KLIKONI KËTU

Transcript

1 KLIKONI KËTU

2

3 Libër mësuesi Matematika 1 Teksti mësimor është përkthyer dhe përshtatur nga Prof. Dr. Llukan Puka, Adrian Naço Libri i mësuesit përmban Planifikimin vjetor - planet tremujore - planifikimin e orëve mësimore për librin bazë dhe me zgjedhje - projekte - teste - detyra për portofol -përgjigjet e ushtrimeve të tekstit të nxënësit

4 Titulli: Libër mësuesi Matematika 1 Autore: Grup autorësh Drejtoi botimin: Redaktore gjuhësore: Dizajni: Anila Bisha Elona Çali Mirela Ndrita Kopertina: Arben Hamzallari Shtypi: Shtypshkronja Mediaprint ISBN: Botimi i parë, 018

5 Përmbajtja Si është ndërtuar libri i mësuesit 1. Rezultatet kryesore të të nxënit sipas kompetencave kyçe 4. Planifikimi vjetor i lëndës Matematika Tremujori i parë (Shtator Nëntor) Tremujori i dytë (Dhjetor Shkurt) 5. Tremujori i tretë (Mars Maj) 9 6. Planifikimi vjetor i lëndës Matematika me zgjedhje Tremujori i parë (Shtator Nëntor) Tremujori i dytë (Dhjetor Shkurt) 5 9. Tremujori i tretë (Mars Maj) Planifikimi i orëve mësimore Teste për secilin tremujor Projekt 13. Përgjigjet e ushtrimeve të librit të nxënësit Matematika Shënim Përgjigjet e pyetjeve të librit të nxënësit Matematika me zgjedhje 1 i gjeni ne web: ose Libër mësuesi Matematika 1 3

6 MATEMATIKA 1 Kompetenca e komunikimit dhe e të shprehurit Nxënësi komunikon në mënyrë efektive. Shpreh para një audience të caktuar, çështjet thelbësore të ngritura në një interpretim për një temë të caktuar, përmes së paku një forme komunikimi (gjuhës, simboleve, shenjave, kodeve, etj.). Prezanton një temë të caktuar nga matematika, shkenca, nga jeta e përditshme dhe në mënyrë efektive komunikon me audiencën, duke përdorur TIK un dhe mediet e tjera të shkruara dhe elektronike. Kompetenca e të menduarit Nxënësi mendon në mënyrë krijuese. Interpreton dhe prezanton ecurinë e zgjidhjes së një problemi në klasë apo jashtë saj, duke e vërtetuar zgjidhjen e problemit përmes metodës së analizës. Analizon, në mënyrë të pavarur, informacionet e marra nga burimet e ndryshme për një temë ose detyrë të dhënë dhe vlerëson cilësinë e tyre. Gjykon rezultatet e arritura, nga analiza e të dhënave të një projekti të realizuar dhe i interpreton ato me gjuhën e matematikës dhe të fushës përkatëse, i paraqet grafikisht, në formë tabelore, duke nxjerrë përfundime të vërtetuara. Përpunon në mënyrë kritike, informacionet e mbledhura nga burime të ndryshme për ndonjë temë të ndjeshme në shoqëri, formon qëndrim kritik dhe e paraqet atë gjatë një debati me moshataret dhe me të tjerët për çështjen e ngritur, pro ose kundër. Kompetenca e të nxënit Nxënësi mëson për të nxënë. Diskuton në grup për mënyrat e bashkëpunimit me të tjerët për të zgjidhur një situatë të re mësimore, një problem nga jeta e përditshme. Bën përpunimin e informacioneve për një temë të caktuar në mënyrë të pavarur dhe efektive, rezultatet e punës i prezanton me shkrim ose me gojë para të tjerëve, duke dhënë shpjegime për mënyrën e zgjedhjes dhe të shfrytëzimit të burimeve të informacionit. Paraqet një plan studimi (në formë skice, vizatimi, etj.) për ndonjë çështje të caktuar (p.sh., vlerat kulturore të rajonit të vet, vlerat e edukimit në shoqëri etj.) duke respektuar të gjithë hapat e planit të studimit dhe e paraqet para të tjerëve. Përzgjedh punimet kryesore të dosjes së vet për të shpjeguar para një audience të caktuar strategjitë që ka zbatuar për të ndjekur avancimin e vet dhe masat e zbatuara për të përmirësuar përparimin në mënyrë të vazhdueshme. Kompetenca për jetën, sipërmarrjen dhe mjedisin Nxënësi kontribuon në mënyrë produktive. Ndërmerr iniciative në aktivitete të ndryshme me interes për lëndën/fushën mësimore, për klasën, për shkollën dhe për mjedisin ku jeton, si dhe tregohet i përgjegjshëm në plotësimin e detyrave, përmbushjen e detyrimeve dhe respektimin e afateve, referuar projektit apo planit. 4 Libër mësuesi Matematika 1

7 Përdor aftësitë digjitale për llogaritjen, analizën, interpretimin dhe paraqitjen e të dhënave me informacione të nevojshme (p.sh., të një mjedisi të biznesit), duke renditur të dhënat sipas nevojave dhe prioriteteve të ndërmarrjes ose organizatës. Kompetenca personale Nxënësi bën jetë të shëndetshme. Demonstron vetëbesim dhe shkathtësi personale e ndërpersonale në jetën e përditshme, duke dalluar aspektet pozitive për veten dhe duke ndërmarrë veprime konkrete për arritjen e rezultateve të synuara personale. Kompetenca qytetare Nxënësi përkushtohet ndaj të mirës së përbashkët. Ilustron me shembuj, zgjidhjen e problemeve të caktuara në nivel shkolle ose në nivel komuniteti, si dhe e arsyeton atë me argumente para një audience të caktuar (p.sh., demonstron mënyrën e ofrimit të ndihmës së parë në rastet e fatkeqësive natyrore ose njerëzore). Kompetenca digjitale Nxënësi përdor teknologjinë për të nxitur inovacionin. Prezanton një projekt, duke përdorur sekuenca animimesh, videosh, figurash për demonstrimin e temave mësimore. Përdor sistemet e duhura kompjuterike (hardware, software, networks dhe softet) si:word Processing, Database, Power Point, Publisher, Internet Explorer për përdorimin e TIK ut në situata të ndryshme të të nxënit (ndërtimin e tabelave, grafikëve, diagrameve, vizatimin e një plani etj); Libër mësuesi Matematika 1 5

8 ARRITJET SIPAS TEMATIKËS 1. Shprehjet algjebrike Shumëzimi dhe pjesëtimi me fuqi të plota. Hapja e një kllape kur ajo shumëzohet me një kufizë të vetme dhe grupimi i kufizave të ngjashme. Hapja e prodhimit të dy ose tri shprehjeve. Faktorizimi i shprehjeve lineare, shprehjeve kuadratike dhe shprehjeve kubike të thjeshta. Njohja dhe përdorimi rregullave të fuqive. Thjeshtimi dhe përdorimi i rregullave të numrave irracionalë. Kthimi në racionalë të emëruesve.. Funksionet kuadratike Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me anë të faktorizimit, të formulave kuadratike dhe të plotësimit të një katrori të plotë. Leximi dhe përdorimi i shënimit f x kur punon me funksione. Vizatimi i grafikut dhe gjetja e kulmit të një funksioni kuadratik. Gjetja dhe interpretimi i dallorit në një shprehje kuadratike. 3. Ekuacione dhe inekuacione Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me anë të eliminimit dhe zëvendësimit. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve një linear dhe një kuadratik. Interpretimi grafikisht i zgjidhjeve algjebrike të ekuacioneve. Zgjidhja e inekuacione lineare. Zgjidhja e inekuacione kuadratike. Interpretimi grafikisht i inekuacioneve. Paraqitja grafikisht e inekuacioneve lineare dhe kuadratike. 4. Grafikë dhe transformime Skicime të grafikëve të funksionit kubik. Skicime të grafikëve të funksionit të fuqisë së katërt. a a Skicime të grafikëve të funksioneve thyesorë të formës y dhe y. x x Përdorimi i pikëprerjeve të grafikëve për të zgjidhur ekuacionet. Zhvendosja e grafikëve. Zgjatja e grafikëve. Transformimi i grafikëve të funksioneve jo të zakonshme. 6 Libër mësuesi Matematika 1

9 5. Grafikë drejtvizorë Llogaritja e koeficientit këndor të një drejtëze që kalon nëpër dy pika. Kuptimi i lidhjes midis ekuacionit të një drejtëze dhe koeficientit këndor dhe pikëprerjeve të drejtëzës me boshtet koordinative. Gjetja e ekuacionit të një drejtëze të dhënë kur jepen (i) koeficienti këndor dhe një pikë e drejtëzës (ii) dy pika të drejtëzës. Gjetja e pikës së prerjes për një çift drejtëzash. Njohja dhe përdorimi i rregullave për koeficientin këndor të drejtëzave pingule dhe paralele. Zgjidhja e problemave për gjetjen e gjatësisë dhe syprinës në rrjetin koordinativ. 6. Rrathë Gjetja e pikës së mesit të një segmenti drejtvizor. Gjetja e ekuacionit të përmesores së një segmenti drejtvizor. Gjetja e ekuacionit të një rrethi. Gjetja e pikave të prerjes së një çifti drejtëzash. Zgjidhja e problemave të gjeometrisë që përfshijnë drejtëza dhe rrathë. Përdorimi i vetive të rrethit për të zgjidhur problema në rrjetin koordinativ. Gjetja e këndit rrethor që mbështetet në gjysmërreth dhe zgjidhja e problemave të tjera që përfshijnë rrathë dhe trekëndësha. 7. Metodat algjebrike Eliminimi i faktorëve nga thyesat algjebrike. Pjesëtimi i një polinomi me një shprehje lineare. Përdorimi i teoremës së faktorizimit në një shprehje kubike. Kryerja e vërtetimeve matematikore me anë të algjebrës. Përdorimi i metodës së përjashtimit dhe metodës së kundërshembullit gjatë vërtetimeve. 8. Zbërthimi binomial Përdorimi i trekëndëshit të Paskalit për të gjetur koeficientet binomiale dhe përdorimi i tyre për zbërthimin e shprehjeve të thjeshta binomiale. Përdorimi i kombinacioneve dhe shënimit të faktorialit. Përdorimi i zbërthimeve binomiale për hapjen e kllapave. Gjetja e çdo koeficienti në një zbërthim binomial. Përafrime me anë të shprehjeve binomiale. 9. Raporte trigonometrike Përdorimi i teoremës së kosinusit për gjetjen e brinjës apo këndit të panjohur. Përdorimi i teoremës së sinusit për gjetjen e brinjës apo këndit të panjohur. Njehsimi i syprinës së trekëndëshit duke përdorur një formulë të përshtatshme. Libër mësuesi Matematika 1 7

10 Zgjidhja e problemave që kanë të bëjnë me trekëndësha. Skicimi i grafikut të funksionit sinus, kosinus dhe tangjent. Skicimi i transformimeve të thjeshta të këtyre grafikëve. 10. Identitete dhe ekuacione trigonometrike Llogaritja e sinusit, kosinusit dhe tangentit të çdo këndi. Njohja e raporteve të sakta trigonometrike për këndet 30, 45 dhe 60 sin Njohja dhe përdorimi i formulave tan dhe sin cos 1 cos Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike të trajtës sin k, cos k dhe tan k Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike të trajtës sin n k, sin k dhe ekuacione analoge për kosinusin dhe tangentin. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike që përftojnë ekuacione kuadratike. 11. Vektorë Përdorimi i vektorëve me dy koordinata. Përdorimi i vektorëve shtyllë dhe kryerja e veprimeve aritmetike me vektorët. Llogaritja e gjatësisë dhe drejtimit të një vektori. Kuptimi dhe përdorimi i rreze vektorëve. Përdorimi i vektorëve për zgjidhjen e problemave të gjeometrisë. Përdorimi i vektorëve në llogaritjen e distancave dhe shpejtësisë. Përdorimi i vektorëve për të zgjidhur problema sipas kontekstit të dhënë. 1. Derivati Gjetja e derivatit, f ' x ose dy, e një funksioni të thjeshtë. dx Përdorimi i derivatit për zgjidhjen e problemave me koeficient këndor, tangjente dhe pingule. Përcaktimi i funksioneve rritëse dhe funksioneve zbritëse. d y Gjetja e derivatit të rendit të dytë, f " x ose një funksioni të thjeshtë. dx Gjetja e pikave stacionare të një funksioni dhe përcaktimi i llojit të tyre. Vizatimi i skicës së funksionit të koeficientit këndor të një funksioni të dhënë. 13. Integrali Gjetja e y kur është dhënë dy dx Integrimi i polinomeve. Gjetja e për x n. f x, kur është dhënë f ' Vlerësimi i një integrali të caktuar. x dhe një pikë në vijë. 8 Libër mësuesi Matematika 1

11 Gjetja e syprinës së zonës që kufizohet nga një vijë dhe boshti x. Gjetja e syprinës së zonës që kufizohet nga vija dhe drejtëza. 14. Funksioni eksponencial dhe logaritmik x x Skicimi i grafikëve të trajtës y a, y e, dhe transformimet e këtyre grafikëve. Derivimi i eksponencialit dhe të kuptuarit e rëndësisë së këtij veprimi. Përdorimi dhe interpretimi i modeleve që përdorin funksione eksponenciale. Njohja e lidhjes ndërmjet eksponencialit dhe logaritmit. Mësimi dhe zbatimi i vetive të logaritmit. x Zgjidhja e ekuacioneve të trajtës a b Përshkrimi dhe përdorimi i funksionit logaritëm natyror. 15. Statistika dhe probabiliteti Kuptimi se ç është një popullim, një zgjedhje dhe një regjistrim si dhe dallimi i përparësive dhe mangësive të secilit. Përcaktimi i të dhënave cilësore, sasiore, diskrete dhe të vazhdueshme, si dhe grupimi i tyre. Njehsimi i treguesve të pozicionit si mesatarja, mesorja dhe moda. Vizatimi dhe interpretimi i histogramave. Interpretimi i korrelacionit dhe kuptimi se ai nuk sjell lidhje shkakësore domosdoshmërish. Kuptimi i ngjarjeve të papajtueshme dhe ngjarjeve të pavarura, si dhe përcaktimi nëse dy ngjarje janë të pavarura. Kuptimi dhe përdorimi i shpërndarjeve probabilitare diskrete të thjeshta duke përfshirë shpërndarjen e njëtrajtshme diskrete. Libër mësuesi Matematika 1 9

12 10 Planifikimi vjetor i lëndës Matematika 1 Nr Shtator Nëntor Dhjetor Shkurt Mars Maj Rregullat e fuqive 1. Faktorizimi Fuqitë me eksponent negative dhe thyesor Numrat irracional Racionalizmi i emëruesve 6 Ushtrime për përpunim të njohurive 7.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike 8. Plotësimi i katrorit 9.3 Funksionet 10.4 Grafikët e funksioneve kuadratike 11.5 Dallori 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Sistemet e ekuacioneve lineare Sistemet e ekuacioneve kuadratike 3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve Inekuacionet lineare Inekuacionet kuadratike Zgjidhja grafike e inekuacioneve Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve 0 Ushtrime për përpunim të njohurive Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 3 Ekuacione dhe inekuacione (8 orë) Kapitulli Funksione kuadratike (6 orë) Kapitulli 1 Shprehjet algjebrike (6 orë)

13 1 4.1 Grafikë të funksioneve kubikë 4. Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt Grafikë të funksioneve thyesorë Pikat e prerjes së grafikëve Zhvendosje grafikësh Zgjatje grafikësh Transformime funksionesh 8 Ushtrime për përpunim të njohurive Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës 30 Ushtrime për përpunim të njohurive Ekuacionet e drejtëzës 3 Ushtrime për përpunim të njohurive Drejtëza paralele dhe pingule Distanca midis dy pikave në planin koordinativ 35 Përsëritje: Kapitulli 1 36 Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli 5 38 Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të 39 milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të 40 milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt 41 Vlerësim përmbledhës Libër mësuesi Matematika 1 11 Kapitulli 5 Grafikë drejtvizorë (6 orë) Kapitulli 4 Grafikë dhe transformime (8 orë)

14 Pika e mesit 6. Ekuacioni i rrethit Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë Përdorimi i vetive të tangjentes dhe të kordës Rrathë dhe trekëndësha 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Thyesat algjebrike 8 7. Pjesëtimi i polinomeve Teorema e faktorëve Vërtetimi matematik Metoda vërtetimi 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Trekëndëshi i Paskalit Shënimi faktorial Zbërthimi binomial 16 Ushtrime për përpunim të njohurive Teorema e kosinusit Teorema e sinusit Syprina e trekëndëshave Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 9 Raporte trigonometrike (5 orë) Kapitulli 8 Zbërthimi binomial (7 orë) Kreu 7 Metodat algjebrike (6orë) Kapitulli 6 Rrathë (6 orë)

15 10.1 Këndet në të katër kuadratet Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike Identitete trigonometrike Ekuacione të thjeshta trigonometrike Ekuacione dhe identitete 7 Ushtrime për përpunim të njohurive Vektorë Paraqitja e vektorëve me koordinata Gjatësia dhe drejtimi i vektorit Rreze vektorët Zgjidhja e problemave të gjeometrisë 33 Ushtrime për përpunim të njohurive 34 Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Projekt 38 Projekt 39 Projekt 40 Vlerësim përmbledhës Koeficientet këndore të vijave të lakuara 1. Gjetja e derivatit Derivati i x n Derivimi i funksioneve kuadratike 1.5 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza Libër mësuesi Matematika 1 13 Kapitulli 1 Derivati (11 orë) Kapitulli 11 Vektorë (6 orë) Kapitulli 10 Identitete dhe ekuacione trigonometrike (6 orë)

16 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet 1.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse Derivati i rendit të dytë Pikat stacionare Grafiku i funksionit të koeficientit këndor 11 Ushtrime për përpunim të njohurive Integrali x n Integralet e pacaktuara Gjetja e funksioneve Integrali i caktuar Sipërfaqet e kufizuara nga vijat Syprinat e zonave nën boshtin x Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave 19 Ushtrime për përpunim të njohurive Funksione eksponenciale y=e x 14.3 Logaritmi Vetitë e logaritmeve Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve Veprime me logaritmin natyror 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Zgjedhja Llojet e të dhënave Treguesit e pozicionit të qendrës Treguesit e tjerë të pozicionit Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 14 Eksponenciali dhe logaritmi (7 orë) Kapitulli 13 (8 orë)

17 Treguesit e shpërhapjes Histogramat Korrelacioni Regresi linear Ngjarjet e papajtueshme me njëra tjetrën dhe ngjarjet e pavarura Shpërndarjet probabilitare 38 Përsëritje: Kapitulli 1 39 Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Projekt 4 Projekt 43 Projekt 44 Vlerësim përmbledhës 1 Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore 3 Përsëritje për maturën shtetërore 4 Përsëritje për maturën shtetërore 5 Përsëritje për maturën shtetërore 6 Përsëritje për maturën shtetërore 7 Përsëritje për maturën shtetërore 8 Përsëritje për maturën shtetërore 9 Përsëritje për maturën shtetërore 10 Përsëritje për maturën shtetërore 11 Përsëritje për maturën shtetërore 1 Përsëritje për maturën shtetërore 13 Përsëritje për maturën shtetërore 14 Përsëritje për maturën shtetërore 15 Përsëritje për maturën shtetërore Libër mësuesi Matematika 1 15 Statistika dhe probabiliteti (10 orë)

18 1 Planifikimi tremujor i lëndës Tremujori i parë Shtator Nëntor 34 orë njohuri të reja dhe përpunim njohurish +4 orë përsëritje +3 orë projekt +1orë vlerësim përgjithësues Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Vlerësimi Burimet Kapitulli 1 Shprehjet algjebrike (6 orë) Rregullat e fuqive 1. Faktorizimi 1.3 Fuqitë me eksponent negative dhe Thyesor 1.4 Numrat irracionalë 1.5 Racionalizmi i emëruesve Shkencëtarët e kompjuterëve i përdorin fuqitë për të treguar numra shumë të mëdhenj. Për të zgjidhur ekuacione të fuqive më të mëdha se dy shpesh herë është e nevojshme të faktorizosh. Një kompjuter kuantik me 1000 kubitë (njësi kuantike) mund të marrë në shqyrtim 1000 vlera njëherësh. Ky numër është më i madh se numri i grimcave në universin e vrojtuar. Numrat irracionalë ndeshen shpesh në natyrë. Një shembull i tillë është Prerja e arte shumë zbatime edhe në arkitekturë., që ka Racionalizimi i emëruesve lehtëson gjetjen e vlerës së përafërt të një thyese irracionale. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Libri i nxënësit fq. 4 Libri i nxënësit fq. 4 7 Libri i nxënësit fq. 7 9 Libri i nxënësit fq Libri i nxënësit fq Libër mësuesi Matematika 1

19 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike. Plotësimi i katrorit Funksionet kuadratike përdoren si modele për lëvizjen e predhës. Pavarësisht nga mënyra se si hidhet ose lëshohet një objekt, ai ndjek një trajektore e cila ka afërsisht formën e një parabole. Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh kulmin e parabolës. Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Libër mësuesi Matematika 1 17 Kapitulli Funksione kuadratike (6 orë) Funksionet.4 Grafikët e funksioneve kuadratike.5 Dallori Ushtrime për përpunim të njohurive Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh vlerën më të madhe(vogël) të funksionit. Grafikët kuadratikë janë të dobishëm për gjetjen e orbitave që përshkojnë predhat në ajër ose topat e futbollit. Ekuacionet kuadratike mund të kenë 0, 1 ose rrënjë të mundshme; kjo përcaktohet menjëherë nga shenja e dallorit. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

20 Sistemet e ekuacioneve lineare Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Libër mësuesi Matematika 1 Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Kapitulli 3 Ekuacione dhe inekuacione (8 orë) Sistemet e ekuacioneve kuadratike 3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve 3.4 Inekuacionet lineare 3.5 Inekuacionet kuadratike Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

21 Zgjidhja grafike e inekuacioneve 3.7 Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve Ushtrime për përpunim të njohurive 4.1 Grafikë të funksioneve kubikë Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina Lëvizjet e baticave dhe zbaticave mund të shprehen me anë të funksioneve kubike. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Libër mësuesi Matematika 1 19 Kapitulli 4 Grafikë dhe transformime (8 orë) Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt 4.3 Grafikë të funksioneve thyesorë Shumë procese në eksperimentet e fizikës dhe kimisë zhvillohen sipas një funksioni thyesor. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

22 Pikat e prerjes së grafikëve 4.5 Zhvendosje grafikësh 4.6 Zgjatje grafikësh 4.7 Transformime funksionesh Ushtrime për përpunim të njohurive Me anë të pikëprerjes së dy vijave mund të gjesh ku takohen dy trupa në lëvizje kur njeh trajektoren e lëvizjes së tyre. Zhvendosjet vertikale ose horizontale të grafikëve na lejojnë të thjeshtojmë një funksion të ndërlikuar. Shumë funksione komplekse mund të kuptohen nga transformimi i funksioneve të thjeshta duke përdorur zgjatje (tkurrje), pasqyrime dhe zhvendosje. Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit. Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grup Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 5 Grafikë drejtvizorë (6orë) Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës Ushtrime për përpunim të njohurive Grafikët drejtvizor mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor. Grafikët drejtvizor mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

23 39 5. Ekuacionet e drejtëzës Ushtrime për përpunim të njohurive 5.3 Drejtëza paralele dhe pingule 5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ Ushtrime për përpunim të njohurive Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Përsëritje: Kapitulli: 1 Përsëritje: Kapitulli 3 4 Përsëritje: Kapitulli 5 Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Vlerësim përmbledhës Libër mësuesi Matematika 1 1 ( 8 orë)

24 Planifikimi tremujor i lëndës Tremujori i dytë Dhjetor Shkurt 36 orë njohuri të reja dhe përpunim njohurish +3 orë përsëritje +3 orë projekt +1orë vlerësim përgjithësues Nr Tematika Temat mësimore Pika e mesit Situata e parashikuar e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Vlerësimi Burimet Libri i nxënësit Kapitulli 6 Rrathë (6 orë) Ekuacioni i rrethit 6.3 Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë 6.4 Përdorimi i vetive të tangjentes dhe të kordës 6.5 Rrathë dhe trekëndësha 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Libri i nxënësit faqe Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libër mësuesi Matematika 1

25 Thyesat algjebrike Inxhinierët aeronautikë përdorin dhe thjeshtojnë thyesa algjebrike kur modelojnë aeroplanët. Libër mësuesi Matematika 1 3 Libri i nxënësit Kreu 7 Metodat algjebrike (6orë) Pjesëtimi i polinomeve 7.3 Teorema e faktorëve 7.4 Vërtetimi matematik 7.5 Metoda vërtetimi Ushtrime për përpunim të njohurive Okulistët përdorin thyesa algjebrike kur përgatisin një recetë për syze optike. Me anë të teoremës së faktorëve lehtësohet zbërthimi i një polinomi në faktorë më të thjeshtë. Matematicienët duhet t i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π. Matematicienët duhet t i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π. dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe Libri i nxënësit Libri i nxënësit faqe Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

