ( I n 3 B 3 + } {{ } 0 ( n I + n( n 1 n(n 1 B + ( n B ( n 0 + n( n 1 a n(n 1 + ( n a 0 a ( n n( n 1 a ( n 0, n N n(n 1 ( n a n( n 1 a ( n 10 Naći A n, n N, ao je 1 A Rešenje: Napisaćemo matricu A ao zbir dve matrice na sledeći način A I + B, pri čemu je matrica B nilpotentna, reda 3 i važi B 0, 3 Računamo
15 B Za n N imamo: A n (I + B n I n B ( n ( n 1 0 I n B I n 1 B 1 + n(n 1 I + nb + B n n n(n 1/ 0 1 n 1 n(n 1 ( n I n B I n 3 B 3 + } {{ } 0 11 Naći sve matrice M omutativne sa matricom [ ] 3 1 A, 0 3 a zatim naći M n, n N Rešenje: Nea je M [ ] a b, a, b, c, d R c d Iz uslova omutativnosti AM MA dobijamo [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3 1 a b a b 3 1 3a + c 3b + d 0 3 c d c d 0 3 3c 3d odale imamo sistem jednačina [ ] 3a a + 3b 3c c + 3d 3a + c 3a, 3b + d a + 3b, 3d c + 3d a d, c 0 Matrica M je jednaa
16 16 [ ] a b M, a, b R 0 a [ ] 0 b Odredićemo M n, n N uz napomenu da je B i da važi B 0: M n (ai + B n (ai n B ( ( n n (ai n 1 B (ai n B a n I + na n 1 B [ a n na n 1 ] b 0 a n (ai n B + } {{ } 0 1 Odrediti A n, n N, ao je a b c A 0 a b a Rezultat: Imamo A n an na n 1 b na n 1 c + n(n 1 a n b 0 a n na n 1 b a n 13 Izračunati A 3 ao je a zatim odrediti (I + A n, n N A 5 6, 1 3 Rešenje: Uzastopnim množenjem matrice A dobija se
17 A , A 3 A A Koristeći dobijeni rezultat može se jednostavno odrediti (I + A n, n N Primena binomne formule za n 3 daje (I + A n ( n 0 ( n 0 A 0 + I n A A ( n ( n 0 A A + A A n n Kao je A 3 O, to je i A O, 3, 4,, pa za n 1,, 3, 4, važi (I + A n n(n 1 I + na + A n 5 6 n(n (1 + n n 6n n(7 + 3n + n + 3n 3n(1 + 3n n(3 + n n(1 + n 3n 3n 14 Odrediti A n (n N ao je a 0 0 A a a 0 a a a (a R Rešenje: Primetimo da je A aj, gde je J donje trougaona matrica sastavljena od jedinica 1 J 1, 1 1 1
18 18 tj matrica istog tipa ao i A za onretno a 1 Zbog osobina množenja matrica salarom (brojem, važi A n a n J n Potražimo J n I način: Njutnova binomna formula J I + B, uz jasne oznae za I i B Kao jedinična matrica I omutira priliom množenja sa svaom drugom matricom, to za izraz J n (I + B n možemo oristiti Njutnovu binomnu formulu (I + B n 0 I n B 0 B, jer je I n I i IB B Ostaje još da se odrede stepeni matrice B 0 B 1 1 0, B 3 B B O Dale, B O za 3 Tada J n (I + B n 0 B 0 B jer su preostali sabirci binomne formule za 3,, n nula matrice O Konačno, J n n(n 1 I + nb + B n n, n(n + 1 n 1 n(n
19 tj 1 A n a n n n(n + 1 n 1 II način: Matematiča inducija a n na n a n 0 n(n (05 a n na n a n J 1 1, J 3 J J 1 3, J 4 J 3 J Pasalov trougao Poredeći elemente matrica J n, n, 3, 4 sa vrednostima binomnih oeficijenata ( n datih Pasalovim trouglom za n, 3, 4 (poslednje tri vrste trougaone šeme, formulišemo indutivnu hipotezu: 1 J n n ( n + 1 n 1 1 n (06 n 1 n(n + 1 Proverimo indutivnu hipotezu (06 za n + 1 : J n+1 J n J n 1 n + 1 n(n + 1 n n(n n + 1 n n + 1 (n + 1(n + n + 1 ( n + n n + 1 1
