Llukan PUKA, Dituri MALAJ, Afërdita HYSA, Petrit OSMANI. Matematika. (Me zgjedhje të detyruar) A O M

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Llukan PUKA, Dituri MALAJ, Afërdita HYSA, Petrit OSMANI. Matematika. (Me zgjedhje të detyruar) A O M"

Θήρων Βέργας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Llukn PUK, Dituri MLJ, fërdit HYS, Petrit OSMNI Mtemtik (Me zgjedhje të detyrur) 11 K O M

2 Mirtur ng Ministri e rsimit dhe Shkencës, qershor 21 Titulli: utorë: Mtemtik 11, me zgjedhje të detyrur Prof. Llukn PUK Kreu 3,7,8 Dituri MLJ Kreu 1,5 fërdit HYS, (SINNI) Kreu 4,6 Petrit Osmni Kreu 2 Drejtuese otimi: Redktor shkencor: Recensentë: Redktore letrre: Redktore teknike: Design: Shtypi: nil ISH Prof. Ftmir Hoxh Prof. Thom Mitre rdhyl Selimi Elon Qose Mirel Ndrit Elzn golli Medi-print ISN: otimi i prë: 21 Të gjith të drejtt jnë të rezervur S H T Ë P I info.mediprint@gmil.com O T U E S E Të gjith të drejtt e utorit lidhur me këtë otim jnë ekskluzivisht të zotërur/rezervur ng Shtëpi otuese Mediprint sh.p.k.. Ndlohet çdo prodhim, riprodhim, shitje, rishitje, shpërndrje, kopjim, fotokopjim, përkthim, përshttje, hupërdorje, shfrytëzim dhe/ose çdo formë tjetër qrkullimi tregtr, si dhe çdo veprim cënues me çfrëdo lloj mjeti po forme, pjesërisht dhe/ose tërësisht, p mirtimin prprk me shkrim ng shtëpi otuese Mediprint sh.p.k.. Ky otim, në tërësi dhe/ose në pjesë të tij, ndlohet të trnsmetohet dhe/ose përhpet në çdo lloj forme dhe/ose mjet elektronik, meknik, regjistrues dhe/ose tjetër, të ruhet, depozitohet ose përdoret në sisteme ku mund të cënohen të drejtt e utorit, p mirtimin prprk me shkrim ng shtëpi otuese Mediprint sh.p.k.. Çdo cënim i të drejtve të utorit pssjell përgjegjësi sips legjislcionit në fuqi. Kontktet: Shtëpi otuese Sektori i Shpërndrjes dhe Mrketingut: Shtypshkronj: Kuti Postre Tirnë Tel.: el.: Tel.: el.: el.: el.: Komente dhe sugjerime jnë të mirëpritur në emil: info.mediprint@gmil.com