26 4 8.1 Trekëndëshi i Paskalit Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Libër mësuesi Matematika 1 dhe në punët në grupe Libri i nxënësit Kapitulli 8 Zbërthimi binomial (7 orë) Shënimi faktorial 8.3 Zbërthimi binomial Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe Libri i nxënësit Libri i nxënësit

27 5 Ushtrime për përpunim të njohurive Teorema e kosinusit 9. Teorema e sinusit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Libër mësuesi Matematika 1 5 dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Kapitulli 9 Raporte trigonometrike (5 orë) Syprina e trekëndëshave 9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. dhe në punët në grupe Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

28 Këndet në të katër kuadratet Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Libër mësuesi Matematika 1 Libri i nxënësit Kapitulli 10 Identitete dhe ekuacione trigonometrike (6 orë) Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike 10.3 Identitete trigonometrike 10.4 Ekuacione të thjeshta trigonometrike 10.5 Ekuacione dhe identitete Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

29 Ushtrime për përpunim të njohurive 11.1 Vektorë 11. Paraqitja e vektorëve me koordinata 11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit 11.4 Rreze vektorët 11.5 Zgjidhja e problemave të gjeometrisë Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Libër mësuesi Matematika 1 7 Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Kapitulli 11 Vektorë (6 orë)

30 8 Ushtrime për përpunim të njohurive Përsëritje: Kapitulli 6 7 Përsëritje: Kapitulli 8 9 Përsëritje: Kapitulli Projekt Projekt Projekt Vlerësim përmbledhës Libër mësuesi Matematika 1 Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

31 Planifikimi tremujor i lëndës Tremujori i tretë Mars Maj 4 orë njohuri të reja dhe përpunim njohurish +3 orë përsëritje +3 orë projekt +1orë vlerësim përgjithësues Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit Koeficientet këndore të vijave të lakuara Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Vlerësimi Burimet dhe në punët në grupe. Libri i nxënësit Kapitulli 1 Derivati (11 orë) Gjetja e derivatit 1.3 Derivati i x n 1.4 Derivimi i funksioneve kuadratike Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. dhe në punët në grupe. Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libër mësuesi Matematika 1 9

32 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Libër mësuesi Matematika 1 dhe në punët në grupe. Libri i nxënësit Kapitulli 1 Derivati (11 orë) Koeficientet këndore, tangjentet dhepingulet 1.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse 1.8 Derivati i rendit të dytë 1.9 Pikat stacionare Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

33 1.10 Grafiku i funksionit të koeficientit këndor Ushtrime për përpunim të njohurive 13.1 Integrali x n Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Gjithëpërfshirëse Libër mësuesi Matematika 1 31 Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Kapitulli 13 (8 orë) Integralet e pacaktuara 13.3 Gjetja e funksioneve 13.4 Integrali i caktuar 13.5 Sipërfaqet e kufizuara nga vijat Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

34 Syprinat e zonave nën boshtin x 13.7 Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave Ushtrime për përpunim të njohurive 14.1 Funksione eksponenciale Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj. Gjithëpërfshirëse pavarura dhe në grupe. Libër mësuesi Matematika 1 Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Kapitulli 14 Eksponenciali dhe logaritmi (7 orë) y=e x x 14.3 Logaritmi 14.4 Vetitë e logaritmeve Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj. Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

35 Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve 14.6 Veprime me logaritmin natyror Ushtrime për përpunim të njohurive 15.1 Zgjedhja Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Gjithëpërfshirëse Libër mësuesi Matematika 1 33 Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Kapitulli 15 Statistika dhe probabiliteti (10 orë) Llojet e të dhënave 15.3 Treguesit e pozicionit të qendrës 15.4 Treguesit e tjerë të pozicionit Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit

36 Treguesit e shpërhapjes 15.6 Histogramat 15.7 Korrelacioni 15.8 Regresi linear 15.9 Ngjarjet e papajtueshme me njëra tjetrën dhe ngjarjet e pavarura Shpërndarjet probabilitare Përsëritje: Kapitulli 1 Përsëritje: Kapitulli 13 Përsëritje: Kapitulli Projekt Projekt Projekt Vlerësim përmbledhës Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Libër mësuesi Matematika 1 Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Libri i nxënësit Kapitulli 15 Statistika dhe probabiliteti (10 orë)

37 Planifikimi vjetor i lëndës Matematika me zgjedhje 1 Nr Shtator Nëntor 61 orë Rregullat e fuqive 1. Faktorizimi Fuqitë me eksponent negative dhe thyesor Numrat irracional Racionalizmi i emëruesve 6 Ushtrime për përpunim të njohurive 7.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike 8. Plotësimi i katrorit 9.3 Funksionet 10.4 Grafikët e funksioneve kuadratike 11.5 Dallori 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Sistemet e ekuacioneve lineare Sistemet e ekuacioneve kuadratike Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve Inekuacionet lineare Inekuacionet kuadratike Zgjidhja grafike e inekuacioneve Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve 0 Ushtrime për përpunim të njohurive Grafikë të funksioneve kubikë 4. Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt Grafikë të funksioneve thyesorë Pikat e prerjes së grafikëve Dhjetor Shkurt Mars Maj Libër mësuesi Matematika 1 35 Kapitulli4 Kapitulli 3 Ekuacione dhe inekuacione (8 orë) Kapitulli Funksione kuadratike (6 orë) Kapitulli 1 Shprehjet algjebrike (6 orë)

38 Zhvendosje grafikësh Zgjatje grafikësh Transformime funksionesh 8 Ushtrime për përpunim të njohurive Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës 30 Ushtrime për përpunim të njohurive Ekuacionet e drejtëzës 3 Ushtrime për përpunim të njohurive Drejtëza paralele dhe pingule Distanca midis dy pikave në planin koordinativ Pika e mesit Ekuacioni i rrethit Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë Përdorimi i vetive të tangjentes dhe të kordës Rrathë dhe trekëndësha 40 Ushtrime për përpunim të njohurive Thyesat algjebrike 4 7. Pjesëtimi i polinomeve Teorema e faktorëve Vërtetimi matematik Metoda vërtetimi 46 Ushtrime për përpunim të njohurive Trekëndëshi i Paskalit Shënimi faktorial Zbërthimi binomial 50 Ushtrime për përpunim të njohurive Teorema e kosinusit 5 9. Teorema e sinusit Syprina e trekëndëshave Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 8 Zbërthimi binomial (7 orë) Kapitulli 7 Metodat algjebrike (6orë) Kapitulli 6 Rrathë (6 orë) Kapitulli 5 Grafikë drejtëvizorë (6 orë)

39 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit 55 Ushtrime për përpunim të njohurive 56 Përsëritje: Kapitulli Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar 58 i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar 59 i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt 60 Vlerësim përmbledhës Këndet në të katër kuadratet 10. Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike Identitete trigonometrike Ekuacione të thjeshta trigonometrike Ekuacione dhe identitete 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Vektorë Paraqitja e vektorëve me koordinata Gjatësia dhe drejtimi i vektorit Rreze vektorët Zgjidhja e problemave të gjeometrisë 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Koeficientet këndore të vijave të lakuara Gjetja e derivatit Derivati i x n Derivimi i funksioneve kuadratike Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza Libër mësuesi Matematika 1 37 Kapitulli 1 Derivati (11 orë) Kapitulli 11 Vektorë (6 orë) Kapitulli 10 Identitete dhe ekuacione trigonometrike (6 orë) Kapitulli 9 Raporte trigonometrike (5 orë)

40 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet 1.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse Derivati i rendit të dytë Pikat stacionare 1.10 Grafiku i funksionit të koeficientit këndor 3 Ushtrime për përpunim të njohurive Integrali x n Integralet e pacaktuara Gjetja e funksioneve Integrali i caktuar Sipërfaqet e kufizuara nga vijat Syprinat e zonave nën boshtin x Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave 31 Ushtrime për përpunim të njohurive Funksione eksponenciale y=e x Logaritmi Vetitë e logaritmeve Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve Veprime me logaritmin natyror 38 Ushtrime për përpunim të njohurive Zgjedhja Llojet e të dhënave Treguesit e pozicionit të qendrës Treguesit e tjerë të pozicionit Treguesit e shpërhapjes Histogramat Korrelacioni Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 15 Statistika dhe probabilitei (10 orë) Kapitulli 14 Eksponenciali dhe logaritmi (7 orë) Kapitulli 13 Integrali (8 orë)

41 Regresi linear Ngjarjet e papajtueshme me njëratjetrën dhe ngjarjet e pavarura Shpërndarjet probabilitare 49 Ushtrime për përpunim të njohurive Vërtetimi nga e kundërta Thyesat algjebrike Thyesat elementare Faktorët e përsëritur Pjesëtimi algjebrik 55 Ushtrime për përpunim të njohurive 56 Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Projekt 60 Projekt 61 Projekt 6 Vlerësim përmbledhës 1.1 Funksionet dhe pasqyrimet 1. Funksionet e përbëra Funksioni i anasjellë Kombinimi i transformimeve 5 Ushtrime për përpunim të njohurive Vargjet aritmetike 7 3. Seritë aritmetike Vargjet gjeometrike Seritë gjeometrike 3.5 Shuma në infinit 3.6 Vargje rekurente 10 Ushtrime për përpunim të njohurive Matje në radian 1 4. Gjatësia e harkut Syprina e sektorëve dhe segmenteve Libër mësuesi Matematika 1 39 Kapitulli 3 Vargjet dhe seritë (6 orë) Kapitulli Funksione dhe grafikë (5 orë) Kapitulli1 Metodat algjebrike (6 orë)

42 Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike Përafrime këndesh të Identitete trigonometrike 17 Ushtrime për përpunim të njohurive Funksionet trigonometrike të anasjella 19 Ushtrime për përpunim të njohurive Formula e shumës 1 5. Zbatimi i formulës së shumës së këndeve Formula e këndit të dyfishtë Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike 5 Ushtrime për përpunim të njohurive Ekuacione parametrike Përdorimi i identiteteve trigonometrike Ushtrime për përpunim të njohurive Derivati i sin x dhe cos x Derivati i funksioneve eksponenciale 31 dhe i funksioneve logaritmike Derivati i funksionit të përbërë Derivati i prodhimit Derivati i herësit Derivati i funksioneve trigonometrike Zbatime të derivateve të dyta Shpejtësia e ndryshimit 38 Ushtrime për përpunim të njohurive Integrimi i funksioneve standard Integrimi i f(ax + b) Përdorimi i identiteteve trigonometrike E anasjella e rregullës së derivatit të funksionit të përbërë Integrimi me anë të zëvendësimit Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 8 Integrali (8orë) Kapitulli 7 Derivati (9 orë) Kapitulli 6 Ekuacione parametrike (3 orë) Kapitulli 5 Trigonometri dhe modelim (5 orë) Kapitulli 4 Radian (8 orë)

43 Integrimi me pjesë Njehsimi i syprinave 46 Ushtrime për përpunim të njohurive Koordinata 3D Vektorë në sistemin 3D Zgjidhja e problemave të gjeometrisë Prodhimi numerik i dy vektorëve në planin 51 Ushtrime për përpunim të njohurive Simbolet e bashkësive Probabiliteti me kusht Probabilitetet me kusht në diagramet e Venit Diagramet pemë 56 Ushtrime për përpunim të njohurive 57 Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Projekt 61 Projekt 6 Projekt 63 Vlerësim përmbledhës 1 Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore 3 Përsëritje për maturën shtetërore 4 Përsëritje për maturën shtetërore 5 Përsëritje për maturën shtetërore 6 Përsëritje për maturën shtetërore 7 Përsëritje për maturën shtetërore 8 Përsëritje për maturën shtetërore 9 Përsëritje për maturën shtetërore 10 Përsëritje për maturën shtetërore 11 Përsëritje për maturën shtetërore Libër mësuesi Matematika 1 41 Kapitulli 10 Probabiliteti me kusht (4 orë) Kapitulli 9 Vektorë (5 orë)

44 4 1 Përsëritje për maturën shtetërore 13 Përsëritje për maturën shtetërore 15 Përsëritje për maturën shtetërore 16 Përsëritje për maturën shtetërore 17 Përsëritje për maturën shtetërore 18 Përsëritje për maturën shtetërore 19 Përsëritje për maturën shtetërore 0 Përsëritje për maturën shtetërore 1 Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore 3 Përsëritje për maturën shtetërore 4 Përsëritje për maturën shtetërore Libër mësuesi Matematika 1

45 Planifikimi tremujor i lëndës Matematika me zgjedhje 1 Tremujori i parë Shtator Nëntor 34 orë njohuri të reja dhe përpunim njohurish +4 orë përsëritje +3 orë projekt +1orë vlerësim përgjithësues Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit Rregullat e fuqive 1. Faktorizimi Shkencëtarët e kompjuterëve i përdorin fuqitë për të treguar numra shumë të mëdhenj. Për të zgjidhur ekuacione të fuqive më të mëdha se dy shpesh herë është e nevojshme të faktorizosh. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Vlerësimi Burimet Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe fq. 4 fq. 4 7 Kapitulli 1 Shprehjet algjebrike (6 orë) Fuqitë me eksponent negative dhe Thyesor 1.4 Numrat irracionalë 1.5 Racionalizmi i emëruesve 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Një kompjuter kuantik me 1000 kubitë (njësi kuantike) mund të marrë në shqyrtim 1000 vlera njëherësh. Ky numër është më i madh se numri i grimcave në universin e vrojtuar. Numrat irracionalë ndeshen shpesh në natyrë. Një shembull i tillë është Prerja e arte, që ka shumë zbatime edhe në arkitekturë. Racionalizimi i emëruesve lehtëson gjetjen e vlerës së përafërt të një thyese irracionale. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura fq. 7 9 fq fq Libër mësuesi Matematika 1 43

46 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike Funksionet kuadratike përdoren si modele për lëvizjen e predhës. Pavarësisht nga mënyra se si hidhet ose lëshohet një objekt, ai ndjek një trajektore e cila ka afërsisht formën e një parabole. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli Funksione kuadratike (6 orë) Plotësimi i katrorit.3 Funksionet.4 Grafikët e funksioneve kuadratike.5 Dallori Ushtrime për përpunim të njohurive 3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh kulmin e parabolës. Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh vlerën më të madhe(vogël) të funksionit. Grafikët kuadratikë janë të dobishëm për gjetjen e orbitave që përshkojnë predhat në ajër ose topat e futbollit. Ekuacionet kuadratike mund të kenë 0, 1 ose rrënjë të mundshme; kjo përcaktohet menjëherë nga shenja e dallorit. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht. punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

47 3 3. Sistemet e ekuacioneve kuadratike Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Libër mësuesi Matematika 1 45 Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Kapitulli 3 Ekuacione dhe inekuacione (8 orë) Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve 3.4 Inekuacionet lineare 3.5 Inekuacionet kuadratike 3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

48 Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve Ushtrime për përpunim të njohurive 4.1 Grafikë të funksioneve kubikë Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina Lëvizjet e baticave dhe zbaticave mund të shprehen me anë të funksioneve kubike. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 4 Grafikë dhe transformime (8 orë) Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt 4.3 Grafikë të funksioneve thyesorë 4.4 Pikat e prerjes së grafikëve 4.5 Zhvendosje grafikësh Shumë procese në eksperimentet e fizikës dhe kimisë zhvillohen sipas një funksioni thyesor. Me anë të pikëprerjes së dy vijave mund të gjesh ku takohen dy trupa në lëvizje kur njeh trajektoren e lëvizjes së tyre. Zhvendosjet vertikale ose horizontale të grafikëve na lejojnë të thjeshtojmë një funksion të ndërlikuar. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

49 Zgjatje grafikësh 4.7 Transformime funksionesh Ushtrime për përpunim të njohurive 5.1 Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës Ushtrime për përpunim të njohurive 5. Ekuacionet e drejtëzës Ushtrime për përpunim të njohurive Shumë funksione komplekse mund të kuptohen nga transformimi i funksioneve të thjeshta duke përdorur zgjatje (tkurrje), pasqyrime dhe zhvendosje. Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit. Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit. Grafikët drejtvizor mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor. Grafikët drejtvizor mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor. Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Libër mësuesi Matematika 1 47 Kapitulli 5 Grafikë drejtvizorë (6orë)

50 Drejtëza paralele dhe pingule 5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ 6.1 Pika e mesit 6. Ekuacioni i rrethit 6.3 Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë 6.5 Rrathë dhe trekëndësha Ushtrime për përpunim të njohurive Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Libër mësuesi Matematika 1 Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. faqe Kapitulli 6 Ekuacione parametrike (5 orë)

51 7.1 Thyesat algjebrike 7. Pjesëtimi i polinomeve Inxhinierët aeronautikë përdorin dhe thjeshtojnë thyesa algjebrike kur modelojnë aeroplanët. 7.3 Teorema e faktorëve Okulistët përdorin thyesa algjebrike kur përgatisin një recetë për syze optike. 7.4 Vërtetimi matematik Me anë të teoremës së faktorëve lehtësohet zbërthimi i një polinomi në faktorë më të thjeshtë. 7.5 Metoda vërtetimi Ushtrime për përpunim të njohurive Matematicienët duhet t i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π. Libër mësuesi Matematika 1 49 dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe faqe Fletore pune Kapitulli 7 Derivati (6 orë)

52 Trekëndëshi i Paskalit 8. Shënimi faktorial 8.3 Zbërthimi binomial Ushtrime për përpunim të njohurive Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Libër mësuesi Matematika 1 dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe Kapitulli 8 Integrali (4 orë)

53 9.1 Teorema e kosinusit 9. Teorema e sinusit 9.3 Syprina e trekëndëshave 9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit Ushtrime për përpunim të njohurive Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Përsëritje: Kapitulli 6 7 Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Vlerësim përmbledhës dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe dhe në punët në grupe. Libër mësuesi Matematika 1 51 Kapitulli 9 Vektorë (5 orë)

54 Planifikimi tremujor i lëndës Matematika me zgjedhje 1 Tremujori i dytë Dhjetor Shkurt Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit Këndet në të katër kuadratet 10. Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve 5 Libër mësuesi Matematika 1 Vlerësimi Burimet Identitete dhe ekuacione trigonometrike Identitete trigonometrike 10.4 Ekuacione të thjeshta trigonometrike Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore.

55 Ekuacione dhe identitete Ushtrime për përpunim të njohurive Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore Vektorë Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Libër mësuesi Matematika 1 53 Vektorë Paraqitja e vektorëve me koordinata 11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit 11.4 Rreze vektorët Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës.

56 Zgjidhja e problemave të gjeometrisë Ushtrime për përpunim të njohurive 1.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Libër mësuesi Matematika 1 Derivati Gjetja e derivatit 1.3 Derivati i x n 1.4 Derivimi i funksioneve kuadratike Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të

57 1.5 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza 1.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet 1.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse 1.8 Derivati i rendit të dytë 1.9 Pikat stacionare modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të Libër mësuesi Matematika 1 55 dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe. dhe në punët në grupe.

58 Grafiku i funksionit të koeficientit këndor Ushtrime për përpunim të njohurive 13.1 Integrali x n 13. Integralet e pacaktuara 13.3 Gjetja e funksioneve 13.4 Integrali i caktuar modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Gjithëpërfshirëse Libër mësuesi Matematika 1 Integrali

59 13.5 Sipërfaqet e kufizuara nga vijat 13.6 Syprinat e zonave nën boshtin x 13.7 Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave Ushtrime për përpunim të njohurive 14.1 Funksione eksponenciale 14. y=e x 14.3 Logaritmi Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj. Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj. Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Gjithëpërfshirëse Libër mësuesi Matematika 1 57

60 Vetitë e logaritmeve 14.5 Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve 14.6 Veprime me logaritmin natyror Ushtrime për përpunim të njohurive 15.1 Zgjedhja 15. Llojet e të dhënave Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Gjithëpërfshirëse Libër mësuesi Matematika 1 Eksponenciali dhe logaritmi

61 15.3 Treguesit e pozicionit të qendrës 15.4 Treguesit e tjerë të pozicionit 15.5 Treguesit e shpërhapjes 15.6 Histogramat 15.7 Korrelacioni 15.8 Regresi linear Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Libër mësuesi Matematika 1 59 Statistika dhe probabiliteti

62 Ngjarjet e papajtueshme me njëra tjetrën dhe ngjarjet e pavarura Shpërndarjet probabilitare Ushtrime për përpunim të njohurive 1.1 Vërtetimi nga e kundërta 1. Thyesat algjebrike 1.3 Thyesat elementare 1.4 Faktorët e përsëritur Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Ti mund ta përdorësh metodën e vërtetimit nga e kundërta që të provosh se ka një pafundësi numrash të thjeshtë. Gjithëpërfshirëse Diskutim Diskutim Diskutim Diskutim Libër mësuesi Matematika 1

63 1.5 Pjesëtimi algjebrik Diskutim Ushtrime për përpunim të njohurive Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli 11 1 Përsëritje: Kapitulli Projekt Projekt Projekt Vlerësim përmbledhës Diskutim Libër mësuesi Matematika 1 61

64 Planifikimi tremujor i lëndës Matematika me zgjedhje 1 Tremujori i tretë Mars Maj Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit 1.1 Funksionet dhe pasqyrimet. Funksionet e përbëra 3.3 Funksioni i anasjellë Simbolika e funksioneve është një mënyrë e lehtë për të dalluar ekuacionet e ndryshme. Secili prej tyre mund të etiketohet duke përdorur shkronja të ndryshme Simbolika e funksioneve është një mënyrë e lehtë për të dalluar ekuacionet e ndryshme. Secili prej tyre mund të etiketohet duke përdorur shkronja të ndryshme Gjatë Luftës së Dytë Botërore, thyesit e kodeve i përdorën funksionet e anasjellë për të dekoduar mesazhet e koduar të armiqve. Për të koduar një mesazh, armiku përdorte një funksion. Sfida e thyesve të kodeve ishte të gjenin funksionin e anasjellë që bënte të mundur dekodimin e mesazhit. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve 6 Libër mësuesi Matematika 1 Vlerësimi Burimet Kapitulli Funksione dhe grafikë (5 orë) 4.4 Kombinimi i transformimeve Përbërja e funksionit me të anasjellin e tij jep funksionin identik y=x. Quhet i tillë sepse çdo fytyrë ka shëmbëllim veten.

65 5 Ushtrime për përpunim të njohurive Vargjet aritmetike 7 3. Seritë aritmetike Vargjet gjeometrike Seritë gjeometrike Shpeshherë të dhënat kanë një lidhje Vargjet dhe seritë gjenden në natyrë dhe mund të përdoren për të modeluar rritjen e popullatave ose zvogëlimin e tyre, ose përhapjen e një virusi. Sasia e parave që ke në një depozitë kursimi rritet me anë të një vargu gjeometrik Vargjet dhe seritë gjenden në natyrë dhe mund të përdoren për të modeluar rritjen e popullatave ose zvogëlimin e tyre, ose përhapjen e një virusi. Libër mësuesi Matematika 1 63 Kapitulli 3 Vargjet dhe seritë (6 orë) Shuma në infinit Vargje rekurente 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Vargjet dhe seritë gjenden në natyrë dhe mund të përdoren për të modeluar rritjen e popullatave ose zvogëlimin e tyre, ose përhapjen e një virusi. Vargjet dhe seritë gjenden në natyrë dhe mund të përdoren për të modeluar rritjen e popullatave ose zvogëlimin e tyre, ose përhapjen e një virusi..

66 Gjatësia e harkut Syprina e sektorëve dhe segmenteve Zgjidhje ekuacionesh 4.1 Matje në radian Radianet janë njësi matëse për këndet. Ato përdoren ne mekanike për te përshkruar lëvizjen rrethore trigonometrike Kapitulli 4 Radian (8 orë) Përafrime këndesh të Identitete trigonometrike 19 Ushtrime për përpunim të njohurive Radianët janë njësi matëse për harqet. Ato mund të përdoren për të gjetur distancat ndërmjet kabinave përgjatë perimetrit rrethor të rrotës Ferris. Radianët janë njësi matëse për harqet. Ato mund të përdoren për të gjetur distancat ndërmjet kabinave përgjatë perimetrit rrethor të rrotës Ferris. Në lojërat elektronike, fytyra, trupi, lëvizjet, madje edhe veshja e një personazhi, përcaktohen gati tërësisht duke zbatuar rregullat e trigonometrisë. Përafrimet e këndeve të ndihmojnë fizikanët në llogaritjet e këndeve të thyerjes dhe të pasqyrimit në optikë. Sistemet satelitore përdorin trigonometri për të llogaritur vendndodhjen e një automjeti. 64 Libër mësuesi Matematika 1

67 0 4.7 Funksionet trigonometrike të anasjella 1 Ushtrime për përpunim të njohurive Astronomët përdorin trigonometrinë për të parashikuar vendndodhjen e kometave. 5.1 Formula e shumës 3 5. Zbatimi i formulës së shumës së këndeve Formula e këndit të dyfishtë Trigonometria u nevojit për gërmimin e tunelit të La Manshit. Duke gërmuar nga të dyja anët e tunelit, inxhinierët u takuan nën nivelin e ujit dhe gabimi i bërë ishte më pak se cm. Trigonometria u nevojit për gërmimin e tunelit të La Manshit. Duke gërmuar nga të dyja anët e tunelit, inxhinierët u takuan nën nivelin e ujit dhe gabimi i bërë ishte më pak se cm. Sistemet satelitore përdorin trigonometri për të llogaritur vendndodhjen e një automjeti. Libër mësuesi Matematika 1 65 Kapitulli 5 Trigonometri dhe modelim (5 orë) Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike 6 Ushtrime për përpunim të njohurive Sistemet satelitore përdorin trigonometri për të llogaritur vendndodhjen e një automjeti.

