Fizička hemija makromolekula
|
|
- Δημήτηρ Κούνδουρος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Fizička hemija makromolekula Šk. 2017/ Predavanje Oktobar dr G.Ćirić-Marjanović, redovni profesor
2 2.2 Jonska polimerizacija Katjonska polimerizacija Katjonska polimerizacija je lančana reakcija između nosioca pozitivnog naelektrisanja (katjona) kao aktivnog centra i molekula monomera. Aktivni centri mogu biti karbokatjon, oksonijum jon, ili estri sa izrazito polarizovanim vezama. Ovi aktivni centri mogu se posmatrati kao kiseline Lewis-ovog tipa, a katjonska polimerizacija kao reakcija između kiseline, odnosno aktivnog centra, i monomera koji predstavlja bazu. Katjonska polimerizacija odigrava se po mehanizmu lančanih reakcija kroz inicijaciju, propagaciju, transfer i terminaciju. Priroda rastvarača u kojima se izvode jonske polimerizacije ima veliki uticaj na brzinu polimerizacije i na veličinu nastalih polimernih lanaca. Svaki jonski aktivni centar ima svoj prateći kontra-jon.
3 Primer katjonske polimerizacije - sinteza poli(izobutena): Inicijacija: Propagacija Terminacija
4 Monomeri koji polimerizuju katjonski Monomeri koji mogu da polimerizuju katjonski: monomeri sa nezasićenim C=C ili C=O grupama, supstituisani elektrondonorskim grupama (npr. alkoksi ili alkil grupe koje povećavaju gustinu elektronskog oblaka dvostruke veze monomera i čine ih podložnijim napadima elektrofilnih aktivnih centara, odnosno katjonskoj polimerizaciji). heterociklični monomeri koji sadrže C heteroatom vezu koja je dovoljno polarizovana tako da se pod dejstvom elektrofila može otvoriti, pri čemu nastaje dovoljno reaktivan i efikasno stabilisan katjon. Elektrofilni inicijatori katjonske polimerizacije: protonske kiseline (H 2 SO 4, HClO 4, CF 3 COOH), Lewis-ove kiseline ili Friedel-Crafts-ovi katalizatori (BF 3, AlCl 3, SnCl 4 ) soli karbenijum jona (trifenilmetil heksahloroantimonat (V) (C 6 H 5 ) 3 C + SbCl 6 )).
5 Monomeri koji polimerizuju katjonski To su, pored stirena, α-metil stiren i njegovi derivati, izobuten alkil-vinil etri vinil-acetali inden N-vinil-karbazol N-vinil-pirolidon gde je R alkil (metil-, etil-, propil-...) grupa.
6 Rast polimernih lanaca u reakcijama propagacije odvija se u katjonskim polimerizacijama kroz sukcesivno vezivanje monomera na enijum ili onijum jone: -Enijum joni su katjoni sa elektrondeficitarnim centrima: karbenijum joni (trovalentni karbokatjoni), dioksolenijum joni i silicenijum joni. -Onijum joni Karbonijum joni su četvoro- ili peto-koordinisani neklasični karbokatjoni. Karboksonijum joni nastaju adicijom kiseonikovih jedinjenja na karbenijum jon.
7 2.2.3»Žive«jonske polimerizacije»žive«jonske polimerizacije su one kod kojih aktivni centri (makrojoni) ne podležu reakcijama transfera i terminacije. koncentracija aktivnih centara se praktično ne menja tokom reakcije polimerizacije. posle potpune konverzije monomera u polimer reakcija polimerizacije može da se nastavi ukoliko se doda nova količina monomera, jer»živi«polimer ima uvek reaktivni kraj. molarna masa polimera raste linearno sa konverzijom monomera u polimer. koriste se za sintezu funkcionalizovanih polimera (sa dobro definisanim završnim grupama) ili blok-kopolimera (pri sukcesivnom dodavanju dva ili više različitih monomera).
8 »Žive«jonske polimerizacije: Sinteza triblok kopolimera
9 2.3 Koordinaciona polimerizacija Koordinaciona polimerizacija (stereospecifična ili stereoregularna) je reakcija sinteze makromolekula koja se odvija uz upotrebu Ziegler-Natta (ZN) katalizatora ili metalocenskog tipa katalizatora, koji mogu da iniciraju polimerizaciju kako olefina tako i nekih drugih monomera. Danas se pod ZN-katalizatorima podrazumeva svaka kombinacija jedinjenja prelaznih metala sporedne grupe IV do VII (TiX 4, TiX 3, VX 4, VX 3, VOX 3, Co i Ni kompleksi) i metaloorganskih jedinjenja metala iz grupe I do III periodnog sistema (LiR, ZnR 2, AlR 3, AlR 2 X), koja može da inicira polimerizaciju kako olefina tako i nekih drugih monomera.
