Povijesni pregled rođenje nuklearne fizike; Henri Becquerel ( ) otkrio radioaktivnost u uranovoj rudi
|
|
- Κύμα Καρράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Nuklearna fizika
2 Povijesni pregled rođenje nuklearne fizike; Henri Becquerel ( ) otkrio radioaktivnost u uranovoj rudi Pierre & Marie Curie: separacija Ra Rutherford pokazao da postoji tri tipa zračenja; razvrstani prema naboju i sposobnošću prodiranja u materiju: alfa (jezgre He), beta (elektroni) i gama (visokoenergetski fotoni) Rutherford sa studentima Geigerom i Marsdenom izvodi niz eksperimenata s raspršenjem alfa čestica rezultati su doveli do ideje da se jezgra atoma može smatrati točkastom masom i točkastim nabojem, i da se gotovo sva masa atoma nalazi u jezgri kasnije je otkrivena i nova sila, nuklearna sila koja djeluje na jako malim udaljenostima reda m, a na većim brzo pada na nulu
3 1919. Rutherford i suradnici opazili prvu nuklearnu reakciju (bombardiranje dušika alfa česticama i dobivanje kisika) Cocroft i Walton prvi su puta ubrzali proton i stvorili nuklearnu reakciju - Chadwick otkrio neutron Joliot i Irene Curie otkrili umjetnu radioaktivnost otkriće nuklearne fisije; Hahn, Strassman, Meitner i Frisch razvoj prvog fisijskog reaktora, Fermi i suradnici
4 NUKLEARNA FIZIKA Rutherfordovi eksperimenti raspršenja ( ): Rezultat: - najveći broj alfa čestica se raspršuje elastično (ista energija s kojom su upale) - broj detektiranih čestica opada s kutom raspršenja - postoje i čestica koje se odbijaju unazad Zaključak: Atom je uglavnom prazan prostor. U središtu atoma postoji centar sila (jezgra) u kojem je koncentrirana skoro cijela masa atoma s + nabojem. Danas: Atom se sastoji od pozitivno nabijene jezgre i negativno nabijenog elektronskog oblaka.
5 Čime se bavi nuklearna fizika? Preklapanje s drugim granama znanosti Interes nuklearne fizike Nuklearna sila Nuklearna struktura Nuklearne reakcije
6 Nuklearna sila Sile u jezgri: gravitacijska sila privlačna (zanemariva spram ostalih sila) Coulombova sila odbojna (samo između protona) jaka nuklearna sila - privlačna (između nukleona: p-p, p-n, n-n) kratkog i konačnog dosega jaka Yukawa nuklearna sila kao posljedica izmjene čestice (mezona) među nukleonima, koja ima ulogu propagatora sile faktor jakosti Yukavin potencijal: - potencijal opada brže od Coulombovog - zaključio da postoji U -kvant, propagator nuklearne sile; nuklearna sila mora nadjačati odbojnu Coulombovu silu između protona, s dosegom sile od m.
7 Nuklearna struktura - građa atomske jezgre protoni (1919.) i neutroni (1932. Chadwick) protoni - pozitivno nabijeni (1, C), mase m p =1, kg neutroni - neutralni, mase malo teže od mase protona: m n =1, kg m, m 1840m u = Atomska jedinica mase - Jedinica za masu u svijetu nukleona. u = Atomska jedinica mase. (def)= 1/12 mase ugljika C-12. m u = u = 1, kg m p = 1, u m n = 1, u Einsteinova relacija ekvivalencije mase i energije: 1u ima energiju: uc ( ) 2 = 1, = 931,48MeV p 1 1, ,6 10 n ev = C V = J e
8 uc Obilježavanje jezgri: Građa atomske jezgre 2 ( ) 2 = 1, = 931,48MeV mc p mc n 2 2 = 938, 26MeV = 939,55MeV A Z X X oznaka za kemijski element A maseni broj (zbroj protona i neutrona) Z redni broj (broj protona u jezgri) A = Z + N Jezgru karakterizira broj protona (Z). Redni broj elementa. Vodik Najmanja jezgra. Koliko ima različitih elemenata? U prirodi postoji 92 elementa. Umjetno stvoreno još nekih 15-tak.
9 U prirodi postoji 92 elementa. Umjetno stvoreno još nekih 15-tak. Da li to znači da postoji samo 107 jezgri? NE!!! Građa atomske jezgre 3 3 1H tricij 2 1H deuterij 1 1H vodik Izotopi Jezgre istog rednog broja Z, a različitog broja neutrona N. C, C, C, C, C Koliko postoji izotopa? Od 2 pa naviše. Vrlo često se za jezgru koristi ime NUKLID (određen s Z i N).
10 Građa atomske jezgre 4 Karta nuklida: Izotopi Nuklidi istog rednog broja Z, a različitog broja neutrona N. Izotoni Nuklidi istog broja neutrona N. Izobari Nuklidi s jednakim ukupnim brojem nukleona A. Primjer: C, N VAŽNO! Odstupanje od pravca Z = N!
11 Građa atomske jezgre 5 Atomske mase višekratnici vodikove mase, ali ima i izuzetaka npr. prirodni klor ima masu 35,5 Uzrok? U prirodi imamo najviše izotopa 35 Cl i 37 Cl, i to u omjeru 3:1
12 Veličina atomske jezgre Različiti nuklidi. Različita veličina. Eksperimenti. Većina jezgri je sfernog oblika. Gustoća unutrašnjosti jezgri je približno konstantna. Polumjer jezgre je povezan s atomskim brojem. Empirička relacija: r 0 = 1,4 fm (femtometar = 1 fermi =1 fm = m) R = ra 0 1/3 Veličina jezgri je oko m. Veličina atoma je oko m. Jezgra je do puta manja od cijelog atoma! Atom je većim dijelom PRAZAN PROSTOR! Gustoća jezgre kg/m 3 Na krajevima blago opada.