68 Ekuacione parametrike 6. Përdorimi i identiteteve trigonometrike Ushtrime për përpunim të njohurive 7.1 Derivati i sin x dhe cos x 7. Derivati i funksioneve eksponenciale dhe i funksioneve logaritmike 7.3 Derivati i funksionit të përbërë 7.4 Derivati i prodhimit Ekuacionet parametrike mund të përdoren për të përshkruar shtegun që përshkon një skiator nga pika e shkëputjes nga rampa e skive deri në pikën ku takon tokën. Fuqia e mikrovalës në pika të ndryshme brenda një mikrovale mund të modelohet duke përdorur funksionetrigonometrike. Me anë të derivimit mund të gjeni shpejtësinë e ndryshimit në modelet trigonometrike dhe në modelet eksponenciale Derivati i funksioneve eksponenciale përdoret nga shkencëtarët për të përshkruar shpejtësinë e rritjes popullsisë ose ndotjes radioaktive Formula e derivimit të funksionit të përbërë lehtëson gjetjen e derivatit tëfunksioneve të ndërlikuar. Formula e derivimit të prodhimit lehtëson gjetjen e derivatit të prodhimit të dy ose më shumë funksioneve. Libër mësuesi Matematika 1 Kapitulli 7 Derivati (9 orë) Kapitulli 6 Ekuacione parametrike (3 orë)

69 7.5 Derivati i herësit 7.6 Derivati i funksioneve trigonometrike 7.7 Zbatime të derivateve të dyta 7.8 Shpejtësia e ndryshimit Ushtrime për përpunim të njohurive Formula e derivimit të herësit lehtëson gjetjen e derivatit të raportit të dy funksioneve që kanë derivat. Shpejtësia e një sfere metalike të vinçit që shërben në ndërtim mund të vlerësohet duke modeluar zhvendosjen e saj dhe pastaj duke përdorur derivimin. 8.1 Integrimi i funksioneve standard 8. Integrimi i f(ax + b) Integrali është veprimi i kundërt i derivimit. Ai përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Integrali është veprimi i kundërt i derivimit. Ai përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Libër mësuesi Matematika 1 67 Kapitulli 8 Integrali (8orë)

70 Përdorimi i identiteteve trigonometrike 8.4 E anasjella e rregullës së derivatit të funksionit të përbërë 8.5 Integrimi me anë të zëvendësimit 8.6 Integrimi me pjesë 8.7 Njehsimi i syprinave Ushtrime për përpunim të njohurive 9.1 Koordinata 3D Me anë të identiteteve të trigonometrisë bëhet e mundur që një shprehje e cila nuk mund te integrohet, te zëvendësohet me një shprehje identike e cila mund te integrohet. Integrimi mund të përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Arkeologët i përdorin ekuacionet diferenciale për të vlerësuar moshën e fosileve të bimëve dhe të kafshëve. Për të njehsuar syprinat e figurave që kufizohen nga vija me formula të ndërlikuara shpesh është e nevojshme të integrosh me pjesë. Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Vektorët përdoren për të përshkruar vendndodhjen relative në sistemin 3D. Libër mësuesi Matematika 1

71 9. Vektorë në sistemin 3D 9.3 Zgjidhja e problemave të gjeometrisë 9.4 Prodhimi numerik i dy vektorëve në planin Ushtrime për përpunim të njohurive Vektorët përdoren për të përshkruar vendndodhjen relative në sistemin 3D. Me anë të vektorëve bëhet zgjidhja e problemave të gjeometrisë në sistemin 3D. Me anë të vektorëve përcaktohen vetitë e trupave të ngurtë 3D Simbolet e bashkësive 10. Probabiliteti me kusht 10.3 Probabilitetet me kusht në diagramet e Venit Bashkësia është një nga kuptimet themelore në matematikë. Për të nuk ka përkufizim. Rezultati i një ngjarjeje mund të ndikojë probabilitetin e një ngjarjeje tjetër. Në qoftë se një ekip futbolli në një ndeshje shënon një gol, atëherë probabiliteti që ekipi ta fitojë ndeshjen do të rritet. Diagramet e Venit janë një ndihmesë shumë e mirë për të përshkruar probabilitetin me kusht. Libër mësuesi Matematika 1 69 Probabiliteti me kusht Kapitulli 9 Vektorë (5 orë)

72 Diagramet pemë Ushtrime për përpunim të njohurive Përsëritje: Kapitulli 13 Përsëritje: Kapitulli Përsëritje: Kapitulli Projekt Projekt Projekt Diagrami pemë probabilitare për të gjetur probabilitetin e dy a më shumë ngjarjeve të ndihmon për të shmangur çdo kombinim të gabuar. Libër mësuesi Matematika 1

73 Vlerësim përmbledhës Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Libër mësuesi Matematika 1 71

74 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Shprehjet algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.1 Rregullat e fuqive Situata e të nxënit Shkencëtarët e kompjuterëve i përdorin fuqitë për të treguar numra shumë të mëdhenj. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore. Nxënësi: Kryen veprime me fuqi me eksponentë numra të plotë; Thjeshton shprehje duke zbatuar rregullat e fuqive. Koncepte kyçe: a a a a a a n m n m n m n m a n m a n m n n n ab a b Burimet: faqe 4; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me fuqi, faktorizime, thjeshtime. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë vetitë e fuqive. n m n m a a a a n m n m n m a a a n m a n n n ab a b Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zbatojnë me saktësi rregullat e fuqive. Prezanto në tabelë Shembullin duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zbatojnë me saktësi hapjen e kllapave, reduktimin e kufizave të ngjashme dhe rregullat e fuqive. Prezanto në tabelë Shembullin duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi faktorizimin dhe thjeshtimin e kufizave të njëjta. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Kryej veprimet a) 3x x ; b) x ; c) 4b 3x b. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. 7 Libër mësuesi Matematika 1

75 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Shprehjet algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1. Faktorizimi Situata e të nxënit Për të zgjidhur ekuacione të fuqive më të mëdha se dy shpesh herë është e nevojshme të faktorizosh Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Faktorizon shprehje kuadratike; Thjeshton shprehje shkronjore plotësisht duke zbatuar saktë rregullat e faktorizimit. Burimet: faqe 4 7; Koncepte kyçe: Faktorizimi; Diferencë katrorësh; Shprehje kuadratike Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me fuqi, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime. Organizimi i orës së mësimit: Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve që Faktorizimi është e kundërta e hapjes së kllapave. Prezanto në tabelë shembullin 4 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zbatojnë me saktësi rregullat e fuqive. Komuniko me nxënësit: Një shprehje kuadratike ka formën ax bx c kur a, b dhe c janë numra realë dhe a 0. Prezanto në tabelë shembullin 5 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të faktorizojnë një shprehje kuadratike. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e Libër mësuesi Matematika 1 73

76 zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi faktorizimin dhe thjeshtimin e kufizave të njëjta. Punë e diferencuar: Ushtrimet 4 dhe 5 dhe sfidë (udhëzim zëvendëso: x t ). Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Faktorizo plotësisht: a) x 5x 6; b) 4b 9a ; c) 3x 5x Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Shprehjet algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.3 Fuqitë me eksponentë negativ dhe thyesorë Situata e të nxënit Një kompjuter kuantik me 1000 kubitë (njësi kuantike) mund të marrë në shqyrtim 1000 vlera njëherësh. Ky numër është më i madh se numri i grimcave në universin e vrojtuar. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kryen veprime me fuqi me eksponentë numra të plotë negativ. Kthen një fuqi me eksponent thyesor në rrënjë. Burimet: faqe 7 9; Koncepte kyçe: Rregullat e fuqive me eksponentë numra negativ dhe thyesorë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me fuqi, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin/teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve që rregullat e fuqive mund të përdoren me çdo fuqi racionale. Shkruaj në tabelë vetitë e fuqive dhe ilustroje secilën veti me një shembull të thjeshtë. Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e 74 Libër mësuesi Matematika 1

77 zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të zbatojnë vetitë e fuqive me eksponent numër të plotë negativ. Prezanto në tabelë shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi vetitë e fuqive me eksponent numër thyesor dhe zotërojnë kthimin e fuqisë në rrënjë. Prezanto në tabelë shembullin 9 dhe sigurohu që nxënësit janë të aftë të paraqitin një n funksion në formën y kx, ku k dhe n janë konstante. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 5. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet e mëposhtme: Kryej veprimet: a) ; b) 3x 6x ; c) 3x x Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të kryejnë me saktësi këto veprime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Shprehjet algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.4 Numrat irracionalë Situata e të nxënit Numrat irracionalë ndeshen shpesh në natyrë. Një shembull i tillë është Prerja e artë 1 5 ka shumë zbatime edhe në arkitekturë. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Thjeshton dhe përdor rregullat e shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave irracionalë Koncepte kyçe: Numra irracionalë; ab a b a b a b, që Burimet: faqe 10 11; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me rrënjë, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime. Libër mësuesi Matematika 1 75

78 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve kuptimin e numrit irracional si numër dhjetor i pafundmë dhe joperiodik duke dhënë shembuj të tipit etj. Paraqit në tabelë vetitë e rrënjëve: ab a b Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit nxjerrin faktorin e duhur nga rrënja dhe dinë kuptimin e rrënjëve të ngjashme. Prezanto në tabelë shembullin 11 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të hapin kllapat me rrënjë dhe zbatojnë korrekt vetitë e rrënjëve. Punë e diferencuar: Ushtrimi 3. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: 1. Thjeshto: Zbërthe dhe thjeshto nëse është e mundur: a) 3 5 b) 55 3 c) a b Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. a b 76 Libër mësuesi Matematika 1

79 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Shprehjet algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.5 Racionalizimi i emëruesve Situata e të nxënit Racionalizimi i emëruesve lehtëson gjetjen e vlerës së përafërt të një thyese irracionale. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kthen emëruesin e një thyese në numër racional. Burimet: faqe 11 13; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Koncepte kyçe: 1 Për thyesat e formës a shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a. 1 Për thyesat e formës shumëzo a b numëruesin dhe emëruesin me a b. 1 Për thyesat e formës shumëzo a b numëruesin dhe emëruesin me a b. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me rrënjë, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime. Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve kuptimin e racionalizimit të emëruesit, duke paraqitur në tabelë konceptet kyçe: Për thyesat e formës 1 shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a a. 1 Për thyesat e formës a b shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a b. 1 Për thyesat e formës a b shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a b. Prezanto në tabelë shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit shumëzojnë me të konjuguarën dhe kryejnë saktë veprimet. Te ushtrimi 1 pikat d,e f, g,h udhëzoji që të fusin në një rrënjë pastaj të kryejnë thjeshtimet e nevojshme. Ndaji nxënësit në grupe për të punuar ushtrimin. Kontrollo dhe sigurohu që nxënësit dinë të gjejnë të konjuguarën e emëruesit. Punë e diferencuar: Ushtrimi 3. Zhvillo ushtrimin 3 dhe tërhiqu vëmendjen që ta kuptojnë mirë sepse është ushtrim model Libër mësuesi Matematika 1 77

80 për provim. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Racionalizo emëruesit: a) 13 ; b) 1 3 ; c) 1 3 Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Shprehjet algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.6 Ushtrime për përpunim të njohurive Situata e të nxënit Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Shumëzon dhe pjesëton me fuqi të plota. Hap kllapa kur ajo shumëzohet me një kufizë të vetme dhe grupon kufiza të ngjashme. Kryen shumëzimin e dy ose tri shprehjeve. Faktorizon shprehje lineare, shprehje kuadratike dhe shprehje kubike të thjeshta. Njeh dhe përdor rregullat e fuqive. Thjeshton dhe përdor rregulla për të kryer veprime me numra irracionalë. Kthen emëruesin e një thyese në numër racional. Burimet: Kapitulli 1; Koncepte kyçe: Nuk ka koncepte të reja Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Algjebër Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Në këtë orë mësimore mund të bëhet përsëritje për kapitullin 1 ose mund të bëhet një test i ndërmjetëm për njohuritë bazë të këtij kapitulli. Një model ushtrimesh që mund të punohen me nxënësit për të përmbledhur njohuritë kryesore të kapitullit: 78 Libër mësuesi Matematika 1

81 1. Hap kllapat dhe thjeshto sa më shumë që të jetë e mundur a) xx3 x 4 b) x1 x5 x 6. Hap kllapat a) 3x 3x x b) xx3 3x1 4x 3. Faktorizo këto shprehje plotësisht a) x xy xy b) 8xy 10x y 4. Faktorizo a) 13x x b) 5x 3x 8 5. Njehso: a) b) Thjeshto: a) b) Racionalizo emëruesin e thyesave: a) x 8. Zgjidh ekuacionin: 8 x b) 3 1 c) 4 7 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksionet kuadratike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore:.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike Situata e të nxënit Funksionet kuadratike përdoren si modele për lëvizjen e predhës. Pavarësisht nga mënyra se si hidhet ose lëshohet një objekt, ai ndjek një trajektore e cila ka afërsisht formën e një parabole. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh ekuacionet kuadratike me anë të faktorizimit, të formulave kuadratike dhe të plotësimit të një katrori të plotë. Koncepte kyçe: Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me anë të faktorizimit,veprohet në këtë mënyrë: Shkruaj ekuacionin në formën ax bx c 0 Faktorizo anën e majtë. Barazo secilin faktor me zero dhe zgjidh për të gjetur vlerën, ose vlerat e x. Libër mësuesi Matematika 1 79

82 Burimet: faqe 11 13; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me rrënjë, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve strategjinë e faktorizimit të një ekuacioni kuadratik. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit faktorizojnë lehtësisht një ekuacion kuadratik dhe gjejnë saktësisht zgjidhjet e tij. Prezanto në tabelë Shembullin duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes dhe përparësitë që ka zgjidhja duke marrë rrënjët katrore të të dyja anëve. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë zgjidhjet e sakta. Prezantoji klasës edhe formulën kuadratike e cila është një opsion gjithashtu për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Zhvillo me klasën ushtrimin 3. Tërhiqu vëmendjen për pikën h), sepse është një ekuacion irracional dhe është e nevojshme prova e zgjidhjes. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Zgjidh ekuacionet duke e lënë përgjigjen në formë irracionale: a) y 3y 0; b) 3x 13x 10 0 ; c) x 5 7 Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Punë e diferencuar ushtrimi sfidë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

83 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksionet kuadratike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore:. Plotësimi i katrorit Situata e të nxënit Plotësimi i një katrori të plotë të një funksioni kuadratik të ndihmon të gjesh kulmin e parabolës. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Plotëson një katror të plotë te një shprehje kuadratike. Zgjidh ekuacione kuadratike me anë të plotësimit të një katrori të plotë. Burimet: faqe 19 1; Koncepte kyçe: Shpeshherë është e dobishme të rishkruhen shprehjet kuadratike duke plotësuar katrorin: b b ax bx c a x c a 4a Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me rrënjë, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë dy skicat e dhëna në libër, të cilat shpjegojnë gjeometrikisht b b barazimin x bxx Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit formojnë një katror të plotë. Shkruaj në tabelë b b ax bx c a x c a 4a Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes për të gjetur p, q dhe r. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë p, q dhe r. Zhvillo me klasën ushtrimin 3, 4 dhe 5. Prezanto shembullin 6 dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik duke formuar një katror të plotë. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet D. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të zgjidhin ekuacione duke krijuar një katror të plotë. Libër mësuesi Matematika 1 81

84 Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Paraqit secilën shprehje në formën pxq r a) y 1y 9 ; b) 5x 40x 13 0 ; c) 3x x 1 Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Punë e diferencuar ushtrimi sfidë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksionet kuadratike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore:.3 Funksionet Situata e të nxënit Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh vlerën më të madhe(vogël) të funksionit. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen vlerën e një funksioni. Gjen vlerën më të madhe(vogël) të një funksioni me anë të plotësimit të një katrori të plotë. Burimet: faqe 4; Koncepte kyçe: Bashkësia e vlerave të lejuara të fillimit të një funksioni quhet bashkësi përcaktimi. Bashkësia e vlerave të mundshme të një funksioni quhet bashkësia e vlerave (shëmbëllimeve). Rrënjët e një funksioni janë vlerat e x për të cilat f x 0. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi, Katrori i plotë, Ekuacioni, Inekuacioni. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe: Bashkësia e vlerave të lejuara të fillimit të një funksioni quhet bashkësi përcaktimi. Bashkësia e vlerave të mundshme të një funksioni quhet bashkësia e vlerave (shëmbëllimeve). Rrënjët e një funksioni janë vlerat e x për të cilat f x 0. 8 Libër mësuesi Matematika 1

85 Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë vlerën e funksionit në një pikë çfarëdo të bashkësisë së përcaktimit. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes për të gjetur p, q dhe r dhe vlerën më të madhe (vogël) të një funksioni. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 6. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë p, q dhe r dhe dinë të arsyetojë për të gjetur vlerën më të madhe(vogël) të tij. Prezanto shembullin 10 dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë zgjidhjen e një ekuacioni me metodën e zëvendësimit. Sqaroji nxënësit që këto lloj ekuacionesh quhen ekuacione bikuadrat. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 7. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të bëjnë zëvendësimin e duhur dhe zgjidhin saktë ekuacione të tilla. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: a) x x ; b) 3x x 1 4 ; c) x x Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1 dhe ushtrimet 4, 5 dhe 8 faqe 4. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksionet kuadratike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore:.4 Grafikët e funksioneve kuadratike Situata e të nxënit Grafikët kuadratikë janë të dobishëm për gjetjen e orbitave që përshkojnë predhat në ajër ose topat e futbollit. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen vlerën e një funksioni. Gjen vlerën më të madhe(vogël) të një funksioni me anë të plotësimit të një katrori të plotë. Koncepte kyçe: Koordinatat e kulmit të një grafiku kuadratik mund të gjenden duke plotësuar katrorin. Në qoftë se f x ax p q, grafiku i y f x ka kulm në p, q Libër mësuesi Matematika 1 83

86 Burimet: faqe 4 7; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i y ax p q është një zhvendosje paralele e grafikut të p me vektor q. y ax Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë pikat kyçe për ndërtimin e një parabole: 1 Grafiku pret boshtin y kur x = 0. Koordinata y është e barabartë me c. Grafiku pret boshtin x kur y = 0. Koordinatat x të pikave të prerjes janë rrënjët e funksionit f(x). 3 Grafikët kuadratikë kanë një pikë ku ata kthehen. Kjo pikë quhet kulm dhe mund të jetë një minimum ose një maksimum. Meqenëse parabola është simetrike, kulmi dhe drejtëza e simetrisë e kanë abshisën në mesin midis dy rrënjëve. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e ndërtimit të grafikut. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë kulmin dhe pikëprerjet me boshtet koordinative. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes për të gjetur kulmin dhe drejtëzën e simetrisë së parabolës. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: 1 Ndërto grafikun e a) y x 4x 3; b) y x 6x 5 Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të ndërtojnë me saktësi këto parabola. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1 dhe ushtrimin 3 faqe Libër mësuesi Matematika 1

87 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksionet kuadratike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore:.5 Dallori Situata e të nxënit Ekuacionet kuadratike mund të kenë 0, 1 ose rrënjë të mundshme; kjo përcaktohet menjëherë nga shenja e dallorit. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të Koncepte kyçe: fushës së orës mësimore Te funksioni kuadratik f xax bx c, Nxënësi: shprehja b 4ac quhet dallor. Vlera e Gjen vlerën e dallorit te një funksion dallorit tregon se sa rrënjë ka f x : kuadratik. Në qoftë se b 4ac 0 atëherë f x ka Përcakton numrin e rrënjëve të ekuacionit dy rrënjë reale të ndryshme. kuadratik në varësi të shenjës së dallorit. Në qoftë se b 4ac 0 atëherë f x ka një rrënjë që përsëritet (dy rrënjë të barabarta). Në qoftë se b 4ac 0 atëherë f x nuk ka rrënjë reale. Burimet: faqe 7 9; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Te funksioni kuadratik f xax bx c, shprehja tregon sesa rrënjë ka f x : Në qoftë se b Në qoftë se b Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni; Inekuacioni 4ac 0 atëherë f x ka dy rrënjë reale të ndryshme. b 4ac quhet dallor. Vlera e dallorit 4ac 0 atëherë f x ka një rrënjë që përsëritet (dy rrënjë të barabarta). Në qoftë se b 4ac 0 atëherë f x nuk ka rrënjë reale. Shoqëroji shpjegimet me ilustrimet gjeometrike përkatëse. Prezanto në tabelë shembullin 13 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat për të shpjeguar që një funksion të ketë dy rrënjë të barabarta. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 3 dhe 4. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë dallorin dhe i përgjigjen korrekt pyetjes së bërë në ushtrim. Prezanto në tabelë shembullin 14 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes për të gjetur dallorin dhe për të shpjeguar rastin kur funksioni ka dy rrënjë të ndryshme. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet, 6 dhe 7. Libër mësuesi Matematika 1 85

88 Reflekto Në fund të orës mësimore diskuto me nxënësit ushtrimin 1. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të përkatësojnë vlerën e dallorit me skicën përkatëse të funksionit kuadratik. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Detyrë e diferencuar: Ushtrimi sfidë. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksionet kuadratike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore:.6 Ushtrime për përpunim të njohurive Situata e të nxënit Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Faktorizon një shprehje kuadratike. Formon një katror të plotë te një shprehje kuadratike. Gjen rrënjët e një funksioni kuadratik me anë të formulës kuadratike. Përcakton numrin e rrënjëve të një funksioni kuadratik me anë të studimit të shenjës së dallorit. Ndërton grafikun e një funksioni kuadratik. Burimet: Kapitulli ; Koncepte kyçe: Nuk ka koncepte të reja Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Algjebër Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Në këtë orë mësimore mund të bëhet përsëritje për kapitullin ose mund të bëhet një test i ndërmjetëm për njohuritë bazë të këtij kapitulli. Një model ushtrimesh që mund të punohen me nxënësit për të përmbledhur njohuritë kryesore të kapitullit: 1. Zgjidh ekuacionet e mëposhtme pa përdorur makinë llogaritëse. Përgjigjja të jepet me anë të rrënjëve nëse është e nevojshme: 86 Libër mësuesi Matematika 1

89 a) x 7x3 0 b) x 5x7 0. Zgjidh ekuacionet e mëposhtme duke formuar një katror të plotë a) x 8x3 0 b) x 8x Zgjidh ekuacionet e mëposhtme duke përdorur formulën kuadratike a) x 8x1 0 b) 5x 8x Për ç vlera të parametrit m ekuacioni mx 4x 0 ka dy rrënjë reale të ndryshme? 5. Për ç vlera të parametrit m ekuacioni x mx 0 ka dy rrënjë reale të barabarta? 6. Për ç vlera të parametrit m ekuacioni mx 4x m 0 nuk ka rrënjë reale? 7. Ndërto grafikët e funksioneve kuadratike duke gjetur kulmin, pikëprerjet me boshtet koordinative dhe ndonjë vlerë ndihmëse. a) y x 5x 6; b) y x 8x 9; c) y x 4x 6; d) y x 10x Vizato skicën e një funksioni kuadratik y=ax +bx+c me këto cilësi: a) a 0 dhe D0; b) a0 dhe D 0; c) a0 dhe D=0 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare Situata e të nxënit Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh sisteme me dy ekuacione lineare me dy ndryshore(të panjohura) Burimet: faqe 3 33; Koncepte kyçe: Sistemet e ekuacioneve lineare mund të zgjidhen me anë të eliminimit ose zëvendësimit. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Libër mësuesi Matematika 1 87

90 Sistemet e ekuacioneve lineare mund të zgjidhen me anë të eliminimit ose zëvendësimit Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat për të shpjeguar mënyrën e zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare me dy të panjohura. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë zgjidhjen e sistemit për çdo rast. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. 3x y 5 Zhvillo me klasën ushtrimin 3.a x 5y 6 Jep si punë të pavarur pikat e tjera duke iu dhënë udhëzimet përkatëse. 3x ky 8 3xky8 Zhvillo me klasën ushtrimin 4: x ky 5 3x 6ky y dhe x=3. Pra çifti i numrave 3, është zgjidhje e sistemit. k k Jep si punë të pavarur ushtrimin 5. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa sisteme lineare të thjeshta. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3. Sistemet e ekuacioneve kuadratike Situata e të nxënit Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh sisteme me dy ekuacione: një ekuacion linear dhe tjetri kuadratik, me dy ndryshore(të panjohura) Burimet: faqe 34 35; Koncepte kyçe: Sistemet e ekuacioneve me një ekuacion linear dhe një kuadratik mund të kenë deri në dy çifte zgjidhjesh. Me anë të provës duhet të sigurohesh që çiftet e zgjidhjeve janë të sakta. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni 88 Libër mësuesi Matematika 1