10 Koordinaciona polimerizacija Ziegler i saradnici su godine otkrili da kombinacija soli prelaznih metala (TiCl 4 ) i alkil-metalnih jedinjenja (trietilaluminijuma) inicira polimerizaciju etena pri normalnom pritisku i temperaturi. Ziegler je konstatovao da polieten dobiven opisanim katalizatorima ima pretežno linearnu molekulsku strukturu, veliku gustinu i stepen kristaliničnosti. Ovakav polieten se, za razliku od razgranatog polietena male gustine (low density PE - LDPE) dobivenog radikalnom polimerizacijom, naziva polietenom velike gustine (HDPE). Natta sa svojim saradnicima je otkrio sposobnost Ziegler-ovih katalizatora da α- olefinske monomere stereoselektivno polimerizuju, i godine opisao je postupak sinteze i okarakterisao prvi poli(α-olefin) poli(propen) u čijem makromolekulskom lancu su ugrađene sekvence monomera sa istom sternom strukturom. Natta je ovakve polimere nazvao izotaktičkim. Prema rastvorljivosti u reakcionoj smeši ZN-katalizatori se dele na nerastvorne heterogene i rastvorne homogene katalizatore.
11 Nerastvorni heterogeni Ziegler-Natta katalizatori Inicijacija: Aktivni kompleks Propagacija: Terminacija:
12 Rastvorni homogeni Ziegler-Natta katalizatori Kompleksi različitih prelaznih metala sa ciklopentadienom i njegovim derivatima nazvani su opštim imenom metaloceni.to su metal-π kompleksi, koji imaju»sendvič«strukturu (katjon metala se nalazi u sendviču između dva aromatična prstena, X predstavlja halogen) Metalocen Natta i Breslow su godine pokazali da jedan metalocen sa titanom kao centralnim atomom titanocen, koji je aktiviran sa trialkil-aluminijumom, inicira polimerizaciju etena.
13 Koordinaciona polimerizacija Koordinaciona polimerizacija pokazuje dve karakteristike bitno različite od radikalne polimerizacije: 1) Proizvod je linearni makromolekul 2) Stereohemijska kontrola polimerizacije Pogodnim izborom eksperimentalnih uslova, kao što su temperatura, rastvarač i ZN-katalizator, monomeri mogu da se polimerizuju sa precizno definisanom stereohemijom, na primer polipropilen: izotaktički polipropilen sindiotaktični polipropilen polipropilen
14 Polipropilen ili polipropen je termoplastični polimer koji se koristi za širok niz primena: pakovanje hrane, tekstila, laboratorijska oprema, polimerne novčanice Važan koncept u razumevanju veze između strukture polipropilena i njegovih osobina je taktičnost. Relativna orijentacija svake CH 3 grupe u odnosu na metil grupu na susednim monomernim jedinicama ima jak uticaj na sposobnost finalnog polimera da formira kristale. Korisni polipropilen ne može se napraviti putem radikalske polimerizacije. Materijal koji se dobija iz takvog procesa ima metil grupe koje su uređene nasumično, i zove se ataktičan. Nedostatak uređenosti dugog ranga sprečava kristaliničnost takvog materijala, i daje amorfan materijal veoma male jačine i sa malim brojem drugih povoljnih svojstava. Ziegler-Natta katalizator omogućava dobijanje izotaktičkog polipropilena, kod koga je metil grupa konzistentno sa jedne strane. Takvi molekuli teže da zauzimaju oblik heliksa (spirale); ovi heliksi onda se uređuju jedan sa drugim formirajući kristale koji daju komercijalnom polipropilenu njegovu jačinu. Većina komercijalno dobivenih polipropilena napravljena je sa titan hloridnim katalizatorima, koji proizvode većinom izotaktični polipropilen. izotaktični polipropilen
15 sindiotaktični polipropilen Kaminsky katalizatori nude mnogo veći nivo kontrole. Ovi katalizatori bazirani su na molekulima metalocena i koriste organske grupe za kontrolu povezivanja monomera, tako da se odgovarajućim izborom katalizatora može dobiti izotaktični, sindiotaktični ili ataktični polipropilen, ili čak njihova kombinacija. Pored ovakve kvalitativne kontrole, oni dopuštaju i bolju kvantitativnu kontrolu, sa mnogo većim udelom željene taktičnosti od prethodno navedenih Ziegler Natta tehnika. Oni takođe proizvode i veće molarne mase od tradicionalnih katalizatora, što može dovesti do daljih poboljšanja svojstava polimera.