3 Përmjtj e lëndës KREU 1. TRIGONOMETRI 5 M.1 Punë e drejtur. Grfe dhe mtric 7 M.1. Dis ztime të teoremës së sinusit dhe të kosinusit M.2. Identitete të këndit të dyfishtë dhe identitete të gjysmës së këndit 6 8 Test: Provo veten. Ushtrime dhe prolem M.3. Relcione trigonometrike M. 4. Ekucione trigonometrike Test: Provo veten KREU 4. GJEOMETRI NË HPËSIRË: VEKTORË DHE DREJTËZ M.1 Vektori, vektorë të rrtë, të kundërt. Shum, diferenc, prodhimi i vektorit me numër KREU 2. NJOHURI TË PËRGJITHSHME PËR FUNKSIONET M.1-2 Funksioni injektiv, syrjektiv M.3-4 Funksioni ijektiv (ijeksioni) M.5-6 Relcioni i nsjellë. Funksioni i nsjellë M.7-8 Përërj e funksioneve numerike M Të thellojmë njohuritë për funksionin M.2 Punë e drejtur. Veti e vijës së mesme të trekëndëshit dhe e pikëprerjes së mesoreve të tij M.3 Koordintt e pikës, vektorit, në osht, pln. Koordintt trigonometrike të vektorit M.4 Koordintt e pikës, vektorit në hpësirë M.5 Ndrj e vektorit në një rport të dhënë; kosinuset drejtuese të vektorit M.14 Funksionet trigonometrike të nsjellë Test: Provo veten M.6 Prodhimi numerik i dy vektorëve në hpësirë. Këndi ndërmjet dy vektorëve. Kushti i pingultisë 88 Ushtrime dhe prolem 44 M.7-8 Prodhimi vektoril i dy vektorëve. Treshe vektorësh në hpësirë 9 KREU 3. MTRI. PËRKTORË M.1 Mtric. Përkufizime M.2 Mledhj. Shumëzimi me një konstnte k M.3 Prodhimi i një mtrice me një mtricë shtyllë M.4 Prodhimi i dy mtricve M.5 Mtric e nsjellë M.6 Mtric dhe sisteme ekucionesh linere M.9. Shprehj e prodhimit vektoril në koordint M.1 Punë e drejtur. Syprin e prlelogrmit që k si rinjë digonlet e një prlelogrmi të dhënë M.11 Prodhimi i përzier i vektorëve M.12 Punë e drejtur. Vëllimi i prlelepipedit të ndërtur mi digonlet e fqeve të prlelepipedit të dl ng i njëjti kulm Test: Provo veten! M.7 Përcktorët M.8 Metod e Krmerit për zgjidhjen e sistemit të dy ekucioneve linere me dy të pnjohur M.9 Punë e drejtur: metod e Gusit KREU 5. SHUMËFQËSH DHE TRUP TË RRUMULLKËT M.1 Ndërtime dhe veti M.2 Syprin dhe vëllimi i pirmidës

4 M.3 Punë e drejtur M.4 Punë e drejtur Test për vetëkontroll KREU 6. GJEOMETRI NË HPËSIRË. PLNI DHE DREJTËZ NË HPËSIRË M.1 Ekucioni i plnit që klon ng një pikë e dhënë pingul me një vektor të dhënë M.2 Kushtet e prlelizmit dhe pingultisë së dy plneve M.3 Ekucioni i plnit që klon ng një pikë e dhënë prlel me dy vektorë (jo shkëvijorë ndërmjet tyre) M.4 Punë e drejtur. Ekucioni i plnit që klon ng tri pik jo në vijë të drejtë M.5 Lrges e pikës ng plni M.6 Ekucioni i drejtëzës në hpësirë M.7 Gjendj e ndërsjellë e drejtëzës me plnin. Kushtet e prlelizmit dhe pingultisë së drejtëzës me plnin M.8 Punë e drejtur. Ekucionet e përgjithshme të drejtëzës M.9 Punë e drejtur. Gjendj e ndërsjellë e dy drejtëzve në hpësirë Test: Provo veten! KREU 7. STTISTIKË. MTEMTIK NË JETËN E PËRDITSHME M.1-2 Tel me dy hyrje M.3-4 Punë e drejtur. Përcktimi grfik i kurtileve M.5 Punë e drejtur. Grfiku-kuti M. 6-7 Punë prktike e drejtur. Rej e pikve. Drejtëz e regresit M.8 Korrelcioni M.9 Punë e drejtur. Llogritje në Excel M.1 Mledhj e dy përqindjeve. Krhsimi i dy përqindjeve M Punë e drejtur. Përfrimi liner i përqindjeve të vogl. M.13 Punë e drejtur. Përqindje në Excel Test. Provo veten! Ushtrime dhe prolem KREU 8. MTEMTIKË DISKRETE: INDUKSIONI MTEMTIK. NUMËRIMI M.1 Induksioni mtemtik. Prolemi M.2 Primi i induksionit mtemtik M.3-4 Punë e drejtur. Ztime të primit të induksionit M.5 Trekëndëshi i Psklit. Formul e inomit M.6 Punë e drejtur. Shemuj numërimi