91 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit. Sistemet e ekuacioneve me një ekuacion linear dhe tjetri kuadratik mund të zgjidhen me anë të eliminimit ose zëvendësimit nga ekuacioni linear te ekuacioni kuadratik. Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat për të shpjeguar mënyrën e zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh një linear dhe tjetri kuadratik me dy të panjohura. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë zgjidhjen e sistemit për çdo rast. Prezanto në tabelë Shembullin duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes duke theksuar se metoda që po zbatohet quhet metoda e zëvendësimit. x y 6 Zhvillo me klasën ushtrimin 3.a xy 4 Jep si punë të pavarur 3.b duke iu dhënë udhëzimet përkatëse. Jep si punë të pavarur ushtrimin 4. Zhvillo me klasën ushtrimin 5. Jep si punë të pavarur ushtrimin 6. xy3 Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë sistemin x 4y 33 Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tij në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Libër mësuesi Matematika 1 89

92 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve Situata e të nxënit Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh grafikisht sisteme me dy ekuacione të fuqisë së parë. Zgjidh grafikisht sisteme me dy ekuacione njëri linear dhe tjetri kuadratik, Burimet: faqe 35 38; Koncepte kyçe: Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh tregojnë pikat e prerjes së grafikëve të ekuacioneve të sistemit. Për një sistem me dy ekuacione nga i cili rrjedh një ekuacion kuadratik i formës ax bx c 0 0 kemi: b 4ac 0 dy zgjidhje reale b 4ac 0 vetëm një zgjidhje reale b 4ac 0 asnjë zgjidhje reale Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit. Zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve mund të paraqiten grafikisht. Njëlloj si çdo pikë në një drejtëz ose në një vijë vërteton ekuacionin e kësaj drejtëze ose kësaj vije, pikat e prerjes së dy drejtëzave ose dy vijave vërtetojnë ekuacionet e sistemit të ekuacioneve. Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh tregojnë pikat e prerjes së grafikëve të ekuacioneve të sistemit. Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke u theksuar që nëse grafikët priten, atëherë koordinatat e pikëprerjes janë zgjidhjet e sistemit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë zgjidhjen e sistemit për çdo rast. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e ndërtimit të grafikut të parabolës(funksionit kuadratik). Zhvillo me klasën ushtrimin. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke iu tërhequr vëmendjen nxënësve te lidhja që ekziston midis shenjës së dallorit dhe numrit të zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik. Jep si punë të pavarur ushtrimin 8. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për ushtrimin Libër mësuesi Matematika 1

93 Gjej numrin e pikave të prerjes për këto sisteme me dy ekuacione. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5, 6 dhe 9 faqe 38 Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.4 Inekuacionet lineare Situata e të nxënit Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh inekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. Zgjidh sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë me një ndryshore. Paraqit me anë të shënimeve me bashkësi zgjidhjet e inekuacioneve ose të sistemeve të inekuacioneve.. Kupton dhe bën dallimin midis lidhëzave logjike dhe dhe ose gjatë zgjidhjes së inekuacioneve. Burimet: faqe 39 41; Koncepte kyçe: Zgjidhja e një inekuacioni është bashkësia e të gjithë numrave realë x për të cilat inekuacioni është i vërtetë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Zgjidhja e një inekuacioni është bashkësia e të gjithë numrave realë x për të cilat inekuacioni është i vërtetë. Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u theksuar me kujdes të gjitha vetitë e mosbarazimeve që zbatohen gjatë zgjidhjes. Libër mësuesi Matematika 1 91

94 Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë saktë vetitë e mosbarazimeve për çdo rast. Prezantoji klasës konceptin e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve. Ndonjëherë të duhet të gjesh bashkësinë e vlerave për të cilat janë të vërtetë dy inekuacione njëherësh. Boshti numerik mund të jetë i dobishëm që të gjesh zgjidhjen. Zhvillo në tabelë Shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes së një sistemi inekuacionesh. Thekso me kujdes pikën b) të shembullit që nxënësit të dallojnë qartësisht ndryshimin e kuptimeve dhe dhe ose. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3 dhe diskuto një pjesë të zgjidhjeve në tabelë për sqaruar zgjidhjet e sakta. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen e inekuacioneve x 3x 7 8 4x 5 x 7 8 x x x x 3 Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.5 Inekuacionet kuadratike Situata e të nxënit Sistem do të thotë në të njëjtën kohë. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh inekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore. Zgjidh sisteme inekuacionesh me njërin inekuacion të fuqisë së parë dhe tjetrin të fuqisë së dytë me një ndryshore. Paraqit me anë të shënimeve me bashkësi zgjidhjet e inekuacioneve ose të sistemeve të inekuacioneve. Koncepte kyçe: Për të zgjidhur një inekuacion kuadratik vepro si vijon: Rishkruaje atë në mënyrë që ana e djathtë e inekuacionit të jetë 0. Zgjidh ekuacionin kuadratik përkatës që të gjesh vlerat kritike. Vizato një skicë të grafikut të funksionit kuadratik. Me anë të skicës gjej bashkësitë e kërkuara të vlerave. Vlerat kritike. 9 Libër mësuesi Matematika 1

95 Burimet: faqe 41 44; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve; Dallori, Zgjidhja e ekuacionit kuadratik; Faktorizimi. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Duke u bazuar te ilustrimi i librit sqaron nxënësit si veprohet për të zgjidhur një inekuacion kuadratik: Rishkruaje atë në mënyrë që ana e djathtë e inekuacionit të jetë 0. Zgjidh ekuacionin kuadratik përkatës që të gjesh vlerat kritike. Vizato një skicë të grafikut të funksionit kuadratik. Me anë të skicës gjej bashkësitë e kërkuara të vlerave. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u theksuar me kujdes hapat për të faktorizuar ekuacionin kuadratik dhe ilustrimin grafik të zgjidhjes së inekuacionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit faktorizojnë saktë dhe japin zgjidhje të sakta të inekuacioneve për çdo rast. Përforco me klasën konceptin e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve. Ndonjëherë të duhet të gjesh bashkësinë e vlerave për të cilat janë të vërtetë dy inekuacione njëherësh. Prerja e zgjidhjeve në bosht numerik mund të jetë e dobishme që të gjesh zgjidhjen e sistemit të inekuacioneve. Mbi bazën e kësaj zhvillo në tabelë Shembullin 10 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes së një sistemi inekuacionesh. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3 dhe diskuto një pjesë të zgjidhjeve në tabelë për sqaruar zgjidhjet e sakta. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke i dhënë rëndësinë e nevojshme rubrikës Trego kujdes x mund të jetë pozitiv ose negativ,pra ti nuk mund tʹi shumëzosh të dyja anët e këtij inekuacioni me x. Por ti mund t i shumëzosh të dyja anët me x. Meqenëse x nuk është asnjëherë negative, dhe kur x 0 atëherë x 0, rrjedh se kahu i inekuacionit nuk ndryshon. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimin 4.a dhe 4.b. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të zbatojnë vetitë e mosbarazimeve për zgjidhjen e inekuacionit. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen e inekuacioneve e disa inekuacioneve të fuqisë së dytë me një ndryshore. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Libër mësuesi Matematika 1 93

96 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7, 8 dhe 9, faqe 44 Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve Situata e të nxënit Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh inekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore. Zgjidh sisteme inekuacionesh me njërin inekuacion të fuqisë së parë dhe tjetrin të fuqisë së dytë me një ndryshore. Paraqit me anë të shënimeve me bashkësi zgjidhjet e inekuacioneve ose të sistemeve të inekuacioneve. Burimet: faqe 44 46; Koncepte kyçe: Vlerat e x për të cilat vija nën vijën y g x vërtetojnë inekuacionin f x gx. Vlerat e x për të cilat vija mbi vijën y g x vërtetojnë inekuacionin f x gx. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: y f x është y f x është Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve; Dallori, Ndërtimi i parabolës Duke u bazuar te ilustrimi i librit sqaron nxënësit si veprohet për të zgjidhur grafikisht një inekuacion kuadratik: Vlerat e x për të cilat vija y f x f x gx. është nën vijën y g x Vlerat e x për të cilat vija y f x është mbi vijën y g x f x gx. Vizato një skicë të grafikut të funksionit kuadratik. vërtetojnë inekuacionin vërtetojnë inekuacionin 94 Libër mësuesi Matematika 1

97 Me anë të skicës gjej bashkësinë e zgjidhjes. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke theksuar me kujdes hapat e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së dytë. Ilustroje grafikisht zgjidhjen. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit e kanë kuptuar metodën e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së parë ose të dytë. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke theksuar me kujdes hapat e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së dytë. Ilustroje grafikisht zgjidhjen. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të pikave të ushtrimit 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit e kanë kuptuar metodën e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së parë ose të dytë. 3 Punë e diferencuar ushtrimi sfidë. P: A x: x6 Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen grafike të të disa inekuacioneve të ushtrimit 1. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.7 Zgjidhja grafike e sistemit të inekuacioneve Situata e të nxënit Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen zonën e zgjidhjes së një sistemi inekuacinesh lineare. Gjen zonën e zgjidhjes së një sistemi inekuacinesh me njërin inekuacion të fuqisë së parë dhe tjetrin të fuqisë së dytë. Formon një sistem inekuacionesh kur njeh zonën e zgjidhjes. Koncepte kyçe: y f x paraqet pikat në rrjetin koordinativ nën vijën y f x. y f x paraqet pikat në rrjetin koordinativ mbi vijën Në qoftë se y f x pikat e vijës y f x. ose y f x atëherë y f x nuk përfshihen në zonën e zgjidhjes dhe tregohen me një vijë të ndërprerë. Libër mësuesi Matematika 1 95

98 Burimet: faqe 46 48; y f x ose y f x përfshihen në zonën e Në qoftë se y f x atëherë pikat e vijës zgjidhjes dhe tregohen me një vijë të plotë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve; Dallori, Zgjidhja e ekuacionit kuadratik; Faktorizimi. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Duke u bazuar te ilustrimi i librit sqaron nxënësit si veprohet për të zgjidhur grafikisht një inekuacion kuadratik: Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke u theksuar me kujdes hapat për gjetur zonën e zgjidhjes së inekuacionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të ngjyrosin zonën e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke u theksuar me kujdes hapat për gjetur zonën e zgjidhjes së inekuacionit kuadratik. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të ngjyrosin zonën e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve ku një nga inekuacionet është kuadratik dhe tjetri linear. Puno me klasën ushtrimin 6 duke i udhëzuar se si mund të gjejnë formulën e inekuacionit.s! Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen grafike të sistemeve të inekuacioneve lineare. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4, 5 dhe 8, faqe 48 Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. 96 Libër mësuesi Matematika 1

99 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Ekuacione dhe inekuacione Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 3.8 Ushtrime për përpunim të njohurive Situata e të nxënit Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh sisteme të ekuacioneve lineare me anë të eliminimit dhe zëvendësimit. Zgjidh sisteme të ekuacioneve një linear dhe një kuadratik. Interpreton grafikisht zgjidhjet algjebrike të ekuacioneve. Zgjidh inekuacione lineare. Zgjidh inekuacione kuadratike. Interpreton grafikisht inekuacione. Paraqit grafikisht inekuacione lineare dhe kuadratike. Burimet: Kapitulli 3; Koncepte kyçe: Nuk ka koncepte të reja Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Algjebër Grafikë Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Në këtë orë mësimore mund të bëhet përsëritje për kapitullin 3 ose mund të bëhet një test i ndërmjetëm për njohuritë bazë të këtij kapitulli. Një model ushtrimesh që mund të punohen me nxënësit për të përmbledhur njohuritë kryesore të kapitullit: xy3 1. Zgjidh algjebrikisht sistemin e ekuacioneve x 4y 33 xy1. Zgjidh algjebrikisht sistemin e ekuacioneve 3xy y 8 x y 3. Zgjidh algjebrikisht sistemin e ekuacioneve x xy y 1 4. Jepe përgjigjen me shënimet e bashkësive: a) Zgjidh inekuacionin 3x 8 x 13 Libër mësuesi Matematika 1 97

100 b) Zgjidh inekuacionin x 5x Për ç vlera të parametrit k ekuacioni kx 8x 5 0 nuk ka dy rrënjë reale? 6. Për ç vlera të parametrit m ekuacioni mx mx 0 ka dy rrënjë reale të ndryshme? 7. Skico në të njëjtin sistem koordinativ grafikët e funksioneve g x 6 x. a) Gjej koordinatat e pikëprerjeve të të dy grafikëve. f x x x 15 dhe b) Shkruaj vlerat e x për të cilat është i vërtetë inekuacioni f x gx. 8. a) Në të njëjtin sistem koordinativ skico vijat me ekuacione y b) Ngjyros zonën që vërteton njëkohësisht të dy inekuacionet 4 x. y 4 x. y x x 4 1 dhe y x x 4 1 dhe Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4.1 Grafikë të funksioneve kubike Situata e të nxënit Lëvizjet e baticave dhe zbaticave mund të shprehen me anë të funksioneve kubike. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Skicon grafikë të funksioneve kubike. Burimet: faqe 51 54; Koncepte kyçe: Një funksion kubik ka trajtën 3 f x ax bx cx d, ku a, b, c dhe d janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Në qoftë se p është një rrënjë e funksionit f x, atëherë grafiku i y f x prek ose pret boshtin x në pikën p,0. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi. Pikëprerjet e grafikëve Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: 98 Libër mësuesi Matematika 1

101 3 Një funksion kubik ka trajtën f x ax bx cx d, ku a, b, c dhe d janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Në qoftë se p është një rrënjë e funksionit f x, atëherë grafiku i y f x prek ose pret boshtin x në pikën p,0. Prezanto në tabelë shembullin 1 duke u siguruar që nxënësi kupton shënimet x ; y x ; y Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të pikave te ushtrimi 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të gjejnë pikëprerjet me boshtet koordinativ dhe dinë të skicojnë formën e funksionit kubik. Prezanto në tabelë Shembullin duke u theksuar me kujdes që me informacionin që kemi skica mund të jetë vetëm e përafërt dhe për më shumë saktësi ne mund të gjejmë pika ndihmëse. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. d, g, h. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë grafikun duke gjetur pikëprerjet me boshtet koordinative dhe duke marrë pika ndihmëse. Puno me klasën ushtrimin 5 duke i udhëzuar se si mund të gjejnë formulën e funksionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 6.!66 Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e një funksioni kubik me rrënjë të njohura. Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4 dhe 7 faqe 54 Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4. Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt Situata e të nxënit Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Skicon grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt. Përdor pikëprerjet e grafikëve për të zgjidhur ekuacionet. Koncepte kyçe: Një funksion i fuqisë së katërt ka trajtën 4 3 f x ax bx cx dx e, ku a, b, c, d dhe e janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Grafiku i një funksioni të fuqisë së katërt mund të marrë një sërë formash të ndryshme, në varësi të natyrës konkrete të funksionit. Libër mësuesi Matematika 1 99

102 Burimet: faqe 55 57; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi. Pikëprerjet e grafikëve Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: 4 3 Një funksion i fuqisë së katërt ka trajtën f x ax bx cx dx e, ku a, b, c, d dhe e janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Grafiku i një funksioni të fuqisë së katërt mund të marrë një sërë formash të ndryshme, në varësi të natyrës konkrete të funksionit. Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke u siguruar që nxënësi kupton shënimet x ; y x ; y Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të pikave te ushtrimi 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të gjejnë pikëprerjet me boshtet koordinativ dhe dinë të skicojnë formën e funksionit të fuqisë së katërt. Prezanto në tabelë Shembullin duke u theksuar me kujdes rastet kur rrënja e funksionit është e dyfishtë dhe boshti x është tangjent me grafikun e funksionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. d, g, h. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë grafikun kur funksioni ka rrënjë dyfishe. Puno me klasën ushtrimin 3 duke i udhëzuar se si mund të gjejnë formulën e funksionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 4.!66 Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e një funksionit y x x Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse Matematika 1 Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. 100 Libër mësuesi Matematika 1

103 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4.3 Grafikë të funksioneve thyesore Situata e të nxënit Shumë procese në eksperimentet e fizikës dhe kimisë zhvillohen sipas një funksioni thyesor. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Skicon grafikë të funksioneve thyesore. Përdor pikëprerjet e grafikëve për të zgjidhur ekuacionet. Burimet: faqe 57 58; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Koncepte kyçe: Mund të skicosh grafikët e funksioneve 1 1 thyesore si y, y dhe y duke x x x marrë në shqyrtim asimptotat e tyre. k k Grafiku i y dhe y, ku k është një x x numër real, ka asimptota drejtëzat x 0 dhe y 0. Një asimptotë është një drejtëz së cilës grafiku i afrohet gjithnjë e më shumë por që nuk e arrin kurrë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi. Pikëprerjet e grafikëve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit duke ilustruar me skicat përkatëse në libër. Mund të skicosh grafikët e funksioneve thyesore si shqyrtim asimptotat e tyre. 1 1 y, y dhe y duke marrë në x x x k k Grafiku i y dhe y, ku k është një numër real, ka asimptota drejtëzat x 0 dhe y 0. x x Një asimptotë është një drejtëz së cilës grafiku i afrohet gjithnjë e më shumë por që nuk e arrin kurrë. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u siguruar që nxënësi kupton konceptin e asimptotës horizontale dhe vertikale te grafikët përkatës. Kërko që nxënësi gjen ndryshimet midis grafikëve dhe cilësitë e përbashkëta. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të pikave te ushtrimi 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë saktë formën e grafikëve dhe gjejnë asimptotat e tyre. Puno me klasën ushtrimin.a, b dhe jep si punë të pavarur.c, d.66 Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e grafikut të funksionit 1.d faqe 58. Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Libër mësuesi Matematika 1 101

104 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4.4 Pikat e prerjes së grafikëve Situata e të nxënit Me anë të pikëprerjes së dy vijave mund të gjesh ku takohen dy trupa në lëvizje kur njeh trajektoren e lëvizjes së tyre. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Skicon grafikë të funksioneve thyesorë. Përdor pikëprerjet e grafikëve për të zgjidhur ekuacionet. Burimet: faqe 59 61; Koncepte kyçe: Koordinata(t) x e pikave të prerjes së vijave me ekuacione y f x dhe g x y janë zgjidhje(t) të ekuacionit f x g x. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi. Pikëprerjet e grafikëve Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit duke ilustruar me skicat përkatëse në libër. Mund të skicosh vijat e funksioneve për të treguar pikat e prerjes dhe zgjidhjet e ekuacioneve. Koordinata(t) x e pikave të prerjes së vijave me ekuacione y g x janë zgjidhje(t) të ekuacionit f x gx. y f x dhe Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u siguruar që nxënësi kupton ndërtimin e grafikëve dhe di të gjejë duke zgjidhur ekuacione koordinatat e pikave ku priten. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1a, b. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë saktë formën e grafikëve dhe të gjejnë pikëprerjet e tyre. Puno me klasën ushtrimin.a, b dhe jep si punë të pavarur.c, d.6 Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u siguruar që nxënësi kupton lidhjen që ekziston midis rrënjës së ekuacionit dhe vlerës së parametrit të panjohur a. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 5. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë saktë formën e grafikëve, gjejnë pikëprerjet e 10 Libër mësuesi Matematika 1

105 tyre dhe arsyetojnë për ndikimin që ka vlera e parametrave a dhe b. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e grafikut të funksionit te ushtrimi 1.d faqe 61 dhe të gjejnë pikat e prerjes së tyre. Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4, 9, 10 te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4.5 Zhvendosje grafikësh Situata e të nxënit Zhvendosjet vertikale ose horizontale të grafikëve na lejojnë të thjeshtojmë një funksion të ndërlikuar. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kryen zhvendosje vertikale ose horizontale të grafikut të një funksioni. Gjen koordinatat e reja të një pike pas transformimit. Gjen ekuacionet e asimptotave të funksionit pas transformimit. Burimet: faqe 6 65; Koncepte kyçe: Grafiku y f x a është një zhvendosje e grafikut 0 a. është një zhvendosje y f x me vektor Grafiku i y f x a Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Grafiku y f x a është një zhvendosje e grafikut y f x Grafiku i y f x a është një zhvendosje e grafikut y f x a e grafikut y f x me vektor 0. Kur zhvendos vertikalisht një grafik, zhvendoset njëkohësisht edhe çdo asimptotë horizontale e tij. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i funksionit, Vektori me vektor 0 a. a me vektor 0. Libër mësuesi Matematika 1 103

106 Kur zhvendos vertikalisht një grafik, zhvendoset njëkohësisht edhe çdo asimptotë horizontale e tij. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. i; ii. Sigurohu që të 0 a gjithë nxënësit janë të aftë të zbatojnë saktë zhvendosjen paralele me vektor dhe a 0 Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes dhe thekso faktin që kur zhvendos vertikalisht një grafik, zhvendoset njëkohësisht edhe çdo asimptotë horizontale e tij. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1.iii. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi rregullat për zhvendosjet paralele dhe kërko që nxënësit të shkruajnë ekuacionet e asimptotave. Puno me klasën ushtrimin. Kërko nga nxënësit që të zgjidhin algjebrikisht ekuacionin f x 0 dhe ta krahasojnë rezultatin me grafikun e përftuar nga zhvendosja. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Puno me klasën ushtrimin 7. Thekso që vektori i zhvendosjes do të jetë, kështu që koordinatat e reja të pikës P janë 0 6, 1. Në mënyrë të ngjashme arsyetohet edhe për rastin e dytë. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 11. Kërko që nxënësit të ndërtojnë grafikun e funksionit të dhënë dhe të arsyetojnë për dy mundësi të zhvendosjes paralele horizontale në mënyrë që pika 1, 0 të ndodhet në grafikun e zhvendosur. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë skicën e një funksioni çfarëdo Pastaj kërko që nxënësit të ndërtojnë skicat e funksioneve: y f x, y f x 4 y f x 3, y f x1 5. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të kryejnë me saktësi këto transformime., Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10, 1, faqe 65. Detyrë e diferencuar ushtrim sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. y f x. 104 Libër mësuesi Matematika 1

107 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4.6 Zgjatje grafikësh Situata e të nxënit Shumë funksione komplekse mund të kuptohen nga transformimi i funksioneve të thjeshta duke përdorur zgjatje (tkurrje), pasqyrime dhe zhvendosje. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kryen grafikisht transformimin e funksionit y a f x. Gjen koordinatat e reja të një pike pas transformimit y a f x. Kryen transformimin e funksionit y f ax Gjen koordinatat e reja të një pike pas y f ax. transformimit Burimet: faqe 65 69;. Koncepte kyçe: Grafiku i y a f x është një zgjatje e grafikut y f x me një faktor zgjatjeje a Grafiku i y f ax grafikut është një zgjatje e y f x me një faktor zgjatjeje 1 në drejtimin horizontal. a Grafiku grafikut y f x është pasqyrim i y f x në lidhje me boshtin x. Grafiku y f x është pasqyrim i grafikut Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese y f x në lidhje me boshtin y. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i funksionit, Vektori, Simetria boshtore. Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Nëse kryhet shumëzimi me një konstante jashtë funksionit grafiku zgjatet vertikalisht. Grafiku i y f x me një faktor zgjatjeje a. y a f x është një zgjatje e grafikut Nëse kryhet shumëzimi me një konstante brenda funksionit grafiku zgjatet horizontalisht. Grafiku i y f ax është një zgjatje e grafikut y f x horizontal.. Ilustro shpjegimet me skicat në libër. me një faktor zgjatjeje 1 a në drejtimin Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të kryejnë zgjatje(ose tkurrje) horizontale dhe zgjatje (ose shtypje) vertikale. Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes dhe thekso faktin që duhet kuptuar çfarë ndryshimi ka në formulë për të kuptuar Libër mësuesi Matematika 1 105

108 llojin e transformimit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi rregullat për zgjatjet horizontale dhe vertikale të një funksioni. Puno me klasën ushtrimin 7.a) P'1, 3, b) P', 1 Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 8. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë skicën e një funksioni çfarëdo y=f(x). 1 Kërko nga nxënësit të skicojnë y f x, y f x, y f x, y 3 f x Kontrollo sa janë të aftë nxënësit të kryejnë me saktësi këto transformime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5, 6, faqe 69. Detyrë e diferencuar ushtrim sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë dhe transformime Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 4.7 Transformime funksionesh Situata e të nxënit Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kryen zhvendosje vertikale ose horizontale të grafikut të një funksioni. Kryen grafikisht transformimin e funksionit y a f x. Kryen transformimin e funksionit y f ax. Gjen koordinatat e reja të pikave të grafikut dhe ekuacionet e asimptotave pas transformimit. Burimet: faqe 70 7; Koncepte kyçe: Mund të kryesh transformime mbi funksione jo të zakonshme duke marrë parasysh se si transformohen pika të veçanta si dhe çfarë ndodh me karakteristika të veçanta të tyre. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i funksionit, Vektori, Simetria boshtore 106 Libër mësuesi Matematika 1