16 Postepene reakcije polimerizacije Kod postepenih (step-by-step) reakcija polimerizacije ne postoje faze inicijacije, propagacije i terminacije. Polimerizacija zavisi isključivo od reakcija funkcionalnih grupa monomera. Reakcije se odvijaju kroz nasumičnu kondenzaciju ili adiciju svih molekula prisutnih u reakcionoj smeši (od monomera do polimera). Za postepene polimerizacije karakteristično je da molarna masa molekula polako i kontinualno raste sa konverzijom, odnosno vremenom. Monomer brzo nestaje na početku reakcije i prisutan je u reakcionoj smeši u iznosu manjem od 1% kada polimerni lanci dostignu dužinu od svega 10 monomernih ostataka. Duga vremena su neophodna da bi se dobili polimerni lanci velikih molarnih masa. Reakcije su obično katalizovane i molekuli katalizatora se ne ugrađuju u polimerne lance. U postepene polimerizacije ubrajaju se brojne hemijske reakcije kao što su esterifikacije, amidacije, adicije na izocijanatnu grupu, aromatske supstitucije, reakcije na epoksidnom prstenu.
17 Prema vrsti monomera, reakcije postepenih polimerizacija mogu se klasifikovati u dve grupe: a) Reakcije u kojima učestvuju dvo- ili više-funkcionalni monomeri od kojih svaki sadrži funkcionalne grupe iste vrste, monomeri tipa (A-A) i (B-B). b) U drugoj grupi reakcija učestvuju monomeri koji sadrže bar dve različite funkcionalne grupe (A-B) (hidroksikiseline i aminokiseline). Poliamidi mogu da se sintetišu na oba načina: 1. polazeći od diamina i dikarbonskih kiselina n H 2 N-R-NH 2 + n HOOC-R -COOH H-(NH-R-NHCO-R -CO) n -OH + (2n-1) H 2 O 2. u reakcijama aminokiselina n H 2 N-R-COOH H-(NH-R-CO) n -OH + (n-1) H 2 O
18 Karakteristike postepenih polimerizacija Brzina reagovanja funkcionalnih grupa ne zavisi od veličine makromolekulskog lanca na kome se one nalaze (opadanje reaktivnosti funkcionalnih grupa sa porastom molarne mase opaža se samo za dimere i trimere u odnosu na monomere) Reaktivnost funkcionalnih grupa zavisi od učestalosti sudara (broja sudara između funkcionalnih grupa u jedinici vremena) Reaktivnost funkcionalnih grupa zavisi od strukture monomera OCN H 3 C NCO 2,4-toluendiizocijanat Primer: u 2,4-toluendiizocijanatu izocijanatna grupa u para- položaju je reaktivnija od izocijanatne grupe u orto- položaju).
19 Kada se reakcije postepene polimerizacije odigravaju u prisustvu višefunkcionalnih monomera (broj funkc. grupa f 3) nastaju razgranati ili umreženi polimerni proizvodi. Monomeri tipa BA f (f 2) sami ili u prisustvu monomera tipa AB formiraju nepravilnu hiperrazgranatu strukturu. Polimerizacija trifunkcionalnog monomera BA 2 može shematski da se predstavi: Hiperrazgranati polimeri se razlikuju od linearnih polimera po manjoj viskoznosti zbog nemogućnosti preplitanja, a zbog nemogućnosti kristalisanja su amorfni.
20 Dendrimeri su trodimenzionalni globularni polimeri nanometarskih dimenzija koji nastaju u uzastopnim reakcijama kondenzacije ili adicije. U postupku divergentne sinteze za formiranje svake nove generacije dodaju se monomeri u velikom višku, a zatim se neizreagovani monomeri odstrane. Ovakav način sinteze omogućava dobijanje vrlo pravilne strukture odnosno grana iste dužine i istog rastojanja između mesta grananja. Dendrimeri se lako rastvaraju u organskim rastvaračima, poseduju veliku koncentraciju završnih grupa i malu viskoznost rastopa.
