1.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f?

Transcript

1 Test iz Analize II (. semester), Priimek, ime, šifra:.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f? D 2. a) Formuliraj izrek o vpeljavi novih spremenljivk v dvojni integral. Naj bo T : R 2 R 2 dana s T (x, y) = (2x + y, x 2y). (b) Ali je T linearna? (c) Ali je T bijektivna? (d) Če je K = [0, ] [0, ], nariši T (K). (e) Če je A R2 množica s ploščino, izračunaj ploščino množice T (A). 3. a) Napiši definicijo ortonormirane baze v Hilbertovem prostoru H. b) Napiši čim več potrebnih in zadostnih pogojev za to, da je ONS {e n : n N} ONB za Hilbertov prostor H. c) Zapiši ONB za prostor L 2 [0, 2π]. 4. Razloži metodo variacije konstante za nehomogeno linearno DE drugega reda. 5. Imamo homogen sistem linearnih DE prvega reda x = A x. a) Kaj je osnovna matrična rešitev takega sistema? Kratko zapiši kako tako rešitev. b) Denimo, da lahko matriko A diagonaliziramo. Kako lahko v tem primeru zapišemo splošno rešitev sistema? c) Kaj je korenski vektor višine (reda) 2 za matriko A? Kako lahko s takim vektorjem pridemo do rešitve sistema? 6. a) Napiši Stokesovo formulo. b) Kdaj je vektorsko polje A potencialno? c) Denimo, da je rota = 0 na neki krogli G v R 3. Kaj lahko rečeš o polju A na G? d) Napiši formulo Ostrogradskega.

2 Test iz Matematike 3, Priimek, ime, vp. št. :. a) Napiši definicijo množice z mero 0 v R n. Dokaži neposredno po tej definiciji, da ima za a < b daljica {(, y) a y b} v ravnini (dvorazsežno) mero 0. b) Dokaži, da ima premica v ravnini dvorazsežno mero 0. (Vzemi, da je ta premica os x.) c) Naj bo A R 2 in f : A C funkcija.naj bo f ds = 0. Kaj lahko sklepaš o funkciji f? A 2. Naj bo X prostor s skalarnim produktom, x X in Z linearen podprostor v X. a) Napiši definicijo pravokotne projekcije z = P x vektorja x na podprostor Z. b) Dokaži, da je z najboljša aproksimacija vektorja x z elementi podprostora Z. c) Naj bo A x = b predoločen sistem linearnih enačb. Kaj je ustrezni normalni sistem in kakšen pomen ima? d) Napiši definicijo Hilbertovega prostora. Napiši definicijo ortonormirane baze takega prostora. e) Naj bo {g n n N} ortonormirana baza zaprtega podprostora Z. Kako dobimo pravokotno projekcijo P x vektorja x na podprostor Z? 3. Napiši kako ortonormirano bazo za: a) C n ; b) L 2 [ π, π]; c) ravnino {(x, y, z) R 3 x = y}. d) Napiši kar se da veliko potrebnih in zadostnih pogojev za to, da je ONS {g n n N} ONB za Hilbertov prostor H. e) Razvij odsekoma zvezno in odsekoma odvedljivo funkcijo f : (0, 4) R v trigonometrijsko Fourierovo vrsto kot liho funkcijo s periodo 8. Kaj je vsota te vrste v: f) 0;

3 g) 4; h) točkah nezveznosti funkcije f? 4. a) Napiši eksistenčni izrek za diferencialno enačbo prvega reda z začetnim pogojem. b) Kateri integralski enačbi je enakovreden ta začetni problem? Napiši Picardove približke. c) Razloži Eulerjevo metodo za numerično reševanje takega začetnega problema. 5. Zapiši homogen sistem n linearnih diferencialnih enačb prvega reda na dolgo in v matrični obliki. a) Kaj je osnovna matrična rešitev takega sistema? Od zdaj naj ima sistem konstantne koeficiente. b) Kratko (s tremi črkami) zapiši kako tako osnovno matrično rešitev. c) Kratko ( s štirimi črkami) zapiši poljubno rešitev sistema. d) Denimo, da lahko matriko sistema diagonaliziramo. Kako lahko v tem primeru zapišemo splošno rešitev? e) Kaj je korenski vektor reda 2 matrike sistema? Kako s takim vektorjem pridemo do rešitve sistema? 6. a) Zapiši Greenovo formulo. b) Dokaži jo za primer, da je območje pravokotnik v ravnini xy. c) Zapiši formulo, ki je v trirazsežnem prostoru posplošitev Greenove. Napiši formulo za ploskev in njeno površino, če je ploskev podana: d) eksplicitno; e) parametrično. 2

4 Test iz Matematike 3, :. a) Napiši izrek o uvedbi novih spremenljivk v dvojni integral. Območje E v ravnini je omejeno s krivuljama y = x 2, s premicama y = x, y = 8x. b) Skiciraj E. y = 8x 2 in c) Določi spremenljivki u = u(x, y) in v = v(x, y), da bo E opisan kot E = {(u, v); (u, v) H}, kjer je H pravokotnik. d) Izrazi x, y z u, v in izračunaj ustrezno Jacobijevo determinanto. e) Izrazi z integralom po H. E f(x, y) ds 2. Naj bo Z linearen podprostor v prostoru X s skalarnim produktom in x X. a) Definiraj pravokotno projekcijo z vektorja x na Z. Ali lahko obstajata dve taki projekciji? Kakšno zvezo ima to z aproksimacijo? Dokaži. b) Denimo, da je Z končno razsežen. Kaj potrebujemo v Z, da enostavno pridemo do vektorja z? Kakšna je formula za z? c) Kaj je predoločeni sistem linearnih enačb? Zapiši kratko (s tremi črkami in enačajem) tak sistem. Kako se ga lotimo po metodi najmanjših kvadratov in kaj pomeni rešitev po tej metodi? d) Kaj je linearna regresija? Kako rešujemo problem linearne regresije? 3. Imamo DE. reda y = f(x, y) z začetnim pogojem. a) Pretvori ta začetni problem v ekvivalentno integralsko enačbo. Kako so definirani Picardovi približki? b) Napiši eksistenčni izrek za ta začetni problem. Imamo začetni problem y = x + sin y, y(0) = 0. c) Pokaži, da ima ta problem rešitev na [0, 2]. Določi pravokotnik, v katerem poteka graf rešitve. Ali je teh rešitev več? Odgovore utemelji z računi.

5 *d) Ali ima ta problem eno ali več rešitev na [0, ]? Odgovor utemelji z računi. 4. a) Napiši Stokesov izrek. b) Kdaj je vektorsko polje A potencialno? Koliko je rotor potencialnega polja? c) Napiši izrek Ostrogradskega in Gaussa. d) Izračunaj div(f A), kjer je f skalarno in A vektorsko polje. e) Denimo, da je B brezvrtinčno na območju D. Pri kakšnih pogojih je B potencialno? 5. a) Imamo homogeno linearno DE drugega reda, pri kateri poznamo eno rešitev y. Razloži, kako pridemo do splošne rešitve. b ) Imamo nehomogeno linearno DE drugega reda, pri kateri poznamo dve linearno neodvisni rešitvi y in y 2 ustrezne homogene enačbe. Razloži, kako pridemo do partikularne rešitve nehomogene enačbe. c) Pretvori enačbo iz b) v ekvivalenten sistem dveh linearnih enačb prvega reda. d) Napiši splošno matrično rešitev ustreznega homogenega sistema. 2

6 Test iz Matematike 3, Priimek, ime, vp. št. :. a) Napiši definicijo Hilbertovega prostora H. b) Napiši definicijo ortonormiranega sistema. Kaj pravi Besselova neenakost? c) Napiši definicijo ortonormirane baze prostora H. Napiši kako ortonormirano bazo za: d) C n ; e) L 2 [ π, π]. f) Napiši kar se da veliko potrebnih in zadostnih pogojev za to, da je ONS {g n n N} ONB za Hilbertov prostor H. 2. a) Razloži Eulerjevo metodo za numerično reševanje DE prvega reda z začetnim pogojem. Najprej napiši samo enačbo. b) Navedi še druge numerične metode in ocene za napako. c) Napiši eksistenčni izrek za sistem dveh linearnih DE prvega reda z začetnima pogojema. Najprej napiši tak sistem. 3. Zapiši homogen sistem n linearnih diferencialnih enačb prvega reda na dolgo in v matrični obliki. a) Kaj je osnovna matrična rešitev takega sistema? Od zdaj naj ima sistem konstantne koeficiente. b) Kratko (s tremi črkami) zapiši kako tako osnovno matrično rešitev. c) Kratko ( s štirimi črkami) zapiši poljubno rešitev sistema. d) Denimo, da lahko matriko A sistema diagonaliziramo. Kako lahko v tem primeru zapišemo splošno rešitev? e) Kaj je korenski vektor reda 3 matrike sistema? Kako s takim vektorjem pridemo do rešitve sistema? 4. a) Opiši konstrukcijo parabolične Bézierove krivulje in de Casteljaujev algoritem. Parabolična Bézierova krivulja ima kontrolne točke (0, 0), (0, 2), (2, 0). b) Napiši de Casteljaujev algoritem. c) Napiši parametrično enačbo te krivulje.

7 d) Izračunaj točko na tej krivulji za t = 2. d) Dopolni jo do zlepka s parabolično Bézierovo krivuljo, ki se konča v (4, 0) in ima v tej točki tangento s smernim koeficientom. Napiši enačbo te druge krivulje in skiciraj zlepek. 5. Napiši formulo za gladko ploskev, njeno normalo in njeno površino, če je ploskev podana: a) eksplicitno; b) parametrično. c) Kako implicitno podamo ploskev? Določi normalo na tako ploskev. d) Napiši Stokesov izrek. f) Napiši izrek Gaussa in Ostrogradskega. 2

8 Primeri teoretičnih vprašanj iz Matematike 4 za fizike. Kaj je izoperimetrični problem v variacijskem računu? Kako se lotimo reševanja? Navedi primer izoperimetričnega problema. 2. a) Kako in za kakšne funkcije je definirana Fourierova transformacija? Kakšne so lastnosti transformiranke (vedenje v neskončnosti itd.) b) Napiši formulo za inverzno transformacijo. c) Kakšna je Fourierova transformiranka odvoda funkcije? d) Ali ima Fourierova transformacija kako lastno funkcijo? e) Napiši Parsevalovo formulo za Fourierovo transformacijo. 3. a) Napiši Cauchy-Riemannnov sistem enačb za holomorfno funkcijo f. Kaj od tod sledi (če še enkrat odvajamo) za realni in imaginarni del analitične funkcije? b) Napiši Cauchyjevo formulo za funkcijo f, holomorfno na krogu. Kako od tod izpeljemo razvoj funkcije v potenčno vrsto znotraj kroga? c) Napiši splošno Cauchyjevo formulo. Kaj je ovojno število? 4. a) Kaj je izolirana singularna točka analitične funkcije f? b) Kakšne tipe izoliranih singularnih točk poznamo in kako so definirani? Kakšno je vedenje funkcije v bližini take točke? Klasificiraj singularne točke za f(z) =: c) z 2 (e z z); d) exp(z 3 ); e) z 2 e z. 5. a) Kaj je izolirana singularna točka analitične funkcije f? b) Kako je definiran residuum funkcije f v izolirani singularni točki za f? Določi residuum funkcije f(z) =: d) / sin(2z) v z = 0; e) z 2 e z v z = 0. e) Napiši izrek o residuih.

9 6. a) Napiši Besselovo DE. Kakšna je splošna rešitev? b) Kje je definirana Besselova funkcija? Kaj velja za Besselove funkcije s celim indeksom in kakšna je rodovna funkcija zanje? c) Ali je Neumannova funkcija omejena? V kateri točki je problem? 7. Imamo linearni diferencialni operator drugega reda, definiran na (podprostoru v) C 2 [a, b]. a) Kdaj je ta operator simetričen? Navedi tri situacije, v katerih je to res. b) Kaj velja za lastne vrednosti in lastne funkcije simetričnega operatorja in kako to dokažemo? *c) Kaj je regularni Sturm-Liouvillov problem in kaj lahko povemo v tem primeru? 8. Napiši valovno enačbo za neskončno struno. Kakšna je d Alembertova rešitev? Kako upoštevamo robne pogoje? 9. a) Napiši Legendrov diferencialni operator. Na katerem intervalu in zakaj je simetričen? Kakšne so lastne vrednosti? b) Napiši Rodriguovo formulo za Legendrove polinome. Koliko je vrednost Legendrovih polinomov v? c) Kaj lahko rečeš o polinomih, ortogonalnih na intervalu [a, b] in njihovih ničlah? Kaj to pomeni za Legendrove polinome? d) Denimo da je f L 2 [, ] in f(x)p n(x) dx = 0 za n = 0,, 2,... Kaj lahko rečeš o funkciji f? 0. Napiši drugo Greenovo formulo. Kako iz nje dobimo tretjo Greenovo formulo? Določi divergenco polja točkastega naboja. 2

10 Test iz Matematike 4, Priimek, ime, vp. št. :. a) Kakšne funkcionale obravnava variacijski račun? Napiši osnovni problem. Kako se lotimo reševanja in kakšna je Eulerjeva enačba? b) Kako je, če funkcija ni eksplicitno odvisna od x? c) Kako rešujemo, če na enem od koncev intervala nimamo robnega pogoja (prosti konec)? d) Kako je če v izrazu nastopa tudi drugi odvod iskane funkcije? 2. a) Kako in za kakšne funkcije je definirana Fourierova transformacija? Kakšne so lastnosti transformiranke (vedenje v neskončnosti itd.)? b) Napiši formulo za inverzno transformacijo. Kaj se zgodi, če dvakrat uporabimo Fourierovo transformacijo? c) Kakšna je Fourierova transformiranka odvoda funkcije? d) Ali ima Fourierova transformacija kako lastno funkcijo? e) Napiši Parsevalovo formulo za Fourierovo transformacijo. f) Čemu je enak odvod Fourierove transformiranke? 3. a) Kdaj lahko analitično funkcijo razvijemo v Laurentovo vrsto? Kakšno obliko ima ta vrsta in kje konvergira? b) Razvij v Laurentovo vrsto okrog 0 funkcijo f(z) = z(2 z). Kje konvergira dobljena vrsta? Koliko je mogočih razvojev? 4. a) Kaj je Möbiusova transformacija? Kje je definirana? Kaj je zaloga vrednosti? Ali je konformna in kako to dokažemo? Določi njen inverz. b) Na kakšne geometrijske transformacije lahko razstavimo linearno transformacijo? Opiši te transformacije. c) Kaj ohranja Moebiusova transformacija? d) Katere Moebiusove transformacije ohranjajo enotski krog? e) Napiši konformno preslikavo, ki notranjost enotskega kroga preslika na polravnino Re z > 0.

11 5. Imamo linearni diferencialni operator drugega reda, definiran na (podprostoru v) C 2 [a, b]. a) Kdaj je ta operator simetričen? Navedi tri situacije, v katerih je to res. b) Kaj velja za lastne vrednosti in lastne funkcije simetričnega operatorja in kako to dokažemo? c) Pri kakšnih robnih pogojih so lastni podprostori enorazsežni in kako to dokažemo? *d) Kaj je regularni Sturm-Liouvillov problem in kaj lahko povemo v tem primeru? 2

12 Test iz Matematike 4, Priimek, ime, vp. št. :. a) Kaj je izoperimetrični problem v variacijskem računu (v širšem smislu)? Kako se lotimo reševanja? b) Navedi primer izoperimetričnega problema in rešitev. c) Kaj je vezani ekstrem v variacijskem računu? Kako se lotimo reševanja? d) Navedi primer vezanega ekstrema. 2. a) Kako in za kakšne funkcije je definirana konvolucija na R? b) Kakšne so lastnosti konvolucije? Ali ima konvolucija enoto (natančno in morda v bolj ohlapnem smislu)? c) Koliko je Fourierova transformiranka konvolucije? Kako smo to dokazali? 3. a) Kdaj ima analitična funkcija f v točki a ničlo stopnje n? Kakšen je potem Taylorjev razvoj za f okrog a? Kako lahko v tem primeru zapišemo f kot produkt dveh faktorjev? b) Kaj od tod velja za ničlo n te stopnje analitične funkcije in kako to dokažemo? c) Funkcija f je analitična na območju D in ima na njem ničlo neskončne stopnje. Kaj od tod sledi za f? Kaj lahko torej povemo za ničle nekonstantne analitične funkcije na D? d) Če sta funkciji f in g analitični na območju D in se ujemata... *e) Zapiši izrek o odprti preslikavi in princip maksima. 4. a) Kaj je izolirana singularna točka funkcije f? b) Kakšne tipe izoliranih singularnih točk poznamo in kako so definirani? Kakšno je vedenje funkcije v bližini take točke? Določi in klasificiraj singularne točke za f(z) =: c) z 3 (sin z z); d) sin(z 2 ); e) z 3 cos z. V tem zadnjem primeru določi še residuum v singularni točki.

13 5. a) Napiši Legendrov diferencialni operator. Na katerem intervalu in zakaj je simetričen? Kakšne so lastne vrednosti? Kaj so ustrezne lastne funkcije? b) Napiši Rodriguovo formulo za Legendrove polinome. Koliko je vrednost Legendrovih polinomov v? c) *Koliko je P n 2? Izračunaj P 5 + P 9 2 ali to vsaj izrazi s P 5 2 in P 9 2. d) Naj bo {Q n n N} zaporedje polinomov, ortogonalnih na intervalu [a, b]. Pri tem naj ima Q n stopnjo n. Kaj lahko rečemo o polinomih Q n in njihovih ničlah? (Povedali smo tri izreke.) Kaj to pomeni za Legendrove polinome? 2