109 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Mund të kryesh transformime mbi funksione jo të zakonshme duke marrë parasysh se si transformohen pika të veçanta si dhe çfarë ndodh me karakteristika të veçanta të tyre. Prezanto në tabelë Shembullin 15 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të kryejnë zgjatje(ose tkurrje) horizontale, zgjatje (ose shtypje) vertikale ose zhvendosje paralele me boshtet koordinative. Puno me klasën ushtrimin duke theksuar që për y f x a asimptota vertikale nuk ndryshon, ndërsa për funksionin y f x a asimptota horizontale e funksionit nuk ndryshon. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 4, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar drejt rregullat e transformimeve. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë skicën e një funksioni çfarëdo y=f(x). Kërko nga 1 nxënësit të skicojnë y f x, y f x, y f x, y 3 f x, y f x a dhe y f x a. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të kryejnë me saktësi këto transformime. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5, 6, faqe 7. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë drejtvizorë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 5.1 Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës Situata e të nxënit Grafikët drejtvizorë mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koeficientin këndor të drejtëzës kur jepen dy pika të saj. Koncepte kyçe: Koeficienti këndor m i një drejtëze që kalon në pikat me koordinata x, y dhe 1 1 x, y llogaritet duke përdorur formulën y y1 m. x x 1 Libër mësuesi Matematika 1 107

110 Shkruan ekuacionin e drejtëzës kur jepen një pikë e drejtëzës dhe koeficienti këndor i saj. Burimet: faqe 75 78; Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet në trajtën y mx c, ku m është koeficienti këndor i saj dhe c është koordinata e pikëprerjes me boshtin y. Ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës. Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet gjithashtu në trajtën ax by c 0, ku a, b dhe c janë numra realë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, Këndi i një drejtëze me boshtin x Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit. Mund të gjesh koeficientin këndor të një drejtëze që kalon nëpër dy pika duke shqyrtuar distancën vertikale dhe atë horizontale ndërmjet dy pikave. Koeficienti këndor m i një drejtëze që kalon në pikat me koordinata x1, y 1 dhe x, y y y1 llogaritet duke përdorur formulën m. x x 1 Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet në trajtën y mx c, ku m është koeficienti këndor i saj dhe c është koordinata e pikëprerjes me boshtin y. Ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës. Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet gjithashtu në trajtën ax by c 0, ku a, b dhe c janë numra realë. Prezanto në tabelë shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë koeficientin këndor të drejtëzës. Prezanto në tabelë Shembullin duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar hapat për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës. Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve që ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 4 dhe 5, dhe sigurohu që nxënësit e kanë kuptuar formën e ekuacionit më të thjeshtë të ekuacionit të drejtëzës. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë tri pika me koordinata të dhëna dhe kërko nga nxënësit të shpjegojnë a ndodhen pikat në një drejtëz. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këtë ushtrim. 108 Libër mësuesi Matematika 1

111 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 8, 9, faqe 78. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë drejtvizorë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 5. Ekuacionet e drejtëzës Situata e të nxënit Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koeficientin këndor të drejtëzës kur jepen dy pika të saj. Shkruan ekuacionin e drejtëzës kur jepet një pikë e drejtëzës dhe koeficienti këndor i saj. Shkruan ekuacionin e drejtëzës në formën y y m x x 1 1 Burimet: faqe 78 81; Koncepte kyçe: Ekuacioni i një drejtëze me koeficient këndor m dhe që kalon në pikën me koordinata x, y mund të shkruhet në 1 1 trajtën y y m x x 1 1 Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, Këndi i një drejtëze me boshtin x. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Ekuacioni i një drejtëze me koeficient këndor m dhe që kalon në pikën me koordinata x y mund të shkruhet në trajtën y y m x x. 1 1 Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë ekuacionin e drejtëzës kur njohin koeficientin këndor të drejtëzës dhe një pikë çfarëdo të saj. 1, 1 Libër mësuesi Matematika 1 109

112 Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar hapat për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës në formën y y m x x. 1 1 Puno me klasën ushtrimin 5. Rikujto me nxënësit faktin që nëse një pikë ndodhet në drejtëz koordinatat e asaj pike vërtetojnë ekuacionin e saj. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 6. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve që ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 4 dhe 5, dhe sigurohu që nxënësit e kanë kuptuar formën e ekuacionit më të thjeshtë të ekuacionit të drejtëzës. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimet 5D, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar hapat për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës në raste të tilla. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë tri pika me koordinata të dhëna të cilat janë kulme të një trekëndëshi. Kërko nga nxënësit të gjejnë ekuacionet e brinjëve të trekëndëshit me të gjitha mënyrat që kanë mësuar deri tani. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këtë ushtrim. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 3,4, faqe 79. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë drejtvizorë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 5.3 Drejtëza paralele dhe pingule Situata e të nxënit Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koeficientin këndor të drejtëzës kur jepen dy pika të saj. Koncepte kyçe: Drejtëzat paralele kanë koeficient këndor të njëjtë. Këndi midis drejtëzave pingule është i drejtë. 110 Libër mësuesi Matematika 1

113 Shkruan ekuacionin e drejtëzës kur jepen një pikë e drejtëzës dhe koeficienti këndor i saj. Burimet: faqe 8 85; Në qoftë se një drejtëz e ka koeficientin këndor m, drejtëza pingule me të e ka 1 koeficientin këndor. m Në qoftë se dy drejtëza janë pingule, atëherë prodhimi i koeficienteve këndore të tyre është 1. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, Këndi i një drejtëze me boshtinx. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit. Drejtëzat paralele kanë koeficient këndor të njëjtë. Këndi midis drejtëzave pingule është i drejtë. Në qoftë se një drejtëz e ka koeficientin këndor m, drejtëza pingule me të e ka koeficientin 1 këndor. m Në qoftë se dy drejtëza janë pingule, atëherë prodhimi i koeficienteve këndore të tyre është 1. Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke sqaruar qartësisht kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet dhe 3. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Prezanto në tabelë Shembujt 11 dhe 1 duke sqaruar qartësisht kushtin e pingultisë të dy drejtëzave. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 7 te Ushtrime 5F Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi kushtin e pingultisë të dy drejtëzave dhe gjejnë pa gabime ekuacionin e drejtëzës për çdo situatë. Puno me klasën ushtrimin 10. Kujtoju nxënësve përkufizimin e drejtkëndëshit si paralelogrami me të paktën një kënd të drejtë dhe nga kjo kërko nga nxënësit të nxjerrin kushtet algjebrike për ekuacionet e drejtëzave. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa ekuacione drejtëzash dhe kërko nga nxënësit që të përcaktojnë bazuar te ekuacioni nëse ato janë paralele, pingule apo as paralele dhe as pingule. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 9, 11 dhe 1 faqe 85. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 111

114 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Grafikë drejtvizorë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ Situata e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen distancën midis dy pikave në planin koordinativ. Gjen syprinën e një trekëndëshi duke përdorur largesën midis dy pikave. Burimet: faqe 85 88; Koncepte kyçe: Mund të gjesh distancën d ndërmjet pikave, x, y x y dhe 1 1 duke përdorur formulën 1 1 d x x y y Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, syprina. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Duke shqyrtuar një trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzë AB, mund të gjesh distancën d ndërmjet dy pikave A x, y dhe, 1 1 d x x y y 1 1 B x y duke përdorur formulën Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke sqaruar qartësisht diferencën midis y eve dhe diferencën midis x eve. Pas kësaj puno me klasën ushtrimin. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e distancës midis dy pikave. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke sqaruar qartësisht gjetjen e pikëprerjes së dy drejtëzave dhe syprinën e trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 8. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së syprinës së trekëndëshit. Puno me klasën ushtrimin 6. Shpjegoju nxënësve që për të gjetur largesën midis dy drejtëzave paralele duhet të gjesh një drejtëz pingul me to dhe pastaj pikëprerjet e saj me drejtëzat e dhëna. Jep si punë të pavarur ushtrimin 9 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë kulmet e një trekëndëshi dhe kërko që nxënësit të gjejnë syprinën e tij duke gjetur gjatësitë e brinjëve me formulën e largesës midis dy pikave. 11 Libër mësuesi Matematika 1

115 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 11 dhe 1 faqe 88. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Rrathë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 5.4 Pikat e mesit dhe përmesoret e segmenteve drejtëvizore Situata e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen mesin e një segmenti kur jepen koordinatat e skajeve të segmentit. Burimet: faqe 85 88; Koncepte kyçe: Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me, B x, y është skaje A x y dhe 1 1 x x ; y y 1 1 Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, syprina. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Pika e mesit të një segmenti drejtvizor mund të gjendet duke marrë vlerën mesatare të koordinatave x dhe y të skajeve të tij. Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me skaje A x, y dhe, 1 1 B x y është x 1 x 1 ; y y Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht zbatimin e formulës që gjen koordinatat e pikës së mesit të segmentit. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet dhe 3. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e distancës midis dy pikave. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke sqaruar qartësisht gjetjen e pikëprerjes së dy drejtëzave dhe syprinën e trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 8. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së syprinës së trekëndëshit. Puno me klasën ushtrimin 6. Shpjegoju nxënësve që për të gjetur largesën midis dy drejtëzave Libër mësuesi Matematika 1 113

116 paralele duhet të gjesh një drejtëz pingul me to dhe pastaj pikëprerjet e saj me drejtëzat e dhëna. Jep si punë të pavarur ushtrimin 9 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë kulmet e një trekëndëshi dhe kërko që nxënësit të gjejnë syprinën e tij duke gjetur gjatësitë e brinjëve me formulën e largesës midis dy pikave. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 11 dhe 1 faqe 88. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Rrathë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 6.1 Pikat e mesit dhe përmesoret e segmenteve drejtvizore Situata e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen mesin e një segmenti kur jepen koordinatat e skajeve të segmentit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me ; B x ; y është skaje A x y dhe 1 1 x x ; y y 1 1 Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Pika e mesit të një segmenti drejtvizor mund të gjendet duke marrë vlerën mesatare të koordinatave x dhe y të skajeve të tij. Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me skaje A x ; y dhe ; 1 1 B x y është x 1 x 1 ; y y Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht zbatimin e formulës që gjen koordinatat e pikës së mesit të segmentit. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet dhe 3. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi 114 Libër mësuesi Matematika 1

117 formulën e distancës midis dy pikave. Prezanto në tabelë Shembullin duke sqaruar qartësisht gjetjen e skajit të një segmenti nëse jepet pika e mesit dhe njëri skaj i tij. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 9 dhe 10. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së pikës së mesit të segmentit. Puno me klasën ushtrimin 6. Shpjegoju nxënësve që kur një pikë ndodhet në një drejtëz do të thotë që koordinatat e asaj pike vërtetojnë ekuacionin e drejtëzës. Jep si punë të pavarur ushtrimin 7 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë kulmet e një trekëndëshi dhe kërko që nxënësit të gjejnë ekuacionin e mesoreve të trekëndëshit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10 dhe 11 Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Rrathë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 6. Ekuacioni i rrethit Situata e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen mesin e një segmenti kur jepen koordinatat e skajeve të segmentit. Burimet: faqe...; Organizimi i orës së mësimit: Koncepte kyçe: Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (0, 0) dhe rreze r është x y r. Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (a, b) dhe rreze r është x a yb r. Ekuacioni i një rrethi mund të jepet në trajtën: x y 3fx gy c 0 Ky rreth ka qendër pikën me koordinata ( f, g) dhe rreze f g. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Rrethi me ekuacion Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve x a yb r është një zhvendosje paralele e rrethit x y r me vektor. Libër mësuesi Matematika 1 115

118 Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (0, 0) dhe rreze r është x y r. Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (a, b) dhe rreze r është Ekuacioni i një rrethi mund të jepet në trajtën: x y 3fx gy c 0 x a yb r. Ky rreth ka qendër pikën me koordinata ( f, g) dhe rreze f g. Prezanto në tabelë Shembullin4 dhe Shembullin 5 duke sqaruar qartësisht zbatimin e formulës që gjen ekuacionin e rrethit kur jepet rrezja e tij dhe koordinatat e qendrës. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet, 3 dhe 4. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e gjetjes së ekuacionit të rrethit. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke sqaruar qartësisht hapat për gjetjen e ekuacionit të rrethit në këto raste: Gjen rrezen e rrethit duke gjetur fillimisht diametrin dhe në vijim e përgjysmon atë. Gjen qendrën e rrethit duke gjetur fillimisht mesin e segmentit AB. Shkruan ekuacionin e rrethit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 5 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së qendrës dhe rrezes së rrethit. Prezanto para klasës Shembullin 7 Shpjegoju nxënësve që kur të kërkohet qendra dhe rrezja e një rrethi të dhënë me një ekuacion të zbërthyer është më e sigurt të plotësosh katrorë të plotë me kufizat që kanë x dhe y. Jep si punë të pavarur ushtrimet 8 dhe 9 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 1 dhe 13 faqe. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

119 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Rrathë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 6.3 Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë Situata e të nxënit Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koordinatat e pikëprerjeve të drejtëzës me rrethin. Përcakton numrin e pikave të prerjes së rrethit me drejtëzën në varësi të shenjës së dallorit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Një drejtëz mund të presë rrethin në një pikë, duke e takuar rrethin, ose në dy pika. Jo çdo drejtëz pret një rreth të dhënë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Zgjidhja e sistemit; Dallori Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një drejtëz mund të presë rrethin në një pikë, duke e takuar rrethin, ose në dy pika. Jo çdo drejtëz pret një rreth të dhënë. et shoqëroji me skicat në libër. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke sqaruar qartësisht hapat për zgjidhjen e tij. Për zgjidhjen e ekuacionit që formohet nxënësit mund të përdorin edhe formulën kuadratike. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 3 dhe 4. Kujdesu që nxënësit zgjidhin me saktësi sistemin e formuar. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke sqaruar qartësisht hapat për argumentimin që dallori duhet të jetë negativ. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 7, 8 dhe 11 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën: drejtëza dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta dhe dallori është negativ. Si përfundim shkruaj në tabelë: Në qoftë se b 4ac > 0 atëherë ka dy rrënjë të ndryshme (drejtëza dhe rrethi priten në dy pika). Në qoftë se b 4ac = 0 atëherë ka një rrënjë të dyfishtë.(drejtëza tangjente me rrethin). Në qoftë se b 4ac < 0 atëherë nuk ka rrënjë reale (drejtëza nuk e pret rrethin). Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10 dhe 1 faqe. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 117

120 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Rrathë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 6.4 Përdorimi i vetive të tangjentes dhe të kordës Situata e të nxënit Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen ekuacionin e tangjentes në një pikë të rrethit; Zbaton kushtin e pingultisë së dy drejtëzave; Zbaton kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Burimet: ; Koncepte kyçe: Tangjentja ndaj një rrethi është pingule me rrezen e tij në pikën e takimit. Përmesorja e një korde kalon në qendrën e rrethit. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës Kushti i paralelizmit dhe pingultisë së dy drejtëzave në plan Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një drejtëz është tangjente ndaj një rrethi kur ajo e pret atë vetëm në një pikë. Tangjentja ndaj një rrethi është pingule me rrezen e tij në pikën e takimit. Përmesorja e një korde kalon në qendrën e rrethit. Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke sqaruar kushtin e pingultisë së dy drejtëzave. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 5. Orientoji nxënësit që t i zgjidhin me saktësi të gjitha pikat e këtij ushtrimi. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke sqaruar qartësisht hapat për argumentimin që problema ka dy zgjidhje dhe për të zbatuar kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 7që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht hapat për gjetjen e ekuacionit të përmesores së segmentit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 4 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi vetinë e përmesores së segmentit dhe kushtin e pingultisë së dy drejtëzave. Puno me nxënësit ushtrimin 9. Orientoi nxënësit që të zhvillojnë të gjitha pikat hap pas hapi. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Vlerësimi: 118 Libër mësuesi Matematika 1

121 Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5, 7 dhe 9 faqe. Detyrë e diferencuar Ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Rrathë Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Situata e të nxënit Tema mësimore: 6.5 Rrathë dhe trekëndësha Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen ekuacionin e rrethit kur njeh koordinatat e skajeve të diametrit të rrethit; Gjen ekuacionin e përmesores së një korde në rreth; Gjen qendrën e një rrethi kur njeh ekuacionet e dy përmesoreve të dy kordave të rrethit. Burimet: faqe...; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Koncepte kyçe: Nëpër tri pika jo në vijë të drejtë kalon një rreth dhe vetëm një. Ky rreth quhet rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit. Qendra e këtij rrethi quhet qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit dhe njëkohësisht ajo është pikëprerja e përmesoreve të tri brinjëve të trekëndëshit Në qoftë se këndi PRQ = 90 atëherë pika R ndodhet në rrethin me diametër PQ. Këndi me kulm në rreth që mbështetet në gjysmën e rrethit është gjithmonë kënd i drejtë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës Kushti i paralelizmit dhe pingultisë së dy drejtëzave në plan Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Nëpër tri pika jo në vijë të drejtë kalon një rreth dhe vetëm një. Ky rreth quhet rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit. Qendra e këtij rrethi quhet qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit dhe njëkohësisht ajo është pikëprerja e përmesoreve të tri brinjëve të trekëndëshit Në qoftë se këndi PRQ = 90 atëherë pika R ndodhet në rrethin me diametër PQ. Këndi me kulm në rreth që mbështetet në gjysmën e rrethit është gjithmonë kënd i drejtë. Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke i sqaruar nxënësit qartësisht që për të pranuar se AB Libër mësuesi Matematika 1 119

122 është diametër i rrethit duhet treguar që masa e këndit ACB është 90. Pas kësaj puno me klasën ushtrimin 6, me anë të të cilit përforcohet shembulli më sipër. Orientoji nxënësit që t i zgjidhin me saktësi të gjitha pikat e këtij ushtrimi. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke sqaruar qartësisht hapat për gjetjen e ekuacionit të përmesores së kordës së rrethit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi vetinë e përmesores së segmentit ( kalon në mesin e segmentit dhe pingul me të). Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 8. Kontrollo nëse nxënësit i zotërojnë njohuritë bazë për zgjidhjen e tij. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10 dhe 11 faqe. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Metodat algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 7.1 Thyesat algjebrike Situata e të nxënit Inxhinierët aeronautikë përdorin dhe thjeshtojnë thyesa algjebrike kur modelojnë aeroplanët. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Faktorizon konstantet e përbashkëta në numërues dhe emërues të një thyese. Faktorizon dhe thjeshton faktorët e përbashkët në një thyesë algjebrike që ka shprehje kuadratike Burimet: faqe...; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Koncepte kyçe: Gjatë thjeshtimit të një thyese algjebrike, nëse është e mundur, numëruesi dhe emëruesi faktorizohen dhe pastaj thjeshtohen faktorët e përbashkët. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi 10 Libër mësuesi Matematika 1

123 Thyesat algjebrike mund të thjeshtohen nëpërmjet pjesëtimit. Gjatë thjeshtimit të një thyese algjebrike, nëse është e mundur, numëruesi dhe emëruesi faktorizohen dhe pastaj thjeshtohen faktorët e përbashkët. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht hapat për faktorizimin dhe thjeshtimet përkatëse. Puno me klasën ushtrimin.n dhe ushtrimin.o. Kujto me nxënësit rregullat e faktorizimit të shprehjes kuadratike Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin. e; h; k. Kontrollo nëse nxënësit i zotërojnë njohuritë bazë për faktorizimin e shprehjes kuadratike. Zhvillo me klasën ushtrimin 3 duke i udhëzuar për pikat kyçe të faktorizimit. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1. e; f; h. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi (pikat e pa përfunduara nga ora e mësimit) faqe. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Metodat algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 7. Pjesëtimi i polinomeve Situata e të nxënit Okulistët përdorin thyesa algjebrike kur përgatisin një recetë për syze optike. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Pjesëton në shtyllë një shprehje kuadratike me një shprehje lineare; Pjesëton një shprehje kubike me një shprehje lineare; Gjen herësin dhe mbetjen gjatë pjesëtimit të një polinomi me (x ± p). Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Një polinom është një shprehje e fundme me fuqi numra të plotë pozitivë. Me anë të një pjesëtimi në shtyllë, një polinom mund të pjesëtohet me (x ± p), ku p është një konstante. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Shprehjet algjebrike; Pjesëtimi në shtyllë Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Libër mësuesi Matematika 1 11

124 Një polinom është një shprehje e fundme me fuqi numra të plotë pozitivë. Me anë të një pjesëtimi në shtyllë, një polinom mund të pjesëtohet me (x ± p), ku p është një konstante. Prezanto në tabelë Shembullin duke sqaruar qartësisht hapat për pjesëtimin në shtyllë. Puno me klasën disa pika të ushtrimit deri sa të bindesh që nxënësit e zotërojnë teknikën e pjesëtimit në shtyllë të një polinomi me (x ± p). Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke i sqaruar me ngadalë hapat e pjesëtimit me faktor x+1. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4. a; b. Kontrollo nëse nxënësit pjesëtojnë me lehtësi me faktorin e tipit ax+b. Prezanto në tabelë Shembullin 4. Një mënyrë më e shpejtë për të gjetur mbetjen e pjesëtimit të një polinomi me faktorin (x ± p), është me anë të zëvendësimit. Zhvillo me klasën ushtrimin 8 duke i udhëzuar që të përdorin metodën e dytë si provë për saktësinë e gjetjes së mbetjes. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1. a, b dhe c. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet e pa përfunduara gjatë orës së mësimit mund të jepen si detyra shtëpie. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Metodat algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 7.3 Teorema e faktorëve Situata e të nxënit Me anë të teoremës së faktorëve lehtësohet zbërthimi i një polinomi në faktorë më të thjeshtë. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Faktorizon një funksion kubik; Skicon grafikun e një funksioni kubik pas faktorizimit të tij; Gjen koeficientet e një funksioni kubik kur njeh disa faktorë të tij. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Teorema e faktorëve Kur f x është një polinom, kemi: Në qoftë se f p 0, atëherë x p f x. një faktor i Në qoftë se x atëherë f p 0. është p është një faktor i f x, Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Shprehjet algjebrike; Pjesëtimi në shtyllë 1 Libër mësuesi Matematika 1

125 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Teorema e faktorëve pohon se kur f x është një polinom, atëherë: Në qoftë se f p 0, atëherë x p është një faktor i f x. Në qoftë se x p është një faktor i f x, atëherë 0 Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke sqaruar paraprakisht f p. 1. Zëvendëso vlera të funksionit deri sa të gjesh një vlerë p të tillë që g p 0.. Pjesëto funksionin me x p. 3. Shkruaj g x x pax bx c. 4. Faktorizo faktorin kuadratik, nëse është e mundur, që ta shkruash g x si një prodhim i tre faktorëve. Puno me klasën ushtrimet 3, 4 dhe 5 dhe kontrollo nëse nxënësit e zotërojnë teknikën e faktorizimit të funksionit kubik. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke i sqaruar me ngadalë hapat e faktorizimit dhe skicimin e grafikut kubik. Udhëzoji nxënësit që provën le ta fillojnë me pjesëtuesit e plotë të termit të lirë të funksionit të dhënë. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 7. a; b. Kontrollo nëse nxënësit pjesëtojnë me lehtësi me faktorin e tipit ax+b dhe janë të saktë në skicimin e grafikut të funksionit kubik. Puno me klasën ushtrimin 10. Udhëzoji nxënësit që f 1 0 dhe f 1 0. Me këto dy fakte formo sistemin e ekuacioneve për të gjetur p = 3 dhe q = 7. Pas kësaj vendosi në punë të pavarur për ushtrimet 11 dhe 1. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të kuptimeve bazë të mësimit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet e pa përfunduara gjatë orës së mësimit mund të jepen si detyra shtëpie. Detyrë e diferencuar Ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 13

126 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Metodat algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 7.4 Vërtetimi matematik Situata e të nxënit Matematicienët duhet t i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zbaton skemën e arsyetimit për të vërtetuar barazime algjebrike; Vërteton pohime të thjeshta gjeometrie. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me anë të deduksionit. Kjo do të thotë se përfundimi i kërkuar gjendet nëpërmjet fakteve ose përcaktimeve të njohura që përdoren gjatë hapave logjikë që ndiqen gjatë vërtetimit. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Shprehje algjebrike; Zgjidhja e inekuacionit kuadratik; Kushti i pingultisë dhe i paralelizmit të dy drejtëzave. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një pohim që është vërtetuar quhet teoremë. Një pohim që ende nuk është vërtetuar quhet hipotezë. Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me anë të deduksionit. Kjo do të thotë se përfundimi i kërkuar gjendet nëpërmjet fakteve ose përcaktimeve të njohura që përdoren gjatë hapave logjikë që ndiqen gjatë vërtetimit. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke i sqaruar me ngadalë hapat e vërtetimit: fillo me shprehjen në njërën anë të identitetit; kryej veprime me shprehjen algjebrike deri sa ajo të përputhet me anën tjetër; trego çdo hap në veprimet e tua algjebrike. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4. Kontrollo nëse nxënësit i respektojnë hapat e vërtetimit. Puno me nxënësit ushtrimin 6.. D 4b c D 4b 4c x b 4b Prezanto në tabelë Shembullin 10. Shpjegoju nxënësve vërtetimin e zgjedhur në libër. Mund t u lësh detyrë që ata ta vërtetojnë atë duke zbatuar Teoremën e Pitagorës. 14 Libër mësuesi Matematika 1