20 0 Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da je indutivna hipoteza (06 tačna za svao n N, što nas dovodi ponovo do formule (05 15 Odrediti A n (n N ao je A [ ] 0 1 Rešenje: I način: Uzastopnim množenjem matrice A dobija se [ ] [ ] [ ] A 0 1 A A I, 1 1 A 3 A A A ( I A, A 4 A A 3 A ( A A I, A 5 A A 4 A Na osnovu ovog rezultata može se pretpostaviti obli matrice A n : I, n 4, A n A, n 4 + 1, N I, n 4 +, 0 A, n 4 + 3, Doaz matematičom inducijom ćemo izostaviti zbog obimnosti II način: Označimo sa a n, b n, c n, d n nepoznate elemente matrice A n (n N, tj [ ] A n an b n Tada je Imajući u vidu da je A n+1 A A n c n [ ] 0 1 d n [ ] [ an b n cn d n c n d n [ ] A n+1 an+1 b n+1, c n+1 d n+1 izjednačavanjem odgovarajućih elemenata dobijamo a n+1 c n, b n+1 d n, c n+1 a n, d n+1 b n Posmatrajmo najpre jednaosti a n b n ]
21 1 a n+1 c n, c n+1 a n One važe za svai prirodan broj n, pa se zamenom n sa n + 1 u prvoj jednaosti, a zatim primenom druge jednaosti, dobija a n+ c n+1 a n Prema tome, članovi niza a n zadovoljavaju linearnu homogenu diferencnu jednačinu drugog reda sa onstantnim oeficijentima a n+ + a n 0 Njena arateristična jednačina je vadratna jednačina λ + 1 0, čija su rešenja onjugovano omplesni brojevi λ 1, ±i e ±iπ/ Zato je rešenje diferencne jednačine oblia a n 1 cos nπ + sin nπ, gde su 1 i onstante oje se odred uju na osnovu poznatih prvih članova niza Kao su a 1 i a elementi na mestu (1, 1 u matricama A 1 i A redom, imamo: tj 1 1, 0 Tao je a n cos nπ, c n a n 1 cos a 1 1 cos π + sin π 0, a 1 cos π + sin π 1, (n 1π ( nπ cos π sin nπ Elemente b n i d n dobijamo na isti način upotrebom jednaosti Njihovim ombinovanjem dobijamo b n+1 d n, d n+1 b n b n+ d n+1 b n, što znači da članovi niza b n zadovoljavaju istu diferencnu jednačinu
22 b n+ + b n 0 Zato je b n 3 cos nπ + 4 sin nπ, gde se onstante 3 i 4 odred uju na osnovu poznatih elemenata na mestu (1, u matricama A 1 i A Tao, za n 1 i n imamo: tj 3 0, 4 1, pa je b n sin nπ, d n b n 1 sin Konačno, matrica A n je b 1 3 cos π + 4 sin π 1, b 3 cos π + 4 sin π 0, (n 1π cos nπ A n sin nπ ( nπ sin π cos nπ sin nπ cos nπ 16 Odrediti A n (n N 0 ao je A [ ] Rešenje: Nea je Tada je A n+1 A A n [ ] A n an b n c n [ ] d n (n N 0 [ ] [ an b n an + 4c n b n + 4d n c n d n 3a n + c n 3b n + d n ] Imajući u vidu da je [ ] A n+1 an+1 b n+1, c n+1 d n+1
23 3 izjednačavanjem odgovarajućih elemenata dobijamo a n+1 a n + 4c n, b n+1 b n + 4d n, c n+1 3a n + c n, d n+1 3b n + d n Posmatrajmo najpre jednaosti a n+1 a n + 4c n, c n+1 3a n + c n One važe za svai prirodan broj n, pa se zamenom n sa n + 1 u prvoj jednaosti, a zatim primenom druge jednaosti, dobija a n+ a n+1 + 4c n+1 a n+1 + 4(3a n + c n Izražavajući c n iz prve jednaosti imamo a n+ a n+1 + 1a n + 8c n a n+1 + 1a n + (a n+1 a n 3a n a n Prema tome, članovi niza a n zadovoljavaju linearnu homogenu diferencnu jednačinu drugog reda sa onstantnim oeficijentima Njena arateristična jednačina je a n+ 3a n+1 10a n 0 λ 3λ 10 0, čija su rešenja λ 1 5 i λ Zato je rešenje diferencne jednačine oblia a n 1 5 n + ( n, gde su 1 i onstante oje se odred uju na osnovu poznatih prvih članova niza Kao su a 0 i a 1 elementi na mestu (1, 1 u matricama A 0 I i A 1 A redom, imamo: a ( 0 1, a ( 1 1 Rešavanjem sistema linearnih jednačina { 1 + 1, dobija se 1 3/7, 4/7, pa je