13 Veličina atomske jezgre 2 Tko drži protone i neutrone zajedno? Sile u jezgri: a) Jaka nuklearna sila privlačna, kratkog dosega b) Coulombova sila, odbojna (samo između protona) STABILNOST jezgre odnos jake nuklearne i Coulombove sile Nuklearne sile Pokazuju svojstvo zasićenja, tj. s povećanjem broja nukleona, one slabe. Neutroni u jezgri? Neutroni "razrjeđuju" elektrostatsko odbijanje protona! Lagane jezgre. Stabilne kada je N = Z C, N,, O
14 Veličina atomske jezgre 3 Veći broj protona u jezgri. Vrlo veliko odbijanje! Jezgre se grade s većim brojem neutrona. Razlog odstupanja od pravca Z = N!
15 Modeli atomske jezgre Jezgra Vrlo složen sustav. Kvantnomehaničke jednadžbe se ne mogu egzaktno riješiti: Razlozi? Jezgra se sastoji od velikog broja nukleona i sve one djeluju uzajamno. Drugim riječima nemamo središnju česticu (kao kod elektrona). Nukleoni međusobno djeluju jakim nuklearnim silama, a one nisu točno poznate. Ne možemo uvrstiti potencijal u Schrödingerove jednadžbe. Nema egzaktnog rješenja. Odustajemo? Eksperimenti spašavaju stvar. Mjerenja pokazuju da se većina jezgri ponašaju kao jednostavni sistemi. Nuklearni modeli Pojednostavljeni mat. opisi atomskih jezgri.
16 Modeli atomske jezgre 2 Kolektivni modeli: Jezgra djeluje kao cjelina. Primjeri modela su: model kapljice, rotacijski model,.. Kolektivni modeli: Dovedemo li kvant energije izvana. Kvant se dijele po svim nukleonima. Nukleoni gube samostalnost. Modeli nezavisnih čestica: Nukleoni zadržavaju svoju individualnost. Primjer: Model ljusaka
17 Model kapljice Kolektivni modeli: Jezgra djeluje kao cjelina. Primjeri modela su: model kapljice, rotacijski model,.. Eksperimenti. Uočena sličnost između nekih svojstava jezgri i ponašanja kapi tekućine. Jezgru promatramo kao kapljicu tekućine. Kap se može izdužiti, spljoštiti, periodički titrati, Kod znatnih deformacija. Jezgra (kap) se može podijeliti u dvije manje kapi:
18 Model kapljice 2 Carl von Weisszaker (1935. g.) Semiempirijska formula mase jezgri b1 b2 2/3 b3 2 1/3 M = Zmp + ( A Z) mn A+ A + Z A c c c c = brzina svjetlosti b 2 Z = Broj protona 4 1 b5 3/4 + 2 ( A 2Z) A + A 2 c c A = Atomski broj b 1 b 5 = Konstante, čije se vrijednosti razlikuju za parno-parne, odnosno neparno-neparne jezgre. Koristimo gornju formulu da nađemo tzv. energiju vezanja: Ukupna energija jezgre = Energija protona + energija neurona + energija vezanja EB = M Zmp ( A Z) m n c "minus" Trebamo uložiti toliku energiju da razbijemo jezgru na sastavne dijelove. 2
19 Model kapljice 3 B ( 2 ) 2 E = b A b A b Z A b A Z A b A 2/3 2 1/3 1 3/ : A prvi član (volumni) = Odgovara energiji isparavanja kod tekućina. Razmjeran broju čestica. drugi član = Popravak prvom. Uzima u obzir da su neki nukleoni na površini kaplje (energija vezanja manja), razmjerno s površinom: 2 2 2/3 4πR = 4πrA 0 treći član = Među protonima djeluju odbojne el. sile (kulonska energ.). četvrti član = Uključuje u igru Pauliev princip isključenja peti član = Uključuje u igru sklonost nukleona istog tipa da se vežu u parove. Podijelimo gornju jednadžbu s brojem nuklona A:
20 B Model kapljice 4 ( 2 ) 2 E = b A b A b Z A b A Z A b A 2/3 2 1/3 1 3/ : A E B A ( 2 ) 2 = b b A b Z A b A Z A b A 1/3 2 4/3 2 7/ Dobili smo prosječnu energiju vezanja po nukleonu! Grafički: Za velike A. prosječna energija vezanja je skoro konstanta (8 MeV).
21 Model ljusaka Kolektivni modeli: Nisu mogli objasniti izrazitu stabilnost jezgri koje imaju po 2, 8, 28, 50, 82, 126 protona (ili neutrona), tzv. magični brojevi. Rješenje? M.G.Mayer, J.H.D.Jensen (1948.) Predložili da se pokuša slično kao s elektronima. Jezgra također ima energijske nivoe (ljuske). Stabilne jezgre su one kojima su popunjene vanjske ljuske. Matematički? Relativno složeno. Ideja: Jako uzajamno djelovanje svih nukleona zamijenili potencijalnom energijom, zajedničkom za sve nukleone. Kao da se nukleoni gibaju neovisno jedan o drugom. Eksperimentalni rezultati? Tražili da se uključi i snažno međudjelovanje spina i staze (LS). J = L + S Cijepanje nivoa. Zbog različitih mogućih orijentacija vektora J. Podljuska (n, l, j) može primiti najviše (2j+1) nukleona
22 Model ljusaka: Veliki uspjeh u objašnjenju magičnih brojeva. Energijska stanja protona i neutrona u modelu ljusaka: Model ljusaka: Nivoi neutrona i protona se međusobno razlikuju. Razlika je zbog elektrostatskih sila koje postoje samo kod protona. Model ljusaka: Objasnio i tzv. nuklearne mag. momente. Model ljusaka: Danas temelj za proračune stanja jezgri. Model ljusaka 2 Dobar za tzv. lake jezgre i jezgre bliske magičnim brojevima. Problemi kod težih jezgri. Izdužene li spljoštene (kolektivna svojstva).