127 Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrim15, 16 dhe 17. Kontrollo nëse nxënësit i bëjnë vërtetimet në mënyrë korrekte. Prezanto në tabelë Shembullin 11. Puno me nxënësit ushtrimin 11 duke theksuar që: një funksion kuadratik yabx c është gjithmonë pozitiv nëse ka a 0 dhe D 0 Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 1. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 3. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të kuptimeve bazë të mësimit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet e pa përfunduara gjatë orës së mësimit mund të jepen si detyra shtëpie. Detyrë e diferencuar Ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Metodat algjebrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 7.5 Metoda vërtetimi Situata e të nxënit Matematicienët duhet t i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Njeh dhe zbaton metodën shteruese në vërtetime matematike; Njeh dhe zbaton metodën e kundërshembullit në vërtetime matematike. Koncepte kyçe: Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me metodën e shterimit. Kjo bëhet duke e ndarë pohimin në raste më të dhe duke vërtetuar çdo rast veç e veç. Nuk mund të përdoret një shembull për të vërtetuar nëse pohimi është i vërtetë, sepse një shembull është vetëm një rast. Burimet: faqe...; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione; Inekuacione Libër mësuesi Matematika 1 15

128 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me metodën e shterimit. Kjo bëhet duke e ndarë pohimin në raste më të dhe duke vërtetuar çdo rast veç e veç. Kjo metodë është e mirë kur numri i rezultateve është i vogël. Ti nuk mund të përdorësh një shembull për të vërtetuar nëse pohimi është i vërtetë, sepse një shembull është vetëm një rast. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke i sqaruar me ngadalë hapat e vërtetimit: Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4. Trego kujdes që nxënësi të përfshihet në vërtetim. Udhëzoji nxënësit të shqyrtojnë rastet kur numri kub është i trajtës 3n 3, 3n 1 3 ose n 7n 9 3n 3 3 n., e cila është shumëfish i 9. n 3 n 3 n n n n n , e cila është një më pak se shumëfish i 9. Arsyetimi është njëlloj edhe për rastin tjetër. Prezanto në tabelë Shembullin 13. Pas kësaj kalo te ushtrimi 6, duke kërkuar nga nxënësit të gjejnë gabimin në arsyetimin e prezantuar në ushtrim. Prezanto në tabelë Shembullin 14, duke shpjeguar të gjitha hapat e vërtetimit të tij. Puno me nxënësit ushtrimin 8 duke i orientuar në vërtetimin e duhur. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 9. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1, dhe 3. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të kuptimeve bazë të mësimit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5 dhe 7. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

129 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Zbërthimi binomial Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 8.1 Trekëndëshi i Paskalit Situata e të nxënit Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Njeh dhe zbaton trekëndëshin e Paskalit për zbërthimin e a b n ; Përdor trekëndëshin e Paskalit për të gjetur koeficientet binomiale. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Trekëndëshi i Paskalit formohet duke mbledhur çiftet e numrave pranë njëritjetrit për të gjetur numrat në rreshtin pasues. Rreshti i (n + 1) të i trekëndëshit të Paskalit tregon koeficientet në zbërthimin e a b n Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Trekëndëshi i Paskalit formohet duke mbledhur çiftet e numrave pranë njëri tjetrit për të gjetur numrat në rreshtin pasues. Rreshti i (n + 1) të i trekëndëshit të Paskalit tregon koeficientet në zbërthimin e a b n Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke i sqaruar me ngadalë hapat e zbërthimit: Jep i punë të pavarur ushtrimin dhe sigurohu që të gjithë nxënësit njohin dhe zbatojnë trekëndëshin e Paskalit në zbërthimin e binomit për numra n jo shumë të mëdhenj. Prezanto në tabelë Shembullin 14, duke shpjeguar të gjitha hapat për formimin e ekuacionit që të gjesh vlerat e mundshme të të panjohurës c. Puno me nxënësit ushtrimin 6. Në fillim kërko që nxënësit të bëjnë zbërthimin pastaj të formojnë ekuacionin e duhur. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 7. Kontrollo punimet e nxënësve që të sigurohesh se të gjithë dinë të formojnë ekuacionin 3b 5 = 0,për të gjetur vlerat e mundshme të b. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të zbërthimit të binomit duke u bazuar te trekëndëshi i Paskalit. Libër mësuesi Matematika 1 17

130 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5 dhe 8. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Zbërthimi binomial Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 8. Shënimi faktorial Situata e të nxënit Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Njeh dhe llogarit shënimin n n n! Cr r r! n r! n1 n 1 Përdor shënimin Cr 1 për të r 1 shkruar numrat në trekëndëshin e Paskalit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Me anë të shënimit faktorial dhe makinës llogaritëse mund të gjesh më shpejt numrat e trekëndëshit të Paskalit. Numri i mënyrave me të cilat zgjidhen r elemente nga një grup me n elemente n shënohet si n C r ose r Kufiza e r të në trekëndëshin e Paskalit n n n! jepet nga formula Cr. r r! n r! Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Probabiliteti Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Me anë të shënimit faktorial dhe makinës llogaritëse mund të gjesh më shpejt numrat e trekëndëshit të Paskalit. 18 Libër mësuesi Matematika 1

131 Numri i mënyrave me të cilat zgjidhen r elemente nga një grup me n elemente shënohet si n n n n! C r ose Cr r r! n r! Kufiza e r të në trekëndëshin e Paskalit jepet nga formula n1 C r1 n 1 r 1 Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke i sqaruar me ngadalë për mënyrën e njehsimit të koeficienteve binomial me anë të formulës. Jep si punë të pavarur ushtrimin dhe sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë vlera të sakta. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 7.a) C3 86 ; C C x 71581x 57915x Jep si punë të pavarur ushtrimin 8 dhe kontrollo rezultatet e nxënësve. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1, dhe 3. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të njehsimit të koeficienteve binomiale. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 10 dhe 11. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Zbërthimi binomial Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 8.3 Zbërthimi binomial Situata e të nxënit Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Njeh dhe zbërthen binomin n n n ab a a b a b a b b 1 r n n n 1 n n r r n Koncepte kyçe: Koeficientet binomialë C n r n1 r! r! n r! C r1 n 1 r 1. Libër mësuesi Matematika 1 19

132 n n n! Përdor shënimin C r r r! n r! koeficientet binomial. për të gjetur Burimet: faqe...; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Probabiliteti; Vetitë e fuqive Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Numri i mënyrave me të cilat zgjidhen r elemente nga një grup me n elemente shënohet si n r! n1 n 1 Cr ose C r1 r! n r! r 1. Koeficienti pranë kufizës së përgjithshme në zbërthimin e binomit jepet nga formula n C r n r Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke i sqaruar me ngadalë për mënyrën e zbërthimit të binomit dhe njehsimit të koeficienteve binomial me anë të formulës. Jep si punë të pavarur ushtrimin dhe sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë vlera të sakta. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 5. Udhëzoji që të marrin parasysh edhe shenjat e kufizave. Prezanto në tabelë Shembullin 5. Jep si punë të pavarur ushtrimin 6 dhe kontrollo rezultatet e nxënësve. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të njehsimit të koeficienteve binomiale. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 7. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

133 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Raporte trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 9.1 Teorema e kosinusit Situata e të nxënit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Përdor teoremën e kosinusit për gjetjen e brinjës së panjohur; Përdor teoremën e kosinusit për gjetjen këndit të panjohur. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një brinjë të panjohur kur njihen dy brinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre. a b c bccosa Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një kënd të panjohur kur njihen të tri brinjët e trekëndëshit b c a cos A bc Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Gjeometri Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një brinjë të panjohur kur njihen dy brinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre. a b c bccosa Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një kënd të panjohur kur njihen të tri brinjët e trekëndëshit b c a cos A bc Ilustroji shpjegimet me skicë dhe rikujto lidhjet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë për ku të përfshihet e gjithë klasa. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke i sqaruar me ngadalë hapat e njehsimit të brinjës së trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 1. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e kosinusit për të gjetur brinjën e panjohur në trekëndësh. Prezanto në tabelë Shembullin. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e kosinusit për të gjetur këndin e panjohur në trekëndësh. Libër mësuesi Matematika 1 131

134 Prezanto në tabelë Shembullin. Rikujtoju nxënësve kuptimin e koordinatës gjeografike veriore për konceptimin dhe zgjidhjen e ushtrimit. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3. Prezanto Shembullin 4 dhe thekso faktin që ndryshorja x përfaqëson gjatësi brinje në trekëndësh dhe si e tillë duhet të jetë pozitive. Zhvillo me klasën ushtrimin 11 për të përforcuar Shembullin 4. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe (pikat e pa zhvilluara gjatë mësimit) Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 6, 7 dhe 10 Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Raporte trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 9. Teorema e sinusit Situata e të nxënit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Përdor teoremën e sinusit për gjetjen e brinjës së panjohur; Përdor teoremën e sinusit për gjetjen këndit të panjohur. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur: a b c. sin sin sin Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur: sin sin sin. a b c Në disa raste nga teorema e sinusit dalin dy zgjidhje të mundshme për një kënd të panjohur: sin sin Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Gjeometri 13 Libër mësuesi Matematika 1

135 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur: a b c sin sin sin Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur: sin sin sin. a b c Në disa raste nga teorema e sinusit dalin dy zgjidhje të mundshme për një kënd të panjohur: sin sin Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit i kuptojnë vërtetimet e dhëna në libër. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke i sqaruar me ngadalë hapat e njehsimit të brinjës së trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e sinusit për të gjetur brinjën e panjohur në trekëndësh. Prezanto në tabelë Shembullin 6. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 3. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e sinusit për të gjetur këndin e panjohur në trekëndësh. Puno me klasën ushtrimin 5. Udhëzoji që PQ mund të gjendet edhe me teoremën e kosinusit. Zhvillo me klasën ushtrimin 8. Udhëzoji nxënësit në gjetjen e pozicionit të pikës C dhe rikujtoju vetinë e këndeve midis drejtëzave paralele. Prezanto Shembullin 7 dhe thekso faktin se teorema e sinusit ka nevojë për diskutim sepse jep dy zgjidhje dhe jo gjithmonë pranohen të dyja zgjidhjet. Zhvillo me klasën ushtrimin 1(9C) për të përforcuar Shembullin 7. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe (pikat e pa zhvilluara gjatë mësimit) Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4, 5 dhe 6 (9C) Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 133

136 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Raporte trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 9.3 Syprina e trekëndëshave Situata e të nxënit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen syprinën e trekëndëshit kur njeh dy brinjë dhe këndin midis tyre; Gjen këndin në trekëndësh kur njeh syprinën dhe dy brinjë të tij. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Syprina 1 sin ab C Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Gjeometri 1 Syprina sin ab C Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë nxjerrjen e formulës së syprinës së trekëndëshit. Ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimin 3. Kontrollo punët e tyre dhe diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Prezanto në tabelë Shembullin 8 dhe kalo te ushtrimi 6 duke u siguruar që nxënësit i kuptojnë të gjitha pikat e zgjidhjes. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke arsyetuar që në përgjithësi kjo problemë ka dy zgjidhje, sepse sinusi i këndit të ngushtë dhe shtuesit të tij kanë vlera të barabarta. Puno me klasën ushtrimin 4. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe (pikat e pa zhvilluara gjatë mësimit) Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

137 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Raporte trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit Situata e të nxënit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen syprinën e trekëndëshit kur njeh dy brinjë dhe këndin midis tyre; Gjen këndin në trekëndësh kur njeh syprinën dhe dy brinjë të tij. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit janë periodikë. Ata përsëriten pas një intervali të caktuar. Grafiku i y sin përsëritet çdo 360 dhe pret boshtin x në pikat me koordinata, 180, 0, 180, 360, ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale 1. Grafiku i y cos : përsëritet çdo 360 dhe pret boshtin x në pikat me koordinata, 90, 90, 70, 450, ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale 1. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Gjeometri Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit janë periodikë. Ata përsëriten pas një intervali të caktuar. Grafiku i y sin përsëritet çdo 360 dhe pret boshtin x në pikat me koordinata, 180, 0, 180, 360, ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale 1. Grafiku i y cos : përsëritet çdo 360 dhe pret boshtin x në pikat me koordinata, 90, 90, 70, 450, ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale 1. Grafiku i y tan : përsëritet çdo 180 dhe pret boshtin x në pikat me koordinata 180, 0, 180, 360, nuk ka vlerë maksimale dhe as vlerë minimale. ka asimptota vertikale në x = 90, x = 90, x = 70, Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë grafikët e funksioneve trigonometrike. Libër mësuesi Matematika 1 135

138 Prezanto në tabelë Shembullin 11. Ndërto një tabelë vlerash për të gjetur disa pika të rëndësishme të grafikut të funksionit y sin x dhe y cos x Puno me klasën ushtrimet 1, dhe 3. Jepu kohë të skicojnë ata vet grafikët e tyre me anë të një tabele vlerash për secilin. Pas kësaj zgjidh ekuacione duke u bazuar te grafikët e funksioneve që ndërtove më sipër. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ekuacionet: sin x 0 cos x 1 tan x 1 sin x 1. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Identitete dhe ekuacione trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 10.1 Këndet në të katër kuadrantet Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të Koncepte kyçe: fushës së orës mësimore Për një pikë çfarëdo P(x, y) në rrethin Nxënësi: trigonometrik ku OP formon këndin θ Gjen sin, cos dhe tan e çdo këndi në rrethin me drejtimin pozitiv të boshtit x: trigonometrik; cos x = koordinata x e pikës P Përcakton shenjat e sin, cos dhe tan për sin y = koordinata y e pikës P kënde të ndryshme në të katër kuadrantet. y tan = koeficienti këndor i OP x Rrethi trigonometrik apo rrethi njësi e ka rrezen e tij të barabartë me 1 njësi Burimet: faqe...; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Pika P e cila i korrespondon këndit θ i 0 korrespondon gjithashtu edhe këndit 360. Kjo tregon se grafikët e y sin dhe y cos janë funksione periodike me periodë 360. tan nuk përcaktohet kur θ = 70 ose kur këndi jepet si shumëfish tek i këndit të drejtë. 136 Libër mësuesi Matematika 1

139 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Këtyre vlerave të θ i korrespondojnë asimptotat e grafikut të funksionit y tan Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Për një pikë çfarëdo P(x, y) në rrethin trigonometrik ku OP formon këndin θ me drejtimin pozitiv të boshtit x: cos x = koordinata x e pikës P sin y = koordinata y e pikës P y tan = koeficienti këndor i OP x Rrethi trigonometrik apo rrethi njësi e ka rrezen e tij të barabartë me 1 njësi Për të përcaktuar nëse raportet trigonometrike janë pozitive apo negative mund të përdoren kuadrantet. Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë vlerat trigonometrike në radhë të parë duke u bazuar te rrethi trigonometrik dhe jo thjesht në mënyrë riprodhuese mekanike. Prezanto në tabelë Shembullin 1. Ndërto një rreth trigonometrik dhe nxiti nxënësit që ta përdorin për t iu përgjigjur kërkesave të ushtrimit. Sqaroji nxënësit për kahun pozitiv dhe kahun negativ në rrethin trigonometrik. Puno me klasën ushtrimet 1, dhe 3. Jepu kohë të skicojnë ata vet grafikët e tyre me anë të një tabele vlerash për secilin. Prezanto në tabelë Shembullin për të sqaruar vlerat e tangjentit të këndit me anë të rrethit trigonometrik. U thuaj nxënësve që vlerat e tangjentit të një këndi mund t i gjejnë edhe si raport i sinusit me kosinusin e atij këndi. Prezanto në tabelë Shembullin 3 për të arsyetuar shenjën e vlerave trigonometrike në të katër kuadrantet. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur tipa ushtrimesh për të gjitha çështjet e trajtuara në mësim. Kontrollo punët e nxënësve për të parë saktësinë dhe shkallën e përvetësimit të njohurive të marra. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 6. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 137

140 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Identitete dhe ekuacione trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 10. Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen vlerat trigonometrike sin, cos dhe tan të këndeve 30, 45 dhe 60 duke u bazuar në një trekëndësh kënddrejtë me katete 1 njësi dhe 1 njësi; Gjen vlerat trigonometrike të këndeve plotësuese, shtuese, me shumë 360. Me diferencë 180. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: sin30 cos30, sin , cos , sin , cos Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: sin 180 tan 180 cos 180 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese sin, cos180 0 tan, sin180 0 cos, tan 180 cos sin tan Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Mund të gjenden sin, cos dhe tan i këndeve 30, 45 dhe 60 duke përdorur trekëndësha. Shqyrto një trekëndësh barabrinjës ABC me gjatësi të brinjëve cm. Ndërto një pingule nga kulmi A që pret BC në pikën D. Zbato raportet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë ABD. Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit i kuptojnë raportet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë. Prezanto në tabelë Shembullin 5. Ndërto një rreth trigonometrik dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë se këndi 10 dhe 150 kanë të njëjtën pikë korresponduese në rrethin trigonometrik. Sqaroji nxënësit për kahun pozitiv dhe kahun negativ në rrethin trigonometrik. Puno me klasën ushtrimin 1 dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë gjetjen e vlerës përkatëse dhe jo thjesht të thonë një numër. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet a) cos 135 b) tan ( 60 ) c) cos 330 d) cos 40 e) cos ( 300 ) f) sin Libër mësuesi Matematika 1

141 Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Identitete dhe ekuacione trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 10.3 Identitete trigonometrike Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Përdor identitetin themelor të trigonometrisë për të gjetur vlerat trigonometrike të këndeve të ndryshme; Përcakton shenjën e vlerave trigonometrike në të katër kuadrantet. Vërteton identitete trigonometrike. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Për çdo vlerë të këndit θ, sin cos 1. Për çdo vlerë të θ të tillë që cos 0, sin tan cos Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i një rrethi me rreze r dhe qendër në origjinën e koordinatave është x y r Organizimi i orës së mësimit: Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Për çdo vlerë të këndit θ, sin cos 1. sin Për çdo vlerë të θ të tillë që cos 0, tan cos Prezanto në tabelë Shembullin 6. Sqaroji nxënësit për çdo hap që ka arsyetim në mënyrë që nxënësi të krijojë ide të qarta për transformimet identike në trigonometri. Për pikën c) supozohet që cos 0. Libër mësuesi Matematika 1 139

142 Pas kësaj përforco Shembullin me punë të pavarur ushtrimin 1. Prezanto në tabelë Shembullin 7, duke i udhëzuar se kur duhet të vërtetosh një identitet si ky mund të bazohesh te identitete themelore siç është edhe sin cos 1. Puno me klasën ushtrimin 5.a) dhe 5.b). Prezanto në tabelë Shembullin 8 dhe thekso faktin që ka shumë rëndësi në cilin kuadrant ndodhet këndi për të vendosur shenjën e vlerës trigonometrike përkatëse. Puno me klasën ushtrimin 7 dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë gjetjen e vlerës përkatëse dhe jo thjesht të thonë një numër. Prezanto në tabelë Shembullin 9. Puno me klasën ushtrimin 10.a) Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 4. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7, 8 dhe 11 libri i nxënësit Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Identitete dhe ekuacione trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 10.4 Ekuacione të thjeshta trigonometrike Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh ekuacione trigonometrike të tipit sin k, cos k kur 1k 1. Zgjidh ekuacione trigonometrike të tipit tan p për çdo vlerë të p. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Ekuacionet sin k dhe cos k kanë zgjidhje vetëm kur 1k 1. Ekuacioni tan p ka zgjidhje për çdo vlerë të p. Kur përdor në makinën llogaritëse funksione trigonometrike të anasjella, këndi që përftohet quhet vlerë kryesore e këndit. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafikët e y sin dhe y cos kanë vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale Libër mësuesi Matematika 1

143 Organizimi i orës së mësimit: Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Ekuacionet sin k dhe cos k kanë zgjidhje vetëm kur 1k 1. Ekuacioni tan p ka zgjidhje për çdo vlerë të p. Grafiku i y tan nuk ka as vlerë minimale dhe as vlerë maksimale. Kur përdor funksionin trigonometrik të anasjellë në makinën llogaritëse, këndi që shfaqet në ekranin e makinës llogaritëse quhet vlerë kryesore e këndit. Prezanto në tabelë Shembullin 10. Sqaroji nxënësit për çdo hap që ka arsyetim në mënyrë që nxënësi të krijojë ide të qarta për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Pas kësaj përforco Shembullin me punë të pavarur ushtrimin 3.a), d), g). Prezanto në tabelë Shembullin 11, duke i udhëzuar që të arsyetojnë duke u bazuar në rrethin trigonometrik ose në grafikun e y sin xose y cos x. Puno me klasën ushtrimin 5.a) dhe 5.b). Prezanto në tabelë Shembullin 1 dhe diskuto me nxënësit gabimet e mundshme që bëhen gjatë zgjidhjes së tyre. Puno me klasën ushtrimin 4.a), b), c) dhe d) dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë duke u bazuar te grafiku i funksioneve përkatëse. Prezanto në tabelë Shembullin 13. Puno me klasën ushtrimin 7. Kërko nga nxënësit që të arsyetojnë për të gjetur gabimet në të dy rastet. Pastaj jepu zgjidhjen e saktë. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin. 1. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 6, 8 dhe 10 libri i nxënësit Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 141

144 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Identitete dhe ekuacione trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 10.5 Ekuacione dhe identitete Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Zgjidh ekuacione trigonometrike që përftojnë ekuacione kuadratike Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione kuadratike Organizimi i orës së mësimit: Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Rikujto me nxënësit mënyrën e faktorizimit të një ekuacioni kuadratik. Prezanto në tabelë Shembullin 15. Sqaroji nxënësit për çdo hap që ka lidhje me faktorizimin, pastaj kërko që nxënësit të çojnë deri në fund zgjidhjet e ekuacioneve trigonometrike të formuara. Pas kësaj përforco Shembullin me punë të pavarur ushtrimet 5, 6 dhe 7. Zhvillo në tabelë Shembullin 16. Argumento me nxënësit rastet kur ekuacioni trigonometrik nuk ka zgjidhje. Puno me klasën ushtrimin 8 dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë duke u bazuar te gjetja e dallorit për të përcaktuar numrin e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik të formuar. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 3, 4 dhe 9 libri i nxënësit Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

145 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Vektorë trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 11.1 Vektorë Situata e të nxënit Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen vektorin rezultant me anë të rregullës së trekëndëshit dhe/ose të paralelogramit; Zgjidh problema gjeometrie me anë të vektorëve. Burimet: faqe...; Organizimi i orës së mësimit: Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një vektor ka dy elemente përbërëse gjatësinë dhe drejtimin. Koncepte kyçe: Një vektor ka dy elemente përbërëse gjatësinë dhe drejtimin. Një vektor mund të përfaqësohet nga një segment drejtvizor i orientuar. Për të mbledhur dy vektorë përdoret rregulla e trekëndëshit: Të zbresësh një vektor do të thotë të mbledhësh një vektor negativ Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione kuadratike Një vektor mund të përfaqësohet nga një segment drejtvizor i orientuar. Për të mbledhur dy vektorë përdoret rregulla e trekëndëshit. Të zbresësh një vektor do të thotë të mbledhësh një vektor negativ : Çdo vektor paralel me një vektor të dhënë a mund të shkruhet në trajtën λa, ku λ është një numër i ndryshëm nga zero. Prezanto në tabelë Shembullin 1, dhe 3,dhe kërko që nxënësit të praktikojnë gjetjen e vektorit rezultant sipas rregullës së trekëndëshit, rregullës së paralelogramit dhe zbritjen e dy vektorëve me anë të ushtrimit 1. Prezanto Shembullin 4 dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë që barazimi a= kb nënkupton që a është paralel me b. Pas kësaj diskuto me gojë zgjidhjet e ushtrimit 8. Zhvillo në tabelë Shembullin 5. Thekso kuptimin e ndarjes së segmentit AB në raportin 3 me Puno me klasën ushtrimin 7. OB a b OP a b AP a a b 8 8 Libër mësuesi Matematika 1 143

146 Ndaje klasën në grupe të për ushtrimin 9 dhe kontrollo punët e tyre për të parë arritjet e nxënësve. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 6 dhe 10 libri i nxënësit Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Vektorë trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 11. Paraqitja e vektorëve me koordinata Situata e të nxënit Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kryen veprime aritmetike me vektorë shtyllë; Zbaton kushtin e paralelizmit të dy vektorëve të dhënë në formë shtyllë. Burimet: faqe...; Organizimi i orës së mësimit: Koncepte kyçe: Zhvendosje vektor shtyllë Të shumëzosh një vektor shtyllë me një numër λ do të thotë të shumëzosh secilën koordinatë p p të tij me këtë numër: q q Të mbledhësh dy vektorë shtyllë, do të thotë të mbledhësh koordinatat x dhe koordinatat p r p r y : q s q s Një vektor njësi e ka gjatësinë 1. Çdo vektor me dy koordinata mund të shprehet në trajtën pi qj Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione kuadratike Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: 144 Libër mësuesi Matematika 1

147 Të shumëzosh një vektor shtyllë me një numër λ do të thotë të shumëzosh secilën koordinatë p p të tij me këtë numër: q q Të mbledhësh dy vektorë shtyllë, do të thotë të mbledhësh koordinatat x dhe koordinatat p r p r y : q s q s Një vektor njësi e ka gjatësinë 1. Çdo vektor me dy koordinata mund të shprehet në trajtën pi qj. Prezanto në tabelë Shembullin 6 dhe kërko që nxënësit të praktikojnë aritmetikën e vektorëve me koordinata. Prezanto Shembullin 7 dhe thekso se kjo paraqitje ndryshe quhet zbërthimi i vektorëve sipas vektorëve njësi të planit koordinativ. Zhvillo në tabelë Shembullin 9. Thekso se kur mbledh vektorët me koordinata vektori rezultant ka për koordinata shumën e koordinatave respektive. Ndaje klasën në grupe të për ushtrimin 3 dhe kontrollo punët e tyre për të parë arritjet e deritanishme të nxënësve. Puno me klasën ushtrimin 4. Duke ditur se a i 5j dhe b 3i j, gjej: a λ, në qoftë se a + λb është paralel me vektorin i i + 5j + 3 λi λj = ki + 0j ( + 3 λ )i + ( 5 λ )j = ki 5 λ = 0. Pra, λ = 5. Njëlloj arsyeto për pikën b.) Prezanto Shembullin 10 dhe sigurohu që nxënësit kryejnë aritmetikën e vektorëve me vektorë shtyllë. Ndaje klasën në grupe të për ushtrimin 6 dhe kontrollo punët e tyre për të parë nëse e zotërojnë aritmetikën e vektorëve me vektorë shtyllë. Puno me klasën ushtrimin 10 Vektori rezultant i dy vektorëve a 3i j dhe b pi pj është paralel me vektorin c i 3j. Gjej: a vlerën e p b vektorin rezultant të vektorëve a dhe b. 3 i ab p p j 3 p k abkc. Zgjidhja e sistemit jep vlerën e p. p 3k Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë. Vlerësimi: Libër mësuesi Matematika 1 145

148 Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7 dhe 8 libri i nxënësit Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Vektorë trigonometrike Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit Situata e të nxënit Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen gjatësinë e një vektori me koordinata të dhëna; Gjen këndin që formon një vektor me boshtin x ose me boshtin y; Gjen koordinatat e vektorit njësi me drejtim të njëjtë me një vektor të dhënë. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: x Për vektorin a xi yj gjatësia e y vektorit jepet me formulën: a x y Një vektor njësi me drejtim të njëjtë me vektorin e dhënë a është vektori a a. Trajta gjatësi drejtim e vektorit Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Formula themelore e trigonometrisë. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Për vektorin x a xi yj gjatësia e vektorit jepet me formulën: y a x y Një vektor njësi me drejtim të njëjtë me vektorin e dhënë a është vektori a a. Një vektor njësi me drejtim të njëjtë me vektorin a zakonisht shënohet me â. Një vektor mund të përcaktohet në qoftë se njihet gjatësia e tij, dhe këndi që formon vektori me njërin prej boshteve koordinative. Kjo trajtë quhet trajta gjatësi drejtim e vektorit. Prezanto në tabelë Shembullin 11 dhe sigurohu që nxënësit e kanë të qartë kuptimin e vektorit njësi me drejtim të njëjtë me vektorin a. 146 Libër mësuesi Matematika 1

149 Jep si punë të pavarur ushtrimin 3 për të përforcuar Shembullin 11 dhe kontrollo saktësinë e veprimeve të nxënësve. Prezanto Shembullin 1 dhe 13 dhe thekso se për të gjetur këndin që formon një vektor me boshtin x ose y mjafton që të gjesh një nga vlerat trigonometrike sin, cos ose tan. Jep si punë të pavarur ushtrimet 6 dhe 8 Zhvillo me klasën ushtrimin cos 1, që nga cos. p 10 dhe q Shpjegoju nxënësve me vlerën e sinusit pozitiv ka dy mundësi për këndin. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7 dhe 10 libri i nxënësit Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koeficientin këndor të prerëses. Përafron koeficientin këndor të tangjentes me atë të prerëses. Burimet: faqe...; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Koncepte kyçe: Koeficienti këndor i një vije në një pikë të dhënë të saj përcaktohet si koeficienti këndor i tangjentes ndaj vijës në këtë pikë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës Libër mësuesi Matematika 1 147

150 Koeficienti këndor i një vije ndryshon në mënyrë konstante. Për të gjetur koeficientin këndor të një vije në çdo pikë të saj, përdoret një tangjente. Koeficienti këndor i një vije në një pikë të dhënë të saj përcaktohet si koeficienti këndor i tangjentes ndaj vijës në këtë pikë. Shoqëroji shpjegimet me ilustrimet gjeometrike përkatëse. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te a)gjetja e koeficientit këndor të tangjentes bazuar te të dhënat nga grafiku. b) gjetja e koeficienteve këndore të prerëseve bazuar te pikat e dhëna. c) krahasimi i përfundimeve të marra dhe konkluzione: Kur h bëhet gjithnjë e më afër me 0, + h bëhet gjithnjë e më afër me, pra koeficienti këndor i kordës është afër me koeficientin këndor të tangjentes në pikën A. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë koeficientet këndore të drejtëzave dhe përafrojnë për të gjetur koeficientin e tangjentes në pikën A të vijës. Reflekto Në fund të orës mësimore diskuto me nxënësit ushtrimin 4. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë koeficientet këndore të prerëseve dhe përafrimin me koeficientin e tangjentes. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1. Derivati Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koeficientin këndor të prerëses. Përafron koeficientin këndor të tangjentes me atë të prerëses. Koncepte kyçe: Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, i vijës f ' x y f x shënohet f ' f x h f x lim h0 h x ose dy dx 148 Libër mësuesi Matematika 1

151 Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, mund të përdoret për të gjetur koeficientin këndor të vijës për çdo vlerë të x. Burimet: faqe...; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës; Koeficienti këndor i drejtëzës; Kubi i shumës së dy kufizave Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, i vijës Kur h bëhet i vogël, koeficienti këndor i AB është afër me koeficientin këndor të tangjentes së vijës në A. Kjo do të thotë se koeficienti këndor i vijës në A është limit i kësaj shprehjeje kur vlera e h tenton në zero. Kjo mund të përdoret për të përcaktuar funksionin e koeficientit këndor. y f x shënohet f ' x ose dy f xh f x f ' x lim dx h0 h Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, mund të përdoret për të gjetur koeficientin këndor të vijës për çdo vlerë të x. Shoqëroji shpjegimet me ilustrimet gjeometrike përkatëse. Prezanto në tabelë Shembullin duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit sipas përkufizimit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e kuptojnë formimin e funksionit të koeficientit këndor. Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit y = x sipas përkufizimit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e kuptojnë formimin e funksionit të koeficientit këndor. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 4. k AB h h Jep si punë të pavarur ushtrimet 5 dhe 6 dhe kontrollo punët për të parë nëse nxënësit e përvetësuan mënyrën e gjetjes së derivatit sipas përkufizimit. Reflekto Në fund të orës mësimore diskuto me nxënësit ushtrimin 1 Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë derivatin e funksioneve të thjeshta sipas përkufizimit. Vlerësimi: h Libër mësuesi Matematika 1 149

152 Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.3 Derivati i Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: n Gjen derivatin e f x x n Gjen derivatin e f x ax Burimet: faqe...; n x Koncepte kyçe: Për çdo vlerë reale të n, dhe për çdo konstante a : n n Në qoftë se f x x f ' x n x Në qoftë se y atëherë 1 n x atëherë n Në qoftë se f x ax Në qoftë se y dy n1 n x dx n f ' x anx atëherë 1 n ax atëherë dy an x dx n1 Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Për çdo vlerë reale të n, dhe për çdo konstante a : n n 1 Në qoftë se f x x atëherë f ' x n x Në qoftë se y n x atëherë dy n x dx n1 n n 1 Në qoftë se f x ax atëherë f ' x anx Në qoftë se y n ax atëherë dy an x dx. n1 Të dy simbolet f ' x dhe dy dy tregojnë derivimin. Shënimi përdoret zakonisht kur një dx dx shprehje është dhënë në formën y = Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit fuqi sipas formulës 150 Libër mësuesi Matematika 1

153 Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi formulën e derivimit të funksionit fuqi. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit y =...sipas formulës. Sqaroji nxënësit që shpesh herë është më mirë të thjeshtosh funksionin pastaj të derivosh. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zotërojnë vetitë e fuqive kur bëhet e nevojshme për të thjeshtuar funksionin. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 4. Udhëzim: Funksioni i dhënë mund të sillet në formën: 3 1 y x. Pastaj derivo këtë funksion. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione fuqi dhe kërko nga nxënësit derivimin e tyre me formulë. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë derivatin e funksioneve të thjeshta sipas përkufizimit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 3. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.4 Derivati i funksioneve kuadratike Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen derivatin e funksionit kuadratik. Koncepte kyçe: Derivati i vijës kuadratike me ekuacion dy y ax bx c, është ax b dx Derivati i një funksioni kuadratik është një funksion drejtvizor me koeficient këndor a. Burimet: faqe...; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive Libër mësuesi Matematika 1 151

154 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: dy Derivati i vijës kuadratike me ekuacion y ax bx c, është ax b dx Derivati i një funksioni kuadratik është një funksion drejtvizor me koeficient këndor a. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit kuadratik Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi formulën e derivimit të funksionit kuadratik y ax bx c. Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit y ax bx c. sipas formulës. Sqaroji nxënësit që derivati i funksionit në një pikë të vijës tregon koeficientin këndor të tangjentes në atë pikë të vijës. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin. Sigurohu që të gjithë nxënësit kanë shkathtësi në gjetjen e derivatit të funksionit kuadratik dhe dhe e dinë kuptimin gjeometrik të derivatit. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 7. Udhëzim 7 c): Në pikën ku funksioni derivat y pret boshtin x kemi që pika e ka ordinatën zero, pra y = 0. Dhe në pikën ku parabola ka kulmin ka tangjente paralel me boshtin x, pra koeficienti i kësaj tangjenteje është zero. D.m.th. y =0. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione kuadratike dhe kërko nga nxënësit derivimin e tyre me formulë. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë derivatin e funksioneve të thjeshta sipas përkufizimit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4 dhe 5. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

155 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.5 Derivati i funksioneve me dy ose më shumë kufiza Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen derivatin e një funksioni në formë shume. Interpreton kuptimin gjeometrik të derivatit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Në qoftë se y f x g x, atëherë dy f ' x g' x dx Kjo quhet ndryshe rregulla e derivatit të shumës dhe mund të shprehet shkurt: derivati i shumës së dy funksioneve është sa shuma e derivateve. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Veprime me rrënjë; Zbërthimi binomial Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Rregulla e derivimit të ax n mund të përdoret për të derivuar funksione me dy ose më shumë kufiza. Për këtë duhet të shkruash çdo kufizë në formën ax n, ku a është një konstante dhe n është një numër real. Pastaj mund të derivosh kufizat një nga një. dy dx Në qoftë se y f x g x, atëherë f ' x g' x Kjo quhet ndryshe rregulla e derivatit të shumës dhe mund të shprehet shkurt: derivati i shumës së dy funksioneve është sa shuma e derivateve. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit kuadratik Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi formulën e derivimit të funksionit në formë shume ose diference funksionesh që mund të kthehen në formën ax n. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke shpjeguar qartësisht rastet kur eksponenti i fuqisë është numër thyesor. Pas kësaj zhvillo me klasën ushtrimin 4. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të saktë me Libër mësuesi Matematika 1 153

156 transformimin e funksioneve dhe bëj kujdes te veprimet me rrënjë. Ndaje klasën në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 5. Diskuto në tabelë zgjidhjet e nxënësve dhe rikujto edhe njëherë me ta kuptimin gjeometrik të derivatit. Zhvillo me nxënësit ushtrimin x C x C x f x x x f ' x x Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në formën ax n dhe kërko nga nxënësit derivimin e tyre me formulë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimin 6. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen koeficientin këndor të prerëses. Përafron koeficientin këndor të tangjentes me atë të prerëses. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Tangjentja ndaj vijës, ' koordinata y f x në pikën me a f a ka ekuacion y f a f a x a. Pingulja ndaj vijës koordinata y f x në pikën me a, f a ka ekuacion 1 y f a x a f '. a Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Ekuacioni i drejtëzës me koeficientin këndor që kalon nëpër pikën, y y m x x. x y është Libër mësuesi Matematika 1

157 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Në vijën me ekuacion të barabartë me a është Tangjentja ndaj vijës y f x, koeficienti këndor i tangjentes në një pikë A me koordinatë x f ' a. y f x në pikën me koordinata, ' y f a f a x a a f a ka ekuacion Pingulja e një vije në një pikë A të saj është drejtëza që kalon nëpër pikën A dhe është pingule me tangjenten e vijës në pikën A. Koeficienti këndor i pingules është Pingulja ndaj vijës 1 y f a x a f '. a 1 f ' a y f x në pikën me koordinata, a f a ka ekuacion Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e ekuacionit të tangjentes në një pikë të vijës. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të gjejnë ekuacionin e tangjentes në një pikë të një vije të dhënë. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e ekuacionit të pingules me tangjenten në një pikë të vijës. Ndaji nxënësit në grupe të për zgjidhjen e ushtrimit dhe diskuto me nxënës zgjidhjet në tabelë. Pas kësaj zhvillo me klasën ushtrimin 4. Orientoji nxënësit për radhën e punës. Gjen: '0 0 '1 k 1. f ' x ; f ; k ; f ; T T Zhvillo me klasën ushtrimin sfidë. Udhëzoji nxënësit që në këtë rast do të ishte mirë të y 4x 1 formoje sistemin. Meqë drejtëza dhe parabola janë tangjente midis tyre, y mx 8 atëherë sistemi ka vetëm një zgjidhje. Për këtë vendos kushtin Dallori = 0. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në n formën ax dhe kërko nga nxënësit të gjejnë ekuacionin e tangjentes dhe pingules në një pikë të vijës. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimin 6. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 155

158 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Studion monotoninë e funksionit me anë të studimit të shenjës së derivatit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Funksioni f x është rritës në segmentin ab, në qoftë se të x të tillë që a x b. f ' x 0 për çdo vlerë Funksioni f x është zbritës në segmentin ab, në qoftë se çdo vlerë të x të tillë që a x b. f ' x 0 për Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Studimi i shenjës së funksionit kuadratik dhe linear. Zgjidhja e inekuacioneve Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Funksioni ab, në qoftë se që a x b. Funksioni që a x b. f x është rritës në segmentin f x është zbritës në segmentin, ab në qoftë se f ' x 0 për çdo vlerë të x të tillë f ' x 0 për çdo vlerë të x të tillë Prezanto në tabelë Shembullin 1 dhe Shembullin 13 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për studimin e monotonisë së një funksioni polinom. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të studiojnë shenjën e një funksioni binom ose trinom. Mund t u prezantosh studimin e shenjës me tabelë, me pikë provë ose me grafik. Zhvillo me klasën ushtrimin 3. Orientoji nxënësit për radhën e punës. Gjen: f ' x 6x 3; studion shenjën e derivatit me një nga mënyrat që dinë nxënësit; përgjigje. Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Udhëzoji nxënësit që të gjejnë y dhe në këtë rast do të ishte mirë të formoje inekuacionin e dyfishtë 1 x 1; p x p p. Meqë y duhet pozitiv që funksioni të jetë monoton rritës, atëherë vendos kushtet duke formuar sistemin 156 Libër mësuesi Matematika 1

159 p 0. Pra p. p 0 Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në n formën ax dhe kërko nga nxënësit të studiojnë monotoninë e funksioneve përkatëse. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.8 Derivati i rendit të dytë Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Studion monotoninë e funksionit me anë të studimit të shenjës së derivatit. Burimet: faqe...; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Koncepte kyçe: Shpejtësia e ndryshimit të funksionit të koeficientit këndor quhet derivat i rendit të dytë. d y Zakonisht ai shënohet si f " x ose dx. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Studimi i shenjës së funksionit kuadratik dhe linear. Zgjidhja e inekuacioneve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Shpejtësia e ndryshimit të funksionit të koeficientit këndor quhet derivat i rendit të dytë. Zakonisht ai shënohet si f " x. d y Duke derivuar dy herë një funksion y f x fitohet derivati i rendit të dytë, f " x ose dx. Prezanto në tabelë Shembullin 14 dhe Shembullin 15 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të rendit të dytë dhe sigurohu që nxënësit arrijnë të punojnë në mënyrë të pavarur modele të ngjashme. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe Libër mësuesi Matematika 1 157

160 dhe diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Orientoji nxënësit për radhën e punës. Gjen: f ' x 3px 6px ; gjen f " x 6px6p ; f " x 1; 1 p 6 p 1; p 0.5 Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në n formën ax dhe kërko nga nxënësit të gjejnë derivatin e rendit të dytë. Kontrollo përgjigjet e nxënësve për gabime të mundshme. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Derivati Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 1.9 Pikat stacionare Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen pikat stacionare. Përcakton llojin e pikave stacionare. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Çdo pikë në vijën Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese y f x ku f ' x 0 quhet pikë stacionare. Në qoftë se funksioni f x ka një pikë stacionare kur x a, atëherë: Në qoftë se f " a 0, pika është një minimum lokal Në qoftë se f " a 0, pika është një maksimum lokal Në qoftë se f " a 0, pika mund të jetë një minimum lokal, një maksimum lokal ose një pikë infleksioni. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Studimi i shenjës së funksionit kuadratik dhe linear. Zgjidhja e inekuacioneve 158 Libër mësuesi Matematika 1

161 Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Një pikë stacionare në një vijë është një pikë në të cilën vija e ka koeficientin këndor zero. Një pike stacionare mund të jetë ose një maksimum lokal, ose një minimum lokal ose një pikë infleksioni. Duke shqyrtuar koeficientin këndor të një vije në të dyja anët e një pike stacionare mund të përcaktosh nëse pika stacionare është një pikë maksimumi lokal, një pikë minimumi lokal ose një pikë infleksioni. Në qoftë se funksioni f x ka një pikë stacionare kur x a, atëherë: Në qoftë se f " a 0, pika është një minimum lokal Në qoftë se f " a 0, pika është një maksimum lokal f " a 0, pika mund të jetë një minimum lokal, një maksimum lokal ose një pikë Në qoftë se infleksioni. Që të përcaktosh natyrën e saj duhet të shihen shenjat e f (x) në të dyja anët e kësaj pike. Prezanto në tabelë Shembullin 17 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e pikave stacionare dhe llojin e tyre. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe dhe diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Prezanto në tabelë Shembullin 18 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e pikave stacionare dhe llojin e tyre dhe ekuacionet e asimptotave të funksionit. Zhvillo me klasën ushtrimin 3. Orientoji nxënësit për radhën e punës dhe sigurohu që e kanë kuptuar gjetjen e pikave stacionare dhe përcaktimin e llojit të tyre. Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 4 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. 3 Zhvillo me klasën ushtrimin 7. y' 4x 9x 10x 3. Shihet që x = 1 është rrënjë e polinomit, kështu që ai plotpjesëtohet me x 1. Zbërthe në faktorë y dhe studio llojin e pikave stacionare. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione dhe kërko nga nxënësit të gjejnë pikat stacionare të tyre. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 159

162 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Integrali Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 13.1 Integrali i Situata e të nxënit Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen shprehjen e y kur njeh Gjen shprehjen e y kur njeh Gjen shprehjen e një polinomi kur njeh derivatin e tij. Burimet: faqe...; n x Koncepte kyçe: Integrimi është proces i anasjellë i derivimit. dy n Në qoftë se x dx, atëherë 1 n1 y x c, n 1 n 1. n 1 n1 Në qoftë se f ' x x, atëherë y x c n 1, n 1. dy n Në qoftë se kx dx, atëherë k n1 y x c, n 1 n 1. n Në qoftë se f ' x kx, atëherë k n1 y x c, n 1. n 1 Kur integron polinome, përdor rregullën e integrimit veç e veç për secilën kufizë. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Integrimi është proces i anasjellë i derivimit. Kur derivon kufizat konstante bëhen 0. Kjo do të thotë se kur derivon funksione që ndryshojnë nga njëri tjetri nga kufiza konstante, atëherë mbas derivimit janë i njëjti funksion. Për këtë arsye, kur integron është e nevojshme të shtohet një konstante integrimi në fund. Integrimi është proces i anasjellë i derivimit. dy n Në qoftë se x dx, atëherë 1 n1 y x c n 1 n 1 n1 Në qoftë se f ' x x, atëherë y x c n 1 dy n Në qoftë se kx dx, atëherë k n1 y x c n 1, n 1., n 1., n Libër mësuesi Matematika 1

163 n k n1 Në qoftë se f ' x kx, atëherë y x c, n 1. n 1 Kur integron polinome, përdor rregullën e integrimit veç e veç për secilën kufizë. Prezanto në tabelë Shembullin 1 dhe Shembullin duke shpjeguar qartësisht se si zbatohet formula e integrimit të x, ku numrin n duhet të jetë i ndryshëm nga 1. Diskuto me nxënësit pse vendoset kushti n 1? Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke u siguruar që nxënësit e kuptojnë zbatimin rregullës së integrimit të polinomit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1, dhe 3 dhe diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Orientoji nxënësit që fillimisht të hapin kllapat dhe sigurohu që e kanë kuptuar gjetjen e integralit të polinomit. Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 5 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione të thjeshta (polinome) dhe kërko nga nxënësit të gjejnë integralet e tyre. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Integrali Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 13. Integralet e pacaktuara Situata e të nxënit Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen integralin e pacaktuar të një polinomi. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: ' f x dx f x c n1 n x x dx c, n 1 n 1 f x g x dx f x dx g x dx Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Zhvillimi i binomit Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Libër mësuesi Matematika 1 161

164 Për të paraqitur integrimin përdoret simboli ' f x dx f x c n1 n x x dx c, n 1 n 1 f x g x dx f x dx g x dx Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e zgjidhjes. Sqaro me kujdes kuptimin e simbolit dx te integrali. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin rregullës së integrimit të polinomit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1,, 3 4, dhe 5. Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Orientoji nxënësit që fillimisht të ndajnë thyesën në dy thyesa dhe të zbatojnë vetitë e fuqive për ta sjellë në formën kx para se të integrojnë dhe sigurohu që e kanë kuptuar gjetjen e integralit të polinomit. Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 7, 8 dhe 9 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 14. Nga integrimi merret: se p = 4 dhe q =.5. p pqx c. Duke krahasuar del x Zhvillo me klasën ushtrimin 15. f x C C x C x Cx f x x x f x dx x x x c Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione të thjeshta (polinome) dhe kërko nga nxënësit të gjejnë integralet e tyre. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 10, 11 dhe 1 Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika Libër mësuesi Matematika 1

165 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Integrali Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 13.3 Gjetja e funksioneve Situata e të nxënit Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen funksionin kur njeh derivatin e tij dhe një pikë të funksionit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Për të gjetur konstanten e integrimit, c veprojmë si vijon: Integro funksionin. Zëvendëso vlerat (x, y) e një pike në vijë, ose vlerën e funksionit në një pikë të dhënë f x k, te funksioni i integruar. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Konstantja e integrimit mund të gjendet po qe se të është dhënë: (i) një pikë nëpër të cilën kalon vija funksionit (ii) çdo vlerë që funksioni mund ta marrë Për të gjetur konstanten e integrimit, c veprojmë si vijon: Integro funksionin. Zgjidh ekuacionin dhe gjej vlerën e c. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Zhvillimi i binomit Zëvendëso vlerat (x, y) e një pike në vijë, ose vlerën e funksionit në një pikë të dhënë f x k, te funksioni i integruar. Zgjidh ekuacionin dhe gjej vlerën e c. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zëvendësimin e f(4) = 5 për të gjetur vlerën e c. Kjo bën të mundur që funksioni f të jetë i përcaktuar. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1,, 3 dhe 4,.Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Orientoji nxënësit që fillimisht të ndajnë thyesën në dy thyesa dhe të zbatojnë vetitë e fuqive për ta sjellë në formën 6x 5x para se të integrojnë 5 41 y 4x x x c. Pas kësaj zëvendëso dhe gjej c. 1 Libër mësuesi Matematika 1 163