5 kreu 1 Trigonometri Më 1831-shin Michel Frdy zuloi se kur një tel klon fër një mgneti, një rrymë e vogël korrenti prodhohej në tel. Në ditët e sotme ne gjenerojmë ms të mëdh elektriciteti duke rrotullur në mënyrë të vzhdueshme mijër tel fër mgneteve të mëdhenj. Për shkk se rrym ndryshon drejtimin e sj në telt elektrikë, është modelur me sktësi ose ng funksioni sinus ose ng funksioni kosinus. Michel Frdy Enigm 1 Lvjerrësi sustë y Lrges ose zhvendosj e y ng vendosj e një peshe në lvjerrës ng pozicioni ntyrl i tij jepet me formulën: ( πt) y = 4 cos 2, ku t është koh në sekond. Energji potencile është energji e pozicionit që jepet 2 me formulën: P = k y, ku k është konstnte. Pesh k energjinë potencile më të mdhe kur lvjerrësi sustë është i tërhequr në mksimum. ) Shkruj një shprehje të P në vrësi të funksionit kosinus. x ) Përdor identitetin kryesor për të shkrur P me term të sin ( 2π t). 5

6 M.1 Dis ztime të teoremës së sinusit dhe të kosinusit Kujto: Teorem e sinusit c = = = 2R, ku R është rrezj e rrethit të jshtëshkrur trekëndëshit. sinα sin β sin γ Teorem e kosinusit α = + c 2c cosα c = + c 2c cos β c = + 2 cosγ β γ Shemull 1 Supozojmë që,,, D jnë pik çfrëdo në një rreth me rreze R, të vendosur sips rendit lfetik. ) Duke përdorur teoremën e sinusit trego që sin = sind. ) Çfrë përfundimi merr për shumën e këndeve + D? Në Zgjidhje ) Në ztojmë teoremën e sinusit: 2R sin = D ztojmë teoremën e sinusit: 2R sin D =. Pr, sin = sin D ) Ng përfundimi që morëm në pikën ) del se = D ose = 18 D. Pr, nëse një ktërkëndëshi i jshtëshkruhet një rreth, tëherë këndet e përkundrejt jnë të rrt ose shtuese. D Shemull 2 Një i çfrëdoshëm e k dimetrin e rrethit të jshtëshkrur tij 1 njësi. ) Shpreh gjtësitë e rinjëve të trekëndëshit me në të funksioneve trigonometrike të këndeve të tij. ) Zto teoremën e kosinusit në këtë trekëndësh. α c β γ Zgjidhje ) Në ztojmë teoremën e sinusit: c = = = 2R = 1, që ng = sinα, = sin β dhe c = sin γ sinα sin β sin γ ) Ztojmë teoremën e kosinusit në = + c 2c cosα. Zëvendësojmë në këtë rzim përfundimet që morëm ng 6

7 ): Njëlloj do të mrrim: sin α = sin β + sin γ 2 sin β sin γ cosα sin β = sin α + sin γ 2 sinα sin γ cos β sin γ = sin α + sin β 2 sinα sin β cosγ Shemull 3 Jepet trpezi kënddrejtë D, ku = dhe D =. Shënojmë me msën e këndit D. Trego që gjtësi l e zës së mdhe D Zgjidhje Në D gjejmë D: D = + Në D ztojmë teoremën e sinusit: + = sinα sin D x ( D) cos( x α ) Nëse m D sin Në =, tëherë m D sinα është: + = 9 sinα + cosα D = x, kështu që m D = 9 + x α. Ng kjo del se = ose sin D = cos x cosα + sin x sinα D shkrujmë: sin x = + dhe cos x = + 2 Pr, cosα + sinα + sin ( D) 2 sinα =. Kjo sjell që = + sinα + cosα. α U s h t r i m e 1. Jepet një dyrinjënjëshëm me zë. Le të jetë D një pikë e rendshme e zës. Krhso rrezen e rrethit të jshtëshkrur D me rrezen e rrethit të jshtëshkrur D. 2. Në një trekëndësh me syprinë 2 14 cm, dy rinjët e tij jnë 6 cm e 7 cm. Gjej rinjën e tretë. P. 85 ± 28 5 cm 3. Jepen trekëndësht dhe MNP cm 6 M cm N P 2 cm 6 cm ) Trego që trekëndësht jnë të ngjshëm. ) Gjej gjtësitë e rinjëve e të. 4. Gjej lrtësinë e pemës në figurën e mëposhtme: 7

Σχετικά έγγραφα

PËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS

SHOQATA E MATEMATIKANËVE TË KOSOVËS PËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS Kls 9 Armend Sh Shbni Prishtinë, 009 Bshkësitë numerike Të vërtetohet se numri 004 005 006 007 + është