24 4 a n 3 7 5n ( n i c n 1 4 (a n+1 a n 1 4 ( 3 5 7( n+1 5 n + 4 ( ( n+1 ( n (5n ( n Elemente b n i d n dobijamo na isti način upotrebom jednaosti Njihovim ombinovanjem dobijamo b n+1 b n + 4d n, d n+1 3b n + d n b n+ b n+1 + 4d n+1 b n+1 + 4(3b n + d n b n+1 + 1b n + (b n+1 b n 3b n b n, što znači da članovi niza b n zadovoljavaju istu diferencnu jednačinu Zato je b n+ 3b n+1 10b n 0 b n 3 5 n + 4 ( n, gde se onstante 3 i 4 odred uju na osnovu poznatih elemenata na mestu (1, u matricama A 0 i A 1 Tao, za n 0 i n 1 imamo: { b ( 0 { 0, 3 + b ( 1 4 0, 3 4 7, Sada je b n 4 7( 5 n ( n, d n 1 4 (b n+1 b n 4 7 5n ( n Konačno, za proizvoljno n N važi 3 A n 7 5n + 4 4( 7 ( n 5 n ( n [ 7 3( 5 n ( n n n + 4 ( n 4 5 n 4 ( n ] 7 7 ( n 3 5 n 3 ( n 4 5 n + 3 ( n
25 5 17 Odrediti A n (n N ao je A [ ] Rezultat: Za proizvoljno n N važi 1( 5 n + n ( 5 n n A n 3 3 1( 5 n n 1( 5 n + n+1 3 3
26
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDELJIVOST CELIH BROJEVA
DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.
Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα= 10, a u drugom slučaju je broj mogućnosti ( ( 2! = 15. Prema tome krajnji rezultat je S5 3 = ( (
REŠENJA ZADATAKA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA ELEKTROTEHNIKU, RAČUNARSTVO, ANIMACIJU U INŽENJERSTVU I MEHATRONIKU, FTN NOVI SAD 0070 Na hipotenuzi AB pravouglog trougla ABC date su tače D i E,
Διαβάστε περισσότεραNeodred eni integrali
Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz Matematike I
UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραNorme vektora i matrica
2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće
Διαβάστε περισσότεραUvod i vektorski prostori
ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije
Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo
Διαβάστε περισσότεραKonačno dimenzionalni vektorski prostori
Konačno dimenzionalni vektorski prostori Dragan S. Dor dević Niš, 2012. 2 Sadržaj Predgovor 5 1 Redukcija operatora 7 1.1 Linearni operatori, matrica linearnog operatora................ 7 1.2 Invarijatni
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori
2 Jordanova forma 2 Nilpotentni operatori Definicija Neka je V vektorski prostor Operator N P LpV q je nilpotentan indeksa p (p P N) ako vrijedi N p, N p Propozicija Ako je e P V takav da je N p e, onda
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραNUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE. I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici.
NUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici. 1. Izračunati u Mathematici izraze: a) 1 2 + 1 3 + + 1 9 b) 2 40 + 3 50 c) 1+ 2 2 ; e π 163 ;
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDati su intervali [a,b] i [c,d]. Odrediti interval koji je njigov presek (ako postoji).
Ovde su nabrojane nee osnovne formule i postupci oji se oriste pri rešavanju algoritamsih problema iz oblasti geometrije. apredniji problemi računarse geometrije biće obrađeni u posebnim lecijama. Prese
Διαβάστε περισσότερα