23 RADIOAKTIVNOST Bohrov model Povratak elektrona iz pobuđenih stanja. Emisija zračenja. Jezgra Također može biti pobuđena Emisija zračenja = Radioaktivnost Primjer: Energijska stanja za jezgru aluminija-28: RADIOAKTIVNOST = Težnja jezgri ka stabilnijim stanjima. Zašto jezgre zrače? Žele doći u stabilnije stanje. Jezgre se zračenjem oslobađaju viška energije! Danas: Oko 2000 nuklida. Stabilno samo 266! Od ih ima paran N, paran P 50 ih ima neparni Z i paran N 53 ih ima paran Z i neparan N 4 ih ima neparan Z i neparan N
24 Radioaktivnost 2 STABILNOST jezgre? Odnos jake nuklearne i Coulombove sile Lagane jezgre Stabilne kada je N = Z. Srednje i teške jezgre broj neutrona raste (da se ponište Coulombove sile). Stabilne jezgre one koje su bliže magičnim brojevima.
25 Radioaktivnost i zakon radioaktivnog raspada Nestabilne jezgre Radioaktivan raspad u stabilnije stanje. J. Becquerel (1896.) Otkrio vrlo prodorno zračenje velike energije. P.Curie, M.Curie-Sklodowska Proučavali rudu urana. U uranu postoji "nešto" što šalje te zrake. Otkriće radija. RADIOAKTIVNOST. Vrste zračenja jezgri: alfa Jezgra emitira jezgru helija (2 protona + 2 neutrona). beta (-, +, elektronski uhvat) Jezgra emitira elektrone (pozitrone). gama Obično prati alfu i betu. Emisija ostatka energije do stabilnog stanja.
26 Radioaktivnost i zakon radioaktivnog raspada 2 alfa Karakteristika teških jezgri koje su prevelike da bi bile stabilne. Višak energije gubi se emisijom nukleona u obliku α čestice. Primjer je raspad radija: Ra 86Rn+ 226 Jezgra radija = jezgra roditelj Jezgra radona= jezgra potomak 4 2 He Radij nataložen u tijelu može izazvati rak kostiju
27 beta 3 vrste raspada: Radioaktivnost i zakon radioaktivnog raspada 3 beta minus Jezgre s viškom neutrona. Energija se gubi pretvorbom neutrona u proton uz emisiju brzih elektrona n 1p 1 β Primjer: S 17Cl 1 β beta plus Jezgre s viškom protona. Energija se gubi pretvorbom protona u neutron uz emisiju pozitrona. Pozitron je čestica slična elektrona (tzv. antičestica), ali + nabijena p 0n + 1 β + Primjer: Cl S + β
28 Radioaktivnost i zakon radioaktivnog raspada 4 elektronski uhvat Pretvorba jezgre gdje se proton pretvara u neutron uhvatom elektrona iz K omotača. Na + e Na gama Obično nakon pretvorbe jezgre bilo α, bilo β zračenjem. γ zraka je foton elektromagnetskog zračenja vrlo kratke valne duljine, koji nastaje prijelazom jezgre u stabilnije stanje. Slično kao kod elektrona: Jezgra prelazi iz višeg energijskog nivoa u stabilnije stanje. Razlika stanja se emitira kao γ zračenje.
29 Nuklearna karta Nuklearna karta Pogledamo atomske mase pojedinih jezgri i podijelimo ih s brojem nukleona. Raspadi = Spuštanje u nuklearnu dolinu!
30 Vremenska ovisnost radioaktivnog raspada eksperiment Brzina raspada proporcionalna je broju N radioaktivnih atoma uzorka u nekom vremenu ΔN Δt = λ N Za besk. male promjene: N N N N 0 dn N = 0 0 t λdt λ konstanta radioaktivnog raspada ln dn N N = λdt e λt = λt N = N 0 e Zakon radioaktivnog raspada N 0 = početni broj jezgri N = broj jezgri koje se još nisu raspale λ = konstanta raspada N N 0 = λt t 0 ln N N 0 = λt
31 N = N 0 e λt Vremenska ovisnost radioaktivnog raspada 2 Grafički: Postotak raspadnutih jezgara 50 % 75% 87,5 % Vrijeme t 1/2 2 t 1/2 3 t 1/2
32 Vrijeme poluraspada vrijeme poluraspada Vrijeme potrebno da se raspadne polovica prvotnog broja jezgri, tj. t = T1/ 2 λt N0 λt1/ 2 N = N e N 0 = N0e = 0 N = ln = λt1/ 2 ln 2 = λt ln 2 1/ 2 T / 2 = 2 λ 1 T e λ 1 = 1/ 2 0,693 λ T 1/2 od nekoliko dijelova sekunde, do milijuna godina jod-131 (T 1/2 = 2,3 h) ispitivanje funkcija štitne žlijezde kisik-15 (T 1/2 = 2,1 min) respiracija ugljik-14 (T 1/2 = 5730 g) starost fosila
33 Aktivnost uzorka Aktivnost uzorka = Brzina kojom se smanjuje količina radioaktivne tvari. 1 Bg = bekerel = Jedan raspad u sekundi Ci = kiri = stara jedinica = aktivnost 1 g radija 1Ci = 3,7 10 Bq N = N 0 e A λt λn = λn = 0 e dn d A= def = = N e dt dt λt A = 0 A e λt ( λt ) 0 Aktivnost (Bq) Primjena 1 prirodna aktivnost ljudskog tkiva dijagnostički testovi tehnika skaniranja pacijenta terapija karcinoma izotopima γ izvori (radioterapija) izvori za tehnološ. obradu zračenjem Aktivnost se s vremenom eksponencijalno smanjuje.
34 Aktivnost uzorka 2 Primjer: Dok je organizam (biljka, životinja, čovjek) živ, aktivnost radioaktivnog izotopa ugljika 14 C u tijelu je stalno 250 Bq po kilogramu. Kad organizam umre, ne uzima više ugljik iz prirode, pa se količina 14 C, zbog raspadanja, s vremenom smanjuje. Koliko je star drveni predmet čija je sadašnja aktivnost 190 Bq? Poluživot izotopa 14 C iznosi T 1/2 = 5370 godina. T 1/2 A 0 = 5370g = 250Bq A = 190Bq λ = A= 0 ln 2 T 1/2 Ae ln 2 t T 1/2 A = 0 A e λt ln A A ln 2 = T 0 1/2 t t = T ln 1/2 0 ln 2 A A 5370g 250 t = ln t = 2126g 0,
35 Umjetna radioaktivnost? Umjetna radioaktivnost Da! Ako dovedemo jezgre dovoljno blizu jedna drugoj! Nuklearne reakcije = Proces u kojemu se dvije jezgre, a i A približe jedna drugoj na udaljenost manju od dosega nuklearnih sila. Rezultat približavanja: Može doći do preraspodjele nukleona u tim jezgrama. Nastaju 2 nove jezgre, B i b. A + a= B+ b ili A( a, b) B A = Meta, uzorak koji se bombardira a = Projektili kojima bombardiramo metu B = Novonastala jezgra b = Izlijeće iz mete
36 Umjetna radioaktivnost g. Prvi put ostvaren san alkemičara da iz srebra dobiju zlato! Ne baš zlato, ali slično, da! Dušik je preveden u kisik! ( α, ) N + α O + p ili N p O Prvi put dobiven neutron kao samostalna čestica: Be + α C + n Mehanizam kvantnomehaničkih procesa u jezgri je vrlo složen. Vrlo brze ili vrlo spore reakcije? Spore reakcije Nastaju složene jezgre, sudjeluju skoro svi nukleoni. Može se raspasti na više načina (tzv. kanali reakcije), primjer: * Al H Si Mg He
37 Umjetna radioaktivnost 3 Brze reakcije: Obično sudjeluje samo jedan ili par nukleona (izvan popunjenih ljusaka), tzv. direktne reakcije. Primjer: Projektil od jezgre otme jedan nukleon i odnese ga sa sobom, ili jezgra zadrži jedan nukleon od projektila. Raspršenje = Posebno mjesto među reakcijama. Reakcija u kojoj su jezgre prije i poslije reakcije iste. Elastično raspršenje = Projektil i izlazna čestica imaju istu energiju. Neelastično raspršenje = Kin. energija projektila se promijeni Jezgra ostane u pobuđenom stanju. Alat za proučavanje reakcija: Zakoni očuvanja energije, količine gibanja, momenta količine gibanja, očuvanje ukupnog naboja, ukupnog broja nukleona,
38 Umjetna radioaktivnost 4 Q vrijednost reakcije (def): Razlika energija mirovanja na početku i kraju reakcije: 2 ( ) ( ) Q= ma + ma mb + mb c Q > 0 Endotermna reakcija, zbiva se spontano. Q < 0 Egzotermna reakcija. Samo ako projektil ima dovoljno veliku kinetičku energiju.
39 Nuklearna fisija Eksperiment: Spori neutron upada na tešku jezgru (A > 230). Jezgra ga apsorbira. Nastaje složena jezgra. Obično se raspada na dvije srednje teške jezgre + nekoliko neutrona. Nuklearna fisija = Reakcija u kojoj se teška jezgra dijeli na dvije lakše jezgre i par neutrona. Fragmenti fisije = Novonastale jezgre nakon fisije. Primjer fisije: * A A 92U + n 92U Z X + Y + κn Z2 X, Y Fragmenti fisije = Moguće je više različitih parova fragmenata Fragmenti fisije Obično daleko od linije stabilnosti. Nastanak novih beta i gama raspada. Nuklearna fisija Izvor nuklearne energije! Energija = Razlici energijskih masa reaktanata i produkata fisije. (Δmc 2 ) 1 reakcija Može i do 200 MeV energije!
40 Nuklearna fisija 2 Kontrolirana fisija Chicago: Danas u nuklearnim reaktorima. Spori neutroni (tzv. termalni neutroni, energije oko 0,04 ev) Izazivaju fisiju. Nastaju novi neutroni, velike energije (oko 2 MeV). Treba ih usporiti! (Inače bi "projurili".) Usporenje? S atomima neke tvari, tzv. moderator (tzv. teška voda, deuterij) Kontrolirana fisija = Reducira se broj novonastalih neutrona. Nekontrolirana fisija Broj novonastalih neutrona geometrijski se povećava. U vrlo kratkom vremenu se oslobodi vrlo velika energija. NUKLEARNA BOMBA (pogrešno, atomska bomba). Nekontrolirana fisija Černobil, Fukushima Rezultat:
41 Nuklearna fisija 3 Fisija = Objašnjenje modelom kapljice:
42 Nuklearna elektrana: Princip rada:
43 E pel, = 1 4πε 0 Z1Ze 2 r 2 Nuklearna fuzija Nuklearna fuzija = Reakcija u kojoj se dvije lakše jezgre stapaju u jednu težu. Problem: Treba svladati jako elektrostatsko odbijanje među jezgama. Rješenje = Početne jezgre moraju imati vrlo velike kinetičke energije. Elektrostatska pot. energija dviju jezgri na udaljenosti promjera jezgre: E = 0,14 Z Z MeV pel, 1 2 Za najlakše jezgre (Z 1 = Z 2 = 1) Pripadna temperatura: T 0,14 1,6 10 3/2 1,38 10 J JK K T E 3/2 Vrlo visoka temperatura. Tvar prelazi u stanje plazme, mješavinu jezgri i elektrona. Sunce Fuzija glavni izvor energije! k
44 Nuklearna fuzija 2 Nuklearna fuzija = Energija dolazi kao razlika masa početnih i konačnih jezgri (Model nuklearne doline)! Fuzija Oko 5 puta veća energija po reakciji! Hidrogenska bomba (termonuklearna) Nekontrolirana fuzija. Kontrolirana fuzija. Mogući izvor energije budućnosti. Primjer mogućih reakcija: H + H He+ n H + H H + H Q Q = 3, 2MeV = 4, 2MeV Nuklearna energija Glavni problemi sigurnost i otpad.
45 α, β, γ Iz radioaktivnih raspada Ionizirajuća zračenja Rendgensko zračenje Također vrlo opasno! Neionizirajuća zračenja Elektromagnetsko zračenje: jaka električna i/ili magnetska polja - dalekovodi, trafostanice, odašiljači (TV, radio, mobilna mreža), mobiteli,
46 Rendgensko zračenje W Röntgen, Pokusi s Crookesovom cijevi Uočio svjetlucanje komadića papira pokrivenog slojem fluorescentne barijeve soli. Papir se nalazio daleko od Crookesove cijevi koja je čak bila pokrivena neprozirnom kartonskom kutijom. Röntgen je zaljučio da iz mjesta na koje padnu katodne zrake izlazi neko novo zračenje. Ono pokazuje slične osobine kao i elektromagnetski valovi (ne može se svinuti ni električnim ni magnetskim poljem). Iz ovih osobina Röntgen je zaključio da to novo zračenje ima valnu prirodu. X-zračenje. x zrake = zrake vrlo velikih energija (10 4 ev) mogu čak otkinuti elektron iz atoma
47 Rendgensko zračenje 2 Danas Rendgensko zračenje nastaje udarom katodnog zračenja na neke čvrste tvari (najčešće na metale). anoda obično veliki Z elektroni se jako ubrzaju (napon U), i udaraju u anodu Elektroni se oslobađaju viška energije (kočenjem, sudarima) U spektru rendgenskog zračenja su uočene dvije komponente: tzv. kočno zračenje (kontinuirani spektar) i tzv. karakteristično zračenje (linijski spektar)
48 Rendgensko zračenje 3 Detekcija x zraka? Temelji se na svojstvu da ioniziraju neutralne atome, ili zacrne fotografsku ploču.
49 Apsorpcija gama (fotonskog) zračenja Što se događa kada fotoni prolaze kroz neku tvar? 3 glavna procesa: Fotoefekt: Foton upada na površinu metala. Sudara se s elektronom. Predaje mu svoju energiju. Foton nestaje (apsorbira ga elektron), a elektron može izići iz metala (ako je dobio dovoljno energije). Zakon sačuvanja energije: Energija fotona = Rad za oslobađanje elektrona iz metala + Kinetička energija oslobođenog elektrona 1 2 hν = Wi + mevmax 2
50 Apsorpcija gama (fotonskog) zračenja 2 Comptonov efekt, A.H. Compton (1923.): Raspršenje rendgenskih zraka na elektronima. Na izlazu 2 komponente: Prva ima valnu duljinu jednaku upadnoj, a druga nešto veću valnu valnu duljinu Eksperiment: Razlika valnih duljina ovisi o kutu raspršenja i proporcionalna je s (1 cos θ). Zakon sačuvanja energije + zakon sačuvanja količine gibanja: h Δ λ = λ' λ = ( 1 cosϑ) mc e
51 Apsorpcija gama (fotonskog) zračenja 3 Comptonov efekt: Objašnjenje: Prilikom sudara fotona i elektrona, foton izgubi dio svoje energije. Zbog toga mu se smanji frekvencija (poveća valna duljina). Promjena valne duljine relativno je mala. Ne možemo opaziti za vidljivu svjetlost, opaža se samo kod "tvrdih" zraka.
52 Apsorpcija gama (fotonskog) zračenja 4 Efekt stvaranja para: Foton u blizini jezgre. Foton nestaje, a stvaraju se proton i pozitron. γ e + e + Blizina jezgre? Moraju vrijediti zakoni sačuvanja. Jezgra preuzima moment. Uvjet za nastanak para: Energija fotona mora biti najmanje 1,022 MeV (2m e c 2 ).
53 Apsorpcija gama (fotonskog) zračenja 5 O čemu ovisi apsorpcija fotona? - O debljini uzorka - O vrsti tvari di I = μ dx "minus" = Intenzitet se smanjuje. ln I I I 0 = μ x x 0 ln I I 0 = μ x I I 0 e I = I e μ μ L = 0 x Intenzitet prolaznog zračenja opada eksponencijalno, nikad se ne apsorbira u potpunosti.
54 Apsorpcija gama (fotonskog) zračenja 6 Poludebljina = Debljina uzorka koja zaustavlja polovinu upadnog zračenja. I x = = I 0 2 d 1/2 d I I e μ 1 2 1/2 I 2 x 0 d 1/2 = 0 = I 0 e μ = = e μ d ln 2 μ 1/2 μ d 1/2 = ln 2
55 Primjer: Za x zrake određene energije koef. apsorpcije u vodi je μ = 400 m -1 a u kalciju 1, m -1. Izračunajte u postocima apsorpciju x zraka u 1 mm vode i debljinu sloja kalcija potrebnog da napravi isto smanjenje intenziteta. μ = 400 m 1 μ 1 = 1, x = 1m m m 4 1 Za kalcij: 0 ln I I ln I I I = I e μ x ln = μ x = = 0, 4 = μ x = 0, 4 0,40 5 x 1 = = 2,5 10 m = 25μ m 4 1,57 10 Primjena rendgen ljudskog tijela, kosti i meso.
56 Interakcija ionizacijskog zračenja s materijom 1 ev = 1, J uobičajena jedinica u nuklearnoj fizici 1keV = 1000 ev 1 MeV= ev α čestice monoenergijske, energije od 2 9 MeV β čestice nisu monoenergijske, energije od 0 E max.(neutrino) E max za 3 H je oko 18 KeV, a za 32 P oko 1,7 MeV γ čestice monoenergijske, energije od 2 kev 5 MeV
57 Djelovanje zračenja na materiju normalno stanje atoma energija elektrona u ljuskama minimalna zračenje može pobuditi elektron u omotaču povratak u osnovno stanje uz emisiju zračenja (foton ili toplina) Velika energija zračenja može izbaciti elektron iz atoma ionizacija. Rezultat ionizacije je postanak iona (+) i slobodnih elektrona (-). Svaka ionizacija uzme oko 35 ev. α čestica od 3,5 MeV 10 5 ionskih parova Domet: α čestice nekoliko cm u zraku, zaustavlja ih tanki list papira b čestice različito, najviše red veličine m. γ čestice ovisi o metarijalu (apsorpcija), red veličine cm, m I = I 0 e μl I 0 = intenzitet upadnih zraka μ = koeficijent apsorpcije L = debljina tkiva
58 Djelovanje zračenja na materiju 2 Primjer: Linearni koeficijent apsorpcije biološkog tkiva za γ zrake energije 1 MeV jest 7 m -1. Izračunajte debljinu tkiva koja smanjuje intenzitet upadnih zraka na polovicu. 1 = 7m I I = I0e μx x Ie μ x = 0 e μ = 2 E = 1MeV 2 μ 0 I = I 0 / 2 Za olovo je: μ x = d 1/2 ln 2 = 7,9 10 μ = 88m 1 3 ln 2 0,693 x= = 0,1m μ 7 Olovo ima veliki koeficijent apsorpcije i zbog toga služi kao štit oko radiokativnih izvora. m
59 Detektori zračenja Kristalni detektori: - za detekciju prodornih rentgenskih i γ zraka - princip: γ zraka pogodi kristal (scintilacijski) koji onda zrači svjetlost koja se usmjerava u EM polje brojač Plinski detektori (Geiger Mullerov brojač): - metalna cijev, žičane elektrode, tanki prozor - u cijevi je inertni plin (argon) koji inače ne vodi struju - ulaskom β čestica, dolazi do ionizacije (lavina) strujni impulsi - dobar za β čestice, ali γ prođe kroz njih
60 Doza zračenja Izlaganje organizma zračenju energija se akumulira 1 Gy ( 1 grej) = odgovara apsorbiranoj energiji od 1 džula po kilogramu tkiva Dozni ekvivalent H mjeri biološko oštećenje tkiva 1 Sv (sivert) dozni ekvivalent = apsorbirana doza. Q H = DQ Q faktor kvalitete (rizik od različite vrste zračenja) za tvrdo rentgensko zračenje i γ Q=1 za neutronsko zračenje Q=2-11 za α čestice Q = 20
61 Doza zračenja 2 Primjer: Neutronska aktivacijska analiza je metoda kojom se može odrediti količina nekih elemenata u organizmu. Kada se tkivo zrači neutronima, neki stabilni atomi postaju radioaktivni, a količina potom izmjerenih γ zraka mjera je za količinu nekog elementa u tijelu. Ako su u postupku upotrijebljeni neutroni srednje energije 2,5 MeV i Q = 10, ocijenite koliko je apsorbiranih neutrona po kilogramu tkiva ako je za pacijenta dozni ekvivalent Sv. Pretpostavite da se svi neutroni apsorbiraju u tijelu. 3 H = 5 10 Sv Q = 10V E = 2,5MeV N D = H Q = = 5 10 Gy D = = kg E 2,5 10 1, = 1,
62 Radiobiologija i zaštita od zračenja Kako zračenje djeluje na biološko tkivo? Apsorbirana energija može izazvati kemijske promjene u stanici. Posljedice: - smrt pojedine stanice ( u ekstremnim slučajevima i smrt organizma) - trajna modifikacija stanične strukture (promjena gena, pojava karcinoma)
63 Učinci zračenja na biološke molekule Interakcija zračenja s tkivom se dešava na nivou molekule. Apsorbirana energija može izazvati kemijske promjene u stanici ionizacija molekula promjene u stanicama Sisavci 85 % vode glavni dio zračenja ide na molekule vode kemijske promjene na velikim molekulama (enzimi, proteini, nukleinske kiseline, polisaharidi, ) Princip djelovanja: Prvi korak primarna ionizacija Neutralna molekula vode uhvati elektron H 2O H 2O + + e H 2O + e H2O Dakle, 2 molekule vode daju 2 iona, + H 2 O i 2 H O
64 Učinci zračenja na biološke molekule 2 Dakle, 2 molekule vode daju 2 iona, Raspad iona nastanak radikala: i + H 2 O H2O H + OH H O H O 2 H + OH H i OH reaktivni slobodni radikali (pokušavaju spariti svoj elektron u vanjskoj ljusci s elektronom iz drugog radikala. Kratko žive (10-5 s) i reagiraju različito. H + OH H2O H + H H 2 OH Vodikov peroksid oksidans može izavati + OH H O 2 2 promjene u osjetljivim stanicama... (kromosomi) Prisustvo kisika molekule osjetljivije na zračenje
65 Stanica osnovna životna jedinica Učinci zračenja na stanice Učinci zračenja na stanicu Smrt stanice mitotička smrt interfazna smrt Rast i promjena funkcije mitotički zastoj povećanje propusnosti membrane, mutacija gena, lom kromosoma
66 Radijacijska bolest i smrtnost životinja Posljedice zračenja na višestanične organizme: a) akutne odmah vidljive (anemija, krvarenje, sklonost infekcijama, gubitak tj težine, sterilnost, smrt, ) b) kronične- javljaju se nakon nekog vremena (genetske mutacije, oštećenje embrija, izazivanje karcinoma, katarakt zamućenje leće) Organi ljudskog tijela najosjetljivi zračenju: KOŽA osjetljiva i na male doze (crvenilo), velike doze plikovi, ispadaju dlačice, pojava raka kože KOŠTANA SRŽ u njoj se nalaze matične stanice koje se brzo dijele da bi održale broj stanica u krvi. Zračenje jako smanji broj stanica osjetljivost na infekcije CRIJEVNE STANICE dosta otporne, ali ako se oštete, ne obnavljaju se i bakterije prelaze u tijelo, ili voda prelazi u tijelo smanjenje težine SPOLNE STANICE sterilnost ČOVJEK koštana srž i crijeva su najugroženiji, djeca najviše
67 Letalna doza letalna doza pokazuje osjetljivost organizma na zračenje LD 50/30 doza zračenja cijelog tijela koja ubija 50 % životinja u roku 30 dana Vrsta Letalna doza Vrsta Letalna doza LD 50/30 (Sv) LD 50/30 (Sv) pas 3,5 štakor 6-10 miš 4-6 žaba 7 majmun 6 daždevnjak 30 čovjek 6-7 puž
68 Ovisnost srednjeg vremena preživljavanja tipičnog sisavca o dozi zračenja porast doze odumire: koštana srž crijeva živci - molekule
69 Kronične posljedice zračenja Posljedice zračenja se mogu javiti i poslije mnogo, mnogo godina. Primjer: mutacije gena, ili ozračen embrion ( za čovjeka je najopasnije od 2-7 tjedna nakon začeća jer se tada formiraju organi) Karcinom tumorska stanica nije pod kontrolom tijela stanice se razmnožavaju nekontrolirano Karcinomi - dobroćudni ciste i bradavice - zloćudni (maligni)- njihove stanice su sposobne da se odlijepe i tako formiraju izrasline u drugim dijelovima tijela
70 Liječenje karcinoma Operativni zahvati ili ionizacijskim zračenjem Stanice karcinoma su osjetljive na mitotičnu smrt - zračenjem izazivamo mitotičnu smrt Opasnost mogućnost oštećenja zdravih stanica Rješenje: zračenje na više puta ili se zrači iz više smjerova tako da se okolne stanice oporave
71 Maksimalna dopuštena doza prirodni izvori zračenja kosmičko zračenje, radij, torij, uran, radon, umjetni izvori zračenja- nuklearni reaktori, izvori za terapiju karcinoma, Srednja godišnja doza prirodnog zračenja je oko 1 msv, a maksimalna dopuštena godišnja doza za ljude je 2 msv. Maksimalna dopuštena godišnja doza za ljude koji rade kod izvora zračenja je 50 msv. Umjetni izvor zračenja Srednja god. doza (μsv/god) dijagnostička i terapeutska radiologija 250 radioaktivne padaline 50 profesionalna izloženost 3 ostalo (svjetleći brojevi na satovima, TV,..) <10 Ukupno: oko 310 (μsv/god)
72 Zaštita od vanjskih izvora zračenja Zaštita od zračenja se postiže udaljavanjem od izvora, te pomoću odjeće i kože. a) olovni, čelični, betonski štit b) povećanje udaljenosti između izvora i tijela c) boraviti što kraće kod izvora zračenja
73 Zaštita od unutrašnjih izvora zračenja Nesretnim slučajem, ili iz medicinskih razloga, proguta se radionuklid. Nema zaštite! Treba spriječiti unos u tijelo. Načini unošenja radionuklida: a) zrakom radionuklid se zadrži u plućima, ili otopljen prijeđe u krv b) hranom radionuklid se apsorbira i prijeđe u krv c) rana na koži direktno u krv Opasnost neki se elementi talože u jednom mjestu
74 Kritični organi: Zaštita od unutrašnjih izvora zračenja 2 element kritični organ element kritični organ H cijelo tijelo Zn jetra C mast Sr kosti Na cijelo tijelo I štitna žlijezda P kosti Au bubrezi S testis Hg bubrezi K mišići Po kosti Fe slezena Ra kosti Co jetra JAKO OPASNI: Radij, uran, radon (alfa) 90 Sr (beta) taloži se u kostima
75 Ugovor o neširenju nuklearnog oružja (NPT Nuclear Non-Proliferation Treaty) - Ugovor je zaključen 1968., a počeo vrijediti RH je potpisnica Ugovora od Ugovor je ratificiralo 187 država - 5 nuklearnih sila: SAD, Rusija, UK, Francuska, Kina - nisu potpisnici NPT: Indija, Pakistan, Sjeverna Koreja, Izrael (?) - sumnja se da posjeduju nuklearno oružje - države koje su nekada posjedovale nuklearno oružje
Atomska jezgra. Atomska jezgra. Materija. Kristal. Atom. Elektron. Jezgra. Nukleon. Kvark. Stanica
Atomska jezgra Materija Kristal Atom Elektron Jezgra Nukleon Stanica Kvark Razvoj nuklearne fizike 1896. rođenje nuklearne fizike Becquerel otkrio radioaktivnost 1899. Rutherford pokazao da postoje različite
Διαβάστε περισσότεραNUKLEARNA FIZIKA. Osnove fizike 4
NUKLEARNA FIZIKA Osnove fizike 4 Atom= jezgra + elektroni jezgra = protoni + neutroni (nukleoni) POVIJEST NUKLEARNE FIZIKE 1896. Becquerel otkriće radioaktivnosti 1898. Pierre & Marie Curie separacija
Διαβάστε περισσότεραTo je ujedno 1/12 mase atoma ugljika koja je određena eksperimentom i koja iznosi kg. Dakle mase nukleona:
Nuklearna fizika_intro Osnovne sile u prirodi, građa atomske jezgre, nukleoni i izotopi, energija vezanja jezgre, radioaktivnost, osnovne vrste radioaktivnog zračenja i njihova svojstva, zakon radioaktivnog
Διαβάστε περισσότεραAtomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži
tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)
Διαβάστε περισσότεραNUKLEARNI ALFA-RASPAD
NUKLEARNI ALFA-RASPAD U lakim jezgrama energija separacije α-čestice usporediva je s energijom separacije nukleona: 8-10 MeV. Tek za teške jezgre A>150 energija separacije može biti negativna i energetski
Διαβάστε περισσότεραUVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ NUKLEARNE FIZIKE I RADIOAKTIVNOSTI
PITANJA IZ NUKLEARNE FIZIKE I RADIOAKTIVNOSTI. Od kojih se čestica sastoji atomska jezgra i koja su osnovna svojstva tih čestica?. Zašto elektroni ne mogu nalaziti u jezgri? 3. Kolika je veličina atoma,
Διαβάστε περισσότεραSpektar X-zraka. Atomska fizika
Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje
Διαβάστε περισσότεραElementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραZadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje proljeće 2017.)
Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje proljeće 2017.) četvrti razred (valna optika, relativnost, uvod u kvantnu fiziku, nuklearna fizika) Sve primjedbe
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Predavanje 12. Rendgensko zračenje, Laseri. Atomska jezgra. Dr. sc. Damir Lelas
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (910/920/930/940/950) Fizika 2 Predavanje 12 Rendgensko zračenje, Laseri. Atomska jezgra Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr
Διαβάστε περισσότεραzračenjem. U atmosferi, pa stoga i u živim organizmima, postoji stalan dobiven iz neke grobnice davao 7.1 raspada u minuti po gramu uzorka,
1RR. Radioaktivni ugljik 14 C proizvodi se u atmosferi kozmičkim zračenjem. U atmosferi, pa stoga i u živim organizmima, postoji stalan omjer 14 C i ostalih izotopa ugljika na svakih 9.3 10 11 atoma 12
Διαβάστε περισσότεραIonizirajuće zračenje u biosferi
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Ionizirajuće zračenje u biosferi Mile Dželalija Split, 2006. M. Dželalija, Ionizirajuće zračenje u biosferi (interna skripta), Sveučilište u Splitu, Kemijsko-tehnološki
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραFizika atomskog jezgra Sadržaj
Osnovne karakteristike atomskog jezgra 30 Defekt mase jezgra i energija veze 303 Stabilnost atomskog jezgra 305 Radioaktivni raspad 308 akon radioaktivnog raspada 309 Vrste radioaktivnog raspada 30 α-radioaktivni
Διαβάστε περισσότεραOsnovne karakteristike atomskog jezgra
Osnovne karakteristike atomskog jezgra Otkriće atomskog jezgra (Raderford, 1911., rasejanje α-čestica) - skoro celokupna masa atoma je skoncentrisana u prostoru dimenzija 10 15 m. Jezgro sadrži protone
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Auditorne vježbe 12. Kvatna priroda svjetlosti. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika Auditorne vježbe Kvatna priroda svjetlosti Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr) Bohrovi postulati Elektron se kreće oko atomske
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPOBUĐENJA JEZGRE I RASPADI
POBUĐENJA JEZGRE I RASPADI Radioaktivni raspadi iz osnovnog ili pobuđenih stanja jezgre γ-raspad : elektromagnetska interakcija. Početno i konačno stanje pripadaju istoj Jezgri. Elektromagnetski prijelazi
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραElektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα. Iz lonca ključanjem ispari 100 vode za 5. Toplota
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO RIJEŠENI ISPITNI ZADACI IF2 II PARCIJALNI Juni 2009 2A. Sunce zrači kao a.c.t. pri čemu je talasna dužina koja odgovara max. intenziteta zračenja jednaka 480. Naći snagu
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSPEKTROSKOPIJA S PROTONSKIM SNOPOM
SPEKTROSKOPIJA S PROTONSKIM SNOPOM Milko Jakšić Institut "Ruđer Bošković", Bijenička 54, Zagreb Velike brzine protona, te u usporedbi s masom elektrona njihova velika masa, uzrok su "burnog" međudjelovanja
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραE 2? E = λ 1 = 10 µm = 10-5 m, λ 2 = 10 nm = 10-8 m,
adata (Brano, srednja šola) Valna je duljina infrarvenog zračenja µm, a ultraljubičaste svjetlosti nm. ato je energija fotona ultraljubičaste svjetlosti: A. puta veća B. puta veća C. puta veća D. puta
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραImpuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRješenje 141 Uočimo da je valna duljina čestice obrnuto razmjerna sa razlikom energijskih razina. h = E E n m h E E. m c
Zadatak 4 (Ivia, trukovna škola) Crtež prikazuje dio energijkih razina vodikova atoma. Koja od trjelia prikazuje emiiju fotona najkraće valne duljine? Zaokružite ipravan odgovor. A. a) B. b) C. ) D. d
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRADIOHEMIJA.
RADIOHEMIJA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 ATOM I ATOMSKO JEZGRO Karakteristike elementarnih čestica: elektrona, protona i neutrona Redni i maseni broj hemijskog elementa Izotopi, izobari,
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραFizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio
Fizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja Kondov i Andersonov model Modeli čvrste
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPodsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula
Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραElementarne čestice i temeljna međudjelovanja
Elementarne čestice i temeljna međudjelovanja Elementarne četice Uvod. Prve ideje o elementarnim četicama Prve ideje o elementarnim česticama došle su iz stare grčke i provlačile su se kroz čitavu filozofiju
Διαβάστε περισσότεραDomaće zadaće iz nuklearne fizike
Domaće zadaće iz nuklearne fizike Matko Milin Prosinac 2, 2007 1 Simetrije i algebra momenta impulsa 1. (1 bod) Izračunajte veličinu c u relaciji: J j m = c j m 1. 2. (1 bod) Pokazati: [J ±, J z ] = J
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOtkriće prirodne radioaktivnosti
Otkriće prirodne radioaktivnosti Kruksove cevi Rentgen [Wilhem Konrad Rontgen, 1845-1923] Sir Wiliam Crookes 1832-1919 Iz Kruksovih cevi se emituje prodorno zračenje Otkriće Xzraka X-zraka - 1895 Prva
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραSkulptura mamuta, dužine samo 3.7cm koja je isklesana od mamutove kljove, delo je umetnika koji je živeo u severozapadnoj Nemačkoj pre godina.
NUKLEARNA FIZIKA Skulptura mamuta, dužine samo 3.7cm koja je isklesana od mamutove kljove, delo je umetnika koji je živeo u severozapadnoj Nemačkoj pre 35000 godina. Koji fizički principi omogućavaju vremensko
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραSPEKTROSKOPSKE METODE ZA ODREĐIVANJE STRUKTURE BIOLOŠKIH MAKROMOLEKULA. D. Krilov
SPEKTROSKOPSKE METODE ZA ODREĐIVANJE STRUKTURE BIOLOŠKIH MAKROMOLEKULA D. Krilov 30.01. 2006. Interakcije u biološkim makromolekulama Van der Waalsove sile; vodikova veza; hidrofobne interakcije; ionske
Διαβάστε περισσότεραOsnove kemije i fizike
1 Osnove kemije i fizike 10 Tvar, masa i sila 10 Rad i energija 11 Atomi i elementarne čestice 13 Elektricitet 14 Kemijske veze 17 Mol i koncentracija 17 Difuzija 19 Kemijske reakcije 21 Voda 25 Kiseline,
Διαβάστε περισσότερα