166 Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 7 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 dhe kërko nga nxënësit të gjejnë funksionet përkatëse. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 8 Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Integrali Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 13.4 Integrali i caktuar Situata e të nxënit Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të Koncepte kyçe: fushës së orës mësimore Në qoftë se f ' x është derivati i f x për Nxënësi: të gjitha vlerat e x në segmentin ab,, Gjen integralin e caktuar të një funksioni. atëherë integrali i caktuar përcaktohet nga b f ' x dx f b f a. a Burimet: faqe...; Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Tre hapat që ndiqen për të gjetur një integral të caktuar janë Shkruaj integralin e caktuar me kufijtë e tij, a dhe b Integro dhe shkruaj integralin në kllapa katrore. Gjej vlerën e integralit duke njehsuar f b f a. Në qoftë se f ' x është derivati i f x për të gjitha vlerat e x në segmentin, b integrali i caktuar përcaktohet nga ' f x dx f b f a. a b a ab, atëherë 164 Libër mësuesi Matematika 1

167 Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin e formulës për gjetjen e integralit të caktuar. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke u shpjeguar me ngadalë udhëzimin përkatës në libër Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin e formulës për gjetjen e integralit të caktuar dhe kërko që nxënësit të zgjidhin ekuacionin kuadratik që formohet. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1, dhe 3.Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Kujtoji nxënësit që është konstante, pra ndryshore është x. 4 44A 4 A A. A =7 ose A = Ndaje klasën në grupe për ushtrimet 5 dhe 7 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 dhe dhe kërko nga nxënësit të gjejnë vlerën e integralit të caktuar. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7 dhe 8 Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Integrali Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 13.5 Syprinat e kufizuara nga vijat Situata e të nxënit Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi kohë. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen syprinën e zonës që ndodhet midis një vije dhe boshtit x. Gjen syprinën e zonës që ndodhet midis një vije, boshtit x dhe drejtëzave x=a dhe x=b. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Syprina e zonës që ndodhet midis një vije mbi boshtin x dhe drejtëzave x = a dhe x = b jepen nga Syprina është ekuacioni i vijës. Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: b, ku y f x a ydx Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi; Grafiku i funksionit Libër mësuesi Matematika 1 165

168 Integrali i caktuar mund të përdoret për të gjetur syprinën e zonës nën një vijë. Syprina e zonës që ndodhet midis një vije mbi boshtin x dhe drejtëzave x = a dhe x = b jepen b nga Syprina ydx, ku y f x është ekuacioni i vijës. a Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin e formulës për gjetjen e syprinës së ngjyrosur me anë të integralit të caktuar. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të për të zgjidhur ushtrimin 1a. Udhëzoji nxënësit që të bëjnë një skicë të përafërt të vijës, për të kuptuar gjeometrikisht cila është zona që kërkohet për njehsimin e syprinës. Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 1b. Kujtoji nxënësit që të faktorizojnë polinomin y xx4x 1 dhe të bëjnë një skicë të përafërt që të kuptojnë anën gjeometrike të zonës që kërkohet t i njehsohet syprina. Ndaje klasën në grupe për ushtrimet 1c dhe 1d dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Zhvillo me klasën ushtrimin 7, duke iu tërhequr vëmendjen që të kuptojnë udhëzimin e dhënë në libër. ushtrimi 8. Kontrollo për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive dhe diskuto përgjigjet e nxënësve në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 dhe kërko nga nxënësit të njehsojnë syprinat e zonave që formohen. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5, 6 dhe 9 Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksioni eksponencial dhe logaritmik Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 14.1 Funksione eksponenciale Situata e të nxënit Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Skicon grafikët e funksioneve 0a 1 dhe x real. y a x, për Koncepte kyçe: x Kur a 1, f x a është një funksion rritës. Kur 0 a 1 zbritës. x, f x a është një funksion 166 Libër mësuesi Matematika 1

169 Studion vetitë e funksionit eksponencial bazuar te grafiku i tij. Burimet: faqe...; Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: x Funksionet e trajtës f x a x a, f x a Kur 1 Kur 0 a 1 x, f x a Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive ku a është konstante ( 0 a 1) quhen funksione eksponenciale. është një funksion rritës. është një funksion zbritës. Zhvillo me klasën Shembullin 1. Kërko që nxënësit t i vizatojnë në fletoren e tyre grafikët përkatës dhe të arsyetojnë rreth vetive të përbashkëta dhe dallimeve bazuar te grafiku. Bëj një skemë mbi vetitë e funksionit eksponencial për a 1 dhe për 0 a 1. Pas kësaj diskuto me klasën ushtrimin 4. Ndaji nxënësit në grupe të për ushtrimin 5 dhe kontrollo punimet e tyre. Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Rikujtoju nxënësit çdo të thotë që pikat (1; 6) dhe (4, 48) x ndodhen në grafikun e funksionit y ka. Pyeti nxënësit nëse x zmadhohet me 1 njësi çfarë ndodh me vlerat përkatëse të y? Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë.( y 3 x ) ( vlerat e y përgjysmohen) Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : y 4 x dhe kërko nga nxënësit të skicojnë grafikun me anë të një tabele vlerash dhe të interpretojnë vetitë e tyre. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5, dhe 7 Matematika 1. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. x 3 y 4, Libër mësuesi Matematika 1 167

170 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksioni eksponencial dhe logaritmik Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 14. Funksioni y e x Situata e të nxënit Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Skicon grafikët e funksioneve y e x, x real. Gjen derivatin e funksionit eksponencial x kx y e dhe y e Burimet: faqe...; Organizimi i orës së mësimit: Koncepte kyçe: Për të gjitha vlerat reale të x: x Në qoftë se f x e atëherë ' f x e x dy x Në qoftë se y e atëherë e dx Për të gjitha vlerat reale të x dhe për çdo konstante k: kx Në qoftë se f x e f ' x ke Në qoftë se Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Për të gjitha vlerat reale të x: x Në qoftë se f x e atëherë ' Në qoftë se y x e atëherë dy e dx f x e Për të gjitha vlerat reale të x dhe për çdo konstante k: kx Në qoftë se f x e atëherë ' x x f x ke kx y atëherë kx e atëherë dy ke dx Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Derivati; Vetitë e fuqive kx dy kx Në qoftë se y e atëherë ke dx Prezanto Shembullin 3 duke shpjeguar të gjitha hapat e gjetjes së derivatit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimet 6 dhe 7. Nxirr nxënës në tabelë për të prezantuar zgjidhjet e tyre. Prezanto Shembullin 4 duke kërkuar që nxënësit të skicojnë grafikët dhe të diskutojnë vetitë e funksioneve eksponenciale bazuar te grafikët e tyre. Ndaji nxënësit në grupe të për ushtrimin 3 dhe kontrollo punimet e tyre. Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Kërko nga nxënësit të gjejnë A dhe C dhe duke parë udhëzimin kx x kx 168 Libër mësuesi Matematika 1

171 kërko nga nxënësit të shpjegojnë shenjën e koeficientit b, i cili ka lidhje me monotoninë e funksionit eksponencial. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : y e x dhe kërko nga nxënësit të skicojnë grafikun me anë të një tabele vlerash dhe të interpretojnë vetitë e tyre. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 8 Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. y x e, Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksioni eksponencial dhe logaritmik Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: Situata e të nxënit Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Gjen log a n si veprim i anasjellë i eksponencialit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: log a n x është i njëvlershëm me 0 a 1 Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve x a n Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Eksponenciali; Vetitë e fuqive Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: I anasjelli i funksionit eksponencial quhet funksion logaritmik. x log a n x është i njëvlershëm me a n 0 a 1 Logaritmi me bazë e quhet ndryshe logaritëm natyror. Kjo është arsyeja se pse në makinën llogaritëse tasti përkatës etiketohet me ln. Prezanto Shembullin 6 dhe 7 duke shpjeguar të gjitha hapat që tregojnë lidhjen midis logaritmit dhe eksponencialit. Libër mësuesi Matematika 1 169

172 Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimet 1,, 3 dhe 4. Nxirr nxënës në tabelë për të prezantuar zgjidhjet e tyre. 5 6 Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Meqë 50 sjell që 5 log Kërko nga nxënësit të arsyetojnë në mënyrë të ngjashme për log 4 Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : log3 81, log515, log4 64 log, 1 3 1, log3 7 Kërko njehsimin e tyre nga nxënësit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 4 Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Planifikimi i orës mësimore Tematika: Funksioni eksponencial dhe logaritmik Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 14.4 Vetitë e logaritmeve Situata e të nxënit Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Njeh dhe zbaton vetitë e logaritmeve në situate të thjeshta. Zgjidh ekuacione logaritmike të thjeshta. log x log y log xy a a a Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: log a x loga y loga xy x0, y 0 (vetia e shumëzimit) x log a xloga ylog a (vetia e pjesëtimit) y k log x klog x (vetia e fuqisë) a a 1 1 log a logax loga x (vetia e fuqisë x kur k = 1) log a a 1 a0, a 1 ; log 1 0 a0, a 1 a Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Eksponenciali; Vetitë e fuqive Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: 170 Libër mësuesi Matematika 1

173 Veti te logaritmeve: log x log y log xy x 0, y 0 a a a (vetia e shumëzimit) x log a xloga ylog a (vetia e pjesëtimit) y k log x klog x (vetia e fuqisë) a a 1 1 log a logax loga x (vetia e fuqisë kur k = 1) x log a a 1 a0, a 1 log 1 0 a a0, a 1 Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke shpjeguar qartësisht se si shkruhet një shprehje me një logaritëm të vetëm. Pas kësaj jepu nxënësve si punë të pavarur pjesë nga ushtrimet 1 dhe. Kontrollo rezultatet e punës për të parë a janë kuptuar drejtë vetitë e logaritmeve. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke i sqaruar nxënësit që ky rast është veprim i anasjellë i të parit. Pra shprehja duhet zbërthyer me anë të logaritmeve. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimet 1,, 3 dhe 4.. Nxirr nxënës në tabelë për të prezantuar zgjidhjet e tyre. Pas kësaj jepu nxënësve si punë të pavarur pjesë nga ushtrimi 3. Kontrollo rezultatet e punës për të parë a është kuptuar drejtë ky zbatim. Zhvillo me klasën Shembullin 1 dhe 13. Sqaroji me ngadalë hapat për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike duke theksuar vetitë e logaritmit. Gjithashtu shpjego rastet kur zgjidhja nuk pranohet (rastet kur vlera e gjetur mund të jetë vlerë e pa lejuar) Pas kësaj jepu nxënësve si punë të pavarur pjesë nga ushtrimi 4. Kontrollo rezultatet e punës për të parë a është kuptuar drejt zgjidhja e një ekuacioni logaritmik. Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Udhëzoji nxënësit se si duhet të formojnë një sistem ekuacionesh dhe kushtet që duhen vendosur për të panjohurat a dhe b. ab13 a b 36 a 0, b 0 P. a = 9 dhe b = 4. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : 3 log 381 log39 log 515 log55 log log log 3 7 Kërko njehsimin e tyre nga nxënësit. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 171

174 Planifikimi i orës mësimore Tematika: Statistika dhe probabiliteti Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII Tema mësimore: 15. Zgjedhja Situata e të nxënit Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: Kupton se ç është një popullim, një zgjedhje dhe një regjistrim. Dallon përparësitë dhe mangësitë e secilit. Burimet: faqe...; Koncepte kyçe: Një zgjedhje e rastit e thjeshtë me madhësi n është ajo në të cilën çdo zgjedhje me madhësi n i ka shanset e barabarta që të zgjidhet. Në zgjedhjen sistematike, individët e kërkuar zgjidhen nga një listë e renditur në intervale të rregullta. Në zgjedhjen e shtresëzuar, popullimi ndahet në shtresa dy nga dy të papajtueshme (për shembull, meshkuj dhe femra) dhe pastaj nga secila shtresë bëhet një zgjedhje e rastit. Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Për të realizuar një zgjedhje të rastit ka tri metoda: Zgjedhja e rastit e thjeshtë. Zgjedhja sistematike. Zgjedhja e shtresëzuar. Në zgjedhjen sistematike, individët e kërkuar zgjidhen nga një listë e renditur në intervale të rregullta. Në zgjedhjen e shtresëzuar, popullimi ndahet në shtresa dy nga dy të papajtueshme (për shembull, meshkuj dhe femra) dhe pastaj nga secila shtresë bëhet një zgjedhje e rastit. Prezanto në tabelë Shembullin duke shpjeguar qartësisht se si do të gjejnë nxënësit një zgjedhje të rastit të thjeshtë të sportdashësve duke përdorur një makinë llogaritëse ose një gjenerator të numrave të rastit. Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke shpjeguar qartësisht se si do të bëjnë nxënësit zgjedhjen e shtresëzuar. : Ushtrimet 1, dhe Libër mësuesi Matematika 1

175 Zhvillo ushtrimin 6.a) Jo të gjithë kanë shanse të njëjta të zgjidhen Numri i individëve është i madh Ka disa lloje sportesh që do të thotë se në zgjedhje të tillë mund të mos ketë përfaqësim të mirë. b) Masa e zgjedhur është 8%, kështu që numri për secilin lloj sporti është: 10 persona nga futbolli, 1 persona nga volejbolli dhe 8 persona nga basketbolli. Reflekto Në fund të orës mësimore kërko nga nxënësit të listojnë përparësitë dhe mangësitë e secilës metodë. Vlerësimi: Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4 dhe 5 Matematika 1. Ushtrimet përkatëse te Matematika 1. Libër mësuesi Matematika 1 173

176 Test tremujori i parë a. Shkruaj vlerën e 8. (1) b. Gjej vlerën e 3 8. () 4 a. Gjej vlerën e () 4 b. Thjeshto shprehjen 3 4x 18x () 3 a. Shpreh 80 në trajtën a 5, ku a është numër i plotë. () b. Shpreh 4 5 në trajtën b c 5, ku b dhe c janë numra të plotë. () 4 a. Zbërthe dhe thjeshto shprehjen () 6 b. Shpreh 4 3 në trajtën e a b 3, ku a dhe b janë numra të plotë. (3) 5 Jepen tre numra: 1 k, 5 k dhe k. Duke ditur se k është numër i plotë, gjej: a. mesataren e tre numrave () b. bashkësinë e shëmbëllimeve të tre numrave. (1) 6 Duke ditur se y numra konstantë. a. b. y x 4, shpreh secilën prej shprehjeve të mëposhtme në formën n kx, ku k dhe n janë 1 5y (1) 7 Gjej syprinën e këtij trapezi në cm. Përgjigjja të jepet në trajtën a b, ku a dhe b janë numra të plotë të cilët kërkohet të gjenden. (4) (1) 8 Jepet p 3 dhe q, gjej vlerën e p q. Përgjigjja të jepet në trajtën p q dhe n janë numra racionalë të cilët kërkohet të gjenden. (4) 9 a. Faktorizo shprehjen x 10x 16. (1) y y () b. Zgjidh ekuacionin x 8x9 xa b, ku a dhe b janë konstante. 10 a. Gjej vlerën e a dhe vlerën e b. () b. Trego se rrënjët e x 8x9 0 janë c d 5, ku c dhe d janë numra të plotë. (3) 174 Libër mësuesi Matematika 1

177 11 Funksionet f dhe g përcaktohen si f x x x dhe g x x 5 f a ga dhe 0 1 Jepet, x. Duke ditur se a, gjej vlerën e a me saktësi deri në tre shifra të rëndësishme. (3) f x x 6x 18, x 0, a. shpreh f x në trajtën Kurba C me ekuacion x a b, ku a dhe b janë numra të plotë. () y f x, x 0, takon boshtin e y në pikën P dhe ka një minimum në pikën Q. b. Skico grafikun e C, duke shënuar koordinatat e P dhe Q. (3) c. Gjej koordinatën x të R, duke e shprehur në trajtën p q, ku p dhe q janë numra të plotë. () h x x x k ka rrënjë të barabarta. 13 Funksioni a. Gjej vlerën e k. (1) b. Skico grafikun y h x, duke shënuar qartë secilën pikëprerje me boshtet koordinatave. (3) g x përcaktohet si më poshtë g x x 7x 8x, x. 14 Funksioni a. Shkruaj g x në trajtën x x ax b, ku a dhe b janë numra të plotë. (1) b. Në vijim gjej të tri rrënjët e gx. (1) x 10x36 xa b, ku a dhe b janë konstante. 15 Jepet a. Gjej vlerën e a dhe vlerën e b. () b. Në vijim tregon se ekuacioni x 10x36 0 nuk ka zgjidhje reale. () Ekuacioni x 10xk 0 ka rrënjë të barabarta. c. Gjej vlerën e k. () d. Për këtë vlerë të k, duke shënuar në të koordinatat e pikave në të cilat grafiku pret boshtet koordinatave. (3) x x3 xa b 16 Jepet a. Gjej vlerën e konstanteve a dhe b () b. Skico grafikun e y x x 3, duke shënuar qartë koordinatat e secilës pikëprerje të grafikut me boshtet koordinative. (3) c. Gjej vlerën e dallorit të x x 3. Shpjego se si lidhet shenja e dallorit me grafikun e skicuar në pikën b. () Ekuacioni x kx3 0, ku k është një konstante, nuk ka rrënjë reale. d. Gjej bashkësinë e vlerave të mundshme të k, duke e dhënë përgjigjen në trajtë irracionale. () 17 a. Duke eliminuar y nga ekuacionet: y x 4, x xy 8, trego se x 4x8 0. () b. Zgjidh sistemin e ekuacioneve: y x 4, x xy 8, duke dhënë përgjigjet në trajtën a b 3, ku a dhe b janë numra të plotë. (4) 18 Gjej bashkësinë e vlerave të x për të cilat: 3x15 x () a. Libër mësuesi Matematika 1 175

178 b. x 7x 3 0, (3) 3x15 x dhe x 7x3 0. (1) c. janë të vërteta njëherësh 19 Funksionet p dhe q përcaktohen si më poshtë pxx 1 dhe Trego në mënyrë algjebrike se nuk ekziston vlerë e x për të cilën px qx q x x 5x, x.. (3) 0 a. Zgjidh sistemin e ekuacioneve: yx5. x 3x y 16 (5) b. Në vijim gjej bashkësinë e vlerave të x për të cilat x 3x165 x () x kx k3 0, ku k është një konstante, ka rrënjë reale të ndryshme. 1 Ekuacioni a. Trego se k 4k 1 0. () b. Gjej bashkësinë e vlerave të mundshme të k. () 6 Gjej bashkësinë e vlerave për të cilat, x 5. x 5 (6) 3 Funksioni f x9 x dhe gx14 6x, x përcaktohen si më poshtë. a. Në të njëjtin sistem boshtesh koordinative, skico grafikët e y f x dhe y gx. Shëno qartë koordinatat e secilës prej pikave ku grafikët priten me njëri-tjetrin apo me boshtet koordinative. (5) b. Në grafikun e skicuar, hijezo zonën plane që kënaq inekuacionin y 0 dhe f x gx. (1) 3 4 a. Faktorizo plotësisht x 4x. (1) 3 b. Skico kurbën me ekuacion y x 4x, duke treguar në të koordinatat e pikave ku kurba pret boshtin x. () c. Në grafikë të ndarë, skico kurbën me ekuacion y x 1 3 4x 1 duke treguar në të koordinatat e pikave ku kurba pret boshtin x. () 5 Figura paraqet një kurbë të skicuar me ekuacion y f x 4,0. Pika minimum e kurbës është 3,. Kurba pret boshtin x në pikat P. Në grafikë të ndarë, skico kurbat me ekuacione, 0 dhe a. y f x () b. y f x () Në secilin grafik, shëno koordinatat e pikave në të cilat kurba pret boshtin x, dhe koordinatat e shëmbëllimit të P në lidhje me transformimin e dhënë. 176 Libër mësuesi Matematika 1

179 6 Figura paraqet një kurbë të skicuar me ekuacion y f x. Kurba kalon në pikat 0,3 dhe dhe prek boshtin x në pikën 1, 0. 4,0 si Në grafikë të ndarë, skico kurbat me ekuacione y f x 1 () a. b. y f x () 1 c. y f x () Në secilin grafik, shëno qartë koordinatat e të gjitha pikave në të cilat kurba takon boshtet koordinative. 1 f x, x 0, x 7 Jepet a. Skico grafikun y f x 3 dhe gjej ekuacionet e asimptotave të tij. () b. Gjej koordinatat e pikës ku y f x 3 pret një bosht koordinativ. () 8 Funksioni kuartik t përcaktohet si më poshtë tx x 5x x 5x 4, x. a. Gjej të katër rrënjët e tx. Ku është e nevojshme përgjigjja të jepet me saktësi deri në 3 shifra të rëndësishme. (3) b. Skico grafikun y tx, duke treguar qartë koordinatat e të gjitha pikave në të cilat kurba takon boshtet koordinative. () 6, 8 ndodhet në grafikun e y f x. Gjej koordinatat e pikës në të cilën transformohet pika P në grafikun me ekuacion: 9 Pika a. y f x (1) b. y f x 3 (1) c. y f x (1) a 30 Kurba C 1 ka ekuacion y, ku a është një konstante pozitive. Kurba C ka ekuacion y x b, x ku b është një konstante pozitive. a. Skico C 1 dhe C në të njëjtin sistem boshtesh koordinative. Shëno në të pikat ku secila kurbë takon boshtet koordinative, ku koordinatat të jepen në funksion të a dhe b. (4) b. Përdor kurbat e skicuara për të gjetur numrin e zgjidhjeve reale të ekuacionit xx5 7. (1) 1 31 a. Skico grafikun e y 4, duke treguar qartë në të koordinatat e pikave ku kurba pret boshtet x koordinative si dhe të gjenden ekuacionet e asimptotave. (4) Libër mësuesi Matematika 1 177

180 b. Kurba me ekuacion y 1 x k 4 kalon në origjinë. Gjej dy vlerat e mundshme të k. () Sfidë 1. a. Zgjidh ekuacionin x 10x9 0 x x b. Në vijim, zgjidh ekuacionin Një drejtkëndësh e ka syprinën 6 cm dhe perimetrin 8 cm. Gjej përmasat e drejtkëndëshit, ku përgjigjja të jepet si numër irracional në trajtën e vet më të thjeshtë. 3 3 Trego me metoda algjebrike se grafikët e y 3x x x dhe y x x1x 1 kanë vetëm një pikë prerjeje, dhe në vijim gjej koordinatat e kësaj pike. f x x x0 x x ka tri rrënjë të përbashkëta me funksionin 4 Funksioni kuartik gx f x k, ku k është një konstante. Gjej dy vlerat e mundshme të k. 178 Libër mësuesi Matematika 1

181 Test tremujori i dytë 1 Gjej ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A,8 dhe 4,6 B, në formën ax bx c 0. (3) Drejtëza l kalon nëpër pikën 9, 4 dhe ka koeficient këndor 1. Gjej një ekuacion për l, në formën 3 ax bx c 0, ku a, b dhe c janë numra të plotë. (3) 3 Pikat A 0,3, Bk,5 dhe C10, k, ku k është një konstante, ndodhen mbi të njëjtën drejtëz. Gjej dy vlera të mundshme për k. (5) 4 Grafiku me pika tregon gjatësinë e trupit, h cm, dhe gjatësinë e këmbës, l cm, të gjashtë të rriturve. Në këtë grafik është paraqitur edhe drejtëza e regresionit të tyre. a. Gjej me anë të dy pikave të grafikut me pika koeficientin këndor të drejtëzës. () b. Me anë të përgjigjes në pikën a shkruaj një model që lidh gjatësinë e trupit me gjatësinë e këmbës në formën në formën l kh, ku k është një konstante që duhet gjetur. (1) c. Komento vlefshmërinë e këtij modeli për vlera të të h. (1) 5 Drejtëza l 1 ka ekuacion y 3x 6. Drejtëza l është pingule me l 1 dhe kalon nëpër pikën 6, a. Gjej ekuacionin e l në formën ymx c, ku m dhe c janë konstante. (3) Drejtëzat l 1 dhe l presin boshtin x përkatësisht në pikat C. b. Gjej koordinatat e C me veprime algjebrike. () Drejtëzat l 1 dhe l presin boshtin x në pikat A dhe B përkatësisht. c. Gjej vlerën e saktë të trekëndëshit ABC. (4) 6 Drejtëzat y x dhe 5y x33 0 priten në pikën P. Gjej largësinë e pikës nga origjina O, duke e dhënë përgjigjen si një numër irracional të shprehur me rrënjë në formën e vet më të thjeshtë. (4) 7 Drejtëza pingule me segmentin që bashkon pikat 5,8 dhe 7, 4 dhe që kalon nga mesi i segmentit, pret boshtin x në pikën Q. Gjej koordinatat e pikës Q. (4) 8 Rrethi C e ka qendrën në 3,8 dhe kalon nëpër pikën 0,9. Gjej një ekuacion për rrethin C. (4) 9 a. Trego se x y 6xy10 0 mund të shkruhet në formën xa yb r, ku a, b dhe r janë numra që duhen gjetur. () b. Prej kësaj gjej qendrën dhe rrezen e rrethit me ekuacion x y 6xy10 0. () 10 Drejtëza 3x y 14 pret rrethin x y 3 5 në pikat A dhe B. a. Gjej koordinatat e A dhe B. (4) Libër mësuesi Matematika 1 179