21 Na osnovu strukture dobijenih polimernih proizvoda postepene reakcije polimerizacije možemo podeliti na sinteze poliestara, poliamida, poliimida, polikarbonata, epoksidnih smola, fenol-formaldehidnih smola, amino-smola, aromatskih polietara i poliuretana. Na osnovu mehanizma postepene reakcije polimerizacije se dele na kondenzacione i adicione polimerizacije. Reakcije polikondenzacije i poliadicije se odvijaju po sličnom mehanizmu pa samim tim važe iste zavisnosti molarne mase polimera od stepena reagovanja funkcionalnih grupa. Takođe, kinetike odigravanja reakcija polikondenzacija i poliadicija su obično slične. Međutim, činjenica da se u reakcijama polikondenzacije izdvajaju mali molekuli čini ih vrlo različitim od poliadicija jer izdvajanje malih molekula zahteva specijalne postupke. Zaostatak malih molekula u polimernom materijalu može da pogorša njegova mehanička svojstva.
22 Kondenzaciona polimerizacija Polikondenzacije su postepene polimerizacije koje se odvijaju kroz međumolekulsku kondenzaciju dve različite funkcionalne grupe, na primer hidroksilne i karboksilne ili amino i karboksilne, pri čemu nastaju nove grupe (estarska ili amidna) uz uklanjanje sporednih proizvoda malih molekula kao što su voda ili alkohol. Polikondenzacije se mogu prikazati na uopšten način: n A-A + n B-B A-(C-) n B + (2n-1) H 2 O n A-B A-(C-) n B + (n-1) H 2 O gde A i B predstavljaju dve različite funkcionalne grupe, čiji je produkt novonastala grupa C. Karakteristike obeju vrsta reakcija su vrlo slične, i za sintezu polimera velikih molarnih masa neophodni su vrlo visoki stepeni reagovanja funkcionalnih grupa (> %). Polikondenzacije mogu da budu ravnotežne-reverzibilne i neravnotežneireverzibilne.
23 Većina polikondenzacija se izvodi na temperaturama od o C, i na višim, da bi se postigle zadovoljavajuće brzine reakcija. Korišćenje visokih temperatura može da predstavlja problem zbog isparljivosti reaktanata i opasnosti od oksidativne degradacije polimera. Zato se polimerizacije izvode u inertnoj atmosferi azota ili CO 2. Vrlo često se polikondenzacije izvode u rastopu, a takođe mogu da se izvode i u rastvoru. Odvođenje toplote tokom reakcije nije problem jer su stupnjevite polikondenzacije slabo egzotermne. Niskotemperaturne reakcije polikondenzacije (reakcije između dihlorida kiselina i dialkohola, odnosno diamina) mogu da se izvode koristeći postupak međufazne polikondenzacije u opsegu temperatura od 0 50 o C. Medjufazna polikondenzacija Uklanjanje filma polimera-najlona u obliku vlakna sa granice faza kod medjufazne polikondenzacije Reaktanti difunduju ka granici faza gde se odvija reakcija polimerizacije. Skoro trenutno nastaje film polimera na granici faza, koji može da se uklanja izvlačenjem u obliku vlakna ukoliko poseduje dovoljnu mehaničku jačinu. Za razliku od ravnotežnih polikondenzacija, međufazna polikondenzacija ne zahteva da funkcionalne grupe budu prisutne u stehiometrijskom odnosu. Brzina reakcije polimerizacije može se povećati ukoliko se reakciona smesa meša, čime se povećava ukupna dodirna površina. Primer je sinteza najlona.
24 Primeri ravnotežnih i neravnotežnih reakcija kondenzacione polimerizacije Ravnotežne polikondenzacije Funkcionalne grupe monomera Grupa koja nastaje Sporedni proizvod Tip reakcije A B C Amidacija NH 2 COOH NH-C(O) H 2 O Esterifikacija OH COOH C(O)O H 2 O Estarska izmena OH C(O)OR C(O)O HOR Neravnotežne polikondenzacije Amin i hlorid kiseline NH 2 C(O)Cl C(O)NH HCl OH i hlorid kiseline OH C(O)Cl C(O)O HCl Silanol-Silanol Si OH Si OH Si O Si H 2 O
25 Sinteze poliestara Za sintezu poliestara mogu se koristiti reakcije direktne poliesterifikacije dikarbonskih kiselina i diola ili samo hidroksikiselina. Takođe, reakcija estarske izmene (obično dimetilestra) tj. transesterifikacije često se koriste za sintezu poliestara, jer su brže od reakcija direktne esterifikacije. Direktna poliesterifikacija (dikarbonska kiselina + diol) Sinteza poli(etilentereftalata) (PET): dimetil tereftalat + etilen glikol
26 Sinteze poliamida Poliamidi se najčešće sintetišu direktnom amidacijom polazeći od dikarbonskih kiselina i diamina ili reakcijom otvaranja cikličnih monomera. Primer: najlon 6,6 se dobija polazeći od heksametilendiamina i adipinske kiseline:
27 Sinteze fenol-formaldehidnih polimera Fenol-formaldehidni polimeri (smole) se ubrajaju u termoočvršćavajuće polimerne materijale, a nastaju polikondenzacijom fenola i formaldehida (CH 2 O) u dva koraka. Prvi korak odgovara formiranju oligomera (smole) koji se koriste kao prepolimeri i čija molekulska struktura zavisi od ph reakcione sredine. Drugi korak je umrežavanje prepolimera. Razlikuju se dva osnovna tipa prekursora, novolačni i rezolni. a) Moguća struktura oligomera prisutnog u novolak smoli, b) umrežena struktura fenolformaldehidnog polimera.
Fizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2017/2018 3. Predavanje Dr GordanaĆirić-Marjanović, redovni profesor 2.2 Jonska polimerizacija 2.2.2 Katjonska polimerizacija Katjonska polimerizacija je lančana reakcija
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραFizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2013/2014 2. Predavanje Oktobar 2013. Dr Gordana Ćirić-Marjanović, vanredni profesor 2. Reakcije polimerizacije. 2.1. Lančane reakcije polimerizacije Kod lančane polimerizacije,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPolimerizacija kemijska reakcija u kojoj niskomolekulski spojevi, monomeri, međusobnim povezivanjem kovalentnim kemijskim vezama tvore makromolekule,
Polimerizacija kemijska reakcija u kojoj niskomolekulski spojevi, monomeri, međusobnim povezivanjem kovalentnim kemijskim vezama tvore makromolekule, tj. molekule polimera Monomer - osnovna građevna jedinica
Διαβάστε περισσότεραC kao nukleofil (Organometalni spojevi)
C kao nukleofil (Organometalni spojevi) 1 Nastajanje nukleofilnih C atoma i njihova adicija na karbonilnu grupu Ukupan proces je jedan od najkorisnijih sintetskih postupaka za stvaranje C-C veze 2 Priroda
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSupstituisane k.k. Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi. Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori
Supstituisane k.k. Značaj Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori Hidroksikiseline Kozmetička industrija kreme Biološki
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c.
II RAČUNSKE VEŽBE HEMIJSKE RAVNOTEŽE TEORIJSKI DEO I POJAM AKTIVNOSTI JONA Razblaženi rastvori (do 0,1 mol/dm ) u kojima je interakcija između čestica rastvorene supstance zanemarljiva ponašaju se kao
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραREAKCIJE ELIMINACIJE
REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1 Uvod - polimeri i polimerni materijali
1 Uvod - polimeri i polimerni materijali 1.1 Osnovni pojmovi i vrste polimera Polimeri su organska ili neorganska jedinjenja izgrađena od molekula velikih molekulskih masa (makromolekula) u kojima su atomske
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραKiselo bazni indikatori
Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραO ili S kao nukleofili-acetali, ketali i hidrati (Adicija alkohola, vode, adicija tiola)
ili S kao nukleofili-acetali, ketali i hidrati (Adicija alkohola, vode, adicija tiola) 1 Adicija alkohola 2 AETALI I PLUAETAL AETALI 3 Adicijom jednog mola alkohola na mol aldehida ili ketona nastaje poluacetal
Διαβάστε περισσότεραLANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE
LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSTVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA
STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραOsnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice
Διαβάστε περισσότεραMEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE
MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραFizička hemija makromolekula
Fizička hemija makromolekula Šk. 2013/2014 Uvodno predavanje Oktobar 2013. Dr Gordana Ćirić-Marjanović, vanredni profesor Cilj i sadržaj predmeta Cilj predmeta je upoznavanje studenata sa reakcionim mehanizmima
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA. Elektronska konfiguracija ns 2 np 1 B 4
13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA Bor redak element, najčešće u obliku minerala boraksa, Na 2 B 4 O 7 10H 2 O. Aluminijum najrasprostranjeniji metal u Zemljinoj kori (8,3 mas.%) i
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραLOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul
Διαβάστε περισσότεραKiselo-bazne ravnoteže
Uvod u biohemiju (školska 2016/17.) Kiselo-bazne ravnoteže NB: Prerađena/adaptirana prezentacija američkih profesora! Primeri kiselina i baza iz svakodnevnog života Arrhenius-ova definicija kiselina i
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραU unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA
HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα